EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBÓLICO EVAR J

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Instituto Superior de Cincias da Educao ISCED-HUILA DEPARTAMENTO DE CINCIAS EXACTAS REPARTIO DE ENSINO E INVESTIGAO DE MATEMTICA TRABALHO EM GRUPO DA CADEIRA DE EQUAES DIFERENCIAIS PARCIAIS TEMA: EQUAES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBLICO 2 GRUPO 3 ANO/MATEMTICA-REGULAR O DOCENTE DA CADEIRA------------------------------------------ DR. SAMUEL SUNGO LUBANGO, SETEMBRO DE 2012 EQUA ES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERB LICO ISCED-HUILA/20121 EQUAES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERBLICO EQUA ES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERB LICO ISCED-HUILA/20122 Contedo 0.INTRODUO .................................................................................................................................... 4 0.1. Conceitos Fundamentais ............................................................................................................... 5 0.2. Classificao das EDP .................................................................................................................. 5 0.3. Tipos de EDP .................................................................................................................................. 6Exerc cios resolvidos. ................................................................................................................................ 7 Exerccios propostos. ............................................................................................................................ 7 1.Mtodos de resoluo das EDP ...................................................................................................... 81.0.Soluo geral e soluo particular .......................................................................................... 81.1.Mtodo da integrao bsica directa ...................................................................................... 8Exerc cios resolvidos. ................................................................................................................................ 9 Exerccios propostos ............................................................................................................................. 9 1.2.Mtodo de mudana de variveis .......................................................................................... 10 Exemplo de equaes caractersticas de uma EDP....................................................................... 10 Exerccios resolvidos. .......................................................................................................................... 13 Exerccios propostos. .......................................................................................................................... 15 1.3.Mtodo de Separao de variveis ....................................................................................... 15 Exerc cios resolvidos. .............................................................................................................................. 161.4.PRINCIPIO DE SUPERPOSIO ........................................................................................ 18Exerccios propostos. .......................................................................................................................... 19 2.SRIE DE FOURIER ................................................................................................................... 19 Exerc cios resolvidos. .............................................................................................................................. 20 Exerccios propostos. .......................................................................................................................... 23 2.1.Funes pares e mpares ....................................................................................................... 23 2.2.PROPRIEDADES DAS FUNES PARES E MPARES ................................................. 23 2.3.SRIE DE FOURIERDE COSSENOS E SRIE DE SENOS ......................................... 23 Exerc cios resolvidos. .............................................................................................................................. 24 Exerccios propostos. .......................................................................................................................... 25 3.EQUAO DE OSCILACO DE UMA CORDA ......................................................................... 25 3.1.CONDIES COM VALORES DE CONTORNO DO PROBLEMA ................................. 26Exerc cios resolvidos. .............................................................................................................................. 26EQUA ES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERB LICO ISCED-HUILA/20123 3.2.SOLUO DA EQUAO DA CORDA PELOS MTODOS DALEMBERT E DE FOURIER .................................................................................................................................................. 29 3.2.1.Mtodo de DAlembertpara soluo da equao da onda .......................................... 29 3.2.1.1.Soluo de dAlembertque satisfaa as condiesiniciais .................................... 30 Exerc cio resolvido. ................................................................................................................................. 31 Exerccios propostos. .......................................................................................................................... 32 3.2.2.Soluo da equao da onda pelo mtodo de Fourier .................................................. 32 Exerccios propostos. .......................................................................................................................... 32 CONCLUSO ........................................................................................................................................... 33 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS: ..................................................................................................... 34 INTEGRANTES DO GRUPO ............................................................................................................. 35 EQUA ES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERB LICO ISCED-HUILA/20124 0.INTRODUO NestetrabalhocomotemaEquaesDiferenciaisParciaisdetipoHiperblicoe subtemasEquao de oscilao de uma corda, condies com valores de contorno do problemaesoluodaequaodacordapelosmtodosdAlembertedeFourier, procuramosfazerumestudoemprimeirainstnciadosconceitosfundamentais, mtodosderesoluodeumaEDPesriedeFourierparapodermosnosarmarde condiesprviassuficientesetambmnecessriasparaorealentendimentodo assunto em causa. Aconfeodomesmorepresentouparansumgrandedesafio,foicomoescalaro Monte Everest, tivemos muitas dificuldades por falta de materiais de consulta. Este trabalho resultado de um esforo conjunto na insistncia em pensar e entender o tema proposto. Partimos da ideia de que cada um de ns uma ave com apenas uma asa e que para voar precisamos nos abraar uns aos outros.Como o conhecimento cientfico no algo pronto, acabado e indiscutvel, esperamos todas crticas positivas no sentido de melhorar o presente trabalho. Atodososnossosleitoresdesejamosumaboaexpedioequenosedeixemlevarpelas avalanches. EQUA ES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERB LICO ISCED-HUILA/20125 0.1. Conceitos Fundamentais Chama-seEquaodiferencialparcial(EDP)aumaequaodiferencialcujafuno incgnita depende de duas ou mais variveis. Consideremosucomovariveldependente,x c ycomovariveisindependentes, temos os seguintes exemplos de EDP: I.ux -u = u II. 20x2 +S202 = u III.ux +u = u IV. 20x2 +20x + 202 = u V.k20x2 -u =20t2 , k > u VI.o2 20x2=20t2 VII.uxx +u = u VIII.x2uxx +2xux +u = u IX.uxx +4xux +u = u X.uxx - (1 +y2)ux = u AordemdeumaEDPaordemdamaisaltaderivadaqueocorrenaequao,eo grau o expoente da derivada mais alta, quando a equao est escrita em uma forma semelhante a uma funo polinomial em que as potncias fazem o papel das derivadas da ordem respectiva. Em funo disso, dos exemplos anteriores tem-se: As equaes (I) e (III) so EDP de 1 ordem. As equaes (II), (IV), (V), (VI), (VII), (VIII), (IX), e (X) so EDP de 2 ordem.Poderemoscentralizarasnossasatenesaltimaclassificaopois consideramos serem as mais importantes para o nosso Estudo. 0.2. Classificao das EDP Em funo da forma, as EDP classificam-se em: a)EDP Quase Linear; quando pode ser posta na forma: A(x, y)uxx +B(x, y)ux +C(x, y)u +0(x, y, u, ux, u) = u OndeoscoeficientesA,B,eCdasderivadasduplasde Z somentedependem dasvariveisindependentes x c y,isto: A = A(x, y); B = B(x, y); C = C(x, y) em que pelo menos um dos coeficientes A,B, C no nulo. EQUA ES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERB LICO ISCED-HUILA/20126 b)EDP Linear; quando pode ser posta na forma: Auxx+Bux+Cu+ux+Eu+Fu +0 = uOndetodososcoeficientesA,B,C,D,EeFsomentedependemdas variveis x c y emquepelomenosumdoscoeficientesA,B,Cno nulo. c)EDPnoLinear;quandonopodeserpostanumadasformas anteriormente referenciadas. 1.1.Exemplos de EDP Lineares (b) e no Lineares (C): (b) 1) uxx+u +u = u 2) 20x2+sin x202+cos x = u 3) uxx+cxu+6 = u (C) 1) uuxx+u= u 2)x20x2+y202+u2= u 3)u0x+202= u As EDP Lineares de 2 ordem podem ser: a)No Homogneas; quando tm a forma: Auxx+Bux+Cu+ux+Eu+Fu +0 = uOnde A, B, C, D, E, F, e G podem depender das variveis x c y ou das derivadas de 1 ordem, alem disso 0(x, y) = u. b)Homogneas; Se na forma apresentada em a) 0(x, y) = u 0.3. Tipos de EDP Do anterior exposto, dada uma EDP na forma: Auxx+Bux+Cu+ux+Eu+Fu +0 = uOndetodososcoeficientesA,B,C,D,EeFsomentedependemdasvariveis x c y em que pelo menos um dos coeficientes A, B, C no nulo. AEDP do Tipo:Hiperblico se A= B2-4AC >u Elptico se A= B2-4AC< u Parablico se A= B2-4AC = u EQUA ES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE TIPO HIPERB LICO ISCED-HUILA/20127 Exerccios resolvidos. 1.Classificar as seguintes equaes diferenciais: yuuax223 )

y xu ub2222) 0 )2222 y xu uc Soluo: yuuax223 )Identificando primeiro os coeficientes temos, A=3, B=o e C=0 0 0 . 3 . 4 402 2 ACB,entoaequaoumaequaodiferencia