Prof. Neli Ortega

Métodos Métodos Quantitativos Quantitativos

em Medicinaem Medicina

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Teste de Hipótese

Estatística t-Student

Aula 7

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Teste de Hipóteses - Estatística do testeA estatística do teste de hipótese depende da distribuição da variável na população e das informações disponíveis.

SimDist. Normal

(População)Não

“Amostra Grande”

Sim Não

Teste z Teste t

Sim Não

Testes não paramétricos

σconhecido?

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Inferência quando σ é desconhecido

Na grande maioria das situações reais σ é desconhecido.

Neste caso, podemos substituir σ pelo desvio padrão amostral, S.

Estaremos introduzindo mais um erro no processo de inferência, o erro de estimação de σ.

• Este novo intervalo será mais largo do que o considerado com a estatística z;

• Surge uma nova distribuição.

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Teste de Hipótese para σ Desconhecido

Se uma variável aleatória X for normalmente distribuída em uma população, na qual a variância é desconhecida, é possível comparar a média amostral com a média da população utilizando S no lugar de σ, através da estatística t:

( 1)n

Xt

Sn

µ−

−=

que tem uma distribuição t com (n – 1) graus de liberdade.

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Teste de Hipótese para uma Amostra

Xz

n

µσ

−=σ conhecido ⇒ Teste z

Xt

Sn

µ−=σ desconhecido ⇒ Teste t

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Distribuição t de Student

William Gosset (1876-1937)

O parâmetro usado para descrever a distribuição t é o número de graus de liberdade,gl, (d.f. degrees of freedom), que é o tamanho da amostra (n) menos 1.

1gl n= −

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Distribuição t de Student

Curva de dendidade de Probabilidade

• Simétrica em relação a média;

• Depende do grau de liberdade,gl;

• Quanto mais gl aumenta mais a distribuição t tende a normal padrão.

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

-4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00

NormalT1glT5glT30gl

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Teste de Hipóteses para Duas Amostras

σA e σB desconhecidos

É possível comparar duas médias amostrais quando os desvios-padrão das populações são desconhecidos, através da estatística t abaixo:

A B

D

X Xt

EPM−

=

Assim como no caso do teste z, o EPMD pode ser calculado de maneiras diferentes, dependendo se as variâncias nas populações A e B são iguais ou não.

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Erro Padrão das Diferenças entre Médias

,A Bσ σ(desconhecidos)

A Bσ σ≠

A Bσ σ=

2 2A B

DA B

S SE P M

n n= +

20

1 1D

A B

E P M Sn n

= +

Variância conjugada

Para decidir se as variâncias são iguais ou diferentes um outro teste estatístico, que será apresentado adiante, é necessário (Teste F).

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A variância conjugada representa a média ponderada das variâncias amostrais dos dois grupos, dada por:

( ) ( )( ) ( )

2 22

0

1 11 1

A A B B

A B

n S n SS

n n− + −

=− + −

Erro Padrão das Diferenças entre Médias

Se nA = nB: 2 2

20 2

A BS SS

+=

Note que, se os tamanhos dos grupos são iguais, a expressão paracalcular o EPMD para variâncias iguais é idêntica à usada quando as variâncias são diferentes!

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Teste t-Student para Duas Amostras

Situação 1: Em um ensaio clínico comparou-se doisanorexígenos e as perdas de peso foram registradas. Deseja-se testar se a diferença observada nas duas amostras é estatisticamente significante, assumindo-se α de 1%.

Paciente Perda (kg) Paciente Perda (kg)1 0.9 7 3.82 1.3 8 4.93 1.5 9 5.94 2.4 10 6.65 2.9 11 6.76 3.0 12 7.1

13 7.0

Grupo A Grupo B

Não há informações sobre a população →

Teste t-Student.

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Teste t-Student para Duas Amostras

1 2:AH X X≠

0 1 2:H X X=

Vamos supor as variâncias iguais:

A B

D

X Xt

E P M−

=2

0

1 1D

A B

E P M Sn n

= +

onde

( ) ( )( ) ( )

2 22

0

1 1 5 0,784 6 1,521,185.

1 1 5 6A A B B

A B

n S n SS

n n− + − ⋅ + ⋅

= = =− + − +

MédiaVariância

n

Grupo A Grupo B6

6 70.784 1.52

2

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Teste t-Student para Duas Amostras

20

1 1 1 11,185 0,606

6 7DA B

EPM Sn n

= + = + =

6 26,603

0,606t

−= =

2 6 7 2 11A Bgl n n= + − = + − =

Procurar o valor de tcrítico, tc, para gl igual a

11 e α de 0,005 (bicaudal).

→ Tabela tRegra de Decisão

Se –tc < t < tc → Aceita-se H0

Caso contrário, Rejeita-se H0.

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Distribuição t de Student Tabela

0,10 0,05 0,025 0,010 0,005

1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,6562 1,886 2,920 4,303 6,965 9,9253 1,638 2,353 3,182 4,541 5,8414 1,533 2,132 2,776 3,747 4,6045 1,476 2,015 2,571 3,365 4,0326 1,440 1,943 2,447 3,143 3,7077 1,415 1,895 2,365 2,998 3,4998 1,397 1,860 2,306 2,896 3,3559 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250

10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,16911 1,363 1,796 2,201 2,718 3,10612 1,356 1,782 2,179 2,681 3,05513 1,350 1,771 2,160 2,650 3,01214 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977

grau de liberdade

Área da cauda superior

tc0,005 3,106t =

nA+nB - 2 = 11gl = 11

t = 6,603

0,0052α =

Como t > tc, rejeita-se H0 e aceita-se que as diferenças são reais.

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Teste t-Student para Duas Amostras

Situação 2: Um estudo compara as alturas de crianças de 4 anos de duas populações diferentes. Deseja-se testar se as alturas médias observadas nas duas amostras são estatisticamente diferentes, assumindo-se α de 5%. Os resultados obtidos estão resumidos na tabela abaixo:

MédiaVariância

n

42 45Grupo A Grupo B

4 2510 10

Como nA = nB a expressão para o cálculo de EPMD independe da relação entre as variâncias populacionais.

2 2 4 25 45 421,7 1,76

10 1,7A B

D

S SEPM t

n+ + −

= = = ⇒ = =

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Distribuição t de Student Tabela

tc

nA+nB - 2 = 18gl = 18t = 1,76

0,0252α =

0,025 2,101t =

0,10 0,05 0,025 0,010 0,0051 3,078 6,314 12,706 31,821 63,6562 1,886 2,920 4,303 6,965 9,9253 1,638 2,353 3,182 4,541 5,8414 1,533 2,132 2,776 3,747 4,6045 1,476 2,015 2,571 3,365 4,0326 1,440 1,943 2,447 3,143 3,7077 1,415 1,895 2,365 2,998 3,4998 1,397 1,860 2,306 2,896 3,3559 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250

10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,16911 1,363 1,796 2,201 2,718 3,10612 1,356 1,782 2,179 2,681 3,05513 1,350 1,771 2,160 2,650 3,01214 1,345 1,761 2,145 2,624 2,97715 1,341 1,753 2,131 2,602 2,94716 1,337 1,746 2,120 2,583 2,92117 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898

grau de liberdade

Área da cauda superior

18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878

Como t < tc, aceita-se H0 e conclui-se que as alturas são iguais.

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Teste de Hipótese

Estatística F

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Comparando Variâncias Teste F

Sir Ronald A. Fisher (1890-1962)Mesma idéia dos testes para médias, teste z e t, porém usa-se a razão das variâncias, e não a sua diferença, como no caso dos testes para médias.

Estatística F:2

2A

B

SF

S=

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Comparando Variâncias Teste F

Se se supõe que os dados tem distribuição normal, então é possível comparar as variâncias de duas populações através da estatística F dada abaixo, cujos valores descritivos dependem de dois graus de liberdade:

2

2A

B

SF

S=

onde:

= variância da amostra A

= variância da amostra B

2AS

2BS

gl1 = nA – 1 (numerador)

gl1 = nA – 1 (denominador)

2 2 1A BS S F> ⇒ >

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Teste de Hipótese para Variâncias

:A A BH σ σ≠0 : A BH σ σ= e

Pode-se recorrer a um teste bicaudal ou monocaudal. Em geral, estamos interessados em testar a diferença.

Se F > FSc ou F < FIc , para gl1 e gl2, onde Fic=1/ Fic, então rejeita-se H0. Caso contrário, aceita-se H0.

A distribuição F não é simétrica e, portanto, não possui a área da cauda superior, FS, igual a área da cauda inferior, FI. Neste caso, a regra de decisão é:

Na prática colocamos no numerador a variância de maior valor e concentramos a decisão na cauda superior.

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Teste de Hipótese para Variâncias

Situação 3: Deseja-se comparar a variância do desempenho de duas equipes de atletismo. Particularmente, testar se elas são estatisticamente diferentes, assumindo-se α de 5%. As variâncias observadas são apresentadas na tabela abaixo:

Variâncian

Equipe A Equipe B0,784 1,520

6 7

1,5201,939

0,784F = =

6 1 5 (denominador)

7 1 6 (numerador)A

B

gl

gl

= − == − =

Tabela F → FSc(6,7)=6,98.

Como F < FSc, não rejeitamos a H0. As variâncias são consideradas iguais.

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Teste t-Student para Duas AmostrasSituação 4: Em um estudo avaliou-se a eficácia de dois hipnóticos, comparando as horas de sono frente as duas terapias. Deseja-se testar se as médias observadas nas duas amostras são estatisticamente diferentes, assumindo-se α de 5%. Os resultados obtidos estão resumidos na tabela abaixo:

MédiaVariância

n

9,35 8,85Droga A Droga B

0,89 0,788 10

Verificando se as variâncias são diferentes - H0: σA = σB.

0,891,14

0,78F = =

8 1 7 (numerador)

10 1 9 (denominador)A

B

gl

gl

= − == − =

Tabela F → FSc(7,9)= 4,20.

Como F < FSc, não rejeitamos a H0. As variâncias são consideradas iguais.

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Teste t-Student para Duas AmostrasCalculamos o valor de EPMD para variâncias iguais:

A B

D

X Xt

E P M−

=2

01 1

DA B

E P M Sn n

= +

onde

( ) ( )( ) ( )

2 22

0

1 1 7 0,89 9 0,780,828.

1 1 7 9A A B B

A B

n S n SS

n n− + − ⋅ + ⋅

= = =− + − +

20

1 1 1 10,828 0, 432

8 10DA B

EPM Sn n

= + = + =

9,35 8,851,157

0, 4322 16A B

t

gl n n

−= =

= + − =

Tabela t → tc2,5% = 2,12.

Como t < tc2,5% , não rejeitamos a H0.

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Teste de Hipótese

Para Dados Pareados

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Teste t para Dados Pareados

Dados pareados são aqueles registrados em pares (o indivíduo é controle de si mesmo).

Exemplo 1: Um estudo compara o efeito de uma pomada oftálmica com o de simplesmente higienizar o olho. Um grupo de pacientes usa durante um período a pomada no direito, enquanto oolho esquerdo recebe apenas o anti-séptico.

Exemplo 2: Deseja-se verificar o desempenho de um tratamento. Um grupo de pacientes é examinado antes do início do tratamento.Após a conclusão do mesmo são novamente examinados.

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Estatística do Teste t Pareado

Como as observações estão relacionadas, construímos o teste sobre as diferenças observadas em cada par.

Seja Di a diferença (no mesmo indivíduo) entre as observações registradas, para n pares. A média das diferenças de todos os indivíduos chamamos , e o desvio padrão das diferenças de SD .

D

: 0A DH µ ≠0 : 0DH µ =

onde µD é a média populacional, sobre a qual desejamos inferir.

e 1D

Dt gl n

EPM= = −

Tabela t-Student

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Teste t PareadoSituação 5: Um hipnótico foi aplicado em um grupo de pacientes que tinham se submetido anteriormente a um tratamento padrão. Foi observado o número de horas de sono de cada paciente nos dois momentos. Deseja-se testar se a diferença média observada é não nula, considerando-se um nível de significância de 5%.

Paciente Droga Trat. Padrão Di1 8.6 8.2 0.42 8.8 8.3 0.53 8.1 7.6 0.54 9.8 9.4 0.45 9.7 8.9 0.86 8.0 7.2 0.87 8.4 8.5 -0.18 9.5 9.3 0.29 9.5 9.1 0.4

Horas de sono

0, 433, 0, 27

0, 27 0,099

D

D

D S

EPM

= = →

= =

: 0A DH µ ≠0 : 0DH µ = e

2,5% 0

0, 433=4,81 e 8

0,092,30 Rejeita-se c

t gl

t H

= =

→ = ⇒