UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA

NÚMEROS DE FIBONACCI

MA148 Orientador responsável: Fernando Eduardo Torres Orihuela

Aluna: Fabiana dos Santos Amador RA: 105616

Leonardo de Pisa

Fibonacci foi um matemático e viveu de 1170 a 1250 e na verdade chamava-se Leonardo de Pisa. Filho do diplomata italiano Guilielmo, membro da família Bonacci, Leonardo ficou conhecido como Fibonacci, corruptela de filius Bonacci (filho de Bonacci). Fibonacci nasceu na Itália, mas foi educado no norte da África, onde seu pai trabalhou por algum tempo. Viajando ao lado de seu pai Fibonacci teve contato com os sistemas numéricos que dariam origem ao nosso sistema hindu-arábico enquanto na Europa os números ainda eram representados apenas pelos algarismos romanos. Fibonacci percebeu as vantagens destes sistemas e, quando regressou à Europa, escreveu sobre eles em seu livro mais famoso, o Liber Abaci, de 1202.

Sequencia de Fibonacci

Descrita no final do século 12 pelo italiano Leonardo Fibonacci, ela é infinita e começa com 0 e 1. Os números seguintes são sempre a soma dos dois precedentes. Portanto, depois de 0 e 1, vêm 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…

Em termos matemáticos, a sequência é definida recursivamente pela fórmula abaixo, sendo os dois primeiros termos F0= 0 e F1= 1.

A sequência de Fibonacci tem aplicações na análise de mercados financeiros, na ciência da computação e na teoria dos jogos.

Ao transformar esses números em quadrados e dispô-los de maneira geométrica, é possível traçar uma espiral perfeita, que também aparece em diversos organismos vivos. Os termos da sequência também estabelecem a chamada “proporção áurea”, muito usada na arte, na arquitetura e no design por ser considerada agradável aos olhos. Seu valor é de 1,618 e, quanto mais se avança na sequência de Fibonacci, mais a divisão entre um termo e seu antecessor se aproxima desse número.

A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um retângulo de lados 2 e 1. se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo retângulo 3×2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retângulo 5×3. Observe a figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retângulos formam a seqüência de Fibonacci.

Utilizando um compasso e traçarmos o quarto de circunferência inscrito em cada quadrado, encontraremos uma espiral formada pela concordância de arcos cujos raios são os elemento da sequência de Fibonacci.

O Partenon que foi construído em Atenas pelo celebre arquiteto grego Fidias. A fachada principal do edifício, hoje em ruínas, era um retângulo que continha um quadrado de lado igual à altura. Essa forma sempre foi considerada satisfatória do ponto de vista estético por suas proporções sendo chamado retângulo áureo ou retângulo de ouro.

Como os dois retângulos indicados na figura são semelhantes temos:

Como:

Substituindo (2) em (1) temos:

Resolvendo a equação:

Logo:

Esse número é conhecido como número de ouro e pode ser representado por:

Todo retângulo e que a razão entre o maior e o menor lado for igual a Φ é chamado retângulo áureo como o caso da fachada do Partenon.

Fibonacci e a Natureza Sequencia de Fibonacci é uma sucessão de números naturais que, misteriosamente, aparece em muitos fenômenos da natureza. Exemplos na natureza em que a sequência ou a espiral de Fibonacci aparece

GIRASOL

os girassóis, a formação de seus flósculos estão em perfeitas espirais de 55, 34 e 21, da sequência de fibonacci os frutilhos (bagas) do abacaxi (ananás) formam a mesma espiral

da sequência, tal qual as corrente que se movem no oceano e as pequenas ondas na praia e as ondas da maré curvam-se nima espiral que pode ser identificada nos pontos do diagrama matemático: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34. Os Ramos das árvores, as bolachas-do-mar, a estrela do mar, as pétalas das flores e especialmente as conchas náutilos são formadas exactamente por esse mesmo plano.

CONCHA NAUTILUS

O náutilos acrescenta a si mesmo em cada do crescimento da sua concha, mais um número da escala fibonacci esse plano pode ser visto á nossa volta em escalas menores a cada dia, mas o maior exemplo de todos está justamente bem em cima de nossas cabeças atravessando uma média de 100 mil anos-luz, até mesmo nas espirais das galáxias acima de nós são formadas, como o mesmo design que as pequenas conchas são formadas, essa sequência ou plano parece ser a marca de um Designer a prova de um Criador algo deixado para trás no jogo de quem esteve ali, uma impressão digital.

CORPO Se um humano “mediano” dividir sua altura pela distância entre o umbigo e a cabeça, o resultado será algo em torno de 1,618. Dizem que, nas faces consideradas mais harmoniosas, a divisão da distância entre o centro da boca e o “terceiro olho” pela distância entre esse ponto e uma das pupilas bate no 1,618. Com exceção do dedão, em todos os outros dedos as articulações se relacionam na razão áurea

AS GRANDES PIRÂMIDES

É um mistério: cada bloco é 1,618 vezes maior que o bloco do nível imediatamente acima. Em algumas, as câmaras internas têm comprimento 1,618 vezes maior que sua largura

Aplicações

Os números de Fibonacci são importantes para a análise em tempo real do algoritmo euclidiano, para determinar o máximo divisor comum de dois números inteiros.

Matiyasevich mostrou que os números de Fibonacci podem ser definidos por uma Equação diofantina, o que o levou à solução original do Décimo Problema de Hilbert.

Os números de Fibonacci aparecem na fórmula das diagonais de um triângulo de Pascal (veja coeficiente binomial).

Um uso interessante da sequência de Fibonacci é na conversão de milhas para quilômetros. Por exemplo, para saber aproximadamente a quantos quilômetros 5 milhas correspondem, pega-se o número de Fibonacci correspondendo ao número de milhas (5) e olha-se para o número seguinte (8). 5 milhas são aproximadamente 8 quilômetros. Esse método funciona porque, por coincidência, o fator de conversão entre milhas e quilômetros (1.609) é próximo de φ (1.618) (obviamente ele só é útil para aproximações bem grosseiras: além do factor de conversão ser diferente de φ, a série converge para φ).

Em música os números de Fibonacci são utilizados para a afinação, tal como nas artes visuais, determinar proporções entre elementos formais. Um exemplo é a Música para

Cordas, Percussão e Celesta de Béla Bartók.

Le Corbusier usou a sequência de Fibonacci na construção do seu modulor, um sistema de proporções baseadas no corpo humano e aplicadas ao projeto de arquitetura. Em The

Wave Principal, Elliot defende a ideia que as flutuações do mercado seguem um padrão de crescimento e decrescimento que pode ser analisado segundo os números de Fibonacci,

uma vez determinada a escala de observação. Defende que as relações entre picos e vales do gráfico da flutuação de bolsa tendem a seguir razões numéricas aproximadas das

razões de dois números consecutivos da sequência de Fibonacci.

Teorias mais recentes, defendem que é possível encontrar relações “de ouro” entre os pontos de pico e os de vale, como no gráfico abaixo:

Se tomarmos o valor entre o início do ciclo e o primeiro pico, e o compararmos com o valor entre este pico e o pico máximo, encontraremos também o número de ouro. O ciclo,

naturalmente, pode estar invertido, e os momentos de pico podem se tornar momentos de vale, e vice-versa.

Triângulo de Pascal

Ao examinar o Triângulo Chinês (nosso conhecido Triângulo de Pascal) dos anos 1300, Fibonacci observou que esta sequência numérica aparecia naquele documento. O aparecimento se dava através da soma de vários números binomiais localizados acima e ao lado direito do número anterior.

Segmento Áureo

Quando temos um segmento de reta com extremidades A e B, podemos determinar um ponto D neste segmento, dividindo-o em média e extrema razão.

Isto significa que é possível obter um ponto D e permite obter um segmento áureo neste segmento AB. O objetivo é encontrar um ponto D entre A e B tal que a razão entre o

segmento AB e o segmento AD seja =(1,61803...).

Isto significa que o maior segmento AD é 1,61803... vezes a medida do menor segmento DB.

Obteremos o ponto médio do segmento AB. Coloque a ponta seca do compasso em um extremo, abra-o até o outro extremo e trace um arco para cima e para baixo do segmento de reta AB. Repita este procedimento com o outro extremo da reta, sem alterar a abertura do compasso. Os pontos onde os arcos se cruzam devem ser unidos por um segmento de reta (em vermelho) e o ponto onde este segmento cruza o primeiro segmento AB, é o ponto médio de AB;

Agora traçaremos uma reta perpendicular a AB passando por B com a etade do comprimento de AB;

Primeiro trace a reta perpendicular a AB usando um jogo de esquadros;

Com a ponta seca do compasso em B, abra-o até o ponto médio M e trace um arco até que este cruze a reta perpendicular a AB;

Temos agora uma nova reta BC perpendicular a AB com exatamente a metade do comprimento de AB;

Una este ponto que acabou de encontrar com o ponto A da primeira reta para formar um triângulo ABC;

Coloque a ponta seca do compasso no vértice C do triângulo e abra-o até o ponto B. Use este raio para marcar o ponto E na hipotenusa do triângulo;

Finalmente, com a ponta seca do compasso no vértice A, abra-o até o novo ponto E marcado na hipotenusa, e use este raio para marcar o ponto D na primeira reta AB. Este ponto é o ponto que divide o segmento AB em duas partes, onde o maior segmento é 1,6183....vezes o menor.

Assim o ponto D é encontrado.

Como podemos justificar este procedimento do ponto de vista matemático? Se o lado AB do triângulo mede 1 unidade de comprimento, então o lado BC mede a metade e obtemos

a medida da hipotenusa com o teorema de Pitágoras.

AC2=AB2+BC2=1+1/4=5/4

Usando R[5] como a raiz quadrada de 5, podemos escrever que

AC = R[5]/2

O ponto E na hipotenusa é marcado de forma que CE tenha o mesmo comprimento que o lado CB, isto é 1/2, então;

AE=(R[5] - 1)/2

O ponto D é marcado a mesma distância de A, assim

AD = AE = ½(R[5] -1)

Temos então a proporção:

A Sequência de Fibonacci no cinema O filme Pi de Darren Aronofsky apresenta várias referências à sequência de Fibonacci. Seu protagonista é Maximillian "Max" Cohen (Sean Gullette), um matemático brilhante e atormentado que tenta decodificar o padrão numérico do mercado de ações. Em uma cena, Max desenha quadrados com arestas de medidas proporcionais aos elementos da sequência de Fibonacci e os sobrepõe ao desenho do Homem Vitruviano de Leonardo da

Vinci, trazendo-lhe certezas às suas convicções de que a matemática é a linguagem da natureza. Em outra cena, Max apanha uma concha em uma praia e observa a espiral nela descrita. Em outro trecho do filme, Max encontra o judeu Lenny Meyer, que lhe fala da crença em que a Torah seria uma sequência de números que formam um código enviado por Deus, quando entendidas as correspondências entre as letras do alfabeto hebraico a números. Max diz que alguns dos conceitos apresentados por Lenny são similares a uma sequência de Fibonacci.

Bibliografia

http://www.uff.br/sintoniamatematica/matematicaenatureza/matematicaenatureza-html/audio-flores-br.html http://codigodacultura.wordpress.com/2010/04/30/a-sequencia-de-fibonacci/ http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Fibonacci http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm