No Coes Basic as Mathematica

Prof. Dr. Marcelo de Oliveira Passos https://sites.google.com/site/marceloolpassos

2. Noes bsicas do software Mathematica

Stephen Wolfram e os outros desenvolvedores do Mathematica afirmam que ele o mais moderno sistema de computao tcnica do mundo.

Para Stinespring (2002, p. 3): O Mathematica um software poderoso que efetua operaes matemticas desde simples clculos at a resoluo de equaes diferenciais de ordens elevadas. Ele pode criar grficos bi ou tridimensionais de funes explcitas ou implcitas, correspondncias, pontos e figuras geomtricas.

A primeira parte desta apostila fornece uma viso geral das operaes do Mathematica e dos comandos mais utilizados em Economia.

Notaes convencionais e digitao

Primeiramente, preciso diferenciar o que texto do que resultado (output). O smbolo > antecede as entradas (input) no Mathematica. Elas aparecem em negrito e alinhadas esquerda. Os resultados (output) aparecem abaixo das entradas descritas com o tipo Courier e alinhadas ao centro.

>input output

Os comandos do Mathematica, como por exemplo, o DSolve, aparecem em fonte Courier em negrito. As definies econmicas e os pacotes do Matemtica aparecem nesta apostila em fonte Times New Roman em negrito.

Os comandos de menu nesta apostila so descritos usando setas duplas ( ). Por exemplo, FormatStyle Input, um texto escrito em fonte Arial, o que significa ir para o menu Format, em seguida ir para o submenu Style e, finalmente, clicar em Input.

Existem tambm, alm dos comandos de menu, comandos de teclado e atalhos que so utilizados nesta apostila. As palavras em letras maisculas (do tipo caixa alta) e escritas em colchetes so comandos de teclado (por exemplo: [ESC]).


O sinal de acento grave, ` , um smbolo especial que usado s vezes no Mathematica. Ele no deve ser confundido com o apstrofo.

A maioria dos comandos do Mathematica usam uma seta, , para especificar opes dentro do comando. Voc pode usar -> (- seguido por >) como uma alternativa, se preferir.

O Kernel e o Front End

O kernel uma ferramenta computacional do Mathematica. O usurio fornece instrues de entrada e o kernel gera respostas na forma de nmeros, matrizes, grficos e outros resultados apropriados. A interface entre o usurio e o kernel, ou o front end, chamado tambm de notebook e tem o smbolo .nb como extensso de arquivo. A instruo de entrada digitada no notebook e ento executada pressionando [SHIFT] + [ENTER]. (O smbolo + usado para indicar que as teclas so pressionadas simultanealmente).

Voc pode perceber que o kernel registra In[1] para a entrada e Out[1] para a sada. Estes nmeros representam a ordem na qual o kernel avalia as instrues e nem sempre corresponde posio fsica da instruo dentro do notebook.

Os notebooks apresentados nesta apostila e mostrados no conjunto de arquivos apresentam passos para resolver problemas de otimizao condicionada (otimizao com restries). Para realizar estes passos, o Mathematica possui muitos comandos prprios

contidos nos pacotes. Alguns pacotes importantes para aplicaes econmicas incluem ferramentas para lgebra linear e clculo diferencial e integral. Muitos dos pacotes usados so carregados junto com a interface, enquanto outros devem ser lidos dentro do notebook tal como ser mostrado mais adiante.

Palhetas do Mathematica

A interface do menu do Mathematica possui muitas palhetas que contm smbolos

e funes. As palhetas so obtidas por meio de FilePalettes. Observe a palheta


descrita abaixo. Clicando no boto de integral definida (primeira coluna e quarta linha da palheta, contadas de cima para baixo) possvel escrever a seguinte entrada:

dl

As caixas representam expresses, variveis ou parmetros que sero inseridos pelo usurio. Os usurios tambm tm a opo de criar matrizes a partir da palheta. Nestas matrizes os pontos dos botes indicam a dimenso da matriz a ser criada.

Para preencher as clulas da matriz, clique na caixa e digite um nmero. Palhetas adicionais fornecem operaes automticas detalhadas para o usurio explorar.

Formatao de caracteres A palheta bsica de entrada (basic input

palette) obtida por meio de FilePalettes. Ela possui letras gregas, fontes especiais,

matrizes e operaes. Por exemplo, clicando em d na palheta (quarta coluna e sexta linha de cima para baixo), possvel escrever a letra grega equivalente ao delta minsculo. Mas existem usurios que preferem usar os atalhos

de teclado do Mathematica. O atalho para inserir smbolos gregos dado pela digitao


de [ESC], a correspondente letra no teclado e [ESC], novamente. Para digitar subscritos preciso digitar [CTRL] + -. Por exemplo, x1 escrito digitando x [CTRL]+ - 1. Sobrescritos so digitados por meio de [CTRL] + 6. Por exemplo, x2 escrito digitando x [CTRL] + 6 2. A tabela seguinte lista alguns caracteres convencionais utilizados em Economia. O atalho para caracteres com letras cursivas, tais

como L, dado por [ESC] scL [ESC].

Teclas de atalho Resultado

[ESC] a [ESC]

[ESC] b [ESC] [ESC]c [ESC]

[ESC]sc L [ESC]

[ESC] r [ESC] [ESC] p [ESC] pi

[ESC] d [ESC] [ESC] t [ESC]

[ESC] q [ESC]

Sintaxe e comandos bsicos

Primeiramente, dois pontos sobre a sintaxe do Mathematica devem ser mencionados.

1) O Mathematica sensvel s letras maisculas e minsculas (ou case sensitive). Todas as funes embutidas no Mathematica se iniciam com letra maiscula (tal como Integrate) e outras (tal como FindRoot) usam mais de uma letra maiscula.


2) Existem diferenas entre parnteses, colchetes e chaves. Os colchetes so usados para argumentos de funes; Sin[x] e no Sin(x). As chaves so usadas para designar listas: {1,2,3,4}. Os parnteses so usados para agrupamento: (2+6)*4 significa somar 2+6 antes e depois multiplicar a soma por 4. Assim (2+6)*4 diferente de 4*2+4*6.

Os clculos mais bsicos do Mathematica so numricos. O Mathematica entende tanto nmeros inteiros como nmeros ponto flutuantes, que so formatos de representao digital de nmeros reais, que usada nos computadores. Os pontos flutuantes so divididos numa mantissa (M) e um expoente (E). O valor representado obtido pelo produto: M 2E.

O Mathematica realiza operaes comuns com estes nmeros tais como adio, +,

subtrao, - , diviso, /, e fatoriais, !. Abaixo esto alguns exemplos. Vamos combinar

adio e multiplicao em nosso primeiro exemplo e descobrir a soluo para 50 mais 12 vezes 2. Nos exemplos a seguir, ns somamos fraes e encontramos o fatorial de 10.

>50+12*2 74

>2/4+15/5 72

>10! 3628800

Os expoentes podem ser escritos usando o sinal de ^ ou o atalho de sobrescrito do teclado. Assim, (90)2 escrito como:

>90^2 8100

ou digitando 90[CTRL]+6 2


>90^2 8100

Operaes de raiz quadrada usam a especificao comum de Sqrt[expr] e as

funes exponenciais usam Exp[expr]. Os argumentos destas funes ficam fechados em colchetes.

>Sqrt[144] 12

>Exp[6] 6

s vezes o resultado retornado pode no estar na forma desejada. Por exemplo, ns podemos preferir pedir ao Mathematica que nos mostre o resultado em termos

numricos. O comando N[expr] fornece um valor numrico aproximado como resultado.

>N[Exp[6]]

403.429

Como alternativa, ns podemos simplificar a entrada pelo uso de % que retorna o resultado do clculo anterior.

> N[%] 403.429

Este comando pode ser duplicado para se referir ao antepenltimo resultado, %% ou k vezes para se referir ao k-simo resultado prvio. Pelo fato de as linhas de entrada e de sada do Mathematica serem numeradas, fcil discernir a ordem do comando prvio.


Para especificar o nmero de dgitos que aparece no resultado deve-se usar o

comando N[expr,n], onde n se refere ao nmero de dgitos. Por exemplo, para obter uma preciso de 20 dgitos, preciso simplesmente digitar:

>N[Exp[6],20] 403.42879349273512261

possvel tambm simplificar o resultado usando o smbolo % que abrevia o resultado do clculo anterior.

>N[%] 403.429

Este comando pode ser duplicado, fazendo N[%%] por exemplo, para retornar o penltimo resultado ou repetido p vezes para retornar o p-simo n resultado anterior. As linhas de entradas (inputs) e de resultados (outputs) so numeradas e isto permite que se localize facilmente a ordem de um comando prvio.

Como escrever no Mathematica?

Escreve-se no Mathematica como em qualquer editor de textos. Mas como este um programa para textos cientficos alguns recursos especiais podero ser utilizados.

Para verificar os recursos clique em Format e experimente.

Como formatar um texto?

Coloque o cursor direita do colchete em azul que aparece no lado direito da tela. Quando o cursor mudar para o formato de uma seta, clique para selecionar. Clique no menu format e em style e escolha o tipo de formatao.


Usando o Mathematica como uma calculadora

Para calcular no Mathematica, digite a sentena ou informao a processar. Aps digitar, pressione [SHIFT] + [ENTER] no teclado normal ou [ENTER] pelo teclado numrico.

A expresso digitada aparecer com a indicao In[k]= . A resposta aparecer

com a indicao Out[k]= . Observao importante: o Mathematica utiliza, no caso de nmeros decimais,

ponto em vez de vrgula.

Exemplos com operaes bsicas para descrever o modelo de entrada e sada

>2+5+7 14

Observao: as expresses In[k] e Out[k] s estaro visveis enquanto o documento no for fechado.

Para adicionar (ou subtrair), digite os valores como numa calculadora simples. Aps terminar tecle [ENTER], utilizando o teclado numrico (ou [SHIFT] + [ENTER], usando o teclado normal).

>15.5+2.6+3.5 21.6

Outro exemplo com soma de fraes:

>1/3 + 3/2 - 1/5 4930

Para multiplicar dois ou mais nmeros, digite os fatores da multiplicao acrescentando entre eles a operao de multiplicao (tecla * do teclado numrico ou


[SHIFT] + [8]) . Aps digitar, tecle [ENTER] utilizando o teclado numrico (ou [SHIFT] + [ENTER], no teclado normal).

>0.5*20.8 10.4

Multiplicando fraes:

>2/8*1/2 18

importante notar que o smbolo de multiplicao * pode ser simplesmente substitudo pelo espao.

>1/2 3/4 38

Para dividir nmeros, digite os nmeros acrescentando entre eles a operao de diviso. Utilize para tal operao a tecla / do teclado numrico. Aps digitar, tecle [ENTER] no teclado numrico (ou, como sempre, [SHIFT]+[ENTER] no teclado normal).

>760/5 7615

Se desejar que o Mathematica fornea o resultado na forma decimal, acrescente um ponto aps o nmero do numerador. O programa gerar uma quantidade de casas padro na resposta.

>760./5 152.2


Outra maneira digitar //N (duas barras e N maisculo) aps a digitao dos nmeros

>760/5//N 152.2

Outro exemplo:

>12.5/6.3 1.98413

Para calcular a potncia de um dado nmero n de expoente k, devemos digitar o nmero n, teclar [SHIFT] + o acento circunflexo (^) e digitar o valor do expoente k. O formato fica "n ^ k".

>3^5 243

J vimos como extrair razes quadradas. Mas para obter um resultado aproximado, tambm utilizamos o recurso //N (tambm demonstrado anteriormente).

>Sqrt [3] !!!!3

>Sqrt [3]//N 1.73205

Para controlar a preciso utilize o formato N[Sqrt[n], k] onde n o nmero considerado e k o nmero de dgitos.

Por exemplo, extrair a raiz quadrada de 3 com 100 dgitos.

>N [Sqrt [2], 100] 1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176

679737990732478462107038850387534327641573


Voc pode observar o sinal no final da linha. Ele significa que nmero continua na linha seguinte.

Smbolos e operaes pr-definidas

A verso 5.1 do Mathematica possui vrias palhetas com smbolos e operaes pr-definidas. Para acessar estas palhetas, clique em FilePalettes ("File" e em seguida em "Palettes"). Para inserir esses smbolos ou operaes a partir das palhetas no documento basta clicar no smbolo ou operao que deseja e ele ser automaticamente inserido no texto.

Constantes pr-definidas

O Mathematica possui algumas constantes que so de uso geral. Seguem abaixo algumas delas:

Pi = p = 3,141592...

e = constante neperiana (valor aproximado: e = 2,71828...) Degree = Fator de converso de graus para radianos (Degree = p / 180) I = Unidade imaginria dos nmeros complexos.

Infinity = Infinito.

Vamos calcular o valor aproximado para o seno de 60 graus.

>Sin [60 Degree] // N 0.866025

Outro exemplo: obter o nmero Pi com 100 dgitos

>N [Pi, 100] 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974

944592307816406286208998628034825342117068

Para fazer operaes com nmeros complexos preciso primeiro saber como


digitar um nmero complexo. Para digit-lo, devemos utilizar o formato: x + y * I. Exemplo: vamos fazer uma operao de adio e subtrao com nmeros complexos: (2 + 3i) - (1 + 2i)

>(2+3*I)-(2*I) 2+

Segundo exemplo: efetuar a diviso de (3 + 4i ) por (2 - 3i)

>(3 + 4*I )/(2 3*I)

613

+1713

Terceiro exemplo: calculando razes de nmeros negativos. Extrair a raiz cbica de -9.

>Sqrt [-9] 3

Nmeros complexos alguns valores pr-definidos:

Re[z]: parte real do complexo Im[z] : parte imaginria do complexo Abs[z]: mdulo do complexo Arg[z]: argumento Conjugate[z]: conjugado

Exemplos:

>Conjugate[3+4*I] 3-4


>Abs[3+4*I] 5

>Arg[3+4*I]

ArcTanB 43F

Expressando o resultado acima em radianos:

>Arg[3+4*I]//N 0.927295

Comandos para operar com nmeros primos e compostos

Para fazer operaes com nmeros primos e compostos, utilizam-se os seguintes

comandos:

Prime[n]: fornece o n-simo nmero primo PrimePi[n]: retorna a quantidade de primos menores ou iguais a n PrimeQ[n]: confirma ou no se o numero n primo, informando True or False. Divisors[n]: apresena a lista de divisores do nmero n n!: calcula o valor de n fatorial

Mod[n, m]: determina o resto da diviso de n por m

Primeiro exemplo: como determinar o trigsimo nmero primo?

>Prime[30] 113

Segundo exemplo: como saber a quantidade de nmeros primos menores ou iguais a 90?


>PrimePi[90] 24

Terceiro exemplo: como verificar se 437 um nmero primo?

>PrimeQ[437] False

Como 437 no um nmero primo, determinar os seus divisores:

>Divisors[437] {1,19,23,437}

Para achar o resto da diviso de 437 por 22:

>Mod [437, 22] 19

Funes embutidas no Mathematica

Existem mais de mil funes embutidas no Mathematica. Todas elas possuem uma mesma caracterstica: seus nomes comeam com letras maisculas e seus argumentos se

encontram dentro de colchetes.

>Log[2,8] 3

As funes podem ser encaixadas ou colocadas umas dentro das outras. Voc pode usar I ou para representar . (REVER ESTA PARTE DO TEXTO)

Para inserir i, digite [ESC]ii[ESC], onde [ESC] a tecla ESCAPE.


Exemplo:

> Cos[ArcSin[I x]] "####### ####1+ x2

Praticamente todas as funes e comandos possuem nomes que devem ser soletrados de forma completa. A constante p representada pelo smbolo j presente no sistema denominado Pi. Voc pode tambm inserir esta constante como p digitando [ESC]p[ESC].

> IntegerPart[Pi^2] 9

A potncia colocada aps os argumentos da funo e no antes. Assim, o primeiro termo aqui est correto, mas o segundo no.

> Sin[Pi/4]^3 + Sin^3[Pi/4] 1

2!!!!2+Sin3A

4 E

Operaes numricas com qualquer preciso

O Mathematica fornece resultados exatos para clculos computados, no importando o nmero de dgitos necessrios para o nvel de preciso desejado. O smbolo indica a continuao na prxima linha.

>125! 188267717688892609974376770249160085759540364871492425887598231508353156331613598866882932889495923133646405445930057740630161919341380597818883457558547055524326375565007131770880000000000000000000000000000000


Voc pode usar N para obter um resultado numrico aproximado. Basta relembrar que o sinal % recupera o ltimo resultado.

>N[%] 1.8826810209

Voc pode usar E ou para representar a constante exponencial e. Para inserir , digite [ESC]ee[ESC].

>N[E] 2.71828

Voc pode especificar quantos dgitos voc deseja que o resultado de um clculo apresente. Abaixo, est o valor de e para 60 dgitos.

>N[E,60] 2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966

97

Fazendo clculos interativos usando notebooks1

O usurio interage com o Mathematica por meio de documentos chamados notebooks. Esta apostila um exemplo de um notebook. Notebooks podem assumir vrias formas. Mas tipicamente eles so representados por clulas que podem conter textos, clculos ou grficos.

As clulas so indicadas por colchetes no lado direito. Esta clula uma clula de texto. Quando inserimos (input) alguma informao no Mathematica fazemos isto por meio de clulas de entrada (input cells).

Para criar uma nova clula de entrada (input cell) clique fora de uma clula existente e comece a digitar o texto que voc desejar. Quando voc tiver terminado,

1 possvel mudar o exemplos que sero apresentados a seguir e testar os resultados no Mathematica.

Quando estas mudanas so feitas, elas no so salvas automaticamente, a no ser que se use o comando Save As, no menu de arquivos.


aperte conjuntamente as teclas [SHIFT] e [ENTER]. O Mathematica analisa suas informaes de entrada (inputs) e pe o resultado em uma clula de sada imediatamente embaixo.

Exemplo de um clculo simples: seu cursor pode estar em qualquer lugar na clula de entrada (input cell) quando voc pressionar [SHIFT]+[ENTER]. As labels In[n]:= e Out[n]= so adicionadas automaticamente.

>15+30 45

Voc pode editar uma entrada j existente e digitar [SHIFT]+[ENTER] para modific-la. O novo resultado recoloca o antigo na clula de sada.

>160/4 40

Para prosseguir e mudar alguns dos nmeros na clula de entrada acima, basta digitar [SHIFT]+[ENTER] para refazer o clculo.

Ampliando o Mathematica por meio da adio de pacotes

Muitos pacotes escritos na linguagem do Mathematica esto disponveis. Os pacotes-padro j esto includos no prprio software.

A funo Needs diz ao Mathematica que ele precisa carregar um pacote especifico se ele ainda no fez isto. Para digitar nomes de pacotes voc tem que descobrir o character de acento de crase (`) no seu teclado. Repare que este caracter no o mesmo do apstrofo ().

> Needs["Graphics`Polyhedra`"]

Agora voc pode usar funes do pacote tal como elas fossem funes pr-embutidas no Mathematica.


> Show[Polyhedron[GreatStellatedDodecahedron]]

Carregando pacotes antes de usar suas funes

Usando o input abaixo possvel introduzir um objeto chamado SpeedOfLight.

> Mass SpeedOfLight^2

MassSpeedOfLight2

O pacote de constantes fsicas padronizadas do Mathematica define o seu prprio objeto SpeedOfLight. O Mathematica o adverte sobre isto, mas no possvel substituir a verso que voc j introduziu.

> Needs["Miscellaneous`PhysicalConstants`"] SpeedOfLight::shdw: Symbol SpeedOfLight appears in multiple contexts {Miscellaneous`PhysicalConstants`,Global`}; definitions in context Miscellaneous`PhysicalConstants` may shadow or be shadowed by other definitions.


A funo abaixo remove sua verso do SpeedOfLight, de tal modo que o Mathematica fique somente com a verso original (do prprio software ou pacote).

>Remove[SpeedOfLight]

Agora quando voc digitar SpeedOfLight, o Mathematica sabe que voc se refere verso do prprio software.

> Mass SpeedOfLight^2

89875517873681764MassMeter2

Second2

Sumrio com as notaes importantes do Mathematica

Todas as funes embutidas no Mathematica comeam com letra maiscula.

Abs[-22]

Use [ ] para agrupar os argumentos da funo. Mod[7,3] Use { } para agrupar uma lista de elementos. {2,4,6,8,10} Use ( ) para indicar agrupamento de termos. a/(b c) expr/.xy significa em expr, substitua x por y. y^3/.y2

Use = para atribuir um valor a uma varivel. I=30

Use == para expressar igualdade. Solve[p^3==8,p] Use :=para definir uma funo. F[x_]:=x^4 Use x_ para indicar uma expresso arbitrria chamada de x. F[x_]:=x^4

REFERNCIAS


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3. KENDRICK, D. A.; MERCADO, P.R. & AMMAN, H. (2005). Computational Economics. Princeton University Press.

4. MIRANDA, M. J. (2002). Applied Computational Economics and Finance. Massachussets: The MIT Press.

5. STINESPRING, J.R. (2002). Mathematica for Microeconomics: Learning by Example. Academic Press/Harcourt Inc.: San Diego, California.

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