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MËTODO DA FORMA NORMAL E SUAS APLICAÇÕES
EM OSCILAÇÕES E ESTABILIDADE
Luca Favretto
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DEPÔS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DEJANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃODO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M. Sc,)
Aprovada por:
,Prof. Liu—ttSúPresidente
Prof Luiz Carlos Martins
///
Pro£/ Augusto Cesar GaleaoC
/Prof. Leon R: Sinay
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
11
FAVRETTO, LUCA
Metodo da Forma Normal e Suas Aplicações em Oscilações e Es-tabilidade (Rio de Janeiro) 1982.
29,7 cm (COPPE-UFRJ, M. Sc., Engenharia MecaniVIII, 151 p.
ca, 1982)
Univ. Federal do Rio de Janeiro. Fac. Engenharia
1. Sistemas não lineares, estabilidade e oscilações.UFRJ II. Título (Serie)
Tese
I. COPPE/
Ill
AGRADECIMENTOS
Desejo era primeiro lugar agradecer aos meus
cujo apoio foi indispensável para a realização deste trabalho.pais
Agradeço ao Prof. Liu Hsu pela orientação dedica-da que me prestou, neste e em outros trabalhos anteriores, sem-
pre colocando a minha disposição os seus conhecimentos, o
tempo e especialmente o seu entusiasmo.seu
Varias foram as sugestões e contribuições que re-cebi no decorrer do trabalho, desejo aqui mencionar entre
pessoas que me ajudaram os Professores: Nestor Zouain e
da Costa Rodrigues (PUC/RJ), Joaquim Lopes (IF/UFRJ), Jomar Go_zzi e Agamenon de Oliveira (EE/UFRJ), alem de vãrios professores
do Programa.
as
Luiz
Um agradecimento especial, quero dedicar aos meus
colegas da Mecânica que sempre me incentivaram e me ajudaram.
Finalmente agradeço a Daisy , a toda a turma
PF6jM e a Seiko pela ajuda na parte grãfica.da
IV
RESUMO
Esta tese trata de um método analítico-numericoordináriaspara o estudo de sistemas de equações diferenciais
não-lineares em torno de um ponto de equilíbrio,
no caso de bifurcações.
especialmente
0 método , denominado "Método da Forma Normal" , ,
(MFN) e baseado nas teorias da Forma Normal e da Variedade Cen-tral.
normalização
para o estudo de vãrios casos de maior relevância pratica,
particular, o caso de ressonância paramétrica.
Deriva-se algoritmos recursivos de
em
Um destes algoritmos, de carater bastante geral,
foi programado em duas versões testadas em diversos
Estabelece-se também dois teoremas que permitem reduzir conside
ravelmente o tempo de processamento destes programas.
exemplos.
Finalmente deriva-se um algoritmo de normaliza-ção de Hamiltonianos.
V
ABSTRACT
This thesis is about an analytical-numerical me-thod for the study of nonlinear systems of ordinary
tial equations near an equilibrium point, especially in
differen-the
case of a bifurcation.
This method is called "Normal Form Method" (NFM)
and it is based in the Normal Form Theory and Center Manifold
Theory *
We derive recursive normalization formulae for
the study of some important cases. We also present the results
achieved from the solution of some example obtained by program-ming these formulae. Two theorems allowing considerable reduc-tion of processing time are demonstrated.
Finally an algorithm is also derived for
normalization of Hamiltonian systems.the
VI
ÍNDICE
Pag.
CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO 1
CAPÍTULO II - MËTODO DA FORMA NORMAL (MFN) 8
8II.1 Forma Normal
II.2 - Transformação Normal
11.3 - Comportamento Assintõtico
11.4 - Equações com Parâmetros..11.5 - Sistemas Não Autónomos...
11
16
20
22
CAPÍTULO III - APLICAÇÃO DO MFN EM ESTABILIDADE E VIBRAÇÕES 24
111.1 - Estabilidade no Caso Crítico
111.2 - Estudo do Caso Quase Crítico
III.3- - Aplicação do MFN no Estudo da Divergência Simples..
III.4 - Estudo do Flutter Simples (Bifurcação de Hopf)
27
30
30
33
CAPÍTULO IV - ALGORITMOS DO MFN 39
IV.1 - Algoritmo para Sistemas Com Parte Linear Crítica Dia
gonalizãvel
IV.2 - Sistemas com Parte Linear Crítica Não Diagonalizãvel
IV.3 - Algoritmo Recursivo
IV.4 - Simplificações para o Caso de Sistemas não Totalmen-te Críticos
40
45
49
50
Vil
Pag.
IV.5 - Algoritmo de Normalização para uma Formulação Alter-nativa do Sistema 59
IV.6 - MFN para Sistemas Lineares não Autónomos 64
CAPÍTULO V - PROGRAMAÇÃO DO ALGORITMO 69
V.l - Problemas Especiais de Programação 70
Problema aV.l.l 71
Problema bV.l.2 75
V.2 - O Programa N0RF0R1 80
V.3 - O Programa NORFOR2 83
CAPÍTULO VI - RESULTADOS NUMÉRICOS 87
VI.1 - Pêndulo Simples 88
Oscilador de Van Der PolVI.2 90
VI.3 - Equação de Mathieu
VI.4 - Equações de Lorenz
VI.5 - Exemplos de Dimensão Maior
93
95
98
CAPÍTULO VII FORMA NORMAL DE HAMILTONFANOS 102
VII.1 - Transformação Normal...VII.2 - Relações de Ressonância
VII.3 - Construção do Algoritmo
103
105
106
Vlll
Pag.
CAPÍTULO VIII - CONCLUSÕES 116
BIBLIOGRAFIA 120
APÊNDICE A - NOTAÇÃO 124
APÊNDICE B - TRANSFORMAÇÕES LINEARES 127
APÊNDICE C - ORDENAÇÃO DOS VETORES DE POTÊNCIAS 130
APÊNDICE D - TÖPICOS DOS PROGRAMAS NORFOR1 E NORFOR2 133
D.l - Principais Subrotinas do Programa NORFOR1
D.2 - Dados de Entrada do Programa NORFOR2
133
137
APÊNDICE E - OBTENÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO NORMAL COMO UMA ÚNI-CA SÉRIE DE POTÊNCIAS E SUA INVERSA 141
APÊNDICE F - ALGORITMO PARA EXPLICITAÇÃO DE UMA FUNÇÃO IM-PLÍCITA DE DUAS VARIÁVEIS 146
APÊNDICE G - DEDUÇÃO DA FORMULA (VII.2'6) 149
1
CAPÍTULO I
INTRODUÇÃO
O estudo do comportamento dinâmico de sistemas fí
sicos leva muitas vezes a consideração de um 6 Á.Atdma du
ç.õ e.4 otidí ntxA-LaA (EDO) de dimensão finita. Tal sis-tema é obtido ou diretamente, quando se trata de casos "discre-tos"(ou a parâmetros concentrados) ou indiretamente através
discretização de sistemas "contínuos", originalmente representa
dos por equações diferenciais parciais.
cqua-
da
0 presente trabalho concerne a elaboração de
método analítico para o estudo local das soluções em torno
um ponto de equilíbrio do EDO. A aplicação dos métodos existen-tes envolve geralmente uma enorme complexidade algébrica quando
se deseja obter aproximações de ordem maior (tipicamente > 2 f ordem) ou quando a dimensão do sistema ê grande. Pode-se mesmo d_izer que a partir de 3 dimensões, o algebrismo jã pode ser consi
^
deravel. Os métodos a que nos referimos sao por exemplo, o meto
, o das múltiplas escalas de tempo
lanço harmonico e os métodos de perturbação em geral, inclusive
o proprio método aqui considerado, baseado em formas normais *
um
de
1 o 1 7do de KBM , o do ba-
Assim, estas ferramentas de analise sò são efeti-vamente aplicáveis se a dificuldade algébrica inerente for
plantãvel, eventualmente com o auxílio do computador.
su-
2
Tratamos precisamente de construir esta
"ponte” entre teoria e aplicação no caso do método da forma nor
mal (MNF).
primeira
Consideremos o seguinte EDO:
x = f(x) ; x e Rn ; f(0) = 0 (1.1)
com f analítico em torno de x = 0. Se f(x) for linear ou se pu-dermos considerar a linearização de (1.1) em torno da
tratamos do sistema
origem,
A = 3f/3x (1.2)Axxx=0
Para se obter as soluções de (1.2) em forma analjí
tica o procedimento mais geral e o seguinte: através de
transformação linear(complexa) nao singular
uma
x = L y (1.3)
transforma-se (1.2) em
-1L A L y (1.4)v
de modo que L ^AL esteja na forma canónica de Jordan,
de então ser facilmente integrado por quadraturas. A transforma
ção (1.3) pode ser encarada como uma transformação que
os acoplamentos não essenciais entre as equações de (1.4). 0 ca
(1.4) po-
elimina
3
so extremo ë quando estes acoplamentos são totalmente
veis (forma canónica de Jordan diagonal),
elimina-í.e.,
(i - 1, (1.5)X y.í'í^i ••
Dizemos então que (1.2) ë diagonalizavel. A solu-À.tição geral de (1.5) ë simplesmente y^ = c - e
onde as constantes c^ dependem das condições iniciais para t=0.A solução do sistema original (1.2) ë obtida em seguida atravês
da transformação (1.3).
(i 1, ..., n)
A idêia bãsica da forma normal pode ser vista co-mo uma generalização do procedimento acima descrito, ao
obter uma transformação, agora
linear e localmente inversível ,de modo que o sistema transforma
do so contenha termos essenciais ou não elimináveis; tais
mos são ditos ressonantes. Diz-se então que o sistema transfor-mado estã na forma normal. 0 estudo de um sistema normalizado e
caso
não-linear. Trata-se de nao-
ter-
geralmente uma tarefa bem mais simples.
A teoria da forma normal foi formulada original-mente por Poincare ainda no século passado
mente foi consideravelmente ampliada por Brjuno
to , a aplicação desta teoria foi, atê recentemente,
quase que exclusivamente ao âmbito da Mecânica Celeste e areas
correlatas.
2 1 e mais recente-1 3 . Entretan-
restrita
4
Um exame rãpido de vários exemplos de aplicações
nos permite conjecturar que a pouca difusão
teoria em outras areas de ciências aplicadas se deve a dificul-dade das manipulações algébricas envolvidas. No entanto,
justificativa não e plausível pois, como jã dissemos,tal difi-culdade esta presente também nos métodos mais convenientemente
adotados.
1 91 5 da
esta
Nota-se ainda que sao raros os livros texto sobre
métodos analíticos da mecânica não-linear que apresentem a teo-ria da forma normal com certo relevo ou que sequer a mencionem.
Recentemente , Starzhinsk'ii I 1 ! deu grande desta-que a esta teoria e em 1974 realizou o primeiro passo no senti-do de resolver o problema algébrico da normalização. Significa-tivamente, seu livro jx| se chama "WitodoA Apldcadoi, na Tq.oh.da
do. Oò c.dlaq.00.^ Uao- Ldn&ahíó". A normalização é proposta em forma
algoritmica, mas trata-se de uma normalizaçao completa no sent_ido de Brjuno.
Outro algoritmo foi proposto por Hsu \ 2
como extensão de seus trabalhos anteriores
em 1981,
3 I. Este algo-ritmo leva em conta a possibilidade de se obter um sistema redu
zido para analise assintõtica. Este sistema reduzido
basicamente de uma restrição a uma variedade central e tem nor-malmente uma dimensão bem menor que a do sistema completo. Uma
normalização completa não ê então necessária, bastando obter o
sistema reduzido em forma normal. Isto pode resultar em uma im-
consiste
5
portante economia de esforço computacional.
Formas normais e variedades centrais tem sido usa
das em aplicações apenas recentemente.
Estas aplicações se referem, na maioria, ao caso
específico de bifurcações de Hopf [. As refe-rencias mencionadas contem inúmeros exemplos interessantes
mais variados domínios científicos. Pode-se notar entre
eles o denominador comum da preocupação em suplantar a "barrei-ra algébrica”. Assim o livro de Hassard, Kazarinoff e Wan
incorpora até um programa Fortran para a analise da bifurcação.
i í 2 0 1 8 1 4
nos
todos
1 4
0 nosso trabalho foi desenvolvido a partir do al-goritmo de Hsu para normalização de sistemas n-dimensionais ana-líticos (ou suficientemente diferenciáveis) em torno de uma bi-furcação no caso geral "diagonalizável". A organização e a
guinte.se-
Os Capítulos II e III são introdutórios. 0 prime_iro resume as noções e resultados básicos da teoria da forma nor
mal e o seguinte objetiva dar uma visão geral da aplicação
teoria a problemas de estabilidade e oscilações através de dois
tipos fundamentais de bifurcação: divergência e "flutter".
da
0 Capítulo IV inclui nossa contribuição para
elaboração de algoritmos de normalização de um EDO. Além de sim
plificar o algoritmo de normalização de sistemas periódicos li-
a
6
1 2 são construídos dois novos algoritmos , um para o ca
so "não-diagonalizãvel" e outro para sistemas da
[M + J(y)] y = Ay + F(y), bastante comum no estudo de
neares
forma
sistemas
mecânicos.
Também sao demonstrados dois teoremas que
tem simplificar consideravelmente as computações necessárias.
permi-
0 Capítulo V trata da programação do algoritmo re
ferente a sistemas "diagonalizãveis". A solução de problemas e£peciais de programação e apresentada.
Embora as formulas de bifurcação sejam dadas ex-plicitamente, uma programação eficiente (em termos de tempo de
processamento e memória necessãria), não e uma tarefa imediata.Um programa estruturalmente simples poderia nos conduzir a tem-pos de processamento ou espaços de memória proibitivos.
Os exemplos numérioos estão reunidos no Capítulo
VI. Exemplos clássicos (Van der Pol, pêndulo não linear,
thieu)foram testados para comparação com resultados existentes
pêndulo
Ma-
ou exatos. Nos casos das equações de Van der Pol e do
obtêm-se aproximações que corresponderiam as apAoxxmaçõe-f,quanta oAde.m do método de KBM. Para ilustrar a aplicabilidade do
MFN a sistemas de grande dimensão sãó discutidos dois exemplos
de
dimensão 10 e 13. O primeiro se trata de uma
ção de Hopf e o outro de uma bifurcação mais complexa com 4 au-tovalores críticos imaginários.
de bifurca-
7
Este Ultimo mostra o caráter geral do MFN.
No Capítulo VII tratamos de sistemas
nos. Neste caso exploramos a possibilidade de construir
las de normalização diretamente sobre o Hamiltoniano sem passar
pelo EDO associado. As transformações da normalização são canô-
Hamiltonia-
fõrmu-
nicas.
Finalmente incluímos alguns Apêndices paira
sobrecarregar o texto central , porem deve-se considerá-los como
parte importante deste trabalho. Cremos que certos destes Apên-dices poderiam ser de utilidade toda vez que se desejasse mani-pular series de potências através de transformações.
nao
A leitura do Apêndice A (notação) nos parece im-prescindível para a melhor compreensão do texto.
8
' CAPÍTULO II
MËTODO DA FORMA NORMAL (MFN)
Neste capítulo expomos rapidamente as principais
bases teóricas do MFN.
Maiores detalhes sobre a teoria da forma
podem ser encontrados no livro de Starzhinsk'ii |:|e, em maior
profundidade , no artigo de Brjuno
lecidas algumas condições de convergência das series formais da
transformação normal.
normal
1 3 , onde também são estabe-
Como fazemos referencia a variedades invariantes
e, em especial, a variedades centrais, recomendamos as referen-í i 1 4 para consulta.cias e
Trabalhos anteriores sobre o MFN com a abordagem
e notação próximas daquelas aqui adotadas são |2
ra uma apresentação unificada vide |5|.
3 4 II ; pae
11.1 - FORMA NORMAL
Trataremos nesta seção de sistemas de equações di
ferenciais ordinãrias do tipo:
FjCx) (i = 1, •.• , n) (II.1)X . x . +X.11 1
9
T e F.(x) são séries de potências1
, n) começando por termos de ordem não inferior a
Ui ,onde x
xi (i = 1, .2. Diremos também que F^(x) é estritamente não-linear em x.
em1
» «
Os seguintes teoremas são básicos no MFN:
íTEOREMA (II.l)
Seja o sistema (II.l). Se A = (A^, ..., A ) satis
fazer as seguintes condições:
a) para qualquer vetor v de dimensão n , |v
teiros não negativos:
> 2 , de numeros in-
A. f v.A (j = 1, • , n);« *J
b) existe no plano complexo uma reta passando pela origem,
que todos os elementos de A fiquem do mesmo lado desta reta;
então existe uma unica transformação inversível e
em alguma vizinhança da origem que transforma (II.l) em:
tal
analítica
(i = 1, ..., n) (II.2)= Ä -i yiyi
Este teorema nos permite integrar localmente o
sistema (II.l). De fato:
A.tC. = constante; i = 1, ..., n)*i =1
10
e a solução de (II.2). 0 sistema (II.1) pode ser obtido
diagonalização de um sistema de equações diferenciais real,atra
vês de uma transformação linear complexa. Neste caso os autova-lores resultantes X^ (i = 1, , n) serão simétricos com
peito ao eixo real , podendo a reta da condição b) ser o prõprio
pela
res-
eixo imaginário.
íTEOREMA (II.2)
Existem transformações formais inversíveis que le
vam (II.1) a forma:
y ± + Gi(y) (i 1, ..., n) (II.3)X .yi = -i^
sendo que:
OOV V«i yG i C y) = l (i 1, ..., n).
v I-2\ .=0vi
Estas transformações não são em geral únicas.
A equação (II.'2) ë um caso particular no qual não
existem, pelas proprias condições do teorema, termos
tes, isto ë , termos para os quais:
ressonan-
X . = 0vi
As transformações do teorema(II.2) sao em geral
11
apenas formais, ja que nem sempre se pode garantir sua
gencia. Alëm do mais as condições conhecidas de convergência são
, |J| (o teorema (II.1) respeita
|). Porem, dado que em princípio nos atemos a apli-cações baseadas em series truncadas? não nos preocupamos a
guir com o problema da convergência das series formais.
conver-
1 3bastante restritivas)
condições
estas
i
se-
ll.2 - TRANSFORMAÇÃO NORMAL
Nesta seção mostraremos o princípio da
dos coeficientes da transformação normal de sistemas do
(II.1), bem como da própria forma normal (II.3).
obtenção
tipo
Seja o sistema:
GO
,v V0. XlX . x. +i 1
X -1
• £ C)(í 1, ..., n, A^, 4* (II.4)
normal ate os termos de ordem N-l, isto e:
Í>V = v < N-l e X ..j*0.0 para
vií
Aplicando a transformação quase-identidade:
BV1 7+ .1 (i = 1, .... n) (II.5)X .
1 I P I =N* (Problemas finitamente determinados)
12
procura-se obter o sistema transformado
oo —v+ .1 • •• j n) (II.6)$:y. = à. y.1 1 1 1 i y
v =2
normal atë a ordem lv = N, através da escolha dos coeficientes
BV.X
Substituindo (II.5) em (II.4) resulta:
p-6.nlBV J ; yy +yi + lyj x . + A •y i ^ iyj1
3 =1 3 1|p|=Ny I =N
OO oo,V V
^<±>. y +í J hv v- .1 (II.7)i y
v = 2 v =N+1
(i = 1, ..., n)
onde hV sao os coeficientes que resultam da substituição
(II.5) na segunda parcela a direita de (II.4) excetuados os ter
mos contidos no penúltimo somatorio de (II.7)(hY = f(Bi
- N+l; j
de
V $i);rN ; I vI = 2 , .
conta (II.6) obtem-se:1, n). Levando emy V« •
y - <5 .oo nIv BVVí + X * [.I 3 (A. y. +i y yyi1 i =iv = 2
co oo
$v. yv)1 = A. y - + A . £1 ' JJ i 7 i 1 I Lv +By yy + I- . 1 iyv =2 v =2
OO
hiyv (i = 1, ..., n) (II.8)+
v =N+1
13
Isolando em (II.8) termos de mesmo expoente chega
mos às seguintes equações:
v4> . = $. CM < N)1 1
= Bi tAi o- A)] + 4i C|v = N)
v-v+5-;(v.-v.+ll $V Bv3 I
•V Vl + h:J = $:11J 1j=1 Iv J =JvI -N+l
CI V [ > N) (II.9)(i 1, ..., n).
Fica claro então que , se fizermos:
BV = $V/A •1 1 vi <*vi'°)
BY = arbitrãrio (II.10)(X = 0)vii
(i 1, ..., n)
o sistema se torna normal ate ordem N.
Como dito anteriormente a transformação geralmen-se porem fixarmos B?(por exemplo, BV = 0) para
X . .. = 0 então a transformação fica sendo unica.
de faremos sempre BY
te não ë unica;
Por simplicida-vi
0 se À - 0 .vi
14
EXEMPLO:
Seja a equação:
••0 . Cii.ii)y + sen y
Esta equação pode ser transformada no sistema:
Z1 0 Z11 0
+ OU
zJ/3: zj/s: +Z 2 0 Z2-1
Z = A Z + F CZ) , (11.12)
7Ty ; z =onde Z^ = y ;
rie de Taylor.
foi expandido em sé= (Zp Z2) e sen ZZ2 1
Mediante a transformação linear Z = L x, sendo
matriz L escolhida de modo a diagonalizar a parte linear A
(11.12), tem-se:
a
de
["À ] x + L“1 F(Lx) ; (11.13)x
sendo:
r 1/2 1/ 2 1 03 -1; Í"A.]L
-j/2 j/2 1 0 1-JJ
15
0
F(Lx) =• (11.14)X,+X9 Xr+X7
1/6(——~)3 - 1/120 C——-)5 + • « •2 2
Podemos reescrever a equação (11.13) como:
f(x)0X1 X1~3
(11.15)+ J-f(x)y0X2« / X2J
3
onde:
K-l lK (K+l)/2 xxCO X2I lf(x) (-1) (11.16)2K ll(K-£).’K-3,5 ,7 £=0
Afim de encontrar a forma 3-normal da if equaçao
do sistema (11.15)(a segunda e simplesmente seu complexo conju-gado) aplica-se a transformação quase-identidade:
BV xy (i = 1, 2) (11.17)x - +xí í
sendo:
BV = $V/A •1 pi U.:,/o)1 pi
(11.18)
BV = o (A„,=0).x yi
16
0 termo ressonante (A^. = 0) para terceira ordem e:
*2,1 4l A = j/16 ,1
e a forma 3 normal ë portanto:
- j xx + j/16 x^ x2 + (11.19)X1 = * • •
Os termos da transformação 3-normal são apresenta-das na tabela (11.20).
v v *2V *2A $1 B A B2v vl 1 v2
j/48 - 1/963,0 - 2j - j/48 1/1920 - 4j 0
j/162,1 j/160 - j/16 1/320 - 2j 0
j/16 1/321,2 2j - j/160 -j/160 0
j/48 1/1920,3 4j - j/48 - 1/960 2j 0
(11.20)
II.3 - COMPORTAMENTO ASSINTÖTICO
Seja o sistema real:
Z = A Z + {Fi(Z)} (i 1, (11.21)
onde A ë uma matriz nxn e F^(Z) ë estritamente não-linear em Z.
Se A tiver l autovalores críticos, isto ë com par-n - l autovalores com parte realte real nula, e m negativa,
17
através de uma transformação linear adequada (vide Apêndice B),
desde que A seja diagonalizãvel pelo menos no. que concerne
seus autovalores críticos (diremos que A tem parte crítica diago
nalizavel), (11.21) fica na forma:
aos
x = A x +(F^(x)} U = 1, (11.22)., n)•
onde:
À 01\ÀK (A matriz mxm).A 22
0 A22
5TEOREMA II.3
Existe uma transformação formal:
x x.I J
co
Bkx" (11.23)'xk = xk +
y I ~ 2yeM
1, ..., l; k = l+ l , . n; y e M se y = (y -p .(j £ » 0 , • • • ,0)... , ym m 9
que transforma (11.22) em:
A x + {G^(x)} (i = 1, •• - , n) (11.24)X
18
onde:
s° CO
, V —V. Xx^ + (II.2 5 a)G.3 J jU I =2 v =2
vj£MyeM
co. V -*kx (II.25b)Gk =
v =2v£M
1, k = l + 1,(j , n).• • •
Fisicamente a transformação (11.23) consiste
uma separação entre modos lentos e modos rápidos. Esta transfor-
mação permite geralmente diminuir a dimensão do sistema estuda-do. De fato, apos um rapide transiente , onde os modos
atuam, toda evolução do sistema sera essencialmente
pelos modos lentos. Estando-se interessado no comportamento 1 de
regime ou assintotico, pode-se estudar somente o
do sistema reduzido isto e:
em
rápidos
governada
comportamento
co—y$ X+ .1 (j 1, ..., £) (11.26)A - x.
3 3x.3 3y j =2
yeM
Formalmente, (11.26) descreve o comportamento
(11.24) sobre uma variedade invariante dada por:
de
co
i= 0 ou (k = Z+ l, ..., n).xk (11.27)xk y I =2yeM
19
A normalização sera efetuada somente sobre as l
equações (11.26).
Na pratica a separação dos modos lentos e rápidos
e a normalização das t equações críticas pode ser efetuada simul
taneamente , através de uma simples transformação:
co
BVi + , 1 • , n), (11.28)(i = 1,x. X - ••1 1U I =2
yeM
sendo apenas diferente a definição dos EL para i = £+1,
daquela para i = 1,
n•• *
, i.t ••
Por comodidade , no caso de sistemas não totalmente
críticos com parte linear crítica diagonalizãvel, definimos como
N-normal o sistema que possa ser colocado na forma:
NN CO
Xv + - V V$. X4> V xy + l lA. X +3 J
X.3 33 3y =2 v =N+1v - 2
yeM v^MAy'3 =0
N 00
íi.} = A„ {x } + { I *1 x v > ir * V V -,kx } (11.29)
vI=N+1v =2v^M(3 = 1, t\ k = l+l, ..., n).• « • »
Onde identificamos como ressonantes os termos <t> VX'^3do primeiro somatõrio de x. (j = 1, ...,£).
3
20
- EQUAÇÕES COM PARÂMETROSII.4
Seja o sistema:
x = £(x, e) (11.30)
sendo f(x, e) analítica em x e e e f(0, E) = 0. Suponha-sese e < 0 (suficientemente pequeno) Re(A^) < 0 (i = 1, ..., n) e
que para e = 0 alguns autovalores passam pelo eixo imaginãrio,isto é: A, = Aj(e); Re(A
^(0)) = 0 , (j = 1, ..., l; l < n)
que os demais permanecem a esquerda.
que
sendoJ
Deseja-se estudar o sistema em torno do valor
bifurcação e = 0.Poder-se-ia normalizar (11.30) para valores
e de interesse em torno do valor de bifurcação.
de
de
Esta solução, além de trabalhosa(normalização para
vãrios valores de e), encontra um problema mais fundamental rela
cionado com o aparecimento de pequenos divisores na transforma-5 | quando e 0. Em outras palavras alguns elementos
das transformações normais podem tender ao infinito quando e -*-0.Isto causa uma discontinuidade na transformação.
çao normal
Os inconvenientes apontados podem ser contornados
— «
introduzindo-se uma equaçao suplementar £ = 0; O sistema (11.30)
então fica:
21
x - f(x, e)
(11.31)
0e
onde agòra e e considerado como uma variãvel associada a um auto»
valor nulo.
Os autovalores do sistema aumentado são agora crí-ticos, jã que e vai afetar somente os termos não-lineares da pri-
meira equação (11.31).
A título de exemplo consideraremos o seguinte sis-tema:
^ *
X1 = x2sistema . sistema
- £2 X2~x^+ F(x^, X2)J original (11.32)aumentado * x2 =
0k. £
onde F(x,, X2) contem series de potências nao-lineares ímpares
em x. e x2'1
Ë fãcil verificar que tanto a transformação quanto
a forma normal , neste caso, contarão somente com potências ímpa-e e (daí 0 artifício de se usar e2 no lugar de e).res de x-^, x2
22
Os autovalores que originalmente eram Ai = A2*
= - e2/2 - j / l - e4— com o sistema aumentado ficam sendoA
0. Na primeira equação os termos
, etc. correspondem ã
em serie de potências em E dos autovalores originais.
X2 = - J e X3tes *Xl- c2 4>ïl’e\ íXl- £A ressonan-1
8 1 2expansao11
Ë de se notar que a rigor o sistema original é não
crítico (para e f 0) tendo a sua transformação normal uma
continuidade para e = 0.
dis-
A utilização da equação paramétrica permite estu-dar 0 sistema como uma família a um parâmetro (e) e elimina
descontinuidade da transformação normal, também considerada como
uma família a um parâmetro. Além do mais , gera-se um esquema de
perturbação que evita o calculo da forma normal para diversos va
lores de e em torno de zero.
a
II.5 - SISTEMAS NAO'- AUTÓNOMOS
Tratamos até então de sistemas autónomos. O MFN po
de porém tratar da normalização de sistemas não autonômos linea-res ou não-lineares.
Seja por exemplo a equação linear não autonoma
(equação de Mathieu):
x + (Q2- p cos t)x = 0 (11.33)”
23
Com condições iniciais adequadas u = p cos t e•«
solução da equação diferencial u + u = 0.
a
Pode-se então transformar (11.33) em:
x + (Q2 - u) x = 0
(11.34)««
0u + u
onde agora u ë uma variãvel que substitui p cos t na
equação. 0 sistema (11.34) ë autónomo (não-linear) e pode o ser
normalizado com os procedimentos descritos anteriormente. Seguin
do a mesma ideia podem-se tratar casos mais gerais (vide
seção IV.6).
primeira
1 2 e
A forma normalizada permite estabelecer facilmente
as bem conhecidas regiões de estabilidade no plano de parâmetros
(Q, P) IM *
A normalização da equação (11.33) sera tratada com
maior detalhe mais adiante.
24
CAPÍTULO I'll
APLICAÇÃO' DO' MFN EM ESTABILIDADE E OSCILAÇÕES
O MFN é essencialmente um método analítico e pode
ser usado como tal para sistemas de ordem pequena. Caso contra-rio, como a algebra envolvida torna-se muito complexa, deve
geral ser usado como um método analítico-numérico com auxílio do
computador.
em
0 MFN é particularmente adequado para a analise de
um ponto singular crítico ou quase-crítico de um EDO a n-dimen-sões. Aqui entende-se por ponto singular crítico aquele em
alguns dos autovalores (ditos críticos) associados tem parte real
nula, tendo os demais parte real negativa.
que
A condição crítica e normalmente associada a
bifurcação , i.e., uma mudança de comportamento qualitativo
sistema quando um parâmetro de controle (velocidade, carga , etc.)
passa por um certo valor chamado,de bifurcação. Para este
o ponto de equilíbrio torna-se crítico.
uma
do
valor
Em si, um ponto crítico é uma idealização matemá-tica. Entretanto o seu estudo tem significado concreto porque a
análise deste ponto permite obter conclusões qualitativas sobre
o comportamento quase crítico, i.e., para valores do parâmetroíem
torno do valor de bifurcação.
25
A situação pratica de maior interesse e a bifurca-ção gerada pela instabilização do equilíbrio.
Os tipos de instabilização de maior importância são
a instabilização por "divergência" e por "flutter". 0 primeiro ê
associado a autovalores críticos nulos e o segundo a autovalo-res críticos imaginários não nulos. Os casos mais simples
mais frequentes correspondem a um (ou dois no caso conservative)
autovalor nulo e a um par de autovalores imaginários c.c.
e
Em Engenharia Mecânica e Civil a”divergencia"apare
ce em problemas de flambagem de estruturas. Trata-se do fenômeno
bãsico estudado na Teoria da Estabilidade Elastica. 0 MFN
parece uma opção vantajosa em relação a métodos de
mais usuais(vide por exemplo|9|) na analise da estabilidade e
calculo das ramificações de equilíbrio que emanam de um
crítico 8 I .
nos
perturbação
ponto
A instabilização por "flutter" e um fenômeno impor
tante em inúmeras areas científicas, por exemplo, Mecânica, Quí-mica, Sistemas Biológicos, Aeronáutica e Controle Automático (vi
^]). Na area da Mecânica, o "flutter” ocorre em sis-
temas sob ação de forças não conservâtivas. Dois exemplos bem co
nhecidos são o "flutter" de tubos conduzindo fluídos e de
1 4 2 3de e
pai-néis sob fluxos supersónicos; outro exemplo clássico ê a instabi
22|. 0 "flutter", também1 4lização do regulador de Watt
nhecido por bd-^uAzação dz Hop^ se traduz por uma instabilização
co-
do tipo oscilatório.
26
oscilações podem resultar em uma oscilação de regime prõ
xima ã condição de equilíbrio. Quando tal oscilação de
não existe , a instabilização pode levar ã ruptura do sistema de-vido aos grandes deslocamentos gerados. 0 interesse pratico
se prever quando uma ou outra situação ocorre e claro: a primei-ra garante uma maior segurança de operação. Esta previsão ë pos-sível pela analise da estabilidade na condição crítica. Se o sis
tema opera alem do limite de estabilidade, o calculo da amplitu-de e frequência da oscilação de regime ë necessário para uma ana
lise de fadiga
'As
regime
de
2 5
Os problemas apontados podem ser abordados pelo
MFN
Outras aplicações do MFN dizem respeito ã ressonân
I) ou forçada e ressonân
, em particular de sistemas Hamiltonianos.cia paramétrica (vide seção (IV.6) e
cias internas
1 2
1 5
Em qualquer caso, o princípio de utilização do MFN
(a) obter a forma normal i.ê. o sistema reduzido normal,
(b) estudar o sistema reduzido e (c) eventualmente usar a trans
formação normal para retorno âs variáveis originais.
e o mesmo:
0 passo (a) pode ser obtido numericamente como jãmencionamos no Capítulo I e o passo (b) ë geralmente fãcil devi-do â pequena dimensão do sistema reduzido e a sua forma normali-zada que so inclui termos essenciais (ressonantes).
2 7
A seguir, recapitulamos a problemática da estabili
dade no caso crítico e introduzimos um esquema de perturbação pa
ra o caso quase-crítico.
Finalmente, ilustramos a aplicação do MFN apresen
tando rapidamente a analise da divergência e do "flutter". Maio-res detalhes podem ser encontrados em|5 ].
III.l - ESTABILIDADE NO CASO CRÍTICO
Seja o EDO real
; x e Rn ; F(x)^ 0.x = Ax + F(x) (III.l)
Consideremos o caso analítico, embora pudéssemos
funçãosimplesmente exigir diferenciabilidade suficiente. A
F(x) e do tipo Q.òtn.ÁXa.rmnto, nãoisto é lim I l F W 1 1 /|x|1-0norma euclideana). Portanto as séries de poten-
ordem,
x
cias dos elementos de F(x) começam com termos de segunda
no mínimo. Assim, x = 0 é um ponto de equilíbrio de (III.l). Es-te ponto é dito crítico se Re[à.J 0 e Re[XjJ < 0 (j=l, ..., t
(1 < í < n) ; k = l+ l , ..., n) sendo Aj e A^ os autovaloresJ
da
matriz A.
Se x = 0 não for crítico pode-se concluir a
estabilidade somente através da matriz A.
sua
28
Se porem tivermos um caso crítico, a analise
parte linear de (III.1] não sera suficiente para determinar a es
tabilidade da origem, é necessário considerar ou o sistema
pleto ou pelo menos os primeiros termos das series de F(x).
te ultimo caso diz-se que a estabilidade ë finitamente determina
da
com-Nes
da.
2 4 a analise do caso crítico po-de ser feita através de um sistema reduzido de dimensão igual ac
numero de autovalores críticos. 0 sistema reduzido de Malkin
Segundo Malkin
e
essencialmente o sistema reduzido do MFN. Se a estabilidade for
finitamente determinada basta conhecermos os primeiros termos do
sistema reduzido.
A utilização de series truncadas esta ligada
noção de (Lût ab Alidade, A & gu.ndo a m - z -idma apfio xdmação
noção ë uma extensão da estabilidade linear.
a
2 4 Esta
Seja agora uma família de EDOs do tipo (III.1) da-da por:
x = f(x, a) (III.2)
onde a e um vetor de parâmetros de controle e seja x = A(a)x
domínio de estabilidade no es-a
sua aproximaçao linear. Chamamos
paço de parâmetros
1 »
o coniunto de vetores otCl
x = A(a)x ë exponencialmente estável (i.e., os autovalores
t rquaispara os
de
A(a) tem parte real estritamente negativa). 0 domínio de estabi-
29
lidade ê geralmente limitado por uma hipersuper.fície que
.A Fronteira contêm os valores
chama-mos "fronteira de estabilidade"3Dacríticos de a.
crítico0 seguinte teorema liga o comportamento
com o comportamento quase crítico.
2 4TEOREMA III.l
"Se a origem ê assintoticamente estável para a so-bre a fronteira 3Da,_ entãoo máximo desvio do movimento, em
origem, pode ser mantido arbitrariamente pequeno se a distância
de a â fronteira for suficientemente pequena’.'
relação â
Assim, se passarmos de uma condição estável
outra instável variando a, então, nas condições do teorema,
sistema permanece pH.atÁ,c.amzntz 2.6tãvnl no lado instável se
estiver suficientemente proximo â fronteira SD .
para
o
a
Se a origem ê instável na situação críticaocorre normalmente uma instabilização efetiva ao cruzar a
teira para o lado instável. Alem do mais ,mesmo antes de cruzá-la,o domínio de estabilidade no espaço de estado D se contrai para
a origem â medida que nos aproximamos da fronteira SD^.
perto de 3D^
tem-se uma i.nòtabÁ.l Ã.da.d.2. . pfLcit ica no lado estável.
então
fron-
Assira
30
111.2 - ESTUDO' DO CASO 'QUASE CRÍTICO
Se alëm dos aspectos qualitativos quisermos anali-sar quantitativamente o caso quase-crítico (por exemplo, determi
nar as amplitudes de oscilações) então ë conveniente, introduzir
um esquema de perturbação , considerando uma expansão do
tro a em serie de potências de um pequeno parâmetro e :
parame-
(III.3)e + aac + ala = • *
Normaliza-se então o sistema aumentado da equação
de parâmetro auxiliar e = 0.
A forma normal assim obtida, e em particular
sistema reduzido , contem explicitamente a dependência em relação
a e através da presença de termos com potências de e.
o
II1.3 - APLICAÇÃO DO MFN NO ESTUDO DA DIVERGËNCIA SIMPLES
A divergência simples ê caracterizada por um unico
imaginário na origem.autovalor que cruza o eixo
Portanto, no caso crítico, o sistema reduzido con-tem uma unica equação que pode ser escrita como:
00
I *í *í (III.4)X1 =j=2
RSendo o primeiro coeficiente iião nulo de
31
(III.4) a estabilidade (assintotica) ë dada pelo seguinte crité-
rio:
K --K ímpar e < 0 (estável)
v - *kK impar e 0 ou K par (instável) (III.5)>
Afim de estudar o caso quase-crítico
uma equação paramétrica c = 0.
adiciona-se
Neste caso o sistema reduzido fica:
s=2,.. 00 . 1> k X J k = £1(x1, e)
# 1
ï £X1 = 1j+k=s
(III.6)0e
Para maior generalidade exige-se apenas:
fx(0, 0) = 0.
Em (III.6) a equação:
f(xx, e) = 0 (III.7)
fornece os caminhos de equilíbrio de (III.6) no plano (x^, e).
Sendo P = (x^, e) pertencente a um caminho de equi
líbrio tem-se para P:
32
3£1(xI, e)(estabilidade)< 0
3x1 P
(III.8)
3£1(x1, e)(instabilidade)> 0
3x1 P
3f^(Xj, e)= 0 ë necessária analise de ordem superior.se
3x^ P
Vxi> e)
t*/ï' x1
iP
íFIGURA 111.1
A Figura (III.1) esquematiza um sistema com
caminhos de equilíbrio YQ e y
dois
1 *
33
e estável.Ë fãcil notar que yQ e instável e y1
A aplicação do MFN a problemas de estabilidade elas
tica resulta em uma abordagem bem mais simples em relação
procedimentos clássicos. Esta simplicidade não reside somente na
sua apresentação mas também na sua utilização , já que a obtençãoda forma normal e realizada por um algoritmo geral que
inclusive,considerar divergência multiplá (ou flambagem múltipla)^0 ^ I r< I —e vários parâmetros de controle \ \. Evita-se também a utiliza-
ção de formulas complicadas quando se deseja aproximações de or-dem superior dos caminhos de equilíbrio através de uma normaliza
ção recursiva como apresentada no Capítulo seguinte.
aos
permite,
ESTUDO DO "FLUTTER” SIMPLES (BIFURCAÇÃO DE HOPF)III.4
Veremos, nesta seção , o caso de um so par de auto-valores críticos imaginários (conjugados), chamado também de bi-furcação de Hopf.
Sem perda de generalidade consideraremos aqui
unico parâmetro de controle de bifurcação a e que a < actra-se no interior do domínio de estabilidade no espaço de parâ-metros de (III.2).
um
encon-
No estudo do caso crítico (a = a em (III.2)) te-c
, em linguagem infor-2 3mos o seguinte resultado bem conhecido
mal:
34
se o caso crítico for assintoticamente estável segundo
3^ aproximação há nascimento de um ciclo limite estável
partir da origem apos a instabilização;
I) a
a
se for instável ha instabilização da origem por colapso
um ciclo limite instável para origem.II) de
Na Figura (III.1) estão mostrados os casos pre
pos crítico de I) e II) no plano de fase x^,e
x2.
x X22
I <* < <*_
«*> «tc
C.L
fef)X X1 1
/ J \X2 X2
II «X < <* <. * > OCc
C.L.X X1 1
FIGURA III.2.:
35
NOTA: Para serem validos os resultados I) e II) e necessário que:
d(Re.[.A .])J f 0 sendo A. um dos dois autovalores críticos.
Jda a=ac
No caso quase-critico a amplitude aproximada
ciclos limite pode ser achada pelo esquema de perturbação intro-duzido no Capítulo II.
dos
Sendo o sistema reduzido normalizado:
f xX1 = £1(x1, x2, e)
< x2 = f2(xp » x2 » (fl = f2) (III.9)
j4> -j(j)e definindo: tem-se em coordenadas polaxl a e a e
res:
a = — Re[x2 f2(x^, e)] = ÿ(a, E)x2,a(III.10)
T Imt>2ae )] = R (a , £ ) .fi ^xi’ X 2'
Os ciclos limites são determinados por:
i H a , e ) = 0 (III.11)
36
que fornece a "amplitude” a como função de e.
A frequência e então obtida da 27 equação(III.10).
Para se obter a solução periodica do sistema origi.
nal basta usar a transformação normal:
ORIG. NOR= T(x ) (III.12)x
onde:
-jcpj 4» NORNOR (variáveis críticas) eX1 a e ; x2 a e
NOR NOR = 0 (variáveis não críticas).X3 X« « n
EXEMPLO:
instávelVerificar a ocorrência de ciclo limite
perto da origem na equação:
•*
- 4/3 y 3 = 0 (III.13)y + y + y
SOLUÇÃO:
Aplicando o esquema de perturbação com a
auxiliar paramétrica, como visto na seção III.'4, obtemos o siste
equaçao
ma:
37
s yi = y 2
- e2 y2 + 4/3 y3 (III.14)y2 = ~ yl
1?Aplicando o MFN chega-se à forma 3-normal da
equaçao:
e2 Il.1/2 Xj x2 = f1(x , x2, e); (III.15)xr - J xi -2
-Í* deintroduzindo as coordenadas polares x
riva-se atraves de (III.10) a seguinte equaçao para a
a e e x a e1 2
a e2 + 1/2 a3 (III.16)a2
O gráfico desta equaçao no piano a x a e dado na
Figura III.3.
38
.a
o a
FIGURA 111.3
Nota-se que a origem ë estável, mas preve-se um c_icio limite instável em a = e.
Isto pode configurar uma i d a dí p^ãtÁ.ca. da5| quando e for muito pequeno.origem
NOTA: Este exemplo não trata propriamente de uma bifurcação
Hopf, jã que, sendo À(e) um dos autovalores da parte
near de (III.14):
de
li-
d ÇRe [ X(e)D 0 .de e=0
Para se ter uma bifurcação de Hopf basta
tuir e2 por um novo parâmetro a = e2 , nos restringindo a a >_ 0.Isto serviria para justificar a existência efetiva da solução pe
riodica prevista. A alternativa de se utilizar e2 serve puramen-te para reunir de maneira simples, na FN, termos de mesma
de grandeza (note-se que o ciclo limite ë da ordem de e).
substi-
ordem
39
CAPÍTULO IV
ALGORITMOS DO MFN
Neste Capítulo são construídos alguns algoritmos
recursivos de normalização de sistemas de equações diferenciais
ordinárias tendo em vista a viabilidade da aplicação numérica do
MFN. Estes algoritmos cobrem os seguintes casos:
a) sistemas com parte linear crítica diagonalizãvel,
b) sistemas com parte linear crítica nao diagonalizãvel (autova-lores críticos múltiplos],
c) sistemas da forma [M + J(y)]y = A y F(y),
d) sistemas lineares a coeficientes periõdicos.
1 2Os casos a)e d) foram abordados em [ 2[ e
sa contribuição e representada pelos casos b) e c) e por uma no-va formulação simplificada do caso d).
.Nos
Além disso, demonstramos dois teoremas que permi-tem reduzir significativamente os cálculos necessários através da
identificação dos termos das séries de potências que devem
reatualizados a cada passo de normalização.ser
4 0
- A L G O R I T M O P A R A S I S T E M A S C O M P A R T E L I N E A R C R ÍT I C A D I A G O NÄ-I V.1LTZ ÃVEL
S e j a o s i s t e m a (1 1 . 2 2 ) . A p l i c a n d o u m a t r a n s f o r m a-ç ão q u a s e- i dên t i d a d e d e m o d u l o N [y e M s e y (y -, , y 2 » • • > y£ .10 , . . . , 0 ) j :
B V• + I1 1 L ( i 1, • • • ) r i ) C i v - i )X .1 1
U I = Ny e M
p r o c u r a-s e o b t e r o n o v o s i s t e m a :
o o r ví> . X+ . 1A . x .3 3
x .3 3v = 2
OCV — V -,X }{x k } ' A2 2{x k} + f T ( j = 1 , . . . , t \ k = £+ l , . . . , n ) .4kv = 2
( I V. 2 )
E f e t u a n d o a t r a n s f o r m aç ão ( I V.1) e m ( 1 1 . 2 2 ) e l e-
v a n d o e m c o n t a ( I V. 2 ) t e m-s e :
l p -S po o
BV --V — v-1 —$p X J X[A x + yP P P Í TÍ
l+X - y3 3y = N P-l v = 2
y eM
OO 0 0,V — v$. X +BV X ^] = y V — V. X- A . [x . + I h ( I V. 3a )33 J 3 = N +1' J| y j= N v = 2 v
y e M
41
l y - 600TV — Vi —X j X
p > -b£ I y [x x + I= i P P P ' L
{Ik } + U $v \ = 2 ?| y | =N P=1
y e M
00CO
U\> — V ,K x }, V — V -, ^ r r$k x } + { >Bk ^U } = { Jï{ x kA +22 y I = N v = 2 v = N +1yeM
1, . . . , l ; k - l+l , ( IV.3b ). , n )( j = • •
Fazendo em ( IV. 3) :
B V = $ V/ X : t 0)(y e M; Xy y ’ jJ y J
BV = 0 (ou a rb i t rár i o ) ( y e M ; X = 0 )y ’ jj
- l{BP } = [ ( y x ) I - A22J < *r > ( y e M) ( I V. 4 )
n ; I ma t r i z i den t i dade mxm )( j = l , k = £ + l , • • • ï
ob t em-se :
jV . v$ , = $ . C l V < N)l l
$P = UP = o )= N ; y e M ; X y ’ jJ 3
$P = 0 ( I y I = N ; y ^ M ; x : t 0 )y ’ j3
- 0 ( I y I = N ; y e M)
42
v$ . = $ . CN = N; v / M)ii
l V-V+Ó-rV V$. = $. - (v -v +1) $V B.p p p 1+ ^ (M >N)PI1 1 v -N+lP=1 v
(IV.5)(j 1, ..., £; k = £ + 1, ..., n; i 1
Ê fãcil verificar que, estando o sistema (11.22)
o sistema (IV.2) ficaja normalizado ate ordem N-ldo ate a ordem N.
normalizar1
vTemos, em (IV.5), a seguinte expressão para h -í2
J'=l,...,L-1 U (J ' )TK(J')
rS,LK(J)hV = C .J )Bn1 1IvT-s(v ) 6 (l i * .. ,IS)
|v ’(j)l =NÏÏ(J) e Md 1,... ,L
S=2
(IV.6)
sendo que:
a) L deve satisfazer:
; L inteiro ; L < SN-l
s,L somatorio sobre todas as L-combinações(K(l),...,K(L)}b) CK(J)dos s primeiros numeros inteiros não negativos.
somatorio sobre todos os vetores u(J),c) Lly(J)[ =NM(J)eMd —1 ,...,L
43
. L d e núm e r o s inteiros não negativos que satisfaçam:J = 1,
Lhl1 y(J') = v
j'=iÖ J ,
1 K(J ’)v +
J'=
j U(J)j = N ; y(J) e M • , L).; (J = í, • «
Estando-se interessados apenas em formas 3-normaisde sistemas com não-linearidades quadráticas, a formula
pode ser reduzida ã:(IV.6)
v-ô v-6I12 X)hV = (BI vl =3).(i = 1, ..., n;+ BI12Ii I v I =2 1(IV.7)
No caso de sistemas ímpares tem-se para a forma
5-normal ;
v-6 -6l2 i3v-ô v-6siA 3I 2
)1hi 1 (B1 ^ + B + BJ3
T I2nI v I =3CvU-Ui.q.ij)
(i 1, ..., n, v = 5) (IV.8)
NOTA 1: Se bem que no último conjunto de equações de (IV.5),
apareça dos dois lados da igualdade (l&Ví
e 4>v),P
a solução do sis-tema em termos de oY e simples porque
1, isto e,
N+lv > v|e para |v-rVnao aparece $
palavras, o sistema com incognitas e do tipo triangular.
N+l. Em outrastem-se v para|v
Ë
possível resolve-lo sucessivamente para|v| = N+l ,|v|=N+2 ... ,
e conhecido a partir dos passos ante-sendo que a cada passo 4>v
riores.
44
NOTA 2: A segunda parcela da ultima equação (IV.5) ê nula para
termos ressonantes de ordem N + 1.
EXEMPLO:
Dado o exemplo da seção II.2 achar a forma 5-nor-mal.
a - —3 20 termo ressonante de 5. ordem e 4,’ calculado1
através de:
3,2*3,2_ ,3 ,2 h4 41 1
sendo:
3,2 *1-J. = - 0.0026042j ;41 25.2:.3: 384
h3 -2 e calculado por (IV.8):1
(3Bj’2) + 4^ ’1 (2B^ ’1 + B^’2) + (B3 , 0 + 2B 2 ’1)+3 ,03,2hí 4 11
0,3 (3B3 >°) = j(-L- + 5L 512 1536 3072—) = 0.0055338 j+ 4 +
1
Portanto:
-5-3.2 (-0.0026042 + 0.0055338) 3 = 0.0029297 34A1
4 5
e a forma 5-normal fica:
-j x^+ 0.0625 j x|+ 0.0029297 j x|+ ..Xl=
IV.2 - SISTEMAS COM PARTE LINEAR CRÍTICA NÃO DIAGONALIZÄVEL
Como se sabe , se uma matriz não for diagonalizã-vel por uma transformação de similaridade, ela pode mesmo assim
ser reduzida à forma canónica ou normal de Jordan. Por convenção
os blocos de Jordan são caracterizados por elementos
na sub-diagonal superior ã diagonal principal do bloco.unitários
Assim, um sistema real de equações diferenciais:
co
{ÿ. > - A{y±} { J nV V -.Gi y } (i = 1, (IV.9)., n)*
v = 2
cuja parte crítica de A não e diagonalizavel pode ser
através de uma transformação linear , ã forma:
reduzida,
oo
$. XïA. x. + A -1 3 Vi +x.J 1 3v =2
OO
AV V -,*kx }{x } =uk; 22 {xk} + {Av =2
(j 1, ..., £; k = l + 1, ..., n) (IV.10)
onde A. e definido como:J
46
= 0 se a linha j não contiver um "1" de um bloco de Jordan,A •3
A. = 1 se a linha i contiver um "1” de um bloco de Jordan ,3
0.A£
Aplicando-se uma transformação quase-identidade de
modulo N:
BV xy (i = • • • > *0 (IV.11)i,x. +x.1 11 y I =N
y c M
obtem-se o sistema:
oo
$. X+ .1X x. + AJ 3
x. X3 +l3 3 3v = 2
OO
xV —v n*kx 1{ x k J = A2 2 { x k } + ( J=2
(3 = 1, k =l* 7 *- 7 l + 1, ..., n). (IV.12)* «
Como anteriormente (seção IV.1) efetuando a trans
formação (IV.11) e levando em conta (IV.12) tem-se:
Z y-ô— Px *OO
rv —V A$ * X ++ iX x - + A •
3 3 i xj+l S ypP=1 F3 3v = 2 y =N
yeM
47
00T V' V x . r —* 5 = £ C j t i BV. ( À x + A
P P$ +p X p+1 v = 2 P 3I P T “ N
y e M
CO CO_vW . X -, V — Vh . xB V P )+ . 1 I+ A - (x . _
L,
3 J +1 + +xj + l J3y I -N v = 2 v = N+1y e M
£ y -6CO
} + B,P Pï lA2 2 {x k } + { U P Xk kv"= 2 y = N P =1y e M
00
*1 *V] } = A 7 ? W} + A2 2
{ l l . B k x P }+
I U I = N. T x x + AL P P 1P Vi +
v I = 2 Pp E M
00 COx v > + { u v — v -.h, x }+' { ( I V.1 3)k kv = N +1v = 2
1, £ ; k = £ + 1, n ) .(3
S e p a r a n d o-s e e m ( I V.1 3) o s t e r m o s d e m e s m o e x p o e n
t e d e m o d u l o N t e m o s :
£ y + 6 - -6 ,p p+1 _- (y U) B P + l A ( y +1) B,33 3 p =l
+A . B V + A . B V3 3 3 + l 33
£ y + ôP P +1} = 22 {BP«P » (v U V t B p { I âp(l i p*D B k A k
v$ . ( I V.1 4)=r $.1 1
( M = v| = N ; y e M; v £M ; j =!, ... ,£ ; k = £ +1, . . . , n ; i= l , . . . , n ) .
48
Para normalização, e necessário resolver recursi-vamente de j = l ate j = 1 os sistemas:
A. BV1 J +1
l pP‘6P-i]1/VU [*V - lW1} B3 U„.. t 0)B. +
PIJ J P=1X X , -UIV ’j
l y+ô -6 ,,
pli yvn BJ p p+1]" = [$V - + A - BV1 J +1 U = 0)
U'j3 J
I BV = o (X = 0) (IV.15)U'j
l y+ Ô -ô -P P+1{Bp = [i(y ’X) - A22]_1 T A (y +1) B,
-1 P P k } (IV.16)P=1
(|y|=N; y e M ; j
de de mxm).1 , ..., £; k = £+1, . n ; I matriz identida•• 1
Utilizando-se a ordenação introduzida no Apêndice
C, o sistema linear em BV e (incognitas)(IV.15) pode ser co-locado triangular inferior com todos os elementos diagonais
ferentes de zero. É portanto possível resolve-lo sequencialmente
1. Utilizando a mesma ordenação, o ultimo ve-tor de (IV.16) e totalmente determinado pelo passo anterior.
di-
começando por Nu
O cálculo da influência da transformação sobre os
termos de ordem superior não difere daquele de um sistema r.
parte linear diagonalizãvel, apresentada na seção anterior.
com
49
IV.3 - ALGORITMO RECURSIVO
A normalização de um sistema ë aqui
através de um algoritmo recursivo.apresentada
Define-se a normalização de modulo N(_> 2) como um
conjunto de operações que leva um sistema de uma forma
(N-l)-normal a uma forma final N-normal, forma final que sera a
forma inicial da normalização seguinte N + 1.
inicial
As formulas recursivas de normalização
são obtidas das fërmulas (IV.4), (IV.5), (IV.14), (IV.15)
(IV.16) fazendo-se a substituição:
sucessiva
e
(N)y(N)v .í>. . -nU’ Bi (IV.17)^ B.(|) ,
1 11 1 1
com N = 2, 3, .• •
J vOs 4ï representam os coeficientes reatualiza-í(d)ydos apos a normalização de modulo J e os B >
coeficientes da transformação normal de modulo J. Por convenção
para denotar os coeficientes originais do sistema
para denotar os novos coeficientes apõs a transformação
linear do processo de normalização.
representam os
(o)vtoma-se í
(1)Ve <3>.í
50
IV.4 - SIMPLIFICAÇÕES PARA O CASO DE SISTEMAS NÃO TOTALMENTE
CRÍTICOS
Seja o sistema (IV.2) normalizado ate a
N-l. Deseja-se saber, tendo em vista que se quer obter a
NLIM-normal (NLIM > N), quais termos de modulo |v|>N são de rea-tualização necessária na normalização de modulo N.
ordem
forma
Esta preocupação vem do fato que , no
de normalização, a parte mais laboriosa e justamente o
dos novos termos de ordem maior do que o da normalização ;
precisamente o calculo de pela formula (IV.6).
algoritmo
cálculo
mais
Veremos nesta seção que, num sistema não totalmen
te crítico , e possível demonstrar que, para o calculo dos termos
ressonantes de uma forma NLIM-normal, alguns termos não são uti-lizados, podendo este resultado ser aplicado, na programação dos
algoritmos , para diminuir o tempo de processamento.
Utilizaremos a seguir a seguinte notaçao:
seja o vetor v = (v., , va ia.v )Ta’ la ’2 a’ • • « * •)
define-se v 1. v2~ , rn e na a ra como:a’
1 v£a); va'(v, , v ); v = (v 1 , v2);’ na;’ a ^ a ’ aJ ’v la * ‘ • 5 1+la ’ * ••a
e I v2v m vaa a
51
Obvlamente:
numeros inteiros não negativos e para uma termom > n ;a - aressonante na
m ,a ’ n0.
TEOREMA IV.1
Seja o sistema (IV.2) normalizado ate a
no calculo de um termo:
ordem
N-l. Estando-se interessado
(H)y (y £ M ; |y = H; H > N+l)1
correspondente ä forma H-normal ë suficiente calcular na normally
zaçao de modulo N os termos
(N)v (H > 1, n) que satisfazem:O > N+l; pvP
fH ’N (M) v 2 (M > N+l), (IV.18)>
H ,N(m) ë definido em m e [N+l , H] por:onde f
.H,N, ,f ’ (m) H-m H < mseN N+l
(IV.19)H > msem
N+l
Na Figura(IV.1) esta hachurada a area do
mxn que satisfaz a condição (IV.18) onde jv2|= n e
piano
v m.
52
n /
S/
/
H,Nf {m)/
/
/y
/
/
//
N 1 H/(N+1) H m
FIGURA IV.1
TEOREMA IV.2
Seja o sistema (IV.2) normalizado atë a
N-l para o qual se deseja a forma NLIM-normal, Então na normali-zação de modulo N ë suficiente calcular os termos
ordem
(N)v Cl v > N + 1) que satisfazem:$P
fNLIM > N (M) > v2 (p = 1, . » l) (IV.20a)« «
JMLIM-1,N ,, n vf ( I v I) > v2 (P = l + 1, > n) (IV.20b)•••G
DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA (IV.1)
Admitamos que na normalização de modulo N calculaO II > 0) que no plano mxnal
(N)v*1(Ivv 1 a v2mos o termo $. > N ; e
1
53
, n ), fora da area daal
e esta situação so pode ocor-
representado pelo ponto p-^ = (mação (IV.18). Obviamente m
condi-1
1 naal 1
rer na região S da Figura (IV.1).
Na normalização seguinte de modulo = N + 1
^ so seria utilizado para o calculo de um
o(N)vatermo 0. :termoX1(N+l)v
associado no plano (mxn) ao ponto Pa2í>.X2 a2
n ) contido na área ,a2(m ,a2
hachurada na Figura (IV.2),caracterizada por:
n < na1m
+__!i_
Mx-1it (IV.21)TI > + na1
n > o.
54
'n
FIGURA IV.2
Isto ê fácil verificar a partir da formula (IV.6)
onde tem-se neste caso:
v va2 aIa Dal
(L inteiro; L < |vLM1-l
e
L LI y(J ’3 = a2 al J'=l
ÔIV VJ ’ =l W)
c c v* = cif, ..., i v ); u(J) e M ; J = 1, ..., L).a I
Considerando os dois casos limite I > JL ek(J). L) e lembrando que |JJ(J)2| = 0 tem-se:< l(J = 1,Ik(J)-
55
m mal+
_!? (IV.22)< n < T]al a2\ Mx - 1
Note-se que não ha interseção entre a area da con
dição (IV.18) e da condição (IV.22), jã que as duas retas
as delimitam (vide Figura (IV.3)):
que
Hm (IV.23)+nN N
m
-luM2-l
m (IV.24)+n naMl~! 1
sao paralelas entre si.
//% /
S/ H,Nv î(m)
p-,/
/
/
/
/
/m
FIGURA IV.3
56
CN+1)va^ para o calculou(N+2)v
Da mesma forma utilizando $.12 a3na normalização de modulo
[) e assim por diante,nunca haverã pontos2
...) no interior da area da condição (IV.18) ja
os coeficientes angulares da reta:
N + 2 de um coeficiente 0.
CIV 1 > Ia3(k = 2, 3,
V Pk *
que
makm (IV.25)+ naakn
Mk"lM,-1k
crescerão (decrescerão em modulo) a medida que k for aumentando.
(H)yConsequentemente no calculo do termo
H; H >_ N+l) da forna H-normal so podem influir os
correspondentes ã região da condição (IV.18).
(y e M ;
termosy
PROVA DO TEOREMA IV.2
Sendo p = 1, ..., Z a prova e direta,
considerar em (IV.18) H = NLIM, NLIM-l, ..., N+l.bastando
., n e necessário considerar
formula (IV.6), lembrando que na normalização estamos interessa-dos somente no sistema reduzido.
Sendo p = l+l, a• »
Considerando um termo ressonante:
(j < i ; y [ = NLIM; y e M; X = 0)P'j1
57
nota-se que e função de (|v < NLIM) e de B^ÿ"| < NLIM; y e M). Na ultima normalização (NLIM-1) sao necessã-n;•• ?3
rios os termos:
(NLIM-1)ÏT = NLIM-1; y e M](i = 1,B. ., n; y• •1
o que implica que os termos correspondentes:
(N)y precisam ser calculados na normalização de modulo N. Dis-to deriva-se (IV.20b).
í
A simplificação do Teorema (IV.2) pode ser exten-dida ao calculo da transformação linear sobre os termos não li-neares (subrotina LINV)(ver Apêndice B).
Ë fãcil mostrar que é suficiente calcular
transformação somente sobre os termos que satisfazem as
ções (IV.20) com N = 1.
esta
condi-
De fato ê suficiente calcular osi
rios para as normalizações a partir da normalização de módulo 2.Portanto, pode-se utilizar a prova do Teorema IV.1 para justi-ficar esta simplificação.
necessa-
EXEMPLO:
Na transformação linear do programa N0RF0R2 , que
serã visto mais adiante , quais os termos se pode deixar de cal-
58
cular, considerando um sistema não ímpar ?
SOLUÇÃO
Para sistemas não ímpares a forma a que chega
e a 3-normal , portanto NLIM = 3.
o
N0RFOR2
Aplicando a formula (IV.20) com N = 1 tem-se:
3 1fJ ’x = 3 (m > 1/2)m
£2,1 (m > 1/2)= 2 m
disto conclui-se que:
3 e i = 1, temos rr = 0para m
1, temos npara m = 2 e i 1
2 e i = Z + 1, .. 0.temos qpara m ., n ,
Portanto na transformaçao linear basta reatuali-zar os termos:
* C M = í, ..., i)\i; ji
(I y I = 2; y eM; k = £ + 1, ., n) e*
59
(lui = 3, j = 1, ..., £; u £ M, na realidade somente os ter-J
mos ressonantes)
IV.5 - ALGORITMO DE NORMALIZAÇÃO PARA UMA FORMULAÇÃO ALTERNATIVA
DO SISTEMA
Em muitos problemas físicos a formulação original
do sistema (real) ë a seguinte:
[M + J(y)J ÿ = Hy + F(y) (IV.26)
polinómiosonde M e H sao matrizes nxn, J(y) e uma matriz de
nxn contendo termos de ordem maior ou igual ale F(y) e um ve-
tor de dimensão n contendo polinómios com termos de ordem maior
ou igual a 2. Para passar desta formulação ã aquela de(IV.2) e
muitas vezes necessário um trabalhoso processo de manipulação de
series. Ê possível porem normalizar o sistema a partir da
pria forma em que se apresenta em (IV.26), podendo o
ser programado.
pro-processo
Desde que M seja inversível é possível
mar o sistema (IV.26), através de uma transformação linear
plexa y = Lx, em:
transfor-com-
[I K(x)] x = Ax + F(x) (IV.27)
onde I ë a matriz identidade nxn, K(x) e F(x) contem agora
ficientes complexos e:
coe-
60
0A11
A0 A22
A~„ = 1 matriz22 L 22p ,qJna forma canónica de Jordan. Consideraremos a seguir Ã
estaA matriz Zxl ; mxm (m = n - Z); A11 11diago-11
nal. Então L pode ser calculado pelo Apendice B onde a matriz A
ê substituída por M H e (IV.27] pode ser escrita como:
oor VVI * x
COV • ,V$. X
Vïx.X. + X. +3 3 33 P P 3v|=l p=l v =2
ï xV x }L kp p
03 00,V V T*k x }A22^XP + b l(xk)* {
v|=l p=l V =2
(j = 1, ..., l; k = l+i t ..., n) (IV.28)
Apos a transformação quase-identidade de modulo
2:
BV xy (i= 1,...,n) (IV.29)X . = X +1 1
yeM
deseja-se obter o sistema ;
oo-TV -V5> XX • X +
3 3x .J 3v =2
OO
—V,*k x 1(xk > A22 ^xJ+f I (IV.30)v =2
61
sendo (IV.30) normal ate ordem 2.
O esquema para obtenção do algoritmo consiste, co
mo jã vimos anteriormente , em aplicar a transformação (IV.29) em
(IV.28), levando em conta (IV.30) e separando termos do mesmo
expoente.
Dado que neste caso, mesmo não diferindo substan-cialmente dos exemplos anteriores, o trabalho envolvido para ob-tenção do algoritmo e maior, omitiremos as passagens intermediá-rias.
Obtem-se no final:
l y-61BV - [*3 - p] (I y I =2 ; y e M; A ,, f 0)r* J
y x x.p Jj ipA p=lV ’j
l u-6p= - y A K.P=1 P J
( I y I = 2 ; y e M ; A = 0)y'ji i ip
i v - S v - Sn nI l
q=£+l r=£+lTV P _y A K.
=1 p 3[a22qr1 1 IP iqp=i
(|v = 2 ; v i M)
l y-ô-1{Bp > = [(y!A)I - A22] {*k -.1 xv KkP P}P=l
( I y 2 ; y e M; I = matriz identidade mxm)
62
Z y+6$v + QV + yï ï
vp r =I (y +i) B.i. _ p ïv=y +v ^y e M
(j = 1, ..., l ;
CM > 2)+ hrp 11p=i
k = 1+ 1 , ..., n; i (IV.31)
onde hV ë definido por (IV.6) e:
l v-ô v-ô v-ôv-ô]OM r - K.
n nI I
q=£+l r=£+lQV = I X (K. p P) + V[â+ K. 22qrip ip iP
+ y [ l (Kv + Kv ) $x +p=l Wx 1P 1P P
(y'X)(KV + KV ) Bu +^ J V ip lpJ PIv=v+yyeM
l y+6+ KV ) B
iP P(i + yr) (KY r *xr]+ l l (IV.32)
îpr=l v=v+y+xy e M
com a seguinte definição para KV :ip
I X MLck(J) (
I v!-I1 x1=1(X’)ô'(Pi’••
J'=l L y(J 1)k(J')
KXKV l )BU IiP îp |ÏÏ(J)1 =2y(J)eMJ I.... jI (IV.33)
onde:
a) L deve satisfazer:
!v - Ixl ; L < [ xIL
6 3
I x l .L: somatorio sobre todas as L-combinações(K(l),...,K(L)}
dos I x l primeiros numeros inteiros não negativos.
b) CK(J)
I : somatorio sobre todos os vetores y(J), J=1,...,L ,
de numeros inteiros não negativos que satisfaçam:
c )|p(J)|=2y(J)eMJ=l,...,L
L LI P (d ' ) = v - x + I ; I y(J)I =2; y(J)eM ;«I^(J’)J ’=l J ’=l
L.J = 1, .
£ fãcil verificar que, querendo-se obter
a forma 3-normal a última equação de [IV.31) fica reduzida a:
somente
- QV + hV (|yI =3; y e M; ,j=0) (IV.34)3 .)J 3
onde QV ë agora definido por:J
l n li ;
p=l r=l
y- <5P
y-õ y-ô y-ô 6-r r „ r „Q - - p) K.r.I À ÍK.=i P 3 K (V -Sry - X *P+ K. B3 3P 3P P 3Pp=l
(IV.35)
A equação (IV.38) fica reduzida a:
n ôI K.I Bj ( I y [ =2; y e M) (IV.36)3P iP1=1
e hV ë definida pela formula (IV.8).3
64
IV.6 - MFN PARA SISTEMAS LINEARES NÃO AUTÖNOMOS
Como £oi visto no parágrafo III.4 o MFN pode tra-tar também sistemas não autónomos com auxílio de equações
liares
auxi-1 2
Entre estes sistemas, tem grande importância prá-periodicos ,tica a classe dos sistemas lineares não autónomos
que consideramos a seguir.
0 algoritmo proposto no parágrafo IV.1 e
demasiado geral para este caso. Durante o processamento daquele
algoritmo muito tempo seria perdido em cálculos desnecessários.
Por esta razão sera proposto um algoritmo alternativo para esta
classe de sistemas.
porem
Este algoritmo , mais fácil de ser programado, le-va em conta várias simplificações, evitando cálculos supérfluos.
Nesta seção será utilizada a seguinte notação:
Ô •
e o elemento x y 1 * — ~u da i-esima equaçao.J
Seja um sistema real de 2 n equações lineares em
y do tipo:
y = [A0 Aj(f(t), £)] y (IV.37)+
6 5
onde:
AQ é uma matriz de elementos constantes de dimensão 2nx2n total-mente crítica , diagonalizãvel ,
f(t) = (f^t), £k(t) + wJ fk(t) = 0; const;wk =
= 0; (k = 1, ..., m; s = 1,
triz de dimensão 2nx2n, tal que A^(0, 0) = 0.., £) e A,(£(t), e) e uma ma-« • 1
Atravës de uma transformação linear complexa
utilizando os métodos expostos nas seções II.4 e II.5, o sistema
(IV.37) pode ser transformado no sistema de 2n equações
res (ver referência
e
1inea-1 2 I ) :
2n 00
uy= j a - x. + T x.1 J l i - L -, 1
]=1 Jx.
2N co
^uMí+nlv x .X. = - j a. x. + ;i+n J í i+n J 1 d í ~l
(i 1 > « • • » rO (IV.38a)
com 2m+f equações de parâmetros auxiliares:
66
uk = j “k uk
uk+m ** wk uk+m
0ur
(k = 1, ., 2m+£)., m; r = 2m+l, (IV.38b)• * ••
sendo que:
y são coeficientes complexossao constantes reais,ai’ 1
e:
Hii+n 1, n) (IV.39)
onde:
r J 1 + n se ] < n
se j > nJ = J n
e
y = (y,, ..., y y2m+£ -)y m+ l ’ * y2m ’ y2m+l ’ *1 •• 9 • • ïm’
(y )., y yJ, • • • 9 Pm’ y2m+l’ •••} Um+r • • 2m+ 1 ’ 2m+£
Aplicando a transformação normal de modulo (N+l):
67
ZnB-1 uyx + J x.
P j=1 3 ï (P = 1, ..., 2n) (IV.40)xP y =N p
tem-se:
ï=-J CI y = N; 0) (IV.41a)ïï
= i>}y = N ; A -? y - 0)CI y (IV.41b)1 1 1
2ny ^ B?^-^vJ= I y I -N p=l P*ïy ) +11
2nl (*PVB -V))
vI =[y I -N p=1 1 pI ( lu > N) (IV.41c)
(i = 1, ..., n)
sendo que para as expressões (IV.41) vale:
my w (pL+ rVhrA^ =
i(a - - a.) +
i ± J ) se j < nyr+mI r=l(IV.42)
ml wrCyr
r=l r rA^ = (-a - ) se j > nyr+mx J -n
(i 1, • « » ) n)
e
68
$3 U - r$J *i+n v ï J
î+n = (B^)* (IV.43)., n)(x = 1, « •
alëm das igualdades (IV.39).
Na programação do algoritmo podem ser utilizadas
as seguintes simplificações:
a) utilizar as equações reduzidas (IV.41) para normalização do
sistema;
b) trabalhar somente com as n primeiras equações levando em con
ta as relações (IV.39) e (IV.43).
NOTA:
Se (IV.37) não contiver termos dissipativos gera-do por A
^y , então todos os coeficientes e serão imagina,
rios puros e os B-j 1 reais. Este fato pode ser utilizado na pro-gramação do algoritmo dispensando o uso de variãveis complexas.
69
CAPÍTULO V
PROGRAMAÇÃO DO ALGORITMO
Excetuando-se exemplos muito simples, como aque-les apresentados anteriormente, o MFN envolve uma quantidade de
cálculos tão elevada que e praticamente impossível o seu desen-volvimento sem o auxílio do computador.
Foram portanto desenvolvidos dois programas
linguagem FORTRAN para utilização dos algoritmos apresentados.Ca
da programa tem um escopo e uma filosofia diferentes.
em
0 primeiro programa, que denominaremos
e mais geral, abrangendo o caso de um sistema de n equações
ferenciais (n arbitrário), com parte crítica diagonalizãvel nor-malizando-o ate qualquer ordem. Este programa, por ser tao
ral , requer um tempo de processamento rapidamente crescente
a dimensão do sistema. Afim de diminuir este tempo pode-se incorpo
rar algumas simplificações, dependendo da classe de
considerada, através da modificação de algumas subrotinas.
simplificações visam eliminar operações inúteis no programa.
N0RF0R1,
di-
ge-com
problemas
Tais
0 segundo programa N0RF0R2, normaliza sistemas com
parte crítica diagonalizãvel de n equações diferenciais (n arbi-trário), das quais & críticas, ate 3f ordem,
for ímpar , ou ate 5f ordem, se o sistema for ímpar. Este
do programa utiliza as equações reduzidas (IV.7) e (IV.8),
se o sistema nao
segun-e
70
portanto ë bastante rápido , podendo tratar sistemas de
dimensão. Alem disso sua utilização e bastante simples, nao ne-cessitando, geralmente, 'de nenhuma modificação para a normaliza-ção de diferentes classes de sistemas.
grande
V.l - PROBLEMAS ESPECIAIS DE PROGRAMAÇÃO
Na construção dos programas numéricos N0RF0R1
NORFOR2, alguns problemas exigiram uma solução especial,
convencional. Estes problemas são os seguintes:
e
menos
a) ordenação dos vetores de potências e armazenamento dos coefi-cientes e BV.
1 i
b) geração de todos os vetores de potências y(J)(J = 1,..., L)
que satisfazem a condição c da formula (IV.6)
A resolução do item a) foi orientada, no
de se evitar a necessidade da ocupação de um espaço excessivo de
memoria. Assim , se se optasse pela solução mais trivial de arma-
n,i),
sentido
zernar os coeficientes , associando-os a vetores (v^, ..., v
pode-se verificar o grande espaço de memoria que seria necessá-rio se n fosse grande e/ou se a ordem de normalização
NLIM fosse elevada (n.(NLIM)n). Por exemplo se n = 10 e
5 o numero total de lugares reservados na memoria seria
de 108
desejada
NLIM
cerca
ao passo que pela solução aqui adotada este numero
ria reduzido a cerca de 3 x IO 1* ( 3 mil vezes menos).
se-
71
0 problema b) também tem uma solução
gerar todos os y's de um mesmo modulo e escolher os
trivial:
conjuntos
que satisfazem a condição c de (IV.6).Não e difícil imaginar o
grande numero de operações (ou testes) inúteis que seriam efe-tuados. ë pois praticamente imperativo uma geração mais eficien
te.
V.l.l - Problema a)
Para gerar todos os possíveis vetores de potên-cias ê obviamente necessário estabelecer uma ordenação. A orde-nação escolhida está definida no Apêndice C. Ela também ê utili
zada para armazenar os coeficientes em uma matriz, na qual o
elemento (Ny , i) corresponde ao coeficiente , sendo o nume
ro de ordem do vetor v. De maneira semelhante são
os coeficientes .
armazenados
í *
Para calcular o número de ordem N , utiliza-se a
matriz (C.5), construída uma única vez durante o processamento
do programa, logo apõs a leitura de n e NLIM. 0 calculo (somas)
ê extremamente simples e rápido.
Para finalidade de armazenamento dos coeficien-tes são utilizados em ambos os programas uma série de subroti-
INMAT , ORDEM , ACHV, ESCV, ADDV.nas:
INMAT constroí a matriz (C.5) a partir de NZ(=n)e NLIM sendo que a última linha desta matriz (£NZ,K’
72
1, NLIM) e substituída pelos F(s) Cs = K) da equação
(C.7). A subrotina ORDEM executa as equações (C.4) e (C.7) e e
chamada pelas subrotinas ACHV , ESCV, ADDV, que atuam sobre
coeficientes ou ßV) respectivamente, lendo, armazenando
adicionando ao que jã esta armazenado.
K
os
e
Para geração de todos os vetores de potências de
um determinado modulo sao utilizadas as subrotinas INIS e NIS.Os vetores sao gerados na ordem crescente, sendo que a subro
tina INIS e utilizada para gerar o vetor correspondente a N =1(i)((v)g = (1, ,..., 1)) e a subrotina NIS utiliza um vetor v
(i+1)pa
Nv(i)+1). Se v(l) e(Nra gerar o vetor seguinte v
o ultimo vetor da ordenação ((vv(i+1)
h =rotina NIS acende um flag, que através de um teste colocado lo-go após a chamada da subrotina NIS, produz a saída da malha.
Ci) (n, ..., n)) então a sub
Esta subrotina pode também ser utilizada
varrer" somente os vetores de potências y(y e M). A
para
notação
"delta" C(v)g) ê utilizada pela subrotina NIS, como indicado no
fluxograma da Figura(V.l). Porem, na sua saída, v é também re-presentada em notação "direta" ((v^, ..., v )).
Cabe aqui notar que operações envolvendo vetores
de numeros inteiros , ora em notação "delta',' ora na notaçao "d^reta", ocupam um lugar importante nos programas NORFOR1
? »
e
N0RF0R2.
73
A operaçao de NIS, representada pelo fluxograma
da Figura (V.l) ë equivalente àquela representada pela Figura
(V.2).
7 4
INÍCIO
FIGURA V.1
=Hentra com V *
saída( I k= m-1 y ...,1
i 'acende
f lag'k= lk+1UTILIZAV
V.
F.f
saí das — k,...,m
íks
I N Í C I OFIGURA M .2
s aí d aI,= 1 ,...,n1
ísaída
' 2- 1 ! > • * « j n
Tsaída t
i
I • •,nm rr r 1 ' '
( V ^-( 1 T - -.Im)
75
V.1.2 - Problema b)
Para programar a formula (IV.6) uma das
necessárias e a geração de todos os conjuntos ordenados de L v£tores {ÿ(J); J = 1, L} que satisfaçam a condição c (IV.6),
isto e:
etapas
L Ll P(J') = v
j ’ =iI sv +
Ik(J ’)J'=1
(1 y(JD I = N; y(J) e M ; J = 1, ..., L) (V.l)
sendo dados v , v e I (J = 1, ..., L), ou seja:k(J)
Ll y(J') = x
J ’=l(V.2)
(|u(J)| = N;|x| = L.N; y(J), x £ M; J = 1 , • , L)*
dado x - Trata-se pois de encontrar todas as partições de um. ve-tor x e M, em L vetores y
" e M de modulo N.
Esta partição e feita através de uma busca em ar
vore. Dizemos que y esta contido em x(y C x) se (x - y"
) e M.
Esta busca em arvore está esquematizada na Figu-ra(V.3) para um caso particular com x =(2, 3, 1), N = 2
L = 3. Os vetores y(J), J = 1, ..., L de cada nível constituem
todos os vetores contidos em C(K-l), sendo:
e
76
C(K) = C(K-l) - y(K) (K = 1, L) (V.3)
com C(0) = x - Estes vetores são gerados pela subrotina DIVE de_scrita pelo fluxograma da Figura (V.5).
Esta subrotina evita uma varredura exaustiva de
todos os y's de modulo N pertencentes o M, o que diminui o tem-po de processamento.
A subrotina UDIVE(Figura (V.4)) coordena a busca
em arvore percorrendo os ramos(Figura (V.3)) da esquerda
direita e de cima para baixo.para
NOTA: Em DIVE a dimensão do vetor C(K-l) e reduzida de
., LZ. Uma simplificação
adicional poderia ainda ser obtida, identificando-se todos
C(K-l). nulos e impondo-se y(K). = 0 para os j's corresponden-
LZ(=£.)
a LM quando C(K-l). = 0, j = LM + 1, * »j
o.s
J Jtes.
7 7
/< ( 2) C ( 2) /M3) C ( 3)
020 01 1 011 000
/*( 1 )
200 011 020 020 000
110 011 011 000
101 020 020 000
110 121 020 101 101 000
0 1 1 1 1 0 110 000
110 020 020 000
X
231 101 020 110 1 1 0 0 0 0
200 011 011 000
110 101 101 000
020 101 110 110 000
011 200 200 000
200 020 020 000
0 1 1 1 1 0 1 1 0 110 000
020 200 200 000
FIGURA V.3
78
INÍCIO
Subro t ina UDIVE
(para L> 1)FIGURA V.4I
dados :
X,LZ,L,N
C ( 0) = X
M(J) »( 0,..,0)LM(J) = LZ
I P {J) =0
( J=1,...,L )
K= 1í
en t ra em DIVE com:
NI= C ( K- 1 )
S = M( K)
LM= LM( K)
I P=lP (K)
esgo ta ram-seas poss î b i 1 idades
V.K= 1 ?
kN FIMM(K1=(O,..,0)
LM(K) = LZ
IP ( K) = 0
V.K= L-1 ?
F.C (K) =C (K-l) - M(K)
K= K-1
K= K+1
L-1M(.L) = X -J j jí f j )
1 =1
ut ï 1 i zaA (J)
J=1,. .,L
7 9
I NÍC I O F I G U R A V.5
d a d o s : V,S,L M,N,I P
tF .I P- 0 ? S ( L M) =S ( L M)+H
3V.I P jí L M
H= N s aíd al=L M-1 1V.
S ( I P) =S { I P) — 1
ï F. S ( l ) ^0 ?s aí d ar> l=I P+1 L MV.I *
IP= I
S ( I P) =5 ( I P) -1
H=S ( L M) - 1
S ( L M) = 0
F.V ( l ) £ 1 7
V.S ( I ) = 1
I P= I
t 11
s aí d a1 =1 P+l,...,L MU T I L I Z A
íS
s (LM) =S (LM) +1 F.rv( I ) > H ?
V.s ( I ) = H
I P= I
fV ar i áv e i s :
V: v e t o r a s e r p a r t i d o;
S : v e t o r r e s u l t a d o;
N: mód u l o d e S;
L M, I P: v a r i áv e i s i n t e i r a s a u x i l i a r e s.
S ( I)= V ( l )
H=H-V ( | )
V a l o r e s î n i c î a i s :
S (1 )=...=S (L Z) =0;
L M= L Z (=número de v a r i áv e i s c rí t i c a s) ;
I P= 0.
80
V.2 - O PROGRAMA NORFOR1
O programa NORFOR1 normaliza um sistema do tipo
(11.22) com n equações, das quais t são críticas, ate a
NLIM-normal, sendo NLIM arbitrário.
forma
A particularidade deste programa esta no calculo
da influência da normalização sobre os termos superiores,
pela formula (IV.6). Este cálculo, esquematizado no fluxograma
da Figura (V.7), ê efetuado por um conjunto de subrotinas coor-denadas pela subrotina INFL.
hVí
0 fluxograma da Figura (V.6) esquematiza o fun-cionamento do N0RF0R1.
Nos diagramas apresentados foram omitidos alguns
detalhes de programação a maioria dos quais destinados a dimi-nuir o tempo de programação. Entre estes os mais importantes
são: parâmetros que permitem trabalhar somente com vetores de
potências de modulo ímpar se o sistema for ímpar, a utilizaçãodas propriedades das equações complexas conjugadas e
destinados a eliminar combinações que não podem ocorrer devido
a particularidades do sistema.
testes
81
I NÍC I OP r o g r a m a N0R F0R 1
F I G U R A V.6
c o n s t r uç ão d a m a t r i z
d e e s t o c a g e m ( I N M A T)
s aí d a* N= 2,...,N L I M-1
i i m p r i m e:c a l c u l a : «5 ( I jK I=N L I M;
M; Xu'.=0 )
(1/^ 1 =N;/A ^M)
I T ic a 1 c u 1 a :
h! ( 1/41 =NL ( M; M; y.=G )J
/*= <X>f + h?J J
e f a z : <J> ;J
V.N L I M=3 ? j= 1.....L Z
k= L Z+1,...,N Z
i= 1,...,N Z
F. s aíd a** S=N L I M- 1,...,N+1
ïc a l c u l a:
( t V I =S) e f a z :
$>% # + h TI 1
íi m p r » m e :
*;ClMl =N;«CM; X =0 )r '-H r j
e f a z: <^- =3^ =0
( l/ï|=lÂl=N; x n’j 5* o )
I s aí d aS=N+1 , ...,N L I M- 1
I(l y i =s )c a l c u l a:
( y - v +1 )P y p ^p i
e f a z : <î> j= <í> j + S T
8 2
S u b r o t i n a I NÍC I OI N F L
F I G U R A V.7
d a d o s :
l/ ,i ,N,L Z,N Z
S 3= o
s a i d a* S= 2,. . . , \ U \ - 1 - 1
Vh . = S3
L=( \U \ — S) / { N — 1 ) l
ïF. L s a t i s f a z
a) , ( I V.6) ?
T V .s aí d a g e r a t o d o s o s :
; I W l =SI
yg e r a t o d a s a s c o m b i n aç õe s:
C S’Lk (J)
s aíd aj J“ l y . . , L
L
j ' =1x = ^ - <5.
k ( j 1 )
F.X Ç M ?
V.e n t r a e m U D I V E, c o m:s aíd a
X ,L Z,L,N
ïn"'L
B*J' >k ( j ' )
S 3= S 3+ ( )II
83
V,3 - 0 PROGRAMA' NORFOR2
Este programa £oi realizado para o processamento
de sistemas de dimensões relativamente grandes e resulta em um
compromisso entre a baixa ordem de normalização que alcança, o
baixo tempo de processamento e a facilidade de utilização.
£ realizada uma unica normalização ,
consequentemente a forma 3-normal, se o sistema não for ímpar,
ou a forma 5-normal se o sistema for ímpar.
alcançando
0 programa foi complementado com uma serie
subrotinas que realizam as transformações lineares necessárias
para passar de (II.11) a (11.13). Por esta razão na entrada de
dados são necessários , além dos termos não-lineares originais e
alguns parâmetros, somente a matriz A de (II.11) e seus autova-lores e autovetores críticos.
de
A primeira parte do programa transforma o siste-ma de equações diferenciais do tipo de (11.22):
y = Ay + F(y) (V.4)
(F(y) estritamente nao-linear), em:
+ f j 0 0x.J
(ik) = A íxk)+ ífk(x)} (V.5)22
84
n; f^(x) estritamente não linear)Cj = l. ., l\ K = £.+1 , .• • * • »
através de uma transformação linear y = R x (vide Apêndice B).
0 fluxograma da Figura (V.8) mostra o funciona-mento desta primeira parte.
A parte do programa que realiza a normalização pro
priamente dita e extremamente simples. 0 fluxograma da
(V.9) esquematiza o funcionamento da segunda parte do
Nos fluxogramas de Figura (V.8) e Figura (V.9) tem-se:
Figura
programa.
se o sistema nao for ímpar eITER = 2
ITER = 3 se o sistema for ímpar.
8 5
INÍCIO
construção da matr i:2' de armazena
mento e entrada de dados;
calcula as matr izes R e S da t ra
sformaçio l inear e a matr iz A^através de ( B.5) ;
1 r
N= ITER
, r
calcula por ( B.6) os novos coef jc ientes dos termos não l ineares
de módulo N após a t rasformaçao
1 inear ( LINV) ;
1 ’
N= ( 21TER- 1 )
calcula por ( B.6) os novos coef i
c ientes dos termos não- l inearesressonantes de modulo N após a
trasformaçao 1 inear;
©FIGURA V.8
86
Programa N0RF0R2FIGURA V.9
INÍCIO
executa o f luxograma da Fig.( V.8) ;
impr ime os termos ressonantes
de módulo ITER;
ca 1 cul a:
J* , (.1/ 1 = ITER; / ^ M)
por ( I V. 4 ) ;
B:i
calcula por ( I.V - 7)_ ou ( IV.8)
h?J
( 1/ I =2 ITER-1; X
e faz:
=0)r j
<*>? =& +j j j
’ '
ImprI me:
tfj
( j/l|=2 ITER-1; M =0 ) ;C M; A/ j
i= 1, ,..,LZ1,...,NZj=
FIM
87
CAPÍTULO VI
RESULTADOS NUMÉRICOS
Vários exemplos são aqui apresentados para
liar a capacidade e a eficiência dos programas elaborados no ca
pítulo anterior.
ava-
Primeiramente considera-se alguns exemplos clás-
sicos de 1 grau de liberdade apenas. Em compensação são
das aproximações de ordem elevada. No caso da equação de
der Pol tais aproximações são de obtenção praticamente impossí-vel sem auxílio do computador. Os outros casos tem solução exa-ta conhecida, e foram escolhidos para comparação com os resulta
dos do MFN.
obti-Van
Em seguida tratamos das equações de Lorenz,
te exemplo de dimensão 3 já leva a cálculos algébricos bastante
complicados de serem realizados manualmente (vide
Es-
í í I ) .
Finalmente testou-se o programa simplificado NOR
FOR2 em dois exemplos de dimensão 11 e 13. 0 primeiro e uma bi-uma bifurcação a quatro autovalo-furcação de Hopf e o segundo
res críticos imaginários.
NOTA: Os tempos de processamento indicados se referem ao compu-tador B6700 do NCE/UFRJ.
88
VI.1 - PÊNDULO SIMPLES
O pêndulo s imples fo i apresen tado em
anter iores onde se chegava a tê a normal ização de 5^ ordem ,
nua lmente .
capítu los
ma-
Por meio do programa N0RF0 R1 se chegou a tê a for
ma 11-normal . Como es te caso tem solução ana l í t i ca , por
, fo i poss íve l comparar os resu l ta-me 10
de in tegra i s e l íp t icas
dos obt idos com a so lução exa ta.1 o
A equaçã o u t i l i zada fo i:
y + sen y = 0 (VI .1)
onde sen y fo i subs t i tu ido , pe la sua expansão em sé r ie de Tay-o
lo r a te 11. ordem :
y - y 3 / 31 + y 5 / 5.’ - y 7 / 7 J + y 9 / 9.' - v11 /!!!sen y
A forma normal resu l tan te fo i :
+ j ( 0 .0625 x ^ x 2 + 0 .00293 x 3 x* + 0 .000259 x 9 x 3X1 = - J X1 +1 2
+ 0 .000035 x|x ^ + 0.000005 x|x|) . (V I . 2 )
Como era de se esperar (caso conserva t ive ) ,
dos os coef ic ien tes da forma normal são imaginá r ios puros .to-
89
tem-se pelas formulas (III.10)Fazendo x^= a e
0a
(VI.3)
i|> = - 1 + 0.0625a2 +0.00293a4+0.000259a 6 +0.000035a 8+ 0.000005a10
Esta equação liga a amplitude da oscilação
variáveis normais) i" com a frequência angular ip = u>.(em
A amplitude maxima a nas variáveis originais
esta ligada a a por:
9ïV -1 v Ia 1 1 (V I - 4 )a +a -max v T = 3
TTV vem da expressão:sendo que B1
9VB1 X1 (V I . 5 )yl = X1
+
v [ = 3
Note-se que os B^ não são os mesmos que os
finidos anteriormente em (II.5); por esta razão foi acrescenta-da ao programa uma rotina que os calcula segundo o
do Apêndice E.
de
algoritmo
O resultado do calculo de foi:
a - =ã+ 0.02604167a 3 +0.00175781as+ 0.00020898a7+0.00002125a 9max
(VI.6)
90
Ë possível agora fazer uma comparação com os re-e com os resultados do me-i osultados obtidos analiticamente
todo de K.B. A Tabela (VI,7) apresenta esta comparação:
K, B.2a APROX.RESULTADOS EXATOS F. NORMAL
a - (rad)maxv J a - (graus)max ^6 J a - (rad)max ^ J a - (rad)max J
79 019 ’54”0.88114 1.3846 1.3845 0.01 1.3835 0.08
111°47'03"0.7646 1.951 1.951 < 0.05 1.943 0.4
159°27,15n0.5023 2.783 2.835 1.9 2.642 5
(VI.7)apro
ximação de método de K. B. Como não se tem notícia deste ultimo
resultado, so pudemos comparar com a 2. aproximação. Observa-se
sensível melhora na precisão para amplitudes maiores.
o
Note-se que o resultado corresponderia a 5.
0 tempo necessário para a execução da normaliza-ção foi de aproximadamente 1 minuto e meio.
VI.2 OSCILADOR DE VAN DER POL
A equação de Van der Pol utilizada foi:
•(e2 - y2) y + y 0 (VI.8)y
_- •Com a equaçao paramétrica: e = 0 (y,), o sistema3
resultante foi
91
00 1 0 yl*1
-1 0 0 2 2y2y2 (VI.9)+ y2 y3 " yl y2
0 0 0 y3y3 0
que ë do tipo ímpar.
Apos a transformação linear obtem-se:
- J 0 zizi 0
Z20Z 2 0 ) +
Z300 0Z3
Z1 z3 z2 z3 + Ü _ Ü +!Lii _ hJi882 8 82
(VI.10)7 2 7 7 2 7 3 7 3 Z 2
+ 2 L3 _ _i +_i _ _1 7 7 241 2zi+
8 88 822
0
A forma 11-normal resultante da execução pelo
NORFOR1 foi:
[0.5 e2 + j(0.125 e4 + 0.007813 e8)] x1 -X1 = " J xi +
92
- [ 0.125+0.023438 e 4 + 0.004883 e8 j(0.1875 .£2
+ 0.055156 e6)] x2 x2 +[0.010742 e2 + 0.020142 e6 +
+ j(0.042969 + 0.037354 e4)] xj x2 - [0.001587
+ 0.015373 E4 + j 0.013977 e2]xj x9 + [0.004343 e2 +
+ j 0.001680] xj x4 - 0.000395 xj x9 . (VI.11)
Aplicando as formulas (III.11) obtêm-se as equa-ções da amplitude e da fase:
a = + 0 . 5 e 2 a (0.125 + 0.023438 £4 + 0.004883 e8 ) a3 +
+ (0.010742 e2 + 0.020142 e6) a5 - (0.001587 +
+ 0.015373 e 4) a7 + 0.004343 E2 a9 1 1 (VI.12a)0.000395 a
1 + (0.125 e4 0.007813 E8) (0.1875 £2 + 0.035156 £ 6)a2ip = +
(0.042969 + 0.037354 E4) a4 - 0.013977 E2 a6
8+ 0.001680 a (VI.12b)
Fazendo era (VI.12a) a = 0 e explicitando a
função de e (ver Apêndice F), obtêm-se a amplitude
do ciclo limite:
em
aproximada
93
( a / e)2= 4 - 0 .188 e “ - 1 .176 e 6 (VI .13)
0 tempo aproximado de processamento fo i de 1 pt i-nuto e me îo .
VI . 3 - EQUAÇ AO DE MATHIEU
Como exemplo de equações não aut ónomas , t ra tadas
com o auxíl io de equações de parâmet ros ,como in t roduz ido no pará-grafo I I . 4 , fo i executada a normal ização de uma equação
Math ieu.de
A equaçao n ão aut ónoma
*•
y + Q 2 (1 - p cos t ) y = 0 (VI.14 )
1 2pode ser formulada como o s is tema aut ónomo
y + Q2 ( l - u ) y = 0
0 ( VI .15 )u + u
u ( 0 ) = p ; u ( 0 ) 0
Foi es tudada a ressonânc ia quando Q - K/ 2
K = 1. IJ t i l i zando-se um esquema de per turbaçã o fo i
Q = K/ 2 + e , e in t roduz ida a equação paramé t r ica e =normal e nes te caso
com
cons iderado
0 . A forma5
94
j Fk(e, P2)= j [-K/2 + Gk(E, p2)]x X21
P2) (VI.16)U1= " j ui (ux u2
onde e F^ são series de potências em e e p.
Os resultados da execução da normalização pelo
N0RF0R1 foram:
G. = - e + 0.007813 p2 + 0.054688 p2 e - 0.000865 p4 +
+ 0.007813 p2 e2 - 0.010583 p4 E - 0.117188 p2 e 3 (VI.17a)
0.125 + 0.25 e - 0.003418 p2 - 0.25 e2 - 0.21484 p2 e +F1 =
+ 0.5 e 3 - 0.042969 p2 e2 - 0.375 e4 . (VI.18a)
A fronteira de estabilidade próxima de e = p = 0 e
dada por:
pk|Re(Fk)| =|Re(Gk)j (VI.19)
No nosso caso a fronteira foi calculada explici-tando,pelo algoritmo do Apêndice F
]e em função de p ; os
dois ramos são dados por:
seus
95
- 0 . 0 0 0 4 3 7 6 4 p 4 +- 0 . 1 2 5 p + 0 . 0 3 9 0 6 3 p 2 - 0 . 0 0 9 2 7 7 p 3£
+ 0 . 0 0 2 7 2 5 4 p 5
e = 0 . 1 2 5 p + 0 . 0 3 9 0 6 3 p 2 + 0 . 0 0 9 2 7 7 5 p 3 - 0 . 0 0 0 4 3 7 6 4 p 4 -
- 0 . 0 0 2 7 2 5 4 o 5 . (V I . 2 0 )
Os coeficientes estão de acordo com os resulta-1 6dos exatos deduzidos a partir dos dados de
Para a obtenção destes resultados foi utilizado o
N0RF0R1 com algumas modificações, levando em conta as particula
ridades do sistema (vide seção IV.6).
0 tempo de processamento foi de aproximadamente
2 minutos e meio. A programação do algoritmo específico
sistemas lineares com excitação paramétrica apresentada na se-ção IV.6 levaria indubitavelmente a tempos de processamento meno
para
res.
VI.4 - EQUAÇÕES DE LORENZ
As equações de Lorenz são da forma 1 1
ox + ayx
xZ + r xy V
b Z a > 0, b > 0,Z = x y (VI.21)r > 1
96
0 ponto de equilíbrio a ser considerado e
1/2[b(r-1)J (VI.22), 2 1rx y
Um par de autovalores cruza neste ponto, o eixo
dos imaginários para:
r = a(a + b + 3)(a - b - 1)
(a > b + 1). (VI.23)
Definindo as novas variáveis:
1/2x - [b(r-1)]X1
1/2X2 = y - [b(r-l)] (VI.24)
(r-l)U3 - 2
tem-se o sistema:
0 0-o +oX1 X1
1 -1 -a X1 x3x2 X2 (VI.25)+
-ba a X3 X1 x2X3
1/2[b(r-l)]onde a
97
Os autovalores da parte linear são:
11/22 a b(a 1)+ (críticos);A 1 (g - b - 1)_
(não crítico)(g + b + 1) (VI.26)A 3
Sendo Re(Àj) < 0 a primeira equação do sistema
normalizado reduzido fica:
coi +l,i i +1 iI * (VI.27)A +y 1 n y2*111 i=l
Poderia-se ter acrescentada uma equação
trica para controle do parâmetro de bifurcação r, por meio»
rQ + e (e = 0) onde rQ seria dado por (VI.23).possibilitar o estudo do caso quase-crítico. Estando-se
interessados somente no estudo da estabilidade do ponto
equilíbrio, e suficiente analisar o caso crítico.
parame-
de
Istor iria
porem
de
Para tal foi utilizado o programa N0RF0R2
fornece, neste caso , a forma 3-normal:
que
2 ,1 d y2A + $ (VI.28)Yl - AX 7;L 1
Como introduzindo anteriormente (seção III.4)
a estabilidade e dada por:
Re[O^’1] < 0 (VI.29)
98
Os resultados que obtivemos foram os seguintes:
- 0 ponto de equilíbrio estudado ê instável em toda a
dos parâmetros (b , a)P : b > 0 e o > b + l onde ocorre a bi-furcação de Hopf;
região
2 1- Re[<f!T ’ ] tende a zero proximo dos limites de V , isto é; b = 0
b + 1.e a
1 1Na referência foram encontradas zonas de estabilidade
nesta região , o que esta em desacordo com os nossos
dos e também com os resultados de
resulta-1 4 (pãg. 159).
0 tempo de processamento foi de aproximadamente
5 segundos por par (a, b).
VI.5 - EXEMPLOS DE DIMENSÃO MAIOR
A fim de avaliar a eficiência do N0RF0R2 na ana-lise de sistemas com maior dimensão, o programa foi rodado para
dois exemplos: bifurcação de Hopf de um sistema de dimensão 10
e bifurcação com quatro autovalores críticos imaginários de di-mensão 13. Os sistemas escolhidos não representam sistemas físi_cos específicos , porem , sendo típicos, permitem a avaliação de
sejada, especialmente no tocante ao tempo de processamento.
Ambos os sistemas não eram do tipo ímpar,
modo que, o resultado do N0RF0R2 é a forma 3-normal.de
99
0 tempo de processamento foi de 50 seg. e 5 minu
tos para os sistemas de dimensão 10 e 13 respectivamente.
tempo muito maior exigido no segundo caso nio e somente acarre-tado pelo aumento da dimensão mas também pela maior complexida-de da bifurcação , i.e., maior número de variáveis críticas
maior número de coeficientes da forma 3-normal.
O
e
Por brevidade so detalhamos a seguir, o exemplo
de dimensão 13.
0 sistema e dado por:
,v0 . xv xV) (VI.30)ïA x + { +X1v I = 2
v I 6~(*1 > 2)v =3
ó ^1 * ^2 ’*3 ^v
(i = 1, ., 13)•
sendo:
0 0 0 0 0 . 0
0 0 1 0 o : o í
0 0 0-1 o : o i ov i : oo o o o 0 1
-no 0 0 o : o 1 0 0 0A
1-1-1 -1 1 0
0 -10 -1 -1 1
-1 -1
100
v ( I = 2 1 2 * 1• •• > “ î J-2 Il JTi + 1; ia 11i
Ô2+Ô13 C N (v)
<5 ^l’ I2^2;$ a13
v ax - i; i2 =!; i3 = 2, 13)• , 13; i3 « • • » *i
362$ Y2
364 (I v dl, I2. I3))$ 3; vY 64
Este sistema tem 5 equações "críticas” sendo
primeira correspondente ao parâmetro.
a
Os resultados da normalização foram:
2V63 62+V 6Sx2 X3+ 0 + $ X5 +x2 = - j x2 X2 X42 2
261+62X1 x2+ *2
62+63+64 2 34+ <5sX4 X5
+^ j x4 + ^4 + $x x2 x3 x44
26,+61 4 x?+ $ (VI.31)1 X44
com:
101
2 ô 2 + 6ó = a 2 ( 0 . 2 9 3 7 4 2 x 1 0-12 + j 0 . 4 1 6 6 6 6 7 x 1 0 ^ )$ 2
- 1 3+ y (0 . 3 7 5 - j 0 . 3 2 1 x 1 0 )
<V V ôs = a 2 (- 0 . 1 3 9 7 2 0 3 x 1 0" 2 2 + j 0 . 1 2 4 9 9 9 4 ]42
T2 6 l+ 6 2 = B [0 . 1 3 1 4 1 4 9 x 1 0 1 + j 0 . 4 0 2 5 4 4 )$2
^6 2 + ô 3+ <5 4 - 12 -11= a 2 [ - 0 . 5 8 7 4 8 4 5 x 1 044 )- j 0 . 4 1 8 0 2 0 4 x 1 0
2V Ô 5 = a 2 [0 . 7 7 8 4 1 1 1 4 x 1 0 2 3 + j 0 . 2 9 4 6 2 8 6 x 1 0 1 )44
-11+ y ( û . 3 7 5 - j 0 . 1 3 5 0 4 6 1 x 1 0 )
_2 <51+ 6 4 = B [1 . 4 0 9 8 9 0 + j 0 . 4 7 6 7 0 2 1) ( VI . 32 )4 4
Nota-se que o s i s tema reduz ido (VI .31) tem
coef ic ien tes a serem calcu lados , ao passo que para a b i furcaçã o
de Hopf , se r ia necessár io ca lcu la r apenas dois. Por tan to , pode-
s i * g rosse i ramente reparar o efe i to do aumento de dimensão d iv i -dindo o tempo de processamento por 3 , i.e. , 100 seg. ou
do dobro do caso de dimensão 10 .
se i s
se ja ,
Uma vez obt ida a forma normal í (VI . 31 )
ap l icar fac i lmente os resu l tados de
ções quase per i ód icas do s i s tema.
'pode-se
para es tudar as osc i la1 9
102
CAPÍTULO' VII
FORMA NORMAL DE HALMITONIANOS
Para sistemas dinâmicos Hamiltonianos pode-sediretamente normalizar a função Hamiltoniana, ao inves de norma
lizar o sistema de equações diferenciais correspondentes,
sim, em Mecânica Celeste , a normalização ë normalmente efetuada
pelas transformações canõnicas de Birkhoff. Entretanto, o campo
de aplicações deste procedimento pode se ampliar aos
mecânicos sõ sujeitos a forças potenciais, como ë o caso
sistemas elásticos conservativos.
As-
sistemas
dos
A vantagem de se normalizar diretamente o Hamil-toniano ë obvia, pois se trata de transformar apenas uma função.
6 j propos um algoritmo recursivo paraGustavson
normalizar um Hamiltoniano.
Neste Capítulo descrevemos uma maneira alternate,
va de normalização , porem baseados nos mesmos princípios teõri-6|. Esta alternativa nos parece mais eficiente por dis-
sê-como ë o caso do algoritmo de Gustavson. Tam
bêm deve-se salientar que Gustavson usou variáveis reais,
passo que aqui se preferiu adotar variáveis complexas por
zões de simplicidade.
cos de
pensar por exemplo a realizaçao de produtos completos de
ries de potências
ao
ra-
103
Verifica-se que a notação adotada
e também de grande valia no que concerne a simplicidade da der_ivação das formulas de normalização.
anteriormente
Outra possibilidade, ainda, seria fazer uso
linguagens simbólicas. Porëm, ë sabido que geralmente tal proce
dimento exige um grande espaço de memoria e um maior tempo
de
de
processamento.
Não programamos o algoritmo exposto a seguir.Noscontentamos em testã-lo manualmente usando um problema tratado
por Markeev| sobre a ressonância interna de um sistema
dois graus de liberdade.
de
VII.1 - TRANSFORMAÇÃO NORMAL
Consideraremos um sistema Hamiltoniano den graus
de liberdade em torno de um ponto de equilíbrio tomado como sen
do a origem do sistema de coordenadas generalizadas.
Supomos que o Hamiltoniano possa ser
como uma serie de potências convergentes em alguma
da origem:
expresso
vizinhança
r = 2 ,.. uvrv2 viH xDQ V 2* >
H(x, y) = (VII.1)yvi v2 =r
As equações de Hamilton sao:
104
; - 3H(x , y) . * s_
A • > y j3H Çx,- >0 (VII.2)
1 a*i 3x.l
(i = 1, • , n)• •
6TEOREMA VII.l
Seja (VII.l) da forma:
r=3,. HV1'v2 V 1H xnl aJ VCO• * ) 2 (VII.3)(X 2T + y y) + IH(x, y) = y
J =1 2 + i =rV1 2
(ai 1 0; i = 1 » • •., n)
Então existe uma transformação canónica formal
quaseridentidade:
S(x, y); y = y R(x, y) (VII.4)x + +X
que transforma H(x, y] em G(x, y), onde G(x, y) esta na
normal , isto e, dado o operador linear:
forma
ni *->E (VII.5)aJ - XJJ =1 8x 3yJ J
tem-se:
D G(x, y) f 0 (VII.6)
105
Ë fãcil verificar que os termos quadráticos
H(x, y) jã estão na forma normal , isto e , definindo:
de
= (3)H(x, y) (x, y) + H (x, y) + ..
temos
(2)(x, y) = 0D H
H(2) = G(2) (VII.7)
VII.2 - RELAÇÕES DE RESSONÂNCIA
Como no MFN visto anteriormente, na forma normal
de Hamiltonianos também aparecem termos ressonantes, isto
que satisfazem certas relações de ressonância. Restringimos nos
sa atenção aos Hamiltonianos (VII.3] nas quais:
e,
aJT <*j + ^ (VII.8)
J=1 2
Considerando somente a parte quadrática, verifi-camos que se trata então de um sistema de n osciladores harmôn^cos desacoplados. Portanto os termos de ordem superior consti-tuem os acoplamentos dos osciladores.
Define-se que o sistema tem K relações de resso-nância se os ctj em (VII.8) estiverem ligadas por K
linearmente independentes dadas por:
relações
106
(VU.9)A a = 0
onde A ë uma matriz (K x n) formada de elementos inteiros
linhas linearmente independentes.
de
VII.3 - CONSTRUÇÃO DO ALGORITMO
Seja a transformação linear canónica:
(1/AT) (qA + j p.); (1/AT) (j qi + pi) (VII.10)x . >^i =1
(i = 1,
Definindo os vetores de dimensão 2n:
x qx Q =ey p
pode-se reescrever (VII.10) como:
Q = iA 1 XX = L Q (VII.11)e
onde L e L ^ são duas matrizes (2n x 2n) construidas da seguin-te maneira:
1/ AT . j//r- l/AT . -j/ATL (VII.12)
j/AT : 1/ AT -j/AT : 1/AT
107
Através desta transformação , asO *
igualdades
(VII.1), (VII.2), (VII.5) e (VII.8) ficam respectivamente:
r=2 ,..õvrv2H q
V 1 V 2co• ?
H(q, p) = (VII.13)q+ vV1 =r2
; = 9H(q,p) . •
’ pi9H(q ,p) (VII.14)qi3qi9p.
9(q (VII.15)D - PjJJJ=1 3 q 9PjJ
D G(q, p) = 0 (VII.16)
H^(q, p) = l j a (VII.17)J qJ PjJ=1
(i = 1 , ..., n).
Seja H(q, p) normal ate a ordem r = N-l s e
r=2,. vl>v 2 _vi ~v2G q Poo• •IG(q,p) = (VII.18)
v 1 \ |v2 i r
normal até ordem r = N s + 1.
Utilizando a transformação canónica de modulo s:
108
^vrv2 V V1 2 (VII.19a)B.qi = qA + q p1
vl ) +|v2|= s
rvl’v 2Zi *V1 —V2 (VII.19b)+P. = P.1 1 * 1 P
+ vV s21
., n)(s = N —1; i 1 ••
obtem-se a igualdade:
~vl’v2zi ív —
V2P » =1H(q ,p + {
vl'+ v2=s
V1’V2 V1 —v2 -, -,q p h p)ï= G(q + { (VII.20)B.1+|v2 j =sV1
(i 1, ••• 9 n)•
A transformação (VI1.19) admite uma função gera-}(">:dora de modulo N,
~V 1 ’V 2W 1 z V1 —V2q pW ^Npq, p) =NV + v2 (VII.21)
que ë relacionada ã transformaçao (VII.19) por:
+ 9 wq - - q •Hi ni 3p.
+ UÍ (i 1, ..., n). (VII.22)Pi = P;i
109
Da comparação entre (VI.22) e (VI.19) obtem-se:
_v ,(vz+6i)^
V1’V2 (v2i+l) WB.1
v.-v,,Z.V 2 (vli+l) W (VII.23)
1
(i = 1, ..., n).
Separando em (VI.20) termos de mesmo expoente
+ lV2 r, obtem-se:v1 ’ V 2 ; V 1
~V1,V2 ~V1’V2ri = b (VII.24)para r < N
~V1H.vo -V.,V- — ’ 9
_V -r ’^9+ h 1 = G + (VII.25)g
para r > N
onde (vide Apêndice G):
2 I ,Lr-1 -v -, ,v“V1)V2h 1 z v1 2 CI H K(J)
1= 2 + V- I = 2V1 2( 2^ ô Ux ,. )v2
-P1(J’),M2(J')ZlK(J ’)
J'=l Lb I }nI^CJ)I U2(J)I =s+
(VII.26)
(I^ N - 1)+ V r; s2
110
sendo que (VII.26) deve satisfazer:
T - :(r-z)(s-1)
; L £ I v2 [ ; L inteiro não negativo;
Ll MJ');
J’-l+V V1 1
L Ll l y2(J');«i1K(J’)
+v 2 v 2 J ’=l J'=l
, L) ;(I ; J = 1,K(J) » « •
,Lr-1 v v2 IV1 IL r *LK(J)v1’V2 G 1'lg
z=2 + vvi 2 ' z
ô t1!’*'‘ ’11 v )1
_y,(J'),y?(Jr)7 1 =1 IJ- J • •• 5 L
}{ Bn iiv1 cj) I + IM 2 I = Sd lj..i t L
K(J’)
(VII.27)
CIV N - 1)+ v = r ; s1 2
sendo que (VII.27) deve satisfazer:
(r-z) . ; L inteiro não negativo;L 1(s-1)
L LI 5 (J’);+vi = vi “ IK(J ’)JT =1 J ’=l
Ill
Lv2
~ V2+
J
- , L).(I e <vl > 0 ; J = l ,K(J) •
(VII.25)Se r = N , levando era conta (VII.17),
reduz-se a:
-(Vi-ij),v2H x z +v
= G +ZJJ=1
Vi,(v2-Ôj)BJJ=1
utilizando (VII.23):ou ainda
? ~vij(a(v1-v2)) - - H
,v ~v1,V2~v,,vW 1 2 + G
tin (VII.28)= N)v 2
Considerando que G ë normal atë ordem N; o que
implica:
’ V 2~V1(a.(v1-v2)) G = 0 para todo v2 tal que =N,+ v2V1tem-se:
v V 2H 15~V1’V2W (a.(ux-v 2) ^ 0)j(a(u1-v2))
~vl ’v2 ~V1 ’v2G = H (a.(vx-v2) = 0)
2 I - N)
(VII.29)(Ivjl + V
112
A partir das formulas apresentadas é fãcil cons-
truir um algoritmo recursivo de normalização. Sua
utilizaria com poucas modificações as mesmas subrotinas
programas de MFN anteriormente apresentados.
programaçao
dos
Um esquema básico do algoritmo poderia ser:
a) por meio da primeira equação de (VII.11)H(x, y) em H(q, p)(utilizando basicamente a subrotina LINV);
transforma-se
~V 1b) dado um N acha-se por (VII.29) W
0 para a.(v^-^) = 0;
,v2 ~VV2e G 2 I = Nv- + v1:v2~viarbitrando W
c) calcula-se a influencia de transformação de modulo N nos ter
-v,,vmos G 2 de ordem NLIM, NLIM-1, ..., N+l , por meio
(VII.25), (VII.26) e(VII.27)(para isto pode-seuma versão modificada da subrotina INFL);
de
utilizar
d) e incrementado N fazendo-se H G(antigo) e
em b) a menos que N = NLIM; neste caso vai-se para e);
volta-se(novo)
?(r) (r)(r > = 2 , ..., NLIM) ë transformado em G
gunda equação de (VII.11).através da see) G
EXEMPLO:
Dado um sistema com dois graus de 1iberdade(n=2):
113
r=2 ,3 ,4 v2 V1 "2q pV~v
Hr -ii+ VV1 =r2
HC2) (VII.30)= 1 qx Pl + J w2 q2 p2
= 3 a»2com o)^3. ~20 20achar o termo ressonante de 4r ordem ’
SOLUÇÃO
Tem-se ^ e «
ë obviamente ressonante, portanto apos a normalização N = 4 ob-v2 = 20,200 termo v2 u2 * 1’
temos:
-20,20 “20,20 (VII.31)G
Por outro lado, pode-se verificar que não hã ter£mos ressonantes de 3. ordem. Portanto na normalização N = 3
novo termo 20, 20 e dado por:
o
-20 ,20 0,20“20,20G + h (VII.32)
r20,20 ë calculado ior(VII.26).onde h
Aplicando (VII.26) obtêm-se:
114
-20,20B gO'
0,30 ~00,21 ,520 ,00^2
r20,00) + H ) +(3Z1
-10,11 ,-10,10lA 2,10,10510,20 ) + H ) +(2 Z+ H 1
-20,01 ,,00,20li 2520,10 ,=00,20 ) (VII.33)<Z1 ) + H+ H
Utilizando (VII.29) constroi-se a tabela (VII.34)
r.(VV >vz-Cvi+ii),«, H~V1’v2 )(v +1) W (vli+l)(-Z.1 j a ., i (v1
+ 6 i)-v2-30,0 0“20,00 530,00/j 33 W 3 H1
„21,00520,00z
-21,00 /j(2ai1+ (JJ 2)
~20,10210,10 -20,10 /j2 W 2 H1
=10,10 „11,10wii.io /j “2Z
200,20 Wl0,20 jjio ,20/-j U11
“01,20=00,20 H01,Z0/j(-2CO1+W2)Z2
(VII.34)
Usando-se a tabela acima obtemos finalmente:
115
^0 0 , 3 0 £3 0 , 0 0 3 “ 1 0 , 2 0 -2 0 ,1 0£20,20 = £20,20 3 I! I I +
J “l
£20,01 £01, 201 1_ £10,11 £11,10+
j(2W1-W2) j(o2
£00,21 £21 ,00(V I I . 3 5 )
j(2u1 + w2)
o que está de acordo com o resultado de Markeev |7|.
116
CAPÍTULO VIII
CONCLUSÕES
Neste trabalho abordamos o Método da Forma Normal
sob o ponto de vista de sua aplicabilidade em problemas concre-Por esta razão a maior ênfase foi dada aos algoritmos nume
ricos e a sua implantação em programas de computador.tos.
Deixamos desta forma de lado muitos aspectos mais
teoricos , alguns dos quais ainda não totalmente resolvidos,
o problema da convergência das series formais,
nos a apresentar alguns resultados teoricos estritamente neces-sários para os nossos objetivos, nos Capítulos II e III.
v.limitando-g -
No Capítulo IV derivamos alguns algoritmos
normalização para casos de maior interesse pratico através
um procedimento geral. De fato, uma vez adquirida alguma prati-ca com a notação empregada, pode-se seguindo os passos
dos em algumas seções deste capítulo, derivar outros algoritmos
para outros casos diversos daqueles aqui considerados.
de
de
mostra-
Neste mesmo capítulo são demonstrados dois teore-mas, que procuram explorar as particularidades das formulas mos
tradas, no sentido de diminuir o tempo de processamento dos pro
gramas que utilizam estes algoritmos.
117
Na mesma linha de pensamento ë mostrada no Capí-tulo V a maneira com a qual obtivemos dois programas a partir
do algoritmo mostrado na seção IV.1. £ dado destaque a proble
mas específicos que enfrentamos na programação, indicando,
tentando justificar , a solução ã qual recorremos.
e
enfrentadoCabe aqui notar que o maior problema
foi sem duvida o tempo de processamento. A solução
para este problema e a construção de programas específicos pa-sugerida
ra classes particulares de problemas. Entre estes
aqueles que julgamos de maior interesse seriam destinados
a) bifurcações de Hopf: duas equações críticas c.c. e uma
parâmetro; b) divergência simples: uma equação com
nulo e outra de parâmetro ; c) sistemas lineares não autonõmos,(ressonância paramétrica), como indicado na seção IV.6;bifurcação dupla: quatro equações críticas e uma quinta
ção de parâmetro..Todos estes programas podem ser
sem dificuldade seguindo os passos indicados no Capítulo
tendo como lucro uma considerável economia de tempo de proces-normalização
programas
a:
de
autovalor
d)
equa-
realizados
V,
sarnento e uma maior simplicidade de execução da
no que concerne a entrada de dados.
Dedicamos muito tempo de nosso trabalho na cons-trução e aperfeiçoamento do programa N0RF0R2 que, a custa
um menor grau de normalização, nos permite uma rãpida normali-zação de um sistema; isto tanto do ponto de vista do tempo
processamento, quanto em relação a entrada de dados.
de
de
118
No Capítulo VI estão mostrados os resultados da
normalização de alguns exemplos, obtidos com os
N0RF0R1 e N0RF0R2. 0 programa N0RF0R1 foi utilizado para norma
lizar sistemas de pequena dimensão até um alto grau de normalji
zação, enquanto a utilização do N0RF0R2 foi feita em sistemas
relativamente grandes tendo em vista avaliar o tempo necessá-rio para a normalização.
programas
Os resultados foram comparados, quando possível,
com aqueles obtidos com outros métodos de solução,
do-se via de regra uma boa concordância.consegum-
0 programa N0RF0R2 mostrou-se versátil e particu
larmente adequado a sistemas de maior dimensão devido a
rapidez e ao seu fãcil manuseio.
sua
Por fim no Capítulo VII derivou-se um algoritmo
de normalização para sistemas hamiltonianos. Este
permite a normalização diretamente da função
que e um passo bãsico para o estudo da estabilidade de siste-mas hamiltonianos não-lineares.
algoritmo
hamiltoniana
119
Este algoritmo, poderia ter sido programado
maiores dificuldades , utilizando as soluções de
apresentadas no Capítulo V.
sem
programaçao
120
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Press, 1981.
1 5 Sokol'skii, A. G. - On -the. Stability of an Autonomous
miltonian System With Two Degrees o fa Freedom in tke ca-se o £ Equal Frequencies - Journal of Applied
tics and Mechanics (PMM), Vol. 38, 1974,
Ha-
Mathema-741-749.PP -
1 6 N. W. - Theory and Applications o f Mathieu FuneMacLachlan
tions.
1 7 Nayfeh , A. H. ; Mook , D. T. - Nonlinear Oscillations, New
York, John Wiley and Sons., 1979.
1 8 Hassard , B.; Wan, Y. W. - Bifurcations Formulae
From Center Manifold Theory , Journal of Mathematical Ana
Verived
lysis and Applications 63, 1978, pp. 297-312.
1 9 Kirchgraber, V. - Behaviour of a 4-Dimensional System With
a Critical Point Mech. Res. Comm., Vol. 3, 1976, pp.291-296.
2 0 Hsu, I. D.; Kazarinoff, N. D. - An Applicable Hopf Bifurca-tion Formula and Instability of Small Periodic
tions of Field Noyes Model - Journal of
Analysis and Applications 55, 1976, pp. 61-89.
Solu-
Mathematical
2 1 Poincare ,H. - These (1879), Oeuvres 1, Paris, 1928.
123
2 2 Holmes , P. J. - BlfiuAcations to Vlvengence and Flatten In
Flow- Induced Oscillations: A Finite. Vlme.nt> Ional Analy-
tic - Journal of Sound and Vibrations, 53 , pp. 471-503,
1977.
2 3 Mees, A. I.; Chua , L. 0. - The Hop ù Bl^uncatlon Theorem and
Itt Applications to Nonllnean Oscillations on Clncults
and Systems - IEEE Transaction on Circuit and Systems,
Vol. CAS-26, n'4, April 1979, pp. 235-254.
2 4 Hahn, W. - Theony and Applications o ^ Lyapunov's
Method - Prentice-Hall, 1961.
Vlnect
2 5 Dowell, E. H. - Nonllnean Oscillations o^ a Flattening Via
te - AIAA Journal, 4, 1966, pp. 1267-1275.
124
APÊNDICE A
NOTAÇÃO
Devido ä extensa manipulação de séries de potên-
cias multivariaveis , algumas notações especiais são utilizadas.
Aqui estão indicadas aquelas de uso mais frequente:
q , X , etc... ou {x^}, etc... vetores de elemen-x , y, x, y, p
tos reais ou complexos;
x^ i-ésimo componente do vetor x;
(*) indica complexo conjugado;
1
etc... vetores de numeros inteiros não negati-v , y, y, xvos;
v . i-êsimo componente do vetor v ;3-
nI (modulo de v);vV
p-1 p
delta de Kronecker;6 . •ij
5^ vetor formado da seguinte maneira: 6^ = (6.C , m
125
*V , BVtl a
i e v ; i e y , etc... (se como resultado de alguma operação
termediãria algum ou y^ for negativo ou não definido o
ficiente entende-se igual a zero);
etc... coeficientes reais ou complexos indexados com
ín-coe-
p 1, ».. 9n v vV1VX P = nx n X1 xnP
..., 0) e y - > 0 (j 1)(P1 9 * P^? 0,
(t = numero de autovalores críticos);
y e M se y •• ?1 3
(y1, ••• 9 Uj^) ?tP
nI X v
p= l p PÀ • — A.v — A. A.:
3 ’vj 3
l1tA.y A. p Pp Àj ’A AÎ 3V 3 P=1
somatório sobre todos os possíveis v (v. > 0) tal queiv =N
= N ;v
00
somatório sobre todos os possíveis v com |vriando de 2 a infinito;
r, r va-v =2
se houver indicada alguma condição abaixo do somatório,
de-se que o somatório se efetua sobre os elementos que satisfa-çam estas condições;
enten-
[''Av] matriz diagonal dos autovalores A^;
126
pM,LK(J) somatório sobre todas as L-combinações:
(K(l), K(L)} dos primeiros M numeros inteiros não negati-vos;
P!î somatório sobre todas as permutações(K(l),
M primeiros numeros inteiros nao negativos;
., K(M)}dosK(J) • «
[a ] . L^L [Sij ]A > A22 > R )
matrizes.
S, etc... ou etc..22ij * >il
v-1 autovetor crítico associado ao autovalor A.1
|V]matriz fxn formada pelos l autovetores críticos com colunas.
127
APÊNDICE B
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Seja o sistema real de n equações diferenciais or
dinarias:
{y±} = A{7i} + íf^y)} (i 1, ..., n) (B.n
com l autovalores críticos, e m = n - & autovalores com parte
real negativa.
Através de uma transformação linear:
R x (B.2)y
obtêm-se o sistema:
X. x. + f.(x)3 3 3 Jr x • * •3
(B.3)
Uxk} = A {xk} + fk(x) k = l+l, ..., n22
A transformação (B.2) ë construída da
maneira: sejam u-5 e v-1 (j = 1,
vetores críticos direito e esquerdo tais que:
do: S
seguinte
., l) respectivamente os auto-iT j
V .UJ =
• *
6. • senil ’
= R"1
128
R R A ASS 1211 12 11 12 11
S ; R ; A =
s AS R R A21 22 21 2221 22
A A11 12
(B.4)A
A A21 22
matrizes (Ixl); S matri-S l l’ R l l ’ A e A 12, R12, A12matrizes (mxX); S
e A1211 11
(dxm); S R A22 * 22 ’ 22 e A, R , A e Azes 222121 21 21
matrizes (mxm), então:
• s12l = [v J » Ü[S 1, •.• , D \îi :
Rîi= [uJJ Ci = i, . D (B.5)
R21
I (I matriz identidade)R22
S R21 S11 ’ S22 I - R S21 * w12 ’21
-111 S12 ’ A 0SR12 11 12
-10 ; A A A21 S11 S12’ (B.5)A 2221 22
(0, matriz nula).
1 2 9
E s c r e v e n d o :
o oV Vf j íy ) 0i y
v = r
co~ v V$ - Xfi(x) ( Í = 1, • • • , n )1v = 2
e
R - [r; . ] , S ts i jE = (J ^ , « . * , J( I 2 ’ • • 9 I ) ,1 3
v V s
t e m-s e :
( B . 6 )t=l , . . . , snI S
1~ v$ . V n S
s?k í t ) n r j1 i jp =l , . . , n
n v :i=l t , iV k ( t )
P
N O T A : £ s e m p r e p o s s ív e l r e o r d e n a r a s c o m p o n e n t e s d o v e t o r y
m a n e i r a t a l q u e s e j a d e f i n i d o .d e
130
APÊNDICE C
ORDENAÇÃO DOS VETORES DE POTÊNCIAS
Para geraçao de todos os possíveis vetores de po-tências de modulo S de um sistema de n variáveis ê necessário
que estes estejam ordenados.
A ordenação que utilizamos , que coincide com
ê a seguinte:
a
1 3do Brjuno
Sejam v , y , y três vetores de dimensão n ,|\s
N como numero de ordenação de v então:
y y
definindorse v
CS, o , o, , o)N 1 + vV
e
N < N- (C.l)se y. > Vjy y J
onde y. e y . sao os primeiros elementos diferentes entre si dosJ 1vetores y e y.
O numero de ordem, Nv ë obtido como segue:
Seja (v)ô = (I1 , I2, ., Ig). Definindo:• •
131
(K = 1, , S)IXK S-K+l(C.2)
1 ZS+1 1
tem-se:
^ IK~ IK+1^SN = ï + yV r,L
(C.3)EK=1 K
onde:
fd dI (d f 0)E l i,KK i=l
(C.4)0E = 0K
são elementos da matriz (n x NLIM; NLIM > S) construíe os £i ,Kda da seguinte maneira:
l. , = 1i,l (i 1? ••• » ri)
(K = 1, ..., NLIM)i £ 1n,K
£i,K l + l (i = 1, ..., n-1; K = 2 , ..., NLIM)i+l,K i,K-l(C.5)
A matriz (C.5) e completamente definida
ser formada ã partir de n e NLIM, sendo independente a
pic de S (salvo que S < NLIM).
podendo
princí-
132
Para fins de programação e ütil definir uma orde-nação ünica dos vetores inteiros para todos os termos não linea
res de um sistema de dimensão n.
Entao (IV.7) fica sendo:
N v “ C2, o, o , ..., n)ïv
N < N- (C.6)<V1se yy y
e
N < N— se e y . > y.y yy y JJ
onde y. e y - sao definidos da mesma forma que em (IV.1).J J
Neste caso (C.3) ë modificada da seguinte maneira
S ^K~JK+1^+ vFT , = F(S) E (C.7)LV K=1 K
onde (C.2) e (C.5) sao invariantes e:
f F(2) = 1
SF(S) = 1 + I l (S > 3). (C.8)1Jj=3
133
APÊNDICE D
TÕPICOS DOS PROGRAMAS NORFOR1 E NORFOR2
PRINCIPAIS SUBROTINAS DO PROGRAMA NORFOR1D.1
Alem das subrotinas mostradas em fluxogramas
Capítulo V, (NIS, DIVE, UDIVE) mencionaremos aqui algumas
tras importantes.
no
ou-
Os seguintes argumentos tem o mesmo signifiçado
em todas as subrotinas:
dimensão do sistemaNZ
- dimensão da parte crítica do sistemaLZ
- numero limite de $Ys por equaçãoLIMF
- numero limite de BVLIMB s por equaçaox
- dimensão máxima de ALIMA 22
- vetor complexo contendo os autovalores críticosLBD
- matriz complexa (Fil (LIMF, NZ)) contendo
$v's
FI1 os
í
- matriz complexa (BI (LIMB, NZ)) contendos
BÊ * s
BI O S
1
- matriz inteira de ordenação (FI2 (NZ, NLIM))FI2, B2
134
- modulo maximo da forma normal desejadaNLIM
(NZ - LZ)ML
- matriz complexa (A22 [LIMA, LIMA)) contendo A22
da parte linear do sistema (vide seção IV.1)
A22
a) Subrotinas de ordenação dos vetores de potências e estocagem
dos coeficientes:
INMAT (NLIM, NZ, M) - constroí a matriz de ordenação
M: matriz de ordenação M(NZ, NLIM) = FI2 B2
ORDEM (S, M, N, NI, NZ) - calcula Nv a partir de v e
Apêndice C)
S = Nv (na saída)
M = matriz de ordenação (vide INMAT)
(videv
N v
(v)6NI
V ou BVACHV (V, M , NI, NZ, N , J, Z, LIM) chama o coeficiente 0.í í
V = F11 ou BI
M = matriz de ordenação (vdlde INMAT)
(v)ô ou (y)6NI
N v ou y
J = iV Uz = B.ou1 X
LIM = LIMF ou LIMB
135
ESCV (V, M, Ni, NZ , N, J , Z, LIM)
ou ßVarmazena o coeficiente
l
l
para os argumentos vide ACHV
b) Subrotinas de coordenação:
OS símbolos utilizados foram retirados fórmulas (IV.4) eNOTA:
(IV.5).
APON (N, NZ, LZ, LIMB, LIMF, Bl, B2 , FU, FI2, LBD, A22 , ML,
NLÎM, G)
coordena a normalização de módulo N
N - módulo da normalização
G - matriz auxiliar da mesma dimensão de A22 para efetuar a in-[(y'.X) I - Ã22]
_1versão
INFL (MNIB, S3, LZ , KA, NZ, N, NIB, LIMB, LIMF, Bl , B2, FI1 ,
FI2)
coordena as subrotinas que calculam um hV da fórmula (IV.6).
MNIB = v
(na saída)S3
KA í
N = módulo da normalização
NIB v
136
PRPA (MNIB, ST, LZ , KA, NZ, N, NIB, LIMB, LIMF, Bl , B2 , FI1,
FI2)l v-v+ôpl 1coordena o calculo de um (v -v +1) B^ P P i Pp=l v = v -N+l
MNIB vv-v+6l
PST = (na saída) J I (v -v +1) B -P P i PP=1 v -N+lv
KA = i
N = modulo da normalização
NIB v
c) Subrotinas para operações especiais
ANN (NIBI, N, NZ, NIB, LBD, LZ, LBDIJ , FIl, FIZ, LIMF)
calcula todos os para Nv
= Cv)6NIBI
N v
NIB v
LBDIJ = AP ’j
CONV (MU, MUI, LZ, N) transforma y em (y)g
MU = p
(na saída)« Cu)6MUI
N P
COMB (M, L , S, FL) realiza sucessivamente as L-combinações(S(l), ..., S(L)} dos M primeiros numeros inteiros não negativos
137
S = (em entrada) uma combinação
(na saída) a combinação sucessiva
FL = 0 não se esgotaram as combinações
= 1 esgotaram-se as combinações
BVOLTA (JI, Bl, BV1, B2 , LIMB , NZ, LZ , NL) escreve a transforma
ção normal sob a forma de uma unica serie.JI = numero de ordem da equação da transformação que se deseja
escrever
BVl = matrix complexa (BVl (LIMB, NZ)) que armazena os
cientes ßV da formula (VI.5 ).
NL = modulo mãximo da transformação.
coefi-
ADAD (ML, N , LZ , NZ , A22, FU, Bl, FI2, LIMF, LIMB , LBD, AB)
calcula|B£} -1[(U'i) I - A22]N = modulo dos coeficientes da transformação normal
AB = matriz auxiliar (AB(LIMA, LIMA)) para efetuar a inversão
de matriz.
DADOS DE ENTRADA DO PROGRAMA N0RF0R2D.2
Para normalização de sistemas pelo N0RF0R2
necessários os seguintes dados de entrada:
sao
Constantes inteiras:
- se o sistema não for ímpar ITER = 2 se for ímparITER
ITER = 3
138
- número de equações críticasLZ
- número de equações (NZ > LZ)NZ
- número da equação auxiliar de parâmetro (e = 0),
não houver colocar LP > NZ
LP se
- número de equações que tem (na entrada) termos não li-LMT
neares.
LEVIT = 2 (3) não ha termos quadráticos(cúbicos)
entrada ___^ ^ aLEVIT = 3 (5) nao ha termos cúbicos (de 5. ordem)
entrada
LEVIT = 1 hã termos de ambas as ordens na entrada
LEVIT na
na
Entre parentêses esta indicação para os sistemas ímpa-NOTA:
res.
- número de equações para as quais se deseja imprimir os
resultados
NJI
- limite superior (estimado) para o número de termos nao
lineares de entrada
NNLM
Vetores inteiros:
- número de ordem das equações que tem termos não
lineares de entrada
ITM(LMT)
- numero de ordem das equações que para as
se deseja imprimir os resultados
IPRT (NJI) quais
139
Vetores complexos:
contendo os autovalores críticosLBD (LZ) vetor
Matrizes complexas:
- autovetores críticos a direitaU (LZ, NZ)
- autovetores críticos a esquerdaV (LZ, NZ)
A (NZ, NZ) - matriz da parte linear
Termos não lineares:
Os termos nao lineares são lidos da seguinte for-ma:
Z, (VI(J), J = 1, 5)N, JI
onde:
- modulo do vetor VI (inteiro)N
- numero de ordem da equação a qual corresponde o
termo não linear (inteiro)
JI
- coeficiente do termo não linear (complexo)Z
- vetor expoente em notação "delta"VI
OBS.: apos o ultimo termo não linear e necessário introduzir-se
140
um outro , fictício, com N 0 .
Parâmetros de dimensionamento (internos do programa):
LIMA - dimensionamento das matrizes U , V e A (LIMA >
NZ)
- numero limite de por equação
- nürçero limite de ßV por equação
LIMF
LIMB
OBS.: a) LIMA, LIMF e LIMB devem corresponder ao dimensionamen-to feito no programa principal das respectivas matri-zes
(U, V e A para LIMA ; FI1 para LIMF; B, para LIMB)
b) LIMF e LIMB podem ser calculados pelas formulas:
2(ITER)-1 (NZ+I-1):yuLIMF >
1=2 (NZ-1):I!
ITER (NZ+I-1)IlLIMB >(NZ-1)• i:1=2
141
APÊNDICE E
OBTENÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO NORMAL COMO
UMA ÚNICA SÉRIE DE POTÊNCIA E SUA
INVERSA
Seja um sistema sobre qual foram aplicadas m-1
normalizaçoes:
BV xl1X(l)- x(2). + -k J í y = 2"(2). (2}
3 (3)iX(3)* JX(2)i
= X(3).U
(E.l)
xVB^x(m-1). +I — I ^1 y
(i 1,...,n)x(m-2)i (m-1)i -(m-1)=m-l
PBX(m-l)i= x(m)i
+(m)i (m)M =
que levam as variáveis originais x
normalizadas x
para as variaveis finaisC1)i(m)i
‘
Quer-se obter a transformação normal sob a forma
S 2 ,...,m
I v í- sBV X V (E.2)X(l)i
" X(m)3 (m)1
142
que relaciona diretamente as variáveis x
dem m. 0 algoritmo consiste em substituir sucessivamente na pri
meira equação de (E.l) a expressão da variável da parte
da da equação com o seu valor na expressão correspondente
ate or-com x(«i (m)i
esquer
de
(C.i).
Assim no passo (K-l) tem-se:
S=2 00
x^ (E.3)X(l)i= X(K). + «i(K),
1
onde corresponde ã serie resultante dos passos anteriores.
Aplicando em (E.3) a transformação
xV (E.4)X(K)i= X(K+1). CK+1)± (K+l)y =K+1
tem-se ,
s=2 ,.. co• )x^V (E.5)X(l)i
= X(K+l)i+ L (K+l)i (K+l)iy =S
onde:
143
= CI y ] < K+i)(K+i) . Wi
(K+1)i" B(K+1)i
+ $(K)iV C l y I = K+1) (E.6)
(K+1)t= $(K)i
+ h -*v. ( I P > K+1)l
sendo hV ë calculado por (IV.6).
A partir de (E.2) ë fácil obter a inversão da
transformação normal:
Reescrevendo (E.2) como:
mI y? (E.7)(Di
+X. y=2 U)i vi)1
isto e:
,U-v = X, -s ; X - = Xri. e(l ) i (m) i’ í C l ) ± (l ) i= BV (E.8)y
11
e aplicando sucessivamente m-1 transformações quase-identidade:
u^ y(1). y(2). +
^ J 1 v J 1 yy y(2)
y y¥y(2)i ^(3)i + (3)
+ , E-m D w .[ \à =m i
vH (E.9)yy(m-l) (m)i '(m)
144
sendo que o k-ësimo passo tem-se:
yrjbD(K+1).
"(K+Dí
<I>(K+l)i
(|y 1 = K+l) (E.10)4
(|y (E.11)< K+l)0
= + hV Cl y I > K+l) CE.12)(K)t
tem-se no final:
(E.13)x. y(m)i1
Aplicando para as transformações (E.9) o
procedimento descrito no início do Apêndice para as transforma-ções (E.l) tem-se no final:
mesmo
mDV ”
” CE.14)y yy(Di (m)1=2
Confrontando (E.8) e (E.13) com (E.14) obtem-se:
mDï x^ (E.15)X(m)i
= x(l)i CDl ï ï ï =2
que ë a inversão de (E.2) atë ordem m.
Este algoritmo pode ser ütil toda vez que se que_ira inverter uma transformação quase-identidade.
145
NOTA: As "igualdades” (E.2),(E.7),(E.13), (E.14) e (E.15) se
referem aos termos de ordem < m.
146
APÊNDICE F
ALGORITMO PARA EXPLICITAR UMA FUNÇÃO
IMPLÍCITA DE DUAS VARIÄVEIS
Seja a função de duas variáveis:
f(x, y) = 0 (F.l)
deseja-se obter:
y = h(xj (F.2)
que satisfaça (F.l) ate ordem m.
Isto ë obtido através de uma transformação:
y = y + g(x) (F.3)
que transforma (F.l) em
T(x, y) = 0 (F.4)
tal que:
T(x, 0) = 0 (F.5)
isto implica que:
147
(F.6)y = g00
seja equivalente a (F.2).
A transformação (F.3) e subdividida em m trans-formações aplicadas ao sistema original:
S 1,...,mf^” 5 ^ x1 v^ — 01(0) yI CF.7)
i+j=S
cada transformação e do tipo:
K+l (F.8)+ by y (K+l) X(K) (K+l)
e são aplicadas sucessivamente de K = 0 ate K = m - 1. Apõs(K+l)-esima transformação obtem-se:
a
INTfi/(K+l)) j+£, fi-(K+l)£,j+fJ f(K) bí1(K+l) ( (F.9)(K+l)£= 0
Em (F.9) tem-se:
INT(i/(K+l)) = o mais proximo inteiro menor ou igual a i/(K+l);
j+1 ( i*1) 1 coeficiente do binómio de Newton;)(j: v.i
bí elevado a t; nesta operação 0o (zero elevado a(K+l) = b(K+l)zero) e definido igual ã 1.
148
Por sua vez:
- fK+1’°(K) (F.10)b(K+1)f0,l(K)
0,1 f 0 (que é o Jacobiano da tranjs
formação no ponto (0, 0)) é condição necessãria para que o algo
ritmo seja aplicado.
obviamente a existência de f(0)
No final (F.2) ê obtido por:
m-1 xK+1I b (F.ll)y (K+ l)K=0
NOTA: as "igualdades" (F.4) e (F.5) se referem aos termos de
ordem < m.
149
APÊNDICE G
DEDUÇÃO DA FORMULA [VII.26)
Substituindo (VII.17) e (VII.18) em(VII.20) ob-tém-se
r=2 ,.. Pl —^2 -,V21 P >
CO
l’V2 v ~yl ’u2Z. q• > 1I ïÍPi +H q
1+ VV1 yi + y2=r =5-2
r=2,.. -v ,vG 1
00
-%V1 — v2P > P
v^yl
,y2 P• > 2 {«i *1l v B . qL 1+ VV Pl + y2=r =s21
(G.l)
Limitando-nos a expandir somente a parte esquerda
da igualdade (G.l) temos:
r=2 ,.. ,~V1’V2 V1 P1 _P 2 v2P i
co
7~Ul ’
y2Z. q
* 5
I{PlH +q1lHv2V =r P!l +|P2 =s
l’V2 v7yl,y2Z T qui -
y2,P )•1[(P1 H +q i hí =5V1
+ v2 '~r Pl + [P2
(v2)g CI]_ * * * > I )v2
-PrP2 Pz i ql 2
P ) ..•1•(n +PI2 I P1T + I P2 = S
1 5 0
1 -y 2 -,q p ) .P— P1 5 P £l Z• ( P + II |P l -1-1 P2 I = S+ vv 22
~V ^ 2 y l U 2 Mq P )]Z" (P ( G . 2 )Z+II |q1 l + | p 2 = s v 0V 2 LA
R e a r r u m a n d o ( G. 2 ) f i c a m o s c o m:
V 2_
6 I _ yl , y 2V V~ v1’ v 2 K ( l )1 r — 2q Lp V V ) +C zZ H r LL :K (152 f l y l + y 2v -sC
K ( l )y l -y 2.q p ) +
-6 -6V 2 “ ï T ~ y l ’ y 2 y l — y 2q pK ( l ) K (2 ) VI+ ( ZP Í Iy q U | y K (l )V2|,2 =s2C
K C J )
~ y-y 2 y i y 21l q p ) +z +• • •ï K ( 2 )y l I + y 2 =s
V S I - 4 . - 6 y l — y 2q p7 1 ’ y 2
T K U )
-yIC . I . P K (1) K (L )+
i y lL +v =sy 22C K C J )
~ y1, y 2 y i _y 2, +q p ) +1 z +• • •ï K ( L )y l < + y 2 = s
’ y 2 y l — y 2. -ïq p ) J1’ y 2 y1Z T^( î )
~ y -%P ) •-y1z+ C q ï )|y1T + | y 2 K C|+ y — s =sy 2 v1 2
( G . 3)
151
Reunindo em (G.3) termos de igual expoente e com-parando com (VII.25) obtem-se a formula (VII.26).
Expandindo da mesma forma o lado direito
(G.l) e comparando com (VII.25) obtëm-se a formula (VII.27).de
