MQ_aula4

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Marcia R. Gallas (FIS01184) – IF-UFRGS

4.1 A Equação de Onda de Schrödinger 4.2 Valores Esperados4.3 Poço de Potencial Quadrado Infinito4.4 Poço de Potencial Quadrado Finito4.5 Barreiras e Tunelamento4.6 Poço de Potencial Infinito Tridimensional

Unidade 2 – Aula 4EquaçãoEquação de Schrödinger*de Schrödinger*

Erwin Schrödinger (1887-1961)

A careful analysis of the process of observation in atomic physics has

shown that the subatomic particles have no meaning as isolated

entities, but can only be understood as interconnections between the

preparation of an experiment and the subsequent measurement.

- Erwin Schrödinger

* Tradução e adaptação livre das aulas do Professor Rick Trebino em: www.physics.gatech.edu/frog


Opiniões sobre mecânica quântica

I think it is safe to say that no

one understands quantum

mechanics. Do not keep saying

to yourself, if you can possibly

avoid it, “But how can it be like

that?” because you will get

“down the drain” into a blind

alley from which nobody has yet

escaped. Nobody knows how it

can be like that.

- Richard Feynman

Richard Feynman (1918-1988)

Those who are not shocked

when they first come across

quantum mechanics cannot

possibly have understood it.

- Niels Bohr

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4.1: A Equação de Onda de Schrödinger

A equação de onda de Schrödinger na sua forma dependente do tempo para uma partícula com energia E se movendo num potencialV em uma dimensão é:

e i é a raiz quadrada de -1.

A Equação de Schrödinger é A equação fundamental da MecânicaQuântica.

onde V = V(x,t)


Solução Geral da Equação da Ondade Schrödinger quando V = 0

Tente esta solução:

( )i kx ti Ae i

t

ωω ω−∂Ψ= − = − Ψ

∂( )( )i i i

tω ω

∂Ψ= − Ψ = Ψ

∂h h h

2 2 2 2

22 2

k

m x m

− ∂ Ψ= Ψ

∂

h h

Esta solução funciona se:

2 2

2

k

mω =

hh

o que nos mostra que a energia total do sistema é a energia cinética!!

Ψ==∂

Ψ∂ − ikikAex

tkxi )( ω Ψ−==∂

Ψ∂ − 2)(

2

2

))(( kAeikikx

tkxi ω

m

p

m

h

m

h

m

k

222

2

2

2

2

222

22

=

=

=λλ

π

πh

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V = 0, significa que temos uma partícula livre no espaço, e a soluçãogeral tem a forma

que também descreve o movimento de uma onda na direção x. Emgeral a amplitude pode ser complexa.

A função de onda também não está restrita a ser real! Note que estafunção é complexa (i).

Sómente as quantidades fisicamente mensuráveis são reais. Istoinclui a probabilidade, o momento e a energia.

Solução Geral da Equação daOnda de Schrödinger quando V = 0


Normalização e Probabilidade

A probabilidade P(x) dx de uma partícula estar entre x e x + dx é dada pela equação

A probabilidade de uma partícula estar entre x1 and x2 é dada por

A função de onda deve também ser normalizada para que a probabilidade desta partícula estar em qualquer lugar no eixo x seja 1.

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Propriedades de Funções de Onda Válidas

Condições para a função de onda:

1. Para evitar probabilidades infinitas, a função de onda deve ser finita em todos os pontos.

2. A função de onda deve ter um valor único (“single valued”).

3. A função de onda deve ser diferenciável duas vezes. Isto significaque ela e suas derivadas devem ser contínuas. (Uma exceçãopara esta regra ocorre quando o potencial V é infinito.)

4. Para normalizar uma função de onda, ela deve se aproximar de zero quando x vai a infinito.

Soluções que não satisfazem estas propriedades em geral nãocorrespondem a situações físicamente realizáveis.


� O potencial em muitos casos não depende explicitamente do tempo.� A dependência com o tempo e com a posição podem ser separadosna equação de onda de Schrödinger. Podemos escrever:

Levando à:

Agora dividindo pela função de onda ψ(x) f(t):

Equação de Onda de Schrödinger Independente do Tempo

A parte esquerda depende somente de t, e a parte direita depende somente de x. Deste modo cadalado deve ser igual a uma constante. O ladodependente do tempo fica:

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Integrando ambos os lados temos:

onde C é uma constante de integração que podemos escolher comosendo zero. Portanto:

Equação de Schrödinger Independente do tempo

Lembre da solução para uma partícula livre (onde V=0)

Onde f(t) = e -iω t, assim: ω = B / ħ ou B = ħω, o que significa que: B = E !

Assim multipicando por ψ(x), a equação de Schrödinger espacial fica:

tikxitkxieAeAetx

ωω −− ==Ψ )()(),(

BxVdx

xd

xm=+− )(

)(

)(

1

22

22 ψ

ψ

h


Os físicos em geral escrevem esta equação simplesmente como:

onde:

H Eψ ψ=

2 2

2ˆ

2H V

m x

∂= − +

∂

hé um operadorconhecido comoHamiltoniano.

H

Esta equação é conhecida como Equação de Onda de Schrödinger Independente do Tempo , e é uma equação tão fundamental emMecânica Quântica como a equação de Schrödinger dependente do tempo.

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Estados Estacionários

A função de onda pode ser escrita como:

A densidade de probabilidade fica:

A distribuição de probabilidade é constante no tempo.

Este é um fenômeno de onda estacionária e é chamado de estado

estacionário.


4.2: Valores Esperados

Em mecânica quântica se calcula valores esperados. O valoresperado, , é o valor médio ponderado de uma dada quantidade. Por exemplo, o valor esperado de x é dado por:

Se exixtir um número infinito de possibilidades, e x é contínuo, então:

1 1 2 2 N N i i

i

x Px P x P x P x= + + + =∑L

x

( )x P x x dx= ∫

* *( ) ( ) ( ) ( )x x x x dx x x x dx= Ψ Ψ = Ψ Ψ∫ ∫

Na Mecânica Quântica temos:

E o valor esperado de alguma função de x, g(x) é dado por:

*( ) ( ) ( ) ( )g x x g x x dx= Ψ Ψ∫

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Para encontrar o valor esperado de p, precisamos primeiro representarp em termos de x e t. Considere a derivada da função de onda de umapartícula livre com relação a x:

Com k = p / ħ temos

e portanto:

Isto nos dá a definição do operador momento como .

O valor esperado do momento é:

Operador Momento


� A posição x é seu próprio operador.� Operador de energia: a derivada temporal da função de onda de uma partícula livre é:

Substituindo ω = Ε / ħ leva a

O operador de energia é então:

O valor esperado da energia é dado por:

Operadores de Posição e Energia

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Substituindo pelos operadores:

E:

K+V:

Derivando a Equação de Schrödinger usando operadores

2

2

pE K V V

m= + = +A energia é:

E it

∂ΨΨ =

∂h

221

2 2

pV i V

m m x

∂ Ψ + Ψ = − Ψ + Ψ

∂ h

2

2

pE V

m⇒ Ψ = Ψ + Ψ

2 2

22V

m x

∂ Ψ= − + Ψ

∂

h

2 2

22i V

t m x

∂Ψ ∂ Ψ= − + Ψ

∂ ∂

hhSubstituindo:


4.3: Poço de Potencial Quadrado Infinito

O exemplo mais simples é aquele de umapartícula confinada numa caixa com paredesrígidas, onde a partícula não pode penetrar.Este potencial chamado de poço quadradoinfinito é dado por:

Claramente a função de onda deve ser zero onde o potencial é infinito.

Onde o potencial é zero (dentro da caixa), a equação de onda de Schrödinger independente do tempo fica:

A solução geral é:

x0 L

onde

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Condições de contorno do potencial estabelecemque a função de onda deve ser zero para x = 0

e x = L. Isto leva a soluções válidas para valoresinteiros de n de tal modo que kL = nπ.

A função de onda fica então:

Normalizando a função de onda:

A função de onda normalizada fica:

Estas funções são idênticas àquelas obtidas para uma corda vibrantecom pontas fixas.

Quantização

⇒

x0 L

2 /A L=⇒

)24

1

2

1( 2

xsenxxdxsen −=∫


Energia Quantizada

O número de onda quantizado fica agora:Resolvendo para a energia temos:

Note que a energia depende de valores inteiros de n. Portatno a energia é quantizada e não é zero.

O caso especial paran = 1 é chamado de estado fundamental.

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4.4: Poço de PotencialQuadrado Finito

Potencial é descrito como:

podemos escrever:

Considerando que as funções de onda devem ser zero no infinito, as soluções para esta equação são

A equação de Schrödinger for a do poço finito nasregiões I e III é dada por:

Fazendo:


Dentro do poço, onde o potencial V é zero, a equação de onda fica

onde

A solução aqui é:

As condições de contorno requerem que:

assim a equação deonda é continua onde as as regiões se encontram.

Note que a funçãode onda não é zero fora da caixa.

Solução para o poço quadrado finito

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Profundidade de Penetração

A profundidade de penetração é a distânciafor a do poço de potencialonde a probabilidadediminui significativamente. É dada por

A distância de penetraçãoque viola as leis da físicaclássica é proporcional a constante de Planck.


4.5: Barreiras e TunelamentoConsidere uma partícula com energia E se aproximando de uma barreirade potencial de altura V0, sendo que o potencial em qualquer outro lugar é zero. Primeiro vamos considerar o caso onde a energia é maior que a barreira de potencial.Nas regiões I e III os números de onda são:

Na região da barreira temos

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Reflexão e TransmissãoA função de onda será composta por uma onda incidente, uma ondarefletida, e uma onda transmitida.Os potenciais e a equação de onda de Schrödinger para as três regiõesserão:

As soluções correspondentes são:

Se a onda se move da esquerda para a direita, podemos simplificar as funções de onda:


Probabilidade de Reflexão e Transmissão

A probabilidade das partículas serem refletidas R ou transmitidas T

é:

Como as partículas podem ser ou refletidas ou transmitidas, temos: R + T = 1

Applicando as condições de contornox → ±∞, x = 0, and x = L, chegamos naprobabilidade de transmissão:

Note que a probabilidade de transmissão pode ser 1.

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O resultado da mecânica quântica é uma das características maismarcantes da física moderna. Existe uma probabilidade finita de que a partícula possa penetrar a barreira e mesmo, emergir do outro lado!

A função de ondana região II fica:

A probabilidade de transmissão quedescreve o fenômeno de tunelamento é:

Tunelamento

Agora vamos considerar a situação onde classicamentea partícula não tem energiasuficiente para superar a barreira de potencial, E < V0.


Função de onda de Tunelamento

A violação da física clássica é permitida pelo princípio de incerteza. A particula pode violar a física clássica por ∆E por um período curto de tempo, ∆t ~ ħ / ∆E.

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Analogia com a onda na Óptica

Se luz passando através de um prisma de vidroreflete na superfícies interna com um ângulomaior que o ângulo crítico, ocorre reflexãointerna total. Entretanto, o campo eletromagnético não é exatamente zero fora do prisma. Se colocarmos outro prisma muitopróximo deste primeiro prisma, foi mostradoexperimentalmente que a onda eletromagnetica(luz) surge no segundo prisma. A situação é análoga ao tunelamento descrita aqui. Este efeito foi observado por Newton e pode ser demonstrado com dois prismas e um laser. A intensidade da segundo feixe de luz diminuiexponencialmente com o aumento da distânciaentr os dois prismas.


Poço de Potencial: efeitos quânticos

Considere uma partícula passandopor um poço de potencial, em vez de uma barreira.

Classicamente, a partícula iriaaumentar a sua velocidade na regiãodo poço porque

K = mv2 / 2 = E + V0

Na mecânica quântica, reflexão e transmissão podem ocorrer, mas o comprimento de onda diminue dentro do poço. Quando a largura do poço de potencial é precisamente igual a (m+½)λ ou mλ onde m é inteiro, as ondas refletidas podem estar fora de fase ou em fase com a ondaoriginal, e cancelamentos ou ressonâncias podem ocorrer. Estes efeitospodem gerar uma transmissão ou reflexão quase puras para certoscomprimentos de onda. Por exemplo, em x = L para uma onda passandopara a direita, esta onda pode refletir e estar fora de fase com a ondaincidente. O efeito seria de cancelamento dentro do poço.

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Decaimento de Partícula Alfa

O fenômeno de tunelamento esplica o decaimento de partículas alfade núcleos pesados radioativos.

Dentro do núcleo, uma partícula alfa sente a força nuclear atrativa, forte e de curto alcance, assim como a força de repulsãoCoulombiana.

A força nuclear domina na região dentro do raio nuclear, onde o potencial pode ser representado aproximadamente por um poçoquadrado.

A força Coulombiana dominafora do raio nuclear.A barreira de potencial no raionuclear é maior que a energiada partícula alfa.

Em mecânica quântica, entretanto, a partícula alfa pode tunelaratravés da barreira. Isto é observadocomo decaimento radioativo.


A função de onda deve ser uma função das três coordenadas espaciais.

Vamos considerar o operador momento atuando na função de onda e nestecaso, ele deve atuar duas vezes em cada dimensão. Temos:

4.6: Poço de potencial infinito tridimensional

Deste modo a equação de onda de Schrödinger tridimensional fica:

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O poço de potencial infinito 3D

22 22 2

2 2 22

yx z

x y z

nn nE

m L L L

π = + +

h

È fácil mostrar que:

( )2 2

2 2 2

22x y z

E n n nmL

π= + +

h

Se a caixa é um cubo:

( , , ) sin( ) sin( ) sin( )x y z

x y z A k x k y k zψ =

/x x x

k n Lπ=onde: /y y yk n Lπ= /z z z

k n Lπ=

e:

Note que mais de uma função de onda podem ter a mesma energia.

Tente (10, 4, 3) e (8, 6, 5)


Degenerescência

A equação de onda de Schrödinger em três dimensões introduz trêsnúmeros que quantizam a energia. E a mesma energia pode ser obtida para diferentes conjuntos de números quânticos.

Um estado quântico é dito degenerado quando existe mais de uma função de onda para uma dada energia.

Degenerescência resulta de propriedades particulares da função de energia potencial que descreve o sistema. Uma perturbação naenergia potencial pode remover esta degenerescência.

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