MOQ-14

PROJETO e ANÁLISE de

EXPERIMENTOS

Professor: Rodrigo A. Scarpel

rodrigo@ita.br

www.mec.ita.br/~rodrigo

Programa do curso:

Semana Conteúdo

1 Apresentação da disciplina. Princípios de modelos lineares de regressão. Correlação amostral.

2 Regressão linear simples: hipóteses do modelo, estimação de parâmetros, propriedades e inferência dos estimadores.

3 Análise de variância (ANOVA) em regressão. Intervalos de confiança e de previsão. Análise dos resíduos.

4 Diagnósticos e reparação de problemas em regressão. Transformações.

5 Regressão linear forma matricial: estimação dos parâmetros, inferência dos estimadores, intervalos de confiança.

6 Prova

7Princípios de regressão linear múltipla. Diagnósticos e reparação dos problemas em regressão linear múltipla.

Multicolinearidade e seus efeitos.

8 Seleção de variáveis. Modelos polinomiais. Modelos com variáveis qualitativas.

9Introdução ao projeto de experimentos: estratégia de experimentação, princípios básicos e aplicações típicas.

Experimentos inteiramente casualizados. Análise de variância.

10 Experimentos fatoriais com dois ou mais fatores.

11 Experimentos fatoriais 2k. Pontos centrais.

12 Experimentos em blocos casualizados. Blocagem em experimentos 2k.

13 Prova

14 Experimentos fatoriais fracionados.

15 Experimentos com fatores quantitativos. Métodos de superfície de resposta.

16 Otimização de produtos e processos. Projetos robustos.

Professor: Rodrigo A. Scarpel

rodrigo@ita.br

www.mec.ita.br/~rodrigo

EXPERIMENTOS EM

BLOCOS CASUALIZADOS

Introdução:

No caso em que as unidades experimentais não são homogêneas devido,

por exemplo, a fatores não controláveis, há a necessidade de utilizar

blocos.

Def: Blocos são conjuntos razoavelmente homogêneos de unidades

experimentais. Sua formação tem por objetivo reduzir o erro

experimental visto que unidades em um bloco tem mais características

em comum que as unidades que estão em blocos diferentes.

Projeto e análise de experimentos: atribuição casualizada por blocos, ou

seja, os blocos serão tratados, na fase de projeto, como um novo fator,

mas na fase de análise serão utilizados apenas para reduzir o erro

experimental.

Procedimento de atribuição e coleta dos dados:

O mais objetivo dos projetos de blocos casualizados é aquele no qual

atribuímos aleatoriamente cada tratamento (nível do fator) uma vez para

cada bloco, em cada replicação.

Desta forma, em cada replicação (ex: 1 fator, três níveis/tratam., 4 blocos):

Dados obtidos - caso geral (1 fator, a níveis, b blocos e 1 replicação):

t2

t1

t3

t1

t3

t2

t3

t2

t1

t2

t1

t3

Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Bloco 4

k yk1yk2 ykn yk. yk.

Método para análise dos dados:

Hipóteses a serem testadas:

H0: 1. = 2. = 3. ... = k.

HA: Os i.´s não são todos iguais

Modelo para o projeto completamente casualizado em blocos (n=1

replicações):

Neste caso, SQT = SQTr + SQB + SQE (n=1 replicações)

Na prática, estima-se SQT, SQTr e SQB e obtém-se SQE (= SQT – SQTr

– SQB).

bj

kiy ijijij

,...,1

,...,1

j

j

i

i

ijjiijbj

kiy

00

,...,1

,...,1

ecom

k

i

b

j

jiij

b

j

j

k

i

i

k

i

b

j

ij yyyyyykyybyy1 1

2

....

1

2

...

1

2

...

1 1

2

..

Análise de variância:

Para o planejamento completamente casualizado em blocos: (n=1

replicações), a análise de variância será:

Rejeita-se Ho se

Fonte de

variação

Soma dos

quadrados

Graus de

liberdade Quadrado médio f calculado

Tratamentos SQTr k-1 1

2

kSQTr

sTr 2

2

E

Tr

s

sf

Blocos SQB b-1 1

2

bSQB

sB

Resíduo SQE (k-1)(b-1) 112

bkSQE

sE

Total SQT kb - 1

11,1,2

2

bkkaE

Tr fs

sf

Planejamento e análise dos Experimentos:

CASO: Experimento inteiramente casualizado em blocos (1 fator, k = 4

níveis, b = 6 blocos)

Conjectura, objetivo, variável resposta e fator controlável: Quatro

máquinas diferentes estão sendo consideradas para a produção de certo

produto. Para comparar as máquinas 6 operadores foram selecionados.

Como variável resposta será registrada a quantidade de tempo (em

segundos) necessária para fabricar o produto.

Projeto do experimento: As máquinas foram atribuídas, em ordem

aleatória para cada operador. Portanto, obtém-se um experimento

inteiramente casualizado em blocos em que o fator controlável é a

máquina utilizada (k=4 níveis M1, M2, M3 e M4) e os blocos são os

operadores (b=6 O1, O2, O3, O4, O5, O6).

Planejamento e análise dos Experimentos:

CASO: Experimento inteiramente casualizado em blocos (1 fator, k = 4

níveis, b = 6 blocos)

Coleta dos dados:

Dados coletados:

M2

M1

M3

M4

O1

M1

M3

M2

M4

O2

M3

M4

M2

M1

O3

M4

M1

M3

M2

O4

M4

M2

M1

M3

O5

M2

M3

M4

M1

O6

Operador

Máquina 1 2 3 4 5 6 Total

1 42,5 39,3 39,6 39,9 42,9 43,6 247,8

2 39,8 40,1 40,5 42,3 42,5 43,1 248,3

3 40,2 40,5 41,3 43,4 44,9 45,1 255,4

4 41,3 42,2 43,5 44,2 45,9 42,3 259,4

Total 163,8 162,1 164,9 169,8 176,2 174,1 1010,9

CASO: Experimento inteiramente casualizado em blocos (1 fator, k = 4

níveis, b = 6 blocos)

Hipóteses: H0: M1 = M2 = M3 = M4 = M5

HA: Os ´s não são todos iguais

Análises: - Análise de variância (ANOVA)

Forma correta:

Planejamento e análise dos Experimentos:

Portanto, rejeita-se H0 (=5%)

Assim, há diferença significativa entre as máquinas

Fonte de

variação

Soma dos

quadrados

Graus de

liberdade

Quadrado

médio f calculado Valor -P

Máquinas 15,93 3 5,31 3,34 0,048

Operadores 42,09 5 8,42

Resíduo 23,84 (3)*(5)=15 1,59

Total 81,86 4*6 – 1 = 23

CASO: Experimento inteiramente casualizado em blocos (1 fator, k = 4

níveis, b = 6 blocos)

Análises: análise de regressão

Forma errada:

Planejamento e análise dos Experimentos:

Estatística de regressão

R múltiplo 0,44106

R-Quadrado 0,19454

R-quadrado ajustado 0,07372

Erro padrão 1,81570

Observações 24

ANOVA

gl SQ MQ F F de significação

Regressão 3 15,92458 5,30819 1,61013 0,21855

Resíduo 20 65,93500 3,29675

Total 23 81,85958

Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P 95% inferiores 95% superiores

Interseção 42,1208 0,3706 113,6474 0,0000 41,3477 42,8939

M1 -0,8208 0,6419 -1,2787 0,2157 -2,1599 0,5182

M2 -0,7375 0,6419 -1,1489 0,2642 -2,0766 0,6016

M3 0,4458 0,6419 0,6945 0,4954 -0,8932 1,7849

Por essa análise, não há diferença significativa entre as máquinas

CASO: Experimento inteiramente casualizado em blocos (1 fator, k = 4

níveis, b = 6 blocos)

Análises: análise de regressão

Planejamento e análise dos Experimentos:

Estatística de regressão

R múltiplo 0,8418

R-Quadrado 0,7087

R-quadrado ajustado 0,5533

Erro padrão 1,2609

Observações 24

ANOVA

gl SQ MQ F F de significação

Regressão 8 58,0117 7,2515 4,5611 0,0056

Resíduo 15 23,8479 1,5899

Total 23 81,8596

Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P 95% inferiores 95% superiores

Interseção 42,1208 0,2574 163,6526 0,0000 41,5722 42,6694

M1 -0,8208 0,4458 -1,8413 0,0854 -1,7710 0,1294

M2 -0,7375 0,4458 -1,6544 0,1188 -1,6877 0,2127

M3 0,4458 0,4458 1,0001 0,3331 -0,5044 1,3960

O1 -1,1708 0,5755 -2,0344 0,0600 -2,3975 0,0559

O2 -1,5958 0,5755 -2,7729 0,0142 -2,8225 -0,3691

O3 -0,8958 0,5755 -1,5566 0,1404 -2,1225 0,3309

O4 0,3292 0,5755 0,5719 0,5758 -0,8975 1,5559

O5 1,9292 0,5755 3,3521 0,0044 0,7025 3,1559

M4 1,1125

O6 1,4042

40 41 42 43 44 45-2

-10

12

Fitted values

Resid

uals

Residuals vs Fitted

1

24

13

-2 -1 0 1 2

-2-1

01

2

Theoretical Quantiles

Sta

ndard

ized r

esid

uals

Normal Q-Q

1

24

13

40 41 42 43 44 45

0.0

0.5

1.0

1.5

Fitted values

Sta

ndard

ized r

esid

uals

Scale-Location1 24

13

-2-1

01

2

Factor Level Combinations

Sta

ndard

ized r

esid

uals

1 2 3 4as.factor(maquinas) :

Constant Leverage: Residuals vs Factor Levels

1

24

13

CASO: Experimento inteiramente casualizado em blocos (1 fator, k = 4

níveis, b = 6 blocos)

Análise dos resíduos:

Planejamento e análise dos Experimentos:

Planejamento e análise dos Experimentos:

CASO: Experimento inteiramente casualizado em blocos (1 fator, k = 4

níveis, b = 6 blocos)

Conclusão e recomendações: Há diferença significativa entre as máquinas,

ao nível de significância de 5%. Pela comparação entre as médias, verifica-

se que a máquina 1 é a de melhor desempenho e a 4 de pior desempenho.

Essa diferença só ficou significativa quando eliminou-se o efeito dos

operadores, ou seja, quando houve redução da variância dos resíduos e,

portanto, aumento da sensibilidade do teste para detectar as diferenças

entre as médias.

Professor: Rodrigo A. Scarpel

rodrigo@ita.br

www.mec.ita.br/~rodrigo

BLOCAGEM em

EXPERIMENTOS 2k

Introdução:

Normalmente, é impossível coletar todas as observações, em de

experimentos fatoriais 2k, sob condições homogêneas. Portanto, há a

necessidade de blocagem (criação de blocos homogêneos).

Consequências da blocagem:

Opção A: Aumento do número de observações: 2knp (k fatores, n

replicações e p blocos)

Opção B: Manter o número de observações e aplicar a técnica da

superposição

Exemplo - opção A:

Fatores: tempo de reação (A) e temperatura (B)

Resposta: y = rendimento do processo (%)

Blocos: lotes de matérias-primas (p=3)

Experimento: 221 em 3 blocos (12 observações)

Blocos

A B 1 2 3 Total

- - 28 25 27 80

+ - 36 32 32 100

- + 18 19 23 60

+ + 31 30 29 90

Total 113 106 111 330

Blocos

A B 1 2 3 Total

- - 28 25 27 80

+ - 36 32 32 100

- + 18 19 23 60

+ + 31 30 29 90

Total 113 106 111 330

Opção A – Aumento do número de observações:

Modelo (k fatores, p blocos):

Exemplo:

Desta forma, verifica-se que o efeito dos blocos (matérias-primas diferentes)

não é significativo (=5%)

1

11

0

p

l

l

ji

jiij

k

j

jj xxxy

A B AB Bloco 1 Bloco 2 Resposta

-1 -1 1 1 0 28

1 -1 -1 1 0 36

-1 1 -1 1 0 18

1 1 1 1 0 31

-1 -1 1 0 1 25

1 -1 -1 0 1 32

-1 1 -1 0 1 19

1 1 1 0 1 30

-1 -1 1 -1 -1 27

1 -1 -1 -1 -1 32

-1 1 -1 -1 -1 23

1 1 1 -1 -1 29

Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P

Interseção 27,5 0,587 46,825 6,4E-09

A 4,17 0,587 7,095 0,00039

B -2,5 0,587 -4,257 0,00534

AB 0,83 0,587 1,419 0,20571

Bloco 1 0,75 0,831 0,903 0,40132

Bloco 2 -1,00 0,831 -1,204 0,27392

Fonte de

variação

Soma dos

quadrados

Graus de

liberdade

Quadrado

médiof calculado Valor -P

Blocos 6,50 2 3,25 0,785 0,4978

A 208,33 1 208,33 50,335 0,00039

B 75,00 1 75,00 18,12 0,00534

AB 8,33 1 8,33 2,013 0,2057

Resíduo 24,83 6 4,139

Total 323,00 11

Fonte de

variação

Soma dos

quadrados

Graus de

liberdade

Quadrado

médiof calculado Valor -P

Blocos 6,50 2 3,25 0,785 0,4978

A 208,33 1 208,33 50,335 0,00039

B 75,00 1 75,00 18,12 0,00534

AB 8,33 1 8,33 2,013 0,2057

Resíduo 24,83 6 4,139

Total 323,00 11

Opção B – Aplicar a técnica da superposição:

Como o tamanho do bloco, normalmente, é menor do que o número de

combinações (2k), a técnica da superposição é útil para a realização do

experimento 2k em 2p blocos (p < k). Porém, a superposição faz com que

alguns efeitos de interação fiquem confundidos com os efeitos dos blocos.

Exemplo:

Fatores: tipo de rastreador (A), altitude do alvo (B)

e distância do alvo (C)

Resposta: y = desvio (pés), em relação ao alvo, no

disparo de um míssel.

Blocos: como dois atiradores diferentes realizam

o teste (p=2)

Experimento: 23 em 2 blocos (com o efeito de

interação ABC superposto).

A

C

-1(1) a

acc

b ab

bc

B

abc

-1

-1

+1

+1

+1

A

C

-1(1) a

acc

b ab

bc

B

abc

-1

-1

+1

+1

+1

Tratamento A B C AB AC BC ABC

(1) – – – + + + –

a + – – – – + +

b – + – – + – +

ab + + – + – – –

c – – + + + – +

ac + – + – + – –

bc – + + – – + –

abc + + + + + + +

(1)= 3

ab= 7

ac= 6

bc= 8

Bloco 1

a= 7

b= 5

c= 6

abc= 6

Bloco 2

Opção B – Superposição de mais blocos:

É possível superpor o planejamento 2k em quatro blocos de 2k-2 observações

cada. Neste caso, 2 efeitos de interação devem ser escolhidos para superpor

os blocos. Exemplo (k=4):

Como ABCD = (AC) (BD) :

(1)

ac

bd

abcd

Bloco 1

AC + BD +

Tratamento A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD BCD ABCD

( 1 ) -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1

A 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1

B -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1

C -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

D -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1

AB 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1

AC 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1

AD 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1

BC -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1

BD -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1

CD -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1

ABC 1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1

ABD 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1

ACD 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1

BCD -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 -1

ABCD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

a

c

abd

bcd

b

abc

d

acd

ab

bc

ad

cd

Bloco 2

AC – BD +

Bloco 3

AC + BD –

Bloco 4

AC – BD –

Opção B – Generalização da superposição:

Exemplo:

k = 5 fatores

p = 8 blocos

Efeitos escolhidos: ABE,

BCE e CDE

ABE + BCE + CDE +

ABE – BCE + CDE +

ABE + BCE – CDE +

ABE – BCE – CDE +

ABE + BCE + CDE –

ABE – BCE + CDE –

ABE + BCE – CDE –

ABE – BCE – CDE –

Para casa:

• Laboratório 9 (site: www.mec.ita.br/~rodrigo/)

• Leitura: Walpole et al. – cap. 15 (15.6 a 15.7): Experim. fatoriais 2k e frações

Montgomery e Runger – cap.14 (14.8): Desing of experiments ...