NOTAS DE AULA - conjuntos.doc

CIEP 472 - COLÉGIO ESTADUAL CÂNDIDO PORTINARI

1)

De forma intuitiva, conjunto é uma coleção, lista ou classe de objetos, números, pessoas, etc; que guardam entre si alguma característica comum. Faremos a indicação de um conjunto por meio de letras maiúsculas do nosso alfabeto.

2)

É cada integrante do conjunto.Quando um elemento x pertence a um conjunto A, indicamos:

Quando um elemento w não pertence a um conjunto B, indicamos:

Exemplo: Seja V o conjunto das vogais do alfabeto português: V = {a,e,i,o,u}. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F).

a)b)

c)d)

3)

Escrevemos um conjunto:

Nomeando seus elementos entre chaves e separados por virgula:

Exemplo: A = {1,2,3,4}

Atribuindo uma característica comum:

Profº. Tiago Xavier Matemática 1 Conjuntos

1

Introdução:

Elemento:

Representação de Conjuntos:

1- CONJUNTOS.


Exemplo: B = { é número primo}, ou seja: O conjunto B é formado pelo elemento x, tal que a característica comum a todo x é ser primo. Neste tipo de situação dizemos que o conjunto está representado por compreensão.

Através de linhas simples, fechadas, chamadas de diagrama de Venn.

Exemplo:

A={1,2,3,4}

EXERCÍCIOS:

1) Identifique e nomeie a característica comum aos elementos de cada conjunto abaixo e represente-os utilizando o diagrama de Venn:

a) A = {Botafogo, Flamengo, Vasco, Fluminense)b) B = {a, e, i, o, u}c) C = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12}

2) Seja o conjunto P = { n é um número positivo}, I = { x é um número impar negativo}. Escreva-os e represente-os através do diagrama de Venn:

4)

É todo conjunto formado por um só elemento.

Exemplo: , como só existe um único valor para x (neste caso ) que multiplicado por 2 resulte 6, é o único elemento do conjunto C, ou seja, x é elemento unitário. Assim:

5)

É todo conjunto que não tem elementos.


2

Conjunto Unitário:

Conjunto Vazio:


Exemplo:

, como não existe nenhum valor que multiplicado por 0, resulte 2, x não existe e E é vazio.Simbolizamos o conjunto vazio por ou { }. Logo: ou .

6)

Dados dois conjuntos, A e B, dizemos que A é subconjunto de B ou que A está contido em B se, e somente se, todo elemento do conjunto A também é elemento do conjunto B.

Utiliza-se a seguinte notação: (A está contido em B).

Exemplos:

I) Seja A = {Times de futebol do Brasil} e B = {Times de futebol Cariocas}. Percebe-se que cada elemento de B também é elemento de A. Assim B está contido em A. Escrevemos (lê-se B está contido em A). Neste caso, dizemos que B é subconjunto de A.

II) Se A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5}, como todo elemento do conjunto A também é elemento do conjunto B, . Assim podemos afirmar que: A é subconjunto de B.

Vale a pena ressaltar que, de modo geral se (A está contido em B), então (B contém A). De igual forma, se (A não está contido em B), então (B não contém A).

Lembrando sempre que os símbolos de inclusão, , , , são utilizados apenas para estabelecer relações entre conjuntos.

Conjunto das partes:

Chamamos de conjunto das partes de conjunto A (por exemplo), o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Denominares este conjunto por P(A).

De um modo geral, para qualquer conjunto A, o conjunto vazio e o próprio conjunto A são seus subconjuntos.

Na relação entre P(A) e seus elementos, utilizamos os símbolos de pertinência ( ). Assim, se {a} é elemento de P(A) , podemos escrever .

Sendo n(A) o número de elementos do conjunto A, e n(P(A)) o número de elementos do conjunto P(A), vale a relação:


3

Subconjunto:


Exemplos:

I) Dado o conjunto M = {1,5}:P(A) = { , A, {1}, {5}}. Repare que: n(A) = 2, logo: n(P(A)) =

II) Dado o conjunto Q = {1,4,8}, Repare que: n(Q) = 3, logo: n(P(Q)) = .

P{Q) = { , A = {1,4,8}, {1}, {4}, {8}, {1,4}, {1,8},{4,8}}

7)

Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, todo elemento de A é também elemento de B e vice-versa.

Notação:

Observe que: e

Exemplo: A = {1,2} e B = {111,2222} ,então: A = B

8)

Interseção:

Chamamos de A interseção B o conjunto formado por todos os elementos comuns a A e B.

Escrevemos: (lê-se A interseção com B).

{ e }

Exemplos:

I) Se C = {1, 2, 3, 6, 10} e D = {2, 3, 9,11,12}, então: {2,3}.II) Representando a interseção entre os conjuntos C e C no diagrama de Venn,

teremos:


4

Igualdade de Conjuntos:

Operações com Conjuntos:

A D

.1 .6 .2 .9 .11 .10 .3 .12


União:

Chamamos de A união B, o conjunto formado por todos os elementos de A ou B. Escrevemos: (lê-se A união B).

{ ou }Exemplos:

I) Se C = {1,2,4,7,8,9,11} e D = {1,2,3,5,6,10}, então: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}.

II) Representando a união entre os conjuntos C e D através do diagrama de Venn, obtemos:

Diferença:

Chamamos de A menos B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Escrevemos: .

{ e }Exemplos:

I) Se C = {1,2,5,7,8} e D = {2,3,4,6,7,9}, então {1,5}

II) Representando a diferença entre os conjuntos C e D através do diagrama de Venn, obtemos:


DC

5

UC D .4 .3 .7 .8 .1 .5 .6 .9 .11 .2 .10


Complementar:

Dados os conjuntos A e B, onde , denominamos complementar de A em B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a B e não pertencem A.

simbolizaremos por . Ou seja:

Se , então:

Exemplos:

I) Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, logo, {5, 6, 7}

II) Se C = {3, 4} e D = {3, 5, 6, 7}, logo, não existe, pois .

Números de elementos da união de conjuntos:

Sendo n(A) o número de elementos do conjunto A e n(B) o npumero de elementos do conjunto B,temos:


6

U

C D

.1 .3 .2 .5 .2 .4 . .6 .7 .8 .9

A B

BA


Observando que ao subtrairmos os elementos comuns , evitamos que eles sejam contados duas vezes.

Exemplos:

I) Determine , sendo P = {1,2,3,4,5,6,8,10,12} e Q = {1,3,5,7,9}.

Solução:

II) (FATEC) O conjunto A tem 20 elementos; tem 12 elementos e tem 60 elementos. O número de elementos do conjunto B é:


7

a) 28b) 36c) 40

d) 48e) 52

Solução:

III) De 200 pessoas que foram pesquisadas sobre suas preferências em assistir aos campeonatos de corrida pela televisão, foram colhidos os seguintes dados: 55 dos entrevistados não assistem, 101 assistem às corridas da Fórmula 1 e 27 assistem ás corridas de Fórmula 1 e de Motovelocidade. Quantas das pessoas entrevistadas assistem, exclusivamente, ás corridas de Motovelocidade?

Solução:

De igual forma:

A B

C

Exemplo:

Uma editora estuda a possibilidade de relançar as publicações: Helena, Iracema e A Montanha. Para isso, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que, em cada 1000 pessoas consultadas,

600 leram A Montanha; 400 leram Helena; 300 leram Iracema; 200 leram A Montanha e Helena;

150 leram A Montanha e Iracema;

100 leram Iracema e Helena; 20 leram as três obras.

Calcule:

a) O número de pessoas que leu apenas uma das três obras.b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras.c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.

Solução:

9)

Chamamos de conjunto numérico a certos conjuntos importantes cujos elementos são números que guardam entre si alguma característica comum.

Conjuntos Numéricos:

Conjunto dos números Naturais ( IN ).

Característica: IN = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, ...}

IMPORTANTE: Como é infinito, logo é impossível escrever todos os seus elementos. Por este motivo utilizamos as reticências (...).

Representação na reta:

OBSERVAÇÃO: Convencionou-se a:

Utilizar o símbolo * (asterisco) à direita do nome do conjunto do qual se quer retirar o elemento zero.

Exemplo: = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}

Conjunto dos números Inteiros ( ):

= {...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

Representação na reta:

Também se convencionou a:

Utilizar sinais para indicar um subconjunto. Este sinal aparece no lado inferior esquerdo deste conjunto.

+ categoria de elementos, de dado conjunto numérico, que só podem ser positivos.- categoria de elementos, de dado conjunto numérico, que só podem ser negativos.

Exemplo: O conjunto dos números inteiros positivos:

{1, 2, 3, 4, 5,...}, lembre-se que o zero é neutro, ou seja, não é positivo e nem negativo.

O conjunto dos números Racionais (Q):

Q =

Exemplos de números racionais; 0,-2 , , , .

Representação geométrica dos números Racionais:

O conjunto dos números irracionais ( ):

= { x tenha uma representação decimal infinita e não periódica.}

Exemplos:

1,4142135623730950488016887242097... 3,1415926535897932384626433832795...

O conjunto dos números Reis ( ):

O conjunto dos números reais é formado pela união de todos os outros conjuntos numéricos até aqui estudados. Ou seja:

Observação:

Assim são números reais:

Os números naturais; Os números racionais;

Os números inteiros; Os números irracionais.

Não fazem parte dos números reais:

, com a < 0 e n sendo par.

Exemplos:

, , , ...

10)

Dados dois números quaisquer a e b, somente uma das três opções é possível:

a = b ou a > b ou a < b

Relação de Ordem no Conjunto dos Reais.

A desigualdade representada por a < b significa que o número real a é menor que o número real b.

Geometricamente, se a < b, então a está situado à esquerda de b na reta real.

A desigualdade representada por a > b significa que o número real a é maior que o número real b.

Geometricamente, se a > b, então a está situado à direita de b na reta real.

Podemos escrever também a b (lê-se: a é menor ou igual a b) ou a b (lê-se: a é maior ou igual a b).

Um número real c está entre a e b se, e somente se, a < c e c < b. Podemos representar isso com uma dupla desigualdade: a < c < b.

11)

Denominamos intervalo a qualquer subconjunto dos números reais. Assim, dados dois números reais a e b, com a < b, temos:

Intervalo aberto:

Exemplo: ]-2,5[ =

Representação algébrica: ou (a, b) ou ]a, b[

Intervalos Reais.

A bolinha () indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo. Esse intervalo contém todos os números reais compreendidos entre a e b, exclusive.

Intervalo fechado:

Exemplo; [-3,7] =

A bolinha () indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo. Esse intervalo contém todos os números reais compreendidos entre a e b, inclusive.

Intervalo semi-aberto à direita:

Exemplo: [-1,4[ = {-1,4) =

Intervalo semi-aberto à esquerda:

Exemplo: ]-5,3] = (-5,3] =

Podemos ter ainda intervalos com as seguintes características:

ou ]a, + [

Exemplo: ]10,+ [ =

Representação algébrica: ou [a, b]

Representação algébrica: ou [a, b) ou [a, b[

Representação algébrica: ou (a, b] ou ]a, b]

+ +

ou [a, + )

Exemplo: [-2, + ) =

ou (-, a)

Exemplo: ]-, 4[ =

ou (-, a]

Exemplo: ]- ,-1] =

12)

+

-

-

Operações Envolvendo Intervalos Reais.

Na resoluções de inequações e de outros problemas em são necessárias operações como união, interceção, etc; entre intervalos, devemos utilizar a representação gráfica. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos:

Sendo e B = [-7,4[. Determine:

a)

Solução:

A

B

b)

Solução:

A

B

c)

Solução:

A

B

d)

Solução:

A B

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