Movimento em duas e três dimensões - Física - … movimento de projéteis, o movimento horizontal e o movimento vertical são independentes, ou seja, um não afeta o outro. Profº

Profº Carlos Alberto http://www.fisicacomcarlos.blogspot.com

Professor: Carlos AlbertoProfessor: Carlos Alberto

Disciplina: Física Geral IDisciplina: Física Geral I

Movimento em Movimento em duas e três dimensõesduas e três dimensões


Objetivos de aprendizagemObjetivos de aprendizagem

Ao estudar este capítulo você aprenderá:Ao estudar este capítulo você aprenderá:

✔ Como representar a posição de um corpo em duas ou três dimensões, usando vetores;

✔ Como determinar a velocidade de um corpo a partir do que se sabe sobre sua trajetória;

✔ Como achar a aceleração vetorial de um corpo e por que um corpo tem essa aceleração, mesmo que sua velocidade escalar seja constante;

✔ Como interpretar os componentes da aceleração de um corpo paralelo e ortogonal à sua trajetória;

✔ Como descrever a trajetória em curva percorrida por um projétil;

✔ Os principais conceitos sobre o movimento em uma trajetória curva, seja com velocidade escalar constante, seja com variação na velocidade escalar;

✔ Como relacionar o vetor velocidade de um corpo em movimento do ponto de vista de dois referenciais distintos.


Posição e deslocamentoPosição e deslocamento

(vetor posição) (vetor deslocamento)


Na figura abaixo, o vetor posição de uma partícula é inicialmente

e depois passa a ser

Qual é o deslocamento da partícula Δr de r1 para r2?

Exemplo 4.1: (Halliday, p.65)Exemplo 4.1: (Halliday, p.65)


Um coelho atravessa um estacionamento, no qual, por alguma razão, um conjunto de

eixos coordenados foi desenhado. As coordenadas da posição do coelho, em metro, em

função do tempo t, em segundos, são dadas por

(a) No instante t = 15 s, qual é o vetor posição r do coelho na notação de vetores

unitários e na notação módulo ângulo?



Velocidade média e instantâneaVelocidade média e instantânea

(vetor velocidade média) (vetor velocidade instantânea)

“A direção da velocidade instantânea de uma partícula é sempre tangente à trajetória da partícula na posição da partícula.”


Um veículo robótico está explorando a superfície de Marte. O módulo de aterrissagem é

a origem do sistema de coordenadas e a superfície do planeta é o plano xy. O veículo,

que será representado por um ponto, possui componentes x e y que variam com o

tempo de acordo com

(a) Calcule as coordenadas do veículo e sua distância do módulo de aterrissagem no

instante t = 2,0 s.

(b) Calcule o vetor deslocamento e o vetor velocidade média no intervalo de tempo

entre t = 0,0 s e t = 2,0 s.

(c) Deduza uma expressão geral para o vetor velocidade instantânea do veículo.

Expresse a velocidade instantânea em t = 2,0 s, usando componentes e também em

termos do módulo, direção e sentido.

Exemplo 3.1: (Young, p.71)Exemplo 3.1: (Young, p.71)


Aceleração média e instantâneaAceleração média e instantânea

(vetor aceleração média) (vetor aceleração instantânea)

A aceleração possui a mesma direção que a variação de velocidade.


Vamos analisar novamente os movimentos do veículo robótico mencionado no Exemplo

3.1. Os componentes da velocidade instantânea em função do tempo são:

e o vetor velocidade é

a) Calcule os componentes do vetor aceleração média no intervalo de tempo entre t =

0,0 s e t = 2,0 s.

b) Ache a aceleração instantânea para t = 2,0 s.

Exemplo 3.2: (Young, p.74)Exemplo 3.2: (Young, p.74)


Movimento de projeteisMovimento de projeteis(movimento balístico)(movimento balístico)

No movimento de projéteis, o movimento horizontal e o movimento vertical são independentes, ou seja, um não afeta o outro.



Na ausência de resistência do ar, temos

e

✔ Na horizontal: Movimento Uniforme

✔ Na vertical: Movimento Uniformemente Variado

Equação da trajetória:




Na figura abaixo um avião de salvamento voa a 198 km/h (=55,0 m/s), a uma altura

constante de 500 m, rumo a um ponto diretamente acima da vítima de um naufrágio,

para deixar cair uma balsa.

(a) Qual deve ser o ângulo φ da linha de visada do piloto para a vítima no instante em

que o piloto deixa cair a balsa?

(b)No momento em que a balsa atinge a água, qual é sua velocidade vetorial em termos

dos vetores unitários e na notação módulo-ângulo?


TrajetóriaLinha de visada


A figura abaixo mostra um navio pirata a 560 m de um forte que protege a entrada de

um porto. Um canhão de defesa, situado ao nível do mar, dispara balas com uma velocidade inicial v0 = 82 m/s.

(a) Com que ângulo θ0 em relação à horizontal as balas devem ser disparadas para

acertar o navio?

(b) Qual é o alcance máximo das balas de canhão?



Movimento CircularMovimento Circular

Aceleração tangencial:• Há variação no módulo mas não na

direção da velocidade;• A partícula se move em linha reta

com velocidade escalar variável.

Aceleração centrípeta:• Há variação na direção mas não no

módulo da velocidade;• A partícula se move em linha uma

trajetória curva com velocidade

escalar constante.


Movimento CircularMovimento Circular

(a) Quando a velocidade escalar é constante ao longo de uma trajetória curva

(b) Quando a velocidade escalar é crescente ao longo de uma trajetória curva

(c) Quando a velocidade escalar é decrescente ao longo de uma trajetória curva


Movimento Circular UniformeMovimento Circular Uniforme

e

Demonstração:Demonstração:

Multiplicando ambos os lados por |Δr|/Δt:

Por semelhança de triângulos temos:

Tomando o limite Δt → 0:


Grandezas angularesGrandezas angulares

(ângulo em radianos)

Lembre-se que:

Pela definição de MCU

ou ainda

Em um ciclo completo:

(Período) (frequência)


Em um parque de diversões uma mulher passeia em uma roda gigante com 15 m de raio,

completando cinco voltas em torno do eixo horizontal a cada minuto. Quais são

(a) o período do movimento,

(b) o módulo e

(c) o sentido de sua aceleração centrípeta no ponto mais alto, e

(d) o módulo e

(e) o sentido de sua aceleração centrípeta no ponto mais baixo.

Questão 57: (Halliday, p.88)Questão 57: (Halliday, p.88)


Uma bolsa a 2,00 m do centro e uma carteira a 3,00 m do centro descrevem um

movimento circular uniforme no piso de um carrossel. Elas estão na mesma linha radial.

Em um certo instante, a aceleração da bolsa é

Qual é a aceleração da carteira nesse instante, em termos dos vetores unitários.



Movimento RelativoMovimento Relativo

Derivando:

Derivando novamente:

A aceleração de uma partícula medida por observadores diferentes em diferentes referenciais que se movem com velocidade constante uns em relação aos outros é sempre a mesma.


Um cinegrafista está em uma picape que se move para oeste a 20 km/h enquanto filma

um gueopardo que também está se movendo para oeste a 30 km/h mais depressa que a

picape. De repente, o gueopardo para, dá meia-volta e passa a correr 45 km/h para leste,

de acordo com a estimativa de um membro da equipe, agora nervoso, de pé na margem

da estrada, no caminho do gueopardo. A mudança de velocidade do gueopardo leva 2,0

s. Quais são

(a) o módulo e

(b) a orientação da aceleração do animal em relação cinegrafista e

(c) o módulo e

(d) a orientação da aceleração do animal em relação ao membro nervoso da equipe?



Dois navios A e B, deixam o porto ao mesmo tempo. O navio A navega para noroeste a

24 nós e o navio B navega a 28 nós em uma direção 40º a oeste do sul.

(1 nó = 1 milha marítima por hora = 2,24 m/s).

Quais são

(a) o módulo e

(b) a orientação da velocidade do navio A em relação ao navio B?

(c) Após quanto tempo os navios estarão separados por 160 milhas marítimas?

(d) Qual será o curso de B (orientação do vetor posição de B) em relação a A nesse

instante?


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