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Módulo 3

Atividades Adicionais Matemática

1. (FUVEST) Segundo um artigo da revista Veja, durante o ano de 1998, os brasileiros consumiram 261 mi-lhões de Iitros de vinhos nacionais e 22 milhões de litros de vinhos importados. O artigo informou ainda que a procedência dos vinhos importados consumi-dos é dada pela seguinte tabela:

Itália " 23% Alemanha " 13%

Portugal " 20% Argentina " 6%

Chile " 16% outros " 6%

França" 16%

O valor aproximado do total de vinhos importados da Italia e de Portugal, em relação ao total de vinhos consumidos pelos braslleiros, em 1998, foi de:

a) 2,3% b) 3,3% c) 4,3% d) 5,3% e) 6,3%

2. (COVEST) As bebidas L, V e R possuem teores aIcoóli-cos de 24%, 44% e 36%, respectivamente. Qual o teor aIcoólico de um coquetel consistindo de 50 mL de L, 25 mL de V, 25 mL de R e 100 mL de água?

a) 15% b) 20% c) 16% d) 17% e) 19%

3. (ITA) Certa liga contém 20% de cobre e 5% de esta-nho. Quantos quilos de cobre e quantos quilos de estanho devem ser adicionados a 100 quilos dessa Iiga para a obtenção de uma outra com 30% de co-bre e 10% de estanho?Dado: todas as porcentagens são em kg.a) 18 kg de cobre e 6 kg de estanho.b) 17,50 kg de cobre e 7,5 kg de estanho.c) 18 kg do cobre e 7,5 kg de estanho.d) 17,50 kg de cobre e 7,8 kg de estanho.e) n.d.a.

4. (FUVEST) A porcentagem de fumantes de uma cida-de é 32%. Se 3 em cada 11 fumantes deixarem de fu-mar, o número de fumantes ficará reduzido a 12 800. Calcule:

a) o número de fumantes da cidade.b) o número de habitantes da cidade.

5. (FUVEST) O preço de venda de um artigo foi diminu-ído em 20%. Em que porcentagem devemos aumen-tar o preço diminuído para que com o aumento o novo preço coincida com o original?

6. (FUVEST) Um Iojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no míni-mo 44% superior ao preço de custo. Porém, ele pre-para a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo?

a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 36%

7. (FUVEST) Um comerciante deu um desconto de 20% sobre o preço de venda de uma mercadoria e, mes-mo assim, conseguiu um lucro de 20% sobre o preço que pagou pela mesma. Se o desconto não fosse dado, seu lucro, em porcentagem, seria:a) 40% b) 45% c) 50%d) 55% e) 60%

8. (FUVEST) Pedro e João são concorrentes na venda de carnês. Em maio, eles venderam o mesmo número de carnês. Em junho, Pedro conseguiu aumentar em 32% as suas vendas. Porém, neste mês de junho, as vendas de João foram 25% superiores às de Pedro. Em relação ao mês de maio, de quanto foi o aumento nas vendas de João?

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a) 32%b) 40%c) 57%d) 60%e) 65%

9. (FUVEST) Um comerciante compra calças, camisas e saias e as revende com lucro de 20%, 40% e 30% respectivamente. O preço x que o comercianta paga por uma calça é três vezes o que ele paga por uma camisa e duas vezes o que ele paga por uma saia. Um certo dia, um cliente comprou duas calças, duas camisas e duas saias e obteve um desconto de 10% sobre o preço total.

a) Quanto esse cliente pagou por sua compra, em função de x?

b) Qual o lucro aproximado, em porcentagem, obti-do pelo comerciante nessa venda?

10. (UNICAMP) Um vendedor propõe a um comprador de um determinado produto as seguintes alternati-vas de pagamento:

a) Pagamento à vista com 65% de desconto sobre o preço de tabela.

b) Pagamento em 30 dias com desconto de 55% so-bre o preço de tabela.

Qual das duas alternativas é mais vantajosa para o comprador, considerando-se que ele consegue, com uma aplicação de 30 dias, um rendimento de 25%?

11. Calcular o juro simples do capital de R$ 380,00, co-locado à taxa de 31,2% ao ano durante 2 anos e 6 meses.

12. (FVC-BA) Uma duplicata de valor nominal igual a R$ 15.000,00 foi descontada em um banco 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto co-mercial simples do 6% a.m. O valor, em reais, a ser resgatado pelo cliente é:

a) R$ 11.500,00b) R$ 11.800,00c) R$ 12.000,00d) R$ 12.100,00e) R$ 12.300,00

13. (ESPM) Certo capital foi aplicado a juros compostos durante 2 anos, à taxa de 20% ao ano. Se esse capi-tal tivesse sido aplicado a juros simples, para obter o mesmo rendimento, a taxa mensal deveria ser de aproximadamente:a) 2%b) 1,98%c) 1,94%

d) 1,87%e) 1,83%

14. Um certo capital, aplicado a juros compostos de 20% ao ano, produziu um montante de RS 8.640,00 após três anos. Qual o valor do capital inicial?

15. (FUVEST) O preço de certa mercadoria sofre anual-mente um acréscimo de 100%. Supondo que o preço atual seja Cr$ 100,00, daqui a três anos o preço será:

a) Cr$ 300,00 b) Cr$ 400,00 c) Cr$ 600,00d) Cr$ 800,00 e) Cr$ 1.000,00

16. (UNIFOR) No mês de outubro, devido à crise atual, o dono de uma confecção reduziu os preços de se-tembro em 10%. Não obtendo o aumento de ven-das desejado, em novembro os preços foram nova-mente reduzidos em 10%. Após essa segunda redução, quem compra agora um vestido por R$ 145,80 esta economizando, em relação ao preço de setembro, a quantia de:

a) R$ 36,45 b) R$ 34,20 c) R$ 32,00d) R$ 30,61 e) R$ 29,16

17. (UNICAMP) Suponha que o preço de um automóvel tenha uma desvalorização média de 19% ao ano so-bre o preço do ano anterior. Se F representa o preço inicial (preço de fábrica) e p(t) , o preço após t anos, pede-se:

a) a expressão para p(t).b) o tempo mínimo necessário, em número inteiro

de anos, após a saída da fábrica, para que um au-tomóvel venha a valer menos que 5% do valor ini-cial. Se necessário, use log 2 ≅ 0,301 e log 3 ≅ 0,477.

18. (FUVEST) a) Determinar a soma dos dez primeiros números naturais ímpares.

b) Qual é a soma dos n primeiros números naturais ímpares?

19. (FGV) Para todo n natural não nulo, sejam as se-quências

(3, 5, 7, 9, ..., an, ...)(3, 6, 9, 12, ..., bn, ...)(c1, c2, c3, ..., cn, ...)

com cn = an + bn.

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Nessas condições, c20 é igual a:

a) 25b) 37c) 101d) 119e) 149

20. (ESEG) Sala (a, b, c) uma progressão aritmética de razão 3. Então a sequência (2a, 2b, 2c) é:

a) uma progressão geométrica de razão 2.b) uma progressão aritmética de razão 23.c) uma progressão aritmética de razão 32.d) uma progressão geométrica de razão 23.e) uma progressão geométrica de razão 32.

21. (ENEM) Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência con-forme mostrada no esquema a seguir:

11 2 1

1 2 3 2 11 2 3 4 3 2 1

...Ele percebeu que a soma dos números em cada Ii-nha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qual-quer Iinha posterior as já construídas. A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª Iinha da sequ-ência de caixas empilhadas por Ronaldo?

a) 9b) 45c) 64d) 81e) 285

22. (VUNESP) Considere a figura, onde estão sobrepos-tos os quadrados OX1Z1Y1, OX2Z2Y2, OX3Z3Y3, OX4Z4Y4, ..., OXnZnYn, ...., n ≥ 1, formados por peque-nos segmentos medindo 1 cm cada um. Sejam An e Pn a área e o perímetro, respectivamente, do n-ési-mo quadrado.

a) Mostre que a sequência (P1, P2, ..., Pn, ...) é uma progressão aritmética, determinando seu termo geral, em função de n, e sua razão.

b) Considere a sequência (B1, B2, ..., Bn, ...), definida

por Bn = PA

nn . Calcule B1, B2 e B3. Calcule, tam-

bém, a soma dos 40 primeiros dessa sequência, isto é, B1 + B2 + ... + B40.

23. (VUNESP) Os coelhos se reproduzem mais rapida-mente que a maioria dos mamíferos. Considere uma colônia de coelhos que se inicia com um único casal de coelhos adultos e denote por an o número de casais adultos dessa colônia ao final de n meses. Se a1 = 1, a2 = 1 e, para n ≥ 2, an+1 = an + an–1, o nú-mero de casais de coelhos adultos na colônia, ao fi-nal do quinto mês, será:

a) 13b) 8c) 6d) 5e) 4

24. UFSC) Ao dividirmos um segmento de comprimen-to m em três partes iguais, retiramos a parte central; se para cada um dos segmentos obtidos repetimos o processo, retirando-se suas partes centrais, e assim sucessivamente, podemos afirmar que a soma dos comprimentos dos segmentos retirados é:

a) 0 b) m

c) 3m

d) m2

e) m8

25. (VUNESP) A sequência de números reais a, b, c, d forma, nessa ordem, uma progressão aritmética cuja soma dos termos é 110; a sequência de núme-ros reais a, b, e, f forma, nessa ordem, um progres-são geométrica de razão 2. A soma d + f é igual a:

a) 96b) 102 c) 120 d) 132 e) 142

26. (VUNESP) Considere um quadrado cuja medida dos lados é indicada por a. Unindo-se os pontos médios consecutivos de seus Iados forma-se um outro qua-drado. A partir deste, de modo análogo, constrói-se

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um terceiro quadrado, e assim sucessivamente. Cal-cule a soma das áreas dos infinitos quadrados dessa sucessão.

27. (FUVEST) Seja (an) uma progressão geométrica de primeiro termo a1 = 1e razão q2, onde q é um núme-ro inteiro maior que 1. Seja (bn) uma progressão geo-métrica cuja razão é q. Sabe-se que a11 = b17.

Nesse caso:a) determine o primeiro termo b1 em função de q.b) existe algum valor de n para o qual an = bn?c) que condição n e m devem satisfazer para que

an = bm?

28. (UFSC) Se a, b, c são termos consecutivos de uma PA de razão 5 e (a + 2) , b, (c – 1) são termos conse-cutivos de uma PG, então determine a soma dos elementos da PG.

29. (PUC) sen 1 200° é igual a:

a) cos 60°b) −sen 60°c) cos 30°d) −sen 30°e) cos 45°

30. (FCC) Qual das alternativas seguintes equivale a cos (−1 230°)?

a) cos (−15°)b) sen 60°c) cos 30°d) −sen 30°e) −sen 60°

31. (FUVEST) Qual dos números é o maior? Justifique.

a) sen 830º ou sen 1 195º.b) cos (−535°) ou cos 190°.

32. (AMAN) O valor numérico da expressão

. .

.

21

cosec 1 110° cos 1 830°

sen 75° sec 1500° , é

a) 2 36

+

b) 32 3

c) 2

2 66

+

d) 32 6+

e) 3 2

32 +

33. (FEI) Simplificando a expressão

. .. .

tg 60° cos 70° sen 50°sen 310° cos 250° tg 120°

, obtemos:

a) 1 b) 2 c) −2 d) −1 e) 0,5

34. (PUC) O valor de (cos2 1° + cos2 2° + ... + cos2 89°) − −(sen2 1° + sen2 2° + ... + sen2 89°) é:

a) –1.b) 0.c) 1.d) 89.e) impossível de calcular sem uma tabela trigono-

métrica.

35. (FUVEST) Reduza à expressão mais simples possível.

a) (cos 15° + sen 15°)2

b) cos 20°

cos 10° sen 10°–4 4

36. (FEI) Sendo x um ângulo do primeiro quadrante e tg x = 3, calcular sen x.

37. Determinar sec a e cosec a, sabendo que tg a = 10 e

0 < a < 2π

.

38. (FATEC) Seja x ∈ R. Assinale a alternativa falsa.

a) tg (x − π) = tg x, para x ≠ kπ + 2π

, k ∈ Z

b) cos 23

xπ

–d n = −sen x

c) sen – 2xπd n = cos x

d) cos (π − x) = −cos xe) sen(x − π) = −sen x

39. (FEl) O valor de y = (cos a + cos b)2 + (sen a − sen b)2,

para a + b = 2π

, é:

a) 21

b) 2c) 0d) 1e) 4

40. (PUC-C) Sendo sen x = 45 e cos y = 13

12, com

0 < x < 2π

e 2π3

< y < 2π, então cos (x + y) é igual a:

a) 6536

b) 6565

5133133

c) − 51

d) 6516

e) n.d.a.

41. (FCC) A função que melhor se adapta ao gráfico a seguir é:

a) y = sen 2x

b) y = cos 2x

c) y = sen 2xd) y = cos 2x e) y = sen x

42. (FCC) Na figura a seguir tem-se um esboço gráfico da função definida por f(x) = a ⋅ cos bx. Os valores de a e b são, respectivamente:

a) 1 e 2.

b) 1 e 21

.

c) −1 e 21

.

d) −1 e 1.e) −1 e 2.

43. (FCC) O gráfico a seguir é o da função definida por:

a) y = sen 2x

b) y = cos 2x

− 2

c) y = 1 + sen 2x

d) y = 1 + cos 2xe) y = 1 + sen 2x

44. (FEI) O gráfico da função y = f(x) = sen x no inter-valo [−2π; 2π] é:

a)

b)

c)

d)

e)

45. (FGV) O gráfico a seguir representa a função:

a) y = tg xb) y = sen xc) y = sen x + cos xd) y = sen 2xe) y = 2 sen x

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46. (FUVEST) Sendo sen α = 109

, com 0 < α < 2π

, tem-se:

a) sen α < sen π3 < sen 2α

b) sen π3 < sen α < sen 2α

c) sen α < sen 2α < sen 3π

d) sen 2α < sen 3π

< sen α

e) sen 2α < sen α < sen 3π

47. Calcular a razão entre o raio R da circunferência cir-cunscrita e o raio r da inscrita num triângulo equilá-tero de Iado a.

48. Num triângulo cujos Iados medem 5 cm, 7 cm e 10 cm, calcule:

a) o raio da circunferência inscrita.b) o raio da circunferência circunscrita.c) a soma dos senos dos seus ângulos internos.

49. No ΔABC, AB = 5, BC = 4 e m(ABC) = 30°. Calcular o raio da circunferência determinada por A, B, C.

50. (SANTA CASA) Seja um triângulo retângulo cuja hipo-tenusa mede 17 cm. Se o raio da circunferência inscri-ta nesse triângulo mede 3 cm, a sua área, em cm2, é:

a) 25b) 40c) 50d) 60e) 80

51. (MACK) Dado o retângulo ABCD, sendo AB o Iado maior, determina-se o triângulo ABP com P ∈ CD. Se a área do retângulo é 28 e o raio da circunferência inscrita no triângulo ABP é 1,5, então o perímetro do triângulo ABP é:

a) 28b) 14c) 20d) 15e) Nenhuma das anteriores.

52. (FEI) Na figura a seguir, ABCD é um quadrilátero ins-crito num círculo: x e y são as medidas, em graus, de A CD e A DC, respectivamente. O valor de y − x é:

a) 55° b) 35° c) 50° d) 42°30' e) 45°

53. A circunferência inscrita no trapézio isósceles ABDC representado a seguir, tem diâmetro 8 cm e AC = BD = 11 cm.

Qual é a área do trapézio?

54. Calcular o raio da circunferência inscrita:

a) num trapézio isósceles de bases 2 cm e 8 cm.b) num losango de perímetro 12 cm e com um

ângulo interno de 60°.c) num triângulo retângulo cujos lados medem

8 cm, 15 cm e 17 cm.

55. Na figura abaixo, os pontos A, B, C, F e G, pertencem a uma mesma circunferência de centro O.

Sabendo que ma(AB) = ma (BC), mostre que o qua-drilátero DEFG é inscritível.

56. No interior de um círculo de centro O e raio 6 cm há dois outros círculos. Os dois círculos tangenciam-se em O e tangenciam o círculo maior. Calcule a área destacada.

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57. Além dos círculos descritos no exercício anterior, considere dois outros círculos, tangentes interna-mente ao círculo maior e tangentes externamente aos outros dois círculos.

a) Calcule o raio desses dois novos círculos.b) Calcule a área destacada.

58. O piso de uma sala circular será dividido em três regiões, e cada região será pintada com uma cor diferente. A região de maior área será pintada de amarelo, a região de área intermediária será pinta-da de vermelho e a região de área menor será pintada de azul. A seguir colocamos um esquema das formas de cada região, no qual P é o centro da sala.

a) Sabendo-se que o diâmetro da sala é 20 m, cal-cule a área de cada região.

b) Para pintarmos 1 m2 com tinta amarela, gastamos R$ 15,00; com tinta vermelha gastamos R$ 25,00 e com tinta azul gastamos R$ 35,00. Em qual das re-giões gastamos mais para sua pintura?

59. Desejamos desenhar uma circunferência de raio 15 cm utilizando barbantes coloridos, conforme a figura a seguir, na qual P é o centro da circunferência. Sa-bendo-se que 1 cm do barbante azul custa R$ 2,50; 1 cm do barbante verde custa RS 2,00; 1 cm do bar-bante vermelho custa R$ 1,50 e 1 cm do barbante amarelo custa RS 1,00, calcule quanto foi gasto em cada tipo de barbante que usamos para construir a circunferência. (Utilize π ≅ 3,14.)

60. Numa circunferência de raio igual a 10 m, considere um arco que possua medida angular de 70°. Numa outra circunferência de raio igual a 12 m, considere um arco que tenha medida angular de 50°.

a) Qual dos dois arcos possui maior comprimento?b) Qual dos setores circulares correspondentes aos

arcos citados tem maior área?

61. Na figura a seguir, os dez círculos menores são tan-gentes às duas circunferências de centro O. A área desses dez círculos é igual ao dobro da área do círculo interno, de raio 10 cm. Calcule a área destacada.

62. Calcule a área da região destacada da figura abaixo, sabendo que O é o centro da circunferência de raio 18 cm.

63. Na figura a seguir, calcule a soma das áreas destaca-das, sabendo que o centro da circunferência é O e o raio é 4 cm.

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64. Calcule a área destacada da figura a seguir, saben-do que A é o centro do círculo à esquerda, B é o cen-tro do círculo à direita e AB = 6 cm.

65. No círculo a seguir, de centro O e raio R, inscreve-mos os triângulos congruentes ABC e A'B'C'. Qual a razão entre a área da região sombreada e a área do círculo todo?

66. (MAUÁ) Resolver a equação x + – 1x1 = 3.

67. (PUC) O número de soluções da equação x − 1 = 1, no universo R, é:

a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

68. (EN) A equação x − x − 1= 1:

a) não possui solução.b) possui duas soIuções.c) possui uma infinidade de soluções.d) possui uma solução.e) possui quatro soluções.

69. (FGV) O produto das raízes das equação x − 12 − 3 x − 1 + 2 = 0 é:

a) 0b) 1c) 2d) 3 e) 4

70. (FEI) Sex − 1 ≤ 2x + 3 então:

a) x ≤ 1 ou x ≥ 23

.

b) 1 ≤ x ≤ 23

.

c) x ≤ 0 ou x ≥ 1.

d) x < −1 ou x > 2.

e) x ≤ −4 ou x ≥ − 23 .

71. (ITA) Se A = {x ∈ R : x2 + x + 1≤x2 + 2x − 3},

então temos:

a) A = 2; 21

–< F j [4; +∞[

b) A = 21

; 4< F

c) A = [−3; 1]d) A = ]−∞; −3] j [1; +∞[e) n.d.a.

72. (FUVEST) Sendo x um número real, (1 + x) (1 − x) ≥ 0 se, e somente se:

a) x ≤ 1b) x ≤ 1c) x ≥ 1d) x ≥ 1e) x ≤ −1

73. (SANTA CASA) O gráfico que melhor representa a relação y = x + 1, ∀x, y ∈ R, é:

a)

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b)

c)

d)

e)

74. (FATEC) O esboço que melhor representa o gráfico de S = {(x; y) (x; y) ∈ R × R e y = (x − 2) x} é:

a)

b)

c)

d)

e)

75. (MACK) A melhor representação gráfica da função

real definida por y = –1x

–1x2

4 é:

a)

b)

c)

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d)

e)

76. (FUVEST) Desenhe o gráfico da função:

f(x) = 2x + x − 2x

77. (FUVEST) a) Esboce, para x real, o gráfico da função f(x) = x − 2 + 2x + 1 −x − 6. O símbolo a indica o valor absoluto de um número real a e é definido por a = a, se a ≥ 0 e a = −a, se a < 0.

b) Para que valores reais de x, f(x) > 2x + 2?

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Respostas das Atividades Adicionais

Matemática

1. B

2. C

3. B

4. a) 17 600b) 55 000

5. 25%

6. C

7. C

8. E

9. a) 4,17xb) 14%

10. Alternativa A

11. R$ 296,40

12. E

13. E

14. R$ 5.000,00

15. D

16. B

17. a) p(t) = F ⋅ (0,81)t

b) 15 anos

18. a) 100b) n2

19. C

20. D

21. D

22. a) Pn = 4n; r = 4.

b) B1 = 41

; B2 = 12 ; B3 = 4

3; 205.

23. D

24. B

25. D

26. 2a2

27. a) b1 = q4

b) n = 5

28. 37

29. C

30. E

31. a) sen 830° = sen (830° − 2 ⋅ 360°) = sen 110° = sen (180° − 110°) = sen 70° e sen 1 195° = sen (1 195° − 3 ⋅ 360°) = sen 115° = sen (180° − 115°) = sen 65°. Como sen α é crescente para α ∈ ]0°; 90°[, então

sen 65° < sen 70°, isto é, sen 830° é maior do que sen 1 195°.

b) cos (−535°) = cos(−535° + 2 ⋅ 360°) = cos 185° = −cos (185° − 180°) = −cos 5° e cos 190° = −cos (190° − 180°) = −cos 10°. Como cos α é decrescente para α ∈ ]0°: 90°[, então

cos 10° < cos 5° ⇔ −cos 10° > −cos 5°, isto é , cos 190° é maior do que cos (−535°) .

32. A

33. D

34. B.

35. a) 23

b) 1

36. 103 10

37. sec a = 101 e cosec a = 10101

38. C

39. B

40. B

41. A

42. C

43. E

44. C

45. B

46. D

47. 2

12133133

48. a) 112 66

b) 66

24175

c) 66

1754

49. 341 20–

50. D

51. E

52. A

53. 88 cm2

54. a) 2 cm

b) 43 3

cm

c) 3 cm

55. m(G ) = 21

[m(BC ) + m(CF

)]

m(E ) = 21

[m(FG ) + m(GA

) + m(BC

)]

= 21

[m(FG ) + m(GA

)] + m(AB

)]

Assim:m(G ) + m(E )

= 21

[m(BC ) + m(CF

) + m(FG

) + m(GA

) + m(AB

)] = 180º

360º

56. 18 π cm2

57. a) 2 cmb) 10 π cm2

58. a) Região amarela: 3125π

m2; região vermelha:

3100π

m2; região azul: 25π m2.

b) Região azul.

59. Barbante azul: R$ 39,25; barbante verde: R$ 36,63; bar-bante vermelho: R$ 39,25; barbante amarelo: R$ 34,02.

60. a) O de medida angular 70°.b) O de medida angular 50°.

12(2π + 3 3 ) cm2

61. 40π(2 5 − 3) cm2

62. 81(2π − 3 ) cm2

63. 4(4π − 3 − 2 2 − 3 ) cm2

64. 12(2π + 3 3 ) cm2

65. 21

− π63

66. V = { 2 − 2 , 2}

67. D

68. C

69. A

70. A

71. A

72. B

73. C

74. B

75. A (x ≥ 0 e f(x) = 2x + x − 2x)

76. f(x) = 2x + x − 2 x ⇔ ou (x ≤ 0 e f(x) = 2x + x + 2x)

(x ≥ 0 e f(x) = 2x + −x)⇔ ou (x ≤ 0 e f(x) = 2x + 3x)

(x ≥ 0 e f(x) = 2x + x = 3x)⇔ ou (x ≤ 0 e f(x) = 2x − 3x = −x)O gráfico tem aspecto:

77. a) b) x < − 67