Equações Diferenciais Parciais Elípticas Multivalentes ... - Marcos... · Equações Diferenciais

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  • UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOISINSTITUTO DE MATEMTICA E ESTATISTICA

    MARCOS LEANDRO MENDES CARVALHO

    Equaes Diferenciais Parciais ElpticasMultivalentes: Crescimento Crtico,

    Mtodos Variacionais

    Goinia2013

  • MARCOS LEANDRO MENDES CARVALHO

    Equaes Diferenciais Parciais ElpticasMultivalentes: Crescimento Crtico,

    Mtodos Variacionais

    Tese apresentada ao Programa de PsGraduao do Insti-tuto de Matemtica e Estatistica da Universidade Federalde Gois, como requisito parcial para obteno do ttulo deDoutor em Matemtica.rea de concentrao: Anlise - Equaes DiferenciasParciais.Orientador: Jos Valdo Abreu Gonalves

    Goinia2013

  • Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)

    GPT/BC/UFG C331e

    Carvalho, Marcos Leandro Mendes.

    Equaes Diferencias Parciais Elpticas Multivalentes [manuscrito] : Crescimento Crtico, Mtodos Variacionais / Marcos Leandro Mendes Carvalho. - 2013.

    135 f. Orientador: Prof. Dr. Jos Valdo Abreu Gonalves. Tese (Doutorado) Universidade Federal de Gois,

    Instituto de Matemtica e Estatstica, 2013. Bibliografia. Apndices. 1. Minimizao (Matemtica). 2. Convexidade. 3. Orlicz Espaos de. 4. Sobolev Espaos de. I. Ttulo. CDU: 517.956.2

  • Todos os direitos reservados. proibida a reproduo total ou parcial dotrabalho sem autorizao da universidade, do autor e do orientador(a).

    Marcos Leandro Mendes Carvalho

    Graduouse em Matemtica na UFG - Universidade Federal de Gois. Du-rante sua graduao, foi Bolsista de inicio cientfica no departamento deMatemtica da UFG. Durante o Mestrado, na UFG - Universidade Federal deGois, foi bolsista da CAPES e atuou na rea de Sistemas Dinmicos. Atual-mente professor no Instituto de Matemtica da UFG e desenvolve pesquisaem Equaes Diferenciais Parciais Elpticas.

  • minha av Waldemira e ao meu pai Jeowal (in memorian), escolhas de Deuspara minha origem, que eu reverencio, e que me deram a maior lio: do amor. Tambmao Marquixo (in memorian), pelos exemplos de f, persistencia e desejo de viver.

  • Agradecimentos

    A Deus, meu criador, fonte de minha paz, meu guia, minhas verdadeiras foras.Que eu saiba Senhor sempre amar-Te e seguir-Te. Obrigado pelo teu filho Jesus, porMaria, pelo Teu plano para minha vida, enfim, por tudo.

    Ao meu orientador Prof. Jos Valdo Abreu Gonalves pela amizade, confiana,orientao, calma e conselhos que foram dados a mim em momentos fundamentais destecurso. Saiba que estes serviro para mim no somente agora mais sim por toda minhavida.

    Aos professores e funcionrios do IME/UFG pela apoio, confiana, seriedade,respeito e motivao.

    A minha esposa Cludia de Jesus Silva Carvalho pelo amor, apoio, compreenso,fora e confiana, que foram fundamentais para a concluso deste trabalho.

    A minha me Maria das Dores Mendes pelo amor e compreenso, que foram degrande importncia no decorrer do curso e de minha vida.

    Aos meus tios Telminton Rodrigues Sales e Jeomar Alves de Carvalho Sales peloamor, amizade, compreenso e apoio desde o incio da minha vida estudantil.

    Aos demais membros da minha famlia e amigos que torceram e ajudaram narealizao deste sonho.

    A todos, obrigado por tudo, inclusive pela pacincia em minhas ausncias. Quea luz do Esprito Santo nos ilumine.

    Nossos agradecimentos a CAPES/CNPq - Brasil pelo apoio financeiro.

  • No digas no teu corao: a minha fora e o vigor de meu braoadquiriram-me todos esses bens. Lembra-te de que o Senhor, teu Deus,quem te d a fora para adquiri-los, a fim de confirmar, como o faz hoje, aaliana que jurou a teus pais.

    Bblia Sagrada,Deuteronmio 8, 1718.

  • Resumo

    Carvalho, Marcos Leandro Mendes. Equaes Diferenciais Parciais ElpticasMultivalentes: Crescimento Crtico, Mtodos Variacionais. Goinia, 2013.135p. Tese de Doutorado . Instituto de Matemtica e Estatistica, UniversidadeFederal de Gois.

    Neste trabalho desenvolvemos argumentos sobre a teoria de pontos crticos para funcio-nais Localmente Lipschitz em Espaos de Orlicz-Sobolev, juntamente com tcnicas deconvexidade, minimizao e compacidade para investigar a existencia de soluo daequao multivalente

    u j(.,u)+h em ,

    onde RN um domnio limitado com fronteira regular, : R [0,) umaN-funo apropriada, o correspondente Laplaciano, > 0 um parmetro,h : R uma funo mensurvel e j(.,u) o gradiente generalizado de Clarke dafuno u % j(x,u), q.t.p. x , associada com o crescimento crtico. A regularidade desoluo tambm ser investigada.

    Palavraschave

    Minimizao, convexidade, Espaos de Orlicz-Sobolev.

  • Abstract

    Carvalho, Marcos Leandro Mendes. Multivalued Elliptic Partial DifferentialEquations: Critical Growth, Variational Methods. Goinia, 2013. 135p. PhD.Thesis . Instituto de Matemtica e Estatistica, Universidade Federal de Gois.

    In this work we develop arguments on the critical point theory for locally Lipschitz func-tionals on Orlicz-Sobolev spaces, along with convexity, minimization and compactnesstechniques to investigate existence of solution of the multivalued equation

    u j(.,u)+h in ,

    where RN is a bounded domain with boundary smooth , : R [0,) isa suitable N-function, is the corresponding Laplacian, > 0 is a parameter,h : R is a measurable and j(.,u) is a Clarkes Generalized Gradient of a functionu % j(x,u), a.e. x , associated with critical growth. Regularity of the solutions isinvestigated, as well.

    Keywords

    Minimization, convexity, Orlicz-Sobolev Spaces.

  • Sumrio

    1 Introduo 11

    2 Espaos de Orlicz e Orlicz-Sobolev: Uma Reviso 212.1 N-funo 212.2 Espaos de Orlicz 232.3 Espaos de Orlicz-Sobolev 262.4 Consequncias das Hipteses (1) (3). 282.5 Consequncias das Hipteses (1) (4) 35

    3 Funcionais Localmente Lipschitzianos:Uma Reviso 413.1 O Gradiente de Clarke 413.2 Mais Sobre Clculo Subdiferencial 433.3 O Teorema de Aubin-Clarke em Espaos de Orlicz 44

    4 O Problema de Dirichlet Para :Resultados Bsicos 484.1 Minimizao do Funcional Energia de (41) 484.2 Existncia de Soluo de (41) via Minimizao 504.3 Existncia de Soluo de (41) via Browder-Minty 524.4 Unicidade de Soluo de (41) 594.5 O Operador Soluo Associado a (41) 604.6 Regularidade da Soluo de (41) 66

    5 Equaes Multivalentes em Domnios Limitados via Minimizao em Espaosde Orlicz-Sobolev:Minimizao Global 705.1 Observaes e Resultados Preliminares 705.2 Preliminares as Demonstraes dos Teoremas Principais 755.3 Provas dos Teoremas 1.0.1 e 1.0.2. 775.4 Demonstraes dos Teoremas 1.0.3 e 1.0.4 83

    6 Problemas Quaselineares Multivalentes com Crescimento Crtico em um Dom-nio Limitado: Princpio Variacional de Ekeland e Concentrao-Compacidade 866.1 Estrutura Variacional Associada a (126) 876.2 Limitao Local de I: Sequncia de Ekeland 896.3 Algumas Propriedades da Sequncia de Ekeland 916.4 Convergncia da Sequncia de Ekeland em Compactos 936.5 Demonstrao do Teorema 1.0.5 99

  • 6.6 Demonstrao do Teorema 1.0.6 1056.7 Demonstraes dos Teoremas 1.0.7, 1.0.8 e 1.0.9 115

    A Alguns Funcionais em Espaos de Orlicz-Sobolev 119

    B Medidas e Concentrao-Compacidade 123

    C Sobre Regularidade de Solues de Equaes Quasilineares 130

    Referncias Bibliogrficas 132

  • CAPTULO 1Introduo

    Neste trabalho estudamos existncia e regularidade de solues da equaoquasilinear elptica multivalente

    u j(x,u)+h(x,u) em (1-1)

    onde RN um domnio limitado com fronteira regular, o operador -Laplaciano, isto

    u = div((|u|)u) =N

    i=1

    xi

    ((|u|) u

    xi

    ),

    onde : (0,) (0,) uma funo contnua e satisfaz:

    (1) (i) lims0

    s(s) = 0, (ii) lims

    s(s) = ,

    (2) s % s(s) no-decrescente em (0,),

    : R R a funo par dada por

    (t) := t

    0s(s)ds, t 0,

    j : R R uma funo Carathodory tal que a funo t % j(x, t) localmenteLipschitz q.t.p. em , > 0 um parmetro, h : R R uma funo Carathodorye j(x, t) a derivada generalizada de Clarke, isto ,

    j(x, t) := { R | j0(x, t;r) r, r R}, q.t.p. x ,

    onde j0(x, t;r) denota a derivada direcional generalizada de s % j(x,s) em s na direo rdada por

    j0(x, t;r) := limsupyt;0

    j(x,y+r) j(x,y)

    .

  • 12

    Em nossa primeira classe de resultados, exploramos funcionais energia coercivospara obter soluo da equao

    u j(.,u)+h em , (1-2)

    via minimizao (cf. Captulo 5). Na equao (12), h : R , uma funo mensu-rvel (consideramos h(x,u) = h(x) em (11)), e j : R R tem crescimento crtico(num sentido que definiremos abaixo), satisfazendo a seguinte condio adicional:

    existem nmeros A 0, !> 0 e uma funo no negativa B L1() tais que

    j(x,s) A|s|!+B(x), s R, a.e. x . (1-3)

    Segue que a funo

    A(x) := limsup|s|

    j(x,s)|s|!

    satisfazA(x) A, q.t.p. x . (1-4)

    Quando a funo satisfaz (1) (2), uma N-funo (cf. Captulo 2). Afuno complementar de (que tambm uma N-funo) definida por

    (t) = maxs0

    {st (s)}. (1-5)

    Para introduzir a funo crescimento crtico precisamos que satisfaa

    (3) existem !,m (1,N) tais que !t2(t)(t)

    m, t > 0.

    A propsito, definida como sendo a inversa de

    t (0,) % t

    0

    1(s)s

    N+1N

    ds. (1-6)

    Estendemos a R por (t) = (t) para t 0, e observemos que de acordo com acondio (3) a funo uma N-funo (cf. Captulo 2).

    Devido a natureza do operador utilizaremos espaos de Orlicz L() ede Orlicz-Sobolev W 1,0 () (cf. Captulo 2 para definies e propriedades) e graas acondio (3) ambos os espaos so reflexivos.

    A propsito, a definio de soluo fraca de (12) :

    Definio 1.0.1 Dizemos que u W 1,0 () soluo fraca de (12) se existe = u

  • 13

    L() = L() tal que

    (x)