Nmeros NaturaisOs nmeros naturais surgiram devido necessidade de contagem. Chama-se de N o conjunto dos nmeros naturais.

habitual contar objetos, dinheiro, pessoas e muitas outras coisas. O conjunto dos nmeros naturais nasceu da necessidade de contagem.

Para os matemticos que estudam a teoria dos nmeros, o zero no um nmero natural. Aqueles, porm, que fazem estudos na rea da lgica, da computao e em algumas outras reas consideram-no nmero natural.

O conjunto dos nmeros naturais representado deste modo:

N = {0, 1, 2, 3,}As reticncias indicam que os valores seguem infinitamente.

Quando o zero excludo da representao, indica-se da seguinte forma:

N* = {1,2,3,}Em 1889, o matemtico italiano Giuseppe Peano (1858-1932), em seu livro Arithmetices principia nova methodo exposita, estabeleceu quatro regras para a construo dos nmeros naturais, conhecidas como os axiomas de Peano.

Zero um nmero.O nmero zero havia surgido para preencher um espao vazio, mas foi definitivamente elevado categoria de nmero (o astrnomo indiano Brahmagupta j havia feito isso no sculo VII).Se um nmero, o sucessor de um nmero.Isso significa que qualquer nmero natural possui um sucessor. Por exemplo: o sucessor de 20 21, o sucessor de 134 135 e assim por diante. Portanto, o conjunto dos nmeros naturais possui infinitos termos.No h nenhum nmero que tenha o zero como sucessor.Esse axioma significa que o primeiro nmero natural o zero e, portanto, ele no sucessor de nenhum nmero natural e no possui nenhum antecessor. Dessa forma, estabelece-se uma ordem entre os nmeros naturais. Por exemplo: o nmero 2 menor que o nmero 3 (2 < 3), o nmero 54 maior que o nmero 38 (54 > 38) e assim por diante.Dois nmeros cujos sucessores so iguais so eles prprios iguais.Esse axioma afirma, com outras palavras, que nmeros diferentes possuem sucessores diferentes.Representao geomtrica dos nmeros naturaisOs nmeros naturais podem ser representados ordenadamente sobre uma reta, de forma que se deve somar, sempre, uma unidade de medida para obter o nmero seguinte.

Representao geomtrica dos nmeros naturais

Operaes:Com os nmeros naturais, pode-se realizar as operaes de adio, multiplicao, diviso e subtrao, sendo as duas ltimas operaes efetuadas com algumas restries.

Soma ou adio de nmeros naturaisSomar equivale a reunir, juntar, acumular ou acrescentar. Os termos da adio chamam-se parcelas. O resultado a soma ou total.

Propriedades da adio:

Comutativa: a ordem das parcelas no altera a adio.

2 + 17 = 17 + 219 = 19

Associativa: a ordem em que se agrupam as parcelas no altera a adio.

(3 + 15) + 21 = 3 + (1.5 + 21)18 + 21 = 3 + 3639 = 39

Elemento neutro: o zero. Qualquer nmero somado a zero igual ao mesmo nmero.

56 + 0 = 56

Resto ou subtrao de nmeros naturaisSubtrair reduzir, diminuir. Os termos da subtrao chamam-se minuendo, subtraendo e resto ou diferena.

minuendo subtraendo = diferenaSe o minuendo for menor que o subtraendo, a subtrao no ter soluo no conjunto dos nmeros naturais.

4 9 = ?

Em algumas expresses, aparecem de forma combinada a adio e a subtrao.

Ambas as operaes tm a mesma prioridade e so efetuadas na ordem em que aparecem: da esquerda para a direita.

Se aparecerem operaes entre parnteses, devem-se efetu-las em primeiro lugar.

Exemplo:

Efetuar as seguintes operaes:

a) 29 + 12 38 + 5 = 41 38 + 5 = 3 + 5 = 8b) 55 + 4 + (27 19) = 55 + 4 + 8 = 59 + 8 = 67c) 37 + (52 18) (67 29) = 37 + 34 38 = 71 38 = 33d) 45 12 + (23 39 + 21) = 45 12 + (44 39) = 45 12 + 5 = 33 + 5 = 38

Multiplicao ou produto de nmeros naturaisA multiplicao a expresso abreviada da adio de vrios termos iguais.

3 + 3 + 3 + 3 = 4 . 3 = 12

Os termos da multiplicao so denominados fatores. O resultado final chamado de produto.

Propriedades da multiplicao:

Comutativa: a ordem dos fatores no altera o produto.

5 . 7 = 7 . 535 = 35

Associativa: a ordem de agrupamento dos fatores no altera o produto.

(4.7). 5 = 4 . (7.5)28 . 5 = 4 . 35140 = 140

Elemento neutro: o um.

13 . 1 = 13

Distributiva: o produto de um nmero por uma soma ou uma diferena igual soma ou diferena dos produtos do nmero pelos termos.

4 . (8 3) = 4 . 8 4 . 34 . 5 = 32 1220 = 20

Exemplos:

Em um cesto, h cinco sacos de batatas que pesam 75 kg cada um. Observar o que marca a balana:

Multiplicao de nmeros naturais

Calcular o seguinte exemplo aplicando a propriedade distributiva:

3 . (2 + 5) = 3 . 2 + 3 . 5 = 6 + 15 = 21

Diviso de nmeros naturaisA diviso entre dois nmeros naturais, os quais se denominam dividendo e divisor, consiste em dividir uma quantidade em partes iguais.

Quando o resto zero, a diviso exata. Ento se tem:

Diviso com nmeros naturais

Exemplo:

Um pai quer repartir R$ 63000 entre os trs filhos, em partes iguais. Quanto receber cada um?

Exemplo de diviso com nmeros naturais

A diviso pode ter um resto diferente de zero. Por exemplo, ao repartir 14 bolinhas entre cinco crianas, obtm-se uma diviso com resto diferente de zero. Quando o resto diferente de zero, a diviso no-exata.

Clculo da prova da diviso

O resto (r) tem de ser um nmero menor que o divisor (d). Tem-se: D = d q + r. Esse clculo se chama prova da diviso.

Exemplo:

Uma pessoa quer repartir 43 balas entre 14 crianas. Quantas balas receber cada criana? Quantas sobraro?

Segundo exemplo de diviso com nmeros naturais

Para comprovar que a diviso est correta, pode-se fazer a prova:D = d q + r onde r < d

43 = 14 3 + 1 r < d43 = 42 + 1 1