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Métodos Estocásticos da Engenharia IIICapítulo 4 - Análise da Capacidade de Processos

Prof. Magno Silvério Campos

2019/1

(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/1 1 / 35

Bibliografia

BibliografiaEssas notas de aulas foram baseadas nas seguintes obras:

1 CARPINETTI, L. C. R.; et al. Controle Estatístico de Qualidade. 2 ed. São Paulo:Atlas, 2009.

2 DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para Engenharia e Ciências. São Paulo:Cengage Learning, 2014.

3 HINES, W.W.; et al. Probabilidade e Estatística na Engenharia. 4. ed. Rio deJaneiro: LTC, 2006.

4 LEVINE, D. M.; et al. Estatística - Teoria e Aplicações. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC,2008.

5 MONTGOMERY, D.C.; RUNGER, G.C. Estatística Aplicada e Probabilidade paraEngenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.

6 MONTGOMERY, D. C. Introdução ao Controle Estatístico da Qualidade. 7. ed. Riode Janeiro: LTC, 2016.

7 MOORE, D.S. A Estatística Básica e sua Prática. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.8 RIBEIRO Jr., J. I. Métodos Estatísticos Aplicados ao Controle da Qualidade. Viçosa:

Editora UFV, 2013.9 RYAN, T. R. Estatística Moderna para Engenharia. Rio de Janeiro: Elsevier, 2009.10 WALPOLE, R. E.; et al. Probabilidade & Estatística para Engenharia e Ciências. 8.

ed. São Paulo: Pearson, 2009.

Aconselha-se pesquisá-las para se obter um maior aprofundamento e um melhoraproveitamento nos estudos.


Conteúdo Programático

Conteúdo Programático

Seção 0 - IntroduçãoSeção 1 - Comparação entre limites naturais e de especificaçãoSeção 2 - Índices de capacidadeSeção 3 - Processo 6σ


Seção 0 - Introdução

Introdução

Em um processo de qualidade, espera-se ter

LIC > LIE e LSC < LSE

O controle da variabilidade e da posição da distribuição de probabilidades associada à variávelresposta Y , isto é, o controle da estabilidade do processo, é crucial para torná-lo capaz deatender às especificações do processo.


Seção 0 - Introdução

Assim, deve-se verificar primeiro a estabilidade do processo.

Caso não seja estável, deve-se corrigir o processo.

Sendo estável, deve-se avaliar a sua capacidade:Se for capaz, ótimo! Deve-se continuar monitorando-o;Se não for capaz, deve-se melhorá-lo utilizando DOE.

A avaliação da estabilidade pode ser feita através de cartas de controle. Já a capacidade podeser avaliada comparando a variabilidade do processo em relação aos limites de especificação,conforme passaremos a discutir agora.


Comparação entre limites naturais e de especificação


Limites naturais

Se em um processo, a variável de interesse é Y ∼ N(µ, σ2), então teremos:

Consideram-se os seguintes limites naturais do processo:LIN = µ− 3σ

LSN = µ+ 3σ



Na figura abaixo, temos algumas representações dos limites naturais em relação aos limitesde especificação.

Apenas o processo representado em (D) será considerado capaz.


Índices de capacidade


[1] - Índice Cp

Esse índice compara a especificação com a variabilidade natural do processo, através daseguinte expressão:

Cp =LSE − LIELSN − LIN

=LSE − LIE

(µ+ 3σ)− (µ− 3σ)

=LSE − LIE

6σ(1)

Uma estimativa para Cp é dada por:

Cp =LSE − LIE

6S(2)

Onde S é a estimativa do desvio-padrão σ, obtida a partir da variação de Y que ocorre dentrodos subgrupos racionais.



Introdução

Observação 1:

Quanto maior a estimativa de Cp, maior será a capacidade do processo de atender às espe-cificações. Em outras palavras, quanto mior for Cp, maior será o número de desvios-padrãoque caberá dentro dos limites de especificação, e menor será a variabilidade do processo.

Observação 2:

Esse índice monitora somente a variabilidade do processo, exigindo para tal, a centralidadedo processo (µ = V N = LIE+LSE

2)



FEUP (%)

O Percentual de Faixa de Especificação Utilizada (FEUP) é dado por:

FEUP =LSN − LINLSE − LIE

× 100

=1

Cp× 100. (3)

Quanto menor esse percentual, melhor será.



Exemplo 1 - Adaptado - [Montgomery e Runger(2016)]

A espessura de uma peça metálica é um importante parâmetro da qualidade para certoprocesso. Dados sobre a espessura, em polegadas, são apresentados na tabela abaixo, para14 amostras com 5 peças cada uma, isto é, subgrupos de tamanho 5.

Primeiramente, responda se o problema está sob controle estatístico. Se sim, estime o índiceCp do processo, considerando que a espessura seja normalmente distribuída, com especificaçãoem 4, 950± 0, 050.



Resolução:

[1] - Estudo da estabilidade do processo:

Como pode ser observado na carta X−S, o processo se encontra sob controle estatístico, istoé, se encontra estável.



[2] - Estudo parciala da capacidade do processo: a média de Y é dada por µ = y = 4, 95.Como essse valor é igual ao V N , então o processo está centrado em seu alvo. Assim, usaremospara o estudo da capacidade, o índice Cp, como segue:

Cp =LSE − LIE

6S

=5, 000− 4, 900

6 · 0, 00985

= 1, 69

Assim, uma vez que o processo apresenta Cp = 1, 69 ≥ 1, 33, o processo se mostra capaz deatender às especificações.

aPor enquanto só conhecemos o índice Cp.

Também, temos que:

FEUP =1

Cp× 100

=1

1, 69× 100.

= 59, 2%. (4)



Fato: e se o processo não estiver centrado no alvo? Qual índice utilizar?

Resposta: Cpm, Cpk ou Cpkm.

[2] - Índice Cpm

Esse índice compara a especificação com a variabilidade natural do processo, e também adistância da média de Y em relação ao alvo (ou valor-nominal (VN)) através da seguinteexpressão:

Cpm =LSE − LIE

6×√S2 + (y − V N)2

(5)

Onde S é a estimativa do desvio-padrão σ, obtida a partir da variação global de Y .

Observação 1:

Cpm diminuirá quando houver aumento da variabilidade dos dados e/ou quando sua médiase afastar do alvo.

Observação 2:

Quando o processo estiver centrado em seu alvo, isto é, quando µ = V N =⇒ Cpm = Cp.

Observação 3:

No geral, Cpm ≤ Cp.



Exemplo 2:

Para os dados do exemplo 1, considerando que a média do processo seja µ = y = 4, 95905determine o valor de Cpm.

Resolução:

Cpm =LSE − LIE

6×√S2 + (y − V N)2

=5, 000− 4, 900

6×√

0, 1077242 + (4, 95905− 4, 95)2

= 1, 18



[3] - Índice Cpk

Esse índice compara a especificação com a variabilidade natural do processo, e também adistância da média de Y em relação ao limite de especificação mais próximo, através daseguinte expressão:

Cpk = min(LSE − y

3S,y − LIE

3S) (6)


Observação 1:

Cpk é calculado em relação ao limite de especificação mais próximo. Portanto, não há anecessidade de se ter µ = V N .

Observação 2:

Quanto maior for sua estimativa, maior será a capacidade do processo em atender as es-pecificações, isto é, maior será o número de 3σ que o processo se distanciará do limite deespecificação mais próximo. Obviamente que, se isso acontecer em relação ao limite maispróximo de µ = y, o mesmo acontecerá com o limite mais distante, porém com mais folgaainda.





Exemplo 3:

Para os dados do exemplo 1, considerando que a média do processo seja µ = y = 4, 95905determine o valor de Cpk.

Resolução:

Cpk = min(LSE − y

3S,y − LIE

3S)

= min(5, 000− 4, 95905

3× 0, 00985;

4, 95905− 4, 90

3× 0, 00985)

= min(1, 38; 1, 99)

= 1, 38

Assim, uma vez que o processo apresenta Cpk = 1, 38 ≥ 1, 33, o processo se mostra capaz deatender às especificações.



[4] - Índice Cpkm

Esse índice compara a especificação com a variabilidade natural do processo, a distância damédia de Y em relação ao limite de especificação mais próximo, e também pondera essadistância em ralação ao valor alvo (V N), através da seguinte expressão:

Cpkm = min(LSE − y

3×√S2 + (y − V N)2

,y − LIE

3×√S2 + (y − V N)2

) (7)


Observação 1:

Cpkm diminuirá quando houver aumento da variabilidade dos dados e/ou quando sua médiase afastar do alvo.

Observação 2:

Quando o processo estiver centrado em seu alvo, isto é, quando µ = V N =⇒ Cpkm = Cpk.

Observação 3:

No geral, Cpkm ≤ Cpk.



Exemplo 4:

Para os dados do exemplo 1, considerando que a média do processo seja µ = y = 4, 95905determine o valor de Cpkm.

Resolução:

Cpkm = min(LSE − y

3×√S2 + (y − V N)2

,y − LIE

3×√S2 + (y − V N)2

)

= min(5, 000− 4, 95905

3×√

0, 009852 + (4, 95905− 4, 95)2,

4, 95905− 4, 900

3×√

0, 009852 + (4, 95905− 4, 95)2)

= min(1, 38; 1, 99)

= 1, 38



[5] - Índice Cpl

Quando houver somente o limite inferior de especificação, usaremos o índice Cpl, dado pelaseguinte expressão:

Cpl =y − LIE

3S(8)

[6] - Índice Cpu

Quando houver somente o limite superior de especificação, usaremos o índice Cpu, dado pelaseguinte expressão:

Cpu =LSE − y

3S(9)


Observação:

Quanto maior for o valor de Cpl ou de Cpu, maior será a capacidade do processo.



Exemplo 5:

Para os dados do exemplo 1, considerando que a média do processo seja µ = y = 4, 95905determine o valor de Cpl e de Cpu.

Resolução:

Cpl =y − LIE

3S

=4, 95905− 4, 900

3× 0, 00985

= 2, 0

(10)

Cpu =LSE − y

3S

=5, 000− 4, 95905

3× 000985

= 1, 38

(11)



Alteração na notação:

Quando se utilizar o desvio-padrão devido à variação global de Y , sem considerar a formaçãodos subgrupos racionais, os índices anteriores mudam de notação, embora suas expressões einterpretações permaneçam as mesmas.

As novas notações são:Cp −→ Pp

Cpm −→ Ppm

Cpk −→ Ppk

Cpkm −→ Ppkm

Cpl −→ Ppl

Cpu −→ Ppu



Stat → Ferramentas de Qualidade → Análise de Capacidade → Normal


Processo 6σ

Processo 6σ

Definição - Caso I (Com µ = V N)

Um processo 6σ é aquele, cuja média µ difere, no mínimo, seis desvios-padrão do limite deespecificação mais próximo. Isso significa que, para um processo ser qualificado como 6σ, eledeverá satisfazer a seguinte condição:

min(LSE − µ; µ− LIE) ≥ 6σ (12)


Processo 6σ

Generalização

Para um nível sigma específico, denominado Zbench, temos a seguinte condição:

min(LSE − µ; µ− LIE) ≥ Zbench · σ (13)

Logo,

Nível sigma = Zbench = min(LSE − µ

σ;µ− LIE

σ) (14)

Agora, uma vez que Cpk = min(LSE−µ3σ

; µ−LIE3σ

), temos que:

Nível sigma = Zbench = 3Cpk (15)

Assim,

Nível sigma estimado = Zbench = 3Cpk = min(LSE − y

S;y − LIE

S). (16)

Denominamos:LSE−y

S= ZLSE e y−LIE

S= ZLIE .


Processo 6σ

Exemplo 6:

Para os dados do exemplo 1, considerando que a média do processo seja µ = y = 4, 95905determine o nível sigma do processo.

Resolução:

Zbench = 3Cpk

= min(LSE − y

S;y − LIE

S)

= min(5, 000− 4, 95905

0, 00985;

4, 95905− 4, 900

0, 00985)

= min(4, 15; 5, 99)

= 4, 15


Processo 6σ

Interpretação:

Considere a seguinte especificação:

LIE = −6, V N = 0 e LSE = 6.

Processo 6σ

µ = 0 e σ = 1 =⇒ [P (Y < −6) + P (Y > 6)] · 1.000.000 ∼= 0, 002 ppm

Processo 5σ

µ = 0 e σ = 1, 2 =⇒ [P (Y < −6) + P (Y > 6)] · 1.000.000 ∼= 0, 57 ppm

Processo 4σ

µ = 0 e σ = 1, 5 =⇒ [P (Y < −6) + P (Y > 6)] · 1.000.000 ∼= 63 ppm

Processo 3σ

µ = 0 e σ = 2 =⇒ [P (Y < −6) + P (Y > 6)] · 1.000.000 ∼= 2.700 ppm

Processo 2σ

µ = 0 e σ = 3 =⇒ [P (Y < −6) + P (Y > 6)] · 1.000.000 ∼= 45.500 ppm(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/1 28 / 35

Processo 6σ

Com µ = V N


Processo 6σ

Exemplo 1, Com µ = V N

Stat → Ferramentas de Qualidade → Análise de Capacidade → Normal


Processo 6σ

Definição - Caso II (Com µ = V N ± 1, 5σ)

Nesse caso, um processo 6σ é aquele, cuja média µ difere, no máximo, 1,5 desvio-padrão dovalor alvo (ou valor nominal (VN)).

Aqui,

Cpk = min[LSE − (V N + 1, 5σ)

3σ;

(V N + 1, 5σ)− LIE3σ

]

Logo,

Nível sigma estimado = Zbench + 1, 5

= 3Cpk + 1, 5

= min(LSE − (V N + 1, 5σ)

σ;

(V N + 1, 5σ)− LIEσ

) + 1, 5. (17)


Processo 6σ

Interpretação:

Considere a seguinte especificação:

LIE = −6, V N = 0, LSE = 6 e µ = V N + 1, 5σ

Processo 6σ

µ = 1, 5 e σ = 1 =⇒ [P (Y < −6) + P (Y > 6)] · 1.000.000 ∼= 3, 4 ppm

Processo 5σ

µ = 1, 8 e σ = 1, 2 =⇒ [P (Y < −6) + P (Y > 6)] · 1.000.000 ∼= 233 ppm

Processo 4σ

µ = 2, 25 e σ = 1, 5 =⇒ [P (Y < −6) + P (Y > 6)] · 1.000.000 ∼= 6.210 ppm

Processo 3σ

µ = 3 e σ = 2 =⇒ [P (Y < −6) + P (Y > 6)] · 1.000.000 ∼= 66.811 ppm

Processo 2σ

µ = 4, 5 e σ = 3 =⇒ [P (Y < −6) + P (Y > 6)] · 1.000.000 ∼= 308.770 ppm(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/1 32 / 35

Processo 6σ

Com µ = V N + 1, 5σ ou com µ = V N − 1, 5σ


Processo 6σ

Mais de uma variável resposta Y

Uma outra vantagem do processo 6σ é quando os itens produzidos ou os serviçoes prestadospossuem mais de uma variável-resposta Y a ser analisada.

Nele, se as variáveis forem independentes com µ = V N e Cpk = 2, a probabilidade deconformidade é dada por 0, 9999999982, se houver dois Y ′s. É de 0, 9999999983, se houver 3Y ′s, e assim sucessivamente.

Já, para um processo 3σ, por exemplo, com µ = V N e Cpk = 1, a probabilidade de con-formidade é dada por 0, 99732, se houver dois Y ′s. É de 0, 99733, se houver 3 Y ′s, e assimsucessivamente.


Processo 6σ

Comparação da propoporção de conformidade:


Processo 6σ

Montgomery, D., Runger, G., 2016. Estatística Aplicada eProbabilidade para Engenheiros. Rio de Janeiro: LTC.


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