Ênfase nos Primeiros Postulados (continuação II)

Mecânica Quântica

Evolução Temporal dos Estados

Na descrição não-relativística clássica de uma partícula sujeita ou não a forças, busca-se determinar como sua posição se modifica com o tempo.

Sua evolução temporal se ancora na segunda lei de Newton.

A responsabilidade de descrever modificações no tempo, para a partícula, recai sobre as grandezas físicas fundamentais posição e momento linear (e sobre outros observáveis) que são sempre compatíveis.

Está aí embutida a concepção de trajetória de uma partícula.

Em Física Quântica, se buscarmos uma analogia com a situação clássica, construiremos equações de movimento para os operadores associados às grandezas físicas de interesse (descrição de Heisenberg). Porém, como muitos destes observáveis não são compatíveis (inclusive posição e momento na mesma direção), embora esta abordagem seja útil para destacar certos aspectos quânticos e eventuais analogias com sistemas clássicos, nem sempre é prático trabalhar com operadores que se modificam ao longo do tempo.

Em particular, um dado operador em certo instante de tempo pode não ser compatível com o dito operador em outro instante de tempo.

Na descrição de Schrödinger, impõe-se ao estado o papel de informar sobre as modificações sofridas pelo sistema físico ao longo do tempo.

É importante destacar que ambas descrevem a mesma Física.

Vamos nos ater aqui à descrição de Schrödinger, apresentando como postulado a equação conhecida na literatura como equação de Schrödinger dependente do tempo.

É comum dizer-se que a MQ não é determinista e que só trabalha com probabilidades, argumento que muitos utilizam para invalidar a possibilidade de existência de uma lei causal para a evolução temporal dos sistemas quânticos.

A equação de Schrödinger dependente do tempo nos informa que, se conhecemos o estado do sistema quântico em um instante inicial, podemos determinar o estado do sistema em outro instante, desde que o sistema não seja submetido a observações no intervalo de evolução.

Contudo efetuada uma observação (medida) em um dado instante de tempo não será possível determinar que estado anterior no tempo caracterizava o sistema.

Para chegar à equação, Schrödinger se inspirou na equação da onda livre, em paralelo com a equação de conservação de energia de uma partícula clássica livre não relativística .

Schrödinger contudo impôs que a equação fosse válida em situações mais gerais; portanto, tal equação constitui-se em um postulado não demonstrável.

Sexto Postulado da MQ

EmMecânica Quântica, na descrição de Schrödinger, a

evolução temporal de um estado é regida pela

equação

onde é o operador hamiltoniano.

t

ttHtdt

di ˆ

tH

Já não sonho... hoje faço!.

http://x-journals.com/wp-content/uploads/2009/03/quantum-

mechanics1.jpg

Em geral, podemos dizer que o operador hamiltoniano engloba todas as interações que o sistema sofre, além de incluir o operador relacionado à energia cinética.

Mas o que é o operador hamiltoniano?

Para que o operador hamiltoniano esteja

associado à energia total do sistema, é

necessário que H seja independente do

tempo.

Schrödinger analisou inicialmente o caso mais simples não-relativístico de um objeto quântico elementar livre (ou seja, não sujeito a qualquer interação, apenas dotado de energia cinética), de massa m, em que

sendo o operador

momento linear.

mPH 2ˆˆ 2^

P

Para este sistema, Schrödinger obteve simplesmente, na representação de coordenadas espaciais,

22

2

mH

Lembrando que, em uma situação um pouco mais geral, mas ainda simples, o sistema pode estar sofrendo a ação de um potencial , teremos para a energia de uma partícula clássica de massa m e, portanto, podemos escrever para o hamiltoniano do objeto quântico, em que é o operador que representa o potencial que atua sobre o sistema.

)(rV

)rV(2mpE 2

)ˆ(ˆ2ˆˆ 2 rUmPH

)ˆ(ˆ rU

A equação de Schrödinger dependente do tempo, restrita a uma única dimensão espacial e para um potencial do tipo acima, pode ser escrita como

),( )](2

[),(2

22

txxUxm

txt

i

Podemos observar que, para soluções separáveis da equação fundamental

o formato da parte temporal da solução é sempre o mesmo, pois a equação correspondente independe de H, desde que o operador hamiltoniano seja independente do tempo.

)( )(),( tTxtx

Como a equação de Schrödinger dependente do tempo é uma equação diferencial de primeira ordem em relação ao tempo, se o estado do sistema quântico no instante for conhecido, então o estado em qualquer outro instante de tempo t1 pode ser determinado.

Como a equação de Schrödinger dependente do tempo é linear, a soma de duas soluções da mesma é também uma solução da mesma.

)( 0),0( tt

Poço duplo quadrado

http

://ww

w.h

ep

.ma

n.a

c.u

k/u

/fors

ha

w/B

ose

Ferm

i/imag

es/D

oub

le%

20W

ell_

37

.gif

As duas primeiras autofunções de energia.

http://www.hep.man.ac.uk/u/forshaw/BoseFermi/images/Double%20Well_37.gif

Evolução temporal

Superposição dos dois primeiros estados de energia

Instante inicial - Partícula localizada no lado esquerdo.

http://www.hep.man.ac.uk/u/forshaw/BoseFermi/images/Double%20Well_42.gif

http://www.hep.man.ac.uk/u/forshaw/BoseFermi/images/Double%20Well_45.gif

Superposição dos dois primeiros estados de energia

Instante intermediário.

Superposição dos dois primeiros estados de energia

Instante posterior - Partícula localizada no lado direito.

1

2

3

4

1,00,50,0-1,0 -0,5

http://www.hep.man.ac.uk/u/forshaw/BoseFermi/images/Double%20Well_42.gif

(Adaptado)

ExemploMolécula de amônia - NH3

Níveis 1 e 2 muito próximos em valor

Período de oscilação (de N à esquerda do plano dos

hidrogênios, a N à direita) – constante.

Relógio

http

://ww

w.w

ind

ow

s.u

ca

r.ed

u/p

hysic

al_

scie

nce

/ch

em

istry

/nh

3_m

ole

cu

le_

sm

.gif