Embed Size (px)
Citation preview
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 1/37
Números Naturais
Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos, incluindo o zero. Esse conjunto érepresentado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves.N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... }
- Quando for representar o Conjunto dos Naturais não nulos (excluindo o zero) devemos colocar * ao ladodo N.Representado assim:N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... }
A reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um elemento.N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }
Qualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor. Também falamos em antecessor deum número.• 6 é o sucessor de 5. • 7 é o sucessor de 6. • 19 é antecessor de 20. • 47 é o antecessor de 48. Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito .
Quando um conjunto é finito? O conjunto dos números naturais maiores que 5 é infinito: {6, 7, 8, 9, ...}Já o conjunto dos números naturais menores que 5 é finito: {0, 1, 2, 3, 4}Veja mais alguns exemplos de conjuntos finitos.• O conjunto dos alunos da classe. • O conjunto dos professores da escola.• O conjunto das pessoas que formam a população brasileira.
Por Danielle de MirandaGraduada em MatemáticaEquipe Brasil Escola
Números Inteiros
A evolução dos números, assim como a dosconjuntos numéricos, ocorreu de modo acolaborar com a necessidade da humanidade. Osnúmeros inteiros apareceram quando os
números naturais não satisfaziam todas as
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 2/37
necessidades, como, por exemplo, para suprir ainexistência de números negativos no conjunto d
Os números inteiros positivos foram os primeiros números trabalhados pela humanidade e tinham comofinalidade contar objetos, animais, enfim, elementos do contexto histórico no qual se encontravam.
O conjunto dos números inteiros positivos recebe o nome de conjunto dos números naturais. Sendo ele:
={0,1,2,3,4,5,6…}
Enquanto que o conjunto dos números inteiros contempla também os inteiros negativos, constituindo oseguinte conjunto:
={…,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8…}
Os números inteiros estão presentes até hoje em diversas situações do cotidiano da humanidade, como,por exemplo, para medir temperaturas, contar dinheiro, marcar as horas, etc. Sua importância éindiscutível.
Diante disso, buscaremos estudar todas as propriedades desse conjunto numérico que existe há tantotempo, perpassando pela teoria de conjuntos, intersecção de conjuntos numéricos, entre outros conceitosque fazem parte desse conteúdo.
Por Gabriel Alessandro de OliveiraGraduado em Matemática
R7.com
Notícias Entretenimento Esportes Vídeos Rede Record E-mail
Receba novidades em seu e-mail
Digite seu nome Digite seu e-mail
OK
Procure no siteDigite aqui para b
Área do usuário
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 3/37
Brasil Escola
Vestibular
Educador
Monografias
Exercícios
Meu Artigo
Guerras Cidades
Cursos
Shopping
Home
Matemática
Conjuntos Numéricos
Números Racionais
ESPECIAIS
Bactérias
Dengue
Hora do Planeta
Idade Média
DISCIPLINAS
Artes
Biografias
Biologia
Espanhol
Educação Física
Filosofia
Física
Geografia
Geografia do Brasil Gramática
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 4/37
História
História da América
História do Brasil
História Geral
Inglês
Italiano Literatura
Matemática
Português
Química
Redação
Sociologia
ENEM
Correção Enem 2011
Gabarito Enem
Simulado do Enem
VESTIBULAR
Guia de Profissões
Notícias Vestibular
ProUni
Resumos de Livros
Simulado
Universidades
EDUCADOR
Orientação Escolar
Gestão Educacional
Trabalho Docente
Estratégia de Ensino
CONCURSOS
Inscrições Abertas
Vagas Nacionais
MAIS PESQUISAS
Acordo Ortográfico Animais
Cultura
Curiosidades
Datas Comemorativas
Dicas de Estudo
Doenças
Drogas
Economia e Finanças
Educação
Frutas
Informática Mitologia
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 5/37
Páscoa
Política
Psicologia
Religião
Regras da ABNT
Sexualidade Saúde e Bem-estar
Números Racionais
Interseção dos conjuntos: Naturais, Inteiros e Racionais.
Os números decimais são aqueles números que podem ser escritos na forma de fração.
Podemos escrevê-los de algumas formas diferentes:Por exemplo:
♦ Em forma de fração ordinária: ; ; e todos os seus opostos.
Esses números têm a forma com a , b Z e b ≠ 0.
♦ Números decimais com finitas ordens decimais ou extensão finita:
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 6/37
Esses números têm a forma com a , b Z e b ≠ 0.
♦ Número decimal com infinitas ordens decimais ou de extensão infinita periódica. São dízimas periódicassimples ou compostas:
As dízimas periódicas de expansão infinita podem ser escritas na forma : com a, b Z e b ≠ 0.
- O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q maiúscula.
Q = {x = , com a Z e b Z*}
- Outros subconjuntos de Q:
Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q.
Q*---------- É o conjunto dos números racionais diferentes de zero.
Q+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos e o zero.
Q- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos e o zero.
Q*+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos.
Q*- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos.
- Representação Geométrica
Entre dois números racionais existem infinitos outros números racionais.
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 7/37
Por Danielle de MirandaGraduada em MatemáticaEquipe Brasil Escola
R7.com
Notícias Entretenimento Esportes Vídeos Rede Record E-mail
Receba novidades em seu e-mail
Digite seu nome Digite seu e-mail
OK
Procure no siteDigite aqui para b
Área do usuário
Brasil Escola
Vestibular
Educador
Monografias
Exercícios
Meu Artigo
Guerras
Cidades
Cursos
Shopping
Home
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 8/37
Matemática
Conjuntos Numéricos
Números Reais
ESPECIAIS
Bactérias
Dengue
Hora do Planeta
Idade Média
DISCIPLINAS
Artes
Biografias
Biologia
Espanhol
Educação Física
Filosofia
Física
Geografia
Geografia do Brasil
Gramática História
História da América
História do Brasil
História Geral
Inglês
Italiano
Literatura
Matemática
Português
Química
Redação
Sociologia
ENEM
Correção Enem 2011
Gabarito Enem
Simulado do Enem
VESTIBULAR
Guia de Profissões
Notícias Vestibular
ProUni
Resumos de Livros
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 9/37
Simulado
Universidades
EDUCADOR
Gestão Educacional
Trabalho Docente Estratégia de Ensino
Orientação Escolar
CONCURSOS
Inscrições Abertas
Vagas Nacionais
MAIS PESQUISAS
Acordo Ortográfico
Animais
Cultura Curiosidades
Datas Comemorativas
Dicas de Estudo
Doenças
Drogas
Economia e Finanças
Educação
Frutas
Informática
Mitologia
Páscoa
Política
Psicologia
Religião
Regras da ABNT
Sexualidade
Saúde e Bem-estar
Números Reais
O conjunto dos números reais surge para designar a união do conjunto dos números racionaise o conjunto dos números irracionais. É importante lembrar que o conjunto dos númerosracionais é formado pelos seguintes conjuntos: Números Naturais e Números Inteiros. Vamosexemplificar os conjuntos que unidos formam os números reais. Veja:
Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, ....Números Inteiros (Z): ..., –8, –7, –6, –5, –4, –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .....
Números Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, –5/4,Números Irracionais (I): √2, √3, –√5, 1,32365498...., 3,141592....
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 10/37
Podemos concluir que o conjunto dos números reais é a união dos seguintes conjuntos:
N U Z U Q U I = R ou Q U I = R
Os números reais podem ser representados por qualquer número pertencente aos conjuntosda união acima. Essas designações de conjuntos numéricos existem no intuito de criarcondições de resolução de equações e funções. As soluções devem ser dadas obedecendopadrões matemáticos e de acordo com a condição de existência da incógnita na expressão.
Por Marcos NoéGraduado em MatemáticaEquipe Brasil Escola
Números Irracionais
Em meio à infinidade de nosso sistemanumérico, temos diversos números com suaspeculiaridades: entre eles, os númerosirracionais. O surgimento do conjunto dos
números irracionais é proveniente de umadiscussão acerca do cálculo da diagonal de umquadrado de lado 1, surgindo, assim, o problemapara
Números irracionais, responsáveis por um grande desenvolvimento na Matemática
Todo número decimal é um número irracional? Para as pessoas que têm dúvida quanto a isso, veremos,
neste artigo, como definir o conjunto dos números irracionais e observaremos alguns exemplos denúmeros importantes na matemática, que são “constantes irracionais”.
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 11/37
Os números irracionais são aqueles que não podem ser representados por meio de uma fração. Osurgimento desses números veio de um antigo problema que Pitágoras se recusava a aceitar, que era ocálculo da diagonal de um quadrado, cujo lado mede 1 unidade, diagonal esta que mede √2. Este númerodeu início ao estudo de um novo conjunto, representado pelos números irracionais.
Hoje em dia, pensamos: “Nossa, mas encontrar o valor de √2 é tão fácil, basta usarmos a calculadora”.Entretanto, na época em que começaram estes estudos, o único mecanismo para encontrar os valoresdas raízes quadradas envolvia os números quadrados (√2²,√3²,√4², …).
Com o estudo contínuo dos elementos da matemática, os matemáticos se depararam com a necessidadede calcular o comprimento de uma circunferência; e com cálculos contínuos, notaram que um número serepetia para qualquer que fosse a circunferência, número este que outrora foi denominado de número pi(π).
Esse número é encontrado através da razão do comprimento pelo diâmetro da circunferência.
Esse é um dos números que foi citado no início do texto: a constante π é de fundamental importânciapara a área de geometria e trigonometria.
Veremos alguns exemplos de números irracionais e notaremos que a sua parte decimal não possuinenhuma estrutura que possa ser fundamentada em forma de fração, assim como ocorre em fraçõesperiódicas.
Constantes irracionais ou números transcendentais:
Números irracionais obtidos pela raiz quadrada de um número:
Estes são os números irracionais, cujo valor da última casa decimal nunca saberemos.
Operações entre Números Inteiros
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 12/37
O conjunto dos números inteiros é formado pelos algarismos inteiros positivos e negativos e o zero. Elessão importantes para o cotidiano, principalmente nas situações envolvendo valores negativos, comoescalas de temperatura, saldos bancários, indicações de altitude em relação ao nível do mar, entre outrassituações. As adições e subtrações envolvendo estes números, requerem a utilização de regras
matemáticas envolvendo os sinais positivos (+) e negativos ( –). Devemos também dar ênfase ao estudodo módulo de um número, que significa trabalhar o valor absoluto de um algarismo, observe:
Vamos determinar o módulo dos números a seguir:
Módulo de + 4 = |+4| = 4Módulo de –6 = | –6| = 6Módulo de –10 = | –10| = 10Módulo de +20 = |+20|=20
Adição e subtração de números inteiros sem a presença de parênteses.
1ª propriedade → sinais iguais: soma e conserva o sinal.
2ª propriedade → sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do número de maior módulo.
+ 5 + 6 = + 11 →1ª propriedade+ 9 + 10 = +19 → 1ª propriedade – 6 + 2 = – 4 → 2ª propriedade+ 9 – 7 = +2 → 2ª propriedade – 3 – 5 = –8 →1ª propriedade –18 – 12 = –30 → 1ª propriedade
Adição e subtração de números inteiros com a presença de parênteses.
Para eliminarmos os parênteses devemos realizar um jogo de sinal, observe:
+ ( + ) = ++ ( – ) = – – ( + ) = – – ( – ) = +
Após a eliminação dos parênteses, basta aplicarmos a 1ª ou a 2ª propriedade.
+ (+9) + ( –6) → + 9 – 6 → + 3
– ( – 8) – (+6) → +8 – 6 → +2+ ( – 14) – ( – 8) → –14 + 8 → – 6
– (+ 22) − (– 7) → –22 + 7 → –15
– ( + 9 ) + ( – 12) → – 9 – 12 → – 21
Por Marcos NoéGraduado em MatemáticaEquipe Brasil Escola
Teoria dos conjuntos
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 13/37
Um diagrama de Venn ilustrando a interseção de dois conjuntos.
Teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos, que são coleçõesde elementos. Embora qualquer tipo de elemento possa ser reunido em um conjunto, a
teoria dos conjuntos é aplicada na maioria das vezes a elementos que são relevantes paraa matemática. A linguagem da teoria dos conjuntos pode ser usada nas definições dequase todos os elementos matemáticos.
O estudo moderno da teoria dos conjuntos foi iniciado por Georg Cantor e RichardDedekind em 1870. Após a descoberta de paradoxos na teoria ingênua dos conjuntos, numerosos sistemas de axiomas foram propostos no início do século XX, dos quais osaxiomas de Zermelo-Fraenkel, com o axioma da escolha, são os mais conhecidos.
Conceitos de teoria dos conjuntos são integrados em todo currículo de matemática nosEstados Unidos. Fatos elementares sobre conjuntos e associação de conjuntos são
frequentemente ensinados na escola primária, junto com diagramas de Venn, diagramasde Euler, e as operações elementares, tais como união e interseção de conjunto.Conceitos ligeiramente mais avançados, tais como cardinalidade são uma parte padrãodo currículo de matemática de graduação.
A teoria dos conjuntos é comumente empregada como um sistema precursor damatemática, particularmente na forma de teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel como axioma da escolha. Além de seu papel fundamental, a teoria dos conjuntos é um ramoda matemática em si própria, com uma comunidade de pesquisa ativa. Pesquisascontemporâneas em teoria dos conjuntos incluem uma diversa coleção de temas,variando da estrutura do número real ao estudo da consistência de grandes cardinais.
A lógica de classes, que pode ser considerada um pequeno fragmento da teoria dosconjuntos com importância histórica é isomorfa à lógica proposicional clássica e àálgebra booleana, e como tal, os teoremas de uma das teorias possuem análogos nasoutras duas.[1][2]
Exemplos:
equivale a .
equivale a .
equivale a .
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 14/37
equivale a .
equivale a .
equivale a .
equivale a .
[editar] História
Temas matemáticos geralmente surgem e evoluem através de interações entre muitospesquisadores. Teoria dos conjuntos, no entanto, foi fundada por um único artigo em1874 por Georg Cantor: "A respeito de uma propriedade característica de todos os
números algébricos reais".
[3][4]
Desde o século V a.C., começando com o matemático grego Zenão de Eleia no ocidentee matemáticos indianos no oriente, os matemáticos têm se debatido com o conceito deinfinito. Especialmente notável é o trabalho de Bernard Bolzano[5] na primeira metadedo século XIX. A compreensão moderna do conceito de infinito em matemáticacomeçou em 1867 – 71, com os trabalhos de Cantor em teoria dos números, teoria dasfunções e séries trigonométricas[6]. Um encontro em 1872 entre Cantor e RichardDedekind influenciou o pensamento de Cantor e culminou no artigo de Cantor 1874.
O trabalho de Cantor inicialmente dividiu os matemáticos de sua época. Enquanto Karl
Weierstrass e Dedekind apoiavam Cantor, Leopold Kronecker, hoje visto como um dosfundadores do construtivismo matemático, era contra. A teoria dos conjuntoscantoriana, afinal, tornou-se amplamente difundida, devido à utilidade dos conceitoscantorianos, tais como correspondência um-para-um entre conjuntos, sua prova de quehá mais números reais que inteiros, e a "infinidade de infinitos" ("paraíso de Cantor")que a operação conjunto das partes dá origem.
A onda de entusiasmo seguinte na teoria dos conjuntos chegou por volta de 1900,quando foi descoberto que a teoria dos conjuntos Cantoriana dava origem a váriascontradições, chamadas antinomias ou paradoxos. Bertrand Russell e Ernst Zermelo encontraram o paradoxo mais simples e mais conhecido paradoxo, hoje chamado
paradoxo de Russell que envolve "o conjunto de todos os conjuntos que não sãomembros de si mesmos". Isto leva a uma contradição, uma vez que ele deve ser e nãoser um membro de si mesmo. Em 1899 Cantor se questionou: "qual é o número cardinal do conjunto de todos os conjuntos?" e obteve um paradoxo relacionado.
A força da teoria dos conjuntos foi tal que o debate sobre os paradoxos não a levou aoabandono. O trabalho de Zermelo em 1908 e Abraham Fraenkel em 1922 resultou nateoria axiomática dos conjuntos canônica ZFC, que imagina-se ser livre de paradoxos.O trabalho de analistas, como Henri Lebesgue, demonstrou a grande utilidadematemática da teoria dos conjuntos.
[editar] Conceitos básicos
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 15/37
Ver artigo principal: Conjunto
Teoria dos conjuntos começa com uma fundamental relação binária entre um objeto o eum conjunto A. Se o é um membro (ou elemento) de A, nós escrevemos o ∈ A. Umavez que conjuntos são objetos, a relação de pertinência também pode relacionar
conjuntos.
Uma relação binária derivada entre dois conjuntos é a relação subconjunto, tambémchamada 'está contido'. Se todos os elementos do conjunto A também são elementos doconjunto B, então A é um subconjunto de B, denotado por A ⊆ B. Por exemplo, {1,2} éum subconjunto de {1,2,3} , mas {1,4} não é. A partir desta definição, é óbvio que umconjunto é um subconjunto de si mesmo; nos casos em que se deseja evitar isso, o termosubconjunto próprio é definido para excluir esta possibilidade.
Assim como a aritmética caracteriza operações binárias sobre números, teoria dos
conjuntos caracteriza operações binárias sobre conjuntos. O (A): União dos conjuntos A e B, denotada por A ∪ B, é o conjunto de todos os objetos que
são membros de A, ou B, ou ambos. A união de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {1, 2, 3,4}.
Interseção dos conjuntos A e B, denotada por A ∩ B, é o conjunto de todos os objetosque são membros de ambos A e B. A interseção de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {2,3}.
Diferença de conjuntos de U e A, denotada por U \ A é o conjunto de todos osmembros de U que não são membros de A. A diferença de conjuntos {1,2,3} \ {2,3,4} é{1}, enquanto a diferença de conjuntos {2,3,4} \ {1,2,3} é {4}. Quando A é um
subconjunto de U, a diferença de conjuntos U \ A é também chamada decomplemento de A em U. Neste caso, se a escolha de U é clara a partir do contexto, anotação A
c é algumas vezes usada no lugar de U \ A, particularmente se U é umconjunto universo como no estudo de diagramas de Venn.
Diferença simétrica dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os objetos que sãomembros de exatamente um de A e B (elementos que estão em um dos conjuntos,mas não em ambos). Por exemplo, para os conjuntos {1,2,3} e {2,3,4}, o conjuntodiferença simétrica é {1,4}. É o conjunto diferença da união e da interseção,, ( A ∪ B) \( A ∩ B).
Produto cartesiano de A e B, denotada por A × B, é o conjunto cujos membros sãotodos os possíveis pares ordenados (a,b) onde a é um membro de A e b é um membrode B.
Conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto cujos membros são todos ospossíveis subconjuntos de A. Por exemplo, o conjunto das partes de {1, 2} é { {}, {1},{2}, {1,2} }.
Alguns conjuntos básicos de importância central são o conjunto vazio (o único conjuntoque não contém elementos), o conjunto de números naturais, e o conjunto de númerosreais.
[editar] Um pouco de ontologia
Ver artigo principal: Universo de von Neumann
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 16/37
Um segmento inicial da hierarquia de von Neumann.
Um conjunto é puro se todos os seus membros são conjuntos, todos os membros de seusmembros são conjuntos, e assim por diante. Por exemplo, o conjunto {{}} contendoapenas o conjunto vazio é um conjunto não vazio puro. Na teoria dos conjuntosmoderna, é comum restringir a atenção para o universo de von Neumann de conjuntospuros, e muitos sistemas da teoria axiomática dos conjuntos são projetados paraaxiomatizar apenas os conjuntos puros. Há muitas vantagens técnicas com estarestrição, e pequena generalidade é perdida, uma vez que, essencialmente, todos osconceitos matemáticos podem ser modelados por conjuntos puros. Conjuntos nouniverso de von Neumann são organizados em uma hierarquia cumulativa, com base em
quão profundamente seus membros, os membros de membros, etc, são aninhados. Acada conjunto nesta hierarquia é atribuído (por recursão transfinita) um número ordinal a, conhecido como a sua 'classe'. A classe de um conjunto puro X é definida comosendo uma mais do que o [[menor limitante superior] das classes de todos os membrosde X . Por exemplo, ao conjunto vazio é atribuida a classe 0, enquanto ao conjunto {{}}contendo somente o conjunto vazio é atribuída classe 1. Para cada a, o conjunto V a édefinido como consistindo de todos os conjuntos puros com classe menor que a. Ouniverso de von Neumann como um todo é denotado por V .
[editar] Teoria axiomática dos conjuntos
Teoria elementar dos conjuntos pode ser estudada de maneira informal e intuitiva, e porisso pode ser ensinado nas escolas primárias usando, por exemplo, diagramas de Venn. A abordagem intuitiva pressupõe que um conjunto pode ser formado a partir da classede todos os objetos que satisfaçam uma condição particular de definição. Esta hipótesedá origem a paradoxos, os mais simples e mais conhecidos dos quais são o paradoxo deRussell e o paradoxo de Burali-Forti. Teoria axiomática dos conjuntos foi originalmenteconcebida para livrar a teoria dos conjuntos de tais paradoxos.[7]
Os sistemas mais amplamente estudados da teoria axiomática dos conjuntos implicamque todos os conjuntos formam uma hierarquia cumulativa. Tais sistemas vêm em dois
sabores, aqueles cuja ontologia consiste de:
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 17/37
Conjuntos sozinhos. Estes incluem a mais comum teoria axiomática dos conjuntos,teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), que inclui o axioma da escolha. Fragmentos de ZFC incluem:
o Teoria de conjuntos de Zermelo, que substitui o esquema de axiomas dasubstituição com o da separação;
o Teoria geral dos conjuntos, um pequeno fragmento da teoria de conjuntos deZermelo suficiente para os axiomas de Peano e conjuntos finitos; o Teoria dos conjuntos de Kripke-Platek, que omite os axiomas do infinitude,
conjunto das partes, e escolha, e enfraquece os esquemas de axiomas daseparação e substituição.
Conjuntos e classes próprias. Estes incluem a teoria dos conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel, que tem a mesma força que ZFC para teoremas sobre conjuntossozinhos, e teoria dos conjuntos de Morse-Kelley, que é mais forte do que ZFC.
Os sistemas acima podem ser modificados para permitirem urelementos, objetos quepodem ser membros de conjuntos, mas que não são eles próprios conjuntos e não tem
nenhum membro.
Os sistemas de Novos Fundamentos NFU (permitindo urelementos) e NF (faltandoeles) não são baseadas em uma hierarquia cumulativa. NF e NFU incluem um"conjuntode tudo", em relação a qual cada conjunto tem um complemento. Nestes sistemasurelementos importam, porque NF, mas não NFU, produz conjuntos para os quais oaxioma da escolha não se verifica.
Sistemas da teoria dos conjuntos construtiva, como CST, CZF e IZF, firmam seusconjuntos de axiomas na lógica intuicionista em vez da lógica de primeira ordem. Noentanto, outros sistemas admitem por padrão a lógica de primeira ordem, mas
apresentam uma relação membro não-padrão. Estes incluem a teoria grosseira dosconjuntos e a teoria dos conjuntos difusa, na qual o valor de uma formula atômica incorporando a relação de filiação não é simplesmente Verdadeiro ou Falso. Osmodelos de valores Booleanos de ZFC são um assunto relacionado.
[editar] Aplicações
Quase todos os conceitos matemáticos são agora definidos formalmente em termos deconjuntos e conceitos teóricos de conjuntos. Por exemplo, as estruturas matemáticas tãodiversas como grafos, variedade, anéis, e espaços vetoriais são todos definidos como
conjuntos contendo várias propriedades (axiomáticas). Equivalência e relações deordem são onipresentes na matemática, e a teoria das relações é inteiramente baseada nateoria dos conjuntos.
A teoria dos conjuntos também é um sistema fundamental para muito da matemática.Desde a publicação do primeiro volume de Principia Mathematica, que tem sidoafirmado que a maioria ou mesmo todos os teoremas matemáticos podem ser derivadosusando um conjunto adequadamente projetado de axiomas para a teoria dos conjuntos,aumentado com muitas definições, usando lógica de primeira ordem ou segunda ordem. Por exemplo, as propriedades do números naturais e reais podem ser obtidas da teoriados conjuntos, já que cada sistema de números pode ser identificado como um conjunto
de classes de equivalência sob uma relação de equivalência adequada cujo campo éalgum conjunto infinito.
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 18/37
Teoria dos conjuntos como base para a análise matemática, topologia, álgebra abstrata ematemática discreta é igualmente incontroversa; matemáticos aceitam que (a princípio)teoremas nestas áreas podem ser derivadas das definições pertinentes e dos axiomas dateoria dos conjuntos. Algumas derivações completas de teoremas de complexidadematemática foram formalmente verificados a partir da teoria dos conjuntos, no entanto,
tais derivações formais são muitas vezes mais extensas que do que as provasmatemáticas de linguagem natural comumente presentes. Um projeto de verificação,Metamath, inclui derivações de mais de 10.000 teoremas a partir dos axiomas de ZFC eusando lógica de primeira ordem.
[editar] Áreas de estudo
Teoria dos conjuntos é a principal área de pesquisa na matemática, com muitas subáreasinter-relacionados.
[editar] Teoria dos conjuntos combinatória
Ver artigo principal: Combinatória
Teoria dos conjuntos combinatória preocupa-se com extensões da combinatória finitapara conjuntos infinitos. Isto inclui o estudo da aritmética de cardinais e o estudo deextensões do teorema de Ramsey tais como o teorema de Erdos-Rado.
[editar] Teoria descritiva dos conjuntos
Ver artigo principal: Teoria descritiva dos conjuntos
Teoria descritiva dos conjuntos é o estudo de subconjuntos da reta real e dossubconjuntos dos espaços poloneses. Ela começa com o estudo das [[pointclass]es nahierarquia de Borel e se estende ao estudo de hierarquias mais complexas, como ahierarquia projetiva e a hierarquia de Wadge. Muitas propriedades dos conjuntos deBorel podem ser estabelecidas em ZFC, , mas a prova de que essas propriedades severificam para conjuntos mais complicados requer axiomas adicionais relacionados comdeterminismo e grandes cardinais.
O campo da teoria descritiva dos conjuntos efetiva está entre a teoria dos conjuntos e a
teoria da recursão. Ele inclui o estudo de lightface pointclasses, e está intimamenterelacionado com a teoria hiperaritmética. Em muitos casos, os resultados da teoriadescritiva dos conjuntos clássica têm versões efetivas; em alguns casos, novosresultados são obtidos provando pela versão efetiva primeiro e depois estendendo-os("relativizando-os") para torná-la mais amplamente aplicáveis.
Uma área recente de pesquisa diz respeito a relações de equivalência de Borel e relaçõesde equivalência decidíveis mais complicadas. Isto tem importantes aplicações para oestudo de invariantes em muitos campos da matemática.
[editar] Teoria dos conjuntos difusa
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 19/37
Ver artigo principal: Teoria dos conjuntos difusa
Na teoria dos conjuntos como Cantor definiu e Zermelo e Fraenkel axiomatizaram, umobjeto ou é um membro de um conjunto ou não. Em teoria dos conjuntos difusa estacondição foi relaxada por Lotfi A. Zadeh, então um objeto tem um grau de pertinência
em um conjunto, como número entre 0 e 1. Por exemplo, o grau de pertinência de umapessoa no conjunto de "pessoas altas" é mais flexível do que um simples sim ou nãoresposta e pode ser um número real, tal como 0,75.
[editar] Teoria do modelo interno
Ver artigo principal: Teoria do modelo interno
Um modelo interno da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) é uma classe transitiva que inclui todos os ordinais e satisfaz todos os axiomas de ZF. O exemplo
canônico é o Universo construível L desenvolvido por Gödel. Uma das razões que tornao estudo de modelos internos interessante é que ele pode ser usado para provarresultados de consistência. Por exemplo, pode-se mostrar que, independentemente seum modelo V da ZF satisfaz a hipótese do contínuum ou o axioma da escolha, o modelointerno L construído dentro do modelo original irá satisfazer tanto a hipótese docontinuum generalizada quanto o axioma da escolha. Assim, a suposição de que ZF éconsistente (tem qualquer modelo que seja) implica que ZF juntamente com estes doisprincípios é consistente.
O estudo de modelos de interior é comum no estudo do determinismo e grandescardinais, especialmente quando se considera axiomas que contradizem o axioma daescolha. Mesmo que um modelo fixo da teoria dos conjuntos satisfaz o axioma daescolha, é possível que um modelo interno falhe em satisfazer o axioma da escolha. Porexemplo, a existência de cardinais suficientemente grandes implica que há um modelointerno satisfazendo o axioma do determinismo (e, portanto, não satisfazendo o axiomada escolha).[8]
[editar] Grandes cardinais
Ver artigo principal: Propriedade de grande cardinal
Um grande cardinal é um número cardinal transfinito cujo caráter de "muito grande"está dado por uma propriedade extra, denominada propriedade de grande cardinal.Muitas destas propriedades são particularmente estudadas, incluindo cardinaisinacessíveis, cardinais mensuráveis, cardinais compactos, entre outras. A existência deum cardinal com uma dessas propriedades não pode ser demonstrada na teoria dosconjuntos de Zermelo-Fraenkel, ZF, se ZF é consistente.
[editar] Determinismo
Ver artigo principal: Determinismo
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 20/37
Determinismo refere-se ao fato de que, sob os pressupostos adequados, certos dois jogadores são determinados desde o início no sentido de que um jogador deve ter umaestratégia vencedora. A existência dessas estratégias tem conseqüências importantes nateoria descritiva dos conjuntos, como a suposição de que uma classe mais ampla de
jogos ser determinada muitas vezes implica que uma classe mais ampla de conjuntos
possui uma propriedade topológica. O axioma do determinismo (AD) é um importanteobjeto de estudo, embora incompatível com o axioma da escolha, AD implica que todosos subconjuntos da reta real são bem comportados (em particular, mensuráveis e com apropriedade de conjunto perfeito). AD pode ser usado para provar que os graus deWadge têm uma estrutura alinhada.
[editar] Forçamento
Ver artigo principal: Forçamento
Paul Cohen inventou o método de forçamento enquanto procura por um modelo de ZFC em que o axioma da escolha ou a hipótese do contínuum falhe. Forçando a adição deconjuntos adicionais a algum determinado modelo da teoria dos conjuntos de modo acriar um modelo maior, com propriedades determinadas (isto é "forçadas") pelo modelooriginal e pela construção. Por exemplo, a construção de Cohen uniu subconjuntosadicionais dos números naturais sem mudar qualquer dos números cardinais do modelooriginal. Forçamento é também um dos dois métodos para provar consistência relativa por métodos finitístico, sendo o outro os modelos de valores Booleanos.
[editar] Invariantes cardinais
Ver artigo principal: Invariante cardinal
Invariante cardinal é uma propriedade da reta real medida por um número cardinal.Por exemplo, uma invariante bem estudado é a menor cardinalidade de uma coleção deconjuntos magros de reais cuja união é toda a reta real. Estes são invariantes no sentidode que quaisquer dois modelos da teoria dos conjuntos isomorfos deve dar o mesmocardinal para cada invariante. Muitos invariantes cardinais foram estudados, e asrelações entre eles são muitas vezes complexas e relacionadas com os axiomas da teoriados conjuntos.
[editar] Topologia
Ver artigos principais: Topologia (matemática) e Topologia
Topologia estuda questões de topologia geral que são de teoria dos conjuntos em suanatureza ou que requerem métodos avançados da teoria dos conjuntos para sua solução.Muitos desses teoremas são independentes de ZFC, exigindo axiomas mais fortes para asua prova. Um famoso problema é o problema do espaço de Moore, uma questão natopologia geral que foi objecto de intensa pesquisa. A resposta para este problemaacabou por ser provada ser independente de ZFC.
Teoria dos conjuntos
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 21/37
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Um diagrama de Venn ilustrando a interseção de dois conjuntos.
Teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos, que são coleçõesde elementos. Embora qualquer tipo de elemento possa ser reunido em um conjunto, ateoria dos conjuntos é aplicada na maioria das vezes a elementos que são relevantes paraa matemática. A linguagem da teoria dos conjuntos pode ser usada nas definições dequase todos os elementos matemáticos.
O estudo moderno da teoria dos conjuntos foi iniciado por Georg Cantor e RichardDedekind em 1870. Após a descoberta de paradoxos na teoria ingênua dos conjuntos, numerosos sistemas de axiomas foram propostos no início do século XX, dos quais osaxiomas de Zermelo-Fraenkel, com o axioma da escolha, são os mais conhecidos.
Conceitos de teoria dos conjuntos são integrados em todo currículo de matemática nosEstados Unidos. Fatos elementares sobre conjuntos e associação de conjuntos sãofrequentemente ensinados na escola primária, junto com diagramas de Venn, diagramasde Euler, e as operações elementares, tais como união e interseção de conjunto.Conceitos ligeiramente mais avançados, tais como cardinalidade são uma parte padrãodo currículo de matemática de graduação.
A teoria dos conjuntos é comumente empregada como um sistema precursor damatemática, particularmente na forma de teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com
o axioma da escolha. Além de seu papel fundamental, a teoria dos conjuntos é um ramoda matemática em si própria, com uma comunidade de pesquisa ativa. Pesquisascontemporâneas em teoria dos conjuntos incluem uma diversa coleção de temas,variando da estrutura do número real ao estudo da consistência de grandes cardinais.
A lógica de classes, que pode ser considerada um pequeno fragmento da teoria dosconjuntos com importância histórica é isomorfa à lógica proposicional clássica e àálgebra booleana, e como tal, os teoremas de uma das teorias possuem análogos nasoutras duas.[1][2]
Exemplos:
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 22/37
equivale a .
equivale a .
equivale a .
equivale a .
equivale a .
equivale a .
equivale a .
Índice
[esconder]
1 História
2 Conceitos básicos 3 Um pouco de ontologia 4 Teoria axiomática dos conjuntos 5 Aplicações 6 Áreas de estudo
o 6.1 Teoria dos conjuntos combinatória o 6.2 Teoria descritiva dos conjuntos o 6.3 Teoria dos conjuntos difusa o 6.4 Teoria do modelo interno o 6.5 Grandes cardinais o 6.6 Determinismo o
6.7 Forçamento o 6.8 Invariantes cardinais o 6.9 Topologia
7 Objeções à teoria dos conjuntos como fundamento para a matemática 8 Ver também 9 Referências 10 Leituras adicionais 11 Ligações externas
[editar] História
Temas matemáticos geralmente surgem e evoluem através de interações entre muitospesquisadores. Teoria dos conjuntos, no entanto, foi fundada por um único artigo em1874 por Georg Cantor: "A respeito de uma propriedade característica de todos osnúmeros algébricos reais".[3][4]
Desde o século V a.C., começando com o matemático grego Zenão de Eleia no ocidentee matemáticos indianos no oriente, os matemáticos têm se debatido com o conceito deinfinito. Especialmente notável é o trabalho de Bernard Bolzano[5] na primeira metadedo século XIX. A compreensão moderna do conceito de infinito em matemática
começou em 1867 – 71, com os trabalhos de Cantor em teoria dos números, teoria das
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 23/37
funções e séries trigonométricas[6]. Um encontro em 1872 entre Cantor e RichardDedekind influenciou o pensamento de Cantor e culminou no artigo de Cantor 1874.
O trabalho de Cantor inicialmente dividiu os matemáticos de sua época. Enquanto KarlWeierstrass e Dedekind apoiavam Cantor, Leopold Kronecker, hoje visto como um dos
fundadores do construtivismo matemático, era contra. A teoria dos conjuntoscantoriana, afinal, tornou-se amplamente difundida, devido à utilidade dos conceitoscantorianos, tais como correspondência um-para-um entre conjuntos, sua prova de quehá mais números reais que inteiros, e a "infinidade de infinitos" ("paraíso de Cantor")que a operação conjunto das partes dá origem.
A onda de entusiasmo seguinte na teoria dos conjuntos chegou por volta de 1900,quando foi descoberto que a teoria dos conjuntos Cantoriana dava origem a váriascontradições, chamadas antinomias ou paradoxos. Bertrand Russell e Ernst Zermelo encontraram o paradoxo mais simples e mais conhecido paradoxo, hoje chamadoparadoxo de Russell que envolve "o conjunto de todos os conjuntos que não são
membros de si mesmos". Isto leva a uma contradição, uma vez que ele deve ser e nãoser um membro de si mesmo. Em 1899 Cantor se questionou: "qual é o número cardinal do conjunto de todos os conjuntos?" e obteve um paradoxo relacionado.
A força da teoria dos conjuntos foi tal que o debate sobre os paradoxos não a levou aoabandono. O trabalho de Zermelo em 1908 e Abraham Fraenkel em 1922 resultou nateoria axiomática dos conjuntos canônica ZFC, que imagina-se ser livre de paradoxos.O trabalho de analistas, como Henri Lebesgue, demonstrou a grande utilidadematemática da teoria dos conjuntos.
[editar] Conceitos básicosVer artigo principal: Conjunto
Teoria dos conjuntos começa com uma fundamental relação binária entre um objeto o eum conjunto A. Se o é um membro (ou elemento) de A, nós escrevemos o ∈ A. Umavez que conjuntos são objetos, a relação de pertinência também pode relacionarconjuntos.
Uma relação binária derivada entre dois conjuntos é a relação subconjunto, também
chamada 'está contido'. Se todos os elementos do conjunto A também são elementos doconjunto B, então A é um subconjunto de B, denotado por A ⊆ B. Por exemplo, {1,2} éum subconjunto de {1,2,3} , mas {1,4} não é. A partir desta definição, é óbvio que umconjunto é um subconjunto de si mesmo; nos casos em que se deseja evitar isso, o termosubconjunto próprio é definido para excluir esta possibilidade.
Assim como a aritmética caracteriza operações binárias sobre números, teoria dosconjuntos caracteriza operações binárias sobre conjuntos. O (A):
União dos conjuntos A e B, denotada por A ∪ B, é o conjunto de todos os objetos quesão membros de A, ou B, ou ambos. A união de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {1, 2, 3,
4}.
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 24/37
Interseção dos conjuntos A e B, denotada por A ∩ B, é o conjunto de todos os objetosque são membros de ambos A e B. A interseção de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {2,3}.
Diferença de conjuntos de U e A, denotada por U \ A é o conjunto de todos osmembros de U que não são membros de A. A diferença de conjuntos {1,2,3} \ {2,3,4} é
{1}, enquanto a diferença de conjuntos {2,3,4} \ {1,2,3} é {4}. Quando A é umsubconjunto de U, a diferença de conjuntos U \ A é também chamada decomplemento de A em U. Neste caso, se a escolha de U é clara a partir do contexto, anotação A
c é algumas vezes usada no lugar de U \ A, particularmente se U é umconjunto universo como no estudo de diagramas de Venn.
Diferença simétrica dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os objetos que sãomembros de exatamente um de A e B (elementos que estão em um dos conjuntos,mas não em ambos). Por exemplo, para os conjuntos {1,2,3} e {2,3,4}, o conjuntodiferença simétrica é {1,4}. É o conjunto diferença da união e da interseção,, ( A ∪ B) \( A ∩ B).
Produto cartesiano de A e B, denotada por A × B, é o conjunto cujos membros são
todos os possíveis pares ordenados (a,b) onde a é um membro de A e b é um membrode B. Conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto cujos membros são todos os
possíveis subconjuntos de A. Por exemplo, o conjunto das partes de {1, 2} é { {}, {1},{2}, {1,2} }.
Alguns conjuntos básicos de importância central são o conjunto vazio (o único conjuntoque não contém elementos), o conjunto de números naturais, e o conjunto de númerosreais.
[editar] Um pouco de ontologia
Ver artigo principal: Universo de von Neumann
Um segmento inicial da hierarquia de von Neumann.
Um conjunto é puro se todos os seus membros são conjuntos, todos os membros de seus
membros são conjuntos, e assim por diante. Por exemplo, o conjunto {{}} contendoapenas o conjunto vazio é um conjunto não vazio puro. Na teoria dos conjuntos
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 25/37
moderna, é comum restringir a atenção para o universo de von Neumann de conjuntospuros, e muitos sistemas da teoria axiomática dos conjuntos são projetados paraaxiomatizar apenas os conjuntos puros. Há muitas vantagens técnicas com estarestrição, e pequena generalidade é perdida, uma vez que, essencialmente, todos osconceitos matemáticos podem ser modelados por conjuntos puros. Conjuntos no
universo de von Neumann são organizados em uma hierarquia cumulativa, com base emquão profundamente seus membros, os membros de membros, etc, são aninhados. Acada conjunto nesta hierarquia é atribuído (por recursão transfinita) um número ordinal a, conhecido como a sua 'classe'. A classe de um conjunto puro X é definida comosendo uma mais do que o [[menor limitante superior] das classes de todos os membrosde X . Por exemplo, ao conjunto vazio é atribuida a classe 0, enquanto ao conjunto {{}}contendo somente o conjunto vazio é atribuída classe 1. Para cada a, o conjunto V a édefinido como consistindo de todos os conjuntos puros com classe menor que a. Ouniverso de von Neumann como um todo é denotado por V .
[editar] Teoria axiomática dos conjuntosTeoria elementar dos conjuntos pode ser estudada de maneira informal e intuitiva, e porisso pode ser ensinado nas escolas primárias usando, por exemplo, diagramas de Venn. A abordagem intuitiva pressupõe que um conjunto pode ser formado a partir da classede todos os objetos que satisfaçam uma condição particular de definição. Esta hipótesedá origem a paradoxos, os mais simples e mais conhecidos dos quais são o paradoxo deRussell e o paradoxo de Burali-Forti. Teoria axiomática dos conjuntos foi originalmenteconcebida para livrar a teoria dos conjuntos de tais paradoxos.[7]
Os sistemas mais amplamente estudados da teoria axiomática dos conjuntos implicam
que todos os conjuntos formam uma hierarquia cumulativa. Tais sistemas vêm em doissabores, aqueles cuja ontologia consiste de:
Conjuntos sozinhos. Estes incluem a mais comum teoria axiomática dos conjuntos,teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), que inclui o axioma da escolha. Fragmentos de ZFC incluem:
o Teoria de conjuntos de Zermelo, que substitui o esquema de axiomas dasubstituição com o da separação;
o Teoria geral dos conjuntos, um pequeno fragmento da teoria de conjuntos deZermelo suficiente para os axiomas de Peano e conjuntos finitos;
o Teoria dos conjuntos de Kripke-Platek, que omite os axiomas do infinitude,
conjunto das partes, e escolha, e enfraquece os esquemas de axiomas daseparação e substituição.
Conjuntos e classes próprias. Estes incluem a teoria dos conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel, que tem a mesma força que ZFC para teoremas sobre conjuntossozinhos, e teoria dos conjuntos de Morse-Kelley, que é mais forte do que ZFC.
Os sistemas acima podem ser modificados para permitirem urelementos, objetos quepodem ser membros de conjuntos, mas que não são eles próprios conjuntos e não temnenhum membro.
Os sistemas de Novos Fundamentos NFU (permitindo urelementos) e NF (faltando
eles) não são baseadas em uma hierarquia cumulativa. NF e NFU incluem um"conjuntode tudo", em relação a qual cada conjunto tem um complemento. Nestes sistemas
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 26/37
urelementos importam, porque NF, mas não NFU, produz conjuntos para os quais oaxioma da escolha não se verifica.
Sistemas da teoria dos conjuntos construtiva, como CST, CZF e IZF, firmam seusconjuntos de axiomas na lógica intuicionista em vez da lógica de primeira ordem. No
entanto, outros sistemas admitem por padrão a lógica de primeira ordem, masapresentam uma relação membro não-padrão. Estes incluem a teoria grosseira dosconjuntos e a teoria dos conjuntos difusa, na qual o valor de uma formula atômica incorporando a relação de filiação não é simplesmente Verdadeiro ou Falso. Osmodelos de valores Booleanos de ZFC são um assunto relacionado.
[editar] Aplicações
Quase todos os conceitos matemáticos são agora definidos formalmente em termos deconjuntos e conceitos teóricos de conjuntos. Por exemplo, as estruturas matemáticas tão
diversas como grafos, variedade, anéis, e espaços vetoriais são todos definidos comoconjuntos contendo várias propriedades (axiomáticas). Equivalência e relações deordem são onipresentes na matemática, e a teoria das relações é inteiramente baseada nateoria dos conjuntos.
A teoria dos conjuntos também é um sistema fundamental para muito da matemática.Desde a publicação do primeiro volume de Principia Mathematica, que tem sidoafirmado que a maioria ou mesmo todos os teoremas matemáticos podem ser derivadosusando um conjunto adequadamente projetado de axiomas para a teoria dos conjuntos,aumentado com muitas definições, usando lógica de primeira ordem ou segunda ordem. Por exemplo, as propriedades do números naturais e reais podem ser obtidas da teoria
dos conjuntos, já que cada sistema de números pode ser identificado como um conjuntode classes de equivalência sob uma relação de equivalência adequada cujo campo éalgum conjunto infinito.
Teoria dos conjuntos como base para a análise matemática, topologia, álgebra abstrata ematemática discreta é igualmente incontroversa; matemáticos aceitam que (a princípio)teoremas nestas áreas podem ser derivadas das definições pertinentes e dos axiomas dateoria dos conjuntos. Algumas derivações completas de teoremas de complexidadematemática foram formalmente verificados a partir da teoria dos conjuntos, no entanto,tais derivações formais são muitas vezes mais extensas que do que as provasmatemáticas de linguagem natural comumente presentes. Um projeto de verificação,
Metamath, inclui derivações de mais de 10.000 teoremas a partir dos axiomas de ZFC eusando lógica de primeira ordem.
[editar] Áreas de estudo
Teoria dos conjuntos é a principal área de pesquisa na matemática, com muitas subáreasinter-relacionados.
[editar] Teoria dos conjuntos combinatória
Ver artigo principal: Combinatória
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 27/37
Teoria dos conjuntos combinatória preocupa-se com extensões da combinatória finitapara conjuntos infinitos. Isto inclui o estudo da aritmética de cardinais e o estudo deextensões do teorema de Ramsey tais como o teorema de Erdos-Rado.
[editar] Teoria descritiva dos conjuntos
Ver artigo principal: Teoria descritiva dos conjuntos
Teoria descritiva dos conjuntos é o estudo de subconjuntos da reta real e dossubconjuntos dos espaços poloneses. Ela começa com o estudo das [[pointclass]es nahierarquia de Borel e se estende ao estudo de hierarquias mais complexas, como ahierarquia projetiva e a hierarquia de Wadge. Muitas propriedades dos conjuntos deBorel podem ser estabelecidas em ZFC, , mas a prova de que essas propriedades severificam para conjuntos mais complicados requer axiomas adicionais relacionados comdeterminismo e grandes cardinais.
O campo da teoria descritiva dos conjuntos efetiva está entre a teoria dos conjuntos e ateoria da recursão. Ele inclui o estudo de lightface pointclasses, e está intimamenterelacionado com a teoria hiperaritmética. Em muitos casos, os resultados da teoriadescritiva dos conjuntos clássica têm versões efetivas; em alguns casos, novosresultados são obtidos provando pela versão efetiva primeiro e depois estendendo-os("relativizando-os") para torná-la mais amplamente aplicáveis.
Uma área recente de pesquisa diz respeito a relações de equivalência de Borel e relaçõesde equivalência decidíveis mais complicadas. Isto tem importantes aplicações para oestudo de invariantes em muitos campos da matemática.
[editar] Teoria dos conjuntos difusa
Ver artigo principal: Teoria dos conjuntos difusa
Na teoria dos conjuntos como Cantor definiu e Zermelo e Fraenkel axiomatizaram, umobjeto ou é um membro de um conjunto ou não. Em teoria dos conjuntos difusa estacondição foi relaxada por Lotfi A. Zadeh, então um objeto tem um grau de pertinência em um conjunto, como número entre 0 e 1. Por exemplo, o grau de pertinência de umapessoa no conjunto de "pessoas altas" é mais flexível do que um simples sim ou não
resposta e pode ser um número real, tal como 0,75.
[editar] Teoria do modelo interno
Ver artigo principal: Teoria do modelo interno
Um modelo interno da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) é uma classe transitiva que inclui todos os ordinais e satisfaz todos os axiomas de ZF. O exemplocanônico é o Universo construível L desenvolvido por Gödel. Uma das razões que tornao estudo de modelos internos interessante é que ele pode ser usado para provarresultados de consistência. Por exemplo, pode-se mostrar que, independentemente seum modelo V da ZF satisfaz a hipótese do contínuum ou o axioma da escolha, o modelointerno L construído dentro do modelo original irá satisfazer tanto a hipótese do
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 28/37
continuum generalizada quanto o axioma da escolha. Assim, a suposição de que ZF éconsistente (tem qualquer modelo que seja) implica que ZF juntamente com estes doisprincípios é consistente.
O estudo de modelos de interior é comum no estudo do determinismo e grandes
cardinais, especialmente quando se considera axiomas que contradizem o axioma daescolha. Mesmo que um modelo fixo da teoria dos conjuntos satisfaz o axioma daescolha, é possível que um modelo interno falhe em satisfazer o axioma da escolha. Porexemplo, a existência de cardinais suficientemente grandes implica que há um modelointerno satisfazendo o axioma do determinismo (e, portanto, não satisfazendo o axiomada escolha).[8]
[editar] Grandes cardinais
Ver artigo principal: Propriedade de grande cardinal
Um grande cardinal é um número cardinal transfinito cujo caráter de "muito grande"está dado por uma propriedade extra, denominada propriedade de grande cardinal.Muitas destas propriedades são particularmente estudadas, incluindo cardinaisinacessíveis, cardinais mensuráveis, cardinais compactos, entre outras. A existência deum cardinal com uma dessas propriedades não pode ser demonstrada na teoria dosconjuntos de Zermelo-Fraenkel, ZF, se ZF é consistente.
[editar] Determinismo
Ver artigo principal: Determinismo
Determinismo refere-se ao fato de que, sob os pressupostos adequados, certos dois jogadores são determinados desde o início no sentido de que um jogador deve ter umaestratégia vencedora. A existência dessas estratégias tem conseqüências importantes nateoria descritiva dos conjuntos, como a suposição de que uma classe mais ampla de
jogos ser determinada muitas vezes implica que uma classe mais ampla de conjuntospossui uma propriedade topológica. O axioma do determinismo (AD) é um importanteobjeto de estudo, embora incompatível com o axioma da escolha, AD implica que todosos subconjuntos da reta real são bem comportados (em particular, mensuráveis e com apropriedade de conjunto perfeito). AD pode ser usado para provar que os graus de
Wadge têm uma estrutura alinhada.
[editar] Forçamento
Ver artigo principal: Forçamento
Paul Cohen inventou o método de forçamento enquanto procura por um modelo de ZFC em que o axioma da escolha ou a hipótese do contínuum falhe. Forçando a adição deconjuntos adicionais a algum determinado modelo da teoria dos conjuntos de modo acriar um modelo maior, com propriedades determinadas (isto é "forçadas") pelo modelooriginal e pela construção. Por exemplo, a construção de Cohen uniu subconjuntosadicionais dos números naturais sem mudar qualquer dos números cardinais do modelo
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 29/37
original. Forçamento é também um dos dois métodos para provar consistência relativa por métodos finitístico, sendo o outro os modelos de valores Booleanos.
[editar] Invariantes cardinais
Ver artigo principal: Invariante cardinal
Invariante cardinal é uma propriedade da reta real medida por um número cardinal.Por exemplo, uma invariante bem estudado é a menor cardinalidade de uma coleção deconjuntos magros de reais cuja união é toda a reta real. Estes são invariantes no sentidode que quaisquer dois modelos da teoria dos conjuntos isomorfos deve dar o mesmocardinal para cada invariante. Muitos invariantes cardinais foram estudados, e asrelações entre eles são muitas vezes complexas e relacionadas com os axiomas da teoriados conjuntos.
[editar] TopologiaVer artigos principais: Topologia (matemática) e Topologia
Topologia estuda questões de topologia geral que são de teoria dos conjuntos em suanatureza ou que requerem métodos avançados da teoria dos conjuntos para sua solução.Muitos desses teoremas são independentes de ZFC, exigindo axiomas mais fortes para asua prova. Um famoso problema é o problema do espaço de Moore, uma questão natopologia geral que foi objecto de intensa pesquisa. A resposta para este problemaacabou por ser provada ser independente de ZFC.
[editar] Objeções à teoria dos conjuntos comofundamento para a matemática
Desde o início da teoria dos conjuntos, alguns matemáticos se opuseram a ela como umfundamento para a matemática, argumentando, por exemplo, que é apenas um jogo queinclui elementos de fantasia. A objeção mais comum à teoria dos conjuntos, ummanifesto de Kronecker nos primeiros anos da teoria dos conjuntos, começou a partir davisão construtivista de que a matemática é vagamente relacionada à computação. Se esteponto de vista for admitido, então o tratamento de conjuntos infinitos, tanto na teoria
ingênua dos conjuntos quanto na teoria axiomática dos conjuntos, , introduz emmatemática métodos e objetos que não são computáveis. Ludwig Wittgenstein questionou a forma como a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel manipulavainfinitos. As visões de Wittgenstein sobre os fundamentos da matemática foram maistarde criticada por Georg Kreisel e Paul Bernays, e minuciosamente investigadas porCrispin Wright, entre outros.
Teóricos das categorias propuseram a teoria de topos como uma alternativa à tradicionalteoria axiomática dos conjuntos. Teoria de topos pode interpretar várias alternativaspara aquela teoria, tais como o construtivismo, a teoria dos conjuntos finitos, e a teoriados conjuntos computáveis.[carece de fontes?]
[editar] Ver também
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 30/37
Teoria das categorias Modelo relacional Orientação a objetos Paradoxo de Russell Principia Mathematica
Lógica matemática
[editar] Referências
1. ↑ Tanscheit, Ricardo, Sistemas Fuzzy , 2011, em [1] 2. ↑ J.C. Bezdek. Editorial: Fuzzy Models − What Are They, and Why?. IEEE Transactions
on Fuzzy Systems, Vol. 1, No. 1, February 1993 − Edited by P.D. 3. ↑ G. Cantor, Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen,
Crelles Journal f. Mathematik, 77 (1874) 258 –262.4. ↑ Philip Johnson, 1972, A History of Set Theory , Prindle, Weber & Schmidt ISBN
0871501546
5. ↑ Bernard Bolzano, Paradoxien des Unendlichen, 1920, Felix Meiner, Leipzip.6. ↑ Georg Cantor, 1932, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und
philosophischen Inhalts, Springer, Berlin.7. ↑ Em seu artigo de 1925, John von Neumann observou que "a teoria dos conjuntos na
sua versão primeira, "ingênua", devida a Cantor, levou a contradições. Essas são asbem conhecidas antinomias do conjunto de todos os conjuntos que não contêm a sipróprios (Russell), do conjunto de todos os números ordinais transfinitos (Burali-Forti),e o conjunto de todos os números reais finitamente definíveis (Richard)." Ele vaiadiante até observar que duas "tendências" estavam tentando "reabilitar" a teoria dosconjuntos. Sobre o primeiro esforço, exemplificado por Bertrand Russell, Julius König, Hermann Weyl e L. E. J. Brouwer, von Neumann disse que "o efeito geral de suas
atividadas. . . devastador". Com relação ao método axiomático empregado pelosegundo grupo composto de Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel e Arthur MoritzSchoenflies, von Neumann demonstrou preocupação de que "vemos apenas que osmodos conhecidos de inferência que levam a antinomias falham, mas quem sabe ondenão há outras?" e ele assumiu a tarefa de, "no espírito do segundo grupo, produzir,por meio de um número finito de operações puramente formais . . . todos osconjuntos que desejamos ver formados" mas não permitir as antinomias. (Todas ascitações de von Neumann 1925 reimpresso em van Heijenoort, Jean (1967, thirdprinting 1976), "From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1979-1931", Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk). Umasinopse da história, escrita por van Heijenoort, pode ser encontrada nos comentários
que precedem o artigo de von Neumann de 1925.8. ↑ Jech, Thomas (2003), Set Theory: Third Millennium Edition, Springer Monographs in
Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-44085-7, p. 642.
[editar] Leituras adicionais
Keith Devlin, (2nd ed.) 1993. The Joy of Sets. Springer Verlag, ISBN 0-387-94094-4 Ferreirós, Jose, 2007 (1999). Labyrinth of Thought: A history of set theory and its role in
modern mathematics. Basel, Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8349-7 Johnson, Philip, 1972. A History of Set Theory . Prindle, Weber & Schmidt ISBN
0871501546
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 31/37
Kunen, Kenneth, Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. North-Holland,
1980. ISBN 0-444-85401-0. Tiles, Mary, 2004 (1989). The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to
Cantor's Paradise. Dover Publications.
[editar] Ligações externas
O Wikilivros tem um livro chamado Set Theory
O Wikilivros tem um livro chamado Discrete mathematics/Set theory
Foreman, M., Akihiro Kanamori, eds. Handbook of Set Theory. 3 vols., 2010. Cadacapítulo levanta algum aspecto da pesquisa contemporânea em teoria dos conjuntos.Não cobre a teoria elementar dos conjuntos estabelecida, para tal veja Devlin (1993).
Portal da matemática
Obtida de
"http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teoria_dos_conjuntos&oldid=29201587"
Alegria Financeira
Fundamental
Médio
Geometria Trigonometria Superior Cálculos
Ensino Médio: Teoria dos Conjuntos
Introdução aos conjuntos Alguns conceitos primitivos Algumas notações p/ conjuntos Subconjuntos Alguns conjuntos especiais Reunião de conjuntos
Interseção de conjuntos Propriedades dos conjuntos Diferença de conjuntos Complemento de um conjunto Leis de Augustus de Morgan Diferença Simétrica
Introdução aos conjuntos
No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem serentendidos e aceitos sem definição. Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoriados Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, P.Halmos ou Axiomatic Set Theory,P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para o português sob o título (nada ingênuode): Teoria Ingênua dos Conjuntos.
Alguns conceitos primitivos
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 32/37
Conjunto: representa uma coleção de objetos.
a. O conjunto de todos os brasileiros.b. O conjunto de todos os números naturais.c. O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.
Elemento: é um dos componentes de um conjunto.
a. José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.b. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais.c. -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x²-4=0.
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula doalfabeto: a, b, c, ..., z.
Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.
a. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.b. 1 pertence ao conjunto dos números naturais.c. -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x²-4=0.
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símboloque se lê: "pertence".
Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos númerosnaturais, escrevemos:
1 N
Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto dosnúmeros naturais, escrevemos:
0 N
Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o símbolonormal.
Algumas notações para conjuntos
Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves{ e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:
Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.
a. A={a,e,i,o,u}
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 33/37
b. N={1,2,3,4,...}c. M={João,Maria,José}
Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.
a. A={x: x é uma vogal}b. N={x: x é um número natural}c. M={x: x é uma pessoa da família de Maria}
Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostradosgraficamente.
Subconjuntos
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A B, se todosos elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A estápropriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A,contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o
conjunto B é o superconjunto que contém A.
Alguns conjuntos especiais
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou porØ. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qualestamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto
universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjuntouniverso.
Reunião de conjuntos
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem aoconjunto A ou ao conjunto B.
A B = { x: x A ou x B }
Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A B={a,e,i,o,3,4}.
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 34/37
Interseção de conjuntos
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao
conjunto A e ao conjunto B.
A B = { x: x A e x B }
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então A B=Ø.
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estesconjuntos são disjuntos.
Propriedades dos conjuntos
1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B,denotada por A B e a interseção de A e B, denotada por A B, ainda sãoconjuntos no universo.
2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:
A A = A e A A = A
3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A A B, B A B, A B A, A B B
4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A B equivale a A B = BA B equivale a A B = A
5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A (B C) = (A B) CA (B C) = (A B) C
6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 35/37
A B = B AA B = B A
7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a
reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A Ø = A
8. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø comqualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.
A Ø = Ø
9. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro
para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A U = A
10. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A (B C ) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C)
Os gráficos abaixo mostram a distributividade.
Diferença de conjuntos
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencemao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
A-B = {x: x A e x B}
Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 36/37
Complemento de um conjunto
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferençaentre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem aoconjunto A e não pertencem ao conjunto B.
CAB = A-B = {x: x A e x B}Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:
Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmenteutilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento desteconjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento.
Exemplos: Øc=U e Uc=Ø.
Leis de Augustus De Morgan
1. O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção doscomplementares desses conjuntos.
(A B)c = Ac Bc
2. O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseçãodos complementares desses conjuntos.
(A1 A2 ... An)c = A1c A2
c ... Anc
3. O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos
complementares desses conjuntos.
5/14/2018 N meros Naturais - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/numeros-naturais-55a92d0f04a28 37/37
(A B)c = Ac Bc
4. O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reuniãodos complementares desses conjuntos.
(A1 A2 ... An)c = A1c A2
c ... Anc
Diferença simétrica
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos quepertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos Ae B.
A B = { x: x A B e x A B }
O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é:
Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que:
1. A=Ø se, e somente se, B=A B.2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de
diferença simétrica. Usar o ítem anterior.3. A diferença simétrica é comutativa.
4. A diferença simétrica é associativa.5. A A=Ø (conjunto vazio).6. A interseção entre A e B C é distributiva, isto é:
A (B C) = (A B) (A C)7. A B está contida na reunião de A C e de B C, mas esta
inclusão é própria, isto é:
A B (A C) (B C)
