EM461 – Prof. Eugênio Rosa

CINEMÁTICAAssistir Filme: Flow Visualization by Kline,

National Committee for Fluid Mechanics Films

Referencial Lagrangeano:

Acompanha elementos de massa identificáveis;

Em mecânica dos fluidos, acompanhar o movimento de cada partícula, muitas vezes, torna-se impraticável.

Referencial Euleriano:

Focaliza a atenção sobre as propriedades do escoamento num determinado ponto do espaço como função do tempo ( o campo do escoamento);

As propriedades do campo do escoamento são descritas como funções das coordenadas espaciais e do tempo;

Métodos de Descrição – Lagrange x Eulerrecapitulação aula-1

EM461 – Prof. Eugênio Rosa

Campo de Velocidade

Um conceito EULERIANO

EM461 – Prof. Eugênio Rosa

Campo de Velocidades: regime permanente e 2D (simulação numérica)

Escoamento laminar sobre uma

placa, plano YZ.

Resultados produzidos pelo PHOENICS cfd

Campo Vetorial (j,k)

Campo escalar w(y,z)

superposição

EM461 – Prof. Eugênio Rosa

Formas de representação visual do campo de escoamento

É útil e conveniente visualizar a direção e o sentido das velocidades das partículas das fluido por meio de:

1. Linhas de tempo; “time lines” - (experimental)

2. Trajetórias da partícula; “path lines” - (experimental)

3. Linhas de emissão; “streak lines” - (experimental)

4. Linhas de corrente; “streamlines” - (matemática)

EM461 – Prof. Eugênio Rosa

Linhas de TempoUma quantidade de partículas adjacentes são marcadas simultaneamente num dado instante:

• making timelines 1• making timelines 2

Links técnica bolha H2 : (1) e (2)

EM461 – Prof. Eugênio Rosa

Trajetória de partículas e linhas de emissão

Linha de trajeto: é a trajetória traçada por uma partícula de fluido em movimento (conceito Lagrangeano).

Linha de Emissão: ponto fixo no espaço onde você marca as partículas que passaram pelo mesmo ponto (o injetor) em diferentes instantes de tempo.

Após um período temos uma quantidade de partículas, todas identificáveis que, em algum momento, passaram pelo mesmo ponto no espaço.

Injetor fumaça

túnel de fumaça

Vai p/ ex 2.12Vai p/ ex 2.7 Vai p/ ex 2.18Vai p/ ex 2.5

dx dyu e v

dt dt

EM461 – Prof. Eugênio Rosa

Trajetória de partícula e Linha de Emissão –similaridade e diferençaEm regime permanente, a trajetória das partículas é coincidente com a linha de emissão circle.mov.

1) Emissão (fumaça)

roof-npth-yov4r.mov

2) Emissão (fumaça) +

Trajetória (bolinha)

roof-ypth-yov4r.mov

Em regime transiente, a trajetória das

partículas não é coincidente com a linha de

emissão

Cenário do filmes (1) e (2): escoamento

ascendente submetido a uma corrente

horizontal alguns instantes após início.

Compare no segundo vídeo a diferença entre

linha de emissão e a trajetória!

Vai p/ ex 2.12Vai p/ ex 2.7 Vai p/ ex 2.18Vai p/ ex 2.5

EM461 – Prof. Eugênio Rosa

Placa Plana Oscilante

Veja filme de uma placa plana oscilante. Neste escoamento transiente as linhas de emissão não coincidem com a trajetória das partículas nem tão pouco com as linhas de corrente!

filme

EM461 – Prof. Eugênio Rosa

Linhas de Corrente

ds

dx

dy

u

v V

ds

R(t)

R(t+dt)

Linha de corrente

V

Pela semelhança de triângulos tem-se a definição matemática da linha de

corrente:times

w

dz

v

dy

u

dx

São tangentes ao vetor velocidade do escoamento em cada ponto do campo. Isto é, num dado ponto, a tangente a linha de corrente é paralela ao vetor velocidade naquele ponto, ela não depende se o regime é permanente ou transiente.

Vai p/ ex 2.12Vai p/ ex 2.7 Vai p/ ex 2.18Vai p/ ex 2.5

EM461 – Prof. Eugênio Rosa

Linhas de CorrentePropriedade 1: como as linhas de correntes são sempre tangentes à velocidade, não pode haver escoamento normal a elas.

flowno-

flow

flowno-

flow

Impossível!

Propriedade 2: linhas de corrente nunca se cruzam, do contrário haveria uma velocidade infinita uma vez que a seção transversal reduz a um ponto infinitesimal.

Não há velocidade infinita nem há cruzamento de linhas de corrente.

EM461 – Prof. Eugênio Rosa

Vórtice esférico de Hill (1894)

O vórtice esférico de Hill é uma estrutura presente em jatos, em escoamento de gotas ou de bolhas. As estruturas são auto-propelidasdevido a interação dos vórtices.

Giant Smoke Rings - Cool

Science Experiment

Pode haver cruzamento de L.C. mas é exceção.

ponto de sela

Ponto estagnação, velocidade nula.

Quando há cruza-mento de linha de corrente ele ocor-re em pontos de sela.

O ponto do cruzamento tem velocidade nula.

Escoamento ideal sobre um cilindro com ondulações. O escoamento na superfície do cilindro emana dos

pontos recolamento A e C.

Cilindro sem (fig. dir. superior) ou com rotação.

O ponto de sela pode ser projetado no fluido (fig. esq. inferior)

Escoamento ideal

EM461 – Prof. Eugênio Rosa

Importante

Somente para regime permanente, a trajetória das partículas é coincidente com a linha de emissão que por sua vez também coincide com a linha de corrente, circle10.mov .

Em regime transiente (placa oscilante) a trajetória não coincide com a linha de emissão nem tão pouco com a linha de corrente

Definições de linhas de corrente (conceito Euler – campo) e de trajetória de partículas (conceito Lagrangeano) a partir de v e u do campo! Observe que as trajetórias são equações paramétricas em t!

dy v

dx u

dx dyu v

dt dt

linha de corrente

Euler (campo)

trajetoria de particula e

Lagrange (seguindo partícula)

EM461 – Prof. Eugênio Rosa

Exercício: 2.7 (regime permanente)

Um campo de velocidade é dado por:

Obtenha uma equação para as linhas de corrente no plano xy e para a trajetória das partículas que passam por (xo,yo)

21

2V 1 xy i y j;

Resposta:

Linhas corrente: xy2 = x0y02

2

0

0 0 0

2 t yx y 2e

x 2 y t y 2

Retorna Linha corrente

Retorna traj. partícula

Definição de linha de corrente?

Definição de traj. de partícula?

Trajetórias (Lagrange)

Verifique! - substitua a

definição de y/y0 = 2/(t.y0+2)

na expressão de x/x0 para obter

as linhas de corrente

novamente: xy2 = x0y02

EM461 – Prof. Eugênio Rosa

Exercício: 2.12 (regime transiente)

Campo de velocidade :

i. Obtenha as equações das linhas de corrente que passam pelo ponto (x0,y0)=(1,1) nos instantes t = 0s, 1s e 2s.

ii. Encontre a trajetória da partícula que passou pelo ponto (1,1) no instante 0s.

V 2 i 0,3 t j;

Resposta.:

Linhas de Corrente

T =0-> y =1

T =1->y = 0.15x+0.85

T =2->y = 0.3x+0.70

Trajetória da partícula que

em t = 0 estava em (1,1):

y=(3/80).(x-1)2+1

0

5

10

15

20

0 5 10 15 20x(m)

y(m

)

trajetória

linha corrente t=0

linha corrente t=1

linha corrente t=2

Note que para regime transiente as linhas de corrente não coincidem

com a trajetória da partícula.

Retorna Linha corrente Retorna traj. partícula

EM461 – Prof. Eugênio Rosa

Exercício: 2.18 (transiente e linha de emissão)

O campo de velocidade é :: V 1 x 1 0,2 t i 1 y j;

Obtenha a linha de emissão que passa pelo ponto (x0,y0) = (1,1)

durante o intervalo de t = 0 a 2s.

Compare com as linhas de corrente que passam pelo mesmo

ponto nos instantes t = 0s, 1s e 2s.

Retorna Linha corrente

Retorna traj. partícula

Como é a definição de linha de corrente?

Como é a definição de linha de emissão?

Resp.: é uma linha que conecta as partículas que passaram em diferentes instantes de tempo pelo o injetor de partículas! Assista novamente o filme Linha de Emissão

Exercício p/

fazer em casa

EM461 – Prof. Eugênio Rosa

Solução exercício: 2.18

O campo de velocidade:

1ª parte: já vimos como calcular as linhas de corrente que passam pelo ponto (1,1) nos instantes t = 0s, 1s e 2s e dy/dx = v/u

Resp.: Linhas de corrente, (y/y0) = (x/x0)[1/(1+0.2t)]

t=0 y = x1, t=1 y = x5/6 e t=2 y = x5/7. A linha de corrente é tangente a velocidade em qualquer instante.

-1 -1V Ax 1 Bt i Cy j; A C 1s e B 0,2s

ou V x 1 0.2t i yj;

2ª parte: Determinar a trajetória da partícula (dx/dt = u e dy/dt = v) que passou por (1,1) no instante t = t0, sendo 0 t0 2s.

Já vimos como calcular a trajetória, vamos encontrar:

Resp.: x(t) = exp[(t-t0)+0.1(t2-t02)] e y(t) = exp[t-t0] (verifiquem!)

Exercício p/

fazer em casa

EM461 – Prof. Eugênio Rosa

i. A linha emissão é definida conectando todas as partículas emitidas de (1,1) nos instantes de lançamento 0 t0 tf onde tf = 2s.

ii. A coord. da partícula em tf é calculada por: x(t0) = exp[(tf -t0)+0.1(tf2-t0

2)] e y(t) = exp[tf - t0]. Note que é função de tf e t0 (tempos final e inicial).

iii. A figura irá mostrar as partículas A, B, C e D emitidas de (1,1,) nos instantes t0 = 0s (A); 0,5s (B); 1,0s (C); 1,5s (D)

Por indução conclui-se que a linha de emissão para 0 t0 2s é:

xemissao(t0)=exp[(2 -t0)+0.1(22-t02)] e yemissao(t0)=exp[2 - t0] onde 0 t02 e tf= 2s

(A)

(B)

(C)

(D)

(A) (x,y) da part. que em t0 = 0s está (1,1) e andou mais 2 s. xA(2) = exp[(2 - 0)+0.1(22 - 0)] e yA(2) = exp[2-0]

(B) (x,y) da part. que em t0 =0,5s está (1,1) e andou mais 1,5 s. xB(2) = exp[(2-0,5)+0.1(22-0,52)] e yB(2) = exp[2-0,5]

(C) (x,y) part. que em t0 =1s está (1,1) e andou mais 1 s. xC(2) = exp[(2-1)+0.1(22-12)] e yC(2) = exp[2-1]

(D) (x,y) part. que t0 =1,5s está (1,1) e andou mais 0,5 s. xD(2) = exp[(2-1,5)+0.1(22-1,52)] e yD(2) = exp[2-1,5]

3ª parte ex 2.18:

trajetórias

linha emissão

EM461 – Prof. Eugênio Rosa

Ex. 2.18 trajetórias x emissãoA figura mostra as trajetórias das partículas que passaram por (1,1)em: (t0; t) = ( 0 ; 2) ( azul ); (t0; t) = ( 1 ; 1) ( vermelho ) e(t0; t) = ( 1,5 ; 0,5) ( verde ).

A linha de emissão conecta as partículas que passaram em (1,1) entre os instantes 0 a 2 seg do lançamento da primeira partícula.

EM461 – Prof. Eugênio Rosa

Linha emissão para (1,1) & 0 < t0< 2 seg x linhas de corrente

EM461 – Prof. Eugênio Rosa

Exemplo 2.5 (regime permanente)

Um campo de velocidade é dado por:

Obtenha uma equação para as linhas de corrente no plano xy incluindo aquela para o ponto (x0,y0) = (1,2)

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x(m)

y(m

)

c=1

c=2

c=4

c=8

y(3x+1)=C

V 3x 1 i 3y j;

Retorna Linha correnteComo é a definição de linha de corrente?

Exercício p/ fazer em casa

Resposta:

A linha de corrente que passa pelo ponto (x0,y0) é definida por:

Mudando o ponto (x0,y0) de a constante C também muda alterando o caminho da linha de corrente

0 0

C

y 3x 1 y 3x 1

EM461 – Prof. Eugênio Rosa

Exercícios recomendados – aula #2

Dica: quando a velocidade resultante (u = v=0) em um ponto é nula, se diz que este ponto é de estagnação.

Resp.: x2y-y3/3 = constante, é paralelo eixo x quandody/dx = 0 ou v = 0; ponto estgnação (x,y) = (0,0).

Resp.: ângulo = 90º e módulo 20m/s, ângulo = 45º e módulo 20m/s, ângulo = 0º e módulo 20m/s

Resp.: x = -h.(u0/v0).Ln(1-y/h)

EM461 – Prof. Eugênio Rosa

F I M