MTA4_Problemas 2.pdf

7/21/2019 MTA4_Problemas 2.pdf

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ECUACIONESDIFERENCIALES UPCOnline

Materialdetrabajoautnomo4

Unidad 2

GUIADEPROBLEMAS 2

Logro de la sesin

Al finalizar esta sesin online, estars

preparado para resolver ecuacionesdiferenciales de orden superior.


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2


Temario

1.

Problemas

de

concepto

2.

EDOLH

de

orden

superior

3.

Mtodo

de

coeficientes

indeterminados

4.

Mtodo

de

variacin

de

parmetros

5.

Problemas

de

modelacin

Recuerda que

Un conjunto )(...,),(),( 21 xyxyxy nde n solucioneslinealmente independientesde una EDO

homognea de orden n se llama conjunto

fundamental de soluciones.Es decir:

a) Cada uno de los elementos del conjunto deben sersolucin de la EDO.

b) El Wronskiano:

,0)(),...,(),( 21 xyxyxyW n Ix


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3


Recuerda que

La EDOLH:

Tiene como polinomio asociado a: 02 cbmam

0 cyybya

Las races del polinomio y soluciones de la EDOLH pueden

ser:

xmxmececy 21 21 Races distintas:

Races repetidas: xmxm

xececy 11 21

Races complejas conjugadas:

)sen()cos( 21 xecxecy xx

Problemas

de

concepto

1


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4


En los problemas (a) y (b) compruebe que las funciones

dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de

la ecuacin diferencial en el intervalo que se indica.

3 4'' ' 12 0; , , ,x xy y y e e x

'' 2 ' 5 0; cos 2 , sen 2 , ,x xy y y e x e x x

(a)

(b)

Problema 1

3 4

3 43 4

, 7 03 4

x x

x x xx x

e eW e e ee e

Adems,

Entonceslasfuncionessonlinealmenteindependientes

yporlotantoelconjunto:

3 4;x xe e

esunconjuntofundamentaldesoluciones.

Solucin (Problema 1a)

Secomprueba(verifique)que 3 41 2,x xy x e y x e

sonsolucionesdelaEDOL.


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5


1 2cos 2 , sen 2x xy x e x y x e x

sonsolucionesdelaEDOL.

Adems:

2

cos 2 sen 2cos2 , sen2

cos 2 2 sen 2 sen 2 2 cos2

2 0

x x

x x

x x x x

x

e x e xW e x e x

e x e x e x e x

e

Entonceslas

funciones

son

linealmente

independientes

y

porlotantoelconjunto: cos2 ; sen 2x xe x e xesunconjuntofundamentaldesoluciones.

Solucin (Problema 1b)

Secomprueba(verifique)que

EDOLH

de

orden

superior

2


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6


Determinelasolucingeneraldelasecuacionesdeorden

superiorconcoeficientesconstantes.

'' 8 ' 16 0y y y

'' 4 ' 5 0y y y

''' '' ' 0y y y y

(a)

(b)

(c)

Problema 2


Laecuacinauxiliares:

Porlocuallasolucingenerales:

28 16 0m m

2

4 0 4m m

4 4

1 2

x xy c e c xe

Factorizandoyresolviendo:


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7


2m i

2

1 2cos senx

y e c x c x


Lasracesdelaecuacinson:

0542 mm

Porlocuallasolucingenerales:


3 2 1 0m m m

2 1 1 0m m m 21 1 0m m

1,m i

1 2 3cos senx

y c e c x c x


Factorizando:

lasracesdelaecuacinson:

Lasolucingenerales:

Solucin (Problema 2c)


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8


Mtododeloscoeficientes

indeterminados

3

DeterminelasolucindelaEDOLusandoelmtodode

coeficientesindeterminados:

2

'' 16 2 cos 2y y x

(a)

(b)

xeyy x sen483 3

Problema 3


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9


LasolucindelaEDOLHasociadaylasolucin

particularson:

3

1 2

3 sen cos

x

h

x

p

y c c e

y Axe B x C x


Adems, 3 3

3 3

' 3 cos sen

'' 6 9 sen cos

x x

p

x xp

y Ae Axe B x C x

y Ae Axe B x C x

Sedebecumplir:

'' ' 33 8 4senxp p

y y e x

3 33 3 sen 3 cos 8 4senx xAe B C x C B x e x

8 2 6, ,

3 5 5A B C

38 2 6sen cos3 5 5

x

py xe x x

Lasolucingenerales

3 3

1 2

8 2 6sen cos

3 5 5

x xy c c e xe x x

Entonces:


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10


Lasolucin

de

la

EDOLH

asociada

es

1 2cos 4 sen 4hy c x c x

xx

x 4cos1)2

4cos1(22cos2

2

ConloquelaEDOseescribeenlaforma:

'' 16 1 cos 4y y x

La forma de cos 4 sen 4py A B x C x x

'cos4 sen 4 4 sen 4 4 cos 4

'' 8 sen 4 8 cos 4 16 cos 4 sen 4

p

p

y B x C x x B x C x

y B x C x x B x C x

Como:


16 8 sen 4 8 cos 4 1 cos 4A B x C x x

1 1, 0,

16 8A B C

1 1sen 4

16 8p

y x x

1 2

1 1cos 4 sen 4 sen 4

16 8y c x c x x x

Luego,

Entonces,

Lasolucingenerales

Entonces:

xyy 4cos116


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11


Determinelaformadelasolucinparticulardela

EDOL:

2 7'' 9 ' 14 1 6sen 2 8

xy y y x x e

''' '' 3xy y e

(a)

(b)

Problema 4

1 2 3

x

hy c c x c e

2x

py Axe Bx

7 2

1 2

x x

hy c e c e

2 7sen 2 cos 2 xpy Ax Bx C D x E x Fxe



La ecuacin auxiliar de la EDOLH es

LaecuacinauxiliardelaEDOLHes:

2;701492 mmmm

1;00)1(0 223 mmmmmm


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12


Determinela

solucin

general

de

la

EDOL:

'' 3 ' 4 8 cos 2x

y y y e x

4

1 2

x x

hy c e c e

cos 2 sen 2x xp

y Ae x Be x

'2 cos 2 2 sen 2

'' 3 4 cos2 3 4 sen 2

x x

p

x x

p

y A B e x B A e x

y A B e x B A e x

LasolucindelaEDOLHasociadaes:

La forma de es:

Luego,

Problema 5

Solucin

Adems,

'' '3 4 10 2 cos 2 2 10 sen 2

8 cos 2

x x

p p p

x

y y y A B e x A B e x

e x

Porlotanto, 10 2 8

2 10 0

A B

A B

dedondeobtenemos 10 2

cos 2 sen 213 13

x x

py e x e x

Lasolucingeneral

4

1 2

10 2cos 2 sen 2

13 13

x x x xy c e c e e x e x

Entonces:


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13


Mtododevariacinde

parmetros

4

xyy tan

DeterminelasolucingeneraldelaEDOL:

LasolucindelaEDOLHasociadaes:

xcxcyc sencos 21

Buscamoslasolucinparticularenlaforma:

xxuxxuyp

sen)(cos)(21

Adems: xxg tan)(

Problema 6

Solucin


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14


Parahallary,procedemosconelsiguienteproceso:

1cossen

sencos

xx

xxW

xxx

x

W

xxu seccos

cos

sentansen 2

1

xW

xxu sen

tancos2

Integrandoobtenemos:

xxxdxxxu tanseclnsen)sec(cos1 xdxxu cossen2

Asque

nuestra

solucin

particular

es:

Enconsecuencialasolucingenerales:

xxxxxxyp sencoscostanseclnsen

xxxxxxxcxcy sencoscostanseclnsensencos 21


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15


Problemasdemodelacin

5

Un resorte en posicin horizontal se encuentra fijo en su

extremo izquierdo. Se coloca un carrito de 2 kg de masa en

su extremo derecho, el que se mueve horizontalmente

sobre una superficie lisa, es decir, una superficie sin

rozamiento. A partir de la posicin de equilibrio, al carrito

se le aplica una fuerza de 0,5N y el resorte se contrae 10cm.

Si de la posicin descrita el carrito se suelta, determine la

posicin del cuerpo en cualquier instante de tiempo.

Problema 7


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16


Lacontraccin delresortees10cm=0,1m.Porlaleyde

Hooketenemos 0,1k=0,5dedonde k=5N/m.La

masaesde2kg.

Seax= x(t) la posicin del carrito en cualquier instante t

con respecto a la posicin de equilibrio, el problema a

resolver es:

2 '' 5 0, 0 0,1, ' 0 0x x x x

La ecuacin es 5'' 0

2x x

Solucin (Problema 7)

Aplicando las condiciones iniciales

0 0,1, ' 0 0x x

tenemos: 5

0,1cos2

x t t

Solucin general:

tBtAtx

2

5sen

2

5cos)(


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17


Un cuerpo, cuya masa es de 1kg, se suspende

de un resorte en posicin vertical hasta

alcanzar la posicin de equilibrio. Luego, se

estira por debajo de dicha posicin m. y,

en el momento de soltarla, se le imprime una

velocidad inicial de m/s dirigida hacia

abajo.

Si el periodo del movimiento es de /2 s,

determine cunto se estir el resorte hasta

alcanzar la posicin de equilibrio.

Problema 8

Elperiodoes2

Tw

pero 2 2 2

1

k kw w w k

m

Luego, w k

Entonces 2

162

NmT k

k

PorlotantoporlaleydeHooke:

0

0 016 1 9,8 0,61

kx mg

x x m



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18


A un resorte amarrado al techo en

posicin vertical, cuya constante de

elasticidad es de 32 libras/pie, se le

coloca un cuerpo cuyo peso es de 4

libras. Una vez en equilibrio, el

resorte se contrae 3/4 pies y se le

imprime una velocidad de 12 pies/s

dirigida hacia arriba.

Determine la posicin x(t) del peso

en todo tiempot.

Problema 9

ElPVI

que

modela

el

problema

es:

1'' 32 0

8

30 , ' 0 12

4

x x

x x

8

1)32(4

lb/pie32

mmmgw

k



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19


De

donde

obtenemos:

Luego,

4/3)0(

4/31216)0(

)16cos(16)16sen(16)(

)16sen()16cos()(

1

22

21

21

cx

ccx

tctctx

tctctx

)16sen(4

3)16cos(

4

3)( tttx

Conclusiones EDOLPorejemplo

Para

resolverlo

SolucinhomogneaEDOLH

cuyasolucines

Solucingeneral

Solucin

particular

)cos(xyy

0 yy

x

h ecxccy 321

)cos()sen( xBxAyp

)cos(xyy pp

)cos(2

1)sen(

2

1xxy

p

)cos(2

1)sen(

2

1321 xxecxccyyy

x

ph


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Ejercicios de aplicacin

ResuelvalaEvaluacincontinuaN2

(Estecuestionarioestdisponibleenelaulavirtual)

Si quieres conocer ms

Te sugerimos leer tambin el captulo 4 del libro:

ZILL, Dennis (2009) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de

modelado. 9 edicin. Mxico, DF: Cengage Learning.

Pginas 118130, ejercicios 4.1 problemas: 15

pginas 133138, ejercicios 4.3 problemas: 130



pginas: 182191, ejercicios 5.1 problemas: 116

Observa el siguiente video:

YOUTUBE (2012) Solucin ecuaciones diferenciales homognas con

coeficientes constantes parte 2. (Consulta: 23 de Abril de 2013)

(http://www.youtube.com/watch?v=ogj3Cm_cpc)


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21


CORNEJO, Mara del Carmen, VILLALOBOS, Elosa y

QUINTANA, Pedro (2008) Mtodos de solucin de

ecuaciones diferenciales y aplicaciones. Mxico D.F.:

Editorial Revert.

ZILL, Dennis (2009) Ecuaciones diferenciales con

aplicaciones de modelado. 9 ed. Mxico, DF.: Cengage

Learning.

Bibliografa

Preguntas

Si, luego del estudio del MTA4,

tienes dudas sobre alguno de los

temas, ingresa al Aula Virtual y

participa en el foro de dudas

acadmicas de la semana 04.


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ECUACIONES

DIFERENCIALES

EPE

COPYRIGHTUPC2013

Continaconlasactividades

propuestasenelguiondel

estudiante.

Material producido para el curso deEcuaciones diferenciales EPE

Autor:Marco Antonio Tamariz Milla

Locucin: Carlos Vargas TrujilloProduccin: TICE

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