ÍNDICE

INTRODUÇAO

CONCEITOS

Fluxos de caixa

- Taxa de desconto

PARTE I INVESTIMENTO SEM RISCO

CAPiTULO 1 - CRITfRIOS

1.1 Renda m~dia s8bre o valor·

contibi1 ~o investimento.

1.2 Renda m~dia s6bre o custo

inicial do investimento.·

1.3 Período de recuperaçao do

capital

1. 4 Valor presente .líquido~·

1.5 Taxa interpa de retorno.

1. 6 Conclu·são.

1 -

-~ !5:'

9

. 10

. 15.

19

22

23

23

2·6

28

30

CAPÍTULO 2 - COMPARAÇÃO DE CRITÉRIOS

2.1 Tipos de investimento.

2.2 Grâfico de valores presentes.

2.3 M~ltiplas taxas de retorno. _.

2.4 VPL' contra TIR.

2.5 Decis~es aceita ou rejeita.

2.6 Investimentos mutuamente ex-

clusivos.

2.7 Conclu~ão.

CAPfTULO 3 -·RACIONAMENTO DE CAPITAL

3.1 Restriç~es •.

3.2 Seleção ..

3.3 Anâlise multiperi5dica.

3.4 Custo de oportunidade.

-~

32

32

34

35

38

40

41

42

45

45

48

50

52

CAPÍTULO 4 - MÉTODOS DE PROGRAMAÇÃO ·MATEMÁTICA

4.1 O problema de Lorie-Savage. 53

4.2 Programação linear. 55

4.3 Programação inteira. 57

4.4 Programação quadrâtica,in-

teira. 61

4.4 Programação dinâmica. 64

Apêndice-Exemplo de - linear. 65 programaçao

- 2 -

-~

PARTE li - INVESTIMENTO COM ~ISCO 76

CAPÍTULO 5 ~ RISCO 77

5.1 Conceitos probabilfsticos. 78

5.2 Medida do risco. 80 .. 5.3 Utilidade. 82

5.4 Obtenção de dados. 88

CAPÍTULO 6 - PROPOSTA ÚNICA (RISCO) 94

6.1 Método da taxa de desconto

ajustada. 94

6.2 Método da certeza-equiva-

lente. 97

6.3 Tratamento probabilfstico. 98

6.3.1 Independência e ~or-

relação. 99

6.3.2 Modelo de Hillier. 102

6.3.3 Probabilidade· condi-

cionada. 104

6.4~Simulaião. 10~

6.5 Decis~es sequenciais. 108

6.6 Árvores de decisão estocásticas 114

6.7 Teoria do abandono. 116

6.8 Re-,,1lução· da incerteza. 119

- 3 -

CAPÍTULO 7 - PROPOSTA MÚLTIPLA (RISCO)

7.1 Covariância.

7.2 Carteiras de investimento. . . . ; .i:·'. . :.ii )' '.;' . ; "

7.2.1 Risco.~ divet~i~~c~çio~ ; _.,,!·!

7.2.2 Fronteira eficierite.

7.2.3 Curvas de indiferença.

7 . 3 R es o 1 u ç ã o da in c e r t e z a ( am p 1 i a da)

7.4 Modelos de seleçio.

7.4.1 Histórico.'

7.4.2 Modelo de Cohen-Elton.

7.4.3 Modelo de Salazar-Sen.

7.4.4 Modelo de Hertz.

PARTE III - CONCLUSÃO

BIBLIOGRAFIA

- 4 -

.. ~

122

123

126

i2 8

130

132

133

136

137

143

146

151

.156

164

INTRODUÇÃO

Finanças abrange um campo de aplicaçio

bastant~ ~ast9'~ comp1~~d, ·~onstituid~, baiica-~

mente, de todos os fatores que possam influir ,

direta ou irtdir~tamente, em Última análise, no

valor da firma. Estes fatores podem ser explÍci-

tos ou implÍcitos, objetivos ou subje~ivos, tan-

.,. . . ., . g1ve1s ou 1ntang1ve1s.

Podemos entretanto, ressaltar tris fun

çÕes primordiais: a decisio de investimento, a

decisio de financiamento e a decisio de di~iden-

dos. Estas decisÕes sio intimamente interelacio-

nadas, pois que qualquer uma delas afetará as

outras duas. Assim se faz necessário procurar um

~timo global para o valor d~ empresa, levando-se

em conta simultaneamente as três decisÕes.

A cobertura das tris decisbes, entreta~

to, excede em muito o es~opo desta monogiafia.

Pretendemos aqui nos limitarmos i decisio de in-

vestimentas, principalmente no que tange a deci-

sÕes de capital. As decisÕes de investimentos sio

talvez as mais importantes e mais difíceis deci-

sÕes confrontadas pelos dirigente~ de uma empre~

sa. Elas geralmente envolvem consideráveis somas

- 5 -

de dinheiro. Suas consequências sao normalmente

sentidas por prazos relativamente longos, visto

que geralmente representam a implementação de es·

I tratigias que re~erão o desenv?lvimento da empr~

... , 1 . ~,.. ~ : •

sao caracterizadas por um alto grau de incerteza.

Nas palavras de um industrial americano: "A. Úni-

ca coisa certa no mundo i o passado, mas so o~que

temos para trabalhar i o futuro".

A decisão de investimento, de uma for-

ma bem simples, consiste na alocação (ou realoc~

çã~) de capital a propostas de investimento, es-

·perando-se obter deles, beneffcios futu~os. Rstes

beneffcios futuros (e as vêzes a pr6pria alocação)

normalmente nio sió conhecidos com certeza, con-

forme frisado anteriormente. Os investimentos en

volvem portanto, um risco. Por conseguinte, a de

cisão de investimentos irá determinar nio somen-

te o montante e composição dos ativos da empresa,

como tambim será fator básico na determinaçio do

risco da empresa.

Nesta monografia, propomo-nos examinar

as principais caracterfsticas da decisão de inves

timento, conforme descrito a seguir.

Iniciamos com a apresentaçao, talvez um

tanto supirflua,.de dois conceitos bisicos para

investimentos: o de fluxo de caixa e o de taxa

de desconto.

', ..... ' -~.

A seguir, na parte I~ compreendendo os

capítulos 1 a 4, apresentamos o tratamento dos in

vestimentas no caso da certeza, hipÓtese não mui

to realista e de aplicação limitada, mas interes

sante do ponto de vista da simplicidade de intr~

~ - - ~ duç~o de alguns parametros basicos. O. cap1tulo 1

apresenta os critirios d~ decisão mais comumente

utilizados, mostrando como se efetua sua aplici­

ção. O capítulo 2 analisa e compara os critirios.

apresentados, .quanto is suas limitaç~es, vanta -

gens e aplicaç~es, para certos tipos de investi-

mentos. No capítulo 3 i apresentado o conceito

de racionamento de capital e como este afeta as

decis~es. O capÍtul~ 4 consta da apresentação de

vários métodos de programaçao matemitica, aplici

veis ao caso da certeza no investimento, bem co-

mo de exemplo da aplicação de um método no com -

putador.

A parte II ~mplia a anilise de investi

m~nto para o caso da incerte~a, e compreende os

capÍtulos 5 a 7. O ~apÍtulo 5 introduz o concei-

to de risco, sua m~-~eira ·de expressao e sua medi

- 7 -

da; apresenta também o conceito de,utilidade e o

' problema de obtençio dos dados. O capftulo 6 tra

ta do investimento Único sob condiçÕes de risco,

analisanclo o efeito do 'rí~Bo' sÔbre a decisio de . . ~ .. · ' .. ~.

..

investimento e várias maneiras propostas de incor

porar o risco ao processo da decisio; cobre tam-

bém a possibilidade de abandono de um investimen

to e a problemitica de resoluçio da incerteza. O

capftulo 7 considera os investimentos com risca

em um contexto global, com anãlise simultânea de

mÚltiplas propostas; introduz a teoria de cartei

ra de investimento e finaliza com a apiesentaçio

de métodos matêmáticos de seleç~o.

A parte III é constitufda de um resumo

das c·onclusÕes obtidas, de uma comparaçao das te

orias co~ a pritica atual, e de uma análise cr(-

tica dos assuntos abordados.

Gostarfamos de agradecer a todos que de

alguma forma colaboraram conosco na elaboraçio

desta monografia, em especial ao nosso orientador,

Prof. Frediano Quilicci e à minha espÔsa, pela p~

ciência com que suportou e colaborou com as lon-

gas horas dedicadas a este trabalho.

Quando no 1::- s to o correr menç â:o a um assunto ou autor, segu .. :o de um número entre par~nteses, este número indica a referência na bibliogra­fia ao fim ü. trabalho.

- 8 -

('

CONCEITOS

Para pod~rmos apresentar a decisio de

investimentó ·~~ ~~q ~aneira 6lara, 6bjetiva e a-

nalftica, i necessirio estabelecermos algumas pr~

missas e conceitos básicos.

Anteriormente foi ditn que um investi-

menta consiste em u~a ~locaçio de capital, na e~

pera de beneffcios futuros. Para analisarmo~ es-

te.: investimento e decidir's~bre ele~ necessit~

mos de uma medida quantitativa destes beneffcios,

normalmente traduzida em valor monetário. É bem

verdade que certos tipos de beneffcios nao -sao

passfveis de uma ficil quantificaçio (por exemplo,

elevaçio da"imagem" da empresa, "goodwill'1 •.de

uma fusão, etc.). Nestes casos, o melhor que se

pode fazer i ignorar estes fatores, efetuar'a a-

nilise, e entio avaliar a "desejabilidade" do be

neffcio confrontado com seu "custo adic-ional".

Os investimentos doravante considerados, seria

tratados como se pudessem ser quantificados.

Outro ponto a considerar g o fato de

que o f~turo de um investi~entu poderá nio con -

~istir somente de ganhos, mas tambim de p~rdas.

Consideraremos portantu que o''beneffcio poderi

- 9 -

ser tanto positivo como negativo (quando quanti~

ficado). O mesmo • '*' • racl.Ocl.nl.o se aplica à< alocação

de c•pital, que, dependendo do investimento, po­

deri ser ~Dnstitu{do de uma aplicação como de um

recebime~to, se bem que os casos de inter~sse pr~

tico normalmente consistem de uma apli.cação de

capital no presente para receber beneffcios posi

tivos no futuro.

Procuramos a seguir estabelecer·dois

conceitos fundamentais: o de flux~ de caixa e o

de taxa de desconto.

FLUXOS DE CAIXA

Partindo~~e da premissa bisica de qua~

tificaç~o do investimento, traduzido em termos de

valor mo~etiri~ o resu~tado d~corrénte da aceita

ç~o de uma proposta de investimento é uma série

de entradas e/ou safdas de dinheiro. Esta s~rie

é denominada de fluxo de caixa e é este fluxo de

caixa que seri analisado para fornecer os dados

necessirios à tomad~ da decisão de investimento.

Se entradas de dinheiro (fluxos posit!

vos) forem sujeitos a impostos, mediremos as en-

- 10 -

tradas líquidas apÕs táis impostos.

Convim resaltar que os fluxos de caixa • ~ ... ' • ! ' • ·•'t .

aqui tratadô's não se confundem com' o conceito con

tibil de renda ou lucro. Uma diferença bisica i

de que, contabilmente, a depreciação e oútras des

pesas de amortização são subtraídas da receita

bruta; enquanto que para o fluxo de caixa, repr~

sentado somente por entradas ou saídas de dinhei

ro, estas despesas não são consideradas.

Deve-se ter cuidado ao estimar fluxos

de caixa, de maneira a repr~sentar, para cada p~

rÍodo de tempo considerado, todos os fluxos ger~

dos pelo investimento_proposto. Assim, se para a

introdução de um n'ovo produto, prevê-se fluxos

de caixa em cada ano resultantes da .venda do no~

vo produto, i preciso verificar se os produtos ~

tuais n~o ter~o seus fluxos de caixa afetados p~

la "concorrência" do novo produto.

Como ilustração do fluxo de caixa, re.-

produzimos abaixo um exemplo extraÍdo de Van Ror

ne (23). Uma firma esti considerando a introdução

de um novo produto. Para lançar o produto, seri

necessirio gastos Ele $150.000 em equipamento e

propaganda. O departamento de marketing espera \

- 11 -

uma vida de seis anos para o produto, ,e projeta

as vendas incrementais como segue (em 000 1 8):

Ano.!_ Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 7

$60 $120 $160 $180 $110 $50

As sa{das d~ caixa incluem custos de

mio-de-obra e m~nuten~io, custos de materiais e

vârios outros. Da mesma maneira que para as. ven-

das, estes custos devem ser estimados em uma ba-

se incrementai. Além dessas safdas, a firma terâ

que pagar impostos mais altos se o produto gerar

mais lucros; e esta safda inc;e~ental deve ser

inclufda. Suponhamos que,baseado nestas consider~

ç~es, a firma estime safdas incrementais totais

(em 000 1 s), de:

Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 6

$40 $7o $100 $100 $70 $40

Como a depreci~çio nio representa ~

sa~-

da de caixa; ela não estâ inclufda nos fluxos a-

cima (apesar de ter sido considerada no cálculo

incrementai do imposto de renda). o~ fluxos de

caixa lfquidos esperados do projeto sio então:

- 12 -

'Fluxos

Entradas .,. ·~

Sa~das ' lÍquidos

' Custo inicial $150.000 -$150.000 ' .

... , ·':...

Ano._l $ 60~000 40.000 20.000 --Ano z 120.000 70.000 50.000

Ano 3 160.000 100.000 60.000

Ano 4 180.000 100.000 80.000

Ano 5 110.000 70.000 40.000

Ano 6 50.000 40.000 10.000

Assim para uma saÍda de caixa inicial

de $150.000, a firma espera gerar fluxos de cai-

xa lÍquidos de $20.000, $50.000, $60.000, $80.000·,

$40.000 e $10.000 ao longo dos próximos seis a -

nos.

Na elaboração das estimativas de flu -

xos de caixa, le~bramos mais uma vez a necessi -

dade de considerar todos os fluxos gerados pelo

investimento, sejam absolutos ou incrementais, em

relação aos fluxos que ocorreriam caso não seja

feito o investimento. Citamos ·a seguir alguns fa

tores que podem afetar estes fluxos dé caixa:

- ImpodtU de renda:

Jâ cit<1do acima.

- 13 -

- Depreciação:

Afeta o imposto de renda, e confo~

me o tipo de depreciação (linear ,

ibelerada), o perfodo de tempo.

-.Custos de oportunidade:

Poderão existir recursos exceden -

tes e po!tanto sem custo especffi-

co. Entretanto, se a utilização de~

tes rec~rsos impedir que os mesmos

sejam aplicados em .outro projeto,

este custo deverã ser computado.

-- Valores residuais e de remoçao:

Ao término de um projeto poderá ha

ver valores residuais, os quais p~

dem ser representados tanto pelo

valor de venda (de um equipamento,

por exemplo), como pela liberação

de recursos (capital de giro, por

exemplo).

Para concluir esta breve.apresentaçao

s6bre fluxo de caixa, torna-se necessário reco -

nhecer a dificuldade da quantificação de fluxos

de caixa esperados para certos investiment~s. Em

verdade, os fluxos de caixa para a maioiiá dos

- 14 -

investimentos estio sujeitos a certos graus de i~

certeza. Nio obstante, para que seja poss!vel co~

siderar uma proposta de investimento, ~ necessi­

rio obter-se pelo. Ilie~os algtiina,"e~:fJ~~tiva

s u 1 t a do s p o s s f v.e i s . '· Á p ~- s a: ;·or d ~. p r o b 1 em a d a

dos re

incer-

teza, trataremos inicialmente da decisio de in-

vestimenta como 'se esta incerteza nio existisse.

ApÓs esta anilise inicial do caso de certeza, a

decisio de investimento sera extendida e examina

da ã luz da incerteza.

TAXA DE DESCONTO

Em qualquer economia na qual o capital

tem valor (funçio de sua escassez relativa), o

valor do dinheiro'no tempo e um conceito impor-

tante. Assim, $1 hoje vale mais do que $1 no fu-

turo, pois que $1 hoje pode ser investido e ren-

der juros. Uma citaçio de Walter* serviri para

esclarecer a existência dos juros: "Os economis-

tas clissicos garantem-nos que o capital ~ limita

* Richard.G. Walter ~Análise Fundamentalista e e avaliaçio de títulos: aspectos teóricos - Re vista de Administraçio de Empresas,~Vol. 14

''· n9 1, fevereiro de 1974, pig. 15 ,... 32.

- 15 -

do porque sua acumulação requer que alguém con -

suma menos hoje em troca de mais amanhã, isto é~

ele deve poupar. Ji que praticamente todos pre -; --,' ~\ ',

... ~ ':: ('. '

fe~~m o cpnsumo corrente, ao invés do consumo fu • '• <ti ~ . ~~ . . ' ~ .'··: ::.-~ -

turo, é necessirio of~recer algum inceniivo para

estimular a poupança. Esse incentivo vem a ser os

juros".

Visto que o dinheiro tem um valor no

tempo, temos que estabelecer uma relação funcio-

nal desta variação do ~alar do dinheiro no tempo.

Por exemplo, qual a relação entre o valor de $1

hoje e o valor de $1 daqui a um ano? A resposta

esti na taxa de desconto (ou capitalização), o

que vai representar o incentivo oferecido. A ta-

xa de desconto (denominada genericamente k) apr~

priada dependeri de virias fatores que influenc~

am o custo de capital de uma firma, basicamente

a taxa "pura" de juros e um "premio" ou acrésci-

mo de risco. Consideraremos inicialmente a taxa

de desconto como conhecida e voltaremos a nos re

ferir a ela e sua determ~nação quando cobrirmos

o risco no investimento.

Exemplificando numericamente, suponha-

mos uma taxa de desconto de k = 6% ao ano. Se in

vestirmos $1 a esta taxa dur~nte um ano, teremos

- 16 -

$1. (1+0,06) = $1,06 ao fim deste ano. Se inves­

tirmos durante 10 anos, teremos $1. (1+0,06) 10 ;

;$1,79, ao fim do 109 ano. Ista~ o mesmo que di .; $1

zer q~~ ··1 ~~~u{ '( lO·~hos vale .. : ~ . 10

p+O,o6)

-=

; $0,56 hoje. Genericamente temos que~$ hoje

valem $v. (l+k)n daqui a~ anos, quando a taxa

de desconto i ~' ou, inversamente, w $ daqui ~ n

anos valem $ w h . ---- OJe. (l+k) n

Se tivermos agora pagamentos iguais de

$1 durante n anos, podemos calcular o valor pTe~

sente desta sirie, -que sera:

1 +

(l+k)

+ 1

temente:

1 +

(l+k)2

1

= (l+k) n - 1

+ • : • + 1 + (l+k)n-1

O valor futuro desta sirie s~ri eviden

(l+k)n - 1

k

Estes valores são encontrados ji cale~

lados para virias taxas e virias perfodos em ta~

belas de valor presente e futuro.

-Fica claro q~e a taxa de desconto nao

precisa ser anual, mas pode ser para qualquer p~

rfodo de tempo, desde que, na aplicação das fÕr-

- 17 -

mulas, o n~mero de perfodos ~onsiderados seja co

erente com a unidade de medida da taxa de descon

to.

As fÓrmulas acima foram derivadas con~

siderando-Se que pagamentos, descontos, etc.,

são feitos em pontos discretos do tempo. O caso

usual de aplicação ê exatamente este. Entretanto,

para algumas aplicaç~es particulares, cónsidera-

se descontó ou capitalização contfnua (is vizes

para taxa de crescimento, p. ex.). No caso contf

nuo as fórmulas tomam as seguintes formas:

valor futuro ~nico kn = e

valor presente ~nico -kn = e

valor futuro de uma sêrie uniforme = n

= lo ektdt

valor presente de uma sêrie uniforme n

= lo e -ktdt

/

- 18 -

,•

'!.·

... _·

PARTE I

ÍNVESTIME~TO SEM RISCO

....

.•

... : ...

.. -~

- 19 ·,

CAPfTULO 1

CRITÉRIOS

Considerando-se os beneffcio~ ~o inves

timento como quantificados monetariamente, prec~

samos decidir como avaliar a relaçio custo/bene­

ffcio. Em outras palavras,· dado uma s~rie de in-

vestimentas com seus custos e beneffcios estima-

dos, necessitamos de crit~rios para ordenar esses

investimentos e para poder compará-los entre si

ou com um dado padrio, visando estabelecer pref~

rências e/ou aceitaçio/rejeiçio. Quando o objet~

vo da firma for o de maximizar lucros, um crit~-

rio adequado será aquele que ordena os investimen

tos de acÔrdo com sua lucratividade. A seguir a-

presentamos as medidas mais conhecidas de lucra-

tividade*:

a) Renda m~dia sôbre valor contábil.

b) Renda m~dia sÔbre custo inicial.

* Poderfamos acrescentar mais quatro medidas: fn dice·de valor presente, taxa de retorno m~dio~ custo capitalizado e custo anual equivalente~' entretanto estas sio medidas d~rivadas daque -las acima. Suas definiç~es podem ser encontra­das em Van Horne (23), e Hess (10).

- 20 -

~) Per{odo de recuperaçao de capital.

d) Valor presente l{quido.

e) Taxa interna de retôrno.

Passaremos a comentar rapidamente cada,

uma delas, detendo-nos nas medidas d e e. Consi-

deramos nesta parte cunhecido o custo de capital

e também os fluxos de caixa e custo com c~rteza,

isto ê, não hã risco.

Para podermos av~liar cada uma das me­

didas acima, usaremos investimentos hipotéticos,·

extiafdos de Bierman (1); projetados de maneira

que para um par selecionado ê possfvel verificar

... ... . -que um e claramente prefer1vel em re1açao ao ou-

tro.

FlUxos de caixa 1i:'g. Tn·ve·s t. ·cu·st·o ·tni'ci a1 An·o· 1 Ano 2

A $10.000 $10.000

B 10.000 10. oo.o $1.100

c 10.000 3.762 7.762

p 10.000 5.762 5.762

Dado que os custos iniciais sao todos

iguais, um simples exame dos fluxos de caixa evi

dencia o fato que:

1) o investimento A é pior que o in~

- 21 -

vestimenta B, pois que ambos ren -

dem $10.000 no 19· ano, mas B conti

nua rendendo depois que A terminou.

2) o investimehto c ~ pior que o in­

vestimento D dado que ambos retor

nam o mesmo total, mas D retorna

$2.000 um ano antes de c.

Estas conclusÕes "por inspeção" serão

utilizadas nas anilises de cada critirio.

I

1.1 Renda midia sÔbre o valor contábil do inves-

timento (ROI)

O ROI é dado pela razão entre a renda

média {ap~~ depreciação) e o valor contibil do

investimento (metade do investimento).

Invest. A B c D

Rec. Média $10.000 $5.550 $5.762 $5.762

Depr. Média 10.000 5.000 5.000 5.000

Renda Média o 550 762 762

Valor Con t. 5.000 5.000 5.000 5.000

ROI ·O% 11 15 15

-Classif. 4 3 1 1

.,.. 22 ,..

Vemos daÍ que este critério dã a mesma

classificaçio para os invesximentos C e D, ape -

sar de que D é melhor que C.

' Y'• ,_,_,; ....

. t.,.

' 1.2 Renaa média s~bre o custo inicial do investi

mento (ROC)

Esta medida é dada pela razão entre a

renda m~dia e o custo do investimento (sem sub -

irair depreciaçio).

Invest. Custo Renda média ROC Classif.

A $10.000 $ o o % 4

B 10.000 550 5 '5 3

c 10.000 762 7 '6 1

D 10.000 762 7,6 1

O critério dã a mesma ~lassificação que

o ROI - igual para C e D .

. 1.3 PerÍodo de recuperaç~o de capital ("Payback")

-O "payback" visa medir o tempo necessa

rio para que os fluxos de caixa igualem o custo

inicial.

- 23 ~

Investimento "Payback" ClassJficação

A 1 ano 1

B 1 1

c 1,8 4

D 1,7 3

Vemos que i dada a mesma classifi~ação

para os investimentos A e B, apesar de B ser me­

lhor que A. A razão i que o "payback" não leva

em conta quaisquer fluxos de caixa alim do per{~

do de reposição.

O perÍodo de "payback" i ainda larga -

mente. utilizado na prática, pois acredita-se que

seja uma boa medida de liquidez, de lucrativida­

de e de risco. Alim disso, i facil de calcular e

entender. Ha entretanto restriçÕes a serem feitas

quanto à validade do "p'ayback" como indicador de

liquidez, lucratividade e risco. O "payback" i

um indicador de liquidez no ~entido de qu~ quan­

to mais curto o período.de "payback", mais rápi­

do será a acumulação de ~undos; contudo podemos

ter investimentos com o mesmo perÍodo de "payback"

mas distribuiçÕes de fluxos de caixa diferentes.,

e aquele cujos fluxos forem decrescentes terá uma

liquidez maior. Como indicador de lucratividade,

o "payback" i uma medida significativa somente

- 24 -

para projetos que tem fluxos de caixa uniformes

e vidas e conomi c as longas, j ã que o "p ayb ack 11 i~

nora os·fluxos de caixa posteriores ao perÍodo

de r e p os i ç ã o . c o n s i d e r ar- s ~ q u e ci ti á n to . ~e no r. o p ~

rÍodo de "payback", menor o risco,_pode ser per~

goso, pois o risco, como veremos adiante, não d~

pende somente do período (próximo ou longÍnguo),

mas de diversos outros fatores. Talvez o grande

uso do "payback" seja devido ao fato de que ge -

ralmente são preferidos projetos com períodos cu~

tos de "payback", em razão de que estes tornam ~·

"visl,vel" o lucro mais cedo. Deve-seusar o "pax_

back" como uma restrição a ser satisfeita e não.

como uma medida de lucratividade a ser maximiza-

da*.

N6s tris mitodos considerados ati ago-

ra, vimos que, para pelo menos um par de investi

mentos, em que o simples exame dos fluxos de cai

xa indica que um i melhor que o outro, tivemos

empate. Uma das falhas desses mitodos i o de não

levar em conta a distribuição temporal dos fluxos

* H. Martin Weingartner - "Some New 'Views on the Payback Period and Capital Budgeting Decisions" Management Science, 15, August 1969, p. 594 -607.

de caixa. Nos dois métodos examinados a seguir,

esta distribui~io temporal é levada em conta de

maneira explÍcita, podendo assim serem classifi-. '

cados como medidas de flti~ó de ~aixa descontados.

1.4 Valor Presente LÍquido (VPL)

O método do valor presente lÍquido co~

siste em descontar para o presente o flu~o ·de cai

.xa lÍquido de cada período, usando-se uma taxa de

desconto apropriada, normalmente o custo de ca~!

tal. Se a soma algébrica dêstes fluxos désconta-

dos for positiva, o investimento deve ser aceito.

Tomemos como exemplo o seguinte investimento: cu~

to inicial de $4.100 e fluxos de caixa lÍquidos

de $1.000 do 19 ao 59 ano, supondo um custo de

capital (taxa de desconto) de 6% ao ano. Temos

então:

VPL = -4.100 + 1.000 + 1,06

+ 1.000

1,06 5

1.000

1,06 2 + 1.000 + 1.000 +

1,06 4

VPL = -4.100 + 943,40 + 890,00 + 839,62 + 792,09 +

+ 747,25

VPL = $112,36

isto significa que o projeto oferece um ganho i-

- 26 -

mediato de $112,36, ou, seja, a um custo de capi-

tal de 6% ao ano, os fluxos de caixa negativos r~

presentam exatamente a aFprtização de $4.212,36 .. ,

em 5 anos . ~~ ,; i'·

onde:

n

Genericamente, temos: VPL ·[ {l+k) t' t=O

at = fluxo de caixa lÍquido no perÍodo t (i~

clusive a 0 , para t=O)

k = taxa de desconto, suposta c6nstante pa-

ra t=O, ••• ,n

t = perÍodo de tempo de zero a n (vida do

investimento)

Apliquemos o VPL aos quatro investimen

tos hipotiticos usados anteriorment~, usando ta~

xas de desconto de 6% e 8% ao ano:

6% a. a. 8% a. a.

Investimento· VPL C1assif. VPL C1assif.

A $-566 4 $-741 4

B +413 3 +202 2

c +457 2 +138 3

D +564 1 +275 1

Notamos que a cla.ssificação se altera

- 27 -

,.,

quando v a r i amo s a t a·x a de de s c o n t o , mas q u e em

ambos os casos B é considerado melhor que A e D

melhor que C, o que concorda com o exame direto

dos fluxos de caixa. A inversi~ da classificaçio

dos investimentos B e C signifi~a que o investi-

mento B é preferfvel ao C se o custo de capital

da firma for 6% ao ano, mas que C é preferfvel a

B se o custo de capital for 8% ao ano. Este as

pecto será comentado mais adiante quando falar -

mo~ da taxa de retorno de Fisher.

~ ...

1.5 Taxa Interna de Retorno (TIR)

A taxa interna de retorno pode ser de-

finida como sendo a taxa de desconto que leva o

valor lfquido i s t·o ...

presente a zero, e : n n

~ at

o -~ at = ou -a

(l+r) t o (l+r) t

onde at e ! tim o mesmo significado apresentado

para o VPL, e r é a taxa interna de retorno do in

vestimento. O critério de aceitaçio é o de r ser

maior que o custo de capital da firma. Usando o

mesmo exemplo apresentado para o VPL, temos:

o = -4.100 + 1.000 + 1.000 + 1.000 + 1.000 + (l+r) . (l+r) 2 (l+r) 3 (l+r) 4

+ 1. 000

(l+r) 5

- 28 -

igualdade esta que i verificada para r : 7% ·ao

ano,que i então a taxa interna de retorno, ou s~

ja, o projeto se paga em 5 anos, e ainda oferece

4m retorno.de 7% a.a. sÔbre o capital iny~stido.

Arialisando os quatro investimentos usa

dos at~ agora para efeito comparativo, temos:

Investimento TIR Classificação

A 0,0% 4

B 10,0 1

c 8,9 3

D 10,0 1

Tivemos agora um empate na primeira p~

'sição,· mas as classificaçÕes relativas dos pares

A, B e C, D estão novamente corretas, c.omo no VPL.

Cabe aqui um esclarecimento a respeito

do TIR. O TIR não i igual ã lucratividade do in-

vestimenta. No investimento ~nico tomido como e-

x~mplo, vimos que o TIR era de 7% a.~. Não se de

ve inferir dar que·o investimento i lucrativo,

pois o TIR ~ a taxa de retorno calculad• antes

da dedução do custo dos fundos utilizados. O TIR

é, portanto, uma taxa de retorno bruta, e o in -

vestimenta s~ i lucrativo quando seu TIR estiver

a~ima do custo de capital da firma.

- 29 -

1.6 Conclus.ão

Res,umimos no ·quadro abaixo as classifi -caçoes ·o~~idas através da aplicação de cada um

- ',.._-,.

dos métodos descritos acima:

Critério Investimento

A B c D

ROI ou ROC 4 3 1 1

"Payback" 1 1 4 3

VPL a 6% 4 3 2 1

VPL a 8.% 4 2 3 1

TIR ,4 1 3 1

âlise introdutória por inspeção,

conclufmos o investimento B é melhor que A e

que o investimento D é melhor que c. Vemos que

nem o ROI, nem o ROC e nem o "Payback" classifi-

cam os dois pares correta e simultaneamente. As7

sim verificamos ~ue os critérios que não usam fl~

xos de caixa descontados, podem dar resultados

obviamente incorretos. Estes métodos (ROI, ROC e

"Payback") ser~o portanto desconsiderados dora -

vante.

O VPL e TIR entretanto, apesar das ela~

sificaç;es não serem obviamente incorretas, con~

flitam entre si (e dentro do prÓprio VPL). Esta

- 30 -

análise, todavia, será deixada para o capítulo 2,

qtiand6 c?mpararemos e discutiremos com m~i~ deta

lhes cada crit~~io.

l'j'

,··. ·,

31

CAPÍTULO 2

I

·cOMPARAÇÃO DE CRITÉ~IOS

Vimos que no capftulo anterior os criti

rios de fluxo de caixa descontados conduziam a a

valiaçaes mais córretas do que aqueles que nio

descontavam os fluxos. Consequentemente, n~ste

caprtulo nos preocuparemos somente com a anilise

e comparaçio dos critirios de Valor Presente Lf-

quido e Taxa Interna de Retorno.

Antes de passarmos a estas porim, neces

sitamos situar a anilise paralela de mais.de um

investimento. Para tanto, iniciamos com uma bre-

ve classificaç~o econbmica do relacionamento en-. tre investimentos, deixando de lado, por ora, o

eventual racionamento de capital.

2.1 Tipos de in~estimento

Na avaliaçio de ~ropostas de investi

menta, i importante conhecer-se a possfvel inter~

laçio entre pares de investimentos. Bierman (1)

adota uma classificaç~o contfnua, conforme apre-

- 32 -

sentado abaixo, em forma gráfica~

C ntingência Independência Exclusivida

Complemento Complemento Substituto Substituto

forte fraco fraco forte

bois investimentos sio economicamente

independentes se os beneffci~s esperados de qual

quer um dos investimentos nio forem afetados pe-

lo fato de aceitar ou rejeitar o outro investi -

mento.

.. vestimenta afetar os benef:~:cios esperados do ou-

tro investimento, eles s~o ditos dependentes. A

~ependência pode ser subdividida em dois tipos

bási~os: complementaridade e substitutibilidade.

Se a aceitaÇio de um investimento vier

a aumentar os beneffcios esperados do outro in -

vestimenta, o primeiro é dito complemento do Úl-

timo. O caso extremo seria o da impossibilidade

de aceitaçio do segundo, sem ter aceito o primei

ro, quando entio o segundo investimento é dito

contingente do primeiro. Vale notar que a compl~

mentaridade nio é necessariamente biunfvoca, is-

to é, um projeto pode ser c~mplementar do outro

sem que este Último seja complementar do primei-

ro.

- 33 -

O segundo tipo de dependincia i o in -

verso, isto -e, a aceitação de um investimento i-

~i diminuir os beneffcios esperados do outro. Os

investimentos são ditos entãô substitútfveis. O ... L

caso extremo, ou seja, a aceitação de um dos in-

vestimentas impede a aceitação do outro, i chama

do de exclusividade mútua.

No caso de investimentos mutuamente ex

clusivos, precisaremos escolher entre eles, qual

o melhor. No caso do investimento A ser continge~

te ao B, e A ser aceitável, teremos que tomar B

tamb~m, isto i, A e B juntos devem se~ aceitiveis

(B sozinho pod~ nao ser aceitável).

2.Z G~ifico d~ Valdres p~es~ntes

Este gráfico mostra claramente a re~a-

çao entre o VPL e TI~. No eixo horizontal, medi4

mos taxas de desconto. No eixo ver~ical, valores

presentes lÍquidos. Plotamos o VPL do investimen

to como função da taxa .de desconto.

Consideremos u~ investimento simples de I

$100,·com um retorno de $115 ap6s um ano. Obtemos

o gráfico abaixo.

- 34 -

VPL t$>

1.$

A taxa em que a-curva corta o eixo ho-

rizontal i justamente a taxa interna de retorno.

Se o custo de capital da firma for ma-

ior que 15% (a:TIR), entio o VPL i negativo e o

investimento não deverá ser aceito nem pelo VPL

nem pelo TIR.

2.3 MÚltiplas taxas de retorno

o famoso exemplo de Lorie e Savage (12)

da bomba de petrÓleo tem o seguinte fluxo de cai

xa:

Ano 1 2 3

Fluxo de caixa -$L 600 $10.000 -$10.000

- 35 -

O grifico de valores presente para ea-

te investimento é:

VPL ( $)

900

-1.600 '

Temos.então duas taxas internas de re~

torno: 25% e 400%. Nenhuma das duas é a TIR corre

ta. Neste caso, a TIR depende do custo de capital

da firma, pois o investimento esti efetivamente

"emprestando" $10.000 à firma no ano 1 e tomando-

os de_ volta no an:o 2. Portanto a TIR dependeri da

taxa à qual a firma poderi empregar estes $10.000

naquele perfodo e da taxa que desconta o "valor"

destes fundos ao fim do segundo ano para o pre -

sente, igual a $1.600.

No exemplo" acima, as "TIR" de 25% e400%

- 36 -

saó obtidas pela soluçio de uma equaçio de 29 grau

(2 anos). No caso geral, para um fluio de caixa

~ -abrangendo~ per~odos, teremos uma equaçao de n-

i~imo grau. A soluçio (e portanto a ~IR) po~eri~

iepend~kd~~do n~mero de vizes que o fluio de cai l . . .. (

X a uni d a r tf e' S in~ 1 ,_ S e r ~ n i C a , S e r m ~ 1 t ip 1 a OU me S

-mo nao existir (com VPL sempre positivo ou nega-

tivo).

Mao (13) faz uma boa análise da'TIR

(IRR) como funçio do custo de capital, onde elas

sifica os investimentos como simples ou nio-sim-

ples*, puros ou mistos.

No exemplo acima, o critirio do VPL de

termina que o ·investimento deveri ser aceito se

o custo de capital da firma estiver entre 25% e

400% ao ano, pois dentro destes limites o VPL -e

positivo (com um máximo de $900 em k=lOO%), e fo

ra deles (menor ou maior) o VPL ' negativo.

* Esta notaçio i originiria de D. Teichroew, A. A. -Robichek e Montalbano - Mathematical Analy­sis of Returns Under Certainty, Management Sei ence 11, Jan. 1965, p. 395 - 403.

- 37 ....

2.4 VPL contra TIR

Retomemos os investimentos B e C, usa~

dos como exemplo no capÍtulo anterior.

Invest~

B

c

' .. , . ' ;

Cus~o inicial

$10.000

$10.000

Fluxos de caixa lÍq.

Ano 1

$10.000

$ 3.762.

Anó 2

$1. 100

$7.762

Invest. VPL(6%) elas. VPL(8%) elas. TIR elas.

B +413 2 +202 1 1o,o~ 1

c +457 1 +138 2 8 '9 2 .

Vemos ~ue o VPL a 8% concorda'com o TIR,

enquanto que o VPL a 6% discorda.de ambos, refe ~

rente i classificaçio dos investimentos.

VPL ($)

,. /investimento B

6,8

- 38 -

k{1.)

A explicação é encontrada usando-se o

gri~ico de valores presentes, na pigirta anterior.

Constatamos que para taxas de desconto

superiores a 6,8%, o VPL de B é maior q~~ o de c;

ehquánto que para taxas de desconto menores que

6,8%, o VPL do investimento C é maior do que o

VPL de B.

Também não hi incoerência entre o TIR

e o VPL a 6%, se notarmos que, pela prÓpria de-

finição do ~IR, considera-se que este reinveste

os fluxos de caixa positiv~s ($lb.OOO ou $3.762).·

i pr5pria TIR eriquanto que o VPL considera o re-

investimento feito ao custo de capital (oportuni

dade).

A taxa de desconto para o qual os dois

investimentos têm o mesmo VPL ($328 a 6,8%) é de

nominada taxa de retorno de Fisher* e, acima de~

ta taxa o VPL e a.TIR darão a mesma ordenação de

preferência aos investimentos, enquanto que, a -

baixo desta taxa as ordenaçÕes serão opostas.

* Irving Fisher- "The Theory of Interest". Para uma boa anilise da i~tersecção de Fisher, ver Mao (13), p. 234- 240.

- 39 -

2.5 Decis~es aceita ou rejeita

Para investi~entos indep~ndentes, em

que a decisio a ser tomada ~ simplesmente a de a

ceitar ou rejeitar o(s) investimento(s), o VPL e

a TIR dio, geralmente, a mesma recomendaçio. Pa­

ra o VPL, o investimento será aceito se o seu VPL

for positivo, caso contrário será rejeitado. Pa­

ra a TIR, o investimento será aceito se a TIR es

tiver acima de alguma taxa de desconto mfnima a­

ceitável.

A TIR tem sido considerada como mais -

fácil de interpretar que o VPL, visto que o con­

ceito de quanto um investimento vai "ren:der" es­

tá mais perto da prática comercial de "juros" do

que o conceito do quanto "valeu um investimento.

Outra vantagem citada a favor da TIR ~

a de n~o necessitar a determinaçió explfc~ta do

custo de capital para ser computada, o que ê ne­

cessário para o VPL. Entretanto, apSs calculada

a TIR, a decisio requererá a comparaçio da TIR

com o custo de capital, o que elimina pois a van

tagem inicial.

- 40 -

2.6 Investimentos mutuamente exclusivos

Por outro lado, quando a decisib a ser

tomada for a de escolher entre dois ou mais in -. , ,,. •.; ._, i'~ f',: 1 1, ·o•

. ·. J. r •

V~itim~~tos exclisivos, os crit~rios VPL e TIR · I .~ ·· f -~ -'

poderão fornecer recomendaçÕes diferentes.

Uma das principais limitaçÕes do crit~

rio de TIR ~ o fato de que este crit~rio ignora

o tamanho do investimento* (problema de escala)r

Consideremos uma firma, cujo custo de capital ~

de 10%, e dois investimentos mutuamente exclusi-

vos A e B. O investimento A requer uma saída de

caixa de $10.000 e ret~rnará $12.000 apÓs um ano.

O investimento B requer um dispendio inicial de

$15.000 e forneceri $17.700 apos um ano. Calculan

do-se os VPL Ga 10%), temo~ para A um VPL "de

$909,09 e para B um VPL de $1.090,91 e portanto

B deve ser escelhido. Calculando-se as TIR entre

tanto, temos 20% para A e 18% para B, o que indi

ca a esce1ha de A, contriria a indicação do cri-

* Esta mesma limitaçio se aplica ao criterio do Índice do valor presente, que ~ calculado divi dindo-se o valor presente das entradas de cai~ xa pelo valor presente das saídas de ~aixa;·s~ que aqtii outra limitaçio se impÕe: a de cla~si ficação das ,ntradas de caixa (lÍquidas ou brÜ tas). Ver Bi,~ ... ,an (1), p. 46 -48.

- 41 -

tério do VPL.

Na verdade, para uma aplicaçio correta

do critério de TIR, devemos considerar, para in-, ...

'1 ~ :: ' t~ • ! • • • ... ..; . .:~ < .. • :• .. "

~estim~~fdj ~~~J~•i~6~ cuja~·TIR ambas excedam o '. < ''": , .. ,.. •• • ' '· ·:.•_ ·,..: i'; ~- ;~ :.::." .

custo de capital, os beneffcios incrementais. A~

sim, o investimento B requer uma safda inicial

de caixa de $5.000 a mais de A, e retorna, para

estes $5.000 a mais, $5.700 adi~ionais ao fim de

um ano. A TIR dêste investimento incrementai dá

14%, o que, para um custo de capital de 10%,to~

nâ-o recomendável (desde que nio haja racioname~

to de capital). Desta forma, apesar do fato da

TIR de A ser superior i de B, devemos escolher ~'

o que nos leva a concordar portanto com a indica

çio do critério do VPL.

2.7 Conclus:io

Supondo-se conhecido o custo de capital,

e que se possa tanto obter mais capital como em-

pregar qualquer excesso a este.custo de capital*,

*Estas hip6tes~~ evidentemente nio sio o bastan~ te realista. ~~ntretanto, a determinação do custo de c a p i t a 1 n i~ .. ' é as s u n t o d e s t a mono g r a f i a e o racionamento .'s. capita·l. será tratado no próximo capftulo. ·

- 42 -

tanto o crit~rio de VPL como o de TIR podem ser

utilizados para tomar decisÕes corretas de inves

timento.

O cri t~rio do VPL ~ o mais siiri'pie,s de

se aplicar corretamente. Inicialmente calcula-~e

o VPL de cada investimento, usando o cu'st.o de ca

pital como taxa de desconto. Se a escolha for do

t~po aceito/rejeito, aceita-se caso o VPL f~r mai

or do que zero e rejeita-se caso contrário. Se a

escolha tiver que ser f.eita entre dois ou mais

investimentos mutuamente exclu~ivos, aceita-se a

quele que tiver maior VPL, desde que seja positi

v o.

O crit~rio da TIR pode também ser usa-

do, por~m sua aplicaçio correta ~ mais complica-

da:

a) Se o custo de capital -nao for cons

tante para todos os períodos, en-

t~o o critério de TIR nio poderá

ser aplicado (como aqui definido).

b) Pode nio haver TIR do investimen-

to. Precisar-se-á entio usar o VPL

para determinar a aceitabilidade.

c) Pode haver mÚltiplas TIR, defini~

do entio faixas dentro das quais

o investimento será aceitável o~

-nao.

- 43 -

d) Nem sempre o investimento deveri

ser aceito se a TIR for maior que

o custo de capital (p. ex., tomar

dinheiro emprestado),

e) Se a decisio deve. set .t~~kdà p~là

escolha entre dois ou mais inves-

. timentos ·mutuamente exclusivos, ê

necessirio analisar os investimen

tos incrementais por pares para

se·escolher o melhor investimento.

Todavia, a TIR fornece alguma informa­

çao que o VPL não dâJ ou seja a "folga" de lucra

tividade. Por exemplo, dois investimentos poderão

ter·o mesmo VPL, porém requerem dispindios inici

ais sensivelmente diferentes. Aquele que requer

menor dispindio inicial teri maior "folga" de lu

cratividade.

- !;.4 -

CAPfTULO 3

RACIONAMENTO DE CAPITAL

··,\

'

Ate agora consideramos que todo inves-

timento que "passar" pelo teste dei critério de a

·valiaçio (VPL positivo au TIR maior que o custo

de capital) deve ser aceito, excetuando-se somen

te os casos de exclusividade m~tua e contingincia.

Na realidade entretanto, a disponibilidade de c~

pital para investimento não ê ilimitada e também

nao se pode tomar emprestado quantidades ilimit~

das de capital. Teoricamente, qualquer investime~

to que passar pelos critérios de aceitação anteri

ormente descritos deveria ser aceito, pois sua a

ceitação iri aum~ntar o valor da firma, que e· o

objeti~o final. Na pritica entretanto, são gera!

mente impostas restriçÕes ao investimento, as

quais fazem com que este procedimento nio possa

·.ser seguido.

3.1 Restriçóes

As restriçÕes podem ser externas ou in

ternas. Uma ~~striçio externa ê o fato de. que, na

pritica, a taxa de tomar emprestado dinheiro . e

- 45 -

•

geralmente mais alt~ do que aquela que emprestar

a outras. Isto faz com q4e o nível de investimen

to seja funçio de quantidade de fundos disponí

veis internamente e· das taxas de empristimo de

•"l- '.

mercado, cdhforme mostrado na figura a se·gtiir~· A

curva I-I representa a oportunidade total de in-

vestimenta, quando avaliada a uma dada taxa; es-

ta curva mostrarã, evidentemente, maior número,

e portanto maior quantidade de capital, de inves

timentos aprovados à medida que se diminue a ta-

xa de desconto (para o VPL) ou a mínima taxa de

retorno requerida (para o TIR). As taxas de ob-

tençio de dinheiro e d~ colo~açio de dinheiro no

mercado são chamadas de r e r respectivamente, o c

com r0

) rc (são supostas constantes para dada fai

xa de valores). A disponibilidade de fundos inte~

nos i representado por três situaçÕes possíveis':

Q 1·' Q 2 · e Q 3 ·

Taxa~

I

o o

oo~en~o]l ~

r o nl o L. v E

r colocação v o c ~ c

I Total de

Q1 R Q2 R Q3 Investimento o e

- 46 -

..

seguinte:

A polÍtica a ser adotada deveria ser a

a) Para o caso Q1 , existem oportuni­

dades de investimento que seriam ' iu~!~tivas i taxa de obtenç~o de

., ., .. fundos do mercado, mas que nio p~

dem ser financiados internamente.

A taxa de desconto apropriada

de r0

e devem ser obtidos R0

-Q1

fundos no mercado para investir

um total de R • o

-e

b) Para o caso Q2 , dever-se-ia inves

tir Q2 totalmente mas não .obter

fundos adicionais. A taxa de de~-

conto apropriada estã entre r e o

r e é aquela que causarã ~om que c

sejam aprovados investimentos num

total de Q2 ..

c) Para o caso Q3

, dever-se-ia inves

tir R e colocar (a juros de mer­c

cado) Q3 -Rc. A taxa de desconto a

propriada é r • c

As. restriçbes também poderão ser inte~

nas, em função .~:.J relutâ~cia da administração da

firma em tomar •~•·:préstimos, para nio afetar a es

trutura de capic~· da firma, nao emitir açbes por

causa de contro!,, nio alterar a política de di-

~

... 47 -

videndos, liquidez, risco finan~eiro, etc. Estas

restriç~es podem ser traduzid~s pela exigin~ia de

umá taxa de retorno mfnima superior i do mercado

(custo de capital), ou então pela imposição de um

montante máximo a ser globl:i)mente investido •. ~ ~i-'.,1 :. ~ •.. ~ .. ~;:J"'.

fi. "' <

3.2 Seleção

Quando da seleção de investimentos srib

regime de ·racionamento de capital, está evidente

que alguns investimentos, apesar de por si s5 se

rem· aceitos pela aplicação dos crit5rios, nave~

dade não o serão devido is limitaç~es de capital

impostas, visto que outros investimentos terao

uma aceitabilidade maior.

Consideremos a sêrie. de investimentos

abaixo relacionados:

Invest. Custo inicial VPL(ao custo de cap.)

1 $150.000 $- 4.500

2 175.000 28.000

3 125.000 17.500

4 400.000 100.000

' 5 100.000 5.000

6 200.000 18.000

7 100.000 19.000

-4 8 -

Se o limite orçamentirio para investi-

mentes no perfodo em consideração for de $1.000.000

e os investimeritos forem independentes, eneão s~

riam selecionados os investimentos: 4, 2, 7, 6 e

3. O investimento S,~apesar de ter ~m VPL positi ' ' ..

vo, não seria aceito.

Caso haja exclusividade mútua ou con~

tingincia, este fato deveri ser considerado na

alocação de capital. Assim, se as propostas 2 e

6 fossem mutuamente exclusivas, escolherfamos a~

penas a 2, ji que ela é mais lucrativa. De manei

ra análoga, se a aceitaçio da proposta 2 fosse

dependente da aceitação da proposta 1, ~

ter~ amos

que avaliar as duas propostas conjuntamente.

Suqstituirfamos então as duas propostas (1 e 2)

por uma proposta 8, .com um custo inicial de

-$325.000 e VPL de $23.500. Caso a proposta 1 .nao

dependesse de 2, então reincluirtamos a proposta

1, considerando-a mutuamente exclusiva da 8, pois,

cas~ contririo, poderfamos estar aceitando ~duas

vizes a proposta 1.

Também poderi acontecer de n~o ser se-

lecionado um investimento mais lucrativo, se a a

ceitação deste investimento mais lucrativo impe-

dir, por restriç~es de capital, a aceitação ~de

dois ou mais outros investimentos que~ somados,

- 49 -

forneçam um lucro (nio lucratlvidade) maior que

o inicial.

Sob um regime de racionamento de capi-

' tal~ ~objetivo torna-se a seleçio do conj~~to ·~ . \- ~. ' ),.- ; . .: .

d~ inv~~timentos que, globalmente ofereçam o me-• . . l

...... ' .. '; ~

lhor t~~orno, preenchendo ao miximo o limite or-

çamentirio imposto.

3.3 Anilise multiperiÕdica

Até o presente, apesar dos fluxos àe

caixa ocorrerem ao longo d~ mais de um período

de tempo, temos considerado a decisão de investi

menta e a alocação de capital num Único período.

Levando-se em conta racionamento de capital, te-

mos que considerar que; primeiro, os investimen-

tos possivelmente poderão ser adiados por um ou

. ... d mars perro os e; segundo, que as alocações (saí-

das de caixa) de capital e também os recebimentos

(entradas de caixa) de capital poderão se esten-

der· por virias perÍ~dos.

No exame· do possível adiamento de in -

vestimentas (por causa do racionamento de capi ~

tal) 6 procedimento normal seria o de adiar aqu~

las propostas com menor lucratividade até um pe-

- 50 -

ríodo em que haja disponibilidade de capital, e

aceitar imediatamente as que apresentarem as ma!

ores lucratividades. Entretanto, deve-se procu -

rar saber se este adiamento não ira reduzir a lu

cratividade .<P· ex., lançamento de um novo prod~

to) de tal forma que talvez fosse preferível acei

tar a proposta menos lucrativa imediatamente e a

diar uma outra mais lucrativa, mas que fosse po~

co afetada pelo adiamento.

Out~o ponto importante a ser le~ado em

.. conta e que alguns investimentos produzem fluxos

de caixa altos nos primeiros períodos e baixo nos

perÍodos subsequentes, enquanto que outros inve~

timen~os apresentarão fluxos de caixa c~m distri

b~ição cronol6gica inversa. A analise multiperi~

dica pode apontar estes casos; e uma proposta que

apresentar retornos maiores nos perÍodos mais pr~

ximos ("payback" mais curto) poderá assim finan-

ciár outros investimentos futuros; sendo assim

preferível a uma outra proposta com o me~mo cus-

to inicial e VPL, porem com retornos mais longÍ~

guo~~ Desta maneira pode-se procurar equilibrar

as saÍdas de caixa em cada perÍodo, valendo~se

das entradas de:caixa geradas por investimentos

feitos em perÍodos anteriores.

- 51 -

3.4 Custo de oportunidade

Qtiando foi abbrdada a restriçio exter-

na de que a taxa de obtençio de dinheito no mer-

cado era maior do que a taxa de emprego de· dinhei

ro no mesmo mercado, foram analisados tris casos

de investimentos globais e foram definidas taxas

de desconto (ou taxas ~fnimas aceitivei~ de reto~

no) para cada easo. Estas diferentes taxas foram

est~belecidas em funçio de aplicaçÕes alternati-

vas do dinheiro.

Em uma situaçio de racio~amento de ca-

pital, a taxa de desconto correta a ser utilizar

~a deve ser a do custo de oportunidade, ou seja,

da aplicaçio alternativa do capital. Se houver

entio propostas rejeitadas com VFL positivo, is­

to significa que a TI~ dessas propostas ~ mais ~

alta que a taxa de retorno exigida e assim a ta-

xa correta de desconto deve ser a TIR da propos~

ta rejeitada mais lucrativa.

Desta maneira a taxa correta de des~on

to pode variar de perfodo para perfodo, depende~

do da variaçio do volume· t.otal de propostas e das

restriçÕ'es, em cad·a período.

- 52 -

CAP!TULO 4

MÉTODOS DE PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA

Dadà a crescente complexidade do orça -

mento de capital, várias formas analíticas foram

desenvolvidas para tratar do problema. Utilizam­

se estes de diversas técnicas e métodos matemâti

cos, com a construção de modelos mais ou menos

complexos. Apresentaremos neste capítulo algumas

das tgcnicas ou "approaches" ma~s importantes d~­

senvolvidas, limitando~nos àqueles que consideram

a certeza em suas formulaç~es.

4.1 O problema de Lorie-Savage

Talvez um dos problemas mais conhecidas

de racionamento e alocação de capital foi um pr~

posto por James H. Lorie e Leonard J. Savage (12).

O problema consiste em determinai a melhor aloca

ç~o de capital entre nove projetos, com as carac

terrsticas dadas na tabela da ~ãgina seguinte.

Existem ainda restriçÕes. s8bre o capi­

tal aplicado nos períodos que, em valor presente,

são: $50 para o perÍodo 1 e $20 para o perÍodo 2.

/

- 53 -

Valor Presente

Invest. Custo Per. 1 Custo Per. 2 VPL

1 $12 $ 3 $'14

2 54. 7 17

3 6 "6 17

4 6 2 15

5 30 35 40

6 6 6 12

7 48 4 14

8 36 3 10

9 18 3 12

Lorie e Savage resolvem o problemá a -

trav~s de multiplicadores de Lagrange, definindo

uma funçio: y-p1

c 1-p 2 c2

, onde:

y = Valor presente lÍquido de cada

investimento.

c1

= Valor presente do custo do in -

vestimenta no perÍodo 1.

c 2 = Valor presente do custo do in -

vestimento no perÍodo 2.

Parimetros a serem determi-

nados.

DefinePse inicialmente valores .quais -

quer para p 1 e p 2 , e calcula-se o valor da expre~

sio (y-p1

c1-p

2c

2) para cada investimento. Aqueles

~

para os quais a expressao fornecer um valor posi

- 54 -

tivo serão aceitos. Procura-se determinar, por

tentativas, valores ;timos para p1

e p2

, de ma -

neira a maximizar o ~~L total i atender is res -

triçÕes orçamentárias.

Lorie e Savage iniciaram com p1

=1 e p2

=

=3, e somente o investimento 4 foi aceito, com

VPL=$15 e utilizando apenas $6 e $~, nds perfodos

1 e 2 respectivamente. Com p 1=0,l e p2=0,5, to -

dos os projetos são aceitos, com VPL=$151, mas re

querendo a aplicação de $216 e $69 nos perfodos

1. e 2, o que invalida a tentativa. Chegam afinal

a p1

=0,33 e p2=l,aceitando os ~nvestimentos 1, 3,

4, 6 e 9 com VPL=$70 e aplicaçÕes de $48 e $20

nos perfodos 1 e 2.

Weingartner (24) usou, entre outras t~c

nicas a seguir, um modelo de program~ç~o linear,

que pode ser expresso da seguinte forma:

Maximizar

Sujeito a:

- 55 -

~ ~ j=I

b. :X. J J

xo:

O significado dos sfmbolos segue abai-

b.=VPL do investimento j. J

x.= fração investida no investimento j J

ctj= custo do investimento j no

perfodo t.

C = aplicação máxima no perfodo t. t

-A ~rimeira expressao representa porta~

to o VPL total dos investimentos aceitos (x.) O), J

-A segunda expressao representa a res -

trição de ·capital para o perfodo t (pode haver

mais de rim perfodo com restriç~es).

A terceira expressão impede que se a -

ceite mais de uma vez cada projeto.

Usemos um programa ~e computador* de

programação linear para resolver o problema de Lo

r i e e S a v ag e , a p r e s e n t a do no a p ê n d i c e . No t a- s e •;

q,-ue o ~:nJVestimento 7. é incl.ufdo a um nfvel :de<'

0,045 (4,5%) e o investimento 6 é reduzido a 0,97

(97%) o

*Pertencente à programoteca da EAESP - FGV, de­nominado "LINPRO" e escrito em FORTRAN para o IBM-1130, usa o SIMPLEX para solucionar o pro­blema.

G-

Podemos também incluir restrições qua~

to à interelação de investimentos*.

Se tivermos, por exemplo, os investi -

mentos r e s mutuamente exclus{vos, podemos adi-

cionar a restrição:

x +x ( 1 r s , (se x =1, entao x =O) r s

Se r é contingente a~' teremos:

xr.~ xs

·e xs ~ 1

(se x =0, então x =O) s r

Se r e s são mutuamente exclusivos mas

contingentes a u ou ~' também mutuamente exclusi

vos, entao:

x +x ~ 1 u v "

e x +x ~ x +x r s ' u v

4.3 Programação inteira

Uma das limitaçÕes da programaç~o li -

near ê a de nao fornecer obrigat0riamente solu -

* Na verdade, algumas restriçÕes de interelaçÕes somente sao válidas para programação ·inteira, porém todas são apresentadas conjuntamente pa­ra maior clareza.

- 57 -

çÕes inteiras (como vê-se na solução do apêndice).

Na prática, é bastante comum encontrar-se investi

mentos indivisíveis, em que ou se aceita totalmen

te ou se rejeita totalmente o investimento (ex:

constrtição de uma ponte). A programação linear

nestes casos fornecerá resultados que poderão ou.

nao se a~roximar da realidade, dependendo d~ in-

fluência sSbre a solução de se "arredondar" os va

lores ~timos para a unidade mais pr~xima.

-A programaçao inteira, por outro lado,

já fornece soluçÕes com n~meros inteiros. Na for

mulação do modelo, basta acrescentarmos a segui~

te restrição:

x.=inteiro (para projetos, x.=O ou 1) J J

Mencionaremos dois métodos conhecidos

de solução para programação inteira:

a) Método de Planos Cortantes de Go-

mory*·

b) Método de EnumeraÇão Parcial de

Lawler,...Bell.

* Para uma explicação mais detalhada, ver Mao (13), p. 245 e H. Mártin Weingartner, "Mathe­matical Programming and the Analysis of Capital Budgeting Problema, Prentice-Hall, 1963, cap. 5.

'- 58 -

O mitodo de planos cortantes foi dese~

v~lvido por R. E. Gomory e. baseia-se em sol~ç~es

repetidas .de problemas de programaçio linear. R~

solve-se inicialmente o problema de programaçio

linear, conservando-se os valores inteiros encon

trados na·soluçio e utiliza-se os valores fracio

nirios para gerar restriç~es adicionais, com as

quais o problema i novamente resolvi4o. Procede-

se assim ati que a solução Ótima consista somen-

te de valores inteiros, quando entio o problema

de programação inteira esti resolvid6.

O mitodo de enumeração parcial foi de-

senvolvido por Lawler e Bell*, e aplica-se some~

te a problemas em que as variiveis de decisip es

tão limitadas a O ou 1. Lawler e Bell aproveitam

se do fato das variiveis estarem restritas a va-

lores O ou 1, para usar uma notação binária que

consiste em enumerar as 2n combina~~es possfveis

de aceitar (x.=l) ou rejeitar (x.=O) n propostas. ~ ~ -

ApÓs a enumeraçao, e avaliada a funçio objetiva

e as restriç~es para uma dada combinaçio binária.

* E . L • L a w 1 e r a n d M . D • 'B e 11 - "A Me t h o d f o r S o 1 ving Discrete Optimization Problems" - Operati ona1 Research, n9 14, Nov.-Dec. 1966, p. 1098-112.

- 59 -

A vantagem do ~itodo i a de que, atra•is de uma

formulação adequada (a seguir) e de um critirio

de comparabilidade de valores, ~vita-se a avalia

ção de cada. combinação binária. Por meio de três

regras de comparabilidade e avaliação, consegue~

se, a partir de um vetor inicial, progredir por

"saltos", ati atingir o vetor final. Péla avali-

ação da função objetiva a cada passo, determina-

se a combinação (ou vetor) Ótima, e consequente-

mente os_projetos a serem aceitos. Para a aplic~

ção do algoritmo de Lawler-Bell, i necessário que

o problema possa ser expresso da seguinte forma*:

Minimizar

Sujeito a:

n

~ J =1

g • x·. OJ J.

n ~gl.x. ~ J J j =1

x.=o ou 1 J

são funçÕes monoto-

nicamente não decrescentes em X • • J

Pode-se mostrar que qualquer programa

de programação linear inteira ~ode ser expressa

* Uma explicação detalhada do mgtodo de Lawler­Be11, com um exemplo resolvido, pode ser encon trida em Mao (13), p. 248- 57.

- 60 -

desta forma.

Mao ·(l3) recomenda o algoritmo .d~ Law~

ler-Bell como um dos mais eficientes na resoluçio

de problemas de programaçio linear inteira (tam-

bém pode ser usado para programaçio quadrática

inteira, com algumas modificaçÕes).

O método de Lawler~Bell é conceitual ~

mente sem~lhante a uma programaçio dinimica de um

~nico estágio. Weingartner (24) menciona um pro~

blema de apenas 10 yariáve±s e :3 ·restriçÕes que,

usando um algoritmo existente de programaç~o in~

teira, nio convergiu ap6s 5.000 iteraç~es. Mao,

por outro lado, diz ~ue o algoritmo de Lawler~

Be11 levou segundos apenas em um computadot, pa~

ra um de 15 variáveis e 15 restriçÕes.

4. 4 Pr·ogramaçio quadrática in te ira

Podemos expressar as restriçÕes sÔbre

propostas mutuamente exclusivas e contingentes a

través de funçÕes quadráticas:

x .x =O (mutuamente exclusivos, se r s

x =1, entio x =O) r s

x .(1-x) =O (~contingente a~, pois r s

se x =1, obriga :X =1) r s

- 61 -

O alg6ritmo de Lawler-Bell, com modif!

-caçoes, pode ser utilizado para resolver alguns

problemas de programação quadrática inteira, con

forme foi dito anteriormente.

Um enfoque muito interessante para in~

cluir todos os efeitos de segunda ordem para pa~

' res de propostas, foi feito por Reiter. Reiter de

fine uma matriz de beneffcios para as n propostas

consideradas, tal que os elementos da diagonal -

pr!ncipa1 (brr) repre•entam o 'beneffcio·relativo

i aceitaç~o de somente o investiment6 ~' e os e~

lementos fora da diagonal principal (b ) repre­rs

sentam o beneffcio adicional de aceitar o inves-

timento ~' tendo sido aceito o investimento r. Pa

r• r e s. aceitos, temos entao:

b + b + b rr rs ss

bll b 12 bl3 blr

.o b 22 b23 b2r

o o p33 ... b3r

B = o o o ..... b r r

o o o . . . . . o

o o o . • . . • o

- 62 -

bls

b2s

b3s

b rs

... bln

b2n

b3n

b rn

b b ss sn

o . . . . . b nn

Podemoi representar a exclusividade m6

tua e contingência da seguinte forma:

a) Se r e s mutuamente exclusivos ·'

faze~os b =-M, onde ~ i um n6mero rs

. ,tão grande qbe: b -M+b ·~O. rr ss

b) Se ~ i contingente (ou mesmo de-

pendente) a _s, entio fazemos b = r r

=-b , ou seja, aceitar somente r . r

di beneffcio negativo.

Usemos o exemplo anteriór em que ~ e ~

sio mutuamente exclusivos, mas contingentes a~

ou~' tambim mutuamente exclusivos. A matriz de

beneffcios ficaria ent~o:

-b -M b b r ru r v

o -b b b B=

s su sv

o o b ... M uu

o o o b v v

onde todos os coeficientes (br' bs' buu' bvv' bru'

brv' bsu' bsv e M) sio positivos*.

* S. Reiter, "Choosing an Investment Program Among Interdepenrlent Projects", R.eview of Eco~ nomic Studies, .lan. '1963, p.· 32 - 6.

- 63 -

A função objetiva fica então:

Maximizar: XBX'

o~de:

x2 ' •.• '

n n

=LL b .. x.x. l.J l. J -

i-= 1 j =1

x ) ~ vetor dos vari n

âve is. ·

X' = transposta de X.

B =matriz dos benefícios •

. vê-se que o benefício b .. x.x. só se re l.J l. J

aliza se x.=l e x.=l. Também 2 x. =x.,

1 l. visto que x.=

l. l. J

=0 ou· 1.

4.5 Programação dinimica

A formulaç~o dd probl~ma de orçamento

de capital também tem sido expressa usando pro -

gramação dinimica, considerando-se_ como estágio

a aceitação de k=1,2, •.. ,n investimentos das~

propostas totais~ A programação dinimica entretan

to, segundo Dantzig e Bellman*, só é recomendada

para problemas com poucas vari~veis e ~ma restri

Çao.

* G . D a n t z i g , "D i s c r e t e V a r i a b 1 e Ex trem um P r o b 1 em s ,·, , Operations Research, Apr. 1957, p •. 266 - 77. R. Bellman, "Comment on Dantzig's Paper on Dis crete Variable Extremum Problems", Operations­Research, Oct. 1957, p. 723- 24.

- 64 -

Apindice - Exemplo de programaçio linear

O problema de Lorie-Savage, apresenta­

do na pigina 5·4, foi resolvido em um computador

(IBM_jt3o, da USP), usando o programa "LINPRO".

:. .. ",.

As piginas 67 a 10 apresenta~ o progr~

ma fonte em FORTRAN.

A pigina 71 apresenta o primeiro "tableau"

do método Simplex, sendo que uma linha do tableau

corresponde a três-linhas da listagem impressa,

e as Últimas três linhas da listagem correspondem

à função objetiva.

As piginas 72 a 74 mostram a !-'base" a

cada iteraçio, e ao ~inal, a soluçio. A soluçio

€ dada em termos dos valores de cada variivel na

base final; e também das variãveis-soluçào do

dual, dando assim os valores de cada restriçào~

Dá também o valor da função objetiva.

Na página 75 temos o Último tableau.

A soluçio, obtida em 7 iteraçÕes, é en

tao: 100% dos projetos 1, 3, 4 e 9; 97% do proj~

to 6; 4,5% do projeto 7. A funçio objetiva (VPL

total), assume entio o valor de $70,27.

- 65 -

As restriçÕes quanto ã alocação máxima

de capital nos perfodos 1 e 2, correspondem às

variáveis de folga 10 e 11, respectivamente. O

valor ~es.t.éiê ,r~~triçÕe~ ê de 0,137 $/$ e 1,864 $/$

respectivamerit~.·

Analogamente, as restriçÕes de a e acei

tar somente uma vez cada projeto, .valem o segui~

te:

Cada projeto 1 adicional = $ 6,77

.11 " 2 " = o.

" 11 3 " = 5,00

11 11 4 11 = 10,45

11 11 5 ·u = o 11 11 6 " = o

" 11 7 " = o

" " 8 " = o

" " ~ 11 = 3,95

- 66-

r---1

O' "'-J

' -· __ .i

~ .. .-..

PAGE 1 154oOU

11 JOB T

LOG ORIVE CART SPEC CART AVAIL PHV ORIVE 0000 0020 0020 0000

V2 1-111 A(TUAL BK CONFIG BK

11 *PROGRAMACAO LINEAR

11 FOR *ONE WORD INTEGERS *LIST SOURCE PROGRAM

JOHN MOTA 116421

SUBROUTINE TABLEI!Wo!Rt!KtAtJI DI~E~SION Al30o501 WRITEI3oll !I(

154o015.

FORMATI10Xo 1 TARLEAU APOS 1 tl3t 1 ITERACOES 1 o84Xt/l DO 5 I •lt I W WRITEI3t211AIIoJitJ•2o!RI

2 FORMATI/117Fl7o71tlXI 5 CONTINUE

RETURN END

rEATURES SUPPORTED ONE WORD INTEGERS

CORE REQUIREMENTS FOR TABLE COMMON O VARIABLES 2 PROGRAM

RELATIVE ENTRV POINT ADORESS IS OOlE IHEXI

END OF COMPILATION

11 o~

*STORE . WS UA TASLE CART 10 0020 OS ADOR 38AO

1/ FOR *ONE WORD INTEGERS *IOCSICARDoll32PRINTERI *LIST SOURCE PROGRAM

DB CNT 0007

90

GEtULIO VARGAS

C ESTE PROGRAMA RESOLVE PRORLEMAS DE PR06RAMACAO LINEAR PELO METOOO C SIMPLEXo CO~ UTILIZACAO DO TABL~AUo E UMA ADAPTACAOo FEITA PELO C MONITOR 00 CPO/EAESP•FGVt GERALDO Po RAMOS FILHOo 00 PROGRAMAo C ORIGINALMENTE EM AASICo 1 LINPR0 1 o CONTIDO NO MANUAL DE PROGRAMAS C DA HEWLETT-PACKARO - TIME•SHARED BASIC PROGRAM LIBRARV HANDBOOK•

OIMENSION A130t301 O•o01 READI2olOOOIZ

1000 FORMATIF4oll Z•l~lol*Z REAOI2olOOSIMo~tMF.oiGtMA WRITEI3ol0051MoNoMEo!GoMA

1005 FORMATI5I31 IX•ME+!G+MA IFIIX•Mil006ol010ol006

1~ftL W~f9~#~-,~A~'

f.\ r •

0\ 00

J

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GO TO 9000 !BsM-tN+MA+2 IW•r.l+1

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-~;.. .• ·-:-~··-::-= -:· .. · .. -..- .. --:. -.-: ...... .:. ......

-~ ~~ - f : :::

._

DO 1020 I•1t!ol ---- -~·---.- .-·:--x;·:-:-~." ~-- ... -·-

DO 1020 ~•2tiN READI2t10171AtltJI WRITEI3t10171A~ItJI

. .

--:-;:--;--. ~ --;-·~;·.:;-·:·-:r-;-- .·- -- . .--. FORMAT(Fl~a71 CONTINUE ... _ ... ;.'".. .. .. ~, DO lCI2S'I•1tM READI2t1CI23lAIItiBI FORI-'ATIFl5a71 WQITE13t10Z31AIItiRI CONTINUE DO 1030 J•2tiN . READ12t10271A(lWtJI WRITEI3t1027lAIIWtJ)~

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FORMAT(Fl5t71 .. __ ,_ ... -:- .--·-.---~--~,-o~---~--AI!WtJI•Z*AtlWtJI _._ .. ,--·-"·· . -·-. ~ .... CONTINUE DO 1035 K•2tiW LX•K-1 LY•N+MA+K

·- :.--·-:-- :·- -·.

---_-..--...-· ... --.-...,...,-~-- TT~-~- ,- ---~=- .._- ....

AILXtLYI•la _ ~----- -, .,. AILXtli•FLOATIK+MA+N•ll _ ''~ .. · . _ .. ____ . _ CONTINUE -c- ~.~ --•-:. ~~.-,--~- -r •. --.·

!F I MA-OI 1043t1040tl043 :~ . .-: . . _:,. : ,. , :_. _ - ,-_, IFIIG-011050t1070t1050 ______ · ____ '"' ..... __ _ IY•ME+IG+2 .. - _:_:-·'-"-:"~<··:_c~:_:::· . DO 1045 K•IY;Iw .-- ~-- -~-...-.-,~-;=-,--~-·-=-- .,...- -,--------

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- -- -~ ~- ... !,;.~~-· .... ...,

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. : ·:- --.I- .,, .- "- ........ - -~>~·;.. ·:· ----~_,.---;_-- =-~ ~·. ~

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;! --·-:. =---~~':! ~~: 2~· ... :::'"--~:~ ·"'_-: ... ~_:--~~ _; ~:-··-:-~-, ... -:f 1

. -~.-LX•l-1 . ..;. ,_. 1>'... f· ._: ._;·- . ..-í·.~- · . ..:- •· -- • -.-;~-. --:-" •r··-;~. ~-;:::--~-=---~.~~- ::"'"'-=:,.·· ~:--.·· ~-~.-- .,.., :·----.•:•J

! LY•K+N-ME-IG AILXtLYI:o-1a CONTINUE IW•IW+l O•oO NG•N+ ... A+1

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.PARTE II

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ÍNVESTIME~TO COM RISCO . . ·~ •.

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76

CAPfTULO 5

RISCO

Atê o presente capftul 0 , consideramos

as decisÕes de investimento como s~ndo tomadas

sob condiçÕes de certeza, ou seja, consideramos

como certas as "previsÕes" em relaçÃo aos vários

parâmetros do investimento (custo inicial, flu -

xos de caixa, p~rfodos abrangidos, etc~). Desta

maneira, se o VPL de um investimento for positi-

vo, ele ê aceitável.

Na realidade entretanto, existem mudan

ças e incerteza, e estes devem ser levados em con

ta. Cumpre-nos portanto, incorporar o conceito de

risco de investi~ento, bem como maneiras de ana-

lisá-lo, quantificá-lo e incorporá-lo ã decisÃo

de investimento.

O risco* pode ser conceituado mais sim.

* Nao será feita aqui qualquer distinç~o especf­fica entre risco ' incerteza, apesar de que; na economia e teoria dos jogos o risco existe quando se conhece a probabilidade de ocorrên -cia dos resultados possfveis, caso contrário há incerteza.

- 77 -

plesmente como a chance de nio atingir um deter-

minado objetivo desejado. Infelizmente, esse co~

ceito de risco é bastante subjetivo. Para poder-

mos incorporar o risco na decisio de invest{men~

to, precisamos de um conceit~ inais. ana:'lftico, pà~

sivo de uma mais fácil quantificaçio.

5.1 Conceitos probabilísticos

A incerteza em relaçio ao investimento

pode geralmente ser traduzida em termos de uma

distribuiçio de probabilidades dos resultados po~

sfveis do investimento (VPL, TIR, etc.).

Dado que o~ resultados podem tér viri­

os valores, uma distribuição de probabilidades

consiste na atribuiçio de probabilidades de oco~

rincia1a cada valor (faixas de valores) possfvel~

conforme representado em forma gráfica adiante.

prob. de

O COM':

valor

- 78 -

Esta distribuiçio de probabilidades p~

de ser objetiva se for obtida a partir de dados

hist~ricos, ou subjetiva se resultar de estimati

v as.

O valor esperado.de uma distribuiçio

de probabil~dades é a soma dos vários valores ve

zes as suas probabilidades respectivas. n

v = E(v) = z i=l

p.v. l. l.

A variincia é o valor esperado dos qu~

drados dos desvios de cada valor em relaçio ao

valor esperado, e é igual ao quadrado do desvio

padrão.

2 (J = (J

v v v = .v ar (v) - 2 (v. -v) • p. l. l.

O valor esperado e a variincia sâo, es

tatisticamente, o primeiro e segundo momentos da

distribuição de probabilidades*.

O valor esperado é o valor médio (nio

necessariamente o mais provável), o desvio padrão

* Existem o terceiro momento ou "skewness" (mais ou menos assimétrico), e o quarto momento ou "kurtosis 11 (mais ou menos aguçado); que não se­rão vistos aqui.

- 79 -

e a variância são medidas da dispersão em rela -

ção ã mêdia.

5.2 Medi~à ~risco

• \ ·.~ ~lo .. ,,.....,_,

Vârias medidas do risco tem sido propo~

tas, sendo a mais utilizada a variância da dis -

tribuição de probabilidade.

Toda~ia, para o investidor, ê obvio que

resultados melhores que o valor esperado não se­

riam considerados indesejáveis e portanto o ris­

co não ê simplesmente a dispersão de valores em

torno do valor esperado, mas sim a possibilidade

de resultados inferiores ao desejado.

Markowitz, em 11 Portfolio Selection",

considera entre outras possibilidades, a utiliz~

ção da semi-variância como medida do risco. A se

mi-variância, através da fbrmula dada a seguir,

~onsidera os desvios em relação a algum valor

~rftico, estabelecido como referência; e conside

ra somente as ocorrências abaixo deste valor crr

ti co.

, onde:

Sh = semi-variânciia em relação a h.

- 80 -

h = valor crítico de referência.

R = variável aleatória.

E = operador de expectância.

{ R-h , se R-h <o (R-h) ·= ., . ,, "' o . , se R-h ~o ·r.,._;,.

\.,,

Esta medida (a de semi-variância) -e con

ceitualmente muito prÓxima ao critério de risco

adotado por Naslund, da probabilidade Nk de atin

gir pelo menos um valor mínimo L.

Contudo, a medida de ri~co como a pos-

sibilidade de resultado abaixo de um.~certo valor,

pode ser difícil. Por outro lado, se a distribui

.çio de probabilidades for ~imêtrica,Tientio as m~

d idas re·lativas de r i s co, pela v ar i ânci a ou semi

variância, serao as mesmas.

-O risco de um investimento passara po~

tanto a ser medido pela variabilidade ao redor de

seu valor esperado~ ou seja, p~la variância ou

desvio padrio. Estas medidas têm ainda a vantagem

de serem mais facilmente entendidas, pelo fato de

seu uso ser mais difunqido.

- 81 -

5.3 Utilidade

A apresentação clássica da teoria da u

tilidade teve sua origem em "Theory of Games and

Ecoriomic :Behavior,_".~ de John Von Neumann e Oskar

Morg·eristern • .;," . '

A utilidade pode ser concebida como uma

medida de ganh~. psÍquico. Visa quantificar a s~-

ti~fação derivada de uma situação, ou a mudança

do nível de satisfação (ou insatisfação) assoei~

da a uma decisão e seu resultado. Medimos a uti~

l~da{ie em. "uti·le.s"~· e escolhemos arbitrariamente

uma origem e escala de medida. Note que isto im-

plica em uma teoria ordinal e não cardinal, isto

ê, nTveis negativos de ·utilidade nio representam·

necessariamente insatisfação, bem como"positivos

n•o necessariamente satisfaç~o. Isto ~ o mesmo

que dizer que a ordenação (crescente ou decrescen

te), por meio de •iutiles", de uma. s~rie de níveis·

de satisfação, não ~ modificada por uma transfor

mação linear (somar ou subtrair uma constante,

multiplicar ou dividir por uma constante positi-

va, ou ambos).

A t~oria da utilidade oferece uma for-

ma de avaliar o impactp do risco (variabilidade

..: 82 -

de resultados) s;bre investimentos.

Suponhamos um investidor que possue

$10.000 ~ ~ ele. i oferecido um investimento com.

c.ust'õ-<re··:$1'0~000 e retorno imediato incerto entre

$2.000 com probabilida~e de 20% e $15.000 com

probabilidade de 80%. O valor esperado do inves-

timento i de:

0,2 X 2.000 + 0,8 X 15.000 = = 400 + 12.000 = $12.400

A decisão a ser tomada pelo investidor

é a de manter seus $10.000 com certeza ou inves-

ti-los com o risco e retornos acima descritos.

Baseado somente no valor esperado, a decisão de-

veria ser a de investir. Esta decisã6, contudo,

dependerá essencialmente de saber se a insatisfa

ção associada a ter somente $2.000 ao invis de

$10 .• 000 (com 20% de probabilidade) e maior ou me

nor que a satisfação associada a ter $15.000 ao

invés de $10.000 (com 80% de probabilidade) Depe~

dendo do investidor, essas satisfaç~es e insati~

_faç8es podem ter diferentes valores, ocasionando

portanto decis~es diferentes.

A descrição das prefer~ncias de risco

de·um investidor i denominada sua função de uti-

lidade. A função de utilidade, como mencionado

- 83 -

anteriormente, associa um valor (em "utiles") a

cada possível resultado de um evento incerto, si~

nificando a satisfação relativa que seria obtida

se aquele res~ltado realmente ocorresse.

'-.

Façamos a suposição àdicional de que a

função de utilidade~ do investidor anteriormente

apresentado, possa ser desciito pela tabela se -

guinte:

entào:

Valor ($) Utilidade (utiles)

2.000 25

10.000 100

15.000 115

A utilidade derivada do I

investimento é

0,2 X U($2.000) + 0,8 X U($i5.000) =

= 0,2 X 25 + O,i X 115 = 5 + 92 = 97

Como: U(invest.) = 97<U($10.000) = 1009.

enta'Cl> o investidor com esta. função de util~dade

rejeitará a proposta de investimento.

A função de utilidade para um indivÍduo

pode ser obtida subjetiv~mente, atrav~s da obten

ção de pontos de "indiferença". Assim, no caso

do investidor acima, se ele dissesse que era in~

diferente entre invesd .!~ ~9. 500 ou retê-los, a::

- 84 -

utilidade associada a $9.500 seria 97

ou U(l9.500) = 97, pois que a utilidade do inves

tim~nto ~ de 97 utiles. Prosseguindo de maneira

análoga, p_odemos levantar outros pontos de sua :·~

funç~o d-~ ··riti1idad~, construindo finalmente uma

...,.· •·v·-~-- -curva cont~nua~ Esta construçao baseia~se nG co~

ceito de utilidade de von Neumann e Xorgenstern,

op. cit., e deve ser distinguida dos conceitos

anteriores de utilidade de Alfred Marshall ou de

.R. G. D. Allen e John R; Hicks. Esta distinç~o

está clara em Mao (13), p. 53.

As funç~es de utilidade podem •er con-

sideradas como pertencendo a um de tris tipos bá

sicos: avers6 do risco, indiferente ao risco ~e··

propenso ao risco.

Considerando~se o risco como medido p~

lo desvio padrio, podemos representar, em um sis

tema de coordenadas valor esperado contra risco

(desvio~padrio), as chamadas ctirvas de indiferen

ça do investidor. Uma curva de indiferença ~ o

lugar geom~trico dos pontos que tem igual utili-

dade para aquele in~estidor. (p. ex.: $9.500 ce~

tos ou o investimento anteriormente descrito). O

ponto em que a curva de indiferença corta o eixo

dos valores esperados (risco nulo) ~ chamado de

- 85 -

certeza-equivalente aos outros pontos sôbre aqu~

la curva de indiferença*.

!

Na página seguinte estao representadas

as funç~es de utiiid~de e as curvas de indiferen

ça, para os tris casos citados~

A obtenção da função de utilidade para

um indivíduo é relativamente fácil, se bem que

ela não é invariável, dependendo não só de pref~

rincias individuaii~particulares, mas do fato de

que estas prÓprias preferincias indiv~duais podem

variar de acordo com outras circunstâncias ( p.

ex., valores "certos" serão mais "Úteis" em uma

-recessao econo~ica, do que em uma economia em ex

pans~o). Por outro lado, á obtenção de fun~Bes de

Utilidade para grupos oferece sérias dificuldades,

deyido a interaçbes entre indivÍduos. Swalm (21),

em uma pesquisa prática, determinou ~ue a varia~

.çi~ de preferincias individuais de riscos, den -

tro de· uma mesma companhia, era muito grande.

Sob condiçBes de certeza, o princÍpio

*Para· uma exposição sôbre utilidade e em parti­cular a transformação da função de utilidade para curva de indiferença, ver Francis(4), cap.l3

- 86 -

funeões de utilidade

averso ao riseo

ioditer~

ao risco

propenso

ao risco

- 87 -

-·,

curvas de Indiferença valor esper:

valor esper.

risco

~-------.u,

~---------------u2

1---------u3

valor esper.

fiSCO

risco

de maximizaçio da· riqueza ; geralmente aceito co

mo sendo o objetivo da decisio de investimento!

Sob condiç~es de incerteza, entretanto, este pri~

c{pio nio ; cl~ramente definido, a n~o ser em ter

mos de valor esperad6, o que ri~o incorpora ~ ris

co ao obje~ivo.· I . ' ; . . .. ~ ~ '

A aplicaçio da teoria de utilidade i

d~cisio de investimento i uma maneira de incorp~

rar o risco i decisio. O objetivo, ao inv;s de

ser definido simplesmente como a maximizaçio da

riqueza, passa a ser o da maximizaçio da utilid~·

de esperada.

5.4 Obtençio de d~dos

A obtençio de dados, principalmente

quando se tratando de incerteza, ; um dos aspec-

tos ~ais importantes (mas tamb;m negligenciados)

da decisio de investimentos. Evidentemente que a

qualidade das decis8es tomadas ; diretament~ re-

lacionada· i qualidade dos dados s~bre os quais

a decisio foi baseada. As entradas de dados podem

ser basicamente d~ três tipos:

a) polfticas ou diretrize~ adminis -

trativas, por exemplo: limite or~

çamentãrio ou taxa mfnima de re -

- 88 -

torno aceitável.

b) especificaçÕes de método, por exe~

plo: VPL ou TIR, tipo de depreci~

-çao, etc.

c) dados numéricos· de parâmetros,· por

exemplo: custo de inves~imento, _

fluxo$ de caixa, etc.

Com a inco~poraç~o do riico, estes da-

dos s•o geralmente expressos através de distribu

içies de probabilidade, especialmente para dados

A precisão dós dados obtidos pode ser

ma~s ou menos diffcil de conseguit, e mais ou ma .,

nos. erl:tica para a tomada da decis~o correta.

Contudo, geralmente .há um ou mais parâmetros crf .. -ticos, para os quais a precis~o (ou exatidão) dos

dados pode influir sensivelmente sôbre os resul-

tados gerados. Nestes casos, em geral valerá ~a:

pena dedicar um esforço maior ã obtenção destes

dados, com o intuito de procurar assegurar uma

maior precisão e confiabilidade a el~s. Uma ou.-

tra vantagem obtida é a de que muita~ vezes isto

leva ã definição de novas alternativas e/ou o a-

claramente das alternativas. Também é comum o

fato d~ interpr~tação dos resultados se tornar

mais clara e fácil, ap~s uma análise mais apura-

- 89 -

da das entradas.

Os dados mais dif{ceis de s~ estimar

com uma qualidade boa são geralmente aqueles pa-

ra ôs qtiais pão, sé tem base enip{rica (p. ex., in ,~-;_: . ~;·!·.~.~ ... :.~,. .. :

tiod~~ib de um novo produto) . . ,

Uma maneira bastante usada i'a de ob ~

tenção de estimativas feitas por "peritos". Para

que os dados tenham uma probabilidade relativame~

te alta de serem "bons", deve-se definir catego-

ricamente as hip~teses e limit~ç~es impostas, bem

como realisar virios testes de consistincia~.

, Partindo do pressuposto de que duas (ou

~} opini~es sio melhores que uma, as t~cnicas de

consenso procuram reunir as informaç~es e julga-

mentos de virias fontes e peritos. O procedimen-

to normal i o seguinte:

Os indivíduos (ou as fontes) "" sao so-

licitadas a fornecerem estimativas

numiricas a respeito do parimetro,

* Uma boa exposição, juntamente com um exempl6 ~ lucidativo, pode ser encontrada em Maxim e Cook (15), p. 34,... 6.

- 90 -

be~ como quaisquer dados que suportem

tais estimativas. O material i apre-

sentado e discutido livremente em uma

sirie de reuniÕes conjun~as, procu -

rando-s~ __ ehegar a u,ltl :. consenso de opi

niÕ~~. E:tre ieu~iõ~;; os participa~ tes podem refletir sÔbre o problema,

cons~guir dados adicionais, reanali-

sar os seus dados e dos outros parti

cipantes, e revisar suas esti~ativas • . O procedimento continua ati que se a!

cança um consenso, ou se concorda que

- ... ' .,. . um consenso nao e possivel.

O procedimento tem d~svaniagens e li

mitaçÕes obvias para qualquer um que

tenha participado de um comiti. As

principais são: influincia de indiví

duos dominantes, imprecisÕes semânt~

cas e pressão d~ conformidade exerci

da pe;l.o grupo.

Com o intuito de. restringir essas des~

vantagens~ mas ao mesmo tempo conservar as vanta

gens de ~fontes de informaç~e~, outras ticnicas

foram desenvolvidas, a melhor das quais parece

ser a ticnica Delphi, desenvolvida por N. C. Da!

key e o. Helmer, na Rand Corporation. A ticnica

de Delphi incorpora tris fatores principais para

- 91 -

eliminar as desvantagens das técnicas de consen-

so, citadas acima, são elas: anonimato, sumariza

ç•o estatlstica das resp6stas do grup~, e reali­

mentação controlada. O procedimento adotado pela

t~cnica Delphi é a s~guirit~:

!;e~viado um.questionirio aos parti­

cipantes, contendo uma definição das

variiveis a serem estimadas e também

as hipÓteses bisicas que servirãp de

ponto de partida. Cada participante

formula então sua estimativa, inclu-

indo quaisquer outras .hipÓteses per~

·tinentes ã sua anilise. As respostas

são então sumarizadas estatisticamen

te pelo analista responsivel pela co

ordenação, geralmente consistindo de

distribuiçÕes de todos os resultados

com a definição de onde a estimativa

de cada um se coloca em relação ao

total. Pede~se então aos participan-

tes reestudarem o problema e submete

rem estimativas revisadas se acharem

apropriado.

Uma variante da técnica, ~ugerida por

Helmer, pede aos participantes, cu -

jas estimativas estejam muito diver­

sas da média, que esclareçam em pou­

cas palavras porque suas estimativas

- 92 -

sio tao ~iferentes. -Suas razoes sao

entao analisadas e resubmetidas ao

grupo juntamente com a distribuiçio·

revisada das estimativas, continuan-

do assim, iterativam~nte.

Geralmente a ticnici Delphi resulta

em convergência, porim pode tambim

tender a se polarizar ao redor de

dois ou mais valores. N~ maioria das

vêzes, se isto acontecer, vale a pe-

na reexaminar as hipóteses básicas,

para determinar se nio houve duas ou

mais interpretações em relaçio a al-

guma delas.

- 93 -

CAPfTULO 6

~ROPOSTA ffNICA (RISCO)

Conforme o estabelecido no capítulo a~ ·

terior, mediremos o risco atrav~s da variincia de

sua.distribuiçio de probabilidades. Para o caso

de investimentos, o risco seri representado pela

variabilidade dos VPL ou TIR. Hi muitos fatores

qu~ dio origem ao risco de um inv~stimento: a e~

cOno~ia de modo geral~ fatores eco~omicos parti~

culares do in~estimen~o, competiçio, desenvolvi-

~ento tecnol8gico, preferências de consumidores,

etc. Consequentemente, hi um certo risco associa

do a ~ariabilidade dos custos, fluxos de caixa e

mesmo ~ida dos in~estimentos. várias maneiras f~

ram desenvol~idas para incluir mais ou menos pr~

cisamente, o risco no m~todo de avaliaçio da pr~

posta.

6.1.M~todo da taxa de desconto aj~stada

Para a apresentação deste método, nece~

sitamos recapitular o que foi dito a resp~ito de

taxa de desconto e posteriormerite eut~nder-nos um

94

pouco mais quanto aos efeitos do risco sÔbre a

taxa de desconto.

Supusem6s at~ aqui, que a taxa de des~

corito a ser usada era dada pelo mercado (afora as .t··.~

consideraç~es sôbre custo de oportunidade, ao fi

nal do capítulo 3), sob condiç~es de certeza. Es

ta taxa de desconto, denominaremos doravante co-

mo a taxa livre de risco e passaremos a represe~

ti~la po~ !, e consideri-la constante*~ No caso

de um investimento com risco, ~ taxa i po~eri ser

adicionada uma taxa a, representando o ret6rno a

dicional exigido pelo risco assumido, Temos entio:

k = i + e

Esta taxa de risco e será determinada

pela atitude do investidor frente ao risco. Como

o risco ~ expresso em termos da variabilidade dos

retornos, vamos definir um coeficiente de varia-

çio dado por aji, o~ seja a razio entre o desvio

padrio e o valor esperadó (portanto um n~mero

* Na verdade, esta taxa de desconto "livre de ris co" incorpora tamb~m uma parcela de "defesa" contra a inflaçio, variaçÕes na economia geral, etc., razão pela qual ela nio ~constante. En~ tret~nto, para o efeito de anilise de investi­mentos, podemos assim considerâ~la.

- 95 -

adim~nsional). A taxa de risco e seri no~malmen~

te função do coeficiente de variação:

e = f (a /R)

Esta função seri crescente para o inves

tidor averso ~o'ri~co, o que consideraremos como

o investidor racion•l ou normal.

O m~todo da taxa de descbnto ajustada

simplesmente usa uma taxa de desconto constituí-

da de uma parcela referente ao retorno exigido

livre dó risco e mais uma parcela representando

o retorn~ adicional exigido pelo fato do investi

dor assumir aquele risco.

A principal 1imitaçio do mitodo da ta~

xa de desconto ajustada esti.na dificuldade de

se dete~minar o quanto a mais deve ser exigido ~~

ra cobrir o risco {e). Outro problema deste ~~t~

do -e o de que, pela pr~pria maneira de incorpora ' -

ção do risco (elevação da ta~a de desconto), o m~

todo predetermina um grau de risco que ~ aplica-

do a toda a vida do projeto*. Muitas vêzes, o ris

* O risco poderi estar concentrado, inclusive, somente na incerteza do custo inicial, sendo os fluxos de caixa futuros razoavelmente c~rtos.

- 96 -

co poderá ser sensivelmente diferente em perío -

dos diferentes do projeto o que, para o método

da taxa de desconto ajustada, implica1ia em ter~ mos taxas de desconto (ajustadas) dif~rentes pa-

ra cada perÍodo. ··-";

6.2 Método da certeza-equivalente

No método da taxa de desconto ajustada,

o ajuste do ris6o foi feito na taxa de desconto,

ou seja, no denominador da fórmula de valor pre-

sente. O método da·,cert'eza-equivalente faz o aju!_

te de risco no numerador da fÓrmula, ou seja, mul

tiplica o fluxo de caixa do perÍodo t por um fa-

tor a · t.

VPL = t t=O

at.At

(1+ i) t

Este fator at é tal 9ue, multiplicado

pelo fluxo arriscado At' resulte um valor que é

a certeza-equivalente (conforme definido na seçio

5.3) de At •.

A taxa de desconto .utilizada é ~ taxa (

livre' de risco, pois caso se utilizasse a taxa

com risco, este seria ajustado duas vêzes.

- 97 -

Evidentemente ~ue para a aplicaçio do

método de certeza-equivalente, e necessário co -

nhecer a funçio de utilidade do investidor.

O método de certeza-~quivalente ofere­

ce cert~:~a~~~~em s6bre o método da taxa de des-

~onto ajustada, no sentido de que o aju~te de ris

co e feito por perÍodo, ao inv~s de globalmente.

Por outro lado, a neeessidade de se conhecer a

funçio ~e utilidade relevante, traz as desvanta~

gens anteriorm~nte descritas ~uando se tratar de

um grupo.

A ~ d ~ • mbos os meto os ate aqu1 apresentados

têm os mesmos problemas: n~o consideram toda a i~

formaçio contida nas distribuiç~es d~ probabili-

dades e a determinaçio do grau de risco apropri~

dó i portanto extremamente 'difÍcil de se deter-

minar e de se manter consistente ao longo.do tem

po e do espaço.

6.3 Tratamento probabilÍstico

Os dois métodos anteriores, como foi

mencionado, n~o fazem uso de toda a informação

contida nas distribuiçÕes de probabilidades dos

fluxos de caixa ao longo do tempo. Os métodos de

- 98 -

tratamento probabilfstico do risco ptocuram le -

var estas distribuiçÕes de probabilidades em co~

ta, de uma maneir~ completa. Apresentam ao inves

tidor não apenas um Único valor "~justado" para

o risco, mas a dist~ibuição de probabilidades des

te valor; totalmente, ou pelo menos em termos de

seu valor esperado e desvio padrão.· O investidor

irá entao avaliar· a desejabilidade do investimen

to pela análise do valor esperado e dispersão do

resultado, ao invés de procurar "ajustar" os pa:-

râmetros iniciais para o risco.

6. 3. 1 Independência i. cor're lação .·

Os fluxos de caixa poderão ser cronolo_,

gicamente independentes,· perfeitamente correlaci

onados ou terem uma correlação intermediária en-

tre~estes dois extremos.

A iridependência ocorre quando os flu -

xos de caixa para qualquer perÍodo t. não depen­~

dem dos fluxos de.caixa de qualquer outro perío-

Os fluxos de caixa sao perfeitamerite

correlacionados quando a qualquer desvio do valor

esperado ~ara um perÍodo, correspondem desvios ~

- 99 -

·'

exatamente proporcionais em todos os outros perf~

dos. Dizemos então que os fluxos de c.~ixa. são c;-,g_

nologicamente dependentes. . ..

quido i, em ambos os casos, o valor presente lf-

quido ~os valores esperados das distrib~iç~es de

probabilidade dos fluxos de caixa de cada perfo-

do. Simbolicamente temos:

n

VPL =L t=O

{l+í)t

, onde:

VPL = valor esperado do valor

te lfquido.

At -· valor esperado dos fluxos

xa no perfodo t. -

prese!!:.

de cai

i = taxa livre de risco, pois o ris'

co estari incorporado i distribui

ça:o do VPI..

A variincia (e portanto o desvio padrão),

por outro lado, serão diferentes p~ra o caso de

independência ou de correlação perfeita. I~tuiti

vamente podemos esperar que a ~ariincia para o c~

so da correlação perfeita seja maior que a variân

cia no caso da independência, pois que situaç~es

piores corresponderão a outras tambim piores e

inversamente. Isto realmente acontece, conforme

exposto a seguir:

/

- 100 -

Para a independência, temos: n

I 2

cr~ cr t = ,,

~ (l+i)2t t=O

; ~

. , .. "·Para a correlação perfeita, temos:

n

·I t=O

cr c (l+i) t

Onde:

cr. = desvio padrão para o caso da ~

independência.

cr = desvio padrão para a ~orrela c

ção perfeita.

a = desvio padrão pa~a os fluxos t

de caixa do período t.

Elevando cr ao quadrado: c

2 cr c

n n

cr! = 2 L L r=O s=O

~ cr~ .

{=a (l+i)2t

n n 2

cr cr s r .

(l+i)r+s

cr cr r • s +

(J = 2 .C LL

r=O s-O . s?:r (l+i) r+s

- 101 -

Íl, 0'2 .,

I + t

(l+i)2t t=O

E portant;o:

cr ~ + 2 ~

. 2 . 2 cbncluÍmos portanto que cr >·cr.' pois o

. c ~

segundo t~rmo da equaçio acima i neces

sariamente positivo.

Por conseguinte, o risco relacionado a

um investimento i maior se seus fluxos de caixa

sio perfeitamente correlacionados do que se forem

independentes.

6.3.2 Modelo de Hillier

Hillier (11) desenvolveu um modelo pa-

ra tratar de investimentos que apresentem fluxos

de caixa de ambos os tipos (independência e cor-

reiaçio perfeita).

Hillier define oa fluxos de caixa em

~ada perÍodo como sendo a soma de um fluxo de cai

xa independente com m fluxos de caixa perfeita -

- 102 -

mente correlacionados com os fluxos de caixa cor

. ~

respondentes nos outros per~odos.

xt = Y + zl + z2 + + zm t . t t • • • . t ; onde: '

Yt = fluxo de caixa independente do

perÍodo t.

zk = fluxos perfeitamente n

correlacionados para

k = h:1, ... ,m. fJ-'

Sob estas condiç~es, as f~rmulas deva

lor presente lÍquido esperado e desvio padrão to

mam as seguintes formas: m

n

·L t=O

~ k=l

(l+i)t

02 = ... ~ [v ar (Y t )~ . L (1+')2t

t=O ~

+ :·trt k=i k=o

vvar (Z~): (l+i)t

Podemos verificar, das f~rmulas acima,

que para o caso de ~ = O, obtemos a independên -

cia e para m a 1 e Yt = O, temos a correlação pe~

feita.

Com seu modelo, Hillier conseguiu jun-

tar os dois ~xtremos e fornecer infor~aç~es mais

- 103 -

completas do que os métodos de taxa de desGonto

ajustada e certeza-equivalente*.

. ·~~- ,' ..

6.3.3 Probabilidade condicionada

O modelo de Hillier, entretanto, apre-

senta a desvantagem de obrigar a classifi~açio ~

dos fluxos de caixa' em um dos dois extremos, en-

quanto que, para muitos casos reais, os fluxos de

caixa estaria na verdade entre a independincia e

a correlaçio perfeita (correlaçio "moderada").

Uma maneira de tratar o problema, apesar de que

discretamente, é através de probabilidades condi

cionadas.

_o método de probabilidades condiciona-

das consiste basicamente no seguinte:

a) estabelecer vários valores (discr~

tos) possrveis para o fluxo de ca~

xa no primeiro perfodo, juntamen-

te com suas probabilidades de ocor

rincia.

*Uma opiniio discordante ao modelo de Hillier·e~ tá em Keeley e Werterfield, "A problem in Prob~ bility Distribution Techniques for Capital Bud­geting", Journal of Finance, Vol. XXVIII, N92, May 1973.

- 104 -

aumenta muito rapidamente. Assim, par~~ perío -

dos e considerando-se sempre ~possibilidades. de

fluxos ~e caixa em cada perÍodo para c~da fluxo

de caixa do perÍodo anterior, teremos N n = m se-

ries possíveis. Por exemplo,para·~·= 4 e n = 5,

temos N = 1.024.

6.4 Simulação

Em 1964, Hertz (6) apres~ntou um mode-

lo de simulação para se obter a distribuição to-

tal de probabilidades (aproximada) do resultado

final (VPL, T'IR, etc.) de um investimento.

o,:,método de Hertz consiste , ..

em:

a) estimar a faixa de valores para

cada um dos fatores (p. ex., fai-

xa de preços de venda, taxa ·.de >

cresci~ento de vendas, etc.) e den

tro daquela faixa a probabilidade

de ocorrência de cada valor.

b) das distr±buiç~es de valores, se-

lecionar aleator·±·a·me·n·te um valor .~

para cada fator. Combinar os va -

lore~ selecionados de c~da fator

e calcular o resultado final (VPL,

TI~, etc.). Caso haja dependência

. - 106 -

de fatores, isto deveri ser leva-

do em conta pela seleção conjunta

dos fatores dependent~s (p. ex.,

volume de vendas e preço de venda).

c) repetir o passo b) um determinado ~·· ~. -·~; ..

n~mero de v~zeé (q~anto maior es-

te n~mero, melhor seri a precisão

obtida)·.

O resultado desta simulação -sera uma

série de valores de VPL (ou TIR, etc.), quere-

presentam uma amostragem da real distribuição de

probabilidades do VPL.

A frequincia relativa de ocorrincia de

cada VPL (ou de uma faixa) e a medida de sua pr~

habilidade de ocorrincia (note~~e que po~emos ob

ter o mesmo VPL através de virias combinaç~es de

valores dos fatores).

De posse dos virios valores possrveis

do valor presente lfquido e das suas probabilid~

des de ocorrincia, podemos levantar as ctirvas de

distribuição de probabilidades e probabilidades

cumulativas, bem como o valor esp~rado e o desvio

padrão.

Tendo~se os dados referentes aos VPL e

- 107 -

suas probabilidades, podemos facilmente calcular

a probabilidade do VPL estar acima (ou abaixo) de

um determinado valor.

Outra vantagem i a anilise de sensiti~ ·, ·. :... .· ·. : .. '.·:.,!·, ·. · .. :~~~ ~: {:. ~-: 1íf .t,

vidadê·;···ípÓ'tl's' 1·p'odemos, ·simplesmente atravis da re

petiçio de simulaç~es com distribulç~es de prob~

bilidades diferentes para um dado fator, concluir

s8bre o impacto daquele fator no VPL final.

A vantagem da simulaçio apresentada

por Hertz i de que nio re~ue~ que nenhum fator

incerto seja apontado com exatidio, mas sim atr~

vis de uma distribuiçio de probabilidades. Ao me~

~ . ~ . -mo tempo fornece toda a informaç~o pdss1vel so-

bre c·resultado final do investimento, permitin-

do obter a probabilidade de qualquer ocorrência.

6.5 »•cis~es sequenciais

Tratamos ati agora de investimentos fi-

nicos, e a decisio sendo tomada, do tipo aceito-

rejeito em um dado perfodo. Existem certos tipos

de investimentos em que a decisio (na verdade,

decis~es) i tomada em viriés etapas, as decis~es

posteriores sendo frutos d~ acontecimentos ante-

riores. A irvore de decisio i uma técnica que pe~

- 108 -

mite estab~l~cer virios pontos de decisão em re~

laçio a acontecimentos passados e acontecimentos

estimados futuros.

aplicação de probabilidades condicionadas, somen

te que colocando, em certas bifurcaç~es de ocor~

rincias, ri6s de decisão. Reproduzimos graficame~

te nas páginas seguintes um exemplo clássico, e~

trafdo de Van Horne (23)~ pag. 148. As decis~es

são representadas por quadrados e os cfrculos r~

presentam n6s de eventos aleat6rios (no caso da

probabilidade condicionada apresentada anterior~

mente, s6 havia eventos aleat6rios).

A árvore representa a sequincia de de-

cis~es e eventos aleat6rios para o caso de uma

firma que está introduzindo um novo produto. A

primeira decisão é a de se distribuir regional

mente ou naci6nalmente de inf~io. Para cada ramo

existem tris probabilidades em relação ã demanda

do produto, com suas probabilidades dadas. Note~

* Os trabalhos clássicos de árv~re de decisio são de John F. Magee:. "Pecision Trees for Decision Making" e "How to Use Decision Trees in Capital Investment", Harvard Business Review', .42, Jul­Aug. e Sep~Oct. 1964 respectivamente.

~ 109 -

se que as situações alta~ media e baixà de demanda

referem-se ã demanda regional num caso e a deman

da nacional no 6utro. Caso a primeira decisio s~ja

de distribuir regionalmente, entao, apÕs dois a-

nos, serâ examinada a pos~ibilidad~ cfe ~~ss~r a ';: ·~

distribuir nacionalmente ou continuar a distri -

buir regionalmente. Caso passe-se a distribuir

nacionalmente, entao os estados possfveis da de-

manda nacional serio estimados. Caso continue~se

distribuindo regionalmente, as demandas regionais

continuaria as mesmas·.

A primeira f~gura representa grafica

mente as possib.ilidades acima descrit4s; junta -

mente ~om as probabilidades correspondentes.

A segunda figura coloca, ao final de

cada ramo, o VPL do investimento (para aquele ra

mo), levando~se em conta a instalaçio inicial e

expansio e os fluxos lfquidos de caixa esperados

para cada ramo.

Para a toma~a de decisio ê necessário

calcular-se, em cada nÕ de decisio, o VPL de cada

opçio. Para tanto, partimos do fim para o começo t:

e calculamos a media ponderada dos VP'L pelas pr~

habilidades em cada nô de evento aleatório. Por

exemplo, para o evento de demanda nacional, apos

- 110 -

decidir-se expandir de distribuiçio regional pa-·

ra nacional, tendo ocorrido uma demanda regional

media, temos:

VPL = 3.377,4 X 0,3 + 932,6 X 0,4 +

Ao se atingir um nõ de decisão, esco

lhe-se o .ramo com o maior VPL (algébrico).

Procedendo desta forma p~la irvore, dos

ramos finais à decisio inicial, encontramos um

VPL de 1.589,876 para a decisio inicial de dis

tribuir regionalmente, contra um VPL d~ 1.151,6

para a decisio inicial de distribuir nacionalmen

te*.

A decisio inicial Õtima é portanto da

distribuiçio regional. Se a demanda regional for

alta ou media, passar~se~ia à distribuiçio nacio

.nal no terceiro ano; se a demanda regional for

baixa, continuar~se ia a distribuição regional

(perde~se menos dinheiro!).

* Van Horne chega a um VPL de 1.727,3 ao invés de 1.151,6. Mudamos as probabilidades d• deman da nacional inicial para podermos exemplificar a tomada da segunda decisio.

- 111 -

continua

regtonal ~ Alta (1,0}

Alta (Q,S)

Média (0,3)

Baixa (0.1

(1.Q)

Alta (0,3)

Distribuição · Média (0,4)

Regional 'Baixa. (O 3)

Bahca (1,0)

Alta (0.1)

expansão/ Médi (0,2)

nacional Baixa (O,'l)

Alta (0,3)

Nacional

Média

(0,4)

Baixa

(0,3)

- 112 -

:1.589,876

VPL:· = 1.151,6

( 0,3)

( 0,4)

(0,3)

VPL = = 2.8G8,66

(1,0)

4.030,5

1.151,6

-1.727,3

- 113 ":" ··-~---- -~----- .......... ~~·- ---~~-:., .. ·-·-------·.-.... _ ... ___ -··

6.6 Krvores de decisio estocistica~

A técnica de árvore de decisio simples

-mostrada na secçao anterior ap~esenta duas limi-

taçoes básicas: ... ,.,.. ··,:_.'.'·

a) a decisio ê tomada baseando-se so

mente no valor esperado.de cada

VPL,,nio se con&iderando a dispe~

sio em relaçio a este valor espe-

rado •

... b) o numero de possibilidades em ca-

da evento aleat6rio ê necessaria-

mente pequeno,~pois, caso contrá-

rio, a enumeraçiti e computaçio de

todos os ramos seria impraticável

(ver probabilidade condicionada);

consequentemente o valor esperado

do valor presente lÍquido pode es

tar mal especificado.

Tendo estas limitaçÕes em mente, em 1965

Hespos e Strassman (9) apresentaram a árvore de

decisio estocástica para a análise da decisio de

inveitimBnto, em que eles procuiam combinar ~as

vantagens oriundas tanto da técnica de árvore de

decis~o sequencial como da simulaçio introduzida

por Hertz (6).

_. 114 -

Resumidamente, kespo~ e Strassman pror

mulgam que cada nõ de evento aleatório deve ter

um n~mero ~uito grande de p~ssibilidades e, para

que os calculos não se tornem impossíveis de se

realizar praticamente, substituem cada n~ de even

to aleat~rio por uma distribuição de probabilida

des. Prop~e da mesma forma, que dados como cus -

tos iniciais, etc. sejam também expressos em ter

mos de distribuiç~es de probabilidades.

A obtenção dos dados necessários, para

que sejam tomadas as decis~es apropriadas, e fei

ta através de simulação. A cada iteração, sele -

ciona-se aleatoriamente, ao chegar a um nÕ de

evento aleatÕrio, um valor da distribuição cor -

respondente. Este valor e utilizado para calcular

o VPL correspondente. Ao final da simulação, ob­

tem-se distribuiç~es de probabilidades para cada

ramo correspondente a uma sequ~ncia de decisão

combinadas.

A representaçao gráfica da árvore de

decisão do exemplo anterior está mostrada na fi~

~ura a seguir.

Nos nõs A e C ~stão as distribuiç~es de

probabilidades das demandas regionais correspon-

- 115 -

dentes, enquanto que nos n6s B.e C sio nacioriais.

Obtem-se distribuiçÕes X, Y e Z de VPL em cada

ramo, e ainda poderíamos ter uma quarta distri -

buiçio T, representando a decisio de distribuir

inicialmente para --úth~~~2;~;~'giio e posteriormente

gir "otimamente".

A decisio seria entao tomada examinan-

do-se os "perfis" de risco e selecionando aquela

que melhor se aproxime ãs preferências do inves-

tidor.

distrib. regional

naeional

l----y _/\

~--~~-----------z~

A teoria do abandono diz simplesmente

...;. 116 -

que se deve examinar, a cada perfodo, cada inve~

timento existente, para verificar se o valor de·

abandoná-lo não ê maior do que o valor presente

dos fluxos de caixa futuros que ainda podem ser

es~~rados. Robic~ek e Van Ho~n•.(l8) apresentam

uma teoria para tratar do problema*.

O valor de abandono pode ser represen~

tado por uma entrada de 'caixa, ou por um de crês-:-

cimo nas safdas de caixa.

O valor presente dos futuros fluxos de

caixa deve1repres~ntar também a possibilidade de

abandono a cada perfodo futuro, atê o fim da vi-

da do projeto. Supondo que o projeto ainda tem n

anos de vida, teremos n valores present~s, dados

pela fÓrmula:

m

L At VPm = --~-

(l+k)t t=l

+ v m onde:

VPm = valo~ presente do proje~o se a

bandonado no perfodo m.

* Joel Dean )evantou o mesmo problema~ com uma abotdagem um pouco mais simples, no apindice ~ de seu livro 11 Ca~~tal Budgeting", Columbia Uni versity Press, 4 ed., 1959.

- 117 -

At = fluxo de caixa esperado no perf~

do t.

k = taxa de desconto.

vm = valor de abandono no perfodo ~·

l(m'n

Temos entao que comparar V (valor de o

abandono neste perrodo), com.cada VP • Se V for . m o

maior que todos os VP , entio devemos abandonar . m .

o projeto. Se V for menor qu• •lgum VP , entio o m

mantemos o projeto e repetimos a análise no pró-

• ~ d . x~mo perxo o.

Este valor de abandono deverã também

ser l~vado em conta quando da avaliaçio de um p~~

jeto, pois que abandonar um projeto antes do fim

de sua vida prevista pode~ia talvez resultar num

maior VPL ou menor dispersio do que continuar a-

te o fim (poderã valer mais aceitar um projeto

por um p~rfodo menor que sua vida prevista). Ro-

bichek e Van Horne apresentam ainda uma ãrvore

de decisão de probabilidades condicionadas para

a avaliação do abandono e exten~em a ârv6re esto

casticamente, completando assim o trabalho de Hes

pose Strassman (9), pela inclusão da opção de a

bandono nos nós de decisio.

- 1 1'8 -

6.8 Resoluçio da incerteza

Van Horne (22) int~oduz um novo parim~

tro na análise de inv~stimentos. Alémdo ret . .Pt;.no

e d o ~i. s c o ~ ê'b ri si:"d ~ta ,• a r e s o 1 u ç ã o . da in c e r t e z a .

A incerteza de um investimento, i medi

da que o tempo p~ssa, tende. a diminuir, devido i

ocorrência de eventos que originalmente eram con

siderados incertos e passam a assumir valores re

ais. Van Horne denomina este processo de transfor

maçio do incerto para certo, de resolução da in-

certe~a.

Esta resolução, entretarito, normalmen-

te não se processa i mesma taxa ao longo do tem-

po (rapidez) para vários projetos. Assim, por e-

xemplo, se compararmos a introdução de um novo

-produto com uma expansao de capacidade para a li

nha atual de produtos, o novo produto deverá ter

a maior parte de sua in~erteza resolvida nos pr~

meiros perfodos (ou seja, os perfodos de introdu

çio e crescimento), enquanto que a incerteza pa-

ra o caso da expansio esperar-se-ia fosse resol~

vida mais homogeneamente ao longo do te~po.

Pa~a ~edir a resoluçio da incerteza,

- 119 -

Van Horne define o que poderfamos chamar de um

coeficiertte de variaçio temporal, dado por:

crt. onde:

VPL

cvt i:: ~oefici~n'te de . . ......

var,iaÇâo tempo-

ral.

crt = desvio padrão do proj e.to ao fim

do perfodo t.

m = valor presente lfquido espera-

do no pe(fodo zero.

Se calcularmos os CVt para cada perfo~

do (t = O,l, ••• ,n; ond~ ~;a vida prevista do

projeto), deveremos ter, evidentemente CV =O e . n

CV = coeficiente de variaçio inicial do projeto. o

Plotando num gráfico o CVt em função do tempo,

teremos curvas decrescentes de várias formas:

n t o

Dependendo da posiç~o do investidor em

relação ao fato de assumir maiores riscos num·

- 120 -

.·

.futuro pr~~imo ou distante, a taxa de resoluçio

de incer~~z~ poderi. i~plic~~ ~m a~eitaçio ou re~

jeição do projeto.

•. -.... ~ -~ .' •· -.,. ··p• . •

·'

\

- 121

CAPfTULO 7

PROPOSTAS MÚLTIPLAS (RISCO)

Nd caprtulo 3, foi examinado o proble­

ma da seleçio de .um conjunto de investimentos,

sob regime de certeza e com racionamento de cap~

tal. Ainda na parte I, caprtulo 2, foi apresent~

da uma classificaçio da interelaçio entre dois

investimentos, variando. desde contingincia at~

exclusividade mútua. As implicaçÕes, ar levanta~

das para o caso da certeza, continuam ainda vili

das no caso da incerteza. Entretanto, em se con­

siderando o risco nos investimentos, os efeitos

das interelaçÕes de investimentos most~am-se bem

mais complexos, pois afetam nio s~ os retornos

esperados, como tamb~m os riscos a eles associa­

dbs. Para a correta avaliaçio· dos riscos quando

da associaçio de investimentos arriscados, nece~

sitamos voltar ao conceito de correlaçio anteri­

ormente apresentado e pro~urar quantifici-~o mais

precisamente.

- 122 -

7.1 Covariância

Anteriormente definimos a variância de

uma variável aleatória como sendo o valor esper~ . .

do dos quadrados dos des~ios· •dé: cada valor ocor-

rido em relação ao valor esperado da variável.

var(v) n - 2

= 2: p .• (v . -v) i=l ~ ~

A covariância entre duas variáveis alea

t;rias x e z i definida como sendo o valor espe-

rado do produto das diferenças dos valores de ca

da variável em relação a seu ~alor esp-erado, to..:

madas dois a dois,

n cov (x, y) = = L p •• (x. -;{) , (y ~ -y)

xy i=l ~ ~ ... . ,

Pode-se demonstrar que a covariância

de uma variável em relação a si mesma i a prÕpria

variância desta variável.

n cov(x,):) = 2:: p .. (x.-x).(x.-x) =

i=l ~ 1 ~

n - 2 = :2::: p .• (x. -x) = v ar (x) i=l ~ ~

Pode-se mostrar ainda que a variância

de uma soma de variáveis aleatórias i dada pela

soma de suas variâncias. mais o dobro da covariân·

- 123 -

cia entre elas.

n

var(x+y) = L i=l

n

=L i=l

n

=L i=l

n

=L i=l

p .. (x.+y.) - (x+y) [. . ]2 1 . 1 1

[ - -] 2 p • • x . + y . -x -y

1 1 . 1

. [ - - ]2 p. • (x.-x) + (y.-y) 1 1 1 .

p •• (x.-x) + (y.-y) + [ - 2 - 2

1 1 1

+ 2. ex_. -x) . (y. -y~ 1 1 -~

. - 2 p .• (x. -x)

1 1

- 2 p. (y. -y) + 1 1

n

+ 2 L p. • (x.-~). (y.-y) 1 1 1

i=l

= var(x) ~ var(y) + 2 cov(x,y)

Esta forma pode ser generalizada para

m varíiveis, pela f6rmula abaixo:

v ar

- 124 -

var[t xk] m m

ou: LL cov(x. ,x.) . -= Ja que ~ J

k=l i=l j =1

cov(x. ,x.) = var(x.) ~ ~ ~ '.I

•

Notamos da f~rmula da covariincia que~

dependendo dos sinais das diferenças de cada par

respectivo, a covariincia pode assumir qualquer

valor, tanto negativo ou positivo, como nulo (de~

de que não seja uma auto-covariincia, ou seja a

pr~pria variincia). A covariincia ~uma maneira

de exprimir as reaç~es concomitantes de duis va-

riâveis, Como a covariincia depende da unidade

de •edida das variáveis, i usual a utilização de

um Índice adimensional, o coeficiente de correla

ção*, definido por:

. p = cov(x,y) = xy var(x).var(j)

(j xy

(j ,(j X y

! possível mo;trar que o coeficiente

de correlação pode variar de -1 a +1.

* A correlação cronol~gica entre os fiuxos de cai xa considerad_ no capÍtulo 6 (6.3.1) ~medida­pelo coeficie •. ce de correlação de siries temp~ rais:

C O V ( X t , ;, \ -r k ) p = k a .a

.X X t t+:

, onde k i a defasagem entre os perÍodos.

- 125 -

Se o coeficiente de correlação for po~

sitivo~ significa que ambas as variiveis tem va-

riaçÕes concomitantes no mesmo sentido, ou seja,

se uma aumenta a outra também aumenta. Se o coe-t-- ....

ficiente de correlação for igual~;"â''";f:í-, entao as

variiveis sao perfeitamente correlacionadas posi

tivamente e a variação de uma delas implica numa

variação de mesma'proporção e sentido da outra.

Se o coeficiente de correlação for ne-

gativo, as variiveis variam em sentido inverso.

Se o coeficiente de correlação for nu-

lo, a variação de uma das variiveis independe da

variaçio da outra.

7.2 Carteiras de investimentos

A teoria de carteiraé foi originalmente

desenvolvida por Markowitz* para aplicação na se

leção de carteiras de tftulos. Os investimentos

* Harry Markowitz,. "P.ortfolio Se'J,ect~on: Efficient Diversification of Investments", John Wile~ & Sons, Inc., 1959.

- 126 "':'

em tÍtulos e ativos tem muita semelhança entre

si, pois ambos são investimentos no sentido de

se fazer uma alocação de capital no presente, na

espera de benefícios futuros. Assim, .a teoria de

carteiras p~d~·ser apli~4da· t~~bim i seleção de

carteiras de ativos.

Hi contudo, algu~as diferenças bisi -

cas entre os investimentos em títulos e ativos,

que devem ser ·lembrados, pois requerem adaptação

dos modelos de carteiras de títulos para a apli-

caçao em ativos (de capital):

a) a aquisição e venda de títulos p~

dem ser feitos com maior frequiri-

cia·do que para ativos, pois os '

custos de transação são normalmen

te bem menores.

b) os títulos normalmente apresentam

retornos esperados ~ditivos (em

sendo medidos em termos de VPL e

-nao TIR), enquanto que ativos po-

dem não ter VPL aditivos (caso de

complementaridade, p. ex.).

c) a "divisibilidade" dos títulos e muito maior do que a dos ativos,

isto e, podemos comprar ou vender

qualquer nÚmero de açoes, varian~

- 127 -

do o valor d'quele investime~to ?

particular; enquanto que frequen-

temente nao podemos fazer um in -

vestimenta parcial (menor que '

100%),em um ativo~ n~~ investir ., .i''li\·'4~·~:... ....... :· ~ ~~: \.

mais de uma vez no mesmo ativo.

7.2.1 Risco e diversificação

A teoria das carteiras baseia-se na.di

versific~ção do risco. Reexaminando a f6rmula da

variância da soma de duas variáveis aleatórias,

var(x+y) = var(x) + var(y) + 2cov(x,y) e lembran ' . -do que a covariância pode ser negativa, vemos que

a variância (ou seja, o risco) de uma soma pode

ser inclusive menor que a soma das variâncias. No

caso extremo do coeficiente de correlação ser i-

gual a -1, temos:

2 ax+y

2 . 2 = a + a .,.. 2a a

X y X y.

(a -a ) 2 X y

2 a. = x+y

Portanto o desvio padrão da carteira

de dois investimentos perfeitamente negativamen~

te correlacionado& ~ igual a diferença de seus

des~ios padr;es (supondo..-se investimentos iguais).

- 128 -

O coeficiente de correlação não preci~

sa ser necessariamente negativ~ para haver dimi-

nuição do risco, basta que seja menor que +1.

Com efeito, denominando-se o desvi~ padrão da car

t~±r~·por a .~ a parcela do val~t total in~~stl~ .. , . . . p

do em ~ por a (portanto 1-a em y), temos generi-

·camente:

a2 = a2 a2 + (l-a) 2 cr2 + 2a(l-a)cr a -

p X y. , X y

- 2 a(l- a) (1- p ). a a . xy x y

2 a(l- a) ( 1- p ) a a xy x y

~emos da f6rmula acima que:

se Pxy = +1, então a· =aa + ·(1-a)cr p X y

ou seja, o desvio padrão

da carteira é a média

ponderada dos desvios

padr~es dofo investime~-

tos Únicos pelas propo~

ç~es investidas.

se p "<"1, então a< aO' + (1-a)cr xy · p x y

Toda a teoria de carteiras baseia-se

no fato da diversificação de investimentos redu~

zir a relaçio risco-retorno.

- 129 ":"'.

7.2.2 Fronteira eficiente

Baseando-se no fato de que o investi -

dor racional prefere um mfnimo de risco p~ra um

dado retoihó •6u, d~: 'fn'ei;:fina 'fdrm·~~"'-um máximo de re

torno para um dado risco; MarkoWitz plota, num

grifico cujós eixos sio o retorno esper~do e o

desvio padrio, a p6siçio dos. vários investimen -

tos e tambim das possfveis carteiras formadas den

tre eles.

E(rl . '

G

Markowitz mostra que o conjunto de to-

dos estes pontos forma um ~spaço fechado.~Mostra

ainda que o limite superior esquerdo dest~ conju~

to i necessariamente uma curva convexa.

Tomando~se um ponto A s~bre esta curva

\ ·e comparando~se com qualquer ponto B do conjunto

~echado que esteja s~bre a mesm~ vertical, vemos

- 130 -

que para o mesmo risco {a) o investimento A ofe-

ce o mâximo retorno. Analogamente, para qualquer

ponto C do co.njunto ,sÔbre a mesma horizontal, A

ofere~e o mfnimo risco para o mesmo r~torno. Di-

~éfuos ~ntio que A domina todos os investime~tos . '.ti;; .. ::.'':' '; '··· ... ·· .... •

contidos no quadrante inferior direito, determi~

nado quando se traçam retas horizontais e verti-

cais pelo ponto A.

Estendendo~se essa anilise a todos os

pontos da curva que representa o limite superior

esquerdo do conjunto, conclufmos que esta curva

domina todos os outro• inv~stimentos poss!veis.

Chamamos ·esta curva de "fronteira eficiente".

Note-se que esta frdnteira eficiente

nio deveri conter nenhum investimento 6nico (a

n~o ser possivelmente o ponto de mais alto retor

no) pois qrie, ~evido i diversificaçio, as cartei

ras s~o mais eficientes que um 6nico investimen-

to.

Este fato, aliado i n~rmal indivisibi~

l~dade dos investimentos em ativ6s, farã com que

a fronteira eficiente de ativos seja normalmente

constitufda de pontos discretos (inclusive inve~

timentos 6nicos possfveis), ao invés de uma cur-

~ va conttnua.

.- 131 -

~ bastante claro pelo que foi ati aqui

exposto que a análise de novos investimentos não

deverá ser feita isoladamente, mas sim em termos

de se~ efeito marginal s;bre a comp6s~ção do re~

tdfkb e:do risco total da carteira•formada pelos

investimentos atuais.

7.2.3 Curvas de indiferença

I

A seleção do ponto. especffico da fron­

teira eficiente, que seja mais desejável, irá de

pender b~sicamente d~ função de utilidade, ou se

ja das preferências de risco e retorno do inves­

tido~. Para tanto, colocam-se, no mesmo gráfico

anterior, as curvas de diferença (ver capftulo 5,

item 5.3) do investidor para várias utilidades

esperadas.

O ponto extremo de limite comum e·ntre

as curvas de diferença e a fronteira eficiente,

ou seja o ponto onde uma das curva~ tangencia a

fronteira eficiente, deverá ser a carteira 6tima,

pois que, dentre todas, i ela que proporciona a

maior utilidade es~erada.

- 132 -

E (r)

curvas de --- if\diferença

fronteira ,, · .. •.· ·• . eficiente

·: "'carteira 1 6t1ma

6

7.3 Resotuçio da incerteza (ampliàda)

Van Horne, no mesmo a~tigo (22) apre -

sentado anteriormente para o caso da proposta Gn!

ca, estende sua análise para combinaçÕes de pro~

postas.

Da mesma forma que o retorno e o risco

-de um investimento nao devem ser analisados iso-

ladamente, a resoluçio da i~certeza tambim deve-

rã ser avaliada em termos de s~u efeito marginal

sÔbre a c~rteira total de investimentos da firma.

Calcula-se o coeficiente de variaçio

temporal de uma carteira usando a mesma f6rmula

- 133 -

apresentada anteriormente:

·'·

(Jt cv. = --.

t VPL

.. onde

(Jt = desvio padrão da cartevir! nomp~ ·. . '

rÍodo t, dado por crt =2.:''2::crjkt .....

' j=l k=l

em que:

CJ•kt = covariância entre os investi­J .

mentos i e k, e ~é o número

-de investimentos que compoem

a carteira.

VPL = valor esperado do valor prese~

te lÍquido da càrteira.··

Para avaliar o impacto marginal do no-

vo investimento, calculamos inicialmente os CV . . t

da car~eira atual e posteriormente os cvt da ca~

teira que resultaria da inclusão do ~ovo investi

mento. o grifico dos cvt deveri apresentar um

deslocamento, tonforme representado abaixo.

Podemos subtrair a curva da carteira

atual daquela da carteira resultante, para obte~

mos uma medida mais exata do im~acto incrementai.

O grâfico resultante é mostrado abaixo.

- 134 -

t

ACVt ( incremen'fal)

A preferincia por um CV incrementai t·

positivo ou negativo em .cada período irá depen ~

der da política da firma em relação ao risco (es

tabilidade de VPL esperado, flexibilidade de de~

c i s 6 e s p a r a in 'V e s t i m·e n to s f u t u r o s , e t c • ) e d o C V t

da carteira atuaj. em cada um dos perÍodos.

Van Ho1ne sugere que estas polÍticas

possam ser traduzidas em termos de i~striç8es s6

bré um CVt (da carteira) midio ao longo do tempo.

Esta~ restriçÕes poderiam então ser englobadas ao

processo dccis~rio, atraV~A au inclUA~O do um to~

cel.ro ol.xo no g·r.íifico ·r.:i.Bco-rot:iirriúf':u'lrt\!l.ltl'l""'t.ln .. ,· .. ~i-:~:<~:<;) f:1f1 ~;~·1:·'~ -~:"' '

uma superffcie limitante. em. u.~.a rep~esentação

tridimensional.

De um lado desta superffcie (sua forma

dependerá das restriçÕes impostas) estará um se-

mi~espaço no qual as propostas serão aceitas e

no o~tro semi~espaço, rejeitadas.

7.4 Modelos de seleção

Apresentamos ati aqui a necessidade de

se tratar da análise de ±nvestimento:conjunta~e~

- 136 -

I

-te e nao isoladamente. Assim, introduzimos a teo

ria de cart~iras para avaliar gl6balm~nte os in-

vestimentos de uma firma, a noçio de f!ont~ira

eficiente e de curvas de indiferença. Devemos a-

gor~ tratar dos m~todos de seleçio de carteiras.

Inicialmente apresentamos um breve re-

trospecto da teoria geral de carteiras, no que

tange à geraçio de fronteira eficiente e tgcni -

ca~ desta, desenvolvida para tftulos. ~seguir

sao apresentados alguns modelos desenvolvidos es

pecificamente para a aplicação em ativos.

7.4.1 Hi~t5~ico

Conforme notado anteriormente, Markowitz

des~nvolveu a tecria de carteiras para tftulos.

Neste caso, podemos dizer que, diferentemente do

que ocorre com ativos, as ·restriç~es de compleme~

taridade e substitutilidade (~os extremos, con-

tingência e exclusividade mútua) nio ocorrem. Os

tftulos sio~tndependentes (o q~e nio impede que

sejam correlacionados).

Se considerarmos uma car~eira formada

de n tftulos, a proporçio (em valor) in~estida

- 137 -

em cada título i chamamos de x., o retorno espe­~

rado do tÍtulo (TIR) de e., a variância do títu~ ~

lo de o~, e a covariância do tÍtulo i com outro ~

i de o .. ; .entao teremos o retorno esperado , ~JI ;·,, 2 . ·!' I.

a var1anc1a 8 ~ di ·~art~ira, dados po~: ·P

e p

n

=L x .• e .. ~ ~

i=l

n n

e , e p .

a~= LL x.·.x . • a .. I J 1 J ( onde a . . =a~)

~~ ~

i=l j =1

Ora, a fronteira eficiente é o lugar

geométrico das carteiras com retorno miximo para

um dado desvio padr~o (ou vaiiância), ou ent~o

com mínimo desvio padr~o (ou variância) para um

dado retorno. Devemos entao minimizar o 2 para um p

2 dado e ou maximizar e para um dado a Varian-p p p

do-se os·parâmetros (e ou o 2 ) respectivamente, p p .

obtemos todos os pontos da fronteira eficiente.

Nem todos os valores, contudo, s~o possíveis pa­

ra e ou o2 (estariam fora ao conjunto dé cartei p p

ras possíveis). Obtemos o mesmo efeito utilizan-

d ..... . • • d 2 o um parametro ~' e minimizan 0 op ~~ep' para

À~ O (até Ã=oo ) .

Assim, a fronteira efieiente seria oh-

tida através. da soluç~o do seguinte problema de

programaçao quadritica:

- 138 -

determinar: x. para i=1,2, ••• ~n 1

para minimizar:

n n

LL x .• x . • a .. 1 J 1J

i=l j=l

sujei~o a:

n

L x. = 1 1

i=l

n

- À· L x., e. 1 1

i=l

e outras restriç~es impostas, para

qualquer À~ O.

A dificuldade bisica da. aplicaçio des~

- - - ""' . ta programaçao a det~rminaçao da fronteira efici

ente esti na determinaçio das covariincias entre

. '*' ... . < 2 I ... . os t:rtulos, em numero de n -n) 2, o que so ser1a

pr~tico para um número muito pequeno de títulos.

Sharpe (20) portanto, 'desenvolveu um

modelo de Índice .em que aonsid~ra que o retorno

de cada título está relacionado, em maior _ou me-

nor·grau, com o nÍvel de algum Índice comum I ~P·

ex., PNB, Índice de mercado, etc.). O retorno r 1

de um título s~ria dado por:

r. = a. +b .I+ c. ' ond·e:

:r :r 1 1

a. =· constante. 1

b. 1

= constante.

- 139

I = nível de Índice.

c. =variável aleatória (de erro). ].

,,

SupÕe-se c:; niQ - correlaciona,9.o que e ].

. ·' ,. ·.:.·.f.·

com nenhuma outra variável e que SéÚ Valor espe--~ . .

rado seja nulo.

Definindo como ei e ai o valor espera-

do e o desvio p~drio do nível do Índice, como a c.

n J.

o desvio padrio de ci, e ainda b p

= 2:::: x .• b.; i=l ]. ].

podemos determinar a da seguinte forma: p

r p

r p

n

=L i=l

n

=L i=l

n

x .• r. ]. ].

x .• (a.+b.I+c.) ]. ]. ]. ].

n n

r p = L x .• a. + L X •• b. I + L X. • C. ]. ]. ]. ]. ]. ].

i=l i=l i=l n

r = constante + b .I+ V·x .. c. p p L ]. ].

i=l

var(rp) • O+ var(bp.I) + varrt xi.cil+

l]. = 1

+ 2cov ~PI, ,'- :·

;,.. 140 -

mas:

var(r ) = cr 2 p . p

(b I) .= b2,,.,.2 var p' p vi

[

n 1 n ' var ~.~;.·c. _-...,~ x~~cr 2

L 'l. 1 "'Li l··c. . 1 . 1 ' l l= - l=

cóv[bpi' t xi .ci]· = O 1=1 .

temos entao:

2 2 X • • (J

l c. l

*

O problema de programação quadrática

toma entao a seguinte forma:

determinar:

bp e xi para i=1,2, •• ~,n

para minimizar:

n

L . 2 2 X • • (J

l c. i=l l.

- À.

n

L x .• ·e. l l.

i=1

* c. não ê correlacionado com nenhuma outra va­riãvel.

- 141

.sujeito a:

n

L i=l

x. 1. = 1 e

n

L i=l

X •• b. 1. 1. = b

p

Assim, Sharpe necessita Somente de I ,

os b. e os para determinar a varii~cia da c~r 1. c. 1.

teira, reduzindo as (n2-n)/2 estimativas para

2n+l.

Para a aplicaçio em carteiras de tftu-

los, este processo i adequado. Normalmente utili

za-se algum fndice de mercado (Bovesp~, p. ex.)

para estabelecer as relaç~es derivadas entre tf-

tulos, e faz~se regress~es lineares dos retornos

dos tftulos contra o retorno do mercado para de-

terminar

Sharpe mostra que tambim i possfvel

usar mai• do que um fndice se os resultados n~o

forem satisfatórios ,. ·. ·- . com um xnd1.ce un1co.

O termo b.I explica a varia~io do retor 1.

no do tftulo com o retorno do mercado e o termo

c. representa a parcela de variaçio do tftulo i 1.

que independe da variaçio do mercado.

- 142 -

7.4.2 Modelo de Cohen-Elton

Cohen e Elton (3) formulam..:.um modelo de

programação quadrática baseado_ no modelo de Weiri '; ; ~-- ··' ,!! l ':<:,<:;_i"':.,: .• ~~ . -

gartner (25), que por 'suà ti.fé'-z baseou-se em Mar -

kowitz. O modelo utiliza i'~f~rmaçÕes a respeito

do risco e retorno de ativos interdependentes p~

ra gerar um conjunto de carteiras eficientes. O

modelo ~ intertemporal, no sentido que considera

os efeitos de decisÕes present~s sSbre açÕes fu-

turas.

O modelo inicia com a especificação de

um modelo estrutural, para cada.investimento at~

al e futuro considerado, bem como para a firma

como um todo; que indica quais os fatores que d~

terminam os fluxos de caixa em cada período. São

especificados tamb~m aB distribuiçÕes conjuntas

de probabilidades destes fatores. O modelo estru

1 tural e as distribuiçÕes devem estabelecer expli

citamente as. interelaçÕes entre os fatores.

Ap6s este pas~o, ~ iniciada.a fase d~

simulação. Geram-se valores para cada fator ·em

cada perÍodo considerado (até algum''horizonte'

determinado) e calculam-se os fluxos de caixa cor

respondentes em cada perÍodo, _para c~da investi-

- 143 -

menta. Para cada investimento, os fluxos de cai-

xa sio descontados para o presente (a uma taxa

livre de risco) e somados, para dar um VPL de c~

da projeto. Repete-se todo o proc~sso de simula~

çio um dado n~mero de vezes, ~a~te~do-se. ordena-

dos os VPL calculados para cada investimento. Te~

do os VPL de cada inve~timento em ordem para c~da

simulaçio, podemos calcular a media e variância

de cada VPL e as co~ariincias entre investimen·-

tos.

De posse de~tes~dados, .montamos o mode

lo de programaçio quadrática descrito abaixo:

minimizar:

···àujeito:.a:

llX = c

x. = o ou 1 ~

X = 1 o

st o

onde temos:

t = 1,2, .•. ,T

i= 1,2, .•. ,n

t=l,2, ••• ,T

~ = vetor 1X(n+1) dos VPL esperados

dos projetos.

X= vetor (n+1)X1 do investimento

feito n6 projeto.

- 144 ...

c = parâmetro variável para gerar

a fronteira eficiente.

X = investimentos at.uais. o

at = veto.r lx(n+l) dos fluxos de

caixa de éada projeto no pe-

rÍodo t. (incluindo o inves-

timento atual).

at = montante em caixa no período

t •

E = matriz das covariâncias entre

projetos.

e a matriz exprimindo as depend~~

cias de projetos (semelhante

ao de Reiter, mencionado no

capítulo 4).

x' =vetor lx(n+l), transposta de

X·

A função objetiva e composta de duas

parcelas. A primeira, X'EX ~ e a variância da car

teira, pois:

x'Ex • n n

LL i=1 j =1

x.x;CJ',, ~ J .. ~J

A segunda parcela, ~X' ex~ representa

combinaç~e~ desejáveis como varcelas negativas e

- 145 -

combinaçÕes indesejáveis como parcelas posit~vas·.

Como a função objetiva deve ser minimizada, isto

fará com que as combinaçÕes desejáveis tendam a

aer incluÍdas e as indesejáveis exsluÍdas.

t r• •

Cohen-Elton extendem o modelo para o

caso de títulos pela inclusão de xi~ O (i=n+.l, ••

• ,m), sem restrição inteira ou superior.

-O modelo nao inclue a possibilidade de

empréstimo porque os autores argumentam que o cus

to de capital poderia depender dos projetos sele

cionados. Sugerem eles entretanto, que um proce~

so iterativo poderia permitir a inclusão de em ~

prêst~·mos.

0 model~ proposto por Salazar e Sen (19)

utiliza árvore de decisão, simulação e programa~-

çi:o linear estocâstica. '

-O modelo de programaçao linear empreg~

do ê o do horizonte .básico de We~ngartner, des-

crito a~:s.êguir:

- 146 -

..

maximizar:

n

z =L j=l

..• ' ' t ,( ~ ;

sujeito a:

t[atjxj - (l+r)vt-l j =1

- w J~D

+ v + t

(l+r)w -. t-1

t ~ t t = 1,2, ••• ,T

o~ x. ~ 1 J

j = 1,2, ••• ,n

v = w = o o o

t = 2,3, •• ·.,T

+ a. = valor de todos os fluxos de cai

J

xa subse~qentes ao horizonte,

descontados ao horizonte.

x. = fraçio aceita do projeto i· J

T = perÍodo do horizonte.

vt = montante aplicado a juros no p~

rÍodo t .

wt = montante de empréstimos no perí~

do t.

atj = fluxo de caixa do projeto i no

perÍodo .!:.•

(atj>o, gasto; atj<o, receita)

Dt = entrada de caixa no período .!:_,

dos projetos atuais.

- 147 -

r = taxa de juros do mercado.

O modelo de Weingartner maximiza o va-

.... lor da firma em um per~odo futuro "T", denomina,;_

.-do horizonte.

Há três restriçÕes:

saÍdas de caixa em um perÍodo não

podem exceder as entradas no mesmo

perÍodo (empréstimos são "renova·:-

dos").

- o investimento, empréstimos e apli

caçÕes não podem ser negativos.

não é possível investir em mais de

um projeto igual.

O modelo de Salazar-Sen examina d~is

tipos de incerteza. O primeiro tipo consiste do

efeito de yariaçÕ~s futuras, de variiveis econo-

micas e competitivas significantes, s;bre os flu

xos de caixa subseque~tes. Considera o P.N.B.,

preços. da concorrência e açÕes da concorrência,·

no exemplo. Para tanto, os autores montam uma ár

vore de probabilidades condicionadas para expri-

mir estes efeitos, juntamente com suas probabil~

dades de ocorrências.

-. 148 ...

O segundo tipo de incerteza tefere-se

ã avaliação dos fluxos de caixa em cada ramo da

-arvore.

·, ·:·,

A anilise i constituÍda de duas f•ses.

No primeiro estigio, são supostos co -

. nhecidos com certeza os fluxos de caixa em cada

ramo da irvore. É resolvido o problema de P.L.

(programa~ão linear) para cada ramo da irvore, e

tabelado os projetos que compoe a carteira Õtima

para cada ramo (no exemplo são 15 projetos e 12

ramos), como tambim o valor da função pbjetiva.

No segundo estigio é simulado a sele-

ç~o d~ um ramo, e também selecionados aleatoria-

mente, de uma distribuição de probabilidades,

fluxos de caixa para cada projeto em cada perío-

do (n~o mais são considerados certos), quando en

tão o problema de P.L. é resolvido. Repete-se o

processo de selecionar um ramo, etc., até co~~l~

tar ~ n~mero desej~do de simulaç~es. Obtem~se des . ' .

te estigio, bem como do primeiro, histograma de

valores da função objt:~iva, mostrando a variabi-

lidade de retorn~s ~ro~ocada pelas incertezas.

- 149 -

Os atitores prop~e dois crit~rios para

a avaliação de uma carteira.

O primeiro critirio ~ o do valor espe=

rado da carteira. Como no primeiro e$tágio um nú

mero finito de carteiras foi gerado, avaliam ca~

da carteira em todos os ramos e, de posse das pr~

habilidades de cada ramo (condicionadas), calcu­

lam os valores esperados de cada carteira e seus

desvios. padrbes. Para o segundo estágio, o núme­

ro de carteiras não ~ necessariamente fixo (depe~

de do nGmero de simulaç~es), ~ons~quentemente,

sugerem um segundo crit~rio de decisão.

O segundo crit~rio de decisão baseia­

se numa análise heurfstica. Ao inv~s de classifi

car as ca~t~i~as, procuram ordenar os projetos

em termos da frequência de ocorrência de cada pr~

jeto nas carteiras geradas. Os projetos que mais

frequentemente compuseram carteiras deverão ser

o~ mais desejáveis em termos de retorno e dispe~

são ou de fluxos temporais. são .formados então

carteiras a partir dos projetos que apresentaram

maior frequ;ncia de seleção, e são calculados r~

tornos esperados e desvios padr~es, atrav~s da

geraçio de fiuxos de caixa, para cada carteira.

- 150 -

/

A desejabilidade de c~da ca~teira pode

ser avaliada atravis da~anilise no espaço risco-

retorno segundo Markowitz, ou então atravis do

critirio de Naslund (ver capf~ulo 5J ftem 5.2) ~ • ;. l· :>;~ .. ~ ~\ 9 ~;,;~, , , >~ ,·_ ., ;s,.'

Oa autores argumentam finalmente que o

modelo i superior ao de Cohen-Elton, por duas ra

z6es principais:

a) É conceitualmente mais simples p~

ra o gerente financeiro operaci~

nal.

b) Gera uma gama maior de informações

em uma variedade de formas.

Notam os autores ainda, que as cartei-

ras geradas não formam a fronteira 'eficiente· de

Markowitz, mas constituem pontos discretos no pl~ . no retorno~risco, ao fnvis de uma curva contfnua.

7.4.4 Modelo de Hertz

E~ um artigo. (7) publicado em 1968,

Hertz estende seu primeiro trabalho (6) de 1964,

s6bre si~ulação de investimentos. em computador.

- 151 -

A parte inicial e a parte central do

artigo versam sÔbre políticas de investimento. E

xamina a ·nature~a do risco nos investimentos, sua

anilise, as .F~~~cterísti~as de uma política ade­

quád~ ~e investimentos sob condiç~es de incerte­

za, e o conceito de eficiincia em termos .de rise

co e retorno. C~n~inua com a exposiçio dos resu!

tados de uma pesquisa feita sÔbre vários critê -

rios de avaliaçio de investimentos, em que con

clue que os critérios de desconto sio nitidamen~

te superiores aos de ponto ~nico.

A parte final do trabalho, entretanto,

apresenta uma sugestio bastante práti"ca quanto i

maneira de selecionar um dado ponto s5bre a f~on·

teira eficiente.

Hertz plota a fronteira eficiente em

funçio de um retorno monetário e o desvio padrio

expresso em termos de porcentagem deste' retorno

(o coeficiente de variaçio). Além da fronteira

eficiente ele plot• uma famÍlia de curvas, tais

que cada ponto de uma delas dista o mesmo n~mero

de desvios padr;es da fronteira ~ficiente. Repr~

duzimos a figura a seguir.

,... 152 -

/

...€ r

(%) ... ;:·,

~ : ;:

desvios padrões

3

2

r' rr' BAC

r 8

-'-

" ... , " ...... ....,. r. - ~

' ........... ----

...... .. _

r($)

Plotaram-se as curvas para 1,2 e 3 de~

vios padrÕes. Notamos que cada curva apresenta

um ponto de miximo retorno.

Tomando-se, por exemplo, o ponto B s~-

bre a fronteira eficiente, na mesma classe de va

riação de B", o ponto de miximo retorno s~bre a

curva de dois desvios padrÕes, temos que:

B" o

20'(rB) B - é: 2.-.rB = rB

Supondo~se que as distribuiçÕes de pr~

habilidades de retornos sejam normais, podemos·

dizer que a irea da curva à esquerda de B" é a -

proximadamente 5% da irea total, ou seja, ·a pro-

... habilidade de ocorrer um retorno menor que rB" e

de 5% (p•ra o investimento B).

153 -

Analogamente, teríamos pontos B' ·e B"' ·

correspondendo a retornos r•B e r~" , e, para o

investimento B, as probabilidade~ de qporre~em

retornos abaixo deste.s, seri.~.tn respeçtivame~te . ' . ·: ..... ' -.:··.· . . ,··.>'<'

16,6% e 0,5%. Estas probabilidades são .derivadas

da característica da curva normal, em relação ã '

área contida pelas faixas definidas pelo valor

espera~o, mais ou menos 1, 2 e 3 desvios padr~es.

Hertz argumenta que i conceitualmente

mais fácil para o investidor estabele~er suas

preferências de risco em termos da probabilidade

do investimento dar um retorno abalxo de um cer~

to limite, do que estabelecer funçdes de utilida

de para de~crever suas preferências.

Se o investidor considerar .que 5% ... e uma

probabilidade aceitáv~l, ent~o irá escolher -o po~

to B, pois qtie, este oferece o miximo r~torno pa

ra a curva de dois desvios padr~es. Para três des

vios padr;es, teríamos o ponto A, e para um des-

vio ~adrio o ponto c. Evidentemente que qualquer

probabilidade pode ser utilizada, interpolando-·

s~ seu valor atravis de uma tabela de função no~

mal~ para determinarmos em quantos desvios pa ~

dr&es (óu fraç;es deste) devemos nos basear.

- 154 -

Baumol* sugere uma tecnica semelhante

no artigo em que comenta sÔbre dominância esto -

cãstica. O conceito de dominância estocãstica

tem s~m~~hanças com a sim~laçio preconiza~a por

Hertz, pois examina a dominância entre investi -

mentos (ou carteiras), para cada ponto .da distri

buiçio de probabilidades. Uma explicaçio melhor

pode ser encontrada de forma reduzida em Francis

'(4), p. 439-41.

* William J. Baumol, "An Expected Gain-Con·fidence Limit Criterion for Portfolio Selection", Mana gement Science, Oct. 1963, p. 171 -82.

- 155 -

~ . . . i ...... : ~ ' ' { >--l""'.''

PARTE III

CONCLUSÃO

•. <I

..

156

N~ste trabalho procuramos apresentar a

decisão de investimento ~e umá formá sequencial '. ' -.,_ ~!' . . "" .. '.

e l~gica; iniciando, nos interesses da clareza,

com a situação idealizada do investimento sem ris

co, isto é, em que há certeza quanto ao resulta-

do; e passando, a seguir, ao exame do investimen

to. para o qual a decisão é tomada sob condiç~es

de incerteza, isto é, em que o resultado não se

apresenta como um valor Único, mas sim como uma

série de valores possfveis, descritos por uma dis

tribuição de probabilidades.

Na situação inicial de .certeza, concluf

mos que os critérios de seleção que desconta~am

os fluxos de caixa (VPL, TIR) eram ~uperiores, .

em razão do valor do dinheir~ no tempo. ! inte

ressante notar que em uma pesquisa práti6a, Mao

(14) determinou que, alem do TIR, o "payback" e

o ROI são utilizados com grande frequência por

empresas. Acreditamos que isto seja devido em

parte ao f a to de que o. "payb ack" tem si do cons i-

derado como indicador de lucratividade, liquidez

e risco; ao qual já fizemos restriç~es na secção

1. 3.

- 157 -

Sob condiç~es de incerteza, procuramos

conceituar o risco do 'investimento e 'mostrar co-

mo ~ •valiado e incorporado. Conclufmos que os - . ~. • .·<· i r:'" .;. · •.• ~ ··' • 1 . • ·' :--~ ;~:;_ .<: ~~~ .. · ..

metodos prob~b1l1sticos de tratamento do risco

sio inerentemente superiores a~s que procuram a-

justar somente o valor esperado para o risco. A~

creditamos que o melhor exemplo de aplicaçio de~

tas t~cnicas ~ a arvore de decisio estocistica,

apresentada por Hespos e Strassman (9), e a simu

laçio total de Hertz (6).

Vimos ainda que, sob condições de in -

certeza, ~importante considerar as interelaçÕes,

como expressas pelos fatores de correlaçio, en -

t r e o s in v e s t i me n to s ; p o i s, que , em r a z i o di s s o ,

o risco total poderi ser diminufdo; razio da di-

versificaçio. Conseqgentemente, os investimentos

devem ser avaliados conjuntamente, constituindo

carteiras de investimentos. Procuramos mostrar

as diferenças inerentes no tratamento de invest!

mentos em tftulos e em ativos, e portanto a ne-

cessidade de ada~taçio da teoria de carteiras (~

riginal de Markowitz) para o caso de ativos. Va-'

le ressaltar que o modelo de Cohen-~lton, ~or e-

xemplo,~ intertemporal (o de Markowitz ~para um

- 158 -

perÍodo). Além dos modelos apresentados, os quais

consideramos como mais repiesentativos do estado

atual de evolução, podem ser éncontrados referên

cias em Byrnes, Charnes, Cooper e tdrtariek (2) ·

sÔbre outras abordagens, como por exemplo, progr~

- -maçao linear sob incerteza, e programaçao com res

triÇÕes aleatórias.

Na anâli•e de ~arteiras de investimen-

to, deparamos com o problema da seleção de uma

carteira particular sÔbre a fronteira eficiente.

A solução clâss:lca para seleção da carteira "pr~

ferível" entre o conJunto das carteiras dominan-

tes no espaço risco-retorno, ê apresentada como

resultante da curva de indiferença do investidor,

derivada·, por sua vez, de sua função de utilida-

de. Esta abordagem depara com a dificuldade de

obtenção desta função de utilidade. Parece-nos

mais prático e direto, o "approach" sugerido por

Hertz (7), de estabélece~-se limites probabilís~

ticos de retornos mínimos. ·-

Por outro lado, conforme expoem Cohen-

Elton (3), a escolha de uma carteira sÔbr~ afro~

teira eficiente poderá nio ser a melhor decisão

de investimento. Para firmas de capital fechado,

- 159 -

a fronteira eficiente é realmente o melhor obje-

tivo. Para firmas de capital aberto, entretanto,

poderij ser preferfvel, tendo como objetivo a maxi

' - ~-... , . ' : • f'l '!' ' ,; < •• ~ ;· • •'! .. ,., - .· - ' ~.

mizaçao 4~.~~!~r~~~~~~i~~~~Pi um ponto do espaço

risco-retorno que ofereça ·risco maior do que aqu~

le da fronteira eficiente com o mesmo retorno.

Isto é possfvel tendo-se em vista o objetivo do

investidor em tftulos que procura atingir a fron-

teira eficiente do mercado. Caso algum ponto fo~

ra da fronteira eficiente da firma forneça uma

estrutura risco-retorno para a firma, tal que a

correlaçio da açio da firma com outras aç~eá do

mercado seja suficientemente baixa, entio o inves

tidor poderâ preferir a açio desta firma, e assim

elevar seu preço. Faz~se necessârib portanto, o

desen~olvimento de uma teoria generalizada de mer

cado, para poder tratar este problema dentro de

um dos modelos atualmente existentes.

~pesar de que o risco nesta disserta~

çio foi considerado· como sendo medido pela varii~

cia (ou desvio-padrio) total do investimento, tem

se suger:l,do ·frequentemente que o risco .sistemático '\J

apenas ("beta" ou b. no modelo de Sharpe) deve' ~

ser considerado, visto que o in~estidor pode se~

pre, através de diversificaçio adequada, eliminar,

- 160 -·

ou ao menos reduzir, o risco nio sistemitico, Uma

expos~ç~o interes~ante desta dicotomia pode ser

encontrada em Bower e Lessard (26). Concluem eles

que ambos sio importantes; p~t~ qti~, apesar da

justificativa da diversificaçio em favor do ris-

co sistemitico; o risco total tambim deveri ser

considerado, uma vez qu~ D risco da falincia, con

diç~es e limites d~ cridito, e outros fatores es

tio diretamente relacionado~ cóm o risco total.

Edwin J. Elton, ao comentar o artigo de Bower e

Lessard, lembra que, se a medida apropriada de

risco for o risco sistemático, basta considerar

o risco sistemitico do novo projeto para determ!

nar seu efeito sÔbre o risco da firma. Contudo,

continua, se a medida apropriada de risco for o

risco ~otal, torna-se necessirio considerar o

r i s c o do pro j e to e t am b ~m seu fato r de c o r r e 1 a .., '

- -çao com a firma, para determinar seu efeito so -

bre o risco da firma. Esta ~ltima possibilidade

foi adotada nesta monografia. Principalmente em

se tratando de investimentos em ativos, cujos e-

feitos sio geralmente fundamentais para o futuro

da firma, acreditamos que deve-se ido~ar o risco

to ta 1 como sendo a mt,di da mais apropriada.

Bower e L~3s~rd, no mesmo artigo, apr~

- 161 -

sentam ainda os resultados de uma pesquisa práti

ca,objetivandó continuar a de Mao (14). Em uma

amostra pequena de empresas, deter~inaram que o

critirio de retofdb~ci~i~ ~t!~izado era a TIR, p~ . ·, . . . . ; : . . -~ : . . ' . : . : ; .. ·: . . .. ' ~;, '· .,; .. (;.;,.· .,.... '

rim aplicado com bastante cuidado e sofisticaçio.

X coleta de dados era dedicada grand~ esforço e

usava-se inclusive computador para analisá-los,

em dóis casos fazendo-se tambim simulaçÕes segu~

do o modelo de Hertz. ConcluÍram, entretanto,

que esta massa de dados e analises não eram uti~

lizados adequadamente em função da inabilidade

dos executivos e~ traduzf~los para medidas sim ~

ples e intuitivas (como o TIR). Quanto i avalia-

ção do risco, usaram: medidas mais "conservatb·· ..

·Vas" ,.simulaç~o de Hertz, análise de sensitivida.:.

de e clas•es de risco. f opinião de Bower e Les~

sard que a aplicaçRo prática da teoria de risco

depende essencialmente, não da complexldade de

obtenção de dados e de cálculos, mas do desenvo!

vimento de medidas que possam ser mais facilmen-

te entendidas pelos homens de d~cisão e julgad~s

em um contexto compatível com sua pr6pria expe -

riência.

Finalmente, concluímos com a observa -

ção de que o tratamento do risco na decisão de .

.... 162 -

investimento, apesar dos in~meros ~rtigos recen~

temente publicados a este respeito, ainda esti ~

em franco desenvolvimento, e esperamos, com abs~

luta certez~, ó ~titgl~énto de ~ais ~-orias sSbre l ... :<· d -~· '~ . .,. '·.·.\., • \ _,.1'' •• ;'.;

. .. ~!>.;,?·'<·· o assunto. Esperamos ainda ··ór{;àpar·ecimento de uma . . .... "~ .. ..: ' '.,_

teoria unificadora, que certamente nio seri a fi

nal, mas que talvez permita uma maior, mais ela-

ra e mais ficil aplicaçio pritica desta dimensio

fundamental na anilise de investimentos.

- 163 -

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