01 – Sistema massa-mola

02 – Pêndulo simples

03 – Pêndulo físico.

04 - Oscilação amortecida

CES – Centro de Ensino Superior de C. Lafaiete Faculdade de Engenharia Elétrica

Física II Prof. Aloísio Elói

Movimento Oscilatório

Resumo – Serway e Jewett, capítulo 12.

1. Movimento Harmônico Simples = MHS = Movimento realizado por um corpo sob o efeito de uma força resultante restauradora linear.

2. Sistema massa-mola: sF kx= − .

3. MHS:

2

2 2 2 2

( ) cos( )

22

1 22

1 1

2 21

2

( ) ( )

s

x t A t

f k mT

T m kf

f k mT

E K U kA

kv A x A x

m

F kx

ω φπ

ω π

ππ

ωωπ π

ω

= + = = =

= = =

= = =

= + == ± − = ± −

= −

4. Pêndulo simples: corpo pontual oscilante de massa m suspenso por fio ou haste de comprimento L e massa desprezível. O período e a freqüência de um pêndulo simples oscilando em ângulos pequenos (abaixo de 10°) dependem apenas do

comprimento do fio e da aceleração de queda livre. g Lω = ; 2T L gπ= . 5. Pêndulo físico: corpo não pontual oscilando em torno de eixo fixo que não passa pelo seu centro de massa.

mgd Iω = , 2T I mgdπ= .

6. Oscilações amortecidas: Suponhamos um sistema mecânico oscilante cuja força restauradora é dada por kx− e onde atua

uma força resistiva bv− , sendo b uma constante. Daí, através da Segunda Lei de Newton: 2

2x x

dx d xF kx bv ma kx b

dt dt= − − = → − − =∑ . Se 4b mk< , a força resistiva é pequena e a solução da equação

acima é ( )( /2 ) cosb m tx Ae tω φ− = + , 2

2

k b

m mω = −

, o movimento é oscilatório mas a amplitude decresce com o

tempo. Temos o oscilador sub-amortecido.

06 – Amplitude versus freqüência excitadora.

7. 0 k mω = é a freqüência angular na ausência de força resistiva, também chamada de freqüência natural.

8. Um caso particular de oscilação amortecida ocorre quando a força resistiva cresce, e b atinge um valor crítico bc tal que

02cb mω= . Nesse caso o sistema não oscila e é dito criticamente amortecido.

9. Outro caso particular de oscilação amortecida ocorre quando o meio é altamente viscoso e 02cb mω> . Nesse caso o sistema também não oscila e é dito superamortecido.

10. Oscilações forçadas: A energia mecânica de um sistema amortecido decresce com o tempo. A perda pode ser compensada

com o fornecimento de uma energia fornecida pela ação de uma força favorável ao movimento. Se a energia fornecida por ciclo for igual à perda, a amplitude permanece constante. Um exemplo de oscilador forçado é aquele em que a força

propulsora é dada por 0( )F t F sen tω= , onde ω é a freqüência angular da força propulsora e F0 é uma constante.

0

2 2 2 20( ) ( )

F mA

b mω ω ω=

− +.

11. Se o amortecimento é pequeno, a amplitude é grande quando 0ω ω≈ , que é também chamada de freqüência de

ressonância. Cordas vibrantes, colunas de ar e circuitos elétricos também têm freqüências de ressonância, o que é explorado em instrumentos musicais e em receptores de rádio.

12. Simbologia e unidades no SI: Fs: força restauradora (N); t: tempo (s); A: amplitude (m); k: constante elástica da mola

(N/m); x: deslocamento (m); ω: velocidade angular ou freqüência angular (rad/s); φ : constante de fase ou ângulo de fase (rad); T: período (s); f: freqüência (Hz); m: massa (kg); E: energia mecânica (J); K: energia cinética (J); U: energia potencial elástica (J); v: velocidade (m/s); g: aceleração da gravidade (m/s2); L: comprimento do pêndulo simples (m); I: momento de inércia (kgm2); d: distância do pivô ao centro de massa); Fx : força na direção x (N); ax: aceleração na direção x (m/s2); b: constante de proporcionalidade entre a força resistiva e a velocidade (kg/s). CM: centro de massa.

13. Momento de inércia: 2 2, numa distribuição discreta. , numa distribuição contínua. i iI m r I r dm= =∑ ∫

Teorema de Steiner: I = ICM + md2

EXEMPLOS 01 – Um bloco com uma massa de 200 g é conectado a uma mola horizontal leve cuja constante de força é 5,00 N/m e está livre para oscilar sobre uma superfície horizontal sem atrito. a) Se o bloco for deslocado 5,00 cm do equilíbrio e liberado do repouso, como na figura ao lado, encontre o período de seu movimento. b) Determine a velocidade máxima e a aceleração máxima do movimento. 02 – Uma partícula oscila em MHS no eixo x. Sua posição varia com o tempo de acordo com a equação abaixo:

(4,00) cos( 4) ( ).x t SIπ π= +

a) Determine a amplitude, a freqüência e o período do movimento; b) Calcule a velocidade e a aceleração da partícula em qualquer tempo t; c) Qual é a posição e a velocidade da partícula no tempo t = 0?

05 – a: subamortecido;

b: criticamente amortecido

c) superamortecido.

03 – Suponha que a posição inicial xi e a velocidade inicial vi de um oscilador harmônico de freqüência angular conhecida sejam dados, isto é, x(0) = xi e v(0) = vi. Encontre as expressões gerais para a amplitude e a constante de fase em função desses parâmetros iniciais. 04 – Um corpo de 0,500 kg conectado a uma mola desprovida de massa cuja constante de força é 20,0 N/m oscila sobre uma superfície horizontal sem atrito. a) Calcule a energia total do sistema e a velocidade máxima do corpo se a amplitude do movimento é 3,00 cm. b) Qual é a velocidade do corpo quando a posição é igual a 2,00 cm? c) Calcule as energias cinética e potencial do sistema quando a posição é igual a 2,00 cm. d) Para quais valores de x a velocidade do corpo é igual a 0,100 m/s? 05 – Um homem entra numa torre alta e precisa saber a sua altura. Ele observa que um pêndulo longo se estende do teto até quase o chão e o seu período é 12,0 s. Qual é a altura da torre? 06 – Uma placa circular de massa M e raio R está pendurada num prego por uma pequena alça localizada em sua periferia, conforme mostra a figura ao lado. Depois de colocada no prego a placa oscila num plano vertical. Encontre o período de oscilação se a amplitude de oscilação for pequena.

Alguns exercícios do Serway & Jewett –Volume 2 – Cap. 12 01 (01) – Um arqueiro puxa a corda do seu arco para trás 0,400 m exercendo uma força na corda que aumenta uniformemente de zero a 230 N. a) Qual a constante de força equivalente do arco? b) Quanto trabalho o arqueiro realiza ao puxar o arco? 02 (02) – Deixa-se cair uma bola de uma altura de 4,00 m. Ela faz uma colisão perfeitamente elástica com o solo. Supondo que nenhuma energia é perdida devido à resistência do ar: a) demonstre que o movimento é periódico. b) Determine o período do movimento. c) É um MHS? Explique. 03 (03) – A posição de uma partícula é dada por X = 4,00 cos ( 3,00πt + π ), no SI. Determine: a) a freqüência e o período do movimento. b) A amplitude.. c) A constante de fase. d) A posição da partícula em t = 0,250 s. 04 (09) - Um corpo de 7,00 kg é pendurado na extremidade inferior de uma mola vertical presa a um suporte acima dela. O corpo é posto em oscilações verticais que têm um período de 2,60 s. Encontre a constante de força da mola. 05 (11) - Um corpo de 0,500 kg unido a uma mola com uma constante de força 8,00 N/m vibra em MHS com uma amplitude de 10,0 cm. Calcule: a) o valor máximo da sua velocidade e da sua aceleração; b) a velocidade e a aceleração quando o corpo está a 6,00 cm da posição de equilíbrio; c) o tempo necessário para o corpo deslocar-se de x = 0 a x = 8,00 cm. 06 (15) – Um automóvel que tem uma massa de 1 000 kg é dirigido contra uma parede de tijolos em um teste de segurança. O amortecedor comporta-se como uma mola com constante de 5,00 x 106 N/m e se comprime de 3,16 cm enquanto o carro atinge o repouso. Qual era a velocidade do carro antes do impacto, supondo que a energia mecânica do carro se mantém constante durante o impacto contra a parede? 07 (23) – Um pêndulo simples tem uma massa de 0,250 kg e um comprimento de 1,00 m. Ele é deslocado por um ângulo de 15° e então liberado. Calcule: a) a aceleração angular máxima; b) a força restauradora máxima. 08 (24 )– A posição angular de um pêndulo simples é representada pela equação θ = (0,320 rad) coswt, com θ em radianos e w = 4,43 rad/s. determine o período e o comprimento do pêndulo. 09 (26) – Uma haste rígida muito leve com comprimento de 0,500 m se estende ao longo da extremidade de uma régua de um metro. A régua é suspensa de um pivô na extremidade oposta da haste e colocada em oscilação. a) Determine o período de oscilação. b) Por que porcentagem o período difere do período de um pêndulo simples com comprimento de 1,00 m? 10 (27) – Um pêndulo físico na forma de um corpo plano realiza MHS com uma freqüência de 0,450 Hz. Se o pêndulo tem massa de 2,20 kg e o pivô está localizado a 0,350 m do centro de massa, determine o momento de inércia do pêndulo ao redor do pivô. 11 (28) – Demonstre que a taxa temporal de variação da energia mecânica de um oscilador amortecido não forçado é dada por dE/dt = - bv2 e, portanto, é sempre negativa. 12 (29) – Um pêndulo com o comprimento de 1,00 m é liberado de um ângulo inicial de 15,0 °. Após 1000 s, sua amplitude foi reduzida pelo atrito a 5,50 °. Qual é o valor de b/2m ?

13 (30) – Demonstre que a equação ( )( /2 ) cosb m tx Ae tω φ− = + é uma solução da equação 2

2

dx d xkx b m

dt dt− − = contanto

que b2 < 4mk. 14 (31) – um bebê alegra-se gritando de felicidade e saltando para cima e para baixo em seu berço. Sua massa é de 12,5 kg e o colchão do berço pode ser modelado como uma mola leve com constante de força de 4,30 kN/m. a) O bebê aprende logo a saltar com esforço mínimo e amplitude máxima dobrando seus joelhos com que freqüência ? b) Ele aprende a usar o colchão como um trampolim – perdendo contato com ele em parte de cada ciclo – quando sua amplitude excede qual valor? 15 (32) – Um corpo de 2,00 kg unido a uma mola é impulsionado por uma força externa dada por F = 3,00 cos(2πt) (SI). Se a constante de força da mola é 20,0 N/m, determine: a) o período; b) a amplitude do movimento. 16 (33) – Considerando um oscilador forçado não amortecido (b = 0), demonstre que a equação III (acima) é solução de II com a amplitude dada por IV. 17 (34) – O amortecimento é desprezível para um corpo de 0,150 kg pendurado em uma mola leve de 6,30 N/m. O sistema é impulsionado por uma força oscilante com uma amplitude de 1,70 N. Em que freqüência a força fará a massa vibrar com uma amplitude de 0,440 m?

Alguns momentos de inérciaAlguns momentos de inérciaAlguns momentos de inérciaAlguns momentos de inércia 01 – Capa cilíndrica em relação ao seu eixo. 02 – Cilindro sólido em relação ao seu eixo. 03 – Cilindro oco em relação ao seu eixo. 04 – Capa cilíndrica em relação a um eixo diametral passando por seu centro. 05 – Cilindro maciço Capa cilíndrica em relação a um eixo diametral passando por seu centro. 06 – Vareta delgada com relação a uma perpendicular que passa por seu centro. 07 - Vareta delgada com relação a uma perpendicular que passa por sua extremidade 08 – Casca esférica delgada em relação a um diâmetro. 09 – Esfera maciça com relação a um diâmetro. 10 – Paralelepípedo sólido em relação a uma perpendicular que passa pelo centro de uma das faces.