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O JOGO DA LOGÍSTICA E SUAS VARIANTES NO PROBLEMA DE

LOCALIZAÇÃO DE INSTALAÇÕES

Marcos Ricardo Rosa Georges Centro de Economia e Administração

PUC-Campinas

Resumo

Este artigo apresenta os resultados obtidos na aplicação do Jogo da Logística, especialmente no que se refere ao problema da localização de instalações. O Jogo da Logística é um jogo de tabuleiro, com cartas, dados e peças que simula o planejamento e a operação da distribuição de um produto para os clientes. Permite o ensino da logística de forma lúdica e com grande profundidade, oferece grande repertório de problemas de natureza logística aos quais os jogadores são submetidos e devem resolvê-los. Neste artigo, serão detalhadas as variações do problema de localização que o Jogo da Logística permite explorar, bem como suas soluções através de planilhas eletrônicas, comprovando que o uso deste artifício no ensino da logística possibilita atingir elevados níveis de complexidade. Uma rápida apresentação dos elementos do Jogo da Logística completa este artigo.

Palavras chave: Jogo da Logística; Logística Empresarial; Estratégia de Operações; Ensino e Pesquisa em Administração, Jogos de Empresas.

1. INTRODUÇÃO

O Jogo da Logística é um jogo de tabuleiro, cartas e dados que compõe um cenário complexo e detalhado para se realizar o planejamento e a operação de distribuição semanal de produtos dos centros de distribuição para seus clientes, exigindo dos participantes a aplicação de diversos conceitos e ferramentas da logística, como: localização e dimensionamento das instalações, dimensionamento e seleção de modal, gestão de estoques e estoque de segurança, roteirização e programação de veículos, cálculo do frete, e demais decisões da logística.

Diferentemente dos tradicionais jogos baseados em computador, o Jogo da Logística não fornece nenhum sistema computacional de apoio às decisões, porque um de seus objetivos é desenvolver a capacidade de construir soluções para os problemas utilizando planilhas eletrônicas, enquanto que, nos jogos tradicionais baseados em computador, pouco se sabe sobre os cálculos que são executados quando se alimenta um formulário e aperta-se o botão.

É justamente esta capacidade de desenvolver soluções em planilhas eletrônicas que motivou a redação deste artigo, que apresenta as variantes do problema de localização e suas soluções utilizando-se planilhas eletrônicas, mostrando a grande complexidade que os problemas podem assumir no Jogo da Logística. Antes de detalhar estas variantes no problema de localização e suas soluções, uma breve apresentação do Jogo da Logística é feito.

2. O JOGO DA LOGÍSTICA

O jogo foi criado por Georges (2009) como um instrumento didático para ensino da logística e é formado por um tabuleiro e algumas cartas que estão detalhados a seguir.

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2.1. O TABULEIRO

O tabuleiro foi inspirado no mapa rodoviário do estado de São Paulo e mostra somente 44 cidades que estão incluídas no jogo e as principais rodovias que ligam estas cidades. Tem dimensão de 0,80 x 0,60 metros, escala de 1:16.600.000 e possui um sistema de coordenadas cartesianas e há algumas figuras que detalham a seqüência do jogo. As cidades são coloridas por três tonalidades de azul, indicando a categoria desta cidade (que pode ser A, B ou C), cada categoria tem um padrão de demanda diferente. A figura 1 exibe o tabuleiro do jogo.

Figura 1 – Tabuleiro do Jogo da Logística (fonte: Georges, 2009)

2.2. AS CARTAS

As cartas representam diversas entidades do jogo, como: clientes, produtos, veículos, condições de entrega e eventos aleatórios. Cada carta contém um conjunto de informações para a realização das etapas do jogo e estas cartas estão detalhadas a seguir.

2.2.1. Cartas dos Clientes

Cada cidade do tabuleiro é representada por uma carta que, por meio de sorteio, formarão a base dos clientes cuja demanda deverá ser atendida semanalmente.

São 44 cartas que trazem informações vitais para o jogo, como o número de dados a serem jogados que determinarão a demanda semanal deste cliente. Clientes da categoria A jogam três dados para determinar sua demanda semanal, clientes B jogam dois dados e clientes C jogam apenas um dado para determinar sua demanda semanal em unidades de produto paletizado. Outra informação é o tempo de tráfego urbano gasto pelo veículo que fará

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a entrega nesta cidade. A figura 2 a seguir ilustra a carta da cidade de Araraquara, cuja demanda semanal é dado pelo sorteio de 3 dados e o tempo urbano é 1:10h.

2.2.2. Cartas dos Produtos

O produto a ser distribuído para os clientes também é definido por meio de sorteio de uma carta (figura 2) dentre seis opções de produtos que o Jogo da Logística oferece.

As informações contidas nesta carta dizem respeito as suas características físicas, características de mercado, características do fornecedor e algumas informações adicionais sobre condições de empilhamento, armazenagem e nível de segurança exigido. As características físicas contêm informações sobre: dimensão, peso, número de unidades no pallet e forma de apresentação, que são usadas para determinar o número máximo de produtos transportados e empilhados.

As características de mercado informam o preço de cada item, o custo de manutenção de estoque e o custo da falta. As características do fornecedor informam o custo fixo do pedido, quantidade mínima e sobre o padrão de entrega do fornecedor. Estas informações são usadas para determinar os parâmetros do sistema de reposição de estoque (lote econômico, ponto de pedido e período de reposição) e também são usados para calcular o estoque de segurança, o dimensionamento da área de estocagem e o número de prateleiras.

2.2.3. Cartas dos Veículos

O produto sorteado deverá ser entregue por um veículo. O veículo não é sorteado, mas escolhido dentre cinco opções: furgão, toco, truck, semi-reboque e duplo semi-reboque, cada qual com características técnicas/desempenho e características de mercado diferentes, que exigirá grande capacidade de análise para selecionar a melhor opção e o número de veículos adequado. A figura 2 a seguir apresenta a carta do veículo ‘tipo truck’.

Figura 2 - Exemplos de Carta de Cliente, Carta de Produto e Carta de Veículo (fonte: Georges, 2009)

As características técnicas/desempenho agrupam informações como: capacidade útil (peso e cubagem), capacidade no tanque de combustível, rendimento, quantidade de óleo necessária, intervalo de troca de óleo, número e tipo de pneus, intervalo de troca de pneu, velocidade média, intervalo para revisão mecânica, lubrificação, recapagens e tempo de depreciação. As características de mercado informam: preço do veículo novo e usado, valor do seguro, dos impostos, do salário do motorista, do preço do pneu novo e da recapagem, do

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litro de óleo lubrificante e do óleo combustível, da jornada de trabalho do motorista, o percentual de encargos trabalhistas e taxa de juro praticado no mercado. Estas informações são usadas para calcular o custo por quilômetro rodado e a por hora de uso dos veículos.

2.2.4. Cartas das Condições de Entrega

A carta de condição de entrega fornecerá os dias e horários para se fazer a entrega no cliente. É uma variável que gradativamente perde-se o domínio. No início, os participantes têm a liberdade de escolher o dia e horário que farão as entregas segundo a conveniência do entregador, mas, a cada semana, um novo cliente passa a ter sua condição de entrega definida pelo sorteio, até que todos os clientes tenham seus dias e horários definidos segundo estas cartas. A figura 3 exibe uma das 16 cartas de condições de entrega do Jogo da Logística.

Figura 3 - Exemplo de uma Carta de Condição de Entrega e de Evento Aleatório (fonte: Georges, 2009)

2.2.5. Cartas de Eventos Aleatórios

As cartas de eventos aleatórios são perturbações externas que afetam a operação logística. Ao final de cada semana é sorteada uma carta de evento aleatório que imporá, durante a semana seguinte, uma condição particular, tal como: uma quebra do veículo, uma rodovia interditada e outros imprevistos. Ao todo são 20 cartas de eventos aleatórios e a figura 3 apresenta um exemplo deste tipo de carta.

3. A DINÂMICA DO JOGO DA LOGÍSTICA

O Jogo da Logística é divido em duas fases distintas: Planejamento e Operação. O planejamento contém as etapas de inicio, localização, estoques/armazenagem e transportes, e a fase da operação contém a etapa das entregas semanais que se repete até o fim do jogo. A seqüência das fases e das etapas está ilustrada a figura 4 a seguir.

Figura 4 - Seqüência do jogo da Logística (fonte: Georges, 2009)

Cabe ressaltar que a aplicação do jogo é feita segundo os preceitos das metodologias ativas de ensino, em especial o Aprendizado Baseado em Problemas (PBL), uma metodologia de ensino-aprendizagem que tem como uma de suas características principais a exposição inicial de um problema para depois apresentar a teoria. Assim, todas as etapas do jogo que

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serão detalhadas a seguir, sempre se iniciam com a apresentação do problema, exigindo uma solução inicial por parte dos participantes e, somente depois, há uma orientação do professor para que os participantes desenvolvam as soluções dos problemas.

No entanto, o jogo pode ser aplicado com outras metodologias de ensino-aprendizagem, só que tais aplicações ainda não foram feitas pelo presente autor.

3.1. INÍCIO

Esta etapa destina-se a formação das equipes e aos sorteios da base de clientes e do produto a ser distribuído. Na disciplina de logística empresarial de curso de graduação em administração foram formadas equipes de quatro integrantes e sorteados 20 clientes e um produto para cada equipe. Porém, o tamanho das equipes, da base de clientes e do número de produtos pode diferir em função do nível do curso, do tamanho da sala e do conhecimento prévio dos participantes.

3.2. PLANEJAMENTO DA LOCALIZAÇÃO

Esta etapa do planejamento destina-se em determinar a localização dos CD´s que atenderão a demanda semanal dos clientes. Este problema da localização dos CD´s pode ser enunciado de diferentes formas, exigindo o uso de diferentes métodos e ferramentas da logística, podendo ser proposto com um problema simples (para iniciantes em logística) ou adquirir elevada complexidade e exigir a aplicação de sofisticados métodos para resolvê-lo (para participantes com conhecimentos avançados em logística).

As informações essenciais para se determinar a localização dos CD´s são extraídas da disposição geográfica dos clientes (retirada das coordenadas do tabuleiro) e da demanda semanal de cada cliente. Informações adicionais para configurar cenários mais complexos podem ser dadas pelo professor ou definidas pelos participantes.

A seção 4 deste artigo apresenta em detalhes alguns problemas de localização que foram enunciados nas aplicações do Jogo da Logística, desde problemas simples até problemas de grande complexidade, e também apresenta suas soluções, algumas sugeridas pelos alunos e outras desenvolvidas pelo presente autor.

3.3. PLANEJAMENTO DOS ESTOQUES E ARMAZENAGEM

Esta etapa do planejamento tem por objetivo definir a sistemática de controle e reposição dos estoques e também dimensionar a área destinada à armazenagem. É exigida a determinação dos parâmetros do sistema de revisão contínua e do sistema de revisão periódica, sendo necessário o cálculo do tamanho do lote econômico, o intervalo entre pedidos, o ponto de pedido, a quantidade máxima de referencia e outros parâmetros que definem a dinâmica dos estoques para cada sistemática adotada. Já o cálculo do estoque de segurança utiliza o teorema central do limite para aproximar a distribuição da demanda do CD de uma distribuição normal, pois a distribuição de demanda do CD é a soma das distribuições de probabilidade de cada cliente.

Após determinado os parâmetros que definem a sistemática de reposição dos estoques é feito um esboço do layout do armazém em função das características de empilhamento fornecido pela carta do produto. Neste esboço de layout é exigido o dimensionamento do número de prateleiras, das docas de recebimento e expedição e do número de empilhadeiras.

3.4. PLANEJAMENTO DO TRANSPORTE

Esta etapa tem a finalidade de selecionar o tipo de veículo e determinar o tamanho da frota a ser utilizada na operação de distribuição semanal. Até o momento não se conseguiu

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aplicar nenhuma metodologia estruturada para se escolher o tipo de veículo e o tamanho da frota. Esta decisão acaba por ficar sujeito a critérios subjetivos das equipes que avaliam o tipo de produto a ser distribuído, o nível de serviço exigido e os custos do transporte rodoviário.

O cálculo do custo do transporte rodoviário, por sua vez, é uma atividade bem estruturada, segundo a metodologia proposta por Lima (2001), que utiliza todas as informações contidas na carta do veículo para se chegar a um custo por quilometro rodado (custo variável) e um custo por hora de uso (custo fixo) para cada veículo.

Ao fim desta etapa, as equipes têm um cenário detalhado para iniciar a operação de entrega semanal. Este cenário contempla: uma base de clientes, Centros de Distribuição localizados com sistemática de controle de estoques definidas e uma frota dimensionada, resta aguardar os pedidos dos clientes para planejar e efetuar as entregas semanais.

3.5. ENTREGAS SEMANAIS

Esta etapa se inicia com o sorteio da demanda semanal de cada cliente que simboliza os pedidos feitos aos CD´s. De posse dos pedidos, inicia-se o planejamento das entregas com a determinação das rotas, o que pode ser feito por diferentes métodos de roteirização, como o método da varredura, o método das economias ou outro método, mas sempre observando a capacidade máxima do veículo. Definidas as rotas, calculam-se o tempo total de cada rota somando os tempos de carregamento, descarregamento, tempos urbanos e o tempo rodoviário. Depois de calculado o tempo total de cada rota é feita a programação das rotas nos veículos, designando qual veículo fará quais rotas e determinar a seqüência das rotas durante a semana. Chama-se a atenção para a necessidade de respeitar as condições de entrega e os eventos aleatórios que foram sorteados para a semana em questão.

À medida que os veículos deixam o CD para iniciar uma entrega é feito a atualização do nível de estoque neste CD. Ao final da semana, quando todas as entregas foram efetuadas, é feito o sorteio de uma carta de evento aleatório e das cartas de condição de entrega para a semana seguinte e o ciclo das entregas semanais se reinicia.

4. VARIANTES NO PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO DE INSTALAÇÕES

Nesta seção serão detalhados os problemas de localização de instalações que são enunciados no Jogo da Logística e suas propostas de solução. Foi possível enunciar quatro tipos de problemas com complexidade crescente. Estes problemas são enunciados através de cartas de “desafio logístico” que estão exibidos na figura 5 a seguir.

Figura 5 - Problemas de Localização Enunciados nas Cartas de Desafios Logísticos

As soluções destes problemas são detalhadas a seguir. Algumas das soluções (as heurísticas) foram propostas pelos participantes do jogo e, por serem interessantes, são citadas

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aqui. As demais soluções foram elaboradas pelo presente autor. Estas soluções são apresentadas aos participantes somente após a entrega das soluções por eles propostas, pois a construção das soluções é um dos principais objetivos deste jogo.

4.1. SOLUÇÕES DO PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO ÚNICA

Este é considerado o mais simples e elementar dos problemas de localização de instalações e, no Jogo da Logística, pode ser considerado um ‘aquecimento’ para os outros problemas de localização. Sua proposição é feito logo após o sorteio da base de clientes e do produto, sendo enunciado sob a forma de desafio e após o anuncio do problema, as equipes têm cerca de 1 semana para pesquisar e propor uma solução para este problema.

O problema de localização única é conhecido como Problema de Weber (DREZNER et al., 2004) e pode ser formulado como mostra a equação 1 a seguir.

=∑=

n

i

iiyx

yxdwyxW1

,),(),(min

Equação 1 - Formulação do problema de localização única

Nesta equação, wi é um peso associado ao ponto i e di é a distância euclidiana no plano cartesiano entre o ponto i, de coordenadas (ai , bi) e as variáveis (x , y). As soluções deste problema desenvolvidas no Jogo da Logística estão detalhadas a seguir.

4.1.1. Solução por Métodos Heurísticos

Foi observada a proposição de diversas heurísticas como solução inicial deste problema (pode-se considerar um eufemismo chamar algumas das propostas como heurísticas). Foram selecionadas 4 heurísticas que merecem ser mencionadas, sendo 3 baseadas em cálculos estatísticos e uma baseada em um procedimento geométrico.

As heurísticas estatísticas são demasiadamente simples, determinando a localização das coordenadas tomando-se a média, a mediana e o ponto médio das coordenadas x e y dos clientes. A heurística baseada em geometria forneceu uma coordenada através da interseção de duas retas, a primeira reta liga o cliente mais ao norte com o cliente mais ao sul, a segunda reta liga o cliente mais ao leste com o cliente mais a oeste. Os resultados destes procedimentos heurísticos podem ser visualizados na figura 6 a seguir, onde também se vê a base dos 20 clientes sorteados para o exemplo desenvolvido neste artigo.

araçatuba

araraquara

assis

barretos

botucatu

dracena

franca

jales

limeiraourinhos

piracicaba

pres. Prudente

registro

ribeirão preto

santos

são joão da boa vista

são josé do rio preto

sorocaba

caraguatatuba

taubaté

MedianaMédia

Ponto Médio

Interseção

Figura 6 - Soluções heurísticas para o problema de uma localização

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As soluções obtidas através das heurísticas baseadas em cálculos estatísticos foram próximas entre si e também próximas da solução ótima (calculada adiante). Já a solução baseada no procedimento geométrico não foi tão boa quanto às demais. A proximidade da solução heurística com solução ótima pode ter sido uma obra do acaso, um golpe de sorte, necessitando mais estudo para conhecer melhor as soluções geradas por tais heurísticas.

4.1.2. Solução Ótima pelo Algoritmo Weiszfeld

O algoritmo de Weiszfeld foi proposto em 1936 e consiste no método mais simples e utilizado para resolver o problema de Weber (DREZNER et al., 2004) e consiste num procedimento iterativo que calcula, via método numérico, as raízes das equações obtidas a partir da derivada parcial da equação de Weber (equação 1) em relação às variáveis x e y.

A solução da equação originada pela primeira derivada de qualquer função fornece o ponto ótimo desta função, este método é conhecido como método direto. Porém, a equação obtida a partir da derivada de primeira ordem nem sempre tem solução algébrica fácil, como o caso da equação de Weber para mais de 3 clientes, sendo necessário recorrer a métodos numéricos para se obter a solução desta derivada. A equação 2 fornece a derivada parcial das equações de Weber, cujo ponto ótimo (x*, y*) é obtido quando esta derivada se iguala a zero.

0),(

)(),(

0),(

)(),(

1

1

=−

=∂

∂

=−

=∂

∂

∑

∑

=

=

n

i i

ii

n

i i

ii

yxd

byw

y

yxW

yxd

axw

x

yxW

Equação 2 - Derivadas parciais da equação de Weber

O algoritmo de Weiszfeld obtém a solução ótima através de sucessivas aproximações, onde a solução seguinte (x(k+1), y(k+1)) é obtida a partir da solução anterior (x(k), y(k)) através da relação exibida pela equação 3 a seguir.

( )

=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=++n

ikk

i

i

n

ikk

i

ii

n

ikk

i

i

n

ikk

i

ii

kk

yxd

w

yxd

bw

yxd

w

yxd

aw

yx

1

1

1

1)1()1(

),(

),(,

),(

),(,

Equação 3 - Relação entre a solução anterior e a solução seguinte

Para se obter a solução da equação de Weber basta se ter uma solução inicial (x0, y0) para iniciar o procedimento iterativo. Ballou (2006) e Sule (2001) sugerem uma solução inicial baseada no centro de gravidade, tal como ilustra a equação 4 a seguir.

( )

=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

ii

w

yw

w

xw

yx

1

1

1

100 ,,

Equação 4 - Solução inicial sugerida por Ballou (2006) e Sule (2001).

A implantação do algoritmo de Weiszfeld foi feita em planilha eletrônica (exibida na figura 8 a seguir). A coluna C e D contêm, respectivamente, as coordenadas ai e bi de cada cliente. A coluna E contém a demanda anual de cada cliente, que corresponde ao peso wi na equação de Weber. Utilizando as funções somarproduto e soma foi possível obter a solução inicial sugerida por Ballou, tal como a tabela 1 apresenta a seguir.

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Tabela 1 - Solução inicial para o algoritmo de Weiszfeld x0 =SOMARPRODUTO(C2:C21;E2:E21)/SOMA(E2:E21) 47,45714286

y0 =SOMARPRODUTO(D2:D21;E2:E21)/SOMA(E2:E21) 29,31428571

De posse da solução inicial é feito o calculo da coluna F, que contém as distâncias di

entre a solução inicial e o ponto i. Também é feito o cálculo da coluna G que contém os custos de transporte (wi unidades a uma distância di). As colunas H, I e J foram calculadas a partir da equação 3. A soma da coluna H é o denominador da equação 3, a soma da coluna I é o numerador da coordenada x na equação 3 e a soma da coluna J é o numerador da coordenada y da equação 3.

Logo, a partir da solução inicial é possível calcular a solução seguinte, tal como ilustra a linha 24 na figura 7. De posse da solução seguinte é feito o cálculo das distâncias di de cada cliente até esta nova solução (coluna K) e também se calcula o custo de transporte até este novo ponto (coluna L).

Figura 7 - Planilha eletrônica com o algoritmo de Weiszfeld

A obtenção da próxima solução k=2 a partir da solução anterior k=1 é feito exatamente igual a obtenção da solução k=1 a partir da solução inicial k=0. Para implementar este procedimento iterativo utilizou-se o recurso ‘macro’, que copia os valores da solução seguinte e cola no lugar da solução inicial, atualizando todos os campos que eram calculados em função da solução k=0 e que agora é calculado em função da solução k=1, gerando a próxima solução (k=2). A ‘macro’ repete este passo de copiar e colar gerando as soluções seguintes.

A figura 8 exibe algumas iterações obtidas através desta ‘macro’, e a figura 9 exibe a qüinquagésima iteração deste algoritmo que fornece uma solução cuja diferença é observada somente na sétima casa decimal para as coordenadas x e y.

Figura 8 - Iterações do algoritmo de Weiszfeld

Figura 9 - Qüinquagésima iteração

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4.1.3. Solução por Programação Não Linear

A próxima resolução para o problema de localização de instalação única que foi explorada no Jogo da Logística foi como um problema de programação não linear.

A equação de Weber (equação 1) é um problema de minimização com duas variáveis, as coordenadas x e y, cuja função é de natureza não linear devido ao cálculo das distâncias euclidianas. Este é um problema de programação não linear irrestrito. Sua solução pode ser facilmente obtida com auxílio da ferramenta ‘solver’ do MS Excel. Nesta planilha (figura 10) as colunas H e I calculam as distâncias horizontais (x-ai)

2 e distâncias verticais (y-bi)2 entre as

variáveis e as coordenadas de cada cliente, a coluna J soma estes termos e extrai a raiz quadrada calculando a distância e depois a multiplica pela demanda. A soma da coluna J fornece o custo total que se deseja minimizar.

Figura 10 - Resolução do problema de localização única por Programação Não Linear

4.2. SOLUÇÕES DO PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO MÚLTIPLA

O próximo problema enunciado no Jogo da Logística é o problema de localização de instalações múltiplas onde se estabeleceu o número de dois Centros de Distribuição cuja localização deve ser determinada.

4.2.1. Solução por Métodos Heurísticos

Uma solução heurística para o problema de localização múltipla que foi explorada foi batizada de Centro de Gravidade Recursivo. A idéia desta heurística é resolvê-lo como um problema de localização única e, a parir desta solução, dividir a área em duas regiões onde se aplica novamente o problema de localização de instalações única em cada região (figura 11).

solução 1

solução 2

Figura 11 - Solução para o problema de duas localidades usando heurística

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O problema desta heurística é que se pode traçar a reta que dividirá a região em duas em muitos sentidos gerando diferentes soluções. A figura 11 mostra uma das possíveis soluções usando esta heurística. No centro, em vermelho está a solução para a equação de Weber considerando toda a região e uma reta é traçada sobre este ponto dividindo a área em duas, cada qual com sua solução também em vermelho.

4.2.2. Solução por Programação Não Linear com Variáveis Binárias

A formulação matemática para o problema de localização múltipla é dada pela equação 5, que nos mostra um problema de programação matemática cuja função objetivo é não linear e com um conjunto de restrições que pode ser interpretado como ‘a soma das quantidades enviadas por todos os CD a um cliente deve ser igual a demanda deste cliente’. Esta interpretação da restrição é possível pois, no Jogo da Logística, o cálculo da localização ainda não envolve custos e o peso w pode ser associada somente a demanda dos clientes.

jiw

niww

byaxwyxW

ij

i

m

j

ij

n

i

m

j

ijijijjjmjyx jj

, para ,0

,...,1 para ,

a sujeito

)()(),(min

1

1 1

22

,...,1),,(

∀≥

==

−+−=

∑

∑∑

=

= ==

Equação 5 - Formulação matemática para o problema de localização multiplo

Observe que a equação 5 poderá ter como solução um cliente que seja atendido por mais de um CD, desde que a soma das quantidades de todos os CD (wij) seja igual a demanda do cliente i (wi). Porém, esta situação só acontecerá na solução ótima se os CD’s fossem restringidos em relação a sua capacidade máxima, o que não é o caso no Jogo da Logística.

Assumindo que os CD´s tenham capacidade ilimitada, a solução ótima não terá um cliente sendo atendido por mais de um CD, pois, o cliente será atendido integralmente pelo CD mais perto. Logo, ao invés de um conjunto de restrições, a equação 5 poderá ser substituída um modelo de programação não linear irrestrito com variáveis binárias (ki), onde o valor de ki define se o cliente i será atendido pelo CD1 (ki =1) ou pelo CD2 (ki =0).

Reescrevendo a equação 5 para o caso de 2 CD´s (j=2) e substituindo as restrições pela variável binária ki, se tem a equação 6 a seguir.

−+−−+−+−= ∑∑==

=

n

i

iiii

n

i

iiiijjjyx

byaxwkbyaxwkyxWjj 1

22

22

1

21

21

2,1),,()()()1()()(),(min

Equação 6 - Problema de Programação Não Linear com variáveis binárias para 2 localizações

A solução da equação 6 foi obtida através do uso do solver no MS Excel, e a figura 12 a seguir ilustra a planilha eletrônica com o modelo implementado.

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Figura 12 - Solução para o problema de programação não linear irrestrito com variáveis binárias

4.2.3. Solução por Problema de Cobertura

Este problema é enunciado pela carta de ‘desafio logístico’ nº 3 apresentada anteriormente e tem como objetivo exercitar a solução para o problema de localização de instalações utilizando a programação linear inteira binária através do problema de cobertura, cuja formulação matemática está na equação 7.

para ,{0,1}

de 300km de menos a cidades das conjunto o é J onde ,1 , todopara

a sujeito

min

Jj

1

iX

iXi

XN

i

j

n

i

i

∀∈

≥

=

∑

∑

∈

=

Equação 7 - Formulação do Problema de Cobertura

A condição do problema de cobertura enunciado é que nenhum cliente poderá estar a menos de 300 km de um CD, e o CD, por sua vez, deverá ser localizado em uma das cidades constantes no tabuleiro.A primeira tarefa para implementar o problema de cobertura é determinar, para cada cidade da base de cliente, quais clientes estariam a menos de 300km se esta cidade fosse um CD. A figura 13 a seguir ilustra para a cidade de Ourinho quais cidades estão a menos de 300km de distância demarcado pelo círculo azul.

Figura 13 - Determinando as cidades contidas num raio de 300km de Ourinhos.

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A segunda tarefa é montar a matriz binária exibida pela figura 14 a seguir, no qual, para uma determinada cidade i, as demais cidades que estão contidas num raio de 300km são marcadas com 1 e 0 o caso contrário. Defini-se como função objetivo a soma das variáveis binárias Xi (linha 2). As restrições (coluna AA) são definidas a soma do número de cidades dentro de raio de 300km multiplicada pelo vetor das variáveis binárias. Utilizando o solver obtêm a solução para o problema que, neste caso, determinou 3 cidades como sendo suficientes para atender os clientes de modo que nenhum fique a menos de 300km. As cidades escolhidas para sediar os CD´s foram: Araraquara, Presidente Prudente e Santos.

Figura 14 - Implementação do Problema de Cobertura em Planilha Eletrônica

4.2.4. Solução por Problema de P-Median

O problema enunciado pela carta de ‘desafio logístico’ nº4 apresentada o maior grau de dificuldade entre os problemas de localização propostos pelo Jogo da Logística. Trata-se de um problema cujo objetivo é determinar quantos CD´s e aonde estes CD´s deverão ser instalados de modo a minimizar o custo total anual, dado pela soma dos custos de transporte e dos custos fixos de manutenção dos CD´s.

A carta do desafio logístico fornece o valor de $15.000,00 como sendo o custo fixo de manutenção anual de um CD. O custo de transporte entre um CD e um cliente é proporcional a demanda do cliente e a distância entre o CD e o cliente, não havendo nenhuma correção em função da escala do mapa e, assim como no problema enunciado pela carta nº3, restringe-se os locais de instalação dos CD´s ao conjunto de cidades que compõe a base de clientes.

Além de exigir uma formulação matemática mais complexa que os problemas anteriores, este problema também evoca um trade-off bem conhecido sobre a decisão do número de pontos de armazenagem, este trade-off está exibido na figura 15 a seguir.

CUSTO

Número de Centros de Distribuição

Custo Total

Custo detransportes

Custo de estocagem

Receita

1 2 3 4 5 6 7

Figura 15 - Trade-off entre os custos na decisão do número de CD´s (fonte: Ballou, 2006).

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Segundo Ballou (2006) os custos de transporte diminuem com o aumento do número de CD´s, pois a distância média entre os CD´s e os clientes torna-se menor com um maior número de CD´s. Por outro lado, quanto maior o número de CD´s maior serão os custos de estocagem, pois, além dos custos fixos de manutenção de cada CD há, também, os custos de manutenção dos estoques que não diminuem na mesma razão do aumento do número de CD´s. Somando-se os custos de transporte e custo de estocagem têm-se o custo total, cujo valor mínimo é objeto de interesse de qualquer sistema logístico.

Este comportamento apresentado pelo trade-off da figura 15 é claramente observado na solução do problema enunciado pela carta do desafio logístico nº4, mas antes de apresentá-lo, faz-se necessária a sua resolução.

A formulação matemática do problema de localização de múltiplas instalações com custo fixo é apresentada a seguir a partir da obra de Daskin et al. (2005) com pequenas adaptações. Nesta formulação matemática, a variável fj representa o custo fixo do candidato j a sediar um CD. As variáveis wi e dij são a demanda do cliente i e a distância entre o cliente i e o candidato j a sediar um CD. Xj é uma variável binária que assume 1 quando o candidato j sedia o CD e 0 caso contrário, e a variável Yij é a fração da demanda do cliente i atendida pelo candidato j (caso este recebe um CD). A equação 8 a seguir mostra este formulação.

jiY

jX

jiXY

iY

XfYdwTC

ij

j

jij

m

j

ij

m

j

jj

n

i

m

j

ijiji

, para ,0

para ,{0,1}

, para ,0

para ,1

a sujeito

min

1

11 1

∀≥

∀∈

∀≤−

∀=

+=

∑

∑∑∑

=

== =

Equação 8 - Formulação matemática do problema de localização com custos fixos

Esta formulação é uma pequena adaptação do bem conhecido problema p-mediana para incluir o termo do custo fixo na função objetivo.

O problema de p-medianas é um problema clássico de localização e consiste em localizar p centros (medianas) em uma rede de modo a minimizar a soma das distâncias de cada vértice ao centro mais próximo (LORENA et al., 2001). Segundo Gomes & Senne (2008) o problema de p-medianas pertence à classe de problemas NP-difíceis. A solução exata de problemas da classe NP-difícil exige algoritmos enumerativos. A solução de grandes exemplares de tais problemas por um algoritmo enumerativo pode requerer um tempo computacional excessivo, tornando impraticável a aplicação de métodos exatos.

Portanto, o modelo matemático apresentado na equação 8 não foi implementado em planilha eletrônica como os demais. Como alternativa foi utilizado o software educacional LogWare que acompanha a obra de Ballou (2006). O LogWare é um software educacional que contém diversos módulos para resolver problemas específicos de logística, entre eles o problema da p-mediana.

A figura 16 a seguir apresenta a tela inicial e a solução gerada pelo módulo P-median do LogWare, onde os nomes das cidades, as coordenadas, a demanda e o custo fixo foram inseridos. A taxa de transporte e os fatores de escala foram atribuídos valores unitários para comparar os resultados com os problemas resolvidos anteriormente. Este módulo P-median

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permite assinalar no máximo 15 cidades candidatas a sediar um CD. Logo, as cidades periféricas não foram assinaladas como candidatas.

Figura 16 - Tela inicial e solução do módulo P-Median do LogWare

Variando-se o número de instalações de 1 a 8 no módulo P-median do LogWare, foi possível colecionar os custos totais, os custos de transporte e os custos de estoque para cada solução. Estes valores permitiram gerar um gráfico (figura 17) que exibe exatamente o trade-off citado anteriormente. Neste gráfico fica evidente que a solução de mínimo custo para o problema enunciado na carta de desafio logístico nº4 ocorre para n =3.

Trade-off Custo de Trasporte x Custo Estocagem

0,00

40,00

80,00

120,00

160,00

1 2 3 4 5 6 7 8

Milhares

Número de Centros de Distribuição

Custo

Figura 17 - Trade-off nos custos associados a decisão do número de instalações

5. CONCLUSÕES

O Jogo da Logística tem se mostrado um interessante instrumento de auxílio no ensino da Logística. Sua utilização tem propiciado uma mudança significativa na dinâmica dentro da sala de aula em relação as tradicionais aulas expositivas. O jogo permite um melhor desenvolvendo de atributos comportamentais e habilidades, como: postura proativa, trabalho em equipe, decisão sob pressão, pesquisa e auto-aprendizagem nos alunos.

Estes atributos são mais bem desenvolvidos porque o Jogo da Logística é aplicado segundo a metodologia de Aprendizado Baseado em Problemas (PBL) e é mérito desta metodologia de ensino-aprendizagem, e não do jogo em si, a melhoria de tais atributos. No entanto, os aspectos lúdicos do jogo permitem explorar situações que tornam evidente o desenvolvimento destes atributos.

Entretanto, havia um receio que o uso da metodologia do PBL provocasse uma perda de profundidade dos conteúdos discutidos em sala de aula, já que parte do tempo que outrora

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era destinado à exposição do professor, nesta metodologia é destinada a pesquisa e auto-aprendizagem do aluno.

O Jogo da Logística provou que é possível conciliar a prática da metodologia PBL sem perda de profundidade de conteúdo. Os problemas de localização abordados no Jogo da Logística são considerados de grande complexidade para alunos de graduação e de média complexidade para o nível de especialização.

Iniciar um dia de aula com a apresentação prévia de um problema e exigir uma solução inicial sem qualquer tipo de abordagem teórica se mostrou uma abordagem interessante para o ensino. Embora as soluções iniciais sempre se mostraram insatisfatórias e, ainda assim, após a pesquisa sobre o assunto os alunos não conseguiam implementar os métodos pesquisados sem ajuda, a exposição prévia do problema intrigava-os de modo a elevar a motivação para o aprendizado, tornando mais eficaz a assimilação das soluções apresentadas posteriormente pelo professor.

A melhoria na habilidade de desenvolver soluções em planilhas eletrônicas foi amplamente observada na maioria das equipes, mesmo que o jogo tenha sido aplicado sem aulas em laboratórios de informática, porém, cabe ressaltar que a disciplina de pesquisa operacional era ministrada concomitantemente a disciplina de logística empresarial, contribuindo significativamente para a assimilação dos modelos apresentados.

Novas variantes do problema de localização de instalações têm sido desenvolvidas e espera aplicá-las para posteriormente produzir novos artigos para compartilhar estas experiências com a comunidade científica e com os professores da disciplina de logística que, diariamente, enfrentam as dificuldades de ensinar uma matéria dinâmica, de elevada complexidade matemática, com uso intensivo de recursos computacionais e que exige uma postura proativa e dos futuros profissionais.

Conciliar todos estes conhecimentos, habilidades e atitutes têm sido o desafio que motivou o desenvolvimento do Jogo da Logística e fica o convite a todos os professores que o aplique em suas salas de aula e compartilhem suas experiências.

6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BALLOU, R. – Gerenciamento da Cadeia de Suprimentos/Logística Empresarial. 5ed., editora Bookman, Porto Alegre, 2006.

DASKIN, M.S.; SNYDER, L. e R.T. BERGER – Facility Location in Supply Chain Design, Langevin, A. & D. Riopel (org.), Logistics Systems: design and optimization, pp. 39-66, Springer, New York, 2005.

DREZNER, Z.; KLAMROTH, K; SCHÖBEL, A. e G. WESOLOWSKY – The Weber Problem, in Drezner, Z & Hamacher, H.W. (org.), Facility Location: applications and theory, pp. 1-24, Springer, Berlin, 2004.

GEORGES, M.R.R. – O Jogo da Logística, XII Simpósio de Administração de Produção, Logística e operações Internacionais, São Paulo, 26 a 28 de agosto de 2009.

GOMES, N.M.; SENNE, E.L.F. – Um Algoritmo de Busca Tabu para Solução de Problemas de Localização P-Medianas, XXVIII Encontro Nacional de Engenharia de Produção, Rio de Janeiro, 13 a 16 de outubro, 2008.

LIMA, M.P. – O custeio do transporte rodoviário de cargas, Figueiredo, K.F.; Fleury, P.F. e P. Wanke (org), Logística e Gerenciamento da Cadeia de Suprimentos, p. 257-267, ed.Atlas, São Paulo, 2003.

LORENA, L.A.N.; SENNE, E.L.F.; PAIVA, A.C. e M.A. PEREIRA - Integração de modelos de localização a sistemas de informações geográficas, Gestão & Produção, vol.8, n.2, São Carlos, 2001.

SULE, D. R. – Logistics of Facility Location and Allocation, Ed. Michael Drekker, Ney York, 2001.