4- INTERIORES ESTELARES

MODELANDO AS ESTRELAS

ESTRELAS - estrutura: • Esferas densas (fig. 1), r ~ 1011-13 cm • Estrelas são dinamicamente estáveis, apesar dos fenômenos superficiais e de convecção, durante a maior parte de suas vidas. • São radiadores isotrópicos. • Reações nucleares mantêm as altas temperaturas no núcleo (>107 K). • Radiação XR e GR transferidas lentamente através do envelope com altissima profundidade óptica degradada para a banda UVOIR. • Radiação observada escapa a partir de uma camada muito fina (300 km no Sol) = ”fotosfera" .

•NB: fotosferas são DENSAS (1017 partículas/cm3 no Sol).• Processos subsidiários (p. ex. levados por campos magnéticos) irradiam pequenas quantidades nas bandas não- UVOIR.

• Fig. 1 - Esferas densas

• Fig. 2 - Forte concentração de radiação UV

• Fig. 3 - Descontinuidades de Absorção

ESTRELAS: espectro em linhas

• Linhas em absorção, complexas e estreitas.• Produzidas por transições nos átomos, íons e moléculas as quais predominantes para a temperatura característica Te and pressão.

• Vindas de finas camadas de gás mais frio projetado em relação ao contínuo de T mais alta (Fig. 4) vinda da fotosfera mais interior. • Larguras Doppler (térmicas) pequenas, ~ alguns km s-1 • Espectro de linhas reflete o estado físico da fotosfera (composição, temperatura, pressão). • Linhas e contínuo local geralmente acoplados (implica ~ mesma T) .

• Fig. 4

ESTRELAS: DEDUÇÕES A PARTIR DAS OBSERVAÇÕES• Inclinação do contínuo & estrutura : T

• Descontinuidades no bordo de ionização: pressão/gravidade.

• Larguras de linhas: pressão/gravidade (Fig. 5), rotação, outflows.

• Forças das linhas: T, pressão/gravidade, abundância química . Exemplos:

• Sequência “tipo espectral” clássica é uma sequência de T (Fig. 6)

• Abundâncias (Fig. 7): esécies selecionadas fáceis de medir: p.ex., Ca/H, Mg/H, Fe/H. He/H (somente estrelas quentes)

• Abundâncias de elementos leves (p.ex., C,N,O) mais difíceis de medir : C IV (UV) em estrelas quentes, várias linhas atômicas em estrelas frias requerem espectroscopia de alta resolução; moléculas em estrelas frias (CH, CN, NH, etc)

• Ionização decresce com o aumenot da pressão do gás: p.ex., usar força da linha Mg I 5175 Å como discriminador anã/gigante (Fig. 8) para estudos de estrutura Galáctica.

•NB: Abundâncias derivadas são sensíveis às estimativas de T, P apropriados.

• Luz integrada de estrelas permite inferências como idade, abundâncias de populações estelares distantes. “Síntese de populações”:

• Ajuste da distribuição total de energia com combinações de modelos de geração simples (Fig. 9) para determinar a história da formação estelar & abundâncias.

• Utiliza linhas selecionadas para separação idade-abundância, p.ex., H, Mg, Fe para populações velhas.

• Fig 5 - PRESSÃO/GRAVIDADE

• Fig. 7 - ABUNDÂNCIAS

OBS.: banda do C2 em ~5165A

• Fig. 8 - DISCRIMINADOR ANÃ/GIGANTE

Gigante

Anã

• Fig. 9 - MODELOS DE GERAÇÃO SIMPLES

Conceitos Básicos

• Estrela: objeto auto-gravitante em equilíbrio hidrostático e energético que fornece uma fonte estável de energia radiante por longos períodos de tempo (106 - 108 anos)– equilíbrio de energia:

• quantia de energia perdida= quantia de energia gerada– equilíbrio hidrostático:

• a força gravitacional para dentro em cada camada da estrela é contrabalançada pela força de pressão para fora.

• Energia a partir da Superfície Solar:– O Sol irradia 1.374 x 106 ergs/sec/cm2 na superfície da Terra, ou

~1.4 kW /m2, uma quantidade chamada de constante solar. A distância média Terra-Sol é 1.469 x 10 13 cm e, portanto, sua luminosidade é :

LSOL = 3.86 x 1033 erg/sec (1)

Escalas de tempo estelares

• Escala de tempo de queda livre– Se não houvesse nenhuma força para fora segurando a estrela para

resistir à força de gravidade, quanto tempo ela levaria para colapsar? Essa quantidade é chamada de escala de tempo de queda livre, tff.

– Imagine uma partícula teste caindo da superfície de uma estrela de raio R e massa M. Sua distância ao centro da estrela é dada por r. Sua aceleração é:

onde G= constante gravitacional

– Integrando essa equação e usando como condição de contorno r = R, em t = 0, temos o tempo de queda livre

2

2 2

d r GMdt r

13 21

2ffRtGM

– Usando os valores de massa e raio solares,

e, considerando a seguinte expressão para o tempo de queda livre,

podemos verificar que o tempo de tff (Sol) ~ 27 minutos.

– Valor é muito pequeno! – O Sol colapsaria nessa escala de tempo se não houvesse uma

pressão para fora devida à energia gerada.

30 101.99 10 Kg e 6.96 10 cmsol solM R

1 2 3 2

31.59 10ffsol sol

M RtM R

• Escala de tempo de Kelvin-Helmholtz– Uma idéia proposta no séc. IX como a fonte de energia do Sol foi a de

contração gravitacional. Se um corpo com grande massa torna-se menor, ele produz energia potencial gravitacional; neste caso, em forma de calor.

– A energia potencial gravitacional é dada pela integral sobre

para massas m e m1 separadas por uma distância r.

– Para corpos esféricos, como a estrela, a E. pot. grav. é:

Para o Sol : W = 4 x 1048 ergs.

1-GmmW

r

2M GWR

– Suponhamos que o Sol esteja colapsando lentamente a fim de gerar sua luminosidade. Quanto tempo ele seria capaz de brilhar? Essa escala de tempo é chamada escala de tempo Kelvin-Helmhotz.

– A luminosidade solar é Lsol = 3.86 x 1033 erg/s. Portanto o Sol pode brilhar nessa taxa via conversão de energia potencial por:

– Este é um tempo bastante longo e, em meados do séc XIX, quando foi primeiramente obtido, era considerado a melhor estimativa para a idade do Sol. No início do séc XX, a idade da Terra tornou-se muito melhor compreendida que a idade do Sol, com evidências geológicas e radioatividade indicando que ela tem bilhões de anos.

– Havia , então, um conflito entre as escalas jovem e velha, até

perceberem que havia uma terceira fonte de energia que era capaz de sustentar as estrelas: ENERGIA NUCLEAR

4815

33

energia total 4 10 erg 10 s 30 Myrluminosidade 4 10 erg/sKHt

• Escala de tempo de Einstein– A quantidade de energia no Sol em sua massa de repouso, Msol, é dada

por:

– A escala de tempo de Einstein, tE, é

– Aqui admitimos que toda a energia da massa de repouso seja convertida em radiação.

– Análise detalhada mostra que o Sol será ~1% eficiente na conversão de sua massa em energia radiante e, o tempo de vida para uma estrela como o Sol é reduzido para ~ 1010 anos, ou seja, aproximadamente a idade do Universo

2 542 10 ergsE M c

5420 12

33

2 10 erg 5 10 sec 10 anos4 10 erg/secEt

Curiosidade....

Queima é a conversão de energia de ligação molecular em radiação E-M

• Por exemplo:

A queima do carvão produz ~ 4 x 1012 ergs/g (não é muito eficiente!)

Assim, 3000 g de carvão produzem 1.2 x 1016 ergs ou 300 KWh. Isto poderia funcionar com um pequeno aquecedor por ~ 1h

• A massa do Sol é 2 x 1033 g. Se o Sol fosse feito de carvão e produzisse energia via combustão convencional, ele geraria uma energia total de:

(4 x 1012 ergs/g) x (2 x 1033 g) = 8 x 1045 ergs

Equilíbrio Hidrostático

• Um fato observacional importante é que estrelas não mudam rapidamente* e, portanto, suas estruturas internas devem ser razoavelmente constantes.

• Para a teoria de interiores estelares, essa observação se traduz na condição de equilíbrio hidrostático, onde equilíbrio significa “balanço” (geralmente entre dois ou mais efeitos opostos), hidro significa “fluido” e estático significa “sem mudança”.

• Então, o que mantém uma estrela?

* a maior parte delas...há também as estrelas pulsantes

Auto-gravidadepuxa para dentro

Pressão internaempurra para foraComo o EH funciona na estrela?

Vejamos o que acontece

Equilíbrio hidrostático significa um balanço entre gravidade e pressão em cada camada (esfericamente simétrica) da estrela.

Se a gravidade vencer, a camada se contrái

Se a pressão vencer, a camada se expande

Se esse balanço é quebrado, a camada irá encolher ou expandir:

Considere os efeitos em um pequeno volume dentro da estrela, um elemento diferencial de massa, denotado por dm.

Considere então, um cilindro de massa dm situado a um raio r a partir do centro da estrela . A força resultante nesse volume é dada pela 2ª lei de Newton:

dm

r

dr

FP,t

FP,b

Fg

Introduzindo esses termos na 2ª lei de Newton, a equação é escrita como:

onde Fg. = força gravitational FP,t = pressão no topo do cilindro FP,b = pressão na base do cilindro

O que isso significa?

Segundo a equação, para a estrela ser estática a força gravitacional tem que ser balanceada pela diferença em pressão nos diferentes raios - a qual é o gradiente de pressão.

gravidade gradiente de pressão

Isso significa que a estrela não é suportada pela pressão, mas pelo gradiente de pressão. À medida que o raio cresce, a pressão decresce de modo que na superfície da estrela a pressão é aproximadamente zero, enquanto no centro é enorme.

Equação de equilíbrio

hidrostático

• Se queremos construir um modelo de interior de uma estrela, precisamos descrever o material que a constitui. Isso é feito via equação de estado, a qual relaciona pressão, densidade e temperatura.

Equação de Estado

A pressão no interior estelar é tão alta que os átomos se tornam altamente ionizados, produzindo uma mistura de íons e elétrons chamada plasma.

Em um plasma, os tamanhos das partículas são muito menores que suas separações, o que faz com que o plasma se comporte como um gás perfeito.

• O material no interior da estrelas se comporta como um gás perfeito, e a equação de estado de um gás perfeito é:

where k é a constante de Boltzmann n é o número de partículas por unidade de volume T é a temperatura do gás

onde , peso molecular médio, é a razão entre a massa das partículas e a massa do átomo de hidrogênio mH.

• a qual pode ser re-escrita como:

Assim, se a pressão é alta, a temperatura e/ou a densidade também devem ser altas. Como o equilíbrio hidrostático requer uma pressão central muito alta:

equilíbrio hidrostático

P central alta T central alta, central alta

equação de estado+

Equação de Estado de Matéria Degenerada

• Para as altas densidades encontradas nos centros de gigantes vermelhas, em anãs brancas e em estrelas de neutrons, por exemplo, o gás se torna degenerado. Em termos de equação de estado, isso significa que a pressão é independente da temperatura.

• Sob as condições de densidade encontradas nesses casos, os eletrons estão o mais próximo que eles podem estar. Uma compressão adicional não é possível por causa dos efeitos de mecânica quântica:

• Embora a lei dos gases ideais seja uma boa aproximação para o gás na maior parte das regiões para a maior parte das estrelas, existem algumas condições em que ela não é válida.

Pauli Exclusion Principle: dois eletrons não podem dividir o mesmo estado

quântico

Somente dois eletrons (de spins opostos) podem estar no mesmo

estado de energia no mesmo espaço.

• Em altas densidades, todos os níveis eletrônicos do eletron em qualquer região do espaço estão preenchidos, e compressão adicional violaria o princípio de exclusão de Pauli.

• Como os eletrons não podem se aproximar mais, eles produzem uma enorme pressão a qual resiste a novas contrações. Ela é chamada pressão dos eletrons degenerados.

• A equação de estado que descreve esse estado de matéria é da forma:

para densidades 106 g/cm3, caso para o qual a energia dos eletrons é não-relativística

para densidades 106 g/cm3, a energia dos eletrons é relativística a fim de resistir à compressão.

Assim, na equação de estado para matéria degenerada, a pressão é independente da temperatura:

• Isto tem consequências muito importantes próximo ao final da vida das estrelas ( núcleos de gigantes vermelhas, supernovas, anãs brancas e estrelas de neutrons).

Como pressão de degenerescência é independente da temperatura, à medida que a temperatura vai crescendo, o gás continua

a aquecer mas ele não expande!

Diagrama densidade-temperaturalog T vs. log

• Com as equações obtidas anteriormente, estimar a pressão e a temperatura no centro do Sol

Exercício

• Pressão no centro do Sol, PC:

que dá PC ~ 1016 dyne cm-2.

Um cálculo mais preciso fornece

PC~ 2 x 1017 dynes cm-2, ou PC = 2x1011 atm.• Temperatura no centro do Sol, TC:

TC ~ 15 milhões de Kelvin ( enquanto na superfície Tsurf = 5780 K).

Com essas condições de T e P nos interiores estelares, os fotons e as partículas são jogados uns contra os outros violentamente e os fotons “lutam” para escapar.

M = 2 x 1033 gm

R = 7 x 1010 cm

• As quantidades Mr , e r ,que aparecem na equação de equilíbrio hidrostático, não são independentes: a massa Mr interior ao raio r será determinada pela densidade do material estelar.

Conservação de Massa

Como a camada é fina, seu volume é simplesmente a área superficial vezes sua espessura, de modo que sua massa é:

Para relacionar todas essas variáveis, considere uma camada fina de espessura dr e massa dMr no raio r a partir do centro.

r

r +dr

dr

Rearranjando essa expressão tem-se equação de conservação da massa:

Esta equação mostra como a massa muda com a distância a partir do

centro da estrela.

• Conclusão: a massa da estrela tem um papel importante na competição entre gravidade e pressão.

O efeito da massa

• Quanto + massiva a estrela + pressão é necessária para compensar a gravidade. A pressão e temperatura serão + altas nos núcleos e vizinhanças a fusão do H no núcleo será + rápida e a estrela será + luminosa. Como o H está sendo queimado rápido, a estrela rapidamente estará sem esse combustível.

• Por outro lado, uma estrela de baixa massa terá temperatura e pressão centrais + baixas e o H queimará mais lentamente.

• A tabela abaixo mostra como a massa de uma estrela pode afetar o tempo que ela passa sobre a Sequência Principal..

Transporte de Energia

A energia produzida no núcleo das estrelas precisa chegar até a superfície. Entretanto, as condições no interior estelar são tão densas que os fotons e as partículas estão frequentemente colidindo uns com os outros, dificultando a viagem dos fotons para a superfície.

Há três modos de transporte de energia :

Condução é desprezível na maior parte das estrelas. Assim, só veremos o transporte da energia por radiação e por convecção.

• radiação: energia transportada por emissão e re-absorção de fotons. • condução: energia trocada em colisões de partículas (geral/ eletrons) • convecção: energia transportada pelos movimentos de elementos de massa.

• Nas temperaturas extremamente altas encontradas nos núcleos estelares, a maior parte da radiação está sob a forma de raios-X*, os quais interagem fortemente com a matéria.• Uma vez gerado, o foton de raio-X será rapidamente absorvido. A partícula absorvedora estará em um estado de energia excitado por um tempo muito curto (~10-8 sec) e, então, irá re-emitir o foton em alguma direção arbitrária.

Atingindo a superfície

• O foton continuará a ser re-absorvido e re-emitido viajando de um mod zig-zag conhecido como “random walk”.

* Lei de Wien:

• Nessas interações, a energia do foton é depletada e eles são transformados de fotons de alta energia (raio-X) no centro da estrela em fotons de baixa energia (óptico) na superfície. MAS, cada foton fará um caminho diferente, de modo que no final haverá um intervalo de energias de foton.

d O deslocamento d está relacionado com o comprimento de cada passo (o caminho livre médio ) e o número de interações N através da expressão:

• A distância viajada entre cada interação é chamada de caminho livre médio (l.c.m.) do foton.

O l.c.m. de um foton no Sol é ~ 0.5 cm, e o deslocamento líquido (para ir do centro à superfície) é 6.96 x 1010 cm.

Então, um foton estelar deve sofrer (d/l)2 ~ 2x1022 colisões antes de alcançar a superfície do Sol. Como cada processo de re-emissão leva ~10-8 s, demora ~ 1014 s ou 107 anos para um foton chegar à superfície!

O caminho aleatório dos fotons estelares é um processo muito lento. Para termos uma idéia, vamos estimar quanto tempo leva para um foton escapar do centro do Sol

• Vimos como a interação de fotons com o material estelar produz uma resistência ao fluxo de energia. A opacidade é uma medida dessa resistência.

• A matéria é dita opaca à radiação de certo comprimento de onda quando a resistência é quase total.

• A matéria é chamada de transparente se a resistência à radiação é quase desprezível.

Opacidade

Um tijolo de parede, por exemplo, é opaco ao óptico, mas transparente às ondas de rádio.

rádio

óptico

… consegue passar

... não consegue atravessar

• A mudança na intensidade da radiação, à medida que viaja em certo meio, será proporcional à densidade do gás (quanto mais denso o material, mais colisões), à intensidade da radiação I e à distância viajada D através do material.

Iinitial Ifinal

Ifinal - Iinitial = - dI

ds

A opacidade depende do comprimento de onda da radiação: = () =

Matematicamente:

A opacidade (também chamada coeficiente de absorção) é o coeficiente de proporcionalidade que diz quanta intensidade é perdida:

Fontes de Opacidade

• Existem 4 interações principais que contribuem para a opacidade e, portanto, governam como a energia escapa da estrelas :

• absorção ligado-ligado,• absorção ligado-livre,• absorção livre-livre e, free-free absorption, • espalhamento.

(ver Cap. 3 - Atmosferas Estelares: slides 142, 143 e 147)

OBS.: Um tratamento mais rigoroso sobre opacidade pode ser encontrado em: F.Rogers & C. Iglesias, “Opacity” (2000) , Encyclopedia of Astronomy and Astrophysics.

• Em geral, utiliza-se a opacidade média de Rosseland, que é uma média sobre todos os comprimentos de onda do somatório das diferentes contribuições à opacidade.

onde 0 é uma constante para uma estrela de uma dada composição química .

• A opacidade média de Rosseland é uma função complicada da temperatura, densidade e composição do material estelar e é dada em enormes tabelas de T e para uma dada composição. Um ajuste aproximado tem uma lei em forma de potência:

-1

2

0

1

3

4 65 7Log T (K)

Log (cm2 g-

1)

T intermediária

lei de Kramer

alta T

baixa T

• Este gráfico mostra a dependência da opacidade com a temperatura para uma estrela com uma dada densidade e composição química.

Entretanto, somente o regime de altas temperaturas tem um bom ajuste analítico. A opacidade de Kramer usada nos regimes intermediários não é muito boa para modelos reais. A opacidade média de Rosseland é boa no sentido de eliminar a dependência com , mas o resultado é ainda uma função complicada, sem forma analítica razoável. Assim, usamos, na realidade, tabelas de opacidade nos modelos.

• Se admitimos que a radiação é o processo que transporta energia do centro da estrelas para a superfície, podemos encontrar uma relação entre o gradiente de temperatura e o fluxo da radiação:

Equação de transporte radiativo

onde a = 7.6x10 -15 erg cm-3 K-4 é a constante de radiação e c é a velocidade da luz.

T + baixa

T + alta

Fluxo de energia

• Se toda a energia é transportada pela radiação, a luminosidade da estrela está relacionada com o gradiente de temperatura por:

• Isto signfica que se a opacidade cresce (+ resistência à difusão do fluxo de radiação) gradiente de temperatura cresce.

• O transporte de energia por radiação ocorre sempre que houver um gradiente de temperatura.

• Mas se esse gradiente for muito grande, a convecção pode ocorrer.

equação de transporte radiativo

• Na convecção, a energia é transportada pelos movimentos de elementos de massa: o gás quente sobe enquanto o gás frio afunda.

Convecção

A convecção ainda não tem uma teoria que a explique completamente. A falta de uma boa teoria é um dos mais importantes problemas no estudo da estrutura estelar.

• Mas, felizmente, alguns resultados podem ser obtidos através da simplificação do processo de convecção.

Gás quente vindo de baixo sobe

Gás frio vindo de cima desce

Hot gas from below rises

Hot gas from below rises

Hot gas from below rises

Cold gas from above sinks

Gas quente vindo do centro sobeGas frio da superfície desce

Considere uma bolha de material a uma distância r do centro da estrela que está em equilíbrio com sua vizinhança à pressão P e temperatura T. Considere também que a bolha suba um distância dr:

Condição para

convecção :

• Se a bolha for + densa que as vizinhanças, ela irá voltar para baixo. Nesse caso, o gás é estável contra a convecção.• Se a bolha for - densa que as vizinhanças, elá continuará subindo. Nesse cso, o gás é convectivamente instável.

• Para exprimir essa condição em termos de gradiente de temperatura (para compatibilizar com a eq. de transporte radiativo), duas hipóteses precisam ser feitas:

1. A bolha deve subir adiabaticamente: isto significa que ela não troca calor com as vizinhanças (ou seja, a bolha se resfria expandindo, mas não perde calor para as vizinhanças). 2. A pressão da bolha e das vizinhanças são as mesmas durante o tempo todo.

r(P,T,) initial

r+dr

dr

(P,T,) final

• Com essas hipóteses, pode-se encontrar que a condição para uma bolha se manter subindo é que o gradiente de temperatura na estrela seja maior que o gradiente de temperatura que a bolha experimentaria se estivesse subindo adiabaticamente ( chamado gradiente de temperatura adiabático).

• As características do material estelar desempenham um papel importante no início da convecção. Assim, a condição para existência de convecção pode ser escrita em termos de um parâmetro que descreve o gás - a razão de calores específicos do gás *.

Portanto, ocorrerá convecção quando ~1 ou quando o gradiente de temperatura for muito inclinado (= lado direito da eq. muito grande).

Onde ocorrem tais regiões em uma estrela?

Condição para convecção

*ver slides a seguir (EXTRA)

• Calor específico de um gás quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de uma unidade de massa de matéria de 1 K.

Calor Específico

• Dois calores específicos podem ser definidos para gases: um a volume constante CV e outro à pressão CP.

calor adicionado mudança em Tcalor específico

massa

• A razão de calores específicos é chamada parâmetro :

Extra

• Para um gás monoatômico:

• Para gases poliatômicos, parte do calor adicionado irá para rotações e vibrações moleculares ao invés de aumentar a energia cinética das partículas (ou seja, irá aumentar a T do gás); portanto, o calor específico será maior que para o gás monoatômico.

• À medida que o calor específico aumenta tende a 1.

• Idem se estiver ocorrendo ionização: parte do calor irá para a ionização de átomos e mais calor será necessário para aumentar a temperatura. Logo, o calor específio também será maior neste caso.

Para gases altamente ionizados.

Extra

Regiões de convecção

• Convecção ocorrerá nos centros de estrelas onde grandes gradientes de temperatura existem por causa da grande quantidade de energia produzida em um volume relativamente “pequeno”. Essas regiões são chamadas de núcleos convectivos.

• Cores convectivos são encontrados em estrelas onde o ciclo CNO ou processo alfa-triplo ocorre, já que esses processos produzem grandes gradientes de temperatura.

• Essas estrelas são encontradas na SP superior.

high temperature low

low

lum

i nos

ityhi

gh

White dwarfs

Red dwarfs

Main sequence

Super-giants Giants

• A convecção também pode ocorrer nas camadas externas mais frias das estrelas, já que nessas regiões o 1 (desde que esteja ocorrendo ionzação). Essas estrelas terão uma camada externa convectiva

• Convecção nas camadas mais externas do Sol é a causa dos grânulos solares que podem ser observados na superfície. Os grânulos brilhantes são os topos dos pacotes de gás quente que subindo e os bordos escuros dos grânulos são gás frio afundando.

• CURIOSIDADE Características individuais granulares na

superfície do Sol sobrevivem somente ~5 minutos e, em geral, a superfície do Sol é coberta por ~ 4 milhões de grãos.

Granulações sobre o Sol

http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap000110.html

• As bolhas de material quente não subirão para “sempre”. Após percorrerem certa distância, elas serão termalizadas: elas se dissolverão no meio circundante e liberarão suas energias térmicas. Do mesmo modo, as bolhas frias movimentando-se para baixo carregarão seus deficits de energia térmica com elas.

• O efeito líquido é um transporte convectivo de energia para cima e portanto, um fluxo de energia de convecção.

• Para se obter uma relação entre o fluxo de energia convectivo (ou luminosidade) e o gradiente de temperatura, é necessário descerver o processo detalhadamente.

Transporte de energia por convecção

• A Teoria de Caminho de Mistura (TCM) ou Mixing Length Theory (MLT) é um modelo de transporte de energia por convecção relativamente simples e útil, que foi aplicado pela primeira vez a modelos estelares por Biermann and Cowling, em 1930.

l

• Nesse modelo, os elementos de massa são descritos pelo tamanho (o qual depende de sua posição dentro da regiâo convectiva), e considera-se que viajem uma distância característica antes de se misturarem com o materila vizinho.

• Essa distância é chamada comprimento de mistura l (mixing length) e define a espessura da camada convectiva.

• O comp. de mistura l é geralmente expresso como uma fração da escala de altura de pressão HP ( a qual mede a distância onde a pressão do gás muda de um fator e~2.7):

onde é o parâmetro livre fundamental da TCM. O valor de é desconhecido a priori e deve ser encontrado empiricamente.

• Comparações entre modelos de teoria de caminho de mistura e simulações numéricas para diferentes tipos estelares mostram que não existe uma escolha única de que possa reproduzir os modelos, mas que depende do tipo estelar. Encontrar uma teoria de convecção melhor é uma área ativa de pesquisa.

• Alguns pontos importantes a enfatizar:

Radiação vs Convecção

• Transferência radiativa acontece sempre que houver gradiente de temperatura. Por outro lado, certas condições são necessárias para que ocorra convecção.

• Nos cores estelares, ou radiação ou convecção irá dominar e carregar o fluxo de energia. Mas, nas camadas mais externas, ambos os processos podem coexistir e carregar significativas quantias de energia.

• Como a convecção envolve o movimento de elementos de massa, ela produz uma composição homogênea na região convectiva. Enquanto isso, a radiação não mistura os componentes do material estelar.

Estrela de SP superior M > 1.2M– ciclo CNO

Estrela de SP inferior : M < 1.2M – cadeia pp

Envelope radiativo

Core convectivo

Envelope convectivo

Core radiativo

• A ocorrência de radiação ou convecção depende da fonte de energia e do gradiente de temperatura, os quais dependem primariamente da massa da estrela:

•W

hen opacities are high, temperature gradients become steep (i.e. theopacity is so large that the transfer of energy by radiat ion isineffi cient)•Stars of F and cooler spectral type have surface convection zones•Surface convection zones become deeper with later spectral types untilthe cool M dwarf s, which are fully convective•Surface convection drives the formation of chromospheres, andacoustic or magnetic transport may play a role in carrying energy abovethe temperature minimum at the top of the photosphere•Convection is also important in stellar interiors, and will probably becovered in that course•CONCLUSÕESConvection is (generally) not present for Teff>9000KFor A stars, a thin convective zone is present (100-200 km) below thevisible layersGiant stars are less likely to be convective at a given temperature thanmain sequence stars because the low density of the atmosphere makesconvection inefficient for transferring energy

QuandoQuando a a convecçãoconvecção é é importante importante ??• Quando as opacidades são altas, gradientes de temperatura tronam-se mais íngrimes (ou seja, a opacidade é tão grande que a transferência de energia por radiação é ineficiente)•Estrelas F e tipos espectrais mais frios tem zonas convectivas nasuperfície.•Zonas convectivas se tornam mais profundas para tipos espectrais maistardios até as frias anãs M, as quais são completamente convectivas.•Convecção superficial leva à formação de cromosferas e transportemagnético ou acústico podem desempenhar um papel importante paracarregar a energia acima da temperatura mínima no topo da fotosfera.•Convecção também é importante em interiores estelares

Relação Massa-Luminosidade

• Quanto mais massiva for a estrela, mais rápido ela queimará seu hidrogênio e mais luminosa ela será. Mas, como a luminosidade da estrelas depende de sua massa?

• Então, a luminosidade de uma estrelas varia com a 3ª potência de sua massa. Mas, ela também depende da opacidade e, portanto, a lei massa-luminosidade não deve ser uma simples lei de potência.

• De fato, a relação observada pode ser aproximada por leis de potência com diferentes coeficientes:

Baixas massas L~ M4

Massa intermediárias L~ M4 a 3

Altas massas L~ M3

Sequência Principal L~ M4 to L~ M3.5

Geração de Energia

• O único processo que pode gerar a enorme quantidade de energia produzida pelas estrelas e que faz isso durante o tempo em que a estrela brilha é o de fusão nuclear reação nuclear onde núcleos de baixa massa se fundem para produzir um núcleo de massa mais alta e energia.

• As altas densidades e temperaturas requeridas para reações de fusão (ou seja, para a força nuclear forte vencer a repulsão elétrica entre os núcleos) são encontradas somente nos núcleos das estrelas.

A cadeia PP

• A maior parte da energia nuclear das estrelas é produzida pela fusão de 4 hidrogênios em um núcleo de helio, de acordo com uma série de reações conhecidas como cadeia PP ou cadeia proton-proton.

• Combinando-se todas as equações de toda a cadeia PP, encontra-se que seis protons eventualmente produzem um núcleo de helio, dois positrons, dois neutrinos e dois raios gamma, além de dois protons produzidos também.

Esta reação ocorre de diferentes maneiras que originam três ramos PP diferentes.

• Abaixo mostra-se um resumo dos três ramos da cadeia PP, juntamente com as probabilidades de ocorrência de cada um deles para uma estrela tipo solar. (Note que a importância relativa de cada ramo depende das condições no interior estelar, as quais irão alterar as probabilidades de cada ramo).

A árvore PP

PP I

PP IIPP III

69% 31%

99.7% 0.3%

Energia a partir da cadeia PP

• Logo, a formação de cada núcleo de 4He via qualquer ramo da cadeia PP libera 26 MeV de energia.

• Embora as probabilidades envolvidas em cada ramo possam variar, a energia produzida por qualquer reação da cadeia PP será a mesma, pois ela é simplesmente o decremento de massa entre os núcleos inicial e final.

• Lembre-se que a energia é produzida ou absorvida na reação de acordo com a equação de Einstein:

Energia produzida Diferença de massa entre núcleos iniciais e finais

• Entretanto, o que varia é a quantidade de energia que é carregada para fora pelo neutrino que é produzido por cada um dos diferentes ramos. Por exemplo,

• A observação desses neutrinos com detectores como o SuperKamiokande permite aos astrônomos estudar reações nucleares nos interiores estelares que de outro modo não seriam observadas

O neutrino () emitido nessa reação tem uma

energia E=0.26MeV.

O neutrino () emitido nesta reação tem energia

E=7.2MeV.

“queima” de carbono

Outras reações de fusão importantes

• Embora as reações PP dominem a produção de energia no Sol, existem outras reações que são importantes em outras estrelas. São elas:

ciclo CNO

“queima” de helio

Uma série de reações nas quais uma transformação cíclica de carbono, nitrogênio e oxigênio facilita a conversão de quatro

protons em um núcleo de helio.

Três núcleos de He se fundem para criar um núcleo de carbono. Também chamado de reação triplo-alpha”.

Carbono é fundido para formar núcleos pesados: em especial, ferro é o produto final desses estágios avançados de queima.

desintegração do silícioNúcleos de silício interagem com fotons energéticos, emitindo núcleos mais leves. Os núcleos mais leves

são capturados por outros átomos de silício , formando elementos mais pesados.

A importância relativa dessas reações de fusão em uma estrela depende principalmente da temperatura do núcleo da estrela.

A tabela abaixo mostra os limites de temperatura para que reações típicas de fusão nuclear ocorram em interiores estelares.

A importância da temperatura

Reações envolvendo elementos pesados requerem temperaturas mais altas para superar a repulsão eletrostática entre os núcleos interagentes.

A temperatura do núcleo estelar depende de sua massa: estrelas mais massivas têm interiores mais quentes reações de fusão nuclear avançadas, tais como queima de carbono e oxigênio, são muito mais importantes para estrelas com altas massas. De fato, a temperatura do núcleo pode não ser alta nunca para que tais reações ocorram em uma estrela de baixa massa.

O ciclo CNO

O ciclo CNO é outro processo de queima de H.

O resultado final do processo é a fusão do H em He como na cadeia PP, mas os passos envolvidos nas reações individuais do ciclo CNO são bastante diferentes.

4 protons sob enormes pressão e temperatura

ciclo CNO

He, dois raios- , dois positrons e

dois neutrinos

Passos do ciclo CNO

O ciclo começa com um núcleo de 12C ao qual 4 protons serão sucessivamente adicionados. Em dois dos passos, a adição do proton é imediatamente seguida por um decaimento beta (com a emissão de um positron e um neutrino). No final do ciclo, um núcleo de He é emitido e resta um núcleo de 12C.

Entretanto, há uma reação alternativa para o passo final:

seguida pela série de reações:

12C catalizador

O ciclo CNO vs a cadeia PP

Como tanto a cadeia PP como o ciclo CNO produzem energia através da conversão de H em He, eles competem entre si. Como saber quais reações ocorrerão em uma determinada estrela?

Há dois aspectos para serem considerados.

1º) O ciclo CNO só pode ocorrer em estrelas que tenham carbono, nitrogênio e oxigênio. Por outro lado, como somente pequenas quantias desses elementos são necessárias, essa condição é frequentemente encontrada. 2º) Ambas as reações têm dependências muito diferentes com a temperatura, como podemos ver na figura a seguir:

T (106 K)

0 5 10 15 20 25 30

log

[ (

/ X2)

/ m3 W

kg2 ]

35

PP

T4

CNO T19.9

A temperatura está graficada no eixo

horizontal. O eixo vertical representa uma quantidade

que mede a taxa de produção de energia, graficada em escala

logarítmica.

O ciclo CNO não pode ocorrer em temperaturas inferiores a ~1.5 x 107K

Estrela de baixa massa (T núcleo baixa) produz mais

energia via cadeia PP

Estrela de alta massa (T núcleo alta) produz mais energia via

ciclo CNO

Embora a cadeia PP domine em baixas temperaturas, tão logo a temperatura limite para o ciclo CNO seja atingida, a taxa de produção de energia pelo ciclo CNO rapidamente ultrapassa a energia produzida via cadeia PP.

Como a temperatura do núcleo de estrelas massivas é muito mais alta que para estrelas de baixa massa, o ciclo CNO dominará a produção de energia em estrelas de alta massa.

À medida que a cadeia PP e o ciclo CNO transformam mais e mais H em He, deveríamos esperar que dois núcleos de 4He se fundissem para formar 8Be.Entretanto, 8Be tem um tempo de vida de somente 2.6 x 10-16s ! Nas temperaturas onde a cadeia PP e o ciclo CNO ocorrem, 8Be será desintegrado antes que seja envolvido em nova reação de fusão.Isso é conhecido como beryllium bottleneck (gargalo do Be), porque é a instabilidade do 8Be que impede que elementos pesados sejam formados após a criação do núcleo de 4He na cadeia PP ou ciclo CNO. Em 1952, E. Salpeter mostrou que embora o tempo de vida do 8Be seja muito curto, ele é mais longo que o tempo médio de colisão entre núcleos de 4He para temperaturas acima de 108 K. Assim, quando o núcleo de uma estrela se aquece acima de 108 K, há uma probabilidade não-nula de que o 8Be reaja com 4He para produzir carbono, driblando o gargalo do berílio e iniciando uma série de reações chamadas processo triplo-alpha.

Mais tarde, Fred Hoyle mostrou que essa probabilidade é maior que a predição de Salpeter porque o 12C tem um nível de energia parecido com energias combinadas dos núcleos de 8Be e 4He.

O problema com a queima do Helio

Núcleo basicamente de H, reações de fusão nuclear

produzindo He.

À medida que o He é produzido, o peso molecular médio do gás () aumenta. A

lei do gás ideal diz que isso causará uma redução na pressão central e aumento na

temperatura e densidade no núcleo.

Quando o núcleo atingir densidades muito altas e T > 108 K, o processo

triplo-alpha process é iniciado. triplo alpha!

A temperatura requerida para o processo triplo-alpha não é atingida nos interiores estelares até que uma grande quantidade de H seja convertida em He no centro da estrela, e o núcleo comece a se contrair, aumentando a densidade e a temperatura. Quando a temperatura central passar de 108 K, um núcleo de 8Be irá reagir com um núcleo de 4He para produzir 12C.

Queima de He: triplo-alpha

T (106 K)

0 10 20 30 40 50 60

log

[ (

/ X2)

/ m3 W

kg2 ]

70 80 90 100 110 120 130

PP T4

Tlimite

CNO T19.9

Tlimite

T41 3

Tlimite

Para baixas temperaturas centrais, maior parte da energia gerada através da cadeia PP.

Para temperaturas centrais intermediárias,maior parte da

energia é gerado via ciclo CNO

Para temperaturas centrais altas, maior parte da energia gerada

pelo processo 3

A taxa de produção de energia da reação triplo-alpha tem uma forte dependência com a temperatura:

Energia proveniente da queima de He

Entretanto, o núcleo de 12C produzido no 3 também pode capturar um novo 4He, produzindo um núcleo de 16O. Para essa reação, a energia produzida é ~7.2 MeV.

A energia produzida pelo 3 é ~7.3 MeV:

Estágios Avançados de Queima

À medida que a temperatura do core estelar aumenta, reações de fusão nuclear avançadas podem ocorrer. Se C e O suficientes forem gerados pelo processo 3, por exemplo, esses núcleos podem fundir para criar elementos ainda mais pesados. A temperatura limite para a queima de carbono é ~ 5x108K e, para a queima de oxigênio,são necessárias temperaturas maiores 109 K. Em geral, essas temperaturas somente ocorrem em interiores de estrelas massivas durante os últimos estágios de suas vidas. As reações de fusão do C e do O são bem parecidas. Em ambos os casos, um núcleo excitado pesado é formado e depois decái, emitindo uma raio gama ou uma partícula leve. Em média, cada reação de queima de C produz ~13 MeV, e a reação de queima de O produz ~16 MeV.

Os produtos da queima de C incluem Ne, Na e Mg, enquanto a queima de O gera S, P e Si produzindo um núcleo estelar rico em 28Si.Em T ~ 3 x 109 K, pode ocorre a queima do silicio. A série de reações de queima de Si produz núcleos estáveis que pertencem ao chamado grupo do ferro, e inclui elementos como Fe, Co e Ni. Qualquer outra reação para produzir elementos mais pesados que 56Fe será endotérmica ( ou seja, necessita de energia ao invés de produzí-la). Portanto, as reações nucleares estudadas até agora não podem produzir elementos mais pesados que o Fe.

Nucleossíntese de elementos mais pesados ocorre durante explosões de supernovas no final da vida de estrelas massivas, através da captura de neutrons (processos r e s)

onde є é a energia total produzida por unidade de massa de material estelar, por unidade de tempo pelas reações nucleares e gravidade.

Taxa de Reação e Luminosidade

Esta é uma dasequações fundamentais da estrutura estelar : equação de produção de energia

Os expoentes nessas expressões são determinados a partir de modelos sofisticados

de taxas de reação.

Define-se a fração de luminosidade dL gerada por um diferencial de massa estelar (dm), como sendo dada pela equação:

As reações de fusão geram a energia que explica as luminosidades estelares observadas: taxa total de geração de energia de uma estrela é sua luminosidade.

Equações de Estrutura Estelar

O que será discutido -

• a idéia de um modelo estelar; • a série de equações que regem a estrutura interna estelar, relações e condições de contorno;• teorema de Vogt-Russell;• estrelas homólogas; politropos; • estrutura das zonas convectivas em estrelas de diferentes massas a partir de modelos estelares.

Introdução

• Vimos os diferentes processos físicos que ocorrem na estrela e os princípios que os controlam.

• conhecimento obtido das observações + conhecimento das leis físicas que governam a estrela = descrição de funcionamento de uma estrela.

•Objetivo da teoria de estrutura estelar: obter modelos matemáticos que descrevam a estrutura da estrela e sua evolução.

Um Modelo Estelar

• Modelo = série de equações diferenciais descrevendo como as quantidades físicas da estrela (massa, pressão, temperatura, luminosidade) temperatura, variam a partir do centro em direção às bordas: equações de estrutura estelar. • Também inclúi relações que descrevem propriedades específicas do gás estelar (composição química, opacidade, produção de energia):relações constitutivas.• Finalmente, um modelo precisa utilizar as propriedades observadas de estrelas para limitar todas essas equações. A solução é um modelo estelar que descreve a estrela.

The Recipe

Propriedades

observadas

Equações de estrutura estelar

+

Equações que descrevam o

material estelar

+

UMA ESTRELA!

As Equações de Estrutura Estelar

Equação de equilíbrio hidrostático

Equaçõa de conservação de massaEquação de produção de energiaEquação de transporte radiativoEquação para convecção

As Relações Constitutivas

Equação de estado: lei do gas ideal

Opacidade: lei de potência com s coeficientes para s faixas de temperaturas

Taxa de geração de energia: lei de potência com s coeficientes para s fontes de energia.

Para descrever as características do material estelar, precisa-se de três relações: para a pressão, a opacidade e a taxa de produção de energia. Essas relações são funções da densidade, temperatura e composição química da estrela.

Um Problema para Resolver

Assim, dada estrela de certa composição química, o problema a ser resolvido consiste de sete equações ( as 4 eq.s de estrutura interna + 3 eq.s constitutivas) e sete incógnitas (P, M, L, T, , , ).

O problema pode ser resolvido em função do raio r.

Mas, ainda resta um ponto crucial: as quatro equações de estrutura interna são equações diferenciais. Isso significa que precisamos de quatro condições de contorno: duas condições no centro e duas condições na superfície.

Condições de Contorno Centrais

Quando r 0

Para conhecer as condições no centro da estrela, responda à pergunta:

Quais são a massa e a luminosidade no centro?

A massa e a luminosidade no centro vão a zero, ou seja,

M 0

L 0

L=0 M=0

Condições de Contorno na Superfície

Uma aproximação útil é admitir que a temperatura, pressão e densidade na superfície são desprezíveis em comparação aos valores no interior estelar

Para r R

P 0

T 0

0

As condições na superfície são :

RP=0, T=0 =0

O método de solução

Em geral, essas equações não podem ser resolvidas analiticamente integração numérica

Portanto, temos que discretizar o modelo.

Isto significa que devemos converter o modelo de contínuo (série de equações diferenciais) em uma aproximação algébrica para que o computador possa resolvê-lo.

Duas aproximações devem ser feitas:

• As equações diferencias são convertidas em equações de diferenças que são aplicada camamda por camada. Por exemplo:

• A estrela é admitida como sendo feita de conchas esféricas, como uma cebola. Também conhecido como modelo de zonas.

onde f = final, i = inicial e o representa uma mudança pequena mas finita.

Estrela real Estrela modelo

Discretização

As equações são resolvidas para cada camada da estrela

Pode-se começar a partir da superfície, se as condições nessa posiçãoforem conhecidas. Esse resultado dará as condições para a próxima camada e assim por diante. No final do processo, deveríamos encontrar as condições no centro.

O processo de dentro pra fora também deveria reproduzir as condições encontradas na superfície.

Entretanto, ambos os métodos apresentam problemas em se encontrar as condicções quer sejam no centro, quer sejam na superfície...

Vejamos outra possibilidade.....

Uma terceira possibilidade é começar o cálculo a partir de amobos, centro e superfície e fazer as soluções coincidirem em algum ponto no interior da estrela. Esse ponto é chamado de ponto de ajuste (fitting point) e as condições corretas para as soluções coincidirem são estabelecidas no início do cálculo.

Martin Schwarzschild foi o primeiro astrônomo a utilizar este método para resolver as equações de estrutura interna.

Para se obter bons resultados, quanot mais camadas forem consideradas melhor. Entretanto, este método demanda tempos enormes de computação para levar a cabo as integrações numéricas.

Massa é mais conveniente

A formulação prévia permite obter modelos estelares para uma estrela de dado raio. Entretanto, as equações de estrutura interna são expressas em temros de massa ao invés de raio, como a variável independente.

Esta aproximação é mais conveniente porque em muitos casos a massa da estrela é conhecida por outros métodos enquanot o raio não é ( e pode mudar ordens de grandeza durante a evoluçã oda estrela).

As três relações cosntitutivas não serão afetadas por esta transformação e as condições de contorno podem ser facilmente re-escritas: r = 0, L = 0 em m = 0 e = 0, T = 0 em m = M.

Com esta formulação, se soubermos a massa total e a composição da estrela, teremos um problema muito bem definido para solucionar para obter a estrutura da estrela. Isto geralmente é colocado pelo Teorema de Vogt-Russell:

A massa e composição química de uma estrela é determina seu estado físico e

estrutura.

Somente uma configuraçã ode

equilíbrio

Estrutura fixada

Massa

Composição química

+ Modelo Estelar

Estrelas Homólogas

mesma composição, mas massas diferentes

Estrelas homólogas !

Dados massa + composição química (homogênea) resolver as equações anteriores e encontrar a estrutura da estrela.

Dada uma estrela de massa diferente mas mesma composição homogênea que a primeira: Precisa-se resolver as equações novamente? NÃO elas são homólogas.

Existe um modo de formular as equações de estrutura interna nas quais as soluções têm a mesma forma para todas as estrelas de mesma composição, dependendo somente de um fator de escala que leve em conta as diferentes massas.

Essa sequência de soluções é chamada de série homóloga.

Na série hiomóloga, quantidades como temperatura, luminosidade, pressão ou densidade irão variar do mesmo modo do centro para a superfície de estrelas de diferentes massas. Os valores absolutos dependerão da massa específica através de um fator de escala.

• Em alguns casos especiais, a série de equações pode ser resolvida analiticamente. Um modelo estelar simples que permite fazermos isso é o modelo politrópico: um politropo é uma estrela que tem uma equação de estado de forma politrópica:

Politropos

onde K = constante e n é o índice politrópico

• Entretanto, soluções analíticas só podem ser obtidas em três casos, quando o índice politrópico é n = 0, 1 or 5.

• A equação politrópica de estado pode ser útil para descrição da matéria em anãs brancas e estrelas de neutrons, com índices politrópicos dependendo do caso.

The planetary nebula NGC 2440 contains one of the hottest white dwarfs.

Estrelas em Evolução

Existe ainda a dependência temporal nas equações de estrutura estelar. Sem ela, com estudar evolução de estrelas?

Sabemos que a estrutura de uma estrela é determinada pela sua massa e composição química. Portanto, a estrutura estelar pode mudar (a estrela evolúi) devido a mudanças em sua composição química ou massa.

Nascimento estelar: nuvens em M16

A morte de uma estrela: supernova 1987A

Uma supergigante vermelha:

Betelgeuse

high temperature low

low

lum

i nos

ityhi

gh

White dwarfs

Red dwarfs

Main sequence

Super-giantsGiants

• Na maior parte de sua vida, a estrela não sofre perda de massa. Assim, o principal fator na determinação da evolução de uma estrela será a mudança em sua composição química devido a mudanças nas reações nucleares centrais.

• Mas, quando mudanças nas reações nucleares não são graduais, a característica da estrela variará muito rapidamente. Nesse caso, a dependência temporal nas equações de estrutura interna não podem ser desprezadas e o problema é muito mais complicado.

• Isso acontece, por exemplo, quando o core de He de uma estrela de baixa massa colapsa: uma fase muito curta chamada flash do He ocorre e uma enorme quantidade de energia é produzida no core em alguns segundos.

• Nos estágios finais de evolução, as estrelas perdem massa, a qual terá importantes efeitos em sua estrutura.

• As coisas se complicam porque ainda existe um efeito não levado em conta: convecção.

• Teremos que checar cada passo do cálculo para verificar se a condição para existência de convecção é satisfeita ou não.

• Se não, simplesmente continuamos até que ela seja violada e, a partir de então, teremos que reconsiderar a solução.

Como determinar o passo temporal? Não é muito fácil!

1

0

0.5

0 0.4 0.8 1.2 1.6Log M/M

m/M

Centre of star

Surface of star

Radiative region

Convective region

convective envelope

radiative core

Sun

Star mass

Centre of star

Surface of star

• A figura abaixo mostra a extensão e posição das regiões convectivas dependendo da massa da estrela.

• Regiões laranja representam convecção e a linha vertivcal corresponde a uma estrela de dada massa.

Estrelas com M < 1.3 M tem envelopes convectivos M <1.3M M>1.1M

convective core

Estrelas com M > 1.1M tem cores convectivos