-
ÁTOMO DE HIDROGÊNIO Primeiro sistema tratado quanticamente por
Schrödinger
Modelo de Bohr
Elétrons se movem ao redor do núcleo em órbitas circulares
(atração Coulombiana)
Cada órbita n possui um momento angular bem definido
Cada órbita n possui uma energia bem definida
Cada órbita possui um raio bem definido
Elétron emite radiação ao mudar, de forma descontínua, de uma
órbita estável (Ei)
para outra órbita estável (Ef)
𝐿 = 𝑛ℏ = 𝑛ℎ
2𝜋 𝑛 = 1, 2, 3, …
𝐸 = − 1
4𝜋𝜀0
𝑍𝑒2
ℏ
2𝑚
2
1
𝑛2 𝑛 = 1, 2, 3, …
𝑟 =4𝜋𝜀0ℏ
2
𝑚𝑍𝑒2𝑛2 𝑛 = 1, 2, 3, … 𝑟𝑛=1 = 0,53 Å
𝐸𝑛=1 = −13,6 eV
-
Equação de Schrödinger
Autovalores (energias E) previstos pela teoria de Schrödinger
estão em acordo com o modelo de Bohr e com os observados
experimentalmente
Prevê as autofunções , fornecendo novas informações
adicionais
Função densidade de probabilidade 2: descrições detalhadas da
estrutura do átomo, sem violar o princípio de incerteza (ao
contrário do modelo de órbitas precisas de Bohr)
Momentos angulares orbitais dos átomos (incorretamente previstos
por Bohr)
Spin do elétron e outros efeitos relativísticos no átomo
(incorretamente previstos por Bohr)
Rapidez com que o átomo transiciona de seus estados excitados
para seu estado fundamental (grandeza mensurável não prevista pelo
modelo de Bohr)
Átomo de um elétron: modelo mais simples de átomo
mais complexo que os estudados até então, pois envolve DUAS
partículas e é TRIDIMENSIONAL
𝐸 = − 1
4𝜋𝜀0
𝑍𝑒2
ℏ
2𝜇
2
1
𝑛2 𝑛 = 1, 2, 3, … 𝜇 =
𝑀𝑚
𝑀 + 𝑚 massa reduzida
-
A massa reduzida
O potencial Coulombiano
Equação de Schrödinger independente do tempo
𝜇 =𝑀𝑚
𝑀 + 𝑚 massa reduzida
𝑉 𝑟 =1
4𝜋𝜀0
𝑍𝑒2
𝑟= 𝑉 𝑟
−ℏ2
2𝜇∇2𝜓 𝑟 + 𝑉 𝑟 𝜓 𝑟 = 𝐸𝜓 𝑟
-
Coordenadas esféricas
Coordenadas cartesianas em função das esféricas
Laplaciano em coordenadas esféricas
Reescrevendo a EDO de Schrödinger independente do tempo
Separação de variáveis
𝑥 = 𝑟 sin𝜃 cos𝜙
𝑦 = 𝑟 sin𝜃 sin𝜙
𝑧 = 𝑟 cos 𝜃
−ℏ2
2𝜇
1
𝑟2𝜕
𝜕𝑟 𝑟2
𝜕𝜓 𝑟
𝜕𝑟 +
1
𝑟2 sin𝜃
𝜕
𝜕𝜃 sin𝜃
𝜕𝜓 𝑟
𝜕𝜃 +
1
𝑟2 sin2 𝜃
𝜕2𝜓 𝑟
𝜕𝜙2 = 𝐸 − 𝑉 𝑟 𝜓 𝑟
𝜓 𝑟 = R 𝑟 Θ 𝜃 Φ 𝜙 = RΘΦ
∇2=1
𝑟2𝜕
𝜕𝑟 𝑟2
𝜕
𝜕𝑟 +
1
𝑟2 sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃 sin𝜃
𝜕
𝜕𝜃 +
1
𝑟2 sin2 𝜃
𝜕2
𝜕𝜙2
-
Substituindo na equação
Multiplicando:
Lado esquerdo independe de ; lado direito só depende de . Única
solução possível
Impondo condição de contorno: continuidade da função de onda
Solução em
ΘΦ
𝑟2𝜕
𝜕𝑟 𝑟2
𝜕R
𝜕𝑟 +
RΦ
𝑟2 sin𝜃
𝜕
𝜕𝜃 sin𝜃
𝜕Θ
𝜕𝜃 +
RΘ
𝑟2 sin2 𝜃
𝜕2Φ
𝜕𝜙2=
2𝜇RΘΦ
ℏ2 𝑉 𝑟 − 𝐸
×𝑟2 sin2 𝜃
RΘΦ
sin2 𝜃
R
𝜕
𝜕𝑟 𝑟2
𝜕R
𝜕𝑟 +
sin𝜃
Θ
𝜕
𝜕𝜃 sin𝜃
𝜕Θ
𝜕𝜃 +
2𝜇𝑟2 sin2 𝜃
ℏ2 𝐸 − 𝑉 𝑟 = −
1
Φ
𝜕2Φ
𝜕𝜙2
−1
Φ
𝜕2Φ
𝜕𝜙2= cte = 𝑚𝑙
2 𝜕2Φ
𝜕𝜙2= −𝑚𝑙
2Φ Φ = 𝑒𝑖𝑚 𝑙𝜙
Φ 0 = Φ 2𝜋 1 = 𝑒𝑖𝑚 𝑙2𝜋 𝑚𝑙 = 0, 1, 2, …
Φ𝑚 𝑙 𝜙 = 𝐴𝑒𝑖𝑚 𝑙𝜙 𝑚𝑙 = 0, 1, 2, …
-
Substituindo na equação
Multiplicando:
Lado esquerdo independe de ; lado direito só depende de . Única
solução possível
Solução em
onde são os POLINÔMIOS DE LEGENDRE e dependem de l e ml
sin2 𝜃
R
𝜕
𝜕𝑟 𝑟2
𝜕R
𝜕𝑟 +
sin𝜃
Θ
𝜕
𝜕𝜃 sin𝜃
𝜕Θ
𝜕𝜃 +
2𝜇𝑟2 sin2 𝜃
ℏ2 𝐸 − 𝑉 𝑟 = 𝑚𝑙
2
×1
sin2 𝜃
1
R
𝜕
𝜕𝑟 𝑟2
𝜕R
𝜕𝑟 +
2𝜇𝑟2
ℏ2 𝐸 − 𝑉 𝑟 =
𝑚𝑙2
sin2 𝜃+
1
Θ sin𝜃
𝜕
𝜕𝜃 sin 𝜃
𝜕Θ
𝜕𝜃
𝑚𝑙2
sin2 𝜃+
1
Θ sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃 sin𝜃
𝜕Θ
𝜕𝜃 = cte = 𝑙 𝑙 + 1 𝑚𝑙
2Θ
sin2 𝜃+
1
sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃 sin𝜃
𝜕Θ
𝜕𝜃 = 𝑙 𝑙 + 1 Θ
𝑃𝑙𝑚 𝑙 cos𝜃
Θ𝑙 ,𝑚 𝑙 𝜃 = 𝐵 sin𝑚 𝑙 𝜃 . 𝑃𝑙
𝑚 𝑙 cos𝜃 𝑙 = 𝑚𝑙 , 𝑚𝑙 + 1, 𝑚𝑙 + 2, …
-
Substituindo na equação
Solução em r
onde
e são os POLINÔMIOS DE LAGUERRE e dependem de n e l
Da solução em r sai a condição para a energia:
ou, substituindo os valores:
1
R
𝜕
𝜕𝑟 𝑟2
𝜕R
𝜕𝑟 +
2𝜇𝑟2
ℏ2 𝐸 − 𝑉 𝑟 = cte = 𝑙 𝑙 + 1
1
𝑟2𝜕
𝜕𝑟 𝑟2
𝜕R
𝜕𝑟 +
2𝜇𝑅
ℏ2 𝐸 −
1
4𝜋𝜀0
𝑍𝑒2
𝑟 =
𝑅
𝑟2𝑙 𝑙 + 1
R𝑛 ,𝑙 𝑟 = 𝐶 2𝑍𝑟
𝑎0𝑛 𝑙
. 𝑒−
𝑍𝑟𝑎0𝑛 . 𝐿𝑛+1
2𝑙+1 2𝑍𝑟
𝑎0𝑛 𝑛 = 𝑙 + 1, 𝑙 + 2, 𝑙 + 3, …
𝑎0 =4𝜋𝜀0ℏ
2
𝜇𝑒2
𝐿𝑛+12𝑙+1
2𝑍𝑟
𝑎0𝑛
𝐸𝑛 = −1
4𝜋𝜀0
𝑍2𝑒2
2𝑎0
1
𝑛2= −
1
4𝜋𝜀0
𝑍𝑒2
ℏ
2𝜇
2
1
𝑛2 𝑛 = 1, 2, 3, …
𝐸1 = −13,58 eV 𝐸𝑛 = −13,581
𝑛2 eV
-
As soluções gerais da equação de Schrödinger independente do
tempo, para o átomo de hidrogênio, serão
onde A, B e C são constantes a serem encontradas pelas condições
de normalização
Números quânticos
n número quântico principal: define a energia
l número quântico azimutal: determina o momento angular orbital
do átomo
ml número quântico magnético: quando o átomo se encontrar em um
campo magnético surgirá uma dependência da energia com ml
ms número quântico de spin: introduzido com a descoberta do
spin
As condições para os números quânticos n, l e ml podem ser
reescritas como:
R𝑛 ,𝑙 𝑟 = 𝐶 2𝑍𝑟
𝑎0𝑛 𝑙
. 𝑒−
𝑍𝑟𝑎0𝑛 . 𝐿𝑛+1
2𝑙+1 2𝑍𝑟
𝑎0𝑛 𝑛 = 𝑙 + 1, 𝑙 + 2, 𝑙 + 3, …
Θ𝑙 ,𝑚 𝑙 𝜃 = 𝐵 sin𝑚 𝑙 𝜃 . 𝑃𝑙
𝑚 𝑙 cos𝜃 𝑙 = 𝑚𝑙 , 𝑚𝑙 + 1, 𝑚𝑙 + 2, …
Φ𝑚 𝑙 𝜙 = 𝐴𝑒𝑖𝑚 𝑙𝜙 𝑚𝑙 = 0, 1, 2, …
𝑛 = 1, 2, 3, …
𝑙 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1
𝑚𝑙 = −𝑙, −𝑙 + 1 , … , 0, … , 𝑙 − 1 , 𝑙
-
Degenerescência das autofunções
Para cada valor de n, l irá variar desde zero até n-1
Para cada valor de l teremos 2l+1 valores de ml
Portanto, o número possível de estados para um valor dado de n
será
Para cada valor de n teremos apenas uma energia possível
Exemplo
2𝑙 + 1
𝑛−1
𝑙=0
= 𝑛2
𝐸𝑛 = −13,581
𝑛2 eV
Para cada valor de n existe um total de n2 autofunções
degeneradas (de mesma energia En)
𝑛 = 3 𝑙 = 0, 1, 2
𝑚0 = 0
𝑚1 = −1, 0, 1
𝑚2 = −2, −1, 0, 1, 2 𝐸3 = −13,58
1
32 eV
-
Encontrando as constantes A, B e C – condição de
normalização
Resolvendo as integrais, encontramos
𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙 𝑟 = R𝑛 ,𝑙 𝑟 Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃 Φ𝑚 𝑙 𝜙
𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙∗ 𝑟 𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙 𝑟 𝑑𝑉 = 1 onde 𝑑𝑉 = 𝑟
2 sin𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜙
R𝑛 ,𝑙 𝑟 = 4 𝑛 − 𝑙 − 1 ! 𝑍3
𝑛 + 𝑙 ! 3𝑛4𝑎03 .
2𝑍𝑟
𝑎0𝑛 𝑙
. 𝑒−
𝑍𝑟𝑎0𝑛 . 𝐿𝑛+1
2𝑙+1 2𝑍𝑟
𝑎0𝑛 𝑛 = 𝑙 + 1, 𝑙 + 2, 𝑙 + 3, …
Φ𝑚 𝑙 𝜙 = 1
2𝜋𝑒𝑖𝑚 𝑙𝜙 𝑚𝑙 = 0, 1, 2, …
Θ𝑙 ,𝑚 𝑙 𝜃 = 2𝑙 + 1 𝑙 − 𝑚𝑙 !
2 𝑙 + 𝑚𝑙 !sin𝑚 𝑙 𝜃 . 𝑃𝑙
𝑚 𝑙 cos𝜃 𝑙 = 𝑚𝑙 , 𝑚𝑙 + 1, 𝑚𝑙 + 2, …
R𝑛 ,𝑙∗ 𝑟 R𝑛 ,𝑙 𝑟 𝑟
2𝑑𝑟∞
0
. Θ𝑙 ,𝑚 𝑙∗ 𝜃 Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃 sin𝜃 𝑑𝜃
𝜋
0
. Φ𝑚 𝑙∗ 𝜙 Φ𝑚 𝑙 𝜙 𝑑𝜙
2𝜋
0
= 1
-
Solução geral do átomo de Hidrogênio
AUTOFUNÇÕES
ENERGIAS
R𝑛 ,𝑙 𝑟 = 4 𝑛 − 𝑙 − 1 ! 𝑍3
𝑛 + 𝑙 ! 3𝑛4𝑎03 .
2𝑍𝑟
𝑎0𝑛 𝑙
. 𝑒−
𝑍𝑟𝑎0𝑛 . 𝐿𝑛+1
2𝑙+1 2𝑍𝑟
𝑎0𝑛 𝑛 = 𝑙 + 1, 𝑙 + 2, 𝑙 + 3, …
Φ𝑚 𝑙 𝜙 = 1
2𝜋𝑒𝑖𝑚 𝑙𝜙 𝑚𝑙 = 0, 1, 2, …
Θ𝑙 ,𝑚 𝑙 𝜃 = 2𝑙 + 1 𝑙 − 𝑚𝑙 !
2 𝑙 + 𝑚𝑙 !sin𝑚 𝑙 𝜃 . 𝑃𝑙
𝑚 𝑙 cos𝜃 𝑙 = 𝑚𝑙 , 𝑚𝑙 + 1, 𝑚𝑙 + 2, …
Ψ𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙 𝑟 , 𝑡 = 𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙 𝑟 . 𝑒−𝑖𝐸𝑛ℏ
𝑡= R𝑛 ,𝑙 𝑟 . Θ𝑙 ,𝑚 𝑙 𝜃 . Φ𝑚 𝑙 𝜙 . 𝑒
−𝑖𝐸𝑛ℏ
𝑡
𝐸𝑛 = −1
4𝜋𝜀0
𝑍2𝑒2
2𝑎0
1
𝑛2= −13,58
1
𝑛2 𝑒𝑉 𝑛 = 1, 2, 3, …
-
Notação spdf
Notação: n x estado do átomo
s (sharp) corresponde a l = 0 (ml = 0)
p (principal) corresponde a l = 1 (ml = -1; 0; 1)
d (diffuse) corresponde a l = 2 (ml = -2; -1; 0; 1; 2)
f (fundamental) corresponde a l = 3 (ml = -3; -2; -1; 0; 1; 2;
3)
g corresponde a l = 4 (ml = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4)
h corresponde a l = 5 (ml = -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4;
5)
i corresponde a l = 6 (ml = -6; -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;
4; 5; 6)
Por ex. 15P (15 elétrons): 1s, 2s, 2p, 3s, 3p
1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p3
1s2, 2s2, 2px2, 2py
2, 2pz2, 3s2, 3px
1, 3py1, 2pz
1
s, p, d, f, ...
número quântico principal
-
Alguns polinômios de Legendre
𝑃𝑙𝑚 𝑙 cos𝜃 =
sin 𝑚 𝑙 𝜃
2𝑙 𝑙!
𝑑
𝑑 cos 𝜃 𝑙+ 𝑚 𝑙
sin2𝑙 𝜃
𝑃00 cos𝜃 = 1
𝑃10 cos𝜃 = cos 𝜃
𝑃11 cos𝜃 = sin𝜃
𝑃20 cos𝜃 =
1
2 3 cos2 𝜃 − 1
𝑃21 cos𝜃 = 3 sin𝜃 cos 𝜃
𝑃22 cos𝜃 = 3 sin2 𝜃
-
Dependência angular das autofunções: os harmônicos esféricos
Alguns harmônicos esféricos:
𝑌𝑙 ,𝑚 𝑙 𝜃, 𝜙 = Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃 . Φ𝑚 𝑙 𝜙
-
Dependência radial das autofunções – as funções radiais
Algumas funções radiais:
R𝑛 ,𝑙 𝑟
-
Densidade de probabilidade
Elétron não apresenta uma órbita bem definida
Podemos calcular a posição mais provável do elétron
Analisando as componentes individualmente
Φ𝑚 𝑙∗ 𝜙 Φ𝑚 𝑙 𝜙
Θ𝑙 ,𝑚 𝑙∗ 𝜃 Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃
R𝑛 ,𝑙∗ 𝑟 R𝑛 ,𝑙 𝑟
Probabilidade de encontrar o elétron em um determinado
ângulo
Probabilidade de encontrar o elétron em um determinado
ângulo
Probabilidade de encontrar o elétron em um determinado raio
r
𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙∗ 𝑟 𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙 𝑟 = R𝑛 ,𝑙
∗ 𝑟 R𝑛 ,𝑙 𝑟 .Θ𝑙,𝑚 𝑙∗ 𝜃 Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃 .Φ𝑚 𝑙
∗ 𝜙 Φ𝑚 𝑙 𝜙 densidade de carga
𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙∗ 𝑟 𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙 𝑟 𝑑𝑉
𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙∗ 𝑟 𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙 𝑟 𝑑𝑉 = 1
Probabilidade de encontrar o elétron em um pequeno volume dv em
um determinado ponto no espaço (r,,)
Elétron (ou sua carga) está distribuída em todo o espaço
-
Interpretação da probabilidade em
A probabilidade de encontrar um elétron entre 1 e 1 + d1 é a
mesma de encontrar o elétron entre 2 e 2 + d2
Interpretação da probabilidade em
Caso especial:
A probabilidade de encontrar um elétron na posição angular (,) é
esfericamente simétrica no caso especial em que
Φ𝑚 𝑙∗ Φ𝑚 𝑙 =
1
2𝜋𝑒−𝑖𝑚 𝑙𝜙
1
2𝜋𝑒𝑖𝑚 𝑙𝜙 =
1
2𝜋
Θ0,0∗ 𝜃 Θ0,0 𝜃 = 𝑃0
0 cos𝜃 =1
2
Independe de !!!
Θ𝑙 ,𝑚 𝑙∗ Θ𝑙,𝑚 𝑙 Carrega toda a dependência angular da densidade
de probabilidade
Independe de !!!
𝑛 = 1 ; 𝑙 = 0 ; 𝑚𝑙 = 0
𝑛 = 1 ; 𝑙 = 0 ; 𝑚𝑙 = 0
-
Quantização do momento angular
Momento angular:
Em coordenadas cartesianas:
Lembrando dos operadores para p:
Substituindo, obtemos os operadores para o momento angular:
L = r ∧ p = 𝐿𝑥x + 𝐿𝑦y + 𝐿𝑧z
𝐿𝑥 = 𝑦𝑝𝑧 − 𝑧𝑝𝑦
𝐿𝑦 = 𝑧𝑝𝑥 − 𝑥𝑝𝑧
𝐿𝑧 = 𝑥𝑝𝑦 − 𝑦𝑝𝑥
𝑝𝑥 = −𝑖ℏ𝜕
𝜕𝑥
𝑝𝑦 = −𝑖ℏ𝜕
𝜕𝑦
𝑝𝑧 = −𝑖ℏ𝜕
𝜕𝑧
𝐿𝑥 ,𝑜𝑝 = −𝑖ℏ 𝑦𝜕
𝜕𝑧− 𝑧
𝜕
𝜕𝑦
𝐿𝑦 ,𝑜𝑝 = −𝑖ℏ 𝑧𝜕
𝜕𝑥− 𝑥
𝜕
𝜕𝑧
𝐿𝑧,𝑜𝑝 = −𝑖ℏ 𝑥𝜕
𝜕𝑦− 𝑦
𝜕
𝜕𝑥
-
Passando para coordenadas esféricas:
Calculando L2 :
Em coordenadas esféricas:
Portando:
𝐿𝑥 ,𝑜𝑝 = 𝑖ℏ sin 𝜙𝜕
𝜕𝜃+ cot 𝜃 cos 𝜙
𝜕
𝜕𝜙
𝐿𝑦 ,𝑜𝑝 = 𝑖ℏ − cos 𝜙𝜕
𝜕𝜃+ cot 𝜃 sin𝜙
𝜕
𝜕𝜙
𝐿𝑧,𝑜𝑝 = −𝑖ℏ𝜕
𝜕𝜙
𝐿2 = 𝐿𝑥2 + 𝐿𝑦
2 + 𝐿𝑧2
𝐿𝑜𝑝2 = −ℏ
1
sin𝜃
𝜕
𝜕𝜃 sin 𝜙
𝜕
𝜕𝜃 +
1
sin2 𝜃
𝜕2
𝜕𝜙2
𝐿𝑥 ,𝑜𝑝 = 𝑖ℏ sin 𝜙𝜕
𝜕𝜃+ cot 𝜃 cos 𝜙
𝜕
𝜕𝜙
𝐿𝑦 ,𝑜𝑝 = 𝑖ℏ − cos 𝜙𝜕
𝜕𝜃+ cot 𝜃 sin𝜙
𝜕
𝜕𝜙
𝐿𝑧,𝑜𝑝 = −𝑖ℏ𝜕
𝜕𝜙 𝐿𝑜𝑝
2 = −ℏ 1
sin𝜃
𝜕
𝜕𝜃 sin 𝜙
𝜕
𝜕𝜃 +
1
sin2 𝜃
𝜕2
𝜕𝜙2
-
Calculando o valor esperado para Lz
= 1 (condição de normalização)
COMPONENTE Lz DO MOMENTO ANGULAR É QUANTIZADA!!!
𝐿𝑧 = 𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙∗ 𝑟 𝐿𝑧,𝑜𝑝𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙 𝑟 𝑑𝑉
𝐿𝑧,𝑜𝑝𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙 𝑟 = −𝑖ℏ𝜕𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙 𝑟
𝜕𝜙= −𝑖ℏR𝑛 ,𝑙 𝑟 Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃
𝜕Φ𝑚 𝑙 𝜙
𝜕𝜙
= −𝑖ℏ𝑖𝑚𝑙R𝑛 ,𝑙 𝑟 Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃 Φ𝑚 𝑙 𝜙
= ℏ𝑚𝑙𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙 𝑟
𝐿𝑧 = ℏ𝑚𝑙 𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙∗ 𝑟 𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙 𝑟 𝑑𝑉
𝐿𝑧 = ℏ𝑚𝑙 𝐿𝑧,𝑜𝑝 = ℏ𝑚𝑙
-
Calculando o valor esperado para L2
= 1 (condição de normalização)
L2 É QUANTIZADO!!!
𝐿2 = 𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙∗ 𝑟 𝐿𝑜𝑝
2 𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙 𝑟 𝑑𝑉
= −ℏ2R𝑛 ,𝑙 𝑟 Φ𝑚 𝑙 𝜙 1
sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃 sin𝜙
𝜕Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃
𝜕𝜃 −
𝑚𝑙2Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃
sin2 𝜃
= −ℏ2R𝑛 ,𝑙 𝑟 Φ𝑚 𝑙 𝜙 𝑙 𝑙 + 1 Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃
= −ℏ2𝑙 𝑙 + 1 𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙 𝑟
𝐿2 = −ℏ2𝑙 𝑙 + 1 𝜓𝑛 ,𝑙 ,𝑚 𝑙∗ 𝑟 𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙 𝑟 𝑑𝑉
𝐿2 = −ℏ2𝑙 𝑙 + 1
𝐿𝑜𝑝2 𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙 𝑟 = −ℏ
2 1
sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃 sin𝜙
𝜕𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙 𝑟
𝜕𝜃 +
1
sin2 𝜃
𝜕2𝜓𝑛 ,𝑙,𝑚 𝑙 𝑟
𝜕𝜙2
= −ℏ R𝑛 ,𝑙 𝑟 Φ𝑚 𝑙 𝜙
sin𝜃
𝜕
𝜕𝜃 sin𝜙
𝜕Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃
𝜕𝜃 +
R𝑛 ,𝑙 𝑟 Θ𝑙,𝑚 𝑙 𝜃
sin2 𝜃
𝜕2Φ𝑚 𝑙 𝜙
𝜕𝜙2
𝐿𝑜𝑝2 = −ℏ2𝑙 𝑙 + 1
