Equações Diferenciais Parciais (edp.pdf)

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  • Equaes Diferenciais Parciais

    Prof. Ulysses Sodr

    6 de Maio de 2003; Arquivo: edp.tex

    Contedo

    1 Introduo s Equaes Diferenciais Parciais 1

    2 Conceitos fundamentais em EDP 22.1 Equao Diferencial Ordinria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Equao Diferencial Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Exemplos de Equaes Diferenciais Parciais . . . . . . . . . . . . . . . 22.4 Ordem e grau de uma Equao Diferencial Parcial . . . . . . . . . . . . 32.5 Exemplos relacionados com ordem e grau de uma EDP . . . . . . . . . 3

    3 Equaes Diferenciais Parciais Lineares 33.1 Equao diferencial parcial quase-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Exemplo de EDP quase-linear sobre uma regio . . . . . . . . . . . . . 33.3 Equao diferencial parcial Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.4 Exemplos de equaes parciais lineares e no-lineares . . . . . . . . . . 43.5 As EDP mais importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.6 EDP homognea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    4 Solues de Equaes Diferenciais Parciais 54.1 Soluo de uma equao diferencial parcial . . . . . . . . . . . . . . . 54.2 Soluo geral e solues particulares de uma EDP . . . . . . . . . . . . 54.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.6 Relao entre ordem e nmero de constantes (EDO) . . . . . . . . . . . 64.7 Relao entre ordem e nmero de funes (EDP) . . . . . . . . . . . . 6

    5 Problemas com Condies Iniciais/de Contorno 75.1 Problema de Valor Inicial - EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.2 Problema com Condies Iniciais ou de Contorno . . . . . . . . . . . . 75.3 Exemplo de PVI com condies de contorno . . . . . . . . . . . . . . . 7

  • CONTEDO ii

    6 Equao Caracterstica e Mudanas de variveis 86.1 Equao Caracterstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.2 Exemplo de equaes caractersticas de uma EDP . . . . . . . . . . . . 86.3 Exemplo com mudana de variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    7 Classificao das EDP Lineares 97.1 Classificao de uma curva cnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97.2 Discriminante de uma EDP linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97.3 Tipos de EDP lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107.5 Movimento rgido no plano e mudana de variveis . . . . . . . . . . . 107.6 Lema sobre o sinal do discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.7 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    8 A Equao Diferencial Parcial de Euler 138.1 A equao de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138.2 Exemplo com mudanas de variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158.3 Forma alternativa para obter mudanas de variveis . . . . . . . . . . . 168.4 Observao sobre as equaes caractersticas . . . . . . . . . . . . . . 178.5 Exerccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    9 Equao Diferencial Parcial da Onda 189.1 Equao unidimensional da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189.2 Soluo geral da Equao Unidimensional da Onda . . . . . . . . . . . 209.3 Interpretao fsica da soluo da equao da onda . . . . . . . . . . . 209.4 Primeiro problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.5 Observao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229.6 Exerccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229.7 Exerccio Piano versus cravo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    10 O segundo Problema de Cauchy 2310.1 O segundo Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2310.2 Exerccio para descansar um pouco as equaes . . . . . . . . . . . . . 25

    11 O Problema Misto 2611.1 O Problema Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2611.2 Unicidade de soluo para o problema misto . . . . . . . . . . . . . . . 27

    12 O Mtodo de Fourier das variveis separveis 2812.1 O mtodo de Fourier e o problema misto . . . . . . . . . . . . . . . . . 2812.2 Receita para usar o Mtodo de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2912.3 Aplicao do mtodo de Fourier Equao da Onda . . . . . . . . . . . 2912.4 Exerccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

  • LISTA DE FIGURAS iii

    13 A equao diferencial parcial de Laplace 3413.1 A equao de Laplace bi-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3413.2 Soluo da equao de Laplace por diferenas finitas . . . . . . . . . . 3413.3 Soluo do problema com a Planilha Excel . . . . . . . . . . . . . . . 36

    14 A equao diferencial parcial parablica 3714.1 Soluo da equao parablica por diferenas finitas . . . . . . . . . . 37

    Lista de Figuras

    1 Um elemento do cordo flexvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Um elemento do cordo flexvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Elementos geomtricos do segundo problema de Cauchy . . . . . . . . 244 Regio retangular infinita para o problema misto . . . . . . . . . . . . . 275 Grade retangular representa a placa metlica . . . . . . . . . . . . . . . 356 Parte de uma planilha no Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 Cruz com os elementos para o clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

  • Seo 1 Introduo s Equaes Diferenciais Parciais 1

    1 Introduo s Equaes Diferenciais Parciais

    Muitos fenmenos que ocorrem na tica, Eletricidade, Ondulatria, Mag-netismo, Mecnica, Fludos, Biologia, ..., podem ser descritos atravs deuma equao diferencial parcial.

    Na maioria das vezes faz-se a tentativa de transformar a equao dife-rencial parcial em uma ou mais equaes diferenciais ordinrias, com oobjetivo de simplificar os trabalhos na obteno da soluo do problema.

    Uma equao diferencial ordinria possui derivadas de apenas uma vari-vel enquanto que uma equao diferencial parcial possui derivadas parci-ais da funo incgnita.

    Muitas leis fsicas como: Leis de Newton para o resfriamento dos cor-pos, Equaes de Maxwell, Equaes de Navier-Stokes e Equaes daMecnica Quntica de Schrdinger so escritas por equaes diferenci-ais parciais que relacionam o espao e suas derivadas com o tempo.

    Nem todas as equaes podem ser construdas a partir de modelos mate-mticos reais como o caso das Equaes de Maxwell, mas o estudo deModelos fundamental para explicar como e porque funcionam muitasequaes diferenciais parciais.

    O uso intenso de derivadas e integrais neste contexto fundamental edepende da interpretao feita para cada objeto matemtico como: velo-cidade, fora, acelerao, fluxo, corrente eltrica, taxa de variao, tem-peratura, etc.

  • Seo 2 Conceitos fundamentais em EDP 2

    2 Conceitos fundamentais em EDP

    2.1 Equao Diferencial Ordinria

    Uma equao diferencial ordinria (EDO) na varivel dependente y e navarivel independente x, uma equao que pode ser posta na forma

    F (x, y, y, y, ..., y(n)) = 0

    onde F uma funo das variveis indicadas e pelo menos uma derivada(ordinria) aparece nessa expresso.

    2.2 Equao Diferencial Parcial

    Uma Equao Diferencial Parcial (EDP) na varivel dependente u e nasvariveis independentes x e y, uma equao que pode ser posta na forma

    F (x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0

    onde F uma funo das variveis indicadas e pelo menos uma derivadaparcial aparece nessa expresso.

    2.3 Exemplos de Equaes Diferenciais Parciais

    (1) Equao do calor : ut = a2uxx

    (2) Equao do calor : ut = a2(uxx + uyy)

    (3) Equao da Onda : utt = a2uxx

    (4) Equao da Onda : utt = a2(uxx + uyy)

    (5) Equao de Laplace : uxx + uyy = 0

    (6) Equao de Laplace : uxx + uyy + uzz = 0

    (7) ux = x + y

    (8) uxxx + 2 y uxx + x ux uy + (ux)2 = sin(xy)

  • 2.4 Ordem e grau de uma Equao Diferencial Parcial 3

    2.4 Ordem e grau de uma Equao Diferencial Parcial

    A ordem de uma equao diferencial parcial a ordem da mais alta deri-vada que ocorre na equao e o grau o expoente da derivada mais altaquando a equao est escrita em uma forma semelhante a uma funopolinomial em que as potncias fazem o papel das derivadas da ordemrespectiva.

    2.5 Exemplos relacionados com ordem e grau de uma EDP

    No exemplo anterior, as equaes dos tens 1, 2, 3, 4 e 5 so de segundaordem, a do tem 6 de primeira ordem e a do tem 7 de terceira ordem.

    3 Equaes Diferenciais Parciais Lineares

    3.1 Equao diferencial parcial quase-linear

    Uma Equao Diferencial Parcial nas variveis independentes x, y e navarivel dependente u = u(x, y) dita quase-linear de segunda ordemsobre um conjunto M R2, se pode ser posta na forma:

    A(x, y)uxx + B(x, y)uxy + C(x, y)uyy + G(x, y, u, ux, uy) = 0

    onde os coeficientes A, B e C das derivadas duplas de u, somente de-pendem das variveis independentes x e y, isto :

    A = A(x, y) B = B(x, y) C = C(x, y)

    e para todo (x, y) M pelo menos um dos coeficientes A, B e C nonulo, isto :

    A2(x, y) + B2(x, y) + C2(x, y) 6= 0

    3.2 Exemplo de EDP quase-linear sobre uma regio

    A equao parcial uxx =

    1 x2 y2 uyy quase-linear sobre o con-junto M = {(x, y) R2 : x2 + y2 < 1}.

  • 3.3 Equao diferencial parcial Linear 4

    3.3 Equao diferencial parcial Linear

    Uma equao diferencial parcial quase-linear de 2a. ordem nas variveisindependentes x, y e na varivel dependente u = u(x, y) dita linearsobre M R2, se pode ser posta na forma:

    Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu + G = 0

    onde todos os coeficientes A, B, C, D, E e F somente dependem dasvariveis independentes x e y e para todo (x, y) M :

    A2(x, y)