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Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ)
Programa de Pós-Graduação em Educação
Mestrado em Educação
Renato Srbek Araujo
Movimento da Matemática Moderna:
o reconhecimento de seus resquícios na educação atu al
Rio de Janeiro
2009
Livros Grátis
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Renato Srbek Araujo
Movimento da Matemática Moderna:
o reconhecimento de seus resquícios na educação atu al
Dissertação apresentada, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre, ao Programa de Pós-Graduação em Educação, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro.
Orientadora: Prof.ª Dr.ª Edil de Vasconcellos de Paiva
Rio de Janeiro
2009
Autorizo, apenas para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial
desta dissertação.
________________________________ ____________________
Assinatura Data
Araujo, Renato Srbek. Movimento da Matemática Moderna: o reconhecimento
de seus resquícios na educação atual / Renato Srbek Araujo – 2009. 112 f.
Orientadora: Edil Vasconcellos de Paiva Dissertação (Mestrado) – Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Faculdade de Educação.
Renato Srbek Araujo
Movimento da Matemática Moderna:
o reconhecimento de seus resquícios na educação atu al
Dissertação apresentada, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre, ao Programa de Pós-Graduação em Educação, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro.
Aprovado em: ________________________________________________________
Banca Examinadora: __________________________________________________
_________________________________________________________
Prof.ª Dr.ª Edil Vasconcellos de Paiva (Orientadora)
Faculdade de Educação da UERJ
_________________________________________________________
Prof.ª Dr.ª Siomara Borba Leite
Faculdade de Educação da UERJ
_________________________________________________________
Prof. Dr. José Pereira Peixoto Filho
Faculdade de Educação da UEMG
Rio de Janeiro
2009
DEDICATÓRIA
Aos meus pais, pela simplicidade da sofisticada educação, meu maior
legado, pelo amor incondicional e pelo incentivo de sempre. A vocês a
minha eterna gratidão.
À minha esposa Rosilene e à minha filha Gabriela, pelo amor único que,
com muita coragem, superaram a minha ausência. Pela proteção e
carinho tão necessários nos momentos difíceis do trabalho. Pelo beijo que
aquecia e reconfortava. Pela existência de vocês duas, hoje razão maior
da conclusão deste trabalho.
AGRADECIMENTOS
Professora Edil Vasconcellos de Paiva, em um mundo tão cheio de
obstáculos, é muito importante encontrar em nossa caminhada pessoas com as
quais podemos partilhar e contar nos momentos importantes. Na literatura alguns
textos foram escritos de forma a poderem ser dedicados a pessoas especiais. Um
destes textos é de Bertold Brecht e diz: “Há homens que lutam um dia e são bons.
Há outros que lutam um ano e são melhores. Há aqueles que lutam muitos anos e
são muito bons. Porém, há os que lutam toda a vida. Esses são imprescindíveis.” No
entanto, para mim isso não é suficiente para expressar a gratidão à minha
orientadora, professora e amiga que, com ética, competência, profissionalismo e
carinho, me orientou na trajetória desta dissertação. Assim, ofereço a você a
adaptação que faço do texto de Brecht: “Há homens que estão perto um dia e são
transeuntes. Há outros que estão perto um ano e são colegas. Há aqueles que estão
perto muitos anos e são grandes companheiros. Mas há os que estão perto a vida
toda, esses são os amigos, imprescindíveis”.
À Martha Godinho, pelas leituras e releituras incansáveis na correção
ortográfica, desta forma acompanhando todo o processo, minha eterna gratidão.
Ao professor Vandir Fernandes, que no passado e no presente tem sido um
grande incentivador, obrigado pela sua ajuda em toda a minha trajetória.
Aos professores entrevistados, pela disponibilidade, carinho e parceria,
enquanto co-autoria, e à Fapemig, pelo investimento, enquanto aceitação e aposta
no meu projeto. Obrigado por acreditarem em mim.
... o fracasso em matemática é uma ferida que custa caro, mas o preço a pagar é, na
realidade, muito maior, pois os estragos na esfera afetiva são consideráveis.
Michelle Bacquet
(2001, p.33)
RESUMO
Esta dissertação tem por objeto de estudo o Movimento da Matemática Moderna
(MMM) no Brasil e suas repercussões ainda presentes nos dias atuais - analisar
quais elementos (estrutura metodológica e conteúdos) do MMM estão presentes nos
planos de trabalho atuais e que são reconhecidos por professores de algumas
escolas da rede estadual da cidade de Belo Horizonte. Esta repercussão é analisada
através de seis relatos de professores que atuaram desde a década de 70 - período
auge do movimento - e que se dispuseram a conceder entrevista e compartilhar suas
experiências e vivências frente ao Movimento da Matemática Moderna. Uma das
referências para esta fase da pesquisa foi a obra de Selltiz e Jahoda, de 1967. O
objetivo principal deste estudo é levantar dados que apontem para a presença da
Matemática Moderna nos dias de hoje através do reconhecimento pelos professores
de conteúdos implantados pelo movimento e que ainda hoje estão sendo
trabalhados. Outro objetivo foi buscar construir uma pequena trajetória histórica da
educação matemática desde 1549, com os jesuítas, até o início do movimento. Para
esta trajetória, tive como maior referência Miorim (1998). Assim, a Matemática
Moderna se implantou entre nós como consequência de sua adoção pelos países
considerados desenvolvidos, especialmente os Estados Unidos (Sangiori, apud
Geem, 1967 – foi uma das referências). Há críticas à Matemática Moderna no que
concerne ao exagero de simbolismo, ao uso inadequado do rigor, do formalismo, da
abstração (estruturas) tais críticas são similares às que se fizeram nos Estados
Unidos e na Europa. Hoje são reconhecidos alguns valores do Movimento da
Matemática Moderna.
Palavras-chave: Movimento da Matemática Moderna. Repercussões. Conteúdos.
Conceitos.
ABSTRACT
The study object of this dissertation is the Modern Mathematics Movement (MMM) in
Brazil and its repercussions nowadays - to analyzed which elements (methodological
structure and contents) of MMM are present in actual work plan and that are
recognized by the teachers of same public schools in Belo Horizonte. This
repercussion is analyzed by means of accounts of six teachers who work since the
decade of the 70’s – maximum period of the movement – and that were available to
give interviews and share there’s experiences about the Modern Mathematics
Movement. One of the references for this phase was the work of Selltiz e Jahoda
(1976). The principal objective of this study is to get information that indicate the
presence of Modern Mathematics nowadays by the recognition of the teachers of
contents implanted by the movement and that are still worked. Another objective was
to look for a construction of a historical trajectory of the mathematics education since
1549, with the Jesuits, till the beginning of the movement. To this trajectory, the most
important reference was Miorim (1998). So, the Modern Mathematics was
disseminated among us as consequence of the adoption, by the considered
developed countries, especially in the United States (Sangiori, apud Geem, 1967 –
was one of the references). There are criticisms about the Modern Mathematics
which concerns to symbolism exaggeration, inadequate rigidity, formalism,
abstraction structure of those criticisms are similar to those ones that occurred in the
United States and in Europe. Today some of de values of Modern Mathematics
Movement are recognized.
Key words: Modern Mathematics Movement. Repercussions Contents. Concepts.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ........................................................................................ 10
1 O OBJETO DE ESTUDOS E CAMINHOS METODOLÓGICOS ...... ...... 21
1.1 Objeto de estudo .................................. ................................ 21
1.2 Caminhos metodológicos ............................ ......................... 27
2 O ENSINO DA MATEMÁTICA NO BRASIL .................. ......................... 34
2.1 A proposta dos jesuítas para o ensino da matemática ...................... 34
2.2 O ensino da matemática na reforma pombalina ....... .......................... 37
2.3 O ensino da matemática com a criação do Colégio Ped ro II ............. 39
2.4 O Movimento da Escola Nova, a Reforma Francisco Cam pos (1931) e o ensino da matemática ................... .......................................
41
3 O MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA ................. ................... 48
3.1 O movimento reformador: primeiro movimento moderniz ador ........ 48
3.2 O grupo Bourbaki .................................. ................................................ 50
3.3 A Matemática Moderna e as causas do movimento ..... ...................... 55
3.4 Características do Movimento da Matemática Moderna .................... 66
3.5 Objetivos da modernização do ensino de matemática . ..................... 72
3.6 Defesas e justificativas do Movimento da Matemática Moderna ...... 76
4 A VISÃO DOS PROFESSORES SOBRE O MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA E O ENSINO DA MATEMÁTICA MODERNA ..............................................................................................
79
4.1 O Movimento da Matemática Moderna na visão dos prof essores..... 80
4.2 A adesão ao Movimento da Matemática Moderna ....... ....................... 90
4.3 Conteúdo .......................................... ...................................................... 95
CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................. ...................................... 104
REFERÊNCIAS ....................................................................................... 107
ANEXOS .................................................................................................. 112
10
INTRODUÇÃO
A elaboração desta dissertação, buscando realizar uma análise das
repercussões do Movimento da Matemática Moderna (MMM) no Ensino
Fundamental hoje, pareceu-me promissor por duas razões básicas. A
primeira está fundamentada em minha prática como professor de
matemática, vivenciando nos últimos 29 anos a história e a trajetória do
ensino dessa disciplina. A segunda é o mito do ensino da matemática.
Neste trabalho, parto do pressuposto de que o ensino da matemática
é acessível ao aluno como o ensino de qualquer outra disciplina escolar.
Entretanto, os ensinamentos da matemática na escola eram e muitas vezes
são orientados pelo axioma metodológico de que mestre é aquele que
transmite e explica seus sábios e valorosos conhecimentos aos alunos.
Compreende-se tal posicionamento marcado por uma concepção de
professor no passado como sinônimo de autoridade. Lorenzato (2006, p.
15) afirma que,
[...] no passado, professor era sinônimo de autoridade, fora e dentro da sala de aula. Por isso, muitos professores davam suas aulas como se fossem donos da verdade, cabendo aos seus alunos apenas ouvirem e obedecerem. Foi uma época de culto ao silêncio.
Esta postura de “dono da verdade” era apoiada e assegurada pelo
seu maior defensor e escudeiro, o próprio professor de matemática, que,
do seu pedestal, muitas vezes garantiu um distanciamento ou mesmo um
abismo intransponível entre ele e seu aluno. Teve significado especial
11
nessa situação, como aponta Carvalho (1992, p.15), a própria concepção
de matemática,
“[...] como uma área do conhecimento pronta, acabada, perfeita, pertencente apenas ao mundo das idéias e cujas estruturas de sistematização serve de modelo para outras ciências. A conseqüência dessa visão em sala de aula é a imposição autoritária do conhecimento matemático por um professor que, supõe-se, domina e o transmite a um aluno passivo, que deve se moldar à autoridade da “perfeição científ ica”.
O professor de matemática, sendo um dos defensores da pedagogia
tradicional, representa o mito da matemática que divide o mundo em dois,
mas não em duas metades do campo numérico racional e sim em um
mundo superior dos mestres e o inferior dos discípulos, da inteligência
em duas, dos senhores sábios e dos ignorantes. Lorenzato (2006, p. 15)
afirma que “[...] atualmente sabemos que essas são algumas das maneiras
de tornar os alunos passivos, indiferentes e repetidores e, até mesmo,
preconceituosos ou temerosos em relação à matemática”.
A experiência que adquiri é estímulo para este estudo, que reputo
ser relevante, porque não foram identificadas investigações que tivessem
por objeto o foco desta pesquisa. Relevante ainda porque a educação, de
um modo geral, deve ser amplamente estudada, mas a educação
matemática continua merecendo uma atenção redobrada, pois já houve
avanços, porém ainda há muito por fazer.
Tenho acompanhado os estudos dos últimos anos. Há mais de quatro
décadas, os trabalhos de pesquisadores como Dienes (1967, 1974 e 1977),
D’Ambrósio (1986, 1990 e 1996), Pais (2002) e Kamii (2007) vêm
destacando a insatisfação com o ensino dessa disciplina. “A carapuça de
assunto árido, especialmente difícil, destinado à compreensão de poucos...
ajusta-se perfeitamente à Matemática” é o alerta que apresenta Machado
(1998, p.17). Os autores referidos destacam a necessidade dos
professores mudarem suas metodologias tradicionais de ensino
12
(carregadas de conteúdos abstratos, explorados de forma isolada,
centrados na memorização), e refletirem sobre sua prática pedagógica.
Ao longo dessas décadas o ensino da matemática tem sido
considerado o grande responsável por parte do fracasso escolar e,
consequentemente, vem atuando como gerador de exclusão de
significativa parte do alunado, contribuindo para conferir à escola um papel
elitista e discriminatório. Os Parâmetros Curriculares Nacionais de
Matemática (PCN - 1997, p. 24) ressaltam que “[...] a matemática tem sido
apontada como disciplina que contribui significativamente para elevação
das taxas de retenção”. Ainda apontam para os baixos índices de
desempenho dos alunos na área de matemática, fatos esses que levam a
afirmar que são muitas as evidências que mostram que o ensino da
matemática “[...] funciona como filtro para selecionar alunos que concluem
ou não o ensino fundamental” (1997, p. 24).
Lorenzato (2006, p. 1) é contundente ao tratar a evasão e a exclusão
escolar e afirma que “[...] a exclusão escolar, seja por evasão, seja por
repetência, é grande e a matemática é a maior responsável por isso”.
A conseqüência deste fato não concentra-se na escola, não se
manifesta apenas na construção dos excluídos do espaço escolar e do
direito à escolaridade. Há o trauma, a “psique” que envolve esta realidade
e que é abordada pelos autores: Revuz (1970), Dienes (1974), Paulos
(1994), Fonseca (1997), Toledo (1997), Machado (1998), Knijnik (2006),
entre outros que apontam para um medo, um desconforto, um mito mundial em
relação ao ensino da matemática em todos os segmentos escolares. Esse quadro
da matemática pode ser encontrado em muitos países. O mito é uma realidade e
Toledo (1997, p. 10) afirma que “[...] no mundo todo têm sido realizadas várias
pesquisas com adultos que apresentam o que se convencionou chamar de
mathematics anxiety (ansiedade em relação à matemática)”.
13
Em Portugal, os professores Cruz e Mesquita (1995, p. 79), também
apontam para a elevada prevalência do medo em relação à matemática
como fobia, e alerta que este transtorno não marca somente a fase escolar
e “[...] que as dificuldades representam problemas nos anos que se
seguem”.
Em maio de 1998, Barco publicou em sua coluna Dois mais dois, na
revista Superinteressante, o artigo Receita contra a ansiedade da
matemática, no qual apresentou as preocupações da professora Sheila
Tobiss, chefe de orientação curricular da Universidade de Wesleyan em
Ohio, nos Estados Unidos da América. Ela trabalha desde 1970 com os
sintomas de ansiedade matemática dos jovens estudantes e, em 1975,
decidiu abrir no campus uma clínica para Ansiedade Matemática.
O mito ainda está presente, o bicho papão, o monstro. Knijnik (2006,
p. 24), ao fechar o seu texto apresentado no Encontro Nacional de Didática
e Prática de Ensino (Endipe), em 2006, afirma: “[...] na escola, novos monstros
estão a nos assustar. Agora, além dos monstros do formalismo e abstração da
Matemática dos matemáticos..., também os monstros dos homens da tecnologia”.
Bacquet (2001, p. 33), aborda o custo financeiro e psicológico
advindo do fracasso em matemática, embora sua análise seja feita com
referência à realidade francesa e o parâmetro monetário esteja
dimensionado por seguridade social, cabe um paralelo, sendo oportuno
citar sua reflexão:
Um ano ou dois repetidos, semanas de sessões de reeducação reembolsadas a 100% pela seguridade social nos centros especializados conveniados: o fracasso em matemática é uma ferida que custa caro, mas o preço a pagar é, na realidade, muito maior, pois os estragos na esfera afetiva são consideráveis. Quando uma criança escuta ou lê sobre seu boletim julgamentos pejorativos, ela recebe essas apreciações como definitivas...
14
É incontestável que, apesar de vários avanços conquistados no
ensino da matemática, sua realidade apresenta questões ainda
problemáticas que afligem a educação e desafiam a comunidade escolar a
refletir sobre os processos de ensino e aprendizagem. Machado (1998)
destaca que, na prática, os professores apegam-se ao livro didático para
desenvolver o conteúdo curricular e essa postura muitas vezes impede o
docente de se apropriar do contexto escolar e improvisar sua prática
pedagógica.
De acordo com Fonseca (1997, p. 19):
O aluno é treinado a adotar certos procedimentos, os quais o levarão à resposta esperada pelo professor. Esta prática educacional, embasada em modelos, repetições e utilização de regras, treina e conduz a uma aprendizagem mecânica, provocando, no aluno, a sensação de incapacidade, quando se depara em situações não treinadas em sala de aula.
De modo geral, nas salas de aula, em quase todas as escolas
espalhadas no território brasileiro, a distribuição de horas/aula semanais,
por disciplina, apresenta a mesma estrutura: para matemática e língua
materna uma média de seis horas/aula semanais no ensino fundamental e
médio, enquanto que as outras disciplinas têm um número de aulas que
gira em torno de duas. Frente a este grande quantitativo de horas
semanais, o contato dos professores de matemática e de português com
seus alunos é muito superior em relação ao dos seus demais colegas.
Logo, a contribuição para o desempenho dos seus alunos deveria ser
muito maior. Mas esta relação de proporcionalidade mais aulas, mais
formação não é destacada nos estudos sobre o ensino da matemática. O
professor Gannam (2002, p. 8) é muito enfático ao tratar desta questão
quando afirma que
O desempenho do professor é fundamental para a qualidade do ensino-aprendizagem. Considerando o número de aulas semanais de matemática que devem ser ministradas em todas as séries dos ensinos fundamental e médio, conclui-se que o professor dessa disciplina exerce um papel de
15
destaque junto aos alunos que tem sob sua orientação, pois seu contato com eles se faz de maneira particularmente intensiva.
Esta ação pedagógica intensiva parece não refletir resultados tão
expressivos. No levantamento1 que realizei na seção Obrigado professor,
da revista Nova Escola2, que publicou entrevistas com um grande número
de personalidades em destaque na mídia sobre suas representações dos
professores que mais lhes haviam marcado, apenas dois professores de
matemática destacaram-se, ou seja, 5,3% do total dos entrevistados. Tal
porcentagem é sugestiva da discrepância entre os resultados esperados a
respeito do desempenho dos mestres, de acordo com a reflexão do
professor Gannam, anteriormente citada.
Certos títulos de artigos e livros também reforçam a questão do mito
em torno da matemática. Temos por exemplo: O diabo dos números
(1997), de Hans Magnus Enzensberger, que traz na capa principal do livro,
logo abaixo do título, uma orientação aos leitores: “Um livro de cabeceira
para todos aqueles que têm medo de matemática”. O título da obra das
autoras Béatrice Rouver e Rossy Rouver, Sou péssima em matemática!
(1996), é bastante ilustrativo do quanto a matemática é fonte de
dificuldades para os alunos.
A realidade é preocupante e pode ser constatada nos resultados da
pesquisa feita em 2003 pelo Sistema Nacional de Avaliação da Educação
Básica (Saeb) - ação do governo desenvolvida pelo Instituto Nacional de
Estudos e Pesquisas Educacionais (Inep) - com cerca de 300 mil
estudantes de 4ª e 8ª série do ensino fundamental e da 3ª série do ensino
médio. Segundo o estudo, a maioria dos alunos da 4ª série apenas
demonstra habilidades elementares, conhecimentos que deveriam ser
assimilados por quem está concluindo a 1ª série, como a leitura de horas e
1 Foram levantados os dados em 38 edições da revista Nova Escola publicadas entre 1995 e 1999. 2 Tomando como referência Barros (2006).
16
minutos, somente em relógio digital, e a multiplicação com números de um
único algarismo.
Lorenzato (2006), também analisa o desempenho dos nossos alunos
e aponta para a formação do professor de matemática, afirmando existir
uma grande discrepância na proposta metodológica dos cursos de
matemática e o ensino realizado pelos egressos desses cursos. O jovem
professor é preparado sempre pelo método dedutivo, repleto de
demonstrações, e depois vai atuar ensinando de modo mais intuitivamente,
repleto de atividades experimentais. O autor (2006, p. 6) conclui:
Tal discrepância explica, em parte, os nossos elevados índices nacionais de reprovação em matemática, bem como as péssimas classif icações do Brasil nas olimpíadas internacionais.
Esses dados comprovam que, muitas vezes, o analfabetismo
matemático ainda aflige o sistema educacional brasileiro. Eles demonstram
que, mesmo depois de quatro anos de ensino fundamental, muitas crianças
não conseguem construir competências básicas para a vida cotidiana, nem
para prosseguir seus estudos até a 5ª série. Existe efetivamente um
quadro de analfabetismo recorrente de décadas de ensino inadequado.
Paulos (1994, p. 1) apresenta a sua visão quando afirma que:
[...] o analfabetismo em matemática, uma incapacidade de lidar confortavelmente com as noções fundamentais de número e de probabilidade, atormenta grande quantidade de cidadãos esclarecidos sob outros aspectos. As mesmas pessoas que têm arrepios quando palavras como “implicar” e “inferir” são confundidas, reagem sem o menor sinal de embaraço até aos mais egrégios solecismos numéricos.
Uma preocupação latente é o prejuízo advindo deste trauma
matemático que ultrapassa os muros da escola. Lorenzato (2006, p.1)
também partilha desta reflexão quando afirma que,
17
[...] o prejuízo educacional que a mais temida das matérias escolares causa não se restringe à escola, pois muitas pessoas passam a vida fugindo da matemática e, não raro, sofrendo com crendices ou preconceitos referentes a ela.
Em outra avaliação do Inep (2003), apenas 32% dos alunos do
ensino médio tiveram desempenho satisfatório nas provas de matemática
do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem). Os outros 68%
demonstravam conhecer o equivalente ao conteúdo da 8ª série do ensino
fundamental.
Neste trabalho, assumo que a matemática é um bem cultural de
necessidade e interesse coletivo. Machado (1998, p. 8) destaca esta
característica cultural da matemática quando afirma que,
[...] em todos os lugares do mundo, independente de raças, credos ou sistemas políticos, desde os primeiros anos de escolaridade, a matemática faz parte dos currículos escolares, ao lado da linguagem natural, como disciplina básica.
Garding (1981, p. 310) identifica a matemática como uma disciplina
fundamental e que tem de atender a vários interesses e afirma que esta
disciplina,
[...] não só deve servir aos seus usuários e à sociedade em geral, como também tem de cuidar dos seus próprios interesses. Significa isto, entre outras coisas, que a matéria deve ser ensinada de um modo matematicamente significativo, mas esta exigência deve ser olhada à luz das realidades da situação do ensino.
Olhando a matemática por esse ângulo, seria fácil imaginar que a
realidade do seu ensino não apresentaria problemas. Lima (1977, p.7)
revela seu desconforto em relação ao ensino da matemática, destacando
as dificuldades de um ensino acessível ao aluno de modo a levá-lo a
adquirir os conhecimentos matemáticos.
18
É estranhável que os mestres não tenham, até hoje, suspeitado que haja algo errado com o ensino da matemática. Pelo que qualquer observador pode constatar, chega-se à conclusão de que ou matemática é disciplina que só uns podem aprender, ou é ensinada de forma tão inadequada que somente alguns a aprendem.
Tendo como foco o aluno, Carvalho (1992, p. 15) indaga: “[...] por
que uma porcentagem tão pequena de alunos aprende matemática? Por
que a maior parte dos alunos afirma não entender matemática?” Passando
por Lima, no ano de 1964, e chegando até Kamii em 2007, o quadro desta
história nada mudou. Kamii (2007, p. 48) afirma: “Em muitas escolas, a
matemática continua sendo hoje um bicho-de-sete-cabeças”.
Existem elementos que possibilitam afirmar que a tarefa educacional
dessa disciplina não tem sido há anos eficaz, prazerosa, educativa e
produtiva para mestres e discípulos. Machado (1991, p.9) apresenta a
mesma impressão e confirma: “Ensinar matemática tem sido,
freqüentemente, uma tarefa difícil”. Para consolidar a imagem de que
grande parte da sociedade possui dificuldades em matemática é ilustrativa
a charge do cartunista Nine, da Folha de São Paulo (1999), que revela nos
seus traços o mito tão marcante da matemática na figura do docente desta
disciplina.
- Em Goiás, pistoleiros cobram 150 mil para matar agricultor, advogado 300 mil, padre 500 mil e
deputado 1 milhão.
- E quanto eles cobram para matar um professor de matemática?
19
Sempre busquei refletir sobre a educação, a educação matemática e,
conseqüentemente, a minha prática no ensino desta disciplina. Embora
isso já tenha sido dito anteriormente, julgo importante retomar: constato
que a educação de modo geral vem sendo amplamente estudada, mas a
educação matemática continua merecendo uma atenção redobrada, pois já
houve avanços, no entanto, ainda há muito por fazer. A motivação para
realizar uma pesquisa no campo da educação matemática, tendo como
foco o Movimento da Matemática Moderna (MMM), que foi um dos
baluartes desse ensino, orientou o meu interesse por realizar o Mestrado
em Educação na Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ). Com
este estudo, objetivo analisar que elementos (estrutura metodológica e os
conteúdos) do Movimento da Matemática Moderna estão presentes no
ensino da matemática hoje e são reconhecidos por professores como
originários daquele movimento.
Minha experiência em educação matemática transita pelas redes
pública e privada, como professor do ensino fundamental e médio, e do
terceiro grau nos cursos de Matemática, Pedagogia e Normal Superior.
Atualmente, além de minhas atividades no ensino da matemática, venho
atuando junto a professores da rede pública na sua formação continuada,
discutindo as dificuldades do ensino da matemática e as possibilidades de
um currículo integrado.
Esta dissertação está estruturada em quatro capítulos e, ao término
do texto, a título de conclusão, são apresentadas as considerações finais.
O primeiro capítulo apresenta o objeto de estudo e os caminhos
metodológicos adotados para o desenvolvimento da investigação. A
primeira parte do texto trata do objeto de estudo e a segunda parte
apresenta indicações metodológicas mais específicas. Nesta parte foi
ainda feita a caracterização dos professores que foram entrevistados.
20
O segundo capítulo descreve a trajetória da educação matemática no
Brasil, tomando como marco inicial aquela que apresentasse não somente
elementos que marcaram a história da educação matemática, mas,
principalmente, que apontasse dados da origem, causas e repercussões do
movimento.
O terceiro capítulo descreve o Movimento da Matemática Moderna,
que será considerado como continuidade do Movimento Reformador, com
objetivo de atualizar o currículo de matemática e reduzir o descompasso
existente entre a matemática ensinada no curso médio e aquela do curso
universitário.
O quarto capítulo destina-se a trabalhar com o tratamento e a análise
dos dados levantados junto a professores que atuaram quando ocorreu a
adesão ao Movimento da Matemática Moderna nas escolas estaduais de
Belo Horizonte.
21
CAPÍTULO 1
O OBJETO DE ESTUDOS E CAMINHOS METODOLÓGICOS
Este capítulo tem por objetivo apresentar aquilo que o próprio título
indica. Na sua primeira parte, o objeto de estudo, e, na segunda parte, os
caminhos metodológicos adotados para o desenvolvimento da
investigação.
Apresento ainda neste capítulo considerações sobre a relevância do
estudo e as possíveis contribuições que a dissertação pode oferecer, além
de apresentar a caracterização dos professores entrevistados que
constituíram a amostra intencional para o estudo.
1.1 – Objeto de estudo
Meu olhar se volta para as décadas de 60 e 70, tempo em que o
ensino de matemática, em diferentes países, foi fortemente influenciado
por um movimento de cunho internacional que se intitulou como
Matemática Moderna. Ou Matemática Nova, como o movimento foi
nomeado por Dienes (1967, p. 10):
Ao preço por que tem de se pagar a total compreensão matemática há que adicionar a vontade, por parte do professor, de ensinar o que podemos apelidar de
22
matemática “nova”, ou quando mais não seja, a matemática “antiga” encarada de novo ângulo.
A proposta nasceu como um movimento educacional inscrito numa
política de modernização econômica na América do Norte e na Europa. Os
EUA temiam perder sua supremacia política, tendo em vista o atraso
tecnológico em relação à União Soviética, caracterizado pelo lançamento
do primeiro foguete artificial russo, o Sputinik, em 1957.
Assim, em sua origem, esse movimento tinha como finalidade
modernizar o ensino dessa área do conhecimento, adequando-a as
necessidades de expansão industrial, que orientavam a reconstrução no
pós-guerra, e atendendo às exigências de uma sociedade em acelerado
avanço tecnológico.
Nesse contexto, a matemática foi colocada na linha de frente por se
considerar que, juntamente com a área de ciências naturais, ela se
constituía como via de acesso privilegiado para o pensamento científico e
tecnológico.
No final da década de 50, a Organização Européia de Cooperação
Econômica (OECE) 3criou um departamento com o objetivo de tornar mais
eficaz o ensino de ciências e matemática. De acordo com Pires (2000, p.
56):
Em 1959, a OECE promoveu o Colóquio de Royamount, tendo como meta a reformulação dos currículos em vigor. Após o colóquio, foi elaborado o Programa Moderno da Matemática para o Ensino Secundário, publicado em 1961 com o título Mathématiques Nouvelles, sob a coordenação de Marshall H. Stone e com a participação de vários especialistas.
3 A OECE é uma organização que compreende os países seguintes: Alemanha, Austrália, Bélgica, Dinamarca, Espanha, França, Grécia, Irlanda, Islândia, Itália, Luxemburgo, Noruega, Holanda, Portugal, Reino Unido, Suécia e Turquia. Eles participaram como membros associados aos Estados Unidos e ao Canadá.
23
Para compreender melhor a necessidade dessa modificação nos
currículos é indispensável ter em mente que, nas primeiras décadas do
século XX, os esforços dos matemáticos se concentravam na busca de um
enfoque unificador da matemática. Da mesma forma, os líderes do
movimento procuraram, em síntese, buscar aproximar a matemática
escolar daquela produzida nas academias.
Como os líderes da Matemática Moderna eram matemáticos de
renome mundial, isso contribuiu para que o movimento se tornasse um dos
principais marcos das reformas realizadas nos últimos sessenta anos
nesse campo de conhecimento, provocando alterações curriculares em
países com sistemas educativos tão diversos como Estados Unidos,
Inglaterra, França, Bélgica, Brasil, a ex-União Soviética, Nigéria, dentre
outros.
Em julho de 1962, no Brasil, mais precisamente em Belém do Pará,
ocorreu o IV Congresso Brasileiro do Ensino da Matemática, no qual se fez
referência, pela primeira vez, ao Movimento da Matemática Moderna no
ensino secundário em trabalho apresentado pelo Grupo de Estudos no
Ensino da Matemática (Geem4), em parceria com a Secretaria da Educação
do Estado de São Paulo (SEE-SP). O Geem foi fundado em outubro de
1961 e sua equipe de pesquisadores era formada por professores
universitários e secundários de matemática, psicólogos e pedagogos. Em
seu livro Introdução à história da educação matemática Miorim (1998, p.
114) aponta a participação do Geem no congresso:
Durante o IV Congresso Nacional de Ensino da Matemática, realizado em Belém – PA, em 1962, o GEEM levou alguns
4 Fundado em outubro de 1961, trata-se do Grupo de Estudos de Ensino da Matemática que objetiva principalmente coordenar, e divulgar a introdução da Matemática Moderna no Brasil. O Geem tem por finalidade:
a) incentivar, coordenar, divulgar e atualizar a matemática, bem como o seu ensino nos cursos primário, secundário e normal;
b) promover intercâmbio com entidades emergentes e Centros Universitários nacionais e estrangeiros a fim de que se introduz no ensino brasileiro, na medida dos recursos pedagógicos, os fundamentos da matemática contemporânea.
24
exemplos de trabalhos bem–sucedidos com a Matemática moderna e apresentou uma proposta de programa para a escola secundária, orientado pelas idéias modernizadoras.
Esse movimento, no tocante ao Brasil, conseguiu, em todos os níveis
de ensino, a adesão maciça dos professores, o que contribuiu para que
todos pudessem unir esforços para adquirir verbas para elaboração e
implementação de currículos, incluindo suas orientações.
Um dos materiais elaborados, que serviu de modelo para a
publicação de livros didáticos, foi editado em 1967 pela Fundação
Brasileira para o Desenvolvimento do Ensino de Ciências. Tal publicação
foi traduzida originalmente dos textos organizados pelo School
Mathemetics Study Group (SMSG), da série Mathematics for High School,
publicados em inglês pela Yale University Press, New Haven, nos EUA, em
1961. A obra foi traduzida e adaptada por Lafayette de Moraes e Lydia
Conde Lamparelli e editada em quatro volumes.
Desse modo, a matemática a ser ensinada era aquela concebida com
lógica, compreendida a partir das estruturas que conferiam um papel
fundamental à sua linguagem. Os formuladores dos currículos dessa época
insistiam na necessidade de uma reforma pedagógica, incluindo a pesquisa
de materiais novos e métodos de ensino renovados – fato que
desencadeou a preocupação com a didática da matemática, intensificando
a pesquisa nessa área com o aparecimento de grandes grupos de estudo
nas regiões sul e sudeste do país. O Geem, já citado, é um dos exemplos
desses grupos. Esse fato pode ser apontado como um dos pontos de
grande, senão de maior relevância desse movimento no Brasil.
Em posição oposta é possível também afirmar que um dos grandes
equívocos metodológicos da proposta foi aproximar a matemática escolar
da matemática pura, centrando o ensino nas estruturas e fazendo uso de
uma linguagem unificadora. A reforma deixou de considerar um ponto
básico que viria se tornar seu maior problema: o que se propunha estava
25
fora do alcance dos alunos, em especial daqueles das séries iniciais do
ensino fundamental, e os próprios professores não dominavam grande
parte desse conteúdo.
É pertinente, nesse momento, chamar a atenção para a distinção
entre a matemática dita clássica e a matemática moderna. Essa distinção
está centrada na pressuposição de que existe uma ruptura entre as duas.
Entretanto, não existiu uma oposição de conteúdos entre elas, como bem
enfatiza o matemático Adler (1970, p. 21): “[...] a matemática moderna não
substitui a matemática clássica, apenas a generaliza, suplementa, unifica e
aprofunda o conhecimento que dela temos”.
O matemático Revuz (1980, p. 35) complementa essa análise ao
afirmar:
É fato que a chamada matemática moderna utilizou como sustentação a chamada matemática clássica, determinando assim um elo de dependência entre as mesmas, em que uma apóia, absorve, utiliza e ordena a outra.
No Brasil, a matemática moderna foi veiculada principalmente pelos
livros didáticos e teve grande influência. O ensino passou a ter
preocupações excessivas com abstrações internas à própria matemática,
mais voltadas à teoria do que à prática. A linguagem da teoria dos
conjuntos, por exemplo, foi introduzida com tal ênfase que a aprendizagem
de símbolos e de uma terminologia interminável comprometia o ensino do
cálculo, da geometria e das medidas.
O movimento teve seu declínio a partir da constatação da
inadequação de alguns de seus princípios e das distorções ocorridas na
sua implantação.
Este estudo focaliza repercussões na atualidade da matemática
moderna, no ensino da matemática. Ou seja, a existência ou não de
26
fragmentos metodológicos ou de conteúdos ainda presentes no ensino de
matemática nos dias atuais.
Alguns questionamentos básicos orientam esta proposta de
pesquisa. Coloco as questões a seguir tendo como foco as cinco décadas
do Movimento da Matemática Moderna no ensino no país:
• Que elementos deste movimento estariam presentes nos programas de ensino de matemática para o segundo segmento do ensino fundamental?
• A origem desses elementos é reconhecida pelos professores? • Quais as contribuições (positivas ou negativas) do legado do
movimento da matemática moderna para o ensino desta disciplina hoje?
A pesquisa foi desenvolvida buscando analisar quais elementos (a
estrutura metodológica e os conteúdos) do Movimento da Matemática
Moderna estão presentes na prática de professores de matemática e quais
elementos são reconhecidos como tal por docentes do ensino fundamental
da rede estadual de educação de Belo Horizonte.
De modo específico, este estudo objetivou:
a) Identificar e caracterizar o Movimento da Matemática Moderna,
levantando os conteúdos propostos por ele e analisando seu legado pedagógico para o ensino da matemática.
b) Identificar e apontar, na prática atual de professores de
matemática, os elementos do movimento presentes em sua atuação.
c) Rastrear a crítica que os professores de matemática fazem em
relação aos resultados positivos e negativos do movimento da matemática moderna no ensino.
27
A realização deste trabalho tem relevância, uma vez que não foram
identificadas pesquisas realizadas sobre o tema com professores de
matemática do ensino fundamental da rede pública estadual em Belo
Horizonte. Julgo que o trabalho pode oferecer contribuições para
profissionais da educação e da educação matemática. Os futuros e atuais
professores da matemática terão um material para que possam lançar
olhares sobre a trajetória do ensino desta disciplina e suas influências
hoje. Estudiosos e organizadores de currículos também terão subsídios
para analisar, refletir, contrapor e sugerir seus estudos.
1.2 – Caminhos metodológicos
Este estudo teve como pressuposto a hipótese de que ainda hoje
temos nos programas de ensino das Secretarias Estaduais de Educação,
nos currículos das escolas, nos planos de curso de professores, nos livros
didáticos, enfim, na sala de aula (e todos esses instrumentos pedagógicos
são de grande influência na ação do professor) elementos da proposta do
Movimento da Matemática Moderna que estão, de forma consciente,
presentes na prática pedagógica do professor.
A metodologia utilizada nesta pesquisa compreendeu os mais
variados caminhos para a obtenção efetiva de dados. Para atender aos
objetivos deste trabalho, desenvolvi uma pesquisa que envolveu uma parte
bibliográfica e uma parte empírica.
Trata-se de uma investigação que pode ser considerada uma
pesquisa qualitativa. Um dos valores da pesquisa qualitativa é apresentar
características multimetodológicas, isto é, utilizar grande variedade de
procedimentos e instrumentos de coleta de dados. Bogdan e Biklen (1994)
28
ressaltam que esse tipo de pesquisa segue a tradição interpretativa. Isso
significa que partem do pressuposto de que as pessoas agem em função
de suas crenças, percepções, sentimentos e valores.
A parte deste trabalho que requereu um levantamento bibliográfico,
de modo específico, atendeu ao objetivo de identificar e caracterizar o
Movimento da Matemática Moderna, levantando os conteúdos propostos
pelo movimento e analisando o seu legado pedagógico para o ensino da
matemática. Dentre os autores que foram referência para a construção
deste capítulo, destaco, Euclides Roxo (1937), Zoltan Dienes (1974),
Manuel Jairo Bezerra (1962), Carl Boyer (1974), Irving Adler (1970),
Ubiratan D’Ambrósio (1996) e André Revuz (1980).
A parte empírica foi realizada buscando levantar os conteúdos
propostos pelo Movimento da Matemática Moderna na prática de
professores, visando estabelecer uma relação entre tais conteúdos e
identificar elementos do movimento ainda presentes no ensino hoje.
Consistiu na análise de relato de professores (uma amostra) que atuam no
ensino da matemática.
Pelo período histórico que envolve a pesquisa, uma trajetória de
aproximadamente 45 anos, a estratégia utilizada para localizar o grupo de
professores de matemática foi realizar um levantamento em parceria com a
Secretaria de Estado de Educação de Minas Gerais (SEE-MG). Utilizando
seu banco de dados funcionais, foram levantados quais professores faziam
parte de seu quadro de funcionários nas décadas de 60 e 70 que ainda
encontravam-se na ativa e em qual escola esses professores estão
lotados. Quando projetei as etapas metodológicas da pesquisa, esta fase
pareceu-me ser a mais simples de todas para a execução. Mas os dados
nas escolas não estavam totalmente disponíveis ou não estavam em um
nível de organização como supunha e desejava. Busquei e bati em muitas
portas, mas, graças à sensibilidade de uma funcionária sobre a
29
importância de pesquisar em prol da educação, o cenário se modificou5. O
levantamento (anexo I) foi cedido pela Secretaria Estadual de Educação do
Estado de Minas Gerais, que propiciou as condições para a montagem da
amostra.
A amostra satisfatória para a necessidade da pesquisa foi
determinada pelo critério do tipo da população em que estava interessado:
entrevistar professores que atuaram na regência entre os anos de 1965 a
1975 e que ainda estavam em sala de aula, tendo assim em mãos uma
amostra intencional. Para Selltiz e Jahoda (1967, p. 584), a suposição
básica desse tipo de amostra
[...] é que, com bom julgamento e uma estratégia adequada, possamos escolher os casos que devem ser incluídos na amostra e, assim, chegar a amostras que sejam satisfatórias para nossas necessidades. Uma estratégia comum da amostragem intencional é escolher casos julgados como típicos da população em que estamos interessados, supondo-se que os erros de julgamento na seleção tenderão a contrabalançar-se.
Dentre as estratégias de pesquisa para levantar os dados para a
investigação empírica, utilizei o questionário e entrevistas com professores
de matemática do segundo segmento que atuam nas seis escolas mais
antigas (de um rol de 14 fundadas até o início da década de 60) da rede
estadual de educação de Belo Horizonte desde meados da década de 60.
Tais escolas foram selecionadas pelo fato de que, sendo as mais antigas,
tiveram oportunidade de vivenciar o Movimento da Matemática Moderna na
década de 60 do século XX e, portanto, seus quadros docentes teriam
professores que vivenciaram o movimento, como indicado pelo
levantamento realizado conforme os dados da SEE-MG com professores
na regência no período de 1965 a 1975.
5 Pelo empenho em indicar os caminhos dentro da SEE-MG para obter os dados necessários para montagem da amostra do projeto, sou muito grato à assessora Maria de Lourdes Carvalho.
30
Selltiz e Jahoda (1967, p. 267) ao comparar entrevista e questionário
chamam a atenção para o fato de que “[...] embora as entrevistas e os
questionários confiem muito na validade das descrições verbais existem
grandes diferenças entre os dois métodos”.
Os autores apontam que, num questionário, a informação limita-se às
respostas escritas através de questões pré-determinadas. Na entrevista
existe oportunidade para maior flexibilidade para a obtenção de
informações, além da oportunidade do pesquisador observar o entrevistado
e a situação total a que responde.
Selltiz e Jahoda (1967, p. 270) ampliam a reflexão sobre os
questionários e apontam para a pequena população que tem condições de
preencher um questionário:
Uma das principais dif iculdades do questionário usual é o fato de ser adequado apenas para pessoas com grande educação formal. Os questionários complexos, que exigem extensas respostas escritas, só podem ser usados com pequena porcentagem da população. Mesmo muitos universitários formados têm pouca facilidade para escrever e, dentre os que têm, poucos têm a paciência ou a motivação para escrever tanto quanto falariam.
Neste contexto, a aplicação de “questionário” foi selecionada com o
objetivo de caracterizar os professores sujeitos dessa investigação. O
questionário foi considerado o instrumento mais adequado para esta etapa,
pois, ainda segundo Gil (1987, p.124), ele apresenta, entre outras
características, as de: ”[...] economizar tempo, gerar menor gasto, impedir
o pesquisador de influenciar nas respostas”.
Do total de 115 professores de matemática localizados pelo
levantamento realizado nas seis escolas selecionadas, 38 receberam
pessoalmente o questionário (anexo II). Aos demais professores o
questionário foi encaminhado por meio das coordenações pedagógicas.
31
QUADRO DE PROFESSORES POR ESCOLA
Escola Efetivos Efetivados Designados Total A 7 0 3 10 B 17 3 6 26 C 7 3 3 13 D 6 4 4 14 E 19 6 3 28 F 16 4 4 24
Total 72 20 23 115 Fonte: SEE-MG
Do montante de questionários encaminhados (115 exemplares), 62
foram respondidos. Os questionários foram examinados para selecionar os
professores que atendiam ao critério de atuação no período da introdução
do Movimento da Matemática Moderna, sendo identificados 18 professores.
Destes, um total de seis professores se dispuseram a serem entrevistados.
Entre os tipos de entrevista, optei pela semi-estruturada para
levantar dados com os professores sobre os conteúdos que eles
reconhecem ou não como pertencentes ao Movimento da Matemática
Moderna. De acordo com Denker (2001, p. 70):
A entrevista semi-estruturada permite maior f lexibilidade para a obtenção de informações. A relação que se cria durante esse tipo de entrevista é de interação, havendo uma atmosfera de influência recíproca entre quem pergunta e quem responde, permitindo a captação imediata e corrente da informação desejada.
As entrevistas foram realizadas nos meses de dezembro de 2008 e
janeiro de 2009. Pelo perfil dos informantes e sua faixa etária, julguei ser
pertinente conduzir as entrevistas por meio de gravação em fita-cassete,
buscando não causar incômodo a eles, garantir receptividade e agilidade
no processo, mesmo ciente dos cuidados que a transcrição requer.
Entretanto, na fase de realização das entrevistas, nem todos os
professores se sentiram a vontade com o gravador. Pude perceber o
32
incômodo do uso do gravador na segunda entrevista, fato que se repetiu
também na quinta. Optei por não fazer gravações na entrevista
subseqüente, tendo que me empenhar no registro das falas no momento
em que elas ocorriam. As falas também não puderam ter um registro
integral. Busquei manter, entretanto, fidelidade ao conteúdo das idéias.
Durante a realização das entrevistas pude compreender como é
difícil manter o “silêncio” para não interferir e, principalmente não impor os
desejos e necessidades do pesquisador. Não é tarefa fácil abster-se de
emitir opiniões. De fato o entrevistador acaba por reconhecer que, no
momento de entrevista, se instala uma relação de aprendizagem, com
acertos e erros em um ritual de trocas amplas e variadas.
Na busca de outros dados, durante o desenvolvimento do projeto,
foram realizados levantamentos de documentos tais como: programas da
SEE-MG, livros didáticos que reportam aos elementos do Movimento da
Matemática Moderna, entre outros. A decisão na aplicação do
levantamento documental refere-se ao tipo de documento que necessitei
selecionar principalmente para a construção do capítulo três.
A análise dos dados foi um momento da pesquisa que requereu um
trabalho cuidadoso e muito empenho. Segundo Patton, (apud André, 1982,
p. 43), “[...] a análise de dados qualitativos é um processo criativo que
exige grande rigor intelectual e muita dedicação”.
A análise de dados foi realizada, em parte, paralelamente à coleta de
dados. Entre os caminhos adotados para a análise de dados, a estratégia
apropriada esteve centrada em dois momentos: leitura e releitura dos
dados. Este método ofereceu uma boa margem de segurança para esta
fase do estudo. No primeiro momento, uma grande leitura exploratória de
“garimpo de atributos”, características comuns entre os elementos
observados em todo material coletado, sejam entrevistas, questionários e
documentos. Na medida em que as observações sugeridas pelos próprios
33
dados foram aflorando, as imagens (atributos) foram destacados através
de grifos e anotações nos próprios textos.
Patton (apud André, 1982, p. 43) afirma que esses procedimentos de
anotar “[...] podem indicar a fonte de informação, o tópico ou tema tratado,
ou ambos, resultando numa primeira forma de classificação dos dados”. No
segundo momento, após “batear” todos os dados e selecioná-los, o
caminho foi reexaminar todas as anotações, buscando descobrir padrões e
temas mais freqüentes. A partir deste produto foi possível caminhar na
elaboração do relatório que foi produzido nos meses de dezembro de 2008
e janeiro de 2009.
34
CAPÍTULO 2
O ENSINO DA MATEMÁTICA NO BRASIL
Este capítulo tem por objetivo apresentar uma visão retrospectiva do
ensino da matemática no Brasil ao longo de um período que remonta à
época dos jesuítas (1549) aos anos 60 do século XX, com o intuito não
somente de descrever uma trajetória, mas apontar elementos que
marcaram a educação matemática e tiveram um desfecho no Movimento da
Matemática Moderna.
Tomo como referência as contribuições de Bicudo (1942), Silva
(1959), Lima (1974), Boyer (1974), Eves (1995), Valente (1999, 2002),
Mendes (2006), Fiorentine e Lorenzato (2006), entre outros.
2.1 – A proposta dos jesuítas para o ensino da
matemática
Dos primeiros passos a uma boa parte (mais de 250 anos) da história
da educação matemática no Brasil, sua trajetória esteve atrelada à
proposta pedagógica do ensino secundário, que foi por mais de dois
séculos regido pela batuta dos padres jesuítas. Lima (1974, p. 23)
descreve bem e credita aos jesuítas a organização e a condução dos
primórdios da educação brasileira. Ele afirma que:
35
Durante 259 anos, de 1500 a 1759, os jesuítas montaram, quase clandestinamente, uma “rede escolar” (“rede” à falta de outro termo) de caráter estritamente profissional (preparação de clérigos e de amanuenses6 para a colônia das companhias de comércio e navegação), “rede”, contudo, que, provavelmente, nunca deve ter alcançado, mesmo no seu auge, número superior a 3.000 (três mil) alunos.
A proposta da Companhia de Jesus durante todo este período foi
totalmente direcionada para a tradição clássico-humanista. Nessa estrutura
existia uma tríade de disciplinas intocáveis e insubstituíveis: a retórica, as
humanidades e a gramática. Miriom (1998, p. 83) afirma que “[...] a
matemática nas escolas secundárias dos colégios jesuítas não existia,
mesmo em cursos que exigiam alguns conhecimentos básicos da
matemática”.
Miorim (1998, p.83) é contundente em apresentar esse retrato do
ensino secundário e, consequentemente, do ensino de matemática:
Temos poucas informações sobre o ensino de matemática existente nos colégios que os jesuítas estabeleceram no Brasil – apenas alguns anos após a sua chegada, em 1549 -, mesmo naqueles em que foram criados os cursos de artes, como o Colégio da Bahia.
A autora (1998, p. 83) ainda explicitou uma conclusão referente à
afirmação acima, dizendo que “[...] esse talvez seja um indicativo de que
os estudos matemáticos fossem pouco desenvolvidos nessas escolas que
enfatizam a tradição clássico-humanística”.
Valente (1999) também aponta o pequeno conhecimento histórico
sobre a educação matemática nos colégios jesuítas, onde se tinha uma
pequena passagem sobre o ensino da aritmética. O autor (1999, p. 29)
descreve:
6 Empregado de repartição pública, encarregado geralmente de fazer cópias, registros e alguma correspondência oficial.
36
Sobre o ensino das matemáticas nos colégios jesuítas do Brasil quase nada sabemos. Muito brevemente, Leite cita que “o ensino da Matemática no Brasil principiou naturalmente por onde deveria começar, isto é, pela lição de algarismos, ou primeiras operações, ensino gradativamente elevado, mencionando-se em 1605 nos três colégios da Bahia, Rio de Janeiro e Pernambuco a aula de Aritmética.
A matemática, no tempo dos jesuítas, era classificada como ciência
vã, pois muitos padres da Companhia de Jesus apresentavam grandes
ressalvas ao conteúdo matemático. Uma dessas preocupações centrava-se
na gematria7, uma das três espécies de operações da cabala8 literal e que
consiste em comutações e combinações de letras. Também a busca de
relações abstratas que, aparentemente, não ocupam nenhum lugar na
escala dos seres era o maior incômodo dos jesuítas.
Miorim (1998, p. 82) apresenta, de maneira muito consistente, essa
hostilidade dos jesuítas em relação à matemática. E afirma:
Muitos jesuítas não viam com bons olhos as matemáticas. Os estudos das relações misteriosas entre números e entre estes e as letras – a gematria – inquietavam os religiosos. Além disso, a “busca de relações abstratas que, aparentemente, não ocupam nenhum lugar na escala dos seres” era encarada como uma ciência vã.
Esta condição de ciência vã, rótulo concebido pela grande maioria
dos jesuítas, mudou no ano de 1759, quando toda a educação brasileira
sofreu uma grande mudança. Como Lima (1974, p.23) apresenta os fatos:
“[...] em 1759, cinqüenta anos antes da família real portuguesa refugiar-se
na colônia, Pombal, o poderoso ministro anticlerical, expulsou da colônia
os padres jesuítas”.
7 Parte da cabala judaica fundada sobre a interpretação aritmética ou geométrica das palavras da Bíblia .(Houaiss, 2009) 8 Interpretação ou método interpretativo das escrituras bíblicas (Antigo Testamento) [...] com base em [...] operações e recursos simbólicos, envolvendo especialmente anagramas, transposições de letras etc., a atribuição de valores numéricos às letras do alfabeto hebraico e de significado aos números [...]. (Houaiss, 2009)
37
Com a retirada da Companhia de Jesus do cenário brasileiro, em
1759, consequentemente, da educação, o sistema educacional do país,
que era regido apenas pelos jesuítas, ruiu. Para Lima (1974, p. 75):
A expulsão dos jesuítas foi talvez a única “reforma” drasticamente revolucionária que tivemos, pois não foi possível substituir os 600 (seiscentos) padres expulsos (30 e poucos por unidade escolar), problema que atravessou o fim da colônia, o império todo, vindo até a primeira república.
2.2 – O ensino da matemática na reforma pombalina
Sem a estrutura escolar jesuíta ficou um vazio no sistema escolar
brasileiro. Segundo Miorim (1998, p. 83),
[...] a partir de 1772 foram criadas pela reforma pombalina as chamadas “aulas régias” – aulas de disciplinas isoladas – cujo objetivo consistia em preencher a lacuna deixada pela eliminação da estrutura escolar jesuíta.
Lima (1974, p. 75) também reconhece que as ações do ministro
anticlerical tinham por objetivo retirar os jesuítas e que:
A criação das “aulas régias” (cadeiras autônomas) – substituição precária e aleatória dos “colégios” (seminários) voltados para as elites latifundiárias e o subsídio literário destinado às escolas públicas nos vilarejos as providências de Pombal tinham por objetivo substituir os padres.
A reforma pombalina gerou um retrocesso em termos institucionais.
Para Miorim (1998, p. 83), as aulas régias (“aulas avulsas”) eram
ministradas em “[...] locais diferentes, sem nenhuma articulação entre elas
e sem planejamento do trabalho escolar. Além disso, os professores
recrutados para essas aulas não possuíam uma formação adequada”.
38
Apesar do grande retrocesso que sofreu a educação brasileira, foi o
momento da expansão matemática. Podem ser apontados dois motivos:
a) Sem os jesuítas a hostilidade em relação à matemática deixou de existir por parte das escolas religiosas.
b) Foi por meio das aulas régias que os conteúdos escolares
começaram a ser modificados com a introdução de novas disciplinas e, entre elas, a aritmética, a álgebra e a geometria começaram a aparecer.
Silva (apud Miorim, 1998, p. 84) apresenta também este fato e afirma
que “[...] ao lado das matérias do ensino literário e religioso – o latim, a
retórica, o grego, o hebraico, a filosofia, a teologia – a paisagem escolar do
Brasil inclui as matemáticas”.
Embora a aritmética, a geometria e a álgebra, com as cadeiras
autônomas, tenham conquistado um espaço legal para serem ministradas,
ainda não haviam obtido a sua efetivação plena. De fato as aulas régias,
pelas suas estruturas (cadeiras autônomas), apresentavam para as
disciplinas uma baixa frequência.
Miorim (1998, p. 84) faz uma reflexão sobre a baixa frequência das
aulas de matemática, afirmando que: “É claro que a introdução legal das
aulas de matemática não era uma garantia de que elas seriam populares e
nem mesmo de que seriam realmente efetivadas na prática”.
Mas a grande ausência de alunos ou mesmo inexistência de algumas
aulas régias não foi um privilégio e tão pouco estava centrada nas
matemáticas, ocorrendo com outras disciplinas. Miorim (1998, p. 86 e 87)
descreve as aulas avulsas como lastimáveis, aponta a falta de inspeção,
39
incentivo e orientação como algumas das causas deste estado. Ela é
contundente ao apresentá-las:
O estado lastimável em que se encontrara o ensino secundário no município da corte, reduzido a poucas aulas avulsas, sem nenhuma inspeção, incentivo ou orientação, onde os professores escolhiam seus horários de aula e os conteúdos de suas lições, e os alunos matriculavam-se e retiravam-se das aulas quando bem entendessem.
As condições precárias do ensino levaram os ministros do império (a
partir de 1833) a propor modificações para romper com esta realidade. As
aulas avulsas foram aos poucos suprimidas, sendo criadas novas
propostas e, com elas outros estabelecimentos de ensino. Foram criados
seminários e colégios mantidos e fiscalizados por outras ordens religiosas
e os liceus, que passaram a reunir e fiscalizar as aulas avulsas existentes.
Estes estabelecimentos, sendo preparatórios, ofereciam apenas as
matérias exigidas pelos exames de seleção das escolas superiores. Tais
exigências eram ainda em grande parte restritas aos estudos humanísticos
e, assim, a oferta de disciplinas matemáticas era muito limitada.
2.3 – O ensino da matemática com a criação do Colég io
Pedro II
Em 1837 foi criado o Colégio Pedro II, a primeira escola secundária
pública da cidade do Rio de Janeiro, inspirada na organização dos colégios
franceses, o que representou um primeiro passo na direção de mudanças
no ensino secundário brasileiro. Miorim (1998, p. 87) descreve a criação do
Colégio Pedro II:
Em 1837, porém, o ministro e secretário de Estado da Justiça e Interino do Império, Bernardo Pereira de
40
Vasconcelos, inspirado na organização dos colégios franceses, criou a primeira escola secundária pública da cidade do Rio de Janeiro, o Colégio Pedro II.
Com a criação do Colégio Pedro II, pela primeira vez é apresentado
um plano gradual e integral de estudos para o ensino secundário, onde os
alunos eram promovidos por série e não mais por disciplina. Nesta
proposta, mesmo mantendo a predominância das disciplinas clássico-
humanistas, outras disciplinas também foram contempladas.
Miorim (1998, p. 87) descreveu o plano de estudo e apontou para o
espaço pedagógico que as matemáticas adquiriram no projeto do Colégio
Pedro II:
Nesse plano de estudo, nos moldes dos colégios franceses, predominaram as disciplinas clássico-humanistas. Apesar disso, as matemáticas, as línguas modernas, as ciências naturais e físicas e a história seriam também contempladas, mostrando uma tentativa de conciliação ente o ensino clássico e as tendências modernas [...] As matemáticas – aritmética, geometria e álgebra – tiveram, assim, seu lugar garantido e apareceram em todas as oito séries do curso.
No Colégio Pedro II, as matemáticas encontravam os seus espaços
como disciplinas, independente das reformas que os planos de estudo
sofressem. Passando do clássico para o científico, não importando quem
predominasse, a matemática esteve sempre presente com pequenas
variações, como por exemplo: quantidade de horas destinadas ao seu
ensino.
Miorim (1998, p. 87) confirma este reconhecimento afirmando:
Em todas as várias reformas pelas quais passariam os planos de estudo do Colégio Pedro II, durante o período imperial, ora predominava o ensino clássico, ora o científ ico, as matemáticas – com a inclusão da trigonometria – estiveram sempre presentes, variando apenas a quantidade de horas destinadas ao seu ensino e, em alguns momentos, a profundidade de seus conteúdos.
41
Com a República, todo o sistema educacional brasileiro passou por
profunda modificação através da Reforma Benjamin Constant9, que
representou uma ruptura com a tradição clássico-humanista presente até
então no ensino secundário. Tentava-se introduzir uma formação científica
em substituição à formação literária existente. Entretanto, isso se realizou
não pela eliminação das disciplinas tradicionais. Tal fato ampliou ainda
mais o currículo da escola secundária, tornando-o, na visão de muitos,
inexeqüível e suscitando várias manifestações contrárias a ele, as quais
tiveram efeitos imediatos.
Várias reformas ocorreram após a de Benjamin Constant, porém
nenhuma produziu uma mudança significativa no ensino brasileiro. Tal
mudança ocorreria efetivamente a partir de novas correntes educacionais
surgidas no final do século XIX, na Europa e nos Estados Unidos, que
vieram responder às modificações sociais e econômicas da época:
expansão da indústria e dos centros urbanos, desenvolvimento agrícola e o
surgimento de escolas técnicas. A nova proposta educacional deveria ser
uma reação sistematizada contra o velho serviço educacional,
considerado, então, como artificial e verbalista.
2.4 – O Movimento da Escola Nova, a Reforma Francis co
Campos (1931) e o ensino da matemática
A nova proposta educacional, conhecida como o Movimento da
Escola Nova, produziu reflexos na escola primária brasileira que, a partir
de 1920, começou a alterar a fisionomia da educação no Brasil, incluindo-
se as escolas secundárias. É criada a Associação Brasileira de Educação,
9 Primeiro ministro a ocupar a pasta do Ministério da Instrução, Correios e Telégrafos (no ano de 1890).
42
que promoveu conferências nacionais e ampla discussão sobre as
questões pedagógicas, fomentando o movimento de renovação da
educação brasileira.
Conforme Miorim (1998), o Movimento da Escola Nova englobava
uma variedade de correntes pedagógicas modernas e alguns princípios até
mesmo divergentes, porém havia duas diretrizes básicas: o “princípio da
atividade” e o “princípio de introduzir na escola situações da vida real”.
Inicialmente o movimento não atingiu as escolas secundárias, que
permaneciam promovendo um ensino sem relação com a vida do aluno,
baseado na memorização e na assimilação passiva de conteúdos. Porém o
debate educacional vigente não deixaria de apresentar seus reflexos na
escola secundária, em especial em relação ao ensino da matemática.
Fiorentine e Lorenzato (2006) apontam que o movimento
escolanovista trouxe grandes conseqüências para a educação matemática,
onde vamos ver surgir os primeiros “educadores matemáticos”, com
destaque para Euclides Roxo, e a produção dos primeiros manuais de
orientação pedagógica de matemática. Assim os autores (2006, p.17)
apresentam o movimento:
O movimento “escolanovista”, desencadeado a partir da década de 1920, no Brasil, seria de grande consequências para a Educação Matemática. Engajados nesse movimento educacional vemos surgir os primeiros “educadores matemáticos” – se é que podemos assim chamá-los – e, com orientação didático-pedagógica de matemática. Destacam-se, entre outros, Everardo Backheuser, com relação ao ensino de matemática na escola primária, e Euclides Roxo, com relação ao ensino secundário e às reformas curriculares.
Em 1931, Francisco Campos10 primeiro ministro a ocupar a pasta do
recém criado Ministério da Educação e Saúde Pública, realizou uma
10 Francisco Luís da Silva Campos: nasceu em Dores do Indaiá em 18 de novembro de 1891 e faleceu em Belo Horizonte no dia 1º de novembro de 1968. Filho do juiz de direito Jocinto Álvares da Silva Campos e de Azejúlia de Sousa e Silva, Francisco Campos foi jurista e político, sendo
43
reforma que contemplou o ensino secundário. O ministro Campos, na sua
exposição de motivos, que é muito elogiada por Lima (1974, p.99), afirma
[...] ser surpreendente a lucidez da exposição de motivos de Campos comparada com as pífias discussões em torno de preparatórios e parcelados que se faziam nas décadas anteriores (1889 – 1930).
Ele deixa evidente a intenção de conferir ao ensino secundário um
caráter “eminentemente educativo”, que ultrapassasse o caráter
propedêutico. Campos também se preocupa com a modernização dos
conteúdos, mas também com a modernização dos métodos de ensino.
Romanelli (apud Miorim 1998, p. 94) afirma que foi na reforma de
Francisco Campos que se estabeleceu “[...] definitivamente o currículo
seriado, a frequência obrigatória, os dois ciclos, um fundamental e outro
complementar, e a exigência de habilitação neles para o ingresso no ensino
superior”.
Aritmética, álgebra e geometria, nesta forma, aparecem como
unidades em uma única disciplina com o título de matemática. Os
fundamentos da proposta do ministro Francisco Campos, com relação à
modernização dos conteúdos e métodos de ensino, buscaram elementos
na proposta de modernização do ensino de matemáticas de Euclides Roxo
do Colégio Pedro II, o que foi adotado sem restrições pela reforma como
afirma Miorim (1998, p. 94):
As preocupações demonstradas pelo ministro Campos, especialmente com relação à modernização dos conteúdos e métodos do ensino secundário, compatibilizavam-se com a proposta de modernização do ensino de Matemática apresentada por Euclides Roxo, adotada integralmente pela reforma.
responsável, entre outras obras, pela redação da Constituição brasileira de 1937 e do Ato Institucional do golpe de 1964. Foi o primeiro ministro a ocupar a pasta do Ministério da Educação e Saúde Pública em 1931.
44
Valente (2002) aponta Euclides Roxo como o mentor da proposta de
modernização do Colégio Pedro II que, através da reforma de Francisco
Campos, ganhou um caráter nacional. O autor (2002, p. 43) descreve que:
À testa da proposta de modernização estava o professor Euclides Roxo. Catedrático de Matemática do Colégio Pedro II, era também seu diretor quando da elaboração da proposta modernizadora para o ensino. Através da chamada Reforma “Francisco Campos”, em 1931, a proposta modernizadora ganhou caráter nacional.
Valente (2002) também apresenta a vinculação da proposta de
modernização da educação matemática no Brasil, nos anos de 1930, ao
Colégio Pedro II, que adotara os métodos de ensino da matemática
elementar, tomando como referência a reforma que o professor Klein11
iniciou na Alemanha, onde um dos elementos centrais da proposta era
acabar com a divisão entre aritmética, álgebra e geometria. Valente (2002,
p. 42) descreve, com detalhes, a proposta de modernização e a sua
implantação no Colégio Pedro II:
Em novembro de 1927, assinada por mais de dois terços de professores do Colégio Pedro II – instituição que era o grande referencial do ensino secundário brasileiro – é apresentada à congregação da Escola – uma nova proposta para o ensino da Matemática12. Trata-se de “adotar os métodos de ensino da Matemática Elementar, introduzidos pela grande reforma que o professor Klein iniciou na Alemanha” Um dos pontos capitais da proposta era o de “acabar com a divisão da Ciência Matemática em partes distintas e separadas (Aritmética, Álgebra e Geometria).
Para lograr êxito com estes objetivos, as novas propostas da reforma
teriam que estar em conformidade com aquelas advindas da nova
psicopedagogia, que representava os fundamentos do Movimento da
Escola Nova. Desta forma, segundo Miorim (1998, p. 95) buscava-se um 11 Felix Klein nasceu em Düsseldorf, em 1849 , e morreu em Göttingen, em 1925. Matemático alemão, Klein foi professor nas Universidades de Erlangen, Leipzing e Götting. O seu curso inaugural em Erlangen ficou famoso sob o nome de “Programa de Erlangen”. A teoria de grupos, originalmente tratava de conjuntos discretos de elementos, mas Klein tinha em mente uma unificação dos aspectos discretos e contínuos da matemática sobre o conceito de grupo. 12 Livro de Atas da Congregação do Colégio Pedro II, 14 de novembro de 1927, p. 64 – 67. (Nota do autor).
45
ensino embasado segundo o grau de desenvolvimento mental, baseado no
interesse do aluno, que deveria partir da intuição e apenas aos poucos ir
introduzindo o raciocínio lógico que enfatizasse a descoberta e não a
memorização.
Quase sempre uma nova proposta encontra obstáculos ou mesmo
dificuldades para se firmar enquanto prática. Com a proposta da reforma
conduzida para um trabalho com a matemática de forma distante da prática
dos professores, eles se sentiam inseguros. Além do que, inicialmente,
quase não existiam livros didáticos que contemplassem as idéias
modernizadoras definidas pela reforma. Além disso, havia forte resistência
por parte dos defensores do ensino clássico, tão fortemente presente na
cultura educacional brasileira.
Mas também é fato que a rejeição em fundir as matemáticas foi um
grande obstáculo imposto pelos conservadores, os defensores do ensino
clássico euclidiano. Como todo material revolucionário, a proposta didática
de Euclides Roxo não saiu da segunda edição. Chervel (apud Valente,
2006, p. 185) analisa a questão, sendo enfático na sua análise:
O livro de Euclides Roxo constitui um manual inovador, revolucionário, elaborado em plena conformidade com a nova didática. Sua publicação é seguida de intensos debates que mobilizam o professorado [...] no sentido da recusa ao modo como Roxo parametriza o ensino da nova disciplina. A rejeição em fundir a Aritmética com a Álgebra e a Geometria f ica patente. E, como todo manual revolucionário, a proposta didática de Euclides Roxo não ultrapassa a segunda edição.
As críticas atribuídas ao ensino da matemática dirigiam-se ao
excesso de conteúdos, à eliminação de sua apresentação lógica, à fusão
das várias áreas da matemática. Esses elementos eram responsabilizados
por dificultar a “formação da inteligência”, que seria a grande contribuição
da educação matemática ao ensino. A resistência em relação à nova
proposta para o ensino de matemática associava-se a uma “[...] concepção
disciplinar de educação, segundo a qual a maior importância da
46
matemática estaria em seu poder de desenvolver a memória e a razão”
(Miorim, 1998, p. 101). Outros argumentos utilizados se referiam à ligação
existente entre as idéias modernizadoras da matemática e as escolas
técnicas, como se tal fato acarretasse uma espécie de rebaixamento do
ensino das escolas secundárias e afirmação de que a orientação
modernizadora seria apenas brasileira.
A nova forma de ensinar matemática, pautada no Movimento da
Escola Nova, encontrou também entraves históricos que dificultaram sua
consolidação enquanto prática à época.
Com a influência do Movimento da Escola Nova e da
psicopedagogia, o ensino da matemática ganhou uma nova fisionomia.
Esta estrutura pode ser observada nas orientações gerais da Portaria
Ministerial nº 19.890, de 30 de junho de 1931, do ministro Campos. Bicudo
(1942, p. 157) apresenta alguns pontos da portaria e enfatiza, entre outros,
o uso do método heurístico, que levaria o aluno a ser “um descobridor” e
não “um receptor passivo de conhecimentos”. Além disso, seria necessário
“[...] renunciar completamente à prática de memorização sem raciocínio, ao
enunciado abusivo de definições e regras e ao estilo sistemático das
demonstrações já feitas”. E todo o conteúdo deve ser introduzido “por meio
da resolução de problemas”, destacando a prática dos cálculos mentais, da
compreensão das operações elementares, do senso de estimativa, a
análise de situações, do relacionamento de fatos e do estabelecimento de
leis gerais, tendo a função como ponto central e unificador dos conteúdos
matemáticos através de suas aplicações.
Em pouco tempo, o movimento modernizador já colecionava críticos,
sendo eles contrários ao ensino da matemática como uma disciplina
mental. Estes mesmos críticos apresentavam com veemência suas defesas
a favor do ensino clássico euclidiano.
47
Após apresentar uma visão geral da trajetória do ensino da
Matemática, passo a focalizar, no próximo capítulo, o Movimento da
Matemática Moderna (MMM).
48
CAPÍTULO 3
O MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA
Inicialmente, neste capítulo, descrevo brevemente o movimento
reformador do início do século XX que constituiu o cenário em que se
desenvolveu o MMM.
A seguir descrevo o MMM que pode ser considerado uma
continuidade do movimento reformador, com objetivo confessado de
atualização do currículo de matemática e de diminuir o descompasso
existente entre a matemática ensinada no curso médio e ensinada no curso
universitário.
São elementos essenciais dessa nova orientação a teoria de
conjuntos, as relações e as estruturas, numa proposta baseada em uma
reforma axiomática, desenvolvida pelo grupo Bourbaki e reforçada pelos
estudos psicológicos de Jean Piaget.
3.1 – O movimento reformador: primeiro movimento
modernizador
Miorim (1998, p. 102) explora um fragmento do artigo de um dos
opositores ao movimento modernizador. Este documento apresenta bem a
visão fechada que alguns professores do ensino clássico tinham do
49
movimento modernizador. Miorim (1998, p. 102) censura os professores
euclidianos:
As críticas à proposta não vinham, entretanto, apenas dos defensores das línguas clássicas, mas, também, de professores de Matemática que defendiam a Matemática Clássica, no estilo euclidiano. O seguinte fragmento de um artigo de Almeida Lisboa, professor do Colégio Pedro II – ou seja, colega de Euclides Roxo – mostra-nos claramente essa forte oposição encontrada pela proposta de modernização: “A matemática desapareceu do ensino secundário. Eis o triste resultado do que se chama enfatuadamente ‘a moderna orientação do ensino de matemática’, e é apenas uma orientação brasileira, atestando a nossa incompetência pedagógica”.
Alguns professores do ensino clássico defendiam as verdadeiras
demonstrações, os raciocínios perfeitos, o rigor e a lógica da ciência, tudo
o que faz a beleza e a imensa utilidade da matemática foi abolido do
ensino fundamental. Este “culto declarado a Educlides” bloqueava, impedia
a entrada das idéias do movimento modernizador nas escolas.
Miorim (1998, p. 103) pondera que “[...] é difícil avaliar até que ponto
as idéias modernizadoras conseguiam alterar a fisionomia do ensino de
Matemática”. Mas ela conclui a análise sobre o movimento de forma
positiva ao afirmar “[...] que a partir desse momento alguns elementos
novos começaram a penetrar nesse ensino”.
Então temos o primeiro movimento modernizador que ficou
conhecido como “Movimento Reformador”, que projetou-se no início do
século XX, tendo as seguintes orientações gerais:
- procurou na intuição e nas aplicações da matemática às outras
áreas do conhecimento os elementos fundamentais para a
elaboração de sua proposta;
50
- elegeu o conceito de função como elemento unificador;
- diferenciou o ensino da matemática na Universidade do ensino no
curso médio. O curso universitário se ligava diretamente aos
últimos avanços da matemática, enquanto o curso médio se
mantinha baseado quase que exclusivamente na matemática
grega;
- teve como pressuposto básico o slogan defendido por Jean
Dieudonné: “Abaixo Euclides!”.
Não foi possível ao movimento ocupar o seu espaço no contexto
educacional e por isso deixou o caminho pedagógico aberto para uma nova
proposta - o Movimento da Matemática Moderna - que pode ser
considerado como continuidade do Movimento Reformador.
3.2 - O grupo Bourbaki
Um grupo de matemáticos, na maioria franceses, que se
autodenominavam os Bourbaki encabeçou esse novo movimento de
modernização do ensino da matemática. De fato, para a maioria dos
estudiosos ou historiadores da matemática, dentre outros Boyer (1974),
Mender (2006) e Eves (1995), a matemática moderna inicia-se com o grupo
Bourbaki, com o ensino da matemática através das estruturas
fundamentais, empreendendo um trabalho no qual faz lembrar a obra que
imortalizou Euclides (séc. III a.C.)
Como Boyer (1974, p. 455) os apresenta:
51
Nicolas Bourbaki foi um nome fictício escolhido por um grupo de matemáticos, na maioria franceses, dentre eles Cartan, Chavalley, Dieudonné e Weil, que tinham a intenção de apresentar toda a matemática de seu tempo em uma obra intitulada Élements de mathematique.
Boyer (1974, p.457) ainda define o grupo Bourbaki como:
[...] matemático policefálico conhecido como Nicolas Bourbaki. Este é um francês inexistente como nome grego que apareceu nas páginas de títulos de várias dúzias de volumes numa obra que ainda prossegue, Élements de mathematique, que pretende captar toda a matemática que vale a apena.
O primeiro volume de Élements de mathematique, de uma série de
31 volumes, apareceu em 1939. O grupo Bourbaki é partidário, sem
concessões, do tratamento axiomático e das formas totalmente abstratas e
gerais que retratam claramente a estrutura lógica. O tratamento
bourbakista da matemática buscou pontos de semelhança entre os
diferentes conteúdos, com desejo de substituir cálculos por idéias.
A passagem da ciência das matemáticas chamadas clássicas às
ditas modernas grassou-se por século e meio, passando a um estado de
maturidade tal que o grupo Boubaki, em meados do século XX, pôs em
execução um arrojado trabalho de síntese e difusão, dando um espetacular
exemplo de organização. Mas, antes mesmo do sistema matemático de
Bourbaki estar terminado, foram apontadas algumas insuficiências nas
áreas mais representativas da matemática atual que não puderam ser
encaixadas na filosofia do projeto inicial.
Para Mendes (2006), várias interpretações epistemológicas, voltadas
para o status científico da matemática, têm relação decisiva na
consideração de sua história e seu ensino. Mendes (2006, p. 20 e 21),
referindo-se ao grupo dos bourbakistas afirma que:
52
Eles determinam sua visão da história da Matemática, assim como sua concepção do que é e como ensiná-la, manifestada na década de 1960, sob a denominação de “matemática moderna” ou a “nova matemática”. O slogan “emplacou” Jean Dieudonné, talvez o bourbakista mais ousado na hora de assumir e de defender seus peculiares posicionamentos pedagógicos, amparando-se, inclusive, nas proposições cognitivas de Jean Piaget.
Para Revuz (1967), o trabalho dos bourbakistas abriu as portas da
“terra prometida”. Ele fez uma reflexão da sua trajetória enquanto
matemático e reverenciou o grupo pelos novos caminhos. Destacou-os
como merecedores de toda a gratidão dos matemáticos, principalmente
dos jovens, insatisfeitos com o ensino recebido. Revuz, por ter acolhido
Bourbaki com entusiasmo, teria sabido descobrir o que havia de vivo e
fecundo na matemática por detrás da fachada austera. As próprias
palavras de Revuz (1967, p. 59), neste sentido, são citadas a seguir:
Para os matemáticos da minha geração, a obra de Bourbaki foi a resposta a uma expectação sentida com agudeza mais ou menos consciente, e a nossa gratidão para com seus autores, homens com apenas mais uma dezena de anos de que nós, não se extinguirá jamais: foram eles que nos abriram as portas da Terra Prometida. Mas se nós, matemáticos jovens, preparados pela insatisfação que nos deixara o ensino recebido, acolhemos Bourbaki com entusiasmo e soubemos descobrir para além da austera fachada o que havia de vivo e fecundo, é forçoso reconhecer que essa austeridade repeliu muitos outros.
Para o historiador Eves (1995, p. 691), os Bourbakistas despontam
entre os “matemáticos” mais influentes do século XX: “[...] seus trabalhos
são muito lidos e muito citados, contam com adeptos entusiasmados, mas
não lhes faltam críticos severos”. O grupo, afirma Eves (1995), apresenta
uma composição de membros variável, chegando a atingir vinte
matemáticos. A organização não estipulou ou determinou a nenhum
componente do grupo a fazer juramento de segredo, mas a maioria
cultivava uma certa aura de mistério que pairava sobre eles. Para Eves
(1995, p. 691), “[...] a única norma é que não há normas, salvo o
jubilamento compulsório dos membros aos cinqüenta anos de idade”.
53
Para o historiador, segundo a concepção do grupo bourbakista, ou
pelo menos encabeçada por Jean Dieudonné, a matemática atual tem a
forma de uma esfera, uma bola de lã com muitos fios emaranhados, com
uma estrutura tal que aqueles que formam o centro interagem e reagem
entre si firme e imprevisivelmente. Eves (1995, p. 692) descreve esta
analogia como:
Nesse emaranhado há fios, ou pontas, que saem em várias direções e que não têm nenhuma conexação íntima com nada do que está dentro. O método bourbakiano corta todos esses fios livres e se concentra no apertado núcleo da bola de onde tudo o mais se desembaraça. O núcleo apertado contém as estruturas fundamentais, ou seja, as partes da matemática que gradualmente passaram do nível de artifícios ao de métodos com um grau considerável de solidez. É apenas essa parte da matemática que N. Bourbaki tenta arranjar logicamente e moldar numa teoria coerente e fácil de aplicar. Segue-se então que, propositadamente, o grupo Bourbaki deixa para fora de seus territórios grande parte da matemática.
Esta analogia de Eves (1995) descrita acima é retomada por Miorim
(1998), que vê o desenvolvimento da Matemática Moderna se distanciando
cada vez mais da antiga. Culminou com o trabalho de Bourbaki através do
seu objetivo central de expor toda a matemática de forma axiomática e
unificadora. Miorim (1998, p. 110) vê o desenvolvimento da moderna
matemática cada vez mais distanciado da antiga concepção de matemática
como ciência da quantidade.
Para Miorim (1998), os trabalhos do grupo Bourbaki, ou seja, o nível
mais avançado frente aos estudos matemáticos, serviram de referência e
orientaram as propostas do Movimento da Matemática Moderna, que
também buscou fundamentos nos trabalhos e estudos psicológicos
contemporâneos, principalmente, como já destacado, nos trabalhos
desenvolvidos por Jean Piaget.
54
No Brasil, em 1971, o matemático Manfredo Perdigão do Carmo foi
escolhido entre seus pares do Instituto de Matemática Pura e Aplicada
(IMPA) para representar o IMPA em uma reunião do Ministério da
Educação 13 para expressar o ponto de vista de um matemático
profissional sobre o Movimento da Matemática Moderna. Na palestra
Considerações sobre o ensino da matemática, entre várias reflexões,
Carmo (1971, p. 5) cita o grupo Bourbaki:
Estruturas fundamentais foi um termo criado pela escola Bourbaki para designar certos conceitos logicamente simples (grupo, ordem topologia) que aparecem reiteradamente na formação de conceitos matemáticos logicamente mais complexos (se bem que intuitivamente mais simples). Segundo Jean Piaget, as estruturas fundamentais correspondem a certas categorias básicas do pensamento humano. Partindo destas premissas, os “modernistas” acreditam que a Matemática deve ser ensinada a partir das estruturas fundamentais.
Castrucci (1976 cita Bourbaki e sua obra, reverenciando-a como
notável.
O crescimento da ciência matemática de 1900 até nossos dias deu à teoria um papel proeminente [...]. É uma teoria unificadora, na linguagem e na matemática. É o que se observa na notável obra do grupo que trabalha sob o pseudônimo de Nicolas Bourbaki, a qual começa precisamente pela teoria dos conjuntos, em seu livro I. Diante da orientação moderna do ensino, que tem como objetivo mostrar a unidade da Matemática, o estudo da Teoria dos Conjuntos e o das Estruturas são relevantes e devem estar em primeiro plano.
Algumas comparações entre o movimento reformador e o Movimento
da Matemática Moderna, destacadas por Miorim (1998, p.111), são
apresentadas a seguir:
13 O ministro da educação da época era Jarbas Passarinho, que esteve no cargo de 3 de
novembro de 1969 a 15 de março de 1974.
55
a) O Movimento da Matemática Moderna pode ser considerado uma continuidade do Movimento Reformador. b) Os dois movimentos tinham como objetivo diminuir o descompasso existente entre o ensino da matemática do curso médio e o do curso universitário. c) Os dois movimentos tinham como pressoposto básico o slogan defendido pelo bourbakista Jean Dieudonné, durante a conferência de Royalmont: Abaixo Euclides! d) O Movimento Reformador elegeu o conceito de função como elemento unificador. O Movimento da Matemática Moderna apresentou uma proposta baseada na moderna matemática em sua forma axiomática, desenvolvida pelo grupo Bourbaki. Os elementos essenciais eram os conjuntos, as relações e as estruturas. O conceito de conjuntos era o elemento unificador.
3.3. – A Matemática Moderna e as causas do moviment o
Há muito havia a insatisfação em termos de distância entre a
matemática ensinada no ensino secundário em relação àquela apresentada
aos alunos no ensino superior. Nas escolas ensinava-se a matemática
grega, responsável por grandes contribuições: “[...] a valorização do
raciocínio lógico, o surgimento da demonstração dedutiva e a crença de
que o mundo físico poderia ser descrito em termos matemáticos” (Miorim,
1998, p. 104). Porém, a matemática grega apresentava também algumas
limitações aos estudos matemáticos. Entre estas limitações Caraça (1978,
p. 197) apresenta uma lista na qual destaca-se:
a) a incapacidade de conceber o conceito de variável, portanto, o de função;
b) o abandono do estudo quantitativo dos fenômenos
naturais e o refúgio nas concepções qualitativas; c) o primado da figura sobre o número; d) a separação da geometria e da aritmética;
56
e) a exclusão na geometria de tudo que lembrasse o
movimento, o mecânico, o manual; f) um conceito limitado de curva, restrito à reta,
circunferência e cônicas; g) a tendência de fugir a tudo que viesse ligado às
concepções quantitativas e dinâmicas, em particular a um estudo quantitativo do conceito de infinito.
A matemática grega encontrava-se significativamente atrasada em
relação aos avanços científicos até então. Já a matemática moderna,
ministrada no ensino superior, acompanhava o desenvolvimento da
ciência. Ela iniciou-se com Newton14 (1642-1727) e valorizou o conceito de
variável (função) e os aspectos quantitativos.
Já havia então a percepção de que se fazia necessário modernizar o
conteúdo da matemática ensinada nas escolas preparatórias para o ensino
superior. Era necessário, como forma de garantir certa continuidade entre
o ensino médio e o universitário, que fossem introduzidos alguns aspectos
da matemática moderna nesses níveis de ensino. Kline (1976, p. 128),
fazendo uma crítica, descreve a matemática moderna como sendo:
[...] uma apresentação do ponto de vista do matemático superficial, que sabe apreciar apenas nos pequenos detalhes de dedução e pequenas distinções pedantes e estéreis, tais como entre número e numeral e que procura exaltar ninharias com terminologia ressonantes e simbolismo. Esta matemática apresenta uma versão abstrata e rigorosa que oculta a rica e fecunda essência e enfatiza generalizadas não inspiradoras, isoladas de todos os demais corpos de conhecimento. Ela acentua versões sofisticadas e finais de idéias simples ao mesmo tempo que trata superficialmente das mais profundas – e assim forçosamente assume um caráter dogmático.
14 Isaac Newton nasceu em Woolthorpe, em 1642, e morreu em Kensington, em 1727. Físico e matemático inglês que realizou muitos trabalhos em análise e em mecânica (lei da atração universal). Newton nasceu prematuramente no dia de Batal de 1642, o ano da morte fé Galileu. O matemático Leibniz declarou do amigo: “Tomando a matemática desde o início do mundo até o tempo de Newton, o que ele fez é de longe a melhor metade.
57
A chamada matemática moderna nas escolas partilha com Bourbaki o
mesmo desejo de substituir cálculos por idéias através das estruturas
fundamentais, partindo do princípio de que o mais geral e o global devem
ser aprendidos primeiro.
Revuz (1967) coloca que a evolução fora mais lenta do que muitos
imaginaram, citando Cauchy15, Gauss16 e Galois17 (para não apresentar
mais nomes). Assim é a visão de Revuz (1967, p. 20)
A passagem, ao nível das ciências que de fato se faz, das matemáticas ditas clássicas às matemáticas ditas modernas estendeu-se por cerca de século e meio, porque, em minha opinião, é a Cauchy, Gauss e Galois (para não citar outros nomes) que se deve fazer remontar a evolução que traz do clássico ao moderno, evolução essa que foi muito mais lenta do que imaginavam aqueles para quem a revelação de uma mudança na Matemática surgiu como trovão em céu sereno.
Porém, por volta de 1950, o público não especializado tomou
conhecimento de que o edifício das matemáticas fora completamente
reconstruído. Fatos históricos, políticos e econômicos deixaram obscura a
necessidade de pessoal especializado. Um dos primeiros fatos foi a
depressão de 30 e depois o caos causado pela segunda grande guerra. A
verdadeira situação emergiu nos anos 50, explodindo com uma demanda
assustadora de pessoal técnico.
Para D’Augustine (1976), as forças geradoras do movimento, por
volta dos anos 50 do século XX, são complexas não sendo fácil apontar
uma que seja a principal. Assim é a versão de D’Augustine (1976, p. XXII):
15 Augustin Louis CHAUCHY, matemático francês nascido em Paris em 1789, teve uma breve passagem pela engenharia, logo passando para a educação. Contribuiu para classificar a análise e a geometria analítica. 16 Karl Friedrich GAUSS, matemático, físico e astrônomo alemão, nasceu em Brunswick em 1777, (Gottingen, 1855). Precoce no seu trabalho, aos 17 anos já os tinha iniciado no campo do eletromagnetismo aritmético e dos números complexos. 17 Evariste GALOIS, matemático francês nascido em Baourg-La-Peine, em 1811, em 1830 foi admitido na Escola Normal Superior, sendo logo despedido em 1831 por envolvimentos políticos. Seu trabalho fora interrompido por um duelo em maio de 1832. Do pouco que escreveu versaram páginas fundamentais sobre a teoria dos grupos.
58
As forças que geraram a revolução em matemática, por volta de 1950, são muito complexas e inter-relacionadas. Sendo difícil identif icar o principal fato que contribuiu para ela. Certamente o rápido crescimento de nossa sociedade técnica indicou que um maior número de pessoas precisava estar melhor preparado em matemática.
Partindo da existência da demanda de pessoal especializado, vários
grupos de estudo se formaram para analisar os currículos de matemática
das escolas de 1º e 2º graus, com destaque para os grupos europeus e
americanos.
O grupo europeu, constituído pela Comissão Internacional para
Aprimoramento do Ensino da Matemática, teve seu primeiro encontro em
1950, na Inglaterra. Sendo os outros encontros realizados na Bélgica,
Suíça, França Luxemburgo, Holanda e Itália. Nos encontros foram
trabalhados temas a respeito da modernização dos programas de ensino
da matemática na escola secundária e como viabilizar a proposta. Como
produto final, foi publicado em 1955 o livro L’enseingment dês
Mathematiques, onde expunham suas sugestões sobre a introdução da
matemática moderna no ensino secundário.
Sangiorgi (1965) destaca tópicos tratados no L’enseignment dês
mathematiques, onde são apresentadas sugestões para a introdução da
matemática moderna. Sangiorgi (1965, p. 6) assim descreve:
Foi publicado em 1955: “L’enseignment dês mathematiques”, onde são expostas magníficas sugestões acerca da introdução da Matemática Moderna no ensino secundário. Destacamos os seguintes tópicos tratados com muito acerto: - As estruturas matemáticas e as estruturas operatórias da
inteligência. Jean Piaget - Reflexões sobre a organização e o método de ensino da
Matemática. Exart Beth - Abstração em Matemática e a evolução da Álgebra.
59
Jean Dieudonné - A introdução do espírito da álgebra moderna na álgebra e
geometria elementares. André Lichnerowics - Sobre o ensino da Geometria Elementar. Gustave Choquet - A pedagogia da Matemática. Caleb Gattegno
A Comissão Internacional foi composta por três matemáticos, um
lógico-matemático, um pedagogo-matemático e um psicólogo:
- J. Dieudonné (matemático) da Universidade de Evanston (Illinois, EUA);
- A. Lichenerowics (matemático) da Universidade de Paris; - G. Choquet (matemático), da Universidade de Amsterdan; - C. Gattegno (pedagogo-matemático), da Universidade de Londres; - J. Piaget (psicólogo), da Universidade de Genebra.
Na França, em 2 de maio de 1961, o ministro da educação
apresentou uma estrutura normativa para a modernização dos programas
de matemática do ensino secundário. Neste período destacaram-se os
seguintes estudos:
- Luciene Felix: Expose Moderne des Mathematiques Elementeires Mathetiques Modernes Enseignement Elementeires;
- Cours Maillard: Mathematiques 6e, 5 e, 4 e, 3 e, 2ére A’CMM, 1 ére
A’CMM; - C. Bréard: Mathetiques, 2e; Arithmetiques Algebre 5 e, 4e, 3e;
Geometrie 5e, 4e, 3e.
60
Nos Estados Unidos houve uma grande mobilização para a
modernização de programas e implementação do currículo moderno norte
americano. Foram alocados não somente investimentos oficiais, mas
particulares também. Como exemplo podemos citar: Rockfeller, Cornegie
Fundation (que doou à University of Illinois Committec on School
Mathematics US$ 500.000 dólares), Ford e Official National Scienece
Fundation que a um só grupo doou quatro milhões de dólares para
elaborar compêndios modelos.
Alguns grupos que se destacaram nos estudos e pesquisas sobre a
matemática moderna foram:
- School Mathematics Study Group (SMSG) um grupo de alcance
nacional, também conhecido como Yale Project, sob a direção do
professor E. G. Begle, da Universidade de Yale. O SMSG foi
financiado pela Nacional Science Foundation. Possuía uma
grande equipe combinando pessoas de vários conhecimentos
científicos nas áreas de psicologia, preparadores de teste,
matemáticos de universidades e indústria, biólogos e professores
secundários. Na base matemática foram 100 matemáticos e 100
professores secundários que atuaram preparando compêndios
modelos.
- University of Illinois Committec on School Mathematics (UISC).
Este grupo foi dirigid pelo Dr. Maz Beberman e realizou um
trabalho conjunto das escolas de Educação, de Engenharia e de
Artes Liberais e Ciências.
- University of Maryland Mathematics Projetc (UMMAP). Este grupo
teve a direção de John R. Mayor e contou com a participação de
cinco matemáticos e aproximadamente 40 professores.
61
Com todas estas propostas de programas modernos de matemática
pode-se supor a diversificação de trabalhos que surgiram. Mas, apesar dos
programas dos referidos grupos terem características únicas, eles
apresentam vários elementos em comum:
- estrutura
- operações e suas inversas;
- medida;
- uso extensivo da representação gráfica;
- sistemas de numeração;
- propriedades dos números, desenvolvimento do sistema de números
reais;
- interferência estatística, probabilidade;
- conjunto – linguagem e teoria elementar;
- deduções lógicas.
As comissões e grupos propunham um novo currículo que
recuperasse o desnível e a desvinculação em que se encontrava o ensino
da matemática. Elas elaboraram novos manuais escolares e batizaram-nos
de matemática moderna ou matemática nova. No início da década de 60
surgiu uma avalanche de livros textos modernos e muito outros
continuaram a aparecer desde então.
Como apresentamos anteriormente, em meados dos anos 50 do
século XX teve início um movimento em vários países pela reestruturação
e reforma do ensino de ciências. Esta necessidade de restruturação foi
motivada e necessária, entre outros fatores, pela rápida evolução do
desenvolvimento científico e pelo impacto causado na vida do homem. Raw
(1965, não paginado), ao escrever a apresentação do livro Matemática
moderna para o ensino secundário, afirma que a reforma há de estar
dentro do setor educacional e, principalmente, no planejamento, pois “[...]
a meta deixou de ser não importa o que se ensina, desde que se ensine
bem para uma revolução do que podemos ensinar”.
62
Raw (1965, não paginado), ainda alerta para a transcendental
importância que ultrapassa os limites individuais do desenvolvimento
econômico, social e técnico dos países ao afirmar que “o ensino de
ciências passou a ser um dos problemas mais seriamente encarados pelos
administradores”.
Com a conclusão de estudos encomendados pelos governos com o
Relatório Rockfeller, os países industrializados perceberam que seu ensino
de ciências, sustentáculo da educação científica, estava com o
desenvolvimento muito inferior ao desejável. Qualquer nação que não
cuidasse deste setor educacional com total atenção teria dificuldade de
crescimento e aqueles considerados desenvolvidos estariam correndo
sérios riscos de entrar em posição de colapso.
Dentro desse contexto, a reação imediata veio através de planos
internacionais de desenvolvimento, como a Aliança para o Progresso e o
programa da Organização Européia para o Desenvolvimento Econômico,
que passaram a encarar o problema com toda a prioridade.
Os militares dos EUA, na segunda grande guerra, descobriram que
seus oficiais eram deficientes em matemática e tiveram que oferecer
cursos especiais para elevar-lhes o nível de eficiência.
Outro fator que era apontado como causa da modernização do
ensino de matemática estava na insatisfação generalizada entre
professores dos EUA e alunos dessa área. O fracasso dos discentes, no
princípio da década de 50, com notas inferiores à média, muito abaixo das
outras matérias. A abordagem clássica não mais satisfazia as condições e
as necessidades de especialistas em matemáticas criadas pelo mundo
moderno pós-guerra.
63
Um fato de muita repercussão entre os estudiosos, educadores e a
população norte americana em geral foi o desafio lançado a eles pelo
representante do Ministério da Educação Russa.
“Eu desafio os EUA para competir em educação”, desafio feito na
Conferência Internacional sobre o Ensino da Matemática, realizada em
julho de 1956, em Genebra (Brown, 1965, p. 39). Quando os russos
lançaram o satélite Sputnik, o governo norte americano ficou assustado,
levando-o a pensar que o país deveria estar atrás dos russos em
matemática e ciências.
O Relatório Rockefeller sobre educação levantou os seguintes
pontos em relação ao ensino dos EUA:
I- a demanda de pessoal altamente qualificado; II- a crise em que se encontrava a educação.
Dentro da educação em matemática e ciências, o relatório acentua:
apesar de não podermos discutir em detalhe cada campo de estudo, vale a
pena dizer algumas palavras sobre a educação de ciências e matemática.
A reação pública neste assusto tem sido tão intensa e tão diversa que não
tem sido fácil, mesmo aos cidadãos informados, avaliar as questões em
discussão. A maneira mais simples de evitar confusão é manter em mente
algumas poucas idéias básicas:
- primeiro: a crise em nossa educação no campo das ciências não é
uma invenção dos jornais ou dos cientistas ou dos militares, é uma
crise real;
- segundo: a Rússia não é uma causa da crise. A causa é o nosso
empolgante movimento para uma nova era tecnológica. A Rússia
64
serviu de rude estímulo para nos acordar para a realidade. O ponto
essencial da questão é que nós estávamos nos movimentando com
uma velocidade precipitadora numa fase nova da longa luta do
homem para controlar o meio em que vive numa fase ao lado da
qual a Revolução Industrial pode parecer como uma modesta
alteração nos negócios humanos18.
Dado que merece destaque como ponto de grande influência ou
decisivo foi a Conferência de Rayoumont, no ano de 1959. A Organização
Européia de Cooperação Econômica (OECE) realizou esta conferência
para discutir o tema A matemática moderna. Nas conclusões foi ressaltado
que o ensino escolar da matemática estava atrasado mais ou menos um
século sobre o estado atual de conhecimento.
Todos os participantes da sessão de estudos declararam-se de acordo, quanto à necessidade de modernização do ensino de matemática. Para realizar esta modernização é indispensável que cada país redija novos livros didáticos e novos manuais. Este trabalho ficará facilitado se um plano for posto à disposição dos países para ajudá-los a redigir seus próprios manuais escolares e a submetê-los a experiências sistemáticas. (Pricer, 1965, p. 29 e 30)
A automatização da indústria é outra causa indiscutível do
movimento de modernização. O matemático G. Baley Price chamou o
século XX como idade áurea da matemática. Ele considera que, neste
período, o maior volume e a profundidade das criações superam em todo o
resto da história. Com um dado mais concreto, justificou sua posição
citando a revista internacional Mathematical Reviews, que publica breves
resumos de trabalhos de pesquisa e livros. O volume de 1960 continha
1952 páginas, sendo que cada resumo dos periódicos e teses tinha,
aproximadamente, 5 a 7 cm escritos em duas colunas.
18 The Pursuit of Excellence: Relatório Rockefeller sobre educação.
65
Price (1965, p. 19 e 21) aponta três causas fundamentais para o
Movimento da Matemática Moderna: a pesquisa em matemática, a
automação e os computadores digitais, assim ele as descreve:
Primeira causa: pesquisa em matemática. Vamos examinar as causas dessa revolução. Ela foi causada, primeiramente, pelos tremendos feitos pela pesquisa matemática. [...] O século 20 tem sido a idade áurea da Matemática porque mais Matemática e Matemática mais profunda foi criada nesse período que em todo resto da história. Segunda causa: automatização. A revolução da automatização consiste na introdução de máquinas que controlam máquinas e das consequências do uso de tais máquinas. Exemplos de automatização ocorrem em todo lugar. Terceira causa: computadores digitais automáticos. A introdução de computadores digitais de automáticos de grande porte e alta velocidade é a terceira causa da revolução em Matemática. Esses computadores tornaram possível emparelhar a teoria matemática e as máquinas computadoras para produzir as respostas exigidas por físicos, engenheiros e outros.
As causas se encaminharam por um processo em cadeia de fatos
acumulativos, onde cada causa reforçava e impulsionava a outra. Fatos
estes que envolveram todos os setores da sociedade científica,
empresarial, trabalhadora e escolar. Movidos por uma sequência que
manteve uma relação direta e um interesse com a evolução dos processos
capitalistas, automatização de máquinas, produção e mão-de-obra
especializada ou não.
O propósito não é defender que a matemática ou a escola foram
envolvidos pelos interesses do capitalismo como um objeto, mas sim como
um objetivo. Objetivo de “resolver problemas propostos pelo mundo real
que está na própria base da criação da matemática e tem sido uma fonte
de inspiração e renovação de seus métodos” (Carmo, 1971, p. 2). Como
66
ressaltou o matemático inglês, Isaac Barrow19 (1630 – 1677), “Matemática
– a inabalável base das ciências e abundante fonte do progresso nos
negócios humanos”.
Esta cadeia de causas acumulativas, descritas em uma seqüência
cronológica, teve como seqüência ao final o movimento da matemática
moderna. Os movimentos de modernização, tanto na Europa como nos
Estados Unidos, responderam a evidentes pressões decorrentes da
massificação do ensino, então com objetivos fortemente influenciados pelo
desenvolvimento de uma indústria de sofisticação elevada.
Mas, se por ventura não destacamos todos os acontecimentos que
desencadearam o movimento, ele foi instalado tomando como origem os
Estados Unidos e ganhando pouco a pouco a maior parte dos países do
mundo.
3.4 - Características do Movimento da Matemática
Moderna
André Revuz (1967) questiona: quais são as vantagens desta nova
organização das matemáticas? O próprio Revuz (1967, p. 52) responde:
“muitas e substanciais”.
A modernização do ensino se fazia necessária e o enfoque para
modernizar seria através do conteúdo. O matemático Brown (1965, p. 40)
afirma que:
19 Isaac Barrow (1630 e 1677) tornou-se ministro religioso, mas ensinou matemática. Em 1662 ele era professor de geometria em Gresham College em Londres e. em 1664, tornou-se o Lucasian professor de geometria em Cambridge, sendo o primeiro a ocupar a cátedra estabelecida por Henry Lucas (1610?-1663) e mais tarde ocupada por Newton, que sucedeu a Barrow. Um conservador em matemática, Barrow não gostava dos formalismos de álgebra. Ele achava que a álgebra deveria ser parte da lógica e não da matemática. Admirador dos antigos, ele editou as obras de Euclides, Apolônio e Arquimedes.
67
[...] a matemática tem se tornado a estrutura básica da nossa ordem social. A força dessa estrutura (de fato a própria sobrevivência da nossa nação) pode muito bem depender da quantidade e espécie da matemática ensinada em nossas escolas secundárias.
Brown (1965), no mesmo texto apresenta uma versão para o
movimento, que vai além da guerra fria e se pauta nas contribuições
substanciais dos novos usos e da recém-desenvolvida matemática. Assim
o autor (1965, p. 30) descreve:
Eu acredito que as conquistas maravilhosas e recentes no espaço não são devidas às tensões da sociedade em rápido avanço. Os balões carregando laboratórios eletrônicos, a caixa em vôo com cão moribundo, um homem girando em órbita ao redor da Terra, numa cápsula espacial, são símbolos da grande explosão de conhecimentos que surgiram na nossa geração. Contribuindo substancialmente para esses progressos, estão novos usos da matemática e a matemática recém-desenvolvida.
Para Revuz (1967, p. 52), uma das vantagens dessa nova
organização do conteúdo “[...] consiste em que ela confere unidade a uma
ciência que se dispersava, o feixe divergente reagrupa-se”, deixando para
trás a existência de compartimentos estanques (aritmética, álgebra,
geometria, trigonometria). Matemáticos usam em todos os ramos de uma
disciplina os mesmos conceitos e a mesma linguagem, conforme Revuz
(1965, p. 52):
[...] Agora é lícito falar de matemática em substituição às matemáticas. Contribuição decisiva foi dada por Cantor20 criando a teoria de conjunto, a noção de conjunto é a linguagem da matemática, dando a ela o alicerce ao novo edifício da matemática levando a uma precisão indispensável que deve prevalecer nessa ciência.
20 Georg Cantor nasceu em São Petersburgo, em 1845, e morreu em Halle, em 1918. Foi um matemático alemão de ascendência dinamarquesa. Fez os seus estudos na Alemanha e ensinou na Universidade de Halle. É o criador da teoria dos conjuntos. Doutorou-se em Berlim, em 1867, com a tese sobre a teoria dos números, mas suas primeiras publicações mostram atração pela análise. Esse campo estimulou as idéias revolucionárias que ocorreram pouco antes dos trintas anos.
68
A característica estrutural do movimento se refere às estruturas
fundamentais, termo criado pela escola Bourbaki para designar certos
conceitos logicamente simples (grupo, ordem, topologia), que aparecem
reiteradamente na formação de conceitos matemáticos logicamente mais
complexos. Segundo afirmações do psicólogo Jean Piaget, as estruturas
fundamentais correspondem a certas categorias básicas do pensamento
humano.
Essencialmente axiomática, dedutiva, e abstrata, a matemática
moderna deduz teoremas a partir de axiomas. O tratamento é abstrato no
sentido de que não se atribui aos termos e relações usados nos axiomas
nenhum outro significado além daquele que é expresso pelos próprios
axiomas. Um ponto muito discutido foi a questão: se uma teoria dedutiva
não seria tautológica, ou seja, uma repetição em termos diferentes.
Para Adler (1970. p. 53), a característica da matemática
contemporânea baseia-se essencialmente no conteúdo.
A matemática contemporânea é a matemática clássica amadurecida que se desenvolveu como método mais eficiente de tratar o conteúdo que se tornou mais intimamente relacionada com as atividades humanas na indústria na vida social, na ciência e na filosofia.
O autor ressalta que a melhoria do ensino da matemática é um
processo continuo, como agora a matemática moderna dá continuidade à
antiga e a torna mais manuseável, fornecendo-lhe instrumentos novos.
Ainda sobre o olhar de Adler (1970, p. 53), são três as características a
serem ressaltadas.
A primeira é que: “a matemática contemporânea é a matemática
clássica tornada autoconsciente e autocrítica”. Esta consciência refere-se
ao crescimento da matemática por um período de mais de 2000 anos,
69
formando uma superestrutura apoiada numa base oscilante. Assim Adler
(1970, p. 58) justifica:
O crescimento tumultuoso da Matemática durante um período de mais de 2000 anos produziu uma grande superestrutura apoiada numa fundação oscilante. Durante a segunda metade do século os matemáticos procederam a uma análise sistemática dos fundamentos da matemática, com a finalidade de preencher as brechas que haviam permanecido abertas.
O próprio autor (1970, p. 59) apresenta exemplos para ilustrar o
contexto. O conceito de infinito é um deles.
O que é infinito? O conceito de infinito penetrou na Matemática por muitas portas. Entrou sob a forma da divisibilidade infinita. Entrou também sob a forma da extensibilidade da reta euclidiana. Surgiu, de novo, na série infinita e na integral definida. Riemann21 esclareceu uma das confusões, estabelecendo a distinção entre não limitado e infinito. Por exemplo, um plano é infinito e a esfera, f inita. Por f im, Cantor controlou a noção de infinito desenvolvendo a teoria dos conjuntos e dos números transfinitos.
A segunda característica é no campo metodológico onde a
matemática moderna desenvolveu maneiras mais eficazes de trabalhar o
conteúdo clássico. Como Adler (1970, p. 53) afirma, “[...] a matemática
moderna se desenvolveu como um método mais eficiente de tratar o
conteúdo da matemática clássica”. O autor (1970, p. 62) apresenta, para a
segunda característica, as seguintes justificativas:
A matemática moderna é o resultado direto da multiplicidade de espaços e geometrias e da multiplicidade de estruturas algébricas desenvolvidas pela matemática clássica. A matemática moderna está para a clássica assim como a álgebra elementar está para a aritmética elementar.
21 Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu em Breselenz, em 1826, e morreu em Selasca, em 1866. Matemático alemão que inventou a geometria que exclui o postulado de Euclides. Na geometria de Riemann não há retas paralelas. Uma representação cômoda da geometria sobre uma esfera (na qual os grandes círculos têm idêntico papel ao das retas num plano). Os seus trabalhos facilitaram em parte a elaboração da teoria da relatividade de Einstein.
70
A última característica apresentada por Adler (1970) é o fato da
matemática estar cada vez mais intimamente relacionada com as
atividades humanas na indústria, na vida social, na ciência e na filosofia. O
autor (1970, p. 71) justifica desta característica ao pontuar:
Ao mesmo tempo em que, em sua forma pura, a matemática atingiu alturas vertiginosas de abstração, conservou seus pés na terra, multiplicando e ampliando suas aplicações. Atualmente, mais do que nunca, é verdade que a matemática é a ferramenta das ciências [...]. A partir da física, a matemática espalhou-se pelas outras ciências físicas – a Química e a Geologia. Invadiu as ciências da vida – a Biologia e a Psicologia - e as expandiu-se até as ciências sociais. Não existe, atualmente, nenhuma ciência que possa dispensar os métodos matemáticos.
Revuz (1967) coloca como contribuição mais importante a que reside
no fato de se tornar evidente o caráter dinâmico da matemática, que é
ação e não contemplação. D'Ambrósio (1976, p. 7) também se refere ao
caráter dinâmico quando explicita que: “O mérito indiscutível de tais
movimentos é ter afirmado o caráter evolutivo, dinâmico e ligado ao
contexto sócio-econômico-cultural, que prevalece em qualquer
desenvolvimento curricular”.
Para Carmo (1971, p. 6), os modernistas (como ele prefere chamá-los)
confundem rigor substancial com rigor formal. Um exemplo esclarecerá o
que ele quer dizer:
[...] vamos supor que liguemos por uma reta dois pontos de um plano, um no interior e outro no exterior de uma elipse neste plano. A afirmação que a reta em questão encontra a elipse é substancialmente rigorosa. É possível formalizar uma demonstração desta afirmação, porém, no caso isto seria inútil. Dentro do contexto de um trabalho de pesquisa, uma tal demonstração seria um pedantismo. Dentro do contexto básico, a demonstração seria enfadonha e desviaria a atenção para pontos não relevantes ao assunto.
71
O rigor formal tem um certo papel a desempenhar em matemática, mas aplicá-lo em situações como a acima revela uma falta de compreensão da natureza da matemática. Entretanto, o rigor formal é o tipo de rigor que os modernistas querem transmitir aos seus alunos e sua ausência é a maior critica que eles fazem aos sistemas de ensino.
Pode-se ainda apontar como uma característica deste movimento o
vultoso auxílio financeiro principalmente na busca de melhoria do currículo
de matemática, preparação de professores e confecção de materiais
didáticos.
Brown (1965, p.40) apresenta o empenho da sociedade em investir
nas experiências nessa área.
Reconhecendo a necessidade vital de melhorar os programas escolares de matemática, fundações nacionais têm contribuído com grandes somas de dinheiro para experiências nessa área [...]. Várias outras fundações, reconhecendo a necessidade urgente, têm proporcionado assistência financeira para ajudar matemáticos e professores a acelerarem as mudanças necessárias.
D’Augustine (1976) é categórico em apresentar os investimentos
como uma característica do movimento, classificando-a como
modificadora, uma força paralela que fez com que o Movimento da
Matemática Moderna não pudesse parar. O autor (1976, p. XXII e XXIII)
apresenta sua visão:
Apareceu uma força paralela, que fez com que o movimento da Matemática Moderna não pudesse mais parar, uma força com características modificadoras, que continuamente tem impulsionado o movimento. Esta nova força é constituída por dinheiro.
72
3.5 - Objetivos da modernização do ensino de
matemática
Adler (1970, p. 53) aponta duas classificações para os objetivos da
matemática moderna, o confessado e os desejáveis. O objetivo confessado
do “[...] movimento é o atualizar o ensino dessa disciplina levando em
consideração as modificações que ocorreram na própria matemática”.
Então, o objetivo confessado é atualização (modernização) do currículo de
matemática.
Do rol dos objetivos desejáveis, Adler (1970, p. 73) destaca três:
- a formação de matemáticos; - o treinamento dos profissionais de matemática;
- o treinamento dos professores de matemática
e assim os descreve:
Quanto ao primeiro, a formação de matemáticos, torna-se necessário, pois,
a matemática é uma ciência viva, em crescimento, logo é preciso dar
[...] aos nossos melhores alunos uma iniciação precoce aos conceitos e ao estilo de pensamento da matemática moderna, apressando a chegada do dia em que, como matemático pesquisadores, ajudarão a levar avante a fronteira do conhecimento matemático [...].
Quanto ao segundo objetivo desejável: o treinamento dos profissionais de
matemática, Adler (1970, p. 74) considera os especialistas que fazem uso
de conhecimentos matemáticos:
A matemática sempre foi um instrumento indispensável ao físico, ao estatístico e ao engenheiro. Estava se tornando,
73
também, rapidamente instrumento do biólogo, do psicólogo e do economista.
O terceiro objetivo é destacado pelo autor (1970, p. 74) em função dos
dois primeiros. O treinamento dos professores de matemática é peça
fundamental do “jogo”, portanto é prioritário o investimento na preparação
do professor.
Já que a ciência e a indústria usam cada vez mais a matemática, tanto a moderna quanto a clássica, e como a população escolar crescendo rapidamente, precisamos de um número cada vez maior de professores de matemática bem treinados e de espírito moderno.
Adler (1970, p. 74) chama a atenção para os três objetivos acima
descritos. Eles possuem uma característica comum: “[...] são objetivos
vocacionais da escola”. Mas há outras metas não vocacionais do
Movimento da Matemática Moderna e duas delas tem igual importância.
Assim o autor (1970, p. 74) as apresenta:
Primeiro objetivo (não vocacional): o desenvolvimento de certo tipo de aptidão necessária a um cidadão numa sociedade industrial complexa, na era da automação e da energia nuclear. O segundo: o cultivo da inteligência e a libertação da mente. Os professores de Matemática sempre sentiram que, numa sociedade baseada na tecnologia avançada e que gira em torno do conceito de mercado, não é suficiente que o cidadão saiba ler e escrever. Precisa saber contar, medir e calcular.
O matemático Revuz (1967) nos aponta um objetivo confessado,
levando a questão da necessidade que naqueles dias se fazia de mentes
bem informadas, capazes de enfrentar situações novas em todos os ramos
da atividade humana (investigação, indústria, comércio e agricultura). Mas,
faz uma defesa a favor dos modernistas que estavam sendo acusados de
pensarem em apenas formar futuros matemáticos. Assim, Revuz nos deixa
74
evidências que grupos divergentes levantaram questão sobre o verdadeiro
propósito dos objetivos do movimento.
Price (1965) apontou dois objetivos para a matemática moderna: (1)
aumentar a produção de matemática e (2) ampliar o número de professores
de matemática. Assim ele (1965, p.22) os descreve:
A revolução tecnológica que ora se processa requer uma matemática nova que seja ensinada em nossas escolas, que a ênfase seja mudada no ensino de muitos assuntos já incluídos em nossos cursos de matemática e que nós aumentemos a produção de matemática e professores de matemática.
Price (1965, p. 29) justifica que a meta de ampliar o número de
professores de matemática não era uma intenção meramente
corporativista, mas sim parte integral de todas as áreas profissionais pela
necessidade de pessoal altamente treinado em todos os campos,
pensando, em longo prazo, no desenvolvimento da civilização. Nas
palavras do autor:
Essa necessidade de matemáticos é parte de uma maior necessidade de pessoal altamente treinado em todos os campos. Essa necessidade representa um desenvolvimento, de longo termo, de nossa civilização – uma civilização que depende cada vez mais de progressos técnicos e científ icos.
Para D’Augustine (1976) o objetivo de ampliar o número de
professores de matemática tinha como intenção gerar uma cadeira
produtiva (matemática) extremamente necessária para o desenvolvimento
de qualquer nação. O autor (1976, p. XXIII) assim apresenta esta cadeia
de formação:
O aluno que for melhor preparado em matemática será melhor professor de Matemática, que por sua vez formará outros alunos bem preparados na matéria. Isto significa que ambos precisarão, cada vez mais, de diferentes recursos
75
para atendê-los, o que acarretará numa constante revisão desses recursos.
Price (1965, p. 29) argumenta que essa demanda de aumento de
pessoal altamente preparado “[...] ficou obscurecida, primeiramente, pela
depressão de 1930 e depois pelos desarranjos causados pela segunda
guerra mundial”. O autor afirma que uma das formas desta demanda sair
da obscuridade foi o Relatório Rockfeller sobre a educação, que contém
um relato sobre a revolução da automatização, do crescimento a longo
termo, da demanda de pessoal altamente educado e da crise que confronta
a nação.
D’Ambrósio (1976) ressalta a relação direta que cada modernização
do ensino tem com a conjuntura socioeconômica e cultural e as motivações
que levam as propostas de reforma. No contexto dessa discussão
apresenta um novo objetivo do Movimento da Matemática Moderna até
então não considerado. Pelo seu olhar, tanto na Europa e nos Estados
Unidos quanto no Brasil, o movimento de modernização responde a
pressões sociais decorrentes da massificação do ensino. Ele termina a sua
análise afirmando que o objetivo que motivou os reformistas é muito mais
profundo do que mero modismo. D’Ambrósio (1976) conclui que,
Os movimentos recentes de modernização, na Europa e nos EUA, responderam a evidentes pressões decorrentes da massificação do ensino, então com objetivos fortemente influenciados pelo desenvolvimento de uma indústria de sofisticação elevada. A preparação dos quadros de elite para essa indústria já se fazia, e de fato, o elevado nível científ ico alcançado pelos poucos matemáticos formados era adequado. O esforço foi necessário no sentido de se aumentar o número de matemáticos formados, e igualmente elevar o nível matemático do jovem que não seguiria uma carreira matemática. Um estudo comparativo desses vários movimentos reformistas deixa bem claro a motivação que os originou, muito mais profundo que mero modismo ou modernização pela modernização.
76
3.6 - Defesas e justificativas do Movimento da
Matemática Moderna
Sangiorgi (1965, p. 2) apontou que um dos grandes fatores para
referendar o projeto do Movimento da Matemática Moderna estava
baseado na proposta pedagógica do ”ensino clássico”, que há muito não
era mais suficiente para atender às necessidades criadas por um mundo
em ampla modernização.
Todos que se interessam pelo ensino e têm acompanhado as transformações por que passam os diversos currículos da Escola Secundária, sentem que há, presentemente, uma tendência bem acentuada de reestruturar-se a Matemática que, tradicionalmente, é destinada aos jovens alunos ginasianos. A abordagem clássica não satisfaz mais as condições e as necessidades criadas pelo mundo moderno.
Sangiorgi (1965, p. 1) é contundente ainda na defesa do movimento
quando evoca um trabalho honesto e construtivo para deixar para trás um
ensino anacrônico, construído pela proposta clássica e afirma que é
preciso superar:
[...] a herança de um ensino anacrônico de Matemática, que vem se arrastando de 50 anos para cá, e que está longe de corresponder às exigências dos tempos de muita ciência que atravessamos, mormente em nosso país às voltas em vencer a barreira de seu subdesenvolvimento econômico e cultural.
Dentro desta mesma linha, Dienes (1974, p. 15) nos diz que
devemos encarar a realidade, pois “[...] a maioria das crianças jamais
consegue compreender o verdadeiro significado dos conceitos
matemáticos”. E amplia sua ponderação afirmando que existe “[...] um
número demasiado grande crianças que não gosta de matemática”.
77
Dienes (1967) também vai pedir boa vontade de professores, pois a
antiga matemática (clássica) era pautada por um trabalho de adestramento
(atividades mecânica), mas a perspectiva nova é considerar que os
processos formam um tecido de estruturas crescentes. Ele (1976, p. 10)
propõe:
Ao preço por que tem de ser paga a total compreensão matemática, há que adicionar a vontade, por parte do professor, de ensinar o que podemos apelidar de Matemática "nova", ou, quando mais não seja, a Matemática "antiga” encarada de novo ângulo. Antiga perspectiva consiste em considerar o ensino da Matemática como um adestramento em processos mecanizados; a perspectiva nova, em considerar que esses processos formam um tecido de estruturas de complexidade crescente.
Sangiorgi (1965, p. 4) destaca que outra contribuição preconizada
pela modernização do ensino de Matemática é a utilização de símbolos
lógicos que respondem pela precisão indispensável que deve prevalecer
nessa ciência. Em sua defesa, aponta que os próprios alunos já usam
sinais abreviados para tomar nota das aulas, mas que não possuem um
padrão e podem não saber decifrá-los devidamente.
O interessante é que todos nós estamos cansados de saber que o próprio aluno, por si só, sente necessidade do uso de sinais abreviados para poder tomar nota e acompanhar bem uma aula. Todavia, corre o risco de não poder decifrar devidamente tais sinais particulares e portanto não desfrutar de um esquema de trabalho que poderia lhe ser útil se fosse tratado de uma outra maneira pelo uso de símbolos bem decifrados.
Price (1965, p.17), afirma que as mudanças propostas pelo
movimento são tão extensas que só há uma maneira de revelar os
acontecimentos: como uma revolução em matemática. De fato o autor
nomeou o Movimento da Matemática Moderna como revolucionário. Maior
ênfase em qualificar o MMM foi colocada por seu colega do College de
France, o professor André Lichnerowics (1961, p. 5), que definiu o
78
movimento como uma verdadeira explosão, fazendo alusão à física e
comparando o momento das duas ciências ao expor que:
A Matemática está sofrendo uma verdadeira explosão nos domínios de seu ensino. Menos espetacular que a explosão da física (por não ocupar a primeira página dos jornais) e porém mais potente quando procura ressaltar as suas estruturas que progressivamente vêm algebrisando toda a matemática.
79
CAPÍTULO 4
A VISÃO DOS PROFESSORES SOBRE O MOVIMENTO DA
MATEMÁTICA MODERNA E O ENSINO DA MATEMÁTICA
MODERNA
Este capítulo apresenta a análise da visão dos professores sobre o
Movimento da Matemática Moderna e o ensino desta disciplina. Seguindo a
orientação metodológica para o desenvolvimento desta análise, foi
realizada uma leitura e releitura de caráter exploratório do conjunto dos
dados.
A leitura foi a primeira etapa realizada para uma pré-análise das
entrevistas com objetivo de organizá-las para efeito de comparação das
mensagens extraídas das respostas. A releitura, etapa exploratória do
material, foi o momento em que busquei padrões e temas mais recorrentes
que pudessem ser identificados nas entrevistas e permitissem produzir
interpretações e explicações que dessem conta das questões que
motivaram esta investigação tomando todo cuidado possível para não
perder de vista os objetivos da pesquisa.
Dentro desta orientação de trabalho busco ora uma descrição
analítica do conteúdo das respostas das entrevistas, ora trabalho com as
citações literais de alguns depoimentos relevantes. Para concluir a análise,
busquei inferir e interpretar as respostas, associando-as aos padrões e
temas recorrentes, tendo como referencial os enfoques da literatura
pesquisada nesta investigação.
80
Após estas etapas, a análise realizada é apresentada conforme os
seguintes temas:
1) O Movimento da Matemática Moderna na visão dos professores
2) A adesão ao Movimento da Matemática Moderna
3) Conteúdos
4.1) O Movimento da Matemática Moderna na visão dos
professores
A ênfase na abstração e a preocupação crescente com a análise das
estruturas e modelos subjacentes foram duas características principais da
matemática que chamavam a atenção em meados do século XX. Eves
(1995, p. 690) destaca que foi oportuno “[...] adaptar tais características ao
ensino e, não demorou, formaram-se grupos competentes e entusiastas
empenhados em reformular e modernizar a matemática escolar”.
O professor “Delta”22, entrevistado sobre seus conhecimentos a
respeito do Movimento da Matemática Moderna, relatou que o movimento
surgiu da insatisfação de professores e alunos nos anos 50 com o modo
como o ensino da disciplina vinha sendo desenvolvido.
22 Os professores entrevistados receberam pseudônimos através do nome das letras do alfabeto grego, muito usadas na linguagem matemática, com o objetivo de preservar a identidade e garantir a privacidade dos docentes. 1 – Alfa 2 – Beta 3 – Gama 4 – Delta 5 – Épsilon 6 – Pi
81
Dienes (1974, p. 15) enfatizou o surgimento do Movimento da
Matemática Moderna descrevendo o “quadro” educacional da matemática
nos anos 50 e mostrando a insatisfação de professores e alunos com o
ensino da matemática. O autor, referindo-se à década de setenta do século
passado, explicitou que:
No momento atual, dif icilmente encontramos um único membro da comunidade de mestre interessado no ensino de Matemática em qualquer grau, que possa dizer a si mesmo, honestamente, que tudo vai bem com o ensino de matemática. Há um número demasiado grande de crianças que não gosta de Matemática – sentimento que cresce com a idade - e muitos são os que encontram grandes dif iculdades com o que é muito simples. Encaremos a realidade: a maioria das crianças jamais consegue compreender o verdadeiro significado dos conceitos matemáticos.
Dentro do contexto da insatisfação, Sangiorgi (1965, p. 1) afirma
que:
Todos que se interessavam pelo ensino e têm acompanhado as transformações por que passam os diversos currículos da Escola Secundária sentem que há, posteriormente, uma tendência bem acentuada de reestruturar-se a Matemática que, tradicionalmente, é destinada aos jovens ginasianos. A abordagem clássica não satisfaz mais as condições e as necessidades criadas pelo mundo moderno.
Para o professor “Épsilon” a insatisfação do período estava centrada no
“[...] ensino clássico que não mais satisfazia aos alunos e professores que, nos
anos 50 e 60, andavam muito insatisfeitos com os resultados do ensino. O
movimento buscou conteúdos novos e forma nova de ensinar a matemática”.
Sangiorgi (1965, p. 1) descreve o relato do presidente da Comissão
Internacional da Educação Matemática, Linchenerowicz, retratou o
momento educacional dos anos 60 como época de uma grande descrença
que acometia a comunidade escolar em torno do ensino da matemática.
Para ele era fundamental reverter o clima de insatisfação que dominava o
82
ensino, além de sugerir que seria necessário e mesmo urgente que os
jovens alunos da escola secundária possam ainda crer na matemática
recebendo o espírito que caracteriza a Matemática contemporânea.
A busca de melhoria no ensino da matemática com a adoção do
Movimento da Matemática Moderna foi identificada por quase a totalidade
dos professores entrevistados. Esta incidência de depoimentos referentes
à “busca de melhoria no ensino” apresenta a visão amadurecida dos
professores sobre o que eles vivenciaram no passado. Um olhar de fora do
centro do episódio, pois de dentro do movimento podemos ser envolvidos,
como aponta D’Ambrósio (1976, p. 7):
No caso brasileiro, nota-se o entusiasmo gerado pelos vários movimentos de modernização, com discípulos incondicionais de G. Papy, outros entusiastas da linha SMSG, mais recentemente os fiéis entusiastas de Z. Dines, e agora os apóstolos da já desgastada crítica de Morris Kline.
Recorro mais uma vez a D’Ambrósio (1996) que vê melhorias no
ensino atual advindas do Movimento da Matemática Moderna. O autor
(1996, p. 57) afirma que:
Se a matemática moderna não produziu os resultados pretendidos, o movimento serviu para desmistif icar muito do que se fazia no ensino da Matemática e mudar – sem dúvida para melhor – o estilo das aulas e das provas e para introduzir muitas coisas novas, sobretudo a linguagem moderna de conjuntos. Claro, houve exageros e incompetência, como em todas as inovações. Mas o saldo foi altamente positivo.
O professor “Gama” apontou a matemática moderna como um grande
esforço internacional que envolveu países da Europa, América do Norte,
Brasil e outros da América Latina em meados dos anos 60. Como vimos no
capítulo três, o Movimento da Matemática Moderna foi um movimento com
83
tal característica. Após seu início, na França, em meados da década de 20
do século passado, este movimento se expandiu pelo mundo todo.
Essa expansão do movimento da matemática Moderna foi
reconhecida pelo professor “Delta” como “um movimento para a melhoria
do ensino no mundo inteiro, que tinha como objetivo mudar o programa de
Matemática”.
A citação a seguir, de Sangiorgi (1965, p. 5), ilustra que a
modernização dos programas de matemática foi um dos objetivos do
Movimento da Matemática Moderna. O mesmo foi apontado como um
objetivo confessado pelo movimento, como vimos no capítulo dois. O autor
afirma que:
Nesse sentido, países europeus, de tradições culturais reconhecidas, e os Estados Unidos da América do Norte têm realizado verdadeira cruzada, amparando professores – por intermédio de Cursos de Aperfeiçoamento – e divulgando publicações destinadas a apresentar as novas idéias sobre modernização de programas, de linguagem da Matemática, bem como as últimas conquistas acerca da metodologia dessa disciplina.
Sangiorgi (1965), citado no capítulo três, afirma que várias
comissões internacionais, a partir de 1950, realizaram reuniões que
objetivaram a modernização dos programas de ensino da matemática.
Brown (1965) chama atenção para o grande investimento que todos os
segmentos das sociedades européia e norte americana fizeram para a
melhoria do currículo de matemática nestas comissões.
No Brasil, como nos aponta Sangiorgi (1965, p. 9), “[...] as primeiras
manifestações oficiais da introdução dos novos programas [...] foram feitas
através dos Congressos Brasileiros de ensino da Matemática23”. Mas o
23 I – realizado em Salvador (1955);
II – realizado em Porto Alegre (1957); III – realizado no Rio de Janeiro (1959); IV – realizado em Belém (1962).
84
autor chama atenção para a necessidade de investimentos oficiais para
uma preparação digna do Brasil nos novos tempos modernos. Assim,
Sangiori (1965, p. 10) revela a sua preocupação:
Dessa forma, também no Brasil pretende preparar-se condignamente para participar educacionalmente dos novos tempos anunciados. O que é preciso, realmente, é muita compreensão para o problema da reestruturação do ensino da Matemática na Escola Secundária e de muito auxílio oficial (Federal e Estadual) para uma verdadeira cruzada junto aos professores de todo o território nacional.
Mas D’Ambrósio (1976) abriu uma nova vertente no debate,
afirmando que, para propor um novo currículo, vários fatores têm que ser
envolvidos na sua construção. Perpassa por uma visão interdisciplinar,
envolvendo um contexto social, econômico, cultural e de cunho regional,
sem ser nacionalista. D’Ambrósio (1976, p. 106) é contundente em
apresentar esta visão:
Desenvolvimento curricular, usando a terminologia adequada para a procura de novas opções de ensino é resultante de um contexto sócio-econômico-cultural, e certamente a Matemática não escapa da influência e mesmo da interação com esse contexto. É um processo dinâmico, evolutivo e, sobretudo, local.
D’Ambrósio (1986, p. 15) chama a atenção para uma proposta
totalmente nossa como uma solução genuinamente brasileira,
conhecedores que somos da nossa realidade. O autor defende que:
A solução tem que ser encontrada por nós, a solução deverá ser autenticamente nossa, e do esquema adotado pelos países desenvolvidos, pouco poderá ser transferido à nossa realidade.
Para apresentar quais fatores levaram os dirigentes da educação
matemática no Brasil a aderir ao Movimento da Matemática Moderna, o
professor “Alfa” traçou uma resposta no caminho da não autenticidade da
85
proposta brasileira quando ele afirmou “[...] que nossas necessidades são
diferentes das dos outros”. Assim, o professor “Alfa” descreveu sua crítica:
Penso que foi modismo. Muita coisa na educação é implantada apenas por moda. Acho que não foi diferente com a Matemática Moderna. As necessidades dos alunos norte americanos era e é diferente dos nossos.
D’Ambrósio (1976) reconhece a grande importância de conhecermos
novas tendências, saber o que os outros estão desenvolvendo é uma
postura de extrema importância, mas, dependendo da forma como é
conduzida, demonstra a cultura do colonizado. D’Ambrósio (1976, p. 106)
observa que:
Naturalmente, o conhecimento nas modernas tendências, saber o que fazem os outros desenvolvidos ou subdesenvolvidos é da mais alta importância. Transferir o que fazem os outros é absurdo e culturalmente colonizante.
“Transferir o que fazem os outros é absurdo”, esta é também a
preocupação do professor “Beta”, que aponta como um legado negativo
deixado pelo movimento e ele lamenta – “o movimento não preparou o
professor para um programa que não foi produzido por nós”.
Nesta linha de preocupação acima apontada, Raw (1965, não
paginado) também descreve as suas inquietudes. Alertava para a
inconsistência de apenas traduzir os currículos estrangeiros, quando a
necessidade era trabalhar com a nossa realidade, com os nossos
problemas. O autor (1965, não paginado) pondera sobre o tema:
Será necessário mudar a mentalidade dos professores secundários e retreiná-los nos novos currículos. Então, temos uma reforma. É este o programa que temos desenvolvido, e não poderíamos esperar passivamente uma evolução. Não o conseguiremos traduzir os magníficos projetos estrangeiros, se não criamos um grupo capaz de adaptá-los, de criar novos quando necessários, de fazer nossa própria análise
86
em relação a nossos problemas e condições, de retreinar professores e imprimi-lhes novas diretrizes.
O professor “Épsilon” apresentou uma visão diferente da cultura
colonizante. Sua análise apresenta uma defesa pelo viés da necessidade
de se encontrar um caminho a qualquer custo para retirar o peso que
recaía historicamente sobre o ensino da matemática no que tange a
evasão escolar, que sempre foi altíssima. Neste contexto, o desejo por
uma solução imediata era tão grande que, na visão do professor “Épsilon”,
a estratégia da cópia do programa era uma saída plausível. Assim, o
professor “Épsilon” apresenta sua defesa.
A matemática também no Brasil sempre foi um bicho papão e contribuiu com quase 90% da evasão escolar. Então também era necessário fazer alguma coisa. Mesmo que copiando dos americanos.
Na visão dos professores sobre o Movimento da Matemática
Moderna foram apontadas causas. Causas estas que já se tornaram um
consenso quando focalizada a origem do movimento. Assim como já
apontado no capítulo três, foi destacado pelo professor “Alfa” a “[...]
enorme demanda de pessoal especializado após a segunda grande
guerra”.
Nesta mesma linha de visão, o professor “Pi” destacou que “[...] o
movimento buscava também melhorar o ensino com os avanços
tecnológicos e ampliar a formação científica de estudantes”.
No capítulo três, ao detalhar o Relatório Rockfeller, destaquei que,
na sua suma conclusiva, ele apontava para a necessidade de pessoal
altamente educado e que qualquer nação depende cada vez mais de
progressos técnicos e científicos.
87
A despeito do consenso em relação à busca de melhoria do ensino
de matemática, com a adoção do Movimento da Matemática Moderna, um
dos entrevistados (professor “Beta”) identificou o movimento como
“puramente político”, acrescentando que, nos anos 60 e 70, se impuseram
currículos de matemática dos Estados Unidos no ensino brasileiro.
Para Lorenzato (2006, p. 7), “[...] a moda está presente nos
costumes, nas crenças, nos rituais e nos usos”. Para o autor, em educação
os modismos apresentam-se por várias faces: de linguagem, tecnologias
de ensino, informática, também nas formas de cursos, na psicopedagogia,
pesquisa, entre outras.
Para o autor (2006), pode-se exemplificar alguns modismos na
educação matemática nas correntes de pensamento intuicionista, empirista
e formalista. Lorenzato observa que não faz tanto tempo que nossos
alunos das 7ª e 8ª séries, ao estudar geometria, se deparavam com um
grande grupo de teoremas para serem memorizados e, posteriormente,
demonstrados.
Em relação à Matemática Moderna, Lorenzato (2006, p. 7) é enfático
ao afirmar que o movimento foi o modismo. “Outra onda mais forte que
tomou conta de toda a matemática escolar foi a matemática moderna e sua
linguagem conjuntivista”.
O professor “Beta” usa uma argumentação para construir o seu
conceito de modismo com a mesma estrutura de raciocínio do parágrafo
anterior. Ele afirma que, “[...] como somos subdesenvolvidos, tudo que vem
de fora é bom, tudo é modismo. Eles tinham indústria iniciando a
automação. Nós estávamos no início da industrialização.
Na mesma linha de Lorenzato (2006), D’Ambrósio (1976) vê valores
positivos no movimento, mas aponta alguns negativos e entre eles, o
88
retrocesso causado para a “educação matemática”, que emergia em todo o
Brasil no início dos anos 60. Grupos de estudo como o Geem de São Paulo
perderam sua identidade. D’Ambrósio (1976, p. 105) descreve a sua
versão:
No caso específico da Matemática, circunstâncias especiais e uma certa timidez, decorrentes possivelmente de características da própria ciência, causaram, a partir do início dos anos 60, uma tendência a modismos não autênticos, com efeito neutralizante no movimento tão promissoramente iniciado pela criação do Geem de São Paulo e outros grupos semelhantes por todo o Brasil.
Mais severa, mas de extrema pertinência é a análise que D’Ambrósio
(1976) apresentou no III Congresso Internacional de educação Matemática,
realizado na Alemanha, em 1976, na cidade de Karlsruhe, sobre os
modismos internacionais para os países hoje chamados “em
desenvolvimento”. O autor (1976, p. 105) é firme ao apresentar sua
análise:
[...] o modismo internacional é muito mais intenso nos países subdesenvolvidos com relação à Matemática do que com relação a outras disciplinas. Talvez pela não necessidade de equipamentos e pela possibilidade de se adotar, com um rápido programa de treinamento, novos programas e nova metodologia, a adoção das chamadas “linhas de ensino” ou “programas modernos” encontram, nos países subdesenvolvidos, grande receptividade. Desse panorama universal não escapa o Brasil.
D’Ambrósio (1976) conclui deixando um grande alerta sobre os
modismos. Afirma que tais movimentos buscam responder a uma
problemática específica, tendo como pano de fundo um contexto
socioeconômico e cultural próprio. Mesmo assim, tais propostas encontram
pouca receptividade, que normalmente vem acompanhada de críticas, onde
sua adoção e aplicação são parciais e limitadas de algumas
características. Sempre propostas como a do Movimento da Matemática
Moderna são em si projetos de pesquisa e não pura e simples adoção de
uma ou outra orientação.
89
Para D’Ambrósio (1976), contrário a tudo que foi proposto nos três
parágrafos anteriores, nos países em desenvolvimento, a modernização já
está fora de moda no seu país de origem quando ela chega a ser
implantada. Assim ele (1976, p. 108), descreve o contexto dos países em
desenvolvimento.
Pelo próprio caráter da adoção das orientações estrangeiras, que normalmente são precedidas ou acompanhadas pela deificação de seu “criador”, ou mesmo dos divulgadores, tais novidades são conhecidas quando já estão superadas ou mesmo abandonadas. Paradoxalmente, a modernização é desatualizada.
Essa desatualização foi reconhecida pelo professor “Beta” quando
afirma que, após a adesão ao movimento, é necessário pouco tempo para
se construir grupos contrários e pautados com veementes críticas. Assim o
professor “Beta” apresenta sua visão de que:
[...] os fatores que levaram os dirigentes da educação no Brasil a aderir ao Movimento da Matemática Moderna foram nenhum, eles fora atrás do modismo. Tanto é que em pouco tempo tinha gente contra e fazendo crítica feroz.
Mas D’Ambrósio (1996) apresenta outra conclusão em relação ao
Movimento da Matemática Moderna através de um olhar retrospectivo e
aponta relevância ao trabalho do movimento. Assim o autor (1996, p. 57)
descreve:
Se a matemática moderna não produziu os resultados pretendidos, o movimento serviu para desmistif icar muito do que se fazia no ensino da matemática e mudar – sem dúvida para melhor – o estilo das aulas e das provas e para introduzir muitas coisas novas, sobretudo a linguagem moderna de conjuntos. Claro, houve exageros e incompetência, como em todas as inovações. Mas o saldo foi altamente positivo. Isso se passou, com essas mesmas características, em todo mundo.
90
Saldo positivo, conclui D’Ambrósio (1996) após toda reflexão
construída nos parágrafos anteriores. Também para o professor “Delta”, o
movimento deixou um legado positivo. Assim ele apresenta sua defesa em
favor do movimento:
A formação de grupos que passaram e atuam até hoje na educação matemática, que estão espalhados no Brasil todos. Vejo este fato como uma grande vitória para o ensino da matemática. O movimento não deu certo, mas deixou sementes que se frutif icaram e vêm ajudando o ensino da matemática.
4.2) A adesão ao Movimento da Matemática Moderna
Revuz (1967, p. 19) descreve o início do movimento (ano 1950)
quando, fora dos espaços especializados, começou a transitar a notícia de
que as matemáticas foram completamente reconstruídas, que haviam
sofrido uma mudança radical. A maioria das pessoas reagia com surpresa
e até mesmo espanto.
Mesmo ainda antes de saberem do que se tratava, apareceram
críticos preocupados com a adesão e permanência do Movimento da
Matemática Moderna. Alguns tentaram tranqüilizar-se minimizando o
acontecimento com a afirmação: “Isso da Matemática Moderna é uma
moda que passará, como todas as modas!” (Revuz, 1967, p. 10).
O modismo foi um dos temas recorrentes no conjunto das
entrevistas. Essa recorrência levou o tema a ser debatido no subitem
anterior. Ele também é uma das faces que formatou a adesão ao
movimento. Pontuando pequenas passagens em que os professores
fizeram menção literal ao modismo temos:
91
- Professor “Alfa” – “Penso que foi modismo”.
- Professor “Beta” – “Tudo é modismo”.
- Professor “Beta” – “[...] eles foram atrás do modismo”.
Para Revuz (1967), o adjetivo moderno é inadequado para expressar
o que a proposta do movimento defendia. Para o autor é provável que a
aplicação desta adjetivação imprópria tenha sido uma das causas que
geram o rótulo de “modismo”. Vários autores24 apresentam a mesma visão
da inadequação do nome.
Revuz (1967, p. 19) apresenta o seu olhar para esta questão
afirmando que:
[...] o termo moderno autorizou certos observadores superficiais a proclamar que as matemáticas modernas não tardariam em passar de moda, cedendo novamente o seu justo lugar às boas matemáticas antigas.
Para o professor “Gama” dois pontos levaram os dirigentes da
educação matemática no Brasil a aderir ao movimento, ambos ligados à
melhoria do ensino. Atualizar, modernizar o currículo do ensino tradicional
(matemática antiga), pois o baixo aproveitamento (aprovação) da proposta
clássica incomodava a pais, alunos e mestres. O professor “Gama” assim 24 Sangiorgi (apud 1965, p. 2): “Aliás, o nome Matemática Moderna apresenta-se, a rigor, indevidamente, pois, na realidade não se objetiva ensinar um programa completamente diferente daqueles tradicionalmente conhecidos. O que se deseja essencialmente com modernos de programas de matemática (e esta seria a expressão mais aconselhada) é modernizar a linguagem.” D’Augustine (1976, p. XXII): “A palavra moderno é um nome errado para o atual programa de matemática na escola primária [...] uma expressão mais apropriada deveria ser matemática revolucionária, porque a reforma do currículo contém muitas características que normalmente são associadas a uma revolução.” Carmo (1971, p. 4): “Esta falácia é tanto mais grave por estar presente, de maneira implícita, em uma certa atitude em relação ao ensino da Matemática que se autodenomina de Matemática Moderna. Deixando de lado a propriedade do termo, passarei a chamá-los de modernistas”.
92
apresentou o seu depoimento: “O altíssimo índice de repetência em
matemática levou à necessidade de atualização e modernização do
currículo”.
Apontando os mesmos elementos que o professor “Gama”, Revuz
(1967) apresenta uma análise na qual a matemática moderna retrabalha a
matemática antiga, ampliando-a, unificando-a e aplicando a ela novas
ferramentas metodológicas. O autor (1967, p. 66) justifica a sua análise
acima respondendo a um questionamento dos defensores do ensino
clássico:
Ouve-se dizer que “a boa matemática antiga” já prestou as suas provas, sendo, pois, sensato abandoná-la. Ao que se deve responder que não se trata de abandonar, porque a Matemática nova continua a antiga e a torna mais manuseável, fornecendo-lhe mais instrumentos novos.
O professor “Alfa”, quando questionado sobre a adesão ao
movimento, responde: “[...] a insatisfação de pais e alunos com a
abordagem do ensino clássico”. A esta firmação acrescento a de Revuz
(1967, p. 66): “[...] a matemática continua antiga [...] fornecendo-lhe
instrumentos novos”.
Busco em Grossnickle e Brueckner (1965) o motivo da necessidade
de uma nova abordagem e de instrumentos novos. Os autores (1965, p.
16) tecem uma crítica à prática pedagógica da escola tradicional,
afirmando que:
Na escola tradicional, o ensino era feito totalmente pelos processos verbais. O professor demonstrava os processos de computação que a criança deveria aprender e esta memorizava. Depois, copiava exemplos abstratos e neles trabalhava na base de repetição mecânica.
93
Grossnickle e Brueckner (1965) também propõem como a abordagem
vai se desenrolar e quais instrumentos novos seriam aplicados: Eles (1965,
p. 16) defendem que:
Quando a sala de aula é considerada como um laboratório de aprendizagem, a criança encontra problemas e experimenta com números e materiais variados. Isto a conduz à descoberta de fatos e soluções. A criança participa das experiências dirigidas de aprendizagem [...] na sala de aula, um ambiente estimulante e atrativo.
Na defesa de adesão ao movimento que o professor “Pi” apresentou,
ele manteve a coerência da “modernização do ensino”, mas acrescentou
um ponto de grande relevância – os avanços tecnológicos.
Price (1965, p. 17) chama o Movimento da Matemática Moderna de
Revolução Matemática. Para o autor, uma das causas do movimento é a
revolução da automatização da indústria, que consiste basicamente na
introdução de máquinas que controlam máquinas. O operador de máquinas
necessita de um bom conhecimento matemático.
Para a sustentabilidade desta revolução é necessário criar uma
cadeira de formação, como afirma Price (1965, p. 22): “[,,,] aumentemos a
produção de Matemáticos e professores de Matemática e a produção de
novos cientistas e alunos e novos professores”. Para esta cadeia se
efetivar, o professor e o aluno necessitariam de um olhar atento. A relação
pedagógica (insatisfação) e o aproveitamento (baixíssimo) formavam um
quadro preocupante e infértil para a cadeia de formação pretendida. O
professor “Delta” faz referência a este aspecto ao afirmar que “o altíssimo
índice de repetência em matemática” e o professor “Gama” vai referendar o
colega ao pontuar que “[...] existia um clima de grande insatisfação dos
alunos na época que eram reprovados maciçamente”.
94
Toda esta insatisfação, que girava em torno da matemática no início
dos anos 50, abriu uma pergunta para o Relatório Rockfeller (1957) buscar
uma resposta: “Com está o nosso sistema de educação?” (Price (1965, p.
30). A resposta obtida foi:
A pergunta significativa não é se estamos agindo bem, ou se nós estamos agindo melhor agora que no passado, mas sim se estamos indo ao encontro das demandas severas e das oportunidades sem paralelo na nossa época. E a resposta é: não estamos. (Price, 1965, p. 30).
Dienes (1967 p. 10) apresenta uma reflexão clara e limpa para a
condição em que se encontrava o ensino da matemática e propõe:
Ao preço porque tem de se pagar a total compreensão matemática há que adicionar a vontade, por parte do professor, de ensinar o que podemos apelidar de Matemática “nova”, ou quando mais não seja, a Matemática “antiga” encarada de novo ângulo. A antiga perspectiva consiste em considerar o ensino da matemática como um adestramento em processos mecanizados; a perspectiva nova, em considerar que esses processos formam um tecido de estruturas de complexidade crescente.
Deste grupo de respostas que fizeram alusão a “adoção” do
movimento, obtive pontos relacionados ao ensino, como fracasso,
modernização, abordagem clássica, reprovação, modernização de
currículos e evasão, que foram os temas mais recorrentes do conjunto das
entrevistas.
Estas incidências estão retratadas nos grifos aplicados sobre as
falas do professores:
- Professor “Alfa”: - “[...] fracasso dos alunos em matemática nos
anos 60”.
- “[...] a insatisfação de pais e alunos com a
abordagem do ensino clássico”.
95
- Professor “Gama”: - “Existia um clima de
grande insatisfação dos alunos da época, que
eram reprovados maciçamente”.
- “O altíssimo índice de repetência em
matemática levou à necessidade de
atualização e modernização do currículo.”
- Professor “Delta”: - “[...] insatisfação de professores e alunos”.
- “O ensino clássico não mais satisfazia e
professores que nos anos 50 e 60 andavam
muito insatisfeitos com os resultados (notas,
reprovação no Brasil e até evasão)”.
- “[...] O movimento buscou conteúdos novos e
forma nova de ensinar a matemática”.
- Professor “Pi”: - “[...] a modernização do ensino e os avanços
tecnológicos”.
Esta recorrência aponta que, para o grupo de professores
entrevistados, o Movimento da Matemática Moderna foi genuinamente do
campo do ensino da matemática, tratando de questões de cunho
educacional.
4.3 – Conteúdo
O processo “ensino-aprendizagem” abrange inúmeros e variados
aspectos, entre os quais um dos mais significativos é o que se refere à
elaboração e proposição de currículos.
96
Um programa de ensino não é apenas um conjunto aleatório de
conteúdos (tópicos) dentro de determinado campo de conhecimento. Mais
do que isso, tais conteúdos necessitam ser estruturados não só quanto à
ordem, mas também quanto à relação e sequenciação entre eles (tais
assuntos). Outros princípios da didática são também observados quando
da elaboração de um programa de ensino.
Para D’Augustine (1976), o Movimento da Matemática Moderna
expressa uma matemática revolucionária, principalmente na proposta de
reforma do currículo que continha muitas características que são
normalmente associadas a uma revolução. Ele julga mais pertinente e
apropriada a expressão matemática revolucionária para nomear o
movimento.
No que tange aos conteúdos deste currículo revolucionário, que foi
estudado por vários grupos e comissões internacionais compostas
basicamente por estudos americanos e europeus que apesar da
diversidade de trabalhos (deixado de lado as características únicas de
cada proposta) elas apresentam um núcleo comum.
• Estrutura
• Operações e suas inversas
• Medida
• Uso extensivo da representação gráfica
• Sistemas de numeração
• Propriedade dos números, desenvolvimento do sistema de
números reais
• Interferência estatística, probabilidade
• Conjuntos – linguagem e teoria elementar
• Deduções lógicas
97
Nas entrevistas quando foi perguntado quais conteúdos foram
marcantes na proposta do Movimento da Matemática Moderna, os
entrevistados foram unânimes ao apontar a teoria de conjuntos. Bases não
decimais foi um item lembrado pela metade dos professores. No que se
refere à teoria de conjuntos, o resultado não surpreende, pois se faz uma
relação de coexistência entre o Movimento da Matemática e a teoria de
conjuntos. O levantamento das entrevistas apresenta este resultado.
Conteúdos do núcleo comum Questão A 25 Questão B 26
Estrutura 1 1
Operações e suas inversas 1 1
Medida 2 1
Uso extensivo da representação gráfica 0 1
Sistemas de numeração 3 3
Propriedade dos números, desenvolvimento do sistema de números reais
0 1
Interferência estatística, probabilidade 0 1
Conjuntos – linguagem e teoria elementar 6 6
Deduções lógicas 0 1
Pelo quadro pode-se observar que, em primeiro lugar, os conteúdos
referentes aos conjuntos – linguagem e teoria elementar - foram
percebidos como marcantes na proposta do movimento da matemática
moderna e com a mesma frequência foram considerados conteúdos que
ainda estão sendo trabalhados no ensino da matemática. Em segundo
lugar foi apontado por três professores, em ambas as categorias, o sistema
de numeração. Observa-se ainda que conteúdos que não foram
considerados marcantes no movimento (representação gráfica; propriedade
dos números desenvolvimento do sistema de números reais e deduções
lógicas) foram destacados como conteúdos da matemática moderna ainda
trabalhados no ensino da disciplina.
25 - Qual(is) conteúdo(s) foi(foram) marcantes na proposta do MMM? 26 - Dentro do contexto atual da educação matemática algum(uns) conteúdo(s) ainda está(ão) sendo trabalhado(s)?
98
Para o professor “Épsilon”, o movimento ficou estigmatizado como
“conjuntivismo”. Assim ele apresenta a sua visão: “o Movimento da
Matemática Moderna também recebeu o nome de “era do conjuntivismo”.
O professor “Beta” relatou que, no início do movimento e
posteriormente, ainda por um bom período, a teoria de conjuntos era
amplamente explorada em quase todas as séries e anos escolares. Ele
também se referiu ao fato desta teoria ter se tornado rótulo do movimento.
De forma contundente o professor “Beta” apresenta suas recordações:
Foi um conjuntivismo danado na 1ª série do 1º grau. Depois repetia novamente no 1º ano do 2º grau. Os pobres dos meninos sofreram com os conjuntos e as bases não decimais.
Esta intensa aplicação da teoria de conjuntos pode ser encontrada
até mesmo no “Guia de Matemática” (1973) do MEC destinado ao
professor do Mobral. No prefácio dedicado ao professor a equipe de
Gerência Pedagógica do MEC apresenta a teoria de conjuntos e justifica a
importância deste conteúdo.
Assim Melhado, Soares, Caldas e Galvão (1973, p. 2) assim
descrevem a apresentação deste conteúdo:
Sabemos o quanto é importante que você e seus alunos compreendam os conceitos matemáticos e os utilizem objetivamente, abandonando processos mecânicos, decorados, divorciados do raciocínio lógico matemático. Esta compreensão é facilitada através de uma abordagem inovadora dos assuntos, tornando os conceitos claros e racionais. Ao apresentarmos o conteúdo mínimo, partimos da teoria dos conjuntos, cujas noções são aplicadas direta ou indiretamente em cada um dos tópicos seguintes.
O professor “Beta”, além de apresentar a grande aplicação no
currículo do conteúdo de conjuntos, tanto na estrutura
99
vertical como horizontal, também alertou para o despreparo do professor
com os conteúdos que haviam sido incorporados pelo novo currículo. O
professor “Beta” assim se referiu à sua experiência quando da implantação
da matemática moderna: “Mas, por outro lado, tinha um bom número de
professores que não sabia nada de conjuntos e bases decimais. O pobre
do professor não foi preparado”.
Com a mesma preocupação, Carmo (1971) é bem incisivo ao refletir
sobre esta questão quando afirma que uma simples cópia não constrói uma
proposta. As mudanças de peso como a implantação de um novo currículo
têm que ser lentas e graduais, pois o professor necessita de um período de
adaptação. O autor (1971, p. 7 e 8) assim apresenta as suas
preocupações:
Pouco nos adianta copiar currículos americanos, belgas ou franceses, se o corpo de professores de que dispomos não permite aplicá-los. As mudanças devem ser projetadas de maneira lenta e progressiva, de modo a permitir aos professores uma adaptação contínua ás novas condições.
O professor “Beta” afirmou que o movimento não deixou nenhum
legado positivo e que não viu esforço em preparar o professor, que ficou
abandonado para experimentar solitariamente a sua prática. O professor
“Beta” descreve: “A proposta não preparou os professores, que receberam
vários conteúdos novos que eles tinham que repassar aos seus alunos”.
Para Szitajn (1997), alguns professores não ficaram a deriva no
barco do movimento, pois cursos foram oferecidos pelo Geem. Estes
cursos se tornaram veículos de divulgação do Movimento da Matemática
Moderna, mas revelaram que os conteúdos ministrados nos cursos eram
totalmente desconhecidos pelos professores. Assim a autora (1997, p. 188)
apresenta a sua visão:
100
A partir de 1961, com a criação do Geem, a Matemática Moderna começou a ser amplamente difundida no país através de cursos de formação de professores. Os programas destes, entretanto, continham, principalmente, novos conteúdos matemáticos que os professores deveriam aprender a fim de poderem ensiná-los nas escolas. Estes conteúdos, totalmente desconhecidos para muitos professores, ocupavam todo o tempo dos cursos.
Para o professor “Delta” foi relevante a formação de grupos de
estudo que elaboravam e aplicaram vários projetos. O grupo Geem foi um
dos que se destacaram. Assim afirma o professor “Delta”:
A formação de grupos que passaram a atuar e atuam até hoje na educação matemática, que estão espalhados no Brasil todo, vejo este fato como uma grande vitória para o ensino da matemática..
O professor “Alfa” também julga como ponto positivo “[...] o grande
número de grupos de estudo de matemática aqui no Brasil, assim como
fora”.
Para Miorim (1998), este período foi único na história da educação
matemática, alcançando um amplo espaço que percorreu o campo
pedagógico, a ciência, a comunidade escolar, chegando até a mídia. Assim
a autora (1998, p. 114)descreve este momento ímpar:
Em nenhum outro momento o ensino da matemática foi tão discutido, divulgado e comentado como naquele período. Os jornais noticiavam, os professores faziam cursos, os livros didáticos multiplicavam-se, os pais assustavam-se e os alunos ‘aprendiam’ a matemática moderna.
O professor “Gama” também vê esta movimentação que é assim
retratada por ele: “No mundo inteiro e no Brasil se viu uma grande
movimentação, como nunca antes na história do ensino da matemática,
que repercute até hoje”.
101
É neste período de grande movimentação em torno da matemática
que o livro didático ganha um enorme espaço. Miorim (1998, p. 114) afirma
que “[...] os livros didáticos multiplicaram”, indicação também feita pelo
professor “Alfa” ao relatar que “[...] surgiu uma grande quantidade de livros
didáticos divulgando e/ou aplicando a proposta do movimento”.
O professor “Épsilon” julga que conteúdos enfatizados pelo
Movimento da Matemática Moderna ainda estão sendo trabalhados até
hoje, mas numa proposta mais madura, sem o rigor e os exageros
cometidos no início do movimento. Assim descreve o professor “Épsilon” o
seu olhar para a matemática moderna dos dias de hoje:
Penso que no contexto atual ainda temos conteúdos da Matemática Moderna. Mas não com o rigor com que foram trabalhados nos anos 70 e 80. Vejo muitos livros com conteúdos de conjuntos sendo explorados nas séries iniciais, até mesmo no jardim.
Valorização excessiva de alguns conteúdos talvez tenham sido uma
das marcas do movimento. Onde existiu investimentos foram vultuosos,
avalanches de livros didáticos e a ampla aplicação da teoria de conjuntos
A esta forma de ver o movimento os professores “Pi” e “Delta” assim
descreveram:
- Professor “Delta”: “O aumento do medo do mito em relação à
matemática. Na busca por reduzir o medo ele acabou aumentando
e muito”.
- Professor “Pi”: “Apresentou exageradamente uma simbologia
restrita e rigorosa e que não facilitou a formação científica dos
estudantes”.
102
Exageros e rigor... estes também são aspectos que incomodaram
Carmo (1971, p. 7). O autor explicita este incômodo em dois momentos.
No primeiro o autor se refere ao rigor formal defendido pelo movimento e
confirma:
[...] o rigor formal é o tipo de rigor que os modernistas querem transmitir aos seus alunos e sua ausência é a maior crítica que eles (modernistas) fazem aos outros sistemas de ensino.
No segundo momento o autor se refere a uma crítica pesada aos
professores brasileiros que foram julgados como incompetentes por
proporem trivialidades, entre outros adjetivos. Carmo (1971, p. 7) assim
apresenta sua visão:
[...] as distorções das próprias idéias modernistas em mãos de inescrupulosos e incompetentes levaram à atual situação do ensino da Matemática Moderna no Brasil, onde se dá ênfase às trivialidades de manejar conjuntos, insiste-se em nuances liguísticas irrelevantes, e estimula-se a mediocridade através de exercícios rebuscados sobre o conjunto vazio.
Em trabalho27 realizado por Carvalho (2000, p. 105) - análise das
propostas curriculares referentes à década de 1985 a 1995 – identificou
que a teoria de conjuntos ainda está em vigor, assim como a maioria
destes currículos.
De acordo com Carvalho (2000, p. 106), os currículos foram divididos
em dois grandes subgrupos:
A) “os que ainda estão impregnados pela teoria dos conjuntos”;
B) Os que a eliminaram ou reduziram ao mínimo”.
27 O trabalho de análise foi originalmente efetuado para a Fundação Carlos Chagas, em 1995, como etapa para o estabelecimento dos Parâmetros Curriculares Nacionais.
103
Carvalho (2000, p. 106) exemplifica que “entre os currículos do
segundo subgrupo temos, por exemplo, a proposta do Estado de São
Paulo”. Para o primeiro subgrupo “um caso extremo é a proposta do
Estado do Amazonas”, que se caracteriza por um tratamento dado à teoria
de conjuntos típico da Matemática Moderna.
Quando o autor (2000) faz menção à proposta do Estado de Minas
Gerais, ele (2000, p. 107) afirma que “embora abordando a teoria dos
conjuntos, estudo-a em um grupo matemático chamado de raciocínio lógico
e combinatória”.
Por tudo que estamos analisando, é possível afirmar que a teoria de
conjuntos é o espelho do Movimento da Matemática Moderna. O professor
“Beta” apresentou esta idéia de forma concisa ao responder à questão
sobre quais conteúdos ainda estavam sendo trabalhados: “Acho que se
estudou tanto os conjuntos que eles acabaram ficando como um conteúdo
definitivo”.
Fazemos referência a Miorim (1998) para fechar esta análise, não
com um caráter conclusivo, mas sim reflexivo principalmente por tudo que
foi debatido até agora. A autora (1998, p. 15) propõe que: “Ainda hoje,
podemos perceber a presença de suas idéias (do MMM) não apenas nas
discussões teóricas sobre o assunto, mas também na prática da Educação
Matemática”.
104
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Tendo como referencia os objetivos propostos para esta investigação
no decorrer deste trabalho busquei apresentar considerações quanto à
análise dos dados obtidos. Várias foram as considerações que se
construíram, muitas já mencionadas em capítulos anteriores, entretanto,
busco agora reorganizá-las, dando-lhe uma forma articulada para auxiliar
na compreensão global da pesquisa realizada.
A pesquisa foi desenvolvida buscando analisar quais elementos (a
estrutura metodológica e conteúdos) do Movimento da Matemática
Moderna estão presentes na prática do professor de Matemática. objetivos
específicos estruturam o trabalho.
O primeiro objetivo girou em torno da caracterização do movimento,
que pode ser considerado uma continuidade do movimento reformador, que
no bojo de sua proposta apresentava como objetivo confessado a
atualização do currículo de matemática e a redução do descompasso
existente entre a matemática ensinada no curso médio e a ensinada no
curso universitário. Em relação aos conteúdos novos trazidos pelo
movimento para o ensino da matemática esta investigação mostrou que a
unanimidade dos professores destacou a teoria de conjuntos, as relações
e as estruturas numa proposta que teve como base uma reforma
axiomática, desenvolvida pelo grupo Bourbaki.
O segundo objetivo foi identificar e apontar na prática atual de
professores de matemática os elementos trazidos pelo movimento para o
ensino da matemática e que estão presentes em sua atuação.
105
Quando levantei quais conteúdos foram marcantes na proposta do
Movimento da Matemática Moderna, a teoria de conjuntos foi reconhecida
em unanimidade pelos professores entrevistados. Bases não decimais foi
outro tema que apresentou recorrência grande, pois foi apontado pela
metade dos professores. Esta unanimidade em relação à teoria de
conjuntos confirma o estigma do movimento como “era do conjuntivismo”.
Um grupo de professores levantou questão sobre um tema preocupante, o
da não preparação dos professores para implantação do movimento.
Os professores relataram que conteúdos como teoria de conjuntos e
bases não decimais ainda são trabalhados até hoje embora sem o rigor e
os exageros cometidos no início do movimento. A falta de investimentos
em estudos e pesquisas, bem como na formação do docente foi um tema
recorrente que preocupa os professores entrevistados no que se refere à
implantação de qualquer projeto.
O terceiro objetivo buscou rastrear as contribuições do legado da
matemática moderna. Um dos grandes resultados apontados como uma
grande vitória do Movimento da Matemática Moderna foi a formação de
grupos de estudo sobre a educação matemática e que vem atuando até
hoje. Para alguns dos entrevistados, este é indiscutivelmente o maior
legado do movimento.
Como fato inovador para a educação e não apenas para o ensino da
matemática, os professores colocaram como de uma grande importância
toda a movimentação em torno da Matemática Moderna. É neste período
de grande movimentação que o livro didático ganhou um grande espaço.
Preocupante para os professores entrevistados foi a não quebra do
mito da matemática. E para eles não existiu redução desta mistificação,
mas o que é pior ampliou-se o medo sobre a disciplina matemática. Sendo
106
uma das razões a excessiva valorização na linguagem de conjuntos, no
rigor aplicado.
Ao final deste estudo, verifico que há muito ainda para ser
pesquisado sobre a adoção da Matemática Moderna no ensino do Brasil.
Algumas vezes a análise do material coletado a partir das entrevistas
sugeriu idéias para novas pesquisas. Ao entrevistar professores que são
egressos recentes dos cursos de licenciatura de matemática, pude verificar
que muitos deles desconheciam o Movimento da Matemática Moderna,
julgando que revelaram ignorar um movimento que foi parte da história da
educação matemática no país.
Vejo que uma investigação dos programas de formação de
professores poderia evidenciar a ausência ou não das discussões sobre o
Movimento da Matemática Moderna e resultar em contribuições para
estimular o seu estudo. Suponho que tal estudo poderia contribuir para
conhecer como a história da matemática vem integrando ou não os
programas para a formação do docente da disciplina.
Se por um lado verificamos que a matemática moderna não efetivou
os objetivos almejados, por outro constatamos que o movimento prestou
grandes serviços para a educação matemática. Foram introduzidos novos
conteúdos (linguagem de conjuntos) que metodologicamente contribuíram
para mudar estilos das aulas, dos materiais didáticos, dos exercícios
propostos e das avaliações realizadas na disciplina. Vemos também que
houve exageros e desconhecimentos, como em toda mudança,
principalmente uma deste porte (Movimento da Matemática Moderna). Mas
verificamos que o saldo revela positividades que podem ser reconhecidas
nos frutos que estão sendo colhidos até hoje.
107
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ANEXOS
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