Movimento da pá em rotação - Técnico Lisboa ... · • Fazendo um movimento circular com velcidade ... • Ou seja a resposta de batimento tem um atraso de 90º em relação à

Movimento da pá em rotação

• Como vimos as pás estão pivotadas na raiz de maneira aaliviar os momentos flectores nesta zona.

Movimento da pá em rotação

aliviar os momentos flectores nesta zona.• Isto permite às pás subir e descer (batimento)• As forças aerodinâmicas causam a batimento ascendente.• As forças aerodinâmicas causam a batimento ascendente.• As forças centrifugas provocam o batimento descendente• São geradas forcas inerciais na direcção oposta à• São geradas forcas inerciais na direcção oposta à

respectiva aceleração.• No movimento horizontal, é encontrada uma posição de• No movimento horizontal, é encontrada uma posição de

equilíbrio onde o somatório dos momentos devido a estastrês forças é nulo.

Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 1Movimento de batimento na pá em rotação

Equilíbrio em torno da dobradiça de batimentobatimento

Eixo de rotação Direcção de batimento

Dobradiça de batimento

Direcção de batimento positiva




• Elemento com massa por unidade de comprimento m

• Distanciado de y do eixo de rotação• Distanciado de y do eixo de rotação

• Fazendo um movimento circular com velocidade Ω

• A força centrifuga será :• A força centrifuga será :

( ) Ω=( ) ( ) rCF amdyFd = ( ) 2Ω= ymdy



• Assumindo por agora que não existe offset a força • Assumindo por agora que não existe offset a força centrifuga total é:

=Ω= ∫R

ydymF 222RmΩ 2RMΩ

=

• Onde M é a massa total da pá

=Ω= ∫CF ydymF0

2

2

RmΩ

2

RMΩ=

• Onde M é a massa total da pá

• Dado que a pá tem um ângulo de “coning” de β acomponente da força centrifuga perpendicular àcomponente da força centrifuga perpendicular àpá é:

( ) ( ) β2Ω≈Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 4Movimento de batimento na pá em rotação

( ) ( ) ββ sinsin 2Ω= ymdyFd CFydym β2Ω≈


• O momento em relação à dobradiça de batimento é:• O momento em relação à dobradiça de batimento é:

=Ω= ∫R

CF dyymM 22 β =Ω ∫R

mdyy22β =Ω

3

32 Rm β=Ω= ∫CF dyymM

0

β =Ω ∫ mdyy0

β3

ββ

RFRM

CF3

2

3

22

=Ω

=

• Ou podemos também escrever:

βRFCF33==

R

=Ω= ∫R

CF mdyyM0

22β β2ΩbI


• Onde Ib é o momento de inércia da pá em relação à dobradiça de batimento

0


• O momento aerodinâmico em relação ao mesmo• O momento aerodinâmico em relação ao mesmoponto é:

∫−=R

LydyM β

• No equilíbrio MCF+Mβ=0 por isso :

∫0

∫R

⇒=−Ω

∫ 022 R

LydyRM β

=∫0

Lydy

R

β⇒=− ∫ 03 0

Lydy

Ω=

3

220

RMoβ


3


• Dado que a dobradiça pode ter um offset• Dado que a dobradiça pode ter um offsetcorrespondente a eR(<0.15R) podemos obter aexpressão:expressão:

=Ω= ∫R

CF dyymM β22 ( )=

−Ω

3

1 332 eRm β∫eR

CF

( ) ( )222 1

eoeRM

++Ω

=β

3

• RelembrandoM=m(R-eR)=mR(1-e)

( )3

eo+=


• RelembrandoM=m(R-eR)=mR(1-e)


• O momento aerodinâmico é:• O momento aerodinâmico é:

∫−=R

LydyM β

• E o ângulo de coning de equilíbrio é:

∫eR

R

=∫ LydyR

eRβ( )

+Ω

=

3

122 eRM

eRoβ


3

Movimento de batimento da páMovimento de batimento da pá

Eixo de rotação

M(FCF)ydLdMinercial


Direcção de batimento positiva




• Já obtivemos as expressões para os momentos de :• Já obtivemos as expressões para os momentos de :

• E o momento inercial é:

dyymdMCF β22Ω= LydydM −=β

• E o momento inercial é:

( ) β2ymdydM inercial =

• Assumindo um offset nulo:

( ) βymdydM inercial =

0222 =−+Ω ∫∫∫RRR

Lydydymydyym ββ


000∫∫∫


• Escrevendo na forma:• Escrevendo na forma:

( ) ∫∫ =Ω+

RR

Lydydymy 22 ββ

• E dado que o primeiro termo é I :

( ) ∫∫ =Ω+

Lydydymy00

ββ

• E dado que o primeiro termo é Ib :

( ) ∫=Ω+R

2ββ( ) ∫=Ω+ bb LydyII0

2ββ



• Introduzindo uma mudança de variável• Introduzindo uma mudança de variável

tΩ=ψ

dβ

dd ψβ βd

• E tambémdt

dββ =

dt

d

d

d ψ

ψ

β= *β

ψ

βΩ=Ω=

d

d

• E também

2d ββ =

2βd2

2

dt

d ββ = **2

2

22 β

ψ

βΩ=Ω=

d

d



• E a equação do movimento pode ser escrita na • E a equação do movimento pode ser escrita na forma:

∫=

+R

Lydyd 2 1

ββ ( ) ∫=+⇒

R

Lydy** 1ββ∫Ω

=

+

b

LydyId

d

022

1β

ψ

β ( ) ∫Ω=+⇒

b

LydyI 0

2** 1

ββ

• Sabendo que (da TEP) vyβ

−−=

T

i

T

lTU

v

U

ycCUL

βθρ

α

2

21


TT


• Então o momento aerodinâmico é:• Então o momento aerodinâmico é:

=

−−= ∫∫

R

ilT

R

ydyU

v

U

ycCULydy 2

21 β

θρα

∫∫TT

lTUU0

20

α

=

−−Ω= ∫R

i dyyv

cC 321 βθρ

=

Ω−

Ω−Ω= ∫ i

l dyyy

vcC

0

3221 β

θρα

4λβ

−

Ω−Ω=

3

44281 i

l RcCλβ

θρα


Ω 3


• E a equação de batimento :• E a equação de batimento :

( ) ⇒

−

Ω−Ω

Ω=+

3

41 4281

2** i

l RcCI

λβθρββ

α

( )

ΩΩ 382 l

bIα

( )

−−=+⇒41 *

4** il RcC λ

βθρ

ββ α( )

−−=+⇒

3

4

8

1 *** i

b

l

I

RcC λβθ

ρββ α

RcC 4ρ• Definindo o número de Lock como:

b

l

I

RcC 4

αρ

γ =


bI


• A forma final da equação do movimento de • A forma final da equação do movimento de batimento é:

−=++4*** iλ

θγ

ββγ

β

• Se o momento aerodinâmico não fosse calculado:

−=++

3

4

88*** iλ

θγ

ββγ

β

• Se o momento aerodinâmico não fosse calculado:

γββ M=+**

∫=R1

comβγββ M=+**

∫Ω=

l

LydyRcC

M0

24

1

αρ

β



• Comparando a equação obtida:• Comparando a equação obtida:

−=++

3

4

88*** iλ

θγ

ββγ

β

• Com o sistema massa-mola-amortecedor:

388

Fkxxcxm =++

• Podemos concluir que a frequência natural não-

Fkxxcxm =++

• Podemos concluir que a frequência natural não-amortecida da pá é:

ou( )mkn =ϖ rev/1= srad /Ω


ou( )mkn =ϖ rev/1= srad /Ω


• Para o estudo da equação de batimento vamos consideraro caso do rotor em vácuo (sem forças aerodinâmicas)

0** =+ ββ ψβψββ +=com a solução0** =+ ββ ψβψββ sincos 11 sc +=

• O rotor actua como um giroscópio

• Com a introdução das forças aerodinâmicas o rotor irá• Com a introdução das forças aerodinâmicas o rotor iráentrar em precessão para uma nova orientação até que oequilíbrio é novamente atingido através doamortecimento aerodinâmico


amortecimento aerodinâmico


• Assumindo uma velocidade induzida uniforme• Assumindo uma velocidade induzida uniforme(em voo horizontal) e uma pá idealmente torcida:

∫∫

+

==1 2

11 UUUR

θ

• Substituindo U e U com as expressões obtidas

∫∫

Ω

Ω+

Ω=

Ω=

0024 2

11dr

R

U

R

U

R

UrydF

RcCM TPT

z

l

θρ

α

β

• Substituindo UT e UP com as expressões obtidascom TEP e calculando o integral

( ) ( )ψψθψψθ µµµµ 22 22

−+++++= ( ) ( )( ) ( ) ( )ψψβµψβψλ

ψψθψψθ

µµµ

µµµµβ

sincossinsin

sinsinsinsin

461

681*

461

26410

12438

122

+−+++−

−+++++= twM


( ) ( ) ( )ψψβµψβψλ sincossinsin 466846 +−+++−


• Em voo horizontal µ≠0 e a equação de batimentonão tem uma solução analítica

• Em voo horizontal µ≠0 e a equação de batimentonão tem uma solução analítica

• O termo de amortecimento (associado com β*) éde origem aerodinâmica.de origem aerodinâmica.

( )ψµγ sin1 34

8 +

• Para voo pairado e sabendo que por exemplo γ=8obtemos um amortecimento de 50% do valorcrítico. Concluímos que o movimento de

( )38

crítico. Concluímos que o movimento debatimento é amortecido e estável.



• Para resolver a equação podemos :• Para resolver a equação podemos :– Prescrever os valores de:

• Ângulo de picada colectivo θ0• Ângulo de picada colectivo θ0

• Cíclico lateral θ1c

• Cíclico Longitudinal θ1s

• Rácio da velocidade induzida λi

– Integrar numericamente

– No entanto não nos dá a percepção de como obatimento da pá é afectado pelos vários parâmetros.



• Alternativamente podemos:• Alternativamente podemos:– Encontrar uma solução periódica

• Solução periódica estável na forma de uma série de Fourier• Solução periódica estável na forma de uma série de Fourier

• Não é válida para situações transientes tais como manobras.

• Assumindo a primeira solução harmónica :

( ) ψβψββψβ sincos ++=( ) ψβψββψβ sincos 110 sc ++=



• Encontrando o par harmónico da parte constante e• Encontrando o par harmónico da parte constante eperiódica em ambos os lados da equação:

( ) ( )

−++++= 61

265

102

80 6110 θ

µµµγβ λθθ

stw

( ) ( )( )[ ] ( )

−++−−=+

+−=−

2

221

034

11

6161080

1

16

µθµθλθµθβ

µµβθβ cs

s

( )[ ] ( )

−++−−=+ 221

43

143

43

038

11 1 µθµθλθµθβ twssc



• A pairar µ=0:

=+

=−

0

011 cs

θβ

θβ• A pairar µ=0:

• E se assumirmos que o movimento de picada tem

=+ 011 sc θβ

• E se assumirmos que o movimento de picada tem a forma:

• A resposta de batimento é:ψθψθθθ sincos 110 sc ++=

• A resposta de batimento é:

( ) ( ) ( )21210 sincos ππ ψθψθβψβ −+−+= sc

• Ou seja a resposta de batimento tem um atraso de 90º em relação à variação de entrada do ângulo de

( ) ( ) ( )21210 sincos ψθψθβψβ −+−+= sc


90º em relação à variação de entrada do ângulo de picada.


• Vimos que o movimento de batimento tem a• Vimos que o movimento de batimento tem aforma:

( ) ψβψββψβ sincos 110 sc ++=

• Em que o termo β é a média ou o valor médio do

( ) ψβψββψβ sincos 110 sc ++=

• Em que o termo β0 é a média ou o valor médio domovimento de batimento e é independente paraposição azimutal da pá.posição azimutal da pá.



• O termo β1c é a amplitude do movimento (co-• O termo β1c é a amplitude do movimento (co-seno) Representa a inclinação longitudinal doplano de trajectória das pontas das pás.plano de trajectória das pontas das pás.

Veio do rotor

Inclinação longitudinal pura (sem coning)

Inclinação longitudinal (com coning)

rotorVeio do rotor


pura (sem coning) (com coning)


• O termo β1s é a amplitude do movimento em seno.• O termo β1s é a amplitude do movimento em seno.Representa a inclinação lateral do plano detrajectória das pontas das pás.trajectória das pontas das pás.

Inclinação lateral pura (sem coning)

Inclinação Lateral (com coning)


coning) coning)


• Podemos fazer uma análise semelhante para o • Podemos fazer uma análise semelhante para o caso de existir um offset na dobradiça.

• As diferenças são:• As diferenças são:– A força inercial m(y-eR) dy actua a uma distância (y-eR) da dobradiça

β

eR) da dobradiça

– A força centrifuga myΩ2dy actua a uma distância (y-eR)β da dobradiçaeR)β da dobradiça

– A forças aerodinâmicas Ldy actuam a uma distancia (y-eR) da dobradiça


(y-eR) da dobradiça


• A equação dos momentos em relação à dobradiça:• A equação dos momentos em relação à dobradiça:

( ) ( ) ( ) 022 =−−−+−Ω ∫∫∫RRR

dyeRyLdyeRymdyeRyym ββ

• Neste caso o momento de inércia em relação ao

( ) ( ) ( )∫∫∫eReReR

• Neste caso o momento de inércia em relação ao eixo da dobradiça é:

( )∫ −=R

b dyeRymI2


∫eR

b


• A equação de batimento da pá é:• A equação de batimento da pá é:

( )( )∫

∫

−R

R

dyeRymeR

( )∫∫

−=

+Ω+eRb

eRb dyeRyL

II ββ 12

• ou

R1

• ou

( )∫ −Ω

=+R

eR

b dyeRyLvI2

2** 1ββ β


eR


• Nesta expressão ( )R

dyeRymeR ∫ −

+=2• Nesta expressão

• E com a análoga com o sistema mass-mola-b

eR

Iv

∫+=12

β

• E com a análoga com o sistema mass-mola-amortecedor, a frequência não amortecida do rotoré: 33 eeé:

• Dados os valores de e serem pequenos a( ) 2

31

12

31

e

e

ev n +≈

−+==ϖβ

• Dados os valores de e serem pequenos afrequência natural não amortecida é ligeiramentemaior do que 1/rev


maior do que 1/rev


• Isto também quer dizer que o atraso entre a• Isto também quer dizer que o atraso entre aentrada e resposta em batimento do rotor tem queser menor do que 90º. Nesta caso como a equaçãoser menor do que 90º. Nesta caso como a equaçãode batimento é:

ββ γββ Mv =+ 2**

• A resposta de batimento ao uma entrada do ângulode picada é: ( )

=+−v2 1 θγγ

ββde picada é: ( )

( )

=−−

=+− csc

v

v

2

112

1

1

881

θγγ

ββ

θγγ

ββ β


( )

=−− scs v 112

1 881 θ

γγββ β


• O que dá o ângulo longitudinal de batimento• O que dá o ângulo longitudinal de batimento

( )2 81−+− θθ v( )

( )2

12

1

18

81

−+−

=

θγ

θ

ββv cs

c

( )2

2 811

−+

γβv



• E o ângulo lateral de batimento• E o ângulo lateral de batimento

( )2 81−+ θθ v( )

( )2

12

1

18

81

−+

=

θγ

θ

ββv sc

s

( )2

2 811

−+

γβv



• Finalmente a frequência forçada 1/rev é menor• Finalmente a frequência forçada 1/rev é menorque a frequência natural de batimento e pode serdemonstrado que o atraso (menor que 90º) é dadodemonstrado que o atraso (menor que 90º) é dadopor:

−8

1 γγe

( ) ( )

−≈

−

−

= −−

18tan

183

1tan

21

21

γγ

φvv( ) ( )

−

− 118 22ββ vv


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