Novas Tecnologias no Ensino de Física

26 a 30 de Janeiro de 2009 UFES, Vitória - ES

Formação Continuada de Professores em Serviço:

Educação de Qualidade para uma Sociedade da Aprendizagem

www.snef2009.org

Novas Tecnologias no Ensino de Física

Marisa Almeida Cavalcante ([email protected]) Cristiane Rodrigues Caetano Tavolaro ([email protected])

Anderson Piffer ([email protected])

XVIII Simpósio Nacional de Ensino de Física – SNEF 2009 – Vitória, ES

http://www.snef2009.org 26 a 30 de Janeiro de 2009 1

1. Introdução

Sistema de Numeração Binário

O sistema de numeração mais utilizado é o sistema de numeração decimal, conseqüentemente estamos mais

habituados com esse sistema. Para simplificar o entendimento faz-se necessário observar uma característica

importante do sistema de numeração decimal para posteriormente compará-lo com o sistema binário.

O sistema de numeração decimal também é chamado de sistema de base 10, denominado dessa forma porque

têm em sua composição 10 símbolos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 que podem ser expressos por

intermédio da potência de dez para se obter um numeral.

Uma característica importante do sistema de numeração decimal é o seu valor de posição. Como exemplo

consideremos o número decimal 285 onde o algarismo 5 encontra-se ocupando a posição ou casa decimal da

unidade (5 x 1 = 5 x 100 = 5), o algarismo 8 está localizado na posição das dezenas significando 80 unidades (8 x

10 = 8 x 101 = 80), já o algarismo 2 está localizado na posição das centenas significando duas centenas

totalizando 200 unidades (2 x 100 = 2 x 102 = 200). Logo, para se obter o número decimal total é necessário

somar o valor correspondente das três posições 200 + 80 + 5 tendo como resultado o número 285. Sendo n o

número de dígitos da parte inteira, no exemplo mencionado n = 3, pode-se escrever o número 285 de outra

maneira: 285 = 2 x 10 n-1 + 8 x 10 n-2 + 5 x 10 n-3.

É importante observar que o algarismo 2 está localizado na extrema esquerda (3.ª casa decimal) tem peso 2 (n–1

= 3–1 = 2), maior do que o dígito 5 que está localizado na 1.ª casa e o dígito 8 que está localizado na 2.ª casa (n-

2 = 3-2 = 1) e tem peso 1, ou seja, a posição do algarismo com relação ao ponto decimal determina seu peso, e

ainda, o algarismo situado à extrema esquerda do número está sendo multiplicado pela potência de dez maior, e

portanto, é considerado o dígito mais significativo).

O sistema de numeração binário, comumente chamado de sistema de numeração de base 2, utiliza-se de apenas

dois símbolos (0 e 1). Cada dígito binário é chamado de bit (Binary Digit) e um conjunto de 8 bits é um byte.

Esse sistema de numeração é extensivamente utilizado em processamento de dados digitais

A característica de valor de posição mencionado no sistema de numeração decimal está presente em todos esses

sistemas de numeração e pode ser utilizado em contagens. Assim, a cada posição de cada algarismo de um

número binário corresponde uma potência de 2, da mesma forma que em números decimais correspondia uma

potência de 10. Então, o princípio de posicionamento pode ser estendido a qualquer sistema numérico

independentemente de sua base podendo converter um número binário para um número decimal.

» Exemplo de conversão de um número binário para decimal:

Número Binário 1001

n = 4

1001 = 1x2n-1 + 0x2n-2 + 0x2 n-3 + 1x2n-4 = 1x23 + 0x22 + 0x2 1 + 1x20

= 1x8 + 0x4 + 0x2 + 1x1 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9

O número binário 1001 corresponde ao número 9 em decimal.



Assim como no sistema decimal, dependendo do posicionamento, o algarismo ou bit terá um peso, sendo o bit da

extrema esquerda o mais significativo (MSB – most significant bit) e o da extrema direita o bit menos

significativo (LSB – least significant bit).

Também é possível converter um número decimal em binário, o método mais simples de se realizar essa

operação consiste em dividir sucessivamente o número decimal por 2 até se obter o quociente zero. Sendo que os

restos dessas divisões posicionados na ordem inversa correspondem ao número binário, resultado da conversão

de decimal para binário.

» Exemplo de conversão de um número decimal para binário:

Número Decimal 60

60 2

0 30 2

0 15 2

1 7 2

1 3 2

1 1 2

1 0 O número decimal 60 corresponde ao número binário 111100.

O número 111100 é chamado de frase binária de 6 bits, pois cada posição dessa frase binária é chamada de bit.

Utilizando 6 bits é possível se obter 26 combinações, ou seja, 64 frases binárias diferentes. Portanto, o número de

frases possíveis é dado por 2N onde N é o número de bits.

Para facilitar o entendimento da conversão de números decimais fracionários para binário é necessário dividir

processo em duas etapas.

1.ª) Etapa: conversão da parte inteira

Essa primeira etapa consiste no método conhecido anteriormente de conversão do número decimal em binário.

2.ª) Etapa: conversão da parte fracionária

Na segunda etapa deve ser efetuada multiplicações sucessivas do número fracionário por 2 até se obter como

resultado fracionário do produto o número zero, caso contrário trata-se de uma dízima devendo ser definido o

número de dígitos após a vírgula. Sendo o resultado binário dessa conversão à parte inteira dos produtos

efetuados.

» Exemplo de conversão de um número decimal fracionário para binário:

Número Decimal Fracionário 5,625

1.ª) Etapa: Exemplo representação do numero 5 em binário.

5 2

1 2 2

0 1 2

1 0



O número decimal 5 corresponde ao número binário 101

2.ª) Etapa: 0,625

0,625 x 2 = 1,250

0,250 x 2 = 0,5

0,5 x 2 = 1,0

O número decimal fracionário 0,625 corresponde ao número binário fracionário 0,101

A união da parte inteira com a parte fracionária determina o resultado da conversão, ou seja, o número decimal

fracionário 5,625 corresponde ao número binário fracionário 110,101.

Conversão de Sinais e numero de bits

Vamos considerar que tenhamos um conversor com 3 bits;

Neste caso podemos ter 23 frases binárias que são:

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

Exercícios sobre representação numérica em base decimal e base binária. No sistema decimal contamos os números até 9 e então para a unidade seguinte, retornamos ao digito zero, inserindo uma unidade na posição de ordem imediatamente superior à esquerda para indicar que já contamos todas as unidades uma vez [9 + 1= 10]. No sistema binário seguimos a mesma regra, usando os dígitos 0 e 1. Depois de contar 1, teremos usado todos os símbolos e devemos mover para a coluna da esquerda a fim de indicar que já percorremos nossa escala uma vez.

0 0 1 1 2 10 (contamos uma vez) 3 11 4 100 (estamos contando pela segunda vez) 5 101

0 , 1 0 1

0x22+0x21+0x20

0x22+0x21+1x20

0x22+1x21+0x20

0x22+1x21+1x20

1x22+0x21+0x20

1x22+0x21+1x20

1x22+1x21+0x20

1x22+1x21+1x20



1. Representação de até 5 bits. Complemente a tabela abaixo:

Decimal Valor Binário

24 23 22 21 20 0 0.20+0.21+0.22+0.23+0.24 0 0 0 0 0 1 1.20 +0.21+0.22+0.23+0.24 0 0 0 0 1 2 0.20+1.21+0.22+0.23+0.24 3 1.20+1.21+0.22+0.23+0.24 4 0.20+0.21+1.22+0.23+0.24 5 7 8 9

10 2. Represente os seguintes números decimais:

Decimal Valor Binário 27 26 25 24 23 22 21 20

1 2

4 8

16 32 64 128

Exemplo: Regra Prática de transformação: transformar 88 (base decimal) para base binária; 88 2 08 0 44 2 04 22 2

0 02 0 11 2

10 1 5 2 4 1 2 2 0 1 3. Faça as seguintes conversões:

Decimal Valor Binário 27 26 25 24 23 22 21 20

83 38 95 45 67 79

234

88 decimal = 1011000 (base 2)



V

Conversor Analógico

Frases binárias

Conversores

A comunicação de dois sistemas que possuem ambientes diferentes é realizada através de interfaces. Um

computador digital processa apenas sinais discretos (digitais) enquanto que o ambiente externo possui sinais no

formato analógico (sinais contínuos).

As grandezas analógicas são aquelas cujas medidas podem assumir uma infinidade de valores. O mundo físico

apresenta diversos exemplos de grandezas analógicas como: posição, força, intensidade de corrente elétrica,

temperatura, intensidade sonora, tensão, velocidade, intensidade de luz, pressão, etc.

Para que ocorra interação entre esses dois sistemas é necessário criar uma interface que transforme os tipos de

sinais. Por isso foram criados os conversores que são utilizados em todos os campos de atividades em que

necessita de tal operação que funcionam, portanto podemos dizer que os conversores funcionam como uma

espécie de tradutor entre o mundo físico real e a linguagem binária dos computadores.

Os conversores podem ser do tipo A/D que realiza a conversão do sinal analógico em um sinal digital e D/A que

efetua a operação contrária constituindo dois aspectos muito importantes do processamento de dados digital.

A principal aplicação do conversor analógico digital está na aquisição de dados, o conversor é um circuito

integrado que converte grandezas analógicas externas em informações digitais utilizando o sistema binário para

representar dois níveis de tensão, ALTO ou BAIXO, sendo um nível de tensão alto representado pelo dígito 1 e

um nível de tensão baixo ou zero volt representado pelo dígito 0 (zero).

Existem vários chips no mercado que permitem a conversão de um sinal analógico para um sinal digital.

O que varia de uma placa para outra ou de um chip para outro?

Vários parâmetros são importantes, dentre eles temos:

Velocidade de transmissão

Número de bits na sua saída, que define a precisão na análise do impulso de entrada.

Canais de entrada

Tempo de resposta

Tensões de entrada

Tensões de saída...etc

0 0 0 1 1 0 0 1

1 1 0 1 1 1 0 1

0 0 0 0 1 1 1 1

1 1 1 0 0 0 1 1

Figura 1 – Função de um conversor AD



Com relação ao numero de bits na saída Este número define o intervalo de tensão que será analisado em cada frase digital ou canal. A tabela a seguir fornece um resumo das resoluções de diferentes conversores em cada caso

numero de bits na saída canais resolução definição desta resolução

3 8 0,125 uma parte em 8

4 16 0,0625 uma parte em 16

8 256 0,00390625 uma parte em 256

12 4096 0,000244141 uma parte em 4096

14 16384 6,10352E-05 uma parte em 16384

16 65536 1,52588E-05 uma parte em 65536

Observe que quanto maior o número de bits na saída do conversor maior será a resolução do sistema. Exemplo: Um conversor de 3 bits e um sinal de entrada de 5 V. Para 3 bits temos 8 frases binárias portanto o valor de tensão deve ser divido por 8 possibilidades. Teremos 5/8=0,625 volts de resolução.

Portanto teremos:

Graficamente:

Observe que sinais de entrada entre, por exemplo, 0 e 0,625 serão indistinguíveis pelo conversor e

oferece uma única frase binária.

Um conversor com maior número de bits, apresentará maior resolução e será, portanto, mais preciso.

0 a 0,625 Volts 0 0 0

0,625 à 1,265 Volts 0 0 1

1,265 à 1,875 Volts 0 1 0

1,875 à 2,500 Volts 0 1 1

2,500 à 3,125Volts 1 0 0

3,125 à 3,75 Volts 1 0 1

3,75 à 4,375 Volts 1 1 0

4,375 à 5,00 Volts 1 1 1

Conversor 3 bits (8 frases binárias)



sabendo que: 256 → 5 volts canal → x volts

resolução da ordem de 20 mV (intervalos aproximados)

Exercício: relacionando canal e tensão

Considere um conversor com 8 bits de saída e tensão de entrada igual a 5 volts e complemente os intervalos de tensão correspondentes na tabela abaixo

canal Tensão = [5/256 ]. canal1 0 à 0,020 2 >0,02 e <0,039 4 >0,0585 e <0,0781 8 >0,136 e <0,156

16 32 64

128 Simulação utilizando o EWB – relacionando frase binária à tensão de entrada.

Observação: versões gratuitas do programa EWB estão disponíveis nos endereços: http://fisica-cogeae-pucsp.blogspot.com/search/label/novas%20tecnologias%20no%20ensino http://www.geocities.com/CollegePark/Pool/9332/download.html http://www.li.facens.br/~f201176/dload.htm http://www.redes.unb.br/software.htm

Encontre as frases binárias relativas às tensões de entrada em um ADC 8 bits e 5 volts de entrada e verifique através da simulação no EWB sua resposta.

Tensão de entrada (volt)

Canal

Frase binária calculada Frase binária obtida pelo EWB

27 26 25 24 23 22 21 20 27 26 25 24 23 22 21 20 1

1,4 2,6 3,1

2,22 1,14 4,5

Instruções para utilizar o EWB 1) Acesse a pasta EWB512. Abra o aplicativo. 2) Clique em file, open e procure na pasta “circuits” o circuito “fraseadc” 3) Quando abrir o circuito relativo ao conversor você terá a seguinte tela

Para variar a tensão de entrada clique com o direito do mouse sobre a fonte de entrada



Exemplo de conversor disponível no mercado – chip ADC 804

Um conversor Analógico Digital comercial ADC de 8 bits, permite obter 256 frases binárias diferentes que serão

utilizadas para a conversão de um sinal analógico

Para que estes conversores funcionem precisamos estabelecer uma tensão de alimentação que em geral é de 5V,

o que nos permite estabelecer sinais de entrada que variam pelo menos em uma faixa de 0 a 5V. Para uma tensão

de 0 a 5V a resolução do conversor pode ser obtida através da tensão máxima de operação dividida pelo número

de frases possíveis, ou seja, 5V/256 = 0,0195V ou 19,5mV.

Por outro lado estes conversores precisam de uma base de tempo a partir da qual os sinais serão convertidos.

Para conversores comerciais de 8 bits os tempos de resolução são menores que 100µs, sendo possível realizar

mais de 5000 conversões por segundo. Um exemplo de conversor pode ser visto na figura abaixo ADC804. Os

pinos dos circuitos integrados são dispostos em um padrão definido, sendo a partir do entalhe, numerados no

sentido anti-horário conforme a figura 1.

Fig 01: esquema do circuito ADC804

Texto sobre sistema de numeração binária e conversão de sinais parcialmente retirado da

Monografia da aluna Amanda Bonizzia defendida no final de 2007 sob orientação da profa

Marisa Cavalcante do depto de Física da PUC/SP

Veja monografia em

http://17encontroicpucsp.blogspot.com/search/label/Novas%20Tecnologias%20no%20Ensi

no

8 e 10. terra

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 e 18 saídas binárias

3. Escrita: lê a entrada analógica quando ativo (nível baixo) e da a ordem de início da conversão

entalhe

1. Liga o conversor

4 e 19. Relógio: base de tempo

5. Interrupção: a saída de interrupção sinaliza ao microprocessador do sistema quando a conversão analógica digital termina

20. Conexão de alimentação Vcc

6 e 7. entradas analógicas

9. tensão de referência

2. Leitura: Disponibiliza os dados convertidos nos pinos 11 a 18.



Aquisição de dados Utilizando Entrada e Saída de Áudio da Placa de Som

Quando gravamos um sinal sonoro de um microfone, este sinal que é um sinal analógico é convertido num

código binário por um conversor A/D, disponível na placa e processado pelo PC.

A conversão pode ser feita em 8 ou 16 bits e com uma taxa de amostragem de até 44,1 kHz e resoluções na faixa

de 23 µs.

Uma desvantagem desta forma de aquisição é que não podemos trabalhar com sinais de corrente contínua, pois

as placas de som possuem capacitores ligados em série nas suas entradas.

A utilização da entrada de áudio da placa de som pode ser realizada através de softwares disponíveis na Web.

Alguns destes softwares permitem “transformar” o PC em um osciloscópio digital e um analisador de espectro

no ambiente windows. O download deste software pode ser realizado no endereço: http://www.zelscope.com/.

Este osciloscópio permite que muitas aplicações possam ser realizadas, tais como; determinação da relação entre

freqüência de sinais através de figuras de Lissajous, determinação de atraso entre pulsos através de um duplo

feixe sincronizado, análise de sinais sonoros e suas componentes de Fourier, etc.

Também podemos fazer a aquisição de dados através de softwares de edição de áudio:

Cool Edit (versão shareware): http://baixaki.ig.com.br/download/Cool-Edit-2000-1-1.htm

Audacity (versão freeware): http://audacity.sourceforge.net/?lang=pt

Nesta oficina serão desenvolvidos diferentes experimentos explorando ao máximo os recursos disponíveis na

web.

Atualmente podemos contar com uma série de diferentes softwares, disponíveis na internet que nos permite tanto

gerar sinais através das saídas de áudio, quanto analisar sinais através da entrada de áudio da placa de som, o que

mostra um grande campo de investigação muito recente e por este motivo ainda não muito explorado pelos

pesquisadores da área de ensino de física.



Experimento 1 – Eletromagnetismo: Estudo da queda de um imã - Lei de Lenz e lei de Faraday e determinação da aceleração de queda de um imã.

Bobina

S

Parte 1 - Simulação

Inicialmente vamos verificar o que se espera para o sinal que deve ser observado na passagem do imã por uma

espira. Para isso acesse o seguintes endereço:

http://www.pucsp.br/gopef/gopef.htm

a) Clique em menu, links e outros;

b) Clique em curso interativo Angel Franco Garcia;

c) Clique em curso interativo de Física;

d) Clique em Eletromagnetismo → Leis de

Faraday →Demonstração da lei de Faraday II;

e) Clique em Atividades e execute a simulação

com os valores pré-determinados para a

velocidade de queda do imã e

o raio da bobina.

1. Reproduza o sinal obtido em uma destas espiras e justifique-o fisicamente.

Um ímã é lançado a partir de uma dada altura e, passa no interior de espiras eqüidistantes. Na passagem cada espira gera uma fem. A composição destes sinais em função do tempo será observada a partir da entrada de microfone de um PC. Utilizaremos o software Audacity para a análise e aquisição de dados.

começar a simulação

Ímã



Agora efetue esta simulação nas seguintes condições: 2. Condições 1 - Velocidade do imã: 50,0 cm/s. Raio da bobina: 3,0 cm Reproduza abaixo o sinal obtido para a força eletromotriz induzida (fem): 3. Condições 2 - Velocidade do imã: 150,0 cm/s. Raio da bobina 3,0 cm Reproduza abaixo o sinal obtido para a força eletromotriz induzida (fem): 4. Explique as diferenças observadas. 5. Considerando a equação abaixo utilizada por Angel Garcia para a obtenção da fem, que alterações nesta equação devem ser introduzidas para obtermos a expressão da fem no experimento proposto? Justifique.

Justificativa



Parte 2 - Experimento

a) Conecte os cabos à bobina; b) Execute o software Audacity e clique em “gravar”; c) Abandone o ímã no interior da bobina;

1. Utilizando apenas uma bobina lance o ímã e reproduza o sinal obtido

2. Inverta a polaridade do ímã, efetue o lançamento e reproduza o sinal obtido. Você esperava esta alteração?

3. Associe duas bobinas mantendo o sentido do rolamento (em série) e observe o sinal.

gravar

Clicar aqui para iniciar a observação do sinal.

Software Audacity



4. Associe estas bobinas invertendo o rolamento de uma delas (uma em oposição à outra) e verifique o que ocorre com o sinal.

5. Você esperava esta alteração. Explique

6. Associe três bobinas em série com uma dada distância entre elas e determine a velocidade média em

cada trecho.

Trecho 1:....................................................................................................................................

Trecho 2:.....................................................................................................................................

7. Diminua a distância entre elas tentando lançar o ímã sempre da mesma altura em

relação à primeira bobina e determine os novos valores de velocidade média:

Trecho 1:..............................................................................................................................................................

Trecho 2:.............................................................................................................................................................

8. Análise os resultados obtidos nos itens 6 e 7;

9. Utilizando agora a montagem com todas as bobinas ligadas em série, lance o ímã e determine sua

aceleração de queda.

∆S

∆S



Posição S

(cm)

Tempo (s)

10. Construa o gráfico e partir da curva de regressão e determine a aceleração de queda do ímã.

Equação obtida:...................................................................................................................................................

Aceleração de queda:.........................................................................................................................................

11. Analise este resultado.

Experimento 2: detecção de radiação infravermelha e identificação de códigos de controles remotos. Sistema receptor Precisamos transformar o feixe de radiação infravermelha proveniente de um controle remoto em um sinal de tensão. Este conversão é realizada por fototransistor. Quando a luz atinge este fotosensor (semicondutor), os fótons deslocam elétrons da banda de valencia para a banda de condução diminuindo a resistência elétrica deste dispositivo, fazendo-o conduzir mais corrente elétrica, (o professor ao explicar o funcionamento dos fotosensores pode explorar alguns aspectos da Física Moderna, como por exemplo o comportamento corpuscular da luz, necessário para a compreensão da passagem de elétrons da banda de valencia a banda de condução quando da incidência de um fóton. O fenômeno só ocorre se a radiação incidente tiver uma energia mínima correspondente a largura da banda proibida).

Para alimentar o fotosensor podemos utilizar uma bateria de 9 V (ou 4 pilhas de 1,5V) em série como mostra as figura abaixo:



A partir do sistema de recepção montado segue-se uma segunda etapa experimental deste trabalho que consiste em visualizar o sinal recebido através do fotosensor através de um computador. A visualização dos sinais de recepção através de computadores Atualmente existem disponíveis na web, vários softwares de edição de áudio com versões shareware e freeware que podem ser obtidas facilmente em alguns endereços fornecidos (página 9). Estes softwares possibilitam a análise do sinal de tensão x tempo a partir da entrada de microfone de computadores. Existem ainda softwares que possibilitam transformar um PC em um osciloscópio digital de análise de sinais, para a utilização em experimentos didáticos. Deste modo basta conectar a saída do sinal do sistema receptor na entrada de microfone de um PC. As fotos que se seguem mostram o cabo de conexão utilizado para a recepção do sinal pelo PC.

Cabo de conexão para o PC

Roteiro de observações

Após conectar os componentes conforme o esquema fornecido, execute o software Audacity. Clique em “gravar”.

Foto que mostra a conexão no PC com tela indicando o sinal tensão x tempo

ATENÇÃO A bateria deve estar ligada

em série com o fototransistor e o resistor.



1. Faça uma reprodução do sinal observado para uma tecla qualquer de um controle remoto e explique fisicamente como este sinal pode ser obtido.

Experimento 3 - Determinação da aceleração de queda dos corpos

1. Como o sistema de recepção montado e utilizando uma ponteira laser podemos elaborar um experimento que permita obter o valor da aceleração da gravidade. Para isso vamos utilizar o esquema indicado abaixo. Referencia é o artigo recentemente publicado na Revista Brasileira de Ensino de Física. Cavalcante; M. A.; Bonizzia, A. e Gomes, L.C. P. (2008) “Aquisição de dados em laboratórios de Física; um método simples, fácil e de baixo custo” Revista Brasileira de Ensino de Física, 30,2, 2501-2506 (2008).

2. Vamos utilizar diferentemente do artigo da Revista Brasileira de Ensino de Física a entrada de microfone para a aquisição de dados e o software Audacity.

Analise o sinal observado:

Detalhe da placa a ser lançada Esquema de montagem

Diagrama do circuito para o fotosensor

S1

S2.........



3. Construa (ou utilize a placa já montada) inicialmente a placa que será lançada entre o sensor o feixe da ponteira laser e forneça abaixo o valor de cada S (figura acima)- Intervalos escuros e intervalos transparentes em média a mesma distancia é mantida

4. Em seguida execute o Audacity. 5. Clique em “gravar” para o registro do sinal. Abandone a placa. 6. Reproduza abaixo o sinal obtido:

8. Justifique o sinal obtido. Mostre as diferenças entre este sinal e o sinal obtido no artigo de Cavalcante , M A. e Tavolaro, R.C. Lembrar que a entrada de microfone possui um capacitor de acoplamento que filtra a componente contínua do sinal.

9. Construa a tabela S x T.

Posição(cm) Tempo(s)

S1 =

Justificativa do sinal:

S2 =



10. Construa o gráfico e determine a equação de regressão que melhor se ajusta aos dados:

Equação de ajuste obtida: ..........................................................................................................................

Valor da aceleração de queda obtida: .......................................................................................................

Experimento 4 – “Escutando” a queda livre (determinação da aceleração de queda dos corpos II) (baseado em Carlos Eduardo Aguiar Experimentos de Mecânica com o Gravador do PC Instituto de Física Universidade Federal

do Rio de Janeiro http://omnis.if.ufrj.br/%7Ecarlos/carlos.html)

5. Considerando a distância entre as arruelas, anote os valores de ∆s e de ∆t correspondentes na tabela.

∆s (cm) ∆t (s)

1. Amarre arruelas ao longo de um barbante, separadas

por distâncias conhecidas conforme mostra a figura.

2. Conecte o microfone e em seguida execute o

Audacity.

3. Clique em “gravar” e solte o barbante esticado (ver

figura 1).

4. Meça os intervalos de tempo entre as batidas

Fig 1. Modernização de um experimento clássico; ver R.M. Sutton, Demonstration Experiments in Physics (exp. M84).

11. Analise os resultados obtidos:



6. Construa o gráfico de s x t numa planilha e, a partir da função que mais se ajusta aos dados, determine a

aceleração de queda das arruelas.

Experimento 5 - O estudo de colisões através do som (determinação da aceleração de queda dos

corpos III)

(baseado em Cavalcante, M. A.; Silva, E.; Prado, R. e Haag, R. O Estudo de Colisões Através do Som. RBEF, vol. 24, no. 2,

junho, 2002. e Carlos Eduardo Aguiar Experimentos de Mecânica com o Gravador do PC Instituto de Física Universidade

Federal do Rio de Janeiro http://omnis.if.ufrj.br/%7Ecarlos/carlos.html)

Quando uma esfera é solta de uma determinada altura e colide com uma superfície plana e lisa,

possivelmente voltará a subir até uma altura menor que a inicial e novamente colidirá com o piso. Este

movimento pode se repetir algumas vezes até o momento em que a esfera não mais deixará o solo e

permanecerá em repouso tendo perdido toda energia de movimento. Denominamos de coeficiente de

restituição a relação entre os módulos das velocidades antes e após um impacto.

Uma colisão elástica é caracterizada por ε =1, diferentemente uma colisão completamente inelástica

possuirá ε =0. Um modelo simplificado[1], mas que é eficiente pode ser usado para representar a colisão

entre dois corpos está na Fig. 1.

Usando esta figura para descrever nosso experimento, as massas m1 e m2 representam a superfície e

a esfera respectivamente. A velocidade da esfera imediatamente antes do impacto é dada por v2 e, logo após

perder o contato com a superfície, será v2. Assumimos, no experimento que a massa m1 possui um valor

muito grande se comparada à massa da esfera, m2. Usando-se as leis de conservação do momentum linear, é

possível verificar que a massa m1 permanece em repouso após o choque com a massa m2, o que está de

acordo com o senso comum.

7. Analise o resultado (compare-o ao dos outros experimentos).

Figura 1: modelo representativo de uma



Podemos extrair várias informações relevantes para o estudo de colisões entre a esfera e a

superfície, apenas analisando o sinal sonoro produzido durante os impactos. A proposta consiste em obter o

registro em um arquivo wav ou mp3 do som emitido, nos impactos sucessivos de uma esfera solta de uma

altura h em uma superfície plana.

Durante o impacto da esfera com a superfície de apoio, um som é irradiado, cujo registro é

efetuado através de um microfone conectado à entrada da placa de som do PC. A partir do sinal sonoro, faz-

se uma reprodução gráfica do tempo obtido entre colisões sucessivas e com isso várias informações, tanto

cinemáticas quanto dinâmicas podem ser facilmente obtidas.

O

trabalho publicado por I. Stensgaard e E. Laegsggard [2] descreve a técnica de medida que utilizaremos para

obter informações sobre o coeficiente de restituição na interação entre

uma esfera e uma superfície horizontal. Os intervalos de tempo entre

os impactos sucessivos podem ser facilmente obtidos diretamente pelo

observador, conforme indica a Fig. 3. A cada impacto da esfera contra

a superfície, ocorre a perda de energia cinética, reduzindo-se a altura

máxima que ela pode atingir no seu retorno (hn+1< hn). A grandeza

que determina esta fração de perda é o coeficiente de restituição ε, que

pode ser determinado através da relação entre as velocidades, depois e

antes da colisão.

É fácil notar que quanto menor o coeficiente restituição na colisão

esfera-superfície maior é a taxa de redução nos intervalos de tempo entre os impactos. Esta dependência pode ser

vista no gráfico da Fig. 4 para duas interações distintas, esfera de vidro colidindo com superfície de madeira e

uma superfície de pedra.

Figura 3. Registro das colisões

Figura 2. Esquema do experimento



Para uma interação esfera-superfície, a relação entre o valor da componente vertical das velocidades

antes e depois do impacto fornece o valor do coeficiente de restituição. Supondo que a fração de perda de

energia cinética é constante, independendo do valor da velocidade de impacto da esfera de massa m2, teremos

que:

onde n representa o índice associado ao impacto. Para o impacto de ordem n, o valor da velocidade pode ser

obtido pela relação

onde ∆tn é o intervalo de tempo entre impactos sucessivos. Substituindo os valores das componentes verticais de

velocidade na equação (1), teremos

Propomos o coeficiente de restituição ε seja obtido através da inclinação da reta no gráfico ∆tn+1x ∆tn. O gráfico

abaixo mostra um dos resultados obtidos:

1n

n

vv

ε +=

(1)

2n

ng tv ∆

= (2)

1n

n

tt

ε +∆=

∆ (3)

Figura 4. O gráfico mostra a taxa de variação de tempo em sucessivas colisões para dois tipos de interações distintas



equação de regressão: y = 0,6545x + 0,0167

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0 0,2 0,4 0,6 0,8∆tn (segundo)

t n+1

(seg

undo

)

Parte 1 – Cálculo do coeficiente de restituição

Procedimento:

1. Conecte o microfone e em seguida execute o Audacity. 2. Clique em “gravar” e solte a esfera de uma altura bem definida, aguardando que a mesma pare de

quicar. 3. Não esqueça de anotar o valor da altura em que a esfera será lançada. 4. Meça os intervalos de tempo entre as batidas sucessivas (diretamente no software). 5. Repita o procedimento para diferentes superfícies (anote a superfície correspondente). 6. Anote os valores de ∆tn para diferentes superfícies, na tabela:

Altura de lançamento

h= h= h= h=

Intervalo

Bola 1 com superfície 1 Bola 1 com Superfície 2 Bola 2 com Superfície 1 Bola 2 com Superfície 2

∆t1 ∆t2 ∆t3 ∆t4 ∆t5 ∆t5 ∆t7 ∆t8 ∆t9 7. Construa o gráfico ∆tn+1 x ∆tn em uma planilha e determine a equação de regressão que mais se ajusta aos dados. Determine a inclinação da reta para cada superfície que corresponde ao valor de ε. Valor do coeficiente de restituição obtido para cada caso:

Parte 2 - Determinação da aceleração da gravidade

ε1-1 ε1-2 ε2-1 ε2-2

8. Analise os resultados obtidos:



Ao considerarmos constante a fração de perda de energia cinética da esfera nos impactos sucessivos

de uma esfera com uma dada superfície, estabelecemos as condições de contorno necessárias para determinar o

valor da aceleração da gravidade. Para compreender de que maneira podemos determinar o valor da aceleração

da gravidade, considere-se que o valor da velocidade vertical da esfera solta a altura h, antes da colisão com uma

superfície plana, é dada por:

Por outro lado, o valor da componente vertical da velocidade depois da colisão é dada por:

Como ε= vdepois/vantes temos que:

Substituindo-se o valor de ε obtido graficamente e o primeiro intervalo de tempo para a interação

correspondente podemos obter o valor da aceleração de queda, isto é

Tabela dos resultados obtidos

Referências [1] CROSS, R. The bounce of a ball. Am. J. Phys. 67 (4), March 1999, pp. 222 - 227. [2] STESGAARD, I. and LAEGSGAARD, E. Listening to the coefficient of restitution-revisited. Am. J. Phys. 69 (4), March 2001, pp.301- 305.

Bola 1 x Superfície 1




Altura de lançamento (m)

∆t1 (s)

Coeficiente de restituição ε

obtido graficamente

Valor obtido para g

(m/s2)

Valor médio obtido para g

(m/s2)

(4)

1

2depois

g tv ∆=

10. Análise os resultados obtidos (compare com o resultado dos outros experimentos):

212

8g t

hε ∆

=

2antesv gh=

21

2 8t

hg∆

=ε







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