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Responsável pel o Conteúdo:
Prof.a Me. Rosângela Maura Correia Bonici
Revisão Técnica: Prof.ª Me. Edmila Montezani
Revisão
Textual:
Prof.a Vera Lidi a de Sá Cicaroni
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Caro aluno,
Hoje, querendo ou não, estamos imersos no mundo da informática e da Internet. Dentro deste
contexto surge a educação a distância como uma oportunidade para aqueles que gostariam investir
nos seus sonhos de conquistar uma formação superior de qualidade e por motivos diversos ainda não
tiveram a oportunidade.
As disciplinas online, como qualquer outra, exige dedicação, estudo, perseverança e organização. Não
pense que aprender online é “moleza” ao contrário exige muita disciplina e envolvimento.
O ensino online o deixa mais livre para estudar, dentro do seu ritmo e tempo disponível, porém o
sucesso depende só de você. Portanto mãos a obra e vamos aprender bastante Matemática Financeira.
Conto com vocês!
Porcentagem
Conceitos Fundamentais de
Matemática Financeira
A Matemática Financeira
Nesta primeira unidade de ensino estudaremos os fundamentos da
Matemática Financeira e em que situações cotidianas ela pode ser
utilizada.
Relembraremos como montar e calcular uma regra de três e como
aplicá-la no cálculo de porcentagens.
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A Matemática Financeira possui diversas aplicações no atual sistema
econômico. Algumas situações estão presentes no cotidiano das pessoas, como
financiamentos de casa e carros, realizações de empréstimos, compras a crediário ou com
cartão de crédito, aplicações financeiras, investimentos em bolsas de valores, entre
outras situações. Todas as movimentações financeiras são baseadas na estipulação
prévia de taxas de juros. Ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é
feita através de prestações mensais acrescidas de juros, isto é, o valor de quitação do
empréstimo é superior ao valor inicial do empréstimo, a essa diferença damos o nome
de juros.
O conceito de juros surgiu no momento em que o homem percebeu a existência
de uma afinidade entre o dinheiro e o tempo. As situações de acúmulo de
capital e desvalorização monetária davam a idéia de juros, pois isso acontecia devido
ao valor momentâneo do dinheiro. Algumas tábuas matemáticas se caracterizavam pela
organização dos dados e textos relatavam o uso e a repartição de insumos agrícolas através
de operações matemáticas. Os sumérios registravam documentos em tábuas, como faturas,
recibos, notas promissórias, operações de crédito, juros simples e compostos, hipotecas,
escrituras de vendas e endossos.
Essas tábuas retratavam documentos de empresas comerciais, algumas eram
utilizadas como ferramentas auxiliares nos assuntos relacionados ao sistema de peso e
medida. Havia tábuas para a multiplicação, inversos multiplicativos, quadrados, cubos e
exponenciais. As exponenciais com certeza estavam diretamente ligadas aos cálculos
relacionados a juros compostos e as de inverso eram utilizadas na redução da divisão para a
multiplicação.
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Tábua que relatava o sistema de escrita dos sumérios
Nessa época os juros eram pagos pelo uso de sementes e de outros bens emprestados,
em que os agricultores realizavam transações comerciais onde adquiriam sementes para
constituírem suas plantações. Após a colheita, os agricultores realizavam o pagamento através
de sementes com a seguida quantidade proveniente dos juros do empréstimo. A forma de
pagamento dos juros foi modificada para suprir as exigências atuais, no caso dos agricultores,
era lógico que o pagamento era feito na próxima colheita. A relação tempo/ juros foi se
ajustando de acordo com a necessidade de cada época, atualmente, nas transações de
empréstimos, o tempo é preestabelecido pelas partes negociantes.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
Fonte: Site do Brasil Escola
Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/matematica-financeira.htm> Acesso
em: 10 Mar. 2011
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De uma forma simplificada, podemos dizer que a Matemática
Financeira, é o ramo da Matemática Aplicada que estuda o
comportamento do dinheiro no tempo.
As principais variáveis envolvidas no processo de quantificação
financeira são: a taxa de juros, o capital (valor inicial aplicado) e
o tempo. Fonte: poesiasletraseafins.blogger.com.br
Ela possui diversas aplicações, como financiamentos de casa e carros, realizações de
empréstimos, compras a crediário ou com cartão de crédito, aplicações financeiras,
investimentos em bolsas de valores, entre outras situações.
Nossa disciplina será constituída de 6 unidades de estudo e uma unidade de revisão
dos conhecimentos.
Na Unidade I estudaremos os fundamentos da Matemática Financeira, o cálculo de
porcentagens e as operações que podem ser realizadas com ela. A Unidade II será dedicada
ao estudo dos juros simples e na Unidade III veremos como utilizar e calcular os juros no
regime de capitalização composto.
Na Unidade IV entenderemos o significado dos descontos e como calculá-los na
prática. Na Unidade V aprenderemos o que são e como utilizar as séries de pagamentos e
finalizaremos na Unidade VI com os principais sistemas de amortização de créditos e
financiamentos.
Para facilitar sua vida alguns cálculos serão demonstrados usando a álgebra, ou seja, o
cálculo matemático e a calculadora HP 12-C.
Vamos lá!
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2. Conceitos Fundamentais de Matemática Financeira
Nesta seção iremos aprender um pouquinho dos conceitos que são fundamentais para
que tenhamos um bom desempenho na disciplina de Matemática Financeira. Tentarei
descrevê-los de maneira clara e objetiva.
2.1 Fluxo de Caixa
O fluxo de caixa tem por objetivo principal, a projeção das entradas e das saídas dos
recursos financeiros da empresa em um determinado período de tempo.
2.1.1 Diagrama de Fluxo de Caixa
Um diagrama de fluxo de caixa, é a representação gráfica numa reta, dos períodos e dos
valores monetários envolvidos em cada período, considerando-se uma certa taxa de juros( i ).
Traça-se uma reta horizontal que é denominada eixo dos tempos, na qual são
representados os valores monetários, considerando-se a seguinte convenção:
dinheiro recebido usamos uma seta para cima e dinheiro pago usamos uma seta para baixo.
Exemplo:
Veja o diagrama de fluxo de caixa a seguir:
O diagrama da figura acima, representa um projeto que envolve investimento inicial de
800, que produz receitas (entradas) de 500 no primeiro período e 200 reais no segundo
período. No terceiro período é realizado um pagamento de 200 reais. No quarto e quinto
períodos são geradas receitas (entradas) de 700 e 200 reais. Analisando este fluxo de caixa
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percebemos que ao longo do período total houve um investimento de 1000 reais e uma
produção de receitas no total de 1600 reais.
Convenção: Dinheiro recebido - flecha para cima (valor positivo)
Dinheiro pago - flecha para baixo (valor negativo)
2.2 Capital
O capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também
conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se
Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).
2.3 Juros
É a remuneração de um valor investido. Os juros são
fixados por meio de uma taxa percentual acompanhada de
uma unidade de tempo (ano, semestre, trimestre, mês, dia).
Exemplo:
12% ao ano = 12% a. a.
4% ao semestre = 4% a.s.
1% ao mês = 1% a.m.
2.4 Regime de Capitalização
O processo de formação dos juros é chamado na Matemática Financeira de regime de
capitalização. Os regimes são conhecidos como juros simples e juros compostos.
No regime de juros simples apenas o capital inicial, também chamado de principal,
rende juros.
Fonte: caicaradoriodovento.rn.gov.br
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No regime de juros compostos em cada período, a partir do segundo, os juros
produzidos são somados ao capital que o produziu, passando os dois capital e juros (montante
ou valor futuro), a render juros no período seguinte, é o que chamamos de juros sobre juros.
3. Porcentagem
O cálculo de porcentagem é uma operação das mais antigas, em termos de cálculos
comerciais e financeiros. A expressão por cento é indicada por meio do sinal (%). A
porcentagem, na verdade é um simples cálculo de proporção ou uma regra de três simples.
3.1 Regra de Três Simples
Vamos relembrar o que é uma Regra de três simples!
É um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais
conhecemos três deles. Vamos determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
3.1.1 Passos utilizados numa Regra de Três Simples
1. Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas. Na
mesma linha devem ser agrupadas as grandezas de espécies diferentes, porém fazendo
a correspondência adequadamente
2. Montar a proporção e resolver a equação.
Vejamos alguns exemplos de aplicação.
Exemplo 1
Qual é a comissão de 10% sobre R$ 800,00?
Fonte: micassia.blogspot.com
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Explicações
Na coluna 1: vamos representar as porcentagens.
Na coluna 2: vamos representar, neste caso, os valores em reais.
Na linha 1 (colocar sempre os valores totais): vamos representar nas
respectivas colunas, o total da porcentagem e o total do valor em reais
Na linha 2 (colocar sempre os valores parciais): vamos representar a
parte da porcentagem e a parte do valor, que neste caso, queremos achar.
Solução algébrica:
Regra de três
% R$
100 _____ 800
10 _____ x
Operações realizadas
Multiplicando em cruz
x = (10*800) / 100
x = 80 reais
Resposta: A comissão será de R$ 80,00
Solução na calculadora HP-12C: 800 ENTER
10 %
R$ 800
Toda regra de três, usada para resolver porcentagens
deve ser montada dessa forma, considerando é claro,
as variáveis ou valores que estiverem sendo usados
Fonte: oquartopoder.com
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Exemplo 2
Por quanto se deve vender certa mercadoria que custou R$ 4.126,75, para obter uma
rentabilidade (lucro) de 6%?
Solução algébrica:
Regra de três
% R$
100_____ 4126,75
6 _____ x
Operações realizadas
Multiplicando em cruz
x = (6*4126,75) / 100
x = 247,60 reais (lucro)
Preço de venda= 4126,75 + 247,60
Preço de venda = 4374,35
Resposta: A mercadoria deverá ser vendida por 4.374,35
Solução na calculadora HP-12C: R$ 80,00
106 = custo da mercadoria (1) + o lucro de 6% (06)
Exemplo 3
Em um colégio 26% dos alunos são meninas. Quantos alunos possui o colégio, se elas são em
número de 182?
Solução algébrica:
Regra de três
% R$
100_____ x
26 _____ 182
Operações realizadas
Multiplicando em cruz
x = (100*182) / 26
x = 700
Resposta: O colégio possui 700 alunos
4126,75 ENTER
106 %
4.374,36
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Exemplo 4
Um automóvel foi adquirido por R$ 5000,00 e vendido com um lucro de R$ 400. Qual
a porcentagem de lucro?
Solução algébrica:
Regra de três
% R$
100_____ 5000
x _____ 400
Operações realizadas
Multiplicando em cruz
x = (100*400) / 5000
x = 8
Resposta: A porcentagem de lucro foi de 8%
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Site Somatematica Disponível em
<www.somatematica.com.br/emedio/finan.php >. Acesso em 10 Mar. 2011.
Brasil Escola . Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/matematica-
financeira.htm>. Acesso em 10 Mar. 2011.
Regra de Três, disponível em <https://www.regradetres.com.br/regra-de-tres-simples.html>.
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PUCCINI, A. L. Matemática Financeira: Objetiva e aplicada. 8 ed. São Paulo: Saraiva,
2009.
CRESPO, A. A. Matemática Comercial e Financeira. 13 ed. Saraiva: 2002.
BRANCO, A. C. C. Matemática Financeira Aplicada: método algébrico, HP-12C,
Microsoft Excel. 2 ed. rev. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005.
Algo sobre vestibular. Disponível em
<http://www.algosobre.com.br/matematica-financeira/diagramas-de-fluxo-de-caixa.html>.
Acesso em 10 Mar. 2011.
