Centro Universitário Nove de Julho

-UNINOVE-

Material de apoio às aulas de

Métodos Quantitativos

Nome: Maximo Domingues Martins RA: 908102170

CURSO: Tecnologia em marketing Semestre/turma: 2º. A

Departamento: Métodos quantitativos

Prof. Sérgio Rollo dos Santos srollos@uninove.br

EXPRESSÕES NUMÉRICAS

As expressões numéricas são expressões matemáticas que envolvem números. Devemos lembrar de que existe uma ordem para resolvermos qualquer expressão numérica.

Resumidamente:

1) Parênteses ( )2) Colchetes [ ]3) Chaves { }4) Potência ou Radiciação5) Multiplicação6) Soma ou Subtração

Veja o exemplo abaixo:

[6 + (9 / 3) . (2 + 2 + 42) - 170 . (40 : 8 -3)] / 1 - 2

[6 + 3 . (4 + 16) - 1 . (5 -3)] / 1 - 2

[6 + 3 . (20) - 1 . 2] / 1 - 2

[6 + 60 - 2] / 1 - 2

64 / 1 - 2

64 - 2

62

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais.

ExemplosA = 2a + 7bB = (3c + 4) – 5C = 23c + 4

     As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.

Prioridade das operações numa expressão algébrica

Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:Potenciação ou RadiciaçãoMultiplicação ou DivisãoAdição ou subtração

2

2

Observações:

Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.A multiplicação pode ser indicada por x ou por um ponto ( . ) ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.

Exemplos:

Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. AssimP = 2(5) + 10P = 10 + 10P = 20

Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:

A = 2(9) + 10A = 18 + 10A = 28

Quando A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.Seja X = 4A + 2 + B - 7 e tomemos A=5 e B=7. Desse modo:X = 4.(5) + 2 + 7 – 7X = 20 + 2 – 0X = 22

Quando A=5 e B=7, o valor numérico de X = 4A + 2 + B - 7, é igual a 28.Seja Y = 18 - C + 9 + D + 8C, onde C=-2 e D=1. Então :Y = 18 -(-2) + 9 + 1 + 8(-2)Y = 18 + 2 + 9 + 1 –16Y = 30 –16Y = 14Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.

Operações Algébricas

Adição e Subtração

Podemos subtrair ou adicionar termos que sejam semelhantes.

Ex: 7xy – xy + 5xy. Os termos xy são semelhantes, portanto basta adicionar ou subtrair a parte numérica e conservar a parte literal.Solução: (7-1+5).xy = 11xy.

OBS: Quando a expressão algébrica tiver sinais de associação e for precedido por um sinal negativo, devemos trocar todos os sinais de dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.

Ex: a) 8x + ( -5x) = 8x – 5x = 3xb) 7x – ( 4x – 5) = 7x – 4x + 5 = 3x + 5

3

3

EX ERCICIOS - EXPRESSÕES1) Calcule o valor das expressões numéricas;

a) (-3)2 – 4 – (-1) + 52 =b) 15 + (-4) . (+3) – 10 = c) 52 + - [(+20) : (-4) + 3] =d) 5 + (-3)2 + 1 = e) 10 + (-2)3 – 4 =f) 18 - (+7) + 32 = g) (-2)3 + (– 3)2 – 25 =h) (-3)2 . (+5) + 2 = i) + 23 – 1 =j) 40:[(-1)9 + (-2)3 – 11] = k) 10 – [5 + (-2) + (-1)] =l) 2 – {3 + [4 – (1 -2) + 3] -4} =m) 50:{-5 + [-1 – (-2)5 + (-2) + 3]} =n) 72 – [6 – (-1)5 – 22] =

2) Resolva as expressões algébricas:

a) 5ab – 2ab + ab =b) 3y + (-2y) =c) 4xy + (-3xy) + 5xy =d) 5y + 4y – 3 =e) 6a + 2ab + (-3a) =f) 19x3 – 34x3 + (-2y) = g) 5x9 + 12 x9 =h) 4x5y6 – 6 x5y6 = i) (6x3 + 2x2 – 3x + 1) + (2x3 - 4x2 + 2x - 2) =j) (x5 - 3x2 + 2) - (4x5 + x3 - 4x2 + 2) =

3) Para as expressões a seguir se, x = 2 e y = -3, encontre o valor de A.

a) A = 3x + 2yb) A = -4x + 3yc) A = y + 3xd) A = -5x + y

4) Calcule o Valor Numérico das expressões algébricas:

a) (x + 1). (x + 2). (x + 3), para x = - 4b) , para a = 3 e b = 4

c) + , para x = 4

d) 3x + x , para x = 2

e) , para x = 1 e y = 3

f) x = , calcule x, para a=3,b=- 7 e c=2

4

4

Respostas:1a)31 1h) 47 b) -7 i) 14c)30 j) -2d)15 k) 8e) -2 l) -5f) 20 m) 50/27g)) -24 n) 46

2 a) 4ab 2f) -15x3 – 2yb) y g) 17x9

c) 6xy h) -2x5y6

d) 9y – 3 i)8x3 – 2x2 – x - 1 e) 3a + 2ab j) -3x5 – x3 + x2

3a) A=0 b) A =-17 c) a=3 d)A = -13

4 a) -6b) 5c) 8d) 81e) -8f) 2

POTENCIAÇÃO

Expoente inteiro maior do que 1

an= a . a . a .... a n fatores

Exemplos: 23 = 2 . 2 . 2 = 8 (- 7)2 = (- 7) . (- 7) = 49 (0,1)3 = (0,1) . (0,1) . (0,1) = 0,001

= . . . =

Observação:Quando a base é negativa, o sinal da potência pode ser:- Positivo, se o expoente for par; - negativo, se o expoente for ímpar. (- 3)2 = (- 3) . (- 3) = 9 (-2)3 = (-2) . (- 2) . (-2) = - 8

Expoente inteiro negativo

a-n = 1 . an

Sendo a um número real não-nulo e n um número inteiro.

Exemplos: 2 –2 = 1 = 1 22 4

( - 3) –4 = 1__ = 1_ (- 3)4 81

= = =

Expoente Zero

a 0 = 1

Sendo a um número real não-nulo.

Exemplos: (0,65)0 = 1 ( - 11,6)0 = 1 (0,232323...)0 = 1

= 1

Expoente 1

5

5

a 1 = a

Exemplos: (0,25)1 = 0,25 (- 1,6)1 = - 1,6

=

(0,666...)1 = 0,666...

PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO Produto de potências de mesma base

am. an = a m+n

Exemplos: (0,15)2 . (0,15)3 = (0,15)2 + 3 = (0,15)5

(0,777...)-1 . (0,777...)5 = (0,777...)-1+5 = (0,777...)4

(-3)7.(-3)-5 = (-3)7+(-5) = (-3)7-5 = (-3)2

Divisão de potências de mesma base ( a 0 )

am : an = a m – n

Exemplos: (0,19)6 : (0,19)2 = (0,19) 6 – 2 = (0,19)4

(0,333...)7 : (0,333...)-3 = (0,333...) 7 – ( - 3) = (0,333...) 7+3 = (0,333...)10

Potência de potência

(am)n = a m . n

Exemplos: [(0,32)3]2 = (0,32) 3 . 2 = (0,32) 6

= =

Distributiva da potenciação em relação à multiplicação

( a . b )m = am . bm

Exemplos: (2 . 5 ) – 3 = 2 –3 . 5 – 3

. = .

Distributiva da potenciação em relação à divisão (b 0 )

( a : b )m = am : bm

6

6

Exemplos: ( 8 : 3 )2 = 8 2 : 3 2

: = :

CUIDADO!!! am + an am + n

am - an am – n

(a + b)n an + bn

(a – b)n an - bn

E X E R C Í C I O S1. Calcule as potências dos números abaixo:

a) 24 b) (-4)3 c) 10 –3 d) e) 10 3 f)

___________________________________________________________________________________________2. Calcule o valor de:a) 3x3 – 2 x2 – x + 5 , para x = -1 b) 26 – 25 + 24 – 23 + 22 – 21 + 20

c) (0,2)3 – (0,1)-1 d) (-1)8 – 3 . (-1)5 + (-1)16

3. Utilizando as propriedades das potências, calcule:a) 23 . 24 . 25 . 26 b) 103 . 10 . 10 c) 64 : 62 d) 715 : 710 e) (2 . 3 )3

4. Usando as propriedades das potências, calcule o valor de:

a) b) (75 : 73) . 72 c) d) (7 . 4)2 e)

5. Sendo A = 30 . 31 + 34 : 32 , B = 81 + (83 . 8) : 82 e C = (5 3 . 5) : 5 2 52

Determine o valor de 3A + 4B + C6. Encontre o valor de (0,1) –1 + (3 10 . 3 -5 ) 3 37. 37

7. Transforme numa só potência de base :a) . b) : c) d) .

8. Verifique se as sentenças são falsas ou verdadeiras:

a) (2 . 5)3 = 23 . 53 b) (2 + 5 )3 = 23 + 53 c) (17 – 1)2 = 17 2 - 12 d) = 23

EXERCICIOS COMPLEMENTARES – POTENCIAÇÃO

an = a .a. a . ....a (n vezes) * a0 = 1 * a-n = 1 , para n 0 * a1 = a an

Propriedades:1) am . an = am+n 2) am : an = am-n 3) (am )n = am . n

01) Calcular:

7

7

n) 43. 47 =

o) 5 5 = 52

p)(23)4 =

q) (2:5)2 =

r) 1 –2 = 4

s) –1 3 = 3

t) -2 -1 = 4

a) 23 =

b) (-2)3 =

c) -23 =

d) (0,2)4 =

e) (0,1)3 =f) 2-3 =

g) (-2)-3 =

h) -2-3 =

i) 50 =

j) 2 -3

3 =

k) (0,34)1 =

l) 24 . 23. 2 =

m) 3. 35. 37 =

02) Das três sentenças abaixo:

I. 2x+3 = 2x . 23

II. (25)x = 52x

III. 2x . 3x = 5x

a) somente I é verdadeirab) somente II é verdadeirac) somente III é verdadeira d) somente II é falsae) somente III é falsa

EQUAÇÕESEquações são sentenças matemáticas abertas que apresentam o sinal de igualdade.

Exemplos:a) x -3 = 12 a variável (ou incógnita) é x.b) 3y + 7 = 15 a variável (ou incógnita) é y.

A expressão à esquerda do sinal = chama-se 1º membro.A expressão à direita do sinal = chama-se 2º membro. c) 2x – 1 = x + 7 2x -1, é o 1º membro x + 7 , é o 2º membro

Resolução de uma equação do 1º grau

Resolver uma equação é determinar o seu conjunto verdade.

8

8

03) Calcule o valor da expressão para x = 2

a) 4x2 – 3x + 4 – 5x2

b) –x + 3x2 + 4x –1

c) x3 – (-2x3) + 8x - xRESPOSTAS EXERCICIOS COMPLEMENTARES:01. 01. 03.a) 8 l)256 a) -6b) -8 m)1.594.323,00 b) 17c) -8 n)1.048.576,00 c) 38d) 0,0016 o)125e) 0,001 p) 4096f) 0,125 q) 0,16g) -0,125 r) 16h) -0,125 s) -0,037i) 1 t) -2j) 3,375 02.ek) 0,34

a solução de uma equação é chamada de raiz da equação.

Obs.: Para “passar” um termo de uma equação de um membro para outro, troca-se o sinal desse termo.

Importante: Veja a equação –x = 5Interessa-nos o valor de x e não o valor de –x. Então, devemos multiplicar os dois membros da equação por -1.Observe: -x = 5 (-1) x = -5

Exemplos:a) x + 1 = 8 b) 3x -1 = 14 c) x -1 + 8 = 6x x = 8-1 3x = 14 +1 -1 +8 = 6x –x x = 7 3x = 15 7 = 5x x = 15/3 7/5 = x ou x = 7/5 x = 5

E X E R C I C I O S

1) Dada a equação 7x – 3 = x + 5 – 2x, responda:

a) qual é o 1º membro? b) qual é o 2º membro? c) qual o valor de x?

2) O número que, colocado no lugar de x, torna verdadeira a sentença x -7 = 10 é:

a) 3 b) 4 c) -3 d)17

3) Resolva:

a) x - 3 = 5 g) m) 6x - 4 = 2x + 8

b) x + 2 = 7 h) 0 = x + 12 n) 17x -2 + 4 = 10 + 5x

c) + i) -3 = x + 10 o) 4x – 10 = 2x + 2

d) x -7 = -7 j) y/4 = 3 p) 5x + 6x – 16 = 3x + 2x -4e) x – 109 = 5 k) x/5 = 2 q) 5(2x -4) = 7(x + 1) - 3f) 15 = x +1 l) 3x = 12 r) 4(x + 3) = 1

FUNÇÃO DO 10 GRAU

Chamamos de função do 1o grau ou afim a qualquer função IR em IR definida por f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e a é não nulo.

Definição: f: IR IR definida por f(x) = ax + b, a IR* e b IR OBS.:

a) O gráfico da função do 1o grau é uma reta.b) O conjunto imagem da função do 1o grau é IR.c) A função do 1o grau com b = 0, ou seja f(x) = ax é chamada linear.

ExemploConstrua o gráfico e dê o conjunto imagem das seguintes funções de IR em IR. Considerar x = 0 e 1.

9

9

Respostas:1a)7x -3 b) x+ 5 – 2x c)1

2) letra d

3 a) 8 2f) 14 2l) 4b) 5 g) 8/3 m) 3c) 18 h) -12 n) 2/3d) 0 i)-13 o) 6e) 114 j) 12 p) 2

k) 10 q) 8

a) f(x) = x +2

x f(x) = x +20 0 + 2 = 21 1 + 2 = 3

b) f(x) = 5xx f(x) = 5x 0 5 . 0 = 01 5 . 1 = 5

Observe que a função f(x) = 5x, é uma função linear, e é uma reta que passa pela origem (0, 0), pois para x = 0 temos f(x) = 0, para construirmos o gráfico basta obter apenas mais um ponto.

Raiz ou zero da função do 1o grauDada a função do 1o grau f(x) = ax + b, chama-se raiz ou zero da função, o valor de x para qual ax

+ b = 0, ou seja o valor de x que anula a função. Então, para determinarmos a raiz ou zero da função, fazemos f(x) = 0 e resolvemos a equação.ExemploDetermine a raiz das seguintes equações:a) f(x) = 3x - 6Resolução:3x – 6 = 03x = 6x = 6/3 x = 2Observe que em f(x) = 3x – 6, f(x) = 0 e x = 2, calculado anteriormente, o ponto (2, 0) é a intersecção da reta com o eixo x .

E X E R C I C I O S

1) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 300,00, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês.

a) Expressar a função que representa seu salário mensal. R. f(x) = 0,08x + 300

b) Calcular o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$ 10.000,00 em produtos. R. R$ 1.100,00

2) Dada a função f(x) = ax + 2, determine o valor de a para que se tenha f(4) = 22. R. a = 5

3) Construir o gráfico das seguintes funções para x = 0 e x = 1 e ache suas raízes:

a) f(x) = 3x + 4

b) f(x) = x + 6

c) f(x) = -4x + 8

10

10

f(x) 3

2 Im = IR

1

0 1 x

f(x) 5

Im = IR

1 x

b) f(x) = –8xResolução:-8x = 0 . (–1)x = 0/8 x = 0

4) A empresa “KCK” comprou um equipamento por R$ 30.000,00 e o mesmo apresenta uma expectativa de se valorizar à razão constante de R$ 2.000,00 por ano. Determine a equação que representa o valor previsto do bem. R. f(x) = 2000x + 30000

5) Conforme a equação representada no exercício anterior, qual será o valor do bem daqui a 2 anos?R. R$= 34.000,00

6) A venda de certos produtos fabricados pela empresa “KCK” é representada lei: p = -x2 + 34, onde x representa a quantidade em milhões de demanda e p o preço por unidade em reais. Determine a quantidade de demanda quando o preço for R$ 9,00.X = 5.000.000 unidades

7) Sabendo-se que a função que representa a oferta do produto fabricado pela “KCK” é qo = 80p + 720. Para uma oferta igual a 1280 unidades, qual será o preço? R. R$ 7,00

8) Um vendedor de livros ganha salário mínimo fixo mensal, mais uma comissão de R$ 2,00 por livro vendido. Sendo x o número de livros vendidos por mês, expresse o salário(S) do vendedor como função de x.S(x) = R$ 2,00x + 415,009) Baseado no exercício anterior, se o vendedor vender 210 livros em um determinado mês, quanto será seu salário? R. R$ 835,00

FUNÇÃO QUADRÁTICA (FUNÇÃO DO 2O GRAU)

As funções do segundo grau, utilizando-se os mesmos critérios de equivalência das funções do primeiro grau, reduzem-se à seguinte expressão: 

f(x) = ax2 + bx + c

Esta maneira de apresentar a equação de segundo grau recebe o nome de forma ou fórmula geral. 

Temos três coeficientes: onde a, b e c são números reais, com a 0, e x é a incógnita. Os números a, b e c são os coeficientes da função. 

Exemplos:

a) f(x) = 5x2 + 3x – 2 a = 5 b = 3 c = -2b) f(x) = -x2 + 4x a = -1 b = 4 c = 0

c) f(x) = x2 – 5 a = 1 b = 0 c = -511

11

Observe que o coeficiente de a, nunca será zero, pois se isto ocorrer não teremos mais uma função do 2 o

grau e sim uma função do 1o grau.

Cálculo das raízes da função do 2o grau

A existência e o número de soluções da função f(x)= ax2 + bx + c = 0  dependem do número b2 - 4ac, a que chamaremos discriminante e representaremos pela letra grega  (delta maiúscula). Sempre terá duas raízes, elas até podem ser iguais. 

Portanto, = b2 – 4ac

No entanto, utilizaremos a fórmula de Báskara:

Logo,

 

Exemplos:  Resolver as seguintes equações:a) x2 – 8x + 12 = 0       a = 1, b = - 8 e c = 12 

       (primeiro vamos calcular o valor de delta) 

       (substituímos a por 1, b por –8 e c por 12) 

        

       (Delta positivo) 

    

(fórmula de Baskara) 

x = -(-8) + 16 (substituímos b por – 8, delta por 16 e a por 1)  2(1)

     

  x = 8 + 4

2

12

12

    x’ = 12 / 2 = 6  

    x” = 4 / 2 = 2  

    S = {6 ; 2} 

b) x2 – 12x + 36 = 0      a = 1, b = - 12 e c = 36 

    

      

      

     (Delta igual a zero) 

      

    

 

      

    

 

   

    S = {6} 

c) 2x2 – 4x + 3 = 0 

       a = 2, b = - 4 e c = 3 

      

      

      

     (Delta negativo) 

    S = { }, não existe raiz de número real negativo 

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO DO 2O GRAU

13

13

O gráfico desta função é uma curva plana denominada parábola, o domínio :Dom(f)=R e a imagem: Im(f)=R.

O sinal do coeficiente do termo dominante (concavidade da parábola) : COEFICIENTE “ a”

O sinal do coeficiente do termo dominante desta função indica a concavidade da parábola ("boca aberta").

O coeficiente "a" desempenha no gráfico a propriedade de concavidade da parábola. Significa que se o "a" for positivo (a>0), a parábola terá concavidade para cima (boca sorridente), como no exemplo:

Se este for negativo (a<0), a parábola teria concavidade para baixo (boca triste). Veja o exemplo:

Calma, isso quer dizer que devemos calcular quais os valores de x que a parábola "corta" o eixo dos X. Veja no exemplo o que é "raiz" graficamente:

14

14

COEFICIENTE "c" : A função do coeficiente "c" é nos indicar onde a parábola "corta" o eixo Y. Se ele for positivo ela irá "cortar" o eixo Y acima da origem; se for negativo irá "cortar" abaixo da origem e; se for ZERO, irá cortar o eixo Y na origem, ou seja, ponto (0,0). Veja o exemplo:

Veja você que os coeficiente não dependem um do outro. Podemos ter "a" positivo com "b" negativo; "a" positivo com "b" positivo, ou seja, qualquer combinação de sinais.

COEFICIENTE "b"

A análise do coeficiente "b" nos diz a inclinação que a parábola toma após passar o eixo Y. Primeiro olhe a figura abaixo:

15

15

Neste exemplo, o "b" é negativo (b<0), pois seguindo a parábola para direita a partir do ponto de corte do eixo Y, iremos descer; então é negativo. Veja outros exemplos:

Neste exemplo o "b" é maior que zero, pois acompanhando a curva iremos subir após o ponto de corte.

Neste exemplo, "b" é igual a zero, pois logo após o ponto de corte, iremos reto. Este exemplo é muito particular, porque você pode achar que é positivo, pois irá subir. Porém, a regra diz que tem que ser no ponto mais próximo do corte, ou seja, milimetricamente, então neste exemplo vai reto. b=0.

Exemplo: Faça o esboço gráfico da seguinte função

:

Resolução:

Vamos primeiro calcular as raízes usando BÁSKARA. Os coeficientes são: A=1, B=-1 e C=-2. Colocando na fórmula, temos:

16

16

As duas raízes são 2 e –1, então já sabemos os pontos por onde a parábola corta o eixo X. No gráfico, fica:

Agora fazemos o estudo dos coeficientes. Vamos primeiro olhar para o “c”. Ele vale –2, então o gráfico da parábola com certeza corta o eixo Y no ponto –2. Vamos marcá-lo:

Pelo coeficiente “a” sabemos que ela tem a concavidade para cima, e pelo “b” sabemos que logo após o ponto de corte com Y ela tem que descer. Traçando o esboço, temos o seguinte:

17

17

Estudo do Vértice

O que é vértice de uma parábola?            - É o ponto em que a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo.

Veja os exemplos abaixo:

O vértice de todas as parábolas tem uma característica própria, ele sempre se encontra "eqüidistante" de ambas as raízes, ou seja, a coordenada "x" do vértice fica exatamente no meio das coordenadas das duas raízes. A coordenada "x" do vértice é a média aritmética das coordenadas "x" das raízes, isto é, a soma das duas dividido por dois. Esta é a fórmula para encontrarmos o Xv.

18

18

Agora que já sabemos o Xv, devemos descobrir o Yv ("y" do vértice). Portanto a fórmula para o cálculo de Yv é:

Observando os gráficos que representam a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c:

Exemplo

Determinar os vértices (Xv e Yv) da função y = x2 - 2x + 3, escreva se a função admite um máximo ou um mínimo e determine esse máximo ou esse mínimo.

Resolução: Vértices

Xv = -(-2)/2 . 1 = b2 - 4ac Yv = -(-8)/4 . 1

Xv = 2/2 = (-2)2 - 4 . 1 . 3 Yv = 8/4

Xv = 1 = 4 - 12 = -8 Yv = 2

S = (1, 2)

a > 0 , a função assume um valor mínimo

Yv = - = -(-8) = 2

(4 . 1)

E X E R C I C I O S – FUNÇÃO DO 2º GRAU

1) Determine as raízes e calcule as coordenadas do vértice das parábolas que representam as seguintes funções:

a) f(x) = x2 – 6x + 5 R. x´= 5 e x´´=1 Xv = 3 e Yv = -4 b) f(x) = -x2 + 2x -2 R. não existe raís Xv= 1 e Yv= -1

2) Escreva se a função admite máximo ou mínimo e determine esse máximo ou esse mínimo:

a) f(x) = 5x2 – 3x – 2 R. a > 0, assume um valor mínimo -49/20b) f(x) = -x2 + 3x –2 R. a < 0, assume um valor máximo 0,25

19

19

Se a > 0, a função assume um valor de mínimo:

Yv = -

Assim o conjunto imagem da função quadrática será:

Im = {y IR | y > - }

Se a < 0, a função assume um valor de máximo:

Yv = -

Assim o conjunto imagem da função quadrática será:

Im = {y IR | y < - }

1) Determine o conjunto imagem das seguintes funções:

a) f(x) = 2x2 – 3x – 2 R. Im = {y IR | y > - }

b) f(x) = -x2 + 5x + 6 R. Im = {y IR | y < 12,25 }

2) Dada a função f(x) = x2 – 2x – 3, determine:

a) as raízes da função; R. x´= 3 e x´´ = -1

b) vértices da parábola; R. Xv = 1 e Yv= -4

c) identifique se a função assume ponto de máximo ou mínimo; R. a > 0, assume um ponto de mínimo

d) o conjunto imagem da função; R. Im = {y IR | y > - 4}

e) o gráfico da função para x = -3; -2; -1; 0; 1; 2 e 3.

5) A representação cartesiana da função f(x) = ax2 + bx + c é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que:

(A) a<0, <0 e c>0 (B) a>0, >0 e c<0 (C) a>0, >0 e c>0 (D) a<0, >0 e c<0(E) a<0, >0 e c>0 R.(e)

6) O valor mínimo do polinômio f(x) =x2 + bx + c, cujo gráfico é mostrado na figura, é:

R. ( c)

(A) –1 (B) –2 (C) -9/4 (D) -9/2 (E)-3/2

7) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação y =-40x2

+ 200x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a: R. ( c)

(A)6,25 m, 5s (B) 250 m, 0 s (C) 250 m, 5s (D) 250 m, 200 s (E) 10.000 m , 5s

8) O vértice da parábola que corresponde à função y=(x-2)2 + 2 é:

20

20

(A)(-2, -2) (B)(-2, 0) (C) (-2, 2) ( D) (2, -2) (E) (2, 2)

R. (e)EXERCICIOS COMPLEMENTARES – Função do 2O grau–

1) Determinar os valores de a, b e c das funções abaixo.

a) f(x) = 2(x - 3)2 - x2 Resp. a = 1 b = -12 c = 18b) f(x) = (x - 1)2 + (x - 2)2 Resp. a =2 b =-6 c = 5

2) Represente graficamente as funções a seguir. Para x = -3; -2; -1; 0; 1; 2 e 3.

a) f(x) = x2 + 4x + 1b) f(x) = - x2 + 2a) f(x) = x2 + 1b) f(x) = - x2 + 3x - 4

3) Determine as raízes das funções, se houver:

a) f(x) = 6x2 + 5x - 4 Resp. x ’= ½ e x ” = - 4/3b) f(x) = - x2 - 2x - 1 Resp. x ’= x ” = -1c) f(x) = 6x2 + 3x + 7 Resp. < 0, ou seja = -159 portanto, S = { }

4) Esboce o gráfico de uma função quadrática em que: < 0, a< 0 e c< 0

5) O gráfico abaixo representa uma função do tipo y = ax2 + bx + c, a 0. Então, podemos afirmar que: y

a) a > 0, b 0 e c < 0.b) a < 0, b 0 e c > 0.a) a > 0, b 0 e c = 0. b) a< 0, b 0 e c = 0.

xResp. letra C

6) Determinar as coordenadas do vértice das funções abaixo e dizer se assumem ponto de máximo ou de mínimo.

a) y = x2 – x – 2 Resp. Mínimo: Xv = ½ Yv = -9/4b) y = -x2 – x + 4 Resp. Máximo: Xv = -1/2 Yv = 4,25c) y = -x2 – 2 x Resp. Máximo: Xv = -1 Yv = 1d) y = 3x2 + 2x + 3 Resp. Minimo: Xv = -1/3 Yv = 8/3

7) Assinale a alternativa correta: O gráfico que representa uma parábola com a > 0 e < 0 pode ser: a) b) c) d)

21

21

Resp. letra C

8) O gestor de uma empresa percebeu que alguns resultados não condiziam com o previsto no planejado, ocasionando assim um valor negativo em sua produção que pode ser representado através de uma das raízes da função: f(x) = x2 + 10x – 600. Assinale a alternativa que condiz com esse resultado.

a) Sua área de produção apresentou o resultado de -30;b) A área de produção apresentou o resultado 20 atingindo assim a área como um todo;c) A empresa detectou um resultado de -20 na área de produção;d) Sua área de produção apresentou um resultado de 30;e) A área de produção apresentou o resultado 15, atingindo assim a área como um todo. R. (a)

22

22

EQUILIBRIO DE MERCADOPonto de equilíbrio de mercado é o ponto de intersecção do gráfico entre a qd e a qo, ou

seja é o ponto onde ocorre a igualdade entre qd e qo. Suas coordenadas são preço de equilíbrio (pe) e a quantidade de equilíbrio (qe). Podem ocorrer gráficos como:1) q

qo qe PE qd pe p

2) q qo PE qe qd pe p

3) q qo qd pe p qe PE

Exemplos:1)Num modelo linear de oferta e procura, as quantidades ofertadas e demandadas obedecem respectivamente as funções lineares de preço abaixo: qd = 24 – p qo = -20 + 10pPede-se:

a) o preço e a quantidade de equilíbriob) esboçar o gráfico da situação

Resolução:a)Se PE é a igualdade entre qo e qd, então:

PE qo = qd ou qd = qo, teremos o PE: 24 – p = -20p + 10p 24 + 20 = 10p + p

44 = 11p 44/11= p p = 4 substituindo em qd ou qo, temos:qd = 24 – p qo = -20 + 10(4)qd = 24 – 4 qo = -20 + 40qd = 20 qo = 20 Logo, pe = 4 e qe = 20

b)Gráfico p q 23

23

O gráfico tem PE(pe, qe), localizado no 1o quadrante. Isso quer dizer que podemos considerá-lo como ponto de equilíbrio significativo.

Neste gráfico temos um preço negativo, dizemos que é um PE não significativo.

Neste gráfico temos uma quantidade negativa, dizemos que é um PE não significativo.

interceptos de qd p = 0 qd = 24 A(0, 24) qd = 0 p = 24 B(24, 0)

interceptos de qo p = 0 qo = -20 C(0, -20) qo = 0 p = 2 D(2, 0) qo, qd 24 qo

20 PE(4, 20) qd

2 4 24 p

-20

2) Dadas: qd = 16 – p2 e qo = -3,5 + 3,5p, determinar o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio(qe).Resolução:PE qd = qo16 – p2 = -3,5 + 3,5p16 + 3,5 = p2 + 3,5p 19,5 = p2 + 3,5pp2 + 3,5p –19,5 =0

= b2 – 4ac = 3,52 – 4(1)(-19,5) = 12,25 + 78 = 90,25

qe = ? Substituindo em qd ou qo, temos: qd = 16 – (3)2 qo = -3,5 + 3,5p qd = 16 – 9 qo = -3,5 + 3,5(3) qd = 7 qo = -3,5 + 10,5 qo = 7 Logo, pe = 3 e qe = 7

E X E R C I C I O S

1) Determinar o preço de equilibrio em cada um dos seguintes casos:a) qd = 20 - 5p e qo= 2p – 8 R. Pe = 4b) qd = 10 – 0,2p e qo = 1/2p - 11 R. Pe = 30

2) Resolver o seguinte modelo de equilíbrio parcial de mercado: R. Pe = 7,65 e qe = 22,5 qd = 81 – p2

qo = p2 - 36

3) Determinar o preço de equilíbrio, a quantidade de equilíbrio e fazer a ilustração gráfica das funções a seguir: R. Pe = 6 e qe = 4

qd = 34 – 5p

24

24

p = - b 2ap = - 3,5 90,25 2.1p = - 3,5 9,5 2p’ = -3,5 + 9,5 p’ = 6 = 3 2 2p” = -3,5 - 9,5 p’’ = -13 = -6,5 2 2

qo = -8 + 2p

4) Em uma certa localidade, a função oferta anual de um produto agrícola é 0,01qo = p + 3, onde p é o preço por Kg e qo é expresso em Kg:

a) Que preço induz uma produção de 500 kg? R. P = R$ 2,00b) Se o preço por kg for R$ 3,00, qual a produção anual? R. qo = 600kg

5) Uma doceria produz um tipo de bolo, de tal forma que sua função oferta diária é 0,2qo = p – 10:a) Qual o preço para que a oferta seja de 20 bolos diários? R. P = R$ 14,00b) Se o preço unitário for de R$ 15,00, qual a quantidade de oferta? R. qo = 25 unidades

25

25

RECEITA TOTAL

Poderemos definir receita total como sendo o valor em moeda que o produtor recebe pela venda de x unidades se um determinado produto.

Assim sendo, se chamarmos de p, (o preço constante) do produto a ser vendido e q, a quantidade produzida, teremos uma função linear do tipo:

f(x) = a . x RT = p . q

OBS.: o domínio da função na receita total é q (quantidade) e RT a imagem.Exemplos:1) Se o preço de um fogão da marca KW é de R$ 280,00, determine a receita total para venda de 22 fogões.Resolução:p = 280 q = 22 RT = ?RT = p . qRT = 280 . 22RT = 6160 (receita total para o fabricante)Representação gráficaA semi-reta linear do gráfico de RT terá origem no ponto de intersecção das retas, portanto na origem dos eixos coordenados, pois q = 0.Se p = 0 RT = 0 A (0, 0) q = 0 RT = 0 B(0, 0) RT 6160

22 q

OBS.: Se o preço for variável, a quantidade de demanda irá variar com o preço e a receita, sendo o produto do preço pela quantidade, também irá variar, o que significa que o gráfico não é necessariamente uma reta.

2) Se a demanda de um determinado produto é dada por qd = -p/4 + 20, teremos que p = -4q + 80. Represente graficamente.Resolução:RT= p .qRT = (-4q + 80) . qRT = - 4q2 + 80q- 4q2 + 80q = 0 (equação incompleta)- 4q2 + 80q (dividir por (-4))q2 - 20q = 0Por Bháskara:q = - b + b2 – 4ac 2a

q = -(-20)+ (-20)2 – 4(1) . 0 2(1)

26

26

A semi-reta passa pela origem se q = 0 e p =

Coordenadas do vértice:qv = -b = -(-20) = 20 = 10 2a 2(1) 2

cálculo de = b2 – 4ac = (-20)2 – 4(1) . 0 = 400V(10, 400)

q = 20 + 400 – 0 2q = 20 + 20 q’ = 20 + 20 = 40 = 20 2 2 2 q’’ = 20 – 20 = 0 2Gráfico: RT 400 V

0 10 20 q

E X E R C I C I O S

1) O preço de uma bicicleta de marca “x” é de R$ 190,00, determine a receita total para a venda de:a) q = 12 bicicletas R. RT = R$ 2.280,00

b) q = 8 bicicletas R. RT = R$ 1.520,00

c) q = 27 bicicletas R. RT = R$ 5.130,00

2) Se a receita total de venda de 5 rádios foi de R$ 848,00. Determine o preço de cada unidade. R. P = R$ 169,60

3) A receita total de venda foi de R$ 385,00, quando determinados objetos tinham um preço constante de R$ 49,00. Determine quantos objetos foram vendidos. R. q = 8 unidades

4) Se o preço de um CD é de R$ 13,50, determine a receita total para venda de 650 CD’s e represente graficamente. R. RT = R$ 8775,00

5) O gráfico a seguir representa a RT e a quantidade de calculadoras vendidas pela empresa M&M. Determine o preço. RT 5202

0 306 q

R. P = R$ 17,00

27

27

CUSTO TOTAL

Se um fabricante abre uma empresa e se propõem a fabricar um determinado produto, não só terá receitas, como também terá gastado, que são denominados como custos empresariais.Podemos classificá-las como:

A)Custo Variável: é o custo que dependerá da quantidade produzida e em conseqüência do material utilizado, como: embalagens, matéria-prima, mão-de-obra, máquinas, etc.

O gráfico é uma semi-reta que parte da origem e a função é linear representada por: CV = a . q

B) Custo Fixo: é o custo que não depende da quantidade produzida. São os custos como: aluguel, água, luz, telefone, salários, etc.

O gráfico é uma semi-reta que será paralela ao eixo 0q, pelo ponto b(custo no período) e a função é constante representada por:

CF = b

CF b CF

0 qC) Custo Total: é o custo dado pela somatória do custo variável, com o custo fixo.É calculado pela fórmula abaixo: CT = CV+ CF

Onde: CF = b CV = p . qLogo, a função linear f(x) = ax + b CT = CV + CF CTE o gráfico é: CT CV b CF

0 qExemplo:Esboçar o gráfico para o CT por CT = 2q + 4Resolução:CV = 2qCF = 4Logo se q = 0 CV = 0 A(0, 0) q =1 CV = 2 B(1, 2)CT = 2q + 4Se q = 1 CT = 2. 1 + 4 CT = 6 C(1, 6)

q = 0 T = 2 . 0 + 4

28

28

CT = 4 D(0, 4) CT CT 6 C CV D 4 CF 2 B

A 0 1 q

E X E R C I C I O S

1) O custo de produção de cada roda de liga de alumínio para o carro XK é R$ 50,00. Sabe-se que R$ 5.000 é o custo fixo. Pede-se:

a) Expressar o custo total em função do número de unidades produzidas.b) Qual o custo da 5a roda produzida? R. C(5ª) = R$ 5.250,00c) Esboçar o gráfico.

2) Um fabricante de aparelho de rádio, produz q aparelhos por semana ao custo de CT(q) = 1/25q2

+ 3q + 100, em reais. Determine:a) O custo fixo. R. CF = R$ 100,00b) O custo para a produção de 5 rádios. R. C(5) = R$ 116,00

3) Suponha que a função C(q) = 20q + 40 represente o custo total de produção de um determinado objeto, onde C é o custo em reais e q é o número de unidades produzidas. Determine:

a) O custo de fabricação de 6 unidades desse produto. R. C(6) = R$ 160,00b) Quantas unidades devem ser produzidas para que o custo seja de R$ 12.000,00? R. q = 598

unidadesc) Os valores de q para os quais o problema tem interpretação prática.d) O gráfico dessa função (destacar o intervalo onde o problema tem interpretação prática).

4) Uma usina de açúcar tem um custo total mensal dado pela lei CT(q) = 1/10q2 + 5q + 800, onde q representa a quantidade de toneladas produzidas mensalmente e o custo em reais. Determinar:

a) O custo mensal fixo. CF = R$ 800,00b) O custo para a produção de 10 toneladas. C(10) = R$ 860,00

29

29

PONTO CRÍTICO (BREAK-EVEN POINT)

É o ponto de intersecção entre o gráfico da receita total e do custo total. Nesse ponto ocorre a indicação da quantidade produzida tal que o lucro total é zero. É a partir desse ponto que se analisa através da quantidade mínima produzida para que se tenha lucro positivo. Esse ponto onde o lucro é nulo e a receita é igual ao custo total (RT = CT). Também é denominado de ponto de nivelamento.

Exemplos1) Numa empresa, o custo total é dado pela função CT = 500.000 + 10.000q e a receita total pela função RT = 15.000q. Qual o ponto crítico dessa empresa ?Resolução:RT = 15.000qCT = 500.000 + 10.000qO ponto crítico será o valor de q que anula as funções, portanto:

RT = CT15.000q = 500.000 + 10.000q15.000q – 10.000q = 500.0005.000q = 500.000q = 500.000 5.000q = 100 (o ponto crítico dessa empresa será de 100 quantidades)

2) Se RT e CT são dadas, respectivamente, por RT = 14q e CT = 10q +8. Determine o ponto crítico.Resolução:RT = 14qCT = 10q + 8RT = CT14q = 10q + 814q – 10q = 84q = 8q = 8 q = 2 (o ponto crítico dessa empresa será de 2 quantidades) 4

LUCRO TOTAL (Lucro positivo)

Chama-se de função Lucro Total, a diferença entre a Receita Total e o Custo Total: LT = RT – CT.Logo, para uma análise econômica, se RT > CT, teremos lucro positivo.

Exemplo:Numa empresa, o custo total é dado pela função CT = 500.000 + 10.000q e a receita total pela função RT = 15.000q. Qual a função que representa o lucro total e o valor do lucro total para q =100 e q = 120?Resolução:RT = 15.000qCT = 500.000 + 10.000qLT = RT - CTLT = 15.000q - (500.000 + 10.000q)LT = 15.000q – 500.000 – 10.000qLT = 5.000q – 50.000 Função Lucro Total

30

30

Se tivermos q = 100 LT = zeroSe tivermos q = 120LT = 5000 . 120 – 500.000LT = 600.000 – 500.000LT = 100.000 (lucro positivo)

PREJUÍZO (Lucro negativo)

Chama-se de função prejuízo, a diferença entre Custo Total e Receita Total: PR = CT – RT.Para uma análise econômica, se RT < CT, haverá prejuízo. No exemplo anterior, se q < 100, teremos:

Resolução:CT = 500.000 + 10.000qRT = 15.000qPR = CT - RTPR = 500.000 + 10.000q – 15.000qPR = 500.000 - 5.000q (função prejuízo)

E X E R C Í C I O S1) Determine o Ponto Crítico (Break-even-point), nos casos abaixo:

a) CT = 3q + 5 e RT = 4q R. q = 5b) CT = 0,5q + 3 e RT = 0,8q R. q = 10c) CT = 2q + 10 e RT = 4q R. q = 5

2) Uma editora vende certo livro por R$ 60,00 a unidade. Seu custo fixo é R$ 10.000,00 por mês e o custo variável é R$ 40,00. Qual o ponto de nivelamento? R. q = 500

3) Determine a função que representa o lucro total nos casos abaixo:a) CT = 3q + 5 e RT = 4q R. LT = q - 5b) CT = 0,5q + 3 e RT = 0,8q R. LT = 0,3q - 3c) CT = 2q + 10 e RT = 4q R. LT = 2q - 10

4) Para o exercício anterior, determine o lucro total para q = 20 em cada caso.a) R. LT = R$ 15,00b) R. LT = R$ 3,00c) R. LT = R$ 30,00

5) Conhecendo-se a função Custo Total CT = 16.000 + 10q e a Receita Total RT = 14q. Determine:

a) Custo fixo. R. CF = R$ 16.000,00b) Custo variável. R. CV = 10qc) O preço unitário do produto. R. P = R$ 14,00d) O ponto crítico. R. q = 4000e) O lucro total (expressão). R. LT = 4q - 16000

6) O custo fixo de uma empresa é R$ 30.000,00 por mês; o preço unitário de venda é de R$ 15,00 e o custo variável por unidade é de R$ 4,00:

a) Obtenha a função lucro. R. LT = 11q - 30000b) Obtenha a função lucro líquido, sabendo que o imposto de renda é de 30% do lucro. R. LQ = 7,70q - 21000

7) Uma impressora jato de tinta é vendida por R$ 200,00 a unidade. O custo fixo é de R$ 16.000,00 e o custo de produção de cada impressora é de R$ 120,00.

a) Expresse a função custo total de fabricação em termos do número de impressoras fabricadas.

b) Expresse a função receita total.c) A partir de quantas unidades vendidas será o lucro.

31

31

Se q = 90 PR = 500.000 - 5.000q PR= 500.000 – 5000 . 90PR= 500.000 – 450.000PR= 50.000 Prejuízo (lucro negativo)

d) Se forem vendidas 200 impressoras, qual será o seu lucro.e) Quantas impressoras deverão ser vendidas para ter um lucro de R$ 2.000,00.

Respostas 7:a) CT = 120q + 16000b) RT = 200qc) q > 200 unidadesd) lucro nuloe) q = 225 unidades

8) Uma editora vende certo livro por R$ 70,00 a unidade. Se seu custo fixo é R$ 12.000,00 por mês e o custo variável por unidade é de R$ 45,00. Quantas unidades a editora deverá vender para ter um lucro igual a R$ 8.000,00?R. q = 800 unidades

9) O custo fixo mensal de uma empresa é R$ 5.000,00, o custo variável por unidade produzida é R$ 30,00 e o preço de venda, R$ 40,00. Qual a quantidade que deve ser vendida por mês para dar um lucro líquido de R$ 2.000,00, sabendo que o imposto de renda é de 20% do lucro?R. q = 750 unidades

10) Dada a função PR = 1500q + 18000 – 2500q

a) Expressar a “lei” que rege o prejuízo. R. PR = 18000 – 1000qb) O valor do prejuízo para q = 8. R. PR = R$10.000,00

32

32

A ESTATÍSTICA

A Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.

Exprimindo por meio de números as observações que se fazem de elementos com, pelo menos, uma característica comum (por exemplo: os alunos do sexo masculino de uma comunidade), obtemos os chamados dados referentes a esses elementos. A coleta, a organização e a descrição dos dados estão a cargo da Estatística Descritiva, enquanto a análise e a interpretação desses dados ficam a cargo da Estatística Indutiva ou Inferencial.Em geral, as pessoas, quando se referem ao termo estatística, o fazem no sentido da organização e descrição dos dados, desconhecendo que o aspecto essencial da Estatística é o de proporcionar métodos, que permitam conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente. Assim, a análise e a interpretação dos dados estatísticos tornam possível o diagnóstico de uma empresa, o conhecimento de seus problemas e a formulação de soluções para tais problemas.

SÉRIES ESTATÍSTICAS

Um dos objetivos da Estatística é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem assumir, para que tenhamos uma visão global da variação dessa variável. E isso ela consegue inicialmente, apresentando esses valores em tabelas e gráficos, que irão nos fornecer rápidas e seguras informações a respeito das variáveis em estudo.

TABELAS ESTATÍSTICAS

Uma tabela deve apresentar a seguinte estrutura:- cabeçalho- corpo- rodapé

O cabeçalho deve conter o suficiente para que sejam respondidas as questões:- o que está representado?- onde ocorreu?- quando ocorreu?

O corpo da tabela é representado por colunas e subcolunas dentro dos quais serão registrados os dados numéricos e informações.

O rodapé é reservado para observações pertinentes à tabela, bem como para o registro e identificação da fonte dos dados.

33

33

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS

A cada fenômeno corresponde um número de resultados possíveis. Exemplo: Para o fenômeno “sexo” são dois os resultados possíveis: sexo masculino e sexo feminino.Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.

POPULAÇÃO E AMOSTRA

População – é um conjunto de indivíduos ou objetos que apresentam pelo menos uma característica em comum.Amostra – é um subconjunto finito de uma população.

Suponhamos termos feito uma coleta de dados relativos às idades de 30 pessoas, que compõem uma amostra dos alunos de uma faculdade “A”:24 23 22 28 35 21 23 33 34 24 21 25 36 26 22 30 32 25 26 3334 21 31 25 26 25 35 33 31 31

A este tipo de tabela, cujos elementos não foram numericamente organizados denominamos tabela primitiva ou dados brutos . Ao arranjo dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente chamamos de rol. Logo:

21 21 21 22 22 23 23 24 25 25 25 25 26 26 26 28 30 31 31 3132 33 33 33 34 34 34 35 35 36

Podemos organizar estes dados em uma tabela simples denominada de distribuição de freqüência com variável discreta. Os dados serão organizados com suas freqüências simples.

Freqüência simples ou absoluta (Fi) – é o número de vezes que o elemento aparece na amostra ou o nº de elementos pertencentes a uma classe.

Idades Fi21 322 223 224 125 426 328 130 131 332 133 334 335 236 1Total 30

34

34

Podemos ainda agrupar os valores da variável em intervalos, sendo que, chamamos esses intervalos de classes. Logo a tabela abaixo denominados de distribuição de freqüência com intervalos de classe.

Idades de 30 alunos da Faculdade “A”Classes Idade Freqüência

123456

21 I---- 2424 I---- 2727 I---- 3030 I---- 3333 I---- 3636 I---- 39

781581

30

Obs: Quando os dados estão organizados em uma distribuição de freqüência, são comumente denominados dados agrupados.

ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA

A construção de uma tabela com dados agrupados em intervalos ou variável contínua requer o conhecimento de alguns conceitos que vamos fazer em seguida e usaremos a tabela anterior para exemplificar cada item.

Classes de freqüência – são os intervalos de variação da variável.As classes são representadas simbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3, ... K (onde k é o nº total de classes da distribuição).No nosso exemplo: o intervalo 30 I---- 33 define a quarta classe (i=4). Como a distribuição é formada de seis classes, temos K = 6.

Limites de classes – são os extremos de cada classe (li I---- Li)li – limite inferior da classe (onde começa o intervalo)Li – limite superior da classe (onde termina o intervalo)Ex: intervalo 30 I---- 33li – 30 Li – 33

Intervalo de classe ou amplitude do intervalo(h) – é a medida do intervalo que define a classe.- h = Li – li Ex: intervalo 30 I---- 33, logo h = 33 – 30 = 3

Número de classes(k) – Não há uma fórmula exata para o cálculo do nº de classes. As mais usadas são:1ª)K = 5 para n 25 ou K para n 25 2ª)Fórmula de Sturges – K 1 + 3,22 . log n

Range, amplitude total ou amplitude amostral – é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra. No exemplo dado: R = 36 – 21 = 15

Para montar a tabela de distribuição de freqüência com intervalos devemos seguir os itens abaixo:1º) Calcular o range (como na definição anterior: 36 – 21 = 15)2º) Saber quantas classes ou quantos intervalos terá a tabela. No exemplo acima, temos n=30,portanto n>25. Logo o cálculo será K= 5,48, ou seja K = 63º) Calcular qual será a amplitude do intervalo ou qual a diferença entre o li e o Li.Logo h R : K ou seja h = 15 : 6 = 2,5 ou h = 3

Obs: Quando os resultados acima não são exatos, devemos arredondá-los para o maior.

Outros elementos de uma distribuição de freqüência:Pontos médios das classes (Xi) – é a média aritmética entre o limite superior e o limite inferior da classe. Ex: 33 – 36

35

35

Xi = 34,5

Freqüência relativa (Fri) – é dada por Fri = Fi/n, ou seja é a porcentagem daquele valor da amostra.

Freqüência acumulada (Fac) – é a soma das freqüências dos valores inferiores ou iguais ao valor dado.

Histograma – é a representação gráfica de uma distribuição de freqüência por meio de retângulos justapostos.

Polígono de freqüência – é um gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe.

Polígono de freqüência acumulada – é traçado marcando-se as freqüências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe.

Exercícios:1 – Considere os salários quinzenais de 100 funcionários da Empresa Yasmim Ltda (em US$):

151 152 154 155 158 159 159 160 161 161 161 162 163 163 163 164 165 165 165 166 166 166 166 167 167 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 168 168 168 169 169 169 169 169 169 169 170 170 170 170 170 170 170 171 171 171 171 172 172 172 173 173 173 174 174 174 175 175 175 175 176 176 176 176 177 177 177 177 178 178 178 179 179 180 180 180 180 181 181 181 182 182 182 183 184 185 186 187 188 190 190

Pede-se determinar:a) A amplitude amostralb) O número de classesc) A amplitude das classesd) Construir a tabela de distribuição de freqüência com as classes, frequências absolutas,

freqüências relativas, pontos médios e freqüência acumulada.e) Qual a porcentagem de funcionários que ganham salários com valor igual ou superior a

US$179.f) Qual a porcentagem de funcionários que ganham salários com valores inferiores a

US$163.g) Qual o ponto médio da 3ª classeh) Qual o fri da 2ª classe.

2 - O controle de qualidade de uma indústria selecionou 48 caixas na linha de produção e anotou em cada caixa o número de peças defeituosas, obtendo os seguintes dados:2 0 0 4 3 0 0 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 00 0 3 0 0 0 2 0 0 1 1 2 0 2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0

Determinar:

a) o rolb) a tabela de distribuição de freqüência sem intervalosc) qual a porcentagem de caixas que apresentam 2 ou mais peças defeituosas?

3 – Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 40 revendedores autorizados em todo o Brasil e anotou em determinado mês o número de unidades adquiridas por estes revendedores. Obteve os seguintes dados:

36

36

10 15 25 21 6 23 15 21 26 32 9 14 19 20 32 18 16 26 24 207 18 17 28 35 22 19 39 18 21 15 18 22 20 25 28 30 16 12 20

a)Monte a tabela de distribuição de freqüência com intervalos .

Exercícios Extras:

1-Conhecidas as notas de 55 alunos:33 33 35 35 39 41 41 42 45 45 47 48 50 52 53 54 55 55 56 5759 60 61 64 65 65 65 66 67 68 68 69 71 73 73 73 74 74 76 7778 80 81 84 85 85 88 89 91 94 94 98 98 98 98Obtenha a tabela de distribuição de freqüência com intervalos, a freqüência absoluta, a freqüência relativa, o ponto médio e a freqüência acumulada.

2 – Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes:6 5 2 6 4 3 6 2 6 5 1 6 3 3 5 1 3 6 3 4 5 4 3 1 35 4 4 2 6 2 2 5 2 5 1 3 6 5 1 5 6 2 4 6 1 5 2 4 3 Forme uma distribuição de freqüência sem intervalos e complete com as colunas do fri e fac.

3 – Considerando as notas de um teste de inteligência aplicado a 55 alunos:64 64 64 66 66 70 70 73 73 73 73 74 75 76 76 76 78 78 78 7879 80 80 81 82 82 83 84 84 85 85 85 85 86 86 86 86 86 86 8787 89 90 90 92 92 93 95 98 101 102 103 103 103 103Forme uma tabela de distribuição de freqüência com intervalos e complete com as colunas do Xi, Fri e Fac.a)Qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota inferior a 79?b)Qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota igual ou superior a 94?

4 – A amostra abaixo apresenta as vendas diárias de um determinado aparelho elétrico, durante um mês, por uma firma comercial:14 12 11 13 14 13 12 14 13 1411 12 12 14 10 13 15 11 15 1316 17 14 14Forme uma distribuição de freqüência sem intervalos com as colunas do fri e fac.

Respostas:1 - classes notas fi xi fri fac1 33 I---- 42 7 37,5 12,73 72 42 I---- 51 6 46,5 10,91 133 51 I---- 60 8 55,5 14,55 214 60 I---- 69 10 64,5 18,18 315 69 I---- 78 9 73,5 16,36 406 78 I---- 87 6 82,5 10,91 467 87 I---- 96 5 91,5 9,09 518 96 I---- 105 4 100,5 7,27 55

2 - faces do dado fi fri fac1 6 12 6

37

37

2 8 16 143 9 18 234 7 14 305 10 20 406 10 20 50

3 – classe amostra fi xi fri fac1 64 I---- 69 5 66,5 9,09 52 69 I---- 74 6 71,5 10,91 113 74 I---- 79 9 76,5 16,36 204 79 I---- 84 7 81,5 12,73 275 84 I---- 89 14 86,5 25,45 416 89 I---- 94 6 91,50 10,91 477 94 I---- 99 2 96,50 3,64 498 99 I---- 104 6 101,5 10,91 55a)36,36% b)14,55%4 –amostra fi fri fac10 1 4,17 111 3 12,50 412 4 16,67 813 5 20,83 1314 7 29,17 2015 2 8,33 2216 1 4,17 2317 1 4,17 24

MEDIDAS DE POSIÇÃO

38

38

Foi visto no item anterior a sintetização dos dados sob a forma de tabelas, gráficos e distribuições de freqüências. Dessa forma podemos localizar a maio concentração de valores de uma dada distribuição. Agora, vamos ressaltar as tendências características de cada distribuição. Inicialmente estudaremos as medidas de posição – que são estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição no eixo X (eixo dos nº reais).

- Medidas de tendência central – representam os fenômenos pelos seus valores médios, em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados. (média, moda e mediana)

Média

1º CASO: Dados não agrupados

= (onde n é o nº de elementos do conjunto)

Ex1: Determinar a média aritmética simples dos valores: 3, 7, 8, 10 e 11

= =

2º CASO: Dados agrupados sem intervalos

Dada a amostra: 2, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8Xi Fi XiFi2 1 25 4 206 3 188 2 16Total 10 56

Então a média será :

3º CAS0: Dados agrupados com intervalos

Classe Amostra Fi Xi XiFi1 2 I---- 5 1 3,5 3,52 5 I---- 8 10 6,5 653 8 I---- 11 8 9,5 764 11 I---- 14 1 12,5 12,5Total 20 157

Portanto

Interpretação: O valor médio desta série é 7,85, isto é, 7,85 é o valor em torno do qual os elementos desta série se concentram.

Exercícios:1ª PARTE – MÉDIA1-Calcule a média aritmética das séries abaixo:a)1, 2, 8, 10, 12, 16, 21, 30

39

39

b)5, 6, 6, 10, 11, 11, 20

2 – Calcule a média para as tabelas abaixo:xi fi2 13 44 35 2Total

xi fi17 318 1819 1720 821 4Total

3-O salário de 39 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro abaixo. Calcule o salário médio destes funcionários.classe salários(R$) nº func.1 400 I---- 500 122 500 I---- 600 153 600 I---- 700 84 700 I---- 800 35 800 I---- 900 1 4-Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, segundo o quadro abaixo.Calcule a média:classe aluguel(R$) nº casa1 0 I---- 200 302 200 I---- 400 523 400 I---- 600 284 600 I---- 800 75 800 I---- 1000 3Total

5-Em uma empresa temos 4 operários com salário de R$850,00, 2 supervisores com salário de R$1.200,00, 1 gerente com salário de R$2.000,00 e 6 vendedores com salário de R$1.100,00. Qual a média salarial dessa empresa?

Respostas:1)a)12,5 b)9,862)a)3,6 b)18,843)562,82 4)335 5)R$1.107,69

Moda

1º Caso: Dados não agrupados:

É o valor de maior frequência em um conjunto de dados ou que aparece mais vezes.

Ex: 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 12, 15.40

40

O elemento de maior frequência é o 10, portanto Mo=10 (unimodal)

Ex: 3, 5, 8, 10, 12 e 13Todos os elementos da série apresentam a mesma frequência, logo a série é amodal.

Ex: 2, 2, 5, 5, 8, 9Temos Mo=2 e Mo=5 (bimodal)

2º Caso: Dados agrupados sem intervalo

Basta identificar o elemento de maior freqüência.Xi Fi0 22 43 54 36 1

Portanto Mo=3

3º Caso: Dados agrupados com intervalosDada a tabela:classe amostra fi1 0 I----- 10 12 10 I----- 20 33 20 I----- 30 64 30 I----- 40 2

1º Passo: Identifica-se a classe modal (aquela que possui maior freqüência)2º Passo: Aplica-se a fórmula:

Mo =

Onde= limite inferior da classe modal

= diferença entre a freqüência (fi) da classe modal e a imediatamente anterior

= diferença entre a freqüência (fi) da classe modal e a imediatamente posterior.h = amplitude da classe

No exemplo da tabela anterior:1º Passo: Indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3ª classe (maior fi=6)2º Passo: Aplica-se a fórmula em que

Mo =

Exercícios: MODA

1 – Calcule a moda para as séries abaixo:a)2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 7

41

41

b)3, 4, 4, 5, 9, 12, 12

2-Calcule a moda das distribuições abaixo:xi fi2 13 74 25 2

xi fi17 318 1819 1720 821 4Total

3-A distribuição abaixo representa o consumo em Kg de um produto colocado em oferta em um supermercado. Calcule a moda:classe consumo nº de clientes1 0 I---- 1 122 1 I---- 2 153 2 I---- 3 214 3 I---- 4 325 4 I---- 5 20 4-A distribuição abaixo representa o número de acidentes de trabalho por dia em uma indústria Petroquímica, verificados durante um mês. Calcule a moda:classe nº de acidentes nº de dias1 0 I----2 202 2 I---- 4 63 4 I---- 6 34 6 I---- 8 1

Respostas:1)a)5 b)4 e 122)a)3 b)183)3,48 4)1,18

Mediana ( Md)

1º Caso: Dados não agrupados

Os valores têm que ser colocados em ordem crescente. A mediana é o nº que se encontra no centro de uma série de números, ou seja, divide a amostra em duas partes iguais.

42

42

Exemplo: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16 e 9Colocar os valores em ordem crescente: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18

Se n=9 logo 5º elemento, logo Md= 10

2º exemplo: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18 e 21 ( já está em ordem)

Se n=8 logo º elemento (está entre o 4º e o 5º elemento)

Logo

2º Caso: Dados agrupados sem intervalos

Dada a amostra: 12, 14, 14, 15, 16, 16, 17, 20 e 20

Xi Fi Fac12 1 114 2 315 1 416 2 617 1 720 2 9Total 9

Construindo a coluna da frequência acumulada podemos localizar com facilidade o valor mediano.

Md 5º elemento, portanto a mediana será o 16.

3º Caso: Dados agrupados com intervalosDada a tabela:Classe Amostra fi Fac1 3 I---- 6 2 22 6 I---- 9 5 73 9 I---- 12 8 154 12 I---- 15 3 185 15 I---- 18 1 19Total 19

1º Passo: Calcula-se a ordem .

2º Passo: Pela Fac identifica-se a classe que contém a mediana (classe da Md).3º Passo: Utiliza-se a fórmula:

43

43

Onde: = limite inferior da classe da mediana n = tamanho da amostra facanterior= freqüência acumulada anterior à classe da mediana( ou soma dos valores de fi anteriores à classe da mediana) h = amplitude da classe da mediana ficlasse = freqüência da classe da mediana

No exemplo da tabela anterior:

1º Passo: Calcula-se . Com n=19, temos 19/2=9,5º elemento

2º Passo: Identifica-se a classe da mediana pela Fac. Neste caso, a classe da mediana é a 3ª. 3º Passo: Aplica-se a fórmula:

=

Md

Interpretação: 50% dos valores da série são valores menores ou iguais a 9,93 e 50% dos valores da série são valores maiores ou iguais a 9,93.

Exercícios: MEDIANA

1-Calcule a mediana das seqüências abaixo:a)2, 5, 8, 10, 12, 15, 18, 20b)3, 4, 5, 7, 7, 8, 10, 15

2 – Calcule a mediana das distribuições abaixo:xi fi2 54 205 106 108 2Total

xi fi17 318 1819 420 321 1Total

44

44

3-Determine o valor mediano da distribuição a seguir que representa os salários de 23 funcionários selecionados em uma empresa:classe salários (R$) nº funcionários1 200 I---- 400 22 400 I---- 600 63 600 I---- 800 104 800 I---- 1000 5 4-Uma loja de departamentos selecionou um grupo de 53 notas fiscais, durante um dia e obteve o seguinte quadro:classe consumo nº notas1 0 I---- 50 102 50 I---- 100 283 100 I---- 150 124 150 I---- 200 25 200 I---- 250 1total

Respostas:1)a)11 b)72)a)4 b)183)6704)79,46

Exercícios extras:1 – Calcule a média aritmética das distribuições abaixo:notas fi salários fi vendas fi2 5 520 18 145 103 8 780 31 158 95 14 940 15 163 88 10 1.240 3 175 410 7 1.590 1 187 2Total Total Totaltabela a tabela b tabela c

2 – Calcule a moda para as tabelas acima.

3 – Calcule a mediana para as tabelas acima.

4 – Calcule a média aritmética para as tabelas abaixo:tabela a tabela bSalários(R$) nº funcionários Estaturas(cm) fi200 I---- 400 15 150 I---- 158 5400 I---- 600 12 158 I---- 166 12600 I--- 800 8 166 I---- 174 18800 I---- 1.000 2 174 I---- 182 271.000 I---- 1.200 1 182 I---- 190 8total total

45

45

Notas nº alunos pesos (Kg) Fi0 I---- 2 5 145 I---- 151 102 I---- 4 8 151 I---- 157 94 I---- 6 14 157 I---- 163 86 I---- 8 10 163 I---- 169 58 I---- 10 7 169 I---- 175 3total Totaltabela c tabela d

5 – Calcule a mediana para as tabelas acima.6 – Calcule a moda para as tabelas acima.Respostas:1- a) 5,77 b) 778,68 c) 159,09

2 – a) 5 b) 780 c) 145

3 – a) 5 b) 780 c) 158

4 – a) 500 b) 172,40 c) 5,27 d)156,91

5 – a) 466,67 b) 174 c) 5,29 d)156

6- a) 366,67 b) 176,57 c) 5,20 d)150,45

MEDIDAS SEPARATRIZES

Dado o problema:Na empresa Mercury Ltda foi observada a distribuição de funcionários do setor de vendas com relação ao salário semestral (baseado em comissões sobre vendas):salário semestral(R$) n° de funcionários1000 I----- 3000 53000 I----- 5000 15

46

46

5000 I----- 7000 87000 I----- 9000 2

Se a empresa divide os funcionários em quatro categorias, com relação ao salário temos:- 0s 25 % menos produtivos = categoria C;- Os 25% seguintes = categoria B;- Os 25% seguintes mais produtivos = categoria A- Os 25% restantes = categoria especial.

Quais são os salários limites das categorias acima?

QUARTIS

Divide a amostra em quatro partes iguais. Q1 Q2 Q3 I---------------I--------------I---------------I---------------I 0% 25% 50% 75% 100% Para determinar Q1:

1° Passo: Calcula-se

2° Passo: Identifica-se a classe Q1 pela Fac3° Passo: Aplica-se a fórmula:

Para determinar Q2: igual à mediana

Para determinar Q3:

1° Passo: Calcula-se

2° Passo: Identifica-se a classe Q3 pela Fac

3° Passo: Aplica-se a mesma fórmula anterior.

DECIS

A amostra é dividida em 10 partes iguais.

I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

47

47

1° Passo: Calcula-se

2° Passo: Identifica-se a classe Di pela FAC3° Passo: Aplica-se a fórmula:

PERCENTIS

Divide a amostra em 100 partes iguais:

I----------I----------I---------I--------I . . . I---------I-------I 0% 1% 2% 3% 4% 98% 99% 100% P1 P2 P3 P4 P98 P99

!° Passo: Calcula-se

2° Passo: Aplica-se a fórmula:

Exercícios:

1 – A tabela abaixo refere-se às notas de 500 alunos do colégio “x”:Notas Fi0 I----- 2 502 I----- 4 1704 I----- 6 1306 I----- 8 1108 I----- 10 40 Se a escola dividir os alunos em quatro grupos conf. suas notas,quais as notas limites de cada grupo?

2-A distribuição abaixo representa o número de acidentes de trabalho por dia em uma indústria:nº de acidentes nº de dias0 I---- 2 202 I---- 4 154 I---- 6 126 I---- 8 108 I---- 10 8

Calcule:a)Q1b)Q3c)P92d)P48e)D3f)D7

3-a tabela abaixo representa o nº de faltas anuais dos funcionários de uma empresa:nº faltas nº empregados0 I---- 2 20

48

48

2 I---- 4 1254 I--- 6 536 I--- 8 408 I--- 10 14Se a empresa decidir fornecer no final do ano uma cesta básica para 15% dos funcionários que menos faltas tiveram, qual a quantidade máxima de faltas para não perder a cesta básica?

4-A tabela abaixo representa a venda de livros didáticos em uma editora:Preço(R$) nº livros comercializados 0 I---- 10 400010 I---- 20 1350020 I--- 30 2560030 I--- 40 4324040 I--- 50 2680050 I--- 60 1750

a)Se a editora fizer uma promoção com 25% dos livros de menor preço, qual o preço máximo do livro que entrará na promoção?b)No mês seguinte a editora fez uma promoção com 45% dos livros de preço mais baixo. Qual é o preço máximo do livro para entrar na promoção?c)Para fechar o mês, na última semana, a gerência da editora fez uma promoção com 20% dos livros de maior valor. A partir de qual valor os livros entraram na promoção?

3-A tabela abaixo representa os salários dos vendedores de uma empresa baseado em comissões:salários(R$) nº funcionários200 I---- 400 6400 I---- 600 10600 I--- 800 24800 I--- 1000 361000 I--- 1200 121200 I---- 1400 4

a)A empresa colocou uma meta extra para 5% dos vendedores que pior desempenho tiveram. Até que valor de vendas o funcionário receberá a meta de vendas?b)Para premiar os melhores vendedores, a empresa resolveu conceder uma abono para 3% dos funcionários que tiveram melhor desempenho. A partir de que salário o funcionário receberá o abono?

Respostas:1)Q1=2,88 Q2=4,46 Q3=6,452)a)1,63 b)6,35 c)8,7 d)3,49 e)1,95 f)5,753)os funcionários que tiveram até 2,28 faltas (aproximadamente 3) receberão a cesta básica. 4)a)Os livros que custam até R$24,38 entrarão na promoção.b)Os livros que custam até R$31,99 entrarão na promoçãoc)Os livros que custam a partir de R$42,08 entrarão na promoção.

5)a)Os vendedores que tiveram o valor de vendas até R$353,33 receberão a meta extra.b)Os vendedores que tiveram o valor de vendas a partir de R$1.262,00 receberão o abono.

MEDIDAS DE DISPERSÃO

São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade de dispersão dos valores em torno da média. Servem para medir a representatividade da média.

49

49

--------------------------I-----------------------------

Ex: a)10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10 b)12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13 c)13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13concluiremos que todas possuem a mesma média 13.No entanto, são seqüências completamente distintas do ponto de vista da variabilidade de dados.

DESVIO MÉDIO

É a análise dos desvios em torno da média.Calculamos inicialmente a média da amostra. Em seguida identificamos a distância de cada elemento da amostra para sua média. Finalmente, calculamos o desvio médio,

di = Ixi - I, logo o desvio médio será

Exemplo: Dada a amostra:Xi Fi XiFi IdiI=Ixi-xI diFi

5 4 20 0,83 3,32 0,69 2,767 3 21 2,83 8,49 8,01 24,032 5 10 2,17 10,85 4,71 23,553 4 12 1,17 4,68 1,37 5,486 2 12 1,83 3,66 3,35 6,7

18 75 31 62,52

Dm =

DESVIO PADRÃO

Xi Fi XiFi IdiI=Ixi-xI di2 di2.fi5 4 20 0,83 0,69 2,767 3 21 2,83 8,01 24,032 5 10 2,17 4,71 23,553 4 12 1,17 1,37 5,486 2 12 1,83 3,35 6,70

50

50

18 75 62,52

Desvio padrão amostral – S =

No caso da tabela acima =

2° exemplo:

classes Fi Xi XiFi di difi

2 I--- 4 24 I--- 6 46 I--- 8 58 I--- 10 410 I---12 3

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para a comparação em termos relativos do grau de concentração em torno da média (expresso em porcentagens)

CV = X 100

Temos: Baixa dispersão: CV < 10%Média dispersão: 10% < CV < 20%Alta dispersão: CV > 20%

Exercícios:1-Calcule o desvio médio das séries abaixo:a)xi Fi2 34 85 10

51

51

6 68 210 1

b)salários nº de vendedores70 I---- 120 8120 I---- 170 28170 I---- 220 54220 I---- 270 32270 I---- 320 12320 I---- 370 6total

2 – Calcule o desvio padrão para as tabelas abaixo:a)Idade nº de alunos17 318 1819 1720 821 4Total

b)Xi Fi0 301 52 33 14 1Total

3-Calcule o desvio padrão para a distribuição de valores de 54 notas fiscais emitidas na mesma data, selecionadas em uma loja de departamentos.Vl. notas nº de notas0 I---- 50 1050 I---- 100 28100 I---- 150 12150 I---- 200 2200 I---- 250 1250 I---- 300 1total 4-Calcule o desvio padrão para a tabela abaixo:Alturas (cm) nº de alunos150 I---- 160 2160 I---- 170 15170 I---- 180 18180 I---- 190 18190 I---- 200 16200 I---- 210 1Total

52

52

5-Qual das disciplinas abaixo apresentou maior dispersão?a)Matemática: média – 8,5 e desvio padrão – 2 Estatística: média – 9 e desvio padrão – 5

b)Cálculo: média 5 e desvio padrão – 2 Álgebra: média 8 e desvio padrão – 3

Respostas:1)a)1,13 b)45,202)a)1,04 b)0,933)49,464)11,895)a)Estatística b)Cálculo

Exercícios extras: 1 – Determine a média, moda e mediana nos casos abaixo:a)amostra Fi7 I---- 10 610 I---- 13 1013 I---- 16 1516 I---- 19 1019 I---- 22 5Total

b)amostra Fi1 I---- 3 33 I---- 5 55 I--- 7 87 I---- 9 69 I---- 11 411 I---- 13 3Total

c)Idade nº pessoas10 I---- 14 1514 I---- 18 2818 I---- 22 4022 I---- 26 3026 I---- 30 20Total

53

53

d)amostra fi30 I---- 40 1040 I---- 50 2050 I---- 60 3560 I---- 70 2570 I---- 80 10Total

e)amostra fi45 I---- 55 1555 I---- 65 3065 I---- 75 3575 I---- 85 1585 I---- 95 5Total

2 – Calcule o desvio médio ,o desvio padrão e o coeficiente de variação para as tabelas acima.

Respostas:Exercício 1:a)média: 14,37 moda:14,5 mediana:14,40b)média:6,83 moda:6,20 mediana:6,63c)média:20,36 moda:20,18 mediana:20,35d)média:55,5 moda:56 mediana:55,71e)média:66,5 moda:67 mediana:66,43

Exercício 2:a)desvio médio:2,78 desvio padrão: 3,58 CV:24,91b)desvio médio:2,43 desvio padrão: 2,95 CV:43,19c)desvio médio:3,94 desvio padrão:4,89 CV:24,02d)desvio médio:8,65 desvio padrão:11,23 CV:20,23e)desvio médio:8,85 desvio padrão:10,67 CV:16,05

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas é a distribuição Normal.

Muitas das variáveis analisadas na pesquisa sócio-econômica correspondem à distribuição normal ou dela se aproximam.

Fórmula:

54

54

Z = onde

(média) (desvio padrão)

Propriedades da distribuição normal:

1ª - A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real.

2ª - A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss.

3ª - A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real.

4ª - A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo.

5ª - Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5 ou 50%. Cada metade da curva representa 50% de probabilidade.

Quando temos em mãos uma variável aleatória com distribuição normal, nosso principal interesse é obter a probabilidade de essa variável aleatória assumir um valor em um determinado intervalo. Vejamos com proceder, por meio de um exemplo concreto.

Exemplo: Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por certa máquina. Vamos supor que essa variável tenha distribuição normal com média = 2 cm e desvio padrão = 0,04 cm. Qual a probabilidade de um parafuso ter o diâmetro com valor entre 2 e 2,05 cm ?

P ( 2 < X < 2,05) = ?

Com o auxílio de uma distribuição normal reduzida, isto é, uma distribuição normal de média = 0 e desvio padrão = 1. Resolveremos o problema através da variável z , onde z = (X - ) /

Utilizaremos também uma tabela normal reduzida, que nos dá a probabilidade de z tomar qualquer valor entre a média 0 e um dado valor z, isto é: P ( 0 < Z < z)

No nosso problema queremos calcular P(2 < X < 2,05). Para obter essa probabilidade, precisamos, em primeiro lugar, calcular o valor de z que corresponde a x = 2,05.

z = (2,05 - 2) / 0,04 = 1,25

Utilização da Tabela Z

Procuremos, agora, na tabela Z o valor de z = 1,25.

Na primeira coluna encontramos o valor até uma casa decimal = 1,2. Em seguida, encontramos, na primeira linha, o valor 5, que corresponde ao último algarismo do número 1,25. Na intersecção da linha e coluna correspondentes encontramos o valor 0,3944, o que nos permite escrever:

P (0 < Z < 1,25 ) = 0,3944 ou 39,44 %, assim a probabilidade de um certo parafuso apresentar um diâmetro entre a média = 2cm e x = 2,05 cm é de 39,44 %.

55

55

EXERCÍCIOS

1- Determine as probabilidades:

a) P(-1,25 < Z < 0) = b) P(-0,5 < Z < 1,48) = c) P(0,8 < Z < 1,23) = d) P(-1,25 < Z < -1,20) = e) P( Z < 0,92) = f) P(Z > 0,6) =

2- Os salários dos bancários são distribuídos normalmente, em torno da média R$ 10.000,00, com desvio padrão de R$ 800,00. Calcule a probabilidade de um bancário ter o salário situado entre R$ 9.800,00 e R$ 10.400,00.(29,02%)

3- Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média = 100 e desvio padrão = 10. Determine a probabilidade de um aluno submetido ao teste ter nota:

a) maior que 120 (2,28%)b) maior que 80 (97,72%)c) entre 85 e 115 (86,64%)

d) maior que 100 (50%)

4) As alturas dos alunos de determinada escola são normalmente distribuídas com média de 1,60m e desvio-padrão 0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno medir:

a) entre 1,50 e 1,80 m; (37,79%)b) mais de 1,75 m; (30,85%)c) menos de 1,48 m; (34,46%)

5) Faça Z uma variável com distribuição normal padronizada e encontre (use a tabela):a. P (0 < Z < 1,44)(42,51%)b. P (-0,85 < Z < 0)(30,23%)

c. P (-1,48 < Z < 2,05)(91,04%)d. P (0,72 < Z < 1,89)(20,64%)e. P (Z > 1,08)(14,01%)f. P (Z >-0,66)(74,54%)

6) A duração de um certo componente eletrônico tem em média 850 dias e desvio-padrão de 45 dias. Calcular a probabilidade desses componentes durar:

a. entre 700 e 1000 dias(99,92%)b. mais que 800 dias(86,65%)c. menos que 750 dias(1,32%)

7) O salário semanal dos operários industriais são distribuídos normalmente em torno de uma média de R$ 180,00 com desvio-padrão de R$ 25,00. Pede-se:

a) encontre a probabilidade de um operário ter salário semanal situado entre R$ 150,00 e R$ 178,00 (35,30%)

b) encontre a probabilidade de um operário ter o salário semanal maior que R$200,00.(21,19%)c) encontre a probabilidade de um operário ter o salário semanal menor que R$140,00. (5,48%)

TABELA

56

56

PROBABILIDADE (ÁREAS) DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,11410,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,15170,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,22240,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,25490,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,31330,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,36211,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,38301,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,40141,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,41771,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,44411,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,45451,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,47061,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4766 0,4761 0,4767

2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,48172,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,48572,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,48902,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,49362,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,49642,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,49742,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,49812,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,49903,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,49933,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,49953,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 4,0 0,4999São quatro avaliações valendo de Zero à 10,0 As avaliações A1, A2, A3, A4 prova escrita sem consulta e individual. * Data aplicação das provas:A1 –04/09 à 10/09A2 –09/10 à 15/10 Será descartada a menor entre as notas A1 e A2A3 – 06/11à 12/11A4 – 05/12 à 11/12

57

57