O Método do Referencial Móvel - IMPA · • Uma Introdução a Soluções de Viscosidade para Equações de Hamilton-Jacobi – Helena J. Nussenzveig Lopes, Milton C. Lopes Filho

O Método do Referencial Móvel

Publicações Matemáticas

O Método do Referencial Móvel

Manfredo do Carmo IMPA

impa

Copyright 2012 by Manfredo do Carmo

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

Capa: Noni Geiger / Sérgio R. Vaz

Publicações Matemáticas

• Introdução à Topologia Diferencial – Elon Lages Lima

• Criptografia, Números Primos e Algoritmos – Manoel Lemos

• Introdução à Economia Dinâmica e Mercados Incompletos – Aloísio Araújo

• Conjuntos de Cantor, Dinâmica e Aritmética – Carlos Gustavo Moreira

• Geometria Hiperbólica – João Lucas Marques Barbosa

• Introdução à Economia Matemática – Aloísio Araújo

• Superfícies Mínimas – Manfredo Perdigão do Carmo

• The Index Formula for Dirac Operators: an Introduction – Levi Lopes de Lima

• Introduction to Symplectic and Hamiltonian Geometry – Ana Cannas da Silva

• Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) – Carlos Gustavo T. A. Moreira e Nicolau

Saldanha

• The Contact Process on Graphs – Márcia Salzano

• Canonical Metrics on Compact almost Complex Manifolds – Santiago R. Simanca

• Introduction to Toric Varieties – Jean-Paul Brasselet

• Birational Geometry of Foliations – Marco Brunella

• Introdução à Teoria das Probabilidades – Pedro J. Fernandez

• Teoria dos Corpos – Otto Endler

• Introdução à Dinâmica de Aplicações do Tipo Twist – Clodoaldo G. Ragazzo, Mário J. Dias

Carneiro e Salvador Addas Zanata

• Elementos de Estatística Computacional usando Plataformas de Software Livre/Gratuito –

Alejandro C. Frery e Francisco Cribari-Neto

• Uma Introdução a Soluções de Viscosidade para Equações de Hamilton-Jacobi – Helena J.

Nussenzveig Lopes, Milton C. Lopes Filho

• Elements of Analytic Hypoellipticity – Nicholas Hanges

• Métodos Clássicos em Teoria do Potencial – Augusto Ponce

• Variedades Diferenciáveis – Elon Lages Lima

• O Método do Referencial Móvel – Manfredo do Carmo

• A Student's Guide to Symplectic Spaces, Grassmannians and Maslov Index – Paolo Piccione e

Daniel Victor Tausk

• Métodos Topológicos en el Análisis no Lineal – Pablo Amster

• Tópicos em Combinatória Contemporânea – Carlos Gustavo Moreira e Yoshiharu Kohayakawa

• Uma Iniciação aos Sistemas Dinâmicos Estocásticos – Paulo Ruffino

• Compressive Sensing – Adriana Schulz, Eduardo A.B.. da Silva e Luiz Velho

• O Teorema de Poncelet – Marcos Sebastiani

• Cálculo Tensorial – Elon Lages Lima

• Aspectos Ergódicos da Teoria dos Números – Alexander Arbieto, Carlos Matheus e C. G.

Moreira

• A Survey on Hiperbolicity of Projective Hypersurfaces – Simone Diverio e Erwan Rousseau

• Algebraic Stacks and Moduli of Vector Bundles – Frank Neumann

• O Teorema de Sard e suas Aplicações – Edson Durão Júdice

• Tópicos de Mecânica Clássica – Artur Lopes

IMPA - [email protected] - http://www.impa.br - ISBN: 978-85-244- 0281-4

Este ainda e para a Claudia

Prefacio da 1a¯ edicao

Estas notas constituem parte de um curso dado no IMPA no perıodoMarco-Junho de 1976 e foram preparadas especialmente para a TerceiraEscola Latino-Americana de Matematica.

O objetivo das notas e apresentar o metodo do referencial movel emGeometria Diferencial a partir de um mınimo de prerequisitos. A leituradas notas pressupoe apenas um curso de geometria diferencial de curvas esuperfıcies, nocoes de variedades diferenciaveis e uma certa familiaridadecom formas diferenciais em variedades.

A fim de evitar apelos a conhecimentos de Grupos de Lie, restringimo-nos a estrutura riemaniana, que corresponde ao grupo ortogonal. De resto,o grupo ortogonal possui aparentemente aquela medida de complexidadeque torna o estudo da sua geometria uma tarefa nao trivial porem tratavel.

No primeiro capıtulo estabelecemos os fatos fundamentais do metodo doreferencial movel. Adotamos o ponto de vista de partir do Rn e ir constru-indo progressivamente as situacoes mais gerais. Entre as aplicacoes feitasneste capıtulo, encontram-se um teorema de E. Cartan sobre a determinacaolocal da metrica pela curvatura, o calculo da curvatura do fibrado tangenteunitario da esfera S2, e um teorema de E. Hopf sobre funcoes subharmonicasem variedades riemanianas compactas. O capıtulo pode ser consideradocomo uma breve introducao a Geometria Riemaniana pelo metodo do refe-rencial movel.

No segundo capıtulo apresentamos algumas aplicacoes a problemas deimersoes em espacos de curvatura constante. Demonstramos o lema deChern e Lashof para espacos de curvatura constante (ao que saibamos, estaforma do lema nao se encontra publicada), o teorema de Sacksteder parao caso compacto (K ≥ 0), o teorema de unicidade de Cohn-Vossen (K ≥0), alguns resultados recentes sobre reducao de codimensao, o teorema deunicidade de Allendoerfer e, finalmente, o teorema de Chern e Lashof sobrea curvatura total.

O leitor (ou leitora) podera se restringir ao uso particular de imersoesem espacos euclideanos, em cujo caso as Secoes 6 e 11 do Capıtulo I poderaoser omitidas.

Durante a preparacao destas notas utilizamos livremente as fontes exis-tentes, tanto escritas como orais. E impossıvel dar credito a todas masgostarıamos de destacar varios cursos feitos em Berkeley com S.S. Chern,com quem aprendemos a “ver” o metodo do referencial movel.

Desejamos agradecer aos alunos e colegas que participaram das dis-cussoes sobre este curso durante as exposicoes orais, e a Wilson Goes pelaesmerada digitacao. Agradecimentos especiais sao devidos a Antonio Car-los Asperti e Renato Tribuzy que leram criticamente todo o manuscrito,corrigiram varios erros e apresentaram inumeras sugestoes.

Rio, 27 de Maio de 1976

Manfredo Perdigao do Carmo

Prefacio da 2a¯ edicao

Para esta edicao, corrigı alguns erros matematicos e tipograficos, queme foram bondosamente apontados por colegas e alunos, aos quais agradecopenhoradamente. Alem disto, atualizei, o tanto quanto me foi possıvel, aBibliografia, e introduzı algumas referencias adicionais que se reportam aproblemas tratados no texto. No mais, o texto permanece o mesmo.

Desejo agradecer a Wilson Goes, que datilografou a 1a¯ edicao e digitoua atual. Agradecimentos sao tambem devidos a Rogerio Dias Trindade pelaeditoracao desta edicao.

Rio, junho de 2008

Manfredo Perdigao do Carmo

Indice

Capıtulo 1: O Metodo do Referencial Movel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Equacoes de estrutura do Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

1.2 O lema de Cartan e a unicidade das formas de conexao . . . . . . . . 51.3 Aplicacoes as superfıcies em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 O Teorema de Gauss-Bonnet para superfıcies compactas . . . . . . . 131.5 Subvariedades de um espaco euclideano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Variedades riemanianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7 Tensores em variedades riemanianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.8 Equacoes de estrutura em referenciais geodesicos;

determinacao local da metrica pela curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.9 Imersoes riemanianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.10 Globalizacao do metodo do referencial movel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.11 Um modelo para o espaco hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Capıtulo 2: Imersoes em um espaco de curvatura

constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.1 Hipersuperfıcies em um espaco de curvatura constante.O lema de Chern e Lashof. Convexidade e curvatura . . . . . . . . . . 76

2.2 Unicidade de hipersuperfıcies. O Teorema deCohn-Vossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.3 Posto e numero tipo de uma imersao. Reducao decodimensao. As formas de ordem superior deuma imersao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.4 O Teorema de Allendoerfer. Curvatura total de umaimersao. O Teorema de Chern e Lashof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

Referencias adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Capıtulo 1

O Metodo do Referencial

Movel

1.1 Equacoes de estrutura do Rn

Uma variedade riemaniana e uma variedade diferenciavel M e uma escolha,para cada ponto p ∈ M , de um produto interno positivo definido 〈 , 〉p noespaco tangente Tp(M) de M em p, que varia diferenciavelmente com p noseguinte sentido: SeX e Y sao campos diferenciaveis de vetores emM , entaoa funcao p 7→ 〈X,Y 〉p , p ∈M , e diferenciavel em M . Diferenciavel sempresignificara de classe C∞. O produto interno 〈 , 〉 e usualmente chamadouma metrica riemaniana em M .

A nocao natural de equivalencia entre variedades riemanianas e a nocaode isometria. Um difeomorfismo f : M → M ′ entre duas variedades rie-manianas M de M ′ e uma isometria se para todo p ∈ M e todo parX,Y ∈ Tp(M), tem-se

〈X,Y 〉p = 〈dfp(X), dfp(Y )〉f(p) .

A importancia da nocao de variedade riemaniana e que nela podemosdefinir as nocoes metricas usuais (angulo, comprimentos, areas, etc.) dageometria euclideana. Em verdade, a geometria euclideana e o estudo dasnocoes metricas na mais simples de todas as variedades riemanianas, a saber,o Rn munido da estrutura diferenciavel usual e do seguinte produto interno:Se u = (u1, . . . , un) e v = (v1, . . . , vn) sao vetores do Rn, define-se

〈u, v〉p = u1v1 + · · ·+ unvn , para todo p ∈ Rn.

Observe-se que estamos identificando os espacos tangentes do Rn com oespaco vetorial Rn.

1

2 Equacoes de estrutura do Rn Secao 1.1

Mesmo sendo a variedade riemaniana mais simples, o Rn e, em um certosentido, a variedade riemaniana universal. Isto ficara mais claro a medidaque formos desenvolvendo o metodo do referencial movel que pretendemosutilizar nestas notas.

Iniciaremos, portanto, estabelecendo as chamadas equacoes de estruturado Rn.

Seja U ⊂ Rn um aberto do Rn e sejam e1, . . . , en n campos diferenciaveisde vetores em U de tal modo que, para todo p ∈ U , se tenha 〈ei, ej〉p = δij ,onde δij = 0 se i 6= j e δij = 1 se i = j, i, j = 1, . . . , n. Um tal conjunto decampos de vetores e chamado um referencial ortonormal movel em U . Deagora por diante omitiremos os adjetivos ortonormal e movel.

A partir do referencial ei podemos definir formas diferenciais linearespela condicao ωi(ej) = δij ; em outras palavras, em cada ponto p ∈ U , a base(ωi)p e a base dual da base (ei)p. O conjunto das formas diferenciais

ωi e chamado o coreferencial associado ao referencial ei.Cada campo ei pode ser pensado como uma aplicacao diferenciavel

ei : U ⊂ Rn → Rn. A diferencial (dei)p : Rn → Rn, em p ∈ U , e uma

aplicacao linear. Portanto, para todo v ∈ Rn, podemos escrever

(dei)p(v) =∑

j

(ωij)p(v)ej .

E imediato verificar que as expressoes (ωij)p(v), acima definidas, dependem

linearmente de v. Portanto (ωij)p e uma forma linear em Rn. Como eie um campo diferenciavel, ωij e uma forma diferencial linear. Com estessignficados em mente, escreveremos

dei =∑

j

ωij ej , (1)

como definicao das formas ωij , que sao chamadas formas de conexao do Rn

no referencial ei.Derivando a expressao 〈ei, ej〉 = δij , obteremos

0 = 〈dei, ej〉+ 〈ei, dej〉 = ωij + ωji ,

isto e, as formas de conexao ωij = −ωji sao antisimetricas nos ındices i, j.

O ponto fundamental no metodo do referencial movel e que as formasωi , ωij satisfazem as chamadas equacoes de estrutura de Elie Cartan.

Cap. 1 O Metodo do Referencial Movel 3

Teorema 1 (equacoes de estrutura do Rn). Seja ei um referencialortonormal movel em um aberto U ⊂ Rn. Sejam ωi o coreferencial asso-ciado a ei, e ωij as formas de conexao de U no referencial ei. Entao:

dωi =∑

k

ωk ∧ ωki , (2)

dωij =∑

k

ωik ∧ ωkj , k = 1, . . . , n. (3)

Demonstracao: Seja ai = (1, 0, . . . , 0), a2 = (0, 1, 0, . . . , o), . . . ,an = (0, 0, . . . , 0, 1) a base canonica do Rn e seja xi : U → R a funcaoque faz corresponder a cada ponto p = (x1, . . . , xn) ∈ U e sua i-esima co-ordenada. Entao dxi e uma forma diferencial em U , e como dxi(aj) = δij ,concluımos que dxi e o coreferencial associado ao referencial ai.

O referencial dado se exprime em termos dos ai por

ei =∑

j

βij aj , (4)

onde os βij sao funcoes diferenciaveis em U e, para cada p ∈ U , a matriz(βij(p)) e uma matriz ortogonal. Como ωi(ej) = δij , temos

ωi =∑

j

βij dxj . (5)

Diferenciando (4), obteremos

dei =∑

k

dβik ak =∑

k

dβik∑

j

βjk ej .

Como dei =∑j

ωij ej , concluımos que

ωij =∑

k

dβik βjk , (6)

ou seja ∑

j

ωijβjs =∑

jk

dβikβjk βjs = d βis , s = 1, . . . , n. (7)

Finalmente, diferenciando exteriormente (5) e usando (7), obteremos

dωi =∑

j

dβij ∧ dxj =∑

jk

ωikβkj ∧ dxj =∑

k

ωk ∧ ωki ,

que e a primeira equacao de estrutura (2).

4 Equacoes de estrutura do Rn Secao 1.1

Diferenciando (6) e usando (7), obteremos

dωij = −∑

k

dβik ∧ dβjk = −∑

k

( n∑

`=1

ωi`β`k)∧(∑

s

ωjsβsk)

= −∑

s

ωis ∧ ωjs =∑

k

ωik ∧ ωkj ,

que e a segunda equacao de estrutura (3).

A ideia basica do metodo do referencial movel pode ser descrita damaneira seguinte.

Seja x : M → Rn+q uma imersao de uma variedade diferenciavel dedimensao n em um espaco euclideano Rn+q (dizer que x e uma imersaoe dizer que x e diferenciavel e que a diferencial dxp : Tp(M) → Rn+q e

injetiva para todo ponto p ∈ M). E uma consequencia do teorema dafuncao inversa que, para todo p ∈ M , existe uma vizinhanca U ⊂ M de ptal que a restricao x|U de x a U e injetiva. Seja V ⊂ Rn+q uma vizinhancade x(p) em Rn+q de tal modo que V ⊃ x(U). Admitamos V suficientementepequeno para que exista um referencial movel

e1, . . . , en, en+1, . . . , en+q

em V com a propriedade que, quando restritos a x(U), os vetores e1, . . . , ensejam tangentes a x(U) e os vetores en+1, . . . , en+q sejam normais a x(U).Um tal referencial e dito um referencial adaptado a x.

A existencia de um referencial adaptado pode ser provada da seguintemaneira. Se V e suficientemente pequeno, existe um difeomorfismo g : V →V tal que gx(U) e um aberto de uma subvariedade linear de dimensao n deRn+q. A existencia de um referencial f1, . . . , fn, fn+1, . . . , fn+q adaptado ag x(U) em g(V ) e imediata. A imagem inversa dg−1(f1), . . . , dg

−1(fn+q)de um tal referencial pode nao ser ortonormal. Usaremos entao o processode ortonormalizacao de Gram-Schmidt em cada ponto de V . Observandoque os vetores obtidos por um tal processo “variam diferenciavelmente” comos vetores dados, obteremos em V um referencial ortonormal adaptado ax(U).

Em V estao definidas as formas ωi do coreferencial de ei e as formas deconexao ωij que satisfazem as equacoes de estrutura (2) e (3). A aplicacaox : U ⊂ M → V ⊂ Rn+q induz formas diferenciais x∗(ωi), x∗(ωij) em U .Como x∗ comuta com a derivacao exterior e com o produto exterior, taisformas em U satisfazem as equacoes de estrutura (2) e (3). Acontece quetoda a geometria metrica local da imersao x esta contida nestas equacoesde estrutura, o que reflete o carater “universal” do Rn.

A justificativa da afirmacao acima nao pode ser dada agora mas espera-mos torna-la clara antes de terminar este capıtulo.


1.2 O lema de Cartan e a unicidade das formas de conexao

Antes de darmos aplicacoes do metodo do referencial movel, precisamos dealguns lemas preliminares.

Inciaremos com um fato puramente algebrico. Recordemos que se ω1, ω2sao formas lineares em um espaco vetorial V de dimensao n, entao o produtoexterior ω1∧ω2 de ω1 com ω2 e a forma bilinear alternada ω1∧ω2 : V ×V →R dada por

(ω1 ∧ ω2)(v1, v2) = ω1(v1)ω2(v2)− ω1(v2)ω2(v1), v1, v2 ∈ V.

Alem disto, se ω1, . . . , ωn e uma base para o espaco das formas lineares V ∗,entao ωi ∧ ωj , i < j, i, j = 1, . . . , n, formam uma base para o espaco Λ2V ∗

das formas bilineares alternadas de V × V .

Lema (Cartan). Seja V um espaco vetorial de dimensao n. Sejamω1, . . . , ωr : V → R, r ≤ n, formas lineares de V linearmente independentes.Suponhamos que existam formas lineares θ1, . . . , θr : V → R satisfazendo a

seguinte condicao:r∑i=1

ωi ∧ θi = 0. Entao

θi =∑

j

aijωj , i, j = 1, . . . , r, aij = aji .

Demonstracao: Completemos as formas ω1, . . . , ωr , em uma baseω1, . . . , ωr, ωr+1, . . . , ωn de V ∗ e escrevamos

θi =∑

j

aijωj +∑

`

bi`ω` , ` = r + 1, . . . , n.

Basta agora observar que a condicao∑i

ωi ∧ θi = 0 implica em que

0 =∑

i

ωi ∧ θi =∑

i

ωi ∧∑

j

aijωj +∑

`

ωi ∧∑

`

bi`ω`

=∑

i<j

(aij − aji)ωi ∧ ωj +∑

i<`

bi` ωi ∧ ω` .

Como os ωk ∧ ωs, k < s, k, s = 1, . . . , n, sao linearmente independentes,conclui-se que aij = aji e bi` = 0.

Lema 2. Seja U ⊂ Rn. Sejam ω1, . . . , ωn formas diferenciais linearmenteindependentes em U . Suponha que exista em U um conjunto de 1-formasdiferenciais ωij satisfazendo as condicoes:

ωij = −ωji , dωj =∑

k

ωk ∧ ωkj .

6 Aplicacoes as superfıcies em R3 Secao 1.3

Entao um tal conjunto e unico.

Demonstracao: Suponhamos que exista um outro conjunto de formas ωijcom

ωij = −ωji , dωj =∑

k

ωk ∧ ωkj .

Entao∑k

ωk ∧ (ωkj − ωkj) = 0, e pelo lema de Cartan,

ωkj − ωkj =∑

i

Bjki ωi , Bj

ki = Bjik .

Observe que

ωkj − ωkj =∑

i

Bjki ωi = −(ωjk − ωjk) = −

∑

i

Bkji ωi

e, como os ωi sao linearmente independentes, Bjki = −Bk

ji . Usando assimetrias obtidas, concluımos que

Bkji = −Bj

ki = −Bjik = Bi

jk = Bikj = −Bk

ij = −Bkji = 0,

ou seja, que ωkj = ωkj .

1.3 Aplicacoes as superfıcies em R3

Vamos aplicar o metodo do referencial movel a um caso particular razoavel-mente bem conhecido, a saber, a teoria das superfıcies em R3.

Seja S uma variedade diferenciavel de dimensao 2 e x : S → R3 umaimersao. Para cada ponto p ∈ S fica entao definido um produto interno〈 , 〉p em Pp(S) pela regra: se v1, v2 ∈ Tp(S),

〈v1, v2〉p = 〈dxp(v1), dxp(v2)〉,

onde no segundo membro aparece o produto interno usual do R3. E imediatoverificar que 〈 , 〉p e diferenciavel e define, portanto, uma metrica riemanianaem S, chamada a metrica induzida pela imersao x.

Vamos estudar a geometria local de S em torno de um ponto p ∈ S.Seja U ⊂ S uma vizinhanca de p em S tal que a restricao x|U seja injetiva.Seja V uma vizinhanca de x(p) em R3 tal que V ⊃ x(U). Tomando V e Usuficientemente pequenos, podemos escolher em V um referencial ortonor-mal movel e1, e2, e3, adaptado a x, isto e, de modo que, quando restritos ax(U), e1, e2 sejam tangentes a x(U) (e3 sera entao normal a x(U)).


Em V estao definidas as formas ωi do coreferencial de ei, i = 1, 2, 3 eas formas de conexao ω12 = −ω21 , ω32 = −ω23 , ω13 = −ω31 . Tais formassatisfazem em V as equacoes de estrutura:

dω1 = ω2 ∧ ω21 + ω3 ∧ ω31 ,dω2 = ω1 ∧ ω12 + ω3 ∧ ω32 ,dω3 = ω1 ∧ ω13 + ω2 ∧ ω23 ,dω12 = ω13 ∧ ω32 ,dω13 = ω12 ∧ ω23 ,dω23 = ω21 ∧ ω13 .

A imersao x : U ⊂ S → V ⊂ R3 induz em U formas x∗(ωi), x∗(ωij), i, j =1, 2, 3. Como x∗ comuta com d e ∧, tais formas satisfazem as mesmasequacoes acima. Observe-se que x∗(ω3) = 0, pois para todo q ∈ U e todov ∈ Tq(S), teremos dx(v) = a1e1 + a2e2 , e portanto

(x∗ω3)(v) = ω3(dx(v)) = ω3(a1e1 + a2e2) = 0.

Para nao sobrecarregar a notacao, e como so vamos, em geral, tratar deformas em U , convencionaremos escrever

x∗ωi = ωi , x∗ωij = ωij .

Esta convencao equivale a pensar em U como um subconjunto de R3 pelainclusao x (observe que x|U e injetiva) e pensar nas formas ωi, ωij comorestritas a U ⊂ V ⊂ R3. Tais formas satisfazem portanto as equacoes acima,com a relacao adicional ω3 = 0.

Passemos agora ao estudo da geometria local de S. Como ω3 = 0, temosque

dω3 = ω1 ∧ ω13 + ω2 ∧ ω23 = 0

e, pelo lema de Cartan,

ω13 = h11 ω1 + h12 ω2 ,

ω23 = h21 ω1 + h22 ω2 ,

onde hij = hji , i, j = 1, 2, sao funcoes diferenciaveis em U . Para interpretargeometricamente estas funcoes, observemos que, por um lado,

ω13(e1) = h11 ω1(e1) + h12 ω2(e1) = h11 ,

ω13(e2) = h12 ,

ω23(e1) = h21 ,

ω23(e2) = h22 ,


e, por outro lado, como dei =∑j

ωij ej ,

de3(v) = ω31(v)e1 + ω32(v)e2 ,

para todo q ∈ U e todo v ∈ Tq(S). Portanto, escrevendo v = a1e1 + a2e2 ,obteremos

de3 =

(a1a2

)=

(−h11 −h12−h21 −h22

)(a1a2

),

isto e, (−hij) e a matriz da diferencial da aplicacao e3 : U → R3 na basee1, e2. Como |e3| = 1, esta ultima aplicacao toma valores na esferaunitaria S2 ⊂ R3. Fixemos orientacoes em U e R3 e escolhamos o refe-rencial e1, e2, e3 de tal modo que, para todo q ∈ U , (e1)q (e2)q seja uma

base de Tq(S) na orientacao escolhida e (e1)q, (e2)q, (e3)q seja uma base

positiva de R3; um tal referencial e dito compatıvel com as orientacoes deU e R3. Neste caso, a aplicacao e3 : U → S2 ⊂ R3 esta completamentedefinida e e chamada a aplicacao normal de Gauss em U . Portanto (−hij)e a matriz da diferencial da aplicacao normal de Gauss na base e1, e2.

Observe que quando S e orientada e possıvel definir a aplicacao normalde Gauss globalmente em S.

Como hij e uma matriz simetrica, concluımos imediatamente que a dife-rencial da aplicacao normal de Gauss e uma aplicacao linear auto-adjunta.Por um resultado de Algebra Linear, uma tal aplicacao linear pode serdiagonalizada, com valores proprios −λ1, −λ2 reais, e vetores proprios or-togonais.

E usual definir a curvatura Gaussiana K de S em p por

K = det(de3)p = λ1λ2 = h11 h22 − h212 ,

onde as funcoes envolvidas estao calculadas em p. Decorre da definicao deK que

dω12 = ω13 ∧ ω32 = −(h11ω1 + h12ω2) ∧ (h21ω1 + h22ω2) =

= −(h11h22 − h212)ω1 ∧ ω2 = −Kω1 ∧ ω2 .

A expressao dω12 = −Kω1 ∧ ω2 permite demonstrar um dos teoremasmais importantes da teoria das superfıcies, descoberto por Gauss.

Teorema (Gauss). K depende apenas da metrica induzida de S, isto e, sex, x′ : S → R3 sao duas imersoes de S tais que as metricas induzidas em Spor x e x′ coincidem, entao K(p) = K ′(p), p ∈ S, onde K e K ′ indicam ascurvaturas Gaussianas de x e x′, respectivamente.

Demonstracao: Considere um referencial e1, e2 em um aberto U ⊂M ,ortonormal na metrica induzida. Entao, dx(e1), dx(e2) pode ser esten-dido a um referencial adaptado a V ⊃ x(U). Analogamente, dx′(e1),


dx′(e2) pode ser estendido a um referencial adaptado em V ⊃ x(U). Indi-caremos por ′ as entidades referentes a imersao x′. Como as metricas in-duzidas por x e x′ coincidem, ω1 = ω′1 e ω2 = ω′2 . Pelo Lema 2, ω12 = ω′12 .Decorre daı que

dω12 = dω′12 = −K ω1 ∧ ω2 = −K ′ ω′1 ∧ ω′2donde K = K ′.

O Teorema de Gauss significa que a curvatura Gaussiana, embora tenhasido definida usando o espaco “ambiente” R3, so depende de medidas feitassobre a superfıcie. Isto levou Gauss em 1827 a imaginar a existencia degeometrias independentes do espaco ambiente. Por falta de conceitos ade-quados (particularmente da nocao de variedade diferenciavel), ele nao de-senvolveu estas ideias que foram retomadas por Riemann em 1852, dandoinıcio ao que hoje chamamos de Geometria Riemaniana.

Exemplo 1. Considere a imersao x : U ⊂ R2 → R3, onde U e dado por

U = (s, v) ∈ R2; −∞ < x <∞, 0 < v < 2π

e x e dado porx(s, v) = (h(s) sen v, h(s) cos v, g(s)).

as funcoes h(s) e g(s) sao funcoes diferenciaveis em s que satisfazem a

condicao(dhds

)2+(dgds

)2= 1. A imagem x(U) e uma superfıcie de revolucao

do eixo 0z cuja curva geratriz y = h(s), z = g(s) e parametrizada pelocomprimento de arco de s.

Vamos mostrar que a curvatura desta superfıcie de revolucao e K =−h′′

h, onde linha indica derivada em relacao a s.

Observe inicialmente que vh

mede o comprimento de arco do cırculo

paralelo x (const., v). Portanto e1 = dx(∂∂x

), e2 = dx

(1h

∂∂v

)sao vetores

ortonormais e tangentes a x(U). Completando-os com um vetor e3 unitarioe normal a x(U), teremos um referencial adaptado e1, e2, e3 . Em verdade,para o calculo da curvatura, nao precisaremos nos preocupar com o e3 , ebasta calcular ω1, ω2, ω12 .

E imediato verificar que ω1 = ds, ω2 = hdv. Usando que

0 = dω1 = ω2 ∧ ω21 = hdv ∧ ω21 ,

e queh′ds ∧ dv = dh ∧ dv = dω2 = ω1 ∧ ω12 = ds ∧ ω12 ,

concluımos que ω12 = h′dv. Levando estes valores na expressao dω12 =−K ω1 ∧ ω2 , obteremos finalmente

h′′ds ∧ dv = −K ds ∧ hdv,


ou seja,

K = −h′′

h,

que e a expressao procurada.

Em geral, entidades geometricas em S que podem ser calculadas a partirde ω1, ω2 e ω12 dependem apenas da metrica induzida de S no sentidoacima mencionado, e devem poder ser definidas sem fazer mencao algumaa imersao x. Voltaremos a este assunto na Secao 1.9.

Pelo que vimos anteriormente, dada uma imersao x : S → R3 ficamdefinidas duas formas quadraticas em cada Tp(S), p ∈ S, da maneiraseguinte.

A primeira forma quadratica Ip e simplesmente a forma quadratica as-sociada a forma bilinear 〈 , 〉p isto e,

Ip(v) = 〈v, v〉, v ∈ Tp(S).

Em um referencial local adaptado e1, e2, e3, a primeira forma quadraticase escreve

Ip(v) = (ω1ω1 + ω2ω2)(v) = (ω21 + ω2

2)(v), (1)

onde ω1ω1 , por exemplo, e o produto simetrico (e nao exterior) de ω1 comω1 , isto e, ω1ω1(v) = ω1(v)ω1(v). Para verificar (1), escrevamos v = v1e1+v2e2 . Entao

Ip(v) = ω1(v)ω1(v) + ω2(v)ω2(v) = v21 + v22 = 〈v, v〉.

Portanto a primeira forma quadratica, isto e, a metrica induzida de S, seescreve

I = ω21 + ω2

2 ,

onde, como usualmente, deixamos cair a indicacao do ponto p.

A segunda forma quadratica IIp e definida em um referencial local adap-tado e1, e2, e3 por

IIp(v) = (ω13ω1 + ω23ω2)(v) =∑

ij

hij ωiωj(v), i, j = 1, 2,

onde, de novo, os produtos de formas diferenciais sao produtos simetricos.Para que a definicao faca sentido, e necessario que II nao dependa do refe-rencial escolhido. Este e o caso quando S e orientada, pois, conforme vimos,(−hij) e entao a matriz da diferencial da aplicacao normal de Gauss em umreferencial compatıvel com a orientacao. Em verdade,

IIp(v) = −〈de3(v), v〉p , v ∈ Tp(S).


Uma outra interpretacao geometrica de II, que sera generalizada pos-teriormente, e a seguinte. Seja U ⊂ S uma vizinhanca de p e seja e1, e2,e3 um referencial em U adaptado a x e compatıvel com a orientacao de S.Entao, para todo q ∈ U e todo v ∈ Tq(S), temos

〈dxq(v), (e3)q〉 = 0,

ou seja,

〈dx, e3〉 = 0. (2)

A equacao (2) significa que se α : (−ε, ε) → U e uma curva em Sparametrizada digamos, pelo comprimento de arco s, com α(0) = p eα′(0) = v, entao, escrevendo

x α(s) = x(s), e3 α(s) = e3(s),

teremos

⟨dxds, e3(s)

⟩= 0, donde

⟨d2x

ds2, e3(s)

⟩∣∣∣∣s=0

= −⟨dx

ds,de3ds

⟩∣∣∣∣s=0

= −〈dx(v), de3(v)〉

= −〈dx, de3〉(v) = −〈ω1e1 + ω2e2, ω3e1 + ω32e2〉(v)

= 〈ω, ω13 + ω2ω23〉(v) = IIp(v)

Portanto,

IIp(v) =

⟨d2x

ds2, e3(s)

⟩∣∣∣∣s=0

= 〈kn, e3〉 = k〈n, e3〉,

onde k e curvatura de α e n e o seu vetor normal principal em p.Esta ultima expressao e chamada a curvatura normal de α em p. Decorre

daı que o valor da segunda forma quadratica em um vetor v ∈ Tp(S) e ovalor da curvatura normal de qualquer curva que e tangente a v em p (oque implica que tais curvas tem todas a mesma curvatura normal).

Um fato interessante e que as formas quadraticas I e II determinam aimersao x : S → R3 a menos de um movimento rıgido de R3. Voltaremos aeste assunto posteriormente, quando demonstraremos este resultado de umamaneira mais geral. No momento, queremos apenas chamar a atencao parao fato que isto significa que a geometria local da imersao x esta inteiramentecontida nas formas quadraticas I e II e, portanto, nas equacoes de estruturaque lhes deram origem.


A geometria da primeira forma quadratica, isto e, o estudo das entidadesgeometricas que so dependem da metrica induzida de S e chamada a ge-ometria intrınseca de S. Alem da curvatura Gaussiana, um outro conceitoque pode ser definido intrinsecamente e o de derivada covariante de camposde vetores, que passaremos a introduzir.

SejaX um campo diferenciavel de vetores tangentes a S e seja v ∈ Tp(S),p ∈ S. Seja α : (−ε, ε) → S uma curva parametrizada com α(0) = p,α′(0) = v. Restrito a curva α, o campo X(α(t)) = X(t) e uma funcaovetorial X : (−ε, ε)→ R3. Define-se a derivada covariante ∇vX de X em vno ponto p por

(∇vX)(p) = projecao ortogonal sobre Tp(S) de

(dX

dt

)

t=0

.

Em outras palavras, (∇xX)(p) e a parte da derivada usual(dXdt

)t=0

que e“vista de Tp(S)”.

Para mostrar que a derivada covariante so depende da metrica induzidade S, consideremos um referencial local adaptado e1, e2, e3, definido em umavizinhanca de p. Escrevamos X = x1e1 + x2e2 e calculemos

(dXdt

)t=0

, ondeX = X(t) e a restricao de X a uma curva α : (−ε, ε) → S com α(0) = pe α′(0) = v. Por simplicidade, deixaremos cair a indicacao de t = 0 nasexpressoes abaixo:

(dX

dt

)

t=0

=dx1dt

ei +dx2dt

e2 + x1de1dt

+ x2de2dt

=dx1dt

e1 +dx2dt

e2 + x1(ω12(v)e2 + ω13(v)e3)

+ x2(ω21(v)e1 + ω23(v)e3) =

(dx1dt

+ x2ω21(v)

)e1

+

(dx2dt

+ x1ω12(v)

)e2 +B e3 ,

onde o termo B nao nos interessa. Decorre daı que

(∇vX)(p) =

(dx1dt

+ x2ω21(v)

)e1 +

(dx2dt

+ x1ω12(v)

)e2 ,

o que mostra que ∇vX depende apenas da metrica induzida.Observe-se que 〈∇ve1, e2〉 = ω12(v) e, portanto, a derivada covariante

permite reobter a forma de conexao ω12 . Neste sentido, a nocao de derivadacovariante e equivalente a nocao de conexao, e a geometria da primeira formaquadratica deve poder ser desenvolvida a partir de qualquer um destes doisconceitos.


1.4 O Teorema de Gauss-Bonnet para superfıcies compactas

As consideracoes do paragrafo anterior sao estritamente locais. Entretanto,um dos aspectos mais interessantes do metodo do referencial movel e queele permite a demonstracao de teoremas globais de difıcil acesso por outrosmetodos. Ilustraremos esta situacao com a demonstracao do teorema deGauss-Bonnet para superfıcies compactas do R3.

Seja S ⊂ R3 uma superfıcie compacta e orientada do R3. Seja p ∈ S eV ⊂ R3 uma vizinhanca de p em R3 tal que em V exista um referencial e1,e2, e3 adaptado a S e compatıvel com as orientacoes de S e R3. Sejam ωi,ωij as restricoes a V ∩ S das formas do coreferencial associado a ei e dasformas de conexao, respectivamente.

Primeiro, observamos que a forma ω1 ∧ ω2 nao depende do referencialescolhido (dentro da classe dos referenciais compatıveis com a orientacao deS), e e, portanto, definida globalmente em S. Com efeito, a forma ω1 ∧ ω2aplicada a um par de vetores u = u1e1 + u2e2 , v = v1e1 + v2e2 de Tp(S),linearmente independentes e na orientacao de Tp(S), fornece

ω1 ∧ ω2(u, v) = ω1(u)ω2(v)− ω2(u)ω1(v) = u1v2 − u2v1 ,

que e a area de paralelogramo formado por u e v. Por esta razao ω1∧ω2 = σe chamado o elemento de area de S.

Como S e compacta, podemos considerar a integral∫

S

K ω1 ∧ ω2 =

∫

S

K σ,

que e chamada a integral de K estendida a S. O teorema de Gauss-Bonnetafirma que este numero depende apenas da topologia de S.

Para mostrar isto, levamos em conta a expressao

dω12 = −K ω1 ∧ ω2e procuramos integrar dω12 em S. Como ω12 nao e globalmnete definidaem S, vamos primeiro estudar como muda esta forma por uma mudanca dereferencial.

Sejam entao e1, e2, e3 e e1, e2, e3 = e3 referenciais compatıveis com aorientacao de S e relacionados por

e1 = cos θ e1 + sen θ e2 ,

e2 = − sen θ e1 + cos θ e2 ,(1)

De (1) decorre que

ω1 = cos θ ω1 + sen θ ω2 ,

ω2 = − sen θ ω1 + cos θ ω2 ,

14 O Teorema de Gauss-Bonnet para superfıcies compactas Secao 1.4

donde, usando as equacoes de estrutura,

dω1 = − sen θdθ ∧ ω1 + cos θdθ ∧ ω2 + cos θdω1 + sen θdω2

= dθ ∧ ω2 + cos θ(ω2 ∧ ω21) + sen θ(ω1 ∧ ω12)= dθ ∧ ω2 + ω2 ∧ ω21 = ω2 ∧ (ω21 − dθ). (2)

Analogamente

dω2 = ω1 ∧ (ω12 + dθ). (3)

Portanto, as formas

ω12 = ω12 + dθ, ω21 = ω21 − dθ = −ω12

sao antisimetricas e satisfazem as equacoes (2) e (3). Pela unicidade doLema 2 da Secao 1.2, elas sao as formas de conexao de S no referencial e1,e2, e3 .

Passemos agora a demonstracao do Teorema de Gauss-Bonnet. Seja vum campo diferenciavel de vetores tangentes a S com um numero finito depontos singulares p1, . . . , pk (isto e, v(pi) = 0, i = 1, . . . , k). Para cadapi , seja Bi ⊂ S uma vizinhanca de pi de tal modo que Bi nao contenhaoutro ponto singular alem de pi e que ∂Bi seja uma curva fechada regularorientada positivamente. Em S −⋃

i

pi podemos escrever e1 = v|v| · Como

S e orientavel, podemos escolher em S−⋃i

pi um referencial adaptado e1,

e2, e3 compatıvel com a orientacao de S. Entao, pelo teorema de Stokes,

∫

S−⋃Bi

K ω1 ∧ ω2 = −∫

S−⋃Bi

dω12 =∑

i

∫

∂Bi

ω12 . (4)

Quando Bi se aproxima de pi , a integral do primeiro membro tendepara a integral de K estendida a S (observe que ω1 ∧ ω2 nao dependedo referencial). Nas mesmas condicoes, entretanto, a integral do segundomembro depende do referencial e1, e2, e3, que nao esta definido em pi .Portanto, para calcular este limite, introduziremos, em uma vizinhanca Ui ⊃Bi , um referencial adaptado e1, e2, e3 = e3, compatıvel com a orientacao deS e dado por (1). Em Ui − pi, ω12 = ω12 + dθ e portanto, pelo teoremade Stokes,

∫

∂Bi

ω12 =

∫

∂Bi

ω12 +

∫

∂Bi

dθ =

∫

∂Bi

dω12 +

∫

∂Bi

dθ

= −∫

∂Bi

Kω1 ∧ ω2 +∫

∂Bi

dθ,


pois e1, e2, e3 esta definido em Bi . Decorre daı que

limBi→pi

∫

∂Bi

ω12 = limBi→pi

∫

∂Bi

dθ. (5)

Observe agora que∫∂Bi

dθ e a integral em uma curva fechada da variacao

do angulo θ que faz o campo v = |v| e1 com o vetor e1 . Como ambos, v ee1 , voltam a sua posicao inicial, esta integral e um multiplo inteiro Ii de2π, isto e, ∫

∂Bi

dθ = 2π Ii .

O numero inteiro Ii e chamado o ındice do campo v no ponto singular pie mede, intuitivamente o numero de “voltas” que o campo v da ao longode ∂Bi . E possıvel definir o ındice de maneira mais rigorosa e provar, aomesmo tempo, que ele nao depende da escolha da curva ∂Bi , da escolha doreferencial ei e da maneira como S esta mergulhada em R3 (para detalhesv. M. do Carmo [dC1]). Portanto

limBi→pi

∫

∂Bi

dθ = 2π Ii . (6)

Juntando (4), (5) e (6), obteremos o seguinte resultado

Teorema. Seja S ⊂ R3 uma superfıcie compacta em R3 e seja K a suacurvatura Gaussiana. Seja v um campo diferenciavel de vetores tangentesa S com um numero finito de pontos singulares p1 . . . , pk . Entao a integralde K estendida a S e igual a 2π vezes a soma dos ındices de v nos pontospi , i = 1, . . . , k, isto e, ∫

S

K σ = 2πΣ Ii . (7)

Como o primeiro membro de (7) nao depende do campo v e o segundomembro nao depende da metrica induzida, concluımos que ambos os mem-bros dependem apenas da variedade S e permanecera o mesmo para todasque lhe sejam difeomorfas.

Observacao: Na demonstracao do teorema de Gauss-Bonnet utilizamoso fato que toda superfıcie compacta e orientada do R3 admite um campodiferenciavel de vetores tangentes com um numero finito de pontos singu-lares. Isto e um fato geral que e valido em qualquer variedade diferenciavelcompacta (V. Lima [Li1], pg. 144). Para o caso de S ⊂ R3, poderıamosobter uma demonstracao mais direta utilizando, por exemplo o Teorema deSard para a aplicacao normal de Gauss de S; uma outra demonstracao podeser encontrada em M. do Carmo [dC4], pg. 174.

16 Subvariedades de um espaco euclideano Secao 1.5

1.5 Subvariedades de um espaco euclideano

Voltemos as nossas consideracoes do fim da Secao 1.1. Seja x : Mn → Rn+q

uma imersao de uma variedade de dimensao n em Rn+q. (De agora emdiante, usaremos um ındice superior quando quisermos indicar a dimensaode uma variedade). Seja p ∈ M e U uma vizinhanca de p em M na qual arestricao x|U seja injetiva. Seja V uma vizinhanca de x(p) em Rn+q de talmodo que x(U) ⊂ V e que em V esteja definido um referencial adaptadoe1, . . . , en, en+1, . . . , en+q . Pensaremos em x como uma inclusao de U emV ⊂ Rn+q e usaremos a mesma notacao para uma entidade em V ou a suarestricao a U . De agora por diante, esta convencao sera usada sem maiorescomentarios.

Usaremos os seguintes tipos de ındices:

1 ≤ A,B,C, · · · ≤ n+ q,

1 ≤ i, j, k, · · · ≤ n,

n+ 1 ≤ α, β, γ, · · · ≤ n+ q.

Dado o referencial eA em V , definimos o coreferencial ωA e as formasde conexao ωAB em V por

dx = ΣωAeA , (1)

deA = ΣωABeB . (2)

As formas ωA e ωAB satisfazem as equacoes de estrutura

dωA = ΣωA ∧ ωBA , (3)

dωAB = ΣωAC ∧ ωCB . (4)

As restricoes das formas ωA, ωAB e U ⊂ V satisfazem ainda as equacoes(3) e (4), com a relacao adicional ωα = 0, para todo α. Esta ultima relacaoprovem do fato que os vetores eα sao normais a U , e portanto, para todoq ∈ U e todo v = Σ viei ∈ Tq(M), tem-se

ωα(v) = ωα(Σ viei) = 0.

No que se segue so usaremos formas restritas a U . Como ωα = 0, temosque

0 = dωα = ΣωB ∧ ωBα = Σωβ ∧ ωβα +Σωi ∧ ωiα = Σωi ∧ ωiα .

Pelo lema de Cartan,

ωiα =∑

j

hαij ωj , hαij = hαji .


A forma quadratica

IIα =∑

i

ωiωiα =∑

ij

hαij ωiωj

e chamada a segunda forma quadratica de x na direcao eα .Para cada p ∈M , o espaco gerado pelos vetores de Rn+q que sao normais

a dxp(Tp(M)) e chamado o espaco normal da imersao x em p e indicadopor Np(M). Um campo diferenciavel de vetores normais e uma aplicacaodiferenciavel ν : M → Rn+q com ν(p) ∈ Np(M), p ∈ M . Dado um campodiferenciavel unitario de vetores normais ν : U ⊂ M → Rn+q, em umavizinhanca U suficientemente pequena de p, podemos escolher um referen-cial adaptado eA em U de tal modo que en+1 = ν. A segunda formaquadratica IIn+1 e chamada a segunda forma quadratica de x na direcao νe indicada por IIν .

O significado geometrico de IIν e obtido generalizando uma situacaosemelhante que encontramos no caso de superfıcies em R3. Para isto, sejav ∈ TpM , |v| = 1, e consideremos uma curva α : (−ε, ε)→ U parametrizadapelo comprimento de arco s, com α(0) = p, α′(0) = v. Entao, como〈dαds, ν〉 = 0,

⟨d2α

ds2, ν

⟩= −

⟨dα

ds,dν

ds

⟩= −〈dx(v), dν(v)〉 = −〈dx, dν〉(v)

= −⟨∑

i

ωiei,∑

j

ωn+1,j ej +∑

β

ωn+1,β eβ

⟩

= −∑

i

ωi ωn+1,i =∑

ωi ωi,n+1 = IIν(v). (5)

Portanto, IIν(v) e a componente do vetor normal de α segundo o vetorunitario ν. Decorre daı que IIν e independente da escolha do referencial.

Como a toda forma quadratica em um espaco vetorial esta associadauma aplicacao linear auto-adjunta, temos que, para todo p ∈ M e todovetor unitario normal ν ∈ Np(M), existe uma transformacao linear auto-adjunta Aν : Tp(M)→ Tp(M), tal que

IIν(v) = −〈Aν(v)v〉,

para todo v ∈ Tp(M). Por (5), e claro que

〈Aν(v), v〉 = 〈dν(v), dx(v)〉,

e que a matriz de Aν em um referencial adaptado com en+1 = ν e dada por(− hn+1

ij

).


Vamos agora escrever as equacoes de estrutura (3) e (4), tendo o cuidadode separar as partes tangenciais (ındices i, j, . . . ) das partes normais (ındicesα, β, . . . ). Obteremos as equacoes:

dωi =∑

j

ωj ∧ ωji , (6)

dωij =∑

k

ωik ∧ ωkj +∑

α

ωiα ∧ ωαj , (7)

dωiα =∑

j

ωij ∧ ωjα +∑

β

ωiβ ∧ ωβα , (8)

dωαβ =∑

j

ωαj ∧ ωjβ +∑

γ

ωαγ ∧ ωγβ . (9)

Observe que as equacoes (7) sao semelhantes as equacoes de estrutura deum espaco euclideano, com um “termo de correcao” dado por

∑

α

ωiα ∧ ωαj = Ωij , Ωij = −Ωji .

Para esclarecer o significado das 2-formas Ωij , notemos que a imersaox : Mn → Rn+q determina uma metrica riemaniana 〈 , 〉 em M dada por:

〈v1, v2〉p = 〈dxp(v1), dxp(v2)〉, p ∈M, v1, v2 ∈ Tp(M),

onde o produto interno do segundo membro e o produto interno usual doRn+q. A metrica riemaniana 〈 , 〉 em M e chamada a metrica induzida porx. A metrica induzida e a parte tangente ei do referencial determinam asformas ωi , donde as formas dωi . Pelo Lema 2 da Secao 1.2, as formas ωijficam entao inteiramente determinadas pela imersao, e o mesmo se verificapara as formas

Ωij = dωij −∑

k

ωik ∧ ωkj .

Portanto, a matriz anti-simetrica de 2-formas (Ωij) depende apenas dametrica induzida (e da escolha do referencial).

Isto sugere que a matriz (Ωij) e uma especie de medida de quanto ametrica induzida deixa de ser euclidiana. (Ωij) e chamada a matriz dasformas de curvatura no referencial ei.

Observe que se Mn = Rn, Ωij = 0. Alem disto, se x : M2 → R3, temosque

Ω12 = dω12 − 0 = −K ω1 ∧ ω2 ,o que mostra que (Ωij) generaliza a nocao de curvatura Gaussiana de umasuperfıcie.


Para associar um significado geometrico a matriz das formas de cur-vatura, precisamos verificar como elas variam com uma mudanca da partetangente do referencial ei (a parte normal eα do referencial nao afeta asformas Ωij). Para isto sera conveniente usar a seguinte notacao matricial.

As matrizes das formas ωij e Ωij serao indicadas por W e Ω, respecti-vamente, e o vetor coluna das formas ωi , por ω. As equacoes de estrutura(6) e (7) se escrevem entao

dω = W ∧ ω,dW = W ∧W +Ω.

Uma mudanca na parte tangente ei do referencial sera dada por ei =Σuij ej , onde (uij) = U e uma matriz de funcoes diferenciaveis em M ;alem disso, U e ortogonal, isto e, UU ∗ = identidade, onde U∗ indica amatriz transposta de U .

Lema 1. Por uma mudanca do referencial tangente ei dada por ei =∑j

uij ej , a matriz das formas de conexao W muda por

W = dU U∗ + U W U∗, (10)

e a matriz das formas de curvatura Ω muda por

Ω = U ΩU∗, (11)

onde uma barra indica a entidade correspondente no referencial ei.Demonstracao: De ei =

∑j

uij ej decorre que ωi =∑j

uij ωj , isto e,

ω = U ω, e entao ω = U∗ ω. Portanto,

dω = dU ∧ ω + U dω = dU ∧ (U∗ω) + U(W ∧ ω) = (dUU∗ + UWU∗) ∧ ω.

Decorre daı, pelo lema de unicidade, que

W = dU U∗ + U W U∗,

o que demonstra (10). Para demonstrar (11), observemos que dU U ∗ =−U(dU)∗ e passemos a calcular W ∧W e dW . Obteremos

W ∧W = (dU U∗ + U W U∗) ∧ (dU U∗ + U W U∗)

= −dU U∗U ∧ (dU)∗ − U W U∗U ∧ (dU)∗

+ dU U∗U ∧W U∗ + U W U∗ ∧ U W U∗

= −dU ∧ (dU)∗ + dU ∧W U∗ − U W ∧ (dU)∗ + U W ∧W U∗,


e

dW = −dU ∧ (dU)∗ + dU ∧W U∗ − U W ∧ (dU)∗ + U∗dW∗ ∧ U.

Portanto,

Ω = −W ∧W + dW = −U W ∧W U∗ + U dW U∗

= U(dW −W ∧W )U∗ = U ΩU∗,

o que demonstra (11).

Decorre do lema que, fixado p ∈ M , quando mudamos o referencialtangente ei, a matriz de formas

((Ωij)p

)muda como a matriz de uma

transformacao linear em Tp(M). Portanto, fixados dois vetores X,Y ∈Tp(M), a matriz numerica

(Ωij)p(X,Y )

representa uma transformacao

linear em Tp(M), que indicaremos por

(RXY

)p: Tp(M)→ Tp(M),

e que nao depende do referencial tangente. RXY e chamado o operador decurvatura da metrica induzida.

Passemos agora a analisar as equacoes (9). Escrevevendo (9) na forma

dωαβ =∑

γ

ωαγ ∧ ωγβ +Ωαβ ,

onde

Ωαβ =∑

i

ωαi ∧ ωiβ = −Ωβα ,

vemos que elas possuem uma certa analogia formal com as equacoes deestrutura de um espaco euclideano com um “termo de correcao” Ωαβ . Porum raciocınio inteiramente analogo ao do Lema 1, verificaremos que a matrizde formas (ωαβ) = W⊥ e a matriz de formas (Ωαβ) = Ω⊥ se transformam,por uma mudanca da parte normal eα do referencial, de modo semelhanteas formas W e Ω, respectivamente. Por esta razao, chamaremos ωαβ asformas da conexao normal e Ωαβ as formas da curvatura normal.

E claro que, fixados p ∈ M e dois vetores X,Y ∈ Tp(M), a matriz(Ωαβ)p(X,Y )

determina uma transformacao linear

(R⊥XY

)p: (Np(M)→

Np(M). R⊥XY e chamado o operador de curvatura normal da imersao x.

Para o caso x : M2 → R4, podemos definir, por analogia com a curvaturaGaussiana, uma funcao KN chamada curvatura normal da imersao x por

dω34 = −KN ω1 ∧ ω2 .


Como no caso de superfıcies, as formas ωij possuem a seguinte inter-pretacao geometrica. Seja X um campo diferenciavel de vetores tangentesem M , seja Y ∈ Tp(M), e seja α : (−ε, ε)→M uma curva diferenciavel comα(0) = p e α′(0) = Y . Definamos

(∇YX

)p= proj. sobre Tp(M) de

(dX

dt

)

t=0

,

onde t e o parametro da curva α. Em outras palavras, (∇YX)pe a parte da

derivada usual(dXdt

)t=0

que e “vista de Tp(M)”. Vamos mostrar que ∇YXso depende da metrica induzida em M por X.

Para isto, escolhamos um referencial adaptado eA em uma vizinhancaU ⊂M e escrevamos X = Σxiei , onde xi sao funcoes diferenciaveis em U .Como

dX

dt=∑

i

dxidt

ei +∑

i

xideidt

=∑

j

dxjdt

ej +∑

i

xi∑

j

ωij

(∂

∂t

)ej +

∑

i

xi∑

α

ωiα

(∂

∂t

)eα ,

temos que

(∇YX)P=∑

j

dxjdt

+∑

i

ωij

(∂

∂t

)xi

ej

=∑

j

dxj(Y ) +

∑

i

ωij(Y )xiej

o que mostra que ∇YX so depende dos ωij e portanto da metrica induzida.(∇YX

)pe chamada a derivada covariante do campo X segundo o vetor

Y no ponto p. Se X = ei , obteremos

〈∇Y ei, ej〉 = ωij(Y ),

o que fornece uma interpretacao geometrica das formas de conexao ωij emtermos da derivacao covariante.

Uma interpretacao analoga pode ser dada as formas de conexao normalωαβ : Seja η um campo diferenciavel de vetores normais emM e y ∈ Tp(M).A derivada covariante normal (∇⊥

y η)p de η em relacao a y no ponto p e a

projecao sobre o complemento ortogonalNp(M) de Tp(M) da derivada usual(dηdt

)t=0

. Como anteriormente, t e o parametro de uma curva diferenciavelα : (−ε, ε)→M , com α(0) = p, α′(0) = y.

De uma maneira inteiramente analoga a anterior, verifica-se que(∇⊥y η)p=∑

β

dηα(y) +

∑

α

ωαβ(y)ηαeβ , η =

∑

α

ηαeα ,


isto e, ∇⊥y η depende apenas das formas ωαβ . A interpretacao geometrica

das formas ωαβ e obtida observando que, se η = eα , temos

〈∇⊥y eα, eβ〉 = ωαβ(y).

Finalmente, deve ser observado que as equacoes de definicao

Ωij =∑

α

ωiα ∧ ωαj , Ωαβ =∑

i

ωαi ∧ ωiβ ,

relacionam as formas de curvatura da metrica induzida e as formas da cur-vatura normal com as segundas formas quadraticas de imersao da seguintemaneira:

Ωij = −∑

α

∑

`

hαi` ω` ∧∑

k

hαjk ωk

=∑

k<`

∑

α

(hαi` hαjk − hαik h

αj`)ωk ∧ ω` (12)

e

Ωαβ = −∑

i

∑

k

hαik ωk ∧∑

`

hβi` ω`

=∑

k<`

∑

i

(hαki hβi` − hβki h

αi`)ωk ∧ ω` (13)

As equacoes (12) e (13) sao chamadas as equacoes de Gauss e as equacoesde Ricci, respectivamente.

Tudo se passa como se a geometria da imersao x se decompusesse emduas, uma geometria tangente e uma geometria normal, ligadas pelas segun-das formas quadraticas, isto e, as formas ωiα . Neste contexto, as equacoes(8) (Equacoes de Codazzi) exprimem as diferenciais das formas ωiα (istoe, as segundas formas quadraticas) em termos das formas ωiα , da conexaotangente e da conexao normal.

Exemplo 1 (O toro de Clifford). Seja x : R2 → R4 uma aplicacao diferen-ciavel dada por

x(u, v) = (cosu, senu, cos v, sen v), (u, v) ∈ R2.

Comodx = (− senu du, cosu du,− sen v dv, cos v dv),

teremos

dx

(∂

∂u

)= (− senu, cosu, 0, 0),

dx

(∂

∂v

)= (0, 0,− sen v, cos v),


e portanto x e uma imersao. Como x(u+2nπ, v+2mπ) = x(u, v), para n,m inteiros, a imagem x(R2) e um toro S1 × S1 ⊂ R4.

Para estudar a geometria deste toro, escolhamos um referencial ortonor-mal e adaptado:

e1 = (− senu, cosu, 0, 0),

e2 = (0, 0,− sen v, cos v),

e3 =1√2(cosu, senu, cos v, sen v),

e4 =1√2(− cosu,− senu, cos v, sen v).

Como dx = Σωiei , concluımos que

ω1 = 〈dx, e1〉 = du, ω2 = dv, ω3 = 0, ω4 = 0.

Para o calculo das ωij , calcularemos primeiro

de1 = (− cosu du,− senu du, 0, 0),

de2 = (0, 0,− cos v dv,− sen v dv),

de3 =1√2(− senu du, cosu du,− sen v dv, cos v dv),

donde

ω12 = 〈de1, e2〉 = 0,

ω13 = 〈de1, e3〉 =−du√

2,

ω14 = 〈de1, e4〉 =du√2,

ω23 = 〈de2, e3〉 =−dv√

2,

ω24 = 〈de2, e4〉 =−dv√

2,

ω34 = 〈de3, e4〉 = 0.

De ω12 = 0, concluımos que a curvatura Gaussiana da metrica induzidae zero. De ω34 = 0, concluımos que a curvatura normal KN da imersaotambem e zero.

Para o calculo das segundas formas quadraticas nas direcoes e3 e e4 ,faremos

ω13 = h211 ω1 + h312 ω2 ,

ω23 = h321 ω1 + h322 ω2 ,

24 Variedades riemanianas Secao 1.6

donde h311 = −1√2, h312 = h321 = 0, h322 = −1√

2, isto e,

A2 =

−1/√

2 0

0 −1/√

2

.

Analogamente,

A4 =

1/√

2 0

0 −1/√

2

.

Observe que e3 = 1√2x descreve uma esfera unitaria, pois |x| =

√2.

Portanto x(S1 × S1) esta contida na esfera S3√2de raio

√2 de R4 e o

referencial e1, e2, e4 e tangente a esta esfera, com e3 normal a x(S1 × S1).Como imersao, x : S1 × S1 → S3√

2em S3√

2, x descreve o chamado toro

de Clifford. Observe que e natural considerar A4 como a segunda formaquadratica desta imersao (uma definicao rigorosa sera dada na Secao 1.9) eque o traco de A4 e zero. Como veremos na Secao 1.9, isto significa que otoro de Clifford e uma superfıcie mınima da esfera S3.

1.6 Variedades riemanianas

As equacoes de estrutura relativas a uma metrica induzida por uma imersao,a saber,

dωi =∑

j

ωj ∧ ωji , (1)

nos sugerem a possibilidade de desenvoler o metodo do referencial movelpara uma variedade riemaniana Mn. Seja p ∈ M um ponto de M e sejaU ⊂ M uma vizinhanca de p em M , onde seja possıvel definir camposdiferenciaveis de vetores e1, . . . , en tais que 〈ei, ej〉 = δij . O conjunto ei,i = 1, . . . , n, sera chamado um referencial (ortonormal, movel) em U . Se-jam ωi formas diferenciais em U definidas por ωi(ek) = δij (o coreferencialassociado a ei). Ja vimos no Lema 2 da Secao 1.2 que se existirem formasdiferenciais ωij = −ωji satisfazendo (1), elas estarao inteiramente determi-nadas. Que tais formas existem a partir da metrica riemaniana de M e oconteudo do lema seguinte.

Lema 1 (Levi-Civitta). Escolhido um referencial ei em um aberto U ⊂Mde uma variedade riemanianaM existe em U um (unico) conjunto de formasdiferenciais ωij que sao anti-simetricas, ωij = −ωji , e satisfazem (1).

Demonstracao: Facamos dωj(ek, ei) = Ajki , isto e,

dωj =∑

k<i

Ajki ωk ∧ ωi , Aj

ki = −Ajik .


Queremos determinar funcoes C ikj = −Ci

jk tais que as formas diferenciais

ωkj =∑

i

Cikj ωi (2)

satisfacam (1). Se tais funcoes existirem, teremos

dωj =∑

k<i

Ajki ωk ∧ ωi =

∑

k

ωk ∧ ωkj =

=∑

k

ωk ∧(∑

i

Cikj ωi

)=∑

k<1

(Cikj − Ck

ij)ωk ∧ ωi .

Igualando os coeficientes de termos correspondentes nas equacoes acima,temos

Ajki = Ci

kj − Ckij ,

Akij = Cj

ik − Cijk ,

Aiij = Cj

ki − Ckji .

Adicionando membro a membro as igualdades acima, obteremos a seguintecondicao necessaria para a existencia dos C i

kj :

Cikj =

1

2(Aj

ki +Akij +Ai

kj).

Definindo Cikj pela equacao acima e as formas ωij por (2), verificamos facil-

mente que elas satisfazem as condicoes pedidas.

As formas ωij sao chamadas as formas de conexao de M no referencialei. O interesse geometrico das formas de conexao e que elas permitemdefinir uma nocao de derivacao para campos de vetores em M . Observe-seque em uma variedade diferenciavel, podemos derivar funcoes, porem naocampos de vetores. O conteudo do Lema 1 e da proposicao seguinte e queem uma variedade riemaniana uma tal derivacao e bem definida.

Proposicao 1. Sejam X e Y campos diferenciaveis de vetores em M e sejaei um referencial em um aberto U ⊂ M . Suponhamos que Y =

∑i

yiei e

facamos

∇XY =∑

j

dyj(X) +

∑

i

ωij(X)yiej . (3)

Entao ∇XY e independente do referencial ei e, portanto, globalmentedefinido em M .

Demonstracao: Sera conveniente usar a notacao matricial estabelecida noparagrafo anterior, com as adicoes seguintes. e = (e1, . . . , en) sera uma


matriz linha e y = (y1, . . . , yn) sera uma matriz coluna; assim Y = ey. See e um outro referencial, facamos e = eU ∗; assim y = Uy. Com uma talnotacao, a equacao (3) se escreve

∇XY = e(dy(X) +W ∗(X)y).

Como X nao ira interferir nos calculos, vamos abandona-lo nas expressoesabaixo. Inicialmente, observemos que

dy = dUy + Udy,

e que, da equacao (10) do paragrafo anterior, vem

W ∗y = U(dU)∗y + UW∗U∗y = −dUU∗y + UW

∗U∗y = −dUy + UW

∗y.

Portanto

e(dy +W ∗y) = e(dUy + Udy − dUy + UW∗y)

= eUdy + eUW∗y = e(dy + E

∗y),

o que mostra que (3) nao depende da escolha do referencial ei.∇XY e chamada a derivada covariante de Y em relacao a X. Que ela e

uma derivacao “de boa qualidade” e garantido pelos quatro primeiros itensda seguinte proposicao.

Proposicao 2. Sejam X, Y , Z campos diferenciaveis de vetores em M , f ,g funcoes diferenciaveis em M e a, b numeros reais. Entao:

1) ∇fX+gZY = f ∇XY + g∇ZY ,

2) ∇X(aY + bZ) = a∇XY + b∇XZ,

3) ∇X(fY ) = f ∇XY +X(f)Y ,

4) 〈∇XY,Z〉+ 〈Y,∇XZ〉 = X(〈Y,Z〉),

5) Se p ∈ M , (∇XY )(p) so depende do valor de X no ponto p e dosvalores de Y ao longo de uma curva parametrizada α :(−ε,ε)→M , comα(0) = p, α′(0) = X(p).

Demonstracao: Verificacao direta a partir da definicao (3). Os detalhespodem ser deixados como exercıcios.

Uma observacao importante e que a derivacao covariante permite inter-pretar geometricamente as formas de conexao. Com efeito, de (3) decorreque, para todo campo X,

〈∇X ei, ej〉 = ωij(X).


Portanto ωij(ek) = 〈∇ek ei, ej〉.Convem estender a nocao de derivada covariante para campos de vetores

definidos ao longo de uma curva parametrizada α : (a, b) → M da maneiraseguinte. Um campo diferenciavel de vetores ao longo de α e uma corre-spondencia que a cada t ∈ (a, b) associa um vetor Y (t) ∈ Tα(t)(M) de talmodo que escolhendo um referencial ei em torno de α(t), as funcoes yi(t)dadas por Y (t) = Σ yi(t)ei sejam diferenciaveis; e claro que esta condicaonao depende do referencial escolhido. Pelo item (5) da Proposicao 2, aexpressao

DY

dt=∑

j

dyjdt

+∑

i

α∗ωij

(∂

∂t

)yi

ej = ∇

dα(∂∂t

)Y (t)

esta bem definida, e e chamada a derivada covariante de Y ao longo de α.Um campo Y ao longo de α e paralelo se DY

dt≡ 0. Uma curva α e uma

geodesica se o seu campo de vetores tangentes (que e um campo ao longode α) e paralelo, isto e, se D

dtdαdt≡ 0.

A condicao para que o campo Y (t) = Σ yi(t)ei seja paralelo, isto e,

dyidt

+∑

j

α∗ωji

(∂

∂t

)yj = 0, i = 1, . . . , n,

e evidentemente um sistema de equacoes diferenciais lineares em yi(t). De-corre daı que dado Y0 ∈ Tα(t0)(M) existe um e um unico campo paraleloY (t) ao longo de α com Y (t0) = Y0 . O campo Y (t) assim obtido e chamadoo transporte paralelo de Y0 em α.

Se uma curva parametrizada γ : (a, b)→M e uma geodesica, entao, peloitem (4) da Proposicao 1,

d

dt〈γ′(t), γ′(t)〉 = 2 〈Dγ

′(t)

dt, γ′(t)〉 = 0

isto e, o vetor tangente γ′(t) tem comprimento constante. Observe, entre-tanto, que γ pode ter auto-interseccoes.

Os seguintes fatos sobre geodesicas serao apresentados sem demons-tracoes. As demonstracoes dependem dos teoremas de existencia, unicidadee dependencia das condicoes iniciais das equacoes diferenciais ordinarias epodem ser encontradas em M. do Carmo [dC ].

Para todo ponto p ∈ M e todo vetor v ∈ Tp(M) existe uma unicageodesica γ(t; p, v) definida em um intervalo (−ε, ε) e satisfazendo as con-dicoes: γ(0; p, v) = p, γ′(0; p, v) = v; uma tal geodesica e homogenea nosentido seguinte: se γ(t; p, λv) esta definida em t ∈ (−ε, ε), a geodesica


γ(tλ; p, v

)esta definida em t ∈

(− ε

λ, ελ

)e

λ

(t

λ; p, v

)= γ(t; p, λv), λ ∈ R.

Alem disso, fixado p ∈ M , o ponto γ(1; p, v) esta definido para todo vpertencente a uma bola aberta Bη(0) ⊂ Tp(M), centrada na origem deTp(M), e varia diferenciavelmente com v.

Os fatos acima permitem definir uma aplicacao diferenciavel

expp : Bη(0) ⊂ Tp(M)→M

chamada a aplicacao exponencial em p, dada por

expp(v) = γ(1; p, v).

Observe que expp(0) = p e que a diferencial de expp na origem e dada por

(d expp)0(v) =d

dtγ(1; p, tv)

∣∣∣∣t=0

=d

dtγ(t; p, v)

∣∣∣∣t=0

= γ′(0, p, v) = v.

Pelo teorema da funcao inversa, expp e um difeomorfismo em uma vizi-nhanca V da origem de Tp(M). A imagem expp(V ) = U e chamada umavizinhanca normal de p ∈ M . As geodesicas de U que passam por p saochamadas geodesicas radiais da vizinhanca normal U . Note que todo q ∈ Ue ligado a p em U por uma unica geodesica radial.

Dada uma curva α : (a, b) → M parametrizada pelo comprimento dearco, o campo D

dsdαds

ao longo de α mede o quanto α deixa de ser geodesica.

O valor de Dds

dαds

e chamado o vetor curvatura geodesica de α em M .

Passemos agora a introducao da curvatura em uma variedade riemani-ana. Motivados pela Secao anterior, definiremos

Ωij = dωij −∑

k

ωik ∧ ωkj . (5)

As formas Ωij sao chamadas as formas de curvatura de M no referencialei. O significado geometrico de tais formas e inteiramente analogo ao dasformas Ωij da Secao anterior, isto e, para cada p ∈M e cada par de vetoresX,Y ∈ Tp(M), a matriz

(Ωij)p(X,Y )

e a matriz de uma aplicacao linear

(RXY

)p: Tp(M)→ Tp(M).

RXY e chamado o operador de curvatura de M . Como Ωij = −Ωji , eΩij e uma forma bilinear alternada, temos as seguintes identidades para o


operador de curvatura: Se X, Y , Z e T sao campos diferenciaveis de vetoresem M , entao

〈RXY Z, T 〉 = −〈RY XZ, T 〉, (6)

〈RXY Z, T 〉 = −〈RXY T,Z〉. (7)

Derivando exteriormente as equacoes (1), obteremos

0 =∑

k

dωk ∧ ωkj −∑

k

ωk ∧ dωkj

=∑

ki

ωi ∧ ωik ∧ ωkj −∑

i

ωi ∧ dωij

=∑

i

ωi ∧(∑

k

ωik ∧ ωkj − dωij)= −

∑

i

ωi ∧ Ωij

ou seja ∑

i

ωi ∧ Ωij = 0. (8)

A equacao (8) e chamada a primeira identidade de Bianchi. Em termosdo operador curvatura, ela se traduz da maneira seguinte. Se X, Y e Z saocampos diferenciaveis de vetores em M , entao, para todo j = 1, . . . , n,

0 =∑

i

ωi ∧ Ωij(X,Y, Z)

=∑

i

ωi(X)Ωij(Y,Z)− ωi(Y )Ωij(X,Z) + ωi(Z)Ωij(X,Y )

= 〈RY ZX −RXZY +RXY Z.ej〉,

dondeRXY Z +RY ZX +RZXY = 0. (8’)

De (8’) e (7) decorre a seguinte identidade

〈RXY Z, T 〉 = 〈RZTX,Y 〉 (9)

que pode ser demonstrada da maneira seguinte: a partir de (8), obtemos

〈RXY Z, T 〉+ 〈RY ZX,T 〉+ 〈RZXY, T 〉 = 0,

〈RY ZT,X〉+ 〈RZTY,X〉+ 〈RTY Z,X〉 = 0,

〈RZTX,Y 〉+ 〈RTXZ, Y 〉+ 〈RXZT, Y 〉 = 0,

〈RTXY,Z〉+ 〈RXY T,Z〉+ 〈RY TX,Z〉 = 0.


Somando as equacoes acima, concluımos que

2〈RZXY, T 〉+ 2〈RTY Z,X〉 = 0,

donde, usando (7),〈RZXT, Y 〉 = 〈RTY Z,X〉,

que e equivalente a expressao (9).Derivando exteriormene a equacao (5), obteremos

0 =∑

k

dωik ∧ ωkj −∑

k

ωik ∧ dωkj + dΩij

=∑

k

(∑

s

ωis ∧ ωsk +Ωik)∧ ωkj

−∑

k

ωik ∧(∑

m

ωkm ∧ ωmj +Ωkj)+ dΩij

= dΩij +∑

k

Ωik ∧ ωkj −∑

k

ωik ∧ Ωkj , (10)

que e chamada a segunda identidade de Bianchi.

Como as formas Ωij sao formas de grau dois, elas podem ser escritas

Ωij = −1

2

∑

k`

Rijk` ωk ∧ ω` = −∑

k<`

Rijk` ωk ∧ ω` .

As funcoes Rijk` sao chamadas as componentes do tensor curvatura de M .

Veremos na proxima secao o significado desta expressao. E claro que

〈Rek,e`(ei), ej〉 = Ωji(ek, e`) = −1

2

∑

s,t

Rjist ωs ∧ ωt (ek, e`) = Rijk`

= 〈Reiej (ek), e`〉.

As formas de curvatura permitem definir varios tipos de curvatura emM , o mais importante sendo a curvatura seccional que passaremos a intro-duzir. Seja P ⊂ Tp(M) um subespaco de dimensao dois do espaco tangenteTp(M) de M em p ∈ M . Escolhamos um referencial ortonormal e1, . . . , enem uma vizinhanca de p de tal modo que e1, e2 geram P . Vamos mostrarque o numero

(Ω12

)p(e1, e2) depende apenas do subespaco P .

Para isto, seja e1, . . . , en um outro referencial em torno de p de modoe1, e2 ainda geram P . Entao ei = Σuij ej , onde a matriz U = (uij) e daforma

U =

A 0

0 B


e A =

cos θ sen θ

− sen θ cos θ

ou A =

− sen θ cos θ

cos θ sen θ

dependendo da orientacao de e1, e2 relativamente a e1, e2 . Pelo Lema 1 daSecao 1.5,

Ωij =∑

k`

uik Ωk` uj` ,

donde

Ω12 =∑

k`

u1k u2`Ωk` = ±(cos2 θΩ12 − sen2 θΩ21

)= ±Ω12

onde o sinal depende da orientacao. Portanto

Ω12(e1, e2) = ±Ω12(e1, e2) = Ω12(e1, e2),

qualquer que seja a orientacao adotada, o que prova o afirmado. O numero

Kp(P ) = −(Ω12)p(e1, e2) = 〈(Re1e2)p(e1), e2〉

e chamado a curvatura seccional de M em p segundo P .

Para obter a expressao da curvatura seccional em termos do operadorde curvatura, tomemos dois vetores linearmente independentes X,Y ∈ P ⊂Tp(M), e um referencial ortonormal ei tal que e1, e2 gerem P . EntaoX = x1e1 + x2e2 , Y = y1e1 + y2e2 , e, por linearidade e pelas relacoesde simetria (6) e (7),

〈RXYX,Y 〉 = 〈Rx1e1+x2e2,y1e1+y2e2 x1e1 + x2e2, y1e1 + y2e2〉= (x1y2 − x2y1)〈Re1e2x1e1 + x2e2, y1e1 + y2e2〉= (x1y2 − x2y1)

2 〈Re1e2 e1, e2〉 = (A(X,Y ))2K(P ),

onde A(X,Y ) e a area do paralelogramo formado por X e Y . Portanto

K(P ) =〈RXYX,Y 〉(A(X,Y ))2

· (11)

Diz-se que uma variedade riemaniana M e isotropica em p ∈ M setodas as curvaturas seccionais em p tem o mesmo valor, isto e, se Kp(P )nao depende de P ⊂ Tp(M).

Proposicao 3. Seja M uma variedade riemaniana, p um ponto de M eei um referencial em uma vizinhanca de p. Entao M e isotropica em pse e so se

Ωij = −Kp ωi ∧ ωj . (12)


Demonstracao: Sejam X = Σxiei e Y = Σ yiei dois vetores linearmenteindependentes de Tp(M). Por linearidade,

〈(RXY )X,Y 〉 =∑

i,j,k,`

Rijk` xiyjxky` .

Por outro lado,

(A(X,Y ))2 = |X|2 |Y |2 − 〈X,Y 〉2

=

(∑

ik

δik xixk

)∑

j`

δj` yjy`

−

∑

ij

δij xiyj

(∑

k`

δk` xky`

)

=∑

i,j,k,`

(δik δj` − δij δk`)xi xk yj y` .

Suponhamos agora que M seja isotropica em p, isto e, para todo X,Y ∈Tp(M),

〈RXY X,Y 〉 = Kp(A(X,Y ))2,

ou seja,

∑

i,j,k,`

xiyjxky` = Kp

∑

i,j,k,`

(δikδj` − δijδk`)xiyjxky`

,

para todo X, Y .

Afirmamos que isto implica que (note a mudanca de ındices no ladodireito da igualdade)

Rijk` = Kp(δikδj` − δkjδi`).

Para provar nossa afirmacao, escolha:

X = (0, . . . , 0,i

1, 0, . . . ,k

1, 0, 0, . . . ),

Y = (0, . . . , 0,j

1, 0, . . . ,`

1, 0, 0, . . . ).

Entao,

1 = xixkyjy` = xkxiyjy` = xixky`yj = xkxiy`yj ,

e todos outros produtos sao nulos. Segue-se que

Rijk` = Kp(δikδj` − δijδk`).


Da expressao acima, obtem-se

2(Rijk` +Rkji`) = Kp[δikδj` − δijδk`] + [δkiδej − δk`δij ]

+ [δkiδj` − δi`δkj ] + [δkiδj` − δkjδi`],

dondeRijk` +Rkji` = Kp[2δikδj` − δijδk` − δkjδi`] (i)

De (i), concluımos

Rkij` +Rjik` = Kp[2δkjδi` − δkiδj` − δjiδk`]. (ii)

Finalmente, escrevemos a igualdade de Bianchi,

Rijk` +Rkij` Rkji` = 0. (iii)

Se agora tomarmos a soma (i) + (iii) − (ii), obteremos

Rijk` = Kp(δikδj` − δkjδi`),

como havıamos afirmado.Portanto,

Ωij = −1

2

∑

k`

Rijk` ωk ∧ ω`

= −∑

k`

Kp(δikδj` − δijδk`)ωk ∧ ω` = −Kp ωi ∧ ωj .

Revertendo os passos do argumento, provaremos a recıproca.

Diz-se que uma variedade riemaniana M tem curvatura constante seKp(P ) nao depende de p e de P . O resultado seguinte e surpreendente emostra que se dimM ≥ 3, a isotropia deM em todos os seus pontos implicana constancia da curvatura de M .

Teorema (Schur). Seja Mn uma variedade riemaniana conexa, n ≥ 3.Suponha que M e isotropica para todo p ∈ M . Entao M tem curvaturaconstante.

Demonstracao: Diferenciando a relacao (12), obteremos

dΩij = −dKp ∧ ωi ∧ ωj −Kp dωi ∧ ωj +Kp ωi ∧ dωj .Por outro lado, a segunda identidade de Bianchi (10) e as equacoes deestrutura fornecem

dΩij = −∑

k

Ωik ∧ ωkj +∑

k

ωik ∧ Ωkj

=∑

k

Kp ωi ∧ ωk ∧ ωkj −∑

k

Kp ωik ∧ ωk ∧ ωj

= Kp ωi ∧ dωj −Kp dωi ∧ ωj .


Segue-se daı que, para todo i, j,

dKp ∧ ωi ∧ ωj = 0,

e, portanto, dKp = 0 em M . Como M e conexa, Kp nao depende de p.

Voltaremos as variedades de curvatura constante na Secao 1.8. No mo-mento queremos apenas apresentar dois exemplos de variedades riemanianasde curvatura constante que junto com o Rn desempenham um papel funda-mental na Geometria Diferencial.

Exemplo 1. A esfera unitaria Sn ⊂ Rn+1 centrada na origem. Escolhendoum referencial adaptado e1, . . . , en, en+1 em Rn+1 − 0, teremos

dωij =∑

k

ωik ∧ ωkj + ωi,n+1 ∧ ωn+1,j , i, j, k = 1, . . . , n,

dondeΩij = ωi,n+1 ∧ ωn+1,j .

Como podemos pensar em x = en+1 como o vetor posicao da esfera Sn emRn+1, teremos

dx = Σωiei = den+1 = Σωn+1,i ei ,

donde ωi = ωn+1,i . Decorre daı que Ωij = −ωi ∧ ωj , isto e, Sn temcurvatura constante 1.

Exemplo 2 (O espaco hiperbolico). Seja Hn = x ∈ Rn; |x|2 < 4 a bolaaberta em Rn de raio 2. Vamos definir em Hn uma metrica riemanianadada por

⟨∂

∂xi,∂

∂xj

⟩

x

=δij(

1− |x|24

)2 , x = (x1, . . . , xn) ∈ Hn.

Munido desta metrica riemaniana, Hn e chamado o espaco hiperbolico dedimensao n. Vamos mostrar que Hn tem curvatura constante igual a −1.

Facamos u = 1 − |x|24 e escolhamos o referencial ei = u ∂

∂xi· E ime-

diato verificar que 〈ei, ej〉 = δij . O coreferencial associado e dado porωi =

1udxi . Portanto,

dωi = −1

u2du ∧ dxi = −

1

u2

∑

j

∂u

∂xjdxj ∧ dxi

= −∑

j

ωj ∧∂u

∂xjωi = −

∑

j

ωj ∧(∂u

∂xjωi −

∂u

∂xiωj

).


Facamos

ωij =∂u

∂xjωi −

∂u

∂xiωj = −ωji .

Pelo Lema 2 da Secao 1.2, ωij sao as formas de conexao de Hn no refe-rencial ei. Resta-nos mostrar que Ωij = ωi ∧ ωj para concluir que Hn

tem curvatura constante −1.Como u = 1− Σ x2

i

4 , temos que ∂u∂xj

= − 12 xj . Entao

ωij = −1

2(xjωi − xiωj).

Portanto,

∑

k

ωik ∧ ωkj =∑

k

1

4

xkωi − xiωk

∧xjωk − xkωj

=1

4

∑

k

xkxj ωi ∧ ωk − xkxk ωi ∧ ωj + xixk ωk ∧ ωj

e

dωij =u

2(ωi ∧ ωj − ωj ∧ ωi)

− 1

4

xjωk ∧ (xkωi − xiωk) + xiωk ∧ (xjωk − xkωj)

.

Decorre daı que

Ωij = dωij − Σωik ∧ ωkj = uωi ∧ ωj +|x|24

ωi ∧ ωj = ωi ∧ ωj ,

conforme querıamos.

Daremos mais um exemplo que, embora nao tao fundamental como osexemplos anteriores, apresenta aspectos instrutivos. Os calculos abaixoforam feitos por Antonio Carlos Asperti e Renato Tribuzy.

Exemplo 3 (A metrica do fibrado tangente). Seja Mn ⊂ Rn+k=N umavariedade riemaniana com a metrica induzida. Seja TM ⊂ RN × RN ofibrado tangente de M , isto e,

TM = (p, v) ∈ RN ×RN ; p ∈M, v ∈ Tp(M).TM possui uma metrica riemaniana natural que passaremos a definir.

Seja (p, v) ∈ TM e sejam V , W dois vetores tangentes a TM no ponto(p, v). Sejam α(t) = (x(t), v(t)) e β(t) = (y(t), ω(t)) duas curvas em TMcom

α(0) = (x(0), v(0)) = (p, v), β(0) = (y(0), ω(0)) = (p, v)

α′(0) = (x′(0), v′(0)) = V, β′(0) = (y′(0), ω′(0)) = W.


Definiremos

〈V,W 〉(p,v) = 〈x′(0), y′(0)〉+ 〈(v′(0)T , (ω′(0))T 〉,

onde 〈 , 〉 no segundo membro indica a metrica de M e ( )T indica a compo-nente tangente a M do vetor ( ) ∈ RN . Observe que (v′(0))T =

(∇ ∂

∂tv)t=0

e que, portanto, a metrica de TM pode ser definida de uma maneira intrın-seca.

E conveniente, as vezes, considerar o fibrado tangente unitario T1M quee definido por

T1M = (p, v) ∈ TM ; |v| = 1 ⊂ TM.

E claro que a metrica acima definida de TM induz em T1M uma metricariemaniana que chamaremos a metrica natural de T1M . O interesse naintroducao de T1M provem do fato de que, quando M e compacto, T1Mtambem o e.

A metrica natural do fibrado tangente unitario possui varias propriedadesinteressantes. Aqui nos contentaremos em provar que se M = S2 com ametrica de curvatura constante igual a 1, entao a metrica natural de T1S

2

tem metrica de curvatura constante igual a 1/4.No que se segue, indicaremos por π : T1M →M a aplicacao π(p, v) = p.

Seja p ∈ S2 e sejam (r, θ) , −∞ < r < +∞, 0 < θ < 2π, coordenadaspolares em Tp(S

2)−L, onde L e a semi-reta de origem 0 que corresponde aθ = 0. Como expp : Tp(S

2)→ S2 e um difeomorfismo em uma vizinhanca Vda origem de Tp(S

2), podemos introduzir as coordenadas (r, θ) em expp(V −V ∩L) = U ⊂ S2. E facil verificar que os campos vetoriais e1 = d expp

(∂∂r

),

e2 = 1sen r d expp

(∂∂θ

), definidos em U , sao ortonormais. Portanto, uma

parametrizacao de π−1(U) ⊂ T1(M) e dada por

(r, θ, ω)→ (expp(r, θ), cosω e1 + senω e2), 0 < ω < 2π.

Vamos indicar por ∂r, ∂θ, ∂ω os campos coordenados de T1S2 na para-

metrizacao acima. Se mostrarmos que(a) 〈∂r, ∂r〉 = 1,(b) 〈∂θ, ∂θ〉 = 1,(c) 〈∂ω, ∂ω〉 = 1,(d) 〈∂r, ∂θ〉 = 0,(e) 〈∂r, ∂ω〉 = 0,(f) 〈∂θ, ∂ω〉 = cos r,

poderemos tomar

ε1 = ∂r, ε2 = ∂θ, ε3 =1

sen r∂ω − cos r

sen r∂θ, (*)


como um referencial ortonormal em U . Para provar as relacoes (a)-(f),procederemos da maneira seguinte. Sera conveniente simplificar a notacaoe fazer d expp

(∂∂r

)= ∂

∂r, d expp

(∂∂θ

)= ∂

∂θ·

(a) Por definicao de metrica natural,

〈∂r, ∂r〉 =⟨∂

∂r,∂

∂r

⟩

+

⟨D

∂r(cosω e1 + senω e2),

D

∂r(cosω e1 + senω e2)

⟩.

Como r → expp(r, θ) e uma geodesica radial em S2, D∂re1 = D

∂r∂∂r

= 0.

Alem disto, e2 e paralelo ao longo das geodesicas radiais, donde D∂re2 = 0.

Decorre daı que〈∂r, ∂r〉 = 1 + 0 = 1.

(b) Por definicao,

〈∂θ, ∂θ〉 =⟨∂

∂θ,∂

∂θ

⟩

+

⟨D

∂θ(cosω e1 + senω e2),

D

∂θ(cosω e1 + senω e2)

⟩.

Mas 〈 ∂∂θ, ∂∂θ〉 = sen2 r, donde,

⟨∂

∂r

∂

∂θ,∂

∂θ

⟩=

1

2

d

dr

⟨∂

∂θ,∂

∂θ

⟩= sen r cos r.

Portanto,⟨D

∂θe1, e2

⟩=

⟨D

∂θ

∂

∂r,

1

sen r

∂

∂θ

⟩=

⟨D

∂r

∂

∂θ,

1

sen r

∂

∂θ

⟩= cos r

e ⟨D

∂θe1, e1

⟩=

1

2

d

dθ(e1, e1) = 0,

isto e,D

∂θe1 = cos r e2 .

Alem disto,⟨d

∂θe2, e1

⟩= −

⟨e2,

D

∂θ

∂

∂r

⟩= − 1

sen r

⟨∂

∂θ,D

∂r

∂

∂θ

⟩= − cos r

e ⟨D

∂θe2, e2

⟩=

1

2

d

dθ〈e2, e2〉 = 0,


isto e,D

dθe2 = − cos r e1 .

Decorre daı que

〈∂θ, ∂θ〉 = sen2 r + sen2 ω cos2 r + cos2 ω cos2 r = 1.

(c) Por definicao,

(∂ω, ∂ω) =

⟨D

∂ω(cosω e1 + senω e2),

D

∂ω(cosω e1 + senω e2)

⟩

= 〈− senω e1 + cosω e2,− senω e1 + cosω e2〉= sen2 ω + cos2 ω = 1.

(d)

〈∂r, ∂θ〉 =⟨∂

∂r,∂

∂θ

⟩

+

⟨D

∂r(cosω e1 + senω e2),

D

∂θ(cosω e1 + senω e2)

⟩

= 0 +

⟨cosω

D

∂re1 + senω

D

∂re2, cosω

D

∂θe1 + senω

D

∂θe2

⟩= 0

(e)

(∂θ, ∂ω) =

⟨cosω

D

∂re1 + senω

D

∂re2,− senω e1 + cosω e2

⟩= 0.

(f)

(∂θ, ∂ω) =

⟨cosω

D

∂θe1 + senω

D

∂θe2,− senω e1 + cosω e2

⟩

= 〈 cosω cos r e2 − senω cos r e1,− senω e1 + cosω e2〉= cos2 ω cos r + sen2 ω cos r = cos r,

o que conclue a demonstracao das afirmacoes (a)-(f).

Consideremos em U o referencial dado por (*). O coreferencial associadoe dado por

ω1 = dr, ω2 = dθ + cos r dω, ω3 = sen r dω,


onde, por exemplo, dr e a diferencial da funcao coordenada:

(expp(f, θ), cosω e1 + senω e2)→ r.

Utilizando as equacoes de estrutura, obteremos

0 = dω1 = ω2 ∧ ω21 + ω3 ∧ ω31 ,

− ω1 ∧ ω3 = dω2 = ω1 ∧ ω12 + ω3 ∧ ω32 ,

cos r

sen rω1 ∧ ω3 = dω3 = ω1 ∧ ω13 + ω2 ∧ ω23 .

Para calcular as formas de conexao ω12, ω13, ω23, procederemos damaneira seguinte. Da primeira equacao acima e do lema de Cartan, temosque

ω21 = A11 ω2 +A12 ω3 ,

ω31 = A12 ω2 +A22 ω3 .

Fazendo ω32 = B1 ω1 + B2 ω2 + B3 ω3 e introduzindo estas expressoes nasduas ultimas equacoes, concluımos que

A11 = B2 = B3 = 0, A12 =1

2, A22 = − cos r

sen r,

donde

ω21 =1

2ω3, ω31 =

1

2ω2 −

cos r

sen rω3, ω32 =

1

2ω2 .

Finalmente, usando as expressoes das formas de curvatura, obteremos

Ω12 = dω12 − ω13 ∧ ω32 = cos r dr ∧ dω +1

4ω2 ∧ ω1

− cos r

sen rω3 ∧ ω1 = −1

4ω1 ∧ ω2 ,

Ω13 = dω13 − ω12 ∧ ω23 = −1

4ω1 ∧ ω3 ,

Ω23 = dω23 − ω21 ∧ ω13 = −1

4ω2 ∧ ω3 .

Pela Proposicao 3 da Secao 1.6, concluımos que T1S2 tem curvatura cons-

tante igual a 14 , como havıamos afirmado.

Para concluir esta secao, mencionaremos que, se M e orientada, a n-forma diferencial ω1 ∧ · · · ∧ ωn = ν nao depende da escolha do referencial

40 Tensores em variedades riemanianas Secao 1.7

ei, contanto que tomemos sempre referenciais na orientacao de M . Comefeito, o valor de ν nos vetores vi = Σ aijej , i, j = 1, . . . , n e dado por

(ω1 ∧ ω2 ∧ · · · ∧ ω2)(∑

j

a1jej , . . . ,∑

j

anjej)

= det(aij)ω1 ∧ · · · ∧ ωn(e1, . . . , en) = det(aij)

que e igual ao volume orientado do paralelepıpedo formado pelos vetores vi .A forma ν e portanto globalmente definida e e chamada a forma volume deM . Por exemplo, a forma volume da esfera Sn no referencial do Exemplo 1e dada por

ν = ω1 ∧ ω2 ∧ · · · ∧ ωn = ωn+1,1 ∧ · · · ∧ ωn+1,n .

1.7 Tensores em variedades riemanianas

Seja Mn uma variedade riemaniana. Um tensor de ordem r em M e umacorrespondencia F que a cada ponto p ∈M associa uma forma r-linear

Fp : Tp(M)× · · · × Tp(M)︸︷︷︸r fatores

→ R.

Um tensor F e diferenciavel em p ∈ M se escolhido um referencial ei,i = 1, . . . , n, em uma vizinhanca U de p, as funcoes Fi1i2,...,ir dadas por

Fq(ei1 , ei2 , . . . , eir ) = Fi1i2,...,ir (q),

i1, i2, . . . , ir = 1, . . . , n, q ∈ U

sao diferenciaveis em p. E claro que esta condicao nao depende da escolhado referencial ei. F e diferenciavel em M se e diferenciavel para todop ∈ M . De agora por diante, so consideraremos tensores diferenciaveis eomitiremos o adjetivo diferenciavel por conveniencia. As funcoes fi1,i2,...,irsao chamadas as componentes do tensor F no referencial ei.

Exemplo 1. O tensor curvatura R em M que faz corresponder a cadap ∈M e a cada conjunto de quatro vetores X, Y , Z, T de Tp(M) e valor

Rp(X,Y, Z, T ) = 〈RZT X,Y 〉.

R e um tensor de ordem quatro e suas componentes em um referencial eisao dadas por

Rp(ei, ej , ek, e`) = Rijk` .


Exemplo 2. O tensor metrico G que faz corresponder a cada ponto p ∈Me a cada par de vetores X,Y ∈ Tp(M), o produto interno de X e Y nametrica riemaniana de M , isto e,

Gp(X,Y ) = 〈X,Y 〉p .

Exemplo 3. Toda k-forma diferencial ω em M e automaticamente umtensor de ordem k em M .

Observacao 1: Para os que sao familiares com a nocao de tensor, deveser mencionado que a definicao acima e conveniente para os propositos daGeometria Riemaniana. E possıvel definir a nocao de tensor em uma va-riedade diferenciavel sem estrutura riemaniana mas, entao, e necessario dis-tinguir os tensores covariantes (que definimos acima) dos contravariantes(que poderıamos definir utilizando o dual de Tp(M)). No nosso caso, istoe desnecessario, pois a metrica riemaniana faz corresponder a cada campodiferenciavel de vetores X uma forma diferencial ω dada por

ωp(Y ) = 〈X,Y 〉p , para todo p ∈M e todo Y ∈ Tp(M).

Observacao 2: Segundo a definicao adotada, um campo diferenciavel devetores X e um tensor de ordem 1 que faz corresponder a todo p ∈ M etodo Y ∈ Tp(M) o valor 〈X,Y 〉p .

Frequentemente sera conveniente deixar de indicar o ponto p nos calculosabaixo. Por exemplo, se X1, . . . , Xr sao campos diferenciaveis de vetoresem M , F (X1, . . . , Xr) indica a funcao diferenciavel que a cada p ∈ M fazcorresponder o valor Fp((X1)p, . . . , (Xr)p). Assim, tem sentido falar na

diferencial d(F (X1, . . . , Xp)), etc.Em uma variedade riemaniana, e possıvel estender a nocao de diferencial

covariante a tensores de ordem r. Seja F um tensor de ordem r em umavariedade riemaniana Mn. Seja p ∈M e ei um referencial ortonormal emuma vizinhanca U de p. A diferencial covariante ∇F e um tensor de ordemr + 1 definido da seguinte maneira. As componentes

Fi1i2,...,ir;j = ∇F (ei1 , ei2 , . . . , eir , ej),

i1, i2, . . . , ir, j = 1, . . . , n,

de ∇F no referencial ei sao dadas por

∑

j

Fi1i2,...,ir;jωj = dFi1,...,ir +∑

j

Fji1,i3,...,ir ωji1

+∑

j

Fi1ji3···r ωji2 + · · ·+∑

j

Fi1i2...ir−1j ωjir , (1)


onde Fi1i2...ir indica as componentes de F no referencial ei.Para mostrar que a definicao faz sentido e necessario verificar que ela nao

depende da escolha do referencial ei. Isto pode ser feito ou por um calculodireto ou por meio de uma interpretacao geometrica de ∇F . Usaremos asegunda alternativa.

Observe inicialmente que, por exemplo,

∑

j

Fi1i2ji4...ir ωji3(ei) =∑

j

F (ei1 , ei2 , ej , . . . , eir )〈∇eiej , ei3〉.

Como F e linear e 〈∇eiej , ei3〉 = −〈ej ,∇eiei3〉, teremos

∑

j

Fi1i2ji4,...,ir ωji3(ei) =∑

j

−F (ei1 , ei2 , 〈∑

j

∇eiei3 , ej〉ej , . . . , eir )

= −F (ei1 , ei2 ,∇eiei3 , ei4 , . . . , eir ).

Portanto

Fi1i2,...,ir;i =∑

j

Fi1i2,...,ir;j ωj(ei)

= (dF (ei1 , ei2 , . . . , eir ))(ei)− F (∇eiei1 , ei2 , . . . , eir )

− · · · − F (ei1 , ei2 , . . . ,∇eieir )

= ∇F (ei1 , ei2 , . . . , eir , ei).

Sejam agora

X1 =∑

i1

x1i1 ei1 , X2 =∑

i2

x2i2 ei2 , . . . , Xr =∑

ir

xrir eir , Y =∑

i

yiei

r+1 campos diferenciaveis em U . Usando a linearidade, a regra de derivacaodo produto e a expressao anterior, obteremos

∇F (X1, . . . , Xr, Y ) = d(F (X1, . . . , Xr))(Y )−− F (∇YX1, X2, . . . , Xr)− · · · − F (X1, X2, . . . ,∇YXr)

o que mostra que a definicao de ∇F nao depende do referencial.A nocao de derivada covariante se obtem a partir da nocao de diferen-

cial covariante da maneira usual. Mais explicitamente, define-se a derivadacovariante de um tensor F em relacao a um campo diferenciavel de vetoresX como sendo o tensor ∇XF de mesma ordem que F dado por

∇XF (X1, . . . , Xr) = ∇F (X1, X2, . . . , Xr, X).


Exemplo 1. Vamos mostrar que ∇G = 0, onde G e o tensor metrico deM . Com efeito, dados campos diferenciaveis de vetores X1, X2, Y , teremos

∇G(X1, X2, Y ) = (dG(X1, X2))(Y )−G(∇YX1, X2)−G(X1,∇YX2)

= d〈X1, X2〉(Y )− 〈∇YX1, X2〉+ 〈X1,∇YX2〉 = 0,

o que exprime simplesmente que a derivada covariante satisfaz a regra doproduto (V. (4) da Prop. 2 da Secao 1.6).

No caso de uma imersao x : Mn → Rn+q de uma variedade riemaniana,e conveniente estender a nocao de tensor da maneira seguinte. Um tensorde ordem (r, `), ` 6= 0, de uma imersao x e uma correspondencia F que acada ponto p ∈M associa uma forma (r + `)-linear

Fp : Tp(M)× · · · × Tp(M)︸︷︷︸r fatores

×Np(M)× · · · ×Np(M)︸︷︷︸` fatores

→ R.

A definicao de diferenciabilidade de um tal tensor e feita da maneira usual.A diferencial covariante ∇F de F (X,Y, . . . , Z, ξ, η, . . . , ζ) e o (r+ `+1)-

tensor dado por

∇F (X,Y, . . . , Z, ξ, . . . , ζ;T )

= dF (X,Y, . . . , Z, . . . , ξ, η, . . . , ζ)(T )− F (∇TX,Y, . . . , Z, ξ, η, ζ)

− F (X,∇TY, . . . , Z, ξ, η, ζ)− · · · − F (X,Y, . . . , Z,∇T ξ, η, ζ)

− F (X,Y, . . . , Z, ξ, η,∇T ζ).

Naturalmente, a derivada em T de F e dada por

∇TF (X,Y, . . . , Z, ξ, η, . . . , ζ) = ∇F (X,Y, . . . , Z, ξ, η, . . . , ζ;T ).

A derivacao covariante de tensores permite estender as variedades rie-manianas certos operadores diferenciais (laplaciano, divergencia, etc) de usofrequente no Rn. Passaremos a uma exposicao de alguns destes operadores.

Seja f : M → R uma funcao diferenciavel em uma variedade riemanianaM . O gradiente de f e o campo vetorial grad f em M definido por

〈 grad f,X〉p = dfp(X),

para todo p ∈ M e todo X ∈ Tp(M). Em outras palavras, grad f e o dualna metrica riemaniana da forma df .

Considerando um referencial ei em um aberto U ⊂ M , podemos es-crever, em U , df =

∑i

fiωi . A funcao fi e chamada a derivada de f na

direcao ei . E imediato que, em U ,

grad f =∑

i

fiei .


A diferencial covariante de df e dada por

∇(df) =∑

i,j

fi;j ωiωj ,

onde, por (1), ∑

j

fi;j ωj = dfi +∑

j

fj ωji .

A forma bilinear ∇(df) e chamada o hessiano de f na metrica de M . Otraco desta forma bilinear, isto e, a funcao em M dada por

∑

i

fi;i = ∆f

e chamada o laplaciano de f . Note que no caso M = Rn (ωij = 0), hessianoe laplaciano concidem com os conceitos conhecidos do Rn. As funcoes emM para as quais ∆f = 0 sao chamadas harmonicas.

Dado um campo diferenciavel de vetores X emM , a metrica riemanianafaz corresponder a X uma 1-forma diferencial ωX dada por

ωX(Y ) = 〈X,Y 〉p ,

para todo p ∈ M e todo Y ∈ Tp(M). Dado um referencial local ei, eimediato verificar que se X = Σxiei entao

ωX =∑

xiωi .

A diferencial covariante ∇ωX de ωX e uma forma bilinear

∇ωX =∑

xi;j ωiωj ,

onde, por (1), ∑

j

xi;j ωj = dxi +∑

j

xjωji . (2)

O traco de ∇ωX , isto e, a funcao em M dada por∑

i

xi;i = divX

e chamada a divergencia de X. Observe que

∆f = div grad f.

As expressoes seguintes sao obtidas sem dificuldade a partir das definicoes,e serao deixadas como exercıcios.

div(fX) = f divX +X(f), (3)


∆(fg) = f∆g + g∆f + 2〈 grad f, grad g〉. (4)

A importancia destes operadores reside no fato que eles permitem de-monstrar teoremas globais em variedades riemanianas. Dentro em poucomostraremos que se ν e a forma volume de uma variedade riemaniana ori-entavel, entao

divX ν = dθ, (5)

onde θ e uma (n − 1)-forma definida em M . Admitindo provisoriamenteeste fato, podemos demonstrar o seguinte teorema de uso frequente.

Teorema (E. Hopf). Seja M uma variedade riemaniana orientavel, com-pacta e conexa. Seja f uma funcao diferenciavel em M com ∆f ≥ 0. Entaof = const.

Demonstracao: Seja X = grad f . Usando (5) e o teorema de Stokes,obteremos

∫

M

∆f ν =

∫

M

divX ν =

∫

M

dθ =

∫

∂M

θ = 0.

Como ∆f ≥ 0, teremos que ∆f = 0. Utilizando de novo o teorema deStokes para f2/2, teremos, por um lado,

∫

M

∆(f2/2)ν =

∫

M

div Y ν =

∫

M

dθ′ =

∫

∂M

θ′ = 0,

onde Y = grad(f2/2). Por outro lado, usando (4),

∫

M

∆(f2/2)ν =

∫

M

f∆f ν +

∫

M

| grad f |2 ν.

Como ∆f ≡ 0, concluımos que grad f ≡ 0, o que implica que df ≡ 0. ComoM e conexa, f e constante em M .

Resta-nos provar (5). Para isto, convem introduzir a nocao de produtointerior iXω de um campo diferenciavel de vetores X com uma k-formadiferencial ω. Esta nocao nao necessita da presenca de uma metrica riema-niana. Por definicao, iXω e uma forma de grau k − 1 tal que

(iXω

)p(v1, . . . , vk−1) = (ω)p(v1, . . . , vk−1, Xp),

para todo p ∈M e todo v1, . . . , vk−1 ∈ Tp(M).Afirmamos que dθ na igualdade (5) e dada por (−1)n d(iXν), isto e, que

(−1)n divXν = d(iXν), (6)

onde n e a dimensao da variedade M .

46 Equacoes de estrutura em referenciais geodesicos... Secao 1.8

Para provar (6), basta verifica-la em um referencial particular. Escolha-mos um referencial local ei tal que X = xnen . Entao

iXν(e1, . . . , en−1) = ν(e1, . . . , en−1, xnen) = xn ,

e iXν(ei1 , . . . , ein−1) = 0 se i1, . . . , in−1 e qualquer combinacao de n − 1

elementos de 1, 2, . . . , n, distinta de 1, . . . , n−1. Portanto, neste referencial,

iXν = ω1 ∧ · · · ∧ ωn−1 xn .

Decorre daı, usando as equacoes de estrutura e (2), que

d(iXν) = dω1 ∧ ω2 ∧ · · · ∧ ωn−1xn

+ (−1)ω1 ∧ dω2 ∧ · · · ∧ ωn−1xn

+ · · ·+ (−1)n ω1 ∧ · · · ∧ ωn−1 ∧ dxn=(∑

j

ωj ∧ ωj1)∧ ω2 ∧ · · · ∧ ωn−1xn

+ (−1)ω1 ∧(∑

j

ωj ∧ ωj2)∧ · · · ∧ ωn−1xn

+ · · ·+ (−1)n ω1 ∧ · · · ∧ ωn−1 ∧(∑

j

xn;j ωj − xn ωnn)

= (−1)n(xnωn1) ∧ ω2 ∧ · · · ∧ ωn+ (−1)n(xnωn2) ∧ ω1 ∧ ω3 ∧ · · · ∧ ωn+ · · ·+ (−1)n xn;n ω1 ∧ · · · ∧ ωn

= (−1)nx1;1ν + x2;2ν + · · ·+ xn;nν = (−1)n divXν,

pois, de (2),

xn ωni =∑

k

xi;k ωk .

Portanto (6) esta demonstrado.

1.8 Equacoes de estrutura em referenciais geodesicos;

determinacao local da metrica pela curvatura

Uma pergunta natural e se o conhecimento do tensor curvatura deter-mina localmente a metrica riemaniana de uma variedade. Em um certosentido, que pretendemos explicitar neste paragrafo, a resposta e afirma-tiva. Uma afirmacao equivalente foi feita pela primeira vez por Riemannem sua famosa dissertacao de 1850, ([Ri], pg. 289). Ao que saibamos, aprimeira demonstracao do resultado local foi dada por Elie Cartan ([Ca 1],


pg. 238) e e essencialmente a demonstracao que apresentamos aqui. Aversao global do teorema, que nao apresentaremos, foi feita por Ambroseem 1956 ([Amb]). Uma apresentacao do resultado de Ambrose pode serencontrada em Cheeger, Ebin [ChEb].

Precisamos de um lema preliminar, util em muitas outras situacoes, quee uma forma particular das equacoes de estrutura.

Seja Mn uma variedade riemaniana e p um ponto de M . Seja U umavizinhanca normal de p, isto e, U = expp(V ), onde V e uma vizinhanca daorigem em Tp(M) na qual expp e um difeomorfismo. Considere o referencialei, i = 1, . . . , n, em U obtido transportando paralelamente uma baseortonormal (e1)p, . . . , (en)p de Tp(M) ao longo das geodesicas em U quesaem de p. Um tal referencial e chamado um referencial geodesico em p emuma vizinhanca normal U de p.

Sejam ωi, ωij as formas do coreferencial e as formas de conexao de Mem ei, respectivamente. Considere o espaco R × Rn e seja W ⊂ R × Rn

o aberto dado por

W =

(t, a1, . . . , an) ∈ R×Rn; t

∑

i

aieip ∈ V

.

Seja F : W → U dada por

F (t, a1, . . . , an) = expp(t∑

i

aiei).

Entao F ∗ωi , F ∗ωij sao formas em R×Rn e podemos escrever

F ∗ωi = fi dt+ θi , F ∗ωij = θij ,

onde θi nao contem dt.

Lema (equacoes de estrutura em um referencial geodesico). Com a notacaoacima, θij nao contem dt e

fi(t, a1, . . . , an) = ai .

Alem disso, as seguintes equacoes sao verificadas:

∂θi∂t

= dai +∑

j

ajθji , θi(t, ak, da`)∣∣t=0

= 0, (1)

∂θij∂t

= −∑

k`

Rijk` akθ` , θij(t, ak, da`)∣∣t=0

= 0, (2)

onde a forma ∂θi∂t

, por exemplo, e definida por dθi = dt∧ ∂θi∂t

+ termos semdt.


Demonstracao: Facamos

θij = F ∗ωij = βij dt+ αij ,

onde αij nao contem dt. Fixado a = (a1, . . . , an) ∈ Rn, a curva γ(t) =

F (t, a) e uma geodesica partindo de p com vetor tangente γ ′(t) = Σ aiei . Eclaro que γ∗ωi = fi dt e γ

∗ωij = βij dt. Portanto,

fi = γ∗ωi

(∂

∂t

)= ωi

(dγ

(∂

∂t

))= ωi(γ

′(t)) = ai ,

βij = γ∗ωij

(∂

∂t

)= ωij

(dγ

(∂

∂t

))= ωij(γ

′(t)) = 〈∇γ′(t) ei, ej〉 = 0,

pois o referencial ei e paralelo ao longo de γ. A primeira afirmacao dolema esta portanto provada.

Para provar a validade das equacoes indicadas, apliquemos as equacoesde estrutura as formas F ∗ωi , F ∗ωij . Por um lado,

dF ∗ωi = F ∗dωi = F ∗(Σωj ∧ ωji) =∑

j

(fj dt+ βj) ∧ θji

= −∑

j

aj θji ∧ dt+∑

j

θj ∧ θji

e por outro,

dF ∗ωi = d(aidt+ θi) = dai ∧ dt+ dt ∧ ∂θi∂t

+ termos sem dt.

Portanto,

∂θi∂t∧ dt =

(dai +

∑

j

ajθji)∧ dt+ termos sem dt,

o que fornece a equacao em (1) (a condicao inicial (1) sera verificada dentroem pouco).

Analogamente,

d(F ∗ωij) = F ∗dωij = F ∗(∑

s

ωis ∧ ωsj −1

2

∑

k`

Rijk` ωk ∧ ω`)

+∑

s

θis ∧ θsj −1

2

∑

k`

Rijk`(fkdt+ θk) ∧ (f` dt+ θ`)

=(12

∑

k`

Rijk` akθ` +1

2

∑

k`

Rij`k a`θk) ∧ dt = termos sem dt

=∑

k`

Rijk`akθ` ∧ dt+ termos sem dt,


e

dF ∗ωij = dθij = dt ∧ ∂θij∂t

+ termos sem dt.

Portanto,∂θij∂t

= −∑

k`

Rijk` ak θ` ,

o que prova a equacao em (2).

Para verificar as condicoes iniciais, observe que se g e uma funcao dife-renciavel arbitraria em uma vizinhanca de p, entao, em (0, a1, . . . , an) ∈W ,

0 =∂(g F )

∂ai= dg dF

(∂

∂ai

)=

(dF

(∂

∂ai

))g,

onde a primeira igualdade vem do fato que F (0, a1, . . . , an) = p. Portanto,em t = 0,

θj

(∂

∂ai

)= ωj

(dF

(∂

∂ai

))= 0,

θij

(∂

∂ai

)= ωij

(dF

(∂

∂ai

))= 0,

o que prova as condicoes iniciais em (1) e em (2).

Para enunciar o teorema de Cartan, precisamos de alguma notacao. Se-jam M e M ′ duas variedades riemanianas e sejam p ∈M e p′ ∈M ′. No quese segue, indicaremos por uma linha as entidades correspondentes em M ′.Seja V uma vizinhanca da origem de Tp(M) onde expp e um difeomorfismo,fixemos uma isometria linear i : Tp(M)→ Tp′(M

′), e seja

f : expp V = U → expp′ V′ = U ′

a aplicacao dada por

f(q) = expp′ i exp−1p (q), q ∈ U.

Para todo q ∈ U , seja Ppq = Tp(M) → Tq(M) o transporte paralelo de p aq ao longo da geodesica radial dada por expp tv, v = exp−1

p (q), 0 ≤ t ≤ 1.Seja φq : Tq(M)→ Tf(q)(M

′) a aplicacao

φq(X) = P ′p′f(q) i P−1

pq (X), X ∈ Tq(M).

Diremos que φ preserva curvatura se, para todo q ∈ U e todo X,Y, Z, T ∈Tq(M), tivermos

〈RXY Z, T 〉q = 〈R′φq(X)φq(Y ) φq(Z), φq(T )〉f(q) .


Teorema (Cartan). Com a notacao acima, se φ preserva curvatura, entaof : U → U ′ e uma isometria.

Demonstracao: Escolha uma base ortonormal (ei)p em Tp(M) e faca

i(ei)p = (e′i)p′ . Construa um referencial geodesico ei em U transportando

paralelamente (ei)p ao longo das geodesicas radiais de U e efetue uma

construcao semelhante em U ′ a partir de (e′i)p′ . Pela construcao dos refe-renciais, dizer que φ preserva curvatura e equivalente a que

(Rijk`)q = (Rijk`)′f(q)

, q ∈ U.

Pelo lema, as formas θi, θij e θ′i, θ′ij sao solucoes de um mesmo sistema((1)+(2)), com as mesmas condicoes iniciais. Portanto θi = θ′i , θij = θ′ij .Observe que θi, θij , θ

′i, θ

′ij sao formas induzidas em R×Rn pelas aplicacoes

F e F ′ definidas como no lema. Como F ′ = f F , teremos que

ωij = f∗ω′ij , ωi = f∗ω′i ,

donde∑i

ω2i = f∗

∑i

ω′2i , isto e, f e uma isometria.

Corolario 1. Duas variedades riemanianas M e M ′ de mesma curvaturaconstante K sao localmente isometricas.

Corolario 2. Seja Mn uma variedade riemaniana de curvatura constante.Sejam p e q dois pontos de M , a1, . . . , an uma base ortonormal de Tp(M)e b1, . . . , bn uma base ortonormal de Tq(M). Entao existe uma isometria fde uma vizinhanca normal Up de p em uma vizinhanca normal Uq de q talque f(p) = q e dfp(ai) = bi , i = 1, . . . , n.

Observacao 1: Uma variedade riemaniana M e completa se para todop ∈ M , a aplicacao expp e definida em todo o Tp(M). Uma variedadediferenciavel M e simplesmente conexa se toda curva fechada em M podeser continuamente deformada em um ponto. E possıvel provar que se asvariedades M e M ′ do Corolario 1 sao completas, simplesmente conexas etem a mesma curvatura constanteK, entao elas sao globalmente isometricas.(V. M. do Carmo [dC 2] pg. 177).

Relacionado com o problema que acabamos de tratar existe o problemade saber se um difeomorfismo f : M → M ′ que preserva curvaturas nosentido que

〈RX,Y Z, T 〉p = 〈R′dfp(X),dfp(Y ) dfp(Z), dfp(T )〉f(p) ,

para todo p ∈M e todo X,Y, Z, T ∈ Tp(M), e uma isometria. Em dimensaodois, isto seria uma especie de recıproca do teorema de Gauss e e falso,mesmo no caso compacto, como mostra o exemplo da figura a seguir:


dilatação = f

isométricas isométricas

f e um difeomorfismo que preserva curvatura mas nao e uma isometria.Para n ≥ 4 (n = dimM = dimM ′), o problema admite, com algumas

hipoteses adicionais, uma solucao afirmativa. Por exemplo, se M e C∞

e o conjunto dos pontos nao-isotropicos de M e denso em M , entao umdifeomorfismo de M em M ′ que preserva curvaturas no sentido acima euma isometria (V. Kulkarni, [Ku 1], [Ku 2]). Para n = 3, o problema foitratado por Yau [Ya].

1.9 Imersoes riemanianas

Seja Mn uma variedade riemaniana e seja x : Mn → Mn+q

uma imersaode M em uma variedade riemaniana M . Diremos que x e uma imersaoisometrica (ou riemaniana) se

〈v1, v2〉p = 〈dx(v1), dx(v2)〉x(p) ,

para todo ponto p ∈ M e todo par v1, v2 ∈ Tp(M). Em outras palavras, fe isometrica se a metrica induzida coincide com a metrica original.

Dado um ponto p ∈ M , escolheremos uma vizinhanca U ⊂ M de p detal modo que x restrita a U seja injetiva. Seja V ⊂ M uma vizinhanca dep em M tal que V ⊃ x(U) e que em V seja possıvel definir um referencialortonormal eA, A = 1, . . . , n + q, adaptado a x, isto e, restritos a x(U)os vetores e1, . . . , en sao tangentes a x(U). Faremos a convencao usual deidentificar U ⊂ M com x(U) ⊂ M , e utilizaremos os seguintes domıniospara os ındices:

1 ≤ A,B,C, · · · ≤ n+ q, 1 ≤ i, j, k, · · · ≤ n, n+ 1 ≤ α, β, γ, · · · ≤ n+ q.

O espaco tangente Tp(M) de M em p se decompoe em uma soma diretaTp(M) = Tp(M) ⊕ Np(M), onde identificamos dxp(M)) ≈ Tp(M) e deno-tamos por Np(M) o complemento ortogonal de Tp(M) em Tp(M). Np(M)sera chamado o espaco normal da imersao x em p. Um campo normal ν euma correspondencia que a cada p ∈M associa um vetor ν(p) ∈ Np(M) detal modo que para todo referencial adaptado em uma vizinhanca V ⊂ M

52 Imersoes riemanianas Secao 1.9

de p em V , as funcoes να dadas por ν = Σ ναeα sejam diferenciaveis em p.E claro que uma tal condicao nao depende da escolha do referencial.

Em V temos as formas ωA, ωAB que satisfazem as equacoes de estrutura:

dωA =∑

B

ωB ∧ ωBA ,

dωAB =∑

C

ωAC ∧ ωCB +ΩAB , ΩAB = −1

2

∑RABCD ωC ∧ ωD .

As restricoes destas formas em U ⊂ V satisfazem as mesmas equacoes deestrutura e, como o referencial e adaptado, ωα = 0. Decorre daı que

0 = dωα = Σωi ∧ ωiα ,

e pelo lema de Cartan,

ωiα =∑

j

hαij ωj , hαij = hαji .

A forma quadratica IIα =∑ij

hαij ωiωj e a segunda forma quadratica de x

na direcao eα .Seja ν um campo unitario normal em M . E possıvel escolher a parte

normal do referencial eα em U de modo que en+1 = ν em U . IIν =IIn+1 e entao chamada a segunda forma quadratica de x na direcao ν.Para mostrar que a definicao nao depende da escolha do referencial, sejaα : (−ε, ε) → U uma curva parametrizada pelo comprimento de arco comα(0) = p. Fazendo α′(0) = v, e escolhendo a parte tangente do referencialde modo que α′(s) = e1 , teremos

IIνp (v) = IIn+1p (e1) =

(∑

i

ωi,n+1 ωi)(e1) =

∑

i

〈∇e1ei, en+1〉ωi(e1)

= 〈∇e1e1, ν〉 = 〈∇α′(0) α′(s), ν〉, (1)

isto e, IIνp (v) e a componente segundo ν do vetor curvatura geodesica em

M de uma curva passando por p com vetor tangente v. Portanto, IIν naodepende da escolha do referencial e esta globalmente definida.

A transformacao linear auto-adjunta em Tp(M) associada a forma qua-dratia IIνp em Tp(M) sera indicada por

−Aνp : Tp(M)→ Tp(M).

Como 〈v, ν〉 = 0, se v ∈ Tp(M), teremos, usando (1),

〈Aνp(v), v〉 = −IIνp (v) = 〈∇vν, v〉.


As vezes e conveniente usar a aplicacao bilinear Bp : Tp(M)× Tp(M)→Np(M) dada por

〈Bp(X,Y ), ν〉p= −〈Aν

p(X), Y 〉p, X, Y ∈ Tp(M), ν ∈ Np(M).

Em termos de um referencial local adaptado, B e dada por

B(X,Y ) =∑

α

(∑

ij

hαij ωi(X)ωj(Y ))eα ,

o que mostra que B e uma aplicacao bilinear simetrica. O traco de B emp, isto e, ∑

α

(∑

i

hαii)eα = nHp

da origem a um vetor normal Hp chamado o vetor curvatura media em p.Uma imersao x : M → M e mınima se H ≡ 0. A teoria das imersoes

mınimas e um ramo altamente desenvolvido da Geometria. Para maioresdetalhes, veja-se Chern [Ch], Lawson [La], Osserman [Os].

Separando as equacoes de estrutura nas partes tangenciais e normais,obteremos

dωi =∑

j

ωj ∧ ωji (2)

dωij =∑

k

ωik ∧ ωkj +∑

α

ωiα ∧ ωαj +Ωij (3)

dωiα =∑

k

ωik ∧ ωkα +∑

β

ωiβ ∧ ωβα +Ωiα (4)

dωαβ =∑

i

ωαi ∧ ωiβ +∑

γ

ωαγ ∧ ωγβ +Ωαβ (5)

As formas ωij so dependem da metrica riemaniana de M e da parte tan-gente do referencial ei. Por outro lado, as formas ωαβ determinam umaderivacao covariante para campos de vetores normais, definida da maneirausual (Cf. Secao 1.5): Se eA e um referencial local adaptado, X e umcampo de vetores tangentes a M e ξ = Σ ξαeα e um campo de vetoresnormais a M , entao o campo normal

∇⊥Xξ =

∑

α

dξα(X) +

∑

β

ωβα(X)ξβeα ,

nao depende do referencial escolhido. As formas ωαβ sao as formas daconexao normal e ∇⊥

X e chamada a derivada covariante normal em relacaoao campo tangente X.


Estendendo X e ξ a campos vetoriais de M , podemos calcular ∇Xξ,onde ∇X e a derivada covariante em M , da seguinte maneira:

∇Xξ =∑

A

dξA(X) +

∑

B

ωBA(X) ξAeA

=∑

α

dξα(X) +

∑

β

ωβα(X) ξβeα +

∑

iβ

ωβi(X) ξβ ei

= ∇⊥Xξ +

∑

i

(∑

β

ωβi(X) ξβ)ei .

Portanto ∇⊥Xξ e a componente normal de ∇Xξ. Observe (Cf. item 5 da

Prop. 2 da Secao 1.6) que ∇Xξ nao depende realmente das extensoes con-sideradas mas so dos valores de X e ξ em M .

Analogamente se verifica que ∇XY e a componente tangente de ∇XY ,onde X e Y sao campos de vetores tangentes em M .

As formas dωij−∑k

ωik∧ωkj = Ωij sao as formas de curvatura da metrica

riemaniana de M . As formas dωαβ −∑γ

ωαγ ∧ ωγβ = Ωαβ sao chamadas

formas da curvatura normal da imersao. Elas determinam, da maneirausual, um operador de curvatura normal (R⊥

XY )p : Np(M) → Np(M), para

todo par de vetores X,Y ∈ Tp(M).Da equacao (3) decorre que o tensor curvatura Rijk` de M esta rela-

cionado com as componentes tangentes Rijk` do tensor curvatura de Mpor

− 1

2

∑

k`

Rijk` ωk ∧ ω` = Ωij = dωij −∑

k

ωik ∧ ωkj =∑

α

ωiα ∧ ωαj +Ωij

=1

2

∑

k`

(∑

α

(hαi`hαjk − hαikh

αj`))ωk ∧ ω` −

1

2

∑

k`

Rijk` ωk ∧ ω` ,

ou seja,

Rijk` = Rijk` −∑

α

(hαi`hαjk − hαikh

αj`), (6)

que e chamada a equacao de Gauss e generaliza a equacao (12) da Secao 1.5.Usando a linearidade, e facil verificar que a equacao de Gauss se escreve

〈RXY (Z), T 〉 = 〈RXY (Z), T 〉 − 〈B(X,T ), B(Y,Z)〉 − 〈B(X,Z), B(Y, T )〉

para todo X,Y, Z, T ∈ Tp(M), ou seja, em termos de curvaturas seccionais,

K(X,Y ) = K(X,Y ) + 〈B(X,X), B(Y, Y )〉 − (B(X,Y ))2, (6’)

onde K(X,Y ) indica a curvatura seccional do plano gerado por X e Y .


Da equacao (5) decorre, analogamente, que

−1

2

∑

ij

Rαβij ωi ∧ ωj = Ωαβ = dωαβ −∑

γ

ωαγ ∧ ωγβ

=∑

k

ωαk ∧ ωkβ +Ωαβ

−1

2

∑

ij

(∑

k

hαkjhαki −

∑

k

hαkihβkj

)ωi ∧ ωj −

1

2Rαβij ωi ∧ ωj

ou seja,

Rαβij =∑

k

(hαikhαkj − hβikh

αkj) +Rαβij (7)

que e chamada a equacao de Ricci e generaliza a equacao (13) da Secao 1.5.Usando a linearidade, podemos escrever a equacao de Ricci na forma

〈R⊥XY ξ, η〉 = −〈(AξAη −AηAξ)(X), Y 〉+ 〈RXY ξ, η〉

= −〈[Aξ, Aη]X,Y 〉+ 〈RXY ξ, η〉, (7’)

para todo X,Y ∈ Tp(M) e todo ξ, η ∈ Np(M), e onde indicamos AξAη −AηAξ = [Aξ, Aη].

Observe que se M tem curvatura constante, Rαβij = 0 para todoα, β, i, j (Cf. Prop. 3 da Secao 1.6), donde 〈RXY ξ, η〉 = 0. Portanto,

〈R⊥XY ξ, η〉 = −〈[Aξ, Aη]X,Y 〉.

Por um teorema de Algebra Linear, [Aξp, A

ηp] = 0, isto e, Aξ

p e Aηp comutam

se e so se existe uma base em Tp(M) que diagonaliza simultaneamente Aξp

e Aηp . Decorre daı a seguinte proposicao.

Proposicao 1. Seja x : M → M uma imersao isometrica em uma varie-dade riemaniana M de curvatura constante. Entao e possıvel diagonalizarsimultaneamente todas as segundas formas quadraticas da imersao x emcada ponto de p ∈ M se e somente se a curvatura normal da imersao eidenticamente zero.

Exemplo 1. Seja x1 : Smr1→ Rm+1 a esfera de raio r1 centrada na origem

de Rm+1. Seja

x : Smr1 × Sqr2 → Sm+q+11 ⊂ Rm+q+2,

a imersao dada por x = x1+x2

D, D =

√r21 + r22. x e uma imersao de um

produto de esferas de dimensao m+ q em uma esfera unitaria de dimensaom+ q+1. Vamos calcular a primeira e a segunda formas quadraticas de x.


Para isto, escolha um referencial e0, e1, . . . , em , f0, f1, . . . , fq em umaberto de Rm+q+2 de tal modo que r1e0 = x1 , r2f0 = x2 , e1, . . . , em sejamtangentes a Smr1 e f1, . . . , fq sejam tangentes a Sqr2 . Observe que

ν =r2e0 − r1f0

D

e um vetor unitario normal de x. Defina formas ϕi e ϕj , i = 1, . . . ,m,j = 1, . . . , q, por

de0 =∑

i

ϕiei , df0 =∑

j

ϕjfj .

Entao, a segunda forma quadratica II de x na direcao ν e dada por

−II = 〈dx, dν〉 =⟨r1de0 + r2df0

D,r2de0 − r1df0

D

⟩

=r1r2D2

〈de0, de0〉 − 〈df0, df0〉

=r1r2D2

(∑

i

ϕ2i −

∑

j

ϕ2j

).

Definindoωi =

r1Dϕi , ωj =

r2Dϕj ,

teremos finalmente

I = 〈dx, dx〉 = r21D2

∑ϕ2i +

r22D2

∑ϕ2j =

∑

i

ω2i +

∑

j

ω2j ,

−II = 〈dx, dv〉 = r2r1

∑

i

ω2i −

r1r2

∑

j

ω2j .

Observe que se(r1r2

)2= m

q, entao o traco de II e zero, isto e, x e uma

imersao mınima de um produto de esferas em uma esfera unitaria. Esteexemplo inclue o caso do toro de Clifford para m = q = 1, r1 = r2 e x = x1√

2

(Cf. Exemplo 1 da Secao 1.5). Observe ainda que, pela formula de Gauss,as curvaturas seccionais dos planos gerados por vetores ei , fj sao nulos.Por outro lado, os planos gerados por ei , ek , i, k = 1, . . . ,m tem curvaturaspositivas.

Uma imersao x : M → M e geodesica em p ∈ M se IIνp = 0 para todoν ∈ Np(M). A imersao e totalmente geodesica se ela e geodesica em todoponto p ∈M . A razao desta terminologia e dada na proposicao seguinte.


Proposicao 2. Uma imersao x : M →M e geodesica em p ∈M se e so setoda geodesica γ de M partindo de p e geodesica de M em p.

Demonstracao: Suponhamos que x e geodesica em p e parametrizemosγ pelo comprimento de arco s, com γ(0) = p. Seja eA um referencialadaptado em uma vizinhanca de p de modo que e1 = γ′(s). Entao, paratodo ν ∈ Np(M),

IIνp (γ′(0)) = 〈∇γ′(0) γ

′(s), ν〉 = 0. (8)

Como γ e geodesica em M ,

〈∇γ′(0) γ′(s), ei〉 = ω1i(γ

′(0)) = 〈∇γ′(0) γ′(s), ei〉 = 0, (9)

para todo ei ∈ Tp(M). Decorre de (8) e (9) que ∇γ′(0) γ′(s) = 0 em p, isto

e, γ e geodesica de M em p.Reciprocamente, suponhamos que toda geodesica γ de M partindo de p

e geodesica de M em p. Seja v ∈ Tp(M) um vetor unitario e seja γ umageodesica de M parametrizada pelo comprimento de arco, de modo queγ(0) = p, γ′(0) = v.

Como γ e geodesica de M em p, tem-se, por (8)

IIνp (v) = 0,

para todo ν ∈ Np(M). Como isto se verifica para todo v ∈ Tp(M), IIνp = 0,isto e, x e geodesica em p.

A condicao de ser totalmente geodesica e muito forte. Se, por exem-plo, M = Rn+q, a Proposicao 2 mostra que as imagens das imersoes to-talmente geodesicas em Rn+q sao as subvariedades lineares de Rn+q. SeM = Sn+q ⊂ Rn+q+1 e uma esfera centrada na origem de Rn+q+1, as ima-gens das imersoes totalmente geodesicas em Sn+q sao as interseccoes comSn+q de subvariedades lineares de Rn+q+1 passando pela origem.

A Proposicao 2 permite tambem obter uma interpretacao geometricainteressante da curvatura seccional. Seja M uma variedade riemaniana,p ∈ M e P ⊂ Tp(M) um subespaco de dimensao dois de Tp(M). SejaB ⊂ Tp(M) uma bola aberta de Tp(M), centrada na origem e onde expp eum difeomorfismo. Entao, expp(B ∩ P ) = S ⊂ M e uma subvariedade dedimensao dois em M passando por p. Intuitivamente, S e uma superfıcieformada por “pequenas” geodesicas de M que saem de p e sao tangentes aP em p. Pela Proposicao 2, S e geodesica em p, donde as segundas formasquadraticas da inclusao i : S ⊂ M sao nulas em p. Como subvariedade deM , S possui uma metrica riemaniana induzida, cuja curvatura gaussianaem p indicaremos por KS . Decorre da equacao de Gauss (6’) que

KS = Kp(P ).


Em outras palavras, a curvatura seccional Kp(P ) e a curvatura gaussianaem p de uma “pequena” superfıcie formada por geodesicas de M que saemde p e sao tangentes a P em p. Esta foi exatamente a maneira pela qualRiemann definiu a curvatura seccional em [40].

Uma outra relacao interessante entre a curvatura gaussiana de uma su-perfıcie S ⊂ M e a curvatura seccional de M segundo Tp(S) ⊂ Tp(M) edado pelo seguinte resultado, devido a Synge.

Proposicao 3 (Synge). Seja M uma variedade riemaniana. Seja γ umageodesica de M e seja S uma subvariedade de dimensao dois em M (su-perfıcie de M) que contem γ. Seja KS(p) a curvatura gaussiana de S emp ∈ S e K(Tp(S)) a curvatura seccional de M em p segundo o plano tan-gente a S. Entao para todo p ∈ γ, KS(p) ≤ K(Tp(S)) e a igualdade ocorrepara todo p ∈ γ se e so se Tp(S) e paralelo ao longo de γ.

Demonstracao: Escolha um referencial e1, . . . , en em uma vizinhanca dep ∈ γ de tal modo que e1 = γ′(s) e e2 e tangente a S. Vamos considerarS como uma subvariedade de M e indicar por α um ındice que varia em3, . . . , n. Da equacao de Gauss (6’) decorre que

KS(p) = K(Tp(S)) +∑

α

(hα11h

α22 − (hα12)

2).

Como γ e uma geodesica, tem-se, para todo α,

hα11 = ω1α(e1) = 〈∇e1 e1, eα〉 = 0,

donde a desigualdade afirmada. A igualdade ocorre para todo p ∈ γ se e sose hα12(p) = 0, para todo α e todo p ∈ γ. Isto e equivalente a

0 = hα12 = ω2α(e1) = 〈∇e1 e2, eα〉. (10)

Alem disso, como γ e geodesica,

〈∇e1 e2, e1〉 = −〈e2,∇e1e1〉 = 0. (11)

Juntando (10) e (11) concluımos que a igualdade ocorre se e so se e2 eparalelo ao longo de γ, isto e, se o plano gerado por e1 e e2 e paralelo aolongo de γ.

As variedades totalmente geodesicas sao bastante raras. Nao se sabe se-quer se toda variedade riemaniana possui uma variedade totalmente geode-sica. Um resultado de E. Cartan afirma que se para todo p ∈ Mn, n ≥ 3,e todo subespaco de dimensao dois P ⊂ Tp(M) existe uma superfıcie de M


tangente a P em p e totalmente geodesica, entao M tem curvatura constante(para uma demonstracao V. L. Rodrıguez [Ro2].

As variedades totalmente geodesicas generalizam as subvariedades li-neares do Rn. Uma generalizacao da nocao de esfera em Rn e dada naseguinte definicao. Seja Mn uma variedade riemaniana. Uma subvariedadeSq ⊂Mn, q < n, e chamada uma q-esfera riemaniana se:

a) S e totalmente umbılica, isto e, para qualquer ponto p ∈ S e qualquerdirecao normal ν em p a segunda forma quadratica IIνp tem valoresproprios iguais: λ1 = λ2 = · · · = λp 6= 0.

b) O vetor curvatura media H de S em M e paralelo na conexao normal,isto e, para todo p ∈ S e todo X ∈ Tp(S), ∇⊥

X H = 0.

Leung e Nomizu demonstraram o seguinte resultado ([LeNo]). Separa todo p ∈ Mn, n ≥ 3, e todo subespaco de dimensao dois P ⊂ Tp(M)existe uma 2-esfera riemaniana de M tangente a P em p, entao M tem cur-vatura constante. (Uma demonstracao pode ser encontrada em L. Rodrıguez[Ro 2].)

Uma outra caracterizacao dos espacos de curvatura constante foi obtidaem 1975 por Kulkarni [Ku 3] e pode ser enunciada da maneira seguinte: SejaMn, n ≥ 3, uma variedade riemaniana conexa. Entao M tem curvaturaconstante se toda esfera metrica suficientemente pequena de M e totalmenteumbılica. Aqui uma esfera metrica e o subconjunto de M constituıdo depontos que estao a uma distancia fixa de um ponto dado; se a distancia fixae suficientemente pequena um tal subconjunto e uma subvariedade de M .

De uma maneira geral, uma imersao x : Mn → Mn+q

e umbılica relati-vamente a um campo ν de vetores normais se, para cada p ∈M , os valores

proprios de Aνp sao todos iguais. O lema seguinte mostra que se M

n+qe um

espaco de curvatura constante e o campo ν e paralelo na conexao normal,entao tais valores proprios nao dependem de p.

Lema 1. Seja Mn conexa e seja x : Mn →Mn+q

uma imersao de Mn em

um espaco de curvatura constante Mn+q

. Suponhamos que x seja umbılicarelativamente a um campo normal paralelo ν. Entao os valores proprios deAν sao constantes.

Demonstracao: Seja p ∈M e escolha um referencial movel eA adaptadoa x, em uma vizinhanca U de p, de modo que en+1 = ν. Como x e umbılicarelativamente a en+1 , a parte tangente ei do referencial diagonaliza An+1

em U . Entao

ωi,n+1 = λωi ,


onde λ e o valor proprio de An+1 em qualquer direcao. Diferenciando exte-riormente a equacao anterior, obtemos

dωi,n+1 = dλ ∧ ωi + λdωi .

Por outro lado, utilizando a equacao de estrutura (4),

dωi,n+1 =∑

j

ωij ∧ ωj,n+1 +∑

β

ωiβ ∧ ωβ,n+1 +Ωi,n+1 .

Como Mn+q

tem curvatura constante, Ωi,n+1 = 0. Alem disto, en+1 eparalelo na conexao normal, isto e, ωα,n+1 = 0, para todo α. Portanto,

dωi,n+1 =∑

j

ωij ∧ ωj,n+1 = λωjωij ∧ ωj = λdωi .

Decorre daı que, para todo i,

dλ ∧ ωi = 0,

donde dλ = 0. Como M e conexa, λ = const., como querıamos.

O Lema 1 tem varias consequencias geometricas. Trataremos apenas do

caso em que Mn+q

= Rn+q.

Proposicao 4. Seja Mn conexa e x : Mn → Rn+q uma imersao. Supo-nhamos que x e umbılica relativamente a um campo normal paralelo ν.Entao, ou x(M) esta contida em uma (n + q − 1)-subvariedade linear deRn+q ou x(M) esta contida em uma (n+ q − 1)-esfera de Rn+q.

Demonstracao: Escolha um referencial eA em uma vizinhanca U dep ∈M , como no Lema 1. Entao ωi,n+1 = λωi , com λ = const., em U . Comoa funcao λ tem um significado geometrico, ela esta definida globalmente emM . Como M e conexo, λ = const. em M .

Suponhamos λ = 0. Entao o vetor normal ν e constante em M , pois,em uma vizinhanca de um ponto arbitrario,

dν = den+1 =∑

i

ωn+1,i ei +∑

α

ωn+1,α eα = 0.

Por outro lado, seja f : M → R, dada por f(p) = 〈x(p), ν〉, p ∈ M . f econstante em M , pois

df = 〈dx, ν〉+ 〈x, dν〉 = 0,

e M e conexa. Decorre daı que, se λ = 0, x(M) esta contida em uma(n+ q − 1)-subvariedade linear de Rn+q perpendicular a ν.


Suponhamos λ 6= 0, e seja y : Mn → Rn+q dada por

y(p) = x(p)− ν(p)

λ, p ∈M.

Se mostrarmos que y e constante, teremos que x(M) esta contida na (n +q − 1)-esfera de Rn+q de centro y e raio 1/λ. Mas, em uma vizinhanca deum ponto arbitrario de M ,

dy = dx− 1

λden+1 =

∑

i

ωiei −1

λ

∑

i

ωn+1,i ei = 0.

Como M e conexa, y = const. como querıamos.

Como corolario da Proposicao 4, obtemos um resultado classico de su-perfıcies.

Corolario. Se uma superfıcie conexa S ⊂ R3 e inteiramente constituıda depontos umbılicos, entaoo ou S esta contida em um plano ou S esta contidaem uma esfera.

1.10 Globalizacao do metodo do referencial movel

Uma das caracterısitcas mais importantes do metodo do referencial movel eque as formas ωi e ωij , que sao definidas em um aberto U de uma variedaderiemaniana e dependem da escolha de um referencial em U , podem serglobalizadas em uma certa variedade construıda a partir de M . Os detalhesdesta construcao e a explicacao do que se entende por esta “globalizacao”e o objetivo da presente Secao.

Para simplificar a exposicao, trataremos o caso em que Mn ⊂ Rn+q.Em verdade, isto nao e uma restricao muito seria, pois, por um teorema deNash, toda variedade riemaniana pode ser isometricamente mergulhada emum espaco euclideano de dimensao suficientemente grande. E possıvel evitaro teorema de Nash desenvolvendo uma teoria geral das conexoes, o que temvarias outras aplicacoes. Isto entretanto introduziria certas tecnicalidadesque pretendemos evitar. Alem disso, para as aplicacoes que temos em menteno Capıtulo II, a presente exposicao e satisfatoria.

Consideremos um espaco euclideano RN com a base canonica a1 =(1, 0, . . . , 0), . . . , aN = (0, 0, . . . , 0, 1). O conjunto de todas as bases ortonor-mais do RN pode ser identificado com o conjunto 0(N) das transformacoeslineares ortogonais do RN . Por outro lado, usando a base canonica, o con-junto de todas as transformacoes lineares de RN pode ser identificado como espaco euclideano RN2

das matrizes N ×N . Como subconjunto de RN2

,0(N) e dado pelas equacoes AA∗ = ident., onde A indica uma matriz N×N

62 Globalizacao do metodo do referencial movel Secao 1.10

e A∗ a sua transposta. Nao e difıcil mostrar (V. Lima [Li 2] pg. 67) que

estas equacoes definem 0(N) como uma subvariedade de RN2

de dimensaoN(N − 1)/2.

A variedade produto B = RN × 0(N) sera chamada o fibrado das basesortonormais de RN . Um ponto de B e um par (p, eA), onde p ∈ RN eeA. A = 1, . . . , N e uma base ortonormal de RN . A projecao π : B → RN

de B em RN , definida por B(p, eA) = p e certamente uma aplicacaodiferenciavel. Uma seccao de B em um aberto U ⊂ RN e uma aplicacaodiferenciavel σ : U → B tal que π σ = ident. Observe que uma seccao deB em U e um referencial movel em U .

Seja agora Mn ⊂ Rn+q=N uma subvariedade de RN . Usaremos as con-vencoes usuais para os ındices:

1 ≤ A,B,C, · · · ≤ n+ q, 1 ≤ k, j, k, · · · ≤ n, n+ 1 ≤ α, β, γ, · · · ≤ n+ q.

Considere o subconjunto BM ⊂ B das bases adaptadas a M , isto e,

BM = (p, eA) ∈ B; p ∈M, ei ∈ Tp(M), eα ∈ Tp(M)⊥.Indicaremos com a mesma letra π a restricao a BM da projecao π definidaem B, isto e, π : BM → M e dada por π(p, eA) = p. A imagem inversaπ−1(p) de um ponto p ∈M e chamada a fibra sobre p.

BM e uma variedade diferenciavel. Com efeito, seja U ⊂ M uma vizi-nhanca coordenada de M onde exista um referencial movel adaptado eUA.Os pontos (p, eA) de π−1(U) podem ser parametrizados pelas coordenadasde p ∈ U e pelas coordenadas dos vetores eA na base

(eUA)p

. E claro que na

intersecao π−1(U) ∩ π−1(V ), onde V ⊂ M e outra vizinhanca coordenadade M com um referencial movel eVA e V ∩ U 6= φ, a mudanca de taisparametros e diferenciavel, o que prova a afirmacao feita. A construcaomostra tambem que a inclusao BM ⊂ B e diferenciavel.

Uma seccao de BM em um aberto U ⊂M e uma aplicacao diferenciavelσ : U → BM , tal que π σ = ident. Em outras palavras, uma seccao e aescolha de um referencial movel adaptado em U .

Observe-se que BM nao e mais necessariamente um produto, mas deveser pensado como um conjunto de fibras π−1(p), p ∈ M . Entretanto, paratodo aberto U onde existe uma seccao, isto e, um referencial movel eA ,π−1(U) pode ser obtido aplicando a

(eA)p

em cada p ∈ U as trans-

formacoes ortogonais que deixam Tp(M) (donde Np(M)) fixo. Deste modoπ−1(U) ≈ U × (0(n)× 0(q)), isto e, BM e localmente um produto.

Passemos agora a geometria diferencial de BM . Definiremos aplicacoesdiferenciaveis x : BM → RN , eA : BM → RN por

x(p, eA) = p ∈M ⊂ RN ,

eA(p, eA) = eA ∈ RN .


Desta maneira, tem sentido falar ns diferenciais

dx : T(p,eA) (BM )→ Rn,

deA : T(p,eA) (BM )→ Rn.

Definiremos formas diferenciais lineares ωA , ωAB em BM por

dx =∑

A

ωA eA , (1)

deA =∑

B

ωAB eB . (2)

Estas formas sao definidas globalmente em BM . Como para todo V ∈T(p,eA) (BM ) tem-se dx(V ) ∈ Tp(M), conclui-se que as formas ωα = 0.Alem disto, como 〈eA, eB〉 = δAB , temos

〈deA, e)B〉 = ωAB = −〈eA, dEB〉 = −ωBA .

Seja agora σ : U → BM uma seccao de BM em U , isto e, σ e a escolhade um referencial adaptado movel eA em U . A aplicacao diferenciavel σinduz formas σ∗ ωi e σ∗ ωAB em U . Como π σ = x, onde x : M ⊂ RN e ainclusao deM em RN , tem-se que, em U , xσ = x e eAσ = eA . Portanto,indicando por ωi e ωBC as formas do coreferencial associado a eA e asformas de conexao em eA, respectivamente, teremos

∑

i

ωi(v)ei = dx(v) = dx dσ(v) =∑

i

ωi(dσ(v))ei σ

=∑

i

σ∗ ωi(v) ei

∑

B

ωAB(v)eB = deA(v) = deA dσ(v) =∑

B

ωAB(dσ(v)) eB σ

=∑

B

(σ∗ ωAB)(v) eB ,

para todo v ∈ Tp(M). Portanto,

σ∗ ωi = ωi , σ∗ ωAB = ωAB .

E neste sentido que se diz que as formas ωi e ωAB globalizam em BM asformas ωi , ωAB , respectivamente, de U .

Vamos agora mostrar que as formas ωi e ωAB satisfazem em BM asmesmas equacoes de estrutura que as formas ωi e ωAB em U . Em verdade,e mais facil demonstrar as equacoes de estrutura em B e usar o fato que ainclusao i : BM ⊂ B e diferenciavel para obte-las em BM .


Procederemos da mesma maneira que no caso de RN (Cf. Secao 1.2).Consideremos a base canonica aA do RN , e escrevamos

eA =∑

B

βAB aB ,

onde βAB sao funcoes diferenciaveis em B e a matriz (βAB) e ortogonal.Indicaremos as coordenadas de um ponto do RN por (x1, . . . , xN ). Indi-caremos ainda por xB : RN → R a projecao xB(x1, . . . , xB , . . . , xN ) = xB ,e por xB : B → R a composta xB x = xB . Entao, se V ∈ T (B),

dxB(V ) = d(xB x)(V ) = dxB(dx(V )) = dxB(∑

c

αcac)

= αB = 〈dx(V ), aB〉.

Portanto,

dx =∑

A

ωAeA =∑

A

ωA∑

B

βABaB

=∑

B

(∑

A

ωAβAB)aB =

∑

B

〈dx, aB〉 =∑

B

dxB aB .

Decorre daı que dxB =∑A

ωA βAB , isto e,

ωA =∑

B

βAB dxB .

A partir deste ponto a demonstracao e exatamente a mesma que fizemosna Secao 1.2 e nao iremos repetı-la. A conclusao e que, em B,

dωA =∑

B

ωB ∧ ωBA , (3)

dωAB =∑

c

ωAC ∧ ωCB . (4)

Restringindo agora as formas ωA , ωAB a BM e denotando estas re-stricoes pelos mesmos sımbolos, como usualmente, teremos ωα = 0 e

dωi =∑

j

ωj ∧ ωji , (5)

dωij =∑

k

ωik ∧ ωkj +∑

α

ωiα ∧ ωαj , (6)


dωαβ =∑

i

ωαi ∧ ωiβ +∑

γ

ωαγ ∧ ωγβ , (7)

dωiα =∑

j

ωij ∧ ωjα +∑

α

ωiβ ∧ ωβα , (8)

Observacao: Uma demonstracao mais rapida das equacoes de estruturapode ser obtida se admitirmos (o que e possıvel provar) que e valido aplicaras expressoes (1) e (2) as regras formais de derivacao exterior. Teremos,entao,

0 = d(dx) =∑

A

dωA eA −∑

B

ωA ∧(∑

B

ωAB eB)

=∑

B

(dωB −

∑ωA ∧ ωAB

)eB ,

0 = d(deA) =∑

B

dωAB eB −∑

B

ωAB ∧(∑

C

ωBC eC)

=∑

C

(dωAC −

∑

B

ωAB ∧ ωBC)eC ,

o que implica nas equacoes (3) e (4).

A importancia das formas ωi , ωAB , e que elas determinam a subvarie-dadeM ⊂ Rn+q a menos de um movimento rıgido de Rn+q. Um movimentorıgido de Rn+q e a composta de uma translacao com uma transformacaolinear ortogonal. Em verdade, as formas ωi , ωAB determinam o fibradoBM a menos de uma aplicacao definida no fibrado das bases ortonormaisRN × 0(N) da seguinte maneira. Seja ρ : RN → RN um movimento rıgidoe seja ρ : RN × 0(N)→ RN × 0(N) a aplicacao definida por

ρ(p, eA) = (ρ(p), dρ(eA)). (9)

Diz-se que ρ e a aplicacao induzida em RN × 0(N) por ρ. E claro queρ(BM ) = Bρ(M) . Alem disto, se ωi e ωAB sao as formas correspondentes aBρ(M) entao ρ

∗ω1 e ρ∗ωAB sao as formas correspondentes a BM ; este fatoe uma consequencia imediata de (1), (2) e (9).

Para enunciar precisamente o fato que as formas ωi e ωAB determinamBM a menos de um movimento rıgido induzido em RN × 0(N) precisamosde mais uma definicao. Sejam M e M ′ duas subvariedades de RN . Umaaplicacao f : BM → BM ′ e dita fibrada se ela leva fibras em fibras. Uma talaplicacao determina uma aplicacao induzida f : M →M ′ dada por f π =π′ f , onde π : BM →M e π′ : BM ′ →M ′ sao as projecoes de BM e BM ′ .

Teorema 1 (de unicidade). Sejam M e M ′ duas subvariedades de Rn+q,com M conexa. Sejam BM e BM ′ os fibrados das bases ortonormais adap-tados a M e M ′, respectivamente. Suponha que existe uma aplicacao fibrada


f : BM → BM ′ que satisfaz

f∗ω′i = ωi , f∗ωA′B = ωAB .

Entao existe um movimento rıgido ρ : Rn+p → Rn+p tal que a restricaoρ|BM = f , onde ρ e a aplicacao induzida por ρ no fibrado das bases ortonor-mais de Rn+q. Em particular, ρ|M = f .

Demonstracao: Seja f : M →M ′ a aplicacao induzida por f . Seja p ∈Me p′ = f(p) ∈ M ′. Efetue a translacao T em Rn+q de vetor f(p) − p.Fixe uma base eA em p, isto e, fixe um elemento b = (p, eA) ∈ BM .Seja b′ = f(b) = (p′, e′A) e efetue uma rotacao R de Rn+q em torno def(p) = p′ de modo que ReA = e′A . Seja ρ = RT o movimento rıgido assimobtido e ρ a aplicacao induzida no fibrado das bases ortonormais. Vamosmostrar que a aplicacao g = f ρ−1 : Bρ(M) → BM ′ e a identidade, isto e,

Bρ(M) = BM ′ , e isto implicara que ρ|BM = f , como queremos.

Observe inicialmente que

g∗ω′AB = (ρ−1)∗ f∗ω′AB = (ρ−1)∗ ωAB = ωρAB ,

onde ωρAB sao as formas do fibrado Bρ(M) . De agora por diante indicaremosas entidades de Bρ(M) com um ındice superior ρ.

Como

deρA =∑

B

ωρAB eB ,

d(e′A g) = de′A dg −(∑

B

ω′AB e′B

) (dg)

=∑

B

(g∗ω′AB)(e′B g)

=∑

B

ωρAB(e′B g),

teremosd(eρA − e′A g) =

∑

B

ωρAB(eρB − e g). (10)

Conclui-se daı que as aplicacoes eρA− e′ g em Bρ(M) satisfazem ao sistemade equacoes lineares (10) com condicoes iniciais em ρ b dadas por

(eρA − e′A g)(ρ b) = (eρA − e′A f ρ−1)(ρ b) =

= (eρA ρ− e′A f)(b) = R(eA)− e′A = 0.

Pelo teorema de unicidade das equacoes diferenciais,

eρA = e′A g (11)


em todo Bρ(M) .

De maneira inteiramente analoga, mostrarıamos que

d(xρ − x′ g) =∑

B

ωi (eρB − e′B g) = 0,

onde a ultima igualdade decorre do que acabamos de provar. Levando emconta que xρ = xρ π, a relacao anterior se escreve

0 = d(xρ π − x′ π′ g) = d(xρ π − x′ g π) = d(xρ − x′ g) dπ,

onde g : ρ(M) → M ′ e a aplicacao induzida por g. Como M e conexa,xρ−x′ g = const., isto e, ρ(q)− g(ρ(q)) = const., para todo q ∈M . Comoem ρ(p),

ρ(p)− g(ρ(p)) = ρ(p)− f ρ−1(ρ(p)) = p′ − f(p) = 0,

g e a aplicacao identidade, isto e, ρ(M) = M ′.

Finalmente, se (q, e1, . . . , en+p) ∈ Bρ(M) , entao

g(q, e1, . . . , en+p) = (q, e1, . . . , en+p).

Mas a equacao (11) diz exatamente que

eA = e′A g(q, eA) = eρA(q, eA) = eρA ,

e portanto g e identidade, como querıamos.

Observacao 3: As formas ωi, ωAB = −ωBA permitem tambem obter umteorema de existencia (local) para imersoes de variedades Riemanianas emRn+k. O enunciado e o seguinte:

Sejam formas diferenciais ωi, ωAB = −ωBA definidas localmente emuma n-variedade Riemaniana Mn e suponha que elas satisfazem as equacoes(3) e (4). Entao, existe uma imersao isometrica local x : V ⊂ M → Rn+k

e um referencial ei adaptado a x em V tais que as formas ωi, ωAB sao,respectivamente, as formas do coreferencial e de conexao de Levi-Civitade x.

Para uma prova do enunciado acima V. K. Tenenblat ([Te], Lemma 2).

O Teorema 1 mostra que as formas ωi, ωAB determinam o fibrado BM amenos de um movimento rıgido, isto e, modulo uma relacao de equivalenciapelo grupo ortogonal afim (translacoes mais rotacoes). Este ultimo e ogrupo da geometria metrica o que da uma indicacao de porque a geometriametrica de M esta contida nas formas ωi e ωAB . Alem disto, este fato


sugere a possibilidade de estudar geometrias baseadas em outros grupos(grupo projetivo, grupo conforme, grupo unitario, grupo unimodular, etc).

Embora as definicoes e resultados desta secao tenham sido estabeleci-dos para subvariedades do RN , elas se estendem para o caso de imersoesx : Mn → RN , com os seguintes cuidados. O fibrado BM das bases adap-tadas a x e agora o subconjunto de variedade produto M ×B dado por

BM = (p, b) ∈M ×B;x(p) = π(b) e b e adaptado a x

A aplicacao π′ : BM → M e definida por π(p, b) = p. E possıvel mostrarque BM e uma variedade diferenciavel, que e localmente o produto de umavizinhanca coordenada U ⊂ M por 0(n) × 0(q). As aplicacoes x : BM →RN e eA : BM → RN se definem de modo inteiramente analogo ao casode subvariedades: por exemplo, x(p, b) = x(p), p ∈ M . Desta maneira,se obtem as formas ωA, ωAB em BM . A demonstracao das equacoes deestrutura e feita da mesma maneira que anteriormente. Na demonstracaodo teorema de unicidade, prova-se primeiro o resultado localmente e observa-se que o movimento rıgido assim obtido e unico. Segue-se daı o resultadoglobal.

A versao local do teorema de unicidade e frequentemente util, e se enun-cia da maneira seguinte.

Teorema 1’ (unicidade local). Sejam U e U ′ duas subvariedades conexasde dimensao n em Rn+q. Suponhamos que existam referenciais adaptadoseA em U , e′A em U ′, e um difeomorfismo f : U → U ′ tais que

f∗ω′A = ωA , f∗ω′AB = ωAB .

Entao, existe um movimento rıgido ρ : Rn+q → Rn+q tal que ρ|U = f .

Demonstracao: Provavelmente a maneira mais rapida de demonstrar oTeorema 1’ e repetir os passos da demonstracao do Teorema 1, o caso pre-sente sendo ainda mais simples. Faremos um breve esquema das etapas.

Seja p ∈ M e f(p) = p′ ∈ M ′. Efetue uma translacao T em Rn+q

de vetor p′ − p e, em seguida, uma rotacao R em torno de p = p′ demodo que, em p′, R(eA) = e′A . Seja ρ = R T . Vamos mostrar queg = f ρ−1 : ρ(U)→ U ′ e a identidade. Para isto, indicaremos as entidadesem ρ(U) com um ındice superior ρ.

Como, por definicao, para todo q ∈ ρ(U) e todo v ∈ Tp(ρ(U)), temos

(deρA)q(v) =∑

B

(ωρAB)q(v)(eρB)q ,


e

d(e′A g)(v) = (de′A)g(q)(dg(v))

=∑

B

(ω)AB′)g(q)

(dg(v))(e′B)g(q)

=∑

B

(g∗ω′AB)q (v) (e′B g)(q),

concluımos, como q e v sao arbitrarios e g∗ω′AB = ω′AB , que eρA − e′A gsatisfaz ao sistema de equacoes diferenciais

d(eρA − e′A g) =∑

B

ωρAB(eρB − e′B g),

com condicoes iniciais em ρ(p) : (eρA−e′Ag)(ρ(p)) = 0. Portanto, eρA = e′Ag.Analogamente, e usando o fato que acabamos de provar,

d(xρ − x′ g) =∑

B

ωρB(eρB − e′B g) = 0,

onde xρ = p(U) → Rn+q e x′ : U ′ → Rn+q sao as inclusoes respectivas.Como as condicoes iniciais em ρ(p) sao: (xρ − x′ g)(ρ(p) = 0, teremosxρ = x′ g. Levando em conta que xρ e x′ sao inclusoes, isto implica emque g e a identidade, como querıamos.

1.11 Um modelo para o espaco hiperbolico

Depois do espaco euclideano, as variedades riemanianas mais simples sao asvariedades de curvatura constante nao nula. Dentre elas, a esfera e o espacohiperbolico (V. Exemplos 1 e 2 da Secao 1.6) ocupam uma posicao especial.A esfera Sn pode ser isometricamente mergulhada em Rn+1 e isto facilitaa utilizacao do metodo do referencial movel em questoes relativas a esfera.Nesta paragrafo, mostraremos que e possıvel mergulhar isometricamente oespaco hiperbolico Hn em Rn+1, nao com a metrica usual do Rn+1 mascom a metrica de Lorentz.

A metrica de Lorentz e definida do seguinte modo. Consideremos emRn+1 a base canonica a1 = (1, . . . , 0), . . . , an+1 = (0, . . . , 0, 1) e intro-duzamos uma forma bilinear simetrica ( , ) em Rn+1 definida por:

(ai, aj) = δij , (an+1, ai) = 0, (an+1, an+1) = h < 0, i, j = 1, . . . , n,

onde h e uma constante negativa. A forma bilinear ( , ) define em Rn+1 umproduto interno (que nao e positivo definido) que chamaremos a metrica deLorentz de Rn+1. Convem indicar o Rn+1 com esta metrica por En+1.

70 Um modelo para o espaco hiperbolico Secao 1.11

Seja U ⊂ En+1 um aberto de En+1, e e1, . . . , en+1 um conjunto decampos diferenciaveis de vetores em U (referencial movel em U) satisfazendoas condicoes:

(ei, ej) = δij , (en+1, ei) = 0, (en+1, en+1) = h. (1)

Sejam ω1, . . . , ωn, ωn+1 , formas diferenciais em U que em cada p ∈ U for-mam a base dual da base e1, . . . , en+1 em p. Vamos definir formas ωAB emU por

deA = ΣωAB eA , (2)

onde A, B, C indicarao ındices que variam de 1 a n + 1. Observe que adefinicao dos ωA e equivalente a escrever

dx = ΣωA eA , (3)

onde x : En+1 → En+1 e a aplicacao identidade.Derivando exteriormente (2) e (3) (ou por um processo analogo ao da

Secao 1.2), obteremos as equacoes de estrutura de En+1:

dωA = ΣωA ∧ ωBA , (4)

dωAB = ΣωAC ∧ ωCB . (5)

Alem disto, (1) fornece as seguintes relacoes entre as formas ωAB . Como(en+1, en+1) = h, temos

0 = 2(den+1, en+1) = 2(Σωn+1,A eA, en+1) = 2ωn+1,n+1 h

e, como h 6= 0,

ωn+1,n+1 = 0. (6)

Analogamente, de (ei, en+1) = 0 vem

0 = (dei, en+1) + (ei, den+1) = (ΣωiA eA, en+1) + (ei,Σωn+1,A eA)

= ωi,n+1 h+ ωn+1,i ,

donde

ωn+1,i = −hωi,n+1 . (7)

Considere agora o conjunto dos pontos x ∈ En+1 tais que (x, x) = h.Escrevendo

x = x1a1 + · · ·+ xnan + xn+1 an+1 ,

teremos que

(x, x) = x21 + x22 + · · ·+ x2n + hx2n+1 = h.


Como h < 0, um tal conjunto e um “hiperboloide de duas folhas” em En+1.A componente conexa deste hiperboloide correspondente a xn+1 > 0 seraindicada por Hn(k), onde k = 1/h.

Como (x, dx) = 0, o espaco tangente em cada ponto de Hn(k) e normala x. Como (x, x) = h, e possıvel escolher uma base b1, . . . , bn, bn+1 de E

n+1,com

bn+1 = x, (bi, bn+1) = 0, (bi, bj) = δij , i, j = 1, . . . , n.

Decorre daı que Tx(Hn(k)) e gerado pelos bi’s, isto e, a metrica induzida

por En+1 em Hn(k) e riemaniana.

De agora por diante, usaremos referenciais locais eA em En+1 quesatisfazem (1) e que sao adaptados a Hn(k), isto e, restritos a Hn(k),e1, . . . , en sao tangentes a Hn(k) e en+1 = x descreve Hn(k).

Vamos calcular a curvatura de Hn(k) na metrica induzida. Para isto,indicaremos por ωA e ωAB as restricoes a Hn(k) das formas de mesmo nomeem En+1, o que implica que ωn+1 = 0.. Observando que x e a restricao aHn(k) da aplicacao x : En+1 → En+1, teremos

dx = Σωiei = den+1 = Σωn+1,iei ,

donde ωn+1,i = ωi . A curvatura procurada e, portanto,

Ωij = dωij − Σωik ∧ ωkj = ωi,n+1 ∧ ωn+1,j = −1

hωi ∧ ωj ,

onde usamos (6). Decorre daı e da Proposicao 3 da Secao 1.6 que Hn(k)tem curvatura constante 1/h = k. Quando k = −1, um tal espaco temcurvatura constante −1 e, pelo Corolario 1 da Secao 1.8, ele e localmenteisometrico ao espaco hiperbolico definido no Exemplo 2 da Secao 1.6.

E possıvel mostrar que a isometria local acima e, em verdade, uma isome-tria global entre Hn(−1) e o espaco hiperbolico (Cf. Observacao 1 da Secao1.8). Desta maneira, Hn(−1) e um mergulho isometrico em En+1 do espacohiperbolico.

Para ilustrar a utilidade deste modelo, vamos demonstrar o seguinteresultado:

Teorema (L. Amaral [Am]). Seja Mn−1 uma variedade riemaniana com-pacta com curvaturas seccionais ≤ 0. Entao nao existe uma imersao iso-metrica x : M → Hn.

Demonstracao: Suponhamos que existe uma tal x : Mn−1 → Hn(−1) ⊂En+1. Para todo p ∈ M consideraremos uma vizinhanca U ⊂ M de p talque a restricao x|U seja injetiva. Seja V ⊂ En+1 uma vizinhanca de x(p)em En+1 de tal modo que V ∩M ⊃ x(U) e que em V seja possıvel definir umreferencial e1, . . . , en−1, en, en+1 satisfazendo (1) e as seguintes condicoes:


(a) Em x(U), e1, . . . , en−1 sao tangentes a x(U) e en e normal a x(U) etangente a Hn(−1).

b) Em V ∩Hn(−1), en+1 descreve Hn(−1).

Um tal referencial e dito adaptado a x.

Restringiremos a x(U) ⊂ V as formas de coreferencial associado e asformas de conexao. Modificaremos ligeiramente a nosssa convencao dosındices para:

1 ≤ i, j, k, · · · ≤ n− 1, 1 ≤ A,B,C, · · · ≤ n.

Pela segunda parte de (a) tem-se que ωn = 0. Logo ωn+1,n = ωn = 0. Alemdisso, dωn = 0 e, portanto

0 = dωn =∑

j

ωj ∧ ωjn .

Pelo lema de Cartan,

ωin =∑

j

hij ωj , hij = hji ,

onde os hij sao os coeficientes da segunda forma quadratica de x na direcaoen .

Terminados estes preliminares, passaremos a demonstracao propriamentedita. Seja f : U → R a funcao dada por

f(p) = −(en+1(p), an+1), p ∈ U.

A funcao f nao depende da escolha do referencial adaptado e e, portanto,globalmente definida em M . Como M e compacta, f atinge um maximoem um ponto q ∈M , donde dfq = 0, d2fq ≤ 0.

Escrevendo

an+1 = Σ viei + vnen + vn+1 en+1 , (8)

vem que f(p) = vn+1 . Portanto as condicoes acima podem ser escritas

(dvn+1)q = 0, (d2vn+1)q ≤ 0.

Podemos supor que a segunda forma quadratica em q, IIq , esta diagonal-izada. Entao, pela equacao de Gauss, temos que, em q,

Rijij = hii hjj − 1.


Diferenciando exteriormente a expressao (8), obteremos

0 = dan+1 =∑

dviei + dvnen + dvn+1en+1

+∑

i

vi(∑

A

ωiAeA + ωi,n+1en+1

)

+ vn(∑

A

ωnAeA)+ vn+1

(∑

i

ωn+1,iei)

=∑

j

(dvj +

∑

i

viωij + vnωnj + vn+1ωn+1,j

)ej

+(dvn +

∑

i

viωin)en +

(dvn+1 +

∑

i

viωi,n+1

)en+1 ,

donde

dvj =∑

i

viωji − vnωnj − vn+1ωn+1,j ,

dvn =∑

i

viωni ,

dvn+1 = −∑

viωn+1,i = −∑

viωi .

Como, em q, (dvn+1)q = 0, teremos

v1(q) = · · · = vn−1(q) = 0.

Alem disso, (d2vn+1)q ≤ 0, e portanto, em q,

−(d2vn+1)q =∑

i

(dvi)qωi =∑

i

(−vnωni − vn+1ωn+1,i)ωi

=∑

i

−vnωniωi −∑

i

vn+1(ωi)2

= vn∑

ij

hijωiωj − vn+1

∑

i

(ωi)2

= vn∑

hiiω2i − vn+1

∑

i

(ωi)2

=∑

i

(hiivn − vn+1)ω2i ≥ 0.

Aplicando a desigualdade acima para cada ei , concluımos que hiivn ≥ vn+1 ,para todo i, isto e, em q,

hiihjj(vn)2 ≥ v2n+1 , todo par i, j.


Mas vi(q) = 0. Logo an+1 = vnen + vn+1en+1 , donde v2n+1 − v2n = 1 em q.

Portanto, obtemos finalmente,

Rijij = hiihjj − 1 ≥ v2n+1

v2n− 1 =

v2n+1 − 1

v2n=

1

v2n> 0,

o que contradiz o fato da curvatura seccional de M em q ser nao positiva, etermina a demonstracao.

O Teorema de Amaral foi generalizado por E.F. Stiel [St] na seguinteforma: Seja Mn compacta com curvaturas seccionais K ≤ 0. Entao naoexiste uma imersao isometrica x : Mn → Hn+q, se q < n.

A maior vantagem de ter um modelo da esfera Sn em Rn+1 e um modelode Hn em En+1 e poder estender as subvariedades destes espacos certasconstrucoes que efetuamos para as subvariedades do espaco euclideano.

Por exemplo, a globalizacao do metodo do referencial movel e o teo-rema de unicidade da secao anterior se estendem sem dificuldades as sub-variedades do Sn e do Hn. Trataremos rapidamente o caso de Sn ⊂ Rn+1,deixando o caso do Hn como exercıcio.

Seja Mn ⊂ Sn+q ⊂ Rn+q+1. Escolheremos sempre referenciais locaise1, . . . , en, . . . , en+q, en+q+1 em Rn+q+1 de modo que en+q+1 descreve Sn+q

e, restritos a M , e1, . . . , en sao tangentes a M e en+1, . . . , en+q sao normaisa M e tangentes a Sn+q. Usaremos os ındices:

i ≤ i, j, k . . . ,≤ n, n+ 1 ≤ α, β, γ, · · · ≤ n+ q, 1 ≤ A,B,C, · · · ≤ n+ q+ 1.

Construiremos o fibrado BM ⊂ B = RN × 0(N), n = n + q + 1, con-siderando M como subvariedade de RN . Como, no caso presente, x =en+q+1 , teremos

dx = Σ ωiei = den+q+1 = Σ ωn+q+1,A eA ,

dondeωi = ωn+q+1,i , ωn+q+1,α = 0, ωn+q+1,n+q+1 = 0.

Portanto, as formas ωn+q+1,A nao mais aparecem explicitamente quandonos restringimos a M , e as equacoes de estrutura tomam a seguinte forma:

dωi =∑

i

ωj ∧ ωji ,

dωij =∑

k

ωik ∧ ωkj +∑

α

ωiα ∧ ωαj − ωi ∧ ωj ,

dωαβ =∑

γ

ωαγ ∧ ωγβ +∑

i

ωαi ∧ ωiβ ,

dωiα =∑

j

ωij ∧ ωjα +∑

β

ωiβ ∧ ωβα ,


que sao semelhantes as equacoes de estrutura de uma subvariedade Mn ⊂Rn+q com a adicao apenas do termo −ωi ∧ ωj na segunda equacao, o quereflete o fato do espaco ambiente Sn+q ter curvatura 1.

Um movimento rıgido em Sn+q e a restricao a Sn+q de uma rotacaode Rn+q+1 com determinante positivo. Com esta definicao, o enunciadoe a demonstracao do teorema de unicidade da secao anterior se estendemsem dificuldades ao caso presente. Basta notar que as formas ωn+q+1,A

nao aparecem explicitamente e que, na demonstracao, devemos substituira translacao de vetor f(p) − p por uma rotacao de Rn+q+1 que leve p emf(p) (o que e possıvel pois ambos pertencem a Sn+q). O resultado e que asformas ωi, ωij , ωαi, ωαβ determinam a subvariedade M ⊂ Sn+q a menos deum movimento rıgido de Sn+q.

A extensao da versao local do teorema de unicidade para o caso presentenao oferece dificuldades. Tambem o caso de imersao, com os cuidados men-cionados no fim da secao anterior, pode ser tratado de maneira inteiramenteanaloga.

Capıtulo 2

Imersoes em um espaco

de curvatura constante

2.1 Hipersuperfıcies em um espaco de curvatura constante.

O lema de Chern e Lashof. Convexidade e curvatura.

Em todo este capıtulo indicaremos por Qk(c) (ou simplesmente Qk) umdos tres espacos seguintes: O espaco euclideano Rk com curvatura c = 0,a esfera Sk de curvatura c = 1, ou o espaco hiperbolico Hk de curvaturac = −1.

Uma hipersuperfıcie de Qn+1(c) e uma imersao x : Mn → Qn+1(c) deuma variedade de dimensao n em Qn+1(c). Nesta secao e na seguinte,trataremos das hipersuperfıcies de Qn+1(c). Alguns resultados so seraoconsiderados para o caso em que Qn+1 = Rn+1; isto sera indicado explicita-mente. Em geral, os resultados desta secao foram inicialmente demonstra-dos para o caso em que Qn+1 = Rn+1 e, posteriormente generalizadas paraSn+1 e Hn+1. Quando uma tal generalizacao existe, daremos a referenciacorrespondente.

Seja x : Mn → Qn+1(c) uma hipersuperfıcie e seja p um ponto de M .Seja e1, . . . , en, en+1 um referencial ortonormal movel em uma vizinhancaV de x(p) em Qn+1 adaptado a x. Entao, pelas equacoes da Secao 1.9,

76

Cap. 2 Imersoes em um espaco de curvatura constante 77

teremos ωn+1 = 0 e

ωi,n+1 =∑

j

hijωj , hij = hn+1ij = hji , (1)

dωi =∑

j

ωj ∧ ωji , (2)

dωij =∑

k

ωik ∧ ωkj + ωi,n+1 ∧ ωn+1,j − c ωi ∧ ωj (3)

No caso de hipersuperfıcies, so existe, a menos de orientacao, umaunica segunda forma quadratica em cada ponto p ∈ M , a saber, II =Σhij ωiωj . Usando a metrica induzida em Tp(M), podemos escolher osvetores e1, . . . , en em p de modo a diagonalizar IIp . Indicaremos λi(p) =hii(p). Desta maneira, em p,

IIp =∑

i

λi ω2i .

As direcoes e1, . . . , en, sao chamadas direcoes principais em p e os numerosλ1, . . . , λn sao chamados valores proprios de II em p. Observe que podenao ser possıvel escolher e1, . . . , en continuamente em uma vizinhanca de pde modo a diagonalizar II nesta vizinhanca.

Para obter o significado geometrico dos valores proprios de IIp , lembre-

mos da Algebra Linear que eles sao os valores crıticos da forma quadraticaIIp restrita a esfera unitaria de Tp(M). Por outro lado, se v ∈ Tp(M) eum vetor unitario, vimos na secao 1.9 que IIp(v) e a componente normaldo vetor curvatura geodesica em Qn+1 de uma curva em M passando porp com vetor tangente v. Decorre daı que λi = IIp(ei) e um valor crıtico deuma funcao definida na esfera unitaria de Tp(M) do seguinte modo: Paracada v ∈ Tp(M), |v| = 1, o valor da funcao em v e a componente normaldo vetor curvatura geodesica em Qn+1 de uma curva em M passando por pcom vetor tangente v. Por esta razao, λ1, . . . , λn sao tambem chamadas ascurvaturas principais de x em p.

As funcoes simetricas de λ1, . . . , λn sao invariantes da aplicacao linear−Ap = −An+1

p : Tp(M) → Tp(M) que e associada a forma quadratica IIp(V. Secao 1.9) e, portanto, nao dependem da diagonalizacao feita. Emparticular, o determinante de −Ap :

λ1 λ2 . . . λn = K(p)

e o traco de −Ap dividido por n:

λ1 + · · ·+ λnn

= H(p)

78 Hipersuperfıcies em um espaco de curvatura constante. Secao 2.1

sao chamadas a curvatura de Gauss-Kronecker e a curvatura media de x,respectivamente. Observe que H e o modulo do vetor curvatura mediadefinido na Secao 1.9.

Uma observacao importante e que o sinal de IIp (e portanto o sinalde λi) so fica bem definido globalmente com a escolha de uma orientacao.Portanto, H so esta bem definida seM for orientavel e orientada. Por outrolado, e imediato verificar que se n e par, K esta definido independentementede orientacao.

A equacao (3) (que e essencialmente a equacao de Gauss da Secao 1.9)pode ser escrita no ponto p tomando e1, . . . , en nas direcoes principais emp, e fornece

Ωij = dωij −∑

ωik ∧ ωkj =(∑

`

hi`ω`)∧(−∑

k

hjkωk)− c ω1 ∧ ωj

= −λiλj ωi ∧ ωj − c ωi ∧ ωj = −(λiλj − c)ωi ∧ ωj ,

onde Ωij sao as formas de curvatura da metrica induzida. Decorre daı que

Rijij = λiλj + c, i 6= j. (4)

Como Rijij e a curvatura seccional de M em p segundo o plano gerado porei, ej , concluımos que λiλj depende apenas de c e da metrica induzida.Isto permite demonstrar a seguinte generalizacao do teorema egregium deGauss.

Teorema 1. Seja x : Mn → Qn+1(c) uma hipersuperfıcie e suponha quen = 2k e par. Entao a curvatura de Gauss-Kronecker depende apenas de ce da metrica induzida de M .

Demonstracao: Com efeito,

K = (λ1λ2) . . . (λ2k−1 λ2k)

= (R1212 − c) . . . (R2k−1,2k,2k−1,2k − c),

e o segundo membro so depende de c e da metrica induzida de M .

Observacao 1: A demonstracao mostra, em verdade, que se n e par, qual-quer funcao simetrica de ordem par dos λi’s (por exemplo, a funcao

∑i<j

λiλj)

e um invariante geometrico que so depende de C e da metrica induzida deM .

Observacao 2: As definicoes acima se estendem facilmente a uma imersao

x : Mn → Mn+1

em uma variedade riemaniana M qualquer. O Teorema1 ainda e valido, isto e, se n e par, a curvatura de Gauss-Kronecker de xdepende apenas da metrica riemaniana de M e da metrica induzida de M .


No caso particular em queQn+1 = Rn+1 eMn e orientada, podemos, poranalogia com o que fizemos para superfıcies, definir uma aplicacao normal deGauss. Para isto, escolheremos um referencial e1, . . . , em, en+1 de modo quea base e1, . . . , en esteja na orientacao de M e forme com en+1 uma basepositiva de Rn+1. Um tal referencial e dito compatıvel com a orientacaode M . Neste caso, en+1 : M

n → Rn+1 toma valores na esfera unitariaSn ⊂ Rn+1. Como M e orientada, esta aplicacao e globalmente definida ee chamada a aplicacao normal de Gauss de x. Como

den+1(ek) =∑

i

ωn+1,i(ek)ei = −∑

i

(∑

j

hij ω(ek))ei = −

∑

i

hik ei ,

vemos que (−hij) e a matriz da diferencial da aplicacao normal de Gaussna base ei. Isto mostra que (den+1)p = Ap .

A aplicacao normal de Gauss tem implicacoes topologicas. Como exem-plo, provaremos o seguinte fato.

Teorema 2. Seja Mn, n ≥ 2, uma variedade compacta, conexa e ori-entavel. Se existir uma imersao x : Mn → Rn+1 com curvatura de Gauss-Kronecker diferente de zero em todo ponto de M , entao Mn e difeomorfa aesfera Sn.

Demonstracao: Seja ν : Mn → Sn a aplicacao normal de Gauss de x.Como, para todo p ∈M ,

K(p) = (−1)n detAp = (−1)n det(dν)p 6= 0,

a aplicacao ν e um difeomorfismo local. ComoM e compacta e Sn e conexa,ν e uma aplicacao de recobrimento. Como Sn e simplesmente conexa(n ≥ 2), ν e um difeomorfismo global. (Para detalhes sobre espacos derecobrimento V. M. do Carmo [dC 4] cap. 5).

Voltemos as imersoes em espacos de curvatura constante. Vamos de-monstrar um resultado fundamental conhecido sob o nome de Lema deChern-Lashof.

Chamaremos de posto de uma forma quadratica o numero de valoresproprios nao nulos desta forma quadratica.

Lema 1 (Chern-Lashof). Seja x : Mn → Qn+1(c) uma hipersuperfıcie ori-entavel em um espaco de curvatura constante c e seja IIp a segunda formaquadratica de x em p. Seja

Um = p ∈M ; posto IIp = n−m.

Entao, se Um contem um aberto V , por cada ponto de x(V ) passa umavariedade totalmente geodesica L de Qn+1 de dimensao m. Alem disto, sep e ponto de acumulacao de L ∩ Um , entao p ∈ Um .


Demonstracao: Seja p ∈ V e seja Pp ⊂ Tp(M) o subespaco de dimensaom que anula IIp . Vamos fazer uma modificacao na nossa convencao deındices e usar:

1 ≤ α, β, γ ≤ m, m+ 1 ≤ a, b, c ≤ n, 1 ≤ i, j, k ≤ n.

Escolhamos, em uma vizinhanca de x(p), um referencial e1, . . . , en, en+1 ,adaptado a x e compatıvel com a orientacao deM , de tal modo que restritosa x(V ), e1, . . . , en pertencam a P . Como a matriz (hij) de segunda formaquadratica e dada por

ωi,n+1 =∑

j

hij ωj

e os vetores eα anulam II, concluımos que

ωα,n+1 = 0 = −ωn+1,α . (5)

Alem disto, a matriz (hij) se escreve na forma

0 0

0 (hab)

, det(hab) = D 6= 0,

onde (hab) e uma matriz (n−m)× (n−m).Primeiro, observe que de (5) e da equacao (4) da Secao 1.9 vem

0 = dωα,n+1 =∑

k

ωαk ∧ ωk,n+1 +Ωα,n+1

=∑

β

ωαβ ∧ ωβ,n+1 +∑

b

ωαb ∧ ωb,n+1 − c ωα ∧ ωn+1

=∑

b

ωαb ∧ ωb,n+1 =∑

ba

ωab ∧ hba ωa , (6)

pois ωβ,n+1 = 0 e ωm+1 = 0. Multiplicando exteriormente ambos os mem-bros de (6) por

ωm+1 ∧ ωm+2 ∧ · · · ∧ ωa ∧ · · · ∧ ωn ,onde ωa significa que o fator ωa nao esta presente, obteremos, para todo a,

∑

b

hab ωαb ∧∏

c

ωc = 0,

onde∏c

ωc = ωm+1 ∧ · · · ∧ ωn . Como det(hab) 6= 0, podemos escrever

ωαb ∧∏

c

ωc = 0,


e portanto

ωab =∑

a

Aαba ωa . (7)

Decorre daı que as formas ωb , que anulam P , satisfazem a seguintecondicao:

dωb =∑

k

ωk ∧ ωkb =∑

α

ωα ∧ ωαb +∑

a

ωa ∧ ωab

= −∑

α

∑

a

Aαba ωa ∧ ωα +∑

a

ωa ∧ ωab

=∑

a

ωa ∧(ωab −

∑

α

Aαba ωα), (8)

isto e, as formas dωb pertencem ao ideal gerado pelas ωb’s. Mas isto e pre-cisamente a condicao do Teorema de Frobenius, que garante a integrabili-dade da distribuicao P definida pelas formas ωb . Portanto, por cada pontode x(V ) passa uma subvariedade de dimensao m. Restritas a esta subvarie-dade, as formas ωa = 0 e, de (7), as formas ωαb , que fornecem as segundasformas quadraticas desta subvariedade nas direcoes normais eb , tambemse anulam. Como por (5), a segunda forma quadratica na direcao en+1 enula, concluımos que as subvariedades obtidas sao totalmente geodesicas emQn+1, o que prova a primeira parte do lema.

Para provar a segunda parte, vamos estudar o comportamento do deter-minante D ao longo da variedade totalmente geodesica que passa por umponto de x(V ). Observe que

∏

a

ωa,n+1 = ωm+1,n+1 ∧ · · · ∧ ωn,n+1

= det(hab)ωm+1 ∧ · · · ∧ ωn = D∏

c

ωc . (9)

Diferenciando exteriormente ambos os membros de (9), obteremos∑

a

(−1)a−m−1 ωm+1,n+1 ∧ · · · ∧ dωa,n+1 ∧ · · · ∧ ωn,n+1

= dD ∧∏

c

ωc + d(∑

a

(−1)a−m−1 ωm+1 ∧ · · · ∧ dωa ∧ · · · ∧ ωn). (10)

Mas, de (8),

dωa =∑

b

ωb ∧(ωba −

∑

β

Aβab ωβ). (11)

Alem disto, como o espaco ambiente tem curvatura constante,

dωa,n+1 =∑

k

ωak ∧ ωk,n+1 =∑

b

ωab ∧ ωb,n+1 . (12)


Levando (11) e (12) em (10), concluımos que a primeiro membro de (10)se anula e que a segunda parcela do segundo membro de (10) se reduz a

D(∑

βa

Aβaa ωβ ∧∏

c

ωc).

Portanto, a equacao (10) se escreve

(dD +D

(∑

βa

Aβaa ωβ))∧∏

c

ωc = 0,

ou seja, D satisfaz a seguinte equacao diferencial:

dD +D(∑

βa

Aβaa ωβ)≡ 0, mod ωc , (13)

onde “mod ωc” significa que o segundo membro e uma combinacao lineardas ωc’s.

As consideracoes acima sao validas em um ponto do interior de Um .Seja agora p um ponto de M que e ponto de acumulacao de L ∩ Um , paraalguma subvariedade totalmente geodesica L de dimensao m. Considereuma vizinhanca W de p e escolha um referencial e1, . . . , en, en+1 em W talque, restritos a L, e1, . . . , em sejam tangentes a L. Indicando por ωi, ωij asformas do novo referencial, podemos escrever

ωαb =∑

k

Bαbk ωk ,

pois os ωk’s sao linearmente independentes. Observe que, para todo q ∈L, as funcoes Bαbk coincidem com funcoes Aαbk definidas em (7). Sejaγ : [0, 1) → L uma curva diferenciavel em L ∩ W tal que p pertenca aoconjunto limite de γ(t) quando t → 1. Como p e ponto de acumulacao deL, uma tal curva sempre existe. Para todo ponto de γ([0, 1)) teremos

dD +D(∑

βa

Aβaa ωβ)= 0, (14)

pois as formas ωc se anulam em L. Segue-se, por integracao, que

D(t) = D(0) exp

−∫ ∑

βa

Aβaa ωβ

, D(0) 6= 0.

Como D(t) e uma funcao contınua e Aβaa e uma funcao limitada,

D(p) = limt→1

D(t) 6= 0,


o que mostra que p ∈ Um .

Observacao 4: No caso em que Qn+1 = Rn+1, as subvariedades total-mente geodesicas (variedades lineares de Rn+1), obtidas na demonstracaodo lema de Chern-Lashof, possuem a propriedade seguinte: Ao longo de taissubvariedades o vetor normal en+1 e constante. Com efeito,

den+1 =∑

i

ωn+1,i ei =∑

α

ωn+1,α eα +∑

b

ωn+1,b eb

=∑

b

ωn+1,b eb =∑

ba

(−hba ωa)eb ,

donde den+1(eα) = 0, como havıamos afirmado.

Observacao 5: O Lema de Chern-Lashof pode ser utilizado para demons-trar o chamado “Teorema do cilindro”: Se x : Mn → Rn+1 e uma imersaoisometrica de uma variedade riemaniana completa cujas curvaturas sec-cionais sao todas nulas, entao x(M) ⊂ Rn+1 e um (n − 1)-cilindro, istoe, por cada ponto de x(M) passa uma variedade linear de dimensao n − 1inteiramente contida em x(M) e duas tais (n− 1)-variedades sao paralelasou coincidentes. Para uma demonstracao deste fato V. L. Rodrıguez ([Ro2]).

Nestas notas, utilizaremos o lema de Chern-Lashof para caracterizar, pormeio da curvatura seccional, as hipersuperfıcies compactas e convexas doRn+1. Um subconjunto K ⊂ Rn+1 e convexo se dados dois pontos p, q ∈ K,o segmento de reta pq esta contido em K. Um corpo convexo de Rn+1 eum subconjunto convexo com pontos interiores. Uma subvariedade Mn ⊂Rn+1 e convexa se ela e fronteira de um corpo convexo de Rn+1. O restodesta secao sera dedicado a demonstracao do seguinte resultado fundamental(Apos a demonstracao faremos alguns comentarios sobre o desenvolvimentohistorico e as possıveis extensoes do resultado).

Teorema 3. Seja Mn, n ≥ 2, uma variedade riemaniana conexa, com-pacta, orientada, com curvatura seccional K ≥ 0. Seja x : Mn → Rn+1

uma imersao isometrica. Entao M e homeomorfa a uma esfera Sn, x e ummergulho e x(M) ⊂ Rn+1 e uma subvariedade convexa do Rn+1.

Sera conveniente dividir a demonstracao em uma serie de lemas, para osquais precisamos de alguns preliminares.

Dado um vetor ν ∈ Sn ⊂ Rn+1, chamaremos funcao altura de x relati-vamente a ν a funcao h : M → R definida por h(p) = 〈x(p), ν〉, p ∈ M . Ademonstracao se baseia no estudo das trajetorias do campo grad h.

Recordamos que um ponto crıtico de uma aplicacao diferenciavel f : M →N de uma variedade diferenciavel M em uma variedade diferenciavel N e


um ponto p ∈ M no qual a diferencial dfp : Tp(M) → Tp(N) nao e sobre-jetiva. A imagem de um ponto crıtico e chamado um valor crıtico de f .Os ponto de N que nao sao valores crıticos de f sao chamados valores re-gulares de f . O fato fundamental relativo a estas definicoes e o Teoremade Sard: O conjunto dos valores regulares de f e denso em N ; para umademonstracao V. Milnor [Mi]. Se, em particular, f : M → R e uma funcaoreal, e p ∈ M e um ponto crıtico de M , e possivel mostrar que a formabilinear d2fp : Tp(M)× Tp(M)→ R esta bem definida. A forma quadraticaassociada a d2fp e chamada o hessiano de f no ponto crıticos p. Um pontocrıtico p e nao degenerado se todos os valores proprios do hessiano de f emp sao distintos de zero.

Lema 2. Seja Mn uma variedade riemaniana orientada com curvaturaseccional K ≥ 0. Seja x : Mn → Rn+1 uma imersao isometrica e sejaν : Mn → Sn a aplicacao normal de Gauss de x. Seja ν ∈ Sn um valorregular de ν. Entao os pontos crıticos da funcao altura h : M → R relativa-mente a ν sao todos nao degenerados e sao pontos de maximo ou de mınimode h.

Demonstracao: Se p ∈M e um ponto crıtico de h,

dhp = 〈dxp, ν〉 = 0.

Decorre daı que ν e um vetor normal em x(p) e que o hessiano

d2hp = 〈d2xp, ν〉

e a segunda forma quadratica de x na direcao ν. Como ν e um valorregular da aplicacao ν, det(dνp) 6= 0. Mas det(dνp) e, a menos de sinal,o determinante da forma quadratica d2hp . Portanto, p e um ponto crıticonao degenerado de h.. Alem disto, como as curvaturas seccionais sao naonegativas, todos os valores proprios de d2hp tem o mesmo sinal. Portantoh(p) e um maximo ou um mınimo de h.

Lema 3. Seja Mn, n ≥ 2 uma variedade diferenciavel compacta e conexa.Seja h : M → R uma funcao diferenciavel tal que todos os seus pontoscrıticos sejam nao degenerados, e sejam pontos de maximo ou pontos demınimo. Entao h possui exatamente dois pontos crıticos.

Demonstracao: Por compacidade de M existe um ponto crıtico de h,digamos q ∈M . Trocando h por −h, se necessario, podemos supor que q eum mınimo. Considere em M o campo de vetores grad h dado por

dhp(X) = 〈 grad h(p), X〉 ,

para todo p ∈ M e todo X ∈ Tp(M). E claro que se p e um ponto crıticode h, grad h(p) = 0.


Uma trajetoria de grad h e uma curva ϕ : (−ε, ε) → M tal que dϕdt

=grad h (ϕ(t)). Como M e compacta, segue-se que por todo ponto de Mpassa uma trajetoria maxima ϕ : (−∞,∞)→M . Observe que

dh

dt(ϕ(t)) = dh

(dϕdt

)= 〈 grad h (ϕ(t)),

dϕ

dt〉 = | grad h (ϕ(t))|2.

Diz-se que uma trajetoria ϕ(t) do gradiente sai de um ponto crıtico p seϕ(0) esta proximo de p e lim

t→−∞ϕ(t) = p.

Considere uma trajetoria ϕ(t) do gradiente de h que sai do ponto demınimo q. Como h e limitado em M , e

h(ϕ(t))− h(ϕ(0)) =

∫ t

0

d

dth(ϕ(t))dt =

∫ f

0

| grad j (ϕ(t))|2 dt,

concluımos que | grad h| se aproxima arbitrariamente de zero ao longo datrajetoria ϕ(t). Como o fecho de uma tal trajetoria e um conjunto compacto,| grad h| se anula em algum ponto deste fecho. Decorre daı, e do fato que ospontos crıticos sao pontos de maximo ou de mınimo, que existe lim

t→+∞ϕ(t) =

p ∈M e p e um ponto crıtico de h. No que se segue, exprimiremos este fatodizendo que ϕ(t) entra em p.

Vamos mostrar que p e q sao os unicos pontos crıticos de h. Diremosque o conjunto dos pontos de M onde h = const. = c e a superfıcie de nıvele de h. Se c e um valor regular, decorre do teorema da funcao implıcita quea superfıcie de nıvel c e uma subvariedade de M de dimensao n− 1. Alemdisto, se p e um ponto crıtico nao degenerado de maximo ou de mınimo, assuperfıcies de nıvel “perto de p” sao homeomorfas a esferas Sn−1.

Seja S uma superfıcie de nıvel de h, suficientemente proxima de q paraque S seja homeomorfa a uma esfera. Seja A ⊂ S o conjunto dos pontos quesao interseccoes de S com uma trajetoria de grad h saindo de q e entrandoem p. Como p e q sao pontos de maximo ou de mınimo, A e aberto em S.Por outro lado, como vimos anteriormente, uma trajetoria que sai de q eintersecta S em um ponto do complementar de A, entra em um ponto crıtico,digamos r, que tambem e um ponto de maximo ou de mınimo. Decorre daıque o complementar de A e aberto em S, e como S e conexo (aqui e usadoo fato de que n ≥ 2), A = S. Portanto todas as trajetorias de grad h quesaem de q entram em p. Por um argumento analogo, ve-se que o conjuntode tais trajetorias constitui um conjunto aberto e fechado deM , donde todoo M .

Portanto p e q sao os unicos pontos crıticos de h, o que termina a de-monstracao do lema.

Passemos a demonstracao do Teorema 3.


Demonstracao do Teorema: Primeiro observamos que se p ∈M e tal queν(p) = ν e um valor regular de ν, entao x(M) esta inteiramente contido emum dos dois semi-espacos fechados determinados pelo hiperplano tangentea x(M) em x(p); caso contrario, a funcao altura relativamente a ν teria pelomenos tres pontos crıticos, o que contradiz os Lemas 2 e 3. Exprimiremoseste fato dizendo que x(M) esta de um mesmo lado do hiperplano tangenteem x(p).

Seja H o conjunto dos hiperplanos de Rn+1 (nao necessariamente pas-sando pela origem) com a topologia natural, isto e, dois hiperplanos estaoproximos se os coeficientes das equacoes lineares que os representam estaoproximos. Seja q ∈M tal que ν(q) e um valor crıtico de ν, e seja π o hiper-plano tangente de x(M) em x(q). Vamos mostrar que para toda vizinhancaW de π em H existe r ∈ M tal que ν(r) e valor regular de ν e Tx(r) ∈ W ,onde, por simplicidade, indicamos dxr(Tr(M)) = Tx(r) .

Para provar o afirmado, convem modificar ligeiramente a nossa notacaoanterior e indicar por Um o conjunto dos pontos deM onde a segunda formaquadratica tem posto m. Podemos supor que q ∈ Uk , k < n. Entao, ouexiste uma vizinhanca de q em M contida em Uk ou em toda vizinhancade q existem pontos de Um , m > k. Repetindo o argumento um numerosuficiente de vezes, acharemos, em qualquer dois dois casos, um ponto p1 ∈M , com Tx(p1) ∈ W , e tal que uma vizinhanca de p1 esta contida em Um ,m ≥ k. Pelo lema de Chern-Lashof, passa por x(p1) uma (n−m)-variedadelinear L ao longo da qual o hiperplano tangente e constante (V. Observacao4). Seja x(p2) um ponto da fronteira da interseccao L ∩M , que existe porcompacidade de M . E claro que ν(p2) = ν(p1) e que Tx(p1) = Tx(p2) . Pelolema de Chern-Lashof, p2 ∈ Um . Portanto, em qualquer vizinhanca de p2existem pontos de U` , ` > m. Segue-se que existe um ponto p3 ∈ M , comp3 ∈ U` e Tx(p3) ∈ W . Se ` < n, repetiremos o argumento anterior ateacharmos um ponto p ∈ M , com Tx(p) ∈ W e p ∈ Un . Como p ∈ Un , νe um difeomorfismo local em uma vizinhanca de p. Pelo Teorema de Sard,existe r ∈ M tal que ν(r) e valor regular de ν e Tx(r) ∈ W , o que prova aafirmacao feita.

Como ν(r) e um valor regular de ν, x(M) esta de um mesmo lado deTx(r) . Por continuidade, x(M) esta de um mesmo lado de π.

Decorre daı que x(M) esta de um mesmo lado do hiperplano tangentede cada um de seus pontos.

Como M e compacto, existem valores regulares de ν, e portanto x(M)nao esta contido em um hiperplano de Rn+1. Portanto, a interseccao detodos os semi-espacos fechados determinados pelos hiperplanos tangentes ax(M), e contendo pontos de x(M), e um corpo convexo K de Rn+1 cujafronteira K ′ contem x(M). Se mostrarmos que x e um homeomorfismo eque x(M) = K ′, a demonstracao estara terminada.


Primeiro mostraremos que x(M) e aberto em K ′. Seja p ∈ M e sejaU ⊂ M uma vizinhanca de p em M de tal modo que x(U) seja o graficode uma funcao diferenciavel f definida em uma vizinhanca da origem W ⊂dxp(Tp(M)). Seja q um ponto do interior do corpo convexo K ′,q pertencente a normal a x(M) em p. Seja B(0) ⊂ W uma bola abertacentrada na origem de dxp(Tp(M)) e seja C o conjunto das semi-retas (um

cone) de origem q e passando por B(0). E claro que C ∩ K ′ e um abertode K ′. Como K e convexo, cada semi-reta r de C intersecta K ′ uma unicavez, digamos em k′ ∈ K ′. Seja k a interseccao de r com B(0). Entaof(k) ∈ x(U) e a correspondencia k → f(k) e evidentemente um homeomor-fismo do aberto C ∩K ′ em x(U) cuja imagem contem x(p). Portanto x(U)contem um aberto de K ′ que contem x(p), donde x(M) e aberto em K ′.

Por compacidade, x(M) e aberto e fechado em K ′, donde x : M → K ′

e uma aplicacao sobrejetiva. Como M e compacto, x e uma aplicacao derecobrimento. E um fato conhecido (e facil de demonstrar) que a fronteirade um corpo convexo e compacto e homeomorfa a uma esfera. Portanto, K ′

e simplesmente conexo, se n ≥ 2, e a aplicacao de recobrimento x : M → K ′

e um homeomorfismo, como querıamos.

Observacao 6: A condicao de ser n ≥ 2 e necessaria, como mostra oexemplo de uma curva plana em forma de um 8. Convem notar que ofato da curvatura seccional ser nao negativa foi usada apenas na demons-tracao do Lema 2. Em verdade, e isto sera util na Secao 2.4, demons-tramos o seguinte fato: Seja x : Mn → Rn+1 uma imersao de uma va-riedade M conexa, compacta e orientavel, e seja ν : Mn → Sn ⊂ Rn+1

a aplicacao normal de Gauss de x. Se para todo valor regular ν de ν,a funcao altura relativamente a ν possui exatamente dois pontos crıticos,entao x(Mn) ⊂ Rn+1 e a fronteira de um corpo convexo de Rn+1.

Observacao 7: O Teorema nao e definitivamente um fato local, comomostra o exemplo seguinte. Seja z = x3(1 + y2), definida na vizinhancay2 < 1/2 de (0, 0). Um calculo simples mostra que a curvatura GaussianaK desta superfıcie satisfaz K ≥ 0, e entretanto existem pontos da superfıcieem ambos os lados do plano tangente na origem.

Observacao 8: O Teorema 3 pode ser estendido para o caso em que Mn

(n ≥ 2) e completo, nao compacto, tem curvaturas seccionais K ≥ 0 e,em pelo menos um ponto, tem todas as curvaturas seccionais estritamentepositivas. Neste caso, resulta que Mn e homeomorfo a Rn e x(M) ⊂ Rn+1

e a fronteira de um corpo convexo de Rn+1. Uma primeira demonstracaodeste fato foi dada em Sacksteder [Sa 1], onde a situacao considerada e umpouco mais geral do que a descrita aqui.

Observacao 9: O Teorema 3 tem uma longa historia. Para o caso n = 2,M compacto, K > 0, ele foi demonstrado por J. Hamadard em 1897 [Ha].


O caso n = 2, M completo nao compacto, K > 0 foi demonstrado por J.J.Stoker em 1936 [Sto]. O caso n = 2, M compacto, K ≥ 0 foi demonstradopor S.S. Chern e R. Lashof em 1958 [ChLa 1]. O caso geral, mencionadona Observacao 8, foi demonstrado por R. Sacksteder em 1960 [Sa 1]. Umademonstracao simples do caso compacto, K ≥ 0, n ≥ 2 arbitrario, foidada por M. do Carmo e E. Lima em 1969 [dCL 1]; esta e essencialmente ademonstracao que apresentamos aqui. Uma demonstracao do caso completonao compacto, seguindo uma linha semelhante, e dada em M. do Carmo eE. Lima [dCL 2], onde se demonstram outros fatos que nao decorrem dotrabalho de Sacksteder (V. entretanto [Cu] onde uma correcao de [dCL 2]e apresentada). Um fato importante relacionado com o Teorema 3 no casocompleto, nao compacto, e que o fecho da imagem da aplicacao normal deGauss e um subconjunto convexo da esfera. Para uma demonstracao destefato, veja-se M. do Carmo e B. Lawson [dCLa] e H. Wu [Wu].

Observacao 10: No caso em que Mn e compacto, o Teorema 3 podeser estendido para hipersuperfıcies da esfera Sn+1 e do espaco hiperbolicoHn+1, com a condicao de que a curvatura seccional de M seja maior ouigual a curvatura do espaco ambiente. Para uma demonstracao V. M. doCarmo [dCWar]. Para o caso em que Mn e completo e o espaco ambiente eo espaco hiperbolico, o problema esta em aberto e nao e sequer claro qualdeva ser o enunciado (Ver, entretanto, a Observacao 13).

Observacao 11: O Teorema 3 pode ser estendido para hipersuperfıcies deum espaco de Hilbert. Para detalhes V. M. do Carmo [dC 3], L. Jonker [Jo]e R.L. de Andrade [An].

Observacao 12: O Teorema da convexidade foi estendido para hipersu-perfıcies compactas com bordo por L. Rodrıguez [Ro 2] e se enuncia daseguinte maneira. Seja Mn uma variedade conexa com bordo ∂M , e supon-hamos que M tenha curvatura seccional nao negativa. Seja x : Mn → Rn+1

uma imersao isometrica e suponhamos que a imagem por x de cada compo-nente conexa de ∂M seja a fronteira de um conjunto convexo. Seja K(∂M)a uniao de tais conjuntos convexos. Entao x(M)∪K(∂M) e a fronteira deum corpo convexo de Rn+1.

Observacao 13: Um problema fundamental nesta ordem de ideias parece

ser o seguinte. Seja Mn+1

uma variedade riemaniana completa, simples-

mente conexa, com curvatura seccional K ≤ 0. Sabe-se entao que Mm+1

e homeomorfa a Rn+1 (V. M. do Carmo [dC 4]) e que, dados dois pontosp, q ∈M existe uma unica geodesica ligando p e q. Seja Mn uma variedade

riemaniana completa, e seja x : Mn → Mn+1

uma imersao isometrica demodo que as curvaturas seccionaisK deM eK deM satisfacam a condicao:

K(p, P ) ≥ K(x(p), dx(P )), (*)


para todo p ∈M e todo P ⊂ Tp(M). Pergunta-se se x(M) ⊂M e fronteirade um corpo convexo e quais as implicacoes topologicas deste fato. Se adesigualdade (*) e estrita, uma solucao se encontra em [A`]. V. tambem atese de Ivan Tribuzy no IMPA (1978) e o trabalho de R. Currier [Cu].

2.2 Unicidade de hipersuperfıcies. O Teorema de Cohn-

Vossen.

Seja x : Mn → Qn+1 uma hipersuperfıcie orientada de Qn+1. Para cadaponto p ∈ M estao definidas em Tp(M) duas formas quadraticas Ip e IIp ,onde I e a metrica induzida por x e II e a segunda forma quadratica dex. Estas formas quadraticas determinam a imersao x a menos de um movi-mento rıgido.

Proposicao 1. Sejam x, x′ : Mn → Qn+1 duas imersoes de uma va-riedade conexa e orientada M , e sejam I e II as primeira e segunda formasquadraticas de x, e I ′ e II ′ as primeira e segunda formas quadraticas de x′.Suponhamos que para todo p ∈ M , Ip = I ′p , IIp = II ′p . Entao existe ummovimento rıgido ρ : Qn+1 → Qn+1 tal que ρ x = x′.

Demonstracao: Seja p ∈ M e U ⊂ M uma vizinhanca de p de talmodo que a restricao x|U seja injetiva e que exista um referencial adap-tado e1, . . . , en+1 em x(U), compatıvel com a orientacao de M . Seja f =x′ x−1|x(U) e seja e′1, . . . , e

′n+1 , o referencial compatıvel com a orientacao

de M , definido em x′(U) por

e′i = df(ei), i = 1, . . . , n, en+1 normal a x′(U).

Como I = I ′, f : x(U)→ x′(U) e uma isometria, e os campos e′i sao ortonor-mais. Alem disso, indicando por uma linha as entidades em x′(U), o fato deser f uma isometria implica que f∗ω′i = ωi , f

∗ω′ij = ωij . Por outro lado,como II = II ′, concluımos que f∗ω′i,n+1 = ωi,n+1 .

Aplicando o Teorema 1’ (unicidade local) da Secao 1.10, obtemos queexiste um movimento rıgido ρu de Qn+1 tal que a restricao ρu|x(U) = f ,isto e, ρu x|U = x′. Pela escolha dos referenciais, ρu e unico. Decorre daıque na interseccao U ∩ V de duas tais vizinhancas, ρu = ρv . Como M econexa, existe ρ = ρu tal que ρ x = x′.

Uma pergunta natural e em que condicoes a primeira forma quadratica(isto e, a geometria intrınseca de M) determina a segunda forma quadraticade uma hipersuperfıcie. Pela Proposicao 1, isto implica que a imersao eunica a menos de um movimento rıgido; em outras palavras, a geometriaintrınseca de M determina a “forma” de M no espaco ambiente. O proble-ma de determinar tais condicoes e chamado o problema de unicidade dashipersuperfıcies.

90 Unicidade de hipersuperfıcies. O Teorema de Cohn-Vossen. Secao 2.2

A proposicao seguinte mostra que se a dimensao deM for maior ou iguala tres, o problema tem pouco interesse.

Proposicao 2 (Beez). Seja x : Mn → Qn+1(c) uma imersao de umavariedade conexa e orientada M em um espaco de curvatura constante c.Suponha que o posto da segunda forma quadratica IIp de x e maior ou iguala tres para todo ponto p ∈M . Entao II e determinada por I.

Demonstracao: Seja p ∈M e seja eA, A = 1, . . . , n+ 1, um referencialem uma vizinhanca de p que diagonaliza a segunda forma quadratica em p.Sejam λ1, . . . , λn os valores proprios de IIp . Por (4) da Secao 2.1, temosque

λiλj = K(p; eiej)− c, i 6= j,

onde K(p; ei, ej) e a curvatura seccional de M em p segundo o planogerado por i, ej . Por hipotese, pelo menos tres valores proprios, digamos,λ1, λ2, λ3 sao distintos de zero. Como os produtos λ1λ2, λ2λ3, λ3λ1 sodependem de c e da metrica induzida, o mesmo acontece com λ1, λ2 eλ3 . Qualquer outro λk 6= 0, λ 6= 1, 2, 3, pode ser calculado a partir deλkλ1 = K(p, e1, ek)− c. Portanto IIp fica inteiramente determinada porI e, como p e arbitrario, concluımos a demonstracao.

A proposicao mostra que o problema de unicidade de hipersuperfıcies emais interessante no caso em que a dimensao de M e dois. No resto destaSecao, nos restringiremos ao caso x : M 2 → R3.

Observacao 1: Convem observar que a segunda forma quadratica dex : Mn → Rn+1 so fica bem definida quando fixamos uma orientacao paraM (suposta orientavel). Caso contrario, o fato de serem iguais as primeirae segunda formas quadraticas de duas imersoes x, x′ : Mn → Rn+1 significaapenas que x e x′ diferem por um movimento rıgido seguido possivelmentede uma reflexao (uma reflexao e uma transformacao linear de Rn+1 comvalores proprios ±1 e com determinante negativo).

Provavelmente, o mais famoso dos teoremas de unicidade e o seguinteresultado.

Teorema 1 (Cohn-Vossen, Herglotz). Seja M 2 uma variedade riemanianade dimensao dois, orientavel, compacta, conexa e com curvatura GaussianaK ≥ 0. Sejam x, x′ : M2 → R3 duas imersoes isometricas de M 2 em R3.Entao existe um movimento rıgido ρ de R3 tal que ou x′ = ρ x ou x′ =ρ R x, onde R e uma reflexao de R3.

Demonstracao: Ja sabemos, pelo Teorema 3 da Secao 2.1, que x e x′ saomergulhos, e x(M) e x(M ′) sao fronteiras de corpos convexos em R3. Seraconveniente identificar x(M) = M , x′(M) = M ′ e definir f : M → M ′ por


f = x′ x−1. Seja p ∈M e seja e1, e2, e3 um referencial adaptado a M emuma vizinhanca U de p. Defina

e′1 = df(e1), e′2 = df(e2), e′3 normal a Tf(p)(M′).

Como f e uma isometria, e′1, e′2, e

′3 e um referencial adaptado a M ′ em

uma vizinhanca U ′ = f(U), e f∗ω′i = ωi , i = 1, 2, f∗ω′12 = ω12 . Nestesreferenciais, as segundas formas quadraticas de M e M ′ sao dadas por

II = aω21 + 2b ω1ω2 + c ω2

2

II ′ = a′ ω′21 + 2b′ ω′1ω′2 + c′ ω′22 .

Queremos provar que f∗II ′ = II, isto e, que f a′ = a, f b′ = b e f c′ = c.Como f e uma isometria, temos que

K = ac− b2 = f K ′ = f (a′c′ − (b′)2).

por simplicidade de notacao, vamos escrever no que se segue f a′ = a′,f K ′ = K ′, etc.

Seja yA = 〈x, eA〉, A = 1, 2, 3, a funcao altura de M relativamente a eA ,e introduza a forma diferencial

dθ = dy1(f

∗ω′23)− y2(f∗ω′13)

definida em U . Vamos mostrar que dθ e globalmente definida em M .Com efeito,

dy1 = 〈dx, e1〉+ 〈x, de1〉 = ω1 + ω12 y2 + ω13 y3

e, analogamentedy2 = ω2 + ω21 y1 + ω23 y3 .

Portanto, utilizando a simplificacao de notacao mencionada e notando quef∗ω′12 = ω12 , teremos

dθ = ω1 ∧ (f∗ω′23)− ω2 ∧ (f∗ω′13) + y3(ω13 ∧ f∗ω′23 − ω23 ∧ f∗ω′13)= (a′ + c′)ω1 ∧ ω2 + y3(ac

′ + ca′ − 2bb′)ω1 ∧ ω2= (2H ′ + y3J)ω1 ∧ ω2 , (1)

onde y3 e a chamada funcao suporte de M , que mede a distancia de Tp(M)a origem de R3, e J e dado por

J = ac′ + ca′ − 2bb′ = −

a′ − a b′ − b

b′ − b c′ − c

+ (a′c′ − (b′)2) + (ac− b2)

= −det(de3 − de′3) + 2K. (2)


De (1) e (2) concluımos que dθ tem um significado geometrico independentedo referencial e, portanto, e globalmente definida, como havıamos afirmado.

Como dθ e globalmente definida, podemos integra-la em M e usar oteorema de Stokes

0 =

∫

M

dθ =

∫

M

(2H ′ + y3 J)ω1 ∧ ω2 . (3)

A expressao (3) e chamada a formula integral de Herglotz, e e uma dasinformacoes geometricas que necessitamos para demonstrar o Teorema 1.

A formula (3) e valida, em particular, quando M = M ′, donde

∫

M

(H + y3K)ω1 ∧ ω2 = 0. (4)

(Muitas vezes o nome de formula integral de Minkowski e atribuido a ex-pressao (4), que vale para qualquer superfıcie compacta de R3). Subtraindo(3) de (4), obtemos

2

∫(H ′ −H)ω1 ∧ ω2 =

∫

M

y3 det(de3 − de′3)ω1 ∧ ω2 . (5)

Necessitamos do seguinte lema de algebra linear.

Lema 1. Sejam A e B matrizes 2 × 2, simetricas e semi-definidas (istoe, os valores proprios de A e B sao ≥ 0). Suponhamos que detA = detB.Entao:

(1) det(A−B) = α ≤ 0

(2) Se, em adicao, A e B sao definidas (isto e, os valores proprios sao> 0), a igualdade em (1) ocorre se e so se A = B.

(3) Se A e B sao semi-definidas e a igualdade ocorre em (1), entao A eB sao proporcionais (onde o coeficiente de proporcionalidade pode serzero).

Demonstracao: Podemos supor que a matriz A esta diagonalizada, isto e,

A =

a 0

0 c

, B =

a′ b′

b′ c′

.

Entao, como detA = detB,

ac = a′c′ − (b′)2,


e

α = det(A−B) = (a− a′)(c− c′)− (b′)2

= ac− ac′ − a′c+ a′c′ − (b′)2 = 2ac− ac′ − a′c.

Observe tambem que, como A e B sao semi-definidas e detA = detB,teremos que a, c, a′, c′ ≥ 0.

Para demonstrar (1), consideraremos os seguintes casos:a) a = c = 0. Entao α = 0.b) a 6= 0, c = 0. Entao α = −ac′ ≤ 0.c) a = 0, c 6= 0. Entao α = −a′c ≤ 0.d) a 6= 0, c 6= 0. Neste caso, escreveremos

α = (a− a′)(c− c′)− (b′)2 =(a′c′ − (b′)2

c− a′

)(c− c′)− (b′)2

=(a′c′c− a′

)(c− c′)− (b′)2

c(c− c′)− (b′)2

= −1

c(a′c− a′c′)(c− c′)− 2(b′)2 + (b′)2

c′

c

= −1

c(a′c− a′c′)(c− c′)− 2(b′)2 +

a′(c′)2

c− ac′.

Se a′ = 0, entao α = −2(b′)2 − ac′ ≤ 0. Se a′ 6= 0 e c′ = 0, entao

α = −a′

c(c− c′)2 − 2(b′)2 ≤ 0.

Finalmente, se a′ 6= 0 e c′ 6= 0, teremos

α = (a− a′)(c− c′)− (b′)2 =(a− ac+ (b′)2

c

)(c− c′)− (b′)2

=(a− ac

c′)(c− c′)− (b′)2

c′(c− c′)− (b′)2

= −ac(c− c′)2 − c

c′(b′)2 ≤ 0,

o que conclui a demonstracao da parte (1) do lema.

Para demonstrar (2), observe que se A e B sao definidas, a, c, a′, c′ saopositivos. Usando a ultima expressao do caso (d) de (1), teremos que

0 = α = − a

c′(c− c′)2 − c

c′(b′)2.

Portanto α = 0 implica em que c = c′ e b′ = 0, i.e., A = B.

Para demonstrar (3), consideraremos os seguintes casos:


a) a = c = 0. Entao o coeficiente de proporcionalidade e zero.

b) a 6= 0, c = 0. Entao α = −ac′ = 0 implica c′ = 0. Como detA =detB, teremos (b′)2 = ac = 0, donde b′ = 0. Se a′ 6= 0, B = λA, comλ = a

a′· Se a′ = 0, B = λA, com λ = 0.

c) a = 0, c 6= 0. Este caso e inteiramente analogo ao caso anterior.

d) a 6= 0, c 6= 0. Este caso e tratado como o caso (d) de (1). Por exemplo,se a′ 6= 0 e c′ 6= 0, teremos,

0 = α = − a

c′(c− c′)2 − c

c′(b′)2,

donde, c = c′ e b′ = 0. Como detA = detB, temos que ac = a′c′ =a′c, isto e, a = a′.

Portanto, se a′ 6= 0 e c′ 6= 0, teremos A = B. As outras situacoes saotratadas de maneira analoga, e isto conclui a demonstracao do Lema 1.

Voltemos a demonstracao do Teorema. Escolha a origem de R3 no inte-rior do corpo convexo limitado por M . Entao, y3 > 0 e, pela parte (1) doLema 1, o segundo membro de (5) e nao positivo. Portanto,

∫

M

(H ′ −H)ω1 ∧ ω2 ≤ 0.

Por simetria, devemos ter tambem∫

M

(H −H ′)ω1 ∧ ω2 ≤ 0.

Portanto, o segundo membro de (5) e zero. Como y3 > 0, concluımos quedet(de3 − de′3) = 0.

Suponha agora que K > 0. Pela parte (2) do Lema 1, teremos quede2 = de′3 , donde a = a′, b = b′, c = c′, o que prova o teorema no caso emque K > 0.

Para demonstrar o Teorema no caso em queK ≥ 0, observe que det(de3−de′3) = 0 para todo q ∈ M , e que de3 = de′3 nos pontos onde K 6= 0. Sejap ∈ M , com K(p) = 0. Precisamos mostrar que de3 = de′3 em p (observeque e′3 esta sendo usado para representar e′3 f).

Se p e ponto de acumulacao de pontos onde K 6= 0, a igualdade severifica em p por continuidade. Podemos portanto supor que existe umavizinhanca W de p, onde todos os pontos tem K = 0. Convem indicar porUm o conjunto dos pontos deM onde a segunda forma quadratica tem postom e por p′ = f(p).


Se p ∈ U0 e p′ ∈ U ′0 , entao de3 = 0 = de′3 . Portanto, podemos supor

que, por exemplo, p ∈ U1 , e que W foi escolhida de tal modo que W ⊂ U1 .Pelo lema de Chern-Lashof, por p passa um segmento de reta L. Como Me compacto, M ∩ L tem pontos na fronteira, digamos q1 e q2 . Pela parte(3) do Lema 1, para todo q ∈ L IIq = λ IIf(q) . Como L e totalmentegeodesica, L′ = f(L) tambem e totalmente geodesica. Portanto, L′ e umsegmento de reta de extremidades q′1 = f(q1) e q

′2 = f(q2). Alem disso, pelo

lema de Chern-Lashof, q1 ∈ U1 , q2 ∈ U1 , e, como sao pontos da fronteira deL, sao ambos pontos de acumulacao de pontos de U2 . Portanto a igualdadede3 = de′3 vale em q1 e q2 . Decorre daı que q′1, q

′2 ∈ U ′

1 . E claro que ospontos r′1 e r′2 em L′ suficientemente proximos de q′1 e q′2 , respectivamente,sao ainda pontos de U ′

1 . Pelo lema de Chern-Lashof, passam por r′1 e r′2segmentos de reta que, por unicidade, coincidem com L′. Decorre daı quep′ ∈ U ′

1 .

Para concluir, precisamos do seguinte lema, que e uma versao do lemade Chern-Lashof para dimensao dois.

Lema 2. Seja x : M2 → R3 uma imersao isometrica de uma variedade Mde dimensao dois. Seja p ∈ U1 ⊂ M e W uma vizinhanca de p em M talque W ⊂ U1 . Seja L o segmento de reta passando por p, que e dado pelolema de Chern-Lashof. Seja s o comprimento de arco de L, a partir de umacerta origem, e seja λ(s) o valor proprio nao nulo de II em s. Entao

d2

ds2( 1λ

)= 0.

Demonstracao: Escolha um referencial e1, e2, e3 e, W de modo que aolongo de L, e1 seja tangente a L, isto e, e1 = ∂

∂s· Como L e uma geodesica

ω12(e1) = 0, e portantoω12 = Aω2 , (6)

onde A e uma funcao diferenciavel em W . Como L e totalmente geodesica,

ω13 = h11 ω1 + h12 ω2 = 0,

isto e, h11 = h12 = 0. Decorre daı que

ω23 = h21 ω1 + h22 ω2 = λω2 ,

onde λ = h22 e o valor proprio nao nulo da segunda forma quadratica.Usando as equacoes de estrutura e (6) obteremos

0 = ω21 ∧ ω13 = dω23 = dλ ∧ ω2 + λ ∧ dω2= dλ ∧ ω2 + λω1 ∧ ω12 = (dλ+Aλω1) ∧ ω2 ,


ou sejadλ

ds+Aλ = 0.

Diferenciando exteriormente (6) e usando as equacoes de estrutura dω2 =ω1 ∧ ω12 , dω12 = −K ω1 ∧ ω2 , obteremos, ao longo de L,

0 = −K ω1 ∧ ω2 = dω12 = dA ∧ ω2 +Adω2 =(dAds

+A2)ω1 ∧ ω2 .

Portanto,d2λ

ds2= −dλ

dsA− λ

dA

ds= 2λA2 = 2

1

λ

(dλds

)2.

donded2

ds2( 1λ

)= −λ

d2λds2

− 2(dλds

)2

λ3= 0,

como querıamos.

Podemos agora concluir a demonstracao do Teorema 1. Como p′ ∈ U ′1

e, pelo Lema 2, 1λ

e 1λ′

sao lineares ao longo de L e L′, respectivamente,podemos escrever

λ(s) =1

As+B, λ′(s) =

1

A′s+B′ ,

onde, como f e uma isometria, s e o comprimento de arco comum a L eL′. Podemos supor que s = 0 corresponde a q1 ; entao q2 corresponde as = ` = comp. L. Como λ(0) = λ′(0) e λ(`) = λ′(`), concluımos queλ(s) = λ′(s). Decorre daı que de3 = de′3 ao longo de L, em particular, emp, como querıamos mostrar.

Observacao 2: O Teorema de Cohn-Vossen e a parte da unicidade dofamoso problema de H. Weyl: Provar que toda variedade riemaniana dedimensao dois, compacta e com curvatura K > 0 pode ser isometricamenteimersa em R3. Para o caso em que a variedade e a metrica sao analıticas,este problema foi resolvido por H. Weyl e H. Lewy. O caso C∞ foi re-solvido por A. Alexandroff e A.V. Pogorelov. Em verdade, motivado poreste problema, Alexandroff iniciou o estudo das superfıcies convexas semdiferenciabilidade, e desenvolveu uma serie de tecnicas que constituem amarca registrada de um grupo de geometras russsos, e que permitiram re-solver o problema de Weyl em uma grande generalidade. O Teorema 1afirma simplesmente que, uma vez obtida uma tal imersao diferenciavel, elae unica a menos de um movimento rıgido. A prova de Cohn-Vossen reque-ria analiticidade e K > 0. A prova acima e uma apresentacao de S. Chernde um argumento devido a Herglotz. Uma exposicao detalhada, e com re-ferencias, dos fatos acima mencionados pode ser encontrada no excelenteartigo de Efimov [Ef].


Observacao 3: Existem superfıcies compactas em R3 que nao sao determi-nadas por suas metricas induzidas. Um exemplo simples e dado

eixo de rotação

perfil de S

perfil de S

1

2

pelas duas superfıcies de revolucao S1 e S2 da figura acima. S1 e obtidade uma superfıcie convexa de revolucao com uma parte plana, retirando aparte plana e substituindo-a por um “bulbo” saliente; para S2 , substitui-se aparte plana pelo “bulbo” simetrico. Desta maneira S1 e S2 sao isometricas,porem nao existe um movimento rıgido de R3 que leve S1 em S2 . Deveser observado que este exemplo nao e analıtico e e um problema em abertosaber se toda superfıcie compacta analıtica e determinada por sua metricainduzida. A. Alexandroff resolveu este problema afirmativamente para umacerta classe de superfıcies (que inclui as superfıcies difeomorfas a um toro)chamadas as T -superfıcies. (Para detalhes, V. o artigo de Efimov [Ef] acimacitado).

Observacao 4: E um problema em aberto caracterizar as superfıcies C∞

compactas de R3 que sao determinadas pela metrica induzida. Para o casoem que a superfıcie tem o tipo topologico do toro e satisfaz certas condicoesbastante tecnicas, uma solucao foi obtida por Nirenberg [Ni]. Tais condicoessao satisfeitas para o toro de revolucao, que, portanto e determinado porsua metrica induzida.

Observacao 5: No caso nao compacto, o nosso conhecimento e ainda maisprecario. Recentemente (1971), R. Greene e H. Wu ([GrWu]) demonstraramque o teorema de Cohn-Vossen continua valido se retirarmos de M 2 (com-pacta, conexa, orientavel e de curvatura K ≥ 0) um numero finito de pon-tos. A prova deste resultado e extremamente delicada. Em outra direcao,Pogorelov [Po] demonstrou que seM 2 e completa, nao compacta, comK ≥ 0


e∫MK dM = 2π (pelo teorema de Sacksteder citado na Observacao da

Secao 2.1,∫MK dM ≤ 2π) entao duas imersoes isometricas de M 2 diferem

por um movimento rıgido. Por outro lado, Olowjanischnikow demonstrou,nas mesmas condicoes acima, que se

∫MK dM < 2π, entao existem imersoes

isometricas de M2 que nao diferem por um movimento rıgido. Para umademonstracao simples do resultado de Pogorelov no caso C∞ ver Saksteder[Sa 2].

Observacao 6: O Teorema de Cohn-Vossen se estende para as hiper-superfıcies da esfera que possuem curvaturas seccionais maiores que a doespaco ambiente. Para uma demonstracao V. M. do Carmo e F. Warner[dCWa];

Em geral, os problemas de unicidade estao historicamente ligados aproblemas de rigidez e rigidez infinitesimal. Por completacao, daremos asdefinicoes relevantes. M sera uma variedade de dimensao dois, conexa eorientavel.

Uma deformacao de uma imersao x : M → R3 e uma aplicacao dife-renciavel F : [0, 1] → R3, tal que, indicando ft(p) = F (t, p), t ∈ [0, 1],p ∈M , as seguintes condicoes sejam satisfeitas:

1) f0 = x,

2) ft e uma imersao para todo t ∈ [0, 1],

3) 〈dft(X), dft(Y )〉 = 〈dx(X), dx(Y )〉, para todo par X,Y ∈ Tp(M) etodo t ∈ [0, 1].

Uma deformacao de x e trivial se, para todo t, ft = At x, onde At e ummovimento rıgido de R3. A imersao x e rıgida se toda deformacao de x etrivial; no caso contrario, x e deformavel.

Uma versao infinitesimal da situacao acima e motivada pelas considera-coes seguintes. Suponhamos que x seja uma inclusao. Entao a condicao (3)se escreve

〈X,Y 〉 = 〈dft(X), dft(Y )〉.Se indicarmos por Zt o vetor tangente a curva t→ ft(p), em t, teremos

0 =d

dt〈dft(X), dft(Y )〉 = Zt〈dft(X), dft(Y )〉.

Portanto, em t = 0,

0 = Z〈X,Y 〉 = 〈dZ(X), Y 〉+ 〈X, dZ(Y )〉, (7)

para todo X,Y ∈ Tp(M), onde Z = Z0 : M → R3 e uma aplicacao diferen-ciavel. Z(p) e chamada o vetor deformacao de F em p. A equacao (7) e


equivalente a

〈dZ(X), X〉 = 0, para todo X ∈ Tp(M). (8)

Portanto, um campo de vetores Z : M → R3 que satisfaz (8) pode serpensado como a “derivada” de uma deformacao. No caso em que x nao euma inclusao, terıamos que escrever, no lugar da equacao (8),

〈dZ(X), dx(X)〉 = 0, para todo X ∈ Tp(M),

ou seja,〈dZ, dx〉 = 0. (9)

Isto motiva a seguinte definicao. Um campo diferenciavel de vetoresZ : M → R3 e uma deformacao infinitesimal de x se (9) e verificada.

O significado preciso da condicao (9) e obtido da maneira seguinte. Ametrica da deformacao x+ tZ de x e dada por

〈dx+ tdZ, dx+ tdZ〉 = 〈dx, dx〉+ 2t〈dZ, dx〉+ t2〈dZ, dZ〉.

Para que a diferenca entre esta metrica e a metrica 〈dxdx〉 de x seja deordem maior ou igual a dois, e necessario e suficiente que 〈dZ, dx〉 = 0.Assim (9) significa que a deformacao dada por Z preserva a metrica emprimeira ordem.

Voltemos as consideracoes que motivaram a definicao de deformacaoinfinitesimal. Se F e uma deformacao trivial de x, entao ft = At x, isto e(supondo ainda x uma inclusao),

ft(p) = Ot(p) + at ,

onde Ot e uma matriz ortogonal de determinante positivo com O0 = ident.,e at e um vetor (translacao) de R3 com a0 = 0. Decorre daı que

Z(p) =dftdt

∣∣∣∣t=0

=d

dt(Ot)

∣∣∣∣t=0

p+ a′0 = O′0 + a′0 .

Como Ot e uma matriz ortogonal (OtO∗t = ident.), a derivada 0′t satisfaz

O′t ·O∗

t +Ot(O∗t )

′ = 0,

donde, como O0 = ident., temos em t = 0

O′0 + (O′

0)∗ = 0,

isto e, O′0 e uma matriz antisimetrica.

Isto motiva as seguintes definicoes.

100 Posto e numero tipo de uma imersao Secao 2.3

Uma deformacao infinitesimal Z de uma imersao x e trivial se Z(p) =B(x(p)) + ω, onde B e uma matriz antisimetrica e ω ∈ R3. A imersao xe infinitesimalmente rıgida se toda deformacao infinitesimal e trivial; casocontrario, x e infinitesimalmente deformavel.

Para completar estas definicoes, diremos que uma imersao x : M → R3

e unica se dada qualquer outra imersao x′ : M → R3 que determina emM a mesma metrica induzida que x, entao x(M) e x′(M) diferem por ummovimento rıgido de R3, seguido eventualmente de uma simetria.

E claro que unicidade implica em rigidez. A situacao das outras possıveisimplicacoes e ainda bastante obscura. Mencionaremos brevemente algunsresultados.

Vamos enunciar alguns fatos cujas demonstracoes podem ser encon-tradas em Spivak ([Sp], Vol. V, Cap. 12). O paraboloide z = x2 + y2

e infinitesimalmente deformavel. Entretanto, pelo Teorema de Pogorelovcitado na Observacao 5 (note que a integral da curvatura Gaussiana es-tendida ao paraboloide e igual a 2π), ele e unico, donde rıgido. Portanto,rigidez nao implica em rigidez infinitesimal. Por outro lado, embora sejaum fato plausıvel (V. Spivak, [Sp], Vol. V, pag. 257), nao se sabe se rigidezinfinitesimal implica em rigidez.

A conjectura fundamental nesta ordem de ideias, uma das mais antigase difıceis conjecturas da Geometria Diferencial, parece ser a seguinte: Todasuperfıcie compacta C∞ em R3 e rıgida.

2.3 Posto e numero tipo de uma imersao. Reducao de

codimensao. As formas de ordem superior de uma

imersao

Nesta secao iniciaremos o estudo mais detalhado das imersoes x : Mn →Qn+q(c) de curvatura constante c. Usaremos as convencoes de ındices e asnotacoes da Secao 1.9.

Em todo ponto p ∈ M , esta definida uma aplicacao bilinear Bp :Tp(M)×Tp(M)→ Np(M) (V. Secao 1.9). A imagem Bp(Tp(M)×Tp(M)) =(N1)p ⊂ Np(M) e chamado o primeiro espaco normal da imersao em

p. A dimensao de (N1)p e chamada o posto r(p) de x em p. O espaco

Tp(M)⊕ (N1)p e chamado o primeiro espaco osculador de x em p, e gene-

raliza a nocao de plano osculador de uma curva em R3. Neste contexto, oprimeiro espaco normal generaliza a nocao de normal principal a uma curvaem R3.

E imediato verificar que o primeiro espaco normal (N1)p e caracterizadoda maneira seguinte:

(N1)p =ν ∈ Np(M);Aν

p = 0⊥

,


onde ( )⊥ indica o complemento ortogonal do espaco em questao. Decorre

daı que r(p) = dim(N1)p ≤n(n+1)

2 ·Uma outra caracterizacao de (N1)p e obtida observando primeiro que

(N1)p e gerado por Bp(X,X), |X| = 1, X ∈ Tp(M), e que 〈Bp(X,X), ν〉 =〈IIνp (X), X〉 para todo ν ∈ Np(M). Como, por outro lado, IIνp (X) e aprojecao sobre ν do vetor curvatura geodesica em Q de uma curva emM passando por p e tangente a X, concluımos que (N1)p e gerado pelas

projecoes sobre Np(M) dos vetores curvaturas geodesicas em Q de todos ascurvas de M que passam por p.

Um caso particular extremamente interessante e quando x : M 2 → Q4.Neste caso, fazendoX = v ∈ Tp(M), |v| = 1, teremosX = cos θ e1+sen θ e2 .Portanto, indicando por Hp o vetor curvatura media em p, obtemos (i, j =1, 2; α = 3, 4)

Bp(X,X)−Hp =∑

α

∑

ij

hαijωi(X)ωj(X)− 1

2

∑

i

hαiieα

=∑

α

(hα11 cos

2 θ+2h12 sen θ cos θ+hα22 sen

2 θ−hα11

2−h

α22

2

)eα

=∑

α

(hα11 − hα222

cos 2θ + hα12 sen 2θ)eα = L

(cos 2θsen 2θ

),

onde L e a matriz dada por

L =

1

2(h311 − h322) h312

1

2(h411 − h422) h412

.

Decorre daı que a aplicacao (Bp − Hp) restrita ao cırculo unitario deTp(M) e a restricao de uma transformacao linear de Tp(M) em Np(M),obtida como a composicao de uma rotacao de angulo θ com uma trans-formacao linear cuja matriz nas bases e1, e2 de Tp(M) e e3, e4 de Np(M)e L. Portanto, a imagem por Bp −Hp do cırculo unitario de Tp(M) e uma

elipse chamada a indicatriz normal de x : M 2 → Q4. E claro que o cen-tro desta elipse e o vetor curvatura media de x e nao e difıcil verificar queela fica inteiramente determinada pela curvatura Gaussiana K de M 2 epela curvatura normal KN da imersao (a curvatura normal de uma imersaox : M2 → Q4 e definida por dω34 = −KN ω1 ∧ ω2).

Para maiores detalhes sobre a indicatriz normal e sua generalizacao paran > 2, V. J. Little [Lit].


Voltemos ao caso geral x : Mn → Qn+q. Um outro invariante importantede x e o numero tipo que e um inteiro definido da seguinte maneira. Sejap ∈ M e escolha, em uma vizinhanca de p, um referencial eA adaptadoa x tal que en+1, . . . , en+r em p gere (N1)p . Considere a n × r submatriz

(ωiµ), µ = n + 1, . . . , n + r, das formas de conexao (ωAB). O numero tipoτ de x em p e o numero maximo de linhas de (ωiµ) tal que as τ r-formasdestas linhas sejam linearmente independentes. Nao e difıcil verificar queτ nao depende do referencial escolhido. Se a codimensao q = 1, τ coincidecom o posto da segunda forma quadratica em p.

As definicoes apresentadas ate agora podem ser estendidas a uma imersao

x : Mn →Mn+q

de Mn em uma variedade riemaniana qualquer Mn+q

. Noque se segue, vamos estudar o problema de reducao de codimensao de umaimersao, o que so fara sentido se o espaco “ambiente” possuir um numerorazoavelmente grande de subvariedades totalmente geodesicas. Como men-cionamos na Secao 1.9, o espaco Qn+q(c) satisfaz a esta condicao.

Diremos que uma imersao x : Mn → Qn+q(c) de uma variedade conexaM em um espaco Qn+q(c) de curvatura constante c e substancial se x(M)nao esta contida em alguma subvariedade totalmente geodesica de Qn+q. Oproblema de reducao de codimensao de uma dada imersao x : Mn → Qn+q

e obter um inteiro d, 1 ≤ d ≤ q, tal que a imersao x : Mn → Qn+d sejasubstancial. Em outras palavras, procura-se saber que parte do espacoambiente Qn+q pode ser desprezada sem afetar a imersao x.

O lema fundamental para tratar o problema de reducao de codimensaoe a seguinte observacao de E. Cartan ([Ca 2], pg. 371).

Lema 1. Se x : Mn → Qn+q(c) uma imersao, p ∈ M e U ⊂ M umavizinhanca de p tal que x|U seja injetiva. Suponha que existe um inteiro 1 ≤d ≤ q, e um referencial eA adaptado a x em uma vizinhanca V ⊃ x(U) dex(p) em Qn+q, de tal modo que ωrA = 0, para todo r = n+ d+1, . . . , n+ q,e todo A = 1, . . . , n+ q. Entao, se U e conexa, x(U) esta contida em umasubvariedade totalmente geodesica Qn+d ⊂ Qn+q.

Demonstracao: Suponhamos primeiro c 6= 0 e consideremos Qn+q(c) ⊂En+q+1 (ou em Rn+q+1 se a curvatura c e positiva), como na Secao 1.11.Estenda o referencial eA de modo a incluir o vetor en+q+1 que descreveQn+q em En+q+1. Entao, em U ,

dx =

n∑

i=1

ωiei = d en+q+1 =∑

A

ωn+q+1,A eA .

Decorre daı que ωn+q+1,i = ωi e ωn+q+1,α = 0, α = n+ 1, . . . , n+ q.

Seja fr : U → R definida por fr(p) = (x(p), (er)p), p ∈ U onde ( , ) e o


produto interno em En+q+1. Entao

dfr = (dx, er) + (x, der) =(x,∑

A

ωrAeA + ωr,n+q+1 en+q+1

).

Por hipotese, ωrA = 0, e pela construcao do referencial, ωr,n+q+1 = 0, pois

〈den+q+1, er〉 = 0 =∑

A

〈ωn+q+1,A eA, er〉 = ωn+q+1,r .

Isto mostra que der = 0, isto e, er e um vetor constante, e dfr = 0. ComoU e conexa, fr = const. Isto significa que x(U) esta contida em um hiper-plano de En+q+1, perpendicular a er , para todo r = n + d + 1, . . . , n + q .Como a interseccao de um tal hiperplano com Qn+q e uma subvariedadetotalmente geodesica de Qn+q, e os vetores er sao linearmente indepen-dentes, concluımos que x(U) esta contida em uma subvariedade totalmentegeodesica de Qn+q de dimensao (n+ q)− (q − d) = n+ d.

No caso em que c = 0, isto e, Qn+q(c) = Rn+q, nao ha necessidadede imergir Rn+q em um espaco auxiliar, e a demonstracao e analoga (emverdade, mais simples).

Nas demonstracoes que se seguem, sera conveniente separar, como acima,o caso c 6= 0, para o qual e conveniente utilizar o espaco auxiliar EN+1 (sec < 0) ou RN+1 (se c > 0). Para evitar repeticoes, nao faremos maismencao do caso c = 0, onde as demonstracoes sao analogas e, em verdade,mais simples.

Para as proposicoes seguintes, precisamos de algumas definicoes que sao

validas no contexto mais geral de uma imersao x : Mn → Mn+q

em umavariedade riemaniana arbitraria M .

Seja x : Mn → Mn+q

. O conjunto dos pares (p, ν) onde p ∈ M e ν ∈Np(M) = dxp(Tp(M))⊥ e chamado o fibrado normal da imersao x eindicado por N(M).

Um subfibrado normal N de N(M) e a escolha para cada p ∈M de um

subespaco Np ⊂ Np(M), de tal modo que exista uma vizinhanca U de p emM e k campos diferenciaveis de vetores normais νi, i = 1, . . . , k, definidosem x(U), linearmente independentes, e que geram Nq para todo q ∈ U .

Diz-se entao que N e gerado localmente pelos campos normais νi , que saochamados as seccoes locais de N em U . O inteiro k e chamado a dimensaode N e representa a dimensao constante da fibra Np , para todo p ∈M . Diz-

se que um campo de vetores normais η pertence a N , e se escreve η ∈ N , seη(p) ∈ Np , para todo p ∈M .

Diz-se que um subfibrado normal N e paralelo na conexao normal separa todo campo diferenciavel de vetores normais η ∈ N e todo campo


diferenciavel de vetores tangentes X, tem-se que ∇⊥Xη ∈ N , isto e, N e

invariante pela derivacao covariante normal.Dado um subfibrado normal N de dimensao q − d de uma imersao

x : Mn →Mn+q

, e conveniente introduzir referenciais da maneira seguinte.Vamos modificar ligeiramente a nossa convencao de ındices e escrever:

1 ≤ i, j, k ≤ n; n+ 1 ≤ α, β, γ ≤ n+ d; n+ d+ 1 ≤ r, s, t ≤ n+ q;

1 ≤ A,B,C ≤ n+ q. (1)

Dado p ∈ M , escolheremos um referencial local eA adaptado a x

de modo que os vetores en+d+1, . . . , en+q geram N . Diremos entao que o

referencial e adaptado a x e a N .E possıvel definir a curvatura normal de um subfibrado N do seguinte

modo. Como na Secao 1.9, e possıvel mostrar que as formas

Ωrs = dωrs −∑

t

ωrt ∧ ωts

mudam, por uma mudanca de referencial adaptado a x e N , como a matrizde uma transformacao linear. Portanto, para cada p ∈M e cada par X,Y ∈Tp(M), e possıvel definir um operador de curvatura (RXY )p : Np → Np da

maneira usual. O correspondente tensor R e chamado o tensor curvaturade N , e as formas Ωrs sao as formas de curvatura de N no referencial eA.

Lema 2. Seja x : Mn → Qn+q(c) uma imersao e seja N um subfibrado nor-

mal de dimensao q−d. Suponhamos que a curvatura de N seja nula. Entaopara todo p ∈M e possıvel escolher um referencial local eA adaptado a x

e a N de modo que ωrs = 0, para todo r, s.

Demonstracao: Como no Lema 1, tome Qn+q(c) ⊂ En+q+1 (ou Rn+q+1

se c for positivo). Considere o conjunto das bases ortonormais e1, . . . ,en+q+1 de En+q+1, isto e, das bases que satisfazem:

(eA, eB) = δAB , (eA, en+q+1) = 0, (en+q+1, en+q+1) =1

c·

Diremos que uma base ortonormal b = eA, en+q+1 em x(p), p ∈ M , e

adaptada a x e a N se dada uma vizinhanca U ⊂M de p onde x e injetiva,as seguintes condicoes sao satisfeitas:

a) e1, . . . , en sao tangentes a x(U) em x(p), e en+1, . . . , en+q sao normaisa x(U) em x(p).

b) en+d+1, . . . , en+q ∈ Np .


c) en+q+1 descreve Qn+q.

Seja BM o conjunto dos pares (p, b), onde p ∈M e b e uma base ortonor-

mal em x(p) adaptada a x e a N . Sejam ωA , ωAB as formas globais de

BM definidas como na Secao 1.10. (Como vimos na Secao 1.11 as formas

ωA,n+q+1 nao aparecem explicitamente). As formas ωrs definem em BM

uma distribuicao no sentido do Teorema de Frobenius. Por hipotese,

dωrs =∑

t

ωrt ∧ ωts . (2)

Mas (2) e precisamente a condicao para que a distribuicao dada por ωrsseja integravel. Portanto, por cada ponto de BM passa uma subvariedadeS, restrita a qual ωrs = 0. Observe que o espaco tangente de cada ponto deS contem um subespaco T (precisamente aquele subespaco que anula todasas formas da conexao normal) que e transversal ao espaco tangente da fibrapor aquele ponto. Entao, dado p ∈M , escolhemos um ponto da fibra sobrep e passamos por este ponto uma subvariedade de S tangente a T . ComoT e transversal a fibra, os pontos desta subvariedade definem uma seccaode BM em uma vizinhanca U de p. Uma tal seccao e um referencial em Upara o qual ωrs = 0.

Observacao 1: O Lema 2 fornece um significado geometrico da curvaturacomo uma obstrucao a uma condicao de integrabilidade. Da mesma maneirase mostraria que as formas Ωij da curvatura da conexao tangente ωij saonulas se e so se e possıvel obter um referencial local adaptado eA demodo que ωij = 0. Estas situacoes sao casos particulares da nocao geralde conexao (derivacao covariante) em um fibrado vetorial, a qual se associauma curvatura que e nula se e so se e possıvel obter seccoes locais do fibradopara as quais a conexao se anula.

Observacao 2: Dado um subfibrado normal N de uma imersao x : Mn→Qn+q existem duas curvaturas a serem consideradas. A curvatura “intrın-seca” de N definida acima (que e essencialmente a curvatura da conexao

ωrs induzida em N , por Qn+q) e a restricao da curvatura normal R⊥XY aos

campos pertencentes a N . Estas duas curvaturas sao em geral distintas.

Podemos agora enunciar alguns resultados sobre reducao de codimensao.

Teorema 1 (Erbacher [Er]). Seja x : Mn → Qn+q uma imersao. Supo-nhamos que exista um inteiro d e um subfibrado normal N , de dimensao d,que e paralelo na conexao normal e contem o primeiro espaco normal N1

de x, isto e, Np ⊃ (N1)p , para todo p ∈ M . Entao existe uma variedade

totalmente geodesica Qn+d ⊂ Qn+q tal que x : Mn → Qn+d. Alem disto,


se d e o menor inteiro que satisfaz as condicoes acima, a imersao x esubstancial.

Demonstracao: Sejam p um ponto de M e U uma vizinhanca de p onde xe injetiva. Considere em U um referencial eA adaptado a x e ao comple-

mento ortogonal N de N em N(M). Observe que N tem dimensao q − d.

Como N e paralelo na conexao normal, N tambem o e. O fato de ser Nparalelo na conexao normal significa que, para todo campo tangente X,

0 = 〈∇⊥X es, eα〉 = ωsα(X), n+ d+ 1 ≤ s ≤ n+ q, n+ 1 ≤ α ≤ n+ d,

isto e, ωsα = 0, para todo s e todo α. Como N contem N1 , IIs = 0, isto e,

ωsi = 0, i = 1, . . . , n. Alem disto, como ωsi = 0 e ωsα = 0, teremos

dωsr =∑

i

ωsi ∧ ωir +∑

α

ωsα ∧ ωαr +∑

t

ωst ∧ ωtr =∑

t

ωst ∧ ωtr ,

onde estamos usando ındices como em (1). Decorre daı que

Ωsr = dωsr −∑

t

ωst ∧ ωtr = 0,

isto e, o fibrado N tem curvatura zero.Pelo Lema 2, podemos escolher o referencial de modo que ωrs = 0.

Portanto ωsA = 0. Pelo Lema 1, x(U) ⊂ Qn+d, onde Qn+d e a interseccaocom Qn+q de uma subvariedade linear constante E ′ de En+q+1 ⊃ Qn+q.Portanto, o teorema e valido localmente.

Para globalizar o resultado, observe que na interseccao de duas taisvizinhancas U e V , temos que x(U ∩ V ) ⊂ Qn+d; isto decorre do fato quea subvariedade linear E′ e constante em M . Como M e conexa, segue-se oresultado.

Finalmente, se d e o menor inteiro que satisfaz as condicoes do Teorema1, e imediato que x e substancial.

Proposicao 1. Seja x : Mn → Qn+q uma imersao. Suponha que o primeiroespaco normal de x tem dimensao constante igual a d e que o numero tipoτ satisfaz τ ≥ 2. Entao existe uma variedade totalmente geodesica Qn+d ⊂Qn+q tal que x : M → Qn+d e a imersao x e substancial.

Demonstracao: Escolha um referencial local eA adaptado a x e ao com-

plementar N de N1 . Entao ωis = 0, donde

0 = dωis =∑

j

ωij ∧ωjs+∑

α

ωiα∧ωαs+∑

t

ωit∧ωts =∑

α

ωiα∧ωαs . (2)


Como τ ≥ 2, podemos supor que todas as formas ω1α , ω2α sao linearmenteindependentes. Portanto, de (2),

ωαs = comb. lin. ω1β ,

ωαs = comb. lin. ω2β ,

donde ωαs = 0. Decorre daı que N1 e paralelo na conexao normal, e aProposicao decorre do Teorema 1.

Teorema 2. Seja x : Mn → Qn+q uma imersao mınima. Suponha que acurvatura normal de x seja nula e que o primeiro espaco normal N1 tenhadimensao constante d. Entao d ≤ n e existe uma variedade totalmentegeodesica Qn+d ⊂ Qn+q tal que x : Mn → Qn+d, e x e substancial.

Demonstracao: Que d ≤ n decorre imediatamente do fato que (V. Prop.1, Secao 1.9) e possıvel diagonalizar simultaneamente todas as segundasformas quadraticas em cada ponto p ∈M .

Para obter a reducao de codimensao requerida, escolha um referencialadaptado eA em uma vizinhanca de um ponto p ∈ M de tal modo queos primeiros d vetores da parte normal en+1, . . . , en+d, . . . , en+q gerem N1 .Entao, usando ındices como em (1), ωir = 0, e, por diferenciacao exterior,obteremos

0 = dωir =∑

j

ωij ∧ ωjr +∑

α

ωiα ∧ ωαr +∑

s

ωis ∧ ωsr =∑

α

ωiα ∧ ωαr .

Vamos mostrar que as formas ωαr sao nulas em U . Para isto, sejaq ∈ U e modifique a parte tangente do referencial eA de modo que osvetores (ei)q diagonalizem todas as segundas formas quadraticas em q. Istoevidentemente nao altera as formas ωαr e permite escrever ωiα = λαi ωi emq, onde λαi e o i-esimo valor proprio de IIαq . Utilizando a expressao anterior,obteremos, em q,

∑

α

λαi ωi ∧ ωαr = −(∑

α

λαi ωαr)∧ ωi = 0,

isto e, para todo i existem numeros ci com

(∑

α

λαi ωαr)= ciωi .

Decorre daı que, em q,

∑

α

λαi ωαr(ej) = ei δij


e, portanto, indicando por Aν a aplicacao correspondente a IIνq ,

ciδijei =(∑

α

λαi ωαr(ej))ei =

∑

α

ωαr(ej)λαi ei

= −∑

α

ωαr(ej)Aα(ei) = −A

∑α

ωαr(ej)eα(ei).

Esta ultima expressao significa que a unica direcao propria de

A

∑α

ωαr(ej)eα(ei) com valor proprio nao nulo e ej com valor proprio −cj .

Por minimalidade, cj = 0, para todo j. Portanto∑α

ωαr(ej)eα ∈ (N1)⊥q,

isto e, pertence ao espaco gerado pelos er . Segue-se que ωαr(ej) = 0, paratodo j, isto e, ωαr = 0 em q. Como q e arbitrario, ωαr = 0 em U .

Como ωαr = 0, N1 e paralelo na conexao normal e o resultado decorredo Teorema 1.

A condicao sobre a curvatura normal no Teorema 2 pode ser enfraque-cida. Mais precisamente, temos o seguinte resultado.

Teorema 3 (do Carmo, Colares [dCCo]). Seja x : Mn → Qn+q umaimersao mınima. Suponha que a dimensao do primeiro espaco normal sejaconstante e igual a d, e que a derivada covariante da curvatura normalseja nula, isto e, ∇⊥R⊥ ≡ 0. Entao existe uma subvariedade totalmentegeodesica Qn+d ⊂ Qn+q tal que x : Mn → Qn+d, e a imersao x e substan-cial.

Antes de iniciar a demonstracao convem estabelecer alguns lemas quenao dependem da condicao de minimalidade.

Lema 3. Seja x : Mn → Qn+q uma imersao. Entao ∇⊥R⊥ ≡ 0 se esomente se para todo p ∈ M , todo X,Y, Z ∈ Tp(M), e todo ξ, η ∈ Np(M)tem-se que

〈[Aξ(t), Aη(t)

]X(t), Y (t)〉 = const.

onde X(t), Y (t), ξ(t), η(t) sao os transportes paralelos de X, Y , ξ, η,respectivamente, ao longo de uma curva α : (−ε, ε) → M , com α(0) = p,α′(0) = Z.

Demonstracao: Suponha que

f(t) = 〈[Aξ(t), Aη(t)

]X(t), Y (t)〉 = const.

Como Qn+q tem curvatura constante, segue da formula de Ricci (Cf. (7’)da Secao 1.9) que

f(t) = 〈R⊥(X(t)Y (t) ξ(t), η(t)〉 = const.


Portanto, usando a definicao de derivada covariante de um tensor da Secao1.7, teremos

∇⊥Z R

⊥(X(t), Y (t), ξ(t), η(t))

= Z〈R⊥(X(t)Y (t))ξ(t), η(t) =df

dt= 0,

pois ∇⊥Z X(t) = ∇⊥

Z Y (t) = ∇⊥Z ξ(t) = ∇⊥

Z η(t) = 0. Como p e X, Y , ξ, ηsao arbitrarios, teremos que ∇⊥R⊥ ≡ 0. Para a recıproca, basta percorrero argumento em sentido contrario.

Lema 4. Seja x : Mn → Qn+q uma imersao, e suponha que ∇⊥R⊥ ≡ 0.Para todo q ∈ M seja Nq =

ξ ∈ Nq(M); 〈[Aξ, Aη]X,Y 〉 = 0, para todo

η ∈ Nq(M) e todo X,Y ∈ Tq(M). Entao N e um subfibrado normal que e

paralelo na conexao normal.

Demonstracao: Seja p ∈M . Escolha, em uma vizinhanca normal U ⊂Mde p, uma base ortonormal e1, . . . , en em Tp(M) e uma base ortonormal

en+1, . . . , en+q em Np(M), de modo que en+d+1, . . . , en+q ∈ Np . Trans-porte a base eA paralelamente ao longo das geodesicas radiais (os vetorestangentes na conexao tangente e os vetores normais na conexao normal),obtendo assim um referencial (que indicaremos ainda por eA) adaptadoa x.

Como (er)p ∈ Np , temos que 〈[Ar, Aη]X,Y 〉p = 0, para todo X,Y ∈Tp(M) e todo η ∈ Np(M). Observe que se q ∈ U , qualquer vetor deTq(M)⊕Nq(M) e o transporte paralelo de um unico vetor de Tp(M)⊕Np(M)(basta tomar vetores que tem as mesmas coordenadas no referencial eA).Pelo Lema 3, 〈[Ar, Aη]X,Y 〉q = 0, para todo q ∈ U , todo X,Y ∈ Tq(M)

e todo η ∈ Nq(M). Portanto, er ∈ Nq , para todo r e todo q ∈ U . Pela

mesma razao, eα /∈ Nq , para todo α e todo q ∈ U .

Decorre daı que N e localmente gerado pelos er . N e, portanto, umsubfibrado normal, e o referencial eA em U e adaptado a x e N .

Finalmente, para mostrar que N e paralelo na conexao normal, sejaξ ∈ N . Como Qn+1 tem curvatura constante, R⊥

XY ξ = 0, para todo par decampos tangentes X, Y . Como ∇ZR

⊥ ≡ 0, para todo campo tangente Z,teremos pela Secao 1.7, ∇⊥

Z (R⊥XY ξ) = R⊥

XY (∇⊥Z ξ) = 0, isto e, ∇⊥

Zξ ∈ N , oque prova o afirmado.

Demonstracao do Teorema 3: Escolha um referencial adaptado eAem uma vizinhanca U de um ponto p ∈ M de tal modo que os primeiros dvetores en+1, . . . , en+d da parte normal de eA geram N1 . Seja N o subfi-

brado normal do Lema 4. Como (N1)⊥ ⊂ N , os vetores en+d+1, . . . , en+q ∈


N . Podemos supor que a dimensao de N e q−ρ, onde ρ < d; caso contrario,N = (N1)

⊥, e o Teorema decorre imediatamente do Lema 4 e do Teorema1. Escolheremos os ındices da maneira seguinte

1 ≤ i, j, k ≤ n, n+ 1 ≤ α, β, γ ≤ n+ ρ, n+ ρ+ 1 ≤ µ, ν, λ ≤ n+ d,

n+ d ≤ r, s, t ≤ n+ q.

Como N tem dimensao q − ρ, o complemento ortogonal em N(M) doespaco gerado pelos vetores er , isto e, N1 , contem um subespaco de di-mensao d − ρ que esta contido em N . Portanto, e possıvel escolher osvetores eµ de N1 de modo que eµ ∈ N .

Sera conveniente acompanhar a demonstracao com o diagrama abaixo,que representa a matriz das formas de conexao.

tangente N

N1

~

i r

i

r

ij i i ir

r

r

sr

Pela construcao do referencial, ωir = 0. Como N e paralelo na conexaonormal, ωrα = 0. Decorre daı que

0 = dωri =∑

j

ωrj ∧ ωji +∑

α

ωrα ∧ ωαi +∑

µ

ωrµ ∧ ωµi +∑

s

ωrs ∧ ωsi

=∑

µ

ωrµ ∧ ωµi .

Alem disso, por definicao de N , e possıvel diagonalizar simultaneamente asformas quadraticas IIµ em cada ponto de U .


Vamos mostrar que as conclusoes acima implicam em que as formas ωrµsao nulas em U . Daı se segue que N1 e paralelo na conexao normal e oTeorema decorre do Teorema 1.

Para mostrar que as formas ωrµ sao nulas, procederemos de maneiraanaloga ao do Teorema 2. Seja q ∈ U e modifique a parte tangente doreferencial eA de modo a diagonalizar as segundas formas quadraticasIIµ em q. Portanto, em q, ωµi = aµi ωi , onde a

µi e o i-esimo valor proprio

de IIµq . Omitindo a indicacao de q, por conveniencia, e usando as expressoesanteriores, obteremos

0 =∑

µ

ωrµ ∧ ωµi = −∑

µ

aµi ωrµ ∧ ωi .

Portanto, existem reais ci tais que

∑

µ

aµi ωrµ(ej) = δij cj ,

isto e,

δijcjei =∑

µ

ωrµ(ej)aµi ei = −

∑

µ

ωrµ(ej)Aµ(ei) = −A

∑µ

ωrµ(ej)eµ(ei).

Decorre daı, por minimalidade, que ci = 0, para todo i.Logo,

∑µ

ωrµ(ej)eµ ∈ (N1)⊥, onde ωrµ = 0 em q. Como q e arbitrario,

ωrµ = 0 em U , o que conclui a demonstracao do Teorema.

Um fato curioso e que a curvatura normal de uma imersao esta ligadacom uma generalizacao da curvatura seccional que passamos a descrever.Para isto precisamos de alguns lemas.

Lema 5. Seja V um espaco vetorial com um produto interno 〈 , 〉. Se A eB sao transformacoes lineares auto-adjuntas de V entao [A,B] = AB−BAe uma transformacao linear antisimetrica.

Demonstracao: Se x, y ∈ V , teremos que 〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉 e 〈Bx, y〉 =〈x,By〉. Portanto,

〈[A,B]x, y〉 = 〈ABx, y〉 − 〈BAx, y〉= 〈x,BAy〉 − 〈x,ABy〉= −〈x, [A,B]y〉.


Lema 6. Seja Mn ⊂ Qn+q e p ∈M . Sejam P ⊂ Tp(M) e σ ⊂ Np(M) doisplanos orientados de Tp(M) e Np(M), respectivamente. Sejam X,Y ∈ Pe ξ, η ∈ σ bases positivas de p e σ, respectivamente. Entao o valor de

〈[Aξ, Aη]X,Y 〉(′area(ξ, η))(

′area(X,Y ))

(3)

depende apenas dos planos orientados p e σ.

Demonstracao: Seja e1, e2 uma base positiva de σ. Entao

ξ = a1e1 + a2e2, Aξ = a1A1 + a2A

2,

η = b1e1 + b2e2, Aη = b1A1 + b2A

2,

onde Ae1 = A1 e Ae2 = A2. Segue-se daı que

[Aξ, Aη] = (a1b2 − a2b1)[A1, A2] = (

′area (ξ, η))[A1, A2].

Por outro lado, seja f1, f2 uma base positiva de P . Entao

X = c1f1 + c2f2 ,

Y = d1f1 + d2f2 ,

donde, indicando por C a matriz antisimetrica C = [Aξ, Aη], teremos

〈CX, Y 〉 = 〈C(c1f1 + c2f2), d1f1 + d2f2〉 = 〈Cf1, f2〉(′area (X,Y ))

pois 〈Ce1, e1〉 = −〈e1, Ce1〉 = 0. Decorre daı que a expressao (3) e iguala 〈[A1, A2]f1, f2〉. Como e1, e2 e f1, f2 sao bases positivas arbitrarias,segue-se o resultado.

Seja x : Mn → Qn+q(c) uma imersao e p ∈ M . Sejam P ⊂ Tp(M)e σ ⊂ Np(M) planos orientados, e sejam X,Y ∈ P , η, ξ ∈ σ basespositivas de P e σ, respectivamente. Pela equacao de Ricci,

〈R⊥XY ξη〉

(′area(X,Y ))(

′area(ξ, η)

=〈[Aξ, Aη]X,Y 〉

(′area(X,Y ))(

′area(ξ, η))

,

e, pelo Lema 6, esta ultima expressao so depende dos planos orientadosP e σ. Vamos denota-la por Kp(P, σ) e chama-la de curvatura biseccionalda imersao x em p segundo os planos P e σ. No caso em que n = 2 eq = 2, Kp(P, σ) se reduz a curvatura normal KN de x : M2 → Q4 dada pordω34 = −KN ω1 ∧ ω2 .


Diremos que a curvatura biseccional e constante por transporte paralelo,se para todo p ∈M e toda geodesica γ(t) partindo de p = γ(0) tem-se que

Kp(P, σ) = Kγ(t)(Pt, σt),

onde Pt e σt sao os transportes paralelos ao longo de γ(t) (Pt na conexaotangente e σt na conexao normal) de P = P0 , σ = σ0 . Observe-se queo Lema 3 significa que ∇⊥R⊥ ≡ 0 se e so se a curvatura biseccional econstante por transporte paralelo.

Define-se, de maneira analoga, ser a curvatura biseccional linear portransporte paralelo, ou mais geralmente, polinomial de grau n por transporteparalelo. Indicando por (∇⊥)n a operacao de derivacao covariante normalaplicada n vezes, um calculo longo, porem simples, mostra que (∇⊥)n ≡ 0se e so se a curvatura biseccional e polinomial do grau n− 1 por transporteparalelo.

Introduziremos agora uma generalizacao da segunda forma quadratica deuma imersao. Para motivar a definicao, consideremos o caso de uma curvax : I → R3. Se o primeiro espaco normal de x tem dimensao constante(no caso presente, isto equivale a dizer que a curvatura de x nao se anulaem ponto algum de I), e possıvel definir a binormal de x, que envolve asterceiras derivadas de x. Analogamente, se o primeiro espaco normal de

uma imersao x : Mn → Mn+q

tem dimensao constante, podemos definir osegundo espaco normal da imersao, que envolve as derivadas terceiras dex. Para simplificar a exposicao, introduziremos a definicao no caso em que

Mn+q

= Rn+q; Para o caso geral, V. M. do Carmo e N. Wallach [dCWa].Seja x : Mn → Rn+q uma imersao e suponhamos que o primeiro espaco

normal tem dimensao constante r. Vamos usar os ındices:

1 ≤ i, j, k ≤ n; n+ 1 ≤ α, β, γ ≤ n+ r; n+ r + 1 ≤ µ, λ, ν ≤ n+ q;

1 ≤ A,B,C ≤ n+ q.

Como dx =∑

ωiei , teremos

d2x =∑

i

ωidei + parte tangente

=∑

ij

ωiωijej +∑

iα

ωiωiαeα +∑

iµ

ωiωiµeµ + parte tang.

=∑

iα

ωiωiαeα + parte tang. =∑

α

IIα eα + parte tang.

Decorre daı o fato ja conhecido que a componente normal de d2x e∑α

IIα eα .


Analogamente,

d3x =∑

α

IIα deα +∑

α

dIIα eα +∑

i

Aidei + parte tangente,

onde o conhecimento dos Ai nao nos interessa. Como ωiµ = 0, a projecaoortogonal de d3x sobre o complemento ortogonal (N1)

⊥ do primeiro espaconormal e dada por

∑

αµ

IIα ωαµ eµ =∑

µ

(∑

αi

ωiωiαωαµ)eµ .

Por analogia com a segunda forma quadratica IIα =∑i

ωiωiα , que e a

projecao de d2x sobre N(M), chamaremos de terceira forma fundamentalde x na direcao eµ a forma cubica

IIIµ =∑

αi

ωi ωiα ωαµ .

O complemento ortogonal em Np(M) do espaco gerado pelos (eµ)p tais que

IIIµp = 0 e chamado o segundo espaco normal (N2)p de x em p. Observe

que (N2)p ⊃ (N1)p . A soma (N2)p ⊕ Tp(M) e chamada o segundo espacoosculador de x em p.

O processo pode agora ser repetido sem dificuldades. Se o segundoespaco normal tem dimensao constante, e possıvel projetar d4x sobre ocomplementar em Np(M) de (N2)p , obtendo uma forma quartica que echamada a quarta forma fundamental de x. O complemento ortogonal emNp(M) do anulador de tais formas e chamado o terceiro espaco normal(N3)p de x em p, e assim sucessivamente. Diz-se que uma imersao e n-regular se os espacos normais de ordem k, para todo k ≤ n, tem dimensaoconstante.

As varias formas homogeneas associadas a uma imersao nao sao indepen-dentes. Como exemplo, indicaremos uma relacao entre as segundas formasquadraticas e as terceiras formas fundamentais.

Proposicao 2 (E. Cartan [Ca 2], pg. 378). Seja x : Mn → Rn+q umaimersao tal que o primeiro espaco normal tem dimensao constante r. SejaeA um referencial local adaptado a x de modo que os eα gerem N1 , n+1 ≤α, β, γ ≤ n + r. Sejam IIα a segunda forma quadratica na direcao eα , eIIIµ a terceira forma fundamental na direcao eµ , n+r+1 ≤ µ, λ, ν ≤ n+q.Entao

∂IIIµ

∂ωi= 3

∑

α

∂ωαµ∂ωi

IIα, (4)


onde ∂IIµ

∂ωi, por exemplo, e definido considerando IIIµ como um polinomio

do terceiro grau nas variaveis ω1, . . . , ωn .

Demonstracao: Como IIIµ =∑iα

ωiωiαωαµ , teremos

∂IIIµ

∂ωi=∑

α

ωiαωαµ +∑

jα

ωj∂ωjα∂ωi

ωαµ +∑

jα

ωjωjα∂ωαµ∂ωi

· (5)

Vamos mostrar que as tres parcelas de (5) sao iguais.

Em primeiro lugar, como ωjα =∑k

hαjk ωk , temos que∂ωjα∂ωi

= hαji , donde

∑

j

ωj∂ωjα∂ωi

=∑

j

hαij ωj = ωiα (6)

o que mostra que as duas primeiras parcelas de (5) sao iguais.Em seguida, observe que

0 = dωiµ =∑

j

ωij ∧ ωjµ +∑

α

ωiα ∧ ωαµ +∑

λ

ωiλ ∧ ωλµ =∑

α

ωiα ∧ ωαµ .

Portanto, fazendo ωαµ =∑k

Aµαk ωk , teremos

0 =∑

α

∑

jk

hαij Aµαk ωj ∧ ωk

,

donde ∑

α

hαij Aµαk =

∑

α

hαik Aµαj ,

para todo i, j, k, µ. Portanto,

∑

α

hαjiAµαk =

∑

α

hαjk Aµαi .

Decorre daı que

∑

αk

hαjiAµαk ωk =

∑

α

hαji ωαµ =∑

α

∂ωjα∂ωi

ωαµ

=∑

αk

hαjk Aµαi ωk =

∑

α

ωjαAµαi

=∑

α

ωjα∂ωαµ∂ωi

,

116 O Teorema de Allendoerfer. Curvatura total de uma imersao. Secao 2.4

isto e,∑

α

∂ωjα∂ωi

ωαµ =∑

α

ωjα∂ωαµ∂ωi

, (7)

o que mostra que as duas ultimas parcelas de (5) sao iguais. Notando queIIα =

∑j

ωjωjα , obteremos (4), como querıamos.

Gostarıamos de concluir esta secao com uma conjectura.

Conjectura (generalizacao do Teorema 3). Se x : Mn → Qn+q e umaimersao mınima n-regular e (∇⊥)nR⊥ ≡ 0, entao x : Mn → Qn+ρ, onde ρe a dimensao do n-esimo espaco normal.

Observacao 2. Em sua tese de Doutorado no IMPA (1980), Marcos Da-jczer obteve uma serie de teoremas sobre reducao de codimensao entreos quais se encontra a prova de uma generalizacao de conjectura acima(V. [Da 2], V. tambem [Da 1]).

Observacao 3. Existe um teorema de reducao de codimensao do qual seconclue o seguinte: Se x : Mn → Qk(c) × R e uma imersao isometrica eexiste um subfibrado V d, de dimensao d < k, do fibrado normal tal queW = TM ⊕ V e invariante pelo tensor curvatura R do espaco ambienteno sentido que quando campos X,Y, Z ∈ W temos que R(X,Y )Z e W ,entao existe uma variedade totalmente geodesica Sd de Qk(c) × R tal quex(Mk) ⊂ Sd.

O teorema, em verdade, se aplica a espacos ambientes mais gerais, man-tida a condicao de invariancia pela curvatura. Para detalhes V. ([ET], Teo-rema 2). Nao sabemos se o caso particular no qual Qk(c) × R e o espacoambiente pode ser demonstrado com os metodos desta Secao.

2.4 O Teorema de Allendoerfer. Curvatura total de uma

imersao. O Teorema de Chern e Lashof

Vimos na Secao 2.2 que se a segunda forma quadratica de uma hipersu-perfıcie tem posto maior ou igual a tres, entao a hipersuperfıcie esta inteira-mente determinada por sua metrica induzida, a menos de um movimentorıgido (Teorema de Beez). Na Secao 2.3 introduzimos a nocao de numerotipo de uma imersao x : Mn → Qn+q que generaliza a nocao de posto deuma hipersuperfıcie. Nesta Secao demonstraremos um analogo do Teoremade Beez para codimensao arbitraria.


Teorema 1 (Allendoerfer). Sejam x, x′ : Mn → Qn+q duas imersoes deuma variedade conexa M em Qn+q tais que as seguintes condicoes sejamverificadas.

1) As metricas induzidas por x e x′ em M sao iguais.

2) Para todo ponto p ∈ M , posto x = posto x′ = r, e r nao depende dep.

3) Para todo ponto p ∈M , o numero tipo de x e maior ou igual a tres.

Entao existe um movimento rıgido ρ de Qn+q tal que ρ x = x′.

Demonstracao: Seja p ∈ M e U ⊂ M uma vizinhanca de p tal que x|Useja injetiva e exista um referencial eA adaptada a x. Como a dimensaodo primeiro espaco normal e uma constante r e o numero tipo τ ≥ 2,concluımos, pela Proposicao 1 da Secao 2.3, que ambas x e x′ sao imersoessubstanciais em Qn+r. Seja f = x′x−1|x(U). Vamos definir um referencialadaptado e′A em x′(U) de tal modo que

f∗ω′A = ωA , f∗ω′AB = ωAB . (1)

A definicao de e′A sera feita em varias etapas. Primeiro, definimosa parte tangente por e′i = df(ei). Como f e uma isometria, f∗ω′i = ωi ,f∗ω′ij = ωij . A parte normal e′α sera definida provisoriamente de maneiraarbitraria; nosso objetivo e mostrar que e possıvel modificar os e′α de modoque (1) seja satisfeita.

Como f∗ω′ij = ωij , teremos f∗dω′ij = dωij , e portanto

f∗dω′ij = f∗(∑

k

ω′ik ∧ ω′kj)+ f∗

(∑

α

ω′iα ∧ ω′αj)

= dωij =∑

ωik ∧ ωkj +∑

α

ωiα ∧ ωαj .

Decorre daı que, para todo i, j,∑

α

f∗ω′iα ∧ f∗ω′αj =∑

α

ωiα ∧ ωαj . (2)

Precisamos agora de um lema de algebra linear.

Lema 1 (Chern). Sejam yiα , y′iα , α = 1, . . . , r, i = 1, . . . , n, formaslineares em um espaco vetorial de dimensao n. Seja τ o maior numero delinhas da matriz (yiα) tal que as τr formas destas linhas sejam linearmenteindependentes. Suponha que τ ≥ 3 e que

∑

α

yiα ∧ yjα =∑

α

y′iα ∧ y′jα , (3)


para todo i, j = 1, . . . , n. Entao existe uma matriz ortogonal (hβα) tal que

y′iβ =∑

α

hβα yiα , β = 1. . . . , r.

Demonstracao do Lema 1: Primeiro afirmamos que se yα , y′α , zα e z′α

sao formas lineares e:a) yα, zα sao linearmente independentes,b)

∑α

yα ∧ zα =∑α

y′α ∧ z′α ,entao, y′α, z

′α sao tambem linearmente independentes e cada um dos y′α e

combinacao linear dos yβ , zβ .Com efeito, como

(∑

α

y′α ∧ z′α)r

=(∑

α

yα ∧ zα)r

= cy1 ∧ · · · ∧ yr ∧ z1 ∧ · · · ∧ zr 6= 0, c 6= 0,

concluımos que as formas y′α, z′α sao linearmente independentes. Qualquer

uma delas, digamos, y′1, satisfaz

y′1 ∧(∑

α

yα ∧ zα)r

= y′1 ∧ (c′y′1 ∧ · · · ∧ y′r ∧ z′1 ∧ · · · ∧ z′r) = 0

= y′1 ∧ (c y1 ∧ · · · ∧ yr ∧ z1 ∧ · · · ∧ zr),

e portanto e uma combinacao linear de yβ , zβ , o que prova a afirmacao feita.

Considere agora as formas lineaes yiα, y′iα do enunciado do lema. Como

τ ≥ 3, podemos supor que as formas

y1α , y2α , y3α

sao linearmente independentes. Entao, fazendo em (3) i = 1, j = 2 e i = 1,j = 3, e usando a afirmacao inicial, obteremos

y′1α = comb. lin. y1β , y2γ ,

y′1α = comb. lin. y1β , y3δ, γ, δ = 1, . . . , r.

Como as formas y1β , y2γ , y3δ sao linearmente independentes, conclui-se quey′1α depende apenas de y1β , isto e,

y′1α =∑

β

kαβ y1β .

Analogamente,

y′2α =∑

α

`αβ y2β , y′3α =∑

α

mαβ y3β .


Indiquemos com K = (kαβ), L = (`αβ), M = (mαβ). Como∑

α

y′1α ∧ y′2α =∑

αβγ

kαβ `αγ y1β ∧ y2γ =∑

α

y1α ∧ y2α ,

concluımos que K∗L = I, onde K∗ indica a matriz transposta de K e I e amatriz identidade. Analogamente, L∗M = I, M∗K = I. Isto implica queK, L e M sao matrizes ortogonais e K = L = M . Portanto, para i = 1, 2, 3,

y′iβ =∑

β

kβα yiα .

Finalmente, como para todo j,∑

α

yiα ∧ yjα =∑

β

y′iβ ∧ y′jβ ,

teremos, para i = 1, 2, 3∑

α

yiα ∧ yjα =∑

β

∑

α

kβα yiα ∧ y′jβ =∑

α

yiα ∧(∑

β

kβα y′jβ

),

ou seja ∑

α

yiα ∧

(yjα −

∑

β

kβα y′jβ

)= 0.

Usando o lema de Cartan e o fato que τ ≥ 2, concluımos que, para todo j,

yjα =∑

β

kβα y′jβ ,

o que termina a demonstracao do lema.

Voltemos a demonstracao do Teorema de Allendoerfer. Aplicando olema, obteremos, para todo q ∈ U ,

f∗ω′iβ =∑

α

kβα ωiα .

E facil ver que a matriz kβα varia diferenciavelmente com q. Suponhamosefetuada a transformacao kβα em N(U), para todo q ∈ U , e indiquemoso referencial normal assim obtido com a mesma notacao anterior. Assim,f∗ω′iα = ωiα .

Como f∗ω′iα = ωiα , teremos que f∗(dω′iα) = dωiα , e portanto

f∗(dω′iα) = f∗(∑

k

ω′ik ∧ ω′kα)+ f∗

(∑

β

ω′iβ ∧ ω′βα)

= dωiα =∑

k

ωik ∧ ωkα +∑

β

ωiβ ∧ ωβα ,


donde, pelo que acabamos de provar,

∑

β

f∗ω′iβ ∧ f∗ω′βα =∑

β

ωiβ ∧ ωβα ,

isto e, ∑

β

ωiβ ∧ (f∗ω′βα − ωβα) = 0.

Como τ ≥ 2, podemos supor que ω1α, ω2α sao linearmente independentes.Pelo lema de Cartan,

f∗ω′βα − ωβα = comb. lin. ω1γ

f∗ω′βα − ωβα = comb. lin. ω2γ ,

donde f∗ω′βα = ωβα . Portanto, dado um referencial adaptado do eA emx(U), existe um referencial adaptado e′A em x′(U) tal que (1) se verifica.

Pelo teorema de unicidade local da Secao 1.10, existe um movimentorıgido ρU de Qn+r que leva x(U) em x′(U). Como o primeiro espaco normaltem dimensao constante r, a imersao e substancial em cada aberto U ⊂M . Decorre daı que ρU e unico, e que, portanto, existe ρ = ρU tal queρ x = x′.

Observacao 1: A hipotese sobre o numero tipo no Teorema 1 e certa-mente uma condicao muito forte. Entretanto, teoremas de unicidade emcodimensao arbitraria sao extremamente raros, e, sem introduzir hipotesesglobais, o teorema de Allendoerfer parece ser o unico conhecido. Para umteorema de unicidade global em codimensao arbitraria V. J.D. Moore [Mo].

Observacao 2: Uma outra prova do Teorema de Allendoerfer, junto comalgumas observacoes pertinentes, pode ser encontrada em ([Da 1], Cap. 6).

Seja agora x : Mn → Qn+q uma imersao e suponhamosM orientada. NaSecao 2.1 introduzimos, para o caso em que q = 1, a curvatura de Gauss-Kronecker como o determinante da (unica) segunda forma quadratica de x.No caso presente, a curvatura de Gauss-Kronecker se generaliza da seguintemaneira.

Seja p ∈ M e ν ∈ Np(M) um vetor normal unitario. A curvatura deLipschitz-Killing G(p, ν) de x no par (p, ν) e por definicao

G(p, ν) = (−1)n det Aνp ,

onde Aνp e a aplicacao linear auto-adjunta associada a IIνp .


No caso em que Qn+q e o espaco euclideano Rn+q, a curvatura G(p, ν)possui duas interpretacoes geometricas interessantes, que passamos a apre-sentar.

Para a primeira delas, seja L(ν) = Tp(M)⊕Rν, isto e, L(ν) e o espacogerado por Tp(M) e ν. Entao G(p, ν) e a curvatura de Gauss-Kronecker emp da hipersuperfıcie obtida projetando ortogonalmente x(M) sobre L(ν).

Para provar este fato, basta mostrar que IIνp e a segunda forma quadraticada hipersuperfıcie x′ : M → L(ν) ⊂ Rn+q, onde x′ e a projecao ortogonalde x sobre L(ν). Para isto, escolha um referencial adaptado eA em umavizinhanca U ⊂M de p com en+1 = ν. Observe que, para todo r ∈ U ,

x′(r)− x(r) = an+2(r)(en+2)p + · · ·+ an+q(r)(en+q)p , (4)

x′(r)− x(p) = comb. lin. (e1)p, . . . , (en+1)p , (5)

onde aλ(r), λ = n+ 2, . . . , n+ q, sao funcoes diferenciaveis em U . Decorrede (4) que

aλ = 〈x′(r)− x(r), (eλ)p〉.

Portanto, de (4) e (5), concluımos que

dx′ = dx+∑

λ

daλ(eλ)p

= dx+∑

λ

〈dx′ − dx, (eλ)p〉(eλ)p

= dx−∑

λ

〈dx, (eλ)p〉(eλ)p ,

donde

d2x′ = d2x−∑

λ

〈d2x, (eλ)p〉(eλ)p .

Assim

IIν = 〈d2x, ν〉 = 〈d2x, en+1〉 = 〈d2x′, en+1〉 = 〈d2x′, ν〉,

como havıamos afirmado.

A segunda interpretacao de G(p, ν) depende de estender a definicao daaplicacao normal de Gauss para o caso x : Mn → Rn+q. Uma maneirapossıvel (porem nao a unica) de introduzir uma tal generalizacao e a seguinte.

Seja x : M → Rn+q uma imersao. Seja N(M) o fibrado normal de x eN0(M) o fibrado normal unitario correspondente, isto e,

N0(M) = (p, ν) : p ∈M, ν ∈ Np(M), (ν) = 1.


Seja Sn+q−1 ⊂ Rn+q a esfera unitaria do espaco euclidiano Rn+q. Aaplicacao ν : N0(M)→ Sn+q−1 dada por ν(p, ν) = ν e chamada a aplicacaonormal de x. Como N0(M) e uma variedade diferenciavel de dimensaon+ q − 1, e possıvel falar no determinante de dν. Afirmamos que

G(p, ν) = (−1)n det dν(p,ν) .

Para provar este fato, observe primeiro que T(p,ν)(N0(M)) contem Tp(M)e que a restricao de dν(p, ν) coincide com a aplicacao linear auto-adjuntaAνp associada a IIνp . Com efeito, se v ∈ Tp(M) temos, diferenciando a

expressao〈dxp(v), ν〉 = 〈dx(v), ν(p, ν)〉 = 0

que

IIνp = 〈d2xp(v, v), ν〉= 〈dxp(v), dνp,ν)(v)〉.

Alem disto, para todo vetor unitario normal η, temos que dν(p,ν)(η) = η,isto e, a aplicacao dν(p,ν) restrita ao complemento ortogonal de Tp(M) emT(p,ν)(N0(M)) e a identidade. Juntando estes fatos, concluımos

(−1)n det dν(p,ν) = (−1)n det Aνp = G(p, ν),

o que prova a afirmacao feita.

A vantagem desta segunda interpretacao e que ela e global. Como nocaso de hipersuperfıcies, a existencia da aplicacao normal tem fortes im-plicacoes topologicas. Mesmo no caso de curvas em R3 (n = 1, q = 2),onde, indicando por k a curvatura usual da curva, temos

∫

N0(p)

|G(p, ν)| =∫ 2π

0

|k cos θ| = 4|k|,

e e possıvel provar o seguinte teorema, devido a Fenchel.

Teorema (Fenchel). Seja C1 ⊂ R3 uma curva compacta em R3 e seja k asua curvatura. Entao

∫

C

|k| =∫

C

∫

N0(p)

1

4|G(p, ν)| ≥ 2π,

e a igualdade ocorre se e so se C for uma curva plana convexa.

Para uma demonstracao, V. M. do Carmo [dC 4].

Motivados pelo teorema de Fenchel, S.S. Chern e R. Lashof introduziramem [ChLa 1] o conceito de curvatura total K de x : Mn → Rn+q por

K =

∫

M

∫

N0(p)

|G(p, ν)|dσ dm,


onde dσ indica a forma volume da esfera N0(p) e dm indica a forma volumede M . Com esta definicao, e possıvel generalizar o teorema de Fenchel damaneira seguinte.

Teorema 2 (Chern, Lashof [ChLa 1]). Seja x : Mn → Rn+q uma imersaode uma variedade Mn conexa, compacta e orientada, e seja cn+q−1 o volumeda esfera unitaria de Rn+q. Entao a curvatura total de x e maior ou iguala 2cn+q−1 , e a igualdade ocorre se e so se x(Mn) ⊂ Rn+1 e x(M) e afronteira de um corpo convexo de Rn+1.

Demonstracao: Seja ν : N0(M) → Sn+q−1 a aplicacao normal de x. Ob-serve primeiro que todo ponto ν0 ∈ Sn+q−1 e coberto pelo menos duas vezespor ν. Com efeito, a funcao h : M → R dada por h(x) = 〈x(p), ν0〉 tem,por compacidade, pelo menos dois pontos crıticos distintos p, q ∈M ; e claroque dois dos quatro pontos (p,±ν0), (q,±ν0) sao levados por ν em ν0 , oque prova a afirmacao feita. Como a curvatura total de x e o volume daimagem por ν dos pontos nao crıticos de N0(M) e, pelo teorema de Sard,um tal conjunto e aberto e denso em Sn+q−1, concluımos que

K =

∫

M

∫

N0(p)

|G(p, v)| dσ dm ≥ 2cn+q−1 ,

que e a desigualdade afirmada no enunciado do teorema.

Para tratar o caso da igualdade, precisaremos de um lema.

Lema 2. Se a curvatura total de x : Mn → Rn+q e igual a 2cn+q−1 , entaoexiste uma subvariedade linear Rn+1 de Rn+q tal que x(Mn) ⊂ Rn+1 e acurvatura total de x : Mn → Rn+1 e 2cn .

Demonstracao do Lema 2: Podemos supor que q ≥ 2. Seja (p, ν0(p)) ∈N0 tal que G(p, ν0) 6= 0. Escolha um referencial local em uma vizinhancade p de modo que (en+p)p = ν0 . Seja σ ⊂ Np o subespaco de dimensao dois

gerado por en+q, en+q−1. Seja ν ∈ σ um vetor normal unitario dado por

ν(θ) = ν = en+q cos θ + en+q−1 sen θ.

Como

G(p, ν) = (−1)n det dν(p,ν)

= (−1)n det Aνp

= (−1)n det(cos θ An+qp + sen θ An+q−1

p ),

concluımos que, fixado p e fazendo ν(θ) variar em σ, G(p, ν) e um polinomioem cos θ e sen θ. Decorre daı G(p, ν) = f(θ) e uma funcao analıtica de θque nao se anula identicamente pois f(0) = G(p, ν0) 6= 0.


Vamos admitir que x(M) nao esta contida em um hiperplano de Rn+q

e obter uma contradicao.

Seja Hθ o hiperplano tangente em x(p) perpendicular a ν(θ). Comox(M) nao esta contido em um hiperplano, existem um hiperplano tangenteHθ1 e pontos q1, q2 ∈ M tais que x(q1) e x(q2) estao em lados opostos deHθ1 . Como f(θ) e analıtica e nao e identicamente nula, existe θ2 , pertode θ1 , tal que f(θ2) = G(p, ν(θ2)) 6= 0, e x(q1), x(q2) ainda estao em ladosopostos de Hθ2 . O fato de ser G(p, ν(θ2)) 6= 0 implica que ν e um difeo-morfismo em uma vizinhanca W de (p, ν(θ2)) ∈ N0(M). Podemos escolherW suficientemente pequena para que se (p′, ν′) ∈ W , entao x(q1) e x(q2)estao ainda em lados opostos do hiperplano tangente a x(p′) e perpendi-cular a ν′. A funcao altura 〈x, ν ′〉 em M tem entao tres pontos crıticos:um maximo, um mınimo, e p′; pela construcao feita, p e certamente dis-tinto do maximo e do mınimo. Decorre daı que uma vizinhanca do pontoν(p, ν(θ2)) ∈ Sn+q−1 e coberta por ν pelo menos tres vezes. Como, peloargumento da desigualdade, cada ponto de Sn+q−1 e coberto por ν pelomenos duas vezes, concluımos que a curvatura total e estritamente maiordo que 2cn+q−1 . Isto e uma contradicao, e mostra que x(M) esta contidoem um hiperplano Rn+q−1 de Rn+q.

Vamos agora mostrar que a curvatura total da nova imersao x′ : M →Rn+q−1 e 2cn+q−2 . Para isto, indicaremos com uma linha as entidadesrelativas a imersao x′. Seja ω um vetor unitario perpendicular ao hiperplanoRn+q−1, e seja Sn+q−2 a esfera unitaria de Rn+q−1. Podemos pensar emSn+q−2 como o equador de Sn+q−1, onde ω e, digamos, o polo norte. SejaN0(M)′ o fibrado normal unitario de x′. Observe que N0(M)′ ⊂ N0(M) eque ν(N0(M)′) ⊂ Sn+q−2. Seja ν′ a restricao de ν a N0(M

′). Basta provarque a imagem inversa de um valor regular de ν ′ contem exatamente doispontos.

Suponhamos o contrario, isto e, que existe um valor regular de ν ′ cujaimagem inversa contem pelo menos tres pontos. Entao existe um abertoU ⊂ Sn+q−2 tal que para todo µ ∈ U existem pelo menos tres pontos de M ,p1, p2, p3, que tem µ como vetor normal. Todos os vetores unitarios quepertencem ao grande cırculo de Sn+q−1 determinado por µ e ω sao entaonormais a x(M) em x(p1), x(p2), x(p3). Portanto o conjunto formado pelauniao de tais grandes cırculos e um aberto de Sn+q−1 que e coberto por νpelo menos tres vezes. Decorre daı que a curvatura total de x e maior doque 2cn+q−1 , uma contradicao.

Conclui-se do que foi visto que x(Mn) ⊂ Rn+q−1 e que a nova imersaox′ : Mn → Rn+q−1 tem curvatura total 2cn+q−2 . Por inducao em q, obtem-se que x(Mn) ⊂ Rn+1 e que a curvatura total da nova imersao e 2cn .


Voltemos a demonstracao do Teorema 2. Como a curvatura total dex : Mn → Rn+1 e 2cn , a imagem inversa de um valor regular da aplicacaonormal de Gauss ν : N0(M) → Sn de x contem exatamente dois pontos.Portanto, a funcao altura h(p) = 〈x(p), ν〉, p ∈M , relativa a um valor regu-lar ν de ν possui exatamente dois pontos crıticos. Segue-se da Observacao6 do Teorema 3 da Secao 2.1 que x e um mergulho e x(Mn) ⊂ Rn+1 e afronteira de um corpo convexo.

Reciprocamente, suponha que x e um mergulho deMn em Rn+1 e x(M)e a fronteira de um corpo convexo. Se ν e um valor regular da aplicacaonormal ν : N0(M) → Sn, entao a curvatura de Gauss-Kronecker K nospontos da imagem inversa ν−1(ν) e nao nula. Afirmamos que ν−1(ν) contemexatamente dois pontos p1 e p2 . Com efeito, suponha que existe um terceiroponto p3 . Entao, por convexidade, dois dos hiperplanos tangentes em x(pi),i = 1, 2, 3 terao que coincidir. Seja Ti o hiperplano tangente em x(pi) edigamos que T1 = T2 = T . Por convexidade, e como T e um hiperplanotangente, x(M) contem o segmento x(p1)x(p2). Mas isto contradiz o fatode ser K(p1) 6= 0, e prova a afirmacao feita. Decore daı que a curvaturatotal de x e 2cn , e isto termina a demonstracao do Teorema.

Observacao: O Teorema de Chern-Lashoff deu origem a uma extensa lite-ratura em Geometria Diferencial. A nocao de curvatura total se relacionanaturalmente com a teoria dos pontos crıticos de funcoes diferenciaveis emvariedades (Teoria de Morse). Para maiores detalhes V. as notas de L.Rodrıguez [Ro 2]. Veja-se tambem o artigo de Sunday [Su].

Uma condicao local que implica, em variedades compactas, na mesmaconclusao do Teorema de Chern-Lashoff e dada no teorema seguinte.

Teorema 3 (do Carmo, Lima [dCLi 1]). Seja x : Mn → Rn+q uma imersaode uma variedade compacta e conexa M . Suponhamos que as segundasformas quadraticas sejam semi-definidas (isto e, seus valores proprios naonulos tem o mesmo sinal) e que, para algum (p, ν0) ∈ N0(M), se tenha queIIνp e positiva definida. Entao, existe uma subvariedade linear Rn+1 ⊂ Rn+q

tal que x : Mn → Rn+1, x e um mergulho e x(M) ⊂ Rn+1 e a fronteira deum corpo convexo.

Demonstracao: Para todo ν ∈ Sn+q−1 defina a funcao altura h : M → Rpor h(p) − 〈x(p), ν〉, p ∈ M . Observe que se ν e um valor regular deν : N0(M)→ Sn+q−1, entao o Lema 2 da Secao 2.1 ainda e valido, isto e, ospontos crıticos de h nao-degenerados e sao pontos de maximo ou de mınimode h. A demonstracao e a mesma que a do Lema 2 da Secao 2.1. Pelo Lema3 da Secao 2.1, h possui exatamente dois pontos crıticos.


Observe agora que a primeira parte do Lema 2 do Teorema de Chern-Lashoff depende apenas da existencia de um ponto (p, ν0) com G(p, ν0) 6= 0,e do fato da funcao altura relativa a um valor regular de ν possuir apenasdois pontos crıticos. Como tais condicoes sao verificadas no nosso caso,concluımos, por inducao, que existe uma subvariedade linear Rn+1 de Rn+q

tal que x : Mn → Rn+1 e x ainda satisfaz as hipoteses do Teorema 3. Mas,no caso de x : Mn → Rn+1, as hipoteses do teorema significam que a cur-vatura seccional da metrica induzida de M e nao-negativa. Pelo Teoremada Secao 2.1, x e um mergulho e x(M) ⊂ Rn+1 e a fronteira de um corpoconvexo.

Observacao: O Teorema 3 foi generalizado por L. Jonker [Jo 1] para ocaso de ser M completa.

Referencias

[Am] Amaral, L. Hypersurfaces in non-Euclidean spaces, Thesis, U. ofCalifornia, Berkeley, 1964.

[Amb] Ambrose, W. Parallel translation of Riemannian curvature, Ann. ofMath. 64 (1956), 337-363.

[An] Andrade, R.L. de, Complete convex hypersurfaces of a Hilbert space,J. Diff. Geometry, 10 (1975), 491-499.

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O Método do Referencial Móvel - IMPA · • Uma Introdução a Soluções de Viscosidade para Equações de Hamilton-Jacobi – Helena J. Nussenzveig Lopes, Milton C. Lopes Filho