Notas sobre Fenómenos de Transferência

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR

NOTAS SOBRE FENÓMENOS DE TRANSFERÊNCIA

para o Curso de EPGI

Paulo Jorge Pimentel de Oliveira

(Janeiro 1998)

Departamento de Engenharia Electromecânica Universidade da Beira Interior, 6200 Covilhã, Portugal.

Notas Fenómenos de Transferência - Paulo Oliveira 2

Conteúdo

1. Equações diferenciais Teorema de transporte de Reynolds ...3ì Equação da conservação de massa, ou equação da continuidade...3ì Equação da conservação da quantidade de movimento ...3ì Equação de conservação da energia interna ...5ì Equação de transporte para uma variável conservativa ...6ì 9

2. Equações integrais (ou macroscopicas) para um volume de controlo´ Conservação de massa ...7ì Conservação da quantidade de movimento (cálculo de forças) ...7ì Conservação da energia total (interna cinética potencial) ...7ì Conservação da energia mecânica (equação de Bernoulli; fluido incompressível...8ì

3. Cálculo de perdas de carga (dimensionamento de redes de condutas) 3.1 Perdas de carga em linha ...8 3.2 Perdas de carga pontuais ...10

4. Transmissão de calor 4.1 Leis básicas ...11 4.2 Transferência de calor por condução ...13 4.2.1 Caso de várias paredes planas, incluindo convecção interior e exterior ...13 4.2.2 Caso de várias cascas cilíndricas... 14 4.2.3 Caso de várias calotes esféricas ...15 4.2.4 Raio crítico de isolamento cilíndrico ... 16 4.2.5 Cilindro com fontes de calor internas q ... 16Þ

@

4.3 Transferência de calor por convecção ... 17 4.3.1 Convecção forçada dentro de tubos cilíndricos ... 18 4.3.2 Convecção natural ... 20

5. Exames resolvidos Teste de 30/1/1998 ... 21 Exame de 16/2/1998 ... 32

BibliografiaTransport Phenomena, R.B. Bird, W.E. Stewart e E.N. Lightfoot, (1960) John Wiley.Engineering Thermodynamics - Work & Heat Transfer, G.F.C. Rogers and Y.R.Mayhew, (1967) Longman.Fenómenos de Transporte- Quantidade de Movimento, Calor e Massa, C.O Bennett eJ.E. Myers, (1978) McGraw -Hill.


1. Equações diferenciais

Teorema de transporte de ReynoldsìPara uma propriedade genérica por unidade de massa , definida num volume de9controlo V e para um campo de velocidades , tem-se:u

dv dv (1)DDt t

' 'V V39 39œ Ð † Ñ

``39

f u

Nota: a derivada substantiva, ou derivada seguindo o movimento, é dada por:

(2)DDt t9 9

œ †``

u f9

Em coordenadas Cartesianas, com notação indicial, fica:

u u v w (3)DDt t x t x y y9 9 9 9 9 9 9

œ ´ ` ` ` ` ` `` ` ` ` ` `4

4

onde (u,v,w) são as componentes da velocidade segundo os eixos (x,y,z).

Equação da conservação de massa, ou equação da continuidade:ìA massa duma determinada porção de meio contínuo conserva-se, ou seja:

m dv 0 0 (4)D DDt Dt tœ œ Ê † œ'

V3 3

``3

f u

onde se usou o teorema do transporte de Reynods. Usando a definição de D Dt, estaÎequação pode ainda escrever-se:

(5)DDt3

œ †3 f u

Para um fluido incompressível, é constante ao longo do movimento, e a equação da3continuidade fica:

0 (que também pode ser escrita como div 0) (6)f † œ œu u

Equação da conservação da quantidade de movimento (ou do momentum)ìA segunda lei de Newton diz que a taxa de variação temporal da quantidade demovimento (m ) é igual às forças aplicadas. Para uma porção de meio contínuo contidaunum volume V, a lei de Newton fica:

dv ds dvDDt

' ' 'V VS3 3u T fœ


onde são as forças de superfície (S é a superfície que envolve V) e é a força porT funidade de massa que actua dentro de V (por vezes designada força “volúmica” sendodevida a um campo de forças externo, em contraste com as forças de superfície que sãointernas ao meio); normalmente é a força da gravidade, . A força actuando numaf g Tsuperfície com normal unitária pode exprimir-se em termos do tensor das tensões n 5como:

(ou, em componentes: T n n , pois é simétrico) (7)T nœ † œ œ5 53 4 43 34 45 5

Aplicando o teorema de Reynolds e o de Gauss ( ds dv ), obtem-se:' 'S V

n † œ †5 5f

(8)``3ut † Ð Ñ œ † f f 03 3u u 5

que se pode também escrever, usando a equação da continuidade:

(9)3 3DDt

uœ † f 05

Em problemas de mecânica de fluidos é usual separar o tensor das tensões numa parte depressão mais uma parte de tensões viscosas:

p (10)5 $ 7œ

( é o tensor unitário, sendo 0, se , ou 1, se ), pelo que a equação da$ $34 œ 3 Á 4 œ 3 œ 4conservação da quantidade de movimento fica:

p (11)3 3DDt

uœ † f f 07

Para um fluido Newtoniano (como o ar, ou a água) as tensões viscosas são dadas por umaequação constitutiva linear nos gradientes de velocidade, do tipo:

(12)7 $œ Ð Ñ Ð † Ñ. .f f fu u uT 23

onde é a viscosidade dinâmica e denota o tensor transposto. Substituindo na Eq. (11),. T

para constante, obtêm-se as equações de Navier-Stokes que, conjuntamente com a.equação da continuidade, governam o movimento dum fluido Newtonianoincompressível:

p (13)3 . 3DDt

uœ f f 0#u


Equação de conservação da energia interna EìA primeira lei da termodinâmica diz que a taxa de variação da energia total dum sistemaé igual ao taxa de trabalho e de calor que entram através da fronteira, DE Dt W Q.µ

Î œ Þ Þ

A energia total é E E E E : energia interna cinética potencial, mas naµœ 5 :

dedução que se segue a energia potencial é contabilizada separadamente através dasforças volúmicas . Aplicando este princípio a um volume V, e não esquecendo defcontabilizar todas as formas de potência que actuam sobre V, tem-se:

e u 2 dv ds dv ds q dvDDt

' ' ' ' 'V V VS S3 3Ð Î Ñ œ † † †

Þ Þ#@T u f u q n

O primeiro termo do lado direito da equação representa a potência (força vezesvelocidade) das forças de superfície (aquelas que actuam na superfície S que rodeia ovolume V); o segundo termo representa a potência das forças volumicas; o terceiro termo´representa o fluxo de calor por condução que entra em V através da superfície S (oqÞ

termo é negativo porque a normal considera-se positiva a sair de V); o último representaeventuais fontes volumétricas de calor (por exemplo, produção interna de calor por efeitode Joule, ou por reacção química, etc). Utilizando os teoremas de Reynolds e de Gauss, adefinição de por meio do tensor das tensões, a equação da conservação da quantidadeTde movimento, e a lei de Fourier para especificar o fluxo de calor por condução:

k T (lei de Fourier para condução de calor) (14)qÞ œ f

onde k é a condutividade térmica, [W/mK], e T a temperatura, obtem-se finalmente aequação da conservação da energia interna específica (e E/m):œ

k T q (15)3DeDt œ † Ð Ñ À

Þf f f@ 5 u

Para um fluido Newtoniano fica:

k T q p (16)3 3 FDeDt œ † Ð Ñ Ð † Ñ

Þf f f@ u

onde a função de dissipação 2 3 (com F .œ Ð À Ð † Ñ Î Ñ ´ Ð ÑD D u D u uf f f# "#

T

denotando o tensor das deformações) é um termo sempre positivo que representa adissipação viscosa (transformação de energia interna em calor devido a irreversibilidadesassociadas com fricção interna por viscosidade). Este termo é pequeno em muitos casospodendo ser desprezado. Em escoamentos a alta velocidade torna-se importante e paravelocidades usuais só é importante quando a viscosidade do fluido é elevada. Para fluidosincompressíveis a equação da continuidade implica que o termo pdiv se anula. u A equação de conservação da energia interna pode ainda exprimir-se em termos deentalpia,


h e p œ Î Ê œ 3 3 3Dh DeDt Dt Dt Dt

Dp p D3

3 ficando:

k T q (17)3 3 FDhDt Dt

Dpœ † Ð Ñ

Þf f @

Relembra-se que para um gás perfeito se tem:

Dh c DT e De c DTœ œ: @

onde c e c são os calores específicos a pressão e volume constantes, respectivamente.: @

Para um fluido incompressível, ou um solido, tem-se c c c (calor específico).´ : @œ ´

Equação de transporte para uma variável conservativaì 9A equação de transporte para uma propriedade que se conserva pode, em geral, escrever-se:

dv ds S dv S (18)' ' 'V VS

Ð Ñ œ † Ê † Ð Ñ œ` `` `39 39t tJ n J9 9 9 9f

exprimindo o facto que o aumento temporal da propriedade dentro do volume V resulta9do fluxo total de que entra em V através da superfície S (lembrar que o vector normal 9 nestá a sair de V, por isso o sinal negativo) mais eventuais fontes internas de por9unidade de volume, S .9 O fluxo total de (por unidade de área e de tempo) pode ser separado num fluxo9convectivo (transporte pelo movimento do meio contínuo, proporcional àvelocidade densidade) e num fluxo difusivo (transporte por vibrações a nível‚molecular, proporcional ao gradiente da quantidade transportada), assim:

(19)J u9 9œ Ð Ñ Ð Ñ3 9 > 9f

onde é o coeficiente difusivo de . Substituindo na Eq. (18), a equação de transporte> 99

fica:

S . (20)``39t † Ð Ñ œ † Ð Ñ f f f3 9 > 9u 9 9

É de reparar que qualquer das equações dadas anteriormente pode ser vista comoresultante desta equação geral de transporte, desde que se faça a escolha acertada de ,9> 9 >9 9 9 e S . Por exemplo, para a energia interna, basta considerar c T e k c eœ œ Î@ @

incorporar todos os termos restantes no termo fonte S .9


2. Equações integrais (ou macroscopicas) para um volume de controlo´

Conservação de massa:ì

m m (21)dmdt@- œ

Þ Þ! !3

3 //

onde m e m são os caudais mássicos nas entradas e nas saídas do volume de controloÞ Þ3 /

VC, respectivamente. Lembrar que um caudal mássico é dado por m uA (onde é aÞœ 3 3

densidade do fluido, A é a área de passagem e u a velocidade normal a A; em geral, emtermos vectoriais, será m ). Em problemas com fluidos incompressíveis (água,Þ

œ †3u Apor exemplo) é comum usar-se o caudal volúmétrico:

Q A u [m s] com m Q (em tubos circulares, A d 4).Þ Þ

œ Î œ œ ÎÞ

@ @$ #3 1

Em regime estacionário (quando não há variações temporais) temos simplesmenteque a soma dos caudais à entrada do VC é igual à soma dos caudais à saída:

m m (22)! !3

3 //

Þ Þœ

Conservação da quantidade de movimento (cálculo de forças):ì

m m p p m (23)ddtP@- œ

Þ Þ! ! ! !3 3

3 3 / / 3 3 / / @-/ /

u u A A F g

onde a quantidade de movimento do VC é denotada dv m ( traçoP u uœ œ '@-

@- @- @-3

representa um valor médio). A equação acima expressa a segunda lei de Newton aplicadaao VC: a taxa de aumento da quantidade de movimento dentro do VC resulta de fluxos dequantidade de movimento que entram associados com fluxos mássicos (menos os quesaiem), a que se somam as forças de pressão aplicadas nas entradas (menos a saídas),mais a força total exterior aplicada sobre a superfície do VC, mais as forças internasFpor unidade de massa (tipicamente, o peso devido ao campo da gravidade). Em regime estacionário o termo d dt anula-se.PÎ

Conservação da energia total (interna cinética potencial):ì

m h m h W Q W (24)dEdt

µ@- œ

Þ Þµ µ Þ ÞÞ! !3

3 3 / / =-/

expressando o facto que o aumento da energia total dentro do volume de controlo(E E E E ; com E m u e E m gz , z= altura acima nível deµ

œ œ œ@- @- 5 : 5 @- : @- @-"#

#@-

referência) é devido a entrada de entalpia total (h h gz u ) associada aos fluxosµ

œ Î##


mássicos (menos saída), mais entrada através da fronteira do VC de trabalho ao eixo porunidade de tempo (W) e de calor por unidade de tempo (Q), mais eventualmente trabalho

Þ Þ

devido a deslocamento da superfície de controlo (W p dV dt). Se denotarmosÞ

œ Î=- =- @-

H mh , para o caso do regime estacionário (dE dt W 0) a conservação deÞ Þµ

œ Î œ œÞµ µ! =-

energia fica:

H W Q H energia que entra energia que sai (25)Þ Þ Þµ µ

œ Í œÞ

3 /

Conservação da energia mecânica (equação de Bernoulli; fluidoìincompressível)Ao longo duma linha de corrente entre os pontos e , tem-se:" #

gz w gz e (26)p pu u2 2

" #" ## #

3 3 œ " "# # @"#

onde e representa a dissipação devida aos efeitos viscosos no fluido (perda de carga)@"#

entre os pontos e , e w representa o trabalho ao eixo, por unidade de massa," # "#

eventualmente fornecido entre os pontos e (por exemplo, por uma bomba hidráulica" #ou um ventilador).

3. Cálculo de perdas de carga (dimensionamento de redes de condutas)

As perdas de carga separam-se em: perdas de carga em linha (e ) ocorrem ao longo dum tubo, devido ao atritoì @"#

nas paredes; perdas de carga pontuais (e ) ocorrem em dispositivos existentes emì @4

determinados pontos duma linha (por ex. torneiras, cotovelos, curvas, expansões,contrações, válvulas, etc).

calculam-se por meio de coeficientes de atrito3.1 As perdas de carga em linhadefinidos como:

f (adimensional) (27)´73A

#1 2 uÎ

onde é a tensão de corte existente na parede do tubo. Esta tensão na parede pode ser7Arelacionada com a perda de pressão existente entre duas secções dum tubo cilíndrico dediametro d e comprimento L. A equação do balanço de quantidade de movimento reduz-se a:


força de pressão força de atrito na parede œ Ê

p p dL) p 4 Ê Ð Ñ œ Ð Ê œ" # A A1d L4 d#

7 1 ? 7

com p p p . A equação de Bernoulli, assumindo um tubo horizontal de secção? ´ " #

constante (u u ) e sem que haja fornecimento de trabalho, reduz-se a:" #œ

p e (28)? 3œ @"#

e portanto a perda de pressão devida à fricção é:

p e 4 f u 4 ? 3 7 3œ œ œ Ð Ñ Ê@"# A#L L

d d12

e 4f [J/kg]=[m s ] (29)Ê œ Î@"## #L u

d 2#

Os valores de f dependem do regime dinâmico (laminar ou turbulento), do numero de´Reynolds (Re ud ) e do valor da rugosidade da parede dos tubos ( d), e sãoœ Î Î3 . %normalmente obtidos de correlações empíricas ou de gráficos (o famoso diagrama deMoody). Para tubos lisos, em regime laminar, as equações de Navier-Stokes permitemobter a expressão que dá a variação da velocidade na secção do tubo de raio R,

u(r) u 1 r RÎ œ Ð Î Ñ!#

e permitem ainda relacionar o valor máximo da velocidade no eixo do tubo, u , com o!

valor médio na secção, u (o caudal volumétrico é Q Au ; de notar que este u Þœ@

corresponde ao u usado na eq. de Bernoulli e nos balanços macroscopicos):´

u 2 u .! œ

Deste modo o valor da tensão de corte na parede pode ser calculado, de 7Aœ Ð ` Î` Ñ. u(r) r , e consequentemente o coeficiente de fricção:<œV

f . (30)œ16Re

(Chama-se a atenção de que em alguns livros se usa um coeficiente de fricção igual a 4vezes o aqui definido) Para regime turbulento (Re 2000 em tubos lisos), o coeficiente de fricção não podeser obtido analiticamente. Existem algumas correlações empíricas ou semi-empíricas (vernas Tabelas dadas). Uma das mais usadas, para tubos lisos, é a formula de Blasius:´

f (válida para 2300<Re<10 ). (31)œ 0.0791 Re"Î%

&


No caso de tubos rugosos (altura da rugosidade [m]) uma expressão que aproxima (erro%1%) o diagrama de Moody, podendo-o substituir nos cálculos, é:

f œ0.331

ln 3.7d 5.74 ReÐ Ð Î Î ÑÑ% !Þ* #

(válida para 5000 Re 10 , 10 d 10 )Ÿ Ÿ Ÿ Î Ÿ) ' #%

Valores típicos de altura de para materiais comuns em tubagens:rugosidade [mm]% Aço rebitado 0.9 9. Betão, Concreto 0.3 3. Madeira 0.18 0.19 Ferro fundido 0.25 Ferro galvanizado 0.15 Ferro fundido asfaltado 0.12 Aço comercial ou ferro forjado 0.046 Tubo soprado 0.0015

Para escoamento de tipo camada-limite sobre placa plana lisa, alinhada com o eixo dos x,e sendo o numero de Reynolds local agora definido como Re u x (u é a´ B _ _œ Î3 .velocidade constante longe da placa= velocidade não perturbada, a infinito), oscoeficientes locais (em x) de fricção são dados por:

f (escoamento laminar, para Re 5 10 ) (32)B B&œ

0.664ReB

"Î#

sendo o valor médio de x=0 até x=x, dado por f 2f ; eœ B

f (escoamento turbulento, para Re 5 10 ). (33)B B&œ

0.0592ReB!Þ#

define-se um factor de perda de carga em3.2 Para as perdas de carga pontuaistermos da energia cinética a (depois) da perturbação como:jusante

e K (34)@4 ú24#

onde é um índice que denota a perturbação localizada. Valores de K podem ser4encontrados em tabelas especializadas. Alguns valores, válidos para escoamentoturbulento, são dados de seguida.

Tipo de obstáculo K (u jusante)


Entrada arredondada para tubo 0.05 Entrada com tubo a re-entrar 1.0 Contracção subita 0.45 1 )´ Ð "

Expansão subita 1)´ ‡ #Ð 1"

Oríficio (quinas não-arredondadas) 2.7 1 1Ð ÑÐ ÑÎ" " "# #

Cotovelo a 90° (redondo) 0.4 0.9 Cotovelo a 90° (quadrado) 1.3 1.9 Cotovelo a 45° 0.3 0.4 T standard 1.8 Válvula tipo globo (aberta) 6 10 Válvula tipo "gate" (aberta) 0.2 Válvula de canto (aberta) 5 Válvula de controlo “swing check" (aberta) 2.5 (Nota: área menor área maior; para 0, K 1 com u a montante)" "œ Î œ œ‡

4

Em geral, o cálculo da variação de pressão entre a entrada e a saída de uma linha decondutas, faz-se aplicando a equação de Bernoulli (Eq. 26) e calculando o termo de perdade carga como:

e 4f K (35)@"# 43 4

œ ! !Ld 2 2

u u3 3

3

#4#

onde a soma em representa a perda de carga em linha, para cada troço , e a soma em 3 3 4representa a perda de carga localizada, em cada elemento (ligações, válvulas, etc).4

4. Transmissão de calor

4.1 Leis básicasA transferência de calor de um ponto para um ponto pode fazer-se por:" # - fenomeno difusivo devido a vibrações que se propagam a nível´ì Conduçãomolecular; ocorre sobretudo em sólidos e, em menor grau, em líquidos. Tem de existirum gradiente de temperatura e o fluxo de calor obedece à (Eq. 14) que nolei de Fouriercaso unidimensional fica:

q k (36)Þœ

dTdx

Se a condutividade térmica k for constante, esta expressão pode integrar-se, ficando:

q k T T x [W/m ], ou Q Aq (37)Þ Þœ Ð ÑÎ œ œ

Þ" #

#$Ð ÑÐ Î ÑT T

x kA" #

$


Aqui x é a distância entre 1 e 2, e A é a área de passagem (perpendicular ao fluxo de$calor). Usa-se muitas vezes uma analogia com a lei de Ohm da electricidade (V I): aœ ediferença de potencial corresponde a diferença de temperaturas, sendo o factor queprovoca o fluxo térmico, V T; a corrente eléctrica corresponde à taxa de´ ?transferência de calor, I Q; consequentemente, a resistência térmica, para este caso´

Þ

unidimensional plano, fica:

[K/W] (38)e œ x kA$

transporte devido ao movimento (macroscopico) do meio; ocorre´ì Convecçãodentro de fluidos (líquidos ou gases) que se movem segundo um certo campo develocidades . O fluxo convectivo de energia interna é, em geral, dado pelo primeiroutermo do lado direito da Eq. (19), e (e c T). Um problema com convecção é mais3u œ @

complicado do que um problema so com condução, pois requer o conhecimento doćampo de velocidades (que pode depender, por sua vez, do campo de temperaturas). Asequações diferenciais fundamentais que governam o transporte convectivo (Eqs. 6, 13 e16) são muito mais complicadas do que a equação que governa o transporte por condução(Eq. 41, abaixo). Por isso recorre-se frequentemente a expressões empíricas quefornecem o coeficiente de transmissão de calor por convecção, h, definido como:

q h T T (normalmente escreve-se q h T T ) (39)Þ Þœ Ð Ñ œ Ð Ñ" # A _

chamada a da convecção. Na equação entre parêntises assume-se que olei de Newtonfluxo de calor convectivo é transferido duma parede quente à temperatura T ( )A A œ wallpara um fluido que está a uma temperatura (a infinito) T ._

- propagação de energia por ondas electromagnéticas com umì Radiação determinado comprimento de onda (na radiação térmica). A radiação ocorre mesmoatravés do vácuo (isto é, ao contrário da condução e da convecção, não é necessária apresença dum meio, solido ou fluido, para que se dê a transferência de energia). Umaóutra diferença é que as equações que governam a transferência de energia por radiaçãosão do tipo , enquanto as equações da condução e convecção são . Aintegral diferenciaislei de Stefan-Boltzmann da radiação diz que a energia emitida por um corpo negro(corpo ideal que radia toda a energia que recebe) é proporcional à quarta potência datemperatura absoluta do corpo. Para um corpo não ideal, chamado corpo cinzento, o valordo fluxo de calor trocado por radiação é reduzido por um coeficiente empírico, aemissividade (ver valores em Tabelas), ficando:%

q T T (40)< " " #% %œ Ð Ñ% 5

onde a constante de Stefan-Boltzmann é 5.67 10 W/m K . A Eq. (40) pode ser re-5 œ ) # %

arranjada de forma a aparecer um coeficiente de troca de calor por radiação:

h T T T T com q h T T .< " " # < " #" #´ Ð ÑÐ Ñ œ Ð Ñ% 5 2 2r


Em problemas que involvam simultaneamente convecção e radiação, pode usar-se umcoeficiente total de transmissão de calor:

h h h .tot rœ

4.2 Transferência de calor por conduçãoA equação diferencial que governa trocas de calor por condução é obtida directamente daequação diferencial da energia (16), que se simplifica para 0, ficando:u œ

c k T q (41)3``Tt œ † Ð Ñ

Þf f @

Considerando apenas casos de regime permanente (estacionário) e uni-dimensionais (atempertaura só depende de uma coordenada espacial), obtemos as equações:

ì Ð Ñ Ð Ñ œÞpara geometrias planas (paredes paralelas): k q x 0 (42)d

dxdTdx @

ì Ð Ñ Ð Ñ œÞpara geometrias cilíndricas (cascas circulares): rk q r 0 (43)1 d dT

r dr dr @

ì Ð Ñ Ð Ñ œÞpara geometrias esféricas (cascas esféricas): kr q r 0 (44)1 d dT

r dr dr# #@

4.2.1 Caso de várias paredes planas, incluindo convecção interior e exterior (semfontes; k constante dentro de cada parede)A potência calorífica transferida pode ser calculada de duas maneiras: (1) usando ocoeficiente global de transmissão de calor U, ou (2) usando a analogia eléctrica. Noprimeiro caso a potência trocada vem:

Q AU T [W] (45)Þ

œ ?

onde: T T T (diferença de temperaturas interiores e exteriores,[K])? œ 3 /

A (área da secção perpendicular ao fluxo de calor [m ] )#

U (coeficiente global de transmissão de calor) (46)œ 1

1 1h k h3 44

4

/ Ð Ñ ! $

com: U em [W/m K]; : espessura da parede [m]; k : condutividade térmica de .2 $4 44 4


A analogia com as leis válidas para a corrente eléctrica permite também escrever:

Q ( semelhante a I )Þ

œ œ?e e

T V/;

onde a resistência térmica equivalente segue as regras válidas para resistênciaseeqeléctricas: resistências em série somam-se; resistências em paralelo somam-se os inversose inverte-se o resultado. A resistência térmica de cada elemento é:

parede plana : (47)4 œe4

$4

4Ak

convecção natural: (48)e œ1

Ah

Quando não há convecção natural tem-se 0, o que equivale a ter h e assime œ œ _T T ._ Aœ

4.2.2 Caso de várias cascas cilíndricas (sem fontes; k constante em cadacilindro):Neste caso a área de passagem de calor varia com o raio r (A 2 rL, onde L é oœ 1comprimento dos cilindros), e vão existir coeficientes globais baseados na área interiorA 2 R L e na área exterior A 2 R L:3 3 / /œ œ1 1

Q A U T A U T (49)Þ

œ œ3 3 / /? ?

com: U (50)3 œ

1 R 1

h k R hln R R R

3 434

Ð Î Ñ4" 4 3/ /

!ou U (51)/ œ

1 R R

R h k hln R R 1/

3 3 4/

4

Ð Î Ñ4" 4

/ !

A formula para a resistência térmica dum cilindro é:´

R ln (52)4 œ Ð Ñ1 1

2 L k RR

1

4 4

4"

(R é o raio da parede interior do cilindro , e R é o raio da parede exterior).4 4"4

Nota: para pequena curvatura do cilindro, temos R R onde é a espesura da4" 4 4 4œ $ $

parede do cilindro, sendo R 1; fica ln 1 R 2 Lk A k ,$ e $ 1 $4 4 4 4 4 4 4 4 4Î ¥ œ Ð Î ÑÎ ¸ Î


obtendo-se assim a formula válida para parede plana, como seria de esperar (usou-se:´ln(1 para pequeno). Ñ µ% % %

A formula que dá a variação da temperatura dentro duma casca cilíndrica que está à´ìtemperatura interior de T e exterior de T , é:A3 A/

T r T T T . (53)Ð Ñ œ Ð ÑA3 A3 A/ln r R

ln R R Ð Î ÑÐ Î Ñ

3

/ 3

4.2.3 Caso de várias calotes esféricas (sem fontes; k constante em cada esfera):Neste caso a área de passagem de calor também varia com o raio r (A 4 r ), e vãoœ 1 #

existir coeficientes globais baseados na área interior A 4 R e exterior A 4 R :3 /# #3 /œ œ1 1

Q A U T A U T com T T T (54)Þ

œ œ œ 3 3 / / 3 /? ? ?com: U (55)3 œ

1

R 1 1 1 1h k R R

R

R h3 4 4 4"

#3

4

#3

#/ /

Ð Ñ !

ou U (56)/ œ

1 R R

R h1 1 1 1k R R h

/#

3#

3

#/

4 4 4 4" / Ð Ñ !

A formula para a resistência térmica duma casca esférica é:´

fora, (57)e4 œ Ð Ñ1 1 1 1

4 k R R1

4 4 4"

(R e R são os raios das paredes interior e exterior, respectivamente, da calote esférica4 4"

4)

A formula que dá a variação da temperatura dentro duma casca esférica cuja´ìtemperatura interior de parede é T e exterior T , é:A3 A/

T r T T T (58)Ð Ñ œ Ð ÑA3 A3 A/ Š ‹1 R 1 r 1/R 1/R Î Î

3

3 /


4.2.4 Raio crítico de isolamento cilíndricoSe o raio exterior dum tubo cilíndrico for R , sendo o coeficiente convectivo exterior h ," /

e se se pretender reduzir a perda de calor do tubo para o exterior por meio dumisolamento de raio R e condutividade térmica k , define-se um raio crítico como:# iso

R (59)- œ k h

iso/

Para r R , a perda de calor Q é máxima. Assim, se R R a perda de calor aumentaœ Þ

- # -

com a espessura do isolamento (com R ). Por outro lado, se R R a perda de calor# # -Å diminui com R . Para que o isolamento seja eficaz é neccessário que R R , porque# " -Å se assim não for está-se a aumentar a perda de calor quando se acrescenta oisolamemento.

4.2.5 Cilindro com fontes de calor internas q (uniforme).Þ@

A variação da temperatura neste caso é dada por:

T(r) T R r (60)œ Ð Ñ_ "# # q R q

2h 4k

Þ Þ@ @"

onde R é o raio do cilindro, k a condutividade térmica do material, h o coeficiente"

convectivo exterior e T a temperatura do fluido que rodeia o cilindro. De notar que a_

potência calorífica que sai do cilindro é transportada por convecção exterior,

Q A h T T com A 2 R L (área de permuta de calor)Þ

œ Ð Ñ œ: A _ : "1

e resulta na totalidade da fonte de calor interna, que gera uma potência:

Q q Vol q R LÞ

œ œÞ Þ@ @ "

#1

Assim a temperatura da parede do cilindro é dada por:

T TA _œ q R2h

Þ@ "

e a variação de temperatura fica:

T(r) T R r .œ Ð ÑA "# #q

4k

Þ@

Para r 0 (no eixo do cilindro) a temperatura é máxima, sendo dada porœ

T T ! Aœ q R4k

Þ@ "

#

de forma que a variação de temperatura pode ser escrita de forma adimensional como:


1 (61)Š ‹T(r) TT T

rR

A

! A

#

"#œ

Nota: na prática a fonte volúmétrica de calor provém de reacções químicas ou nucleares,ou de efeito de Joule devido à passagem duma corrente eléctrica. Neste caso será dadapor q I /Volume, sendo a resistência eléctrica dada por L A onde é aÞ

œ œ Î@ / /#e e 3 3

resistividade eléctrica e A é a área de passagem (A R )œ 1 "#

4.3 Transferência de calor por convecçãoO cálculo simplificado de problemas de convecção de calor faz-se com recurso aformulas empíricas que dão o coeficiente convectivo de transmissão de calor, h. Para´maior generalidade, as formulas em vez de darem directamente o h, dão o numero de´ Ńusselt (adimensional) que permite obter o h indirectamente:

Nu (62)œhXk

onde o comprimento X depende da geometria em questão e k é a condutividade térmicado fluido. As propriedades do fluido permitem ainda definir outro numero adimensional,ó numero de Prandtl Pr c k. Os problemas de convecção podem dividir-se em:´ œ Î. :

: o movimento do fluido é provocado por forças de pressão queConvecção forçadaresultam duma fonte de energia mecânica externa (ex. uma bomba de água). O númeroadimensional que controla o movimento é o número de Reynolds, Re ud . Nesteœ Î3 .caso Nu função Re,Pr).œ Ð : o movimento do fluido é provocado por variações deConvecção natural ou livredensidade que por sua vez resultam de variações de temperatura (ex. parede quente faz arficar mais leve, e assim subir). O número adimensional importante é o número deGrashof, Gr g T X , onde g é a aceleração da gravidade (9.8 m s ), é oœ Î Î"3 ? . "# $ # #

coeficiente de expansão térmica ( 1 T [K ] para um gás perfeito, como o ar, por" œ Î "

exemplo), T é uma diferença de temperaturas representativa (depende de cada?problema; normalmente T T T ) e X é uma distância representativa (depende do? œ A _

problema). Neste caso Nu função(Gr,Pr).œ

Para cada caso, pode ter-se convecção interna (dentro de tubos, por exemplo) ouexterna (em torno dum edifício, ou perpendicular a um feixe de tubos, por exemplo); e oregime dinâmico pode ser laminar ou turbulento.

As tabelas dadas permitem fazer o cálculo de Nu para cada caso, sendo dadas aindaas propriedades relevantes para vários fluidos. : convecção naturalTabela 2 : propriedades físicas de líquidosTabela 3 : propriedades físicas de gases (à pressão atmosférica, p 1b 1 atm;Tabela 4 ! œ ¸a densidade dum gás a uma pressão diferente da atmosférica deve ser calculada como3 3 .œ Ð Î Ñ! ! :p p ; k, e c não dependem da pressão).


: convecção forçada interior a tubosTabela 5 : convecção forçada exterior, sobre superfícies planasTabela 6 : convecção forçada exterior de ar a incidir perpendicularmente aTabela 7cilindros. : convecção forçada exterior em torno de feixes tubularesTabela 8 : convecção em escoamentos a alta velocidade (compressíveis)Tabela 9 : convecção exterior a corpos em rotaçãoTabela 10

4.3.1 Convecção forçada dentro de tubos cilíndricosConsidera-se um tubo cilíndrico de seccão circular, com diâmetro d e área de passagemA d 4, estando o eixo alinhado com a direcção x. A velocidade média do fluidoœ Î1 #

dentro do tubo é u (não varia com x porque m Au é constante e a área de passagem .œ 3

também) e a temperatura média numa secção x (temperatura “ ”) é T(x) (abulktemperatura pode variar com x uma vez que o fluido vai sendo aquecido ao longo dotubo). A temperatura média à entrada é T e à saída é T . O fluxo de calor que entrabulk " #

através das paredes do tubo é q (x) (pode ser constante) sendo a área de permuta igual aÞA

A dL para um comprimento de tubo igual a L.: œ 1

O balanço energético ao tubo, entre as secções 1 e 2, dá:

Q q A mc T T (63)Þ

œ œ Ð ÑÞ ÞA : : # "

Por outro lado, a definição dum “h” médio usando a lei de Newton da convecção, podeescrever-se:

Q A h T T A h T (64)Þ

œ Ð Ñ ´: A :med med?

Como tanto a temperatura do fluido T, como a temperatura da parede T , podem variarA

ao longo do tubo, a definição da diferença média de temperaturas a usar em (64) não éunica. As duas escolhas mais comuns são a média aritmética:´

T T T T com T (média da temperatura ) (65)? ?med œ œ œ

AT T

2" # bulk

e a média logarítmica:

T T (66)? ?med lnœ œ? ?T T

ln " #

"

#

?

?

TT

com: T T T (diferença de temp. à entrada)? " A "œ Ð Ñ T T T (diferença de temp. à saída)? # A #œ Ð Ñ

Estas duas médias não diferem substancialmente desde que as diferenças de temperaturanão variem muito entre a entrada e a saída (se T não for superior a T em mais de 50? ?" #

%, a diferença entre T e T é inferior a 1 %). Deste modo é preferível usar a média? ?

ln


aritmética pois facilita a resolução analítica dos problemas. Quando houver grandevariação de T, a média logarítmica é mais precisa e deve ser usada. Esta média resulta?da integração da equação de definição de h, como é mostrado de seguida.

Dedução da Média LogarítmicaO calor trocado entre a parede e o fluido, para uma fatia de fluido de expessura dx, édado por:

dQ Pdx h T T mc dT mc dTÞ

œ Ð Ñ œ œ Ð ÑÞ Þ

A : : AA

onde P é o perímetro molhado (neste caso P d) e mc representa a capacidadeœ Ð ÑÞ

1 : A

calorífica da parede do tubo. Juntando as equações, obtemos:

dT dT dQ Pdx h T TA A œ Ð Ñ œ Ð Ñ Ð ÑÞ1 1 1 1

mc mc mc mcÐ Ñ Ð ÑÞ Þ Þ Þ

: : : :A A

Integrando esta equação, entre x=0 (T=T ) e x=L (T=T ), obtem-se:1 2

ln T T A h ? ?2 1 pÎ œ Ð Ñ1 1

mc mcÐ ÑÞ Þ

: :A

Por outro lado, a integração das equações do balanço de energia dá :

Q mc T T mc T TÞ

œ Ð Ñ œ Ð Ñ Ð ÑÞ Þ

: # " : A" A#A

que depois de substituição na equação anterior resulta na definição da média logarítmica(Eq. 66).

O número de Nusselt para estes casos segue uma lei do tipo:

Nu C Re Pr Kœ m n

Em regime laminar (Re 2000) e para tubos curtos é necessário fazer uma correcçãodevida ao comprimento de desenvolvimento (zona inicial do tubo na qual as condiçõesvariam; diz-se que as condições não são ainda de desenvolvimento completo). O tuboconsidera-se curto quando o número de Graetz, Gz=RePr d L, é maior do que 10 (verÎtabelas). Neste caso a expressão para o Nu é:

Nu 1.86 Re Pr d Lœ Ð Î Ñ Ð Î Ñ1/3 0.14w. .

Para tubos compridos, em regime laminar de desenvolvimento completo (as condiçõesnão variam já ao longo do tubo), o Nusselt é constante,

Nu 3.66œ


Em regime turbulento, utiliza-se a conhecida expressão

Nu 0.023 Re Prœ 0.8 0.4

válida para gases ou líquidos em que a viscosidade não varie muito com a temperatura.Nas expressões dadas acima, as propriedades do fluido devem ser baseadas natemperatura média, isto é T T 2. Muitas vezes o uso de T , normalmente umbulk Ð ÑÎ1 2 1valor conhecido, não causa erros apreciáveis. Se as propriedades variaremsubstancialmente ao longo do tubo (por exemplo, se a gama de temperaturas for muitogrande), então deve usar-se a temperatura média, que requer o conhecimento dabulktemperatura do fluido à saída T . Como esta pode não ser conhecida, tem de se entrar2num processo numérico iterativo.

4.3.2 Convecção Natural

A expressão que dá o número de Nusselt para convecção natural é do tipo:

Nu C GrPr) Kœ Ð m

devendo as propriedades ser calculadas à temperatura de filme (T 0.5 T T ).f wœ Ð Ñ_

Quando o problema é calcular a temperatura da parede sendo conhecido o fluxo de calor,o método de cálculo deve ser como explicado de seguida:

q h T e Nu hX k C Gr T Pr K T B Tœ œ Î œ ÐÐ Î Ñ Ñ œ? ? ? ?m m m

com B C Gr T Pr K . Resolvendo estas duas equações para T, obtem-se:œ ÐÐ Î Ñ Ñ? ?m

T qX kB? œ Ð Î Ñ1/ 1+mÐ Ñ

e T T T. Uma primeira aproximação de T , requerida para o cálculo dasw wœ _ ?propriedades, pode ser feita arbitrando o valor de h.



CURSOS: EPGIDISCIPLINAS: Fenómenos de TransferênciaEXAME : TesteANO LECTIVO: 4 DATA: 30 Janeiro 1998!

(1) Calcule a potência da bomba de água necessária no circuito dado abaixo, para umcaudal inicial de 60 litros/minuto. Os tubos são de aço comercial e o seu diâmetro é dadona figura. As linhas verticais correspondem a diferenças de cotas.

(2) Calcule as componentes segundo x e y da força que o óleo (a 80°C) que circula nacontração representada em baixo exerce sobre as paredes. y é segundo a vertical.

(3) A temperatura na parede exterior de um tubo horizontal de aço (carbono 1%) é de130°C, sendo o diâmetro do tubo de 1 polegada. A temperatura do ar longe do tubo é de25 °C. Se pretendesse isolar termicamente o tubo, diga, justificando quantitativamente,qual dos materiais isolantes escolhia: poliuretano ou polistireno ?


Resolução do teste de Fenómenos de Transferência de 30 Jan. 1998.

PROBLEMA 1

O fluido que circula na instalação representada é água, com massa específica3 .œ œ10 kg/m e viscosidade 10 kg/ms. Aplicando a equação de Bernoulli entre os3 3 3

pontos 1 e 2, e tendo em atenção que estes pontos estão dentro dos reservatórios, temos:

p / u 2 g z w p u 2 g z e1 1 b 2 2 v1 22 23 3 Î œ Î Î 12

onde o trabalho específico da bomba, w , é considerado como positivo ao ser fornecido àbbomba (o sentido esperado para essa transferência de energia). Como os reservatóriosestão à pressão atmosférica, temos p p p . Como a velocidade no centro dos1 2 atmœ œreservatórios é aproximadamente nula, tem-se u u 0. De forma que a 1 2œ œ equação deBernoulli se reduz a:

w g(z z ) eb 2 1 vœ 12

mostrando que o trabalho que é necessário fornecer à bomba deve ser suficiente parafazer a água vencer a diferença de alturas entre 1 e 2, e compensar a perda de carga totalque ocorre entre esses dois pontos. O termo de diferença de alturas é:

g(z z ) 9.8 (20 10 15) 245 m s .2 12 2 œ œ Î

O termo de perda de carga é composto por e perdas de carga em linha perdas de cargapontuais.

Cálculo das perdas de carga em linha: Começa-se por dividir a instalação em troços ao longo dos quais tanto o diâmetrodos tubos como a velocidade média da água são constantes.

: do reservatório ao primeiro “T”Troço ANeste troço o diâmetro do tubo é d 50.8 mm, o comprimento é L 10 20 30m,A Aœ œ œo caudal volúmétrico é Q 60 l/min 10 m /s, e a velocidadae média vem:

.v

-3 3œ œ

u Q ( d /4) 0.49 m/s.

A v A2œ Î œ1

O número de Reynolds é dado por:

Re u d 24892A A Aœ Î œ3 .


e sendo maior que 2000 mostra que o regime de escoamento é turbulento. Neste caso, epara tubos de aço comercial com uma rugosidade de 0.046 mm (ver Tabelas), o% œcoeficiente de fricção pode ser calculado da fórmula:

f 0.00669A œ œ œ0.331 0.331

ln lnÐ Ð ÑÑ Ð Ð ÑÑ%3.7d 3.7 50.8

5.74 0.046 5.74Re 248920.9 0.9

2 2‚

: do primeiro “T” ao segundo “T”Troço BNeste troço o diâmetro do tubo é d 38.1 mm e o comprimento é L 115 m. OB Bœ œcaudal volúmétrico é Q 0.5 60 l/min 0.5 10 m /s, e a velocidadae média vem:

.v

-3 3œ ‚ œ

u Q ( d /4) 0.44 m/s.

B v B2œ Î œ1


Re u d 16764B B Bœ Î œ3 .

continuando o regime a ser turbulento. O coeficiente de fricção pode ser calculado pelamesma fórmula:

f 0.00738 .B œ œ0.331

lnÐ Ð ÑÑ0.046 5.743.7 38.1 167640.9

2‚

do segundo “T” ao ponto 2Troço C:Neste troço o diâmetro do tubo é d 25.4 mm e o comprimento é L 50 m. O caudalC Cœ œvolúmétrico é Q 0.9 30 l/min 0.45 10 m /s, e a velocidadae média vem:

.v

-3 3œ ‚ œ

u Q ( d /4) 0.89 m/s.

C v C2œ Î œ1


Re u d 22606C C Cœ Î œ3 .

continuando o regime a ser turbulento. O coeficiente de fricção pode ser calculado pelafórmula:

f 0.00729 .C œ œ0.331

lnÐ Ð ÑÑ0.046 5.743.7 25.4 226060.9

2‚

A perda de carga em linha para os 3 troços fica:

e 4 f 4 f 4 f v A B C12-linha œ œL Ld 2 d 2 d 2

u u L uA A B BA B C

2 2C C

2


1.897 8.625 22.734 33.256 m /s .œ œ 2 2

Observe-se que a perda de carga maior é no troço C, embora o seu comprimento sejasubstancialmente inferior ao do troço B. Isto acontece porque a perda de carga éproporcional ao quadrado da velocidade média e esta é maior no troço C (quase o dobrodo valor nos primeiros dois troços).

Cálculo das perdas de carga singulares (ou pontuais):

Os coeficientes de perda de carga (das tabelas) para cada uma das singulariedadesexistentes no circuito, baseados na velocidade a jusante, são:

1 válvula globo, K 10œ 4 cotovelos standard, K 0.9œ 1 cotovelo standard (para a bomba de água), K 0.9œ 2 “T”, K 1.8œ 1 entrada re-entrante, K 1.0œ 1 saída abrupta, K 1.0 (baseado na velocidade a montante).œ

Como a velocidade média varia ao longo do circuito, ter-se-á de fazer o cálculosingulariedade por singulariedade, ou mais facilmente por troços, ficando:

e 1 0.9 1.8 4 0.9 10 1.8 1.0 v12-singular œ Ð Ñ Ð ‚ Ñ Ð Ñ œu2 2 2

u uA B2 2

C2

0.228 1.491 1.109 2.828 m /s .œ œ 2 2

(Repare-se que no troço A se considera a entrada re-entrante e o cotovelo da bomba; notroço B considera-se o primeiro “T”, os 4 cotovelos e a válvula globo; no troço Cconsidera-se o segundo “T” e a saída abrupta)

Deste modo a entre os pontos 1 e 2 é dada pela soma do valor emperda de carga totallinha e do valor singular, vindo:

e e e 33.256 2.828 36.084 m /s .v v v2 2

12 12-linha 12-singularœ œ œ

Substituinado agora na equação de Bernoulli, obtemos o valor do trabalho específico dabomba de água:

w 245 36.084 281.1 m /s J/kg,b2 2œ ¸ ´

e a potência da bomba é dada por:


m w (com m Q 1 kg/s).. . .W 281.1 W.

b œ A b A vœ œ œ3

Trata-se portanto duma pequena bomba de água, com uma potência de cerca de 0.38 hp.


PROBLEMA 2

As propriedades físicas do óleo obtêm-se das tabelas para a temperatura dada de 80°C,massa específica 852.02 kg/m e viscosidade cinemática 3.75 10 m /s.3 /œ œ3 -5 2

Por conservação da massa o caudal à entrada é igual ao caudal à saída, m m m,. . .1 2œ ´

sendo este caudal mássico dado por

m A u 852.02 0.1 4 3 20.075 kg/s ..œ œ ‚ Ð Î Ñ ‚ œ3 12 2

2

e a velocidade à entrada (ponto 1) vindo:

u u 3 0.75 m/s.1 22 2œ Ð Ñ œ Ð Ñ ‚ œ

dd 200

10021

O volume da contração é a soma do volume de dois cilindros, um com diâmetro d 2001 œmm e comprimento L 400 mm, e outro com d 100 mm e L 400 mm, sendo1 2 2œ œ œdado por:

Vol d L d L 0.0157 m .œ Ð Ñ œ14 1 2

2 2 31 2

A massa de óleo contida dentro da contração é dada por:

m Vol 13.383 kg .œ œ3

Depois destes cálculos preliminares, passamos à formulação do problema. A força sobreo cilindro tem componentes F e F dadas pela F equação da conservação dax yquantidade de movimento escrita para o volume de controlo que rodeia a contração, eassumindo condições estacionárias:

F p A p A cos m u u cos (1).x 1 1 2 2 1 2œ Ð Ñ Ð Ñ) )

F p A p A sin m u u sin m g (2).y 1 1 2 2 1 2œ Ð Ñ Ð Ñ ) )

A pressão à entrada é conhecida, p 1 b 10 N/m . A pressão à saída tem de ser15 2œ œ

obtida da para o escoamento de 1 para 2:equação de Bernoulli

p / u 2 g z p u 2 g z e (3)1 1 2 2 v1 22 23 3 Î œ Î Î 12

que se pode também escrever:

u u g z z ep p1 23

œ Ð Ñ Ð Ñ 12 2 1

2 22 1 v12


À partida não se pode desprezar nenhum dos termos, pois não se sabe quais os termospreponderantes. O termo de energia cinética é:

u u 0.5 3 0.75 4.2188 m /s .12 2 1

2 2 2 2 22Ð Ñ œ ‚ Ð Ñ œ

O termo de energia potencial é:

g(z z ) g L L sin 9.8 0.4 0.4 sin 30° 3.9200 m /s .2 1 1 22 2 œ Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ œ)

Cálculo da perda de carga em linha: No tubo mais grosso o número de Reynolds é:

Re u d 0.75 0.2 3.75 10 40001 1 1-5œ Î œ ‚ Î œ/

e no tubo mais fino:

Re u d 3 0.1 3.75 10 80002 2 2-5œ Î œ ‚ Î œ/

portanto (Re 2300) o regime é turbulento em ambos os tubos (embora estejapraticamente no limite da transição de laminar para turbulento). O número de Reynolds érelativamente baixo porque o fluido em causa, o óleo, tem uma viscosidade elevada (10vezes maior do que a água). Usando a expressão de Blasius para o cálculo do coeficientede atrito, temos:

f 0.0099461 œ œ0.0791

40000.25

e f 0.0083642 œ œ

0.079180000.25

A perda de carga em linha, nos dois cilindros, é dada por:

e 4f 4f 0.0223 0.6022 0.6245 m /s .v 1 22 2

12-linha œ œ œL Ld 2 d 2

u u1 1 2 21 2

2 2

A perda de carga em linha no cilindro mais fino, e onde por consequência a velocidademédia é maior, é bastante superior à perda de carga no cilindro mais grosso.

Cálculo da perda de carga singular O coeficiente de perda para uma contração súbita é dado por:

K 0.45 1 0.45 1 0.3375œ Ð Ñ œ Ð Ð Ñ Ñ œ"dd

21

2

e o valor da perda de carga singular vem:


e K 0.3375 3 2 1.5188 m /s .v2 2 2

12-singular œ œ ‚ Î œu222

A perda de carga total na contração fica:

e 0.6245 1.5188 2.1433 m /s ,v2 2

12 œ œ

sendo de notar a perda de carga em linha não é de desprezar em comparação com a perdade carga localizada, como se seria tentado fazer à priori.

Substituindo valores na equação de Bernoulli (3), a diferença de pressões vem:

4.2188 3.92 2.1433 10.282 m /s ,p p1 23

œ œ 2 2

mostrando que todos os três termos são importantes (variação de energia cinética,variação de energia potencial e perda de carga por atritos). A pressão à saída vem dadapor:

p p 10 852.02 10.282 91239.5 N/m .2 15 2œ ‚ œ ‚ œ3

p p1 23

Podemos agora usar as equações da quantidade de movimento dadas acima (1) e (2) paracalcular as forças:

2100.1 39.1 F 2061.0 Nx œ œ

1212.5 22.6 131.2 ,F 1058.8 Ny œ œ

onde, seguindo a ordem dos termos em (1) e (2), o primeiro termo corresponde às forçasde pressão, o segundo à variação do fluxo de quantidade de movimento associado com ocaudal mássico, e para F o terceiro é o peso. É observável das equações acima que oy termo principal no cálculo das forças é o da diferença de pressões a actuar no plano 1 e 2.O peso não pode ser desprezado, comparativamente aos termos de fluxo de quantidade demovimento. Em valor absoluto, a que actua sobre asmagnitude do vector da forçaparedes da contração é:

F F F 2317.7 N 236.4 kg ,œ œ œÉ2x y2 2

f

um valor considerável. O ângulo que esta força faz com a horizontal é obtido de:

ângulo 27.2 ° ,œ Ð Ñ œarctanFF

y

x


que mostra que a força sobre o tubo não está exactamente alinhada com o eixo do tubo(senão o ângulo seria 30°), estando ligeiramente apontada para baixo devido ao efeito dopeso do fluido.


PROBLEMA 3

Neste problema tem-se um tubo horizontal de aço que perde calor para o ar que o rodeia.A parede do tubo está à temperatura de T 130°C estando o ar a T 25°C. Para sew œ œ_

tentar diminuir as perdas de calor através das paredes do tubo vão ser considerados doismateriais isolantes: poliuretano (k 0.026 W/mK) ou polistireno (k 0.17 W/mk).1 2œ œPara se escolher o isolamento precisamos de saber qual o raio crítico para cada um deles,pois só assim saberemos se ao acrescentar o isolamento não estaremos inadvertidamenteao aumentar as perdas de calor. Como o raio crítico é definido por

R c œkhiso

torna-se necessário calcular o o coeficiente de transmissão de calor h para este problemade convecção natural.

Cálculo do coeficiente de transmissão de calor por convecção

A temperatura de filme é:

T 77.5 °C 350.5 K.f œ œ œT T

2w _

Para essa temperatura obtemos das tabelas as seguintes propriedades do ar:

•número de Grashof, 6.510 10 m KGrX

7 -3 -13?)

œ

•condutividade térmica, k 0.03003 W/mk,œ •número de Prandtl, Pr 0.697 .œ

Das tabelas de convecção natural em torno de cilindros horizontais vemos que ocomprimento típico X fica igual ao diâmetro do tubo, X d 0.0254 m, e a diferençaœ œde temperatutas representativa fica igual a T T 105°. Deste modo o?) œ œw _

número de Grashof vem

Gr 6.510 10 0.0254 105 1.120 10œ ‚ ‚ œ7 3 5

e GrPr 78074,œ

mostrando que o regime é de convecção natural laminar. Para este caso,

Nu 0.47 Gr Pr 7.86œ Ð Ñ œ0.25

e h 9.3 W/m K.œ œ œ

kNu 0.03003 7.86d 0.0254

‚ 2


Cálculo do raio crítico para cada isolamento:

Poliuretano, R 0.0028 m 2.8 mm,c1 œ œ œ œkh 9.3

0.0261

Polistireno, R 0.0183m 18.3 mm.c2 œ œ œ œkh 9.3

0.172

Escolha do isolamento: Como o raio do tubo sem isolamento é R d 2 12.7 mm vemos que oœ Î œpoliuretano apresenta um raio crítico menor que o raio do tubo, e que o contrárioacontece com o polistireno. Deste modo, quando se acrescenta poliuretano ao tubometálico está-se imediatamente a reduzir a perda de calor através das paredes; com opolistireno acontece o contrário: de ínicio a perda de calor até aumenta (sendo máximaquando R R 18.3 mm) e só para valores de R bastante maiores que 18.3 mm éiso c2 isoœ œque o isolamento de polistireno começará efectivamente a reduzir a perda de calor. Aescolha lógica do isolamento, sem entrar com considerações financeiras, é simples: opoliuretano.



CURSOS: EPGIDISCIPLINAS: Fenómenos de TransferênciaEXAME : 1 exameo

ANO LECTIVO DATA: 4 : 16 de Fevereiro de 1998!

1) Dimensione a bomba de água (caudal e potência) para o circuito dado na figura abaixo.Os depósitos estão à pressão atmosférica. A rugosidade dos tubos é 0.1 mm. Traçosverticais correspondem a variações de altura.

2) Calcule as componentes segundo x e y da força necessária para segurar o elemento em“Y” dado na figura. Despreze perdas de atrito e considere que o elemento está num planohorizontal. O fluido é água.

3) Um tubo de aço (k 43.3 W/mK) com 3 m de comprimento, tem 2" de diâmetro interno,œ3" de diâmetro externo e está coberta com uma camada de 1" de isolamento de asbestos(k=0.208 W/mK). No interior do tubo circula um gás quente, à temperatura média deT 320°C, sendo o coeficiente convectivo interior de h 284 W/m K. A superfíciegas i

2œ œexterior do isolamento está exposta ao ar ambiente à tempertura T 38°C, sendo oar œcoeficiente convectivo exterior de h =17 W/m K.e

2

Calcule a perda de calor para o ambiente (W). Calcule ainda as diferenças detemperatura na parede do tubo e no isolamento.


FENÓMENOS DE TRANSFERÊNCIA

Resolução do exame de 16/2/1998

Problema 1. Existem 3 troços onde o diâmetro do tubo e o caudal de água são constantes:

Troço 1: do reservatório de partida (ponto 1) até ao "T" (ponto 4); diâmetro, d 2'' 50.8 mm1 œ œ caudal, Q 30+40=70 l/min= 1.167 10 m /s

.v1

-3 3œ velocidade média, u Q /( d /4) 0.576 m/s- .

1 v1 12œ œ1

número de Reynolds, Re d u / 29261 regime turbulento-1 1 1œ œ Ê3 .

(nota, massa específica da água, 1000kg/m , viscosidade, 10 kg/ms)3 .œ œ3 -3

Troço 2: do "T" (ponto 4) ao reservatório de 30 l/min (ponto 2); diâmetro, d 1.'' 25.4 mm# œ œ caudal, Q 30 l/min = 5.0 10 m /s

.v2


2 v2 22œ œ1


Troço 3: do "T" (ponto 4) ao reservatório de 40 l/min (ponto 3); diâmetro, d 1.5'' 38.1 mm3 œ œ caudal, Q 40 l/min = 6.667 10 m /s

.v3


3 v3 32œ œ1


Cálculo das perdas de carga em linha:

• Troço 1: e ) 4 f Ð œv1-4 linha 1Ld 2

u-1 11

2

sendo o comprimento do troço de L 50 m, e onde o factor de atrito ( 0.1 mm) é1 œ œ%dado por:

f 7.0951 101-3œ œ

0.331ln 3.7d 5.74 ReÐ Ð Î Î ÑÑ% 1 1

!Þ* #

Fica: e ) 4.634 m /s .Ð œv1-4 linha2 2

• Troço 2: o comprimento do troço é de L 49 m e o factor de atrito ( 0.12 œ œ%mm):

f 8.1309 102-3œ œ

0.331ln 3.7d 5.74 ReÐ Ð Î Î ÑÑ% 2 2

!Þ* #



• Troço 3: o comprimento do troço é de L 114 m e o factor de atrito ( 0.13 œ œ%mm):

f 7.6823 103-3œ œ

0.331ln 3.7d 5.74 ReÐ Ð Î Î ÑÑ% 3 3

!Þ* #


Cálculo das perdas de carga pontuais: e K v œu-22

• Troço 1 (de 1-4): entrada re-entrante, K=1.0 bomba (= válvula gate), K=0.2 1 cotovelo 90°, K 0.9œ (e ) 1 0.2 0.9 0.576 /2 0.348 m /sv1-4 pontual

2 2 2œ Ð Ñ œ

• Troço 2 (de 4 -2): "T", K=1.8 2 válvulas globo, K=10. 1 cotovelo 90°, K 0.9œ 1 saída, K 1.0œ (e ) 1.8 2 10 0.9 1.0 0.987 /2 11.544 m /sv4-2 pontual

2 2 2œ Ð ‚ Ñ œ

• Troço 3 (de 4-3): "T", K=1.8 1 válvula globo, K=10. 6 cotovelos 90°, K 0.9œ saída, K 1.œ (e ) 1.8 10 6 0.9 1.0 0.585 /2 3.114 m /sv4-3 pontual

2 2 2œ Ð ‚ Ñ œ

Aplicação da equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 (dentro dos respectivosreservatórios):

g z w g z e ,p pu u2 2

1 21 22 2

3 3 œ 1 b1-2 2 v1-2

Como p p pressão atmosférica, e u u 0 (no centro dos reservatórios a água1 2 1 2œ œ œ œpode considerar-se como estando parada), o trabalho específico da bomba fica:

w g z z e .b1-2 2 1 v1-2œ Ð Ñ


A perda de carga é dada pela soma entre 1-4 e 4-2 das perdas de carga em linha epontuais,

e e e 4.634 0.348 30.561 11.544 v1-2 v1-4 v4-2œ œ Ð Ñ Ð Ñ œ

4.982 42.105 47.087 m /sœ œ 2 2

A energia potencial é g z z 9,8 29 284.2 m /s .Ð Ñ œ ‚ œ2 12 2

w 284.2 47.087 331.287 m /s .b1-22 2œ œ

Da mesma forma, a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 3 (dentro dos reservatórios)dá:

w g z z e ,b1-3 3 1 v1-3œ Ð Ñ

com e e e 4.982 30.561 11.544 v1-3 v1-4 v4-3œ œ Ð Ñ œ

4.982 18.847 23.829 m /sœ œ 2 2

e g z z 9,8 30 294 m /s .Ð Ñ œ ‚ œ3 1

2 2

portanto: w 317.829 m /s .b1-32 2œ

Estes resultados mostram que a energia específica requerida para vencer as perdas decarga e variações de altura é maior no percurso entre 1 e 2 (isto acontece sobretudodevido ao reduzido diâmetro do tubo que induz uma velocidade média maior e, porconsequência, perdas de carga ainda bastante maiores, pois estas são proporcionais aoquadrado da velocidade). O trabalho específico da bomba será assim de:

w w 331.287 kJ/kg.b b1-2œ œ

O tem de movimentar é de:caudal que a bomba

Q 1000 1.167 10 ,.

m 1.167 kg/s.bomba œ œ ‚ œ3 v1

-3

e a será: potência da bomba

m w ..W 387 W.

bomba œ ‚ œbomba b


Problema 2.

Os caudais e velocidades em cada um dos ramos do elemento em "Y" da figura são:

Ramo-3: Q 13.6 m /min 0.2267 m /s

.v3

3 3œ œ d 6" 0.1524 m,3 œ œ u Q d 4 12.426 m/s (a área da secão é A 0.018241 m ).- .

3 3v3 32 2œ ÎÐ Î Ñ œ œ1

Ramo-2: Q 20.4 m /min 0.34 m /s

.v2

3 3œ œ d 12" 0.3048 m,2 œ œ u Q d 4 4.660 m/s (a área da secão é A 0.072966 m ).- .

2 2v2 22 2œ ÎÐ Î Ñ œ œ1

Ramo-1: Q Q Q 0.34 0.2267 0.5667 m /s

. . .v1 v2 v3

3œ œ œ d 18" 0.4572 m," œ œ u Q d 4 3.452 m/s (a área da secão é A 0.16417 m ).- .

1 1v1 12 2œ ÎÐ Î Ñ œ œ1

A pressão em 1 é atmosférica, p 10 N/m . As pressões em 2 e em 3 são obtidas por15 2œ

aplicação da equação de Bernoulli (o atrito dentro do elemento é desprezado):

• Bernoulli entre 1 e 2: ,p pu u2 2

1 21 22 2

3 3 œ

ou seja, p p u u 95 100 N/m .2 1 1 22 2 2œ Ð Ñ œ

32

• Bernoulli entre 1 e 3: ,p pu2 2

u1 312

32

3 3 œ

ou seja, p p u u 28 755 N/m .3 1 1 32 2 2œ Ð Ñ œ

32

A força que a água exerce sobre o elemento em Y é obtida da equação do balanço daquantidade de movimento, direcção x (horizontal) é: que segundo a

0 m u - m u m u p A p A p A F. . .œ 1 1x 2 2x 3 3x 1 1x 2 2x 3 3x x

(nota: F é a força sobre o fluido, igual à força necessária para fixar o elemento). Comoxu 0 e A 0, a componente segundo x da força, fica:1x 1xœ œ

F Q u cos 45 Q u cos 60) p A cos 45 - p A cos 60. . .

x 2 3 2 2 3 3v2 v3œ Ð œ3


-288.2 4644.4 4356.2 Nœ œ

Do mesmo modo, escreve-se:a equação segundo y

0 m u - m u m u p A p A p A F. . .œ 1 1y 2 2y 3 3y 1 1y 2 2y 3 3y y

e F Q u Q u sin 45 Q u sin 60)

. . .y 1 2 3v1 v2 v3œ Ð 3

p A p A sin 45 p A sin 60. 1603.7 11056.4 Ð Ñ œ œ1 1 2 2 3 3 9452.4 Nœ

O módulo do vector força é: F F F 10408 Nœ Ð Ñ œx y2 2 1/2

O ângulo que o vector força faz com a vertical é, arctg F F ) 24.7 ° .9 œ Ð Î œx y


Problem 3.

O esquema da distribuição de temperatura através das paredes do tubo e revestimento édado de seguida:

Com R 2"/2 25.4 mm;1 œ œ R 3"/2 38.1 mm2 œ œ e R R e 38.1 25.4 63.5 mm (a espessura do isolamento é e 1").3 2œ œ œ œ

A temperatura interior, do gás que circula dentro do tubo, é T 320 °C para umgas œcoeficiente convectivo interior de h 284 W/m K. A temperatura exterior, do ari

2œambiente que rodeia o isolamento, é T 38 °C e h 17 W/m K. O comprimento doar e

2œ œtubo é L 3 m. A condutividade térmica do metal do tubo é k 43.3 W/mK e a doœ œ1isolamento de asbestos, k 0.208 W/mK.2 œ

O balanço global de transferência de calor por condução é:

Q A U T ,.

œ i i total?

com: A 2 R L 0.47878 m ;i 1

2œ œ1

T T T 320 28 282 °C;? global gas arœ œ œ

U i œ œ 1

R ln R R ln R R 1 1 1h k k R h1 2 1 3 21 2 3

R13 / Ð Î Ñ Ð Î Ñ ˆ ‰

œ œ 1 0.0254 ln 38.1 25.4 ln 63.5 38.1 1 1 1 25.4

284 43.3 0.208 63.5 17 Ð Î Ñ Ð Î Ñ ˆ ‰‚


œ œ 1 0.00352 0.0626 0.0235

11.152 W m KÎ 2

(Notar que no denominador, o primeiro valor corresponde a uma pequena resistênciatérmica, devida à convecção interior, e os dois outros termos têm igual importância,correspondendo à resistência térmica no isolamento e à convecção exterior).

A que se perde para o exterior, pode agora ser calculada,potência calorífica

0.47878 282 11.152 Q 1505.7 W.

œ ‚ ‚ œ

Esta potência, calor transferido por unidade de tempo, conserva-se através da secção docilindro, podendo ser calculada separadamente como calor transferido do interior para aparede interior do tubo,

Q A h T A h T T ) T 308.9 °C e ;.

œ œ Ð Ê œi i gas i i gas 1 1? ?T 11.1°Cgas œ

ou calor transferido por condução da superfície interior do cilindro para a superfícieexterior:

Q A T T ) T 308.2 °C e.

œ Ð Ê œi 1 2 2Š ‹1R k ln R R )1 1 2 1Î Ð Î

; T T T 0.75°C? metal 1 2œ œ

ou calor transferido por condução da superfície exterior do tubo para a superfície exteriordo isolamento:

Q A T T ) T 112 °C e.

œ Ð Ê œ2 2 3 3Š ‹1R k ln R R )2 2 3 2Î Ð Î

?T T T 196.2 °C;isol 2 3œ œ

ou, finalmente, como calor transferido por convecção do exterior do isolamento para oambiente,

Q A h T A h T T ) T 38 °C e ..

œ œ Ð Ê œ3 e ar 3 e 3 ar ar? ?T 74 °Car œ

Note que se obtem novamente o valor T 38 °C, confirmando-se assim o cálculo.ar œ

Portanto, a maior queda de temperatura ocorre através do isolamento ( T 196.2? isol œ°C), seguido da convecção exterior ( T 74 °C). Isto implica que a maior resistência? ar œtérmica é a do isolamento, como já se tinha verificado. A resistência térmica daconvecção exterior também é elevada porque, como se trata de convecção natural (sem


arrefecimento "forçado"), o coeficiente convectivo é baixo (e 1 Ah). Na paredee œ Îmetálica do tubo a variação de temperatura é praticamente desprezável (reflectindo ofacto do metal ser um bom condutor de calor).

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Notas sobre Fenómenos de Transferência