Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

O experimento

geometria e medidas

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Qual é o cone com maior volume?

Objetivos da unidadeDado um círculo de cartolina, investigar qual seria o cone 1. com maior volume que se poderia montar;Explorar a maximização e minimização de funções.2.

O experimento

SinopseReunidos em grupos, os alunos construirão seis cones diferentes usando o mesmo material inicial (um círculo de cartolina com 8 cm de raio) e tentarão organizá-los em ordem de volume. Feito isso, calcularão seus volumes a partir de suas medidas e tentarão descobrir como o cone deveria ser montado para que se obtivesse o maior volume possível.

ConteúdosGeometria Espacial – Aplicação: Problema de Otimização.

ObjetivosDado um círculo de cartolina, investigar qual seria o cone com maior 1. volume que se poderia montar;Explorar a maximização e minimização de funções.2.

DuraçãoUma aula dupla.

Material relacionadoExperimento: � Caixa de Papel;Experimento: � Qual é o prisma de maior volume?

Qual é o cone com maior volume?

Qual é o cone com maior volume? O Experimento 2  /  9

Introdução

A otimização de embalagens, peças e recipientes é um processo frequente em indústrias de maneira geral. Normalmente, o que se quer é obter o maior volume consu-mindo uma quantidade fi xa de material ou obter um certo volume usando a menor quantidade de material possível. Nesse experimento faremos algo pare-cido. Com um certo material inicial, círculos de cartolina, os alunos vão construir vários cones e, a partir deles e de algumas análises, poderão, experimentalmente, levantar hipóteses de como o sólido deveria ser construído para que tivesse o maior volume possível.

Material necessário

Cartolina; �

Compasso; �

Régua; �

Tesoura; �

Transferidor; �

Fita adesiva. �

fig. 1

Sugerimos o uso �

de calculadora.

O problema

Dado um círculo de cartolina, é possível construir cones recortando-se fatias com vértices no centro do círculo (chamadas setores circulares de ângulo ), conforme mostram as figuras 2 e 3. Qual a medida do ângulo , para que o volume do cone construído seja o maior possível.

fig. 2

fig. 3

Θ

Neste experimento, os alunos tentarão solucionar esse problema trabalhando em grupos. Haverá duas etapas: Na primeira, estão envolvidas a cons-trução de alguns cones e a organização aproximada de seus volumes, segundo a intuição do grupo que os construíram. Já na segunda etapa, os alunos calcularão os volumes dos cones a partir de suas medidas e levantarão hipóteses sobre o ângulo da fatia que deveria ser retirada para que ele tivesse o maior volume possível.

Construção dos cones

Divida a classe em grupos e dê uma cartolina para cada um. O ideal é que se construam pelo menos 6 cones por grupo e, por isso, sugerimos que eles sejam compostos por 3 pessoas, ficando cada aluno encarregado da montagem de 2 cones. Oriente seus alunos a realizarem os seguintes procedimentos:

Em uma cartolina, traçar 6 circunferências �

com raio de 8 cm, marcando os centros, e depois recortar os círculos correspondentes;Em cada círculo, desenhar uma fatia �

com vértice no centro, anotar o seu ângulo

etapa

Professor, o ângulo da !fatia a ser retirada para que o cone tenha o maior volume possível é, aproxi-madamente, . Por isso, incentive alguns grupos a fazer algumas fatias com ângulos próximos desse.

no setor circular restante e recortá-la, como na figura 2. Fazer fatias com ângulos diferentes em cada círculo;Agora, com cada setor circular restante �

(os que estão sem as fatias), montar um cone, como na figura 3. Os alunos precisarão de uma fita adesiva.

Incentive os alunos a fazerem fatias de ângulos variados. Quanto mais dados diferentes eles tiverem, melhor será o gráfico que vocês farão no Fechamento deste Experimento. Feito isso, peça aos alunos de cada grupo para que, intuitivamente, organizem os cones em ordem decrescente de volume, numerando-os de 1 a 6. Essa numeração será usada na tabela da etapa seguinte.

fig. 4

1

4

2

5

3

6

Cálculo dos volumes

Nessa etapa, os alunos deverão calcular os volumes dos cones construídos. Como

,

onde é a área da base do cone e sua altura, eles terão que medir, de maneira aproximada, o raio da base e a altura de cada cone. Uma maneira de fazer essas medidas está mostrada nas figuras a seguir.

etapa

fig. 5 Medição do diâmetro da base do cone.

Professor, certifique-se !de que seus alunos estão dividindo o diâmetro por dois para encontrar o raio.

Explique essa maneira de medir os raios e alturas, e depois peça para que preencham uma tabela como a seguinte:

Depois que os alunos preencherem suas tabelas, cada grupo saberá exatamente qual foi o cone de maior volume que construiu. Contudo, eles podem não ter concluído qual o melhor (maior em volume) cone entre todos

fig. 6 Medição da altura do cone.

Cone Ângulo da fatia

Altura Raio Volume

1

2

3

4

5

6

tabela 1 Será utilizada para o registro dos dados dos cones.

O zero da régua não !coincide com seu início. Para evitar erros, peça a seus alunos para que façam a medida com cuidado.

Professor, alerte os alunos �

a tomar cuidado para não deformar os cones na hora de coletar esses dados.

os que podem ser construídos pelo método utilizado. Isso será feito no Fechamento deste Experimento. Antes de ir para o Fechamento, pergunte se eles sabem como calcular o ângulo que a fatia retirada deveria ter para conseguir maximizar o volume do cone. Observe se alguns alunos conseguem pensar em maximização de função.

Depois que os grupos concluírem o preenchi-mento das tabelas, faça um gráfico na lousa do volume do cone em função do ângulo da fatia retirada ( ), socializando os dados experimentais dos diversos grupos da classe. Ele deverá ter aproximadamente a seguinte forma:

Este gráfico sugere que o volume do cone é máximo quando o ângulo da fatia retirada está entre e .

Modelagem do problemaPara compreendermos como o volume varia em função do ângulo da fatia retirada, vamos estabelecer uma expressão precisa. Para isto será necessário :

fig. 7

Professor, para fazer esse �

gráfico, existem alguns ângulos que são mais interessantes que outros. Utilize sua habilidade para coletar da classe esses valores que fazem o gráfico tomar sua forma (veja figura 9).

Escrever o raio da base do cone formado 1. em função de :

Pelas figuras 2 e 3, vemos que o compri-mento do setor circular sem a fatia é igual ao comprimento da circunferência da base do cone. Assim, sendo o raio do setor circular e o raio da base do cone, temos:

Escrever a altura do cone formado em função 2. de :

Analisando a figura 8, vemos que os segmentos que representam a altura, o raio da base e a geratriz do cone formam um triângulo retângulo. Desse modo, lembrando que a geratriz tem comprimento , temos, pelo Teorema de Pitágoras:

Note que ! é um número menor do que , que corresponde à porção do disco utilizado para o cone em relação ao disco total.

Finalmente expressar o volume do cone 3. formado em função de :

fig. 8

Lembre -se que em nosso �

experimento cm .

Desse modo, encontramos a função que relaciona o volume do cone com o ângulo da fatia retirada do círculo inicial. Ela permitirá calcular o volume para qualquer valor de

e poderá ser usada para verifi car todos os cálculos de volume efetuados com as medidas experimentais. Peça aos alunos que escolham um dos cones para fazer essa verifi cação.

Plotando o gráfi co dessa função, obtemos a curva abaixo:

Como esta função não é do segundo grau, seus alunos provavelmente não saberão como calcular exatamente para qual valor

fig. 9

do ângulo essa função tem um ponto de máximo. No entanto, você pode propor um desafi o:

Quem consegue obter o valor do ângulo que a fatia deve ter para que o cone tenha o maior volume possível?

Para tanto os alunos deverão observar o gráfi co e testar valores para , com ajuda de uma calculadora. A solução é , e , cm . Porém, é interessante que você comente com eles sobre a existência de métodos para esse tipo de cálculo. Aproveite a oportunidade para incentivá-los a seguir os estudos num curso superior.

Questão para os alunos

Professor, a explicação �

algébrica de como calcular os encontra-se no Guia do Professor. Se achar interessante, dê uma olhada!

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorJosé Tadeu JorgeVice-ReitorFernando Ferreira da Costa

Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe – unicamp)CoordenadorFernando ArantesGerente ExecutivaMiriam C. C. de Oliveira

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AutorSueli Irene R. Costa

Coordenação de RedaçãoRita Santos Guimarães

RedaçãoFelipe Mascagna Bittencourt Lima

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos PatrocínioLíngua PortuguesaCarolina Bonturi PedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráficoPreface Design

IlustradorLucas Ogasawara de Oliveira FotógrafoAugusto Fidalgo Yamamoto