Matemática Básica XIII.2 1

MÓDULO XIII

GRANDEZAS PROPORCIONAIS 1. Razão

A razão entre dois números a e b ≠ 0, nessa ordem,

é o quociente b

a.

O número a é chamado de antecedente ou primeiro termo e o número b é chamado de conseqüente ou segundo termo.

Exemplo: O número irracional π pode ser obtido através da

razão entre a medida do comprimento de uma circunferência e a medida do seu diâmetro, ou seja,

π2r

C

Exercícios Propostos

EP.01) Um produto que custa R$ 18,00 para ser fabricado é vendido por R$ 27,00. Determine a razão entre: a) o preço de venda e o preço de custo. b) o lucro e o preço de venda. EP.02) Em um retângulo a medida da base é 3cm maior que a altura. Calcule a área desse retângulo sabendo que

a razão entre a medida da base e a medida da altura é 3

4.

2. Proporção

Os números a, b, c e d , com b ≠ 0 e d ≠ 0, formam, nessa ordem, uma proporção se, e somente se, a razão entre a e b for igual a razão entre c e d, ou seja:

d

c

b

a

e lê-se a está para b assim como c está para d. Os números a e d são chamados de extremos e os

números b e c são chamados de meios. 3. Propriedades das proporções

Se os números a, b, c e d formam, nessa ordem, uma proporção, então:

P1. d

c

b

a a.d = b.c

“O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.”

P2. d

c

b

a

d

dc

b

ba

“A soma dos dois primeiros está para o segundo, assim como a soma dos dois últimos está para o último.”

P3. d

c

b

a

d

c

b

a

db

ca

“A soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes assim como cada antecedente está para o correspondente conseqüente.” Exemplo: Determinando o valor de x na proporção

2

1

x6

3x, obtemos:

2

1

x6

3x (x – 3).2 = (6 – x).1 2x – 6 = 6 – x

2x + x = 6 + 6 3x = 12 x = 4.

Exercícios Propostos

EP.03) Uma miniatura de um automóvel foi construída na escala 1:40. As dimensões da miniatura são: comprimento 12,5cm e largura 5cm. Quais as dimensões reais do automóvel em metros?

EP.04) Determine o valor de x na proporção 32

5xx2

.

EP.05) A soma das idades de Paulo e José é igual a 50 anos. Se a idade de Paulo está para a de José assim como 3 está para 2, encontre a idade de cada um deles. 4. Grandezas

Entendemos por grandezas tudo aquilo que pode ser medido, contado.

O volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, são alguns exemplos de grandezas.

No nosso dia-a-dia encontramos várias situações em que relacionamos duas ou mais grandezas.

Em uma corrida quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são velocidade e tempo.

Numa construção, quanto maior for o número de funcionários, menor será o tempo gasto para que esta fique pronta. Nesse caso, as grandezas são o número de funcionários e o tempo. 5. Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas são chamadas diretamente proporcionais, quando, dobrando uma delas a outra também dobra; triplicando uma delas a outra também triplica.

Relacionamos duas grandezas diretamente

proporcionais pela equação kx

y ou y = k.x, onde k é um

número real, chamado de constante de proporcionalidade. As grandezas diretamente proporcionais possuem

uma variação linear e seu gráfico é uma reta que passa pela origem.

Matemática Básica XIII.2 2

Exemplo: Em um determinado mês do ano o litro de gasolina

custava R$ 1,50. Tomando como base esse dado, podemos formar a seguinte tabela:

Quantidade de gasolina

(em litros)

Valor a pagar (em reais)

1 2 3

1,50 3,00 4,50

E também obtemos o seguinte gráfico:

1 2 3 4 Litros

1,5

3,0

4,5

6,0

Custos (Reais)

0

Se a quantidade de gasolina dobra, o preço a ser

pago também dobra. Se a quantidade de gasolina triplica, o preço a ser

pago também triplica. Neste caso as duas grandezas envolvidas, quantia

a ser paga e quantidade de gasolina, são chamadas grandezas diretamente proporcionais.

De maneira geral, se A = (a1 ,a2 , a3, ... ) e B = (b1, b2, b3, ... ) forem grandezas diretamente proporcionais, então:

k...b

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1

onde o número k é a constante de proporcionalidade.

Exercícios Propostos EP.06) Se ( 3, x, 14,... ) e ( 6, 8, y,... ) forem grandezas diretamente proporcionais, então o valor de x + y vale: EP.07) Quando um automóvel é freado no momento em que sua velocidade é 27km/h, ele ainda percorre 9m até parar. Sabe-se que essa distância percorrida até parar é proporcional ao quadrado da velocidade do momento da freada. Determine a distância que o automóvel percorrerá até parar, se freado a 45km/h.

6. Grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas são chamadas inversamente proporcionais, quando, dobrando uma delas a outra se reduz para a metade; triplicando uma delas a outra se reduz para a terça parte e assim por diante.

Relacionamos duas grandezas inversamente

proporcionais pela equação y.x = k ou x

ky onde k é um

número real, chamado de constante de proporcionalidade. As grandezas inversamente proporcionais possuem

uma variação cujo gráfico é uma hipérbole. Exemplo:

Um professor de matemática tem 24 livros para distribuir igualmente entre os seus melhores alunos. Se ele escolher apenas 2 alunos, cada um deles receberá 12 livros. Se ele escolher 4 alunos, cada um receberá 6 livros. Se ele escolher 6 alunos, cada um deles receberá 4 livros.

Observe a tabela:

Números de alunos

escolhidos

Números de livros

para cada aluno

2 4 6

12 6 4

E também obtemos o seguinte gráfico:

1 2 3 4 5 6

4

6

9

12

0 Alunos

Livros

Se o número de alunos dobra, a quantidade de livros cai pela metade.

Se o número de alunos triplica, a quantidade de livros cai para a terça parte.

Neste caso as duas grandezas envolvidas, número de alunos e número de livros, são chamadas grandezas inversamente proporcionais.

De maneira geral, se A = (a1 ,a2 , a3, ... ) e B = (b1,

b2, b3, ... ) forem grandezas inversamente proporcionais, então:

k....ba.ba.ba 332211

onde o número k é a constante de proporcionalidade.

Matemática Básica XIII.2 3

Exercícios Propostos EP.08) Determinar x e y sabendo-se que (1, 2, x, ... ) e (12, y, 4, ... ) são grandezas inversamente proporcionais. EP.09) Segundo a lei de Boyle-Mariotte, sabe-se que: "A uma temperatura constante, os volumes de uma mesma massa de gás estão na razão inversa das pressões que produzem". Se sob a pressão de 5 atmosferas, uma massa de gás ocupa um volume de 0,6dm

3, a expressão

que permite calcular a pressão P, em atmosferas, em função do volume V, em dm

3, ocupado por essa massa de

gás, é

a) V

3P

b) 3

VP

c) 6V

5P

d) 5

6VP

e) 3V

25P

7. Divisão proporcional

Dividir um número N em partes diretamente proporcionais aos números a, b, e c, significa determinar os números x, y, e z, de tal modo que: (I) as seqüências (x, y, z) e (a, b, c,) sejam diretamente proporcionais; (II) x+y+z = N

No caso da divisão do número N em partes inversamente proporcionais, teríamos: (I) as seqüências (x, y, z) e (a, b, c,) sejam inversamente proporcionais; (II) x+y+z = N

Exercícios Propostos EP.10) Dividir o número 160 em três partes diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5. EP.11) Dividir 188 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 5. 8. Regra de três simples

Os problemas que envolvem grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos através de um método prático, chamado de regra de três, onde se calculam proporções entre as grandezas envolvidas.

Exercícios Resolvidos ER.01) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m

2, uma lancha com motor movido à energia solar

consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m

2, qual será a energia

produzida?

Resolução: Montando a tabela, colocando em cada coluna as

grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

x

400watts

Energia

1,5m

1,2m

Área

2

2

Observe que: aumentando o valor da área de absorção, deve aumentar a energia produzida. Portanto a relação é diretamente proporcional (nas duas grandezas colocamos setas no mesmo sentido).

Então as grandezas nas seqüências (1,2, 400) e (1,5, x) são diretamente proporcionais logo:

x

400

1,5

1,2 1,2.x = (1,5).400

1,2.x = 600 x = 500 watts. Logo, a energia produzida será igual a 500 watts.

ER.02) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Resolução:

Montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

x

horas 3

Tempo

hkm480

hkm400

Velocidade

Observe que: aumentando a velocidade do trem, deve diminuir o tempo do percurso. Portanto a relação é inversamente proporcional (nas duas grandezas colocamos seta com sentidos contrários).

Então as grandezas nas seqüências (400, 3) e (480, x) são inversamente proporcionais logo:

480.x = 3.400

480.x = 1200 x = 2,5 horas ou x = 2h 30min.

Logo, o tempo necessário no percurso na segunda situação é igual a 2 horas e 30 minutos. 9. Várias grandezas proporcionais. Regra de três composta

Se uma grandeza X é diretamente proporcional às grandezas d1, d2, ... dn e inversamente proporcional às grandezas i1, i2, ... im, então estas grandezas juntas satisfazem uma relação da forma

1 2 3 n

1 2 m

d .d .d ... dX k.

i .i ... i

Onde k é um valor constante chamado de proporcionalidade

Chamaremos a expressão acima de Função de Proporcionalidade.

A função de proporcionalidade é útil, especialmente, na Física e na Química quando queremos descrever matematicamente a relação entre várias grandezas proporcionais.

Matemática Básica XIII.2 4

Exercício Resolvido ER.03) Em uma gás a pressão é diretamente proporcional à temperatura e inversamente proporcional ao volume. Sabendo isso a) Escreva a relação que expressa este fato b) Ache o valor da constante de proporcionalidade sabendo que à temperatura de 20 o volume é 60 e a pressão é 5 c)Com o valor da constante obtido em (b) calcule o volume se a temperatura for 14 e a pressão for 35 Resolução:

a) T

P k.V

b) com os dados do problema temos:

205 k. k 15

60

c) agora sabemos a função de proporcionalidade que é:

TP 15.

V

Substituindo os valores de P e T dados:

1435 15. V 9

V

Exercícios Proposto

EP.12) Verificou-se, experimentalmente que a resistência elétrica R de um fio condutor homogêneo e de seção transversal constante é diretamente proporcional ao seu comprimento L e inversamente proporcional à área S de sua seção transversal. a) escreva a relação que expressa este fato b) se para um fio de comprimento e seção transversal 5 a resistência é 1, qual o comprimento de um fio do mesmo material que representa seção 3 e resistência 4?

A função de proporcionalidade é o método mais eficiente para resolver problemas de Regra de Três Composta como mostra o seguinte

Exercício Resolvido

ER.04) Cinco homens (H) trabalhando 8 horas (h) por dia levam 30 dias (d) para cavar uma vala de 10m de comprimento (c) 3m de largura(l) 4 4m de profundidade (d). Quantos homens serão necessários para cavar, em 10 dias de 6h de trabalho, uma vala com 12m de comprimento 5 /m de largura e 3m de profundidade? Resolução: A função de proporcionalidade é

c.l.pH k.

d.h

Achando K com os dados iniciais do problema:

10.3.4H k. k 10

30.8

Então a versão definitiva da função é

c.l.pH 10.

d.h

Para resolver o problema basta substituir od valores finais dados:

12.5.3H 10. H = 30

10.6

Exercícios Propostos

EP.13) Na bula de um determinado remédio pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2kg do “peso” da criança. Se uma criança tem 12kg, qual será a dosagem correta?

EP.14) Um carro à velocidade de 100km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a velocidade do carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso?

EP.15) A ração para 12 animais, durante 8 dias custa R$ 24.000,00. O custo da ração para 18 animais, durante 6 dias, é de:

EP.16) Uma indústria metalúrgica produziu 40.000 peças em 20 dias, com 12 máquinas operando 10 horas por dia. Quantos dias serão necessários para produzir 60.000 peças com 18 dessas máquinas trabalhando 8 horas por dia?

Exercícios Complementares

EC.01) Determine o valor de x nas proporções abaixo:

a) 3

4

2

5x

b) 74

23x

c) 5

301004x

EC.02) Dividindo o número de 420 em partes proporcionais a 2, 7 e 5, quais números obteremos?

EC.03) Os números 35, 14 e x são proporcionais aos números y, 16 e 24, nessa ordem. Determine x e y.

EC.04) Uma pessoa aplicou R$ 840,00 em uma caderneta de poupança e R$ 560,00 em outra, ambas durante o mesmo período, no mesmo banco. Se no final desse período as duas juntas renderam R$ 490,00, qual foi o rendimento de cada uma?

EC.05) Reparta a quantia de R$ 945,00 em partes inversamente proporcionais aos números 6 e 8.

EC.06) Dois sócios, Paulo e Rafael, repartiram o lucro final de um negócio, que foi de R$ 4.900,00, de forma proporcional à quantia que cada um investiu. Sabe-se que Rafael investiu R$ 2.000,00 a mais que Paulo e seu lucro foi de R$ 700,00 a mais que o de Paulo. Qual foi o investimento de cada um nesse negócio?

Matemática Básica XIII.2 5

EC.07) Um determinado medicamento deve ser administrado a um doente três vezes ao dia, em doses de 5ml cada vez, durante 10 dias. Se cada frasco contém 100cm

3 do medicamento, qual o número de frascos

necessários? (lembre-se: 1ml = 1cm3).

EC.08) Uma pessoa comprou 10m de corda por R$ 5,00. Quanto outra pessoa pagará por 16m da mesma corda? EC.09) Com 10 pedreiros podemos construir um muro em 2 dias. Quantos dias levarão 5 pedreiros para fazer o mesmo trabalho? EC.10) Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com água amarela. A cada 15 minutos é medida a altura

do nível de água e os dados so registrados na tabela abaixo:

Tempo (minutos) Altura (centímetros)

15 50

30 100

45 150

Num determinado momento ao fazer a mediço, a altura do nível da água era de 4,5 metros. Quanto tempo havia decorrido desde que a torneira foi aberta? EC.11) A sombra de uma pessoa que tem 1,80m de altura mede 60cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00m. Qual a altura do poste em metros. EC.12) As rodas dianteiras de um trator têm um perímetro de 1,80m e as traseiras têm 3m de perímetro. Enquanto a roda menor dá 90 voltas, quantas voltas dará a roda maior? EC.13) A figura a seguir mostra (esquematicamente e fora de escala) a Terra, cujo centro é o ponto T, a Lua L e um satélite de comunicações S. A Lua e o satélite (que pesados como pontos) descrevem órbitas circulares que estão no plano da figura e têm centros no ponto T. O raio de órbita da Lua é 378.000km e o período dessa órbita (tempo que a Lua gasta para percorrê-la de uma vez) será tomado igual a 27 dias. Já o satélite S tem órbita geo-estacionária, isto é, o satélite acompanha o movimento de rotação da Terra de forma tal que o período de sua órbita é (um) dia. A terceira Lei de Kepler diz que, para corpos que descrevem órbitas circulares ao redor da Terra, o quadrado do período de uma órbita é proporcional ao cubo do raio da mesma. Calcule o raio da órbita do satélite.

EC.14) A órbita de um satélite é uma elipse que tem a Terra em um de seus focos. Esse satélite atinge velocidade máxima e mínima nos pontos de menor e maior distância da Terra respectivamente, quando então essas velocidades são inversamente proporcionais às distâncias do satélite à Terra (com mesma constante de proporcionalidade). Calcule a excentricidade da órbita do satélite, sabendo também que a velocidade máxima é o dobro da velocidade mínima. (A excentricidade, como se sabe, é o quociente da distância entre os focos pelo comprimento do eixo maior). EC.15) A soma dos tempos (em horas) gastos por três carros para percorrerem determinada distância foi igual a 7,4 horas. Determine: a) Quanto tempo levou cada carro, sabendo-se que suas velocidades médias foram, respectivamente, 40km/h, 50km/h e 60km/h? b) Qual a distância percorrida? Na questão abaixo analise apenas a alternativa 04

Exercícios Adicionais

EA.01) Sobre a relação entre a abertura dos poros estomáticos e a concentração de um íon específico nas células-guarda, mostrada no gráfico a seguir, assinale o que for correto.

01) O potássio é o íon que está associado com o mecanismo de abertura dos estômatos. 02) A maior concentração de potássio está associada com maior taxa de transpiração dos vegetais. 04) O aumento na abertura dos estômatos é diretamente proporcional à absorção de potássio. 08) A função que caracteriza o aumento na abertura dos estômatos em relação à absorção de potássio é linear. 16) A função que caracteriza o aumento na abertura dos estômatos em relação à absorção de potássio é crescente.

Matemática Básica XIII.2 6

Na questão abaixo escreva a expressão que relaciona as grandezas mencionadas. (Não é preciso calcular o valor da constante de proporcionalidade pois o problema não fornece os dados para isto) EA02)A lei de Fourier para condução térmica afirma que, “Em um regime estacionário, o fluxo de calor por condução

( ) numa camada de material homogêneo é diretamente proporcional à área da seção transversal atravessada e à diferença de temperatura entre os extremos e inversamente proporcional à espessura da camada considerada (e)”. Fixando uma área de seção com uma diferença de temperatura entre os extremos constante, assinale qual das figuras a seguir pode representar o gráfico do fluxo de calor por condução em função da espessura da camada considerada.

Na questão abaixo lembre que a força (F) é diretamente proporcional ao alongamento (x) EA3) A figura a seguir apresenta gráficos da relação entre a força F aplicada a uma mola e o alongamento x dessa mola para cinco tipos diferentes de molas (I, II, III, IV, V).

A mola que apresenta maior constante elástica é a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.

Na questão abaixo analise apenas a alternativa (d). EA.04) Analise o gráfico abaixo, que mostra o efeito de diferentes níveis de irradiância no acúmulo de biomassa em plantas de carqueja, e assinale a alternativa correta.

a) O gráfico indica que o acúmulo de biomassa é inversamente proporcional ao aumento no nível de irradiância. b) O gráfico demonstra a influência da luz na síntese de compostos orgânicos no processo de respiração. c) O gráfico demonstra o efeito do nível de irradiância no processo de fotossíntese. d) O gráfico indica que o acúmulo de biomassa é diretamente proporcional ao aumento no nível de irradiância. e) O gráfico indica o aumento na quantidade de clorofila decorrente do aumento do nível de irradiância.

GABARITO

Exercícios Propostos

EP.01) a) 2

3 b)

3

1

EP.02) 108cm2

EP.03) 5m e 2m EP.04) x = – 6 ou x = 1 EP.05) Paulo: 30 anos e José: 20 anos EP.06) x + y = 32 EP.07) 25m EP.08) x = 3 e y = 6 EP.09) A EP.10) 32, 48 e 80 EP.11) 80, 60 e 48 EP.12) b) 08 EP.13) 30 gotas EP.14) 5h EP.15) R$ 27.000,00 EP.16) 25 dias

a)

b)

c)

d)

e)

Matemática Básica XIII.2 7

Exercícios Complementares

EC.01) a) 3

7 b) 10 c) 26,5

EC.02) 60, 210 e 150 EC.03) x = 21 e y = 40 EC.04) R$ 294,00 e R$ 196,00 EC.05) R$ 540,00 e R$ 405,00 EC.06) R$ 8.000,00 e R$ 6.000,00 EC.07) 1,5 frasco EC.08) R$ 8,00 EC.09) 4 dias EC.10) 135min ou 2h 15min EC.11) 6m EC.12) 54 voltas EC.13) 42.000km

EC.14) 3

1

EC.15) a) 3h, 2,4h e 2h b) 120km

Exercícios Adicionais EA.01) Falsa

EA.02) a.d

k.e

EA.03) E EA.04) Falsa