Notas de Aula FGE IV Aulas 1 a 5

Universidade Nove de Julho – FGE IV Página 1 Notas de aula não substitui a bibliografia oficial

Física Geral e Experimental IV

Notas de aula


AULA 1 - Eletrostática: Carga elétrica, eletrização/ Força elétrica

A matéria é formada por partículas microscópicas – os átomos, que por sua vez são

constituídos por: prótons, elétrons e nêutrons. Os prótons e os elétrons apresentam

carga elétrica enquanto que os nêutrons são eletricamente neutros.

As cargas elétricas dos prótons e dos elétrons apresentam naturezas distintas, assim,

para diferenciá-las, dizemos que os prótons apresentam carga elétrica positiva e os

elétrons carga elétrica negativa. Um átomo possui o mesmo número de prótons e de

elétrons e, portanto, apresenta-se eletricamente neutro. Quando atritamos dois corpos

modificamos a quantidade de elétrons dos corpos, isto é, um dos corpos atritados

perde parte de seus elétrons (ficando com o número de prótons maior que o número

de elétrons), os elétrons que “desapareceram” de um dos corpos migraram para o

outro corpo (que ficou com número de elétrons maior que o de prótons). Dessa forma

os corpos atritados que estavam, inicialmente, eletricamente neutros passaram a

apresentar cargas elétricas: positiva (para aquele que sofreu a perda de elétrons) e

negativa (para aquele que recebeu os elétrons perdidos pelo outro).

Algumas das propriedades das cargas elétricas são as seguintes:

• Existem dois tipos de carga elétrica: negativa e positiva

• Cargas de mesmo sinal se repelem e de sinais opostos se

atraem.

• Todo átomo é eletricamente neutro (número de prótons =

número de elétrons).

• A carga total de um sistema é um múltiplo da carga elementar1

• A carga total de um sistema isolado eletricamente é constante

(princípio de conservação da carga elétrica).

Quando atritamos um bastão de vidro com um pedaço de seda observamos que o

bastão fica eletrizado com carga de sinal positivo e, a mesma quantidade de carga

negativa aparece no pedaço de seda. Este fenômeno sugere que a quantidade total de

carga elétrica do sistema se conserva, ou seja, há uma transferência de elétrons do

bastão para a seda o que modifica a neutralidade de cada um dos corpos mas o

sistema (bastão + pedaço de seda) continua eletricamente neutro pois a soma das

cargas existentes em cada um dos corpos é nula.

A unidade de carga elétrica, no SI, é o coulomb (C). O coulomb corresponde à

quantidade de carga elétrica que atravessa um condutor, em um intervalo de tempo de

um segundo, quando submetido a uma corrente elétrica de um ampère.

1 Chamamos de carga elementar ao menor valor de carga elétrica, ou seja, a carga elétrica é quantizada.


Assim, a carga elementar é de ± 1,602177.10-19 C, dependendo da natureza da carga

elétrica.

Condutores e Isolantes

Em alguns tipos de átomos, especialmente os que compõem os metais - ferro, ouro,

platina, cobre, prata e outros - a última órbita eletrônica perde um elétron com grande

facilidade. Por isso seus elétrons recebem o nome de elétrons livres. Estes elétrons

livres se desgarram das últimas órbitas eletrônicas e ficam vagando de átomo para

átomo, sem direção definida. Mas os átomos que perdem elétrons também os

readquirem com facilidade dos átomos vizinhos, para voltar a perdê-los momentos

depois. No interior dos metais os elétrons livres vagueiam por entre os átomos, em

todos os sentidos. Devido à facilidade de fornecer elétrons livres, os metais são

usados para fabricar os fios de cabos e aparelhos elétricos: eles são bons condutores

do fluxo de elétrons livres.

Já outras substâncias - como o vidro, a cerâmica, o plástico ou a borracha - não

permitem a passagem do fluxo de elétrons ou deixam passar apenas um pequeno

número deles. Seus átomos têm grande dificuldade em ceder ou receber os elétrons

livres das últimas camadas eletrônicas. São os chamados materiais isolantes ou

dielétricos, usados para recobrir os fios, cabos e aparelhos elétricos.

Eletrização

A eletrização é o nome dado ao processo que transforma corpos eletricamente neutros

em corpos eletrizados.

Atrito

Se atritarmos dois corpos de materiais diferentes, inicialmente neutros, observaremos

que ambos passarão a apresentar cargas de sinais contrários (positivo e negativo)

porque um dos dois perderá elétrons que irão migrar para o outro.

Contato

Se colocarmos em contato dois corpos e um deles apresentar inicialmente carga

elétrica, também haverá uma migração dos elétrons de um deles para o outro. Se um

dos corpos estiver eletrizado com carga positiva e o outro estiver neutro, a carga

positiva em excesso no corpo eletrizado irá atrair parte dos elétrons do corpo neutro.

Caso a carga de um dos corpos seja negativa e o outro esteja inicialmente neutro,

parte dos elétrons do corpo eletrizado irá deslocar-se para o neutro. Assim, tanto em

um caso como no outro, teremos, no final, os dois corpos em contato com cargas de

mesmo sinal. Caso os corpos colocados em contato sejam idênticos teremos, ao final


do processo, cargas de mesmo sinal e de mesma intensidade. Este processo de

eletrização é conhecido como eletrização por contato.

Indução

Outro processo de eletrização é a indução. Neste processo não há contato. O corpo

eletrizado (chamado de indutor) é aproximado de um corpo neutro (o induzido). A

proximidade do indutor provoca uma separação de cargas no induzido. Fazendo uma

ligação Terra, elétrons da Terra podem ser atraídos para o induzido ou os elétrons em

excesso, no induzido, podem migrar para a Terra.

Lei de Coulomb

Coulomb comprovou experimentalmente que a força entre as cargas elétricas é

diretamente proporcional aos módulos de cada uma das cargas e inversamente

proporcional ao quadrado da distância que as separa, o que pode ser expresso

matematicamente como:

F = 2

21

0

.4

1

d

qq

πε

onde 0ε é chamada de constante de permissividade do meio e, para o ar vale

aproximadamente 8,85.10-12 C2/Nm2. Assim, o valor de 04

1

πε é de aproximadamente

8,99.109 N.m2/C2, para o ar e para o vácuo, sendo geralmente representado pela letra

k. Assim, teremos:

2

21.

d

qqkF =

A lei de Coulomb é válida para corpos de dimensões bem menores que a distância

que os separa. É usual dizermos então que as cargas são puntiformes, isto é, têm as

dimensões de um ponto.

Força elétrica resultante para um sistema com mais de duas partículas

Quando o sistema apresenta três ou mais cargas elétricas, a força elétrica resultante

sobre cada uma das cargas é dada pela soma vetorial das forças exercidas por cada

uma das outras sobre esta carga.

EXEMPLO 1:

Três cargas puntiformes, q1, q2 e q3 estão situadas sobre o eixo das abscissas,

conforme indica a figura a seguir.

x q1= +15µC

x1 = 0 (origem)

q2= -10µC

x2 = 2,0m

q3= +30µC

x3 = 3,5m


Determine a força resultante que age sobre a carga q3.

Solução: A força resultante sobre q3 é dada pela soma vetorial das forças F2,3 e F1,3

2

66

9

3,25,1

10.30.10.10.10.99,8

−−−=F

r iNF

rr2

3,2 10.20,1−−=

2

66

9

3,15,3

10.30.10.15.10.99,8

−−

=Fr

iNFrr

2

3,1 10.30,3−=

iNFres

rr210.10,2 −=

Observe que quando q3 assume posições muito próximas de q1 e de q2 a força

resultante se deve praticamente a uma destas cargas e, quando q3 assume as

posições x=0 e x=2 m, a força elétrica resultante não está definida (a distância entre q3

e a carga q1 ou q2 nestes pontos é nula).

EXEMPLO 2:

As cargas q1= -1,2 µC, q2 = +3,7 µC e q3= -2,3 µC encontram-se em equilíbrio nas

posições indicadas no esquema a seguir. Calcule a força eletrostática que age sobre

q1, devido à ação de q2 e de q3. Dados: r1,2 = 15 cm e r1,3 = 10 cm

Solução:

x q1= +15µC

q2= -10µC

q3= +30µC

F2,3 F1,3

y

q3

r1,2

r1,3

q1 q2 x

θ =320

y

r1,2

r1,3

q1 q2

F1,2

F1,3

x

θ

θ q3


NF 77,115,0

10.7,3.10.2,1.10.99,8

2

66

9

2,1 ≅−

=

−−r

NF 48,210,0

10.3,2.10.2,1.10.99,8

2

66

9

3,1 ≅−

=

−−r

As componentes da força resultante são dadas por:

NsensenFFF

FFF

xx

xxx

08,332.48,277,10

3,12,1

3,12,1

=+=+=

+=

θ

NFF

FFF

y

yyy

10,232cos.48,20cos00

3,1

3,12,1

−=−=−=

+=

θ

NjiF )10,208,3(rrr

−=

ou ainda:

NF

FFF yx

73,310,208,3 22 =+=

+=r

rrr

03468,008,3

10,2−=⇒−=

−= ααtg em relação ao eixo das abscissas

Exercícios

1. Um bastão carregado atrai pedacinhos de cortiça seca, muitos dos quais, assim que

tocam o bastão são subitamente repelidos. Explique por quê.

2. Uma pessoa passa repetidas vezes um pente em seus cabelos. A seguir, percebe

que o pente atrai pequenos pedaços de papel. Se inicialmente todos os materiais

estavam neutros o que deve ter ocorrido?

3. Três esferas condutoras idênticas estão suspensas por fios isolantes. Uma das

esferas é eletrizada com carga elétrica +Q e, a seguir, esta esfera é colocada em

r1,2

q2

y

θ q3

r1,3

q1

F1,2

F1,3

x

F

αααα= - 340


contato com cada uma das outras duas. Qual a carga final de cada uma das esferas?

Explique.

4. Um bastão carregado com carga positiva encontra-se suspenso por um fio isolante.

Observa-se que este atrai pequenos fragmentos de cortiça que estão próximos. É

correto afirmar que a cortiça apresenta carga elétrica negativa? Justifique.

5. Uma partícula está eletrizada positivamente com carga elétrica de 6,4.10-6C.

Determine o número de elétrons perdidos sabendo que a carga de um elétron vale

1,6.10-19C.

6. (TIPLER – ex.25 p.28) Um canudinho de plástico ao ser atritado com um pedaço de

tecido de algodão adquiriu carga elétrica igual a -0,8 µC. Quantos elétrons o

canudinho ganhou neste processo?

7. (TIPLER – ex.27 p.28) Sabendo que em 12 g de carbono (C) há 6,02.1023 (n0 de

Avogadro) átomos de C, e que cada átomo possui 6 prótons e 6 elétrons, determine

qual a carga elétrica positiva (ou negativa), em coulombs, que existe em 1 kg de

carbono?

8. Duas cargas puntiformes de +3,0.10-6 C e –1,0.10-6 C estão separadas pela

distância de 6,0 cm. Determine a intensidade da força elétrica que atua em cada

carga. (Dado: k = 8,99.109 N.m2/C2).

9. Duas cargas puntiformes idênticas estão separadas entre si pela distância de 2,0 m

surgindo entre elas uma força de repulsão de 2,0 N. Determine o módulo de cada uma

das cargas elétricas.

10. Duas partículas de cargas de mesmo sinal cujos valores são q1 = 3,0 µC e q2= 4,0

µC estão separadas, no vácuo, pela distância de 2,0 m. Determine a intensidade da

força de repulsão entre as partículas.

11. Considere duas cargas puntiformes, q1 e q2,, de sinais opostos que se atraem com

uma força de intensidade 12 N, quando separadas pela distância d.O que ocorreria

com esta força se:

a) a distância fosse reduzida pela metade? b) a distância fosse triplicada?

(Respostas: 3.) A e C ficam com Q/4 e B fica com Q/2; 4.) Não porque a carga elétrica do bastão atrairia,

por indução, tanto corpos neutros como corpos eletrizados com carga negativa. Podemos afirmar que os

fragmentos de cortiça podem estar neutros ou apresentar carga negativa.; 5.) 4.1013 elétrons perdidos; 6)

5.1012 elétrons ; 7) 5. 1013 elétrons; 8) 7,49 N; 9) 2,98.10-5 C; 10) 2,7.10-3 N; 11) a) 48 N b) 3

4N)

Veja mais exercícios em: TIPLER, P. Física . v.2. 5 ed. LTC. Rio de Janeiro, 2006. SEARS e ZEMANSKY. Física. V.3.10 ed. Pearson. São Paulo, 2003. HALLIDAY e RESNICK. Fundamentos da Física.v.3. 7 ed. LTC. Rio de Janeiro, 2006.


AULA 2 /AULA 3 – Campo elétrico para distribuições discretas

Campo Elétrico

A presença de um corpo eletrizado, numa dada região, modifica o espaço ao seu

redor. Dizemos, então, que a existência de carga elétrica cria um campo elétrico nas

proximidades da carga.

(fonte: http://geocities.yahoo.com.br/saladefisica8/eletrostatica/campo10.ipg, acesso em 5/08/2006)

O vetor campo elétrico E modifica-se a cada ponto do espaço e pode ser obtido pela

relação entre a força exercida pelo campo sobre uma carga q.

Er

= q

Fr

Observe que E é uma grandeza vetorial assim como F. Os vetores E e F têm a mesma

direção e, seus sentidos podem ser os mesmos (q>0)ou podem ser contrários (q<0)

dependendo do sinal da carga de prova q (grandeza escalar).

(figura extraída de: http://geocities.yahoo.com.br/saladefisica8/eletrostatica/campo21.gif,acesso em

5/08/2006)

Linhas de Força

As linhas de força são linhas imaginárias que permitem uma visualização da

configuração do campo elétrico existente numa dada região.


Campo criado por carga positiva Campo criado por carga negativa

Campo de uma partícula eletricamente carregada

Considere uma carga puntiforme Q que cria numa região do espaço um campo elétrico

E e, considere uma carga puntiforme q que quando colocada a uma distância d de Q

fica sujeita a uma força F. Podemos afirmar que a força elétrica F é dada pela lei de

Coulomb e igual a:

rd

qQF

rr

2

0

.4

1

πε=

A intensidade do campo elétrico pode ser calculada então da seguinte forma:

rd

QE

q

FE

rrr

r

2

0

.4

1

πε=⇒= ou ainda

rd

QkE

rr

2

.= onde

04

1

πε=k

A direção de E é sempre radial e o sentido depende do sinal da carga que gera o

campo elétrico.

Exemplo 1

Uma carga Q = 5,0.10-6 C encontra-se num ponto A, imersa no vácuo. Calcule a

intensidade, a direção e o sentido do campo elétrico gerado por Q num ponto B

distante 20 cm de A.

Solução:

Como Q é positiva, Er

tem direção radial saindo de A e passando por B, conforme

indicado na figura:

- +

Q

A B 20 cm

Q

A B 20 cm

E


iErd

qkE ˆ

2,0

10.510.99,8.

2

6

9

2

−

=⇒=rrr

CNiE /ˆ10.12,1 6=⇒r

Campo de várias partículas eletricamente carregadas

Para obter o campo elétrico criado por várias cargas elétricas calculamos o vetor

campo elétrico criado por cada carga isoladamente e, somamos os vetores

encontrados. Assim:

Er

= 1Er

+ 2Er

+...+ nEr

ou ainda

( )∑ = ....3,2,1kEk

r

Se as cargas estiverem uniformemente distribuídas, podemos determinar o valor de E

produzido num ponto P, dividindo a carga total em elementos infinitesimais de carga,

dq obtendo assim um elemento infinitesimal do campo, dE, para o ponto P situado a

uma distância �̂ de dq :

Edr

= 2

0

.4

1

r

dq

πε r̂

O campo resultante nesse mesmo ponto é dado pela soma dos elementos

infinitesimais Edr

:

Er

= ∫ Edr

Exemplo 2: Campo elétrico nulo.

Considere duas cargas q1= +2.10-6 C e q2= + 8.10-6 C, no vácuo, separadas pela

distância de 5 m. Determine um ponto P, sobre a reta que une as cargas, onde seja

nulo o vetor campo elétrico.

Solução:

Como as cargas são positivas, ambas criam campos radiais com as linhas de força

“saindo” de cada uma das cargas. Assim o ponto procurado deve estar localizado

numa posição entre as cargas:

E1=E2

( )2

6

2

6

5

10.8.

10.2.

xk

xk

−=

−−

q1= +2.10-6C q2= + 8.10-6C 5 m

q1= +2.10-6C q2= + 8.10-6C

5 m

E1 E2


( )225

41

xx −=

4x2 = 25 – 10x+x2

3x2 + 10x –25=0

x’= 5/3 m

Exemplo 3: Dipolo elétrico

Duas cargas elétricas de mesmo módulo q e sinais contrários, separadas pela

distância 2a constituem um dipolo elétrico. O valor do campo elétrico produzido num

ponto P, a distância r sobre a mediatriz do sistema constituído pelas duas cargas pode

ser obtido pela soma dos vetores campo elétrico de cada uma das cargas. Vamos

considerar a<<<r.

•

Solução:

E = E1+ E2

Os valores de E1 e de E2 são iguais a:

221 .d

qkEE == onde d2 = a2+ r2, assim temos:

2221 .ra

qkEEE

+===

O vetor campo elétrico resultante é dado por:

θcos2 1EE =

Observe na figura que 22

cosra

a

+=θ

Substituindo temos:

( ) 2222.2

ra

a

ra

qkE

++=

( ) 2322

2

ra

aqkE

+=

como a<<<r podemos escrever:

3

2.

r

aqkE =

Observações:

• O esquema apresentado neste exemplo constitui um dipolo elétrico.

- q

+q

a

a

r P

E2

E1

ER

θθθθ


• O produto 2aq é chamado de momento de dipolo elétrico.

• O valor do campo elétrico, para pontos situados sobre a mediatriz, varia com o

inverso do cubo da distância.

Movimento de cargas puntiformes em campo elétrico uniforme

Quando todos os pontos de uma dada região apresentam o mesmo campo elétrico

dizemos que esse é uniforme. Pode-se obter um C.E.U. na região compreendida entre

duas placas planas paralelas uniformemente eletrizadas com cargas de mesmo

módulo e sinais opostos.

(Fonte: www.spartzeusinstalacoes.com.br/campoeletrico... , acesso em 31/01/2010)

Uma carga elétrica quando colocada na região onde existe um campo elétrico fica

sujeita a uma força elétrica que é dada por:

F = qE

Se a força elétrica for a única força que atua sobre a partícula, então esta força é a

resultante e, usando a segunda lei de Newton, podemos escrever que:

F= m.a

onde m é a massa da partícula e a é sua aceleração.

Igualando as expressões obtemos:

qE = m.a e, assim a aceleração da partícula é dada por: a = q.E/m.

Os desvios sofridos pelos elétrons ao se movimentarem num campo elétrico uniforme

é utilizado nos tubos de imagem dos televisores.

(extraído de wgpi.tsc.uvigo.es/libro/ 1_sig/1sig_2.htm em 10/02/2003)

(extraído de wgpi.tsc.uvigo.es/libro/ tecnolog/trc.htm em 10/02/2003)

Universidade Nove de Julho –Notas de aula não substitui a bibliografia oficial

Exemplo

Um elétron é lançado horizontalmente com uma ve

uniforme entre as placas paralelas da figura. A direção do campo é vertical, e seu

sentido é para cima. Supondo que o elétron penetra no campo em um ponto

equidistante das placas, e tangencia a borda da placa inferior ao sair, dete

valor do campo elétrico.

O movimento do elétron é semelhante ao de um projétil lançado no campo

gravitacional. Ao invés do peso, tem

Se a força elétrica é a única

força é a resultante e, podemos escrever:

Então: ma = eE ⇒⇒⇒⇒ a=eE/m

Usando as equações de lançamento de projétil

conclui-se que:

2

2

1

2at

h= , onde t=d/V0

E, então:

2

0

2

2

1

2 V

d

m

eEh=

logo:

E = 2

2

0

ed

hmV

Exercícios

1. Qual deve ser o valor de uma carga elétrica que origina, num ponto distante 50 cm,

um campo elétrico de intensidade 2,0 N/C?

– FGE IV substitui a bibliografia oficial

Um elétron é lançado horizontalmente com uma velocidade V0, em um campo



idistante das placas, e tangencia a borda da placa inferior ao sair, dete


gravitacional. Ao invés do peso, tem-se sobre o elétron a força elétrica:

Se a força elétrica é a única força atuante sobre o elétron, temos que essa

força é a resultante e, podemos escrever: F=ma

m.

lançamento de projétil (visto anteriormente em FGE I)

. Qual deve ser o valor de uma carga elétrica que origina, num ponto distante 50 cm,

um campo elétrico de intensidade 2,0 N/C?

Página 13

, em um campo



idistante das placas, e tangencia a borda da placa inferior ao sair, determine o


elétrica: F=eE

força atuante sobre o elétron, temos que essa

(visto anteriormente em FGE I)

. Qual deve ser o valor de uma carga elétrica que origina, num ponto distante 50 cm,

Universidade Nove de Julho –Notas de aula não substitui a bibliografia oficial

2. (Tipler – 21. 8). Se as quatro cargas que aparecem na fig. 22

vértices de um quadrado, o campo

a) em todos os pontos médios dos 4 lados

b) no centro do quadrado

c) no ponto médio entre as duas cargas de cima e

cargas de baixo.

d) em nenhum dos pontos mencionados.

3. Uma gota de óleo de massa m = 2.10

suspensa no ar devido a ação de um campo elétrico existente nesta região. Qual a

direção, o sentido e o módulo do campo elétrico no ponto onde se encontra a gota de

óleo?

4. Uma carga Q= -3,0.10-

intensidade do campo elétrico gerado por Q num ponto B distante

5. Considere duas cargas q

distância de 3,0 m. Determine um ponto P, sobre a reta que une as cargas, onde seja


6. Um próton é projetado na direção indicada na figura 2.4, com velocidade 5x10

Considerando θ =30o, E=3x10

próton até que ele atinja uma das placas, ou saia da região sem atingi

efeito da gravidade.

(Fonte: http: //www .if.ufrgs .br/cref/ ntef /index.html,

(Respostas: 1) 5,56 . 10-11 C; 2) b; 3)4,09.10

2,0 m de q2; 6) 4,6x10-8

s depois de lançado, o próton atinge a placa superior. O ponto do choque dista

1,99 cm do início da placa)

Veja mais exercícios em: TIPLER, P. Física . v.2. 5 ed. LTC. Rio de Janeiro, 2006. SEARS e ZEMANSKY. Física. HALLIDAY e RESNICK. Fundamentos da Física.educar.sc.usp.br/ciencias/ fisica/mf2.htm

http://www.if.ufrgs.br/cref/ntef/index.html

– FGE IV substitui a bibliografia oficial

21. 8). Se as quatro cargas que aparecem na fig. 22-31 ocuparem os

vértices de um quadrado, o campo Er

é nulo:

a) em todos os pontos médios dos 4 lados

c) no ponto médio entre as duas cargas de cima e no ponto médio entre as duas

d) em nenhum dos pontos mencionados.

. Uma gota de óleo de massa m = 2.10-14 kg e carga elétrica 4,8.10


o sentido e o módulo do campo elétrico no ponto onde se encontra a gota de

6 C encontra-se num ponto A, imersa no vácuo. Calcule a

intensidade do campo elétrico gerado por Q num ponto B distante 30 cm de A.

cargas q1= -1,0 µC e q2= - 4,0 µC, no vácuo, separadas pela

m. Determine um ponto P, sobre a reta que une as cargas, onde seja


Um próton é projetado na direção indicada na figura 2.4, com velocidade 5x10

, E=3x104 N/C, d=2 cm e L=15 cm, determine a trajetória do

próton até que ele atinja uma das placas, ou saia da região sem atingi-

http: //www .if.ufrgs .br/cref/ ntef /index.html, acesso em 31/01/2010)

C; 2) b; 3)4,09.105 N/C�̂ ;4) 3.105 N/C; 5) entre q1 e q2 a 1,0 m da carga q


v.2. 5 ed. LTC. Rio de Janeiro, 2006. Física. V.3.10 ed. Pearson. São Paulo, 2003. Fundamentos da Física.v.3. 7 ed. LTC. Rio de Janeiro, 2006.

educar.sc.usp.br/ciencias/ fisica/mf2.htm


Página 14

31 ocuparem os

no ponto médio entre as duas

kg e carga elétrica 4,8.10-19 C permanece


o sentido e o módulo do campo elétrico no ponto onde se encontra a gota de

se num ponto A, imersa no vácuo. Calcule a

0 cm de A.

C, no vácuo, separadas pela

m. Determine um ponto P, sobre a reta que une as cargas, onde seja

Um próton é projetado na direção indicada na figura 2.4, com velocidade 5x105 m/s.

N/C, d=2 cm e L=15 cm, determine a trajetória do

-las. Despreze o

a 1,0 m da carga q1 e a


-

- +

-

+

-

LTC. Rio de Janeiro, 2006.


AULA 4 – Campo elétrico para distribuições contínuas

Densidade de carga

Linear (λ)

λ =∆�∆�

Superficial (σ)

σ = ∆�∆�

Volumétrica (ρ)

ρ = ∆�∆�

Para uma distribuição contínua de cargas elétricas, podemos escrever que o campo

elétrico é dado por:

E = � � �� ̂

Se a carga elétrica estiver distribuída sobre um fio teremos dq = λ.dL, caso a carga

esteja distribuída sobre uma superfície teremos que dq =σ.dA e no caso de um volume

dq = ρ.dV

Exemplo 1: Campo elétrico sobre a mediatriz de um segmento de reta, eletricamente

carregado.

Determine o campo elétrico em P, situado sobre a mediatriz de um segmento de reta

eletrizado, conforme indica a figura a seguir. A densidade linear de carga sobre o

segmento é λ (λ = ∆Q/∆L)

y

x

Solução:

P λ

dL = dx

dEx

dEy

dE

y

θθθθ0 θθθθ

x = - L/2

x = + L/2 x

r

L

P

y


dE =22 r

dxk

r

kdq λ=

A componente y é dada por:

dEy = 32

cos

r

ydxk

r

ydxk λθλ= , observe que cosθ = y/r e r= 22

yx +

Ey = ∫+

−

2

2

L

L

ydE = ∫+

2

0

2

L

ydE = ∫+

2

0

32

l

r

dxykλ

(Lembrando ∫ == θsen.1

.1

223 yr

x

yr

dx)

Assim, teremos

Ey = 0sen2

02−θ

λ

y

yk

Ey = 02sen

2θ

λ

y

yk onde

+

=

2

20

2

1

2

1

sen

yL

L

θ

Exemplo 2: Campo elétrico de reta infinita carregada.

Determine o campo elétrico num ponto P que se encontra nas vizinhanças de uma reta

carregada.

Solução:

Basta retomar o problema anterior e alterar alguns dos itens. Como a reta é infinita

temos que o comprimento L é muito maior que a distância y (entre o ponto P e a reta

eletrizada), o que modifica o ângulo θ0 (entre o segmento de reta, que liga a

extremidade da reta eletrizada ao ponto P, e a mediatriz). Observe que o ângulo θ0

tende para 900 e, em conseqüência sen(θ0) tende para 1.Com isso teremos para o

campo elétrico: Ey = 2kλ/y

Exemplo 3: Campo elétrico sobre o eixo de segmento eletrizado

Determine o campo elétrico em P, situado sobre o eixo de um segmento de reta

eletrizado, conforme indica a figura a seguir. A densidade linear de carga sobre o

segmento é λ (λ = ∆Q/∆L)

x

P

λ


Solução: Analogamente ao que fizemos para o campo no exemplo anterior temos que

E = � � � � �̂�� ⇒ E = � �λ �� ̂�� ⇒ E = �.��(��) �̂

Exemplo 4: Campo elétrico sobre o eixo de anel eletrizado

Determine o campo elétrico no ponto P, distante r do centro de um anel eletrizado e

situado sobre seu eixo.

a = raio do anel

P = ponto sobre o eixo do anel

r = distância do centro do anel ao ponto P

Solução:

Analogamente ao que fizemos para o campo nos exemplos anteriores, podemos concluir que:

Ex =

( )2

322

ax

kQx

+

Observações:

• Se x=0 o valor de E também será nulo.

• Se x >>> a, então E ≈ kQ/r2.

Exemplo 5: Campo elétrico sobre o eixo de disco eletrizado

Determine o campo elétrico no ponto P, distante r do centro de um disco eletrizado e

situado sobre seu eixo.

Solução:

A situação pode ser entendida como o campo gerado por um conjunto de anéis

concêntricos cujos raios variam desde a= 0 até a = R, sendo a espessura de cada anel

igual a da. Partindo do que vimos para um anel eletrizado podemos concluir que:

P

r

a

θ P

r

a

dq

dE

dEx

dEy


Ex =

+−

221....2

Rx

xk σπ

Ou

Ex = 2. �. �. �. �1 − "#"$%�&�

'

Caso a distância x seja muito maior que o raio R do disco, podemos considerar o disco

como se fosse uma carga puntiforme e, para distâncias ainda maiores é imediato que

Ex tende para zero.

Exemplo 6: Campo em Plano Uniformemente Eletrizado.

Para determinar o campo elétrico nas proximidades de um plano (infinito)

uniformemente eletrizado, podemos considerar o campo elétrico sobre o eixo de um

disco eletrizado e imaginar que o raio deste disco esteja tendendo a infinito. Desta

forma, temos:

Ex = 2. �. �. �. �1 − "#"$%�&�

'

Onde �1 − "#"$%�&�

' tende a 1 porque "

#"$%�&� tende para zero quando R tende a

infinito e, então o campo elétrico para um plano uniformemente eletrizado pode ser

obtido por:

Ex = 2. �. �. � para uma das faces do plano e Ex = −2. �. �. � para a outra face do

plano.

Exercícios

Nos exercícios a seguir adote k =8,99.109 N.m2/C2, massa do elétron =9,1.10- 31 kg,

massa do próton = 1,6.10-27 kg, carga elementar =1,6.10-19 C

1. (Tipler – ex. 17 p.65) Um segmento de reta, de x=0 até x = 5 m, está uniformemente

eletrizado com densidade linear de carga λ = 3,5 nC/m.

a) Qual a carga elétrica do segmento? Determinar o campo elétrico do segmento em

um ponto sobre o eixo dos x em (b) x =6 m ; (c) x= 9 m e (d) x = 250 m.(e) Determine o

campo em x = 250 m considerando que a carga seja puntiforme e posicionada na

origem e compare o resultado com o obtido pelo cálculo exato no item (d).


2. Uma carga elétrica de 5,5µC está distribuída uniformemente sobre um anel de raio

17 cm. Determine o valor do campo elétrico num ponto situado sobre o eixo do anel e

a 3,6 cm de seu centro.

3. Um disco de 5,0 cm de raio está uniformemente eletrizado e apresenta densidade

superficial σ = 4,0 µC/m2. Determinar o campo elétrico em pontos do eixo do disco,

com aproximações razoáveis às distâncias de 0,01 cm e 6,0 m.

4. Um fio está uniformemente eletrizado com densidade linear de 4,0 µC/m. Suas

extremidades coincidem com os pontos x = -0,30 m e x = + 0,30 m. Calcule:

a) a carga elétrica total distribuída sobre o fio; b) o campo elétrico num ponto P

localizado sobre o eixo y em y = +0,40 m.

5. Duas cargas puntiformes positivas, iguais, q1 = q2 = 6,0 nC, estão sobre o eixo das

ordenadas em y1 =+3,0 cm e y2= -3,0 cm. Qual a direção, o sentido e o módulo do

campo elétrico em x= 4,0 cm? Qual a força exercida sobre um elétron quando

colocado em x = 4,0 cm?

6. Um segmento de reta, com a densidade linear de carga λ = 4,5 nC/m, está sobre o

eixo dos x e se estende de x=-5,0 cm até x = 5,0 cm. Calcular a carga total do

segmento e o campo elétrico num ponto P situado sobre o eixo das ordenadas com y=

4,0 cm, sendo k0 = 8,99.109 N.C2/m2.

7. Qual seria o valor do campo elétrico, no exercício anterior, se o ponto P estivesse

sobre o mesmo eixo, mas com y=1,0 cm e o eixo das abscissas (infinito) fosse

eletrizado com a densidade linear dada anteriormente?

(Respostas: 1) a)17,5nC; 2) 3,39.105 N/C; 6) 0,45 nC e1,58 kN/C; 7) 8,09 kN/m)

AULA 5 - Avaliação A1

Veja mais exercícios em: TIPLER, P. Física . v.2. 5 ed. LTC. Rio de Janeiro, 2006. SEARS e ZEMANSKY. Física. V.3.10 ed. Pearson. São Paulo, 2003. HALLIDAY e RESNICK. Fundamentos da Física.v.3. 7 ed. LTC. Rio de Janeiro, 2006. educar.sc.usp.br/ciencias/ fisica/mf2.htm



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Notas de Aula FGE IV Aulas 1 a 5