Números Naturais 2016

8/18/2019 Números Naturais 2016

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Matemática

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NÚMEROS NATURAIS

Os números naturais constituem o primeiro tipo denúmero conhecido pelo homem. São utilizadosprincipalmente para:

I. Contar e representar quantidades. Na fraseabaixo:

“Existem 4 quadros na parede”

Utilizamos o número 4 para representar aquantidade de quadros.

II. Na Ordenação de elementos. Quando lemos afrase:

“Esta é a 2ª maior cidade do país.”

Estamos utilizando o número 2 para representar otamanho de uma cidade em relação às outras.

Existem algumas quantidades que não podem serdescritas por números naturais.

Por exemplo, na frase “Nessa jarra cabem 3 litrose meio de água.” a quantidade “3 litros e meio”não é um número natural. Assim, apenasquantidades inteiras podem ser representadas pornúmeros naturais.

Exemplos de números naturais são: 1, 26, 31, 325,etc.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1. Assinale a seguir quais desses números sãonaturais:

a) 5 b) – 3 c) 7,4 d) 36 e)

2. Assinale os exemplos a seguir em que foramutilizados números naturais.

a) Para chegar aqui, pego 2 ônibus e 1 metrô.

b) A distância da minha casa ao curso dematemática é 7,8 quilômetros.

c) Para sair de casa hoje, não gastamos menos do

que R$ 7,00 só de passagem.d) Em 2014, o Brasil perdeu da Alemanha por 7 x1.

e) Fazem 25 anos, 10 meses e 15 dias da primeiraeleição presidencial com voto universal no Brasil.

f) A economia brasileira pode se tornar a quartamaior do mundo.

g) O livro que recebo hoje tem umas 100 páginas.

3. Dos números naturais encontrados no últimoexercício, diga em quais casos:

a) Estão sendo utilizados para representarquantidades.

b) Estão sendo utilizados para ordenar elementos.

Números e algarismos

Qualquer número que conhecemos é formado apartir de dez símbolos, que são:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Estes símbolos são conhecidos como algarismos ou também dígitos.

Exemplos

458 é um número natural formado pelosalgarismos 4, 5 e 8.

65 é um número natural formado pelos algarismos6 e 5.

56 é um número natural formado pelos algarismos6 e 5.

65 e 56 são formados pelos mesmos algarismos(5 e 6), porém sabemos que são númerosdiferentes. A diferença está na posição de cadaalgarismo.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

4. Diga se as frases a seguir são verdadeiras oufalsas:

a) O número 450 tem 2 algarismos.

b) Os números 123 e 560 têm, juntos, 6algarismos.

c) Não existem números com 8 algarismos.

d) O número 1002 têm 2 algarismos.

e) O número de telefone 9456-3278 é formado pornove algarismos.

5. Escreva todos os números que podemos formarcom os algarismos 4, 8 e 9, trocando apenas aposição destes algarismos entre si.

6. Escreva todos os números de três algarismosque podemos formar com os dígitos 0 e 1.

O Sistema Decimal

A Posição das Unidades

Dizemos que o algarismo mais à direita de umnúmero natural ocupa a posição das unidades ou casa das unidades. No número 158 porexemplo, o algarismo 8 ocupa a posição dasunidades. No número 2045, o algarismo 5 ocupa a

posição das unidades. O maior número que podeocupar a posição das unidades é o número nove.



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7. Nos números a seguir, diga qual algarismoocupa a posição das unidades:

a) 2000 b) 8 c) 957 d) 625

e) 581 f) 0 g) 63 h) 22

8. Diga os 5 menores números naturais aonde o 7ocupa a posição das unidades.

A posição das dezenas

O segundo algarismo mais à direita de um númeroocupa a posição das dezenas ou casa dasdezenas. No número 123, o algarismo 2 ocupa aposição das dezenas, enquanto o algarismo 3ocupa a posição das unidades. No número 8,nenhum algarismo ocupa a posição das dezenas.

No número 65 o algarismo 6 ocupa a posição dasdezenas. O maior algarismo que pode ocupar aposição das dezenas é o nove.


9. Nos números a seguir, informe qual algarismoocupa a posição das dezenas:

a) 53 b) 47 c) 74 d) 26 e) 98

f) 0 g) 7 h) 9 i) 10 j) 104

k) 278 l) 1045 m) 2044

10. Informe os 6 menores números naturais aondeo algarismo 7 ocupa a posição das dezenas.

11. Complete a frase abaixo com as palavrascorretas:

O número 75 e o número 57 são formados com osmesmos ____________, porém são númerosdiferentes. O algarismo 7 ocupa a casa das _____________ no número 75 e ocupa a casadas______________ no número 57. Já oalgarismo __ ocupa a casa das unidades nonúmero 75 e ocupa a casa das _____________ nonúmero 57.

A posição das centenas

O terceiro algarismo mais à direita de um númeroocupa a posição das centenas ou casa dascentenas. No número 425, por exemplo, oalgarismo 4 ocupa a posição das centenas. Nonúmero 245, o algarismo 2 ocupa a posição dascentenas. O maior algarismo que pode ocuparessa posição é o nove.


12. Informe qual algarismo ocupa a posição dascentenas nos seguintes números.

a) 12 b) 456 c) 895 d) 95 e) 4

f) 65 g) 1065 h) 4856 i) 0

13. Informe os 6 menores números naturais aondeo 7 ocupa a posição das centenas.

14. Informe os 5 menores números naturais aondeo 7 ocupa a posição das centenas e o 2 ocupa aposição das dezenas.

15. Informe os 5 menores números naturais aondeo 7 ocupa a posição das centenas e o 2 ocupa aposição das unidades.

Milhar, dezenas e centenas de milhar

O quarto algarismo contando-se da direita para aesquerda em um número ocupa a posição dosmilhares. O quinto algarismo, obedecendo-se essamesma contagem, ocupa a posição das dezenas

de milhar (equivalem a dez mil unidades), o sextoalgarismo ocupa a posição das centenas de milhar(valem cem mil unidades) e assim por diante.

Como exemplo observe o número 327159 natabela abaixo e as posições ocupadas por cadaalgarismo..

3 2 7 1 5 9

centena

de

milhar

dezena

de

milhar

milhar centena dezena unidade


16. Descubra qual é o número com as dicas dadasabaixo:

I. O algarismo 9 está na posição das centenas.

II. O algarismo 8 está na posição das centenas demilhar.

III. O algarismo 7 está na posição das unidades.

IV. O algarismo 4 está na posição dos milhares.

V. Os demais algarismos são iguais a zero.17. Considere o número 745912

a) Troque de posição o algarismo da posição dasunidades com o algarismo da posição dosmilhares. Qual o número que resultou?

b) Partindo do resultado do ítem a, troque deposição o algarismo da posição das centenas como algarismo da posição das dezenas de milhar.Qual o número que resultou?

c) Partindo do resultado do ítem b, troque deposição o algarismo da posição das centenas de

milhar com o algarismo da posição das dezenas.Qual o número que resultou?



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d) Partindo do resultado do ítem c, troque deposição o algarismo da posição das centenas como algarismo da posição das unidades. Qual onúmero que resultou?

e) Partindo do resultado do ítem d, troque de

posição o algarismo da posição das unidades como algarismo da posição das dezenas de milhar.Qual o número que resultou?

18. Complete as frases abaixo:

a. O sistema de numeração que usamos é umsistema decimal, pois contamos em grupos de ____. Dessa maneira, quando contamos ____unidades formamos uma dezena, quandocontamos _____ dezenas formamos uma centenae quando contamos_____ centenas formamos ummilhar. Isso significa também que uma centenapossui _____ unidades e um milhar possui ______

dezenas ou _____ unidades.b. O sistema decimal utiliza 10 algarismos pararepresentar qualquer quantidade, são eles: ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___.

c. O valor representado por cada algarismo queforma um número depende da posição em que elese encontra. Por isso, o sistema decimal tambémé chamado posicional. Por exemplo, o algarismo 5no número 3625 ocupa a posição das unidades epor isso indica a quantidade de 5 unidades. Oalgarismo 2 ocupa a posição das __________ erepresenta a quantidade de _____ dezenas ou

______ unidades. O algarismo 6 está na posiçãodas ___________ e representa ________centenas ou _________ dezenas ou _________unidades. Por último, o algarismo 3 ocupa aposição do milhar e representa ________ milharesou ________ centenas ou _________ dezenas ou _________ unidades.

O valor das unidades e dezenas

A unidade representa o número 1. Sendo assim,podemos dizer que o número 7 é constituído por 7unidades, o número 12 é constituído por 12

unidades, o número 145 é constituído por 145unidades e assim por diante.

1 = uma unidade

7 = sete unidades

12 = doze unidades

145 = 145 unidades

Para escrever os números de 0 a 9 só utilizamos aposição das unidades. Como utilizamos a posiçãodas dezenas do número 10 em diante, dezena é apalavra utilizada para representar 10 unidades. Ou

seja,1 dezena = 10 unidades

Assim sendo, temos duas maneiras para formar onúmero 14:

• 14 = 14 unidades;

• 14 = 1 dezena e 4 unidades (forma maisutilizada);

Na forma mais utilizada, não podemos ter mais doque 9 unidades.

Podemos pensar nas unidades como se fossemmoedas de um real (R$ 1) e nas dezenas como sefossem notas de dez reais (R$ 10).

Assim, se quisermos juntar catorze reais,podemos ter:

• R$ 14 = 14 moedas de R$ 1 ou seja, 14unidades

Ou

• R$ 14 = 1 nota de R$ 10 e 4 moedas deR$ 1, ou seja, 1 dezena e 4 unidades.Essa é a forma mais utilizada.



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19. Imagine que você trabalha em uma bilheteria eé responsável por fazer o troco dos clientes.Suponha que você disponha apenas de moedasde R$ 1 e notas de R$ 10. De quantas formasvocê poderia formar as quantias abaixo?

a) R$ 17 b) R$ 25 c) R$ 15

d) R$ 30 e) R$ 43 f) R$ 7

g) R$ 5

20. Apenas com as dezenas e unidades, dequantas maneiras podemos formar as quantiasabaixo?

a) 17 b) 25 c) 15 d) 30 e) 43 f) 7

g) 5 h) 47 i) 26 j) 0 k) 7 l) 9m) 10

21. Informe, segundo a maneira mais utilizada onúmero de dezenas e o número de unidades queconstituem os seguintes números (lembre-se quenão podemos ter mais do que 9 unidades):

a) 53 b) 47 c) 74 d) 26 e) 98

f) 0 g) 7 h) 9 i) 10 j) 24

k) 78 l) 45 m) 44

Quando resolvemos o exercício acima, vemosuma coincidência entre o número de dezenas e aposição das dezenas. Também vemos umacoincidência entre o número de unidades e aposição das unidades.

• 39 = 3 dezenas (por isso o 3 ocupa aposição das dezenas) e 9 unidades (porisso o 9 ocupa a posição das unidades).

• 25 = 2 dezenas (por isso o 2 ocupa aposição das dezenas) e 5 unidades (porisso o 5 ocupa a posição das unidades).

Essa coincidência vai valer sempre. Ela é uma

propriedade do modo como escrevemos osnúmeros naturais.

O valor das centenas

Com a posição das unidades e das dezenas,podemos escrever até o número 99. Comoutilizamos a posição das centenas só do número100 em diante (todos os maiores ou iguais a 100),

uma centena representa 100 unidades, ou seja:1 centena = 100 unidades

Como cada dezena significa dez unidades,podemos concluir que:

1 centena = 10 dezenas

Preste atenção nas diferentes formas de constituiro número 147:

147 = 147 unidades;

147 = 14 dezenas e 7 unidades;

147 = 1 centena, 4 dezenas e 3 unidades;A forma mais utilizada é aquela aonde o númerode dezenas e unidades é sempre menor que 9.

123 =

• 1 centena (posição das centenas ocupadapelo algarismo 1)

• 2 dezenas (posição das dezenas ocupadapelo algarismo 2)

• 3 unidades (posição das unidadesocupada pelo algarismo 3).

Repare que o número de dezenas e unidades ésempre menor que 9.

Fazendo uma comparação com dinheiro, acentena seria a nota de R$ 100.

A maneira mais convencional de formar umnúmero é associando cada algarismo à posiçãoocupada pelo mesmo. Por exemplo:


22. Dispondo apenas de notas de R$ 1, R$ 10 eR$ 100, diga pelo menos 3 modos de formar cadauma das quantias abaixo:

a) R$ 147 b) R$ 425 c) R$ 27

d) R$ 1000 e) R$ 320 f) R$ 689g) R$ 222 h) R$ 5 i) R$ 9



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23. Usando agora centenas, dezenas e unidades,cite 3 modos para formar os números abaixo?

a) 147 b) 425 c) 27

d) 1000 e) 320 f) 689

g) 222 h) 5 i) 924. Informe, segundo a maneira maisconvencional o número de dezenas e o número deunidades que constituem os seguintes números:

a) 12 b) 456 c) 895 d) 95 e) 4

f) 65 g) 765 h) 856 i) 0

O valor dos milhares

Como utilizamos a posição dos milhares a partirdo número 1000, um milhar equivale a 1000unidades. Dizemos então que o número 2357 é

constituído por 2 milhares, enquanto o número5897 é constituído por 5 milhares.

1 milhar = 1000 unidades

Na comparação com dinheiro, o milhar seria umanota de R$ 1000, a dezena de milhar, seria umanota de R$ 10.000 e assim por diante.

Note que o número 54125 pode ser formado com54 milhares, 12 dezenas e 5 unidades. Da mesmaforma ele pode ser formado com 5 dezenas demilhar, 4 milhares, 1 centena, 2 dezenas e 5unidades, segundo o modo mais utilizado. Nessemodo o número de unidades, dezenas, centenas eassim por diante não pode ser maior que 9.


25. Informe com quantos milhares, dezenas,centenas e unidades podem ser formados osseguintes números, segundo o modo maisutilizado:

a) 1234 b) 10456 c) 2 d) 888

26. Nos números do exercício anterior, informequal algarismo ocupa a posição dos milhares.

Comparação entre números

naturaisDados dois números naturais, podemos ter trêstipos de relação entre eles:

Maior

Por exemplo, sejam os número 8 e 6. Então possorelacionar os números da seguinte forma: 8 > 6(lê-se oito é maior do que seis). O símbolomatemático para essa relação é uma “ponta de

flecha” apontando para a direita.

Menor

Sejam os números 5 e 3. Posso relacionar essesnúmeros da forma: 3 < 5 (lê-se três é menor que5). O simbolo matemático para essa relação éuma “ponta de flecha” apontando para a esquerda.

Igual

Sejam os números 5 e 5. Posso relacionar essesnúmeros da seguinte forma 5=5 (lê-se cinco é

igual a cinco).


27. Tome dois números: 262 e 173.

a) Qual dos dois números possui o maioralgarismo das unidades?

b) Qual dos dois números possui o maioralgarismo das dezenas?

c) Qual dos dois números possui o maioralgarismo das centenas?

d) Qual dos dois números então é maior?

28. Tome dois números 423 e 185.

a) Qual dos dois números possui o maioralgarismo das unidades?



d) Qual dos dois números então é maior?

29. Tome dois números 955 e 1003.a) Qual dos dois números possui o maioralgarismo das unidades?



d) Qual dos dois números então é maior? Porque?

30. Complete os espaços indicando a relação

apropriada entre os números naturais (<, > ou =).a) 5___6 b) 12___7 c) 15_____15

d) 15____14 e) 325____322 f) 7____7



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31. Diga se é verdadeiro ou falso:

a) 8 > 6 b) 8 < 6 c) 3<10 d) 3> 1

e) 125<74 f) 45>44 g) 5=6

Sequências crescentes edecrescentes

Vamos pensar agora em vários números naturaisformando uma sequência como por exemplo:

1,5,9,7,12

Lendo essa sequência da esquerda para a direitaidentificamos dois tipos de sequência importantes.

Seu!ncia crescente

Quando um número que estiver mais a direita for

sempre maior do que um número que estiver maisà esquerda. Se houver um caso onde isso nãoocorre, a sequência não é considerada crescente.Um exemplo de sequência crescente é1,5,8,15,17.

Seu!ncia decrescente

Quando um número que estiver mais a direita forsempre menor do que um número que estivermais à esquerda. Se houver um caso onde issonão ocorre, a sequência não é consideradadecrescente. Um exemplo de sequênciadecrescente é 98, 95, 5, 1.

Existem sequências que não são nem crescentese nem decrescentes, como a do primeiro exemplo(1,5,9,7,12).


32. Escreva em sequência descrescente osnúmeros 20, 5, 37, 24, 41, 85, 123, 1354, 415, 58.

33. Escreva em sequência decrescente osnúmeros 40, 1014,128, 59, 284, 64, 1000.

Números consecutivosDois números são consecutivos quando um émaior do que o outro por uma unidade. Porexemplo: 8 e 9 são números consecutivos. 35 e 36também são números consecutivos. Dizemos,nesse caso, que o 9 é sucessor do 8 e que o 36 ésucessor do 35.

Quanto temos dois números consecutivos, o maioré chamado de sucessor e o menor é chamado deantecessor. O 14 é antecessor do 15 (o 15, porsua vez, é sucessor do 14). O 99 é antecessor donúmero 100, e assim por diante.


34. Assinale quais pares de números abaixo sãoconsecutivos.

a) 85 e 88 b) 95 e 96 c) 15 e 14

d) 0 e 1 e) 32 e 45 f) 99 e 100

35. Informe os cinco números sucessores donúmero 27.

36. Informe os cinco números antecessores donúmero 27.

37. Informe os três sucessores e os trêsantecessores dos seguintes números:

a) 5 b) 999 c) 9999 d) 599

38. Descubra o número a partir das dicas dadasabaixo:

I. É um número maior que 99.

II. O sucessor desse número é formado poralgumas centenas, 3 dezenas e algumasunidades.

III. É um número menor que 500.

IV. O antecessor desse número é formado poralgumas centenas, algumas dezenas e umaunidade.

V. Os algarismos desse número, lidos da direitapara a esquerda, formam uma sequência

crescente.

O conjunto dos números naturais

Os matemáticos usam o símbolo ℕ para se referirao conjunto de todos os números naturais. Assimtemos:

ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,...}

Adição de números naturais

Somas simples

Usamos a soma (ou adição) quando queremos juntar ou adicionar quantidades. No problema aseguir:

“Tenho 4 moedas e ganhei mais 3. Com quantasmoedas fiquei?”

Devemos juntar 4 moedas com 3 moedas. Oresultado é dado pela soma entre 4 e 3,simbolizada abaixo.

4 + 3 = 7

A resposta do problema, então, seria: “Fiquei com

7 moedas.”



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39. Forneça, em ordem crescente, os quatroprimeiros números cuja soma dos algarismos é 3.

40. Escreva as somas de dois algarismos

consecutivos que resultam nos números a seguir:a) 7 b) 3 c) 5 d) 1 e) 9

41. Escreva as somas de três algarismosconsecutivos que resultam nos números a seguir:

a) 9 b) 6 c) 3

Para simbolizar a soma, utilizamos o sinal “+”. Nasoma acima, os números 4 e 3 são chamados deparcelas da operação de soma enquanto onúmero 7 é chamado de resultado da operação

de soma.

Quando as parcelas da adição são formadas pordois algarismos, como no exemplo:

12 + 35

Devemos proceder da seguinte forma:

1. Somar as unidades: somar os algarismosna posição das unidades entre si (2unidades + 5 unidades = 7 unidades);

2. Somar as dezenas: somar os algarismosna posição das dezenas entre si (1 dezena+ 3 dezenas = 4 dezenas);

Logo o resultado será 4 dezenas e 7 unidades, ouseja, 47.


42. Considere as somas a seguir:

a) 12 + 36 b) 55 + 22 c) 34 + 35d) 87 + 11 e) 65 + 12 f) 32 + 23

Agora, para cada uma, responda:

I) Quantas dezenas possui a primeira parcela? Equantas unidades?

II) Quantas dezenas possui a segunda parcela? Equantas unidades?

III) Quantas dezenas possui o resultado? Equantas unidades?

Quando as parcelas da adição são formadas por

mais de dois algarismos, como por exemplo: 124 +351. Devemos:

1. Somar os algarismos na posição dasunidades entre si (4 unidades + 1unidades = 5 unidades);

2. Somar os algarismos na posição dasdezenas entre si (2 dezena + 5 dezenas =

7 dezenas);3. Somar os algarismos na posição das

centenas entre si (1 centena + 3 centenas= 4 centenas);

4. E assim por diante (caso houveremmilhares, dezenas de milhares, etc...)

Logo, o resultado será 475.

Para fazer isso de modo mais simples,escrevemos as parcelas da adição de formaempilhada:

Note que o traço horizontal separa as parcelas doresultado. Note também que o empilhamento devedeixar os respectivos algarismo das unidadesalinhados verticalmente (um em cima do outro). O

mesmo ocorre com os algarismos das centenas,dezenas e assim por diante.



a) 427 + 511 b) 608 + 271 c) 502 + 321

d) 654 + 3 e) 550 + 45 f) 249 + 30

Agora, para cada uma, responda:

I) Quantas centenas, dezenas e unidades possui aprimeira parcela?

II) Quantas centenas, dezenas e unidades possuia segunda parcela?

III) Quantas centenas, dezenas e unidades possuio resultado?

44. Faça as contas indicadas a seguir.

a) Some três unidades ao número 625.

b) Some duas dezenas ao número 469.

c) Some três centenas ao número 357.

d) Ao número 1025, somar dois milhares, cincocentenas, quatro dezenas e três unidades.

45. Escrever o resultado das operações de soma,em unidades e dezenas, como no exemplo:



Matemática


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Exemplo:

8 unidades + 4 unidades = 12 unidades = umadezena e duas unidades.

a) 8 unidades + 5 unidades

b) 9 unidades + 6 unidadesc) 5 unidades + 7 unidades

d) 9 unidades + 9 unidades

e) 12 unidades + 5 unidades

f) 6 unidades + 6 unidades

"egra do #vai$um%

Na soma 17 + 5, quando somamos os algarismosdas unidades, obtemos o número 12 (7 + 5 = 12).Como esse número contém 1 dezena e duas

unidades, a dezena contida será somada juntocom o algarismo das dezenas. Esse procedimentoé conhecido popularmente como “vai-um”.

Esse procedimento acontece sempre que a somade dois algarismos é maior que 9.



a) 16 + 36 b) 55 + 27 c) 34 + 9

d) 77 + 18 e) 65 + 38 f) 77 + 77Agora, para cada uma, responda:

I) Quantas dezenas possui a primeira parcela? Equantas unidades?

II) Quantas dezenas possui a segunda parcela? Equantas unidades?

III) Quantas dezenas possui o resultado? Equantas unidades?

Da mesma forma, o “vai-um” acontece na soma124 + 358. Neste caso, note que 4 unidades + 8unidades = 12 unidades = 1 dezena e duasunidades.

Neste caso, transformamos 10 unidades doresultado em 1 dezena e somamos o algarismo 1na posição das dezenas, como na figura abaixo.

Sempre que alguma soma for maior do que 9,esse procedimento será executado. Na somaabaixo, 99 + 88, note que o “vai-um” aconteceduas vezes.


47. Calcule e diga quantas vezes ocorre o “vai-um”:

a) 25 + 32 b) 125 + 9 c) 1999 + 777

d) 365 + 896 e) 123 + 9 f) 123 + 90

48. Seja o número 324. Quantas unidadesdevemos somar, no mínimo, para que ocorra o“vai-um”?

49. Seja o número 324. Quantas dezenasdevemos somar, no mínimo, para que ocorra o“vai-um”?

50. Seja o número 324. Quantas centenasdevemos somar, no mínimo, para que ocorra o“vai-um”?

51. Um vendedor de coco vendeu 24 cocos nasexta-feira, 116 no sábado e 67 no domingo.Quantos cocos ele vendeu nos 3 dias?

52. Um trem do metrô está transportando 156pessoas. Na estação Sé, 45 pessoas embarcam.Quantas pessoas passam a ser transportadas pelotrem?



Matemática


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Propriedades da Soma

Propriedade comutativa: em uma soma de doiselementos, não importa a ordem das parcelas, oresultado é o mesmo. Veja os exemplos:

•

Somar 54 + 37 é o mesmo que somar 37 +54, ou seja, 54 + 37 = 37 + 54.

• 125 + 36 = 36 + 125.

Propriedade associativa: podemos fazer umasoma de três elementos em qualquer ordem, queo resultado será o mesmo. Veja os exemplos:

Na soma 5 + 6 + 7 podemos somar 5+6primeiramente (=11) e somar o resultado com 7(11+7=18) ou podemos somar 6+7 (=13) e somaro resultado com 5 (=18). Note que o resultadosempre será o mesmo (18), ou seja,

(5 + 6) + 7 = 5 + (6 + 7).Existência de elemento neutro: qualquer númerosomado com o número 0 (zero) será igual a simesmo. Por isso o zero é chamado de elementoneutro da adição. Por exemplo:

13 + 0 = 13



a) 27+4=4+27 b) 4+5+9=9+4+5

c) 8+2≠2+8 d) 6+5+4≠4+6+5e) 5+0=6 f) 5+0=5

54. Resolva a soma 65+30+117 de duas formasdiferentes (deve-se chegar ao mesmo resultado),utilizando a propriedade associativa da adição.

55. Nas sentenças a seguir, escreva a propriedadeda adição que está sendo utilizada:

a) 63+0=63 b) 654+1029=1029+654

c) (57+6)+305=57+(6+305)

d) 0+4=4+0 e) 1000+0=1000

f) (0+1)+0=0+(1+0)

56. Quais somas de números sucessivos resultamem:

a) 5 b) 9 c) 11 d) 23 e) 31 f) 1

Subtração

Representa a diferença entre duas quantidades.Considere o seguinte problema:

“Haviam 9 pessoas em uma festa. Após as dezhoras, 3 pessoas foram embora. Quantas pessoasficaram na festa?”

O número de pessoas que ficaram na festa é adiferença entre 9 e 3, ou seja.

9 – 3 = 6

Na conta de subtração, o número mais à esquerda(o 9, neste caso) é chamado de minuendo, osegundo número mais à esquerda (o 3, nestecaso) é chamado de subtraendo e o resultado dasubtração (o 6, neste caso) é chamado dediferença.

Repare que, diferentemente da adição, nãopodemos trocar a ordem dos números naoperação de subtração. Na subtração denúmeros naturais, o maior número devesempre estar mais à esquerda.


57. Qual dos problemas a seguir NÃO representaadequadamente a subtração 9 – 5 = 4?

a) Tenho 5 bombons. Quantos bombons me faltampara que eu tenha 9 bombons?

b) Na minha estante tinham 9 livros. Se euemprestei 5 livros, com quantos livros fiquei?

c) Tenho 9 pratos e ganhei mais 5. Com quantospratos fiquei?

d) Meu filho mais velho tem 9 anos enquanto omais novo tem 5 anos. De quantos anos a idadedo mais velho supera a do mais novo?

e) Uma conta de adição tem como resultado onúmero 9. Uma das parcelas é 5. Qual a outra?

Su&traç'es simples

Uma conta de subtração aonde o minuendo e osubtraendo são formados por mais de umalgarismo é resolvida abaixo.

Para resolver, fazemos da seguinte forma:

A. Subtraimos as unidades do menor dasunidades do maior.



Matemática


10

B. Subtraimos as dezenas do menor dasdezenas do maior.

C. Subtraimos as centenas do menor dascentenas do maior.

D. E assim por diante.


58. Tome o número 237.

a) Subtrair quatro unidades desse número. Qual oresultado?

b) Subtrair três dezenas do resultado do item a.Qual o resultado?

c) Subtrair uma centena do resultado do item b.Qual o resultado?

59. Faça as subtrações indicadas:

a) 456 – 123 b) 12 – 1 c) 56 – 44

d) 4568 – 2568 e) 5050 – 5050

f) 6052 – 4050 g) 999 – 979

60. Tome um número: 965.

a) Subtrair quatro unidades desse número. Qual oresultado?

b) Subtrair três dezenas do resultado do item a.Qual o resultado?

c) Subtrair cinco centenas do resultado do item b.

Qual o resultado?61. Subtraindo um número do seu sucessor, qualserá o resultado?

62. Nas somas a seguir, descubra a parcela queestá faltando:

a. 47852 + _______ = 59999

b. _____ + 265 = 769

c. 6666 + ______ = 9999

d. 666 + _______ = 9999

e. 358792 + ______ = 969792

f. 99 + ___ = 100

O #empresta$um%

Pode acontecer do algarismo das unidades dominuendo ser menor do que o algarismo dasunidades do subtraendo, como na subtração:

971 – 354

Escrevendo na forma empilhada, mostrando asposições de centenas, dezenas e unidades,temos:

Note que não temos como fazer 1 – 4. Entãoretiramos uma dezena do algarismo das dezenasdo minuendo (no caso o 7), transformamos essadezena em 10 unidades e as acrescentamos aoalgarismo 1 das unidades do minuendo. Esseprocedimento de retirar uma unidade do algarismoimediatamente à esquerda é conhecido como“empresta-um”.

Então fazemos a subtração normalmente, tendocomo resultado o número 617.


63. Calcule:

a) 374 – 128 b) 1025 – 19 c) 356 – 39

d) 528 – 444 e) 4388 – 2937

f) 4191 – 1272 g) 403 – 178

h) 400 – 109 i) 7003 – 5007

Existem subtrações aonde são realizados váriosprocedimentos de “empresta-um”, como no caso:

314 – 276

A resolução está na figura abaixo, em passos:

Então temos:

314 – 276 = 38

Atenção: Nenhuma das propriedades vistas paraa adição vale para a subtração.


64. Calcule:

a) 324 – 128 b) 1025 – 99 c) 102356 – 986565. Tome um número: 237.



Matemática


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a) Subtrair oito unidades desse número. Qual oresultado?

b) Subtrair cinco dezenas do resultado do item a.Qual o resultado?

c) Subtrair uma centena do resultado do item b.

Qual o resultado?d) em quais dos itens anteriores ocorreu oprocedimento denominado “empresta-um”?

66. Seja o número 776

a) quantas unidades devemos subtrair dessenúmero, no mínimo, para que ocorra oprocedimento do “empresta-um”?

b) quantas dezenas devemos subtrair dessenúmero, no mínimo, para que ocorra oprocedimento do “empresta-um”?

67. A subtração também pode ser usada paracomparar duas quantidades. Se um pacote de leitecusta 36 reais e um quilo de carne custa 20 reais,de quantos reais o pacote de leite é mais caro doque o quilo de carne?

68. A subtração também pode ser usada paracompletar uma quantia: Um computador custa1045 reais. Se eu tenho 645 reais, quanto dinheirome falta para comprar o computador?

69. Seja o número 623. Podemos subtrair domesmo a quantia de uma unidade, uma dezena esete centenas? Por quê?

70. De um certo número subtraímos três unidadese resultou 14. Qual era esse número?

71. De um certo número subtraímos 4 dezenas e 3unidades, resultando 52. Qual era esse número?

72. Complete as subtrações a seguir com osnúmeros que faltam:

a) 923 – ______ = 465

b) 874 – 122 = _______

c) ______ – 655 = 1233

d) 5477 – _______ = 1e) _______ – 4568 = 4569

f) _______ – 65 = 65

g) 65 – ______ = 65

h) 477 – 362 = _______

Multiplicação

Pro&lemas iniciais

Como você resolveria os problemas abaixo, seutilizando somente da soma e subtração?

A. Se o litro da gasolina custa 3 reais e umcarro abastece com 8 litros de gasolina,

quanto o motorista desse carro deverápagar?

B. Se todo dia utilizo dois ônibus para ir aotrabalho mais dois ônibus para voltar,quantos ônibus utilizo em um mês? (suporque um mês tem 20 dias de trabalho)

(eitura da multiplicação

A operação de multiplicação abaixo:

15 x 35

É lida da forma “quinze vezes trinta e cinco”. Aoutra operação abaixo:

4 x 3

É lida da forma “quatro vezes três”. E assim pordiante.

O ue ) multiplicação*

Para aprender a operação de multiplicação,devemos saber muito bem a operação de soma.A multiplicação 4 x 3 é resolvida da seguinteforma:

3 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 ê

A multiplicação 5 x 9 é resolvida da seguinte

forma:

5 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 45

As multiplicações mais simples conhecidas fazemparte de uma tábua de multiplicações, quedenominamos “tabuada”, que se encontra no fimdo capítulo para completar. Não tente decorarapenas os resultados das operações, masentender como cada operação que está lá é

realizada.


73. Calcule fazendo as várias somas:

a) 2 x 3 b) 6 x 2 c) 5 x 0

d) 2 x 4 e) 1 x 5 f) 5 x 1

g) 2 x 3 x 4 h) 2 x 3 x 1 i) 3 x 2 x 2

h) 2 x 8 x 2 i) 2 x 2 x 8 j) 7 x 5

k) 5 x 7 l) 6 x 0 m) 6 x 1

n) 1 x 6 o) 2 x 26 p) 3 x 30q) 4 x 25 r) 10 x 10



Matemática


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74. Aproveite alguns resultados do exercícioanterior e complete a tabuada que está na parteanexa do livro, como referência.

75. João resolver fazer sozinho a tabuada do 11. Atabuada do 12 é o resultado das multiplicações de

12 pelos números de 0 até 10. Veja como João fezessa tarefa:

a) 12 x 0 = 0 b) 12 x 1 = 13 c) 12 x 2 = 24

d) 12 x 3 = 36 e) 12 x 4 = 45 f) 12 x 5 = 50

g) 12 x 6 = 62 h) 12 x 7 = 84 i) 12 x 8 = 86

j) 12 x 9 = 108 k) 12 x 10 = 120

Se cada conta certa dessa tabuada vale 3 pontos,quantos pontos João vai ganhar por essa tarefa?

76. A exemplo de João, faça sozinho a tabuadados números

a) 13 b) 10 c) 100 d) 1000

+omo usar a multiplicação*

CASO 1

Utilizamos a multiplicação para resolver problemascomo os do exemplo abaixo:

“Comprei cinco caixas de chocolate. Cada caixacontém dez chocolates com diferentes recheios.Quantos chocolates comprei?”

Note que, para resolver o problema, temos que

somar 10 + 10 + 10 + 10 + 10, ou seja, somar dezcinco vezes. Essa conta corresponde àmultiplicação abaixo.

5 x 10 = 50

Esse tipo de problema nos leva a fazer umamesma soma várias vezes. Um outro problemaresolvido pela multiplicação é o do exemploabaixo:

CASO 2

“Conte quantas maçãs existem na figura abaixo,sabendo que todas as fileiras possuem igual

número de maçãs.”

Note que precisamos contar apenas o número demaçãs em cada linha horizontal (5 maçãs em umalinha horizontal) e quantas linhas horizontaisexistem (4 linhas). Depois, fazemos:

5 x 4 = 20 maçãs

O último tipo de problemas que vamos explorar éum pouco mais complicado:

CASO 3

“Roberto possui 2 tipos de camisa (azul evermelha) mais 3 tipos de calça (jeans azul, jeanspreta e social beje). De quantos modos Robertopode se vestir?”

Para cada tipo de camisa, vejam que Robertopode utilizar 3 tipos de calça, como mostra apróxima tabela:

O que significa que Roberto pode se vestir de 6formas diferentes, pois:



Matemática


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77. Dado que devemos tomar ao menos 2 litros deágua por dia, qual quantidade de água devemosingerir em uma semana?

78. Calcule quantos quadrados existem nasfiguras abaixo e diga qual a multiplicação utilizadapara fazer esse cálculo:

a)

b)

c)

d)

e)

79. Se um dólar equivale a 3 reais, quanto valemsete dólares?

80. Se 1 real vale 2 pesos bolivianos, quantopesos bolivianos valem 1 dólar, de acordo com oexercício anterior?

81. Um restaurante tem duas opções de misturapara o prato feito: carne e filé de frango. Alémdisso, existem duas opções de salada: pequena(alface e tomate) e grande (com diversoslegumes). De quantas formas pode ser montadodo prato feito de um cliente, com mistura esalada?

82. Imagine agora que o mesmo restaurantetivesse 4 opções de mistura e 3 opções de salada.De quantas formas poderia ser montado o prato?

83. Um time de futebol tem camisas de 3 tipos(branca, vermelha e listrada), meias de 3 tipos(branca, vermelha e listrada) e calções de 2 tipos(branco e vermelho). De quantas formas esse tipopode se vestir para jogar?

+omponentes da multiplicação

Os números que se multiplicam são os fatores enquanto o resultado é chamado produto.

No exemplo abaixo, os números 9 e 5 são osfatores e o número 45 é o produto.


84. Escreva todas as multiplicações de doisfatores com números naturais que você pensarcujo produto é:

a) 20 b) 10 c) 15 d) 6 e) 40 f) 45g) 4 h) 8 i) 30 j) 18 k) 17 l) 11

m) 3 n) 7



Matemática


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85. Alguns itens acima admitem várias respostas,quais são eles? E quais são os itens que admitemapenas uma resposta? Obs: esses números sãochamados de números primos, veremos maisadiante.

86. Escreva agora alguma multiplicação de trêsfatores (nenhum deles é 1) cujo produto é:

a) 20 b) 8 c) 27 d) 24

Multiplicação de um algarismo por

ualuer nmero-

Multiplicações entre um fator de um algarismo eum fator qualquer são feitas multiplicando-seprimeiramente as unidades, depois as dezenas,depois as centenas e assim por diante.

Seja o exemplo: 123 x 2:

O número 123 é formado por:

123 = 1 centena + 2 dezenas + 3 unidades

Vamos multiplicar então, cada um dos algarismosde 123 por 2:

• 3 unidades x 2 = 6 unidades;

• 2 dezenas x 2 = 4 dezenas;

• 1 centena x 2 = 2 centenas;

O resultado da multiplicação então é:

2 centenas + 4 dezenas + 6 unidades = 246

Abaixo, fazemos essa mesma multiplicação da

forma empilhada, que é a mais comum:


87. Calcule:

a) 42 x 2 b) 52 x 4 c) 89 x 1

d) 432 x 3 e) 333 x 2 f) 122 x 4

g) 1423 x 2 h) 2223 x 3

O #vai$um% da multiplicação-

Muitas vezes, ao fazer as multiplicações em cadaalgarismo, obtemos números muito maiores que 9.Seja o caso 103 x 9, por exemplo.

O número 103 é constituído por:


Multiplicando cada um dos algarismos por 9,obtemos:

• 3 unidade x 9 = 27 unidades;



O número de unidades deu muito maior que 9.Podemos então, trocar uma parte desse númeropor algumas dezenas:

• 3 unidade x 9 = 27 unidades = 2 dezenas e 7 unidades;

Vamos deixar só as unidades, depois pegar asdezenas que conseguimos e somar com o

resultado das dezenas:• Já fizemos 0 dezenas x 9 = 0 dezenas

Somando com as 2 dezenas damultiplicação anterior, 0 dezenas + 2dezenas = 2 dezenas;

E a multiplicação das centenas fica como está,pois não resultou em um número maior que 9.


Desse modo, a multiplicação resulta em:

9 centenas + 2 dezenas + 7 unidades = 927

Abaixo fazemos essa mesma multiplicação naforma empilhada. Note que, nesse caso, em vezde “vai-um”, o que acontece seria um “vai-dois”.Note também que sempre é mais fácil fazer dadireita para a esquerda, começando das unidades,depois passando para as dezenas e assim pordiante:



Matemática


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88. Calcule:

a) 209 x 4 b) 117 x 8 c) 263 x 2

d) 7061 x 6 e) 9020 x 9 f) 415 x 6

g) 1701 x 8 h) 12 x 6 i) 120 x 6

O “Vai-um” da multiplicação pode ocorrer várias

vezes em uma mesma multiplicação.Multiplicando 456 por 9, temos:

456 = 4 centenas + 5 dezenas + 6 unidades

• 6 unidades x 9 = 54 unidades;


• 4 centenas x 9 = 36 centenas;

Note que todas as multiplicações são maiores que9. Vamos resolver igualmente ao caso anterior:

• 6 unidades x 9 = 54 unidades = 5 dezenas

e 4 unidades ;• 5 dezenas x 9 = 45 dezenas;

o 45 dezenas + 5 dezenas = 50dezenas = 5 centenas e 0dezenas ;

• 4 centenas x 9 = 36 centenas;

o 36 centenas + 5 centenas = 41centenas = 4 milhares e 1centena ;

O resultado, então, é dado por:

4 milhares + 1 centena + 0 dezenas + 4 unidades= 4104

Acompanhe a multiplicação abaixo, feita na formaempilhada. Note que sempre é mais fácil começardas unidades.

Nesse caso, tivemos dois “vai-cinco” e um “vai-quatro”.


89. Calcule:a) 459 x 3 b) 855 x 2 c) 789 x 5

d) 1258 x 6 e) 45 x 2 x 3 f) 45 x 6

g) 3 x 3 x 3 x 3 h) 4 x 4 x 4

i) 5 x 5 x 5 j) 9 x 9 x 9

k) 65 x 4 l) 789 x 6 m) 125 x 5

90. Se um mês tivesse sempre 4 semanas,quantos dias teria um ano?

91. Uma classe contém 30 alunos. Uma escola

possui 7 salas de aula e mantém turmas demanhã, de tarde e de noite. Quantos alunosestudam nessa escola?

Multiplicação de ualuer nmero por

./, .// ou .///-

Para multiplicar um número por 10 então, bastaacrescentar um zero à direita do número. Veja osexemplos abaixo:

• 27 x 10 = 27 x 1 dezena = 27 dezenas =270.

• 14 x 10 = 14 x 1 dezena = 14 dezenas =140.

• 687 x 10 = 687 x 1 dezena = 687 dezenas= 6870.

Para multiplicar um número por 100 então, bastaacrescentar dois zeros à direita do número. Vejaos exemplos abaixo:

• 27 x 100 = 27 x 1 centena = 27 centenas =2700.

• 14 x 100 = 14 x 1 centena = 14 centenas =

1400.• 687 x 100 = 687 x 1 centena = 687

centenas = 68700.



Matemática


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Da mesma forma, para multiplicar um número por1000, basta acrescentar 3 zeros à direita donúmero, como no exemplo:

• 26 x 1000 = 26 x um milhar = 26 milhares= 26000


92. Calcule e dê o resultado em milhares,centenas, dezenas e unidades:

a) 3 x 10 b) 5 x 1000 c) 7 x 100

d) 45 x 10 e) 10 x 10 f) 18 x 100

g) 10 x 10 x 10 h) 100 x 100

i) 54 x 1000 j) 458 x 100 k) 7 x 7 x 100

l) 6 x 10 x 3 m) 4 x 100 x 8 n) 32 x 1000 x 2

93. Sabendo que 1 dezena = 10 unidades, informequantas unidades temos em:

a) 5 dezenas b) 9 dezenas

c) 10 dezenas d) 20 dezenas

94. Escreva os números a seguir apenas emfunção das unidades, como no exemplo:

Exemplo: 5 dezenas e 4 unidades = 54 unidades

a) 7 dezenas e 2 unidades

b) 6 dezenas e 3 unidades

c) 0 dezenas e 4 unidades

d) 12 dezenas e 12 unidades

e) 9 dezenas e 9 unidades

f) 10 dezenas e 23 unidades

95. Informe quantas dezenas equivalem a:

a) 1 centena b) 3 centenas c) 6 centenas

d) 12 centenas e) 0 centenas f) 5 centenas

96. Informe quantas unidades equivalem a:

a) 1 centena b) 3 centenas c) 6 centenas

d) 12 centenas e) 0 centenas f) 5 centenas

Multiplicação de nmeros uaisuer

Para multiplicar 1124 por 628, observemos que onúmero 628 é formado por:


E então multiplicamos 1124 por cada algarismo de628:

1124 x 8 unidades = 8992 unidades;

1124 x 2 dezenas = 2248 dezenas = 22480;

1124 x 6 centenas = 6744 centenas = 674400;

E depois somamos os resultados:

8992 + 22480 + 674400 = 705872

Que é o resultado. Abaixo, a mesma conta feita deforma empilhada:


97. Calcule:

a) 65 x 41 b) 789 x 62 c) 125 x 53d) 456 x 789 e) 25 x 25 f) 200 x 200

g) 123 x 456 h) 254 x 56 i) 999 x 99

98. Determine:

a) O número formado por 2 unidades, 9 dezenas e4 centenas.

b) O número que possui 12 unidades, 14 dezenase 7 centenas.

c) O número que possui 10 unidades, 9 dezenas e11 centenas.

d) O número que possui 9 unidades, 13 dezenas e2 centenas.

e) O número que possui 1 unidades, 12 dezenas e5 centenas.

f) O número que possui 19 unidades, 15 dezenase 20 centenas.

g) O número que possui 3 unidades, 101 dezenase 14 centenas.

99. Resolva os problemas abaixo, indicando ascontas envolvidas:

a) Ao comprar 6 dúzias de maçãs, quantas maçãsterei?



Matemática


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b) Ao comprar 7 caixas de ovos, quantos ovoscomprarei? (Cada caixa contém 12 ovos).

c) Se na segunda tenho 15 reais e ganho 7 reais acada dia, quanto terei no sábado?

d) Se tenho 100 reais na segunda e a cada dia

perco 21 reais, quanto terei na quinta?

Propriedades da Multiplicação

As propriedades da multiplicação são:

Comutativa: A ordem dos fatores não altera oproduto. Por exemplo, tanto faz multiplicar 38× ou 83× que o resultado é o mesmo (24), ou seja:

3883 ×=×

Associativa: uma multiplicação de 3 fatores podeser realizada em qualquer ordem. Por exemplo,

para multiplicar 245 ×× podemos multiplicar o 5e o 4 (=20) e multiplicar o resultado por 2 (=40) oumultiplicar o 4 pelo 2 (=8) e multiplicar o resultadopor 5(=40), ou seja,

(5 x 4) x 2 = 5 x (4 x 2)

Elemento Neutro: qualquer número multiplicadopelo número 1 é igual a ele mesmo.

Por exemplo:

1 x 21 = 21

Por isso, o número 1 é chamado elemento neutro

da multiplicação.Elemento Nulo: qualquer número multiplicado porzero é igual a zero. Por isso, o número 0 échamado elemento nulo da multiplicação.

Distributiva: a multiplicação de um número poruma soma é igual a soma dos produtos destenúmero por cada uma das parcelas. Por exemplo:

2 x (3 + 4) = 2 x 3 + 2 x 4

Devemos resolver então, primeiro asmultiplicações e depois a soma:

2 x 3 + 2 x 4 = 6 + 8 = 14EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

100. Nas sentenças a seguir, informe qualpropriedade da multiplicação é utilizada:

a) 12 x 69 = 69 x 12 b) 789 x 1 = 789

c) 12 x 0 = 0 d) (12 x 65) x 4 = 12 x (65 x 4)

e) 1 x 0 = 0 f) 1 x 0 = 0 x 1

g) 3 x (5 + 8) = 3 x 5 + 3 x 8

101. Calcule a multiplicação 4 x 5 x 6 de duas

formas, (chegando no mesmo resultado),utilizando a propriedade associativa damultiplicação.

102. Calcule, utilizando a propriedade distributiva:

a) 4 x (5 + 2) b) 6 x (9 – 2) c) 7 x (9 – 3)

d) 10 x (5 – 3) e) 8 x (10 – 2)f) 7 x (14 – 7)

103. Qual o resultado da multiplicação dos

algarismos do número 985603584?

Divisão

A divisão significa repartir um número em partesiguais. No problema a seguir:

“28 pacotes de arroz precisam ser distribuídosentre 7 famílias. Quantos pacotes de arroz cadafamília deve receber?”

Devemos repartir 28 pacotes de arroz em 7 partes

iguais, ou seja, devemos fazer 28÷7. Nessa

divisão, o número mais à esquerda é chamado dedividendo. O número mais à direita é o divisor e oresultado será o quociente.

0ivis'es Simples

As divisões simples podem ser feitas com oconhecimento da tabuada. Para dividir 28 por 7,devemos nos perguntar:

“Qual o número que multiplicado por 7 é igual a28?”

A resposta é 4 (quatro). Portanto, temos que 28dividido por 7 é igual a 4.

28÷7=4

Dividindo 28 pacotes de arroz igualmente entre 7famílias, temos então que cada família deveráreceber 4 pacotes de arroz.

Da mesma forma, para dividir 56 por 8, ou seja:

56÷8

Devemos fazer a seguinte pergunta: “Qual onúmero que, multiplicado por 8 é igual a 56? ”. Aresposta é 7, portanto, temos que o resultado dadivisão é 7.

56÷8=7

Dividindo 56 reais entre 7 pessoas igualmente,temos então que cada pessoa deverá receber 8reais.

Na divisão exata, o dividendo vezes o divisor

sempre é igual ao quociente. Observe que:

Dividendo ÷ Divisor = Quociente



Matemática


18

e que

Dividendo = Divisor x Quociente


104. Calcule:

a) 24÷3 b) 81÷9 c) 36÷9

d) 14÷2 e) 42÷7 f) 50÷10

g) 72÷8 h) 72÷9 i) 56÷8

j) 36÷12 k) 66÷11 l) 46÷23

m) 45÷15 n) 80÷20 o) 900÷100

p) 100÷10 q) 90÷30 r) 360÷60

105. 49 dias equivalem a quantas semanas?

106. Um século equivale a quantas décadas?

107. Para uma encontro foram comprados 18 litros

de refrigerante em garrafas de 2 litros. Quantas

garrafas foram compradas?

108. Uma parte do livro de matemática foi

manchada com tinta. Essa parte era justo ocapítulo sobre divisão que continha várias contas

feitas, todas corretas. Ao tentar reconstituir essa

parte do livro, um professor obteve as contas

abaixo. Complete elas com os números que

faltam.

a) ██ x 3 = 27 b) ██ ÷ 3 = 9

c) 9 ÷ ██ = 3 d) 16 ÷ ██ = 2

e) 20 ÷ 4 = ██ f) 24 ÷ 6 = ██

g) ██ ÷ 3 = 10, pois 10 x 3 = ██

h) ██ ÷ 4 = ██, pois 7 x 4 = ██

i) ██ ÷ ██ = 9, pois 4 x ██ = ██

j) 60 ÷ ██ = 6 k) 60 ÷ 10 = ██

l) ██ ÷ 8 = 4 m) 64 ÷ ██ = 8

0ivis'es com "esto

Algumas divisões não são tão simples. Imagineque queremos dividir 7 pacotes de feijão entre 3pessoas. A conta a ser feita é:

7÷3Neste caso, vemos que não existe um númeroque, multiplicado por 3 tem 7 como resultado. Nãodá para dividir igualmente 7 pacotes de feijãoentre 3 pessoas, sem abrir nenhum pacote.

Porém sabemos que podemos dar 2 pacotes defeijão para cada uma das 3 pessoas, sendo quevai sobrar 1 pacote para ser distribuído. Assim,temos que:

7÷3 = 2, com resto 1

Resto é um número que não tem como entrar na

divisão. Nesse caso, o resto é 1 e o quociente é 2.No caso 11÷3 (onze sacos de feijão divididos por 3pessoas), temos que cada pessoa receberá 3sacos de feijão e que sobrarão 2 sacos paraserem distribuídos. Logo,

11÷3 = 3, com resto 2


109. Calcule, dizendo qual é o resto:

a) 5÷2 b) 9÷4 c) 20÷4

d) 39÷6 e) 51÷9 f) 89÷9

g) 0÷2 h) 1÷3 i) 4÷6

j) 43÷5 k) 45÷7 l) 54÷6

m) 47÷10 n) 58÷6 o) 71÷8

p) 7÷7 q) 1÷10 r) 5÷0

110. 53 dias equivalem a quantas semanas

completas? Quantos dias sobram?

111. O mês de janeiro tem quantas semanas?

Quantos dias sobram?

112. Se cada mini-pacote de bolachas contém 9

bolachas, quantos pacotes eu posso formar com

67 bolachas? Quantas bolachas sobram?

113. Divida os números de 0 até 9 por 3, depois

diga se as frases a seguir são verdadeiras ou

falsas:



Matemática


19

a) os restos das divisões, se multiplicados,

resultam em zero.

b) os restos das divisões, se somados, resultam

em 3.

c) os restos das divisões são, respectivamente: 0,

0, 1, 1, 2, 2, 3, 3 ,3, 3.

d) nenhum resto pode ser maior que 1.

e) nenhum resto pode ser maior que 2.

f) os restos das divisões são, respectivamente: 0,

1, 2, 0, 1, 2, 0, 1 ,2, 0.

g) Se eu dividir os números de 9 a 19 por três, vou

obter diferentes restos.

h) Se eu continuar dividindo os números por 3, a

partir do 10, os restos vão obedecer sempre a

mesma sequência: 0, 1, 2, 0, 1, 2 ...

1uociente de ualuer divisão

Quando temos uma divisão do tipo:

7÷3Aonde não existe um número que, multiplicado por3 resulta em 7, o quociente é o número que,multiplicado por 3 tem como resultado o númeromais próximo de 7, sendo também menor que 7.

Nesse caso, já sabemos que esse número é 2.Multiplicando este número por 3, temos 6, que é omais próximo menor que 7.

O resto é dado pela diferença entre 7 e o númeromais próximo obtido. Neste caso, o resto é 7 – 6 =1. Logo,

7÷3 = 2, com resto 1 como já vimosNote também que da mesma forma que:

Divisor ÷ Dividendo = Quociente

Então:

Quociente x Divisor + resto = Dividendo.

O resto, por não entrar na divisão, deve sempreser menor do que o divisor.


114. Uma parte do livro de matemática foi

manchada com tinta. Essa parte era justo o

capítulo sobre divisão que continha várias contas

feitas, todas corretas. Ao tentar reconstituir essa

parte do livro, um professor obteve as contas

abaixo. Complete elas com os números que

faltam. O resto de cada conta está entreparênteses:

a) ██ ÷ 3 = 9 (2) b) ██ ÷ 4 = 4 (2)

c) 10 ÷ ██ = 3 (1) d) 17 ÷ ██ = 2 (1)

e) 20 ÷ 6 = ██ ( ██ ) f) 27 ÷ 7 = ██ ( ██ )

g) ██ ÷ 3 = 10 (1) , pois 10 x 3 + 1 = ██

h) ██ ÷ 4 = ██ (2), pois 5 x 4 + 2 = ██

i) ██ ÷ ██ = 8 ( 2 ), pois 4 x ██ + ██ = ██

j) 60 ÷ ██ = 7 ( 4 ) k) 60 ÷ 7 = ██ ( 4 )

l) ██ ÷ 8 = 4 ( 3 ) m) 64 ÷ ██ = 10 (4)

115. Qual é o resultado da divisão 1024÷16 dentre

as alternativas abaixo?

a) 35 b) 24 c) 64 d) 72 e) 58

116. Qual é o quociente da divisão 1029÷16dentre as alternativas abaixo?

a) 35 b) 24 c) 58 d) 72 e) 64

117. Qual é o resto da divisão 1029÷16?

118. Quando dividimos por 4, qual o maior resto

que podemos obter?

119. Quando dividimos por 9, qual o maior resto

que podemos obter?120. Quando dividimos por 15, qual o maior resto

que podemos obter?

121. Quando dividimos por 1145, qual o maior

resto que podemos obter?

0ivis'es Atrav)s da +have

A chave facilita o processo de divisão,principalmente quando existe resto. Vejamos o

exemplo 7 ÷ 3. Essa divisão através da chave ficada seguinte forma.



Matemática


20

Sabemos que 3 x 2 = 6, que é o número maispróximo de 7 na tabuada do 3, então coloca-se o 2abaixo da chave alinhado verticalmente com o

número 3, como mostra a figura abaixo:

Abaixo do 7 colocamos o produto entre oquociente encontrado e o divisor. A subtraçãoentre o dividendo e este produto encontrado

resulta no resto.


122. Mostre como fica o cálculo na chave,indicando o resto:

a) 9÷2 b) 91÷9 c) 34÷4

d) 19÷2 e) 56÷7 f) 86÷10

g) 55÷6 h) 59÷9 i) 66÷8

123. Qual é o resultado da divisão 112330÷478dentre as alternativas abaixo?

a) 235 b) 424 c) 158 d) 272 e) 864

124. Baseado no exercício anterior, sem fazer

contas, qual é o resto da divisão 112333÷478?

Exemplo .2

Considere o seguinte problema:

“Em um evento compareceram 64 pessoas, quedevem ser distribuídas em dois salões iguais.Quantas pessoas deverão estar em cada um dossalões?”

Note que a conta que deve ser feita para distribuir64 pessoas em dois salões é:

!4 " 2

O número 64 é formado por:

64 = 6 dezenas e 4 unidades;

Dividimos então por 2 cada algarismo dessenúmero:

• 6 dezenas ÷ 2 = 3 dezenas

• 4 unidades ÷ 2 = 2 unidades

O resultado então será:

3 dezenas + 2 unidades = 32;

O modo de fazer a conta na chave está descritoabaixo:

Primeiramente dividimos o algarismo mais aesquerda do dividendo por 2. O resultado é escritoabaixo do divisor.

Em seguida, calculamos o resto dessa primeiradivisão:

Logo depois, passamos as 4 unidades para baixoantes de dividi-las por 2:

Então, dividimos as 4 unidades por 2:



Matemática


21

E calculamos também o resto dessa últimadivisão, obtendo o resultado final:

Ou seja, 64 ÷ 2 = 32.

Note que começamos sempre dividindo oalgarismo mais importante do dividendo, que seencontra mais à esquerda.


125. Calcule baseado no exemplo anterior:

a) 24÷2 b) 48÷4 c) 96÷3

d) 88÷4 e) 44÷2 f) 44÷4

g) 99÷9 h) 63÷3 i) 86÷2

Exemplo 32

Seja agora a divisão 49 ÷ 2. O número 49 é

formado por:

49 = 4 dezenas e 9 unidades

• Dividindo 4 dezenas por 2, resultam 2

dezenas;

• Dividindo 9 unidades por 2 resultam 4unidades, com resto 1

Logo o resultado da divisão será:

2 dezenas + 4 unidades, com resto 1 unidade

Ou seja,

49 ÷ 2 = 24, com resto 1

A conta através da chave é feita da mesma formaque no exemplo onde mostramos que 64 ÷ 2 = 32.


126. Faça a divisão 49 ÷ 2 na chave. Compare

com a divisão 48 ÷ 2.

127. Calcule baseado no exemplo anterior. Sehouver resto, indique qual é o resto:

a) 65 ÷ 2 b) 47 ÷ 4 c) 89 ÷ 8

d) 69÷6 e) 25÷2 f) 79÷7

g) 87÷4 h) 98÷9 i) 89÷2

128. Escreva os dez menores números que

podemos dividir por 4 sem deixar resto (múltiplos

de 4).


podemos dividir por 7, sem deixar resto (múltiplosde 7).

130. Escreva o menor número que pode ser

dividido tanto por 4 quanto por 7, sem deixar resto.


podemos dividir por 6, sem deixar resto (múltiplos

de 6).


dividido tanto por 6 quanto por 4 sem deixar resto.




podemos dividir por 5 sem deixar resto (múltiplos

de 5).





Matemática


22

Exemplo 42

Seja agora a divisão 52 ÷ 2. O número 52 é

formado por:

52 = 5 dezenas + 2 unidades • Dividindo 5 dezenas por 2, resultam 2

dezenas, com resto 1 dezena = 10unidades.

Essas 10 unidades são somadas às 2 unidadesque ainda falta dividir por dois. Então sobraram 12unidades para dividir por 2.

• Dividindo 12 unidades por 2 resultam 6unidades.

O resultado da divisão então será:2 dezenas + 6 unidades = 26

A divisão feita através da chave vai abaixo:



a) 72 ÷ 2 b) 45÷3 c) 36÷2

d) 95÷3 e) 79÷4 f) 96÷4

g) 99÷8 h) 81÷3 i) 64÷4

j) 60÷5 k) 95÷7 l) 98÷6

Exemplo 52

Seja agora a divisão 124 ÷ 2. O número 124consiste de:


Repare que não conseguiremos dividir 1 centenapor 2. Devemos então interpretar o número 124 deoutro modo.

124 = 12 dezenas + 4 unidades

Agora é só dividir cada um desses componentespor 2:

• 12 dezenas ÷ 2 = 6 dezenas

• 4 unidades ÷ 2 = 2 unidades

O resultado da divisão então, será:

6 dezenas + 2 unidades = 62

A divisão completa na chave é mostrada abaixo

:



a) 366 ÷ 6 b) 568 ÷ 8 c) 1538 ÷ 3

d) 166 ÷ 4 e) 244 ÷ 7 f) 149 ÷ 2

g) 1285 ÷ 2 h) 816 ÷ 9 i) 1003 ÷ 3

138. Corrigir o texto abaixo, completando os

espaços com um ██ com os números ou as

palavras que faltam:

“Vamos agora, dividir 125 por 2. Já sabemos que

o número 125 pode ser dado por ██ dezenas +

██ unidades.

• ██ dezenas ÷ 2 = ██ dezenas, com resto ██ • ██ unidades ÷ 2 = ██ unidades, com resto ██



Matemática


23

Logo, o resultado da divisão será: ██ dezenas +

██ unidades, com resto ██.

125 ÷ 2 = ██ , com resto ██

A divisão correspondente na chave é mostradaabaixo. Observe que, assim como 125 ÷ 2 = ██ ,

com resto ██ então

125 = ██ x 2 + ██

139. Por quais números podemos dividir 9, semdeixar resto? (divisores de 9)




Exemplo 62

Seja a divisão, 386 ÷ 4. O número 386 é compostopor:


Dado que não podemos dividir 3 centenas por 4,vamos mudar a decomposição do número 384.

384 = 38 dezenas + 4 unidades

Nesse caso:

• 38 dezenas ÷ 4 = 9 dezenas com resto 2dezenas

O resto da primeira divisão é de 2 dezena = 20

unidades. Somamos então esse resto com as 6unidades que faltam ser divididas:

6 unidades + resto de 2 dezenas = 26 unidades

• 26 unidades ÷ 4 = 6 unidades , com resto 2

O quociente então é dado por:

9 dezenas + 6 unidades, com resto 2 = 96, comresto 2.

A divisão na chave é mostrada após os exercícios:


143. Calcular, indicando quando há resto:

a) 124÷2 b) 255÷4 c) 358÷8

d) 777÷5 e) 3654÷9 f) 6950÷7

g) 1852÷6 h) 9652÷10 i) 5555÷3 j) 124÷12 k) 420÷20 l) 1320÷60

m) 195÷13 n) 225÷15 o) 196÷14

144. Se um número tiver o algarismo 0 como oúltimo a direita e for dividido por 10, o resultado éesse mesmo número sem esse algarismo 0 àdireita. Essa afirmação é verdadeira ou falsa?

145. Quais dos números a seguir podem serdivididos por 10 para exemplificar a afirmação

anterior?a) 202 b) 40 c) 300

d) 45 e) 360 f) 07

146. Tome os números respondidos na questãoanterior e escreva o resultado de suas divisões por10.

Exemplo 72

Como último caso, vamos fazer a divisão 6006 ÷ 2:

6006 = 6 milhares + 0 centenas + 0 dezenas + 6unidades

Assim:



Matemática


24

6 milhares ÷ 2 = 3 milhares

0 centenas ÷ 2 = 0 centenas

0 dezenas ÷ 2 = 0 dezenas

6 unidades ÷ 2 = 3 unidades

O que nos dá o seguinte quociente:

3 milhares + 3 unidades = 3003

A divisão através da chave é mostrada abaixo.

Atenção:Nenhuma das propriedades vistas para aadição e multiplicação vale para a divisão.


147. Calcular, indicando quando há resto:

a) 1002÷3 b) 20604÷2 c) 180081÷9

d) 450005÷5 e) 300300÷6 f) 4002÷4

g) 80015÷7 h) 12036÷12 i) 48480÷6

j) 4623÷23 k) 1133÷11 l) 10010÷10

Uma propriedade essencial da divisão é que, semultiplicarmos o dividendo e o divisor pelo mesmonúmero, o quociente da divisão permanece omesmo . Veja o exemplo abaixo:

• Sabemos que 8 dividido por 2 é igual a 4.

• Então, temos que 83

dividido por 23

também será igual a 4!

Obs: Note que

• 8 * 3 = 24

• 2 * 3 = 6

• 24÷6 = 4

Da mesma forma, note que 8 * 5 divido por 2 * 5 também será igual a 4! (8 * 5 = 40 e 2 * 5 = 10)


148. Calcule, fazendo primeiro as multiplicações e

depois descobrindo o resultado de cabeça, sem

precisar fazer as divisões no papel:

a) 6 * 2 ÷ 32

b) 6 * 3 ÷ 33

c) 6 * 4 ÷ 34

d) 6 * 5 ÷ 35

e) 6 * 6 ÷ 36

f) 6 * 10 ÷ 310

g) 6 * 9 ÷ 38

h) 6 * 7 ÷ 37

149. Algum dos itens da questão anterior teveresultado diferente do esperado? Porquê?150. Quais divisões a seguir têm o mesmo

resultado de 21÷7?

a) 42÷4 b) 44÷11 c) 63÷21

d) 100÷35 e) 210÷70 f) 105÷35

151. Um certo número, dividido por 12 dá o

mesmo resultado da divisão de 27 ÷ 3. Qual éesse número?

Assim como é feito com a multiplicação, seconseguirmos dividir o dividendo e o divisor pelomesmo número, o quociente da divisãopermanece o mesmo . Veja o exemplo abaixo:

Sabemos que 72 dividido por 9 é igual a 8.

Então 72 ÷ 3 dividido por 9 ÷ 3 também será iguala 8!

(72 ÷ 3 = 24; 9 ÷ 3 = 3; 24 ÷ 3 = 8)

Imagine que deve-se calcular 810 ÷ 90.

Se você dividir esses dois números por um mesmonúmero, o resultado da divisão permanece. Entãopodemos dividir 810 e 90 por 10.

• 810 ÷ 10 = 81

• 90 ÷ 10 = 9

Sabemos que 810 dividido por 90 é igual a 810 ÷10 dividido por 90 ÷ 10. Então:

810 ÷ 90 = 81 ÷ 9 = 9


152. Calcule:a) 210 ÷ 10 b) 360 ÷ 60 c) 4800 ÷ 80

d) 400 ÷ 20 e) 1200 ÷ 30 f) 8100 ÷ 270

g) 72000 ÷ 90 h) 640000 ÷ 8000

i) 180000 ÷ 12000 j) 2400 ÷ 60

k) 575000 ÷ 25000 l) 350520 ÷ 1380

m) 6400 ÷ 1600 n) 102400 ÷ 1600

153. Calcular:

a) 66÷6 b) 225÷15 c) 1024÷2d) 81÷3 e) 196÷7 f) 64÷8



Matemática


25

154. Tenho 900 laranjas e gostaria de distribuí-lasigualmente em 30 caixas. Quantas laranjas serãocolocadas em cada caixa?

155. Quantas dúzias de maçãs são 60 maçãs?

156. Uma resma de papel equivale a 500 folhas.

Quantas resmas de papel temos em 75000folhas?

157. Informe quantas centenas equivalem a:

a) 100 unidades b) 300 unidades

c) 700 unidades d) 800 unidades

e) 1100 unidades f) 1700 unidades

g) 3000 unidades h) 10000 unidades

i) 10 dezenas j) 20 dezenas

k) 50 dezenas l) 90 dezenas

m) 100 dezenas n) 200 dezenas

o) 500 dezenas

(Obs: 1 centena = 100 unidades = 10 dezenas)

158. Informe quantas dezenas existem em:

a) 3 centenas e 20 unidades

b) 5 centenas e 60 unidades

c) 8 centenas e 60 unidades

d) 12 centenas e 120 unidades

e) 23 centenas e 30 unidadesf) 9 centenas e 30 unidades

159. Sabendo que um milhar vale 1000 unidades,responda:

a) Quantas dezenas equivalem a um milhar?

b) Quantas centenas equivalem a um milhar?

160. Uma dezena de milhar vale dez mil unidades.Uma centena de milhar vale cem mil unidades.Sabendo disso, responda:

a) Qual é o número formado somente por uma

dezena de milhar e por duas unidades?b) Quantas dezenas cabem em uma dezena demilhar?

c) Quantas dezenas de milhares cabem em umacentena de milhar?

d) Quantas centenas cabem em uma dezena demilhar?

161. Escreva, em cada ítem, qual é o número queé constituído por:

a) Dois milhares, duas dezenas e 5 unidades.

b) Três centenas e quatro unidades.

c) Uma dezena de milhar, quatro milhares, trêscentenas, cinco dezenas e duas unidades.

d) Duas unidades, duas dezenas e duas centenas.

e) Quarenta e cinco dezenas e quatro unidades.

f) Uma centena de milhar.g) 23 centenas, 45 dezenas e 12 unidades

h) 12 dezenas e 20 unidades

i) 44 milhares e 27 centenas

Expressões Numéricas

Expressões numéricas são sequências deoperações básicas entre dois ou mais números.Um exemplo de expressão numérica é:

6 + 7 x 5 – 2

Para resolver as expressões numéricas é precisoseguir uma ordem de prioridade no momento deefetuar os cálculos.

Ordem das operaç'es

Quanto às operações deve-se seguir a seguinteordem de cálculo:

I - Primeiro são efetuadas as multiplicações e asdivisões. Se houver uma multiplicação e umadivisão para serem resolvidas, fazemos primeiro aoperação que estiver mais à esquerda.

II - São efetuadas as adições e as subtrações. Sehouver uma adição e uma subtração para seremresolvidas, fazemos primeiro a operação queestiver mais à esquerda.

Por exemplo:

473 ×+

Na expressão acima, o número 7 está ligado pelasoma ao número 3 e pela multiplicação ao número

4. Assim, ao resolvê-la devemos efetuar primeiro aoperação com maior prioridade.

Segundo a regra de prioridade quanto àsoperações, sabemos que a multiplicação temprioridade (regra I). Portanto, devemos efetuarprimeiro a multiplicação 7x4.

283473 +=×+

Resolvida a multiplicação, podemos efetuar asoma entre 3 e 28 e obter o resultado final:

31283473 =+=×+

Costuma-se, para organizar melhor o raciocício,escrever as etapas de resolução uma em cima daoutra, como na demonstração abaixo:



Matemática


26

31

283

473

+

×+

Note que se fizéssemos a soma primeiro,

chegaríamos a um resultado diferente:

40

410

473

×

×+

Esse último resultado é considerado incorreto,pois contraria a regra de prioridade adotada naresolução das expressões numéricas.


162. Calcule o valor das expressões abaixo

a) 76 – 4 x 15 + 21÷7

b) 20 + 56 ÷ 4 – 4 x 6

c) 270 – 3 x 9 x 5 + 21÷7

d) 38 – 480 ÷ 12 ÷ 8 – 13

e) 108 – 176 ÷ 16 x 8 – 13

f) 48 + 10 x 23 ÷ 5 – 46

g) 3 x 2 – 4 ÷ 2 + 1

h) 2055 x 3 ÷ 3 – 2000 x 4 ÷ 4i) 9 x 4 – 9 x 3

j) 912 ÷ 24 + 4 x 9 – 7 x 10

k) 100 ÷ 10 + 9 x 10 – 144 ÷ 3 ÷ 4

l) 3 x 3 + 4 x 4 – 5 x 5

m) 99 ÷ 33 – 99 ÷ 11 ÷ 3

n) 76 x 4 x 5 – 76 x 20

o) 49 x 5 – 49 x 10 ÷ 2

163. Diga se as igualdades abaixo são

verdadeiras ou falsas:

a) 4 x 7 + 4 x 2 = 4 x 9

b) 12 x 2 x 3 = 12 x 6

c) 12 x 0 + 1 = 12

d) 6 x 6 + 8 x 8 = 10 x 10

e) 12 ÷ 12 – 1 = 11

Ordem dos sinais de pontuação

Se compararmos a linguagem matemática com alíngua portuguesa escrita, perceberemos que asexpressões numéricas são espécies de frasesmatemáticas.

Assim como as frases precisam dos sinais depontuação para evitar ambiguidades e confusõesna leitura, nas expressões numéricas maiorestambém são utilizados sinais de pontuação paraindicar a sequência de resolução.

Os sinais de pontuação usados nas expressõesnuméricas são: os parênteses (), os colchetes [] eas chaves {}.

Existe uma ordem prioritária para os sinais depontuação.

I - Primeiro são efetuadas as operações queestiverem dentro dos parênteses ( );

II - Depois, são efetuadas as operações queestiverem dentro dos colchetes [ ];

III - Por último, são efetuadas as operações queestiverem dentro das chaves { };

Exemplo:

)47(3 +×

A operação de soma contida pelos parênteses temprioridade sobre a multiplicação e por isso deveser efetuada primeiramente como mostradoabaixo:

33

113

)47(3

×

+×

Vamos pensar no outro exemplo:

1)]067(56[5 ÷×−÷×

Resolvemos este caso fazendo as operações naseguinte ordem:

1) Resolver primeiro as operações dentro doparênteses, ou seja, 7 – 6 x 0 (lembre-seque, entre essas duas operações, amultiplicação tem prioridade).

7 – 6 x 0 = 7 – 0 = 7

2) Resolver as operações (divisão, no caso)dentro dos colchetes.



Matemática


27

3) Resolver as operações restantes, com aprioridade adequada.

Assim, a resolução fica:

40

140

185

1]756[5

1)]07(56[51)]067(56[5

=

=÷=

=÷×=

=÷÷×=

=÷−÷×=

=÷×−÷×

O resultado é, então, 41. Veja que naantepenúltima linha, resolvemos a multiplicaçãoantes da divisão, pois ela estava mais à esquerda.

Além de resolver as operações na ordem correta,é fundamental ser sistemático e organizado nahora de registrar o raciocínio no papel, de modo afacilitar a correção e o aprendizado da resoluçãopor qualquer pessoa. Algumas boas dicas são:

1) Procure resolver somente uma operação porlinha (pode-se resolver mais operações à medidaem que for adquirindo mais facilidade).

2) Se for resolver mais de uma operação por linha,assegure-se que a segunda operação não

dependa do resultado da primeira.3) Lembre-se sempre de copiar os números e ossinais que não forem utilizados em nenhumaoperação de uma linha para outra. Erros na cópiade um simples sinal podem prejudicar o resultadode uma expressão inteira.

A resolução de expressões numéricas exige duasqualidades fundamentais para se ter sucesso emmatemática: PACIÊNCIA e CONCENTRAÇÃO.Procure fazer os exercícios sem pressa, poispoucos exercícios resolvidos corretamente valemmais do que muitos exercícios resolvidos

erroneamente.Se os resultados não baterem com os resultadosdo gabarito, confira as contas realizadas comatenção. Por isso é importante organizar oscálculos na folha de papel. Lembre-se que corrigiros próprios erros é uma etapa importante doaprendizado.

Caso não tenha sucesso na correção, um amigoou o professor podem ajudar, mas para isso (ébom repetir) é importante que os cálculos estejamregistrados organizadamente no papel.

Exemplo:{ 2 . 5 – 9 : 3 + [ 2 + 5 . 2 ] } + (2 + 2 . 3) =

= { 2.5 – 9 : 3 + [ 2 + 10 ] } + (2 + 2 . 3) =

= { 2.5 – 9 : 3 + 12 } + (2 + 2 . 3) =

= { 10 – 9 : 3 + 12 } + (2 + 2 . 3) =

= { 10 – 3 + 12 } + (2 + 2 . 3) =

= { 7 + 12 } + (2 + 2 . 3) =

= 19 + (2 + 2 . 3) == + 19 + (2 + 6) =

= 19 + 8 =

= 27


164. Calcule o valor das expressões abaixo

a) [18 + 6 x (12 – 8)] ÷ 3 – 7

b) [3 + 14 x (17 x 6 – 81)] ÷ 9 – 18

c) 11 x[56 ÷ (125 ÷ 5 – 18)] – 34

d) 9 x [672 ÷ (144 ÷ 6 + 8 x 9)]

e) (8 + 3) x (8 – 3) + 8 x 8 – 3 x 3

f) 3 x {(105 – 65) ÷ [4 x (1 + 2 x 2)]}

165. Relacione com os sinais >, < ou =:

a) 4 + 5 x 2 (4 + 5) x 2

b) 4 + 5 x 2 4 + (5 x 2)

c) (4 + 2) + 8 4 + (2 + 8)

d) (2 x 6) x 7 2 x (6 x 7)

e) (12 + 24) – 3 12 + (24 – 3)

f) 9 x (8 ÷ 4) (9 x 8) ÷ 4

Potenciação

A potenciação acontece quando temos muitasmultiplicações de um mesmo número. Veja oproblema abaixo:

João faz compras para um pequeno restaurante.Em cada um dos 7 dias da semana, ele compra 7sacos de pão. Cada um dos sacos contém 7 pães.Quantos pães João compra por semana para seurestaurante?

Note que o resultado desse problema é oresultado da conta:

7×7×7

Pois são iguais os dias da semana, o número desacos de pão e o número de pães em cada saco.Observe como escreveremos a multiplicaçãoacima:



Matemática


28

7×7×7 = 73

O número de tamanho maior indica qual é onúmero que está sendo multiplicado por elemesmo. O número de tamanho menor e maisacima indica quantas vezes essa multiplicaçãoocorre. Essa forma de representar váriasmultiplicações é chamada de potenciação.Podemos ler a potenciação 73 da seguinte forma:“sete elevado à terceira potência”.

Da mesma forma, podemos escrever:

62 = 6 × 6 (seis elevado à segunda potência)

43 = 4 × 4 × 4 (quatro elevado a terceira potência)

85 = 8 × 8 × 8 × 8 × 8 (oito elevado à quintapotência)

Os números na potenciação tem as seguintesdenominações:

A base indica qual número será multiplicado e oexpoente indica quantas vezes essa multiplicaçãoé feita, repare acima que 62 = 6 × 6 = 36.

Quando o expoente é 2, como no caso 62,podemos ler “seis elevado ao quadrado” ao invésde “seis elevado à segunda potência. Da mesmaforma, se o expoente for 3, como no caso 73,

podemos ler “sete elevado ao cubo” ao invés de“sete elevado à terceira potência”.


166. Calcular

a) 72 b) 25 c) 33 d) 112 e) 43 f) 27

g) 34 h) 28 i) 93 j) 113 k) 114 l) 71

167. Observe o exemplo abaixo e complete atabela:

Base Expoente Resultado3 4 3 4 3 x 3 x 3 x 3 = 81

2 8

9 3

11 3

1 9

7 1

2 8

7 3

6 4

3 5

Potência

168. Diga se as frases a seguir são verdadeiras oufalsas:

a) Na potenciação 156, a base é 6.

b) A expressão 102 × 173 pode ser lida como “Dezsobre dois vezes dezessete sobre três.”

c) As potenciações 123 e 125 possuem a mesma

base.d) As potenciações 123 e 125 possuem o mesmoexpoente.

e) A expressão 102 × 173 pode ser lida como “Dezelevado à dois vezes dezessete elevado aoquadrado.”

f) 23 = 2 + 2 + 2

g) (23)2 = 64

h) A expressão 102 × 173 pode ser lida como “Dezvezes dois vezes dezessete vezes três.”

i) A expressão 102 × 173 pode ser lida como “Dezelevado à dois vezes dezessete elevado ao cubo.”

169. Calcule as potenciações descritas abaixo:

a) Cinco elevado ao cubo.

b) Base sete, expoente dois.

c) Expoente quatro, base cinco.

d) Dois elevado à quarta.

e) Base nove, expoente três.

Raiz quadrada

Escrevemos a operação de raiz quadrada de umnúmero utilizando o radical “√”, com o número doqual se quer saber a raiz quadrada abaixo doradical. Exemplos:

# 4: raiz quadrada de quatro.

# 9: raiz quadrada de nove.

# 1!: raiz quadrada de dezesseis.

A raiz quadrada é a operação inversa dapotenciação ao quadrado. Para resolver oexemplo # 4 e calcular a raiz quadrada de quatro,devemos fazer pensar:

“Qual número elevado ao quadrado é igual aquatro?”

A resposta correta é 2, porque 22 = 4. Então temosque a raiz quadrada de quatro é igual a dois, ouseja:

# 4 = 2, pois 22 = 4.

Vamos agora calcular a raiz quadrada de nove, ouseja, # 9. Devemos então pensar em:



Matemática


29

“Qual número elevado ao quadrado é igual anove?”

A resposta é três, pois 32 = 9. Temos então que araiz quadrada de nove é três.

# 9 = 3, pois32 = 9.


170. Escreva as seguintes operações e oresultado:

a) Raiz quadrada de dezesseis.

b) Raiz quadrada de quarenta e nove.

c) Raiz quadrada de trinta e seis.

d) Raiz quadrada de sessenta e quatro.

e) Raiz quadrada de oitenta e um.

171. Calcule as raízes quadradas abaixo seguindoo exemplo do item a.

a) # 3!= 6, porque 62 = 36.

b) # 1$$ c) # 121 d) # 225

e) # 25 f) # 1 g) # !4

Expressões Numéricas compotenciação e raíz quadrada

Quando aparecem operações de potência e raizquadrada nas expressões numéricas, essaspassam a ter prioridade sobre a multiplicação edivisão e, por isso, devem ser efetuadasprioritariamente, na ordem que aparecerem.

Tomemos a expressão abaixo como exemplo:

%2 & '1$ + 5()

Deve-se calcular primeiramente as operações queestão dentro dos parênteses:

%2 & '1$ + 5()

%2 & 5)

Em seguida, resolvemos as operações dentro doscolchetes. Como é possível notar acima, existemduas operações a serem realizadas, a potenciaçãoe a multiplicação. Como a potenciação temprioridade sobre a multiplicação, ela deve serresolvida primeiramente:

%2 & 5) %* & 5)

Assim, resta apenas a multiplicação dentro docolchetes a ser efetuada. Após efetuá-la,encontramos a reposta final:

%* & 5)

4$

Se, em vez da potência, houvesse uma raizquadrada, seguiríamos a mesma sequência decálculo, como é mostrado abaixo:

%# 121 & '1$ + 5()

%# 121 & 5)

%11 & 5) 55

No caso de aparecerem simultaneamente umapotência e uma raiz quadrada, efetuaremos a quevier primeiro (a que estiver mais à esquerda).

Vejamos o exemplo abaixo como ilustração:

,# *1 & 3 + 1$-

Primeiro resolveremos a raiz quadrada, pois elaaparece antes da potência. Logo em seguida,efetuaremos a potência. Depois são efetuadas, em

sequência, a multiplicação e a soma:

.# *1 & 3 + 1$/

,9 & 3 +1$-

,9 & 9 + 1$-

,*1 + 1$-

91


172. Calcule:

a) 4 0 12 b) 19 + # 3! c) # 1440 12

d) 15! 0 12 e) # 225 & 3 0 15

f)'11 0 11( & ! g) 2!! & # 25! " 4

h) # 121 0 # *1 + i) '3 0 ( & 4

j) # 1! & '39 0 12 & 3( k) %12 0 4) & # 25

Exercícios finais

173 . No texto abaixo, sublinhar as partes aondehá a utilização de números naturais. Além disso,responda se os números naturais encontradosestão sendo utilizados para representarquantidades ou ordenar elementos.

(extraído dehttp://www.brasil.gov.br/saude/2014/10/campanha-de-vacinacao-contra-sarampo-e-polio-comeca-em-novembro)

Vacinação contra Sarampo e Polio começa emnovembro

Mobilização Nacional acontece entre 8 e 22 denovembro, em todo o Brasil. Meta é vacinar maisde 12 milhões de crianças



Matemática


30

O Ministério da Saúde anunciou, nesta quinta-feira(30), o lançamento da Campanha de VacinaçãoInfantil contra os vírus da Poliomielite e Sarampo,que acontece no próximo sábado (8).O Dia D de Mobilização Nacional será realizadoem dois momentos: no 1º dia da campanha (8/11),

e no dia 22 de novembro, último dia. A expectativaé de 11 milhões de crianças sejam vacinadas atéo dia 28 de novembro.O lançamento da campanha será feito peloministro da Saúde, Arthur Chioro, no Ceará,estado estrategicamente escolhido por conta doalto número de transmissão de sarampo importadode outros lugares, como também acontece emPernambuco.Ao todo, serão mais de 100 mil postos e 350 milprofissionais atuando na vacinação infantil.O ministro da saúde enfatizou a importância damobilização: “É uma possibilidade de contribuir e

ao País e ao cenário internacional, noenfrentamento das duas doenças. O Brasil recebemuitos turistas, então é extremamente importanteque doenças de transmissão fácil tenha uma armada prevenção segura.”Este é um ano especial para a saúde brasileira,pois são celebrados 35 anos de campanhasnacionais, sendo o Brasil um dos primeiros paísesdo mundo a implantar a campanha contrapoliomielite. "Estamos já há 25 anos sem casos dePoliomielite no Brasil’, comemora o secretário deVigilância em Saúde, Jarbas Barbosa.

Poliomelite

Neste ano, serão distribuídas cerca de 17,8milhões de doses da vacina oral poliomielite(VOP). A vacinação terá como população-alvocrianças a partir de 6 meses até menores de 5anos. Para crianças com mais de 6 meses deidade que estejam com esquema vacinal atrasado,é recomendada a vacina inativada da poliomielite(VIP), que é feita de forma injetável.Jarbas Barbosa apontou a vantagem da vacinaoral: “além de ser segura, produz imunidadeintestinal, multiplica o vírus vacinal e produz

proteção local. A criança vai expelindo nas fezes ovírus. A vacina produz uma imunidade de rebanho,pois vai sendo liberada no meio ambiente, o quetambém possibilitou a erradicação da poliomielite.”

Sarampo

Diferente da poliomielite, o Sarampo ainda é muitopresente no mundo inteiro. Há a presença do vírusna Europa, Ásia e África. No total, são 155 milcasos registados no mundo, o que abre espaço aovírus importado, trazido e levado por viajantes.O Sarampo é uma doença de grandecontagiosidade, e por conta disso, é precisoapostar na Campanha de Seguimento, que évoltada não só para quem está com o calendário

vacinal atrasado, mas como um reforço para quem já tomou, pois muitas vezes o indivíduo não criouimunidade.O público-alvo da vacinação da chamada TrípliceViral – que também protege contra rubéola ecaxumba - são crianças de 1 a 5 anos

incompletos. A estimativa é promover a vacinaçãode 10,9 milhões de crianças.

Tecnologia

O ministério da saúde lançou também umaplicativo com a carteira de vacinação online. Atecnologia já está disponível para o sistemaAndroid e em breve será lançada para o sistemaIOS.

174. Observe a tabela abaixo e responda se asfrases abaixo são verdadeiras ou falsas.

8 1 63 5 74 9 2

a) Somando-se os algarismos em qualqueruma das linhas, o resultado é sempre 15.

b) Somando-se os algarismos em umamesma coluna, o resultado é 9 na primeiracoluna, 17 na segunda coluna e 15 naterceira coluna.

c) Somando-se as duas diagonais centrais, o

resultado também é sempre 15.

175. A tabela do exercício anterior é chamada dequadrado mágico, por que a soma em cada linha,em cada coluna e nas duas diagonais centraisresulta sempre em um mesmo número. Completeo quadrado mágico a seguir de modo que a somaem qualquer linha, coluna e nas duas diagonaiscentrais seja sempre 12.

1

40

176. Descubra você mesmo um quadrado mágico3 x 3 no qual a soma em qualquer linha, coluna oudiagonais centrais seja sempre 21. Pode utilizarnúmeros maiores que 10, se necessário.

177. Calcular:

a) 56 12+ b) 115 72+ c) 73 15−

d) 86 14− e) 97 49− f) 1149 147+



Matemática


31

g) 2495 1500+ h) 197 49− i) 228 207+ j) 1142 5469+ k) 7429 8947+

l) 9174 8255+ m) 405 243+ n) 1645 8253+ o) 101004 937000+ p) 8404 8808+ q) 3756 5005+ r) 102008 909902+ s) 348 121− t) 7889 825− u) 7889 6850− v) 108890 8250−

w) 1000000 999998− x) 2300000 1999998−

178. Compare e relacione com o sinal = ou ≠:

a) 10÷2 e 5b) 400÷10 e 400c) 1200÷10 e 10d) 0÷25 e 0e) 0÷18 e 18f) 8÷8 e 8g) 18÷18 e 1h) 10÷1 e 10

179. Calcular:

a) 142 3×

b) 42 3÷

c) 192 3÷

d) 417 9×

e) 524 5×

f) 247 7×

g) 923 6×

h) 1264 8×

i) 777 2×

j) 2 428×

k) 2068 1×

l) 520 0×

m) 41 10×

n) 636 7×

o) 425÷25

p) 850÷25

q) 1700÷25r) 1750÷25s) 0÷25

t) 430÷1

u) 1800÷100v) 1810÷10

w) 1215÷27

x) 444÷37

y) 4590÷102z) 3451÷27

aa) 2940÷84bb) 1040÷52

cc) 423÷12

dd) 832÷15

ee) 396÷23

ff) 1407÷54gg) 14631÷72

hh) 2006÷93

180. Diga se as comparações matemáticasindicadas são verdadeiras ou falsas. Escrevatodas as comparações corretamente, na formamatemática.a) Oitenta e quatro é menor que sessenta e cinco.b) Quarenta e sete é igual a quarenta e sete.c) Cinquenta e nove é menor que cento edezesseis.d) Quatrocentos e cinco é maior que quatrocentose cinco.e) mil duzentos e cinqüenta e seis é menor que milduzentos e cinqüenta e cinco.f) sete milhões quatrocentos e noventa mil é igualdo que um milhão e cinco.g) mil e sete é menor que cem mil e seis.

181. Classifique como verdadeiro ou falso cadaum dos itens abaixo:a) 78 + 27 < 105 – 89 b) 8*5 < 9*5c) 5*4 < 3*4 d) 0*8 = 0*10e) 1*85 < 1*73 f) 98/2 > 5*15g) 66/2 > 66/3 h) 128/2 > 130/2

182. Classifique como verdadeiro ou falso:

a) 9 – 6 > 5 – 4 b) 4 – 5 = 5 – 4c) 5 – 5 = 20 – 20 d) 9 – 1 = 9 – 3e) 10 – 6 > 7 – 6

183. No capítulo de divisão, aprendemos que:I. se multiplicarmos o dividendo e o divisor pelomesmo número, o resultado da divisão permaneceo mesmo;II. se dividimos o dividendo e o divisor pelo mesmonúmero, o resultado da divisão também parece omesmo;Indique quais igualdades abaixo demonstramessas propriedades:

a) 32 ÷ 8 = (32 x 2) ÷ (8 x 2)b) 330 ÷ 15 = (30 + 30) ÷ (3 x 5)c) 330 ÷ 15 = (330 ÷ 3) ÷ (15 ÷ 3)d) 2 ÷ 1 = (2 x 5) ÷ (1 x 5)



Matemática


32

e) 2 ÷ 1 = (2 x 10) ÷ (1 x 10)f) 1024 ÷ 512 = (1024 ÷ 2) ÷ (512 ÷ 2)

184. A professora de João passou 4 contas dedivisão muito difíceis para casa. Para resolver, eleutilizou a propriedade que vimos no exercício

anterior, porém ele pode ter errado em algumascontas. Corrija as contas de João abaixo,indicando se existe algum erro.a)

128 ÷ 32 ==(128 ÷ 2) ÷ (32 ÷ 2) =

= 64 ÷ 16 == (64 ÷ 2) ÷ (16 ÷ 2) =

= 32 ÷ 8 == (32 ÷ 2) ÷ (8 ÷ 2) =

= 16 ÷ 4 == 4

b)

1980 ÷ 330 == (198 x 10) ÷ (33 x 10) =

= 198 ÷ 33 == 5

c)1600 ÷ 40 =

= (160 x 10) ÷ (4 x 10) == 160 ÷ 4 =

= 40d)

2400 ÷ 800 == (24 x 100) ÷ (8 x 100) =

= 24 ÷ 8 =

= 2

185. Em um caderno de 100 folhas, foramutilizadas 67 folhas. Quantas folhas em brancorestam?

186. Uma pessoa caminhou em uma esteira por35 minutos em uma sexta feira, 41 minutos nosábado e 17 minutos no domingo.

a) Qual o tempo total de caminhada, em horas eminutos, juntando-se os 3 dias?

b) Qual a diferença de tempo de caminhada entre

sábado e domingo?187. Cada engradado de cerveja tem capacidadepara 24 garrafas.

a) Quantas cervejas consigo armazenar em 4engradados?

b) Quantos engradados são necessários paraarmazenar 100 garrafas?

188. O edifício mais alto do mundo, nos EmiradosÁrabes Unidos, tem 828 metros de altura. Já oedifício mais alto do Brasil, em São Paulo, tem 170metros de altura.

a) De quantos metros o edifício mais alto domundo excede o edifício mais alto do Brasil?

b) Quantos edifícios brasileiros poderiam ser“empilhados”, caso isso fosse possível, de modoque a altura total superasse a altura do maioredifício do mundo?

189. O americano Brian Shaw foi eleito o homem

mais forte do mundo em 2013. Nesse ano, elelevantou um peso de 509 quilos. Dado que umapessoa normal pesa 75 quilos, quantas pessoasBrian Shaw conseguiria levantar ao mesmotempo?

190. Uma “légua terrestre antiga” corresponde a6.600 metros.

(fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Légua).a)Quantos metros temos em 49 léguas?

b)Quantas léguas temos em 231000 metros?

191. Um determinado tipo de cerca tem o custo de75 reais por 5 metros de cerca. Dado que oterreno a ser cercado tinha um comprimento totalde 135 metros, qual a quantia em dinheiro gastapara cercar o terreno?

192. Um chocolate custa 3 reais e a barracomprada tem 180 gramas. Um ovo de páscoacusta 15 reais e o peso do mesmo é de 540gramas.

a)Se eu tenho dinheiro para comprar três barrasde chocolate, quanto falta para comprar o ovo depáscoa?

b) Quantas barras de chocolate são necessáriaspara que o peso seja igual ao do ovo de páscoa?

c) Qual seria o preço total das barras dechocolates calculadas na questão anterior?

193. Ao medir o comprimento de uma mesa, umapessoa dispunha apenas de uma régua de 30centímetros. Essa pessoa mediu o comprimentoda palma de sua mão, obtendo 15 centímetros edepois mediu a mesa com a sua própria mão,obtendo 13 palmos.

a) Qual o comprimento da mesa?

b) Se essa pessoa for medir o comprimento deuma tábua de 105 centímetros, quantos palmosela obterá?

194. Uma fábrica de computadores construiu umgalpão para armazenar os computadores até avenda. Então, essa fábrica produziu muitoscomputadores até o galpão ficar cheio e quandoas vendas começaram, todo o estoque foicomercializado. Com essa venda, a empresaarrecadou 546.750 reais. 225 mil reais foramutilizados para pagar o custo de produção e com o

lucro restante, constataram que o lucro por cadaunidade vendida foi de 715 reais.

a) Quantas unidades foram vendidas?

b) Qual era o preço de cada computador na loja?



Matemática


33

195. Em uma viagem da cidade A para a cidade B,um carro percorre 37 quilômetros antes de pararno primeiro posto de gasolina. Depois percorre124 quilômetros antes de parar no segundo postode gasolina e depois percorre mais 65quilômetros. Ao consultar um mapa para analisar o

percurso, o motorista percebe que errou ocaminho e retorna 87 quilômetros, chegandofinalmente à cidade B. Qual a distância entre asduas cidades?

196. Acompanhe, na lista abaixo, algumas dasdatas importantes ao longo da história do Brasil.

1500 – A expedição de Pedro Álvares Cabralchega ao Brasil.

1501 – Américo Vespúcio faz uma expediçãoexploratória na costa brasileira.

1504 – Chegam ao Brasil navegadoresfrancesespara exploração do território.

1530 – É instituído o regime de capitaniashereditárias por Dom João III. A expediçãocolonizadora de Martim Afonso chega ao Brasil.

1549 – A cidade de Salvador é fundada. éconstituído o primeiro governo geral do Brasil comTomé de Souza.

1554 – Fundação da cidade de São Paulo.1570 – A liberdade dos índios é garantida pelaCarta régia.

1567 - Os franceses são expulsos do Rio deJaneiro.

1624 – Os holandeses invadem a Bahia; osportugueses estabelecem a resistência.1654 - Expulsão definitiva dos holandeses doBrasil.

1789 – Inconfidência Mineira, primeiro dosmovimentos emancipacionistas que caracterizama crise do Sistema Colonial.

1822 – Dom Pedro proclama a independência doBrasil. (7 de setembro)

1840 - Dom Pedro de Alcântara tem antecipadasua maioridade e se torna o segundo Imperadordo Brasil.

1888– Abolição da escravidão por força da LeiÁurea.

1889 – Chega ao fim o período do Império, pois éproclamada a República.

1930 – Inicia no Rio Grande do Sul e no nordestea Revolução de 1930, dando fim à PrimeiraRepública (ou República das Oligarquias) e inícioda Era Vargas.

1932 - Novo Código Eleitoral estabelece o votosecreto e o direito das mulheres votarem e seremvotadas.

1950 - Eleições presidenciais. Vitória de GetúlioVargas.

1964 - É deflagrado o golpe político-militar queafasta João Goulart (Jango). O marechal Castelo

Branco assume a presidência da República. AtoInstitucional suspende direitos políticos decentenas de pessoas.

1985 - Em eleições indiretas para a Presidência daRepública o candidato da oposição TancredoNeves é eleito o novo Presidente do Brasil,

entretanto devido a problemas de saúde nãoassume e em 21 de abril, é anunciada a suamorte.

Adaptado de:http://www.sohistoria.com.br/ef2/lista/

Agora, responda as questões:

a) Juntando-se as idades de Salvador e SãoPaulo, qual o resultado?

b) Juntando-se a duração das invasões francesase holandesas, quantos anos resultam?

c) Quanto tempo temos entre a primeira expedição

exploratória no Brasil e o fim da escravidãoatravés da Lei Áurea?d) Após a proclamação da república, quantotempo temos até o direito das mulheres votaremser estabelecido?

e) Quanto tempo temos entre o golpe militar e aprimeira eleição direta para presidente após 1964,cujo vencedor foi Tancredo Neves?f) Dado que Dom Pedro de Alcântara governoudesde a sua aclamação até o fim do períodoimperial, quanto tempo governou?

g) Quanto tempo durou a República Velha

Brasileira, da proclamação da república até a eraVargas?

h) Quanto tempo temos entre as eleiçõespresidenciais de 1950 e o golpe militar?

i) Há quantos anos ocorreu a inconfidênciamineira?

197. Uma determinada bactéria tem a capacidadede se duplicar a cada 1 hora e 48 minutos.Supondo que, em um laboratório, a existência detrês bactérias deste tipo tenha sido constatada às8:00. Qual a quantidade de bactérias nolaboratório às 17:00?

198. A primeira tabela abaixo mostra a populaçãodos diversos estados brasileiros. Jáasegundatabela mostra os estados brasileiros e ascorrespondentes regiões.



Matemática


34

(fonte:http://pt.wikipedia.org/wiki/Anexo:Lista_de_unidades_federativas_do_Brasil_por_popula%C3%A7%C3%A3o).

Descubra qual região brasileira é a terceira maispopulosa.

199.Observe a tabela de preços do supermercado:

Quilo de arroz 2 reais

Refrigerante 2 litros 3 reais

Barra de chocolate (170 gramas) 4 reais

Ovo de páscoa (500 gramas) 15 reais

Quilo de limão 1 real

Quilo de tomate 2 reais

Pote de requeijão (200 g) 3 reais

a) Calcule o preço final da seguinte lista decompras: 2 quilos de arroz, 1 garrafa derefrigerante, 2 ovos de páscoa e 3 quilos de limão.

b) Calcule o preço final da seguinte lista decompras: 2 quilos de limão, 2 quilos de tomate edois potes de requeijão. Qual seria o troco parauma nota de 50 reais?

c) Quantas barras de chocolate pesam, juntas,1190 gramas?

d) Quantas barras de chocolate devo comprar

para obter a mesma quantidade de chocolateencontrada em um ovo de páscoa? Qual será opreço total dessas barras?

e) Um grande restaurante fez uma compra derequeijão neste supermercado, gastando ao todo150 reais. Qual o peso total, em gramas, de todo orequeijão adquirido?

f) O supermercado decidiu fazer uma promoçãocom o preço do refrigerante. A promoção consistiaem vender cada grupo de 6 refrigerantes pelopreço de 5 refrigerantes. Qual a quantidademáxima de litros de refrigerante que podem sercomprados com 41 reais?

200. A empresa de taxi “TaxiFast” cobra uma taxade 2 reais por passageiro e cobra mais 3 reais porquilômetro rodado. Já a empresa “B-Taxi” cobra 8reais por passageiro e 2 reais por quilômetrorodado.

a) Em uma corrida de 5 quilômetros , qualempresa devo escolher para pagar menos pelacorrida? De quanto é a diferença de preço entre asduas empresas?

b) Em uma corrida de 25 quilômetros , qualempresa devo escolher para pagar menos pela

corrida? De quanto é a diferença de preço entre asduas empresas?

c) Em uma corrida de 6 quilômetros , qualempresa devo escolher para pagar menos pela



Matemática


35

corrida? De quanto é a diferença de preço entre asduas empresas?

201. Uma dúzia equivale a 12 unidades. Quantasdúzias de bananas representam 144 bananas?

202. Resma de papel é o nome dado a 500 folhasde papel. Sabendo disso, quantas folhas de papeltemos em 25 resmas?

203. Um quilômetro tem 100 metros e um metrotem 100 centímetros. Quantos centímetros tem 1quilômetro?

204. Em um mapa, resolvemos medir a distânciaentre São Paulo – capital e Limeira (uma cidadedo interior de SP), obtendo o valor de 5centímetros.

a) Sabendo que a escala do mapa é de 1 cm :3.000.000 cm, determine a distância real de SãoPaulo a Limeira, em centímetros.

b) Sabendo que um quilômetro vale cem milcentímetros, determine essa mesma distância emquilômetros.

205.Quantos segundos tem em uma hora?

206. Quantas semanas completas temos em 1ano?

207. Abaixo, temos uma tabela que mostra o

período das estações do ano:Primavera 21 setembro até 20 dezembro

Verão 21 dezembro até 20 março

Outono 21 março até 20 junho

Inverno 21 junho até 20 setembro

E logo abaixo, temos outra tabela, que mostraquantos dias tem cada mês:

• Janeiro tem 31 dias

• Fevereiro tem 28 (ou 29 dias nos anos

bissextos)• Março tem 31 dias

• Abril tem 30 dias

• Maio tem 31 dias

• Junho tem 30 dias

• Julho tem 31 dias

• Agosto tem 31 dias

• Setembro tem 30 dias

• Outubro tem 31 dias

• Novembro tem 30 dias

• Dezembro tem 31 diasa) Quantos dias tem a primavera?

b) Entre os feriados de 1 de maio de 7 desetembro passam-se quantos dias? E quantasestações do ano?

208. Um ônibus tem 45 lugares. Supondo quehajam ônibus suficientes para transportar 337

pessoas, quantos lugares irão ficar vazios?209. Em um campeonato de futebol, cada vitóriavale 2 pontos, cada empate 1 ponto e cada derrotavale 0 pontos. O campeão é o time que somar omaior número de pontos no campeonato. Em casode empate no número de pontos somados, ovencedor será o time com maior saldo de gols(diferença entre gols feitos pelo time e golssofridos pelo time). Em caso de dois times commesmo número de pontos e mesmo saldo de gols,o campeão será o time com maior número devitórias. Quatro times (Time A, Time B, Time C e

Time D) disputaram este campeonato em doisturnos e a tabela com os resultados é dadaabaixo. Com base nesta tabela, descubra qual foia classificação final do campeonato.

210. Uma piscina tem capacidade para 500 litrosde água. A única mangueira disponível enche umagarrafa de 1 litro em 20 segundos. Em quantotempo essa mangueira pode encher a piscina?

211. Em um posto de gasolina, o custo do

combustível é de 3 reais por litro. Um determinadoveículo gasta 5 litros desse combustível e percorreuma distância de 75 quilômetros em 1 hora em umdia de sábado. Em um dia normal de semana, o



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veículo gasta os mesmos 5 litros para percorrer 50quilômetros em 1 hora, devido ao trânsito.

a) Quantos quilômetros o carro percorre por litroem um dia de sábado? E em um dia normal?

b) Se esse veículo percorre uma distância de 150quilômetros, qual será o custo em um dia desábado? E em um dia normal?

c) Nas condições do ítem b, qual será o tempoutilizado pelo veículo em um dia de sábado? E emum dia normal?

d) Após encher o tanque em um fim de semana, ocarro esgota o combustível após percorrer 675quilômetros. Calcule a capacidade do tanque decombustível. Calcule quanto tempo demorou essaviagem.

212. Quantos quadrados de 1 metro de ladocabem nas seguintes figuras?

a. b.

c. d.

e.

213. O perímetro de uma figura geométrica é asoma dos seus lados. Sabendo disso, calcule operímetro das figuras geométricas do exercício 85.

214. Se um carro percorre 270 metros em 3segundos, quantos metros percorre em umsegundo?

215. Sabendo que 1 metro tem 100 centímetros,calcule quantos centímetros tem 4 metros.


a) O menor número natural existente é o zero.

b) O maior número natural é 10000000056897.

c) Na expressão 5 x 9 + 4, resolvemos primeiro asoma.

d) Todo número adicionado a 1 é igual a elemesmo.e) Todo número dividido por 1 é igual a elemesmo.

217. Escreva as multiplicações com maior númeropossível de fatores que resultam nos números aseguir (os fatores devem ser diferentes de 1):

a) 50 b) 36 c) 20 d) 45 e) 54 f) 80

g) 100 h) 120 i) 40

218. Resolva as potências a seguir:

a) Base quatorze, expoente dois.

b) Base treze, expoente três.

c) Raiz quadrada de cento e quarenta e quatro.

d) Raiz quadrada da raiz quadrada de dezesseis.

e) Raiz quadrada de nove ao quadrado.

f) Raiz quadrada de três à quarta.

219. Em uma sala quadrada de lado 6 metros,cabem quantos pisos quadrados de 1 metro delado?

220. Em outra sala quadrada cabem 81 pisosquadrados de 1 metro de lado. Qual é ocomprimento de cada lado da sala?

221. As maioria das bactérias se reproduz deforma assexuada e por bipartição, ou seja,conseguem se duplicar sozinhas de modo que, seantes da reprodução existe uma bactéria, após areprodução existem duas bactérias (adaptado dehttp://www.sobiologia.com.br/conteudos/Reinos/bi

omonera3.php). Desse modo, suponha que em umlaboratório, as 8:00hs exista uma bactéria e queela se reproduza a cada minuto. Qual será aquantidade de bactérias no laboratório às 8:05hs?

222. Imagine que uma certa dívida no banco dobrea cada cinco anos. Se essa dívida é de cento equarenta e quatro reais em 1989, quanto elavalerá agora?

223. Observe a pintura abaixo:

3 m

4 m



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O nome dessa pintura é Melancholia, obra dopintor e ilustrador alemão Albrecht Dürer, quetambém teve interesse em matemática, geometria,geografia e arquitetura. No canto superior direitodo quadro, em um quadrado parecido com uma janela abaixo do sino, se encontram as inscrições(convenientemente alteradas):

As inscrições representam os números abaixo.Alguns estão apagados.

3 2

5 11 8

9 6 1214 1

Segundo o site:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Quadrado_m%C3%A1gico

temos a seguinte descrição dessa tabela.

“Trata-se de um quadrado mágico 4 x 4 com osnúmeros de 1 a 16, o qual apresenta as seguintesparticularidades:Na linha inferior, nas duas casas centrais, estãolado a lado os números 15 e 14 formando 1514,data da confecção da obra.Nessa mesma linha, nos quadrados extremos,estão os números 4 (a 4ª letra é D) e 1 (a 1ª letra éA), de “Dürer, Albrecht”.A soma dos números de qualquer das linhas ésempre 34

A soma dos números de qualquer das duasdiagonais do quadro é também 34A soma dos 4 números que ficam nos cantos doquadrado é 34A soma dos 4 números que nas 4 casas centraisé 34A soma dos 2 números centrais da linha do altocom os 2 centrais da linha de baixo é 34A soma dos 2 números centrais da coluna direitacom os 2 centrais da coluna esquerda é 34”Mais dois fatos interessantes são:A soma dos números nas posições simbolizadasabaixo é 34.

A soma dos números nas posições simbolizadasabaixo é 34.

Curiosidade:O quadrado de Dürer foi usado nolivro de Dan Brown o símbolo perdido”

Complete a tabela com os números que estãofaltando, baseado na descrição dada.

224. O problema dos quatro quatros. Oproblema foi apresentado no livro O Homem queCalculava , do autor brasileiro Júlio César de Melloe Souza , que utiliza o heterônimo Malba Tahan . Oproblema consiste em formar os números naturais,através de expressões, utilizando quatro quatros.Observe os exemplos:



Matemática


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0 = 44 - 441 = (4 x 4)÷(4 + 4)

Escreva os números de 0 a 10 utilizando quatroquatros. Não utilize os exemplos dados.

225. Em um laboratório são estudadas três tiposde bactérias: bactéria A, bactéria B e bactéria C.As bactérias se replicam da seguinte maneira:

Bactéria A: duplica a cada minuto.Bactéria B: triplica a cada minuto.Bactéria C: quintuplica a cada minuto.

Os três tipos de bactérias estão em três frascosdiferentes, e inicialmente há uma bactéria em cadafrasco.

a) Quantas bactérias haverá de cada tipo após 1minuto?b) Quantas bactérias A haverão após 10 minutos?Escreva a potência que representa essaquantidade.c) Quantas bactérias B haverão após 6 minutos?Escreva a potência que representa essaquantidade.d) Quantas bactérias C haverão após 5 minutos?Escreva a potência que representa essaquantidade.

226. Uma dona de casa, ao fazer bolinhos de

chocolate quebra as barras de chocolate até obterpequenos quadradinhos, todos comaproximadamente 1 centímetro de comprimento.Ao preparar a receita, ela se utilizou de 9quadradinhos que haviam sido guardados nageladeira e comprou mais duas barras dechocolate no supermercado. Uma das barrasmedia 7 centímetros de largura e 3 centímetros decomprimento, enquanto a outra media 5centímetros de largura e 4 centímetros decomprimento. Ao quebrar essas duas barras emquadradinhos e preparar a receita, ela obteve 25bolinhos, dos quais 9 foram dados de presente à

vizinha. Quantos quadradinhos de chocolate foramutilizados para fazer os 9 bolinhos que a vizinhacomeu?

Tarefas para Casa

8are9a I

1. Encontre todos os números de três algarismosque podem ser construídos utilizando apenas osalgarismos 3, 9, 8. Depois, indique a quantidadede centenas, dezenas e unidades que cada

algarismo representa nos números formados.

2. Dentre os números maiores que 10 e menoresque 100, escreva aqueles que apresentam a somados algarismos igual a 9.

3. Clarice parou de ler um livro na página 86.Sabendo que o livro tem 212 páginas, quantas

páginas faltam pra ela terminar a leitura? Em quepágina do livro ela estará quando faltarem 38páginas para terminar a leitura?

4. Efetue as operações:

a) 758+498b) 1257+362c) 843-652d) 324-192e) 1615-728

5. Com base nos seus conhecimentos sobre

cálculo de idades, responda:a) Quantos anos tem alguém que nasceu em1953?b) Quantos anos viveu alguém que nasceu em1898 e faleceu em 2002?c) Quantos anos de descobrimento o Brasilcompletou em 1987?

Leia o texto abaixo para responder à questão 6:

Se você perguntasse a alguém nas ruas de SãoPaulo em qual ano estamos, certamente ouviria2015 como resposta. No entanto, se estivéssemos

num país islâmico, a resposta seria bem diferente.Isso porque em países islâmicos é utilizado umcalendário diferente do que é usado nos paísesocidentais. Vamos conhecer um pouco mais sobreesses calendários.

Calendário gregoriano

Nos países ocidentais, é adotado como padrão umcalendário de origem européia,promulgado peloPapa Gregório XIII, em 24 de Fevereiro de 1582. Éo chamado calendário gregoriano. Trata-se de umcalendário solar, o que significa que ele está

sincronizado com o movimento do Sol. Nocalendário gregoriano,é adotado como início dacontagem o nascimento de Jesus.

Calendário islâmico

Em países islâmicos, é adotado o calendárioislâmico que, diferentemente do gregoriano, élunar e por isso está sincronizado com omovimento da Lua. Isso provoca uma pequenadiferença na duração dos anos, fazendo com queo ano lunar seja cerca de 11 dias menor que o anosolar. Outra diferença do calendário islâmico é omarco inicial de contagem. Nele, a contagemcomeça a partir da viagem que Maomé e seusseguidores fizeram no ano 622, do nosso



Matemática


39

calendário, partindo da cidade de Meca emdireçãoà cidade de Medina.

6) Com base no texto, responda:

a) Ignorando a diferença de 11 dias entre o ano

solar e o ano lunar, qual é o ano atual num país decalendário islâmico?b) Com base na resposta do item acima, diga emque ano no calendário islâmico nasceu alguémque tem 38 anos de idade?c) A sua idade mudaria se contasse os anos como calendário islâmico? Explique sua resposta.d) Agora considere a diferença entre a duraçãoentre o ano solar e lunar (11 dias) e calcule o anoatual no calendário islâmico.

8are9a II

1. Uma quitanda comprou 25 caixas de ovos.Cada caixa contém 12 dúzias de ovos.a) Quantos ovos tem em cada caixa?b) Quantos ovos a quitanda comprou no total?

2. O quitandeiro vende os ovos em cartelas com30 ovos. Quantas cartelas ele pode formar com osovos comprados?

3. Em cada prateleira o quitandeiro conseguecolocar 8 cartelas. Quantas prateleiras sãonecessárias para acomodar todas as cartelas?

4. O quitandeiro pagou 3 reais por cada dúzia deovos. E ele vende cada cartela (com 30 ovos) por15 reais.a) Quanto foi gasto para comprar as 25 caixas?b) Quanto recebeu a quitanda após vender todosos ovos?c) De quantos reais foi o lucro?

5. Se a quitanda consegue vender as 25 caixas deovos em uma semana, qual será o lucro obtidocom a venda de ovos em um ano? Considere queum ano tem 52 semanas.

Leia o texto e responda:

“Cidade de São Paulo irá implantar 400 km decicloviaData da matéria: 11/06/2014

A Prefeitura de São Paulo pretende implantar 400km de ciclovias em toda a cidade até dezembro de2015. O projeto faz parte do Plano de Metasapresentado pelo prefeito Fernando Haddad (PT)para ser executado até 2016, quando termina suaatual gestão.Atualmente, a cidade possui 63 km

de ciclovias.O primeiro trecho dos 400 km de ciclovias foiinaugurado como projeto piloto na semanapassada e possui cerca de2 km de extensão. O

novo trecho começa no Largo do Paissandú,passa pela Rua Antônio de Godói, Rua CásperLíbero e Rua Mauá, até a Sala São Paulo, noCentro da capital.Segundo estimativas, o custo total das obras é deR$ 80 milhões. Parte dos recursos devem ser

disponibilizados pelo Fema (Fundo Municipal doMeio Ambiente) que já possui R$ 10 milhões dototal da obra.De acordo com a Secretaria, o projeto pretendenão eliminar faixas de rolamento para nãoprovocar impactos no trânsito, a não ser em casosespecíficos. Nesses casos excepcionais serãoretirados da faixa esquerda das vias a cobrançada Zona Azul, espaço reservado para oestacionamento de carros e táxis.De acordo com a administração, o cumprimentoda meta deixará São Paulo com total de cicloviaspróximo do que há em outras cidades do mundo.

O levantamento da administração municipalaponta que Berlim lidera o ranking com 750quilômetros.Além dos 400 km do novo plano, há previsão deinauguração de 150 quilômetros de ciclovias quedevem ser implantadas junto aos futuroscorredores de ônibus, além dos 63 km jáexistentes.A instalação de ciclovias é uma das estratégiasapontadas por especialistas em trânsito paraoferecer outras opções para o transporte nacidade. Em maio de 2014, São Paulo atingiu novorecorde de congestionamento, com 344 km de

vias congestionadas em 23 de Maio.

Texto adaptado de:

http://g1.globo.com/sao-paulo/noticia/2014/06/sp-ira-implantar- 400-km-de-ciclovia-ao-custo-de-r-80-milhoes.html

http://g1.globo.com/sao-paulo/noticia/2015/04/camera-em- ciclovia-cria-big-brother-da-prefeitura-para-contar-ciclistas.html

6) Se 400 quilômetros de ciclovia custam80.000.000 de reais, quanto custa cada quilometrode ciclovia?

7) Qual o custo estimado do projeto piloto feito nocentro da cidade?

8) Responda:a) Qual será a extensão total da futura malhacicloviáriade São Paulo se somarmos as cicloviasexistentes, o novo plano da prefeitura e a previsãode ciclovias nos futuros corredores?b) De que forma podemos estimar o custo de todaessa malha?

9) Quantos quilômetros de ciclovia é possível

construir com o valor que será disponibilizado peloFema?



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10) Se utilizarmos o valor por quilometro estimadopara São Paulo, qual foi o custo para implantartoda a malha de ciclovias da cidade de Nova

Iorque? Para responder, observe o gráfico abaixo,que relaciona cada cidade com sua respectivamalha cicloviária, dada em quilômetros.

8are9a III

1) Em um laboratório são estudadas três tipos de

bactérias: bactéria A, bactéria B e bactéria C. Asbactérias se replicam da seguinte maneira:

• Bactéria A: duplica a cada minuto.• Bactéria B: triplica instantaneamente a

cada 2 minutos.• Bactéria C: quintuplica instantaneamente a

cada 3 minutos.

Os três tipos de bactérias estão em três frascosdiferentes, e inicialmente há uma bactéria em cadafrasco.a) Quantas bactérias haverá de cada tipo após 1

minuto?Passados 12 minutos, responda:b) Quantas bactérias A haverão no frasco?Escreva a potência que representa essaquantidade.c) Quantas bactérias B haverão no frasco?Escreva a potência que representa essaquantidade.d) Quantas bactérias C haverão no frasco?Escreva a potência que representa essaquantidade.

2) Em uma rua há 4 estacionamentos, em cada

estacionamento há 4 automóveis, em cadaautomóvel há 4 rodas e em cada roda há 4

parafusos. Qual é o total de parafusos desses4estacionamentos?

3) José recebeu no celular uma corrente que pedia

que a mensagem fosse passada para trêspessoas. No dia seguinte José repassou acorrente para 3 pessoas. Passado mais um dia,cada uma dessas pessoas mandou a mensagempara outras 3 pessoas.

Suponha que cada pessoa que recebe amensagem continuem repassando, após um dia,para outras 3 pessoas. Responda:

a) após 4 dias quantas pessoas terão recebido amensagem?

b) após 6 dias quantas pessoas terão recebido amensagem?

c) Qual a potência que representa a quantidade depessoas que terão recebido a mensagem após 30dias?



Matemática

Leia o texto e responda:

“ Origem do Nome e do Símbolo da RaizQuadrada

Encontrar a Raiz Quadrada de um número éencontrar um número, que multiplicado por sipróprio, seja o valor que está na raiz.

Mas o que a palavra "RAIZ" tem a ver com isso?Porque, em nossa língua a palavra RAIZ tem a vercom planta, árvore, mas não com número. Paraisso, temos que voltar um pouco na história damatemática, para entender como surgiu a raizquadrada de um número.

Em 1202, no livro líber abbaci (livro do ábaco oulivro de cálculo) de Leonardo de Pisa, mais

conhecido como Fibonacci, traz da seguintemaneira o que hoje chamamos de raiz quadrada:

"radixquadratum9aequalis3"

Está escrito em latim, que traduzindo para oportuguês, é: "O lado do Quadrado de 9 é igual a3". Podemos perceber que a palavra Radix nãotem nada a ver com Raiz, pois, a tradução corretade Radix é Lado. Na verdade o que se diz é: oquadrado de área 9 tem lado igual a 3. Observe asfiguras:

O quadrado acima tem lado medindo 3 e áreamedindo 9.

O quadrado acima tem lado medindo 4 e áreamedindo 16.

A origem do símbolo √ está associado aoabreviamento da palavra radix, que com o passar

do tempo, foram se fazendo cópias em cima decópias, o que acabou resultando no símbolo queusamos hoje em dia, um alongamento ou variânciada letra r .”

Adaptado de:http://matematicaenigmatica.blogspot.com.br/2009/11/origem-

do-simbolo-da-raiz-quadrada.html http://www.prandiano.com.br/html/fr_aula.htm

4) Desenhe o quadrado de lado 5 e calcule √25.

5) Desenhe o quadrado de área 36 e calcule √36

6) Calcule 7² e desenhe o quadrado de lado 7.

7) José foi ao supermercado e comprou 5 pacotesde feijão a 3 reais cada pacote e 7 caixas de leitea 3 reais cada caixa. José notou que o quilo dasobrecoxa de frango estava 6 reais na promoção,levando então 2 quilos para um churrasco no fimde semana. José pagou com uma nota de 50reais.a) Qual a expressão que representa o valor queJosé recebeu de troco?b) Resolva essa expressão, descobrindo oresultado correto.

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Números Naturais 2016