UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

INSTITUTO DE MATEMÁTICA ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA

MONOGRAFIA

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA

MA673

Maria Lúcia Defendi - 086387

Marcel Bento de Oliveira - 119826

Felipe Ferreira - 120919

Dario Silva Nascimento - 139391

Campinas Dezembro de 2016

Sumário

Conteúdo

Sumário.......................................................................................................................................2

Introdução..................................................................................................................................Err

o! Indicador não definido.

Uma Breve História do Teorema Fundamental da Álgebra........................................................3

Teorem Fundamental da

Álgebra...............................................................................................Erro! Indicador não

definido.

Continuidade........................................................................................................................8

Completude dos Números Reais...................................................................................9

Teorema: (Bolzano-Weierstrass)............................................................................10

Analise do comportamento de polinômio real e complexo no infinito.................11

Entendendo o Comportamento de um Polinômio Real no Infinito.............11

Entendendo o Comportamento de um Polinômio Complexo no Infinito....14

Demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra................................................. 15

Parte A...............................................................................................................................15

Parte B...............................................................................................................................16

Aplicação do teorema fundamental da Álgebra...........................................................18

Teorema do Resto.................................................................................................18

Teorema de D'Alembert........................................................................................19

Teorema (Decomposição)............................................................................................19

Relação entre coeficientes e raízes..............................................................................19

Equação do segundo grau....................................................................................19

Equação do terceiro grau.....................................................................................20

Equação de grau n................................................................................................20

Exemplo de aplicação...................................................................................................21

Conclusão.....................................................................................................................22

Referência Bibliográfica............................................................................................................22

I. Introdução

Fazemos aqui uma referência ao Teorema Fundamental da Álgebra, onde

articularemos sobre as origens do teorema, sua parte histórica, aplicações e

demonstração.

O teorema fundamental da Álgebra afirma o corpo dos números complexos é

algebricamente fechado e, portanto, tal como com qualquer outro corpo

algebricamente fechado, a equação 𝑝(𝑧) = 0 tem 𝑛 soluções , ou seja, que qualquer

polinômio p(z) com coeficientes complexos de uma variável e de grau 𝑛 ≥ 1 tem

alguma raiz complexa.

Historicamente, sabemos que em 1629 o matemático belga, Albert Girard, na sua

“L’invention Nouvelle en l’Algèbre”, foi o primeiro a prever e a afirmar que há sempre

soluções (possivelmente repetidas) para tais equações, mas não demonstrou tal fato.

O Teorema Fundamental da Álgebra teve várias demonstrações, mas apenas em 1814

foi publicada a primeira prova totalmente correta. O suíço J. R. Argand publicou tal

demonstração para polinômios com coeficientes complexos, porém utilizando um

resultado- sobre a existência do mínimo de uma função contínua .

A prova de Argand de 1814, não reconhecida a princípio devido a tal lacuna, é muito

provavelmente a mais simples das demonstrações do Teorema Fundamental da

Álgebra.

Essa primeira demonstração sofreu algumas alterações, a última versão, mais

modernizada da primeira prova de Gauss para o Teorema Fundamental da Álgebra, foi

publicada em 2009.

II. Uma Breve História do Teorema Fundamental da Álgebra

Séculos antes da criação dos números complexos, François Vieta (1540−1603) exibiu

várias equações (polinomiais com coeficientes reais) de grau n com n raízes.

Peter Roth (falecido em 1617) já afirmara, em 1608, que equações (polinomiais com

coeficientes reais) de grau n têm no máximo n raízes. Porém, Roth já utilizara que tais

equações efetivamente admitem raízes.

O matemático belga, nascido na França, Albert Girard (1595-1632), na sua “L’invention

Nouvelle en l’Algèbre”, em 1629, foi o primeiro a prever e a afirmar que há sempre

soluções (possivelmente repetidas) para tais equações, mas não demonstrou tal fato.

René Descartes (1596-1650), na terceira parte de “La Géométrie”, em 1637, descreve

tudo o que se conhecia à época sobre equações polinomiais, observa que um

polinômio ( ) (com coeficientes e variável real ) que se anula em um número real

é divisível pelo polinômio de grau um,

( )

E apresenta a famosa “regra dos sinais” para calcular o número máximo de raízes reais

positivas e negativas.

O alemão G. W. Leibniz (1646-1716), procurando integrar uma função dada pela

divisão de dois polinômios com coeficientes reais, na “Acta Eruditorum” de 1702

considera a questão de saber se é sempre possível fatorar um polinômio real em

fatores lineares reais (polinômios reais de grau 1) ou fatores quadráticos reais

(polinômios reais de grau 2). Porém, Leibnitz vem a desistir de provar a existência de

tal fatoração, face ao “contra exemplo” que ele encontra. Leibnitz achara que a

fatoração para o polinõmio , com um número real,

( )( ) ( √ )( √ )( √ )( √ )

Era tal que o produto de dois fatores quaisquer no lado direito da equação acima

nunca é um polinômio quadrático real. Certamente, Leibnitz não percebera que √ e

também √ podem ser postos na forma padrão , escrevendo:

√ √

√

√

√

√

caso contrário ele teria visto que, na fatoração de x4+r4 , multiplicando o primeiro e o

terceiro fatores e multiplicando o segundo e o quarto fatores encontramos dois

polinômios quadráticos reais tais que

( √ )( √ )

O suíço L. Euler (1707-1783) em 1742 enunciou que um polinômio com coeficientes

reais pode ser fatorado como um produto de fatores lineares e fatores quadráticos

mas não conseguiu uma prova completa deste fato. Porém, Euler demonstrou tal

teorema para polinômios reais de grau menor ou igual a seis. Euler também enunciou

que um polinômio com coeficientes reais que tem “raízes imaginárias” tem então uma

raiz da forma

√

Com a e b números reais. Ainda, Euler já utilizava extensivamente números complexos

e a notação:

√

Em 1746 o enciclopedista francês J. d’Alembert (1717-1783), atuante na revolução

francesa de 1789, tal como Leibnitz pesquisando um método para integrar uma função

dada pela divisão de dois polinômios com coeficientes reais (o hoje denominado

Método das Frações Parciais), encontra uma demonstração difícil do Teorema

Fundamental da Álgebra e que contém um erro que só em 1851 seria corrigido, por V.

Puiseux (1820-1883). Devido a tal demonstração, na literatura francesa o Teorema

Fundamental da Álgebra é chamado Teorema de d’Alembert. Atualmente procura-se

resgatar a validade da demonstração de d’Alembert, obviamente inserindo a

necessária correção.

J. L. Lagrange (1736-1813) em 1772 levantou objeções à demonstração de Euler e

obteve sucesso em preencher várias lacunas na prova de Euler. Mas, sua prova

também era incompleta. É importante salientar que em 1777 Lagrange já observara

em uma carta que os “números imaginários” já haviam se tornado universalmente

aceitos como parte da matemática.

Em 1795, P. S. Laplace (1749-1827) apresentou uma demonstração muito elegante do

Teorema Fundamental da Álgebra e bem diferente daquela de Lagrange-Euler. Sua

sofisticada demonstração também era incompleta, porém, é hoje reabilitada.

Em 1798 o inglês James Wood, publicou em The Philosophical Transactions of the

Royal Society o artigo “On the roots of equations”, apresentando uma prova do

Teorema Fundamental da Álgebra para polinômios com coeficientes reais. Sua prova

também continha falhas. Recentemente, em 2000, sua prova foi reabilitada por Frank

Smithies.

Em 1799 o alemão K. F. Gauss (1777-1855) em sua tese de doutorado apresenta uma

demonstração para o Teorema Fundamental da Álgebra que veio a ser considerada a

primeira prova correta [ressalte-se que nesta época o teorema fundamental da álgebra

já era amplamente utilizado nos bancos escolares]. Porém esta demonstração de

Gauss também continha “problemas” que só seriam superados em 1920 por A.

Ostrowski (1893-1991). Tal trabalho foi comentado por S. Smale (1930- ) em 1981. Em

1816 Gauss apresenta sua segunda prova, a qual é bastante algébrica, do Teorema

Fundamental da Álgebra. Tal prova é correta, porém, utiliza o resultado que agora

enunciamos e que só seria provado posteriormente.

● Teorema do Anulamento: Uma função contínua num intervalo que é > 0 num ponto

e < 0 em outro ponto, se anula em um terceiro ponto.

Ainda em 1816, Gauss mostra sua terceira prova do Teorema Fundamental da

Álgebra, baseada na teoria da integração. Em 1849, ano do jubileu de sua tese de

doutorado, Gauss apresenta sua quarta prova do Teorema Fundamental da Álgebra,

desta feita o teorema é enunciado para polinômios com variável e coeficientes

complexos.

Em 1806 o suíço J. R. Argand (1768-1822), um dos idealizadores da identificação do

plano cartesiano R² com o plano complexo C, publica um esboço de uma

demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra em um ensaio sobre a

representação dos números complexos.

Alguns anos depois, em 1814, Argand publica a primeira prova totalmente correta do

Teorema Fundamental da Álgebra enunciado para polinômios com coeficientes

complexos, porém utilizando um resultado - sobre a existência do mínimo de uma

função contínua - que só em 1861 seria estabelecido por K. Weierstrass (o Teorema do

Máximo e do Mínimo, publicado por G. Cantor (1845-1918) em 1870).

A prova de Argand de 1814, não reconhecida a princípio devido a tal lacuna, é muito

provavelmente a mais simples das demonstrações do Teorema Fundamental da

Álgebra. Entretanto tal prova não é elementar para o padrão moderno da matemática.

Esta prova de Argand foi adotada em vários livros textos no século XIX mas foi aos

poucos relegada a um segundo plano no século XX quando o Teorema Fundamental da

Álgebra passou a ser apresentado como consequência do Teorema de Liouville -

provado por J. Liouville (1809-1882) - em cursos de “Integração em uma Variável

Complexa”, em uma demonstração por contradição.

Em 1946 o inglês J. E. Littlewood (1885-1977) publica uma prova do Teorema

Fundamental da Álgebra (vide referˆencias) que elementariza a dada por Argand.

Porém, a prova de Littlewood é sofisticada (e “somewhat artificial in appearance”, em

suas palavras). Sua prova é feita por contradição e por indução.

Em 2009, o holandês Theo de Jong publicou uma versão modernizada da primeira

prova de Gauss para o Teorema Fundamental da Álgebra (1799). Porém, a

apresentação não é elementar pois usa o Teorema dos Multiplicadores de Lagrange e

assim, resultados superiores do Cálculo.

III. O teorema fundamental da álgebra

Para a demonstração deste teorema, é necessário ter alguns conhecimentos prévios,

tais como:

1. Conceitos de continuidade de função

2. Completude dos números reais

3. Teorema de Bolzano – Weierstrass

4. Analise do comportamento de polinômio real e complexo no infinito.

Todos esses conceitos preliminares serão utilizados na demonstração do teorema

fundamental da álgebra

1. Continuidade

Função contínua em um ponto: Continuidade é uma característica global das funções,

mas sua definição é dada para um ponto pertencente ao domínio.

Definição 1: seja D uma função uma função definida no domínio e

, um ponto tal que todo intervalo aberto contendo intersecta * +. Dizemos

que é contínua em se

( ) ( )

Definição 2: A função é contínua se for contínua em todos os elementos de .

Exemplo : Dada a função polinomial 𝑝( ) , mostre que

1) 𝑝( ) é contínua para ;

2) 𝑝( ) é contínua.

Resolução

1) Sabendo que 𝑝( ) ; e que, usando as regras de limite

conhecidas, veja [1]

( )

Como 𝑝( ) ( ), aplicando a definição de continuidade, podemos afirmar

que 𝑝( ) é contínua para .

2) Como 𝑝( ) não possui nenhuma restrição em , então para qualquer , temos

𝑝( ) 𝑝( ), logo, 𝑝( ) é contínua.

Este não é um caso específico, podemos generalizar para qualquer função polinomial,

ou seja:

Seja 𝑝 uma função polinomial. Como 𝑝 é contínua em todos os pontos ;

podemos afirmar que 𝑝 é uma função contínua.

2. Completude dos Números Reais

Dizer que o conjunto dos números reais é completo significa que os números reais não

possuem “buracos”. Se o conjunto for quebrado, isto é, particionado em duas partes

de forma que todo elemento de uma parte é maior que todo elementos da outra

parte, então existe um elemento que fica exatamente no meio, e deve pertencer a

uma das duas partes.

Conforme [2], uma forma de representar os números reais é por meio de expressões

decimais, ao definirmos uma expressão decimal, temos:

em que é um número inteiro e ; são dígitos, isto é, números inteiros

tais que . Para cada 𝑛 ; tem-se um dígito chamado o 𝑛

dígito da expressão decimal . O número natural chama-se a

𝑝 𝑛 de

A expressão decimal corresponde a uma forma de representar a soma

Trata-se de uma soma com infinitas parcelas. Fazendo o número real ter por valores

aproximados os números racionais

𝑛

Ao substituir por , o erro não é superior a

.

Logo, o dígito é o maior número natural contido em ; é o maior dígito tal que,

,

é o maior dígito tal que,

,

Desta maneira, forma-se uma sequência não decrescente de números racionais

São valores cada vez mais próximos do número real . O número real é o limite

dessa sequência de números racionais. Isso é uma forma de expressar a completude

dos números reais, cujo axioma pode ser escrito da seguinte forma:

Axioma 1 (Completude). Toda expressão decimal representa um número real e todo

número real pode ser representado por uma expressão decimal.

Existência do Mínimo Global

O teorema que veremos abaixo é de existência, garantindo que toda função contínua

, um disco compacto em , assume mínimo em .

3. Teorema: (Bolzano-Weierstrass)

O Teorema de Bolzano – Weierstrass diz que toda sequência limitada possui

subsequência convergente.

Definição: Dado um ponto ( ) , o conjunto dos pontos do plano, cuja

distância ao ponto é menor ou igual a é chamado de disco compacto de centro

( ) e raio ; ou seja:

, - *( ) ( ) ( ) +

𝑝 𝑛

4. Analise do comportamento de polinômio real e complexo no infinito.

4.1. Entendendo o Comportamento de um Polinômio Real no Infinito

Polinômio de Primeiro Grau

Dado um polinômio de grau 1, ( ) com e e , o gráfico de P é

uma reta crescente para e decrescente para . Analisamos os dois casos

separados.

Para , observando o gráfico (figura 02), à medida que cresce , ( )

cresce ( ( ) ). Quando decresce , ( ) decresce ( ( ) ).

Resumindo:

( ) e ( )

Para , observando o gráfico (figura 03), à medida que cresce , ( )

decresce ( ( ) ). Quando decresce , ( ) cresce ( ( ) ).

Resumindo:

( ) e ( )

( ) 𝑝

( ) 𝑝

Polinômio de Segundo Grau

Dado ( ) , com , e e , o gráfico de ( ) é uma

parábola com concavidade para cima se ou com concavidade para baixo se

. Analisaremos os dois casos.

Para , observamos pelo gráfico da figura 04 que se que , então,

( ( ) ). Quando então, ( ( ) ); ou seja:

( ) e ( )

( ) 𝑝

Para , observamos pelo gráfico da figura 05 que se que , então,

( ( ) ). Quando então, ( ( ) ); ou seja:

( ) e ( )

( ) 𝑝

Polinômio de Grau 𝑛

Agora partindo para o caso geral, seja

( )

Com

e

Colocando em evidência, temos:

( ) (

)

Vamos analisar

quando , nesse ponto um exemplo pode clarear as ideias.

Façamos , temos

em que a variável x vai assumindo valores cada vez

maiores, logo o quociente vai assumindo valores mais próximos do zero.

Por outro lado, se , o quociente será negativo e cada vez mais próximo do

zero.

Então, podemos afirmar que se , então ( ) e se , então

( ) ; de modo que:

Logo, basta analisar ( ) . Verificamos claramente que para ou

, dependemos do sinal de e se 𝑛 é par ou ímpar. Assim, dado um polinômio

real, temos quatro possibilidades:

( )

( )

( )

( )

Podemos resumir as possibilidades acima fazendo:

( )

Consequentemente, vemos que a função ( ) satisfaz:

{ 𝑛 𝑛 𝑝 𝑛 𝑛

De onde concluímos que existe um ponto tal que:

( ) ( ) 𝑝

4.2. Entendendo o Comportamento de um Polinômio Complexo no Infinito.

Seja um polinômio complexo de grau 𝑛.

(𝑧) 𝑧 𝑧

𝑧 𝑛 * +

Aplicando o módulo aos dois lados da igualdade

(𝑧) 𝑧 𝑧

𝑧

e depois, usando a desigualdade triangular estendida para números complexos:

𝑧 𝑧

𝑧 𝑧

𝑧 𝑧

Ou seja,

(𝑧) 𝑧 𝑧

𝑧

Utilizando a propriedade do módulo de um número complexo:

(𝑧) 𝑧 𝑧

𝑧

Como e 𝑧 são reais e positivos e, ainda é estritamente

positivo, desta forma, pelo caso demonstrado para polinômios reais, concluímos que:

( 𝑧 𝑧

𝑧 )

Isto é:

(𝑧)

IV. Demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra

Assumindo a continuidade dos polinômios complexos e a completude de aplicada a

função continua um disco compacto em , assume mínimo em .

A prova será dividida em duas partes:

A) Existe um ponto 𝑧 no plano complexo tal que (𝑧) (𝑧 )

B) Se 𝑧 é o ponto de mínimo global determinado na primeira parte, então (𝑧 )

Seja (𝑧) 𝑧 𝑧

𝑧 , 𝑛 𝑛

Parte A

(1), temos que (𝑧) tende a se 𝑧 tende a (2)

Assim pela definição de , existe um raio tal que (𝑧)

( ) 𝑧 e, como (𝑧) é uma função conitnua no disco compacto centrado

na origem , - *𝑧 𝑧 +, pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, segue

que a função (𝑧) restrita a tal disco , - assumo um valor mínimo em um ponto

𝑧 , - (𝑧) (𝑧 ) , para todo 𝑧 , - Porém, também temos

( ) (𝑧 ) já que , - onde segue

(𝑧) (𝑧 ) 𝑧 , -

(𝑧) (𝑧 ) 𝑧 𝑧

( ) (𝑧 )

Portanto (𝑧) (𝑧 ) 𝑧 , ou seja, 𝑧 é ponto de mínimo global da função

(𝑧) .

Como (𝑧 𝑧 ) (𝑧 ) 𝑧 ...+ 𝑧 𝑧

, com

Supondo, sem perde de generalidade, que o valor (𝑧 ) é assumido em 𝑧 ,

podemos assumir que 𝑧 e assim substituindo em (𝑧) (𝑧 ) , temos:

(𝑧) (𝑧 ) 𝑧 (3)

Sendo já vimos que existe o menor * 𝑛+ tal que o coeficiente do

monômio 𝑧 , é diferente de zero. Então evidenciando 𝑧 obtemos a simplificação

para o polinômio (𝑧):

(𝑧) ( ) 𝑧 (𝑧)

𝑛 𝑝 𝑛 ( )

Parte B

Considere * +, o circulo unitário centrado na origem para todo

( )

( ) ( ) ( ) ( ) (5)

Além disso, considerando (4), obtemos ( ) ( ) ( ). Substituindo

em (5), temos:

( ) ( ) ( )

Então

( ) , ( ) ( )- ( ) ( )

, ( ) ( )- ( )

, ( ) ( ) - ( ) 𝑝

Dividindo por 𝑛 , obtemos:

, ( ) ( ) - ( )

Como a esquerda da desigualdade é continua em , ) 𝑛

obtemos:

, ( ) ( ) - ( )

Logo

, ( ) ( ) -

Seja ( ) 𝑛( ) aplicando a formula de De Moivre, temos:

( ) 𝑛( ) e conforme definimos, , sabendo que ,

para todo , escolhemos alguns representantes de . Para fixar as idéias,

digamos , cujos afixos são imagens na circunferência definida acima,

escrevendo ( ) ( ) substituindo em (6), temos:

[( )( ( ) 𝑛( ))]

[ ( ) 𝑛( ) ( 𝑛( ) ( )) ]

Logo

( ( ) 𝑛( ) (7)

Analisamos cada caso:

Para

( ) 𝑛( ) 𝑛 ( )

( ( ) 𝑛( )) ( )

Para

( ) 𝑛( ) 𝑛 ( )

( ( ) 𝑛( )) ( )

Logo , como 𝑛

Para ( ) 𝑛( )

𝑛 ( )

( .

/ 𝑛 .

/) 𝑛 .

/

Logo,

Para

( ) 𝑛( )

𝑛 ( )

( (

) 𝑛 (

)) 𝑛 (

)

Logo, 𝑛 ( ) ( )

lembrando que ( ) segue que ( ) 𝑝 𝑛 ( ) .

Concluindo assim a prova do Teorema Fundamental da Álgebra.

V. Aplicação do teorema fundamental da Álgebra

Com o Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) podemos estabelecer, de modo

completo, a relação entre as raízes de um polinômio complexo e a sua forma fatorada,

este último requer outros dois Teoremas para sua demonstração, que estão

enunciados:

1. Teorema do Resto

2. Teorema de D'Alembert

1. Teorema do Resto

O resto da divisão de um polinômio ( ) por é igual ao valor numérico de em

:

Demonstração:

Aplicando a definição de divisão, temos:

( ) ( ) ( )

onde e são, respectivamente, quociente e resto da divisão. Como tem grau

1, o resto ou é nulo ou tem grau zero; portanto, é um polinômio constante.

Calculando o valor do polinômio ( ) para , temos:

( ) ( ) ( )

2. Teorema de D'Alembert

Se o número complexo é raiz de uma função polinomial 𝑝; então 𝑝( ) é divisível por

.

Demonstração:

Seja 𝑝( )

, pelo teorema anterior 𝑝( ) ,

temos:

𝑝( ) 𝑝( ) 𝑝( )

(

) (

)

( ) (

) ( )

Como é divisível por , basta verificar que:

( )( )

Logo, 𝑝( ) é divisível por

VI. Teorema (Decomposição).

Todo polinômio complexo 𝑝( ) de grau 𝑛(𝑛 )pode ser fatorado em n fatores do

primeiro grau na forma 𝑝( ) ( )( ) ( ) onde é um número

complexo e são raízes complexas de 𝑝( ): Além disso, esta

fatoração é única, a menos da ordem dos fatores

VII. Relação entre coeficientes e raízes.

Equação do segundo grau:

Consideremos a equação

Cujas raízes são e , garantidas pelo TFA.

Pelo teorema anterior, essa equação pode ser escrita da seguinte forma:

( )( )

Temos a identidade

( )( ) 𝑝

Isto é;

( ) 𝑝

Portanto,

Equação do terceiro grau:

Consideremos a equação , cujas raízes são , e

Garantidas pelo TFA. Pelo teorema, essa equação pode ser escrita sob a forma:

( )( )( )

Temos a identidade

( )( )( ) 𝑝

Isto é;

( ) ( )

Portanto

Equação de grau n:

Dada a equação

Cujas raízes são garantidas pelo TFA.

Pelo teorema, essa equação pode ser escrita sob a forma:

( )( )( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) 𝑝

Portanto

{

𝑝 𝑧 ( )

( )

Estas relações entre coeficientes e raízes, são conhecidas como Relações de Girard.

VIII. Exemplo de aplicação

As raízes da equação polinomial estão em PA. Calcule

Essas raízes.

Resolução:

Pelo TFA, a equação possui três raízes, e usando as relações de Girard:

Como as raízes estão em PA, usando a propriedade do termo médio,

temos:

Então,

Daí:

Assim, substituindo na equação de soma e produto de raízes:

{

Resolvendo o sistema segue que: , e temos as raízes:

Portanto * +

IX. Conclusão

O presente trabalho conseguiu mostrar a importância do Teorema Fundamental da Álgebra,

através de sua história e aplicação

Mostramos, também, a relação deste teorema com outros, como o Teorema de Bolzano-

Weiertrass, Teorema do Resto, Teorema de D´Alembert e ainda a relação gerada entre os

coeficientes e as raízes das equações, ressaltando a importância do Teorema Fundamental da

Álgebra.

X. Referência Bibliográfica

[1] Guidorizzi, L.H., Um Curso de Cálculo vol.1, 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001.pp 513-514.

[2] Lima, E. L., Números e Funções Reais, 1 ed. Rio de Janeiro: SBM, 2012.