Notas Aula Sinais (1)

7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)

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NP 007 - SINAIS E SISTEMAS



2

Nota de Aula – I – SINAIS E SISTEMAS

1. Introdução

Esta seção tem o objetivo de mostrar ao aluno, conceitos necessários para o

tratamento com Séries de Fourier e Integrais de Fourier e Laplace.

Nas próximas notas de aula começaremos a análise da série de da transformada

de Fourier.

2. Sinais

2.1 Sistema de Comunicação

Um sistema básico de comunicação é composto por transmissor, canal e

receptor, conforme mostra a figura a seguir:

Estação Trasnmissora Estação Receptora

CANAL

Figura 1 – Sistema de Comunicação

Este tipo de transmissão pode ser modelado matematicamente como:

x(t) y(t)

Y(f)X(f) Y(f)=X(f).H(f)

y(t)=x(t)*h(t)

Figura 2 – Representação de um sistema

O sistema acima permite esclarecer em grande parte o motivo de realizaremos a

análise de Fourier e Laplace.



3

A entrada sofrerá uma convolução no tempo com a resposta impulsiva do

sistema e produzirá uma saída como forma original alterada.

Na análise em freqüência ocorrerá uma multiplicação entre a entrada e a função

de transferência do sistema.

2.2 Classificação

a) Sinais contínuos e sinais discretos

Um determinado sinal x(t) é um sinal de tempo contínuo se ele for definido para

todo tempo t. A figura a seguir representa um sinal de tempo contínuo cuja amplitude ou

valor varia continuamente com o tempo.

0

x(t)

t

Figura 3 – Sinal de tempo Contínuo

Por outro lado, um sinal de tempo discreto freqüentemente é derivado de um

sinal de tempo contínuo fazendo-se uma amostragem do mesmo a uma taxa uniforme.

Digamos que T represente o período de amostragem e n represente um número quepossa assumir valores positivos e negativos. A amostragem de um sinal de tempo

contínuo x(t) no instante t = nΤ produz uma amostra de valor x(nΤ ). Pôr conveniência

de representação, escrevemos:

x[n] = x(nT), n = .......,-2,1,0,1,2,........

A figura a seguir detalha um sinal discreto.

x[n]

n

Figura 4 – Sinal de tempo discreto



4

b) Sinais pares e ímpares

Par - x(-t) = x(t) , para todo t

Ímpar - x(-t) = -x(t) , para todo t

c) Sinais periódicos e não periódicos

Periódico - x(t) = x(t+T) , para todo t

Aperiódico- qualquer sinal x(t) para o qual não haja nenhum valor de T para

satisfazer a condição da equação acima.

A figura abaixo mostra: a) sinal periódico, b) sinal não periódico

x(t)

t

-1 0

T

A

x(t)

0

T1

A

t

(a) (b)

Figura 5 - Onda quadrada com amplitude A, período T. Pulso retangular de

amplitude A e duração T1.

d) Sinais determinísticos e aleatóriosUm sinal determinístico é um sinal sobre o qual não existe nenhuma incerteza

com respeito a seu valor em qualquer tempo. Consequentemente, consideramos que os

sinais determinísticos podem ser modelados como funções de tempo completamente

especificadas.

Um sinal aleatório é um sinal sobre o qual há incerteza antes de sua ocorrência

real. Este tipo de sinal pode ser visto como pertencente a um grupo de sinais tendo cada

sinal do conjunto uma forma de onda diferente. O conjunto de cada sinal dentro do

conjunto tem certa probabilidade de ocorrência. O conjunto desses sinais é chamadoprocesso aleatório. O ruído gerado no amplificador de um receptor de rádio ou televisão

é um exemplo de sinal aleatório.



5

e) Sinais de energia e sinais de potência

( ) ( )∞

∞−−∞→

== dt t xdt t xE T

T T

22 /

2 /

2lim

( ) ( )−−

∞→==

2 /

2 /

22 /

2 /

2 11limT

T

T

T T

dt t xT

dt t xT

P

Um sinal é chamado de sinal de energia se e somente se a energia total do

sinal satisfizer a condição:

∞<< E 0

Um sinal é chamado de sinal de potência se e somente se a potência média do

sinal satisfizer a seguinte condição:

∞<< P0

As classificações de energia e potência de sinais são mutuamente exclusivas. Em

especial, um sinal de energia tem potência média zero, enquanto que um sinal de

potência tem energia infinita. É interessante observar também que sinais periódicos e

sinais aleatórios normalmente são vistos como sinais de potência, enquanto que os

sinais que são tanto determinísticos como não periódicos são sinais de energia.

2.3 Operações básicas em Sinais

a) Operação executadas na variáveis dependentes

1- Mudança de escala de amplitude : Se x(t) representa um sinal de tempo

contínuo, o sinal y(t) resultante da mudança de escala da amplitude aplicada a x(t) é

definida por:

( ) ( )t cxt y =

Em que c é o fator de mudança de escala. Um exemplo físico de um dispositivo

que executa mudança de escala de amplitude é um amplificador eletrônico.

2 - Adição : Digamos que ( ) ( )t xet x 21 representem um par de sinais de tempo

contínuo. O sinal ( )t y obtido pela adição de ( ) ( )t xet x 21 é definido por:

( ) ( ) ( )t xt xt y 21 +=

Um exemplo físico de dispositivo que adiciona sinais é o misturador de áudio, o

qual combina sinais de música e de voz.



6

3 - Multiplicação : Digamos que ( ) ( )t xet x 21 representem um par de sinais de

tempo contínuo. O sinal ( )t y resultante da multiplicação de ( ) ( )t xet x 21 é definido por:

( ) ( ) ( )t xt xt y 21 .=

Ou seja para cada tempo t prescrito, o valor de y(t) é dado pelo produto dos

valores correspondentes de ( ) ( )t xet x 21 . Um exemplo físico de y(t) é um sinal de rádio

AM, no qual ( )t x1 consiste de um sinal de rádio mais um componente dc(direct current

– corrente contínua), ( )t x2 consiste em um sinal senoidal chamado onda portadora.

4 - Diferenciação : Se ( )t x representa um sinal de tempo contínuo, a derivada de

( )t x com respeito ao tempo é definida por:

( ) ( )t xdt

d

t y =

Como exemplo, temos um indutor que realiza diferenciação. Digamos que i(t)

denote uma corrente que flui através de um indutor de indutância L, como mostra a

figura 6. A tensão v(t) desenvolvida no indutor é definida por:

( ) ( )t idt

d Lt v =

i(t)

v(t)

+

-

L

Figura 6 – Indutor com a tensão v(t) em seus terminais induzindo a corrente i(t).

5 - Integração – Digamos que x(t) denote um sinal de tempo contínuo. A integral

de x(t) com respeito ao tempo t é definida por:

( ) ( ) τ τ d xt y

t

∞−=

Em que τ é a variável de integração. Por exemplo, um capacitor realiza

integração. Digamos que i(t) denote a corrente que flui através de um capacitor de

capacitância C , como mostra a figura 7. A tensão v(t) desenvolvida através do capacitor

é definida por:



7

( ) ( ) τ τ d iC

t v

t

∞−

=1

i(t)

v(t)

+

-

C

Figura 7 - Capacitor com corrente i(t) induzindo a tensão v(t) em seus terminais.

b) Operação realizadas na variável independente

1 - Mudança de escala de tempo : Digamos que x(t) represente um sinal de

tempo contínuo. O sinal y(t) obtido pela mudança de escala da variável independente,

tempo t por um fator α, é definido por :

( ) ( )t xt y α =

Se α>1, o sinal y(t) é uma versão comprimida de x(t). Se, por outro lado,

0<α<1, ο sinal y(t) é uma versão expandida (estendida) de x(t). Estas duas operações

são ilustradas na figura 8.

1

1-1 0 t

1

0 t

1

2 -2 0 t

2

1−

2

1

)2

1()( t xt y =)2()( t xt y =)(t x

(a) (b) (c)

Figura 8 - Operação de mudança de escala de tempo: (a) sinal de tempo contínuo x(t),

(b) versão comprimida de x(t) por um fator de 2, e (c) versão expandida de x(t) por um

fator de 2.

2 - Reflexão : Digamos que x(t) represente um sinal de tempo contínuo. Se y(t)

representa o sinal observado substituindo-se o tempo t por –t , como é mostrado por:

( ) )( t xt y −=

O sinal y(t) representa uma versão refletida de x(t) em relação ao eixo de

amplitude. O dois casos a seguir são de especial interesse:



8

a) Sinais pares, para os quais temos x(-t) = x(t) para todo tempo t; ou seja, um

sinal par é o mesmo que sua versão refletida.

b) Sinais ímpares, para os quais temos x(-t) = -x(t) para todo tempo t; ou seja,

um sinal ímpar é o negativo de sua versão refletida.

3 - Deslocamento no tempo : Digamos que x(t) represente um sinal de tempo

contínuo. A versão de x(t) deslocado no tempo é definido por:

( ) )( 0t t xt y −=

Em que 0t é o deslocamento de tempo. Se 0t >0, a forma de onda que representa

x(t) é deslocada para a direita(atrasada), em relação ao eixo de tempo. Se 0t <0, ela é

deslocada para a esquerda(adiantada).

4 – Regra de procedência para deslocamento no tempo e mudança de escala de

tempo.

Digamos que y(t) represente um sinal de tempo contínuo que é derivado de outro

sinal de tempo contínuo x(t) através de uma combinação de deslocamento no tempo e

mudança de escala de tempo, como descrevemos aqui:

( ) )( bat xt y −=

Esta relação entre y(t) e x(t) satisfaz as seguintes condições:

( ) )(0 b x y −=

)0( xa

b y =

As quais permitem verificações úteis em y(t) em termos de valores

correspondentes de x(t). Devemos assim estabelecer uma ordem correta para realizar

estas operações. A ordem apropriada baseia-se no fato de que a operação de mudança

de escala sempre substitui t por α t, enquanto a operação de deslocamento no tempo

sempre substitui t por t-b. Deste modo, a operação de deslocamento no tempo é

executada primeiro em x(t), resultando em um sinal intermediário v(t) definido por:

( ) )( bt xt v −=

O deslocamento no tempo substituiu t em x(t) por t-b. Em seguida, a operação de

mudança de escala de tempo é executada em v(t). Esta substitui t por α t , resultando na

saída desejada



9

( ) ( )

( ) ( )bt xt y

t vt y

−=

=

α

α

Um exemplo prático é um sinal de voz registrado num gravador de fita

magnética. Se a fita for executada numa velocidade mais rápida do que a velocidade de

gravação original, obteremos uma compressão (isto é α>1). Se, por outro lado, a fita for

executada numa velocidade mais lenta do que a velocidade original, obteremos uma

expansão(isto é α<1). A constante b, supostamente positiva, é responsável por um

retardo na execução da fita.

Exemplo:

Considere um pulso retangular x(t) de amplitude unitária e duração 2 unidades

de tempo descrito na figura 9(a). Esboce y(t) = x(2t+3).

x(t)

0

1

t

(a)

v(t)=x(t+3)

0

1

t

(b)

y(t)=v(2t)

0

1

t

(c)-1 1 -3-4 -2 -1 -2-3 -1

Figura 9 - A ordem apropriada na qual as operações de escala de tempo e deslocamento

no tempo devem ser aplicadas. (a) Pulso retangular x(t)de amplitude 1 e duração 2,

simétrico em relação à origem. (b) Pulso intermediário v(t), representando uma versãode x(t) deslocado no tempo. (c) Sinal desejado y(t), resultante da compressão de v(t) por

um fator de 2.

2.4 –Sinais Elementares

a) Sinais Exponenciais

Um sinal exponencial em sua forma mais geral pode ser expresso como:

( ) at e Bt x .=

Em que tanto B como a são parâmetros reais. O parâmetro B é a amplitude dosinal exponencial medido no instante t=0. Dependendo de se o outro parâmetro “a” é

positivo ou negativo, podemos identificar dois casos especiais:

• Exponencial decrescente, para a qual a>0.

• Exponencial crescente, para qual a<0.

Estas duas formas de onda exponencial são ilustradas na figura 10.



10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

1

1.52

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x(t)

tempo t(s)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 15

10

15

20

25

30

35

40

x(t)

tempo t(s)

(a) (b)

Figura 10 - (a)Forma exponencial crescente de sinal de tempo contínuo. (b)Forma

exponencial decrescente de sinal de tempo contínuo.

b) Sinal Senoidal Exponencialmente AmortecidoA multiplicação de um sinal senoidal por um sinal exponencial decrescente de

valor real resulta em um novo sinal, denominado sinal senoidal exponencial amortecido.

Especialmente multiplicar o sinal exponencial de tempo contínuo )sen( φ +wt A pelo

exponencial t e α − resulta no sinal senoidal exponencial amortecido:

( ) 0),sen( >+=− α φ α wt Aet x t

A figura 11 mostra a forma de onda do sinal do sinal correspondente a A=60,

06 == φ e . Para o tempo crescente t , a amplitude da oscilação senoidal decrescente

de maneira exponencial, aproximando-se de zero no tempo infinito.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

Figura 11 – Sinal senoidal exponencialmente amortecido )sen(wt e t α , com 0>α .

Os demais tipos de sinais serão tratados nos próximas capítulos.



11

3. Funções Singulares

3.1 Função Degrau

( ) ( )t uout U 1−

( ) (a)aDescontínu0,1

0,01 →=

>

<=− ot

t

t t U

( ) (b)aDescontínu,1

,01 →=

>

<=−− at

at

at at U

( ) (c)aDescontínu,

,0* 1 →=

>

<=−− at

at A

at at U A

U-1(t)

t

U-1(t-a)

a

1

t

A*U-1(t-a)

a

A

t

1

(a) (b) (c)

Figura 12 – Função degrau

3.2 Função Rampa

( ) ( )t r out U 2−

( ) ( ) (a)0,

0,012 t U t

t t

t t U −− =

≥

≤=

( ) ( ) ( ) (b),

,012 at U at

at at

at at U −−=

≥−

≤=− −−

U-2(t)

t

U-2(t-a)

a

1

t(a) (b)

0 0

Figura 13 – Função Rampa



12

3.3 Função Parábola

( ) ( )t sout U 3

( ) ( ) (a)20,

2

0,0

1

2

23 t U t

t t

t

t U −− =

≥

≤

=

( ) ( )( )

( ) (b)2,

2

,0

1

2

23 at U

at

at at

at

at U −−

=

≥−

≤

=− −−

U-3(t)

t

U-3(t-a)

a

1

t(a) (b)

0 0

Figura 14 - Função parábola

3.4 Função Impulso Unitário

( ) ( )t out U δ 0

( ) ( ) ( ) 0,0000

lim ≠==→

t t U t U t pa

( )∞

∞−

= 10 dt t U

1/a

a 0

p(t)

t 0

U o (t)

t

Figura 15 - Função impulso



13

3.5 Diagrama Representativo das Funções Singulares

U-1(t)U-2(t)

-2

U-3(t)

-3 0

U o (t)

1 2

U N (t)

n -1

U 1(t) U 2 (t)

( )t δ ( )t 'δ ( )t ''δ ( )t u( )t r ( )t s

Figura 16 – Funções Singulares

3.6 Decomposição em Funções Singulares

Seja a seguinte função f(t):

1

4320 51

-1

f(t)

t

1

4320 51

-1

f ' (t)

t

1

4

32

0

51

- 1

f '' (t)

t

2U 0 (t-4)

-U 0 (t-5)-U 0 (t-2)-U 0 (t-1)

U 0 (t)

Figura 17 – Decomposição em funções singulares

Após derivarmos a função f(t), o segundo passo é integrar o mesmo no de vezes

que derivamos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5040220100''

−−−+−−−−= t U t U t U t U t U t f , logo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5242222122 −−−−−+−−−−−−−= t U t U t U t U t U t f

realizando a síntese da função, teremos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5242222122 −−−−−+−−−−−−−= t U t U t U t U t U t f



14

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )51541422121111 −−−−−−−+−−−−−−−−−= t U t t U t t U t t U t t tU t f

( )

≥

≤≤−

≤≤+−

≤≤

≤≤

≤

=

5,0

54,542,3

21,1

10,

0,0

t

t t t t

t

t t

t

t f

___________________________________________________________

Prg – MatLab para geração de uma função impulso e uma função degrau, com

possibilidade de deslocamento no tempo.

Programa - Matlab

Função Degrau

function [x,n] = degrau(n0,n1,n2) % Gera x(n) = degrau(n-n0); n1 <= n,n0 <= n2

% [x,n] = degrau(n0,n1,n2)

if ((shift < n1)|(shift > n2)|(n1 > n2)) error('Use n1<=n0<=n2')

end

n = ([n1:n2]);

x = ([(n-shift) >= 0]);

axes('position',[0.05 0.05 0.6 0.4]);

plot(n,x); grid on; xlabel('n');ylabel('degrau unitario');

title('degrau unitario deslocado no tempo')

Função Impulso

function [x,n] = impseq(shift,n1,n2)

% Gera x(n) = delta(n-n0); n1 <= n,n0 <= n2

% [x,n] = impulso(n0,n1,n2)

if ((shift< n1)|(shift > n2)|(n1 > n2)) error('Use n1<=n0<=n2')

end

n =([(n1):(n2)]),

x =([(n-(shift)) == 0]),

axes('position',[0.05 0.57 0.6 0.4])

stem(n,x); grid on; xlabel('n');ylabel('impulso unitario');

title('impuso unitario deslocado no tempo')

__________________________________________________________



15

4. Números complexos

4.1.1. - Introdução

Esta seção é uma breve revisão sobre números complexos, fundamental para o

entendimento da análise de Fourier e Laplace:

• A análise de Fourier : sinal composto de parte real (R) e parte imaginária (I).

• Resumem equações usadas em DSP, e habilitam técnicas que seriam difíceis

ou impossíveis somente com números reais.

• Neste tópico será utilizado a matemática de números complexos e os modos

elementares de utilização na ciência e engenharia.

• Posteriormente será discutido técnicas baseadas nos números complexos

como : Transformada complexa de Fourier e Transformada de Laplace.

• Um propriedade importante é que os números complexos e representam, e

manipulam duas variáveis como uma quantidade única, representado por

duas partes.

NÚMERO COMPLEXO

PARTE REAL + PARTE IMAGINÁRIA

• Números complexos Originam um plano de duas dimensões chamado

plano complexo

• j=−1

1j2j3j4j5j

6j

-6j-5j-4j-3j-2j-1j

Imaginário

Real1 2 3 4 5 6

-5 -4-3 -2 -1-6

A

B

C

III

III IV

2+j6

-4-j2

3-j5

Figura 18 – Plano complexo



16

• Utilizando os seguintes operadores: Re(.) e Im(.) obtém-se uma separação do

número complexo em parte real e imaginária respectivamente.

5Im,3Re

2Im,4Re

6Im,2Re

−==

−=−=

==

C C

B B

A A

• O operador Im(.) não inclui o j: Im(2+j6) é igual a 6 , e não j6 .

• Uma das finalidades dos números complexos é meramente providenciar um

modo formalizado de guardar duas componentes num único vetor.

4.1.2. - Propriedades

• Adição

( ) ( ) ( ) ( )d b jca jd c jba +++=+++

• Subtração

( ) ( ) ( ) ( )d b jca jd c jba −+−=+−+

• Multiplicação

( )( ) ( ) ( )ad bc jbd ac jd c jba ++−=++ .

• Divisão

( )( )

+

−+

+

+=

+

+2222 d c

ad bc j

d c

bd ac

jd c

jba

As próximas propriedades são derivadas pela “quebra” de cada uma das

variáveis dentro de partes reais e imaginárias. Trabalhando com álgebra obtemos:

• Comutativa

BA AB =

• Associativa

( ) ( )C B AC B A ++=++



17

• Distributiva

( ) AC ABC B A +=+

4.1.3. - Manipulação

• 1) 1,,1,1 432=−=−==− j j j j j

• 2) Eliminando o termo do denominador de uma fração.

• É realizado pela multiplicação do numerador e denominador pelo termo

chamado complexo conjugado.

• Complexo conjugado é o nome geral dado quando comutamos o sinal da

parte imaginária do número complexo.

Exemplo:

jba Z jba Z −=+=*

θ θ j j er jba Z er jba Z −=−==+=

*

• O produto de um número complexo por seu conjugado é sempre um número

real.

4.1.4. - Representação

• Notação : - Retangular

- Polar

4.1.4.1. – Retangular

( ) ( ) Z j Z jba Z ImRe +=+=

4.1.4.2. – Polar

( )( )( )

=

+=

∠=

Z

Z arctg

Z Z M

M Z

ReIm

)Im(Re22

θ

θ

• Magnitude Comprimento do vetor começando na origem e terminando no

ponto complexo.

• Angulo de fase Medida entre este vetor e o eixo real positivo.



18

4.1.5.- Conversão Retangular ⇔ Polar

A figura a seguir mostra um diagrama no plano complexo com todas as

variáveis.

Imaginário

Real

Z b

a

M ( )θ sen M

( )θ cos M

θ

Figura 19 – Plano Z

Retangular Polar

0

22

θ

θ

∠

=+=

M

a

barctgba M

Polar Retangular

( ) ( )

jba

M b M a

+

== θ θ sen.cos.

Assim a mudança do número complexo da forma ( ) ( )ZImeZRepara e θ M ,

ficará:

( ) ( )

( ) ( )θ

θ

senIm

cosRe

M Z

M Z

=

=

Na forma retangular a informação é carregada nas variáveis: a e b, mas a

propriedade do número complexo é a expressão inteira: a + jb.

Na forma polar a informação esta contida em : M e θ . A pergunta é: Qual a

expressão útil para o número complexo:( ) ( )( )θ θ sencos j M jba +=+

A equação chave na utilização de números complexos em engenharia é a relação

de Euler .

( ) ( ) x j xe jx sencos +=



19

Reescrevendo ( ) ( )( )θ θ sencos j M jba +=+ usando Euler, resulta no mais útil

modo de expressar um número na notação polar, denominado exponencial complexa.

θ je M jba =+

Ou( ) ( )( )θ θ θ θ sencos j M M e M jba j

+=∠==+

Números complexos nesta forma são utilizados na matemática para modelar

sistemas em comunicações.

Uma das razões da utilização desta forma exponencial, é o fato de ser muito

simples de multiplicar e dividir números complexos.

• Multiplicação

( )21212121

θ θ θ θ +=⋅

j j j e M M e M e M

• Divisão

( )21

2

1

2

1

2

1 θ θ

θ

θ −

=

j j

j

e M

M

e M

e M

Para a Adição e subtração é mais conveniente convertermos para a forma

retangular, realizando as operações necessárias, e depois reconverter para a forma polar.

4.1.6. - Identidades Importantes

2*. M Z Z =

( ) ( ) j

Z Z Z

Z Z Z

2Im

2Re

**−

=+

=

( )2

cosθ θ

θ j j ee −+=

( ) j

ee j j

2sen

θ θ

θ −

−=



20

( ) ( )( ) y j yee x Z sencos. +=

4.1.7. - Representação Complexa de Senóides

Em eletrônica e processamento de sinais, os números complexos são muito

importantes porque eles são um modo compacto para representar e manipular a mais útil

de todas as formas de onda: seno e coseno

Forma convencional de representar uma senóide:

( )

( ) ( ) Retangularsencos

Polarcos

+

+

wt Bwt A

wt M φ

( ) ( )

-bB eaA

complexo)(número al)convencionação(represent

Retangularsencos

↔↔

+⇔+ jbawt Bwt A

Isto não é uma equação, mas sim um modo de fazer um número complexo

representar uma senóide.

( )

φ θ

φ θ

- eMM

complexo)(número al)convencionação(represent

Polarcos

↔↔

⇔+je M wt M

Estas mudanças no sinal da parte imaginária e o ângulo de fase é realizada para a

substituição aparecer na mesma forma da transformada complexa de Fourier.

Isto pode é permitido pois muitas das regras e leis que governam os números

complexos são as mesmas que governam as senóides. Porém, duas condições devem ser

satisfeitas:

1) Todas as senóides precisam ter a mesma freqüência.

2) As operações representadas precisam ser lineares.

Ex: convolução, análise de Fourier.



21

Exemplos:

( ) ( ) 11213,21213,2sen1213,2cos1213,2

34

wt3cos

complexa)ação(Represent al)convencionação(represent

4

jwt wt

ej

+↔−

↔

+

−π

π

O método de substituição de números complexos por ondas coseno e seno é

chamada transformação fasorial. Mais formalmente os engenheiros elétricos definem

transformação fasorial como uma multiplicação por um termo complexo : jwt e , tomando

a parte real.

4.1.8. - Teorema de Moivre

Afirma que para neθ arbitrários, onde n é inteiro

( ) ( )( ) ( ) ( )θ θ θ θ n jn j n sencossencos ±=±

Em particular se n é inteiro positivo:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )θ θ θ θ

θ θ θ θ

n jn j

n jn jn

n

−±−=±

±=±

− sencossencos

sencossencos

( ) ( )

( ) ( ))sen(cos

)sen(cos

θ θ

θ θ

n jnr Z

n jnr Z

nn

nn

−=

+=

−−

Exemplo:

( )( )

31638416384

321

21

32768

300sen300cos32768

3003276860.5834400

0055

j

j

j

j

−=

−=

+=

∠=∠=+



22

Série de Exercícios

1)Usando a relação de Euler deduzir as seguintes expressões:

a) ( )θ θ θ j j ee −+=

2

1cos

b) ( )θ θ θ j j ee j

−−=

2

1sen

c) ( )θ θ 2cos12

1cos2

+=

2)Usando a relação de Euler ou a figura abaixo:

x

θ

¡

y

x

(a) Determine a expressão para x e y em termos de θ er .

(b) Determine expressões para θ er em temos de x e y.

3)Façamos z0 ser um número complexo com coordenadas polares 00 θ er e

coordenadas cartesianas x0, y0 . Determine expressões para as coordenadas cartesianas

dos seguintes números complexos em termos de x0 e y0. Esboce os gráficos de z1, z2, z3

em um plano complexo quando 4,2 00π θ ==r e quando 2,2 00

π θ ==r . Indique em

seu gráfico a parte real e imaginária.

000 θ ∠= r Z 2

0

2

00 y xr +=

000 jy x Z += 0

00 x

yarctg=θ



23

==

==

2,2

4,2

0

0

π θ

π θ

r

r , indicando no gráfico a parte real e imaginária

y

x0θ

0r

0 y

0 x

a) θ jer Z −= .01

b) 02 r Z =

c) ( )π θ +

= 0.03 jer Z

4) Façamos z representar uma variável complexa

θ jre jy x z =+=

O complexo conjugado de z é representado por z* sendo dado por

θ jre jy x z −=−=*

Derive cada uma das relações abaixo, onde z, z1 e z2 são números complexos

arbitrários:

(a)2

*. r z z =

(b) θ 2

* je

z

z=

(c) ze z z ℜ=+ .2*

(d) z j z z Im.2* =−

(e) ( ) *2

*1

*21 z z z z +=+

(f)*

2

*1

*

2

1

z

z

z

z=

(g) 22

21

221 .. z z z z =

(h)2

1

2

1

z

z

z

z=



24

5) Expresse cada um dos seguintes números complexos na forma cartesiana e

faça o gráfico no plano complexo, indicando a parte real e parte imaginária de

cada número.

(a) j

j

2143

−

+

(b)( )

( )( ) j j

j j

−+

+

21

2

(c)( )( ) j

j j

−

+

31

22

(d) 4 / 4 π je

(e) ( )4 / 25.2 π je

(f) ( )4 / 11π j je

(g) ( ) ( )π π 74 23 j j ee +

6) Expressar cada um dos seguintes números complexos na forma polar e plotar

eles no plano complexo, indicando a magnitude e ângulo de cada número.

(a) 31 j+ b) -5

(c)5-5j d )3+4j

7) Dado o complexo Z construa o gráfico:(a) de seu conjugado

(b) (z1+z2)* = z1* + z2*

(c) (-z2)* = - z2* , (z1-z2)* = z1* - z2*

Referências Bibliográficas

Alan V. Oppenheim, “ Signals and Systems”, Editora Prentice Hall International

“Notas de aula 1” – seção 4 – Números Complexos.

Simon Haykin, “ Sinais e Sistemas”, Editora Bookman.



25

Notas de Aula – II - SINAIS E SISTEMAS

5. - Funções Periódicas

5.1 - Definição

Uma função y = f(x) se diz periódica quando existe um número positivo T, tal

que:

x x f T x f dealorqualquer vpara)()( =+ (2.1)

Ainda posso dizer que p menor T que satisfaz a equação anterior denominamos

“período primitivo” da função.

Exemplos:

a) y=sen(x)

b)

x

-1 0 1 2 3 4 5

T=2

A B

C E

D F

G H

I J

5.2 - Onda

É a porção da curva representativa da função periódica compreendendo em

período. No gráfico anterior ABCDE ; BCDEF.

5.3 - Função Periódica Alternada

Uma função y = f(x) se diz periódica alternada quando cada onda é constituída

de duas semi - ondas, de tal modo que:

x x f T

x f dealorqualquer vpara)()2

( −=+ (2.2)



26

Exemplo:

a)

1

-1

x1 2 3 4-1-2

y(x)

Aplicando a equação 2.2, verificamos que a função é periódica alterna alternada.

Por inspeção também é possível obter este mesmo resultado.

5.4 - Propriedades das Funções Periódicas1 - Se T é o período de uma função f(x), então também será período o número

nT , onde : nn ±±±±= ..,,.........3,2,1 .

( ) ( )nT x f x f += (2.5)

2 - Se T é o período de uma função f(x), então também será período das funções:

( ) ( ) ( ) constanteumaékonde,.→++

k x f ek x f x f k

(2.6)

3- Se f 1(x) e f 2(x) são funções periódicas de mesmo período T , então as funções

f 1(x)+f 2(x) e f 1(x)-f 2(x) também são periódicas de mesmo período T .

4 - Se f 1(x) e f 2(x) são funções periódicas de mesmo período T , então as funções

f 1(x) * f 2(x) e f 1(x) / f 2(x) admitem o período T .

Exemplos:

a)

( ) ( )

( ) ( ) π

π

2cos2

2sen1

==

==

T x x f

T x x f (2.7)

b)



27

( )

( )( ) π π π π 3,2,1,1

2

1±±±=== nT T xtg

x f

x f (2.8)

5 – Se Té o período de f(x), também o será de f’(x).Exemplo:

a)

( )

( ) ( ) π

π

2cos'

2)sen(

==

==

T x x f

T x x f (2.9)

6 – Se f(x) é uma função periódica de período T , então:

( ) ( )++

=T b

b

dx x f T a

a

dx x f (2.10)

5.5 - Freqüência

Denomina-se freqüência de uma função periódica f(x) de período T ao inverso

do período e denota-se:

T f

1= (2.11)

5.6 - Pulsação

Seja a função y = sen(wx), seu período w

T π 2

= :

f T

w π π

22

== (2.12)

Ao número w, inteiro ou fracionário, denomina-se pulsação ou freqüênciaangular.

Ela representa o número de períodos contidos em 2π , ou seja o número de

ondas contidas em 2π .

Exemplo:



28

( )3

233sen2

π == T w x (2.13)

5.7 - Forma Geral das Funções Senoidais ou Harmônicas

5.7.1.- - Noção Elementares

As funções senoidais são de forma geral:

( )ϕ ++= wx A y y sen0 (2.14)

ou

( )ϕ ++= wx A y y cos0 (2.15)

Onde:y0 – Valor médio da função

A – Amplitude - 0 y y A MÁX −=

W – Pulsação -T

wπ 2

=

ϕ - Fase inicial

t(s)

Amplitude

y0

a b

y0

a b

f(x)

x



29

( ) ( )dx

b

a

x f ab y =−0 (2.16)

( )( )dx

b

a

x f ab

y −= 10 (2.17)

Para funções periódicas :

( )dx

T d

d

x f T

y +

=1

0 (2.18)

Exemplos:

1 – Encontre o valor médio da seguinte função f(x):

Solução

π 2 π 3 π 4π π −π 2−π 3−π 4− 0

f(x)

x

5

A equação da reta é: xπ

5, assim:

2

502

5.0*

10 === y y Área

T y

π π 2.19

Ou,

( ) 2

5

02

2

2

5

002

2

2

5

00

5

*0

1

0 ===−=

=

y y

x

y xdx y

T

π

π

π

π

π

π π

π

2.20

2) Encontre ϕ ,,,,, 0 w y A f T da função: )3(sen21 2 x y +=



30

Solução

01263

23

36

2

)6cos(22

)6cos(121

0=∴=∴=∴==∴=∴==

∴−=∴

−+=

ϕ π

π

π

π π

A yww f T T

x y x

y

5.8 - Funções Pares e Funções Ímpares

Uma função f(x) definida em um intervalo I , se diz par, neste intervalo, quando:

( ) ( ) Iqualquer x, ∈=− x f x f (2.21)

E ímpar quando:

( ) ( ) Iqualquer x, ∈−=− x f x f (2.22)

Exemplos:

1) ( ) ℜ∈= x,2 x x f

( ) ( ) ( ) PAR x f x x x f ==−=−22

2) ( ) 20,2<<= x x x f

Não é par nem ímpar

3) ( ) )cos( x x f =

Par(simetria em relação ao eixo y)

4) ( ) )sen( x x f =

ímpar(simetria em relação a origem)

5.8.1.- Propriedades

Se I(x) - é impar e P(x) – par, então:

1) ( ) ( ) ( ) xP xP xP =21 .



31

2) ( ) ( ) ( ) xP xP xP =21 /

3) ( ) ( ) ( ) xP x I x I =21 /

4) ( ) ( ) ( ) x I x I xP =11 .

5) ( ) ( ) ( ) x I xP x I =11 .

6) ( ) ( ) ( ) xP x I x I =21 /

7) ( ) ( ) ( ) x I xP x I =11 /

8) ( ) ( ) −

=

a

a

a

dx xPdx xP

0

2

9) ( )−

=

a

a

dx x I 0

5.8.2. - Decomposição

Se f(x) é uma função que não é nem par nem ímpar, podemos decompor em duas

partes:

( ) ( ) ( ) x I xP x f += (2.23)

( ) ( ) ( ) x I xP x f −+−=− (2.24)

( ) ( ) ( ) x I xP x f −=− (2.25)

Somando 2.23 e 2.25 obtemos,

( )( ) ( )

2

x f x f xP

−+= (2.26)

Subtraindo 2.23 e 2.25, temos,

( ) ( ) ( )2

x f x f x I −−= (2.26)

Exemplo :

Encontre as componentes par e ímpar da função indicada a seguir:



32

f(x)

x

1

10

f(x)

x -1

1

0

(a) (b)

(a)

( )

≥

≤≤+−

≤

=

1,0

10,1

0,1

x

x x

x

x f

(b)

( )

≥

≤≤−+

−≤

=

0,1

01,1

1,0

x

x x

x

x f

Assim,

( )

≥

≤≤+−

≤≤−+

−≤

=

1,2

1

10,2

2

01,2

2

1,21

x

x x

x x

x

xP

( )

≥−

≤≤−

≤≤−−

−≤

=

1,2

1

10,2

01,2

1,21

x

x x

x x

x

x I



33

P(x)

x

1/2

I(x)

x

1/2

-1/2

-1

1

5.9 - Funções Seccionalmente Contínuas

Uma função f(x) é seccionalmente contínua num intervalo[a,b] se a subdivisão

deste intervalo em N partes fizer com que a função f(x) em cada subintervalo fique

contínua com limites laterais finitos:

b

f(x)

xa x

1 x2

6. – Convolução

6.1 - Definição

É uma operação matemática importante que explica vários aspectos físicos dos

sinais em um sistema.

Como exemplo pode-se considerar um canal de comunicação, onde um sinal na

entrada é modificado pela ação do canal de comunicação.



34

Este tipo de transmissão pode ser modelado matematicamente como:

( ) ( ) ( )t ht xt y ∗=

( ) ( ) ( ) τ τ τ d t h xt y −= ∞

∞−

.

Exemplo: Calcule a seguinte integral de convolução entre dois sinais:

a)

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]22 −−+=

=

∗=

−

t ut ut xt uet h

t ht xt y

t γ

b)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]1

1

−−=

−−=

∗=

t ut ut x

t ut ut h

t ht xt y

x(t) y(t)

Y(f)X(f)Y(f)=X(f).H(f)

y(t)=x(t)*h(t)

Estação Trasnmissora Estação Receptora

CANAL



35

6.1.1.Resposta ao impulso em um sistema linear

( ) )(t ht y =

( ) ( )t t x δ =

h(t)0 T4T0

h(t)

( )t x0 T ?

( ) ?=t y

0 2T 0 5T

0 3T

0 3T

0 3T?

)(t h( )t x

0 3T

( ) ( ) )(t ht xt y ∗=

Resposta ao impulso



36

7. - Propriedades da Função Impulso

7.1 - Definição

Algumas considerações são interessantes de serem abordadas sobre esta função,que

pode ser muito útil na análise de Fourier .

( ) ( ) ( )∞

∞−

= 0..)1 φ φ δ dt t t

( ) ( ) ( ) ( )t f t t f δ δ .0.3 =

( ) ( )t t δ δ =−)4

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )t t f t t f t t f δ δ δ ...)5 '''+=

( ) ( ) ( )∞∞

∞−

=

0

...)6 dt t dt t t u φ φ

( ) ( ) ( )t f t t f =δ *)7

( ) ( ) ( )00*)8 t t f t t t f +=+δ

( ) ( )

=∞

≠=

0,

0,0

t se

t set t U o δ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ooo t dt t t t dt t t t φ φ δ φ δ =+=− ∞

∞−

∞

∞−

....2

( )∞

∞−

=1.dt t δ



37

8. Propriedades dos Sistemas

8.1 – Estabilidade

Diz-se que um sistema é do tipo BIBO(Bounded Input Bounded Output) se aentrada limitada produz uma saída limitada. A saída não diverge se a entrada não

diverge.

( ) ∞<≤ y M t y

Sempre que o sinal de entrada x(t) respeita a condição:

( ) ∞<≤ x M t x

8.2 – Causalidade

Diz-se que um sistema é do tipo causal se o valor atual do sinal de saída

depende somente dos valores presentes e/ou passados do sinal de entrada.

8.3 – Linearidade

Diz-se que um sistema é do tipo linear se ele satisfaz o princípio da

superposição.

( ) ( ) ( ) ( )( )321321 .... aaat xt xat xat xa ++=++

y

x

0

y

x

0-3



38

8.4 – Memória

Diz-se que um sistema possui memória se sua saída depender de valores passado

do sinal de entrada.

Caso Contínuo:

Resistor: sem memória

Indutor: com memória

Caso Discreto:

Adição: Sem memória

Filtro: Com memória

8.5 – Invariância no tempoDiz-se que um sistema é invariante(IT) no tempo se um retardo de tempo ou

avanço de tempo do sinal de entrada levar a um deslocamento idêntico no sinal de saída.

8.6 – Montagem de um Sistema

Um sistema consiste em diversos subsistemas conectados, como mostra a figura.

Encontra saída y(t) supondo que a entrada seja um pulso retangular de duração de 1s.

x

y

( ) ( )21 −= t xt y

2 3

1=∆

x

y

( ) ( )32 −= t xt y

3 4

1a

2a

3a

+ x ( )t y

+x ( )t y

1a

2a

3a

x

x

( )t x

( )t x

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )t xt y H

t xt y H

t xt y H

21:

:

1:

33

22

11

+=

=

−=



39

H 2

H 1

+

+

-

+( )t x ( )t y

+

+

H 3



40

___________________________________________________________

Programas - Matlab

(1)Espelhar function [y,n] = espelhar(x,n)% implementa y(n) = x(-n)% [y,n] = espelhar(x,n)y = fliplr(x); n = -fliplr(n);

(2)Par-Impar function [xp,xi,m]=parimpar(x,n)% Decomposiçao de sinal real em partes pares e impares%[xp,xi,m]=parimpar(x,n)if any(imag(x)~=0)

error('x nao e uma sequencia real')endm=-fliplr(n);m1=min([m,n]);m2=max([m,n]);m=m1:m2;nm=n(1)-m(1);n1=1:length(n);x1=zeros(1,length(m));x1(n1+nm)=x;x=x1;xp=0.5*(x+fliplr(x));xi=0.5*(x-fliplr(x));

(3)Cos-Sen

% senos e cosenos% "flower petal"theta = -pi:0.01:pi; % faixarho(1,:) = 2*sin(5*theta).^2;rho(2,:) = cos(10*theta).^3;rho(3,:) = sin(theta).^2;rho(4,:) = 5*cos(3.5*theta).^3;for i = 1:4polar(theta,rho(i,:)) % saída gráficapauseend

RELAÇÕES ÚTEIS



41

θ θ

θ θ

2cos2

1

2

12cos

2cos2

1

2

12sen

+=

−=

( )

( )

( ) 3232333

3232333

2222

babbaaba

babbaaba

bababa

−+−=−

+++=+

++=+

bababa

abbaba

sensencoscos)cos(

cossencossen)sen(

=±

±=±



42

Notas de Aula III – ANÁLISE DE FOURIER

9. Introdução à Análise de Fourier

Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) foi um matemático e físico,celebrado por iniciar a investigação das Séries de Fourier e a sua aplicação aos

problemas da condução de calor. A Transformada de Fourier também foi assim

designada em sua homenagem.



43

A análise de Fourier têm muitas aplicações em vários ramos científicos, Física,

Teoria dos números, Teoria das probabilidades, Processamento digital de sinais, Óptica,

Acústica, Geometria, etc...

Engenharia de Telecomunicações:

• TV digital(OFDM)• Padrão DVB-T• Padrão ISDB-T• Wimax IEEE 802.16• Processamento digital de sinais• Modulação de sinais analógicos

• Modulação de sinais digitais• Amostragem dos sinais• Conversores ADC / DAC• Filtragem de sinais

9.1 Conceito

7.1.1. Série de Fourier:

senoidasesCompoenent PERIÓDICAFUNÇÃO

7.1.2. Transformada de Fourier:

PERIÓDICOS NÃOSINAIS

sinalumdeEspectrodaTransformaSérie +

Espectro:



44

1. Descreve o conteúdo de freqüência do sinal,2. Mais conveniente que a descrição do sinal no domínio do tempo.

9.2 Condições de Dirichlet

São condições que quando satisfeitas garantem a convergência em média da

série generalizada de Fourier para a sua função f(t), definida no intervalo : bt a ≤≤

assim se:

1) A função f(t) tem um número finito de descontinuidades num período.2) A função f(t) tem um número finito de máximos e mínimos num período.3) A função f(t) é absolutamente integrável em um período, isto é.

∞<=b

a

finitadt t f )(

Dizemos que uma função f(t) é seccionalmente contínua no intervalo finito

[-T/2,T/2] se ela satisfizer às condições (1) e (2).

Assim podemos dizer que a série generalizada de Fourier , converge em média

para f(t), se t é um ponto de continuidade e para( ) ( )

2−+

+ t f t f , se t é um ponto de

descontinuidade (Fenômeno de Gibbs).

9.3 Série Trigonométrica de Fourier

Qualquer função f(t) de período T que satisfaça as condições de Dirichlet, pode

ser expandida em uma série trigonométrica de Fourier , da seguinte forma:



45

( ) .......2sensen....2coscos2 2121

0 ++++++= wt bwt bwt awt aa

t f 7.1

ou

( ) ( )

∞

=

++=

1

0 sencos2n

nn nwt bnwt aat f 7.2

onde

( )−

=

2 /

2 /

0

2T

T

dt t f T

a ( ) ( )−

=

2 /

2 /

cos2

T

T

n dt nwt t f T

a ( ) ( )−

=

2 /

2 /

sen2

T

T

n dt nwt t f T

b

a0 /2 é o valor médio de f(t) em um período.

Em geral, não é necessário que o intervalo de integração destas expressões seja

simétrico em relação à origem. A única exigência é que a integral seja

considerada em todo o período.

9.4 Série Exponencial Complexa de Fourier

Para expressarmos o conceito da série de Fourier de forma compacta e mais

adequada, adotaremos a forma conhecida como série exponencial de Fourier, que

explora a relação existente entre seno, coseno e a função exponencial, conhecida como

fórmula de Euler , a qual é mostrada a seguir:

( )

∞

−∞==

n

t on j

n eF t f

...

.

ω

( )

−−

=

20

20

...

.

1

T

T

t on j

n dt et f T F

ω

Fourier de complexos escoeficientnF

Algumas informações são importantes de serem observadas.



46

• Um sinal periódico contém todas as freqüências (+ e -) que são harmonicamenterelacionadas com a fundamental f = 1/T .

• Freqüências negativas – modelo matemático.

• Funções complexas – descrição matemática compacta.• Sinal periódico – Série de Fourier Complexa.• f(t) com período T possui componentes nas freqüências ,3,2,,0 f f f ±±± • Freqüência fundamental f = 1/T .• Componentes de freqüência – espectro de freqüências.• Na série de Fourier o espectro é discreto.• Sinal periódico pode ser especificado de dois modos equivalentes:

Representação no domínio do tempo.

Representação no domínio da freqüência.

• Ambas as relações são inter-relacionadas:

FreqüênciaTempo ⇔

complexonúmeronF ( )( )nF jn eF arg

nF=

( )t f n-ésima deharmônicacomponentedaamplitudeFn

( )t f f dediscretoamplitudedeespectroFGráfico n ×

( ) ( )t f f dediscretofasedeespectroFargGráfico n ×

Caso f(t) for periódica e real, então:

Par funçãoF n =− nF ( ) ( ) Ímpar FunçãoF F nn −−= argarg

Exercício: Encontre a série exponencial de Fourier do trem de pulsos retangulares de

com duração T e período T 0.



47

( )

≤≤−

=

fora,022

, 00 T t

T A

t x



48

Nota de Aula – IV – ANÁLISE DE FOURIER

8. Transformada de Fourier

8.1. Conceito

Considere a figura a seguir.

Para entenderemos a transformada de Fourier faremos algumas modificações noprimeiro sinal no sentido de torná-lo não periódico e montaremos uma análise. Assim,observando a série exponencial tem-se:

( ) ∞

−∞=

=

n

t own jn eF t f .... ( 1 )

( )−

−=

2

2

....1

T

T

t own jn dt et f

T F ( 2 )

Fazendo : wharmônicosentredistância,. ∆== wwn o

wwT

o ∆=

π π 22 ( 3 )

( ) ( ),....2,,0,. .. wwweF t f w

w

t w jn ∆±∆±==

∞=

−∞=

( 4 )

( )−

−∆=

2

2

....2

T

T

t w jw dt et f

wF

π ( 5 )

( )t f p

t

0

2

0T

2

0T −

( )t f

t

0



49

Relacionando 4 em 3, tem-se

( ) ( ) ∞

−∞=

−

−

∆

=

w

t w jt w j

T

T

edt et f w

t f ....

2

2

..2π

( 6 )

( ) ( ) wedt et f T

t f w

t w jt w j

T

T

∆

= ∞

−∞=

−

−

...1 ....

2

2

( 7 )

Quando →→∆∞→ ,, dwwT

( ) ( )

=

∞

∞−

−

∞

∞−

dwedt et f t f t w jt w j ....2

1 ....

π ( 8 )

A equação acima é chamada de Intergral de Fourier , onde :

Transformada “Direta” de Fourier

( ) ( ) ( )[ ]t f dt et f wF t w jℑ≅∆

−

∞

∞−

.... ( 9 )

Transformada “Inversa” de Fourier

( ) ( ) ( )[ ]wF dwewF t f t w j 1....2

1 −

∞

∞−

ℑ≅∆ π ( 10 )

( ) ( ) ( )[ ]t f jwF wF ℑ== ( 11 )

Em geral :

( ) ( ) ( ) Retangular→+= w jX w RwF ( 12 )

( ) ( ) ( ) Polar..

→=w jewF wF θ ( 13 )

Onde :

( ) ( ) ( )w X w RwF 22+= ( 14 )



50

( )( )( )

( )( )w R

w X tg

w R

w X arctgw 1−

==θ ( 15 )

Onde:

( ) AmplitudesdeEspecroGráfico →→wF ( 16 )

( ) fasedeEspectroGráfico →→wθ ( 17 )

Exemplos1) Construir o espectro de amplitudes da seguinte função:

f(t)

t

A

0 d

Solução

( ) ( ) ( ) −

∞

∞−

−=→=

d

t w jt w j dt e AwF dt et f wF 0

.... ....

( ) ( )

−−

−=→

−=

−−−

w j

e

w j

e AwF

w j

e AwF

w jd w jd

t w j

...

..

0....

0

..

( ) ( ) ( )

−

=→−=

−

−

2...

.2

2

2..1.

2

..

2

..

2

..

2

..

2

..

..

d w j

d w j

d w j

d w j

d w j

d w j ee

ew j

AwF

e

eew j

AwF

( )

−

=

−−

j

ee

w

e AwF

d w j

d w j

d w j

.2.

..2 2

..

2

..

2

..



51

( ) ( )( )

( )( )

x

x

x

d w

w

e AwF

d w j

.

.senxSincou

xsenxSa:obs,

2

.sen.

..2 2

..

π

π ==

=

−

( ) ( )

=→

= −−

2....

2

.2

.sen

... 2

.

.2

.

. d wSaed AwF d w

d w

ed AwF d w

j

d w

j

Logo :

( ) 2

..

.2

...

d w j

ed w

Sad AwF −

= ( 18 )

Como:

( ) ( ) θ ..

jewF wF == ( 19 )

Então

( ) ( )2

.,

2

...

d ww

d wSad AwF −=

= θ ( 20 )

0

nF

Ad

d

π 2

d

π 2−

d

π 4

d

π 6

d

π 4−

d

π 6−

w

Algum resultado interessante pode ser retirado deste exemplo. Consideremos a

seguinte situação:

Em f(t) do exemplo 1, façad

A1

=

Então, no domínio do tempo fazendo:

( ) ( )t U t f Od

=→0

lim ( 21 )

• Amplitude ∞→ • Largura 0→



52

E no domínio da freqüência em F(w), sed

A1

= :

( ) 1lim0

=→

wF d

( 22 )

A figura a seguir mostra o par de transformadas para esta situação, onde umimpulso no tempo possui como sua transformada de Fourier uma constante na

freqüência.

( )t U O

t0

( )wF

w0

1ℑ

Assim, pode-se escrever:

( ) 1][ 0 =ℑ t U ( 23 )

2) Calcular a ( )][ t f ℑ , onde :

( ) ( ) 0,. 1.

>= −

− α α t U et f t ( 24 )

t e .α −

t

( )t f

1

0

( ) ( ) ( ) ∞

−−

∞

∞−

−=→=

0

..... .... dt eewF dt et f wF t w jt t w j α ( 25 )

( ) ( ) ( )( )

( ) jwe t jw

wF dt t jwewF +−

+− ∞

=→∞

+−=

α

α α

00

.. ( 26 )

( )( )

( ) ( )

+−

→−

+−

∞→+−=

t jwet

t jwet jw

wF α α

α 0limlim.

1 ( 27 )

Faremos em primeiro lugar uma investigação dos limites:



53

( ) ( ):análiseseguintease-tem,

0

0

0

:supondo ,....lim

=

<

>

−−

∞→α

α

α

ϕ ρ

α t

t w jet

t et

( 28 )

• ( )

∴==

1,0 t ρ α circulo de raio 1, limite indeterminado:

• ( ) ∞→∴∞→< limite,0 t ρ α

• ( ) 0 limite0,0 →∴→> t ρ α

0<α

0>α

0=α

σ

ω . j

Logo se a função f(t) não satisfaz à condição ( )∞

∞−

∞<dt t f . , não podemos

aplicar a definição, para calcular sua transformada de Fourier .

( )( )

( ) pois ,101

−+−

= jw

wF α

( 29 )

( )( )

0,1

].[ 1.

>+

=ℑ −− α

α

α

jwt U e t

( 30 )

3) Se f(t) for real mostre que:

( ) ( ) ( )∞

∞−

= dt wt t f w R .cos. ( 31 )

( ) ( ) ( )∞

∞−

−= dt wt t f w X .sen. ( 32 )

Em seguida prove que :

( ) ( ) PARfunção→−= w Rw R ( 33 )

( ) ( ) ÍMPARfunção→−=− w X w X ( 34 )

( ) ( )wF wF *=− ( 35 )

Solução



54

1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]dt wt jwt t f dt et f w jX w RwF t f t w j .sencos...][ ..∞

∞−

∞

∞−

−−==+==ℑ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dt wt t f jdt wt t f wF t f .sen..cos.][ ∞

∞−

∞

∞−

−==ℑ

Logo:

( ) ( ) ( )∞

∞−

= dt wt t f w R .cos. ( 36 )

( ) ( ) ( )∞

∞−

−= dt wt t f w X .sen. ( 37 )

2)

( ) ( )w Rw R −= ( 38 )

( ) ( ) ( )∞

∞−

= dt wt t f w R .cos.

( ) ( ) ( )∞

∞−

−=− dt wt t f w R .cos.

( ) ( ) ( ) x f x f wt =−→ parfunçãocos

( ) ( ) ( ) ( ) ( )w Rw Rdt wt t f w R =−→=− ∞

∞−

.cos.

( ) ( )w X w X −= ( 39 )

( ) ( ) ( )∞

∞−

−= dt wt t f w X .sen.

( ) ( ) ( )

∞

∞−−−=− dt wt t f w X .sen.

( ) ( ) ( ) x f x f wt −=−→ ímparfunçãosen

( ) ( ) ( ) ( ) ( )w X w X dt wt t f w X −=−→=− ∞

∞−

.sen.



55

( ) ( )wF wF *=− ( 40 )

( ) ( ) ( )w jX w RwF += ( 41 )

( ) ( ) ( )w jX w RwF −+−=− ( 42 )

( ) ( ) ( )w jX w RwF −=− ( 43 )

Logo:

( ) ( )wF wF *=− ( 44 )

4) Se f(t) é real, mostre que o espectro de amplitudes é par e o espectro de fases é

ímpar.

( ) ( )

( ) ( )

=−=

=+=

−=−

−=

− θ

θ

θ θ .*

.

.

.,

j

j

eC jba Z

eC jba Z

ww

wF wF ( 45 )

Solução

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

−=−

=

−w j

w j

ewF wF

ewF wF θ

θ

.

.

.

.

Do exemplo anterior:

( ) ( )wF wF *=−

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ÍmparFunção

ParFunção

.. ..

−=−

=−

=−−−

ww

wF wF

ewF ewF w jw j

θ θ

θ θ

( 46 )

5) Se f(t) é real e par, sua transformada é real e par e se f(t) é real e ímpar, sua

transformada de Fourier é um imaginário puro.

a) Se f(t) é real e par:( ) ( )t f t f =− ( 47 )

( ) ( ) ( )w jX w RwF += ( 48 )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dt wt t f jdt wt t f wF .sen..cos.

ÍMPARPARÍMPAR PARPAR PAR

∞

∞−

∞

∞−

−=

( 49 )

Considerando que :



56

( ) ( )∞

∞−

= ímparfortgse,0.dt t g ( 50 )

( ) ( ) ( ) ∞

∞−

∞

=

0

parfortgse,.2. dt t gdt t g ( 51 )

Logo:

( ) ( ) ( )dt wt t f wF .cos.20∞

= ( 52 )

b) f(t) é real e ímpar.

( ) ( )t f t f −=− ( 53 )( ) ( ) ( )w jX w RwF += ( 54 )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞

∞−

∞

∞−

−= dt wt t f jdt wt t f wF .sen..cos.

PARÍMPAR

ÍMPAR ÍMPAR PAR ÍMPAR

( 55 )

Logo utilizando a Equação ( 54 ).

( ) ( )w jX wF = ( 56 )

( ) ( ) ( )∞

−=

0

sen.2 dt wt t f jwF ( 57 )

8.2. Propriedades da Transformada de Fourier

1) Linearidade

Se ( )[ ] ( )wF t f 11 =ℑ e ( )[ ] ( )wF t f 22 =ℑ , 21 e aa são constantes arbitrárias então:

( ) ( )[ ] ( ) ( )wF awF at f at f a 22112211 .. +=+ℑ ( 58 )

Demonstração :



57

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )

dt et f at f at f at f a jwt

t f

...... 22112211−

∞

∞−

+=+ℑ

( ) ( )[ ] ( ) ( )∞

∞−

−∞

∞−

−+=+ℑ dt et f adt et f at f at f a jwt jwt ...... 22112211

( ) ( )[ ] ( ) ( )wF awF at f at f a 22112211 .. +=+ℑ ( 59 )

2) EscalonamentoSe ” a” for uma constante real e ( )[ ] ( )wF t f =ℑ , então:

( )[ ]

=ℑ

a

wF

at a f .

1. ( 60 )

Demonstração:

Para a > 0 , teremos:

( )[ ] ( )∞

∞−

−=ℑ dt et a f t a f jwt ....

Façamos a seguinte substituição:

a

dxdt

a

xt xt a === ,.

∞→∞→

∞→∞→

-x,-tpara

x,tpara

( )[ ] ( )∞

∞−

−

=ℑa

dxe x f t a f a

x jw

...

( )[ ] ( )∞

∞−

−

=ℑ dxe x f a

t a f w

a

x j

..1

...

( )[ ]

=ℑ

a

wF

aa

wF

a

t a f .1

.1

.

Para a < 0 , teremos:

( )[ ] ( )∞

∞−

−=ℑ dt et a f t a f jwt ....

Façamos a seguinte substituição:



58

a

dxdt

a

xt xt a === ,.

∞→∞→

−∞→∞→

x,-tpara

x,tpara

( )[ ] ( )−∞

∞

−

=ℑa

dxe x f t a f a

x jw

...

( )[ ] ( )∞

∞−

−

−=ℑ dxe x f a

t a f w

a

x j

..1

...

( )[ ] 0a pois,.1

.1

. <

−=ℑ

a

wF

aa

wF

at a f ( 61 )

Nota:

( )[ ] ( )wF t f −=−ℑ ( 62 )Exemplo:

Sabendo que a função f(t) abaixo tem transformada F(w) determine a

transformada de g(t).

f(t)

t

2

2-1 0

g(t)

t

2

1-2 0

Solução

( ) ( )t gt f −=

( ) ( )t f t g −=

( )[ ] ( )[ ]t f t g −ℑ=ℑ

( ) ( )wF wG −=

**********************************************************************

***

Exercícios:



59

1) Determine a transformada de Fourier da função g(t).

1

2-2

g(t)

t

Solução :

( )[ ] ( ) ( )∞

∞−

−==ℑ dt et gwGt g t w j .. ..

Mas, se a função é par, utilizaremos a propriedade já demostrada.

( ) ( ) ( ) ( )∞

==

0

.cos.2 dt wt t gw RwG

( ) ( ) ( )=

2

0

.cos.12 dt wt wG

( ) ( ) ( ) ( )[ ]02sen.2

sen.2

2

0

−== ww

wGwt w

wG

( ) ( ) ( )( )

==

w

wwGw

wwG

2

2sen.42sen.

2.

2

2

( ) ( )wSawG 2.4=

2) Determine a transformada de Fourier de ( )t g1 :

1

1-1

g 1

(t)

t 0

Solução:



60

( ) ( )t gt g 21 =

( )[ ] ( )[ ] :se-tem2,epropriedadautilizando ,.21 t gt g ℑ=ℑ

( )[ ]

=ℑ

α α

α w

Gt g .1

.

( )[ ]

=ℑ

2.

2

1.1

wGt g

( )[ ]

=ℑ

2.2sen.

2

2.

2

1.1

ww

t g

( )[ ] ( ) ( )wSaww

t g .2sen.2

.1 ==ℑ

**********************************************************************

***

3) Deslocamento no tempo

Se ( )[ ] ( ) :então ,wF t f =ℑ

( )[ ] ( ) ot w jo ewF t t f ... ±

=±ℑ ( 63 )

Demonstração:

( )[ ] ( )∞

∞−

−±=±ℑ dt. .. t w j

oo et t f t t f

Façamos a seguinte substituição

dxdt t xt xt t ===± ,00

−∞→∞→

∞→∞→

x,-tpara

x,tpara

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) dxe x f x f t t f t xw jo .. 0..

∞

∞−

−=ℑ=±ℑ

( )[ ] ( ) dxee x f x f

t w j xw j

...0....

∞

∞−

±−=ℑ

( )[ ] ( ) dxe x f e x f xw jt w j∞

∞−

−±=ℑ ... .... 0

Assim provamos que:

( )[ ] ( )wF et t f t w jo .0..±

=±ℑ ( 64 )



61

Exemplo:

1

31

g 2 (t)

t 0 2

Utilizando o exemplo anterior, considerando calculada a transformada de g1(t),

tem-se:

( ) ( )212 −= t gt g

( )[ ] ( )[ ]212 −ℑ=ℑ t gt g

( )[ ] ( ) 2..12 . w jewGt g −

=ℑ

( )[ ] ( ) 2..2 .sen.

2 w jeww

t g −=ℑ

4) Variação na Freqüência

Se wo for uma constante real e,

( )[ ] ( ) então,wF t f =ℑ ( 65 )

( ) ( ),. ..o

t w j wwF et f o =ℑ± ( 66 )

Deslocamento no domínio da freqüência:

Demonstração :

( )[ ] ( )∞

∞−

−±±=ℑ dt eet f et f t w jt w jt w j oo .... ......

( )[ ] ( ) ( )∞

∞−

−±=ℑ dt et f et f t ww jt w j oo .... ....

( ) ( )ot w j wwF et f o =ℑ

± ...

Pois:

( ) ( )∞

∞−

−= dt et f wF t w j .. ..

5) Multiplicação por Coseno



62

Se ( )[ ] ( ),wF t f =ℑ então:

( ) ( )[ ] ( ) ( )ooo wwF wwF t wt f −++=ℑ .2

1.

2

1cos. ( 67 )

Demonstração :

( ) ( )[ ] ( ) .2

.cos.....

+ℑ=ℑ

− t w jt w j

o

oo eet f t wt f

Multiplicando e usando a propriedade da linearidade, tem-se:

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ...2

1cos. .... t w jt w j

ooo et f et f t wt f −

ℑ+ℑ=ℑ

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ooo wwF wwF t wt f ++−=ℑ2

1cos.

( ) ( )[ ] ( ) ( )ooo wwF wwF t wt f −++=ℑ2

1

2

1cos. ( 68 )

De modo análogo se multiplicarmos por seno:

( ) ( )[ ] ( ) ( )ooo wwF j

wwF j

t wt f −−+=ℑ22

sen. ( 69 )

6) Propriedade da Derivada

Se ( )[ ] ( )wF t f =ℑ e ( ) 0→t f quando ±∞→t , então:

( ) ( )wF jwt f .'=ℑ ( 70 )

A figura a seguir ilustra uma função onde pode-se aplicar a propriedade da

derivada.

( )t f

t

∞→t

( ) 0→t f ( )t f ←0

t ←∞

Demonstração:



63

( )[ ] ( ) dt et f t f jwt ..''∞

∞−

−=ℑ

Utilizando a técnica de integração por partes, tem-se:

( ) ( )t f vdt t f dvew jdueu

t w jt w j

=→=

−=→=−−

...

'

....

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∞

∞−

−∞

∞−

∞

∞−

−−−−= dt e jwt f et f dt et f t w jt w jt w j ..... ......'

Desde que ( ) 0→t f quando ±∞→t :

( ) ( )∞

∞−

−∞

∞−

−= dt et f jwdt et f t w jt w j .... ....'

( ) ( )wF jwdt et f t w j .. ..'

∞

∞−

− =

Notas:

1) Desde que a derivada( )

n

n

dt

t f d exista podemos ter que a transformada:

( )( ) ( )wF jw

dt

t f d nn

n

.=

ℑ ( 71 )

2) A função f(t) pode apresentar descontinuidades finitas e a propriedade pode

ser aplicada, porém quando f(t) apresenta descontinuidades infinitas a propriedade não

pode ser aplicada.

Exemplos

1) Encontre a transformada de Fourier da seguinte função, utilizando a

propriedade da derivada:

1

2-2

g(t)

t 0

G(w) = ?



64

Solução

(1).Uo(t+2)

2

-2

g'(t)

t

(-1).Uo(t-2)

( ) ( ) ( )22 00'

−−+= t U t U t g

( )[ ] ( ) ( )[ ]22'

−−+ℑ=ℑ t U t U t g OO Do exemplo anterior:

( ) ( )[ ] ( )[ ]22.. −ℑ−+ℑ= t U t U wGw j OO

( ) ( )[ ] ( )[ ] 2..2.. .... w jO

w jO et U et U wGw j −

ℑ−ℑ=

( ) ( ) ( ) 2..2.. .1.1.. w jw j eewGw j −−=

( )w j

eewG

w jw j

.

2..2.. −−

=

( ) jee

wwG

w jw j

.2.2.1 2..2.. −−

=

( ) ( )ww

wG .2sen.2

=

( ) ( )ww

wG .2sen.2

.2

2=

( ) ( )wSawG .2.4=

Exercícios

3) Determine a transformada de Fourier das seguintes funções:

a) ( ) ( ) ( )2.2.31 1 −+−= t U t U t f o

Solução



65

( )[ ] ( ) ( )[ ]2.2.31 1 −+−ℑ=ℑ t U t U t f o

( ) [ ] ( )[ ] ( )[ ]2.2.31 1 −ℑ+ℑ−ℑ= t U t U wF o

( ) ( ) ( ) ( )( ) 2...1..21.3..2 w jo e jwwU wF −+−= π

( ) ( ) 2....23..2 w jo e jwwU wF −

+−= π

b)

1

1-1

f(t)

t

Aplicando a propriedade da derivada, tem-se:

1

1

-1

f'(t)

t

-1

1

1-1

f''(t)

t

-2.Uo(t)

Uo(t+1) U

o(t -1)

( ) ( ) ( ) ( )1.21''−+−+= t U t U t U t f ooo

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]1.21''−ℑ+ℑ−+ℑ=ℑ t U t U t U t f ooo

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )11.21. 1..1..2 −+−=

w jw j eewF jw

( ) w jw j eewF w ..2 2. −+−=−

( ) ( )wwF w cos.22.2+−=−

( ) ( )( ) 0,cos12

2≠−= ww

wwF

Obs:

( ) ( ) 0wpara,.. ..==

∞

∞−

− dt et f wF t w j



66

( ) ( )∞

∞−

−= dt et f F t j ..0 .0.

( ) ( ) ( )tf funçãodaárea,.0 ∞

∞−

= dt t f F

( )( )( )

=

≠−=

0wpara,1

0wpara,cos12

2w

wwF

7) Propriedade da Simetria

Se ( ) ( )[ ]t f wF ℑ= , então:

( )[ ] ( )w f t F −=ℑ

..2π ( 72 )Demonstração:

( ) ( )∞

∞−

= dwewF t f t w j ...2

1 ..

π

( ) ( )∞

∞−

= dwewF t f t w j ....2 ..π

Substituindo “ t “ por” –t “ na expressão tem-se:

( ) ( )∞

∞−

−=− dwewF t f t w j ....2 ..π

Permutando “ t” em “w” acima :

( ) ( )∞

∞−

−=− dt et F w f t w j ....2 ..π

( ) ( )[ ]t F w f ℑ=−..2π

( )[ ] ( )w f t f −=ℑ ..2π

8) Propriedade da Integração



67

Se ( )[ ] ( )wF t f =ℑ , então:

( ) ( ) ( ) ( )wF

w j

wU F d f o

t

.

.

1.0.. +=

ℑ

∞−

π λ λ ( 73 )

( ) ( )∞

∞−

= dt t f F .0 ( 74 )

8.3. Propriedades da Função Impulso

Algumas considerações são interessantes de serem abordadas sobre esta função,

que pode ser muito útil na análise de Fourier .

8.3.1. Definição:

( ) ( )

=∞

≠=

0,

0,0

t se

t set t U o δ ( 75 )

( )∞

∞−

= 1.dt t U o ( 76 )

Considere a função ( ) →t φ continua e identicamente nula fora de certo intervalo

finito, então podemos observar o seguintes aspectos:

1 - ( ) ( ) ( )∞

∞−

= 0.. φ φ δ dt t t ( 77 )

2 - ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ooo t dt t t t dt t t t φ φ δ φ δ =+=− ∞

∞−

∞

∞−

.... ( 78 )

Se a função g(t) é contínua em t = t o e se a < b, então:

3 - ( ) ( )( )

<<

<<=− atb para , 0

bta para ,..

o

oob

ao

t gdt t gt t δ ( 79 )

4 - ( ) ( ) ( ) ( )t f t t f δ δ .0. = ( 80 )

5 - ( ) ( )t t δ δ =− ( 81 )



68

6 - ( ) ( )t t δ α

α δ .1

. = ( 82 )

7 - ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )t t f t t f t t f δ δ δ ... '''+= ( 83 )

8 - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t f t f t t f δ δ δ .0.0. ''' −= ( 84 )

Se ( )t δ é derivada da função u(t) então:

9 - ( ) ( ) ( )∞∞

∞−

=

0

... dt t dt t t u φ φ ( 85 )

10 - ( ) ( ) ( )t f t t f =δ * ( 86 )

11 - ( ) ( ) ( )00* t t f t t t f +=+δ ( 87 )

8.4. Cálculo dos Coeficientes de Fourier (Série Complexa e Série trigonométrica)

por Diferenciação utilizando a Transformada de Fourier

Utiliza-se as seguintes expressões para obtermos os coeficientes da série

complexa e trigonométrica de Fourier .

Série Complexa de Fourier

( )00 ..1

wnF T

F n = ( 88 )

wwn =0. ( 89 )

Série Trigonométrica de Fourier

[ ]nn F a Re.2= ( 90 )

[ ]nn F b Im.2−= ( 91 )

Exemplo

1) Determinar as séries Exponencial e Trigonométrica de Fourier da seguinte

função periódica

1

1-1

f(t)

t -2-3 2 30

f 0 (t)



69

( )[ ] ( ) ( )[ ]t f wF wnF T

F n 0000 ..1

ℑ=→=

Do exercício 3-b, resolvido nesta nota de aula tem-se:

( ) ( )( ) π ==−= 020 2,cos1.2

wT ww

wF

π π π

===2

.2.2 pois 0 T

w

( ) ( )[ ]π ..2

1..

1000 nF wnF

T F n ==

( ) ( )( )

−=

π π .cos1..

2

2

1

2 nnF n

( )( )( )π

π .cos1.

.

12

nn

F n −=

( ) ∞

−∞=

=n

t wn jn eF t f ... 0.

( )( )

( )( ) ComplexaSérie..cos1.

1 ...2

−= ∞

−∞=

t n j

n

enn

t f π π π

Agora procede-se a análise da Série trigonométrica

[ ]nn F a Re.2=

[ ]nn F b Im.2−=

( )−

==2

2

00 ..

1

2

T

T

dt t f T

F a

( )( )

( ) ( )inspeção2

1

2.

.cos1

.20

0

2=

−==

a

n

n

ab nn π

π

( )( )

( )( ) ( ) ricaTrigonométSérie.cos..cos1.

2

2

1

12

−+= ∞

=

t nnn

t f n

π π π



70

8.5. Transformada Inversa de Fourier

A definição é expressa por:

( ) ( )∞

∞−

= dwewF t f t w j ...21 ..

π ( 92 )

Exemplo

1) Encontre a transformada inversa de Fourier , onde o espectro de amplitude e

fase do sinal é representado graficamente a seguir:

A

0-wc

w w

c

( )wF

0

-wc w

wc

( )wφ

2

π

2

π −

Solução

( ) ( ) ( )w jewF wF φ ..=

( )

>

<<

<<−

−<

=

−

c

c

j

c

j

c

ww

wwe A

wwe A

ww

wF

,0

0,.

0,.

,0

2.

2.

π

π

( ) ( )∞

∞−

= dwewF t f t w j ...2

1 ..

π

( )

+=

∞

∞−−

−

dwee Adwee At f t w j j

w

t w j j

c

.......2

1 ..2.0

..2. π π

π

j jej

−=

−

=

−

2sen.

2cos2

. π π π



71

j je j

=

+

=

2sen.

2cos2

. π π π

( )

+−=

−

c

c

wt w j

w

t w j

t j

e A j

t j

e A jt f

0

..0..

.

..

.

..

.2

1

π

( )

−+

−−=

−

t jt j

e A j

t j

e

t j A jt f

t w jt w j cc

.

1

...

..

1..

.2

1 ....

π

( )

−++−=

−

t

A

t

e A

t

e A

t

At f

t w jt w j cc ....

....2

1π

( ) [ ]11..2

....−++−=

− t w jt w j cc eet

At f

π

( ) ( )[ ]t wt

At f ccos.22..2

+−=π

( ) ( )[ ]1cos.

−= t wt

At f c

π

8.6. Transformada de uma Função Periódica

Seja f(t) uma função periódica de período T.

( ) ∞

−∞=

==n

ot wn j

n T wondeeF t f o

π .2,. ... ( 93 )

( )[ ]

ℑ=ℑ

∞

−∞=n

t wn jn

oeF t f .... ( 94 )

( ) [ ]∞

−∞=

ℑ=n

t wn jn

oeF wF .... ( 95 )

( ) ( )∞

−∞=

−=n

oon wnwU F wF ...2. π ( 96 )

Logo:

( ) ( )∞

−∞=

−=n

oon wnwU F wF ....2π



72

8.7. Transformada do Produto de Duas Funções

(Teorema da Convolução)

( ) ( )[ ] ( ) ( )( )wF wF t f t f 2121 ..21. ∗=ℑπ

( 97 )

( ) ( )[ ] ( ) ( )( )wF wF t f t f 2121 .=∗ℑ ( 98 )

8.8. Teorema de Parseval

O teorema de Parseval afirma que:

( ) ( )

∞

∞−

∞

∞−

= dwwF dt t f ..21. 221π ( 99 )

( ) ( ) ( ) ( )dt t f dwewF dt t f t f t w j ......21

.. 2..

121 ∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

=

π ( 100 )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

∞

∞−

−

∞

∞−

∞

∞−

= dwdt et f wF dt t f t f

wF

t w j

2

.....2

1.. ..

2121π

( 101 )

( ) ( ) ( ) ( )

∞

∞−

∞

∞−

−= dwwF wF dt t f t f .....2

1..

2121 π ( 102 )

Se f 1(t) e f 2(t) são funções reais:

( ) ( )

( ) ( )wF wF

wF wF *

22

*11

=−

=− ( 103 )

( ) ( ) ( ) ( ) ∞

∞−

∞

∞−

= dwwF wF dt t f t f ....2

1.. *

2121π

( 104 )

Se f 1(t) = f 2(t)

( ) ( ) ( ) ∞

∞−

∞

∞−

= dwwF wF dt t f ....21

. *11

21

π ( 105 )

( ) ( ) ( )w jewF wF φ .11 .= ( 106 )

( ) ( ) ( )w jewF wF φ .1

*1 . −

= ( 107 )



73

( ) ( ) ∞

∞−

∞

∞−

= dwwF dt t f ...2

1.

21

21

π ( 108 )

Se supormos que f(t) é a tensão de uma fonte aplicada a uma resistência de 1Ω

,então a quantidade :

( )∞

∞−

dt t f .2

1

é igual a energia total liberada pela fonte. Mas pelo teorema de Parseval:

( ) ( ) ( ) ∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

=== df wF dwwF dt t f E ....2

1.

222

π ( 109 )

Esta equação afirma que a energia latente de f(t) é dada por π

2

1vezes a área sob

a curva ( )2

wF . Por esta razão a quantidade ( )2

wF é chamada de espectro de energia

ou função densidade espectral de energia de f(t).

8.9. Aplicação de Fourier à Teoria das Comunicações

8.9.1 Modulação em Amplitude

O método de processar um sinal para uma transmissão mais eficiente é chamado

de modulação. Um dos tipos de modulação comumente utilizado baseia-se no seguinte

teorema da translação de freqüência (às vezes chamado de teorema da modulação) da

transformada de Fourier . Este teorema afirma que a multiplicação de um sinal f(t) por

um sinal senoidal de freqüência cw translada seu espectro de cw± .Os tipos de

modulação em amplitude (AM) são: AM-DSB(Double-Sideband Amplitude

Modulation), AM-DSB-SC(Double-Sideband Supressed Carrier Amplitude

Modulation), AM-SSB(Single-Sideband Amplitude Modulation), AM-VSB(Vestigial-

Sideband Amplitude Modulation). Cada um destes tipos de modulação é caracterizado

por cinco propriedades básicas:

1) Representação no domínio temporal do sinal modulado.2) Representação no domínio da freqüência do sinal modulado.3) Largura de faixa do sinal sinal modulado.4) Potência contida no sinal modulado.



74

5) Relação sinal ruído (SNR) depois da demodulação.O objetivo deste curso é fornecer subsídios para a análise e interpretação da

relação entre representações no domínio de tempo e freqüência que serão expressas

através da relação de transformação de Fourier .

Exemplo

1) Determine o espectro e a transformada de Fourier de um sinal f(t)

multiplicado por um cos(wc.t).

cos(w c .t)

f(t)

Multiplicador Solução

( )[ ] ( )wF t f =ℑ

( )[ ] ( ) ( )C C C wwU wwU t w −++=ℑ 00 ..cos π π

( ) ( )[ ] Convoluçãodateoremapelocos. ℑ t wt f C

( ) ( )[ ] ( ) ( )( )wF wF t f t f 2121 ..21

. ∗=ℑπ

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] C C C wwU wwU wF t wt f −++∗=ℑ 00 ...2.1cos. π π π

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) C C C wwU wF wwU wF t wt f −∗++∗=ℑ 00 ...2.

1cos. π π

π

( ) ( )[ ] ( ) ( )C C C wwF wwF t wt f −++=ℑ .2

1.

2

1cos.

A multiplicação de um sinal f(t) por um sinal senoidal de freqüência C w

translada seu espectro de C w± .

w 0

( )wF

w m -w m



75

w C w− C w

( )C wwU −0.π ( )C wwU +0.π

( )[ ]t wC .cosℑ

w C w− C w

mC ww +mC ww +−mC ww −−

( ) ( )[ ]t wt f C .cos.ℑ

mC ww −0

2 ) Ache o espectro de freqüências de um sinal ordinário de AM, sabendo que

este sinal (AM) é habitualmente escrito na forma:

( ) ( )[ ] ( )t wt mK t f C .cos.1. +=

Onde a senoide ( )t wC cos é a portadora

portadoradaFreqüência.2

→=π C

C

w f

A figura a seguir mostra o exemplo de uma forma de onda de um sinal ordinário

de AM-DSB.(Amplitude Modulada com Dupla Faixa Lateral)

m(t)

t

m0

-m0

Sinal de Mensagem

1

-1

1+m0

1-m0

-1+m0

-1-m0

( ) ( )[ ] ( )t wt mt f C .cos.1+=

t Sinal AM-DSB

Desde que m(t)<1, observamos que k.[1+m(t)]>0 parra k>0



76

Solução

Aplicando a propriedade da linearidade (super posição) e o teorema da

translação de freqüência, a transformada de Fourier de f(t) fica:

( ) ( )[ ]t f wF ℑ=

( ) ( )[ ] ( )[ ]t wt mK wF C cos.1. +ℑ=

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ].cos...cos. t wt mK t wK wF C C ℑ+ℑ=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C C C ww M K ww M K wwU K wwU K wF ++−+++−= .2

1.

2

1.... 00 π π

Onde ( )[ ] ( )w M t m =ℑ

m(w)

w -w

m w

m 0

-w C -w

m

w 0 -w

C +w

m w

C w

C -w

m -w

C w

C +w

m

( )wF

0..

2

1 M K

( )C wwK +δ π .. ( )C wwK −δ π ..

FLI FLS

A potência conduzida pela portadora representa perda de potência de 33%

3) Supondo que o sinal de mensagem m(t) em um sinal ordinário de AM:

( ) ( )[ ] ( )t wt mK t f C cos.1. +=

Seja um sinal senoidal.

( ) ( ) 10,,.cos.00

<<<= mwwt wmt mC mm

Encontre o espectro do sinal AM, neste caso:

Solução

O sinal AM para este caso é dado por,



77

( ) ( )[ ] ( )t wt wmK t f C m cos..cos.1. 0+=

usando a identidade trigonométrica:

( ) ( ) ( ) ( ) B A B Aba ++−= coscos21

cos.cos

podemos escrever a expressão novamente como:

( ) ( ) ( ) ( )t wwmK t wwmK t wK t f C mC mC ++−+= cos...2

1cos...

2

1.cos. 00

então usando:

( )[ ] ( ) ( )00000 ...cos wwU wwU t w ++−=ℑ π π

teremos:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]mC mC mC mC C C wwwU wwwU wwwU wwwU mK wwU wwU K wF −−++−++++−++++−= 0000000 ..2

1.. π π

Assim as faixas laterais ficam como impulsos em mC www±=

.F(w)

w C w− C w

mC ww +mC ww −mC ww +−mC ww −−

( )C wwU K −0..π ( )C wwU K −0..π

( )mC wwwU mK −−00 ....2

1π ( )mC wwwU mK −−00 ....

2

1π

4) Mostre que o espectro de um sinal modulado pode ser convenientemente

recolocado na sua posição original, multiplicando no receptor, o sinal modulado por

( )t wC cos .

Solução

Supondo que o sinal modulado é expresso como:

( ) ( ) ( )t wt mt f C .cos.= Onde m(t) é um sinal limitado em faixa.

Então como indica a figura a seguir multiplicando o sinal recebido f(t) por

( )t wC cos , temos:



78

Multiplicador F.P.F

( )t wC .cos

m(t)( ) ( )t wt m C .cos. 2( ) ( ) ( )t wt mt f C .cos.=

( ) ( ) ( ) ( ) == t wt mt wt f C C .cos..cos. 2

( ) ( ) ( ) ( )( )t wt mt wt f C C ..2cos1.2

1..cos. +=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t wt mt mt wt f C C ..2cos..2

1.

2

1.cos. +=

( )[ ] ( ) ( ) mww M w M t m >==ℑ w para ,0 e , assim

( ) ( )[ ] ( ) ( )t wt mt wt f C C .cos..cos. 2ℑ=ℑ ,

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

ℑ+

ℑ=ℑ t wt mt mt wt f C C ..2cos..

2

1.

2

1.cos. ,

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )C C C ww M ww M w M t wt f .2.4

1.2.

4

1.

2

1.cos. ++−+=ℑ ,

F(w)

w C w− C w

mC ww +mC ww −mC ww +−mC ww −−

0.2

1 M

0

w C w.2−

0.2

1 M

0

( ) ( )[ ]t wt f C .cos.ℑ

C w.2

Filtro

8.9.2. Teorema da Amostragem

O teorema da amostragem uniforme do tempo afirma que, se uma função do

tempo f(t) não contém componentes de freqüências mais altas que f M hertz então f(t)

pode ser completamente determinada por seus valores situados em intervalos uniformes

e de separação menores que 1/(2.f M ) segundos.



79

Este processo pode ser implementado de diversas maneiras, sendo que o mais

popular é a operação de amostragem e retenção. Nesta operação um mecanismo

de chaveamento e armazenagem ( tal como um transistor e um capacitor)

formam uma seqüência de amostras de uma forma de onda continua de entrada.

Na saída o processo de amostragem é chamado de modulação por amplitude de

pulso( PAM – Pulse Amplitude Modulation), devido aos sucessivos intervalos

de saída poderem ser descritos, como uma seqüência de pulsos com amplitudes

derivadas das amostras da forma de onda de entrada.

Assim uma importante pergunta é: O quanto próximo pode uma forma de onda

PAM aproximar-se da forma de onda original de entrada? A resposta a esta questão é

justamente o que determina o teorema da amostragem. Um sinal de banda limitada com

nenhuma componente espectral acima de f m hertz pode ser pode ser determinada pelosvalores amostrados para intervalos uniformes de :

sec.2

1

m

S f T ≤ ,

Analisando em termos da freqüência de amostragem ou taxa de amostragem,

temos:

mS f f .2≥ ,

Em particular a taxa de amostragem mS f f .2= é também chamada taxa de

Nyquist. O critério de Nyquist é uma condição teoricamente suficiente para permitir que

um sinal analógico possa ser reconstruído completamente a partir de um conjunto de

amostras de tempo discreto espaçadas uniformemente.

A seguir analisaremos o teorema da amostragem utilizando uma aproximação de

amostragem por impulsos.

8.9.2.1. Amostragem Impulsiva

Aqui demonstraremos o teorema da amostragem utilizando a propriedade da

convolução da Transformada de Fourier . Vamos analisar o caso de amostragem ideal

com uma seqüência da função impulso unitário. Assuma uma forma de onda analógica,

x(t) como mostrado na Figura (1a), com uma transformada de Fourier, X(f), o qual é

zero fora do intervalo mm f f f <<− , como ilustra a Figura (1b). A amostragem de x(t)



80

pode ser vista como o produto de x(t) com um trem periódico de funções impulsos

unitários

t xδ , ilustrado na Figura (1c) e definido como:

( ) ( )

∞

∞−=−=

nS T nt t x .δ δ ,

Onde Ts é o período de amostragem e

t δ é o impulso unitário ou função delta

de Dirac. Façamos a seguinte escolha: mS f T .2 / 1= , o qual satisfaz a mínima condição

do critério de Nyquist. A propriedade do deslocamento temporal da função impulso

estabelece que:

000 .. t t t xt t t x −=− δ δ ,

Usando esta propriedade, nós podemos ver que

t xS , a versão amostrada de

x(t) ilustrada na Figura (1e) , é dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞

∞−=

−==n

S S T nt t xt xt xt x ... δ δ ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞

∞−=

−==n

S S S T nt T n xt xt xt x .... δ δ ,

Utilizando a propriedade da convolução da Transformada de Fourier , nós

podemos transformar o produto no domínio do tempo

t xt x δ . da equação acima

para uma convolução no domínio da freqüência

∗

f X f X δ , onde:

∞

∞−=

−=

n

S S

f n f T

f X .1

δ δ

é a Transformada de Fourier do trem de impulsos

t xδ e onde S S T f / 1= é a

freqüência de amostragem. Notando que a transformada de Fourier de um trem deimpulsos é um outro trem de impulsos; os valores de período dos dois trens estãorelacionados um com o outro . A Figura (1c) e a Figura (1d) ilustram o trem de impulsos

t xδ e sua transformada de Fourier

f X δ , respectivamente.

A convolução com uma função impulso simplesmente desloca a função originalcomo segue:

−=

−∗

S S f n f X f n f f X ..δ



81

Nós podemos agoram resolver a transformada

f X S de uma forma de onda

amostrada:

−∗

=

∗

=

∞

∞−=

..1

n

S S

S f n f

T

f X f X f X f X δ δ

∞

∞−=

−=

∗

=

n

S S

S f n f X T

f X f X f X .1

δ

Nós assim concluímos que dentro da largura de banda original, o espectro

f X S do sinal amostrado

t xs está dentro de um fator constante (1/T S ) exatamente

o mesmo de x(t). Em adição, o espectro repete-se periodicamente na freqüência a cada f S hertz. Os impulsos agem como função amostragem. Daí, a convolução pode ser

realizada graficamente pela varredura do trem de impulsos

f X δ na Figura (1d)

através da transformada

f X na Figura (1b).Esta amostragem de

f X realizado

para cada passo na varredura das réplicas de

f X para cada posição de freqüência do

trem de impulsos, resulta em

f S X , mostrado na Figura (1f).

Quando a taxa de amostragem é escolhida, tal como m f s f .2= , cada replicaespectral é separada de cada um de seus vizinhos por uma largura de faixa exatamente

igual a s f hertz, e a forma de onda analógica pode teoricamente ser completamenterecomposta por amostras, utilizando filtragem. Entretanto, um filtro com precisão exataseria necessário. Se a taxa de amostragem fosse escolhida como m f s f .2> , as replicasestariam separadas na freqüência, como ilustra a Figura (2a), facilitando a performancede operação do filtro. Um típico filtro com características passa baixas poderia serutilizado para separar o espectro em banda básica , é ilustrado na figura. Quando a taxade amostragem é reduzida para m f s f .2< , as replicas se sobrepõe, como ilustra a Figura(2b), e alguma informação será perdida. O fenômeno resultante de uma subamostragem(amostragem a uma taxa baixa) , tem o nome de aliasing. A taxa de Nyquist m f s f .2= , éa taxa de amostragem abaixo da qual o aliasing ocorre, para evitar aliasing, o critériode Nyquist m f s f .2≥ precisa ser satisfeito.



82



83

t

0

(f)

f s X

-f m f m

x(t)

0

(a)

f 0

(b)

f X

-f m

f m

-f S

f S -2.f

S

f

0

(d)

∞

∞−=

−=

n

s f n f sT

f X .1

δ δ

-f S f S

f -2.f S

0

(e)

0

(c)

∞

∞−=

−=

n

sT nt t X .δ δ

-2.T S 2.T S

f 4.T S -4.T S

=

t xt xt s x δ ..

4.T S 2.T S -2.T S -4.T S

sT 11

Figura – 1



84

0

(a)

f s X

-f m

f m -f

S f S

-2.f S

f 2.f

S

0

(b)

f s X

-f m

f m -f

S f S

-2.f S

f 2.f

S

Figura –2



85

Matlab

O sinal de mensagem representado por:

( )

<≤−

<≤

=

contráriocaso

t t

t

t t

t m

,03

.2

3,2

30,1

00

0

Modula a portadora ( ) ( )t f t c C ...2cos π = , utilizando um esquema convencional

de modulação AM-DSB. Assume-se que Hz f C 250= e 15.00 =t , determine :

a) Uma expressão para o sinal modulado.b) Faça a representação gráfica do sinal de mensagemc) Faça a representação gráfica do sinal modulado, com os seguintes índices de

modulação(a) : a) 30%, b) 50%, c) 70%, d) 85%, e)100%, f)140%.d) Represente graficamente o espectro da mensagem e do sinal modulado, para

o índice de modulação a = 50, a =0.85.e) Se a mensagem do sinal é periódica com período igual a t0 , detemine a

potência no sinal modulado e a eficiência de modulação.

f) Se um sinal de ruído é adicionado na mensagem com uma SNR na saída dodemodulador de 10dB, encontre o conteúdo de potência no sinal de ruído.

Programa Matlab

Arquivo –1

function u=am_mod(a,m,ts,fc)

% u=am_mod(a,m,ts,fc)

%AM_MOD takes signal m sampled at ts and carrier

% freq. fc as input and returns the AM modulated% signal. "a" is the modulation index.

% and ts << 1/2fc.

t=[0:length(m)-1]*ts;

c=cos(2*pi*fc.*t);

m_n=m/max(abs(m));

u=(1+a*m_n).*c;



86

Arquivo –2

% am.m

% Matlab demonstration script for DSB-AM modulation. The message signal% is +1 for 0 < t < t0/3, -2 for t0/3 < t < 2t0/3 and zero otherwise.

echo on

t0=.15; % signal duration

ts=0.001; % sampling interval

fc=250; % carrier frequency

snr=10; % SNR in dB (logarithmic)

a=0.85; % Modulation index

fs=1/ts; % sampling frequency

t=[0:ts:t0]; % time vector

df=0.2; % required frequency resolution

snr_lin=10^(snr/10); % SNR

% message signal

m=[ones(1,t0/(3*ts)),-2*ones(1,t0/(3*ts)),zeros(1,t0/(3*ts)+1)];

c=cos(2*pi*fc.*t); % carrier signal

m_n=m/max(abs(m)); % normalized message signal

[M,m,df1]=fftseq(m,ts,df); % Fourier transform

M=M/fs; % scaling

f=[0:df1:df1*(length(m)-1)]-fs/2; % frequency vector

u=(1+a*m_n).*c; % modulated signal

[U,u,df1]=fftseq(u,ts,df); % Fourier transform

U=U/fs; % scaling

signal_power=spower(u(1:length(t))); % power in modulated signal

% power in normalized message

pmn=spower(m(1:length(t)))/(max(abs(m)))^2;

eta=(a^2*pmn)/(1+a^2*pmn); % modulation efficiency

noise_power=eta*signal_power/snr_lin; % noise power

noise_std=sqrt(noise_power); % noise standard deviation

noise=noise_std*randn(1,length(u)); % generate noiser=u+noise; % add noise to the modulated signal

[R,r,df1]=fftseq(r,ts,df); % Fourier transform

R=R/fs; % scaling

pause % Press a key to show the modulated signal power

signal_power

pause % Press a key to show the modulation efficiency



87

eta

pause % Press any key to see a plot of the message

subplot(2,2,1)

plot(t,m(1:length(t)))

axis([0 0.15 -2.1 2.1])xlabel('Time')

title('The message signal')

pause

pause % Press any key to see a plot of the carrier

subplot(2,2,2)

plot(t,c(1:length(t)))

axis([0 0.15 -2.1 2.1])

xlabel('Time')

title('The carrier')

pause % Press any key to see a plot of the modulated signal

subplot(2,2,3)

plot(t,u(1:length(t)))

axis([0 0.15 -2.1 2.1])

xlabel('Time')

title('The modulated signal')

pause % Press any key to see a plots of the magnitude of the message and the

% modulated signal in the frequency domain.

subplot(2,1,1)

plot(f,abs(fftshift(M)))xlabel('Frequency')

title('Spectrum of the message signal')

subplot(2,1,2)

plot(f,abs(fftshift(U)))

title('Spectrum of the modulated signal')

xlabel('Frequency')

pause % Press a key to see a noise sample

subplot(2,1,1)

plot(t,noise(1:length(t)))

title('noise sample')

xlabel('Time')

pause % Press a key to see the modulated signal and noise

subplot(2,1,2)

plot(t,r(1:length(t)))

title('Signal and noise')

xlabel('Time')



88

pause % Press a key to see the modulated signal and noise in freq. domain

subplot(2,1,1)

plot(f,abs(fftshift(U)))

title('Signal spectrum')

xlabel('Frequency')subplot(2,1,2)

plot(f,abs(fftshift(R)))

title('Signal and noise spectrum')

xlabel('Frequency')

RESUMO TRANSFORMAÇÕES DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO

Domínio do

Tempo Periódico Não Periódico

Continuo

( )

( )

( ) T wT t x

dt et xT n

F

neF

T

T

t wn j

t wn jn

π .2

0

...1

.tx

2

2

...

...

0

0

Fourier-Séire

=→

=

∞

−∞=

=

−

−

( ) ( )

( ) ( )

∞

∞−

−

∞

∞−

=

=

dt et xw X

dwew X

t w j

t w j

..

...2

1tx

..

..

Fourier-daTransforma

π

Não

periódico

Discreto ContinuoDomínio da

Freqüência



89

Nota de Aula - V

9.5 12 – Transformada de LAPLACE

9.6 12.1 – Definição

Observando o estudo da transformada de Fourier sabe-se que:

( ) ( ) dt et f wF t w j .. ..∞

∞−

−= (

110 )

Então

( ) ?..

=ℑ− t

et f σ

( 111)

( ) ( ) dt eet f wF t w jt ... ...∞

∞−

−−=

σ ( 112

)

( ) ( ) ( ) dt et f wF t w j .. .∞

∞−

+−=

σ ( 113

)

sw j∆

=+ .σ ( 114

)

Logo tem-se:

( ) ( ) dt et f wF t s .. .∞

∞−

−=

( 115

)

A transformada de Laplace da equação acima é chamada de transformada de

Laplace Bilateral, pode existir ainda a unilateral definida abaixo:

Se f(t) é causal ( ) 0tpara,0 <=→ t f

( ) ( ) dt et f wF t s ..

0

.∞

−=

( 116

)Ou seja a transformada de Laplace muda um sinal dentro de outro de acordo

com algum conjunto fixado de regras ou equações.

Notamos que a transformada bilateral e unilateral são equivalentes se e somente

se

( ) 0tpara,0 <=t f .



90

Pode-se também estipular um plano denominado de S, mostrado a seguir:

w j.

σ

( )sF

Onde:

iaconvergêncdeAbscissa→σ ( 117

)

Anotação é a seguinte:( )[ ] ( ) LaplacededaTransformatf →= sF ( 118

)

( ) ( )[ ] LaplacedeinversadaTransformasF1→=

−t f ( 119

)

9.7 9.2 – Região de Convergência

A faixa de valores para a variável complexa s , onde a transformada de Laplace

converge é chamada de RDC (região de convergência) ou em inglês ROC (Region of

Convergence)

Exemplos

1) Considere o sinal :

( ) ( )t uet f t ..α −= ( 120

)

Onde α , é real. Então pela definição de transformada de Laplace de f(t)

tem-se:

( ) ( ) ( )[ ]∞

∞−

−−∞

∞−

−== dt et uedt et f sF t st t s ..... ... α

( 121

)

( ) ( ) ( ) ( ) asas

eas

dt esF t st as−>

+=

+−==

∞

+−∞

+−

Re,11

.0

.

0

. α ( 122

)



91

( ) ( ) ( ) ae t as

t −>>+=∴

+−

∞→sReou0asRese,somenteese,0limpois . ( 123

)

A seguir a figura ilustra como isto ocorre no plano complexo:

w j.

σ -a

Plano S

w j.

σ -a

Plano S

a < 0a > 0

Assim:

( )

( )RDC

>=

−>+=

1sRe-1a

1sRe1a

( 124

)

Na transformada de Laplace o plano complexo é designado como plano S. O

eixo

horizontal é designado como eixo σ . Oeixo vertical é designado como eixo jw.

2 ) Considere o sinal :

( ) ( )t uet f t −−=

− ..α ( 125

)

Onde α , é real. Então pela definição de transformada de Laplace de f(t) tem-

se:

( ) ( ) ( )[ ]∞

∞−

−−∞

∞−

−−−== dt et uedt et f sF t st t s ..... ... α

( 126

)

( ) ( ) ( ) ( ) asas

eas

dt esF t st as−<

+=

+=−=

∞−

+−

∞−

+−

<

Re,11

.

0

.0

.

0α

( 127

)



92

( ) ( ) ( ) ae t as

t −<<+=∴

+−

−∞→sReou0asRese,somenteese,0limpois . ( 128

)

A seguir a figura ilustra como isto ocorre no plano complexo:

w j.

σ -a

Plano S

w j.

σ -a

Plano S

a < 0a > 0

Comparando os exemplos (1) e (2) notamos que a expressão algébrica de

F(s) para

estes dois sinais são idênticas exceto pela RDC. Assim no sentido da

transformada de Fourier ser única para cada sinal f(t), a RDC precisa ser especificada

como parte da transformada.

9.8 9.3 – Interpretação de Pólos e Zeros

Normalmente F(s) poderá ser expresso por uma função racional :

( ) ( )

( ) ( )n

m

nnn

mmm

ps psb

zs zsa

bsbsb

asasasF

−−

−−=

+++

+++=

−

−

...........

...........

.........

.........)(

10

101

10

110

( 129

)

( )

( ) mnseimprópriaracionalfunção

mnseprópriaracionalfunção

positivosinteirossão e

reaisconstantessão e

≤→

>→

→

→

sF

sF

nm

ba k k

( 130

)

→k Z raízes do numerador polinomial são chamados de zeros de F(s), porque

F(s) = 0 para estes valores de S.

→k P raízes do denominador polinomial são chamados de pólos de F(s), porque

( ) ∞→sF ,para estes valores de S.



93

RDC

1) Os pólos de F(s) estão fora da RDC, pois F(s) não converge para pólos, pela

definição.

2) Os zeros por outro lado podem cair dentro ou fora da RDC.

Assim uma representação compacta de F(s) no plano S mostra a localização de

pólos e de zeros além da RDC.

Pólos – Representado por “x”.

Zeros – Representado por “o”.

Exemplo

1) ( ) ( )( )3.1

2

.23.4

4.22 ++

+

=++

+

= ss

s

ss

s

sF

note que F(s) tem:

• Zero em s = -2• Pólo em s = -1

s = -3

• RDC – Re(s) > -1 Representação gráfica do plano S, com a localização dos pólos e zeros.

w j.

σ -1

Plano S

-2-3

O seguinte site na Internet fornece simulações para o melhor entendimento sobre

este assunto: http://www.jhu.edu/~signals/explore/index.html.Programas do Matlab também são úteis para explorar o conceito de pólos e

zeros.

9.9 9.4 – Transformada de Laplace de algumas funções



94

1) ( ) ( )t u At f .=

( ) ( )∞

∞−

−= dt et f sF t s .. .

( 131

)

( ) ( )[ ] ( ) 0Re,......0

.

0

..>=

−===

∞−∞

−∞

∞−

−

ss

As

e Adt e Adt et u AsF t st st s ( 132

)

2) ( ) ( ) ( )t uet uet x t t .. .3.2 −−+=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )23Re,3

1.

12Re,2

1.

.3

.2

−>+

↔

−>+

↔

−

−

ss

t ue

ss

t ue

t

t

( 133

)

A RDC da equação (1) e (2) sobrepostas, fica:

( )( )( ) ( )( ) ( )( )32

2

5.2

32

5.2

32

23

3

1

2

1

++

+

=++

+=

++

+++=

++

+=

ss

s

ss

s

ss

ss

sss X

( 134

)

Re(s) > -2:

Zero :2

5−=s pólo :

3

2

2

1

−=

−=

s

sRDC – Re(s)>-2

Representação gráfica do plano S, com a localização dos pólos e zeros.

w j.

σ -2

Plano S

-3 -2,5

3) ( ) ( ) ( )t uet uet x t t −+=

−− .. .2.3 Comparando com as tabela dos principais pares de transformadas de Laplace

tem-se:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )asas

t ue

asas

t ue

t a

t a

ReRe,1

.

ReRe,1

.

.

.

−<+

↔−−

−>+

↔

−

−

( 135

)

Logo :



95

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )22Re,2

1.

13Re,3

1.

.2

.3

<−

−↔−

−>+

↔−

ss

t ue

ss

t ue

t

t

( 136

)

A RDC da equação (1) e (2) sobrepostas, fica:

( )( )( )32

5

2

1

3

1

+−

−=

−−

+=

sssss X

( 137

)

-3 < Re(s) < 2:

Zero : nenhum pólo :3

2

2

1

−=

=

s

sRDC – -3 <Re(s) <

2

Representação gráfica do plano S, com a localização dos pólos e zeros.

w j.

σ 2

Plano S

-3

4) ( ) ( ) ( )t ut t f .sen=

( ) ( )∞

∞−


( 138

)

( ) ( ) ( )[ ] ∞

−

−∞

∞−

−

−==

0

.

..

. ...2

...sen dt e jeedt et ut sF t s

t jt j

t s ( 139)

( ) ( ) ( )

−=

∞

+−

∞

−

0

.

0

. ...2

1dt edt e

jsF t s jt s j

( 140

)



96

( )( ) ( )

( )

+−

−−

−=

∞+

∞−

0

.

0

.

.2

1

s j

e

s j

e

jsF

t s jt s j

( 141

)

( )

+−

−=

js js jsF

11.

.2

1

( 142

)

( )( )

( )( ) 1

.2.

.2

1

..

.2

12

+

+−

−−+=

s

j

j js js

js js

jsF

( 143

)

( )1

12

+=

ssF , Re(s)>0

( 144

)

5) ( ) ( ) ( )t ut t f .cos=

( ) ( )∞

∞−


( 145

)

( ) ( ) ( )[ ] ∞

−−

∞

∞−

−

+==

0

...

. ..2

...cos dt eee

dt et ut sF t st jt j

t s ( 146

)

( )

+=

∞

−−

∞

−

0

..

0

.. ....2

1dt eedt eesF t st jt st j

( )( )

( )

( )

( )

+−

−−

−=

∞+∞−

0

.

0

.

2

1

s j

e

s j

esF

t s jt s j

( )( ) ( ) ( ) ( )

++

−=

++

−−=

js js jss jsF

11.

2

111.

2

1

( )( )

( )( ) 1

.2.

2

1

..

2

12

+

+−

−++=

s

s

js js

js jssF

( )12

+=

sssF , Re(s)>0

6) ( ) ( )t uet f t a ..±=



97

( ) ∞

−=

0

.. ... dt eesF t st a

( )( )

∞

−−

=0

.

.dt esF t as

( )( )

( ) ( )asasas

esF

t as

ReRe,1

)(0

.

−>=−−

=

∞−−

9.10 9.4.1 – Alguns Pares de Transformadas de LAPLACE

( )t x ( )s X RDC ( )t δ 1 stodo

( )t u s

1 ( ) 0sRe >

( )t u −− s

1 ( ) 0sRe <

( )t ut . 2

1

s ( ) 0sRe >

( )t ut K . 1!+K sK ( ) 0sRe >

( )t ue t a ..− as +

1 ( ) ( )aResRe −>

( )t ue t a−−

− .. as +

1 ( ) ( )aResRe −<

( )t uet t a .. .− ( )2

1

as + ( ) ( )aResRe −>

( )t uet t a −− − .. . ( )2

1

as + ( ) ( )aResRe −<

( ) ( )t ut w ..cos 0 20

2 ws

s

+ ( ) 0sRe >

( ) ( )t ut w ..sen 0 20

20

ws

w

+ ( ) 0sRe >



98

( ) ( )t ut we t a ..cos. 0.−

( ) 20

2 was

as

++

+ ( ) ( )aResRe −>

( ) ( )t ut we t a ..sen. 0.−

( )

2

0

2

20

was

w

++

( ) ( )aResRe −>

9.11 9.5 – Propriedades da Transformada de Laplace

1) Linearidade( ) ( )

( ) ( )sF t f

sF t f

22

11

↔

↔

2

1

RRDC

RRDC

=

=

Então:

( ) ( ) ( ) ( )sF asF at f at f a 22112211 .... +↔+ 21'RDC R R R ∩=

Representação gráfica de uma situação qualquer no plano S.

w j.

σ a

2

Plano S

w j.

σ

Plano S

a1

w j.

σ

Plano S

a1a2

21' R R R ∩=

2 R1 R

As demais propriedades considera-se a seguinte figura do plano S, como

referênciapara análise:



99

w j.

σ

Plano S

' R

β

2) Deslocamento Temporal

( ) ( )sF t f ↔ R=RDC

( ) ( )sF et t f ot s ..0

−↔− R=

'R

α

w j.

σ

Plano S

' R

β

3) Deslocamento no Domínio S

( ) ( )sF t f ↔ R=RDC

( ) ( )0. . ssF t f e t so −↔ ( )0

' ReR s R +=

( )osRe+α

w j.

σ

Plano S

' R

( )osRe+ β



100

4) Mudança de Escala

( ) ( )sF t f ↔ R=RDC

( )

↔

a

sF

at a f .

1. Ra R .'

=

α .a

w j.

σ

Plano S

' R

β .a

Exemplo

( )[ ] ?.sen =t a (

147 )

( )[ ] 1

1sen 2 += st

(

148 )

( )[ ]22

2

22

2

22

1.

1

1

1.

1

1

1.

1.sen

as

a

a

asa

a

sa

a

sat a

+=

+=

+

=

+

= (

149 )

5) Reversão temporal

( ) ( )

( ) ( ) R RsF t f

R RDC sF t f

−=−↔−

=↔

'

(

150 )

6) Derivação no domínio do tempo



101

( ) ( )

( )( ) R RsF s

dt

t f d

R RDC sF t f

⊃↔

=↔

'.

(

151 )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

'

0 onde0. ==−= t t f f f sF st f

(

152 )

( ) ( ) ( ) ( )00.. '2'' f f ssF st f −−= (

153 )

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )00.0.. '''23''' f f s f ssF st f −−−= (

154 )

.

.

.

( )[ ] ( )∞

−=

0

.'' .. dt et f t f t s (

155 )

Fazendo a seguinte transformação:

( ) ( )t f vdt t f dv

dt esdueu t st s

==

==−−

.

..'

..

(

156 )

Tem-se

( )[ ] ( )[ ] ( )∞

−

∞

− +=0

.0

.' .... dt et f st f et f t st s (

157 )

Exemplo

( ),......3,2,1,

.=↔ k s

dt

t U d k k o

k

(

158 )

7) Derivação no domínio S

( ) ( )

( )( )

R Rds

sF d t f t

R RDC sF t f

=↔−

=↔

'..

(

159 )

8) Integração no domínio do tempo



102

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0Re1

. '>∩=↔

=↔

∞−

s R RsF s

duu f

R RDC sF t f t

(

160 )

Introduz um pólo adicional s=0 pela multiplicação pors1 , pois a

integração é a

operação inversa da multiplicação.

9) Transformada de Laplace de potência de t

Se ( )[ ] ( ) ( ) ?., == t f t entãosF t f n

( )[ ] ( )∞ −

=0

. ..... dt et f t t f t t snn (161 )

( ) t snnn

t sn

t st s

t st s

t st s

t st s

et ds

ed

et ds

ed

et ds

ed

esdt

ed

esdt

ed

..

.22

.2

..

.22

.2

..

..1

.

.

.

.

−−

−−

−−

−−

−−

−=

∴

−=

−=

=

−=

(

162 )

( )n

t snnt sn

ds

ed et

.. .1.

−−

−= (

163 )

( )( ) ( ) ( )∞

−−

∞

−=−

0

..

0

...1..1. dt et f ds

d dt e

ds

d t f t s

n

nnt s

n

nn

(

164 )

( )( ) ( ) ( ) +−

∞

∈−=− Z nsF ds

d dt e

ds

d t f

n

nnt s

n

nn ,..1..1. .

0

(

165 )

10) Convolução

( ) ( )

( ) ( ) 222

111

R RDC sF t f

R RDC sF t f

=↔

=↔

(

166 )



103

Então ( ) ( ) ( ) ( ) 21'

2121 . R R RsF sF t f t f ∩⊃↔∗

11) Transformada de funções singulares

( )[ ]

( )[ ] sann

nn

esat U

st U .. −

=−

=

(

167 )

Exemplo

( )[ ]

( )[ ] ( )

∞

−−−

−

=

=

0

.44

4

..

?

dt et U t U

t U

t s

(

168 )

( ) ( ) ( )∞

−−−− →=

0

.1

3

1

3

4 ...!3

.!3

dt et U t

t U t

t U t s (

169 )

( ) ( )∞

−− =

0

.34 ..1..

!3

1dt et t U t s

(

170 )

( )[ ] [ ]14

34

!,

!3.

!3

1.

3

1+− ===

nn

s

nt pois

st t U

(

171 )

( )[ ] 444

1 −− == s

st U

(

172 )

Exemplos

1) Encontre a transformada de Laplace dos seguintes sinais

a) ( )( ) ( ) ( )t ut f t xs X

.?==



104

f(t)

t

1

1-1

x ' (t)

t

UO(t)

1

-1

0

x(t)

t

1

1-1

x "(t)

t

U1(t)

10

-UO(t)

UO(t-1)

( ) ( ) ( ) ( )1001'' −+−= t U t U t U t f (

173 )

Integrando-se tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )1221 −+−= −−− t U t U t U t f (

174 )

Logo através da tabela de propriedades de Laplace :

( ) sesss

sF −+−= .

11122

(

175 )

9.12 9.6 – Transformada Inversa de Laplace

9.6.1 – Definição e Representação

A transformada inversa de Laplace transforma o sinal do domínio S em

um sinal

que pode ser interpretado no domínio temporal.

( ) ( ) sF t f 1−=

(

176 )

9.6.2 – Métodos para determinar ( ) sF 1−



105

1) Fórmula de Inversão

( ) ( )

∞±

=

.

. ....2

1

jc

t s dsesF j

t f π

(

177 )

2) Utilizar tabela dos pares de transformada de Laplace

( ) ( ) ( ) ( )sF sF sF sF n+++= ........21 (

178 )

Uma tentativa de expressar F(s) em uma somatória onde F 1(s),

F 2(s),........., F n(s)

são funções com transformadas inversas conhecidas; f 1(t), f 2(t),......., f n(t), então

pela propriedade da linearidade tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )t f t f t f t f n+++= ........21 (

179 )

3) Expansão em Frações Parciais

( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( )n

m

ps ps

zs zsK

s D

s N s X

−−

−−==

........

.........

1

1 (

180 )

• Se X(s) é uma função racional própria ou seja, e m<n.

1) Caso : Pólo Simples:

Se todos os pólos são simples (ou distintos), então X(s) pode ser escrito

como:

( ) ( ) ( )n

n ps C ps C s X

−++

−= .........

1

1 (181 )

Onde os coeficientes Ck são dados por:

( ) ( )k psk k s X psC

=−= .

(

182 )



106

2) Caso : Pólos Múltiplos:

Se D(s) tem pólos múltiplos, isto é, se possui fatores da forma (s-pi)r ,

nós dizemos

que pi é pólo múltiplo de X(s) com multiplicidade r . Então a expansão de X(s)

consistirá de termos da forma:

( )( ) ( ) ( )r

i

r

ii ps ps pss X

−++

−+

−=

λ λ λ .........

221

(

183 )

( ) ( )[ ]i ps

r ik

k

k r s X psds

d

k =− −= ..

!

1λ

(

184 )

• Se X(s) é uma função racional imprópria, isto é, m ≥ n.

( )( )( )

( )( )( )s D

s RsQ

s D

s N s X +==

(

185 )

Onde N(s) e D(s) são numerador e denominador polinomial em s

respectivamente

de X(s), o quociente Q(s) é um polinômio em s com grau m-n , e o resto R(s) é

um polinômio em s com grau estritamente menor do que n.

Exemplos

1) Encontre a transformada inversa de Laplace

de: ( ) ( ) 1Re,.2

2>

−= s

ss

ss X .

( )( )

nm

p

p

z

ssss X <

=

=

=

−= ,

1

0

0

1..2

2

1

1

( )( ) ( ) ( )1

21

2

2

1

1

−+=

−+

−=

s

C

s

C

ps

C

ps

C s X



107

( ) ( ) ( )( )

21

1.2

1.

.2.1.1

111 ==

−−=−=

=

=

ss ss

sss X sC

( )( ) ( )

010

0.2

1.

.2..

0

02 =−

=−

==

=

=

s

s ss

sss X sC

( )( )1

20

−+=

sss X

Utilizando a tabela de Transformadas de Laplce e realizando uma análise

causal .A

RDC de X(s) é Re(s)>1, então:

( ) ( )t uet x t ..2=

2) Encontre a transformada inversa de Laplace de:

( )( )( )

( ) ( ) 2Re4Re,4.2

6−<>

−+= ses

sss X

( )( )( )

nm p

p

sss X <

+=

−=

−+= ,

4

2

4.2

6

2

1

( )( ) ( ) ( ) ( )42

21

2

2

1

1

−+

+=

−+

−=

s

C

s

C

ps

C

ps

C s X

( ) ( ) ( ) ( )( ) 142

6

4.2

6.2.2

221 −=−−=−++=+=

−=

−=

ss ssss X sC

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

124

6

4.2

6.4.4

442 =

+=

−+−=−=

+=

+=

ss ss

ss X sC

Substituindo:

( )( ) ( )

−+

+−

−+

+−=

−−

4

1

2

1

4

1

2

1 11

sssss X

( )

( )( )

( )

−<

+>

+−=

−

2Re2

4Re1,.

2

.4

1

.2

s RDC

s RDC t ueet x

RDC

t

RDC

t

Logo esta função x(t) não tem transformada X(s), pois a RDC não existe.



108

w j.

σ 4

Plano S

-2


( )( )

( ) 1Re,4.1

12

−>++

+= s

s

ss X

Pela tabela de transformadas de Laplace temos:

( ) ( )( )

( ) ( )aswas

ast ut we

oo

t a ReRe,..cos.22

.−>

++

+↔

−

( ) ( ) ( )t ut et x t ..2cos.−=


( )

( )( ) 0Re,

13.4.

13.5

2>

++

+= s

sss

ss X

( )( )

nm

p

j p

j p

sss

ss X <

=

+=

−=

++

+= ,

1

32

32

13.4.

13.5

3

2

1

2

( )13.4

.2

321

++

++=

ss

C sC

s

C s X

( ) 113.4

13.5.

0201 =

++

+==

==

ss ss

ss X sC

( ) 13.4

11

13.4.

13.5

13.4

.222

32

++

+−=−

++

+=

++

+

ss

s

ssss

s

ss

C sC



109

( )( ) 92

321

13.4

1122

++

−+−=

++

−−=

s

s

sss

s

ss X

( )( ) ( ) 92

3

92

2122

+++

++

+−=

ss

s

ss X

( )( ) ( ) 2222 32

3

32

21

+++

++

+−=

ss

s

ss X

Observando a tabela de transformadas de Laplace tem-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t ut et ut et ut x t t ..3sen...3cos. .2.2 −−+−=

( ) ( ) ( )( ) ( )t ut t et x t ..3sen.3cos.1 .2+−=

−


( )( )( )

( ) 3Re,5.3

5.22

2

−>++

++= s

ss

sss X

( )( )( )

m p p

p

ss

sss X

−==

−=

++

++= ,

2ademultiplicdcompólo,5

simplespólo,3

5.3

5.2

32

12

2

( )( ) ( )2

211

553 ++

+−

+=

sss

C s X

λ λ

( )( )( ) ( )

24853569

5.35.2.3 2

32

2

1 ==+−

+−=+++++=

−=ssssssC

( )( )( )

102

51025

5.3

5.2..5..

!0

1

5

2

22

0

0

2 −=−

+−=

++

++=

−=sss

sss

ds

d λ

( )( )( )

( )( ) ( )(( )2

2

5

2

22

13

15.22.2.3

5.3

5.2..5..

!1

1

−=

+

++−++=

++

++=

ss

ssss

ss

sss

ds

d λ

( ) ( )( ) ( )35 130253 1.63 5.26.6.2.2 2

5

2

2

5

2

22

1+−

+−=

+++=

+−−−+++=

−=−= sss

sss

sssssλ

Daí :

( )( ) ( )25

10

5

1

3

2

+−

+−

+=

ssss X

λ



110

A RDC de X(s) é Re(s)>-3, assim x(t), é obtido pela tabela de

transformadas de Laplce.

( ) ( ) ( )t uet eet x t t t .5.5.3 ..10.2 −−−−−=

9.13 9.7 ) Função de Transferencia em Sistema LIT descrito por equação

diferencial linear com coeficiente constante

h(t)

( ) ( ) ( )t ht xt y ∗=( )t x

H(s)

( ) ( ) ( )s H s X sY .=( )s X

( )( )( )s X

sY s H =

(

186 )

( ) ( )

==

=

M

k K

K

K

N

k K

K

K dt

t xd b

dt

t yd a

00

.. (

187 )

Aplicando a propriedade da diferenciação:

( ) ( )==

=

M

k

K K

N

k

K K s X sbsY sa

00

.... (

188 )

( ) ( )==

=

M

k

K K

N

k

K K sbs X sasY

00

....(

189 )

( )( )

( )

=

=== N

k

K K

M

k

K K

sa

sb

s X

sY s H

0

0

.

.

(

190 )



111

A RDC precisa de informações adicionais como a causalidade ou

estabilidade.

Exemplo

1) A saída y(t) de um sistema LTI é dada por :

( ) ( )t uet y t ..2 .3−=

Quando a entrada x(t) é u(t), encontre a resposta impulsiva do sistema

h(t).

( ) ( )

( ) ( ) 3Re,3

2

0Re,1

−>+

=

>=

ss

sY

ss

s X

Então a função de transferencia H(s) é:

( )( )( )

( ) 3Re3

.2−>

+== s

s

s

s X

sY s H

Rescrevendo H(s), como:

( )( )( )

( )( ) 3Re,

3

62

3

63.2

3

.2−>

+−=

+

−+=

+== s

ss

s

s

s

s X

sY s H

E tomando a transformada inversa de Laplace de H(s), tem-se:

( ) ( ) ( )t uet t h t ..6.2 .3−−= δ

2) Encontre a função de transferencia para o sistema representado pela equaçãodiferencial abaixo e determine a reposta ao impulso:

( ) ( )( )

( )( )t x

dt

t dxt y

dt

t dy

dt

t yd .4.2.3

2

2+=+−

Solução

Aplicando a propriedade da derivada da transformada de Laplace:



112

( ) ( ) ( ) ( ) ( )s X s X ssY sY ssY s .4..2..3.2+=+−

( ) ( ) ( )( )4.2.3. 2+=+− ss X sssY

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( )

=

=

−−

+=

+−

+==

2

1

2.1

4

2.3

4

2

1

2 p

p

ss

s

ss

s

s X

sY s H

( ) ( ) ( ) ( )2121

2

2

1

1

−+

−

−+

− s

C

s

C

ps

C

ps

C

( )( )( )

51

5

21

41

2.1

4.1 11

11 −=→

−=→

−

+=

−−

+−=

=

C C ss

ssC

s

( )( )( )

61

6

12

42

2.1

4.2 22

22 =→=→

−

+=

−−

+−=

=

C C ss

ssC

s

( )( ) ( )2

61

5−

+−

−=ss

s H

Aplicando as propriedades da transformada de Laplace:

( ) ( ) ( )t ueet h t t ..6.5 .2+−=

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Notas Aula Sinais (1)