Monografia t1 PDF

8/16/2019 Monografia t1 PDF

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Ing. Ambiental / Matemática III

Universidad Nacional de Trujillo

Facultad de Ingeniería QuímicaEscuela Académico Profesional de Ingeniería Ambiental

TEMA: LA MATEMÁTICA Y SU APLICACIÓN EN LA INGENIERÍA AMBIENTAL

Título:

APLICACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO EN LADETERMINACIÓN DE CALIDAD AIRE

Curso: Matemática III

Docente: Lic. Waymer A. Barreto Vega

Alumno:

Simón B. Moreno Aguirre

Año Académico2016-I


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I. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 3

1.1. Las Matemáticas y su importancia con el Ambiente ............................................. 3

1.2. Aplicación de modelos matemáticos en soluciones ambientales ...................... 3

1.3. Investigaciones en la formulación de nuevos modelos de control ambiental . 4

II. CONTENIDO ........................................................................................................................... 6

2.1. Aplicación de la Matemática en la Ingeniería Ambiental ..................................... 6

2.1.1. Aplicación de un Modelo Matemático para determinar la Calidad de Aire . 6

III. CONCLUSIONES ............................................................................................................... 18

IV. RECOMENDACIONES ...................................................................................................... 18

V. BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................... 19

CONTENIDO


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I. INTRODUCCIÓN

1.1. Las Matemáticas y su importancia con el Ambiente

Las matemáticas también pueden ser "verdes" y, desde luego, muy prácticas,como así lo demuestran varios expertos. Los múltiples trabajos, alejados del tópico dela abstracción, son muy útiles en múltiples cuestiones que afectan al medio ambiente:predicen cambios en la naturaleza para actuar sobre ellos, aumentan el conocimientosobre los seres vivos y sus relaciones, desarrollan sistemas para combatir lacontaminación y la extinción de especies como el lince, para prevenir y afrontarterremotos, para mejorar los sistemas de energía solar o para luchar contra losincendios.

El medio ambiente se puede beneficiar de las matemáticas de muchas formas:contribuyen a comprender los fenómenos, a cuantificar los resultados, a conocer lascausas y los efectos y a tomar decisiones. Son palabras de Juan Grau, investigadordel grupo GASCde la Universidad Politécnica de Madrid (UPM), cuyo trabajomatemático posibilita en la actualidad el descubrimiento de propiedades del suelo,las plantas, los mares y el Universo, o el desarrollo de un sistema para gestionar de

forma objetiva y óptima los recursos hídricos nacionales y supranacionales.

Las matemáticas no se quedan en lo abstracto, existen casos de aplicaciones acuestiones medioambientales en todo el mundo: la ley de bosques en Argentina, lastécnicas de remediación de la contaminación en Doñana, y en mar con los vertidos; laelección de alternativas en el trazado de los trenes de alta velocidad, las técnicas deprevención de la contaminación en Guanajuato (México), los planes de adaptación

al cambio climáticoen áreas sensibles de Iberoamérica, y un largo etcétera.

Las investigaciones y aplicaciones prácticas son cada vez más diversas, y no sóloen un plano internacional. España cuenta con un gran surtido de investigadores deprimera línea que trabajan en todo tipo de proyectos

1.2. Aplicación de modelos matemáticos en soluciones ambientalesEn la actualidad, varios modelos matemáticos y estudios estadísticos pueden

predecir, y en ocasiones controlar, los posibles cambios que se dan en la naturaleza,según Manuel Gámez, investigador de la Universidad de Almería (UAL), afirma que no

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son la solución definitiva, pero pueden ser un buen complemento para conocer los

procesos medioambientales e intervenir en ellos si fuera necesario. El grupo detrabajo de Gámez desarrolla teorías para monitorizar los cambios en un ecosistema,provocados por cuestiones como la contaminación o el uso de pesticidas, y estimarlos posibles efectos.

Las transformaciones bruscas en la Tierra, como el cambio climático, se puedenanalizar desde los sistemas complejos. Eso mismo hace el biólogo Jordi Bascompte,codirector del equipo de Ecología Integrativa en la Estación Biológica de Doñana(CSIC), en Sevilla. Junto con otros investigadores internacionales, Bascompte hademostrado que el planeta está cerca de una transición de fase, como consecuenciade las perturbaciones que le afectan.

Bascompte también ha demostrado con matemáticas, junto con un equipo de laUnidad de Bioinformática del Centro de Biología Molecular Severo Ochoa (CSIC-UAM)y de la UPM, que las interacciones mutualistas en la naturaleza, donde diversosorganismos cooperan, son esenciales para fortalecer la estabilidad natural. Segúnestos investigadores, sus resultados explican por qué los insectos y las flores son losorganismos más diversos. Ahora bien, este modelo también indica que si el

mutualismo tiene demasiado éxito, es perjudicial para el resto de especies. El equipode Bascompte se ha basado en la teoría de redes (la misma que se utiliza para estudiar

Internet) para demostrar que algunas zonas de bosque son más importantes queotras por sus conexiones, una información básica para su protección.

1.3. Investigaciones en la formulación de nuevos modelos de control ambiental

La formulación de modelos matemáticos para la comprensión de los fenómenos

naturales es bien conocida desde hace bastante tiempo, sin embargo, su utilizaciónpara el conocimiento de las incidencias de la sociedad sobre la naturaleza es másreciente. En el texto para el bien común plantean un debate acerca de reorientar laeconomía hacia la comunidad el ambiente y el futuro sostenible e introducen desde

una visión de economía ecológica el índice de Bienestar Económico Sostenible, quetiene en cuenta elementos como el agotamiento de los recursos naturales, el dañoambiental, el valor del ocio y los consumos per cápita de recursos naturales, losimpactos ambientales por contaminación y pérdida de tierras.


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G. Roegen, considerado el padre de la economía ecológica, desde los años

posteriores a la Segunda Guerra Mundial había planteado, desde la termodinámica uncuestionamiento al modelo de desarrollo capitalista e introducido una interpretaciónde la incidencia de la sociedad sobre la naturaleza tomando la Segunda Ley de laTermodinámica o Ley de la Entropía, como base para interpretar los procesos decambio del medio ambiente debidos a la acción humana. En años más reciente seplantea una discusión más profunda de los cambios actuales del medio ambientemundial, especialmente el cambio climático propiciado por la incidencia de la emisiónde gases de efecto invernadero, debido a la quema de combustibles fósiles, tomandotambién la Entropía como base conceptual para la interpretación de estos cambios ysus incidencias sobre la supervivencia de la propia especie humana sobre la Tierra.

Se plantea la valoración de las externalidades y bienes ambientales a través defunciones matemáticas introduciendo conceptos como la valoración de los bienes ycostos ambientales, los análisis de costo-beneficio aplicados a la economía ecológicay algunos modelos matemáticos para el cálculo del agotamiento de los recursosnaturales considerados como capital natural, que sirvan para ajustar con criteriosambientales el producto Interno Bruto de (PIB) de un país. En años más recientes, conel gran impulso al desarrollo de las políticas medioambientales a partir de la

Conferencia de Naciones Unidas sobre Medio Ambiente y Desarrollo en Rio de Janeirode 1992, conocida como la Cumbre de la Tierra y el desarrollo de la comunicación a

nivel global, se han venido proponiendo nuevos indicadores para medir la incidenciahumana sobre el medio ambiente, con especial énfasis en la Huella Ecológica.

En algunos países sudamericanos, como Colombia, este indicador ha tenido unosprimeros desarrollos investigativos a partir de dos trabajos realizados para el cálculo

de la Huella Ecológica Alimentaria en las ciudades de Bogotá y Medellín que

fundamentan sus investigaciones en el hecho de los miembros de una ciudadparticipan en un sistema económico mucho más amplio que el definido para la urbepropiamente dicha. Esto implica actos de apropiación, transferencia y utilización derecursos de otros territorios, donde habitan agricultores y pescadores involucrados

directamente con las fuentes de agua y los suelos con los que trabajan.


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II. CONTENIDO

2.1. Aplicación de la Matemática en la Ingeniería Ambiental

2.1.1. Aplicación de un Modelo Matemático para determinar la Calidad de Aire

A continuación, se presenta a modo de caso, la investigación denominada: APROXIMACIÓNAL ESTUDIO DE LA CALIDAD DEL AIRE: UN MODELO MATEMÁTICO ( Approach To Study AirQuality: Mathematical Mode), el cual es un paper científico publicado en el 2011 por lossiguientes autores colombianos: Wilmar Díaz O., Harold Vacca y Álvaro H. Salas.

a) Resumen

Los modelos de calidad del aire están definidos para predecir y simular lasconcentraciones de contaminantes del aire en un cierto periodo de tiempo. Las prediccionessurgidas de los modelos suelen ser usadas por las industrias para controlar sus niveles deemisión. Los datos de entrada para los modelos de calidad de aire son abundantes y englobanvarias condiciones ambientales: velocidad del aire, turbulencia, temperatura, densidad. Porello, se utilizan condiciones ideales sobre la atmosfera, así como las reacciones químicaspropias que subyacen al contaminante.

Esta investigación trata sobre tal modelación, considerando los fenómenos de adveccióny de difusión durante el transporte del contaminante. Luego, se formula una relación de las

variables con una ecuación en derivadas parciales, parabólica, de advección-difusión: , quelos acopla.

Para este problema de valor inicial se establecen soluciones exactas suaves para t > 0 ,aun si los datos iniciales son discontinuos; y numéricas, basadas en diferencias divididas. Lassoluciones son simuladas a través de Matlab® y FlexPDE®.

b) Contexto

Entre los siglos XIV y XVII, la humanidad hizo la transición desde el oscurantismo y elmiedo, hasta la verdad y el conocimiento. Este periodo, conocido como Renacimiento, fue un

movimiento que sembró oportunamente las semillas de la ciencia y de la revoluciónindustrial. Con el tiempo, los seres humanos habían aprendido a transformar el ambientepara satisfacer sus necesidades, al contrario que en las edades oscuras, cuando ellos siemprese sometieron a la naturaleza. La naturaleza, desde entonces, se trató como un artículo en elnuevo mundo industrializado. Iniciaba el debate intenso sobre la ética medioambiental. En el


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siglo XX se profundizaba la degradación del medioambiente como resultado de la

desenfrenada e irresponsable industrialización. La polución del aire había empezado aafectar el ecosistema y, por consiguiente, la vida humana normal.

Al examinar la atmósfera, se encuentra que el aire tiene rastros de gas, anhídridocarbónico y vapor (ver, por ejemplo [3]). En ausencia de estas moléculas se absorbefuertemente el infrarrojo, por lo que la temperatura de la superficie podría volverse,aproximadamente, cuarenta veces más fría de lo que hoy es.

Por otra parte (ver [38]), si los niveles de contaminación, calidad del aire, en los queciertas sustancias (monóxido de carbono, óxidos de nitrógeno, óxidos de azufre, compuestosorgánicos volátiles, ozono) alcanzan concentraciones lo suficientemente elevadas sobre sunivel normal, como para ser una amenaza, que es desgraciadamente la tendencia, ladestrucción de la vida puede volverse una realidad por el denominado calentamiento global.De acuerdo con lo anterior, la intervención humana para lograr un medio ambiente ecológicosaludable no debe considerar, exclusivamente, metas a corto plazo. Por ello, las prediccionesde largo plazo son necesarias a in de evaluar los métodos que nosotros usamos para enajenarla energía. Una valoración comprensiva del problema requiere una modelación que incorporela mayor cantidad posible de variables.

c) Introducción

La modelación, que constituye un método para recolectar, tratar y utilizar informaciónsobre el mundo, es un proceso en el que un objeto de estudio es reemplazado por otro, quecumple unas condiciones de analogía con relación al primero. Trabajar con el modelo y nocon su original ofrece la ventaja de que, en forma segura y rápida, permite estudiar las

propiedades del objeto en cualquier situación imaginable. La modelación matemática del

presente artículo, entonces, consistió en el reemplazo de la calidad del aire por su imagenmatemática.

El modelo matemático propuesto estudia un sistema de múltiples componentes que

involucra la simulación del transporte de un contaminante en el ambiente, emitido porfuentes estacionarias, como las plantas industriales; y/o móviles, como los vehículos. En él seintegran: la velocidad del aire y su dirección; la cantidad de turbulencia atmosférica; losparámetros de las emisiones; la fuente y su altura; la velocidad de salida, la temperatura dela salida y la proporción de masa; las elevaciones de terreno de la fuente y la situación del


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receptor; el coeficiente de difusión; el tiempo; la distancia, las cinéticas de reacción; y las

fuentes o sumideros de la sustancia.

Fig.1. Estructura de modelación matemática de la calidad de aire

Las entradas del modelo son las fuentes y sumideros de la sustancia. Como se realizanseguimientos de las variaciones temporales del proceso en estudio, entonces este es unmodelo dinámico (no estacionario). Por esta razón, se hace uso de las leyes de conservaciónde masa, momento, energía e información en un volumen de control, cuyos operadores deben

contener derivadas parciales, pues ellas representan sistemas multivariados queexperimentan cambios en más de una dimensión, precisamente lo que ocurre al simular el

transporte de contaminante en la atmósfera.

El componente de gradiente explica el fenómeno de advección del contaminante,mientras que el de divergencia explica los fenómenos de difusión. Para la solución del modelomatemático, se estipulan las condiciones iniciales y de frontera; así se garantizan la existencia

y unicidad de la solución del modelo.

Debido a la presencia de un operador distribuido (derivadas parciales), se consideranambos tipos de condición. La deducción y descripción matemática del transporte atmosférico,la difusión y la reacción química de los contaminantes tienen múltiples objetivos, entre otros,

la capacidad de predecir cómo cambian las concentraciones máximasde contaminantes en respuesta a las transformaciones previstas en la meteorología y en lafuente de contaminación. Este artículo se refiere al modelado del transporte y la difusión deuna sola especie (contaminante), idealizando procesos subyacentes tales como las


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características geográficas del terreno, las condiciones meteorológicas y las reacciones

químicas que se producen en la especie.

Las aproximaciones utilizadas se enumeran a continuación:

1° Fuente de emisión constante.2° Existencia de un lujo y de condiciones meteorológicas constantes.3° Conservación de la densidad de la especie.4° Transporte constante en dirección horizontal.5° Se ignoran los cambios de la velocidad del viento con la altura.6° Se asume que los contaminantes son transportados en línea recta, de forma

instantánea, hasta el receptor.7° No se tiene en cuenta las transformaciones químicas.

Finalmente, en este caso, la consideración de la concentración del contaminante, en funciónde la distancia de la fuente de emisión y el tiempo de desplazamiento, proporcionaráinformación para saber si dichas cantidades son admisibles. Y, bajo el modelamiento delproblema de valor inicial de advección-difusión, podemos aproximarnosa la realidad de la problemática y, por tanto, a su solución (ver Figura 2).

Fig.2. Contaminantes del Aire, fuentes y efectos


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d) Modelo Advectivo

Iniciamos la formulación del modeloteniendo en cuenta solamente el fenómeno deadvección. Consideremos en primer lugar lasituación en una dimensión donde hayadvección pero no difusión. Supongamos que enun tiempo t = 0 la densidad de los gases tieneuna distribución como la mostrada en la Figura3, que está dada por c,(X). Supongamos que esteperil se mueve hacia la derecha por la acción delviento con una velocidad constante U.

Así, obtenemos el movimiento del contaminante:

Derivando parciamente tenemos:

De aquí resulta la ecuación de advección pura:

con la condición inicial:

De la solución, se tiene que:


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Y al hacer el cambio de variable se obtiene:

Al sumar las ecuaciones 4 y 7 se llega a:

Donde:

En la ecuación 8 podemos observar que c es independiente del tiempo, y por lo tanto susolución es de la forma: y deshaciendo el cambio de variable se tieneque:

Para que el problema quede bien determinado, basta con dar la condición inicial:

Para hallar el valor de c en un punto (x,t) de interés, es

suficiente con cortar la recta que pasa porese punto con el eje x.c (x, t): Concentración del contaminante en el punto xen el instante t.

φ (x,t): Flujo del contaminante que pasa por el punto x

en el instante t.

La concentración del contaminante en el intervalo es:

Luego, la razón de cambio de la concentración de contaminante en el intervaloes:


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Asociada a las fuentes y/o sumideros dentro en el intervalo se tiene:f(x,t): La densidad lineal de lujo de la concentración.El flujo de contaminante en el intervalo producido por las fuentes y/o sumiderosdentro es:

- La ecuación de advección pura:

- Si U es constante,


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e) Modelo difusivo

El otro proceso que intervine es el de la difusión, encargado de que, incluso sin lapresencia del viento, hasta los malos olores desaparezcan después de un tiempo.Consideramos c la concentración de una especie como una función de posición (x1, x2, x3) yde tiempo t que va a ser transportada por la acción del viento, con una velocidad u = u (x1, x2,x3, t) que asumimos como conocida. Partículas de la especie también son difundidaslocalmente, y tienden a moverse desde áreas de alta concentración hacia áreas de bajaconcentración. Si se ignora la difusión, la ecuación de transporte es:

Si integramos sobre cualquier dominio limitado D en R3 obtendremos:

∂D es la frontera de D y n es el vector normal unitario exterior a ∂D. Esta ecuación dice que latasa de aumento del contaminante en cualquier dominio D es igual al flujo de contaminante

hacia la frontera. Si la difusión no se ignora entonces la ecuación 21, se transforma en:

Donde Kij una matriz positiva llamada matriz de difusión. Tanto en la ecuación 21 como en la

23, conocemos la concentración c en un tiempo inicial (t = 0) y el objetivo es calcular la

concentración en los tiempos siguientes. En particular, queremos averiguar los valoresmáximos de la concentración en un tiempo prescrito. Ahora añadimos la difusión a laecuación de advección (4):

La condición inicial es:La ecuación 24 se puede simplificar si usamos el cambio de variable:


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Reemplazandoct, cx y cxx en la ecuación (7) obtenemos:

Como c(x, 0) = c0(x), entonces c0(x) = W(x,0)eax ,donde W(x,0) = c0(x)e-ax.

Así, transformamos la ecuación 24 en un problema de difusión de calor con condicióninicial:

f) Solución del modelo de advección – difusión

Resolvemos la ecuación (27), separando variables haciendoW ( x,t ) = X ( x )T (t ):

La solución para Xproduce valores propios = w 2 para w ≥ 0 funciones propias de la forma:


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Así, paraw ≥ 0, tenemos:

Para satisfacer la condición inicial, hacemos una superposición de estas funciones, sobretodo w ≥ 0, que toma la forma de una integral:

Y necesitamos que:

Esta es la integral de Fourier dec0( x ) en la recta real, que nos lleva a elegir los coeficientes:

La integral en (31) podemos escribirla como:

Como el integrando es una función par enw , entonces

Con lo cual, la solución podemos escribirla como:

Pero como:


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Fig.5. Simulación de la solución utilizando MatLab®.

la ecuación 36 queda :

Que al simplificar:

El problema planteado en (27) puede resolverse usando la fórmula anterior. Así, la solucióndel problema de valor inicial:

Aquí, f corresponde a una función dada. Si, por ejemplo, (velocidad del aire), yk = 1. Se tienela siguiente solución, simulada en MatLab®.


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g) Métodos numéricos

En la ecuación, con k > 0, podemos aproximar su soluciónutilizando el esquema de elementos finitos. Se aproxima (Uc) y , a travésdel siguiente esquema, entre muchos otros.

La implementación se realiza de dosformas, utilizando FlexPDE, versiónacadémica 6.14. Este software (ver [4] y[39]) fue desarrollado para solucionarnuméricamente sistemas de ecuacionesdiferenciales parciales de primer o segundoorden; lineales y/o no lineales para 1D, 2Do 3D; con geometría cartesiana, esférica ocilíndrica.

Los sistemas desarrollados pueden ser

representados por valores iniciales y de frontera en estado estacionario, dependientes deltiempo o de eigenvalores. La cantidad de ecuaciones a resolver está limitada sólo por la

capacidad del computador.

Maneja un entorno gráfico amigable, la elaboración del algoritmo en forma de “Script” es

sencilla, pues posee una estructura básica, a manera de plantilla, para la construcción de losmodelos, estructurada por secciones, y cada una de ellas está identificada por encabezados.

Un primer código muestra la superficie solución (ver Figura 6). La malla de elementos finitos

se encuentra en la Figura 7.


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El segundo código, muestra en la Figura 8, un corte en la dirección 1-2 de la superficie. En la

Figura 9, un histórico muestra de modo gráfico el valor deu en cada uno de los puntos 0 a10 a través del tiempo.

III. CONCLUSIONES

El modelo de calidad del aire está sujeto a múltiples variables entre las cuales está ladistancia y el tiempo de transporte; Puede expresarse en la ecuación de adveccióndifusión. Su solución determina la concentración del contaminante y el modelo puedesolucionarse con solución exacta y aproximada.

Se logra condensar la temática de la advección-difusión, incluyendo técnicas propiasde las ecuaciones en derivadas parciales, como las características, la separación devariables y los esquemas numéricos.

Una sustitución apropiada reduce el problema de la solución a uno conocido, el

esquema de separación de variables, muy eicaz para llegar a establecer una soluciónexacta.

El esquema de diferencias está implementado en los diferentes programas quesolucionan ecuaciones en derivadas parciales. Sin embargo, tienen diicultad en larepresentación.

IV. RECOMENDACIONES

De acuerdo con lo anterior, la intervención humana para lograr un medio ambienteecológico saludable no debe considerar, exclusivamente, metas a corto plazo. Por ello, las


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