Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP

Centro de Ciências Exatas e Tecnologia

Departamento de Física

O Limite Clássico da Mecânica Quântica

Isadora Migliori Hossri

São Paulo/2008

2

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP

Centro de Ciências Exatas e Tecnologia

Departamento de Física

O Limite Clássico da Mecânica Quântica

Isadora Migliori Hossri

Monografia apresentada como parte dos

requisitos para a conclusão do curso

de graduação de bacharel em Física.

Orientadora: Profa. Dra. Sonia Geraij Mokarzel

São Paulo/2008

3

Agradecimento

A professora Sonia por em todos os momentos descortinar a beleza da

física, nos dando entusiasmo e muito conhecimento sempre com clareza e

alegria.

A professora Maria Inês que nos deu boas aulas de apoio.

Aos amigos e familiares, sem os quais a realização deste trabalho não

seria possível.

Ao PIBIC, pelo apoio financeiro fornecido para a execução deste

projeto.

4

Valeu a pena?

Tudo Vale a pena se a alma não é pequena (...)

Fernando Pessoa

5

Resumo

Neste trabalho será apresentada uma breve recapitulação de conceitos

básicos de estrutura da matéria e mecânica quântica, que serão ferramentas

necessárias para a realização da análise do problema da medição quântica. A

abordagem da decoerência será utilizada para análise de tal questão.

A diferença entre do tempo de perda de coerência e do tempo de

dissipação de energia de um sistema serão calculados analiticamente neste

trabalho

As técnicas da álgebra de Lee descrita ao longo do texto, serão um

caminho para a construção do formalismo matemático da teoria.

6

Sumário

1. OBJETIVOS ........................................................................................................ 8

2. INTRODUÇÃO .................................................................................................... 9

3. METODOLOGIA ............................................................................................... 11

4. INÍCIO DA MECÂNICA QUÂNTICA .................................................................. 11

4.1 Radiação do Corpo negro ............................................................................ 11

4.2 Efeito Fotoelétrico ........................................................................................ 13

4.3 Efeito Compton ............................................................................................ 15

4.4 Átomo de Hidrogênio ................................................................................... 16

5. A TEORIA QUÂNTICA ...................................................................................... 19

5.1 Dualidade onda-partícula ............................................................................. 19

5.2 Princípio da Incerteza de Heisenberg .......................................................... 21

5.3 Equação de Schrödinger ............................................................................ 22

5.3.1 Autovalores e autofunções .................................................................... 24

5.3.2 Superposição de estados ...................................................................... 25

5.4 Espaço de Hilbert ......................................................................................... 26

5.5 Operadores .................................................................................................. 27

5.5.1 Operadores hermitianos ........................................................................ 27

5.5.2 Representação matricial de um operador .............................................. 28

5.5.3 Relação da completeza ......................................................................... 29

5.5.4 Operador unitário .................................................................................. 30

5.6 Oscilador harmônico ................................................................................... 30

5.7 Quantização do campo eletromagnético ...................................................... 33

5.7.1 Estado de Fock ...................................................................................... 35

5.7.2 Estados coerentes ................................................................................. 36

5.8 Operador densidade .................................................................................... 37

5.9 Evolução temporal de um sistema quântico ................................................ 40

6. RESULTADOS .................................................................................................. 45

6.1 O Problema da Medição .............................................................................. 45

6.2 Coerência e decoerência ............................................................................. 47

6.3 Tempo de dissipação e decoerência para um estado de “gato” .................. 49

7. CONCLUSÃO ................................................................................................... 50

8. APÊNDICE ........................................................................................................ 51

7

A – Efeito Comton .............................................................................................. 51

B – Átomo de hidrogênio ................................................................................... 52

C - Pacote de onda ............................................................................................ 54

D – Princípio da Incerteza .................................................................................. 56

E – Equação de Schrödinger ............................................................................. 57

F – Autovalores e autofunções .......................................................................... 58

G - Espaço de Hilbert ......................................................................................... 59

H – Oscilador harmônico ................................................................................... 60

I – Técnicas da Álgebra de Lee ......................................................................... 61

J – Evolução temporal de um estado coerente .................................................. 65

K – Cálculo de )(2 tTrρ ....................................................................................... 66

L – Tempo de dissipação ................................................................................... 68

M – Tempo de perda de coerência .................................................................... 69

9. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS .................................................................. 70

8

1. OBJETIVOS

Compreender o problema da medição quântica, que é um dos

problemas ainda em aberto e sob investigação na literatura atual, que se refere à

não observação de superposições no mundo clássico. Aprofundar as reflexões

sobre o problema da não localidade na Mecânica Quântica.

Ter contato com experimentos que comprovam tal modelo.

Para tanto será necessário o contato com algumas técnicas matemáticas

adequadas.

9

2. INTRODUÇÃO

Um dos problemas mais sutis da física contemporânea é a relação

entre o mundo macroscópico, descrito pela física clássica, e o mundo

microscópico, regido pelas leis da física quântica.

Classicamente, uma descrição completa do estado de uma partícula[1]

é obtida dando-se a posição e o momento que é igual ao produto da massa pela

velocidade da partícula. Se as forças que atuam na partícula dependerem

também de sua velocidade a relação entre momento e velocidade já não é tão

simples.

Conhecendo-se as forças que atuam sobre a partícula, e que

representam a interação da partícula com o resto do Universo, é possível em

princípio a partir das informações iniciais obter a posição e a velocidade (ou

momento) da mesma em qualquer instante futuro, ou seja, o estado futuro da

partícula. Dizemos assim que a física clássica é determinística (ainda que

freqüentemente o movimento futuro do sistema possa ser extremamente sensível

a uma pequena variação das condições iniciais, como ocorre no comportamento

caótico). Descrições probabilísticas são muitas vezes adotadas na física clássica,

quando não temos uma informação completa sobre o sistema em questão. Por

exemplo, se tivermos muitas partículas de um gás em uma caixa, é praticamente

impossível conhecer a posição e a velocidade de cada partícula, por isso

recorremos a uma descrição estatística. Mas admitimos sempre que, caso

conhecêssemos as interações entre as partículas, e suas posições e velocidades

em um dado instante, seria possível prever exatamente o valor dessas

quantidades em qualquer instante futuro.

Na teoria quântica, por outro lado, devemos abrir mão da descrição do

estado de uma partícula [2] em termos da posição e do momento, uma vez que

essas duas grandezas não podem ser conhecidas simultaneamente: a

determinação da posição de uma partícula modifica de forma não controlada o

seu momento,ou seja, à medida em que a determinação da posição da partícula

torna-se mais precisa, a incerteza de seu momento aumenta. O produto das duas

incertezas satisfaz à desigualdade de Heisenberg[3]: não pode nunca ser menor

que uma certa constante universal, a constante de Planck, que estabelece uma

escala fundamental para o mundo microscópico. O estado do sistema é descrito

10

por uma função de onda, em termos da qual pode ser calculada a probabilidade

da partícula ser encontrada em alguma região do espaço, ou então com

velocidade (ou momento) dentro de uma certa faixa. Essa função de onda tem

uma amplitude maior nas regiões do espaço onde é mais provável encontrar a

partícula. Segundo o grande físico dinamarquês Niels Bohr (1885-1962), as

medidas de posição e momento são excludentes, e satisfazem ao princípio da

complementaridade: exigem para sua realização arranjos experimentais

diferentes, que exibem aspectos complementares do sistema observado. Além

disso, embora em cada experimento seja possível obter um certo valor da posição

(ou do momento), a repetição do experimento com as mesmas condições iniciais

(isto é, com a partícula sendo preparada da mesma maneira inicialmente) leva em

geral em cada realização a resultados diferentes, de modo que o conjunto de

experimentos deve ser descrito por uma distribuição estatística, que caracteriza

as probabilidades de obtenção dos diversos valores observados[4]. Essa

distribuição de probabilidades é obtida a partir da função de onda da partícula[5],

e constitui-se em aspecto essencial do mundo quântico: não é possível eliminar

esse comportamento probabilístico através de um conhecimento mais completo

do sistema. A função de onda de um sistema engloba tudo que se pode conhecer

sobre ele.

11

3. METODOLOGIA

Para a realização do presente trabalho foi necessário o estudo

aprofundado dos seguintes conceitos: radiação do corpo negro, efeito fotoelétrico,

efeito Compton, espectro do átomo de hidrogênio, pacotes de ondas e as

relações de incerteza[6], equação de Schrödinger [7], autofunção e auto vetor,

operadores e variáveis dinâmicas, notação de Dirac[8], oscilador harmônico,

operadores de projeção, matriz densidade[9] e técnicas de álgebra de Lie.

Análise sobre o problema da medição quântica[10] na abordagem da

decoerência, utilizando o formalismo matemático adequado.

4. INÍCIO DA MECÂNICA QUÂNTICA

4.1 Radiação do Corpo negro

A superfície de um corpo negro é um caso limite, em que toda a

energia incidente desde o exterior é absorvida, e toda a energia incidente desde o

interior é emitida.

No entanto, um corpo negro pode ser substituído com grande

aproximação por uma cavidade com uma pequena abertura. A energia radiante

incidente através da abertura, é absorvida pelas paredes em múltiplas reflexões e

somente uma mínima proporção escapa (se reflete) através da abertura.

Podemos portanto dizer, que toda a energia incidente é absorvida.

Consideremos uma cavidade cujas paredes estão a uma certa

temperatura[6]. Os átomos que compõem as paredes estão emitindo radiação

eletromagnética e ao mesmo tempo absorvem a radiação emitida por outros

átomos das paredes. Quando a radiação encerrada dentro da cavidade alcança o

equilíbrio com os átomos das paredes, a quantidade de energia que emitem os

átomos na unidade de tempo é igual a que absorvem. Em conseqüência, a

densidade de energia do campo eletromagnético existente na cavidade é

constante.

12

A cada freqüência corresponde uma densidade de energia que

depende somente da temperatura das paredes e é independente do material de

que são feitas.

Se for aberto um pequeno orifício no recipiente, parte da radiação

escapa e pode ser analisada. O orifício é visto muito brilhante quando o corpo

está a alta temperatura, e se vê completamente negro a baixas temperaturas.

Historicamente, o nascimento da Mecânica Quântica, se situa no

momento no qual Max Panck explica o mecanismo que faz com que os átomos

radiantes produzam a distribuição de energia observada. Max Planck sugeriu em

1900 que:

A radiação dentro da cavidade está em equilíbrio com os átomos das

paredes que se comportam como osciladores harmônicos de freqüência dada f .

Cada oscilador pode absorver ou emitir energia da radiação em uma quantidade

proporcional a f. Quando um oscilador absorve ou emite radiação

eletromagnética, sua energia aumenta ou diminui em uma quantidade hf .

A segunda hipótese de Planck, estabelece que a energia dos

osciladores é quantizada. A energia de um oscilador de freqüência f só pode ter

certos valores que são múltiplos inteiros de hf 1

A distribuição espectral de radiação é contínua e tem um máximo

dependente da temperatura. A distribuição espectral pode ser expressa em

termos do comprimento de onda ou da freqüência da radiação.

dfdEf / é a densidade de energia para a freqüência f da radiação contida em

uma cavidade a temperatura absoluta T. Sua unidade é(J·m-3)·s.

1

8 3

3

−=

KT

hf

f

e

f

c

h

df

dE π

onde k é a constante de Boltzmann cujo valor é k=1.3805·10-23 J/K.

λλ ddE / é a densidade de energia por unidade de comprimento de onda para o

comprimento de onda λ da radiação contida em uma cavidade a temperatura

absoluta T. Sua unidade é (J·m-3)·m-1.

λc

f = 2λλc

d

df −=

1 Onde h é a Constante de Planck h=6,62609x10-34J.s

13

1

185

−=−=

KT

hc

f

e

hc

d

df

df

dE

d

dE

λ

λ

λπ

λλ

4.2 Efeito Fotoelétrico

Enquanto Planck considerava a quantização da energia, na sua teoria

da radiação do corpo negro, como um artifício de cálculo, Einstein enunciou a

audaciosa hipótese da quantização da energia ser uma propriedade fundamental

da energia eletromagnética. Três anos mais tarde, aplicou a idéia da quantização

da energia às energias moleculares para resolver outro enigma da física, a

discrepância entre os calores específicos, calculados pelo teorema da

eqüipartição da energia, e os calores observados experimentalmente em

temperaturas baixas. Depois, as idéias da quantização da energia foram

aplicadas às energias atômicas, por Niels Bohr, na primeira tentativa de explicar

os espectros atômicos. A hipótese de Einstein sugere que a luz, ao atravessar o

espaço, não se comporta como uma onda, mas sim com uma partícula.

O efeito fotoelétrico foi descoberto por Hertz, em 1887, e estudado por

Lenard em 1900. Quando a luz incide sobre a superfície metálica limpa, no

catodo, provoca a emissão de elétrons pela superfície. Se alguns destes elétrons

atingirem o anodo, haverá uma corrente no circuito externo. O número de elétrons

emitidos que atingem o anodo, pode ser aumentado ou diminuído fazendo-se o

anodo mais positivo, ou mais negativo, em relação ao catodo. Seja V a diferença

de potencial entre o catodo e o anodo, quando V for positivo, todos os elétrons

emitidos atingem o anodo e a corrente tem o seu valor máximo.

Observa-se, experimentalmente, que um aumento extra de V não afeta

a corrente. Lenard observou que a corrente máxima era proporcional à

intensidade da luz, quando V for negativo, os elétrons são repelidos pelo anodo e

somente os elétrons que tenham as energias cinéticas iniciais2

2mv maiores que

|eV| podem atingir o anodo. Então se V for menor que –Vo, nenhum elétron

consegue chegar ao anodo. O potencial Vo é o potencial frenador o qual está

relacionado com a energia cinética máxima dos elétrons emitidos pela superfície

pela relação:

14

02

2

1eVmv

máx

=

O resultado experimental, da independência de Vo em relação à intensidade da

luz incidente, era surpreendente.

Na visão clássica, o aumento da taxa da energia luminosa incidente

sobre a superfície do catodo deveria aumentar a energia absorvida pelos elétrons

e deveria, por isso, aumentar a energia cinética máxima dos elétrons emitidos.

Em 1905, Einstein demonstrou que este resultado experimental poderia

ser explicado se a energia luminosa não fosse distribuída continuamente no

espaço, mas fosse quantizada , como pequenos pulsos, cada qual denominado

um fóton. A energia de cada fóton é hν , onde ν é a freqüência e h a constante de

Planck. Um elétron ejetado de uma superfície metálica exposta à luz, recebe a

energia necessária de um único fóton.

Quando a intensidade da luz, de uma certa freqüência(ν ), for

aumentada, maior será o número de fótons que atingirão a superfície por unidade

de tempo, porém a energia absorvida por um elétron ficará imutável. Se Ф for a

energia necessária para remover um elétron de uma superfície metálica, a

energia cinética máxima dos elétrons emitidos pela superfície será

φν −==

heVmv

máx0

2

2

1

Esta equação é conhecida como a equação do efeito fotoelétrico. A

grandeza φ é a função trabalho, característica do metal. Alguns elétrons terão

energias cinéticas menores que hν -φ em virtude da perda de energia que sofrem

ao atravessar o metal. A partir da equação do efeito fotoelétrico, podemos ver que

o coeficiente angular da reta Vo x ν deve ser igual a e

h.

Em resumo podemos ressaltar três pontos importantes da hipótese de

Einstein:

15

• A energia cinética de cada elétron não depende da intensidade da luz. Isto

significa que dobrando a intensidade da luz teremos mais elétrons

ejetados, mas as velocidades não serão modificadas.

• Quando a energia cinética de um elétron for igual a zero significa que o

elétron adquiriu energia suficiente apenas para ser arrancado do metal.

• A ausência de um lapso de tempo entre a incidência da radiação e a ejeção

do fotoelétron.

A verificação experimental da teoria de Einstein era bastante difícil.

Experiências cuidadosas de Millikan, publicadas pela primeira vez em 1914, e

depois com maior detalhe em 1916, mostraram que a equação de Einstein estava

correta e que as medidas de h concordavam com o valor encontrado por Planck.

Os fótons com as freqüências menores que o limiar fotoelétrico, e

portanto com comprimentos de onda maiores que o limiar fotoelétrico em

comprimento de onda, não tem energia suficiente para arrancar um elétron de

uma certa superfície metálica. O limiar fotoelétrico, e o comprimento de onda

correspondente podem ser relacionados à função trabalho φ , igualando-se a zero

a energia cinética máxima dos elétrons na equação de Einstein.

4.3 Efeito Compton

Seguido das descobertas de Planck e Einstein, foram feitos muitos

outros experimentos, que só poderiam ser explicados usando o comportamento

corpuscular (fótons) da luz. Um desses experimentos é o efeito Compton proposto

por A. H. Compton (1923). Compton estudou o espalhamento de raios-x

em materiais. Em seus experimentos ele mostrou que a luz espalhada tinha uma

freqüência mais baixa do que a incidente, indicando com isto uma perda de

energia no processo de espalhamento. Este fenômeno não pôde ser explicado

usando a luz como um fenômeno ondulatório. Compton explicou este fenômeno

ao estudar a colisão de elétrons com fótons, aplicando as leis de conservação de

energia e momento, obteve (Apêndice A)

=−′=∆2

20

φλλλλ sen onde 0

0

2

cm

h=λ

16

Ou seja, há variação do comprimento de onda e conseqüentemente da

freqüência, observado experimentalmente, no choque de um elétron com fóton.

Isto significa que realmente o fóton perde energia no choque. Esta energia

perdida é transformada em energia cinética usada pelo elétron.

Com isto, mostrou-se que a descrição do efeito Compton fica bem estabelecida

quando a sua interpretação é feita a partir do choque entre um fóton e um elétron,

assumindo o comportamento corpuscular da luz.

4.4 Átomo de Hidrogênio

A radiação emitida por qualquer fonte de luz pode ser estudada para

determinar que comprimento de onda ou freqüência estão presentes neste

sistema. Por exemplo, uma lâmpada incandescente exibe um espectro contínuo

de radiação. Por outro lado, muitas outras fontes de luz emitem apenas em

algumas freqüências bem definidas denominadas "linhas espectrais". Em

particular observa-se que o gás hidrogênio emite radiações em um espectro

reduzido e limitado. Antes do desenvolvimento da teoria quântica, esses

complicados espectros de linha foram tomados como evidência de uma estrutura

interna mais envolvida por átomos. Acreditava-se então que os átomos tinham

muitos modos possíveis de oscilações, como cordas de violinos ou tubos de

órgãos, e que a excitação destes modos dava origem à radiação correspondente

às suas freqüências individuais. Até 1885, 14 linhas espectrais de hidrogênio

tinham sido identificadas e seus comprimentos de onda precisamente medidos.

Johann Balmer então conseguiu achar uma expressão matemática empírica que

descreveu precisamente todos estes comprimentos de ondas conhecidos. Ele

achou que as séries observadas de comprimentos de onda espectrais poderiam

ser expressa por

Balmer:

−=22

1

2

11

nR

λ n = 3, 4, 5 .....

onde R é uma constante que agora é denominada de constante de Rydberg. Na

época o valor desta constante era de R =1,09678 x 107 m-1.

17

Em seguida outras séries espectrais foram determinas teoricamente

com base na expressão de Balmer. A primeira delas foi apresentada por Paschen

(1908) usando a relação;

Paschen

−=22

1

3

11

nR

λ n = 4, 5, 6 .....

Em seguida vieram as séries de Lyman e Brackett, as quais referiam a

região do ultravioleta e infravermelho do espectro de emissão do gás de

hidrogênio, respectivamente. Estes espectros podem ser descrito pelas equações

de Balmer modificada,

Lyman

−=22

1

1

11

nR

λ n = 2, 3, 4 .....

Brackett

−=22

1

4

11

nR

λ n = 5, 6, 7 .....

Assim determinou-se, empiricamente, que os espectros de linhas

distintos emitidos pelo hidrogênio poderiam ser ajustados pela relação de Balmer

generalizada;

−=22

111

nmR

λ n > m

onde m e n são números inteiros. Como λ é positivo, os inteiros m e n devem

satisfazer a desigualdade m < n.

Investigações do espectro de hidrogênio levaram Niels Bohr a postular

que as órbitas circulares dos elétrons fossem quantizadas, ou seja, que os seus

momentos angulares pudessem assumir apenas múltiplos inteiros de um certo

valor básico. Bohr propôs um modelo de átomo de hidrogênio, com notável

sucesso no cálculo dos comprimentos de onda das linhas do espectro conhecido

do hidrogênio e na previsão das linhas do espectro nas regiões do infravermelhos

e do ultravioleta.

O modelo de Bohr, embora deficiente sob diversos aspectos ilustra as

idéias da quantização dentro da moldura matemática mais simples da Física

Clássica. As teorias clássicas vigentes na época e usadas na descrição das

18

órbitas eletrônicas eram incapazes de explicar o espectro do átomo de hidrogênio.

Usando a idéia dos osciladores de Planck, Bohr propôs um modelo que

explicasse o espectro do átomo de hidrogênio. De acordo com Bohr, neste átomo,

só existem estados estacionários, nos quais não há irradiação, mesmo que os

elétrons estejam em movimento. A irradiação só aparece quando o átomo efetua

uma mudança de um dado estado, de energia Ek, para outro de menor energia Ej.

Matematicamente podemos equacionar esta hipótese por,

jk EEh −=ν

onde hν é o quantum de energia associado ao fóton que é emitido pelo átomo

durante a processo de emissão de luz. Para saber as freqüência permitidas, na

equação de Bohr será necessário conhecer as energias dos diversos estados

estacionários em que um átomo de hidrogênio pode existir. Esse cálculo foi

efetuado, pela primeira vez, por Bohr baseando-se em um modelo específico do

átomo de hidrogênio por ele imaginado. O modelo de Bohr teve sucesso apenas

no caso do átomo de hidrogênio, mas mesmo assim influenciou muito o

desenvolvimento posterior na Física Quântica.

Bohr supôs que o elétron do átomo de hidrogênio percorra uma órbita

circular de raio r, concêntrica com o núcleo. Admitiu, ainda, que o núcleo, que

consiste de um único próton que tenha uma massa muito superior à do elétron.

Neste caso, pode-se considerar que o centro de massa do átomo esteja na

posição do núcleo. Usando as leis de Newton, é possível escrever as equações

que relacionam o movimento do elétron em torno do núcleo e obter (Apêndice B)

2220

2 1

8

)(

nh

qemE

∈−=

Seja por exemplo dois níveis eletrônicos k e j, sendo j superior a k,

então a diferença de energia para ir de j até k deve ser emitida pelo átomo na

forma de luz cuja freqüência pode ser determinada calculando a diferença de

energia entre os dois níveis, como a seguir

−

∈=

−

∈−=−

22220

2

22220

2 11

8

)(11

8

)(

jkh

qem

kjh

qemEE kj

se k = 1 e j = 2, tem-se que

19

νhh

qem

h

qemEE =

∈=

−∈

=−22

0

2

22220

2

12 32

)(3

2

1

1

1

8

)(

A freqüência da radiação associada no processo de transição destes

níveis é

320

2

32

)(3

h

qemkj ∈

=→ν

Analisando a equação para a diferença de energia, nota-se que para

níveis altos ou n grande, o espaçamento entre eles passa a ser quase um

contínuo. Este limite seria, em princípio, um dos limites entre a teorias clássica e

quântica. Pode-se mostrar matematicamente, usando a equação para diferença

de energia, que para n no infinito é obtido um contínuo na separação entre os

níveis.

5. A TEORIA QUÂNTICA

5.1 Dualidade onda-partícula

Bohr ao elaborar seu modelo para explicar as linhas espectrais foi

obrigado a impor determinadas restrições ao movimento do elétron em torno do

núcleo. Para de Broglie, tais restrições eram mais do que sintomas para a

necessidade de uma nova concepção do comportamento da natureza. Segundo

ele, a natureza essencialmente descontínua da quantização, expressa pelo

surgimento de números quânticos inteiros, apresentava um estranho contraste

com a natureza contínua dos movimentos suportados pela dinâmica newtoniana e

mesmo pela dinâmica einsteiniana. Portanto, seria necessário uma nova

mecânica onde as idéias quânticas ocupassem um lugar de base, e não fossem

acessoriamente postuladas, como na antiga teoria quântica.

Um aspecto que chamou a atenção de de Broglie, foi o fato de que as

regras de quantização envolviam números inteiros. Ora, sabia-se, desde muito

tempo, que os números inteiros eram fundamentais em todos os ramos da física

onde fenômenos ondulatórios estavam presentes: elasticidade, acústica e ótica.

Eles são necessários para explicar a existência de ondas estacionárias, de

interferência e de ressonância. Seria, portanto, permitido pensar que a

20

interpretação das condições de quantização conduziriam à introdução de um

aspecto ondulatório no comportamento dos elétrons atômicos. Dever-se-ia fazer

um esforço para atribuir ao elétron, e mais geralmente a todos os corpúsculos,

uma natureza dualística análoga àquela do fóton, para dotá-los de um aspecto

ondulatório e de um aspecto corpuscular interligados pelo quantum de ação (a

constante de Planck).

Para chegar à sua relação fundamental, de Broglie na espectativa

intuitiva de que a natureza é simétrica, afirmou que a equação para o

comprimento de onda de um fóton é

p

h=λ e para a energia é νhE =

São estas formulas gerais, aplicada tanto a partículas materiais como a fotons. O

momento de uma partícula de massa m e velocidade v é dado por

mvp = , onde 0mm γ= e

2

2

1

1

c

v−=γ

Conseqüentemente o comprimento de onda de de Broglie é

mv

h=λ e a velocidade de onda de de Broglie será então λν=V

Dado que h

E=ν e 2mcE =

então cv

cV >>=

2

!!!

Acontece que a onda associada à partícula móvel corresponde a um

pacote de onda (Apêndice C), cuja velocidade é dada por dk

dwV = , ou seja, o

grupo de onda de de Broglie associado ao corpo desloca-se com a mesma

velocidade do corpo.

O valor extremamente pequeno da constante h explica porque o

aspecto ondulatório da matéria é muito difícil de ser observado.

A hipótese de de Broglie foi comprovada em 1927 (3 anos após a data

em que de Broglie fez sua proposta), por Davisson e Germer ao estudarem a

natureza da superfície de um cristal de Níquel. Eles perceberam que ao incidirem

21

um feixe de elétrons (partículas) contra a superfície do crista, ao invés de haver

reflexão difusa, houve uma reflexão similar à observada na incidência de raios X.

A incidência de raios X num cristal geram uma forte reflexão a certo

ângulo de tal maneira que haja interferência construtiva e um reforço seja

perceptível. Analisando os ângulos nos quais isso aconteciam para o Raio X e os

ângulos nos quais isso aconteciam para os elétrons, percebeu-se que nessas

situações os elétrons possuíam o exato comprimento de onda proposto por de

Broglie.

5.2 Princípio da Incerteza de Heisenberg

O Princípio da Incerteza marca o rompimento definitivo com a “velha”

mecânica quântica que tentou preservar a mecânica clássica. Ela foi formulada

inicialmente em 1927 por Werner Heisenberg, impondo restrições à precisão com

que se podem efetuar medidas simultâneas de uma classe de pares de

observáveis. O produto da incerteza associada ao valor de uma coordenada xi e a

incerteza associada ao seu correspondente momento linear pi não pode ser

inferior, em grandeza, à constante de Planck normalizada. Em termos

matemáticos, exprime-se assim:

)1(

2h≥∆∆ ii px

Quando se quer encontrar a posição de um elétron, por exemplo, é

necessário fazê-lo interagir com algum instrumento de medida, direta ou

indiretamente. Por exemplo, faz-se incidir sobre ele algum tipo de radiação. Tanto

faz aqui que se considere a radiação do modo clássico - constituída por ondas

eletromagnéticas - ou do modo quântico - constituída por fótons. Quando se quer

determinar a posição do elétron, é necessário que a radiação tenha comprimento

de onda da ordem da incerteza com que se quer determinar a posição.

Neste caso, quanto menor for o comprimento de onda (maior

freqüência) maior é a precisão. Contudo, maior será a energia cedida pela

radiação (onda ou fóton) em virtude da relação de Planck entre energia e

freqüência da radiação νhE = o elétron então sofrerá um recuo tanto maior

22

quanto maior for essa energia, em virtude do efeito Compton. Como

conseqüência, a velocidade sofrerá uma alteração não de todo previsível, ao

contrário do que afirmaria a mecânica clássica.

Argumentos análogos poderiam ser usados para se demonstrar que ao

se medir a velocidade com precisão, alterar-se-ia a posição de modo não

totalmente previsível.

Pode-se dizer que tudo se passa de forma que quanto mais

precisamente se medir uma grandeza, forçosamente mais será imprecisa a

medida da grandeza correspondente, chamada de canonicamente conjugada[4].

Expressando o princípio da incerteza na notação de operadores (Apêndice D),

temos:

[ ] hipx =,

Quando dois operadores possuem a mesma auto função, então eles

comutam.

Fazendo o comutador do momento linear com a energia cinética, é obtido o

seguinte resultado:

[ ħ/i d/dx, -ħ2/2m d2/dx2]

[ ħ/i d/dx, -ħ2/2m d2/dx2] f = - ħ3/2mi ·(d/dx d2/dx2 - d2/dx2 d/dx) f

= - ħ3/2mi (f ''' - f ''') = 0

Logo, conclui-se que o operador linear p comuta com o operador da

energia cinética m

p

2

2

. Ou seja, ao medirmos o momento linear de uma partícula é

possível obter informações precisas sobre sua energia cinética.

5.3 Equação de Schrödinger

Nos itens anteriores foi mostrado a necessidade de se construir uma

nova mecânica para os sistemas atômicos e moleculares, para os quais a teoria

de Newton ou mecânica Newtoniana não se aplicava. Devido a fatos tais como, a

quantização da radiação emitida por um corpo negro, a quantização do átomo de

Bohr, a dualidade onda corpúsculo tanto para a luz quanto para o elétron, assim

como o princípio da incerteza de Heisenberg a nova mecânica deveria ter uma

formulação compatível com estes fatos. A primeira formulação para esta nova

teoria foi proposta pelo físico austríaco Erwin Schrödinger em 1926. De acordo

23

com Schrödinger devido a dualidade onda-corpúsculo da matéria, mesmo que

uma partícula se mova em uma trajetória definida ela estará distribuída em todo o

espaço como uma onda. Neste sentido, uma onda na nova mecânica (mecânica

quântica) elimina o conceito de trajetória da mecânica clássica, sendo

representada por uma função denominada função de onda, ψ (psi).

Nesta mesma época Schrödinger propôs uma equação diferencial, nas

coordenadas espaciais e no tempo cuja solução era a função de onda. Esta

equação ficou conhecida como equação de Schrödinger.

),()],(2

[),(2

22

txtxVxm

txdt

di ψψ +

∂∂−= h

h

Esta é a equação de Schrödinger dependente do tempo em uma

dimensão (Apêndice E).

A mecânica quântica tem como base à solução da equação de

Schrödinger que é uma equação diferencial nas coordenadas espaciais e

temporal [7]. As grandezas físicas observáveis são representadas, nesta nova

teoria, por operadores que são entes matemáticos abstratos. Para tornar este

procedimento abstrato um pouco mais concreto, é necessário aplicá-lo dentro das

novas regras da mecânica quântica, no sentido de obter as grandezas físicas

realmente observáveis.

Este procedimento pode ser resumido pela seguinte definição: Define-

se como observável (O) toda grandeza real que podem ser medida em laboratório

e, dentro da nova teoria quântica, é representada por operador, tal como;

xx =ˆ dx

d

ipx

h=ˆ dt

d

iE

h−=

que representam a posição da partícula no eixo x, o seu momento linear e a sua

energia dependente do tempo, respectivamente. Estes operadores terão

realização física quando aplicados na função de onda, o que nos leva a concluir

que o observável posição opera apenas aplicando o operador x sobre a função

de onda, enquanto os outros dois, momento e energia, são obtidos por derivadas

da função de onda.

24

5.3.1 Autovalores e autofunções

Para extrair informações sobre um dado sistema quântico é necessário

resolver a equação de Schrödinger, cuja solução é uma função de onda (ψ).

Neste sentido se diz que ψ é uma autofunção do operador Hamiltoniano H , isto

é, satisfaz a equação

ψψ EH =ˆ

onde E é a energia que é o autovalor do operador H . Resumidamente, diz-se

que a equação de Schrödinger é uma equação de autovalor da forma;

(operador)(função) = (fator constante) x (a mesma função)

ou simbolicamente,

ψψ oO =ˆ

onde o fator constante o é o autovalor do operador. Desta forma, podemos dizer

que: resolver a equação de Schrödinger é encontrar os autovalores e autofunções

do operador hamiltoniano do sistema. Os autovalores de um dado operador

representam os valores das grandezas físicas observáveis permitidos.

Temos assim que a função ikxAe=ψ é uma autofunção do operador momento

linear ( p ) e que a função 2ikxAe=ψ não é autofunção de p . (Apêndice F)

Então, na prática, em mecânica quântica, procura-se sempre por

funções que são autofunções de um dado operador, especialmente do operador

hamiltoniano usado para se calcular a energia, isto é

(operador hamiltoniano) (função de onda) = (energia) x (a mesma função de onda)

Este procedimento é aplicável a qualquer observável física. Isto

significa que os autovalores de um dado operador devem ser reais, caso contrário

eles não representarão observáveis que possam ser medidas em laboratório.

Em resumo, as autofunções de um dado operador geram sempre

autovalores reais e, portanto são observáveis físicas.

25

5.3.2 Superposição de estados

É fácil verificar que a função de onda kxAcos2=ψ é uma solução da

equação de Schrödinger e autofunção do operador energia, isto é;

ψψψm

kkxA

dx

d

dx

d

mkxA

dx

d

mdx

d

mH

2)]cos2([

2)cos2(

22ˆ

222

2

22

2

22hhhh =−=−=−=

ou m

kE

2

22h=

Agora será verificado se esta função de onda é também autofunção do

operador momento p . Para isto, basta aplicar o operador p em ψ , isto é;

Asenkxi

kkxA

dx

d

idx

d

ip

hhh 2)cos2(ˆ −=== ψψ

Claramente percebe-se que esta expressão não é uma equação de

autovalor para o operador p, por que a função de onda do lado direito é diferente

da função do lado esquerdo. Com isto, conclui-se que nem todas as funções que

são soluções da equação de Schrödinger e são autofunções da energia são

autofunções do momento linear.

Analisando o seguinte caso:

Por definição de funções trigonométricas complexas temos que:

isenkxkxeikx += cos isenkxkxe ikx −=− cos

Somando estas duas equações tira-se que o cosseno pode ser escrito

como uma combinação de funções exponenciais complexas, isto é;

kxee ikxikx cos2=+ −

Com este resultado se pode reescrever a função de onda do caso

anterior da seguinte forma,

21)(cos2 ψψψ +=+== −ikxikx eeAkxA

Agora se esta função é autofunção do operador momento.

ikxikxikxikx Aedx

d

iAe

dx

d

ieeA

dx

d

idx

d

ip −− +=+== hhhh

)(ˆψψ

ou

2211ˆ Ψ+=−=−= −− ppAekAekikAei

ikAei

p ikxikxikxikx ψψ hhhh

26

onde hkp +=1 e hkp −=2 são os valores do momento da partícula nas

direções +x em –x, respectivamente.

Este é um resultado bastante interessante que leva a seguinte

conclusão:

Quando a função de onda de uma partícula não é uma autofunção de

um dado operador, a propriedade que corresponde ao operador não tem valor

definido.

Contudo, no exemplo em questão, o momento não está completamente

indefinido porque a função cosseno pode ser escrita como uma combinação linear

de funções que são autofunções do operador p , isto é, uma soma de

funções ikxe=1ψ e ikxe−=2ψ as quais são individualmente autofunção de p

com estados bem definidos. Isto leva a pensar que a função de onda, no seu

caso mais geral, pode ser expressa por uma combinação linear de autofunções

dos operadores, isto é

∑=++=n

nnccc ψψψψ ...2211

onde cn são coeficientes numéricos e nψ corresponde aos diferentes estados do

momento ou valores que ele pode assumir. Neste caso, a probabilidade de medir

o observável em um particular estado ou autovetor é dada pelo quadrado do

módulo dos coeficientes 2

kc .

5.4 Espaço de Hilbert

Na Mecânica Quântica, o estado de uma partícula é representado

matematicamente por um vetor num espaço vetorial complexo, chamado espaço

de Hilbert (H). Será usada aqui a notação de Dirac: ket: Ig> = g(x); bra: <f I = f*(x);

braket: <f I g> = ∫f*g dx.

As operações no espaço de Hilbert seguem determinadas regras.

(Apêndice G)

27

5.5 Operadores

5.5.1 Operadores hermitianos

São três as propriedades dos operadores hermitianos que são de

máxima importância:

1.Os operadores hermitianos possuem autovalores reais.

2. As autofunções de um operador hermitiano são, ou podem ser

escolhidas de tal forma que sejam ortogonais.

3. As autofunções de um operador linear hermitiano formam um

conjunto completo e ortogonal de funções.

Um operador O é hermitiano se para todo par de funções f e g se

cumpre a igualdade ∫ ∫= gdvOfdvOgf *)()(* .

Na notação de Dirac: gOfgOfgOf ==

Diz-se que O+ é um operador adjunto de O quando se verifica que

gfOgOf +=

Quando O+ = O, diz-se que o operador é autoadjunto ou hermitiano.

Na Mecânica Quântica todos os operadores que representam

grandezas físicas são hermitianos, o que nos possibilita realizar medidas de

observáveis em laboratório, porem respeitando o princípio da incerteza de

Heisenberg.

Demonstração de que a hamiltoniana é hemitiana

Se ψ0 é normalizada 12 =∫ ψdq

dqdt

d

dt

ddq

dt

ddq

dt

d∫ ∫∫

+=== ψψψψψψψ **

*0 2

Substituindo a equação de Schrödinger

)(2

)()( tt

hittH ψ

πψ

∂∂=

( ))(0 ∫ ∫+++ −= ψψψψ HdqHdqi

( )∫ ∫−= + ψψψψ HdqHdqi *)(*0

28

ψψ )(*(0 HHh

i −= +

+= HH , H é hermitiano, ou seja, podemos medir a energia de uma partícula!

5.5.2 Representação matricial de um operador

Seja Ô um operador linear num espaço vetorial ε e uma base }{ Kê de

dimensão n, isto é, com K= 1,2,3...,n. Se aplicarmos Ô a um elemento da base

teremos um novo vetor do espaço, que pode ser expandido na base dada. Esta

expansão é escrita:

∑=

=n

jjjii eOeÔ

1

rr

Onde os jiO são números complexos, denominados elementos de matriz de Ô na

base }{ Kê .

Seja um vetor qualquer de ε, tal que,

∑=

=n

iiievv

1

rr , então

{ { ∑∑∑∑∑== ===

=

⇒===

n

ijii

j

n

ii

n

jjjii

n

i subst

ii

n

iii

subst

OvvÔveÔveÔvevÔvÔ11 11 .1.

rrrrr

De posse dos elementos da matriz Ô é possível determinar a ação

deste operador sobre qualquer vetor. Assim, escolhida uma base, o operador

pode ser substituído pelo conjunto de seus elementos de matriz. Se

representarmos os vetores por matrizes coluna cujos elementos são as suas

componentes, podemos representar assim

=

nnnnn

n

n

v

v

v

OOO

OOO

OOO

vÔ...

...

............

...

...

2

1

21

22221

11211

r

A matriz que representa um operador hermitiano é hermitiana, logo

29

+≡==⇒= ÔÔÔÔOO Tnmmn

T ***

Seja

Kf^

uma outra base, então

( )∑=

=n

jjijfi fOfÔ

1

rr

As matrizes Of e Oe são ditas equivalentes pois representam o mesmo

operador em bases distintas {f} e {e} respectivamente.

5.5.3 Relação da completeza

Quando um operador atua sobre um ket, produz outro ket

φψ Ô=

Uma base no espaço de Hilbert é constituída por um conjunto completo

de kets { }ie ortonormais onde para índices discretos escrevemos ijji ee δ= .

Um ket arbitrário ψ pode ser expandido em termos da base { }ie na forma:

∑=k

kk ecψ

Para acharmos os coeficientes da expansão, multiplicamos por ne

obtendo

∑=k

knkn eece ψ .

Fazendo uso da ortonormalidade da base

ψδψ kknk

nkkk

knkn eccceece =⇒=== ∑∑

Substituindo na expansão

ψψψ ∑ ∑∑

===k k

kkkkk

kk eeeeec

⇒=∑ 1k

kk ee Relação de completeza

30

5.5.4 Operador unitário

Os operadores unitários são a generalização dos operadores

ortogonais num espaço complexo de qualquer dimensão, inclusive infinita. Eles

satisfazem a condição

+− == ÛÛÛ T*1 ,com isto == ++ UUUU І

Propriedades do operador unitário

Um operador unitário ao atuar sobre um vetor, não altera o produto escalar nem a

norma. Seja

ψψ Û=~ e φφ Û=~, então

{ φφφφφψφψφψ =⇒===

+ ~~~~1

ÛÛ

2) O operador unitário transforma os vetores de uma base ortonormal

{ }n em outra base também ortonormal nÛn =~ mantendo a relação da

completeza.

3) A representação de um operador na nova representação será:

( ) +++ =⇒=== ∑∑∑ ÛÔÛÔÛmnOÛÛmnÛOmnOÕ

Ô

mnmnmn

~~~44 344 21

4) A transformação unitária não altera os autovalores de um operador.

5) Se nnn uuuÛ = então nnnnnn uuuuuÛÛu *1===+

Logo ni

n eu α= , αn real

Isto sugere escrever o operador unitário na forma

*1 iÂi eÛÛeÛ −+− ==⇒=

5.6 Oscilador harmônico

O estudo do oscilador harmônico para sistemas microscópicos é

igualmente importante ao estudo de sistemas oscilatórios macroscópicos. Em

particular o movimento vibracional de dois átomos numa molécula diatômica é

bem representado por um oscilador harmônico. A análise do oscilador harmônico

em mecânica quântica envolve a determinação das soluções da equação de

31

Schrödinger para uma partícula de massa m e coordenada x movendo-se numa

região onde a energia potencial V(x) tem a forma do oscilador harmônico da pela

equação;

( )2

2xCxV =

Energia potencial do oscilador esboçada em função do

deslocamento das partículas[9].

No caso macroscópico, a constante C define a dureza da mola do

oscilador. Num sistema macroscópico a “mola” pode envolver forças elétricas ou

nucleares, cuja “dureza” pode ser expressa pelo valor da constante C. Mas, como

a equação de Schrödinger envolve a energia potencial do sistema, e não a força

agindo sobre a partícula, é melhor pensar em C como uma constante que

descreve quão bruscamente a energia potencial do sistema aumenta do seu valor

de referência V = 0 na posição de equilíbrio x = 0, à medida que a partícula se

afasta do ponto de equilíbrio.

O oscilador harmônico unidimensional de massa m e constante de

mola C é regido pela Lagrangiana

22

2

1

2

1, CxxmxxL −=

••

onde x é a posição da partícula. O momento canonicamente conjugado a x é

32

•

•=

∂

∂= xmx

Lp .

O hamiltoniano do oscilador pode ser escrito como (Apêndice H)

+=2

1NwH h , onde N=a+a, é o operador número.

Definem-se os operadores a e a+ na forma

( )pixa +=2

1 ( )pixa −=+

2

1

Podemos assim obter as relações de comutação entre H e os operadores a e a+

[ ] waaH h−=, [ ] ++ = waaH h,

Se φ é um autovetor de H com energia E, então a+ φ e a φ são

autovetores de H com energias wE h+ e wE h− , respectivamente, pois

[ ] ( ) φφφφ ++++ +=⇒= awEHawaaH hh,

[ ] ( ) φφφφ awEHawaaH hh −=⇒=,

Logo, a aniquila um quantum de energia wh e a+ cria o mesmo quantum.

O espectro de N é formado por inteiros não negativos.

Conseqüentemente, os níveis de energia são discretos e dados por

+=2

1nwEn h n=(0,1,2,...)

A menor energia permitida é a chamada energia de ponto zero

wE h2

10 =

33

O estado fundamental, denotado por 0 , é tal que 00 =a pois o operador a não

pode criar níveis com energia menor do que E0.

A atuação dos operadores de criação e aniquilação sobre os auto-estados do

oscilador harmônico é dada por

1−= nnna 11 ++=+ nnna

Assim, o n-ésimo estado excitado é construído a partir do estado fundamental,

aplicando-se o operador de criação n vezes sobre o estado fundamental

( ) 0!

1 na

nn += onde

!

1

né a constante de normalização.

Pode-se demonstrar que a função de onda do estado n é dada por

( ) ( )2

2

1x

mw

nn exHnxx h−

==φ

onde Hn(x) é o polinômio de Hermite de ordem n.

5.7 Quantização do campo eletromagnético

Em uma cavidade refletora, podem existir infinitos modos normais de

vibração das ondas estacionárias e o campo eletromagnético pode ser expandido

em termos desses modos.

Cada termo da expansão obedece as equações diferenciais de

osciladores harmônicos, cada um vibrando com a mesma freqüência do modo

normal da cavidade.

O campo eletromagnético escrito em termos do potencial vetor A(r,t) é

dado por

ABrrr

×∇=

34

Escolhendo um potencial vetor A de modo que 0=⋅∇ A (calibre de

Coulomb). Na ausência de carga V = 0, podemos escrever

t

AE

∂∂−=

E ainda que o potencial vetor A(r,t)

satisfaz a uma equação de onda

2

2

22 )(1

),(t

rA

ctrA

∂∂=∇

A expansão em série de Fourier do campo será realizada em termos de

um conjunto discreto de funções, os modos normais, ortogonais Uk(r), isto é

( ) ( )rutctrA kkk k∑

∞

=

=

0 02

1),(

εωh

Onde os coeficientes ck se tornarão operadores quando o campo for quantizado,

satisfazendo regras de comutação específicas.

Essa equação tem solução do tipo ( ) tik

tikk

kk ebeatc ωω += −.

Da equação acima podemos verificar que *)( kk uru −= e que estas funções

formam um conjunto completo, ou seja,

∫ =−v kkkk drruru ´)()( ´* δ

É verificado que cada modo de k satisfaz as equações

)()(2

22 ru

c

wru k

kk ±=∇ )(2

2

2

tcwdt

cdkk

k ±=

Com ωk representando a freqüência de cada modo do campo

eletromagnético.

Desta forma, o campo pode ser escrito como

[ ]tiwkk

tiwkk

k k

kk eruaeruaw

B )()(2

1 **

0 0

×∇+×∇

= −

∞

=∑ ε

h

A quantização do campo é feita substituindo ak e a*k por operadores

mutuamente adjuntos ak e a+k.

35

Uma vez que os fótons são bósons, as relações de comutação

apropriadas para tais operadores são dadas por

[ ] [ ] 0,, ´´ == ++kkkk aaaa [ ] ´´,

kkkk aa δ=++

O Hamiltoniano do campo eletromagnético substituindo os operadores e utilizando

na forma quantizada é

∑∞

+

+=k

kkk aawH2

1h

Portanto, o campo eletromagnético é equivalente a um conjunto de

osciladores harmônicos independentes.

5.7.1 Estado de Fock

Os estados de Fock formam uma base completa para o espaço de

estados do campo. Se nos limitamos, por simplicidade, a um sistema com um só

tipo de partícula e um só modo, um estado de Fock [11] representa-se por |n>,

onde n é um valor inteiro. Isto significa que existem n quanta de excitação nesse

modo. Assim, |0> corresponde ao estado fundamental (sem excitação), ou estado

que representa o vazio quântico (isto é diferente de 0, que é o vetor nulo que não

é um estado possível do sistema por não ser um vetor unitário - ver mais abaixo).

Os estados de Fock formam a forma mais conveniente de base do espaço de

Fock.

11 ++=+ nnna 1−= nnna

( ) 0!

1 na

nn +=

onde a é o operador de aniquilação e a+ o de criação.

Os estados de número são, por definição, autoestados do operador

número de fótons N= a†a. Se aplicarmos este operador a um estado de número

como n que satisfaça as relações acima pode-se comprovar que:

( ) ( ) nnnnnnannnanaanaa =+−=−=−== ++++ 1111

isto permite comprovar que naa =+ , de fato os estados de Fock são

autovetores do operador número de partículas e, por tanto, (a†a)=0. Isto implica

36

que a medida do número de partículas N = a†a num estado de Fock sempre

resulta num valor definido, sem flutuações. A variável canonicamente conjugada

ao operador número é a fase, assim, uma completa definição no número de

fótons implica em uma completa indefinição na fase do campo associado.

5.7.2 Estados coerentes

Introduzido por Glauber [12][13] e Sudarshan [14], os estados

coerentes possuem o número de fótons indefinido, mas, uma fase razoavelmente

definida. Estes estados são definidos como auto-estados do operador de

aniquilação de fótons, isto é

αα=αâ *αα=α +â

Como â não é hermiteano, o autovalor a é um número complexo, iqeα=a .

O estado coerente do oscilador pode ser expresso em termos do

operador deslocamento de Glauber D(a) atuando no vácuo

0)(αα D= onde ( )aaeD*

)( ααα −+

=

Usando a formula de Zassenhaus para operadores dada por:

[ ]

nCB,A2

1BABA eeeee

ˆˆˆˆˆˆˆ

L−+ = onde Cn constitui uma soma de produtos de

comutadores de n-ésimo grau, tomando += aA α e ⇒α−= aB *

[ ][ ] [ ][ ] 0,,,, == BABBAA

concluímos que aa eeeD

*2

2

1

)( αααα −− +

=

Assim

37

( )( )

( )

( )∑

α=

=∑α−=

==α=α

∞

=

+α

αα

+α−

∞

=

αα

α−αα

++

+

0

2

2

1-

a

2

2

1-

1

0

a

2

2

1-

aa

2

2

1-

0e

0ee0ee

0eee0 D

n

n

n

n*

*

n!n!

n!*

43421

43421L

n

n

a

a

a

nn

e0

2

2

1-

∑α=α

∞

=

α

n n!

Calculando αβ iremos obter:

( )

2

2

0n

2

2

1-

2

2

1-

0n,

2

2

1-

2

2

1-

0n,

2

2

1-

2

2

1-

0n,

2

2

1-

2

2

1-

22

n! ee

!

n!ee

!

n!ee

!

n!ee

−+−

∞

=

∗

∗∞

=

∗∞

=

∗∞

=

∗

∗

=⇒

=

==

=

∑

∑∑

∑

αβ

βα

βαβα

βα

βα

αβ

αβ

αβ

δβαβα

βααβ

e

mnm

m

mm

n

e

n

mn

m

m

nm

m

n

m

m

n

43421

5.8 Operador densidade

O operador densidade [15] é usado para indicar que nosso

conhecimento é incompleto devido às imperfeições na preparação dos estados

(estados mistos), ou devido a nossa impossibilidade do conhecimento completo

do estado quântico do sistema (por vezes só temos acesso a uma parte do

sistema total). Quando conhecemos o vetor de estado do sistema, este é descrito

por um estado puro. Por exemplo:

2211 ψαψαψ +=

38

ψ pode exibir efeitos de interferência (termos cruzados)

( )( )22112*21

*1 ψαψαψαψαψψ ++=

121*2212

*1

2

2

2

2

2

1

2

1 ψψααψψααψαψα +++=

Neste caso ψ , descrito pela equação, 2211 ψαψαψ += , está numa

superposição coerente dos estados 1ψ e 2ψ .

Existem situações nas quais não se sabe em que estado o sistema se

encontra, há apenas uma probabilidade p do sistema ser encontrado no estado

ψ . Mais precisamente, supondo que um sistema quântico esteja em algum

estado iψ de um conjunto de estados, com respectiva probabilidade ip . Desta

maneira { }1, ψip é um conjunto de estados puros. O operador densidade

ρ para o sistema é definido como:

∑=i

iiip ψψρ

onde 10 ≤≤ ip como esperado para os pesos probabilísticos.

Por exemplo, se a evolução de um sistema quântico fechado é descrita

pelo operador unitário U e se o sistema estava inicialmente no estado iψ com

probabilidade ip , então, após a evolução ter ocorrido o sistema estará no estado

iU ψ , com probabilidade ip . Assim a evolução do operador densidade é

descrito pela equação:

++ == ∑∑ → UUUUppi

iiii

U

iii ρψψψψρ

Medições são descritas facilmente na linguagem do operador

densidade. Ao efetuarmos uma medição descrita pelo operador de medição mM ,

se o estado inicial era iψ , então a probabilidade de ter o resultado m é:

( ) ( )iimmimmi MMtrMMimp ψψψψ ++ ==

Pela lei da probabilidade total, a probabilidade de obter o resultado m é:

39

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ++ ===i i

mmiimmii MMtrMMtrppimpmp ρψψ

Qual é o operador densidade do sistema depois de obter o resultado m

de uma medição? Se o estado inicial era iψ então o estado final é:

immi

immi

MM

M

ψψ

ψψ

+=

Assim, após a medição que leva ao resultado m temos um conjunto de

estados miψ com respectivas probabilidade ( )mip . O operador densidade

correspondente mρ é:

( ) ( )∑∑ +

+

==i immi

miim

i

mi

mim

MM

MMmipmip

ψψ

ψψψψρ

Mas pela teoria elementar da probabilidade,

( ) ( )( )

( )( )mp

pimp

mp

impmip i== ,

Substituindo as equações acima obtemos:

( ) ( )ρρ

ρψψ

ρmm

mm

i mm

miimim

MMtr

MM

MMtr

MMp +

+

+

+

==∑

O sistema quântico cujo estado ψ é conhecido exatamente, é dito

ser um estado puro. Nesse caso, o operador densidade é simplesmente

ψψρ = . Se não, ρ está num estado de mistura, isto é, está em uma mistura

dos diferentes estado puros do conjunto para ρ .

Qualquer operador densidade ρ satisfaz as seguintes propriedades:

ρ é hermitiano

ρψψψψρ ==

= ∑∑+

+

iiii

iiii pp

ρ é um operador positivo semidefinido, isto é,

∑∑∑ ≥==

=i

iii

iiiii

iiiiii ppp 02ψψψψψψψψψψψρψ

40

( ) 1=ρtr

Esta prova segue do fato de que as probabilidades são normalizadas.

Isto é: 1=∑i

ip

Então podemos ver que:

( ) } } ∑∑∑ == ==

ii

iiii

iiii ptrpptrtr 1ψψψψρ

Algumas propriedades podem ser derivadas desse teorema:

ρρ =2 se e somente se ρ é um estado puro.

Todos os autovalores de ρ estão no intervalo [ ]0,1 .

O cálculo do valor esperado de um operador A é dado por:

}{ { }ρψψψψ AtrpAtrAtrpAi

iiii

iii =

== ∑∑

Se derivarmos o operador densidade em relação ao tempo obtemos:

∑

+=•••

iiiiiip ψψψψρ

A equação de Schrödinger para o estado iψ é dada por: ii H

i ψψh

−=•

,

com isto obtemos a equação de movimento para a matriz densidade

( ) ( )[ ]tHi

t ρρ ,h

−=•

Definindo o superoperador linear de Liouville

[ ] H, •−=•h

iL teremos

dt

d ρρL=

Conhecida como equação de Von Newmann, sendo mais geral que a

equação de Schrödinger, pois utiliza o operador densidade ao invés de um vetor

de estado específico iψ . Assim podemos obter informações estatísticas da

mecânica quântica envolvida no sistema.

5.9 Evolução temporal de um sistema quântico

A evolução temporal de um sistema pode ser escrita na representação

de Schrödinger, onde os vetores de estado evoluem no espaço de Hilbert, ou na

41

representação de Heisenberg quando assumimos que o operador evolui no

espaço de Hilbert. Estes dois aspectos podem ser observados na equação

abaixo, onde Ô não depende explicitamente do tempo

[ ] nHOmi

nOm ˆ,ˆ1ˆdt

d

h=

Obtida a partir da evolução temporal dos elementos de matriz

Omn=<m|Ô|n> de um operador quântico arbitrário Ô:

+

+∂∂= n

dt

dOmnOm

dt

dnO

tmnOm

dt

d ˆˆˆˆ

Para um estado genérico |n> a equação de Schrödinger na notação de

Dirac é dada por:

ˆ nHndt

di =h e seu hermitiano conjugado é H

dt

di ˆmm- =h

Substituindo os termos acima a equação fica

[ ]nHOmi

nOt

mnOm ˆ,ˆ1ˆˆdt

d

h+

∂∂=

Podemos notar que a matriz que representa qualquer variável dinâmica

na representação da energia, ou seja em termos dos autovalores do hamiltoniano

H|n>=En|n>,terá os elementos da diagonal constante e fora dela os elementos

oscilam com a freqüência de Bohr.

Seja a matriz do operador Ô representada na base |ne>, dos

autovalores de energia, ene nEne

=H , substituindo teremos:

[ ]

( )⇓

=−=

−=

−=

=

.nˆmnˆmEE1

nˆEm1

nEˆm1

nˆˆm1

nˆˆm1

n ˆ,ˆm1

nˆmdt

d

eenmeemn

emeene

eeee

eeee

eeee

ee

OiOi

Oi

Oi

OHi

HOi

HOi

O

ωh

hh

hh

h

( ) tee

emeneconstnˆmωi

O−=

Se tomarmos os elementos da diagonal ,me=ne, então

42

ctenˆn ee =O

Dirac introduziu uma representação intermediária as duas anteriores,

que chamou de representação de interação, na qual o vetor de estado evolui

devido apenas a presença das interações. Seja o hamiltoniano do sistema dado

por: H=H0+Hint onde H0 é o hamiltoniano das partículas (ou campos) livres e Hint é

o hamiltoniano de interação entre elas. Para tanto é necessário construir uma

transformação unitária Û(t) definida em termos do hamiltoniano livre e com ela

passaremos da descrição de Schrödinger para a descrição de interação. Então:

(t)ˆSI U ψψ = onde

h

t

U0H

ie(t)ˆ =

Substituindo na equação de Schorödinger

( ) ( )

∂∂

+

∂∂=

∂∂

=∂

∂⇒+=

∂∂

t(t)ˆ

t

(t)ˆ

t

(t)ˆ

tˆˆ

ti nt0

SS

SISi

S iUU

iU

iiHHψ

ψψψ

ψψ

hhhhh

( )

SiSI

SiS

HUHU

HHUU

I

ψψψ

ψψψ

nt00

nt00

ˆ(t)ˆˆ(t)ˆH

ˆˆ(t)ˆ(t)ˆH

++−=

++−=43421

Como 1,(t)ˆ(t)ˆ(t)ˆ(t)ˆ e (t)ˆˆˆ(t)ˆ00 === ++ UUUUUHHU então

4342143421h

II

SiSII UUHUUHi

ψψ

ψψψψ

(t)ˆ(t)ˆˆ(t)ˆ(t)ˆˆHt nt00

+++−=∂

∂

( ) ˆt nt IIiI Hi ψ

ψ=

∂∂

h ,onde ( ) (t)ˆˆ(t)ˆ ˆntnt

+= UHUH iIi

O vetor de estado na descrição de interação evolui devido apenas a

interação dos subsistemas.

Por outro lado se ÔS representa um operador arbitrário na descrição de

Schrödinger, na descrição de interação terá a forma ÔI=Û(t)ÔSÛ+(t).

( ) ( ) ( )

[ ]0

0

ˆˆ

0

ˆ,ˆ ˆ

ˆ(t)ˆˆ(t)ˆ(t)ˆˆ(t)ˆˆ-

(t)ˆˆ(t)ˆ(t)ˆˆ(t)ˆ(t)ˆˆ(t)ˆˆ

HOdt

Odi

HUOUUOUH

dt

UdOUiUO

dt

Udi

dt

UOUdi

dt

Odi

II

O

S

O

S

SSSI

II

=⇒

+=

+==

++

++

+

h

44344214434421

hhhh

43

A evolução de ÔI se dá devido apenas ao hamiltoniano intrínseco do

sistema, H0.

Para realizar o estudo da dissipação de energia de um sistema

devemos considerar no momento dos cálculos, o sistema em si, o ambiente, e a

interação entre eles, assim será possível retirar informações diretamente de suas

equações dinâmicas.

Se considerarmos um sistema acoplado a um reservatório (banho)

térmico (R) onde a energia dissipada é armazenada, de modo que o sistema mais

o banho tenham energia conservada. O hamiltoniano referente a este caso é dado

por:

RSint0

RSintRS

servatorioSistema/ReinteraçãoioReservatórSistema HHHHHHHHH +≡++=++=

A quantização canônica não permite dissipação, isto é, ela não permite

termos que não possam ser escritos como uma potencia, este é o motivo da

inserção do termo RSintH no hamiltoniano acima.

Para analisar a dinâmica apenas do sistema S será necessário

escrever o operador densidade reduzido Sρ definido por

(t)Tr (t) RS ρρ =

Evoluindo este operador no tempo teremos

( )

==

−+ hhhhh

tHtH

I

00

e edt

diUU

dt

di

dt

di

iiρρρ

[ ](t),H1

(t) III ρρh

&i

=

Que é a equação Liouville-von Neumann na representação de

interação.

Ao calcularmos o traço da equação Liouville-von Neumann na

representação de interação sobre os graus de liberdade do reservatório, vamos

obter

[ ] [ ][ ] Lh

+′′′−′−=∂∂

∫t

rri0

IIIR2IIRSI )t(),t(H(t),HtdT1

(0)),t(HT(t)t

ρρρ

44

Onde é possível observar que o sistema é não markoviano, pois o

futuro de SIρ depende sempre do passado, isto é, exibe efeito de memória.

As aproximações utilizadas na literatura [16] são:

• Considerar o reservatório grande o suficiente para que não seja afetado

pelo sistema durante toda evolução,isto é, não sofra mudança de seu

estado inicial durante a interação, assim podemos escrever o operador

densidade por (0)(t)(t) RSI ρρρ ⊗≅

• Assumir que o reservatório é um ensemble canônico em equilíbrio térmico

a temperatura T, assim podemos escrever

)tr(e

eρ

Tk

H

Tk

H

R

B

R

B

R

−

−

= ; KB é a constante de Boltzmann

• Particularizar o sistema quântico por um oscilador interagindo com um

reservatório representado por um banho osciladores e uma interação linear

na aproximação de ondas girantes RWA. Onde os hamiltonianos

individuais serão dados por

( )∑∑ +∗+++ +==

+=j

jjjjjjj

j abbabbaa γγωω RSintR0S H H ,

2

1H hh

• Assumir que o sistema é markoviano, seu o futuro é determinado pelo

presente e não pelo passado, assegurando assim que a energia que vai

para o reservatório não volte mais para o sistema.

Com isso, escreve-se para um banho frio, a equação mestra

markoviana do sistema S na representação de Schrödinger

[ ] ( )aaaaaa +++ −−+−= (t)(t)(t)2k(t),H(t)dt

d SSSSSS ρρρρρ

h

i

E o liuvilliano correspondente, escrito na linguagem de

superoperadores, será dado por

( ) ( )PPPP----MMMM----JJJJPPPP----MMMM----LLLL 0000 2k+= ωi

A álgebra de Lee nos permite escrever LLLL em forma de multiplicação, o

que nos é muito conveniente. Obtemos então a exponencial eLt na forma

completamente desacoplada [20]

45

tp(t) tm(t) tj(t)t eeee PPPPMMMMJJJJLLLL =

Onde

( )( )k p(t)

k- m(t)

1e j(t)

0

0

2kt

−=+=

−=

ωω

i

i (Apêndice I)

Temos agora ferramentas suficientes para calcular a evolução temporal

de um estado coerente.Seja o operador densidade de um estado coerente

ααρ =(0)

Ao realizar a evolução temporal deste operador, obtemos

( )tk-t 0e (t) onde (t)(t)e +== ωαβββαα iLLLL

(Apêndice J)

Vemos com o resultado, que o estado coerente foi mantido, acrescido

de uma fase.

6. RESULTADOS

6.1 O Problema da Medição

De acordo com a mecânica quântica os objetos quânticos sempre têm

indefinidos os valores de algumas de suas propriedades.

O problema da medida resulta quando se investiga o que ocorre

quando se efetua uma medida de uma propriedade cujo valor é indefinido.

Tomaremos como exemplo a medida da propriedade que chamaremos S.

Quando medimos S, sempre encontramos um valor preciso, +1 ou -1.

Como a teoria quântica não permite que este valor seja interpretado como uma

propriedade intrínseca do objeto quântico, nele presente antes da efetivação da

medida, temos que atribuir o seu surgimento à interação entre o objeto e o

aparelho de medida.

Apontamos que o resultado assim “criado” pela interação entre o objeto

e o aparelho de medida, é completamente aleatório; a teoria quântica

simplesmente não o prevê. Isto representa um rompimento com o determinismo

das teorias clássicas, o que já é algo notável.

46

No entanto, ainda não chegamos ao maior problema, que surge

quando aplicamos a lei da evolução temporal dos estados quânticos ao estado do

objeto quântico antes da medida.

Tal lei se expressa através de uma equação diferencial parcial, a

equação de Schrödinger, que é a equação fundamental da teoria quântica.

Analogamente ao que ocorre na mecânica newtoniana, a especificação do estado

quântico em um dado instante, juntamente com as forças que atuam sobre o

objeto quântico, possibilita, através dessa equação, a dedução do estado quântico

em um instante posterior qualquer. Nesse sentido, dizemos que a evolução de

estado regida pela equação de Schrödinger é determinista[18].

Inserindo porém o estado pré-medida do objeto quântico nessa

equação, obtemos o resultado de que a medida simplesmente nunca ocorre! Isto

acontece porque, segundo a descrição quântica da interação entre o objeto

(microscópico) e o aparelho de medida (macroscópico) a indefinição das

propriedades do objeto transmite-se, ou “contamina”, o estado do aparelho: o

ponteiro deste, que deveria marcar ou +1 ou -1, assume uma posição indefinida.

É importante não confundir isso com posição oscilante, ou

intermediária: trata-se de uma completa indefinição. É extremamente difícil para

nós, quase impossível, visualizarmos ou concebermos um ponteiro neste estado.

47

Este problema foi descoberto pelo próprio Schrödinger, em 1935. Ele

destacou sua gravidade através de um exemplo dramático. A seguir uma versão

adaptada do problema.

Imaginemos que ao nosso aparelho de medida da propriedade S seja

acoplado um “mecanismo infernal” (expressão de Schrödinger) tal que, se o

ponteiro marcar +1, nada ocorre, mas se marcar -1, aciona-se um relê, que liga

um motor, que aciona um martelo, que quebra uma garrafa cheia de um gás letal

no interior de uma caixa fechada na qual foi colocado um gato vivo. Assim, o

resultado +1 significa que o gato continuará vivo. e o resultado -1 acarreta a morte

do gato.

Ora, se o aparelho medir a propriedade S de um objeto quântico, já

vimos que a teoria rigorosamente prevê que o próprio ponteiro do aparelho ficará

em uma posição indefinida. E isso significa que o pobre gato também ficará em

uma posição indefinida de mistura de vida e de morte![15] (Não se deve confundir

esse estado com um trivial estado de doença grave.)

Parece óbvio, que sempre que inspecionarmos a caixa encontraremos

o gato ou vivo ou morto, nunca no bizarro e inimaginável estado previsto pela

teoria. E mais: se continuarmos aplicando a equação de Schrödinger ao sistema

físico ampliado ¾ objeto quântico, aparelho, mecanismo infernal, gato e nós

próprios, a teoria prevê que se abrirmos a caixa para inspecionar o gato, nós

também entraremos em um estado indefinido, em uma superposição quântica de

alguém que tem a consciência de haver observado um gato vivo e de alguém que

tem a consciência de haver observado um gato morto. Aparentemente, alguma

coisa deve estar errada.

6.2 Coerência e decoerência

Quando colocamos um sistema em estado emaranhado dizemos que

ele permanece coerente enquanto não for possível encontrar estados individuais

para cada parte do sistema independente do resto do sistema. Isso é quase o

mesmo que dizer que o sistema permaneceu isolado sem interagir com nenhum

outro sistema. Quando é efetuada uma medição, essa interação entre o sistema e

o aparato de medição é que faz o sistema perder a coerência. Essa interação

pode ocorrer com qualquer sistema quântico.

48

Estudar o mecanismo da decoerência é verificar como ocorre essa

transição de um sistema em um estado superposto para um estado específico, ou

quando tratamos de muitos sistemas, para uma mistura estatística.

Antes de medir dois elétrons descritos por uma superposição, eles não

possuem valores definidos. Se forem descritos por uma mistura estatística,

possuiriam valores definidos, mas não saberíamos quais. À medida que a ordem

de grandeza de um sistema vai aumentando, o número de interações desse

sistema também cresce, e o tempo que leva para perder a coerência diminui. No

caso de sistemas macroscópicos o tempo é quase instantâneo. De fato não é

verdade que o sistema efetivamente deixa de ser coerente. Ele continua sendo,

porém envolvendo um número infinitamente grande de sistemas, e como não é

possível correlacionar todos eles para identificar a superposição, parece que o

sistema se tornou decoêrente.

O emaranhamento é um dos fenômenos tipicamente quânticos, sem

nenhuma correspondência clássica. Quando dizemos que um sistema esta

emaranhado, isto significa que partes distintas do sistema não possuem

comportamento individual independente um do outro. Ou seja, se fizermos dois

sistemas quânticos interagirem, esses sistemas passam a ser descritos por uma

única função de onda, e dessa forma seus comportamentos permanecem

interligados.

O exemplo utilizado em experimentos como o do gato de Schrödinger,

(descrito no item 6,1) é o de uma superposição entre gato vivo e gato morto, cada

possibilidade com 50% de chance.

Quando a teoria quântica prevê esse tipo de resultado para um sistema

microscópico (um elétron estar em dois lugares ao mesmo tempo, por exemplo)

isso não é tão complicado para nossa intuição, pois não somos tão familiarizados

com elétrons e assim aceitamos que talvez isso realmente aconteça com elétrons.

Porém nós conhecemos gato muito bem, e sabemos que não existem gatos

mortos-e-vivos ao mesmo tempo. Uma teoria que prevê um resultado desse tipo

está em desacordo com a nossa mais simples intuição de que não existe nada

morto e vivo ao mesmo tempo. Em termos mais técnicos, nossa intuição nos diz

que há algo errado com a previsão de superposição de estados quânticos em

escala macroscópica, ou que superposições próprias do mundo quântico não

devem aparecer no domínio clássico.

49

Essa situação é conhecida como o problema da medição quântica.

6.3 Tempo de dissipação e decoerência para um estad o de “gato”

Ao observarmos a evolução temporal de um estado de “gato” ( apêndiceJ)

( ){ })()()()()()()()(1

),(22

)((2

20

tttteettttN

t ti ββββββββθρ βαθ −+−+−−+= −−

com ( ) tiwkttkwi eee 00(t) −+− α=α=β podemos constatar que:

• A perda de coerência é dada quando o termo 022

2 →β−α− )(( te . Para

grandes amplitudes |α|>>1 e numa escala de tempo pequena kt<<1

encontramos (apêndice M)

k

Tα

=4

1dec

• A Amplitude kteα é atenuada, devido ao termo –kt, numa escala de tempo

1/kt.

Por outro lado, definindo a entropia linear ou índice de pureza δ(t),

(t)-1(t) 2ρδ tr=

Correspondente aos primeiros termos da expansão da entropia de von Neumann,

que é uma generalização da entropia de Boltzmann da mecânica estatística

Clássica.

Calculando para a evolução temporal do operador densidade, (Apendice K ),

iremos obter:

( )

( )

θ+

θ++−=δα

αβ−αβ

22-

2-(t)4-(t)4-

2

2222

e1

e2ee1

21

(t)cos

cos

Iremos obter o instante em que a entropia linear atinge seu valor máximo[19]

(Apêndice L):

ktdiss 2

2ln=

Assim constatamos que, o sistema já estará descrito por uma mistura estatística

dos estados gato par e impar com probabilidade ½ .

50

7. CONCLUSÃO

Os conceitos fundamentais abordados ao longo do trabalho nos

conduziram a uma reflexão sobre como se comportam sistemas quântico e qual a

conjectura atual da mecânica quântica.

Ao realizar a evolução temporal de um estado coerente foi possível

identificar o momento em que a superposição se transforma em uma mistura

estatística clássica, a qual pode ser estudada com técnicas conhecidas de

mecânica estatística. Sendo possível assim analisar qual será o comportamento

probabilístico futuro do sistema.

Os resultados alcançados no cálculo do tempo de perda de coerência,

e no tempo de dissipação de energia de um sistema, mostram que a perda de

coerência ocorre muito antes que a dissipação da energia. Estes resultados

explicam o porque não observamos superposições no mundo macroscópico, pois

quanto maior o sistema mais interações com o ambiente ocorrerão e mais rápido

ele perderá a coerência.

Experimentos como o realizado na Ecole Normale Supérieure [20], em

Paris, que não apenas levou à construção de uma superposição coerente de dois

estados classicamente distintos do campo eletromagnético em uma cavidade,

como possibilitou pela primeira vez o acompanhamento em tempo real do

processo de perda de coerência, e a medida do tempo característico desse

processo, verificando-se em particular que esse tempo decresce quando a

distância entre os estados aumenta (ou seja, quando aumenta o número médio de

fótons em cada estado).

Os resultados experimentais confirmaram com extrema precisão as

previsões teóricas, publicadas anteriormente [15]. De fato, os estados construídos

continham um número pequeno de fótons, da ordem de cinco, e portanto não

poderiam ainda ser considerados como macroscópicos. Não obstante, o

experimento permitiu acompanhar o processo pelo qual a superposição quântica

transforma-se em uma mistura estatística clássica (ou seja, a transformação de

um sistema capaz de exibir interferência em um sistema que exibe apenas uma

alternativa clássica), explorando assim a fronteira sutil entre o mundo

microscópico e quântico de um lado, e o mundo macroscópico e clássico do outro.

51

8. APÊNDICE

A – Efeito Comton

Para analisar o efeito Compton, é necessário levar em conta que o

efeito é relativístico já que o fóton é uma partícula relativística e viaja à velocidade

da luz. Então devemos usar as equações da relatividade para a variação da

massa, da energia e do momento linear. A massa m de uma dada partícula é

dada por

2

2

0

1c

v

mm

−

= sendo mo a massa de repouso, c a velocidade da luz.

As energias total antes e depois do choque são dadas respectivamente por;

2mchE += ν e 2mchE +′= ν

Aplicando a conservação da energia e momento linear, obtem-se:

- Sobre a conservação da energia

220 mchcmh +′=+ νν

220 mc

chcm

ch +

′=+

λλ

Reorganizando a equação acima e elevando ambos lados ao quadrado

obtem-se

42

2

20

11cmcmhc =

+

′−

λλ ou

42420

2

03

222 11

211

cmcmmhcch =+

′

−+

′

−λλλλ

- Sobre a conservação do momento linear

Conservação do momento linear componente x e componente y respectivamente

θφλλ

coscos mvhh +′

= e θφλ

mvsensenh +′

=0

Eliminando os termos contendo θ nas equações acima. Para isto faz-se

o quadrado de ambos lados das duas equações acima.

θλ

φλ

2222

2 coscos1

vmh =

′

− e θφλ

2222

2

2

senvmsenh =

′

somando ambas equações,

222222222

2

222 cos

cos1vmsenvmvmsen

hh =+=

′+

′

− θθφλλ

φλ

52

multiplicando por c2 ambos lados da equação acima, chega-se a

( )222

2

2222

2

222222

2

22222 cos2cos1

cvmhchchc

vmcsenhc

hc =′

+′

−→=′

+

′

−λλλ

φλ

φλλ

φλ

Subtraindo as duas equação acima

2224222

0342

0

22

cos211

22

cvmcmch

mhccmch c −=

′+

′−++

′− φ

λλλλλλ

O segundo membro da equação acima pode ser rescrito

420

22

2

22

220222222242 )(

)()( cmvc

c

vc

cmvccmcvmcm =−

−=−=−

Com isto a equação acima assume a forma

λλλλ

λλφ

λλ ′−′

=

′

−=−′ 0

30

322

211

2)cos1(2

mhcmhcch

Simplificando ambos lados da equação acima

=−=−′=∆2

2)cos1( 2

00

φφλλλ sencm

h

cm

h

onde foi usado a relação trigonométrica

+

−=

+−=−22

cos122

cos1cos1 22 φφφφφ sen

Definindo0

0

2

cm

h=λ como sendo o comprimento de onda de Compton, temos que

=−′=∆2

20

φλλλλ sen

B – Átomo de hidrogênio

Para o elétron ficar na órbita circular é necessário que as forças

centrípeta e coulombiana sejam iguais;

mr

qev

r

vm

r

qe

0

2

20 44 ∈

=→=∈ ππ

onde q é a carga do núcleo, e é a carga do elétron e v é a velocidade do elétron

em torno do núcleo. Com isto pode-se calcular as energias cinética e potencial do

elétron, por

53

r

qemvk

0

2

82

1

∈==

π e

r

qeeVU

04 ∈−=−=

π

onde r é o raio da órbita do elétron e 0∈ a constante dielétrica. Dessa forma a

energia total é igual a

r

qe

r

qe

r

qeUkE

000 848 ∈−=

∈−

∈=+=

πππ

Dado que a freqüência, o momento linear e o momento angular, são

respectivamente

30

3162 mr

qe

r

v

∈==

ππν ,

r

qemvp

04 ∈==

π e

04 ∈==

πmqer

prL

Conclui-se que conhecendo-se r, todos os parâmetros da órbita

discutidos acima serão determinados. Até este estágio, Bohr não dispunha de

regras que o orientassem, de modo que foi forçado a fazer a hipótese de

quantização do momento angular, isto é, o momento angular deveria ser igual a

um múltiplo inteiro da constante de Planck dividida por 2π.

Assim, hnh

nL ==π2

n=1,2,3...

onde n é um número inteiro ou um número quântico. Combinando esta equação

com a equação anterior para o momento angular percebemos que r será

quantizado,

020

22 rn

mqe

hnr =

∈=

π n=1,2,3...

Onde ro é o raio de Bohr. Substituindo r na equação para a energia total obtem-

se:

2220

2 1

8

)(

nh

qemE

∈−=

O sinal menos indica que é necessário ceder energia ao átomo para

fazer a transição eletrônica para níveis superiores. Com isto os valores das

energias dos estados estacionários permitidos podem ser determinados.

Procedendo de forma análoga ao que foi feito na quantização da

energia pode-se encontrar uma equação para a freqüência de transição

54

−

∈=

22220

2 11

8

)(

kjh

qemν

sendo k e j (números inteiros), que descrevem duas órbitas consecutivas.

Para um elétron passar de um nível para outro ele deve emitir ou

receber energia em quantidade bem determinada, isto é receber um quantum de

energia.

C - Pacote de onda

Uma onda plana, propagando no eixo x, pode ser representada por

uma função senoidal tal como:

)cos(),( wtkxAtxF −=

que é solução da equação da onda com velocidade v.

2

2

22

2

2

2

2

2 1

t

F

vz

F

y

F

x

F

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂

a função F oscila no tempo, e a freqüência de oscilação é dada por

π2

wF =

o número de onda k é relacionado com o comprimento de onda λ por

πλ2

=K

A velocidade de propagação é dada por

K

wfv == λ .

Uma função igualmente válida é a função seno ou uma função

exponencial com expoente imaginário, como

)(),( wtKxiAetxF −=

que é solução da equação da onda com

K

wv =

Uma onda descrita desta forma possui uma única freqüência e é

chamada harmônica pura ou onda plana. Vamos construir uma forma de onda

55

mais complexa adicionando termos que são múltiplos inteiros da freqüência

fundamenta w:

∑+

−=

−=x

xn

wtKxinneAtxF )(),( que é também solução da equação da onda. Num dado

instante a forma da onda periódica pode ser representada por:

∑+

−=

=x

xn

inKxneAxf )( Através de uma escolha apropriada da constante An, é

possível representar qualquer função periódica pela soma da forma de uma onda

plana (funções harmônicas) chamadas série de Fourier. O coeficiente é obtido

multiplicando cada lado da igualdade por e-imkx e integrando sobre um período:

∫ ∑∫∞+

−∞=

−−− =k

n

Kxnmin

kimkx eAdxexdxF

ππ 2

0

)(

2

0

)(

A integral à direita só não é zero se n = m.

∫∫ ==−k

mm

kimkx

k

AdxAexdxF

ππ

π2

0

2

0

2)( ∫

−=k

imkxn exdxF

kA

π

π

2

0

)(2

Um pacote de onda é uma forma de onda não periódica que é diferente

de zero em uma região localizada do espaço. A onda formada é composta por

ikxe termos onde k é tratado como uma variável contínua. A distribuição dos k

(número de onda) é dado por uma função g(k). A função Ψ(x) é escrita em termos

de g(k) como :

∫+∞

∞−

−= ikxekdkgx )(2

1)(

πψ , onde ∫

+∞

∞−

= ikxexdxkg )(2

1)( ψ

π

A operação pode ser descrita como o mapeamento da função g(k) no

espaço k para uma outra função Ψ(x) no espaço x e ela é chamada transformada

de Fourier. Como exemplo vamos calcular a distribuição do número de ondas g(k)

para uma onda quadrada correspondendo a igual probabilidade da partícula ser

encontrada no intervalo –L<x<L, ou seja Ψ(x)=C.

Da condição de normalização (área sobre a curva |Ψ(x)|2 vale 1)

∫+∞

∞−

== 2221)( LCxdxψ obtemos

LC

2

1=

56

e a função de onda normalizada será L

x2

1)( =ψ . A função g(k) será dada pela

transformada de Fourier

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

===k

kLsen

Le

Ldxexdxkg ikxikx )(1

2

1

2

1)(

2

1)(

ππψ

π

Note que ax

axsenx

=→

)(lim

0.

Uma propriedade geral de funções que são transformadas de Fourier

umas das outras é que a largura das distribuições em x e em k sempre são

maiores que 1, ou seja, 1≥∆∆ kx .

[3]

D – Princípio da Incerteza

Sejam nlnl px e elementos de matrizes hermitianas, que descreve as

coodenadas espaciais dos átomos e momenum associados a cada possível

transição, dados por:

xeX nliw

nlnl &== t

nlx elemento da matriz hermitiana x wnl=- wnl

nlnltiw

nl ximwep nl === nlnl imw xm&

57

Substituindo na relação de Heisenberg

( )∑∑ +=⇒==n

nlnlnlnlnlnln

nlnlnl xxwxxwmxxwmh

&&h&h 22π

( ) h4342143421

h ixppxxximwximwxin

nlnln

p

nlnl

p

nlnl

nl

=−⇒

−−= ∑∑ lnlnlnln

ln

A regra de comutação entre matrizes de posição e momentum é a

relação fundamental na conexão entre a mecânica clássica e quântica

[ ] hipx =.

E – Equação de Schrödinger

Podemos chegar a equação de Schrödinger partindo da relação de

dispersão.

Se considerarmos a equação de uma onda eletromagnética em uma direção

0),(1),(

2

2

22

2

=∂

∂−∂

∂t

tx

cx

tx ψψ

Cuja solução é uma onda plana

)( kxwtiAe −=ψ

Substituindo a solução na equação da onda eletromagnética, obtemos

a relação de dispersão 222 kcw =

Por outro lado, dada a relação de dispersão podemos chegar a

equação da onda fazendo as seguintes substituições

tiw

∂∂→

xik

∂∂→

Ou seja

),(),(2

22

2

2

2

22

2

2

txx

ctxtx

ct

ψψ∂∂=

∂∂→

∂∂−=

∂∂−

Schrödinger escreveu a relação de dispersão para uma partícula livre

cuja energia é m

pE

2

2

= , assim foi obtido o seguinte resultado

58

wE h= m

kw

m

kwkp

22

222hh

hh =→=→=

Substituindo:

tiw

E

∂∂→=

h

xik

p

∂∂−→=

h

Obtem-se

),(2

),(2

22

txxm

txt

i ψψ∂∂−=

∂∂ h

h

Para uma partícula sujeita a um potencial V(x), sua energia será dada

classicamente por )(2

2

xVm

pE += . Escrevendo a relação da dispersão:

),(2

22

txVm

kw += h

h

Substituindo

tiw

∂∂→

xik

∂∂→

Encontra-se

),()],(2

[),(2

22

txtxVxm

txdt

di ψψ +

∂∂−= h

h

Esta é a equação de Schrödinger dependente do tempo em uma dimensão.

F – Autovalores e autofunções

Para esclarecer estes novos conceitos será mostrado que a função

ikxAe=ψ é uma autofunção do operador momento linear ( p ) e que a função

2ikxAe=ψ não é autofunção de p . Para verificar isto basta aplicar o

operador p na função de onda, como a seguir. Por definição o operador

momento é igual a;

dx

d

ipx

h=ˆ

Então:

ψψψ kAekikAei

Aedx

d

idx

d

ip ikxikxikx

x hhhhh ===== )()(ˆ

59

que pode ser reescrita na forma,

ψψψ pkpx == hˆ

Assim é possível dizer que a função de onda ikxAe=ψ é autofunção

do operador p com autovalor kh . Como o número de onda k pode ser escrito em

termos do comprimento de onda λ , temos que;

λλπ

ππhh

kh

kp ==== 2

22h

que é equivalente ao resulto obtido por Bohr na quantização do átomo de

hidrogênio.

A agora será verificado que a função2ikxAe=ψ não é autofunção do

operador p .

ψψ )2()(2)2()(ˆ222

kxAekxAeikxi

Aedx

d

ip ikxikxikx

x hhhh ====

Analisando o último termo entre parêntese na equação acima nota-se

que ele não é uma constante, mas sim depende da posição. E se esta equação

fosse escrita por;

ψψψ ′== kxkpx hh 2)(2ˆ

Ela seria uma equação de autovalor? Não, mesmo nesta forma ela

não é uma equação de autovalor por que as funções ψ e ψ ′ são diferentes.

G - Espaço de Hilbert

As operações no espaço de Hilbert seguem as seguintes regras:

H é um conjunto de objetos, com uma operação de soma de vetores definida de

tal forma que:

Se dois vetores If> e Ig> Є H então a soma If> + Ig> também é um vetor de H.

A soma é comutativa e associativa: If > + Ig> = Ig> + If> e (If> + Ig>) + Ih> = If> +

(Ig> + Ih> ).

Existe em H um vetor chamado nulo de tal forma que: If> + 0 = If> para

qualquer If> Є H.

60

Também está definida uma operação de produto escalar de tal forma

que, se α e β pertencem ao conjunto dos complexos, e If> e Ig> são elementos

de H, então:

α If> Є H

(αβ) If>= α (β If>)

(α +β) If>= α If>+ β If>

α(If>+ Ig>) = α If>+ α Ig>

1. If>= If>

H tem um produto interno, ou seja, pode-se definir uma operação entre dois

vetores If> e Ig> que fornece um escalar, denotada por, If>. Ig> que possui as

seguintes propriedades:

(If>. Ig>) = (Ig>. If>)*

(If>. Ig>+ Ih>) = (If>. Ig>) + (If>. Ih>)

(If>. αIg>) = α(If>. Ig>)

(αIf>. Ig>) = α*(If>. Ig>)

(If>. If>) ≥ 0 e (If>. If>) = 0 se e somente se If> = 0 ( vetor nulo )

H – Oscilador harmônico

O Hamiltoniano, que deve ser escrito como função de x e p, é

( ) 22

2

1

2, Cx

m

pLxppxH +=−=

A quantização do movimento da partícula é feita associando-se a x e p

operadores Hermitianos que satisfazem a relação de comutação canônica

[ ] hipx =, .

Queremos encontrar as soluções da equação de Schrödinger

independente do tempo

φφ EH =

61

onde os valores de E são as energias permitidas do sistema. Para isso, definem-

se os operadores adimensionais

xmw

xh

= pwm

ph

1=

onde m

cw = , que satisfazem [ ] ipx =, . O Hamiltoniano fica então

( )22

2

1xpwH += h

Definem-se os operadores a e a+ na forma

( )pixa +=2

1 ( )pixa −=+

2

1

Invertendo essas relações, obtemos

( )++= aax2

1 ( )+−−= aa

ip

2

E ainda [ ] 1=+ +aa

Substituindo e , obtemos H na forma

+=2

1NwH h , onde N =a+a é o operador número.

I – Técnicas da Álgebra de Lee

Uma álgebra de Lee é definida por um conjunto de operadores

{ } [ ] ,ˆˆˆˆˆˆˆ ∑==N

kk

kijc AA,A,...A,A,AA

ji321 comutação, sob fechado onde o número de

elementos da álgebra N, define sua dimensionalidade e kijc são denominadas

constantes de estrutura da álgebra que satisfaz a identidade de Jacobi,

62

0=++∑ )(,

mlj

lki

mli

lik

ml

mlk

lij cccccc

Considerando que o hamiltoniano descrito pela soma dos

hamiltonianos de um sistema, de um reservatório no qual o sistema está imerso e

da interação entre eles seja dado por

SAAS HHHH ++=

Cada hamiltoniano pode ser escrito individualmente como

kkk

kkSA

kkkkA

S

caacH

ccH

aaH

+++

+

+

+=

+=

+=

∑

∑

γγ

ω

ω

2

1

2

10

h

h

Concentrando a atenção no hamiltoniano apenas do sistema fazemos:

[ ]

tsss

s

ssssSs

ettdt

td

aaaaaaktHi

dttd

LL )()()()(

)()(,)(

0

2

ρ=ρ⇒ρ=ρ

ρ−ρ−ρ+ρ−=ρ +++

h

Obtendo assim

[ ] )(, ++++ •−•−•+•ω−= aaaaaakaai 20L

Definindo as operações da álgebra de Lee

[ ][ ][ ][ ]

[ ] ... 1,

1)(

.)()(

)(,

0,

1,

1,

dqcaa

aaaaaaaa

aaaaaaaa

aaaaaa

aa

aa

aa

s

ssss

ss

=••∴

=−⇒−⇒

⇒−⇒•−•⇒

⇒••−••=••

=••−=••

=••

+

++++

++++

+++

+

+

+

ρρρρρ

ρρ

E ainda

))(()²(²

))(()²())(()²(

aaaa

aaaaaaaa

••=•=•••=•=•••=•=• 22

63

))(()²(

))(()(

))(())(()(

))(()²(²

))(()²())(()²( 22

••=•

••=•

••=••=•

••=•=•••=•=•••=•=•

+++

++

+++

aaaaaa

aaaa

aaaaaa

aaaa

aaaaaaaa

Podendo definir assim

J

P

M

ˆ

ˆ

ˆ

=•=•=•

+

+

+

aa

aa

aa

E aplicar as propriedades

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] 0===

=−=M,MP,PP,M

J,PJJ,M

ˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

Podemos escrever L na forma

( ) ( ) kkiwiwk 200 JPML ˆˆˆ +−+−−=

Reescrevendo L na forma exponencial

Pp(t)Mm(t)Jj(t)Pp(t)Jj(t)Pp(t)Mm(t)Lt

Pp(t)Mm(t)Jj(t)Pp(t)Mm(t)Jj(t)Pp(t)Mm(t)Jj(t)Lt

Pp(t)Mm(t)Jj(t)Lt

Pp(t)Mm(t)Jj(t)Lt

eP(t)peeeM(t)em)e(eJ(t)jLe

)(edt

d)e(e))(e(e

dt

de)e)(e(e

dt

dLe

)ee(edt

d

dt

de

eeee

ˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ &&& ++=

++=

=

=

Para resolver esta equação e encontrarmos os coeficientes

utilizaremos a fórmula de Baker – Campbell –Hausdorff (BCH) que é dado por

[ ] [ ][ ] ...ˆ,ˆ,ˆ!2

²ˆ,ˆˆˆ ˆˆ +++=− BAAx

BAxBeBe AxAx

Assim reescrevendo

64

Pp(t)Mm(t)

II

Mm(t)Mm(t)Jj(t)Pp(t)Mm(t)Jj(t)

I

Jj(t)Jj(t)LtLt (t)epeePeeeeeeMe(t)meJ(t)jLeˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ˆˆˆ &4342143421&& −− ++=

Calculando

I: [ ] [ ][ ] Jj(t)M...M,J,J2!

j(t)²M,Jj(t)MeMe Jj(t)Jj(t) ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ˆˆ +=+++=−

II: [ ] [ ][ ] P...P,M,M2!

m(t)²P,Mm(t)PePe Mm(t)Mm(t) ˆˆˆˆˆˆˆˆ ˆˆ =+++=−

A equação fica então

Pp(t)Mm(t)Jj(t)

III

Jj(t)Jj(t)LtLtLt eeeePe(t)p]eJj(t)M(t)[meJ(t)jLeˆˆˆˆˆ ˆˆˆˆ

43421&&& −+++=

Calculando III

[ ] [ ][ ] Jj(t)P...P,J,J2!

j(t)²P,Jj(t)PePe Jj(t)Jj(t) ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ˆˆ +=+++=−

Obtemos assim

( ) LtLtLtLt eJj(t)P(t)p]eJj(t)M(t)[meJ(t)jLe ˆˆˆˆˆ ++++= &&&

( )Jj(t)P(t)p]Jj(t)M(t)[mJ(t)jL ˆˆˆˆˆ ++++= &&&

Relacionando

( )Jj(t)P(t)p]Jj(t)M(t)[mJ(t)jL ˆˆˆˆˆ ++++= &&&

( ) ( ) 2kJkiwPiwkML 00ˆˆˆ +−+−−=

Obtemos

( )( )k p(t)

k- m(t)

1e j(t)

0

0

2kt

−=+=

−=

ωω

i

i

Podemos então escrever

( ) ( ) ( )tPkiwtMkiw12ktLt 00 eeee −−−=

65

J – Evolução temporal de um estado coerente

Dado que

( ) ( ) ( ) (0)(0)(t) 0012 ρ=ρ=ρ −−− PMJL tkiwtkiwktt eeee

tomemos um estado inicial coerente α , cujo operador densidade é dado por

( ) αα=ρ 0

Utilizando o operador deslocamento de Glauber

0)(αα D= , onde 0 é o estado fundamental do fóton.

( )

( ) ( )

∑α=α

∑

α=∑α=

=

∑α−=

=α

∞

=

α

∞

=

+α∞

=

+α−

αα−

∞

=

αα−

α−αα−

+

+

+

0

2

2

1-

0

2

2

1-

0

2

1

2

1

abaixar que o temnão zero em atuando a

0

2

1

2

1

e

0e0

0

0

0

2

2

2

2

n

n

n

*

n!

n!n!!

!

*

n

ana

e

ee

na

ee

eee

n

n

n

n

n

a

n

n

a

aa

43421

4434421

Dado que

( )( ) ( )( )nen

nntm

nn

aatmne

n

tm

n

n

n

n

tm∑=∑=∑

•=∞

=

∞

=

∞

=

+

000 nM )()(

!!

Podemos então escrever

( )

( )

)()(

n

)(

n

)(

n

)(

n

)()(

)(

)(

)()(

n!

n!n!n!

tmetm

e

ntmee

ntmtm

ntm

ntm

ee

ne

ne

nenee

tm

tm

tmtm

α=α⇒

∑α=

∑α=∑

α=∑α=α

αα

α

∞

=

ααα

∞

=

α∞

=

α∞

=

α

2

2

12

2

1-

0

2

2

1-

2

2

12

2

1-

0

2

2

1-

0

2

2

1-

0

2

2

1-

ee

eee

eee

M

nMM

444 3444 21

Realizando operação análoga para os demais termos chegamos que

66

( )tkwit ettte +−α=βββ=αα 0 onde )()()(L

Considerando agora um estado coerente dado por

( )

obtemos22

2 )()(

)(

)( ttee

t

tLt β−β=α=α

α−α=ρ

β−α−

Dado um estado inicial

( )

( ) 12

obtemos 1 ãonormalizaç de codição Da

ímpar gato

0par gatopor conhecida é função a onde

N1

22 α−θ

θ

θ

θ

+=

=ψψ

π=θ→=θ→

α−+α=ψ

eeN

e

i

i

O operador densidade ficará

( )( )

( ) ( ) α−α−+αα−+α−α+αα=

α−+αα−+α=ψψ=ρ

θθ−

θ

θ−θ

θ

ii

ii

ee

ee

2

20

N1

N1

Assim, a evolução temporal do operador densidade será:

( ){ })()()()()()()()(1

),(22

)((2

20

tttteettttN

t ti ββββββββθρ βαθ −+−+−−+= −−

K – Cálculo de )(2 tTrρ

Sabendo que

( )( ){ }( )( ){ }

−+−+−−+

•

−+−+−−+=

−−

−−

)()()()()()()()(1

)()()()()()()()(1

)(

22

22

(t)2-

2

(t)2-

22

ttetteettttN

ttetteettttN

t

ii

ii

ββββββββ

ββββββββρ

θθβα

θθβα

67

Para calcular (t)2ρtr , separaremos os traços

• 1)()()()()()()()(1

=== ttTrttTrttttTr ββββββββ43421

•

2422

22

)()()()()()(ββ

β

ββββββ−−

−

=−=−− ettTrettttTr

e

4434421

• 222222

2222

222222

22

1

22

)()(

)()()()()()(

αθβαθββαθ

βαθβαθ

ββ

ββββββ

−−−−−

−−

==−=

−=−

iii

ii

eeeeettTreee

ttTreeettttTreee43421

• 2222522

22

22

)()(

)()()()(

22

22

αθβ

β

ββ

ββββ

βαθ

βαθ

−−−

−

==

=−

−−

−−

i

ettTreeee

ttttTreee

i

e

i

4434421

• 1)()()()()()(1

=−−=−−−− ttTrttttTr ββββββ44 344 21

•

22

22

22

)()()()(22 αθ

β

βββββαθ −−

−

=−−−− i

ettttTreee

e

i

4434421

• )(42)(2

)(2

222222

22

22

cos)()(

)()()()(

βαβαθθ

βαθθ

θββ

ββββ

αθ

β

−−−−−

−−−

=−=

=−−

−−

−

ettTreeee

ttttTreee

iii

e

ii

4434421

)(4

1

22

)()()()()()( βαββββββ −−==−− ettTrttttTr44 344 21

Para finalmente escrever

68

++++=

−−−−−−−− )22(422222

2cos28221

)( 4)(42244

2 βαββααθβ θρ eeeeeN

tTr i

++++=−−−−−−− )22(4222

4

22

2cos2cos4221

)( 4)(42

4

244

2 βαββααβ θθρ eeeeeN

tTrN

43421

( )( )( )22

2222

242

4422

cos2cos214

cos221

)(αα

βαβα

θθρ

−−

−−−−

+++++=

ee

eeetTr

L – Tempo de dissipação

0*44*42

=+ −− BBBB edt

dee

dt

d α

04*4 *44*42

=+− −− BBBB edt

deeBB

dt

d α

)( kteB −−= ωα

kteBB 22* −= α

{ } 0*4 *44*42

=+−− −− BBBB eeeBBdt

d α

022222

444 =+−−− −− ktkt ee eee ααα

( )ktkt ee ee2222

144 −− −−− = αα

( )ktkt ee 2222144 −− −−=− αα

12 2 =− kte 2

12 =− kte 2

1ln2 =− kt 2ln2 =kt

k

tdiss 22ln= Tempo de dissipação

69

M – Tempo de perda de coerência

022

22 →+− βαe 0222

22 →−+− kTee αα

( ) 022

12 →−−− kTee α

( ) 0121 22 =−− − kTeα

22

2

11

α=− − kTe

22

12

α=kT

kT

α=

41

dec

70

9. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[1] L. Davidovich, EINSTEIN E A MECÂNICA QUÂNTICA, Instituto de Física –

Universidade Federal do Rio de Janeiro. Disponível em:

http://omnis.if.ufrj.br/%7Eldavid/arquivos/Einstein%20e%20a%20Mecanica%20Qu

antica%20-%20Ciencia%20e%20Meio%20Ambiente.pdf. Acesso em 23/05/2008.

[2] S.R. Dahmen. Bose e Einstein: do nascimento da estatística quântica à

condensação sem interação I. Revista Brasileira de ensino de Física, São

Paulo, vol.27, nº2, 2005.

[3] EISBERG, RESNICK, Mecânica quântica , Ed. Campus: Rio de Janeiro, 1994.

[4] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Lectures on Physics, Addison-

Wesley Publishing Company, 1975

[5] J. Leite Lopes , A estrutura quântica da matéria , ed. UFRJ: Rio de Janeiro,

2005.

[6] H. Moyses Nussensveig , Ótica relatividade Física Quântica , ed.Edigard

Blücher Ltda, 1998)

[7] C. Cohen-Tannoudji, F. Laloë, B. Diu. Quantum Mechanics , Jonh Wiley: New

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[8] S. Gasiorowicz, Física Quântica , ed. Guanabara dois,Rio de Janeiro, 1979.

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[10] B.J. Mokross. Não-Localidade na Mecânica Quântica. Revista Brasileira de

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71

[11] Quantum Optics D.F.Walls G.J.Milburn Springer- Verlag

[12] R.J. Glauber, Phys. Rev 130 (1963)2559

[13] R.J. Glauber, Phys. Rev Let 10 (1963)84

[14] E.C.G. Sudarshan, Phys. Rev Let 10, 277(1963)

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Phys. Rev. A 53, 1295 (1996).

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quânticos e álgebras de operadores não-lineares / Tese (Doutorado) – São

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