Aulan umero2(08/03)Denicao. UmsubconjuntoU IRnechamadoabertoseparatodox Uexister> 0talqueB(x; r) U.Notac~ao: parax IRner>0denotamosporB(x; r)abolaabertadecentroxeraiordenidapor:B(x; r) =_y IRn: x y < r_eporB[x; r]abolafechadadecentroxeraiordenidapor:B[x; r] =_y IRn: x y r_.Por denotamosanormaEuclideana: x =_ni=1x2i_12.Denicao. SejaU IRmumabertoeconsidereumafuncaof: U IRn. Dizemosquefediferenciavelnumpontox0 UseexisteumatransformacaolinearT: IRm IRndemodoqueaaplicacaordenidapor:f(x0 +h) = f(x0) +T(h) +r(h),satisfazacondicaolimh0r(h)h= 0.Demodoabreviado: fediferenciavel emx0 UseexisteT:IRmIRnlineartalque:limh0f(x0 +h) f(x0) T(h)h= 0.(1) Ocason = m = 1.RecordarqueastransformacoeslinearesT: IR IRsaotodasdaformaT(h) = Lh,ondeL eumn umeroreal.Teorema. Umafuncaof:U IR IRediferenciavelnumpontox0 Useesomentesefederivavelnopontox0(nosentidodoCalculoI),i.e.,seexisteolimite:f(x0) =limh0f(x0 +h) f(x0)h.Demonstracao. Observequefediferenciavelnopontox0seesomenteseexisteL IRtalque:limh0f(x0 +h) f(x0) Lhhh|h|= 0;notandoqueaquantidadeh|h|= 1 elimitada,vemosqueacondicaoacimaequivalea:limh0f(x0 +h) f(x0) Lhh=limh0f(x0 +h) f(x0)hL = 0.1Issocompletaademonstracao.Observac~ao: notequeatransformacaolinearTqueaparecenadenicaodefuncaodife-renciavel eT(h) = f(x0)hnessecaso.Exemplo: Considerandoa funcaof : IRIR, f(x) =x3, e o pontox0=4 entaoescrevemos:f(x0 +h) = (4 +h)3= 64 + 48h + 12h2+h3= f(x0) +T(h) +r(h),ondeescolhemosT(h) = 48h(queelinear!) edar(h) = 12h2+ h3. Observequedefatolimh0r(h)|h|= limh0r(h)h= 0.(2) Relacionandodiferenciacaocomderivadasdirecionaisederivadasparciais.Denicao. Dadaumafuncaof : UIRndenidanumabertoUIRm, umpontox0 Ueumvetorv IRmentaoaderivadadirecionaldefnopontox0enadirecaovedenidapor(seexistir):fv(x0) =limt0f(x0 +tv) f(x0)t.Seeidenotaoi-esimovetordabasecanonicadeIRmentaoaderivadadirecionalfei(x0)e denotada tambem porfxi(x0) e e chamada a i-esima derivada parcial de fno ponto x0.Suponha que f: U IRm IRne diferenciavel no ponto x0 U, de modo que existeT: IRm IRnlineartalque:limh0f(x0 +h) f(x0) T(h)h= 0.Fixev IRmnaonulo; vamosfazeramudancadevariavel h=tvnolimiteacima, ondet 0:limt0f(x0 +tv) f(x0) T(tv)tv= 0.Obtemosentao:limt01v_f(x0 +tv) f(x0) T(tv)t_t|t|= 0;pelalinearidadedeT,T(tv) = tT(v)eportanto:limt01v_f(x0 +tv) f(x0)tT(v)_t|t|= 0.Como1veconstanteet|t|= 1 elimitado,aigualdadeacima eequivalentea:limt0f(x0 +tv) f(x0)tT(v) = 0,oquemostraqueaderivadadirecionalfv(x0)existee eigualaT(v).2Teorema. Sef : UIRmIRnediferenciavel numpontox0 Uentaof admitederivadasdirecionaisnopontox0emqualquerdirecaoevaleaformula:fv(x0) = T(v),paratodov IRm, ondeT:IRmIRneumatransformacaolinearcomoaqueaparecenadenicaodefuncaodiferenciavel.Demonstracao. Ocasov = 0foiprovadoacimaeocasov= 0 etrivial.Corolario. AtransformacaolinearTqueaparecenadenicaodefuncaodiferenciavele unica.Demonstracao. Se Te T sao duas transformacoes lineares que servem para a denicaodefuncaodiferenciavel entaoT(v)=fv(x0)=T(v)paratodov IRm, peloTeoremaacima.Denicao. Atransformacaolinear T queaparecenadenicaodefuncaodiferenciavel(quee unica, peloCorolarioacima)edenotadapordf(x0)eechamadaadiferencial dafuncaofnopontox0.Quandofediferenciavelnopontox0podemosescreveragora:f(x0 +h) = f(x0) + df(x0) h +r(h),comlimh0r(h)h= 0.Observac~ao: provamosaseguinteformulaimportanteparaumafuncaodiferenciavelf: U IRm IRnnumpontox0 U:df(x0) v=fv(x0), paratodov IRm.(3) MatrizJacobiana.Recordedaalgebralinear queseT : VVeumaaplicacaolinear, comV , Vespacosvetoriais, B=(b1, . . . , bm)umabasedeV eB=(b1, . . . , bn)umabasedeVentao a matriz que representa Tnas bases B e B, denotada por [T]BB , e a matriz nmcujaentradanalinhai,colunaj, eai-esimacoordenadadovetorT(bj)nabaseB(vejaexerccios).Denicao. Sef:U IRmIRneumafuncaodiferenciavel numpontox0 UentaoamatrizJacobianadefnopontox0, denotadaporJf(x0),eamatrizquerepresentaaaplicacaolineardf(x0) : IRm IRnnasbasescanonicasdeIRmeIRn.ParacalcularasentradasdeJf(x0)fazemososeguinte:Jf(x0)ij=_df(x0) eji=_fej(x0)_i=_fxj(x0)_i=fixj(x0),i = 1, . . . , n, j= 1, . . . , m;paraa ultimapassagemacimavejaosexerccios.Provamososeguinte:3Teorema. Sef: U IRm IRneumafuncaodiferenciavelnumpontox0 UentaoamatrizJacobianadefnopontox0edadapor:Jf(x0) =___f1x1(x0) f1xm(x0).........fnx1(x0) fnxm(x0)___.Exemplo: Sef: U IR2 IR2edadaporf(x, y) =_1xy, cos x_, U=_(x, y) IR2: xy = 0_(Ueaberto!)entaoadiferencialdefnumponto(x0, y0) Uedadapor(useamatrizJacobiana!):df(x0, y0) (h, k) =_hx20y0kx0y20, hsen x0_,para (h, k) IR2. Para ser rigoroso, ainda nao temos teoria suciente para ver rapidamentequefediferenciavel! Admitindoessefatoporenquanto, obtemosaformulaacimaparadf(x0, y0).Observac~ao: Quandof:U IRmIRnediferenciavelemtodosospontosdeUentaodizemosquefediferenciavelemU. Paracadax0 U,df(x0)eumaaplicacaolineardeIRmemIRn;quetipodeobjetoseriadf?Considereoespacovetorial:Lin(IRm, IRn) = aplicacoeslinearesdeIRmemIRn;recorde daalgebralinear que Lin(IRm, IRn) pode ser identicadonaturalmente comoespaco vetorial de todas as matrizes reais nm (que tem dimensao nm). A diferencialdefnosdaentaoumaaplicacao:df: U IRm Lin(IRm, IRn),quelevacadax0 Uemdf(x0) Lin(IRm, IRn). Nocasom = n = 1entaoLin(IRm, IRn)podeseridenticadocomIR(matrizes1 1!) edadfviraumaaplicacaodeU IRemIR;essaaplicacao eaclassicaderivadafdefdoCalculoI!(4) Ocason=1: gradientes.Esseassuntoseraretomadodepoiscommaisdetalhes.Sef:U IRmIReumafuncaoavaloresreaisdiferenciavel numpontox0 Uentaoadiferencial def emx0deneumelementododual deIRm, i.e., df(x0) IRm(recordequeodual deumespacovetorialrealVeoespacovetorialLin(V, IR)).Oprodutointernocanonicode IRminduz umisomorsmode IRmsobre seudualIRmdadoporv v, . Esseisomorsmolevaovetorv=(v1, . . . , vm)deIRmsobreo4elementodeIRmqueerepresentadopelamatriz(v1 vm)(eumamatriz1 m!). Javimosqueamatrizquerepresentadf(x0)(ouseja,Jf(x0)) edadapor:Jf(x0) =_fx1(x0) fxm(x0)_.OvetordeIRmcorrespondenteadf(x0) IRmeportantoovetorf(x0) =_fx1(x0), . . . ,fxm(x0)_conhecidocomoogradientedefnopontox0. Obtemosentaoaformula:fv(x0) = df(x0) v= f(x0), v,paratodov IRm.(5) Funcoesdiferenciaveissaocontnuas.VamosusaraquiquetransformacoeslinearesT: IRm IRnsaocontnuas;issoseguedofatoque as mesmas podemser escritas emtermos de somas e produtos (issoserarediscutidodepois).Teorema. Sef: U IRm IRnediferenciavelnopontox0 Uentaofecontnuanopontox0 U.Demonstracao. Escrevemos:f(x0 +h) = f(x0) + df(x0) h +r(h),comlimh0r(h)h=0; afortiori limh0r(h)=limh0r(h)hh=0. Fazendoh 0naformulaacimaobtemos,usandoacontinuidadedatransformacaolineardf(x0):limh0f(x0 +h) = f(x0) + df(x0) 0 = f(x0).Issocompletaademonstracao.Observac~ao: Aexistenciadasderivadasparciaisfxi(x0),i = 1, . . . , m,naogarantequefe diferenciavel em x0. Nem a existencia de todas as derivadas direcionais de fem x0, juntocomacontinuidadedef emx0(eatemesmojuntocomalinearidadedev fv(x0))implicamadiferenciabilidadedef emx0. Paracontra-exemplosestranhosprocuremoCursodeAnaliseVol.II(captulo3)ouolivrodeCalculoIIdoGuidorizzi. Naodaremosimportanciaataisexemplos.Observac~ao: TodateoriadesenvolvidaateagorapodeserfeitatrocandoIRmeIRnporespacosvetoriaisreaisdedimensaonitaarbitrarios! Paraissoprecisamosapenasfazeralguns esclarecimentos sobrenormas emespacos vetoriais quaisquer (caparadepois).Observamostambemqueanocaodederivadaparcial naofazsentidoquandotrocamosIRmporumespacovetorial qualquer, anaoserqueumabasesejaxadaemtal espaco;similarmente,para darsentido `a matrizJacobiana,precisamos fazerescolhasde basesnosespacosvetoriaisemquestao.5Exerccios.(nao e para entregar, mas e bom dar uma olhada e quem tiver problemas me procura).Algebra Linear.1. SejaT : VVumatransformacaolinear, ondeV eVsaoespacosvetoriaisdedimensaonita. SejamBeBbasesdeV eVrespectivamente. Denotepor[T]BBamatrizquerepresentaTcomrespeito`asbasesBeB;por[x]Bdenotamosovetorcolunaquecontemascoordenadascomrespeito`abaseBdeumvetorx V .(a) Mostreque[T]BB [x]B=_T(x)B.(b) SeS:V Veumaoutratransformacaolinear, comVumespacovetorialdedimensaonitaeBumabasedeV,mostreque[S]BB [T]BB = [S T]BB .Diferenciac~ao.2. Sejaf: U IRnumafuncaocomU IRmaberto. Escrevaf=(f1, . . . , fn)comcadafi: U IR. Parax0 U,mostreque:(a) fe diferenciavel em x0se e somente se cada fie diferenciavel em x0, sendo nessecaso_df(x0)i=dfi(x0),i =1, . . . , n(ai-esimacoordenadadadiferencialeadiferencialdai-esimacoordenada).(b) parav IRm,mostrequefv(x0)existeseesomentesefiv(x0)existeparacadai =1, . . . , n; nessecaso, mostreque_fv(x0)i=fiv(x0), i =1, . . . , n(ai-esimacoordenadadeumaderivadadirecionaleaderivadadirecionaldai-esimacoordenada).6Aulan umero3(13/03)(1) Ocasom = 1: curvasemIRn;relacionandovetorestangentesediferenciais.Quandom=n=1, vimosqueanocaodediferenciabilidadecoincidecomanocaoclassicadederivadadoCalculoI:maisprecisamente, f:U IR IRediferenciavelemx0 Use e somente se existe a derivada f(x0) IR (do Calculo I) e nesse caso a diferencialde fno ponto x0 e dada por df(x0) h = f(x0)h. Vamos agora ver o que acontece quandoapenasm=1; estamosfalandoentaodecurvasemIRn. Comomostraremosaseguir, ocaso m = 1 com n qualquer e essencialmente identico ao caso m = n = 1 discutido na aulaanterior(naverdade,soseparamosocasom = n = 1pormotivosdidaticos).Denicao. Dadaumaaplicacaof:U IR IRnentaoovetortangenteafnopontox0 Uedenidopelolimite(seexistir):f(x0) =limt0f(x0 +t) f(x0)t IRn.Observequef(x0)eamesmacoisaqueaderivadadirecionalfv(x0) comv =1(pareceestranho?n umerosreaistambemsaovetores!).RecordequeumatransformacaolinearT:IR IRnesempredaformaT(h)=zh,ondez IRneumvetor(vejaosexerccios).Teorema. Umaaplicacaof:U IR IRnediferenciavel numpontox0 Useeso-mente se o vetor tangente f(x0) existe; as duas seguintes formulas relacionam a diferencialdf(x0) : IR IRncomovetortangentef(x0) IRn:f(x0) = df(x0) 1, df(x0) h = f(x0)h, h IR.Demonstracao.Eigualaquezemosquandon = m = 1. Afuncaofediferenciavelnopontox0 Useesomenteseexistez IRntalque:limh0f(x0 +h) f(x0) zh|h|= 0;comojazemosvariasvezesagora, trocamos1|h|por1hh|h|eobservamosqueh|h|= 1elimitado. Da,fediferenciavelemx0seesomentese:limh0f(x0 +h) f(x0) zhh=limh0f(x0 +h) f(x0)hz= 0.Issocompletaademonstracao.Observac~ao: Quandom=1, exibilizamosumpoucoahipotesequeUsejaumaberto;admitimostambemqueU IRsejaumintervalonaonecessariamenteaberto. Paraquemse sentir incomodado com isso, observe que todas as demonstracoes que zermos funcionamquandom=1eUeumintervaloqualquer. TambemnocasoU IRm(marbitrario)e7possvel exibilizar a hipotese que Useja aberto na maioria dos teoremas, mas e bem maisdifcildescreverquaissaoossubconjuntosU IRmadmissveisparaodesenvolvimentodateoriaeporissopreferimostrabalharsocomabertosquandom =1(voltaremosumpoucoaesseassuntoquandodiscutirmosvariedadescombordo).Observac~ao: Quandom=1emaiscomumpensarnascoisasdaseguintemaneira: emvezdeescreverf : U IR IRnescrevemos: I IRn, ondeI IReumintervalo(tipicamente, I =[a, b]). Dizemos que eumacurvaemIRn; os elementos de I saotipicamente denotados por letras comot e s e saochamados de instantes (emvez depontos).Ecomumtambemdizerqueteoparametrodacurva; dizemosaque(t)eovetortangenteanoinstantet.(2) Doisexemplosfaceis.Exemplo. Se f: IRm IRne uma funcao constante entao fe diferenciavel e sua diferencialezeroemqualquerponto.Exemplo. Se f: IRm IRne uma transformacao linear entao f e diferenciavel e df(x0) = fparatodox0 IRm.(anal de contas, amelhor aproxima caolinear de umatransformacaolinear e elamesma!).Emambososexemplosacima, quandoescrevemosadenicaodediferenciabilidadevemosqueorestor(h) ezero,demodoquelimh0r(h)h= 0 etrivial.(3) Somaeprodutodeaplicacoesdiferenciaveis.Teorema. Sef, g: U IRmIRnsaoambasdiferenciaveisemx0 Uentaof+ gediferenciavelemx0ed(f+g)(x0) = df(x0) + dg(x0).Intuitivamente,sedf(x0) eumaboaaproxima caolinearparafpertodex0edg(x0)e uma boa aproximacao linear para g perto de x0entao df(x0)+dg(x0) e uma boaaproxima caolinearparaf+gpertodex0. Aprovaseguebasicamenteessepadrao:Demonstracao. Escrevemos:f(x0 +h) = f(x0) + df(x0) h +r1(h),g(x0 +h) = g(x0) + dg(x0) h +r2(h),comlimh0r1(h)h= limh0r2(h)h= 0. Somandoasduasigualdadesobtemos:(f+g)(x0 +h) = (f+g)(x0) +_df(x0) + dg(x0) h +r(h),comr=r1 + r2. Obviamente, limh0r(h)h=limh0r1(h)+r2(h)h=0edf(x0) + dg(x0)eumatransformacaolinear.Observac~ao: Oseguintetruque(parecebobagem,masnaoe)facilita`asvezesotrabalhocomadenicaodediferenciabilidade: usamosf(x0 +h) = f(x0) + df(x0) h +(h)h,comlimh0(h) = 0,emvezdaformula caodadainicialmentecomorestor.Como edeseesperar,adiferenciacaodeumprodutodaumpoucomaisdetrabalho.Nessecaso,sofazsentidoconsideraraplicacoesavaloresreais.8Teorema. Sef, g: U IRm IRsaodiferenciaveisnumpontox0 Uentaooprodutofgediferenciavelemx0evaleaformula:d(fg)(x0) h =_df(x0) hg(x0) +f(x0)_dg(x0) h,paratodoh IRm.Demonstracao. O lado direito da formula acima dene de fato uma transformacao linearemh,oqueja eumbomcomeco. Escrevemos:f(x0 +h) = f(x0) + df(x0) h +1(h)h,g(x0 +h) = g(x0) + dg(x0) h +2(h)h,comlimh01(h) = limh02(h) = 0. Multiplicandoasduasigualdadesacimaobtemos:(fg)(x0 +h) = (fg)(x0) +_df(x0) hg(x0) +f(x0)_dg(x0) h+(h)h,onde edadopor:(h) =_df(x0) h_dg(x0) hh+g(x0)1(h) +_dg(x0) h1(h)+f(x0)2(h) +_df(x0) h2(h) +1(h)2(h)h.Devemosmostrarquelimh0(h)=0. Paraisso, observequeosseistermosaparecendonaexpressaoparasaooprodutodealgumacoisaquetendeazeroporalgumacoisalimitada(quandohestaproximodezero)algunstermostematemaisdeumfatorquevai parazero. Sooprimeirotermoeumpoucomaiscomplicado: suaanalisedependedaobservacaoquedf(x0) _hh_elimitado; issoseguedofatoqueaaplicacaocontnuadf(x0): IRmIRelimitadanaesferaunitaria_v IRm: v=1_deIRm, jaqueamesma ecompacta(voltaremosaesseassuntonarevisaodetopologia).(4) Maisalgebralinear: aplicacoesbilinearesemulti-lineares.Denicao. SejamV1, V2, Wespacos vetoriais. UmaaplicacaoB: V1 V2Wechamada bilinear quando Bfor linear em cada variavel, i.e., para todos v1 V1, v2 V2asaplicacoesB(v1, ) : V2 WeB(, v2) : V1 Wsaolineares. Demaneiramaisexplcita,Bebilinearquandovalemasseguintescondicoes:(i) B(v1 +v1, v2) = B(v1, v2) +B(v1, v2);(ii) B(cv1, v2) = c B(v1, v2);(iii) B(v1, v2 +v2) = B(v1, v2) +B(v1, v2);(iv) B(v1, cv2) = c B(v1, v2);paratodosv1, v1 V1,v2, v2 V2ec IR. QuandoW= IRdizemostambemqueBeumaformabilinear.Observac~ao: Acustumem-se com a notacao porque ela e muito pratica. Por exemplo,nadenicaoacima,tnhamosumaaplicacaoBdeduasvariaveis;xandoumadasvariaveis,9sobraumaaplicacaode uma unicavariavel. Essaaplicacaoobtidade Bxandoumavariavel, edenotadacolocandoum navariavel quecoulivre. Assim, porexemplo, seB: V1 V2 Wev1 V1entaoB(v1, )denotaaaplicacaodeV2emWquelevav2emB(v1, v2).Exemplo: Amultiplicacaoden umerosreaiseumaaplicacao(enaverdadeumaforma)bilinear,i.e.,aaplicacao:m : IR IR IRdadaporm(x, y) = xyebilinear.Exemplo: Oproduto interno canonico de IRndenido por x, y =ni=1xiyie umaaplicac aobilinear , : IRnIRn IR(etambemumaformabilinear).Exemplo: Oprodutovetorial emIR3, i.e., aaplicacaoIR3 IR3(x, y) x y IR3ebilinear.Emvistadosexemplosacima, observequeumaaplicacaobilinear(x, y) B(x, y)podeservisualizadacomoumaoperacaobinariaquesatisfazapropriedadedistributiva(naverdade,aspropriedades(i)e(iii)saoapropriedadedistributiva,(ii)e(iv)dizemumpoucoamais).Exemplo: SeMnm(IR)denotaoespacovetorialdetodasasmatrizesreaisn mentaoamultiplica caodematrizes:Mnm(IR) Mmp(IR) (A, B) AB Mnp(IR)eumaaplicacaobilinear.Exemplo: SeV , VeVsaoespacosvetoriaisentaoaaplicacaodecomposicaodetrans-formacoeslineares:Lin(V, V) Lin(V, V) (T, S) T S Lin(V, V)e bilinear. Se V= IRp, V= IRm,V= IRnentao este exemplo e essencialmente o mesmoqueoanterior,identicandoaplicacoeslinearesematrizesatravesdasbasescanonicas.N~ao-Exemplo: Aaplicacaosomadevetoress : IRnIRn IRndenidapor:s(x, y) = x +y, x, y IRn,nao ebilinear. Naverdade,s elinearquandoidenticamosIRnIRncomIR2n!Ebastantenaturalgeneralizaroconceitodebilinearidadeparaaplicacoesdemaisdeduasvariaveis: obtemosentaoasnocoesdetrilinearidade, quadrilinearidade, . . . , ouemgeral n-linearidade: todas essas nocoes saodenominadas por multi-linearidade, quandonaosequerespecicaron umerodevariaveisnasentencaemquestao.Denicao. SejamV1,V2,. . . ,Vn,WespacosvetoriaisesejaB: V1V2 Vn Wumaaplicacao. DizemosqueBemulti-linear(oun-linear)quandoBforlinearemcadavariavel; maisexplicitamente, Bemulti-linearquandodadoi=1, . . . , nedadosvetoresvj Vj,j= 1, . . . , i 1, i + 1, . . . , nentaoaaplicacaoB(v1, . . . , vi1, , vi+1, . . . , vn) : Vi W10elinear. QuandoW= IRdizemostambemqueBeumaformamulti-linear.Exemplo: Aaplicacao:det : IRnIRn IRn. .nfatores IRque associa a cada n-upla (v1, . . . , vn) (IRn)no determinante da matriz nn que possuios vetores viem suas colunas (ou linhas, tanto faz aqui) e multi-linear; det e portanto umaforman-linearemIRn.Recorde que uma aplicacao linear T: V Wca univocamente determinada quandoespecicamosseuvalorsobreosvetoresdeumabasedeV : demaneiramaisexplcita,seB = (b1, . . . , bm) e umabase deVentao dados vetores w1, . . . , wm W,existeuma unicaaplicac aolinearT: VWtal queT(bi)=wi, i=1, . . . , m. ComosecalculaTnumvetorarbitrariov V ?Escrevav=mi=1ibieda:T(v) =mi=1iT(bi) =mi=1iwi;quemtrabalhoucomosexercciosdealgebralineardaaulaanterior(ouquemjatinhaumaformacaobasicadealgebralinear)naovaiterproblemascomasarmacoesacima!QuandoescolhemostambemumabaseBemWent aoosvetoresT(bi) WpodemserdescritosatravesdesuascoordenadasnabaseBeda obtemosofatobasicoqueaaplicacaolinearTpodeserdescritacompletamenteatravesdamatriz[T]BB .Quandotrabalhamoscomaplicacoesbilinearesemulti-linearesemgeral, asituacaonao e muito diferente (a diferenca e que a notacao ca mais feia e comecam a aparecer ummontede ndices). Vejaosexerccios!Observac~ao: Aplicacoesmulti-linearesnaoseraomuitoimportantesagora. Voltaremosaesseassuntoquandoestudarmosformasdiferenciaisnapartenaldocurso.(5) Diferenciandoaplicacoesbilinearesemulti-lineares.Vamosassumiragoraqueaplicacoesmulti-linearesB:IRm1 IRmrIRnsaocontnuas(vejaosexerccios).Teorema. SejaB:IRm IRnIRpumaaplicacaobilinear. EntaoBediferenciavel esuadiferencial edadapor:dB(x, y) (h, k) = B(h, y) +B(x, k),paratodos(x, y) IRmIRne(h, k) IRmIRn.Demonstracao. Observe primeiro que a expressao acima dene uma aplicacao linear comrespeitoa(h, k). PelabilinearidadedeBtemos:B(x +h, y +k) = B(x, y) +B(h, y) +B(x, k) +r(h, k),onder(h, k) = B(h, k). Devemosmostrarque:lim(h,k)0B(h, k)(h, k)= 0,11onde (h, k) =h2+k2. Temos:B(h, k)(h, k)= B_hh,kk_h(h, k) k;oterceirofator`adireitadaigualdadeacimatendeazeroeosegundoelimitado(menorouiguala1). Oprimeirotambem elimitado,poisBecontnuaeoconjunto_(v, w) IRmIRn: v = w = 1_ecompacto(retomaremosesseassuntonarevisaodetopologia).Segueentaoquelim(h,k)0B(h,k)(h,k)= lim(h,k)0r(h,k)(h,k)= 0.Observac~ao: Comumpoucodepacienciaepossvel demonstrar(seguindoasideiasdademonstracaoanterior)quetodaaplicacaomulti-linearB: IRm1 IRmrIRnediferenciavelequesuadiferencial edadapor:dB(x1, . . . , xr) (h1, . . . , hr) =ri=1B(x1, . . . , xi1, hi, xi+1, . . . , xr),paratodosxi IRmi,hi IRmi,i = 1, . . . , r.12Exerccios.(nao e para entregar, mas e bom dar uma olhada e quem tiver problemas me procura).Algebra Linear.1. SejaV umespacovetorialreal. MostrequetodasastransformacoeslinearesT: IR Vsao da forma T(h) = zh para algum vetor z V(dica: T(h) = T(h 1)). Conclua queLin(IR, V ) eisomorfoaV ;maisprecisamente,mostrequeaaplicacao:Lin(IR, V ) T T(1) Veumisomorsmo.2. SejamV , V, Vespacos vetoriais esejamB=(b1, . . . , bn), B=(b1, . . . , bm) eB= (b1, . . . , bp)basesdeV ,VeVrespectivamente. Mostreque:(a) Se B: V V V e uma aplicacao bilinear entao para todos v=ni=1ibi V ,v=mj=1jbj Vvaleaidentidade:B(v, v) =ni=1mj=1ijB(bi, bj).(b) MostrequeumaaplicacaobilinearV V VcaunivocamentedeterminadaporseusvaloresemvetoresdeumabasedeV edeumabasedeV,i.e.,mostrequedadosvetoresvij V, i=1, . . . , n, j =1, . . . , mentaoexisteuma unicaaplicacao bilinear B: V V Vtal que B(bi, bj) = vijpara todos i = 1, . . . , nej= 1, . . . , m.(c) Se V= IRn, V= IRme V= IRp, conclua do item (a) que toda aplicacao bilinearB: V V Ve contnua (dica: somas e produtos de aplicacoes contnuas saocontnuas).(d) DadaumaaplicacaobilinearB: V V V, denoteporBkijak-esimaco-ordenadanabaseBdovetorB(bi, bj) V. Obtemosentaoumamatriztri-dimensional(Bkij)nmp. Concluadoitem(b)queexisteumacorrespondenciabiunvoca entre aplicacoes bilineares B: V V Ve matrizes tri-dimensionaisn m pden umerosreais. Dizemosqueamatriztri-dimensional (Bkij)nmprepresentaaaplicacaobilinearBcomrespeito`asbasesB,BeB.Observac~ao: QuandoV= IR,i.e.,nocasodeformasbilinearesB: V V IRentao epossvelomitiro ndiceknasmatrizestri-dimensionaisdoitem(d),demodoqueformasbilinearesB: V V IRsaorepresentadaspormatrizescomuns(Bij)nm.(e) Generalize (se voce tiver muita paciencia com notacao chata, somatorias endices)ositensanterioresparaocasodeaplicacoesmulti-lineares.Diferenciac~ao.3. UmatransformacaoamA : IRm IRneumaaplicacaodaformaA(x) = T(x) + v,comT : IRmIRnumaaplicacaolinearev IRnumvetorxado. MostrequedA(x) = Tparatodox IRm. ConcluaqueseAeumatranslacao(i.e.,sem = neTeaidentidade)entaodA(x) = Id,paratodox IRm.13Aulan umero4(15/03)Enunciamosagoraaregradacadeia:Teorema. Sejamf : U IRmIRneg: VIRnIRpaplicacoescomU IRm,VIRnabertosef(U) V . Sefediferenciavel numpontox0 Uegediferenciavelnopontof(x0) V entaoacompostag f:U IRpediferenciavelnopontox0 Uesuadiferencial edadapor:d(g f)(x0) = dg_f(x0)_ df(x0).Numafrase: acompostadeaplicacoesdiferenciaveisediferenciavel eadiferencialdacomposta eacompostadasdiferenciais.Aregradacadeiapodeserpensadademodointuitivodaseguinteforma: sedf(x0)eumaboaaproximacaolinearparaf pertodex0edg_f(x0)_eumaboaaproxima caolinear para gperto de f(x0) entao a composta dg_f(x0)_ df(x0) e uma boa aproximacaolinearparaacompostag fpertodex0.A demonstracao da regra da cadeia, embora seja simples, sera deixada para depois darevisaodetopologia. Oobjetivodessaaulaecompreendervariosaspectosdoenunciadodaregradacadeia.Observac~ao: Nessepontojatemosvariasferramentasparamostrarqueumaaplicacaoediferenciavel. Asaber:(i) aplicacoesconstantes,linearesemulti-linearessaodiferenciaveis;(ii) asomaeoprodutodeaplicacoesdiferenciaveisediferenciavel (nocasodoproduto,sopodemosconsideraraplicacoesavaloresreais);(iii) quandoodomnioeunidimensional, diferenciabilidadeequivale`aderivabilidadedoCalculoI; emparticular, aplicacoesfamiliarescomoseno, cosseno, exponencial, etc,etc,etc,saodiferenciaveis;(iv) umaaplicacaoavaloresemIRnediferenciavel seesomentesecadaumadesuasncoordenadas ediferenciavel;(v) acompostadeaplicacoesdiferenciaveis ediferenciavel.Obtemosemparticularqueaplicacoesdenidasporformulassaodiferenciaveis(comexcecaodas que envolvemrazes de expressoes que podemse anular, jaque naoederivavelnaorigem).(1) Interpretando a regra da cadeia em termos de matrizes Jacobianas: a regradacadeiaclassica.Comovimosnosexercciosdaaulan umero2, amatrizquerepresentaacompostadeduastransformacoeslineares eobtidafazendooprodutodasmatrizesquerepresentamcadatransformacaolinearenvolvida. Emtermosdematrizes, aregradacadeianosdizentaoque:J(g f)(x0) = Jg_f(x0)_Jf(x0);expandindooprodutodematrizesobtemos:(g f)ixj(x0) =nk=1gixk_f(x0)_fkxj(x0).14Alternativamente,aplicandoosdoisladosdaigualdaded(g f)(x0) = dg_f(x0)_ df(x0)noj-esimovetorejdabasecanonicadeIRmobtemos:(g f)xj(x0) = dg_f(x0)_fxj(x0) = dg_f(x0)__nk=1fkxj(x0) ek_=nk=1_dg_f(x0)_ ek_fkxj(x0) =nk=1gxk_f(x0)_fkxj(x0),ouseja:(g f)xj(x0) =nk=1gxk_f(x0)_fkxj(x0).Emuitocomumdenotarpontosdeambientesdiferentesporletrasdiferentes; porexemplo,ospontosdodomniodefpodemserdenotadoscomxeospontosdodomniodegcomy(naopormotivosmatematicos,apenasporquemuitasvezesfacilitaaleitura).Da,intuitivamentepensa-sequefefuncaodexegefuncaodey(emboraissonaoqueiradizernada,formalmente)ereescreve-searegradacadeiasobaforma:(g f)xj(x0) =nk=1gyk_f(x0)_fkxj(x0).Muitasvezestambemosmatematicosresolvemaderir`aquelanotacao(`asvezes, confusa,para dizer a verdade) que e encontrada principalmente em textos de fsica, onde nao se falaexplicitamente em funcoes e composicao de funcoes, mas apenas em variaveis dependendoumasdasoutraseascomposicoessaotodassubentendidas(essanotacaotambemtemseus meritos). Pensando entao em variaveis x U IRm, y V IRne z IRp, com ydependendo de x (i.e., temos a funcao f), zdependendo de y(i.e., temos a funcao g) e daztambemdependedex(i.e., subentende-seacomposicaog f)entaoaregradacadeiaca:zxj=nk=1zykykxj,ondetambemospontosondeasderivadassaocalculadassaoomitidos(edevemseradi-vinhadospelocontexto).(2) Avisaofuntorialdaregradacadeia.Algumas vezes emmatematicaprecisamos descrever igualdades entre composicoesdecertasfuncoesqueseriamdifceisdeseremescritasedeseremvisualizadasusandoanotacaobolapadrao(g f). Emvezdisso,utiliza-seumrecursogracomaiseciente,conhecidocomodiagramacomutativo. Abaixotemosumexemplo:15IRmf/

g

IRnh'OOOOOOIRkIRpF/~~~~>~~~~IRm7ooooooOdiagramaacimacodicaas igualdades g =f, F=h e =h f.Avantagemdaformula caodaregradacadeianaformaadiferencial dacompostaeacompostadasdiferenciaisequepodemosdiferenciartodasasechasqueaparecemnumdiagramacomutativoobtendoumnovodiagramacomutativo. Nonossoexemplo:IRmdf/d

dg

IRndh'OOOOOOIRkIRpdF/d~~~~>~~~~IRmd7oooooono diagrama acima omitimos os pontos onde as diferenciais sao calculadas para simplicar aexposic ao, mas nao e difcil adivinhar quais sao tais pontos: por exemplo, se f e diferenciadanopontox0 IRmentaoh ediferenciadanopontof(x0)(completeoresto!).Observac~ao: Onomefuntorialusadonessasecaovemdateoriadas categorias: umfuntor eessencialmenteumaregraquepodeser aplicadaemumdiagramacomutativoproduzindoumnovodiagramacomutativo(masesseassuntonaotemnadaavercomonossocurso).(3) Compondofuncoesecurvas.Seja: I IR IRmumacurva(ondeI IReumintervalo)ef: U IRm IRnumafuncaodenidanumabertoU IRmcontendoaimagemde. Suponhaquet Ietalqueediferenciavelemtefediferenciavelem(t)(issoacontece,porexemplo,see fforem diferenciaveis em todo seu domnio). A aplicacao composta f : I IR IRne uma curva em IRnque e diferenciavel em t pela regra da cadeia;a diferencial de f noinstantet edadapor:d(f )(t) = df_(t)_ d(t).Recordequeovetor tangenteaumacurvaeobtidoaplicandosuadiferencial aovetor1 IR(vide incio da aula n umero 3);aplicando os dois lados da igualdade acima a 1 IRobtemos:(f )(t) = df_(t)_ (t).Exemplo: SeT: IRm IRneumatransformacaolinear(porexemplo,imagineocasoquem = n = 3 e Te uma rotacao) e se : I IR IRme uma curva diferenciavel no instantetentao:(T )(t) = T_(t)_.16(quando Te uma rotacao aigualdade acima exprimeo fato queo vetortangente deumarotacaodeearotacaodovetortangentede). SeT:IRnIRneumatranslacao,i.e.,seT(x) = x +vparaalgumv IRnentaodT(x) = Idparatodox IRne:(T )(t) = (t),ouseja, transladandoumacurvanaoalteramosseuvetortangente(vejaosexercciosdaaulan umero3).Exemplo: SejaB: IRm IRnIRpumaaplicacaobilinearesejam: I IR IRm, : I IR IRnduascurvasdiferenciaveisnuminstantet I. Temosentaoqueacurva(, ) : I IRmIRne diferenciavel em t e (, )(t) =_(t), (t)_(veja os exerccios daaulan umero2). SeguedaregradacadeiaqueacurvaB (, ) : I IRpediferenciavelemtequeseuvetortangentenoinstantet edadopor:ddtB_(t), (t)_= dB_(t), (t)__(t), (t)_;usandoaformuladeduzidanaaulan umero3paraadiferencial deaplicacoesbilinearesobtemos:ddtB_(t), (t)_= B_(t), (t)_+B_(t), (t)_.Interprete a formula acima quando substitumos Bpor cada uma das aplicacoes bilinearesdiscutidasnosexemplosdaaulan umero3(vejatambemosexerccios).17Exerccios.(nao e para entregar, mas e bom dar uma olhada e quem tiver problemas me procura).Diferenciac~ao.(1.) Rededuzaaformulaparaadiferenciacaodeumprodutodeaplicacoes:f, g: U IRm IRusandoaregradacadeiacomono ultimoexemplodaaula. Generalizeoresultadoparaobteradiferencial doprodutointernoU x f(x), g(x) IRdeaplicacoesf, g: U IRm IRn.18Complemento`aAulan umero4(15/03)Faremosumexemploadicional deaplicacaodaregradacadeia. Considereoespacovetorial real Mnn(IR) de todas as matrizes reais nn (que e isomorfo a IRn2). O conjuntoGL(n, IR) =_A Mnn(IR) : A einversvel_formadoportodasasmatrizesinversveiseabertoemMnn(IR); issoseguedofatoqueA GL(n, IR) det(A) =0edofatoqueafuncaodeterminantedetecontnua(esseargumentoserarevistonarevisaodetopologia).Observac~ao: A notacao GL(n, IR) vem do fato que o conjunto das matrizes reais inversveisn n econhecidocomoogrupolineargeraldeIRn.A funcao inversao I: GL(n, IR) Mnn(IR) denida por I(A) = A1e diferenciavel.Defato,cadaentradadeA1eumafuncaoracionaldasentradasdeAdemodoquecadacoordenadade IeumquocientedeumasomadeprodutosdasfuncoescoordenadasdeMnn(IR). Onossoobjetivo ecalcularadiferencialde I.Seja C: Mnn(IR) Mnn(IR) Mnn(IR)afuncaomultiplica caodematrizesde-nidapor C(A, B) = AB. Sabemosque Cebilineareportantodiferenciavel. Temos:C_A, I(A)_= I,paratodamatrizA GL(n, IR), ondeIdenotaamatrizidentidaden n. Denotepori : GL(n, IR) Mnn(IR)afuncaoinclusao(i.e.,i(A) = A)epor(i, I) : GL(n, IR) Mnn(IR) Mnn(IR)afuncaoA (A, A1). Obviamenteiediferenciavel edi(A)eaidentidadeparatodoA GL(n, IR)(jaqueiearestricaodaidentidadedeMnn(IR)aumabertovejaosexerccios). A igualdade C_A, I(A)_= I nos diz que a funcao composta C(i, I) e constante(eigualaI),donde:d_C (i, I)_(A) = 0, A GL(n, IR).UsandoaregradacadeiaobtemosparatodosA GL(n, IR),H Mnn(IR):dC(A, A1) _H, dI(A) H_= 0;como Cebilinearobtemos:C_A, dI(A) H_+C(H, A1) = AdI(A) H +HA1= 0eportanto:dI(A) H= A1HA1.19Exerccios.(nao e para entregar, mas e bom dar uma olhada e quem tiver problemas me procura).Diferenciac~ao.1. Mostrequediferenciabilidadeeumapropriedadelocal, ouseja, dadosU, VIRmabertosex IRmcomx V Uentaoumafuncaof: U IRnediferenciavelemx se e somente se sua restricao f|Ve diferenciavel em x;nesse caso as diferenciais saoiguais,i.e.,d(f|V )(x) = df(x).2. Usandoaformuladeduzidaparaadiferencialdafuncao I,mostrequeset A(t)eumacurvaemMnn(IR)diferenciavelemt = t0etalqueA(t) einversvelparatodotentaoacurvat A(t)1ediferenciavelemt = t0eseuvetortangente edadopor:ddtA(t)1t=t0= A(t0)1A(t0)A(t0)1.20Aulan umero5(20/03)Denicao. SejaMumconjunto. UmametricaemMeumafuncaod: M M IRsatisfazendoasseguintespropriedades:(EM1) d(x, y) 0paratodosx, y Med(x, y) = 0seesomentesex = y;(EM2) d(x, y) = d(y, x)paratodosx, y M(simetria);(EM3) d(x, z) d(x, y) +d(y, z)paratodosx, y, z M(desigualdadetriangular).Umespacometrico eumpar(M, d)ondeMeumconjuntoed eumametricaemM.Exemplo. A aplicacao d : IRnIRn IR dada por d(x, y) = xy =_ni=1(xi yi)2_12eumametricaemIRn. Aspropriedades(EM1)e(EM2)saotriviais;quanto`adesigualdadetriangular (embora provavelmente voces todos ja conhecam) sera demonstrada mais adiantequandodiscutirmosprodutosinternosenormas. Ametricad econhecidacomoametricaEuclideana.Exemplo. Se(M, d)eumespacometricoeS MeumsubconjuntodeMentaod|SSeumametricaemS(verique!) eportanto_S, d|SS_eumespacometrico;dizemosque_S, d|SS_e um subespaco metricode (M, d) ou que d|SSe a metrica em Sinduzida pord. ObserveemparticularqueseSeumsubconjuntodeIRnedeametricaEuclideanaent ao_S, d|SS_ eumespacometrico.Os dois exemplos acima sao essencialmente os unicos que interessam nesse curso; umapequenaexcecao: `as vezes precisaremos tambemconsiderar oIRn(e, mais geralmente,espacos vetoriais reais de dimensaonita) munidos de metricas induzidas por normasdiferentesdanormaEuclideana(issoseradiscutidomaisadiante). Veremos, noentanto,quetodasasnormasnumespacovetorial real dedimensaonitasaoequivalentes numsentidoqueseraesclarecidodepois,demodoquebasicamenteosdoisexemplosacimasaodefatoosqueinteressam.O espaco IRne o produto de n copias de IR. Mais geralmente, existe uma maneira maisou menos canonica de tornar o produto de espacos metricos um espaco metrico. Decidimosintroduziressaconstrucaomaisgeralabaixo:Denicao. Sejam(Mi, di),i = 1, . . . , n,espacosmetricos. Denimosnoprodutocartesi-anoM= M1 Mnumametricadfazendo:d_(x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)_=_ni=1di(xi, yi)2_12,paratodosxi, yi Mi,i = 1, . . . , n. Ametricad echamadaametricaprodutoemM.As propriedades (EM1) e(EM2) paradsaoimediatas. Adesigualdadetriangularpode ser mostrada facilmente usando a desigualdade triangular para a metrica EuclideanadeIRn(vejaExerccio18).EpossveltambemdenirmetricascomputacionalmentemaissimplesnoprodutoM=ni=1Mi; taismetricassaoequivalentes numsentidoqueseraesclarecido depois. No momento, usaremos a metrica produto introduzida acima, de modoqueametricaEuclideanadeIRneobtidafazendooprodutodencopiasdeIR.21Mesmo nao sendo importante para esse curso, vamos mostrar dois exemplos de espacosmetricosessencialmentediferentesdeIRn,soparaculturageral.Exemplo. SeMeumconjuntoqualquerentaoaaplicacaod:M M IRdenidapord(x, y)=0parax=yed(x, y)=1parax =yeumametricaemM(verique!). Ametricad econhecidacomoametricazero-um.Exemplo. SejaXumconjuntoe sejaM=B(X, IR) oconjuntode todas as funcoeslimitadasf:X IR(umafuncaoelimitadaseexistek IRcom |f(x)| kparatodox X). DenimosumametricademMfazendo:d(f, g) =supxXf(x) g(x),paratodas f, g M. Averica caodas propriedades (EM1)(EM3) naoedifcil (paraquemsabetrabalharcomsup).(1) TerminologiaBasicadaTeoriadosEspacosMetricos.Seja(M, d)umespacometrico(`asvezesagentecansadedizer(M, d)edizsoM,quando d esta subentendido; mas cuidado, num mesmo conjunto Mpodemos denir muitasmetricas). Vamoslistarvariasdenicoes.Denicao. Dadox Mer > 0entaoabolaabertadecentroxeraioredenidapor:B(x; r) =_y M: d(x, y) < r_eabolafechadadecentroxeraioredenidapor:B[x; r] =_y M: d(x, y) r_.Denicao. SejamA Mumsubconjuntoep Mumponto. Dizemosque:(i) p eumpontointeriordeAseexister > 0comB(p; r) A;(ii) peumpontoexteriordeAseexister> 0comB(p; r) Ac= M \ A,i.e.,seexister > 0comB(p; r) A = ;(iii) peumpontodefronteiradeAsepnaoeumpontointeriornemumpontoexteriordeA,i.e.,separatodor > 0temosB(p; r) A = eB(p; r) Ac= ;(iv) p eumpontodeaderenciadeAseparatodor > 0temosB(p; r) A = ;(v) peumpontodeacumulacaodeAseparatodor>0abolaB(p; r)contempontosdeAdiferentesdep(ppodeounaopertenceraA).Denicao. UmsubconjuntoA Medito:(i) aberto,setodosospontosdeAsaointeriores;(ii) fechado,setodopontodeaderenciadeAestaemA;(iii) denso,setodopontodeMeumpontodeaderenciadeA;(iv) limitado,seAestacontidoemalgumaboladeM.22Denicao. AssociadosaumsubconjuntoA MestaoosseguintessubconjuntosdeM:(i) ointeriordeA,denotadoint(A) M, eoconjuntodospontosinterioresdeA;(ii) ofechodeA,denotadoA M, eoconjuntodospontosdeaderenciadeA;(iii) oexteriordeA,denotadoext(A) M, eoconjuntodospontosexterioresdeA;(iv) afronteiradeA,denotadaA M, eoconjuntodospontosdefronteiradeA;(v) o conjunto derivado de A,denotado A, e o conjunto dos pontos de acumulacao de A.Edifcil seacostumarcomaterminologiaacimadeumahoraparaoutra. Parasefamiliarizarcomissotudo, ojeitoefazeralgumasgurascomM=IRn(n=1, 2, 3)efazermontesdeexercciosparaentenderosinter-relacionamentosqueexistementretodosessestermos. Variassugestoeslegais(efaceis)deexercciosestaolistadasnonal destaaula(videExerccios113).Teorema. Sex Meumpontodeacumula caodeA Mentaoparatodor > 0abolaabertaB(x; r)conteminnitospontosdeA.Demonstracao. Suponha por absurdo que B(x; r) A e nito; da existe s > 0 com s < res0existen0 INtal qued(xn, x) 0existen0 INtalqued(xn, xm) < paratodosn, m n0.Nosexercciospedimosparavocesmostraremquetodaseq uenciaconvergenteedeCauchy.Terminologia. Dizemosquealgumapropriedadeesatisfeitaparatodon umeronaturalnsucientementegrande seexisten0 INtal queapropriedadeesatisfeitaparatodon n0(i.e.,seapropriedadedeixadesersatisfeitanomaximoparaumn umeronitodens). Dizemosqueapropriedadeesatisfeitaparatodon umeronaturalnarbitrariamentegrandesedadon0 INentaoexisten n0quesatisfazapropriedade(i.e., seexisteminnitosnsparaosquaisapropriedade esatisfeita).Naterminologiaacima,umaseq uencia(xn)n1convergeparaxseesomentesedado > 0entaoxncanabolaB(x; )paratodonsucientementegrande.Denicao. UmespacometricoMeditocompletoquandotodaseq uenciadeCauchyemMeconvergente.Teorema. Sejam(Mi, di), i=1, . . . , n, espacosmetricoseconsidereM=ni=1Mimu-nido da metrica produto d. Seja (xk)k1uma seq uencia em Me escreva xk= (x1k, . . . , xnk)paratodok 1. Entao:(a) xk x Mseesomentesexik xiemMiparatodoi =1, . . . , n(umaseq uenciaconvergeseesomenteseconvergecoordenadaporcoordenada);(b) (xk)k1edeCauchyemMseesomentese(xik)k1edeCauchyemMiparatodoi=1, . . . , n(umaseq uenciaedeCauchyseesomentesefordeCauchycoordenadaporcoordenada).Demonstracao. Seguefacilmenteobservandoque,paratodo > 0etodosx, y M:_ni=1di(xi, yi)2_12= d(x, y) < = di(xi, yi) < , i = 1, . . . , n,24di(xi, yi) 0comB(x; ) A. Comoxn xentaoxn B(x; ) eportantoxn Aparatodonsucientementegrande. Reciprocamente,suponha que toda seq uencia que converge para x ca em A para n sucientemente grande.SexnaofosseumpontointeriordeAentao(negueadenicao!) paratodon 1, naopodeserB_x;1n_ Aeportantoexistexn B_x;1n_comxn A. Da xn xmasxn Aparatodon 1,umacontradicao.Teorema. SejamA Mex M. EntaoxeumpontodeaderenciadeAseesomentese x e o limite de uma seq uencia de pontos de A. Em particular,A e fechado se e somentesedadaumaseq uencia(xn)n1emAqueconvergeparaumpontox Mentaox A.Demonstracao. Sexeolimitedeumaseq uencia(xn)n1depontosdeAentaodador > 0temosxn B(x; r)paransucientementegrandeeemparticularparataisntemosxn B(x; r) A, dondeB(x; r) A = . Reciprocamente, sexeumpontodeaderenciadeAentaodadon 1temosB_x;1n_ A = , dondeexistexn Acomd(xn, x)0temos xnB(x; r) paratodonsucientemente grande e emparticular existem pontos em B(x; r) A distintos de x. Reciprocamente, se x e um pontodeacumula caodeAentaodadon 1existexn B_x;1n_ Acomxn = x. Daxn x.25(3) Limitesdefuncoesefuncoescontnuas.Noquesegue,(M, d)e(N, d)denotamespacosmetricos.Denicao. Seja A um subconjunto de Me f: A M Numa funcao. Dado um pontodeacumula caox0 MdeAentaodizemosqueL Neumlimitedef(x)quandoxtendeax0sedado>0existe>0tal qued_f(x), L_ 0existe> 0talqued_f(x), f(x0)_ < paratodox Mcomd(x, x0) < .Paraquemestiverusandoumpoucodesensocrticoenquantoleessasnotas, umapergunta imediatamente surge `a cabeca: por que sera que para denir limite ele considerafdenidanumsubconjuntodeMeparadenircontinuidadeeleconsiderafdenidaemtodoespacoM?EseeuprecisassefalardecontinuidadedeumafuncaoqueestadenidasonumsubconjuntodeM? Poise, issotudotemumaexplicacao. Seeuprecisarfalaremcontinuidadedeumafuncaof denidasonumsubconjuntoAdeMentaoeupossosimplesmentelembrarqueAtambem eumespacometricocomametricainduzidadeM:da recamos outra vez no caso de uma funcao denida num espaco metrico tomando valoresemoutroespacometrico! Nocasodelimiteocorreumproblemacomesseraciocnio: eimportantetambemdenirlimitedef(x)quandoxtendeapontosforadodomniodef;paradarumadenicaodelimitequecobreessasituacaoprecisamospensarnodomnioAdefcomoumsubconjuntodeumespacometricoMpossivelmentemaior.Nos exerccios pedimos para voces provarem a relacao familiar entre limite e continui-dade.Denicao. Umafuncaof: M Neditaumhomeomorsmosefebijetoraetantofcomof1saocontnuas.Teorema. Sejam f: A M N, g: N Pfuncoes e x0 Mum ponto de acumula caodeA;suponhaquelimxx0 f(x) = L NequegsejacontnuanopontoL. Entao:limxx0g_f(x)_= g(L).Demonstracao. Dado>0, existe>0tal queg_B(L; )_ B_g(L); _, pelaconti-nuidadedeg. Apartirde>0encontramos>0tal quef(x) B(L; ), semprequex B(x0; ) A e x = x0. Da g_f(x)_ B_g(L); _sempre que x B(x0; ) A e x = x0.CompareoteoremaacimacomoExerccio29.Teorema. Sef: M Necontnuaemx0 Meg: N Pecontnuaemf(x0) Nentaog fecontnuaemx0(acompostadefuncoescontnuas econtnua).Demonstracao. Dado>0, existe>0tal queg_B(f(x0); )_ B_g(f(x0)); _, pelacontinuidade de g. Pela continuidade de f, achamos > 0 com f_B(x0; )_ B_f(x0); _.Da(g f)_B(x0; )_ B_g(f(x0)); _.26Teorema. Sejam (Ni, di), i = 1, . . . , n, espacos metricos e considere N=ni=1Ni munidodametricaprodutod. Sejaf : A MNumafuncaoe sejax0M. Escrevaf= (f1, . . . , fn)comcadafi: M Ni. Entao:(a) se x0e um ponto de acumula cao de A temos limxx0 f(x) = L Nse e somentese limxx0 fi(x) = Li Nipara todo i = 1, . . . , n (limites sao feitos coordenadaporcoordenada);(b) sex0 Aentaofecontnuaemx0seesomentesefiecontnuaemx0parai = 1, . . . , n(continuidade efeitacoordenadaporcoordenada).Demonstracao. Seguefacilmenteobservandoque,paratodo > 0etodox A:_ni=1di_fi(x), Li_2_12= d_f(x), L_< = di(fi(x), Li) < , i = 1, . . . , n,di_fi(x), Li_0, existe>0tal qued_f(x), L_0tal queparatodon 1, tomando =1n, existiriaxn Mcomd(xn, x0) 0comB_f(x); _ U. Comofecontnua,existe> 0comf_B(x; )_ B_f(x); _ U.DaB(x; ) f1(U).Provemos(b) (a). Suponha(b)emostremosquefecontnuanumcertopontox M. Dado > 0,entaoU= B_f(x); _ eabertoemNeportantof1(U) eabertoemM. Comox U,existe> 0comB(x; ) f1(U). Daf_B(x; )_ B_f(x); _.Corolario. Uma funcao bijetora f: M Ne um homeomorsmo se e somente se valemumadasseguintespropriedadesequivalentes:(i) paratodoU M,UeabertoemM f(U) eabertoemN;(ii) paratodoF M,FefechadoemM f(F) efechadoemN.Corolario. Sejamf, g: M IRfuncoescontnuas. Osconjuntos:_x M: f(x) < g(x)_,_x M: f(x) = g(x)_saoabertoseosconjuntos:_x M: f(x) g(x)_,_x M: f(x) = g(x)_28saofechados.Demonstracao. Afuncaoh=f g:M IRecontnua. Osdoisprimeirosconjuntossaoh1_(, 0)_eh1_IR \ {0}_eosdois ultimossaoh1_(, 0]_eh1(0).Denicao. Umafuncaof:M Neditauniformementecontnuaquandodado >0,existe> 0talque,paratodosx, y M,sed(x, y) < entaod_f(x), f(y)_< .Obviamentetodafuncaouniformementecontnua econtnua.Teorema. Sef: (M, d) (N, d)eg: (N, d) (P, d)saouniformementecontnuasentaog feuniformementecontnua.Demonstracao. Dado > 0, existe > 0 tal que d(u, v) < implica d_g(u), g(v)_< ;apartirde>0encontramos>0tal qued(x, y) 0talqued(x, y) < implicad_f(x), f(y)_< ;apartirde>0encontramosn0 INtal quen, m n0implicad(xn, xm) 0,tome=k(complete!).Exemplo. Umafuncaoamf: IR IR,f(x) = ax +b esempreuniformementecontnua,pois eLipschitziana(comconstante |a|). Afuncaof: IR IR,f(x) = x2econtnuamasnao euniformementecontnua;defato,dado> 0entao |f(x +) f(x)| = |2x +2|eessaquantidadetorna-searbitrariamentegrandequandox +.Exemplo. Asprojecoesj:ni=1Mi Mj, j=1, . . . , n, deumprodutocartesianosaocontra coesfracaseportantouniformementecontnuas.Teorema. Sejam (Ni, di), i = 1, . . . , n, espacos metricos e considere N=ni=1Ni munidodametricaproduto. Umafuncaof:M Neuniformementecontnuaseesomentesecadacoordenadafi: M Nieuniformementecontnua,i = 1, . . . , n.Demonstracao.Esimilar`ademonstracaodequefe contnua seesomente secadafiecontnua.29Denicao. Umaaplicacaof : (M, d) (N, d) tal que d_f(x), f(y)_=d(x, y) paratodosx, y Mechamadaumaimersaoisometrica; quandofeumaimersaoisometricabijetoradizemosentaoquefeumaisometria.Observac~ao.E facil ver que toda imersao isometrica e injetora, de modo que uma isometriaeomesmoqueumaimersaoisometricasobrejetora.Exemplo. Sef : (M, d) (N, d) eumaisometriaent aof eumhomeomorsmo; naverdade, fe f1sao ambas uniformemente contnuas. De fato, se fe uma isometria entaotambemf1eumaisometriaeisometriassaoLipschitzianas.Denicao. Umafuncaof : MNeditalimitadaquandosuaimagemf(M)eumsubconjuntolimitadodeN,i.e.,quandoexistec 0talqued_f(x), f(y)_ cparatodosx, y M.(4) Metricasequivalentes.Denicao. Duas metricas d1 e d2 num conjunto Msao ditas equivalentes quando induzemamesmatopologiaemM,i.e.,quandoUeabertoem(M, d1)seesomenteseUeabertoem(M, d2).Teorema. Duas metricas d1e d2emMsaoequivalentes se e somente se aaplicacaoidentidadeId : (M, d1) (M, d2) eumhomeomorsmo.Demonstracao. A armacao a identidade Id : (M, d1) (M, d2) e um homeomorsmoeequivalente`aarmacaoUeabertoem(M, d1)seesomenteseId(U) = Ueabertoem(M, d2).Exemplo. Seh : (M, d) (N, d)eumhomeomorsmoentaoametricademMdenidapord(x, y) = d_h(x), h(y)_ eequivalentead. Defato,temosumdiagramacomutativo:(N, d)(M, d)h:vvvvvvvvvId/ (M,d)hOondeaechainclinadaeumhomeomorsmoeaechavertical eumaisometria(vejaoExerccio31);seguequeaechahorizontal eumhomeomorsmo.Observequetrocandoumametricaporoutraequivalentenaoprejudicamosnocoestopologicas doespaco, i.e., nocoes quepodemser denidas usandoapenas atopologia.Temosentaooseguinte:Teorema. Sejamd1,d2metricasequivalentesemM. Entao,paratodoA Mtemos:(i) A eabertoem(M, d1)seesomenteseA eabertoem(M, d2);(ii) A efechadoem(M, d1)seesomenteseA efechadoem(M, d2);(iii) os pontos interiores, de fronteira, de aderencia e de acumulacao de A no espaco (M, d1)coincidemrespectivamentecomospontosinteriores, defronteira, deaderenciaedeacumulacaodeAnoespaco(M, d2);30(iv) A edensoem(M, d1)seesomenteseA edensoem(M, d2).Limites de funcoes, continuidade de funcoes e limites de seq uencia tambem sao nocoestopologicas: armacoescomolimxx0 f(x)=L, xn xefecontnuanopontox0continuamverdadeirasquandotrocamosasmetricasnosespacosenvolvidospormetricasequivalentes. Nocoescomocompletude,seq uenciasdeCauchy,conjuntoslimitados,conti-nuidade uniforme nao sao preservadas quando trocamos uma metrica por outra equivalente(videexemploaseguir).Exemplo. Afuncaoarcotangente arc tg: IR _2,2_eumhomeomorsmo. SegueentaoqueametricademIRdenidapord(x, y)= | arc tg x arc tg y| eequivalente`ametricaEuclideana. ObservequeIRelimitado(comdiametro)comametricad, masnaoelimitadocomametricaEuclideana. Alemdomais, IRecompletocomametricaEuclideana,masnao e completocom ametrica d;defato,se(xn)n1e umaseq uencia emIRtalquearc tg xn 2entao(xn)n1edeCauchy(pois(arc tg xn)n1edeCauchyem_2,2_),mas(xn)n1nao econvergenteemIR.A nocao de equivalencia mais forte introduzida a seguir garante a invariancia de nocoescomocompletudeeseq uenciasdeCauchy.Denicao. Duas metricas d1e d2sao ditas uniformemente equivalentes quando as aplica-coesidentidadeId : (M, d1) (M, d2)eId : (M, d2) (M, d1)saoambasuniformementecontnuas.Observac~ao. Umacondicaosucienteparaqued1ed2sejamuniformementeequivalentesequeas aplicacoes identidadeId: (M, d1) (M, d2) eId: (M, d2) (M, d1) sejamLipschitzianas;issoequivale`aexistenciadeconstantes, > 0taisque:d1(x, y) d2(x, y) d1(x, y),paratodosx, y M.Teorema. Sejamd1ed2metricasuniformementeequivalentesemM. Entao:(i) uma seq uencia (xn)n1 e de Cauchy em (M, d1) se e somente se (xn)n1 for de Cauchyem(M, d2);(ii) (M, d1) ecompletoseesomentese(M, d2) ecompleto.Demonstracao. Segue do fato que funcoes uniformemente contnuas levam seq uencias deCauchyemseq uenciasdeCauchy.Efaciltambemmostrarqueumafuncaouniformementecontnuamantem-seunifor-mementecontnuaquandotrocamos as metricas dodomniooudocontra-domniopormetricasuniformementeequivalentes(issoseguedofatoqueacompostadefuncoesuni-formementecontnuas euniformementecontnua).(5) Subespacosetopologiainduzida.Como foi mencionado no incio da aula, se (M, d) e um espaco metrico e S Me umsubconjuntoentao_S, d|SS_tambemeumespacometrico; podemosentaodemaneiranatural pensarnumsubconjuntodeumespacometricocomosendotambemumespacometrico. O nosso objetivo agora e estabelecer algumas relac oes entre Me S (principalmentedenaturezatopologica).31Teorema. SeU MeabertoemMentaoU SeabertoemS. Alemdomais, dadoZ SabertoemSentaoexisteU MabertoemMcomZ= U S(osabertosdeSsaoosabertosdeMinterceptadoscomS).Antes de provar oteoremaacima, fazemos umaconvencao: parax Se r >0denotamosporB(x; r)eB[x; r]respectivamenteabolaabertaeabolafechadadecentrox e raio rno espaco metrico (M, d);nesta secao, precisaremos tambem nos referir `as bolasaberta e fechada de centro x e raio r > 0 no espaco metrico_S, d|SS_ as ultimas seraodenotadaspor:BS(x; r) =_y S: d(x, y) < r_,BS[x; r] =_y S: d(x, y) r_,.Aseguinteobserva cao etrivial:BS(x; r) = B(x; r) S, BS[x; r] = B[x; r] S.DemonstracaodoTeorema. SeU Meaberto,mostremosqueU Seaberto. Sejax U S;comoUeabertoemM,exister> 0comB(x; r) U. DaBS(x; r) U S.Reciprocamente,suponhaqueZ SeabertoemS. Paracadax Zexisteentaorx> 0tal que BS(x; rx) = B(x; rx) S Z. Da U=xZ B(x; rx) e aberto em Me Z= U S.Corolario. SeSeabertoemMentaoosabertosdeSsaoosabertosdeMqueestaocontidosemS.Teorema. SeF MefechadoemMentaoF SefechadoemS. Alemdomais,dadoH Sfechado emSentao existeF Mfechado emMcomH= F S(os fechados deSsaoosfechadosdeMinterceptadoscomS).Demonstracao. SeF MefechadoemMentaoFceabertoemMeFc SeabertoemSpeloteoremaanterior. DaS \ (Fc S) = F SefechadoemS. Reciprocamente,suponhaqueH SefechadoemS. DaS \ HeabertoemSeportantoexisteU MabertoemMcomS \ H=U S, peloteoremaanterior. TemosentaoqueF=UcefechadoemMeH= F S.Corolario. SeSefechadoemMentaoosfechadosdeSsaoosfechadosdeMqueestaocontidosemS.32Exerccios.(nao e para entregar, mas e bom dar uma olhada e quem tiver problemas me procura).Espacos metricos (terminologia basica).1. Seja(M, d) umespacometrico. Mostre que se r1, r2>0e x1, x2Msaotaisquer1+ r2 0comB(x; r) A;(d) paratodox Aexister > 0comB[x; r] A.4. MostrequeasseguintescondicoessaoequivalentessobreumsubconjuntoAdeumespacometricoM:(a) A efechado;(b) A = A;(c) paratodox M,sex Aentaoexister > 0comB(x; r) A = ;(d) paratodox M,sex Aentaoexister > 0comB[x; r] A = ;(e) ocomplementardeA eaberto(logoserfechado eumanocaotopologica);(f) A A;(g) A A;5. MostrequeasseguintescondicoessaoequivalentessobreumsubconjuntoAdeumespacometricoM:(a) A edenso;(b) A = M;(c) todoabertonaovaziode MinterceptaA(logoser densoe umanocaoto-pologica);(d) todabolaabertadeMinterceptaA;(e) todabolafechadadeMinterceptaA;(f) dadox Me > 0existey Acomd(x, y) < ;(g) int(Ac) = .336. Sejam(M, d) umespacometricoeA Mumsubconjunto. Odiametro deAedenidopor:diam(A) =supx,yAd(x, y) [0, +].MostrequeA elimitadoseesomentesediam(A) < +.7. Mostrequetodabolaabertaeumconjuntoabertoequetodabolafechadaeumconjunto fechado (ninguem acha que apenas os nomes bola aberta e bola fechadaimplicamautomaticamentequeessesconjuntossejamabertosoufechados,certo?).8. SeA eumsubconjuntodeumespacometricoMmostreque:(a) int(A)eext(A)saoabertos;(b) AeAsaofechados;(c) int_int(A)_= int(A)eA = A.9. Seja A um subconjunto de um espaco metrico M. Mostre que int(A) e o maior abertocontidoemA, i.e., queint(A)eabertoequeseU MeumabertocontidoemAentaoU int(A).10. SejaAumsubconjuntodeumespacometricoM. MostrequeAeomenorfechadoquecontemA, i.e., queAefechadoequeseFMeumfechadoquecontemAentaoA F.11. DadossubconjuntosAeBdeumespacometricoM,mostrequeA B A B.12. Dado um espaco metrico M, um subconjunto A Me um aberto U Mmostre queU A = seesomenteseU A = .13. Sobre um espaco metrico M,um subconjunto A Me um ponto x Mmostre que:(a) xeumpontointeriordeAseesomentesexpertenceaumabertocontidoemA(logopontointerior eumanocaotopologica);(b) x e um ponto de aderencia de A se e somente se todo aberto contendo x interceptaA(logopontodeaderencia eumanocaotopologica);(c) x eumpontodefronteiradeAseesomentesetodoabertoquecontemxpossuipontos de Ae pontos fora de A(logo ponto de fronteira e uma nocao topologica);(d) xeumpontodeacumulacaodeAseesomentesetodoabertoquecontemxintercepta A num ponto diferente de x (logo ponto de acumulacao e uma nocaotopologica).3414. SobreumespacometricoM,umsubconjuntoA Meumpontox Mmostreque:(a) xeumpontointeriordeAseesomentesexpossuiumavizinhancacontidaemA;(b) xeumpontodeaderenciadeAseesomentesetodavizinhancadexinterceptaA;(c) xeumpontodefronteiradeAseesomentesetodavizinhacadexpossuipontosdeAepontosforadeA;(d) x e um ponto de acumulacao de A se e somente se toda vizinhanca dexinterceptaAnumpontodiferentedex;(e) AeabertoseesomentesetodopontodeApossui umavizinhancacontidaemA;(f) AefechadoseesomentesetodopontoforadeApossui umavizi-nhancadisjuntadeA.15. SobreumespacometricoMmostreque:(a) OconjuntovazioeoproprioespacoMsaoabertosefechados;(b) Auniaodeumafamliaarbitrariadeabertos eumaberto;(c) Ainterse caodedois(ou, maisgeralmente, deumafamlianita)deabertoseaberto;(d) Ainterse caodeumafamliaarbitraria(naovazia)defechados eumfechado;(e) A uniao de dois (ou, mais geralmente, de uma famlia nita) de fechados e fechado.16. EncontreemIR2umafamliaenumeravel deabertoscujaintersecaonaoeabertaeumafamliaenumeraveldefechadoscujauniaonao efechada.17. SobreumespacometricoMesubconjuntosA, B Mmostreque:(a) A B= A B;(b) A B A B(deumcontra-exemploparaaigualdadecomM= IR2);(c) int(A B) = int(A) int(B);(d) int(A) int(B) int(A B)(deumcontra-exemploparaaigualdadecomM=IR2).18. Sejam(Mi, di), i =1, . . . , n, espacos metricos esejaM=ni=1Mi. Denaumaaplicacaod : M M IRfazendo:d(x, y) =_ni=1di(xi, yi)2_12,parax=(xi)ni=1, y=(yi)ni=1 M. Mostrequedsatisfazadesigualdadetriangular(dica: para x, y Mdenote por xy IRno vetor cuja i-esima coordenada e di(xi, yi);observequed(x, y)= xy, onde denotaanormaEuclideanaemIRn. UseadesigualdadetriangularparaanormaEuclideana).3519. Seja(M, d) umespacometrico. Umsistemafundamental devizinhancas paraumpontox Meumconjunto Vdevizinhancas dextal quetodavizinhancadexcontemumavizinhancadexpertencentea V. Quandotodososelementosde Vsaoabertos, dizemos que V e um sistema fundamental de vizinhancas abertas de x. Mostreque:(a) V=_B[x; r] : r >0_eumsistemafundamental devizinhancas dexe V=_B(x; r) : r > 0_ eumsistemafundamentaldevizinhancasabertasdex;(b) V=_B_x;1n: n IN_eumsistemafundamental devizinhancasdexe V=_B_x;1n_: n IN_ eumsistemafundamentaldevizinhancasabertasdex;(c) para cada x Mseja Vx um sistema fundamental de vizinhancas de x. Reprove ositens (a)(f) do Exerccio 14 trocando o termo vizinhanca de x por vizinhancadexpertencentea Vx.20. Sejam(Mi, di), i=1, . . . , n, espacosmetricoseconsidereoprodutoM=ni=1Mimunidadametricaprodutod. Mostreque:(a) seUieabertoemMiparacadai=1, . . . , nentaoni=1UieabertoemM(oprodutodeabertos eaberto);(b) seFiefechadoemMiparacadai = 1, . . . , nentaoni=1FiefechadoemM(oprodutodefechados efechado);(c) parax = (xi)ni=1 M,mostreque:V=_ni=1B(xi; ri) : r1, . . . , rn (0, +)_eumsistemafundamentaldevizinhancasparaxemM;(d) ofechodoproduto eoprodutodosfechos,i.e.:A1 An= A1 An,paraquaisquerAi Mi,i = 1, . . . , n.Espacos metricos (sequ^encias).21. Seja Mum espaco metrico. Mostre que se y1e y2sao ambos limites de uma seq uencia(xn)n1emMentaoy1= y2.22. Mostre que toda seq uencia convergente num espaco metrico e uma seq uencia de Cau-chy.23. Seja(M, d) umespacometricoe (xn)n1umaseq uenciaemM. Mostre que xnconvergeparaumcertox Mseesomentesed(xn, x) 0emIR.24. Se (xn)n1e umaseq uenciae : ININe umafuncaoestritamente crescenteentao dizemos que (x(k))k1 e uma subseq uencia de (xn)n1; tipicamente escrevemosnk= (k) e dizemos que (xnk)k1 e uma subseq uencia de (xn)n1. Mostre que se umaseq uencia(xn)n1convergeparaxnumespacometricoMentaotodasubseq uencia(xnk)k1convergeparax.3625. (oteoremadosanduche)Mostrequeseyn Lezn LemIReseyn xn znparatodon INentaoxn LemIR.Espacos metricos (limite e continuidade).26. Sejaf: A M Numafuncao,onde(M, d)e(N, d)saoespacosmetricos. Dadoumpontodeacumulacaox0 MdeA,mostrequeseLeL Nsaoamboslimitesdef(x)quandoxtendeax0entaoL = L.Observac~ao. Paraquemgostadepensaremcoisasvaziamentesatisfeitas: mostrequesex0 MnaoeumpontodeacumulacaodeAentaoseriaverdadequetodoL Neumlimitedef(x)quandoxtendeax0.27. Sejam(M, d), (N, d) espacosmetricosef : MNumafuncao. Dadox0 Mmostreque:(a) sex0eumpontodeacumulacaodeMentaof econtnuanopontox0seesomenteseolimitelimxx0 f(x)existee eigualaf(x0).(b) se x0nao e um ponto de acumula cao de M(i.e.,se x0e um ponto isoladode M)entaofesemprecontnuanopontox0.28. Sejam(M, d), (N, d)espacosmetricosef : M Numafuncao. Mostrequefecontnuanumpontox Mseesomentesedado > 0,existe> 0com:f_B(x; )_ B_f(x); _.29. Sejam(M, d), (N, d) e (P, d) espacos metricos, A M, BNsubconjuntos,x0 Mumpontode acumula caode Ae f : A N, g : BP funcoes comf(A) B. Suponhaquelimxx0 f(x)=L NequeLnaopertence`aimagemdef. Mostreque:(a) L eumpontodeacumulacaodeB;(b) selimyLg(y) = K Pentaolimxx0 g_f(x)_= K;(c) ache um contra-exemplo para os itens (a) e (b) quando removemos a hipotese queLnaopertence`aimagemdef.30. (teoremadosanducheparafuncoes)Sejamf, g, h: A M IRfuncoes, ondeMeumespacometrico. Suponhaquex0 Meumpontodeacumula caodeA, quelimxx0 f(x)=limxx0 h(x)=L IRequef(x) g(x) h(x)paratodosx A.Mostrequelimxx0 g(x) = L.31. (metricasinduzidasporfuncoes)Sejaf : M Numafuncaobijetora, ondeMeumconjuntoe(N, d)eumespacometrico. Mostrequed(x, y)=d_f(x), f(y)_eumametricaemM;mostretambemqued ea unicametricaemMquetornafumaisometria.37Espacos metricos (metricas equivalentes).32. Parax IRndenotepor xanormaEuclideanadexedena:x1=ni=1|xi|, x= max_|x1|, . . . , |xn|_.Mostreque:x x, x nx, x x1, x1 nx,econcluaque:x nx1, x1 nx.33. Sejam(Mi, di), i=1, . . . , n, espacosmetricoseconsidereoprodutoM=ni=1Mi.Mostrequeasformulas:d1(x, y) =ni=1di(xi, yi), d(x, y) = max_d1(x1, y1), . . . , dn(xn, yn)_,denemmetricasemM, ondex=(xi)ni=1, y=(yi)ni=1 M. UsandooExerccioanterior, mostrequeasmetricasd1edsaouniformementeequivalentesentresi etambemsaouniformementeequivalentes`ametricaprodutod.34. SejamdedmetricasemMdemodoqueasaplicacoesidentidade:Id : (M, d) (M, d), Id : (M, d) (M, d)sejamLipschitzianas. MostrequeA Melimitadoem(M, d)seesomenteseAelimitadoem(M, d).Espacos metricos (subespacos e topologia induzida).35. Seja (M, d) um espaco metrico e considere S Mmunido da metrica induzida por d.Mostreque:(a) umaseq uencia(xn)n1emSedeCauchyemSseesomentese(xn)n1fordeCauchyemM;(b) umaseq uencia(xn)n1emSconvergeparax SnoespacoSseesomentese(xn)n1convergeparax SnoespacoM;(c) paraA S,ofechodeAnoespacometricoScoincidecomA S;(d) afuncaoinclusaoi : S Meuniformementecontnua;se(N, d) eumoutroespacometricoentao:(e) se uma funcao f : MNe (uniformemente) contnua entao sua restricaof|S: S Ne(uniformemente)contnua;(f) seumafuncaof : NMtemimagemcontidaemSentaof : NMe(uniformemente) contnua se e somente se f: N S e (uniformemente) contnua.3836. Seja (M, d) um espaco metrico e considere S Mmunido da metrica induzida por d.Mostreque:(a) seSeumespacometricocompletoentaoSefechadoemM;(b) seMeumespacometricocompletoentaoSecompletoseesomenteseSefechadoemM.37. Mostre que continuidade e uma propriedade local, i.e., que dada uma funcao f: M Nentreespacosmetricos,umpontox MeumavizinhancaV Mdexentaofecontnuanopontoxseesomentesearestricaof|Vecontnuanopontox.38. Sejam(M, d), (N, d) espacos metricos e suponhaque M=ni=1FicomcadaFifechadoemM. Sejaf:M Numafuncaotal quef|Fi:Fi Necontnuaparatodoi = 1, . . . , n. Mostrequefecontnua(dica: usequefecontnuaseesomentesef1(F) efechadoemMparatodoFfechadoemN).39. Sejam(M, d)umespacometricoeS Mumsubconjunto. Umpontox SeditoisoladodeSquandox S, i.e., quandoexister >0tal queB(x; r) S= {x}.Mostrequex SeisoladodeSseesomentese {x}eumabertodoespacometrico_S, d|SS_.40. Umespacometrico(M, d)editodiscretoquandotodosubconjuntodeMeaberto.Mostreque:(a) Mediscretoseesomentese {x} eabertoemMparatodox M;(b) MediscretoseesomentesetodosubconjuntodeMefechadoemM;(c) um conjunto Mmunido da metrica zero-um e sempre um espaco metrico discreto;(d) considerando S Mcom a metrica induzida de Mentao Se um espaco discretoseesomentesetodopontodeSeisolado;(e) Z ediscretocomametricainduzidadeIR.39Aulan umero6(22/03)A aula n umero 6 cobriu o material das Secoes (3) e (4) originalmente destinado `a aulan umero5.Aulan umero7(27/03)(1) Espacosconexos.Observac~ao. Esta aula deve iniciar cobrindo a secao (5) da aula n umero 5 (20/03) sobre otemaSubespacosetopologiainduzida; paracompreensaodosresultadossobreespacosconexostalassunto efundamental.Seja(M, d)umespacometrico. SeA, BsaoabertosdisjuntosemMtaisqueM=ABentao dizemos que M= AB e uma cisaode M; quando A = , B= Mou A = M,B= entaodizemosqueM= A Beumacisaotrivial deM.Denicao. Dizemos que o espaco metrico Me conexo quando Mso admite a cisao trivial,i.e.,sedadosabertosdisjuntosA,B McomM= A BentaoA = ouB= .Algumas maneiras equivalentes de denir espaco conexo estao listadas no Exerccio 6.ParticularmenteimportanteeaobservacaoqueMeconexoseesomenteseos unicossubconjuntosdeMquesaoaomesmotempoabertosefechadossao eM.Observac~ao. Conexidade e uma nocao intrnseca, i.e., nao depende de espaco ambiente (aocontrariodenocoescomoaberto, fechadoedenso). Porexemplo, se(M, d)eumespacometrico e S Me um subconjunto entao armacoes como S e aberto, S e fechado, Se denso sao relativas a M; se Mfor um subespaco metrico de um espaco metrico maior Nentao e bem possvel que Sseja aberto (ou fechado, ou denso) em M, mas naoem N. Poroutrolado, adenicaodeconexidadenaofazreferenciaaumambienteexterno; dizemosque um subconjunto Sde um espaco metrico Me conexo quando o espaco metrico Scomametricad|SSinduzidadeMforconexonosentidodadenicaoanterior. NotequeseMeumsubespacometricodeNeS MentaoMeNinduzemamesmametricaemS(issoemeioobvio!) eportantoSeconexovistocomosubconjuntodeMseesomenteseSeconexovistocomosubconjuntodeN. Observamosquetambemasnocoesdeespacolimitadoeespacocompletomencionadasanteriormentesaointrnsecas.Observac~ao. Conexidade e uma nocao topologica, i.e., pode ser denida apenas em termosdeabertos (semreferenciadireta`ametrica). Seguequedois espacos homeomorfos saoambosconexosouambosdesconexos.Exemplo bobo. SeM= ouseMtemsoumpontoentaoMeconexo.40Teorema. Sejam (M, d), (N, d) espacos metricos e seja f: M Numa funcao contnua.SeMeconexoentaoaimagemdefeconexa(aimagemdeumconexoporumafuncaocontnua econexa).Demonstracao. PodemossubstituirNporf(M)(issonaoafetaacontinuidadedef)eportantopodemossuporsemperdadegeneralidadequefsejasobrejetora. SejaA Naberto e fechado. Da f1(A) e aberto e fechado emMe portanto f1(A) = ouf1(A) = M;noprimeirocasotemosA = enosegundoA = N.Teorema. Seja(M, d) umespacometricoe seja(Ci)iIumafamliade subconjuntosconexosdeMtalqueexistep iI Ci. EntaoauniaoC=iI Cieconexa(auniaodeconexoscompontoemcomum econexa).Demonstracao. Seja A Caberto e fechado em C. Para cada i Itemos que ACieabertoefechadoemCieportantoA Ci= ouA Ci= Ci,pelaconexidadedeCi. Sep AentaodeveserA Ci= Ciparatodoi IeportantoA = C;sep AentaodeveserA Ci= paratodoi IeportantoA = .Teorema. Sejam(M, d)umespacometricoeX Mumsubconjuntoconexo. SeCetalqueX C XentaoCeconexo(emparticular,ofechodeumconexo econexo).Demonstracao. Seja A Caberto e fechado em C. Temos que AXe aberto e fechadoemX,dondeAX= ouAX= X,jaqueXeconexo. ComoXedensoemCeA eabertoemCtemosqueA X= implicaA = . SeforA X= X(i.e.,X A)entaoA = CpoisA efechadoemCeXedensoemC.Teorema. AretaIR(comametricaEuclideana,logico) econexa.Demonstracao. Suponha por absurdo que existam abertos disjuntos nao vazios A, BemIRcomIR=A B. Escolhaa Aeb B; comoAeBsaodisjuntostemosa =bepodemosporexemplosuporquea < b(senao esotrocarAporB). ConsidereoconjuntoX=_x A:x0, existemelementosdeX(eportantodeA)nointervalo(c , c],dondec eumpontodeaderenciadeA. ComoAefechado,temosc A;comoA B= ,temosc = b(eportantoc < b).ComoAeaberto, existe>0tal que(c , c + ) Aepodemossuportambemquec + < b;da[c, c +) X,contradizendoc = sup X.Corolario. TodointervalodeIReconexo.Demonstracao. IntervalosabertossaohomeomorfosaIR(mostre!) eportantoconexos;seointervaloIcontemalgumadesuasextremidadesent aoexisteumintervaloabertoJcomJ I J,dondeIeconexo.Teorema. SeI IReconexoentaoouI = , ouI temum unicopontoouI eumintervalo.Demonstracao. Sejama, b Icoma < b. Armamosque[a, b] I;defato,seexistissec (a, b)comc IentaoI=_I (, c)__I (c, +)_seriaumacisaonaotrivialdeI,contradizendoofatoqueIeconexo. SuponhaqueItemmaisdeumponto;efacil41ver entaoque(inf I, sup I) I [inf I, sup I], dondeI eumintervalo(epossvel queinf I= ousup I= +).Corolario. (o teorema do valor intermediario) Se f: I IR IR e uma funcao contnuadenidanumintervaloI IResefassumeosvaloresx, y IRentaofassumetodososvaloresentrexey.Demonstracao. Observe que f(I) IR e conexo e portanto e um intervalo (ou um unicoponto).Teorema. OprodutoM=ni=1Mideespacosmetricosconexos(Mi, di) econexo.Demonstracao.Esucientemostrar ocason=2, sendoqueocasogeral segueporinducao (observe que o produto cartesiano de espacos metricos e associativo). Vamos suporM1eM2naovazios,casocontrariooresultado etrivial. Fixex M1;paracaday M2,os espacos {x}M2e M1{y} sao conexos (pois sao homeomorfos respectivamente `a M2e`aM1)epossuemoponto(x, y)emcomum. Segueque:Cy=_{x} M2__M1 {y}_econexoparatodoy M2. ObserveagoraqueM1 M2=yM2Cy, ondecadaCyeconexoe {x} M2 yM2Cy = .Corolario. IRneconexo.Denicao. Umespacometrico(M, d)editoconexoporcaminhos(dizemostambemco-nexoporarcos)quandodadosx, y Mexisteumaaplicacaocontnua(dizemostambemumacurvacontnua): [0, 1] Mtal que(0)=xe(1)=y(dizemosqueeumcaminholigandoxay).Teorema. SeMeconexoporcaminhosentaoMeconexo.Demonstracao. Escolhax M(ocasoM= etrivial). Paracaday Mpodemosescolher umacurvacontnuay: [0, 1] Mcomy(0) =xey(1) =y. Comoyecontnua e [0, 1] IR e conexo temos que a imagem de ye conexa; da M=yM Im(y)ex Im(y)paratodoy M,i.e.,Meuniaodeconexoscompontoemcomum.Exemplo. Dadosx, y IRnentaoosegmentoderetaligandoxayedenidopor:[x, y] =_(1 t)x +ty: t [0, 1]_;umsubconjuntoS IRneditoconvexoquandodadosx, y Sentao[x, y] S. TodosubconjuntoconvexoSdeIRneconexoporcaminhos([0, 1] t (1 t)x + ty Seumcaminholigandox, y S)eportantoeconexo. BolasabertasebolasfechadasemIRnsaoconvexaseportantoconexasporcaminhos(econexas); defato, vamosvericarporexemploqueabolaabertaB(a; r), a IRn, r>0econvexa. Dadosx, y IRncomx a < r, y a < rentaoparatodot [0, 1]:__(1 t)x +ty a__=__(1 t)x (1 t)a +ty ta__ (1 t)x a +ty a < r.42Teorema. Seja Mum espaco metrico conexo e suponha que todo ponto de Mpossui umavizinhancaconexaporcaminhos. Ent aoMeconexoporcaminhos.Demonstracao. Denaumarelacaodeequivalencia emMfazendo:x y existeumcaminhoemMligandoxay,paratodos x, y M(vejaoExerccio8). SejaCumaclasse de equivalencia; vamosmostrar queCeaberta. Dadox Centaoxpossui umavizinhancaV emMqueeconexa por caminhos, donde y x para todo y V ; da V Ce x e um ponto interior deC. Mostramos entao que Ce aberta; mas Ctambem e fechada, pois seu complementar e auniaodasoutrasclassesdeequivalencia(quetambemsaoabertas). ComoC = (classesde equivalencia nunca sao vazias, por denicao; no caso trivial M= nao temos nenhumaclassedeequivalencia),temosC= MeportantoMeconexoporcaminhos.Corolario. SeumabertoU IRneconexoentaoele econexoporcaminhos.Exemplo. Existem espacos conexos que nao sao conexos por caminhos. Um exemplo famosoeasenoidedostopologosdenidadaseguintemaneira: sejaS IR2ogracodafuncao(0, 1] t sen1t,i.e.:S=__t, sen1t_: t (0, 1]_.Temos que S e conexo pois e a imagem do conexo (0, 1] pela funcao contnua t _t, sen1t_.Asenoidedostopologos epordenicaoofechodeS,ouseja:S= S _{0} [1, 1]_. (verique!)TemosqueSeconexopoiseofechodeumconexo. Ocorrequenaoexisteumcaminhocontnuo em Sligando um ponto de Sa um ponto do segmento vertical {0} [1, 1] (vejaoExerccio10).(2) Espacoscompactos.Seja(M, d)umespacometrico. UmacoberturadeMeumafamlia(Ui)iIdesub-conjuntosdeMcomM=iI Ui;dizemosque(Ui)iIeumacoberturaabertadeMsecadaUiforabertoemM. Umasubcoberturade(Ui)iIeumafamliadaforma(Ui)iJcomJ ItalqueM=iJ Ui.Denicao. UmespacometricoMeditocompactoquandotodacoberturaabertadeMadmiteumasubcoberturanita, i.e., seM=iI UicomcadaUi Mabertoentaoexistemi1, . . . , in IcomM=nk=1Uik.Observac~ao. Assimcomo a nocao de espaco conexo, a nocao de espaco compactoeintrnseca, i.e., naofazreferenciaaumambienteondeoespacoestaimersoumsub-conjuntoKdeumespacometricoMeditocompactoquandoKeumespacometricocompactomunidodametricainduzidadeM. Assim, K MecompactosignicaquetodacoberturaabertadeKporabertosrelativosaKadmiteumasubcoberturanita.Noentanto,anocao intrnseca decompacto eequivalente`a nocaoextrnsecade compactodadanoseguinte:43Teorema. SejaMumespacometricoeK Mumsubconjunto. EntaoKeumespacocompacto (com a metrica induzida de M) se e somente se toda cobertura aberta de KporabertosdeMadmiteumasubcoberturanita, i.e., dadaumafamlia(Ui)iIdeabertosdeMcomK iI Uientaoexistemi1, . . . , in IcomK nk=1Uik.Demonstracao. SuponhaqueKecompacto(nametricainduzida)esejaK iI UiumacoberturadeKporabertosdeM. Da K=iI(Ui K)eumacoberturaabertadeK(por abertos deK) eportantoexistemi1, . . . , incomK=nk=1(Uik K); daK nk=1Uik. Reciprocamente,suponhaquetodacoberturaabertadeKporabertosdeMadmiteumasubcoberturanita; sejaK=iI ZiumacoberturadeKporabertosde K. CadaZie daformaUi KcomUiabertoemM; da K iI Uie umacoberturadeKporabertosdeMeportantoexistemi1, . . . , incomK nk=1Uik. DaK=nk=1(Uik K) =nk=1ZikeportantoKecompacto.Observac~ao. Compacidade eumanocaotopologica.Teorema. SejamM, Nespacosmetricos. Sef:M NeumafuncaocontnuaeMecompactoentaoaimagemdefecompacta(aimagemdeumcompactoporumafuncaocontnua ecompacta).Demonstracao. TrocandoNporf(M)(oquenaoafetaacontinuidadedef)podemossuporsemperdadegeneralidadequefesobrejetora. SejaN=iI UiumacoberturaabertadeN; da M=iI f1(Ui)eumacoberturaabertadeM, daqual extramosumasubcoberturanitaM=nk=1f1(Uik). DaN=nk=1Uik.Teorema. SeMecompactoentaoMelimitado.Demonstracao. Fixex M(ocasoM= etrivial); temosqueM=nIN B(x; n)eumacoberturaabertadeMeportantoexistemn1, . . . , nk INcomM=ki=1 B(x; ni).Tomandon = max{n1, . . . , nk}entaoM= B(x; n).Corolario. Sef: M NecontnuaeMecompactoentaofelimitada.Teorema. Se(M, d)eumespacometricoeK MecompactoentaoKefechadoemM.Demonstracao. Seja x Mcom x K. Para cada y K,como x = y,existem abertosdisjuntos Uy, Vy Mcom y Uye x Vy(por exemplo, tome Uy= B(y; r) e Vy= B(x; r)comr=12d(x, y)>0). Da K yK Uyeumacoberturaaberta(porabertosdeM!)eportantopodemosextrairumasubcoberturanitaK ni=1Uyi. SejaV =ni=1Vyi;obviamente Ve uma vizinhanca aberta de x. Alem do mais, Ve disjunto de K(na verdadeVe disjunto ate deni=1Uyi K). Da x nao e um ponto de aderencia de Ke K e fechadoemM.Corolario. Se Me compacto nao vazio e f: M IR e contnua entao fassume maximoemnimoemM.Demonstracao. Como f(M) IRe fechado e limitado temos supf(M) f(M) einf f(M) f(M).44Teorema. Se(M, d) ecompactoeK MefechadoentaoKecompacto.Demonstracao. SejaK iI UiumacoberturaabertadeKporabertosdeM; daM= (M\K) iI Ui e uma cobertura aberta de M, ja que Ke fechado. Obtemos entaouma subcobertura nita dessa ultima que pode ou nao envolver M\K; de qualquer modo,M \ KnaocobrenenhumpontodeKeportantoobtivemosnaverdadeumacoberturanitadeKporalgunsUis.Teorema. (HeineBorel)UmsubconjuntodeIRecompactoseesomenteseforfechadoelimitado.Demonstracao. Em vista dos teoremas anteriores, basta provar que um intervalo fechado[a, b] ecompacto. Seja[a, b] iI Uiumacoberturade[a, b]porabertosdeIR;suponhaporabsurdoqueelanaopossuiumasubcoberturanita. DividaointervalofechadoI0=[a, b]nomeio; umadasduasmetadesnaopodesercobertaporumn umeronitodeUis(senaoI0poderia)denoteessametadeporI1. AgoradividaI1nomeioedenoteporI2umametadequenaopodesercobertaporumn umeronitodeUis. Seguindocomesseprocesso,obteremosumaseq uenciadecrescenteI0 I1 I2 I3 deintervalosfechadoscomdiam(Ik) =12kdiam(I0),ondecadaIknaopodesercobertoporumn umeronitodeUis. Peloprincpiodosintervalosencaixantes, existec k1Ik; comoc I0,existeUicomc Ui. Comodiam(Ik) 0, existeIkcomc Ik Ui, contradizendoofatoqueIknaopodesercobertoporumn umeronitodeUis.Corolario. (oteoremadeWeierstrass)Umafuncaocontnuaf:[a, b] IRelimitadaeassumemaximoemnimo.AdemonstracaodoteoremadeHeineBorelmotivaaintroducaodaseguinte:Denicao. UmespacometricoMeditototalmentelimitadoquandodado>0entaoMadmiteumacoberturanitaporsubconjuntosdediametromenorque, i.e., existemM1, . . . , MnMcomcadadiam(Mi) 0, ointervalo[a, b]podeserparticionadoemumn umeronitodeintervalosdecomprimentomenorque.Observac~ao. Obviamente todo espaco totalmente limitado e limitado, de modo que espacosnao limitadosfornecemexemplosdeespacos quenao sao totalmente limitados. Qualseriaumexemplodeumespacolimitadoquenaoetotalmentelimitado? Bom, generalizandooexemploacimanaoe difcil ver que todosubconjuntolimitadode IRne totalmentelimitado. ParaencontrarumexemplodeespacolimitadoquenaoetotalmentelimitadoprecisamosentaoprocurarforadeIRn(oquenaverdadefogeumpoucodoespritodocurso)oexemploeoseguinte: considereumconjuntoinnitoMmunidodametricazero-um(umoutroexemploseriaumaboladeumespaconormadodedimensaoinnita,masisso eoutrahistoria).45Teorema. SejaMumespacometrico. Asseguintescondicoessaoequivalentes:(i) Mecompacto;(ii) todaseq uenciaemMpossuiumasubseq uenciaconvergente(emM);(iii) Mecompletoetotalmentelimitado.Demonstracao.(i)(ii). Seja(xn)n1umaseq uenciaemM. Suponhapor absurdoque (xn)n1naopossui subseq uenciaconvergente, i.e., que(xn)n1naopossui pontos aderentes (vejaoExerccio13). Da,paratodoy Mtemosqueynaoeumpontoaderentede(xn)n1eportanto (negue a denicao!) existe um aberto Uyem Mcontendo ytal que xn Uyparatodonsucientementegrande(i.e.,oconjunto_n IN: xn Uy_enito). AcoberturaabertaM=yM UyadmiteumasubcoberturanitaM=ki=1Uyi;da:IN=_n IN: xn M_=ki=1_n IN: xn Uyi_enito,umacontradi cao.(ii)(iii).Efacil verqueseumaseq uenciadeCauchypossui umasubseq uenciaconver-genteentaoelamesmoeconvergente; portantoMecompleto. Sejaagora>0evamosmostrar que Mpode ser coberto por um n umero nito de subconjuntos de diametro menorque. Suponhaquenao. Da M = epodemosescolherx1 M; abolaB_x1;3_temdiametromenorqueeportantonaopodecobrirMpodemosentaoencontrarx2 MforadeB_x1;3_. Analogamente, asbolasB_x1;3_eB_x2;3_possuemdiametromenorqueeportantonaopodemcobrirM; podemosencontrarentaox3 Mforadessasbo-las. Prosseguindo a construcao indutivamente, supondo x1, . . . , xkconstrudos entao comoki=1 B_xi;3_naopodeser M, podemos encontrar xk+1foradauniaodessas kbolas.Obtemosassimumaseq uencia(xn)n1emMcomd(xn, xm) 3paratodon = metalseq uencianaopodetersubseq uenciaconvergente,umacontradicao.(iii)(i). (essa parte imita a demonstracao do teorema de Heine-Borel) Seja M=iI UiumacoberturaabertadeM. Suponhaporabsurdoquetal coberturanaoadmiteumasubcoberturanita. Dado =1entaoMpodeser cobertopor umn umeronitodesubconjuntos de diametro menor que 1; podemos supor que tais subconjuntos sao fechados(poisdiam(S)=diam(S); vejaoExerccio12). Setodosessesconjuntospudessemsercobertos por umn umeronitodeUis entaotambemMpoderialogoalgumdessesfechados, digamos F1, nao admite uma subcobertura nita (em particular F1 = ). TemosquetambemF1etotalmentelimitado,jaqueF1eumsubespacodeM;logo,dado =12podemos cobrir F1 por um n umero nito de fechados de diametro menor que12. Novamente,um desses fechados, digamos F2 F1, nao pode ser coberto por um n umero nito de Uis.Seguindooracioccioindutivamente, construmosumaseq uenciadecrescentedefechadosnao vazios F1 F2 F3 onde diam(Fk) 0tal que paratodo =1n, poderamosencontrarxn, yn Mcomd(xn, yn) 0comB(x; rx) Ui. DacoberturaabertaM=xM B_x;rx2_podemosextrairumasubcoberturanitaM=nk=1 B_xk;rxk2_;tome=12 min{rx1, . . . , rxn} > 0.Vamosmostrarqueeumn umerodeLebesgueparaM=iI Ui. SejaS Mcom47diam(S) 0 com B(x; r) U; seja k INcom1k r2. Como D e denso,existen INcomxn B_x;1k_; obviamentex B_xn;1k_(poisd(x, xn) 0entaotemosxn B(x; )paranarbitrariamentegrande,i.e.,seoconjunto_n IN: xn B(x; )_58einnito. Mostrequeasseguintescondicoessaoequivalentes:(a) x eumpontodeaderenciade(xn)n1;(b) dado um aberto U Mcontendo x entao xn Upara n arbitrariamente grande(pontoaderenteaumaseq uencia eumanocaotopologica);(c) existeumasubseq uencia(xnk)k1de(xn)n1convergindoparax(recordequeparaque(xnk)k1sejachamadaumasubseq uenciade(xn)n1enecessarioquen1< n2< n3< );(d) xeumpontodeacumula caodoconjunto_xn: n IN_ouaseq uencia(xn)n1possuiinnitostermosiguaisax(i.e.,oconjunto_n IN: xn= x_ einnito).Observac~ao. Naoconfundir xeaderente`aseq uencia(xn)n1comxeaderenteaoconjunto_xn: n IN_. Porexemplo,1neaderenteaoconjunto_1n: n IN_paratodon INmasnenhumn umerodaforma1neaderente`aseq uencia_1n_n1.Observac~ao. existem innitos ns com xn B(x; ) e existem innitos xns em B(x; )saoarmacoesdiferentes! Oconjunto_n IN: xn B(x; )_possuicardinalidademaiorouigualadoconjunto_xn: n IN_ B(x; ). Porexemplo,sexn= xparatodon INent aoexisteum unicoxnemB(x; )masexisteminnitosnscomxn B(x; ).14. SejaMumespacometricocompleto. Seja(Fn)n1umaseq uenciadesubconjuntosfechadosnaovaziosFn McomF1 F2 F3 ediam(Fn) 0. Mostrequeaintersecaon1Fnpossuiexatamenteumponto(dica: escolhaxn Fnparacadanemostreque(xn)n1eumaseq uenciadeCauchy).Observac~ao. Semahipotesediam(Fn) 0noExerccio14epossvel queaintersecaon1Fnsejavazia! Porexemplo,tomeM= IReFn= [n, +).15. SejaMumespacometricoeseja(Kn)n1umaseq uenciadecompactosnaovaziosKn McomK1 K2 K3 . Mostrequeainterse caon1Knenaovazia(dica: supondopor absurdoquen1Kn= , afamlia(M \ Kn)n1seriaumacoberturaabertadeK1).16. Mostre que todo espaco metrico nito e compacto. Mostre tambem que a uniao nitadesubespacoscompactosdeumespacometricoainda ecompacta.17. (produtopor umcompacto) SejaKumespacometricocompactoeMumespacometricoqualquer. Dadoumpontop MeumabertoZ K MquecontemK {p},mostrequeexisteumavizinhancaabertaV depemMtalqueK V Z(seumabertocontemumalinhacompactaentaoelecontemumafaixaemtornodessalinha)dica: paratodox K, existemabertosUx KeVx Mcomx Ux,p VxeUx Vx Z(vejaoExerccio20(c)daaulan umero5);adivinheoquefazercomacoberturaabertaK=xK Ux!18. (mais uniformidades) Sejam Kum espaco metrico compacto e M, Nespacos metricosquaisquer. Seja f: KM Numa funcao contnua; mostre que a continuidade de feuniformecomrespeito`avariavelemK,i.e.,quedadosy0 Me > 0entaoexiste> 0 tal que para todo x Ke todo y B(y0; ) Mtemos d_f(x, y), f(x, y0)_< (> 0naodependedex K)dica: oconjuntoZ=_(x, y) K M: d_f(x, y), f(x, y0)_< _59eabertoemK MecontemalinhaK {y0};useoExerccioanterior.19. (distancia entre conjuntos) Seja Mum espaco metrico. Dados subconjuntos A, B MdenimosadistanciaentreAeBpor:d(A, B) =infaAbBd(a, b) =infaAd(a, B) =infbBd(A, b).Mostreque:(a) seK MecompactoeFMefechadocomK = entaoexistex Kcomd(x, F) =d(K, F) (dica: K x d(x, F)eumafuncaocontnuanumcompacto). ConcluaqueseK F= entaod(K, F) > 0.(b) SeK1, K2 Msaocompactosnaovaziosentaoexistemx K1, y K2comd(x, y)=d(K1, K2), i.e., adistanciaentrecompactoseefetivamenteassumida(dica: d|K1K2eumafuncaocontnuanumcompacto).(c) SeK IRnecompactoeFIRnefechado, comKeF naovazios, entaoexistem x K, y Fcom d(x, y) = d(K, F), i.e., a distancia entre um compactoe um fechado em IRne efetivamente assumida (dica: escolha k > 0 grande tal queF0=_y F: d(y, K) k_e nao vazio; da F0 e compacto e d(K, F) = d(K, F0)).(d) AchesubconjuntosfechadosdisjuntosF1, F2 IR2taisqued(F1, F2) = 0.Observac~ao. Oitem(c)doExerccio19naovaleseoespacometricoambientenaoeoIRn; por exemplo, se M= IR\ {0}, K= {1} e F= (0, +) entao Fe fechado em M, Ke compacto, mas a distancia entre Ke Fnao e efetivamente assumida.E possvel tambemobtercontra-exemplosondeoespacoambienteMecompleto.20. Mostre que se (xn)n1e uma seq uencia convergente num espaco metrico M,digamosxn x M,entaooconjunto_xn: n 1_ {x} ecompacto.21. Sejam Mum espaco metrico e S Mum subconjunto. Dizemos que S e relativamentecompactoemMseofechodeSemMecompacto(relativamentecompactonaoeumanocaointrnseca). Mostrequeasseguintescondicoessaoequivalentes:(a) SerelativamentecompactoemM;(b) todaseq uenciaemSpossuiumasubseq uenciaconvergenteemM.22. SejaMumespacometricodiscreto(recordeExerccio40daaulan umero5). MostrequeMecompactoseesomenteseMenito.23. MostrequeaesferaS2=_(x, y, z) IR3: x2+ y2+ z2=1_naoehomeomorfaaIR2,masqueaesferaS2menosumponto ehomeomorfaaIR2(lembramdaprojecaoestereograca?).Base enumeravel e separabilidade.24. SejamMumespacometricoe Bumacolecaode abertos de M. Mostre que asseguintespropriedadessaoequivalentes:(i) B eumabasedeabertosparaM;(ii) dadoU Mabertoex UentaoexisteV Bcomx V U.6025. (paraacompanhar esteexerccio, vocedeverecordar os Exerccios 19e20daaulan umero5)SejaMumespacometrico. Mostreque:(a) seB eumabasedeabertosparaMentaoparatodox MacolecaoVx=_V B : x V_eumsistemafundamentaldevizinhancasabertasparax M.(b) Separacadax MescolhemosumsistemafundamentaldevizinhancasabertasVxdex MentaoacolecaoB =xM VxeumabasedeabertosparaM.(c) Se(Mi, di),i = 1, . . . , n,saoespacosmetricosentao:B =_ni=1Ui: Ui Miaberto, i = 1, . . . , n_eumabasedeabertosparaoprodutoni=1Mi. Maisgeralmente, seBieumabasedeabertosparaMientao:B =_ni=1Ui: Ui Bi, i = 1, . . . , n_eumabasedeabertosparani=1Mi.(d) Concluadoitem(c) queoprodutodeespacos metricos combaseenumeravelainda eumespacometricocombaseenumeravel.26. MostrequetodoespacometricototalmentelimitadoMeseparavel(dica: paratodon 1escolhaSn MnitotalqueM=xSnB_x;1n_denaD =n1Sn).Espacos normados e espacos com produto interno.Vamos generalizaralguns resultados da secao para aplicacoes bilineares e multi-linea-res:27. SejamV , We Zespacos vetoriais normados. Sobre uma aplicacao bilinear B:V W Zmostrequesaoequivalentes:(i) Becontnua;(ii) Becontnuaem(0, 0);(iii) existec 0com B(x, y) cparatodosx V ,y Wcom x = y = 1;(iv) existec 0com B(x, y) cx yparatodox V ,y W.Generalizeoexerccioparaaplicacoesmulti-lineares.Observac~ao. SeguedoExerccioacimaedadesigualdadedeCauchy-Schwarzqueumprodutointerno econtnuo(comrespeito`ametricadenidaporelemesmo).Observac~ao. AplicacoesbilinearesemgeralnaosaoLipschitzianas(enemmesmounifor-mementecontnuas).28. SejamV , WeZespacosvetoriaisnormados. MostrequeseV eWtemdimensaonita entao toda aplicacao bilinear B: V W Ze contnua (dica: troque Zpor umsubespacodedimensaonitaquecontemaimagemdeB; podemossuporentaoqueBeumaaplicacaobilinearIRm IRnIRpondeIRm, IRneIRppossuemanormaEuclideana). Generalizeoresultadoparaaplicacoesmulti-lineares.6129. SejamV ,WeZespacosvetoriaisnormados. DenoteporBil(V, W; Z)oconjuntodetodasasaplicacoesbilinearescontnuasB: V W Z. Mostreque:(a) Bil(V, W; Z) eumsubespacodoespacovetorialdetodasasaplicacoesbilinearesV W Z;(b) aformula:B = supxV, x=1yW, y=1B(x, y) = supxV, x1yW, y1B(x, y),deneumanormaemBil(V, W; Z);(c) generalizeositens(a)e(b)paraocasodeaplicacoesmulti-lineares.30. (normainduzidaporumisomorsmo)SejamV ,Wespacosvetoriais, : V Wumisomorsmoe umanormaemW. Dena:x= (x),para todo x V . Mostre que e uma norma em Ve que : (V, ) (W, )eumaisometria. Dizemosque eanormaemV induzidapeloisomorsmoepelanormadeW.31. (normanumsubespaco)SejamV umespacovetorialeS V umsubespaco. Mostrequese eumanormaemV entao restringe-seaumanorma |SemS.MostrequeametricainduzidaemSpor |Scoincidecomarestricaodametricainduzidapor emV .32. (produtointernoinduzidoporumaaplicacao)Seja : V WumisomorsmoentreespacosvetoriaisV ,Weseja , umprodutointernoemW. Mostreque:x, y= (x), (y), x, y V,dene um produto interno em V ;dizemos que , e o produto interno induzidoporepor , . Mostreque : (V, , ) (W, , ) eumaisometria.33. (produtointernoinduzidonumsubespaco)SejamV umespacovetorialeS V umsubespaco. Seja , umprodutointernoemV . Mostreque , restringe-seaumprodutointerno , |SSemS. MostrequeanormainduzidaemSpor , |SScoincidecomarestricaodanormainduzidaemV por , .Observac~ao.Epossvel unicarosexerccios30e31(assimcomoosexerccios32e33)trocandoahipotesequesejaumisomorsmopelahipotesequesejalinearinjetora(obviamentenessecasovamosconcluirapenasque eumaimersaoisometricaemvezdeconcluirque eumaisometria).6234. (generalizandoosExerccios18e33daaula5)Seja umanormaemIRnsatisfa-zendoaseguintepropriedade:sex, y [0, +)nsaotaisquexi yi,i = 1, . . . , nentao x y ()(observequeanormaEuclideanaeasnormas psatisfazemapropriedade()).(a) SejamVi, i=1, . . . , nespacosvetoriais; oprodutoV =ni=1Vitambemeumespacovetorial comas operacoes denidas coordenadapor coordenadatalespacoeusualmentedenotadoporni=1Vi(ouV1 Vn) eechamadoasomadiretaouasomadiretaexternadosespacosVi. Se ieumanormaemVi,dena:xprod=____x11, . . . , xnn____,para todo x = (xi)ni=1 V . Mostre que prode de fato uma norma em V ; mos-tretambemquetrocando porumaoutranorma emIRn(satisfazendo())entaoobtemosumanormaequivalentea prodemV .(b) Sejam(Mi, di),i = 1, . . . , nespacosmetricos. SejaM=ni=1Miedena:dprod(x, y) =____d1(x1, y1), . . . , dn(xn, yn)____,paratodos x=(xi)ni=1, y =(yi)ni=1emM. Mostrequedprodedefatoumametrica emM;mostretambem quedprode uniformemente equivalente `a metricaprodutousualemM(aequivalencia eatemesmoLipschitz).(c) Sedieametricainduzidapelanorma inoespacoVi, mostrequedprodeametricainduzidapelanorma prodemV=ni=1Vi.63Aulan umero8(29/03)A aula n umero 8 cobriu o material das Secoes (2) e (4) originalmente destinado `a aulan umero7osseguintesassuntosforamomitidos:(i) anocaoden umerodeLebesguedeumacobertura;(ii) asecao(3)sobrebaseenumeraveleseparabilidade;(iii) anocaodenormasequivalenteseosresultadosrelativos`acontinuidadedeaplicacoeslineares.Aulan umero9(03/04)A aula comeca cobrindo a parte que faltou da secao (4) da aula n umero 7 (equivalenciadenormas,continuidadedeaplicacoeslinearescujodomniotemdimensaonitaenormadeoperadores).(1) Aprovadaregradacadeia.SejamU IRm,V IRnabertosef: U IRn,g: V IRpfuncoescomf(U) V .Suponha que fe diferenciavel num ponto x Ue que g e diferenciavel no ponto f(x) V .Nos devemos mostrar que g fe diferenciavel no ponto x Ue que sua diferencial e dadapor:d(g f)(x) = dg_f(x)_ df(x).Escrevemos:f(x +h) = f(x) + df(x) h +(h)h,g_f(x) +k_= g_f(x)_+ dg_f(x)_ k +(k)k,com limh0(h) = 0 e limk0(k) = 0. Aplicamos g dos dois lados da primeira identidadeacimaeutilizamosasegundacomk = df(x) h +(h)h;obtemos:(g f)(x +h) = (g f)(x) +_dg_f(x)_ df(x) h +h_dg_f(x)_ (h)+(k)k.Comodg_f(x)_ df(x) elinear,aconclusaoseguesemostrarmosque:limh0dg_f(x)_ (h) +(k)kh= 0.Sabemosquelimh0(h) = 0epelacontinuidadedatransformacaolineardg_f(x)_obte-moslimh0 dg_f(x)_ (h) = 0. Alemdomais,temos:k _df(x) +(h)h,donde segue que limh0k = 0 e que khe uma quantidade limitada para h numa vizinhancadaorigem. Aconclusaoseguedofatoquelimk0(k) = 0.64(2) Aigualdadeeadesigualdadedovalormedio.RecordemdoCalculo1oseguinte:Teorema. (do valor medio) Se f: [a, b] IRe uma funcao contnua, derivavel no intervaloaberto(a, b),entaoexistec (a, b)talque:f(b) f(a) = f(c)(b a).Demonstracao. Fazemos primeiroocasof(a) =f(b) (conhecidocomooTeoremadeRolle). A funcao contnua fassume um maximo e um mnimo no compacto [a, b]; se ambosfossem assumidos nas extremidades do intervalo entao fseria constante (pois f(a) = f(b))daf 0. Sefassumeummaximoouummnimonumpontoc (a, b)entao(comotodomundodevesaberdoCalculoI)temosf(c) = 0.Ocasogeral seguediretamenteaplicandooTeoremadeRolleparaafuncaog(t)=f(t) _f(b) f(a)_taba f(a).E muito facil generalizar o teorema acima para o caso de funcoes denidas em abertosdeIRmtomandovaloresemIR; paraisso, recordequeosegmentoderetaligandodoispontosx, y IRmedenidopor:[x, y] =_(1 t)x +ty: t [0, 1]_.Denotamostambempor(x, y)osegmentoderetaabertodenidopor:(x, y) =_(1 t)x +ty: t (0, 1)_.(esperoquenaoocorraconfusaocomoparordenado(x, y)).Teorema. Sejam f: U IRm IR uma funcao denida num aberto U IRme [x, y] UumsegmentoderetacontidoemU. Suponhaquef econtnuanos pontos de[x, y] ediferenciavelnospontosde(x, y);entaoexistez (x, y)talque:f(y) f(x) = df(z) (y x).Demonstracao. Seja : [0, 1] IR a aplicacao denida por (t) = f_(1t)x+ty_; noteque fe bem denida pois [x, y] U. Como fe contnua em [x, y], temos que e contnua;comofediferenciavelem(x, y),seguedaregradacadeiaqueediferenciavelem(0, 1)equesuaderivada edadapor:(t) = df_(1 t)x +ty_ (y x),paratodot (0, 1). AconclusaoseguediretamenteaplicandooteoremadovalormediodoCalculoIpara.Exemplo. O teorema do valor medio nao vale em geral para funcoes a valores vetoriais, i.e.,parafuncoesavaloresemIRncomn > 1. Porexemplo,acurvadiferenciavel: [0, 2] IR2denidapor(t)=(cos t, sen t)satisfaz(0)=(2)masnaoexistet [0, 2] com(t) = 0 (para reetir: por que a ideia obvia de aplicar o teorema do valor medio em cadacoordenadadenaofunciona?).Ageneralizacaocorretadoteoremadovalormedioparafuncoesavaloresvetoriaisedadanoseguinte:65Teorema. (desigualdadedovalormedio)Sejamf: U IRm IRnumafuncaodenidanumabertoU IRme[x, y] UumsegmentoderetacontidoemU. Suponhaquefecontnuanospontosde[x, y]ediferenciavelnospontosde(x, y);valeadesigualdade:__f(y) f(x)__ supz(x,y)__df(z)__y x,onde utilizamos normas arbitrarias em IRme IRne a norma usada em Lin(IRm, IRn) (parafazer__df(z)__) eanormadeoperadorescorrespondente.A demonstracao da desigualdade do valor medio segue facilmente do teorema do valormedioseutilizarmososeguinte:Lema. SejaV umespacovetorial normadonaonulo. DadovV entaoexiste umfuncionallinear : V IRcom = 1e(v) = v.Dizemos que e um funcional linear de norma 1 que reproduz a norma do vetor v V .Observac~ao. Paraquemnaosabe, umfuncional linear numespacovetorial real V esimplesmenteumaaplicacaolinear:V IRdenidaemV tomandovaloresemIR. OespacoLin(V, IR)detodososfuncionaislinearesemVechamadooespacodual deV e edenotadoporV. Maisadiantenocursoprecisaremosfazerumarevisaosobreateoriadoespacodualissoseraimportanteparaentenderateoriasobreintegraldelinhausando1-formas.Prova da desigualdade do valor medio. Pelo lema, existe um funcional linear IRncom = 1equereproduzanormadovetorf(y) f(x) IRn,i.e.:_f(y) f(x)_=__f(y) f(x)__.Aplicandooteoremadovalormedioparaafuncao f:U IRmIRobtemosqueexistez (x, y)com:_f(y)__f(x)_= d( f)(z) (y x);usandoaregradacadeiaealinearidadedeobtemos:_f(y) f(x)_= _df(z) (y x).Finalmente,como = 1ereproduzanormadef(y) f(x)obtemos:__f(y) f(x)__= _f(y) f(x)_= _df(z) (y x)_df(z) (y x)__df(z) (y x)____df(z)__y x supz(x,y)__df(z)__y x.O lema sobre a existencia de um funcional Vque reproduz a norma de um vetordadoebemfacil deserprovadoquandoanormadeV provemdeumprodutointerno, . Fazemosassim: tomamosv V econsideramosofuncional =vv, associadoaovetorunitariovv;efacilverque = 1eque(v) = v(vejaoExerccio1). Essademonstracaonaofuncionaparav=0, masessecasoetrivial (bastaescolherqualquer Vcom = 1).Ademonstracaodolemaparaespacosnormadosquaisquerseguiradoseguinte:66Teoremade HahnBanach. SejamV umespacovetorial normado, SV umsu-bespacoe:S IRumfuncional linear. Entaoexisteumaextensaolinear:VIRde(i.e., = |S)talque = (onde e denotamasnormasdeoperadoresde Ve Srespectivamente).Antes de provar o Teorema de HahnBanach, vamos mostrar como o lema sobrefuncionaisquereproduzemanormadevetoresseguediretamentedetal teorema. SejaV umespacovetorial normadoe sejav V naonulo(ocasov =0e trivial). SejaS=IRv V osubespacounidimensionalgeradoporv. Podemosdenir Sfazendo(v)= v(poisveumabaseparaS)eefacil verque =1(aesferaunitariadeSpossui apenasosvetores vv). PeloTeoremadeHahnBanachpodemosestenderaumfuncionallinearemV queaindapossuinorma1(equeaindareproduzanormadev,obviamente).ProvadoTeoremadeHahnBanach. Apartecentral dademonstracaodoTeoremadeHahnBanacheaseguinte: consideramosumvetorv V foradeSemostramosqueepossvel estenderparaumfuncional linearnoespacoS IRvgeradoporSev, demodoque = . Umavezqueesseresultadotenhasidodemonstrado,oteoremadeHahnBanachseguedaseguintemaneira:(i) se Vtem dimensao nita (que e o caso que nos interessa) entao basta repetir o processodescritoacimaumn umeronitodevezeseeventualmenteobteremosumaextensaodeparaV ;(ii) seV earbitrario, aconclusaonal seguefacilmentedoLemadeZorn. Ocasodeespacosdedimensaoinnitaetotalmenteirrelevanteparaessecurso, demodoquequemnaotemfamiliaridadecomoLemadeZornpodesimplesmenteignorar essecaso.Vamos entaodemonstrar opassocentral, i.e., quepodemos estender Spara (S IRv)demodoque = . Aextensaodecatotalmentedenidaquandoescolhemosovalordeemv(vejaoExerccio3);essevalorseraumn umerorealc IR. Da:(x +tv) = (x) +tc,paratodos x Set IR. Obviamenteteremos paraqualquer escolhadec IR;oproblema emostrarque epossvelescolherc IRdemodoque:(x