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Sumario
1 Grupos 4
1.1 Conceitos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Propriedades basicas de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Grupo das bijecoes-Permutacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Grupo simetrico de grau n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 O grupo S3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Subgrupos de S3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Para n ≥ 3, Sn nao e abeliano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.4 Grupo S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Normalizador de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2 Conjunto gerado por um elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.1 Congruencia modulo H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.2 Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Grupos cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.1 Homomorfismos e automorfismos de Grupos cıclicos . . . . . . . . . 37
1.6 Grupos diedrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.7 Homomorfismo de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.7.1 Automorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.7.2 f : G→ G com f(x) = axa−1 e automorfismo . . . . . . . . . . . . 47
1.7.3 Determinacao de homomorfismo entre dois grupos . . . . . . . . . . 50
1.7.4 Teorema de Cayley - G e isomorfo a um subgrupo de SG. . . . . . . 51
1.7.5 Teorema dos isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2
SUMARIO 3
1.8 O grupo Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.8.1 Ciclos de S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.8.2 Ciclos de S4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Capıtulo 1
Grupos
1.1 Conceitos basicos
Definicao 1 (Grupo). Um grupo e uma estrutura (G, ∗), formada por um conjunto G
munido de uma operacao ∗, que satisfaz as seguintes propriedades
1. Associatividade
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
2. Existe um elemento neutro e ∈ G tal que a ∗ e = a = e ∗ a.
3. Existencia de inverso. Para qualquer elemento a ∈ G existe a−1 ∈ G tal que
a ∗ a−1 = e = a−1 ∗ a. Para quaisquer a, b e c ∈ G. Denotamos o grupo por (G, ∗),
caso esteja subentendida a operacao ∗, podemos denotar o grupo apenas por G .
Propriedade 1. Poderıamos pedir apenas que houvesse um elemento neutro a direita e,
tal que a ∗ e = a e isso implica e tambem e um elemento neutro a esquerda, pois
a = a ∗ e = a ∗ (a−1 ∗ a) = (a ∗ a−1) ∗ a = e ∗ a,
da mesma maneira poderıamos definir apenas elemento neutro a esquerda.
Definicao 2 (Semi-grupo). Em um semi-grupo vale apenas a associatividade.
4
CAPITULO 1. GRUPOS 5
Definicao 3 (Monoide). E um semigrupo onde existe elemento neutro .
Definicao 4 (Magma ou grupoide). Vale apenas que a operacao e fechada .
Definicao 5 (Ordem de um grupo). Dado um grupo (G, ∗), existem duas possibilidades
• G e um conjunto finito, digamos, com n elementos. Nesse caso dizemos que o grupo
(G, ∗) e finito e simbolizamos |G| = n (le-se: ordem de G e n ou ordem de G e igual
a n ).
• G e um conjunto infinito, nesse caso simbolizamos |G| = ∞, dizemos que a ordem
do grupo e infinita.
Definicao 6 (Grupo abeliano). Um grupo e dito abeliano quando vale a propriedade
a ∗ b = b ∗ a para todos a, b ∈ G. Grupos abelianos sao tambem chamados de grupos
comutativos. Grupos nao abelianos sao chamados de grupos nao comutativos.
Exemplo 1. Para n ≥ 1, (Zn,+) e um grupo abeliano com n elementos.
Exemplo 2. Para n ≥ 2 (Z∗n,×) e um grupo abeliano com ϕ(n) elementos.
Corolario 1. Se um grupo G nao e abeliano, entao existem x, y ∈ G tais que x∗y 6= y∗x.
Exemplo 3. • Se (A,+, .) e um anel, entao (A,+) e um grupo abeliano.
• Se (K,+, .) e um corpo, entao (K,+) e um grupo abeliano e (K \ {0}, .) tambem.
Podemos tomar K como R, Q, C ou Zp.
• (Z,+) e grupo abeliano infinito .
Propriedade 2. Seja G = {e, g1, g2, · · · , gn} um grupo abeliano de ordem n + 1. Se G
possui um unico elemento de ordem 2 entao
n∏k=1
gk = g1.
CAPITULO 1. GRUPOS 6
Demonstracao. x 6= e e de ordem 2 ⇔ x2 = e. Alem de g1 nao ha outro elemento
de ordem 2 entao o inverso de cada gk deve pertencer ao conjunto {gs, s 6= k, 1, s ∈ In}
portanton∏k=2
gk = e,pois cada elemento e multiplicado pelo seu inverso, daı
n∏k=1
gk = g1.
Definicao 7 (Grupo linear). Definimos o grupo GL(N,K) chamado grupo linear geral
sobre K, como (Mn×n(K)∗, .) onde K e um corpo.
1.1.1 Propriedades basicas de grupos
Propriedade 3 (Unicidade do elemento neutro). Existe um unico elemento neutro e.
Demonstracao. Suponha dois elementos neutros e e e′, vale e ∗ e′ = e e e ∗ e′ = e′,
daı e = e′.
Para demonstrar essa propriedade precisamos apenas da operacao e da definicao de
elemento neutro, a demonstracao nao depende das outras propriedades de grupo, entao
outras estruturas algebricas que possuem elemento neutro ainda possuem unicidade dele.
Propriedade 4 (Lei do corte a esquerda). Se a ∗ b = a ∗ c entao b = c.
Demonstracao.
b = e ∗ b = (a−1 ∗ a) ∗ b = a−1 ∗ (a ∗ b) = a−1 ∗ (a ∗ c) = (a−1 ∗ a) ∗ c = e ∗ c = c.
Nesse caso usamos a existencia do elemento neutro, existencia do inverso e associatividade,
todas as propriedades que pedimos para um grupo. Entao em grupos vale a lei do corte.
Propriedade 5 (Lei do corte a direita). Se b ∗ a = c ∗ a entao b = c.
Demonstracao.
b = b ∗ e = b ∗ (a ∗ a−1) = (b ∗ a) ∗ (a−1) = (c ∗ a) ∗ a−1 = c ∗ (a ∗ a−1) = c ∗ e = c.
Entao em grupos vale a lei do corte a direita e a esquerda.
Propriedade 6 (Unicidade do inverso). Para cada elemento a ∈ G existe um unico a−1
tal que a ∗ a−1 = e.
CAPITULO 1. GRUPOS 7
Demonstracao. Suponha que existam dois elementos a′ e b′ que sejam inversos de
um dado a, entao vale
a ∗ a′ = e = a ∗ b′
por lei do corte segue que a′ = b′, fica assim provada a unicidade.
Demonstracao.[2] Outra demonstracao pode ser feita como se segue a′ = a′.e =
a′(a.b′) = (a′a)b′ = b′.
Propriedade 7. (a−1)−1 = a.
Demonstracao. Como vale a.a−1 = e segue que (a−1)−1 = a, por unicidade do
inverso.
Propriedade 8. (a.b)−1 = b−1.a−1.
Demonstracao. (a.b)(b−1.a−1) = a.e.a−1 = e, por unicidade do inverso segue que o
inverso de a.b e (a.b)−1 = b−1.a−1.
Propriedade 9. Se a, b ∈ G entao xa = b⇔ x = ba−1, isto e, a equacao xa = b tem uma
unica solucao x = ba−1. De maneira similar ax = b⇔ x = a−1b.
Demonstracao.
⇒).
xa = b⇒ multiplicando por a−1 a direita tem-se x = ba−1.
O mesmo para ax = b, multiplicando por a−1 a esquerda tem-se x = a−1b.
⇐).
Tomando x = ba−1 entao ba−1a = b.
Para ax = b, tomamos x = a−1b segue a(a−1b) = b.
Propriedade 10. Sejam a, b ∈ R com a 6= 0. Definindo σ(a,b) : R → R por σ(a,b)(x) =
ax + b para cada x ∈ R. Entao o conjunto G = {σ(a,b), a, b ∈ R, a 6= 0} com a operacao
de composicao de funcoes e um grupo.
Demonstracao. Primeiro vamos mostrar que a operacao e fechada sobre G, vamos
simbolizar (a, b) ao inves de σ(a,b), temos que
(a, b) ◦ (a′, b′)(x) = a(a′x+ b′) + b = a.a′x+ a.b′ + b = (a.a′, a.b′ + b)(x)
CAPITULO 1. GRUPOS 8
Escrevemos entao
(a, b) ◦ (a′, b′) = (a.a′, a.b′ + b)
a operacao e fechada, pois como a 6= 0 e a′ 6= 0 sao reais temos a.a′ 6= 0 e a.b′ + b e um
numero real.
Existencia de elemento neutro . Existe elemento neutro para a operacao (1, 0),
tal elemento e realmente neutro pois
(a, b)(1, 0) = (a.1, a.0 + b) = (a, b).
Existencia de inverso. Para cada elemento (a, b) existe um inverso (a−1,−b.a−1)
tal que (a, b)(a−1,−b.a−1) = (1, 0), a propriedade realmente vale , pois
(a, b)(a−1,−b.a−1) = (aa−1, a.(−b).a−1 + b) = (1, 0).
Associatividade. Segue da associatividade de composicao de funcoes. Entao temos
realmente um grupo .
O grupo e nao abeliano pois
(2, 3) ◦ (3, 4) = (6, 11) 6= (3, 4) ◦ (2, 3) = (6, 13).
O centro de G (conjunto dos elementos que comutam com todos os outros elementos)
contem apenas a identidade, pois dado um elemento diferente da identidade (x, y), x 6= 1 e
y 6= 0 existe um elemento que nao comuta com ele da forma (1, w) com w > 0 se 1−x > 0
(logo w(1− x) > 0) e w < 0 se 1− x < 0 (logo tambem w(1− x) > 0), pois
(x, y)(1, w) = (x, xw + y), (1, w)(x, y) = (x, y + w)
daı vale sempre y +w > y + xw pois equivale a w > xw ⇔ w(1− x) > 0 que sempre vale
pelo que observamos anteriomente
CAPITULO 1. GRUPOS 9
Propriedade 11 (Produto direto). Sejam (Gk, ∗k)n1 grupos, entao o produto cartesianon∏k=1
Gk e um grupo com a operacao ∗ definida por
(xk)n1 ∗ (yk)
n1 = (xk ∗k yk)n1
Demonstracao.
• Existe elemento neutro (ek)n1 onde ek e o elemento neutro de Gk, tal que
(ek)n1 ∗ (xk)
n1 = (ek ∗k xk)n1 = (xk)
n1
• Existe inverso para cada (xk)n1 que e (x−1
k )n1 pois
(xk)n1 ∗ (x−1
k )n1 = (xk ∗k x−1k )n1 = (ek)
n1 .
• Vale a associatividade
((xk)n1 ∗ (yk)
n1 ) ∗ (zk)
n1 = (xk ∗k yk)n1 ∗ (zk)
n1 = (xk ∗k yk ∗k zk)n1
(xk)n1 ∗ ((yk)
n1 ∗ (zk)
n1 ) = (xk)
n1 ∗ (yk ∗k zk)n1 = (xk ∗k yk ∗k zk)n1
Definicao 8 (Produtorio). Definimos dois tipos de produtorios, o produtorio a direita
n∏k=1,d
ak = a1. · · · .an
e o produtorio a esquerdan∏
k=1,e
ak = an. · · · .a1
eles podem ser definidos indutivamente
n+1∏k=1,d
ak = [n∏
k=1,d
ak]an+1
com1∏
k=1,d
ak = a1 e0∏
k=1,d
ak = e.
n+1∏k=1,e
ak = an+1[n∏
k=1,e
ak]
com1∏
k=1,e
ak = a1 e0∏
k=1,e
ak = e.
CAPITULO 1. GRUPOS 10
Propriedade 12 (Produto telescopico). Valem as identidades
n∏k=1,d
f(k)−1f(k + 1) = f(1)−1f(n+ 1)
n∏k=1,e
f(k + 1)f(k)−1 = f(n+ 1)f(1)−1
Demonstracao. Por inducao sobre n, para n = 1 ambas valem
1∏k=1,d
f(k)−1f(k + 1) = f(1)−1f(2)
1∏k=1,e
f(k + 1)f(k)−1 = f(2)f(1)−1
supondo para n, vamos provar para n+ 1
n+1∏k=1,d
f(k)−1f(k + 1) = [n∏
k=1,d
f(k)−1f(k + 1)][f(n+ 1)−1f(n+ 2)] =
= f(1)−1f(n+ 1)[f(n+ 1)−1f(n+ 2)] = f(1)−1f(n+ 2)
n+1∏k=1,e
f(k + 1)f(k)−1 = [f(n+ 2)f(n+ 1)−1]n∏
k=1,e
f(k + 1)f(k)−1 =
= [f(n+ 2)f(n+ 1)−1]f(n+ 1)f(1)−1 = f(n+ 2)f(1)−1
Corolario 2.
n∏k=1,e
f(k + 1)f(k)−1
n∏k=1,d
f(k)−1f(k + 1) = f(n+ 1)f(1)−1f(1)−1f(n+ 1) = f(n+ 1)2
Propriedade 13. Se cada Gk e abeliano, entaon∏k=1
Gk e abeliano.
Demonstracao.
(xk)n1 ∗ (yk)
n1 ) = (xk ∗k yk)n1 = (yk ∗k xk)n1 = (yk)
n1 ∗ (xk)
n1 .
Propriedade 14. Se existe um s ∈ In tal que Gs nao e abeliano, entaon∏k=1
Gk nao e
abeliano.
CAPITULO 1. GRUPOS 11
Demonstracao. Existem xs e ys ∈ Gs tais que xs ∗s ys 6= ys ∗s xs e daı
(xk)n1 ∗ (yk)
n1 ) = (xk ∗k yk|s−1
1 , xs ∗s ys, xk ∗k yk|ns+1) 6= (yk ∗k xk|s−11 , ys ∗s xs, yk ∗k xk|ns+1)
pois sao distintos na s-esima coordenada.
1.1.2 Grupo das bijecoes-Permutacoes
Definicao 9 (Grupo das bijecoes-Permutacoes). Seja A um conjunto nao vazio . Defini-
mos a estrutura (SA, ◦), como o conjunto
SA = {f : A→ A | f e bijecao}
munido da operacao de composicao de funcoes. Podemos denotar SA tambem por P (A).
Propriedade 15. (SA, ◦) e um grupo.
Demonstracao. Sabemos que a composicao de funcoes bijetoras ainda e uma funcao
bijetora, logo o conjunto e fechado em relacao a operacao de composicao. A composicao
e associativa. Possui elemento neutro que e a funcao I : A → A definida como
I(x) = x,∀x ∈ A, essa funcao e realmente o elemento neutro pois dada uma f ∈ SA e
x ∈ A arbitrario , vale
f(I(x)) = f(x) = I(f(x))
logo I ◦ f = f ◦ I.Dada uma funcao bijetora f : A→ A, podemos sempre definir a inversa de f , f−1, tal
que
f(f−1(x)) = x = f−1(f(x))
logo para qualquer f em SA existe f−1 em SA tal que f ◦ f−1 = I = f−1 ◦ f , logo temos a
existencia de inverso. Assim (SA, ◦) e um grupo. Denotaremos o grupo (SA, ◦) apenas
como SA .
1.2 Grupo simetrico de grau n
Definicao 10 (Grupo simetrico de grau n). Em SA, se tomamos A = In = {1, · · · , n} o
grupo SIn sera denotado por Sn e sera chamado de grupo simetrico de grau n.
CAPITULO 1. GRUPOS 12
Definicao 11 (Permutacao). Todo elemento de Sn e chamado de permutacao e Sn e
chamado de grupo das permutacoes de n elementos.
Propriedade 16. |Sn| = n!.
1.2.1 O grupo S3.
Grupo S3 elementos
I =
(1 2 3
1 2 3
), f6 = σ ◦ τ =
(1 2 3
1 3 2
), f5 = σ ◦ τ 2 =
(1 2 3
3 2 1
)
σ =
(1 2 3
2 1 3
), f4 = τ 2 =
(1 2 3
3 1 2
), τ =
(1 2 3
2 3 1
)Todos os elementos podem ser gerados pelos elementos σ e τ
f4 = τ 2 =
(1 2 3
2 3 1
)◦
(1 2 3
2 3 1
)=
(1 2 3
3 1 2
)
f6 = σ ◦ τ =
(1 2 3
2 1 3
)◦
(1 2 3
2 3 1
)=
(1 2 3
1 3 2
)
f5 = σ ◦ τ 2 =
(1 2 3
2 1 3
)◦
(1 2 3
3 1 2
)=
(1 2 3
3 2 1
)
σ2 = I =
(1 2 3
2 1 3
)◦
(1 2 3
2 1 3
)=
(1 2 3
1 2 3
)Por σ2 = I o inverso de σ e σ. O inverso de f4 e τ , pois
f4 ◦ τ =
(1 2 3
3 1 2
)◦
(1 2 3
2 3 1
)=
(1 2 3
1 2 3
)
e como f4 = τ 2, temos que f4 ◦ τ = τ 2 ◦ τ = τ 3 = I. f6 ◦ f6 = I, pois
f6 ◦ f6 =
(1 2 3
1 3 2
)◦
(1 2 3
1 3 2
)=
(1 2 3
1 2 3
)
e finalmente f5 ◦ f5 = I, pois
CAPITULO 1. GRUPOS 13
f5 ◦ f5 =
(1 2 3
3 2 1
)◦
(1 2 3
3 2 1
)=
(1 2 3
1 2 3
)Entao temos os inversos
σ ◦ σ = I
f4 ◦ τ = I
f6 ◦ f6 = I
f5 ◦ f5 = I
I ◦ I = I
σ ◦ σ = I
τ 2 ◦ τ = I
(σ ◦ τ 2) ◦ (σ ◦ τ 2) = I
(σ ◦ τ) ◦ (σ ◦ τ) = I
I ◦ I = I
O conjunto dos elementos de S3
S3 = {I, σ, τ, τ 2, σ ◦ τ, σ ◦ τ 2}
1.2.2 Subgrupos de S3.
Propriedade 17. Os subgrupos nao triviais de S3 sao
• {I, σ}.
• {I, σ ◦ τ}.
• {I, σ ◦ τ 2}.
• {I, τ, τ 2}.
Demonstracao.
CAPITULO 1. GRUPOS 14
• Temos que σ2 = I logo existe o subgrupo {I, σ2}.
• Como f6 = σ ◦ τ e f6 ◦ f6 = I, entao temos o subgrupo {I, σ ◦ τ}.
• Temos que f5 ◦ f5 = I e f5 = σ ◦ τ 2, entao {I, σ ◦ τ 2} e subgrupo.
•
O subconjunto K = {I, τ, τ 2} e um subgrupo de S3.
Exemplo 4. Seja a funcao definida por ϕ(x) = x−1 de S3 em S3, mostrar que nao e
um automorfismo. Para ser um homomorfismo precisamos que para todo elemento x e y
em S3, ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), logo (xy)−1 = x−1y−1. vamos tomar x = f4 e y = f5, temos
f4f5 = σ, pois
f4 ◦ f5 =
1 2 3
3 1 2
◦ 1 2 3
3 2 1
=
1 2 3
2 1 3
= σ
mas sabemos que σ−1 = σ, e temos ϕ(f4f5) = [f4f5]−1 = [σ]−1 = σ e ϕ(f4) = [f4]−1 =
τ , ϕ(f5) = [f(5)]−1 = f5), assim ϕ(f4)ϕ(f5) = τf5
τ ◦ f5 =
1 2 3
2 3 1
◦ 1 2 3
3 2 1
=
1 2 3
1 3 2
= f6 6= σ
logo nao e um homomorfismo, nao podendo ser um automorfismo tambem.
1.2.3 Para n ≥ 3, Sn nao e abeliano.
Propriedade 18. Para n ≥ 3, Sn nao e abeliano.
Demonstracao. Vamos mostrar bijecoes f e g tais que f ◦ g 6= g ◦ f. Sejam
f =
(1 2 3 · · ·1 3 2 · · ·
)e g =
(1 2 3 · · ·2 1 3 · · ·
)
f ◦ g =
(1 2 3 · · ·3 1 2 · · ·
)e g ◦ f =
(1 2 3 · · ·2 3 1 · · ·
)sao diferentes, logo o grupo nao e comutativo.
CAPITULO 1. GRUPOS 15
1.2.4 Grupo S4
Grupo S4 elementos
I =
(1 2 3 4
1 2 3 4
)f1 =
(1 2 3 4
2 1 4 3
)f2 =
(1 2 3 4
3 4 1 2
)f3 =
(1 2 3 4
4 3 2 1
)
f4 =
(1 2 3 4
2 3 4 1
)f5 =
(1 2 3 4
3 4 2 1
)f6 =
(1 2 3 4
4 1 2 3
)f7 =
(1 2 3 4
2 1 3 4
)
f8 =
(1 2 3 4
2 3 1 4
)f9 =
(1 2 3 4
2 4 3 1
)f10 =
(1 2 3 4
2 4 1 3
)f11 =
(1 2 3 4
3 2 4 1
)
f12 =
(1 2 3 4
3 2 1 4
)f13 =
(1 2 3 4
3 1 2 4
)f14 =
(1 2 3 4
3 1 4 2
)f15 =
(1 2 3 4
4 3 1 2
)
f16 =
(1 2 3 4
4 1 3 2
)f17 =
(1 2 3 4
4 2 1 3
)f18 =
(1 2 3 4
4 2 3 1
)f19 =
(1 2 3 4
1 2 4 3
)
f20 =
(1 2 3 4
1 3 4 2
)f21 =
(1 2 3 4
1 3 2 4
)f22 =
(1 2 3 4
1 4 2 3
)f23 =
(1 2 3 4
1 4 3 2
)
Definicao 12 (Estrutura dos quaternios). Definimos a estrutura dos quaternios como o
conjunto
1.3 Subgrupos
Propriedade 19 (Subgrupo). Um subconjunto H nao-vazio de um grupo G e um sub-
grupo de G quando
• Se a ∈ H entao a−1 ∈ H.
CAPITULO 1. GRUPOS 16
• Se a ∈ H e b ∈ H entao a.b ∈ H.
Se H e subgrupo de G, denotamos tal fato por H < G.
Corolario 3. e o elemento neutro pertence a um subgrupo , pois a ∈ H implica a−1 ∈ H
e pela segunda propriedade aa−1 = e ∈ H.
Exemplo 5. D4 = {I, f4, f2, f6, f3, f1, f23, f12} ⊂ S4 e subgrupo nao abeliano .
Propriedade 20. H nao vazio e um subgrupo de G ⇔ com a operacao de G, H e um
grupo.
Demonstracao.
⇒).
• O produto e fechado em H.
• O elemento neutro pertence a H.
• O inverso de cada elemento esta em H.
• A propriedade associativa vale, pois os elementos de H sao elementos de G onde
vale a associatividade.
Com isso concluımos que H e um grupo.
⇐).
Seja H e um grupo contido em G.
• O produto e fechado em H, pois H e grupo.
• O elemento neutro e′ de H e o mesmo elemento neutro e de G, pois dado a ∈ H ⊂ G
tem-se a.e′ = a que podemos ver como operacao em G, como o elemento neutro e
unico tem-se e′ = e.
• O inverso a′ de um elemento a ∈ H ⊂ G e o mesmo inverso de a em G, pois vale
aa′ = e, essa operacao vista em G, como temos a unicidade de inverso em G segue
que a′ = a−1.. O inverso de cada elemento a ∈ H esta contido em H, pois H e
grupo.
CAPITULO 1. GRUPOS 17
Exemplo 6 (Subgrupos triviais). Os subconjuntos {e} e H de um grupo H sao chamados
subgrupos triviais. H e grupo, entao satisfaz as condicoes de ser subgrupo, {e} tambem e
subgrupo, pois e.e = e, logo e fechado, o elemento neutro esta no conjunto {e} e o inverso
de e tambem e e, logo ele e um subgrupo de H.
Propriedade 21. Se Hk e subgrupo de Gk entaon∏k=1
Hk e subgrupo den∏k=1
Gk.
Demonstracao.
• O elemento neutro den∏k=1
Gk e (ek)n1 , mas como Hk e subgrupo de Gk entao ek ∈ Hk
e daı (ek)n1 ∈
n∏k=1
Hk.
• Dado (ak)n1 ∈
n∏k=1
Hk entao cada ak ∈ Hk, implicando que a−1k ∈ Hk, pois Hk e
subgrupo, daı (a−1k )n1 ∈
n∏k=1
Hk e pelo que ja demonstramos (a−1k )n1 e o inverso de
(ak)n1 .
• Dados (ak)n1 , (bk)
n1 ∈
n∏k=1
Hk entao ak, bk ∈ Hk, como sao subgrupos vale ak.bk ∈ Hk
e daı (ak.bk)n1 ∈
n∏k=1
Hk.
Propriedade 22. Se H ⊂ G e um subconjunto finito fechado com a operacao de G,
entao H e subgrupo de G.
Demonstracao. Se H = {e} entao ele e subgrupo. Se nao tomamos um elemento
arbitrario a 6= e ∈ H, como ele e finito, entao existem s > t ∈ N tais que as = at, com
s > t, existe p natural tal que t+ p = s e daı at+p = atap = at, pela lei do corte segue que
ap = e ∈ H. Entao o elemento neutro esta nele. Tal p deve ser maior que 1, pois a 6= e.
Vale p > 1 daı p ≥ 2, p − 1 ≥ 1 natural e aap−1 = ap = e logo existe inverso para todo
elemento de H, entao ele e subgrupo.
Propriedade 23. Se H e K sao subgrupos de G entao H ∩K e subgrupo de G.
Demonstracao. e ∈ H ∩ K pois H e K sao subgrupos entao e ∈ H,K. Suponha
a, b ∈ H ∩ K entao a.b ∈ H,K daı a.b ∈ H ∩ K. Da mesma maneira a−1 ∈ H,K logo
a−1 ∈ H ∩K .
CAPITULO 1. GRUPOS 18
Propriedade 24. Em geral se cada Hk, k ∈ A e uma famılia qualquer de subgrupos de
G entao ⋂k∈A
Hk
e um subgrupo de G.
Demonstracao.
• Se h1, h2 em⋂k∈A
Hk entao h1, h2 ∈ Hk ∀ k ∈ A, entao pelo fato de serem subgrupos
tem-se h1h2 ∈ Hk o que implica h1h2 ∈⋂k∈A
Hk.
• Se h ∈⋂k∈A
Hk entao h ∈ Hk para cada k, por isso h−1 ∈ Hk pelo fato de cada Hk
ser subgrupo, entao h−1 ∈∈⋂k∈A
Hk. Com essas duas propriedades mostramos que⋂k∈A
Hk e subgrupo de G.
Propriedade 25. H ∪K e subgrupo de G sse H ⊂ K ou K ⊂ H.
Demonstracao. ⇒ . Temos que provar que H ∪K e subgrupo de G entao H ⊂ K
ou K ⊂ H. Vamos usar a contrapositiva e mostrar que H 6⊂ K e K 6⊂ H entao H ∪ Knao e subgrupo de G. Existem elementos a ∈ H, a /∈ K e b ∈ K, b /∈ H, porem vale
a, b ∈ H ∪K, se H ∪K fosse subgrupo de G entao teria que valer a.b ∈ H ∪K, entao a.b
teria que pertencer a um dos conjuntos. Suponha sem perda de generalidade que a.b ∈ H, como H e subgrupo e a ∈ H, entao a−1 ∈ H, pelo fechamento de produto em subgrupo
terıamos que ter a−1.a.b = b ∈ H o que e absurdo! Entao H ∪K nao pode ser subgrupo
nessas condicoes.
⇐. Suponha que K ⊂ H, entao H ∪K = H que e subgrupo de G.
Definicao 13. Sendo H um subconjunto qualquer de um grupo G, definimos
aHa−1 = {aha−1 | h ∈ H}.
Corolario 4.
eHe−1 = {ehe−1 = h | h ∈ H} = H
entao eHe−1 = H.
CAPITULO 1. GRUPOS 19
Propriedade 26. Sejam H um subgrupo de G e a ∈ G fixo. Entao
aHa−1 = {aha−1 | h ∈ H}
e subgrupo de G.
Demonstracao.
• O elemento neutro esta no conjunto. e ∈ aHa−1, pois e ∈ H, daı aea−1 = e ∈aHa−1.
• O produto e fechado . Dados aha−1 e aya−1 entao aha−1aya−1 = a (hy)︸︷︷︸∈H
a−1 ∈
aHa−1.
• O inverso pertence ao conjunto . Dado aha−1 entao ah−1a−1 ∈ aHa−1 pois h−1 ∈ H,
daı o produto aha−1ah−1a−1 = e, entao aHa−1 e subgrupo de G.
Propriedade 27 (Subgrupos de (Z,+)). A e subgrupo de (Z,+) ⇔ A = (nZ,+) para
algum n ∈ N.
Onde nZ = {nx | x ∈ Z} .
Demonstracao.
⇐). Sendo n fixo nZ e subgrupo de Z.
• Dados a, b ∈ nZ, existem x, y ∈ Z tais que nx = a e ny = b, logo sua soma e
nx+ ny = n(x+ y) ∈ nZ, a adicao e fechada.
• Dado a ∈ nZ existe x ∈ Z tal que a = nx, da mesma maneira n(−x) = −nx =
−a ∈ nZ sua soma e 0.
⇒).
Seja H < Z. Se H = {0} entao H = 0Z. Se H 6= {0}, seja n = {x ∈ H, x > 0} daı
nZ ⊂ H, pois dado m fixom∑k=1
n = mn ∈ H
pois H e subgrupo e tambem mn ∈ H. Seja t ∈ H entao t = nq + r com 0 ≤ r < n por
divisao euclidiana, daı t−nq = r ∈ H entao r = 0. pois caso contrario irıamos contrariar
a minimalidade de n, portanto qualquer tzinH e da forma nq e H ⊂ nZ o que implica
A = nZ.
CAPITULO 1. GRUPOS 20
1.3.1 Normalizador de H
Definicao 14 (Normalizador de H). Seja H um subgrupo de (G, .). O normalizador de
H e o conjunto
N(H) = {x ∈ G|xHx−1 = H}.
Propriedade 28. N(H) e subgrupo de G.
Demonstracao.
• e ∈ N(H) como ja provamos.
• Suponha a, b ∈ N(H), vamos provar que a.b ∈ N(H), isto e a.bH(ab)−1 = H. Temos
que axa−1 ∈ H e byb−1 ∈ H ∀x, y ∈ H daı a (byb−1)︸ ︷︷ ︸=x∈H
a−1 ∈ H. Com isso mostramos
que a.bH(ab)−1 ⊂ H.
Vamos mostrar agora que H ⊂ a.bH(ab)−1. Como vale H ⊂ aHa−1 e H ⊂ bHb−1
entao para qualquer y ∈ H existem v, u ∈ H tal que y = ava−1 e v = bub−1 , daı
y = a.bub−1a−1 provando que H ⊂ a.bH(ab)−1.
• Vamos provar que se a ∈ N(H) entao a−1 ∈ N(H), isto e aHa−1 = H implica
a−1Ha = H.
De aHa−1 ⊂ H implica que ∀y ∈ H ∃t ∈ H tal que aya−1 = t e daı y = a−1ta de
onde segue H ⊂ a−1Ha.
De H ⊂ aHa−1 tem-se que ∀y ∈ H, ∃t ∈ H tal que y = ata−1 que implica a−1ya = t
e daı a−1Ha ⊂ H. Como vale a−1Ha ⊂ H. e H ⊂ a−1Ha. entao H = a−1Ha .
Propriedade 29. Se (G, .) e um grupo abeliano e a e b ∈ G vale
(a.b)n = an.bn
para todo n ∈ Z.
Demonstracao. Para n natural temos, por inducao, n = 0
(a.b)0 = e = a0.b0 = e.e.
CAPITULO 1. GRUPOS 21
Supondo para n
(a.b)n = an.bn
temos que provar
(a.b)n+1 = an+1.bn+1
da definicao temos
(a.b)n+1 = (a.b)(a.b)n = a.b.an.bn = a.an.b.bn = an+1.bn+1
com isso provamos para n natural. Para n inteiro, temos
(a.b)−n(a.b)n = e = (a.b)−n.an.bn = e
multiplicando por b−n.a−n
(a.b)−n = b−n.a−n.
1.3.2 Conjunto gerado por um elemento
Definicao 15 (Conjunto gerado por um elemento). Seja a ∈ G (G um grupo), o conjunto
< a >= {an | n ∈ Z}
e chamado de conjunto gerado por a.
Propriedade 30. O conjunto < a > munido da operacao do conjunto G e um subgrupo
de G.
Demonstracao. A operacao e fechada, pois sendo b ∈< a > vale b = am para algum
m e c ∈< a > implica c = an, para algum n, o produto b.c = am.an = am+n ∈< a > .
O elemento neutro e = a0 pertence ao conjunto.
O inverso de um elemento b = am ∈< a > pertence ao conjunto pois a−m ∈< a > e
vale
a−mam = a0 = e = ama−m.
Entao < a > e um subgrupo de G, chamado de subgrupo gerado por a.
Definicao 16 (Ordem de um elemento). Se < a > e finito, chamamos | < a > | de ordem
de a e escrevemos o(a) = | < a > |. Quando < a > e infinito, dizemos que a ordem de a
e infinita e escrevemos o(a) =∞.
CAPITULO 1. GRUPOS 22
Propriedade 31. Seja H um subgrupo de (Z,+) entao existe n ∈ N tal que H =< n > .
Demonstracao. Se H = {0} entao e gerado por 0. Se H 6= {0} entao existe a 6= 0 ∈ He daı a > 0 ou −a > 0, entao o conjunto A = {x > 0 ∈ H} e nao vazio limitado
inferiormente, logo possui menor elemento n, tem-se que < n >⊂ H agora vamos mostrar
que H ⊂< n > . Dado m ∈ H tem-se por divisao euclidiana m = qn+ r onde 0 ≤ r < n
daı m− qn = r ∈ H se r > 0 irıamos contrariar a minimalidade de n, entao r = 0 e todo
elemento e da forma q.n.
Exemplo 7. (Z,+) e um grupo cıclico, que possui geradores 1 e −1.
Propriedade 32. Para todo n ∈ N existe um grupo cıclico com n elementos.
Demonstracao. Zn e grupo cıclico com n elementos, gerado por 1.
Exemplo 8. Seja f4 ∈ S4 como definido anteriormente entao < f4 >= {I, f4, f24 , f
34}.
Exemplo 9. Existem grupos cıclicos com n elementos tanto para a multiplicacao, quanto
para a adicao. O modelo aditivo e dado pelas raızes n-esimas da unidade
wk = cos(kπ
n) + isen(
kπ
n)
com k ∈ [0, n− 1]N .
Propriedade 33. Se a ∈< b > e b ∈< a > entao < a >=< b > .
Demonstracao. Se a ∈< b > entao as ∈< b > para todo s ≥ 0, por < b > ser grupo,
da mesma maneira a−s ∈< b > pois a−s e inverso de as, isso implica que < a >⊂< b >,
da mesma maneira < b >⊂< a > mostrando que < a >=< b > .
Corolario 5. o(a) = o(a−1) pois a ∈< a−1 > e a−1 ∈< a > logo < a >=< a−1 >,
implicando o(a) = o(a−1).
1.4 Teorema de Lagrange
Vamos considerar sempre H um subgrupo de um grupo G.
CAPITULO 1. GRUPOS 23
1.4.1 Congruencia modulo H
Definicao 17 (Congruencia modulo H). Sejam a, b ∈ H, dizemos que
a ≡ b mod H ⇔ a.b−1 ∈ H.
, caso contrario denotamos a /≡ b mod H .
Propriedade 34. A congruencia modulo H e uma relacao de equivalencia.
Demonstracao.
• Vale a propriedade reflexiva a ≡ a mod H, pois a.a−1 = e ∈ H, pois H e subgrupo .
• Vale a propriedade de simetria, pois a ≡ b mod H significa que a.b−1 ∈ H, como
H e subgrupo entao o inverso de a.b−1 que e b.a−1 tambem pertence a H, daı
b ≡ a mod H.
• Vale a transitividade, se a ≡ b mod H e b ≡ c mod H devemos mostrar que
a ≡ c mod H, das hipoteses tem-se a.b−1 = h e b.c−1 = h′ multiplicando a primeira
por h′ a direita segue a.b−1b.c−1 = h.h′ = a.c−1 = h.h′ como H e subgrupo temos o
produto h.h′ = h′′ ∈ H logo vale a ≡ c mod H .
Definicao 18 (Classes a direita e a esquerda.). Classe de equivalencia de a em G e
a = {x ∈ G| x ≡ a mod H} = {x ∈ G| x.a−1 ∈ H} =
= {x ∈ G| x.a−1 = h ∈ H} = {x ∈ G| x = ha, h ∈ H} = Ha.
Ha e chamado classe a direita de H. Da mesma maneira definimos a classe a esquerda
de a
aH = {x ∈ G| x = a.h, h ∈ H}.
As notacoes aH e Ha podem ser boas por dar a ideia intuitiva de que , por exemplo,
aH e o conjunto formado pelo produto de a por todos os elementos de H.
Corolario 6. Quando o grupo e abeliano as classes a direita sao tambem classes a es-
querda.
CAPITULO 1. GRUPOS 24
Propriedade 35. As classes a direita Ha e a esquerda aH tem a mesma cardinalidade
de H.
Demonstracao. A funcao f de H em Ha definida como f(h) = ha e uma bijecao.
Suponha f(h) = f(h′) logo ha = h′a, multiplicando por a−1 a direita segue h = h′ logo a
funcao e injetora. Agora f e sobrejetora, pois dado y em Ha ele e da forma ha = f(h).
A funcao ψ de H em aH dada por f(h) = ah e uma bijecao, pois f(h) = f(h′) logo
ah = ah′ multiplicando a esquerda por a−1 segue h = h′ e tambem sobrejetora pois dado
y ∈ aH ele e da forma a.h = f(h).
Concluımos entao que |H| = |Ha| = |aH|.
1.4.2 Teorema de Lagrange
Teorema 1 (Teorema de Lagrange). Se G e um grupo finito e H um subgrupo qualquer
de G entao |H| divide |G|.
Demonstracao. Existe um numero finito de classes de congruencia de H em G, entao
G =⋃k∈A
Hk
onde A e finito e a uniao e disjunta , entao de propriedade de somatorios sobre conjuntos1
vale que
|G| =∑k∈A
|Hk|︸︷︷︸=|H|
=∑k∈A
|H| = |H||A|
|A| = (G : H) e o numero de classes distintas entao
(G : H) =|G||H|
.
Corolario 7. Se |G| = p, com p primo, entao os unicos subgrupos de G sao os triviais G
e {e}.
Propriedade 36. Se H,K sao subgrupos finitos de G tais que mdc(|H|, |G|) = 1 entao
H ∩K = {e}.1Ver texto sobre somatorio sobre conjuntos.
CAPITULO 1. GRUPOS 25
Demonstracao. H ∩K e subgrupo de G, pois H e K sao subgrupos de G. Suponha
que exista a 6= e ∈ H ∩ K, entao < a > e subgrupo de H ∩ K. Porem o(a) ≥ 2 e pelo
teorema de Lagrange o(a)| |H|, |K| logo mdc(|H|, |G|) nao poderia ser 1 contradizendo a
hipotese. Temos entao que H ∩K = {e}.
Definicao 19 (Sistema de representantes). Dada uma particao de um conjunto, um
sistema de representantes e um conjunto S =⋃a∈Γ
{xa} que tem exatamente um elemento
em cada subconjunto da particao. A cardinalidade de qualquer sistema de representantes
das classes laterais a esquerda de H em G e igual a (G : H).
1.5 Grupos cıclicos
Definicao 20 (Grupo cıclico). G e cıclico ⇔ ∃ a ∈ G | G =< a >, a e dito gerador de
G, ou a gera G.
Propriedade 37. Se a gera G entao a−1 tambem gera.
Demonstracao. Todo elemento de G e da forma at, que tambem e da forma (a−1)s,
com s = −t.
Propriedade 38. Todo grupo cıclico e abeliano.
Demonstracao. Seja G =< a > . Tomamos dois elementos b, c ∈ G arbitrarios, logo
eles sao da forma an, ap e temos
anap = an+p = ap+n = ap.an
isso mostra que o grupo e abeliano.
Propriedade 39. < a > e finito ⇔ ∃ m ≥ 1 tal que am = e.
Demonstracao. ⇒ < a > e finito entao ∃m ≥ 1 tal que am = e. Se < a > e finito,
entao o conjunto {an | n > 0 ∈ N} e finito, entao existem s > r ∈ N tais que as = ar,
daı as−r = e, tomamos m = s− r .
⇐ Dado um elemento qualquer de < a > ele e da forma at para algum t inteiro, por
divisao euclidiana de t por m, tem-se t = mq + r com 0 ≤ r < m , logo
at = amq+r = ar
CAPITULO 1. GRUPOS 26
logo os elementos de < a > pertencem ao conjunto {ar | 0 ≤ r < m} que e um conjunto
finito.
Propriedade 40. Sendo < a > finito
o(a) = min{n ≥ 1 | an = e} e < a >= {ak | 0 ≤ k < o(a)}.
Demonstracao. Como < a > e finito, existe m > 0 ∈ N tal que
< a >= {ak | 0 ≤ k < m}
com am = e. Seja A = {s | as = e}, tal conjunto e nao vazio, pelo princıpio da boa
ordenacao ele possui um mınimo, digamos t. Vamos mostrar que t = o(a). Suponha por
absurdo que existam elementos repetidos no conjunto {ak | 0 ≤ k < t}, daı existem
0 ≤ u < v < t tal que au = av logo a(v−u) = e, mas 0 < v − u < t o que comprometeria a
minimalidade de t.
Corolario 8. Se o(a) =∞ entao am 6= e, ∀m ≥ 1 pois caso contrario < a > seria finito.
Tem-se tambem que ak 6= aj se k 6= j, pois se nao aj−k = e e o grupo seria finito. Estes
fatos implicam que an = e ⇔ n = 0 para grupos cıclicos infinitos.
Propriedade 41. Se o(a) e finito entao am = e ⇔ o(a)|m.
Demonstracao. Seja I = {n ∈ Z | an = e} entao I e um ideal de Z, pois:
• 0 ∈ I, a0 = e.
• Se m, t ∈ I entao am.at = am+t = e, implicando que m+ t ∈ I.
• Se m ∈ I e p ∈ Z, entao am.p = (am)p = e, logo m.p ∈ I mostrando que I e um
ideal de Z. Como todo ideal de Z e principal e o(a) ∈ I, logo I 6= {0}, vale que
I = In0 onde n0 = min{n ≥ 1 | an = e}, n0 = o(a), entao am = e⇔ m ∈ I(o(a))⇔m = k.o(a)⇔ o(a)|m.
Demonstracao.[2]
⇐). Se O(a)|m, existe t tal que m = tO(a) daı am = (aO(a))t = et = e.
⇒).
CAPITULO 1. GRUPOS 27
Tomamos a divisao euclidiana de m por O(a), temos m = qo(a)+r, onde 0 ≤ r < O(a),
suponha por absurdo que r 6= 0, entao
am = (aO(a))q.ar = ar = e
o que contraria minimalidade de O(a), pois 0 < r < O(a) o que nao pode acontecer, logo
O(a) divide m .
Propriedade 42. Se O(a) = n e O(b) = m entao o(ab)|mmc(n,m). Em G um grupo
abeliano.
Demonstracao. Sabemos que m.n = mmc(m,n).mdc(m,n)
(a.b)mn = (an)m(bm)n = e
como mdc(n,m) divide n e divide m, entao
(an)m
mdc(m,n) (bm)n
mdc(m,n) = e = (ab)mmc(m,n)
entao O(ab) divide mmc(n,m).
Corolario 9. Seja G um grupo finito, entao para todo a ∈ G vale a|G| = e.
Demonstracao. < a > e subgrupo de G, entao pelo teorema de Lagrange o(a)||G| e
pela propriedade anterior segue a|G| = e.
Corolario 10 (Pequeno teorema de Fermat). Seja p primo , entao
ap−1 ≡ 1 mod p.
Basta fazer as contas em Zp\{0} com o produto, temos um grupo com p−1 elementos
logo ap−1 ≡ 1 mod p.
Corolario 11. Para qualquer a ∈ Z e p primo vale
ap ≡ a mod p.
Essa identidade vale se a = 0 se a 6= 0 entao usamos que ap−1 ≡ 1 mod p e multiplicamos
por a de ambos lados.
CAPITULO 1. GRUPOS 28
Corolario 12 (Euler). Sejam x e n primos entre si, entao
xϕ(n) ≡ 1 mod n.
Tal propriedade vale pois |Zn ∗ | = ϕ(n).
Propriedade 43. SejaG um grupo abeliano. Se a, b tem ordem finita emdc(O(a), O(b)) =
1 entao O(a.b) = O(a)O(b).
Demonstracao. Sejam O(a) = n, O(b) = m, z = O(a.b), vale que
(a.b)nm = e
logo z|(n.m), (a.b)z = e logo az = b−z ∈< a > ∩ < b >, como | < a > | e | < b > |sao primos entre si, entao < a > ∩ < b >= {e}, se tivessem mais um elemento a mais
em comum, entao a ordem da intersecao dividiria os numeros primos entre si, o que e
absurdo, logo az = e = bz , z e multiplo de n e de m, logo e multiplo de n.m pois n e m
sao primos entre si, z|(nm) e mn|z logo z = mn.
Propriedade 44. Se a, b ∈ G abeliano tem ordem finita entao existe c ∈ G tal que
O(c) = mmc(O(a), O(b)).
Demonstracao. Sejam n = O(a), m = O(b) se mdc(n,m) = 1 entao tomando c = ab,
temos O(c) = O(a)O(b) = n.m = mmc(n,m).mdc(n,m)︸ ︷︷ ︸=1
= mmc(n,m).
Se mdc(n,m) 6= 1 entao
n =k∏s=1
pαss
t∏s=k+1
pαss
m =k∏s=1
pβss
t∏s=k+1
pβss
onde enumeramos os primos de forma que 0 ≤ αs < βs com s ∈ [1, k] e αs ≥ βs ≥ 0 com
s ∈ [k + 1, t].
Tomando a1 = a
k∏s=1
pαsse b1 = b
t∏s=k+1
pβsstemos O(a1) =
t∏s=k+1
pαss e O(b1) =k∏s=1
pβss , logo
O(a1) e O(b1) sao primos entre si, portanto
O(a1b1) = O(a1)O(b1),
podemos tomar c = a1.b1 tem a ordem desejada.
CAPITULO 1. GRUPOS 29
Propriedade 45. Se r = max{O(x), x ∈ G} (G abeliano) e finito entao O(x)|r ∀x ∈ G.
Demonstracao. Existe y ∈ G tal que O(y) = r, suponha que exista x ∈ G tal que
O(x) 6 |r, entao temos s = mmc(O(x), O(y)) > r, daı existe c tal que O(c) = s > r pelo
resultado anterior, o que contraria o fato de r ser maximo.
Propriedade 46. Se K < H < G entao
(G : K) = (G : H)(H : K).
Demonstracao.
Se |G| <∞ entao
1. H < G implica |G| = |H|(G : H)
2. K < H implica |H| = |K|(K : K)
3. K < G implica |G| = |K|(G : K)
da substituicao de 2 em 1 tem-se |G| = |K|(G : H)(H : K) comparando com 3 tem-se
finalmente (G : K) = (G : H)(H : K).
Propriedade 47. Se H e K sao subgrupos de G entao vale (G : H∩K) ≤ (G : H)(G : K).
Demonstracao. Seja A = {g(H ∩K) | g ∈ G} que e o conjunto das classes laterais
da intersecao e C = {gH | g ∈ G} × {gK | g ∈ G} que e o produto cartesiano das classes
laterais de H e K respectivamente, vamos definir uma funcao f : A→ C que seja injetora,
antes observamos que
g(H ∩K)H = H
g(H ∩K)K = K
pois H ∩K ⊂ K e H ∩K ⊂ H. Com isso podemos definir a funcao com f(g(H ∩K)) =
(gH, gK), ela e injetora, pois se
f(g(H ∩K)) = (gH, gK) = f(g′(H ∩K)) = (g′H, g′K)⇒ gH = g′H egK = g′K
isso implica que g−1g′ ∈ H e g−1g′ ∈ K por isso g−1g′ ∈ H∩K e daı g(H∩K) = g′(H∩K)
disso segue
(G : H ∩K) ≤ (G : H)(G : K).
CAPITULO 1. GRUPOS 30
Corolario 13. Se (G : H) e (G : K) sao finitos entao (G : H ∩K) tambem e finito nas
condicoes da propriedade anterior.
Propriedade 48 (Classificacao dos grupos de ordem prima). Se |G| = p com p primo
entao G e cıclico e qualquer elemento a 6= e ∈ G gera o grupo.
Demonstracao. Tomando um elemento a 6= e ∈ G, < a > e subgrupo de G, como a
ordem de p e um numero primo, entao pelo teorema de lagrange o(a) = p, nao podendo ser
1 pois < a > possuiria pelo menos dois elementos {e} e {a},isso implica que < a >= G.
Corolario 14. Todo grupo de ordem prima e abeliano, pois e cıclico.
Propriedade 49. Seja a ∈ G com o(a) <∞ entao o(as) =o(a)
mdc(o(a), s).
Demonstracao. Sejam s > 0, n = o(a) e m = o(as) entao m = min{t > 0, t ∈N | ast = e}. Sabemos que n|s.m entao sm = mmc(n, s), usando quemmc(n, s).mdc(n, s) =
n.s e a identidade anterior tem-se
m =mmc(n, s)
s=
n.s
mdc(n, s)
1
s=
n
mdc(n, s)
entao
o(as) =o(a)
mdc(o(a), s).
Propriedade 50. Sejam o(a) = n e t = mdc(s, n) entao < as >=< at > .
Demonstracao. Existe m ∈ Z tal que s = m.mdc(s, n) logo as = (at)m assim
as ∈< at >, implicando que < as >⊂< at > .
Existem numeros inteiros α, β tais que mdc(s, n) = α.s+ β.n, daı
at = (aα)s (aβ)n︸ ︷︷ ︸=e
= (aα)s
logo < at >⊂< as >.
Como vale < as >⊂< at > e < at >⊂< as > entao < as >=< at > .
Propriedade 51. Se |G| = m n ∈ N tal que mdc(n,m) = 1, entao para todo g ∈ G,
g = xn para algum x ∈ G.
CAPITULO 1. GRUPOS 31
Demonstracao. Como mdc(n,m) = 1 entao existem x0, y0 ∈ Z tais que nx0 +my0 =
1 daı
g = gnx0gmy0 = (gx0)n = xn.
Propriedade 52. Todo subgrupo de um grupo cıclico e cıclico.
Demonstracao. Seja G o grupo cıclico e H um subgrupo de G. Se H = {e} entao H
e cıclico, se nao, existe as ∈ H para algum s ∈ Z, como H e subgrupo de G entao a−s ∈ H,
existe um deles que e positivo s ou −s. Definimos o conjunto A = {k > 0, k ∈ N |ak ∈ H}.Tal conjunto e nao vazio, logo possui um elemento mınimo t. Dado um elemento qualquer
de H ele e da forma ap, por divisao euclidiana de p por t, existe q e 0 ≤ r < t tal que
p = qt+ r, daı
ap = (at)q.ar ⇒ ap.(at)−q = ar ∈ H
daı r = 0 pela minimalidade de t, implicando que ap = aq.t daı p = q.t, H =< at > .
Alem disso tal subgrupo possuin
telementos, pois a ordem de at e
n
t.
Exemplo 10. (Q,+) nao e um grupo cıclico . Suponha que fosse cıclico, entao teria um
gerador positivom
n. Com t ≥ 1 temos t
m
n≥ m
n, com t ≤ −1 temos t
m
n≤ −m
n, daı o
conjunto gerado aditivamente porm
nnao possui elementos em (−m
n, 0)∪(0,
m
n), conjunto
que possui racionais, entao chegamos num absurdo!
Exemplo 11. O menor grupo nao cıclico possui ordem 4, e o grupo Z2 × Z2 com adicao
. Grupos de ordem 2 e 3 sao cıclicos pois sao grupos de ordem prima. {e} o grupo de
ordem 1 tambem e cıclico.
Propriedade 53. Todo grupo quociente de um grupo cıclico e cıclico.
Demonstracao. Seja H < G onde < g >= G entao < gH >= G/H.
Seja xH ∈ G/H, temos x = gk para algum k ∈ Z daı
(gH)k = gkH = xH
entao gH gera G/H.
CAPITULO 1. GRUPOS 32
Propriedade 54. Seja (K, +, ×) corpo e (G,×) subgrupo finito de (K∗, ×) entao G e
cıclico.
Demonstracao. Seja r = max{O(g), g ∈ G}, por teorema de Lagrange temos que
r ≤ |G|, G e abeliano pois (K∗, ×) e abeliano. Vale por proposicao ja demonstrada que
O(x)|r ∀ x ∈ G logo todos elementos de G sao raızes de Xr − 1 ∈ K[x], isto implica que
|G| ≤ r logo |G| = r, um elemento de ordem r gera G, logo ele e cıclico.
Propriedade 55. Seja G 6= {e}, tal que seus unicos subgrupos sejam {e} e G. Entao G
e cıclico finito de ordem prima.
Demonstracao. Tomamos a 6= e ∈ G, < a > e subgrupo de G daı < a >= G, pois
nao pode ser < a >= {e}, pois < a > possui pelo menos dois elementos e < e > apenas
um. Se a2 = e entao o grupo e finito de ordem prima, se nao < a2 >= G =< a >, logo
a ∈< a2 >, implicando que existe n ∈ Z tal que a2n = a daı a2n−1 = e, logo o grupo
e finito. Seja p a ordem do grupo, para todo 0 < s < p, < as > gera o grupo e daı
o(as) = o(a) implicando pela identidade
o(as) =o(a)
mdc(o(a), s)
que mdc(p, s) = 1 daı nenhum numero menor que p divide p, implicando que ele e primo.
Propriedade 56. Um grupo cıclico com n elementos possui ϕ(n) geradores.
Demonstracao. o(as) =o(a)
mdc(o(a), s), o(as) = o(a) ⇔ mdc(o(a), s) = 1, a quanti-
dade de elementos s tais que isso acontece e ϕ(n).
Propriedade 57. Seja G um grupo cıclico com n elementos, gerado por a. Para cada
d ≥ 1 divisor de n existe um unico subgrupo deG com d elementos , a saber, Hd =< and > .
Demonstracao. Para cada d divisor de n, existe o subgrupo < and >, alem disso
|Hd| = o(and ) =
o(a)
mdc(o(a), o(a)d
)= d
logo possui d elementos.
Agora vamos provar a unicidade. Seja H um subgrupo de G com d elementos, tal que
d|n. Como G e cıclico entao H e cıclico, logo existe s ∈ N | < as >= H =< amdc(n,s) >
d = |H| = o(as) =n
mdc(n, s)
daı mdc(n, s) =n
d, logo H =< a
nd > .
CAPITULO 1. GRUPOS 33
Propriedade 58. Se z∗n e cıclico entao possui ϕ(ϕ(n)) = ϕ2(n) geradores.
Demonstracao. Suponha que z∗n seja cıclico, entao ele possui ϕ(n) elementos e a ∈ z∗ntal que < a >= z∗n e daı
o(as) =o(a)
mdc(o(a), s)
se o(as) = o(a) entao mdc(o(a), s) = 1, isso acontece para ϕ(o(a)) elementos, entao z∗n
possui ϕ2(n) geradores.
Exemplo 12. Z∗10 e um grupo cıclico. Z∗10 , possui ϕ(10) = 4 elementos, eles sao 1, 3, 7, 9
pois 1.1 = 1, 3.7 = 21 ≡ 1 e 9.9 = 81 ≡ 1. O grupo e gerado por 3, pois
• 32 = 9.
• 33 = 9.3 = 27 ≡ 7
• 34 = 33.3 = 7.3 = 21 ≡ 1
Entao < 3 >= Z∗10. O numero de divisores de 4 e 3, que sao os numeros 1, 2 e 4. Entao
ele possui apenas um grupo nao trivial com 2 elementos, que e < 9 >, daı segue tambem
que < 3 >=< 7 >= Z∗10.
Exemplo 13. Z∗8 nao e um grupo cıclico. O numero de elementos desse grupo e ϕ(8) = 4,
entao ele possui subgrupos com 1, 2, 4 elementos. Os elementos do grupo sao
• Triviais 1 e 7.
• Nao triviais: 3 pois 3.3 = 9 ≡ 1.
• 5 pois 5.5 = 25 ≡ 1.
• Logo o grupo e {1, 3, 5, 7} = Z∗8 nao e cıclico.
Exemplo 14. Z∗17 e um grupo cıclico. Tal grupo possui ϕ(17) = 16 elementos, os divisores
de 16 sao 1, 2, 4, 8, 16, ele possui entao 5 subgrupos, com respectivamente 1, 2, 4, 8, 16
elementos.
• < 1 >= {1} e subgrupo trivial
CAPITULO 1. GRUPOS 34
• 3 gera o grupo pois
32 = 9
33 = 10
34 = 13
35 = 5
36 = 15
37 = 11
38 = 16
39 = 14
310 = 8
311 = 7
312 = 4
313 = 12
314 = 2
315 = 6
• Possui ϕ2(17) = 8 geradores. Que sao dados por 3s com mdc(16, s) = 1.
33 = 10
35 = 5
37 = 11
39 = 14
311 = 7
313 = 12
315 = 6
CAPITULO 1. GRUPOS 35
• Subgrupos de ordem 8, temos que saber s tal que mdc(16, s) = 2, tais valores sao
2, 6, 10, 14
32 = 9
36 = 15
310 = 11
314 = 2.
• Subgrupos de ordem 4, temos que saber os valores de s tais que mdc(16, s) = 4, tais
valores sao 4 e 12 os elementos sao
34 = 13
312 = 4.
• Subgrupos de ordem 2, mdc(16, s) = 8, apenas para s = 8 e o elemento e
38 = 16.
Propriedade 59. a 6= e possui ordem 2 ⇔ a = a−1.
Demonstracao.
⇒).
Se a tem ordem 2 entao a2 = e , isto e a.a = e logo a e inverso de si mesmo por
unicidade do inverso.
⇐)
Se a = a−1 entao multiplicando por a tem-se a2 = e logo a possui ordem 2.
Propriedade 60. Se O(a) = mn entao O(am) = n.
Demonstracao. A ordem de am e o menor valor natural s, tal que ams = e, suponha
que seja s < n entao ms < mn e a ordem de a seria ms, absurdo o que contraria a
minimalidade de mn. Logo O(am) = n.
Propriedade 61. Vale que O(a) = O(a−1).
CAPITULO 1. GRUPOS 36
Demonstracao. Suponha que O(a) = m entao am = e o que implica a−m = e,
portanto m e um candidato a ordem de a−1, suponha que ordem fosse n < m entao
a−n = e o que implica an = e contrariando a minimalidade de m, portanto a ordem de
a−1 e m.
Propriedade 62. Se x2 = e para todo x em G entao G e abeliano.
Demonstracao. Temos (xy)(xy) = e multiplicando por x a esquerda yxy = x multi-
plicando por y a direita yx = xy logo abeliano.
Corolario 15. Se O(a) = 2 ∀ a 6= e ∈ G entao G e abeliano.
Definicao 21 ( Torcao). O subconjunto
T (G) = {a ∈ G | O(a) <∞}
e chamando de subconjunto de torcao de G.
Propriedade 63. Se G e abeliano entao T (G) e um subgrupo de G chamado de subgrupo
de torcao de G.
Demonstracao.
• O conjunto nao e vazio pois e ∈ T (G), e possui ordem 1.
• Dados a, b ∈ G com ordens finitas, digamos n e m, entao a.b possui ordem finita ,
pois (a.b)nm = anmbnm = e.
• Se a possui ordem finita entao a−1 tem a mesma ordem como ja mostramos.
Concluımos entao que T (G) < G.
Exemplo 15. T (C \ {0}) e o conjunto das raızes da unidade.
Propriedade 64. nZ ⊂ mZ ⇔ m|n e temos (mZ : nZ) =n
m.
Demonstracao. ⇒).
Se nZ ⊂ mZ entao m|n.
n ∈ mZ logo existe t ∈ Z tal que n = mt que implica m|n.
⇐).
CAPITULO 1. GRUPOS 37
Se m|n entao existe t ∈ Z tal que n = mt logo < n >= nZ ⊂< m >= mZ.
Usando a propriedade de que, se temos K < H < G entao (G : K) = (G : H)(H : K),
usando K = nZ, H = mZ e G = Z temos
(Z : nZ)︸ ︷︷ ︸n
= (Z : mZ)︸ ︷︷ ︸m
(mZ : nZ)⇒ (mZ : nZ) =n
m.
1.5.1 Homomorfismos e automorfismos de Grupos cıclicos
Propriedade 65. Sejam a ∈ G, b ∈ B.
1. Se O(a) < ∞ entao existe homomorfismo f :< a >→ B tal que f(a) = b ⇔
O(b) | o(a). Tal morfismo se existir e unico e tem-se f(ar) = br ∀r ∈ N.
2. Se o(a) = ∞ e O(b) qualquer, entao existe um unico morfismo f :< a >→ B tal
que f(a) = b. O morfismo e dado por f(ar) = br ∀r ∈ Z.
Demonstracao.
• ⇒). Se r = O(a) < ∞ e O(b) nao divide O(a) nao existe morfismo f :< a >→ B
com f(a) = b, pois se existisse f(ar) = f(a)r = br = e logo O(b)|O(a). ⇐). Se
O(b) |O(a) tomamos f :< a >→ B com f(ar) = br. Se r e s sao tais que ar = as
vamos mostrar que br = bs. Temos ar−s = e logo r − s e multiplo de O(a) e como
O(b) divide O(a) entao r − s e multiplo de O(b) e daı br−s = e⇒ br = bs.
• Se O(a) = ∞ entao todo elemento x ∈< a > tem uma unica representacao x = ar
pois caso contrario < a > seria finito.
A funcao definida e um morfismo pois
f(xy) = f(aras) = f(ar+s) = br+s = brbs = f(ar)f(as) = f(x)f(y).
Unicidade. O homomorfismo em qualquer dos casos e unico pois se g e morfismo com
g(a) = b entao g(ar) = g(a)r = br ∀r ∈ Z daı g = f .
Propriedade 66. Seja G finito, f : G→ Z com f(g) = 0 ∀g ∈ G e o unico homomorfismo
de G em Z.
CAPITULO 1. GRUPOS 38
Demonstracao. Suponha que fosse f(g) = n 6= 0 para g 6= e entao | < a > | = r 6= 0
e gr = e, daı 0 = f(gr) = rf(g) = r︸︷︷︸6=0
. n︸︷︷︸6=0
6= 0 o que e absurdo, daı deve valer para
todo g ∈ G f(g) = 0.
Exemplo 16. Seja G = Z8 e B = Z10. Procuramos todos os morfismos f : G → B.
Os elementos b ∈ B tais que O(b)|O(1) = 8 sao b = 5 ou b = 0, logo os morfismos sao
f1 : Z8 → Z10 f1(n) = 5n ou f2 : Z8 → Z10 com f2(n) = 0.
Propriedade 67. Seja G =< a > e f : G → G morfismo de grupos, f e automorfismo
⇔ < f(a) >= G.
Demonstracao.
⇒).
Suponha f isomorfismo, f(a) = b, f(ar) = br, f e bijecao entao dado y ∈ G existe
x ∈ G tal que f(x) = y, porem x = ar para algum r ∈ Z, daı f(x) = f(ar) = f(a)r = y
portanto G ⊂< f(a) >, como < f(a) >⊂ G entao < f(a) >= G.
⇐).
Suponha que < f(a) >= G. Temos que mostrar que f e injetora e sobrejetora.
• f e sobrejetora pois dado y ∈ G temos r ∈ Z tal que y = f(a)r = f( ar︸︷︷︸x∈G
) = f(x).
•
Propriedade 68 (Teorema Chines dos restos). Sejam (mk)r1 inteiros dois a dois distintos
entre si, entao a aplicacao diagonal
∆ : Z →r∏
k=1
Zmk
com f(z) = (z +mkZ)r1 e sobrejetiva ou de maneira equivalente, existe z ∈ Z tal que
(z ≡ zk mod mk)r1.
Demonstracao. Seja α = (1+mkZ)r1 ∈ (Zmk)r1, vale que |
r∏k=1
Zmk | = O(α) = |r∏
k=1
mk|
pois
CAPITULO 1. GRUPOS 39
αr∏
k=1
mk = (0)r1
α e um gerador der∏
k=1
Zmk portanto ∀(zk)r1 existe z ∈ Z tal que
zα = (zk +mkZ)r1
isto e
(zk +mkZ)r1 = (z +mkZ)r1.
Corolario 16. Sejam (mk)r1 inteiros dois a dois primos entre si, entao
∆ : Z/([r∏
k=1
mk]Z)→r∏
k=1
Zmk
com f(z + [r∏
k=1
mk]Z) = (Z +mkZ)r1 e um isomorfismo de grupos.
Pois ∆ : Z →r∏
k=1
Zmk e um homomorfismo de grupos com Kernel [r∏
k=1
mk]Z, a
aplicacao e sobrejetiva, logo ∆ e isomorfismo pelo Teorema do isomorfismo.
Propriedade 69. Se P e um primo ımpar entao
• Z/(ptZ) w Z/([pt − pt−1]Z) para cada t ≥ 1.
• Z/(2tZ) w Z/(2Z)× Z/(2t−2Z) para cada t ≥ 2.
Demonstracao.
1.6 Grupos diedrais
Definicao 22 (Grupo diedral Dn).
1.7 Homomorfismo de grupos
Definicao 23 (Homomorfismo de grupos). Sejam (G, ∗) e (B,×) grupos. A funcao
ϕ : G→ B e chamada de homomorfismo de grupos ⇔
ϕ(a ∗ b) = ϕ(a)× ϕ(b)
CAPITULO 1. GRUPOS 40
para todos a, b em G.
O Homomorfismo e uma funcao que preserva as operacoes dos grupos. Um homo-
morfismo tambem pode ser chamado de morfismo. A mesma definicao para semi-grupo
.
Exemplo 17. Nao existe homomorfismo injetor multiplicativo entre Z e nZ, com n ≥ 2
natural .
Supondo que exista, temos
f(1) = nk
f(1.1) = f(1)f(1) = n2k2 = nk
daı nk = 0 ou nk = 1 logo k = 0 daı f(1) = 0 e portanto f(s) = f(s.1) = f(s) f(1)︸︷︷︸0
= 0 e
a funcao nao e injetora. Caso nk = 1 entao k =1
ne f(1) = 1 em nZ o que nao e possıvel
.
Definicao 24. Dado grupo A, denotamos o conjunto dos elementos invertıveis desse
grupo como A∗.
Exemplo 18.
R∗ = R \ {0}.
C∗ = C \ {0}.
Q∗ = Q \ {0}.
Z∗ = {1,−1}.
Z∗p = Zp \ {0}.
N∗ = {1}.
Propriedade 70. R+ = {x ∈ R | x > 0} com a operacao de multiplicacao e um subgrupo
de R∗.
Demonstracao.
CAPITULO 1. GRUPOS 41
• O elemento neutro 1 ∈ R+.
• Dado x ∈ R+ e y ∈ R+ entao x.y ∈ R+ pois o produto de positivos e positivo.
• Dado x ∈ R+ entao x−1 ∈ R+ , pois o inverso de um numero positivo tambem e
positivo. Logo R+ e subgrupo de R∗.
Propriedade 71. A funcao f : C∗ → R+ dada por f(z) = |z| e um homomorfismo de
grupos. Onde estamos considerando C∗ e R+ com a operacao de multiplicacao.
Demonstracao. Vale f(z.y) = |z.y| = |z|.|y| = f(z).f(y).
Corolario 17 (Homomorfismo trivial). A funcao ϕ : G→ B definida como
ϕ(a) = eB ∀a ∈ G
e um homomorfismo, chamado homomorfismo trivial. Pois vale
ϕ(a ∗ b) = eB = eB × eB = ϕ(a)× ϕ(b).
Exemplo 19 (Identidade). A funcao I : G → G com f(x) = x e um homomorfismo
chamado de identidade. Tal funcao e homomorfismo pois f(xy) = xy = f(x)f(y).
Exemplo 20. Dado um grupo abeliano G entao f : G → G com f(x) = xn com n ∈ N
fixo e um homomorfismo, pois
f(xy) = (xy)n = xnyn = f(x)f(y).
Em especial se G = Z com a adicao entao f(x) = nx e homomorfismo
Definicao 25 (Projecao canonica). Seja H C G entao f : G → G/H com f(x) = xH e
um homomorfismo chamado de projecao canonica.
Tal funcao e realmente um homomorfismo pois
f(xy) = xyH = xHyH = f(x)f(y).
CAPITULO 1. GRUPOS 42
Exemplo 21. Sejam G = (V,+) e H = (W,+) espacos vetoriais, entao qualquer trans-
formacao linear T : V → W e um homomorfismo de grupos, pois por definicao de trans-
formacao linear temos
T (v + u) = t(v) + T (u).
Propriedade 72.
ϕ(eG) = eB.
Demonstracao.
ϕ(eG ∗ eG) = ϕ(eG) = ϕ(eG)× ϕ(eG)
operando ϕ(eG)′ em ambos lados temos
eB = ϕ(eG).
Propriedade 73. A composicao de homomorfismos e um homomorfismo.
Demonstracao. Sejam (G, ∗), (G′, ∗′), (G′′, ∗′′) grupos. Se f : G→ G′ e g : G′ → G′′
sao homomorfismos de grupos, entao g ◦ f : G→ G′′ e um homomorfismo de grupos, pois
sendo a, b ∈ G vale
(g ◦ f)(a ∗ b) = g(f(a ∗ b)) = g(f(a) ∗′ f(b)) = g(f(a)) ∗′′ g(f(b)).
Propriedade 74.
ϕ(a−1) = ϕ(a)−1.
Demonstracao. Temos
ϕ(a ∗ a−1) = ϕ(eG) = eB = ϕ(a)× ϕ(a−1)
operando com ϕ(a)−1 a esquerda segue
ϕ(a)−1 = ϕ(a−1)
Propriedade 75. Se H < G entao ϕ(H), e subgrupo de B.
Demonstracao. Temos que eB ∈ ϕ(H) pois ϕ(eG) = eB.
Se a ∈ ϕ(H) existe c1 ∈ H tal que ϕ(c1) = a e b ∈ ϕ(H) entao existe c2 ∈ H tal que
ϕ(c2) = b de onde segue c1 ∗ c2 ∈ H e ϕ(c1 ∗ c2) = ϕ(c1)× ϕ(c2) = a× b logo a.b ∈ ϕ(H).
Se a ∈ ϕ(H) existe c ∈ H tal que ϕ(c) = a e temos tambem ϕ(c−1) = ϕ(c)−1 = a−1
logo a−1 ∈ ϕ(H), mostrando que ϕ(H) e subgrupo de B .
CAPITULO 1. GRUPOS 43
Corolario 18.
Em especial o resultado anterior vale se H = G, logo Im(f) < B.
Definicao 26 (Nucleo). O nucleo de ϕ e o conjunto
Ker(ϕ) = {x ∈ G|ϕ(x) = eB}.
Propriedade 76. Ker(ϕ) e um subgrupo de G.
Demonstracao. Temos que ϕ(eG) = eB, logo eG ∈ Ker(ϕ).
Se a ∈ Ker(ϕ) e b ∈ Ker(ϕ) segue ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) × ϕ(b) = eB × eB = eB logo
a ∗ b ∈ Ker(ϕ).
Se a ∈ Ker(ϕ) temos ϕ(a) = eB e ϕ(a−1) = ϕ(a)−1 = e−1B = eB assim a−1 ∈ Ker(ϕ)
o que implica Ker(ϕ) ser subgrupo de G.
Propriedade 77. Ker(ϕ) CG.
Demonstracao. Temos que mostrar que gKer(ϕ)g−1 ⊂ Ker(ϕ), para g ∈ G ar-
bitrario. Seja entao x ∈ Ker(ϕ), vamos demonstrar que gxg−1 ∈ Ker(ϕ), por isso
aplicamos ϕ, de onde segue
ϕ(gxg−1) = ϕ(x)ϕ(x)ϕ(g−1) = ϕ(x)eϕ(g)−1 = e
por isso gxg−1 ∈ Ker(ϕ).
Propriedade 78. ϕ e injetora ⇔ Ker(ϕ) = {eG}.
Demonstracao.
⇒). Considere ϕ injetora, entao temos ϕ(a) = ϕ(b) ⇔ a = b, como temos ϕ(eG) = eB
segue Ker(ϕ) = {eG}.⇐). Seja agora Ker(ϕ) = {eG}, temos ϕ(a) = eB implica a = eG, suponhamos
ϕ(a) = ϕ(b) logo ϕ(a) × ϕ(a)−1 = eB = ϕ(b) × ϕ(a)−1 = ϕ(b ∗ a−1) assim temos que ter
b ∗ a−1 = eG, implicando b = a, logo a funcao e injetora.
Propriedade 79. Se H C G entao f(H) < B e f−1(f(H)) = HKer(f), sendo f homo-
morfismo.
Observamos que f−1(f(H)) e o conjunto dos y ∈ G tais que f(y) ∈ f(H), y fixo pode
nao pertencer a H.
CAPITULO 1. GRUPOS 44
Demonstracao.
• HKer(f) ⊂ f−1(f(H)). Dado hk ∈ HKer(f) temos
f(hk) = f(h)f(k) = f(h) ∈ F (H)
logo vale a inclusao HKer(f) ⊂ f−1(f(H)).
• f−1(f(H)) ⊂ HKer(f). Seja y ∈ f−1(f(H)) entao f(y) ∈ f(H) , logo existe
h ∈ H tal que f(y) = f(h) ⇒ f(h−1y) = e, por isso h−1y ∈ Ker(f), que implica
y = h(h−1y) ∈ Hker(f).
Corolario 19. Dado H < G entao f−1(f(H)) = HKer(f) implica que f−1(f(H)) < G
pois Ker(f) CG e H < G.
Propriedade 80. Se T < B entao f−1(T ) < G e Ker(f) ⊂ f−1(T ).
Demonstracao.
• Ker(f) ⊂ f−1(T ). Pois como T < B entao eB ∈ T e daı
Ker(f) = f−1(eB) ⊂ f−1(T ).
• f−1(T ) < G.
1. Produto e fechado . Sejam x, y ∈ f−1(T ) entao f(x), f(y) ∈ f(T ) logo existem
t1, t2 ∈ T tais que f(x) = f(t1) , f(y) = f(t2) portanto f(x.y) = f(t1t2) ∈ f(T )
daı xy ∈ f−1(T ).
2. Inverso esta no conjunto. Se x ∈ f−1(T ) entao f(x) = f(t1) daı f(t1)f(t1)−1 =
f(x)f(t1)−1, por unicidade do inverso segue que x−1 ∈ f−1(t).
Propriedade 81. Seja T < B entao f(f−1(T )) = T ∩ Im(f).
Demonstracao.
• Vale f(f−1(T )) ⊂ T ∩ Im(f) . f−1(T ) = A e o conjunto dos x ∈ G tais que
f(x) ∈ T , daı temos claramente f(A) ⊂ T e por definicao f(A) ⊂ Im(f) entao
f(f−1(T )) ⊂ T ∩ Im(f).
CAPITULO 1. GRUPOS 45
• T ∩ Im(f) ⊂ f(f−1(T )). Seja y ∈ T ∩ Im(f), como y ∈ Im(f) existe g ∈ G tal que
f(g) = y, como y ∈ T entao g ∈ f−1(T ) = A e daı y = f(g) ∈ f(A) = f(f−1(T )).
Corolario 20. Se f : G → B e sobrejetiva entao f(f−1(T )) = T , pois T ⊂ Im(f) logo
T ∩ Im(f) = T.
Propriedade 82. Se O(x) <∞ entao O(f(x))|o(x).
Demonstracao. Seja n = O(x) entao
eB = f(e) = f(xn) = f(x)n
O(f(x)) e o menor valor m tal que f(x)n = eB portanto m ≤ n. Suponha por absurdo
que m nao divide n, entao por divisao euclidiana temos n = mq + r com r > 0 e daı
f(x)n = e = (f(x)m)qf(x)r = f(x)r
o que contradiz a minimalidade de m, portanto m|n.
Propriedade 83. Sejam H,K,HK < G entao
(HK : K) = (H : H ∩K),
isto e, a quantidade de classes laterais de K em KH e a mesma quantidade de classes
laterais de H ∩K em H.
Demonstracao. Seja A = {ha}a∈B um sistema de representantes das classes laterais
a esquerda de H ∩ K em H. Seja C o conjunto das classes laterais a esquerda de K
em HK, definimos uma funcao f : A → C com f(ha) = haK e vamos mostrar que f e
bijecao.
• f e injetora. Sabemos que ha = hb ⇔ a = b. Suponha a 6= b, vamos mostrar que
f(ha) = haK 6= f(hb) = hbK, pois se fosse hbK = haK entao ha = hbl com l ∈ K e
daı l = h−1b ha ∈ H portanto l ∈ H ∩K de onde segue que ha = hb ⇒ a = b, o que e
absurdo.
CAPITULO 1. GRUPOS 46
• A funcao e sobrejetora, isto e, toda classe lateral a esquerda de K em HK e do tipo
haK, para algum a ∈ B. Seja tK, t ∈ HK uma classe lateral, escrevemos t = hk,
temos
tK = hkK = hK
escolhemos a ∈ B tal que h ∈ ha, logo h = ha.s com s ∈ H ∩K e daı
tK = hK = ha.sK = haK,
logo a funcao e sobrejetiva, como querıamos demonstrar.
Como a funcao e sobrejetiva e injetiva, temos bijecao daı (HK : K) = (H : H ∩K).
Definicao 27 (Isomorfismo de Grupos). ψ e um isomorfismo de grupos ⇔ ψ e um ho-
momorfismo bijetor.
Definicao 28 (Grupos isomorfos). Dois grupos G e B sao isomorfos ⇔ existe um iso-
morfismo ψ entre eles. Nesse caso denotamos A ' B.
Propriedade 84. (R+, .) e (R,+) sao isomorfos.
Demonstracao.
Considere a funcao f : R+ → R definida como f(x) = ln x. Entao vale
• f e bijetora, pois dado y ∈ R, existe x = ey tal que ln ey = y entao e sobrejetora.
Alem disso e injetora pois f ′(x) =1
x> 0.
• f e um homomorfismo pois ln(x.y) = lnx+ ln y.
Propriedade 85. A funcao inversa de um isomorfismo e um isomorfismo.
Demonstracao. Considere os grupos isomorfos (G, ∗) e (G′, ∗) com o isomorfismo
f : G → G. Como f e bijetora ela possui uma unica inversa g : G′ → G que tambem
e bijetora, vamos mostrar que g tambem e um homomorfismo, mostrando que tomando
x2, y2 ∈ G′ quaisquer vale g(x2∗′y2) = g(x2)∗g(y2). Existem x1, y2 ∈ G tais que f(x1) = x2
e g(y1) = y2, daı
g(x2 ∗′ y2) = g(f(x1) ∗′ f(x2)) = g(f(x1 ∗ x2)) = x1 ∗ x2 = g(x2)(g(y2) .
CAPITULO 1. GRUPOS 47
1.7.1 Automorfismo
Definicao 29 (Automorfismo). Um automorfismo de G e um isomorfismo de G em G.
1.7.2 f : G→ G com f(x) = axa−1 e automorfismo
Propriedade 86. Sejam G um grupo e a ∈ G fixo. Se f : G→ G tem lei f(x) = axa−1,
entao f e um automorfismo.
Demonstracao. Temos que mostrar que a funcao e um homomorfismo bijetor. Tal
funcao e um homomorfismo pois f(c.b) = a(c.b)a−1 = a(ca−1ab).a−1 = f(c).f(b). Ela e
injetora pois se f(c) = f(b) entao aca−1 = aba−1, implica c = b por lei do corte. A funcao
tambem e sobrejetora pois axa−1 = b entao x = a−1b.a.
Definicao 30. Definimos o conjunto Aut(G) como
Aut(G) = {f : G→ G | f e automorfismo}.
Propriedade 87. A estrutura (Aut(G), ◦) e um grupo, onde ◦ e a composicao de funcoes.
Demonstracao.
• A composicao e fechada.
• A composicao de bijecoes e bijecao.
• A composicao de homomorfismos e um homomorfismo. Entao tem-se que a operacao
e fechada.
• A identidade e um automorfismo.
• Existe inverso pra um automorfismo pois as funcoes sao bijetoras.
• A composicao e associativa.
Propriedade 88. Seja I(G) com composicao de funcoes, entao I(G) C Aut(G).
Demonstracao. Primeiro mostramos que e subgrupo.
• I(G) e nao vazio, pois temos nele a funcao identidade Ie(x) = exe−1 = x.
CAPITULO 1. GRUPOS 48
• Sejam Ig1 e Ig2 automorfismos internos entao
Ig1 ◦ Ig1(x) = Ig1(g2xg−12 ) = g1g2xg
−12 g−1
1 = g1g2x(g1g2)−1 = Ig1g2(x).
• Dado Ig entao (Ig)−1 tambem e automorfismo interno, pois Ig−1 e autormorfismo
interno e Ig−1(x) = g−1xg
Ig ◦ Ig−1(x) = g(g−1xg)g−1 = x = I
e a identidade, logo (Ig)−1 = Ig−1 .
Agora vamos mostrar finalmente que I(G) C Aut(G), isto e, f ◦ I(G) ◦ f−1 ⊂ I(G)
onde f ∈ Aut(G). Sejam f ∈ Aut(G) e Ig ∈ I(G) quaisquer entao
f ◦ Ig ◦ f−1(x) = f(gf−1(x)g−1) = f(g)xf(g)−1 ∈ I(G)
como querıamos demonstrar.
Propriedade 89. G e abeliano ⇔ I(G) = {I}.
Demonstracao. ⇒). Se G e abeliano entao Ig(x) = gxg−1 = x = I ∀g ∈ G e a
funcao identidade, logo todos automorfismos internos sao iguais a funcao identidade e daı
I(G) = {I}.⇐).
Se ∀g, x ∈ G vale Ig(x) = x entao gxg−1 = x⇒ gx = xg logo o grupo e abeliano.
Propriedade 90. H CG⇔ Ig(H) ⊂ H,∀g ∈ G , isto e, H e estavel por todos automor-
fismos internos de G.
Demonstracao.
H CG⇔ ∀g ∈ G gHg−1 ⊂ H ⇔ Ig(H) ⊂ H.
Definicao 31 (Subgrupo caracterıstico). H < G e um subgrupo caracterıstico de G,
que se denota por H l G, se ele e estavel por todos os automorfismos de G, isto e,
f(H) ⊂ H ∀f ∈ Aut(G).
Exemplo 22. Sao subgrupos caracterısticos de G, {e}, G, Z(G), G′.
CAPITULO 1. GRUPOS 49
• {e} e subgrupo caracterıstico pois para qualquer automorfismo f de G tem-se f(e) =
e.
• E claro que f(G) ⊂ G para qualquer f .
• Z(G) e subgrupo caracterıstico . Dado qualquer automorfismo f : G→ G e qualquer
g ∈ Z(G), temos que mostrar que ∀ x ∈ G tem-se xf(g) = f(g)x. Como f : G→ G
e bijecao, entao existe y tal que f(y) = x, portanto
xf(g) = f(y)f(g) = f(yg) = f(gy) = f(g)f(y) = f(g)x .
• Por fim G′ e subgrupo caracterıstico . Dado z ∈ G′ z = xyx−1y−1, logo f(z) =
f(x)f(y)f(x)−1f(y)−1 ∈ G′ pois a funcao assume valor em G′.
Corolario 21. Se H lG entao H CG pois em especial fg(H) = gHg−1 e automorfismo
para todo g.
Propriedade 91. Se H e o unico subgrupo de G de ordem n entao H lG.
Demonstracao.
Temos que mostrar que para qualquer f automorfismo de G em G tem-se f(H) ⊂ H.
f(H) e subgrupo de G , pois f e homomorfismo e H < G, alem disso possui n elementos,
pois f e funcao bijetora, disso segue que f(H) = H.
Propriedade 92. Seja K lH CG entao K CG, isto e, vale um tipo de transitividade.
Demonstracao. Sejam g ∈ G arbitrario, Ig : G → G com Ig(x) = gxg−1 conside-
ramos a restricao Ig|H , como H C G entao Ig(H) = H, I|H e um automorfismo de H.
K CH implica Ig|H(K) ⊂ K, isto e, gKg−1 ⊂ K ∀g ∈ G daı K CG.
Propriedade 93. Sejam (G, .) e (G′, ∗) grupos e f : G→ G′ um isomorfismo de grupos
vale:
• Se o(a) e finito entao o(f(a)) e finito.
• Se o(a) e infinito entao o(f(a)) e infinito.
CAPITULO 1. GRUPOS 50
Demonstracao. Suponha que o(a) seja infinito, entao o(f(a)) e finito ou infinito,
suponha por absurdo que seja finito, logo existe n ∈ N tal que [f(a)]n = e = f(an) como
a funcao e injetora entao an = e que implicaria que o(a) e finita, um absurdo.
Se o(a) e finita, existe n ∈ N tal que an = e e daı f(an) = f(a)n = f(e) = e, entao
ordem de f(a) e finita.
Propriedade 94. Seja (G, .) um grupo cıclico infinito gerado por a, entao f : (z,+) →
(G, .) definida por f(n) = an e um isomorfismo de grupos.
O elemento az gera G ⇔ z = 1 ou z = −1.
Demonstracao. f e um homomorfismo pois f(n+m) = an+m = anam = f(n)f(m).
Vamos mostrar que a funcao e injetora, suponha f(n) = f(m) entao an = am e daı
an−m = e, se n 6= m entao o grupo seria finito, segue entao que n = m e a funcao e
injetora. Pelo fato do grupo ser cıclico infinito gerado por a tem-se que f e sobrejetora.
az gera G ⇔ z gera Z, os unicos elementos que geram Z sao 1 e −1.
Corolario 22. Quaisquer dois grupos cıclicos infinitos sao isomorfos.
Propriedade 95. Se (G, .) e um grupo cıclico de ordem n gerado por a entao G e isomorfo
ao grupo (zn,+ mod n).
Um elemento am gera G ⇔ mdc(m,n) = 1.
Demonstracao. Seja a funcao Zn → G, definida como f(n) = an. Tal funcao e um
homomorfismo pois f(n+m) = an+m = an.am = f(n)f(m). f deve ser injetora, pois
dados n ≥ m ≥ s ≥ 0 com am = as segue am−s = e entao de 0 ≤ m− s < n segue m = s.
A funcao tambem e sobrejetiva.
am gera G ⇔ m gera Zn ⇔ mdc(m,n) = 1.
1.7.3 Determinacao de homomorfismo entre dois grupos
Definicao 32. Denotamos por Hom(G,B) o conjunto dos homomorfismos de G em B.
Corolario 23.
Hom(G,B) =⋃HCG
{f : G→ B,morfismo | Ker(f) = H}
pois Ker(f) CG.
CAPITULO 1. GRUPOS 51
1.7.4 Teorema de Cayley - G e isomorfo a um subgrupo de SG.
Propriedade 96 (Cayley). G e isomorfo a um subgrupo de SG.
Demonstracao. Para cada a ∈ G definimos a funcao fa : G→ G tal que fa(x) = a.x,
fa e injetora pois fa(x) = a.x = a.y entao x = y por lei do corte, f tambem e sobrejetora
pois dado b ∈ G existe x = a−1b tal que fa(x) = aa−1b = b. Entao fa e uma bijecao,
fa ∈ G ∀a ∈ G.
Definimos entao g : G → SG como g(a) = fa. Vamos mostrar que G e um homomor-
fismo injetor.
g(a.b)(x) = fa.b(x) = a.b.x = a(b.x) = (fa ◦ fb)(x)
daı g(a.b) = g(a) ◦ g(b). Logo g e um homomorfismo de grupos, vamos mostrar que e
injetora
ker(G) = {a ∈ G | g(a) = IG} = {a ∈ G | ax = x} = {e}
logo e injetora, entao esta em bijecao com sua imagem g(G) ⊂ SG sendo um isomorfismo.
Corolario 24. Um grupo com n elementos e isomorfo a um subgrupo de Sn.
Propriedade 97. Seja f : G→ G com f(x) = x−1. G e abeliano ⇔ f e morfismo.
Demonstracao.
⇒). Supondo G abeliano. f(xy) = (xy)−1 = y−1x−1 = x−1y−1 = f(x)f(y).
⇐). Supondo que f seja morfismo. ∀x, y ∈ G tem-se
f(x−1y−1) = f(x−1)f(y−1) = xy = yx.
Corolario 25. Se ∀ a ∈ G a2 = e entao G e abeliano. a e inverso dele mesmo a = a−1,
portanto
(xy)−1 = y−1x−1 = yx = xy.
1.7.5 Teorema dos isomorfismos
Teorema 2 (Teorema dos isomorfismos-1). Seja f : G→ B um homomorfismo entao
• h : G/(ker(f))→ f(G) com h(gker(f)) = f(g) e um isomorfismo.
CAPITULO 1. GRUPOS 52
Demonstracao.
• h e funcao. Se gKer(f) = g′Ker(f) entao f(g) = f(g′) pois g = g′k onde k ∈Ker(f) e daı
f(g) = f(g′k) = f(g′)f(k) = f(g′).
• h e morfismo.
h(gKer(f)g′Ker(f)) = h(gg′Ker(f)) = f(gg′) = f(g)f(g′) = h(gKer(f))h(g′Ker(f)).
• f e injetiva pois se h(gKer(f)) = h(gKer(f)) ⇒ f(g) = f(g′) ⇒ f(g′g−1) = eB
entao g′ = gk com k no nucleo portanto gKer(f) = g′Ker(f).
• h e sobrejetiva por definicao.
h e bijecao e homomorfismo, entao h e isomorfismo.
Propriedade 98 (Teorema dos isomorfismos-2). Seja A = {H | H < G, ker(f) ⊂ H},
isto e, o conjunto dos subgrupos de G que contem ker(f) e C = {T | T < f(G)} o
conjunto dos subgrupos de f(G), entao g : A → C com2 g(H) = f(H) e bijecao que
possui inversa g−1(T ) = f−1(T ). Alem disso
• H CG implica f(H) C f(G).
• T C f(G) implica f−1(T ) CG.
A ultima proposicao diz que g preserva a propriedade de subgrupos normais, isto e, leva
subgrupos normais de um conjunto em subgrupos normais do outro conjunto. g pode ser
vista como o morfismo f restrito ao conjunto A.
Demonstracao.
Sabemos que f−1(f(H)) = Hker(f) ∀H < G e f(f−1(T )) = T ∩ f(G),∀ T < B, daı
Ker(f) ⊂ H implica f−1(f(H)) = H e T ⊂ f(G) que f(f−1(T )) = T , entao g possui
inversa , logo e bijecao.
2Usamos a notacao g para funcao no lugar de f , pois f , homomorfismo e definido de G em B.
CAPITULO 1. GRUPOS 53
• H CG implica f(H) C f(G).
Dado y ∈ f(g) e x ∈ f(H), temos que ter yxy−1 ∈ f(H). y = f(g), x = f(h),
g, h ∈ G,H, logo
yxy−1 = f(g)f(h)f(g−1) = f(ghg−1︸ ︷︷ ︸∈H
) ∈ f(H)
a parte sublinha acontece pois H CG.
• T C f(G) implica f−1(T ) CG.
Dado g ∈ G e a ∈ f−1(T ) (logo f(a) ∈ T ), vamos mostrar que gag−1 ∈ f−1(T ).
Temos
f(gag−1) = f(g) f(a)︸︷︷︸∈T
f(g)−1 ∈ T
pois T C f(G) logo gag−1 ∈ f−1(T ).
Propriedade 99. Sejam f : G→ T morfismo , H < G entao g : H/H ∩Ker(f)→ f(H)
com g(h.H ∩Ker(f)) = f(h) e um isomorfismo.
Demonstracao. Considere o morfismo f |H : H → B, isto e, a restricao de f a H,
vale que f |H(H) = f(H) e Ker(f |H) = Ker(f)∩H, pois Ker(f) = {x ∈ G | f(x) = eB}e Ker(f |H) = {x ∈ H | f(x) = eB}, aplicando a parte 1 do teorema dos isomorfismo a
f |H , basta substituir Ker(f) por Ker(f) ∩H e provamos o resultado.
Propriedade 100. Seja HCG entao f : A→ C e uma bijecao onde A = {V | V CG, V ⊂
H}, C = {T | T CG/H}.
Demonstracao. Considere o homomorfismo l : G → G/H dado por l(g) = gH, l e
um morfismo sobrejetor e Ker(l) = H, aplicamos a parte (2) do teorema dos isomorfismos
a l, substituindo Ker(l) por H, f(G) por l(G) = G/H.
Propriedade 101. Sejam G um grupo, ACG, B C C < G entao AB C AC.
Demonstracao. Como ACG e BCG entao ABCG e em especial vale que AB = BA.
• De ACG temos ∀ g ∈ G e a ∈ A tem-se gag−1 ∈ A.
• De B C C segue ∀ c ∈ C e b ∈ B temos cbc−1 ∈ B.
CAPITULO 1. GRUPOS 54
Queremos mostrar que AB C AC, isto e, ∀ ac ∈ AC e a′b′ ∈ AB tem-se
aca′b′(ac)−1 ∈ AB, isto e , aca′b′c−1a−1 ∈ AB
porem podemos escrever
a (ca′c−1)︸ ︷︷ ︸a1∈A
(cb′c−1)︸ ︷︷ ︸b1∈B
a−1 = aa1b1a−1 ∈ AB
a ultima passagem e verdadeira pois AB CG.
Propriedade 102. Se H CG e K < G entao K/(H ∩K) e isomorfo a KH/H.
Demonstracao. Como H C G e K < G temos que KH < G e KH = HK. H C G
entaoHCKH daı podemos considerar o quocienteKH/H. Tomamos o morfismo canonico
f : KH → KH/H com f(kh) = khH = kH. Consideramos a restricao f |K : K →KH/H, f(k) = kH. Temos Ker(f |k) = {k ∈ K | kH = k} = H ∩K, f |K e sobrejetora,
pelo teorema dos 1 segue o resultado.
Propriedade 103. Sejam K < H < G com K C G e H C G entaoG/K
H/Ke isomorfo a
G/H.
Demonstracao. Seja f : G/K → G/H com f(gK) = gH.
• f e funcao pois se gK = g′K entao g = g′K para algum k ∈ K daı f(g′K) = g′H e
f(gK) = gH = g′kH = g′H
pois K ⊂ H.
• f e sobrejetora por definicao.
• Ker(f) = {gK | f(gk) = g︸︷︷︸∈H
H = H} = H/K pois os elementos de H/K sao da
forma gK onde g ∈ H.
Aplicando o primeiro teorema dos isomorfismo segue o resultado.
CAPITULO 1. GRUPOS 55
1.8 O grupo Sn
Definicao 33 (Congruencia modulo σ). Sejam σ ∈ Sn (σ e uma funcao bijetora que leva
elementos de In em In.) , a, b ∈ In, dizemos que a e congruente a b modulo σ sse existe
k ∈ Z | b = σk(a), nesse caso escrevemos
a ≡σ b⇔ ∃k ∈ Z | σk(a) = b.
Propriedade 104. A congruencia modulo σ e uma relacao de equivalencia em In.
Demonstracao.
• Vale a reflexividade pois σ0(a) = a.
• Vale a simetria. Se σk(a) = b entao σ−kb = a daı a ≡σ b implica b ≡σ a.
• Vale a transitividade. De σk(a) = b e σs(b) = c segue que σ(k+s)(a) = c daı a ≡σ c.Entao ≡σ e uma relacao de equivalencia em In.
Definicao 34 (Orbita de a por σ). A orbita de a por σ e o conjunto
O(a) := {σk(a) | k ∈ Z}
, sendo a classe de equivalencia de a modulo σ.
Propriedade 105. ∀a ∈ In existe l ≥ 1 tal que σl(a) = a.
Demonstracao. O(a) ⊂ In, entao O(a) e um conjunto finito, logo existem inteiros
1 ≤ n < m tais que σm(a) = σn(a), daı σm−n(a) = σ0(a) = a. O conjunto
A = {k ∈ Z | k ≥ 1 σk(a) = a}
e um conjunto de inteiros limitado inferiormente, logo pelo PBO ele possui um menor
elemento l tal que σl(a) = a. Denotaremos sempre l como esse menor elemento.
Propriedade 106. O(a) = {σk(a) | 0 ≤ k < l.}
Demonstracao. Tomando m ∈ Z pela divisao euclidiana por l temos m = q.l + r e
daı σm(a) = σr(σq.l(a)) = σr(a).
CAPITULO 1. GRUPOS 56
Definicao 35 (Ciclo de a por σ.). Chamamos (σk(a))l−11 ou qualquer permutacao circular
de um ciclo de σ.
Definicao 36 (r-Ciclo). Sejam r ≥ 1, Ar = {ak, 1 ≤ k ≤ r} ⊂ In. Definimos um r-ciclo
como uma permutacao σ : In → In definida como
• σ(ak) = ak+1, se 1 ≤ k < r.
• σ(ar) = a1.
• σ(x) = x, ∀x ∈ In \ Ar E denotada como (ak)r = (a1, · · · , ar).
Corolario 26. Se r = 1 entao σ e a identidade de In → In.
Definicao 37 (Multiplicacao de ciclos). Definimos o produto dos ciclos σ = (ak)r e
C = (bk)s como a composicao das permutacoes que eles representam
(ak)r.(bk)
s := σ ◦ C.
Definicao 38 (Ciclos disjuntos). Dizemos que (ak)r e (bk)
s ciclos de In sao disjuntos sse
{ak, k ∈ Ir} ∩ {bk, k ∈ Is} = ∅.
Propriedade 107 (Propriedade dos ciclos disjuntos). Se σ = (ak)r e τ = (bk)
s sao ciclos
disjuntos de Sn, entao σ ◦ τ = τ ◦ σ.
Demonstracao. Seja A = {ak, | k ∈ Ir} e B = {bk, | k ∈ Is}, A e B sao conjuntos
disjuntos.
• Se existe t ∈ In \ (A ∪B) entao, σ e τ fixam t, valendo
σ(τ(t)) = σ(t) = t
τ(σ(t)) = τ(t) = t
logo sao iguais.
CAPITULO 1. GRUPOS 57
• Seja x ∈ A, daı x = ak para algum k e σ(ak) = at ∈ A para algum t, como at, ak /∈ Bsao fixos por τ logo
τ(σ(ak)) = τ(at) = at
σ(τ(ak)) = σ(ak) = at
logo e comutativa.
Propriedade 108. Toda permutacao σ ∈ Sn se escreve de modo unico como produto de
seus ciclos (a menos da ordem).
Propriedade 109. (ak)r =
r∏k=2
(a1, ak) onder∏
k=2
(a1, ak) = [r∏
k=3
(a1, ak)].(a1, a2) produto
aberto pelo limite inferior a direita, isto e, todo r-ciclo se escreve como produto de 2-
ciclos.
Demonstracao. Para a1 temos σ(a1) = a2 e pelo ciclor∏
k=2
(a1, ak) =r∏
k=3
(a1, ak).(a1, a2),
pelo primeiro ciclo σ(a1) = a2 e a2 nao aparece em nenhum outro ciclo , logo os outros
ciclos fixam a2. Tomando agora 2 ≤ k < r, abrimos como
r∏k=2
(a1, ak) =r∏
k=s+2
(a1, ak)(a1, as+1)(a1, as)s−1∏k=0
(a1, ak)
as e fixo no primeiro produto da direita, em (a1, as) temos σ(as) = a1 e em (a1, as+1)
tem-se σ(a1) = as+1 sendo que as+1 e fixo porr∏
k=s+2
(a1, ak), logo o resultado da as+1. No
caso de ar abrimos o produto como
r∏k=2
(a1, ak) = (a1, ar)r−1∏k=2
(a1, ak)
ar e fixo no produtorio e no ciclo (a1, ar) tem-se σ(ar) = a1. Entao em todo caso (ak)r e
r∏k=2
(a1, ak) coincidem, sendo portanto iguais.
Propriedade 110. Toda permutacao em Sn pode ser escrita como produto de 2-ciclos.
Demonstracao. Escrevemos a permutacao como produto dos seus r-ciclos, que por
sua vez podem ser escritos como produtos de 2-ciclos.
Definicao 39 (Transposicoes). Os 2-ciclos em sn sao chamados de transposicoes, em
especial um 2− ciclo qualquer e chamado de transposicao.
CAPITULO 1. GRUPOS 58
Corolario 27. Todo r-ciclo pode ser escrito comor∏
k=2
(a1, ak) logo pode ser escrito como
produto de r + 1− 2 = r − 1 transposicoes.
Definicao 40 (Permutacao par ou ımpar). Uma permutacao σ e chamada de par sse e um
produto de um numero par de transposicoes, caso contrario e chamada de transposicao
ımpar.
Definicao 41 (Grupo alternado). Definimos o grupo alternado de An como
An = {σ ∈ Sn | σ e permutacao}.
Propriedade 111.
|An| =n!
2.
1.8.1 Ciclos de S3
I =
(1 2 3
1 2 3
)f6 =
(1 2 3
1 3 2
)f5 =
(1 2 3
3 2 1
)
σ =
(1 2 3
2 1 3
)f4 =
(1 2 3
3 1 2
)τ =
(1 2 3
2 3 1
)Os ciclos dos elementos sao
• f6 = (2, 3), ımpar.
• f5 = (1, 3), ımpar.
• σ = (1, 2), ımpar.
• f4 = (1, 3, 2) = (1, 2)(1, 3), par.
• τ = (1, 2, 3) = (1, 3)(1, 2), par.
An = {I, f4, τ}.
CAPITULO 1. GRUPOS 59
1.8.2 Ciclos de S4.
• f1 = (1, 2)(3, 4) par.
• f2 = (1, 3)(2, 4) par.
• f3 = (1, 4)(2, 3) par.
• f4 = (1, 2, 3, 4) = (1, 4)(1, 3)(1, 2) ımpar.
• f5 = (1, 3, 2, 4) = (1, 4)(1, 2)(1, 3) ımpar.
• f6 = (1, 4, 3, 2) = (1, 2)(1, 3)(1, 4) ımpar.
• f7 = (1, 2) ımpar.
• f8 = (1, 2, 3) = (1, 3)(1, 2) par.
• f9 = (1, 2, 4) = (1, 4)(1, 2) par.
• f10 = (1, 2, 4, 3) = (1, 3)(1, 4)(1, 2) ımpar.
• f11 = (1, 3, 4) = (1, 4)(1, 3) par.
• f12 = (1, 3) ımpar.
• f13 = (1, 3, 2) = (1, 2)(1, 3) par.
• f14 = (1, 3, 4, 2) = (1, 2)(1, 4)(1, 3) ımpar.
• f15 = (1, 4, 2, 3) = (1, 3)(1, 2)(1, 4) ımpar.
• f16 = (1, 4, 2) = (1, 2)(1, 4) par.
• f17 = (1, 4, 3) = (1, 3)(1, 4) par.
• f18 = (1, 4) ımpar.
• f19 = (3, 4) ımpar.
• f20 = (2, 3, 4) = (2, 4)(2, 3) par.
• f21 = (2, 3) ımpar.
• f22 = (2, 4, 3) = (2, 3)(2, 4) par.
CAPITULO 1. GRUPOS 60
• f23 = (2, 4) ımpar.
A4 = {f1, f2, f3, f8, f9, f11, f13, f16, f17, f20, f22, I}.
Propriedade 112. Se |G| = p2 entao G possui no maximo p + 1 subgrupos com p
elementos.
Demonstracao. Vamos considerar elementos distintos da identidade e do grupo.
Dado um a qualquer, vale que | < a > | = p ou p2 se | < a > | = p dado b se
b ∈< a >, entao < b >⊂< a >, logo nao pode valer | < b > | = p2, como ambos
conjuntos tem p elementos segue que < b >=< a >, logo se subgrupos de ordem p tem
um elemento em comum eles sao iguais nesse caso. Isso implica que podemos ter no
maximo p + 1 subgrupos de ordem p, pois caso fosse uma quantidade maior, algum dos
subgrupos deveria ter elemento em comum logo seriam iguais.
Exemplo 23. z2 × z2 com adicao possui 3 subgrupos de ordem 2, que sao
< (0, 1) >= {(0, 1), (0, 0)}
< (1, 0) >= {(1, 0), (0, 0)}
< (1, 1) >= {(1, 1), (0, 0)}.
Exemplo 24. Z4 com adicao possui os seguintes subgrupos
{0} =< 0 >
{1, 2, 3, 0} =< 1 >
< 2 >= {2, 0}
< 3 >= {3, 2, 1, 0}
nao chega a possuir 3 subgrupos de ordem 2, pois se um grupo contem 3 gera o grupo, se
contem 1 tambem a unica possibilidade do subgrupo ter ordem 2 e conter 2 e 0 apenas.