O problema da divisão das apostas e outras histórias

O problema da divisão das apostas e outras histórias

Carlos TenreiroDepartamento de Matemática

Universidade de Coimbra

Escola Superior de Tecnologia e GestãoGuarda, 23 de Novembro de 2006

Plano da exposição

1. O problema da divisão das apostas2. O conceito de probabilidade3. O problema dos três dados 4. Soluções de Pascal e de Fermat para o

problema da divisão das apostas5. O erro de d’Alembert

O problema da divisão das apostas

Dois jogadores jogam uma série de partidas justas até que um deles obtenha 6 vitórias.

Por motivos exteriores ao jogo, este é interrompido quando um dos jogadores somava 5 vitórias e o outro 3 vitórias.


Jogador A

Jogador B

V V V V V

VVV


Como devemos dividir, de forma justa, o montante apostado por ambos os

jogadores?


Por volta de 1652, este problema é colocado a Pascal (1623-1662) pelo Chevalier de Méré, um homem de letras e filósofo marcante na corte de Luís XIV.

Blaise Pascal


No verão de 1654, ele é o principal motivo duma troca de correspondência entre Pascal e Fermat (1601-1665).

Pierre de Fermat


Esse conjunto de documentos é composto por 7 cartas:

- 1ª carta, de Pascal para Fermat, que já não existe;- 2ª carta, de Fermat para Pascal, da qual se desconhece a

data em que foi escrita;- 3ª carta, de Pascal para Fermat, escrita a 29 de Julho de

1654;- 4ª carta, de Pascal para Fermat, de 24 de Agosto de 1654;- 5ª carta, de Fermat para Pascal, de 29 de Agosto de 1654;- 6ª carta, de Fermat para Pascal, de 25 de Setembro de 1654;- 7ª carta, de Pascal para Fermat, de 27 de Outubro de 1654.


O problema já tinha sido discutido por vários matemáticos:

1494 – Pacioli (1445-1517) propõe:

Prémio83Prémio

85

Luca Pacioli

O problema da divisão das apostas1556 – Tartaglia (1499-1557) diz: “A solução de Pacioli

não parece estar correcta, mas qual-quer que seja a forma de dividir o prémio haverá sem-pre lugar a litígio”

Nicolo Tartaglia


1564 – Cardano (1501-1576) diz:

“Há um erro evidentena divisão do prémio

proposta por Pacioli queaté uma criança pode

reconhecê-lo”

Girolamo Cardano


Para os matemáticos anteriores o problema da divisão das apostas é um problema sobre proporções.

Para Pascal e Fermat o problema reduz-se a um problema de probabilidades.


“Ninguém, antes de Pascal e Fermat, estabeleceu os princípios e os métodos que permitissem calcular as chances favoráveis e desfavoráveis aos jogadores, bem como resolver questões complicadas deste género.”

Laplace, P.-S., 1814, Essai Philosophique sur les

Probabilités.

Probabilidade

A probabilidade é um número entre 0 e 1 (ou entre 0% e 100%).

A probabilidade quantifica a maior ou menor possibilidade que um acontecimento tem de ocorrer.

Quanto maior for a probabilidade de determinado acontecimento, mais possibilidade tem ele de ocorrer.

Probabilidade

Probabilidade =

resultados favoráveisresultados possíveis

Para resultados igualmente prováveis:

Probabilidade

A definição anterior de probabilidade é conhecida como

“Definição Clássica” sendo atribuída a

Laplace (1749-1827)

Pierre-Simon Laplace

Probabilidade

No entanto, a definição clássica de probabilidade foi usada por outros matemáticos anteriores a Laplace!!!!

A definição clássica de probabilidade está relacionada com outro conceito de probabilidade a que por vezes se dá o nome de Definição Frequencista.

simul1dado.xls

Probabilidade

Probabilidade ~

Repetindo muitas vezes a experiência:

proporção de resultados favoráveis

Probabilidade

A igualdade anterior é conhecida como

“Lei dos grandes números”

e é devida a Jacques Bernoulli

(1645-1705).

Jacques Bernoulli

O problema dos 3 dados

Jogando com três dados, 9 e 10

pontos podem ser obtidos de seis

maneiras diferentes:

9 pontos

1 2 61 3 5 1 4 42 2 52 3 43 3 3

10 pontos

1 3 61 4 52 2 62 3 52 4 43 3 4


Porque não está este facto de acordo com a experiência que revela que a soma 10 ocorre mais vezes que a soma 9?

simul3dadosA.xls


Cardano (1501-1576) “Livro sobre jogos de

azar” (escrito em 1526,

publicado em 1663)

Este problema foi estudado por gente famosa:

Girolamo Cardano

tenreiro

Gerolamo Cardano (1501-1576) - Contemporâneo de Pedro Nunes (1502-1578)- Teve um conflito com Tartaglia (1499-1557) a propósito da solução da equação cúbica, que lha comunicou sob promessa de não divulgação. Cardano acaba por divulgar a solução quando sabe que esta se deve a Scipione del Ferro (1465-1526).- O livro de Cardano é dos primeiros sobre jogos de azar.


Galileu Galilei (1564-1642)

“Considerações sobre o jogo dos dados”

(escrito entre 1613 e 1623)

Galileu Galilei


Ambos concluem que as combinações anteriores não são igualmente prováveis.

A definição clássica de probabilidade não pode ser usada a partir da contagens de tais combinações.

O problema dos 3 dados Resultado 1 2 6

1º dado 2º dado 3º dado1 2 61 6 22 1 62 6 16 1 26 2 1

O problema dos 3 dados Resultado 1 4 4

1º dado 2º dado 3º dado1 4 44 1 44 4 1

Resultado 3 3 3

1º dado 2º dado 3º dado3 3 3


9 pontos Possibili-dades

1 2 61 3 5 1 4 42 2 52 3 43 3 3



1 2 6 61 3 5 1 4 42 2 52 3 43 3 3



1 2 6 61 3 5 61 4 42 2 52 3 43 3 3



1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 52 3 43 3 3



1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 43 3 3



1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 4 63 3 3



1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 4 63 3 3 1



1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 4 63 3 3 1total 25



1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 4 63 3 3 1total 25


1 3 61 4 52 2 62 3 52 4 4

3 3 4



1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 4 63 3 3 1total 25


1 3 6 61 4 52 2 62 3 52 4 4

3 3 4



1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 4 63 3 3 1total 25


1 3 6 61 4 5 62 2 62 3 52 4 4

3 3 4



1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 4 63 3 3 1total 25


1 3 6 61 4 5 62 2 6 32 3 52 4 4

3 3 4



1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 4 63 3 3 1total 25


1 3 6 61 4 5 62 2 6 32 3 5 62 4 4

3 3 4



1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 4 63 3 3 1total 25


1 3 6 61 4 5 62 2 6 32 3 5 62 4 4 3

3 3 4



1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 4 63 3 3 1total 25


1 3 6 61 4 5 62 2 6 32 3 5 62 4 4 3

3 3 4 3



1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 4 63 3 3 1total 25


1 3 6 61 4 5 62 2 6 32 3 5 62 4 4 3

3 3 4 3total 27


Há 27 maneiras igualmente prováveis de obter 10 pontos.

Há apenas 25 maneiras igualmente prováveis de obter 9 pontos.

simul3dadosB.xls


Dois jogadores jogam uma série de partidas justas até que um deles obtenha 6 vitórias.

Por motivos exteriores ao jogo, este é interrompido quando um dos jogadores somava 5 vitórias e o outro 3 vitórias.


Jogador A

Jogador B

V V V V V

VVV


Como devemos dividir, de forma justa, o montante apostado por

ambos os jogadores?


A primeira publicação de uma solução para o problema é feita por Christians Huygens (1629-1695) em 1657.

Christiaan Huygens

Primeira páginada versão latina do livro de Huygens De Ratiociniis de Ludo Aleæ(Sobre o raciocínio nos jogos de azar)1657


Se p é a probabilidade de um dos jogadores ganhar, ele deverá arrecadar

p x Prémio

Divisão justa:p x Prémio (1-p) x Prémio


O problema reduz-se ao cálculo da probabilidade de um jogador ganhar

As soluções apresentadas por Pascal e por Fermat são diferentes mas chegam ao mesmo resultado.


O seu método é muito bom e foi o primeiro que me ocorreu durante estas pesquisas. Mas, devido ao facto de as combinações serem excessivas, eu encontrei um atalho e, na realidade, outro método mais curto e claro, o qual lhe passo a descrever em poucas palavras; pelo que gostaria de lhe abrir o meu coração daqui para a frente, se tal me é permitido, visto ter sido enorme o prazer que tive com o nosso acordo. Claramente vejo que a VERDADE é a mesma em Toulouse e em Paris. Carta de Pascal a Fermat de 29 de Julho 1654


Jogador A

21

Jogador B

V V V V V

VVV

V

V V

21

21

21

21

21

87

Solução de Pascal


1ª partida 2ª partida 3ª partida vencedor

A

B

A

B

A

B

ABABABAB

AAAAAAAB

Solução de Fermat


Prémio87

Divisão justa:

Jogador A recebe

Jogador B recebe Prémio81

simuldivisao.xls

O erro de D’Alembert

Esta questão tem origem num artigo publicado por D’Alembert

(1717-1783) na “Enciclopédia Francesa” de 1754.

Jean Le Round D’Alembert

Dep Matematica

Jean le Rond D'Alembert (1717-1783) - Equações diferenciais- Um dos principais colaboradores na enciclopédia francesa onde tem vários artigos sobre probabilidades


Dep Matematica

Enciclopédia Francesa:- 35 volumes para reunir todos os saberes; inventário completo do conhecimento humanos em todas as áreas em meados do séc XVIII- Dirigida por Denis Diderot (1713-1784) e Jean D'Alembert (1717-1783)- 140 colaboradores identificados e muitos outros que continuam anónimos


Qual é a probabilidade de obter pelo menos uma cara em dois

lançamentos duma moeda?

Resposta de D’Alembert:

32

= 0.666…


cara sim cara sim coroa coroa não

1º lançamento 2º lançamento 1 ou 2 caras


Qual é a probabilidade de obter pelo menos uma cara em três

lançamentos duma moeda?

Resposta de D’Alembert:

43

= 0.75

O erro de D’Alembert1º

lançamento2º

lançamento3º

lançamento1,2 ou 3

caras

cara

coroa

cara

coroa

cara

coroa

sim

sim

sim

não

O erro de D’Alembert Cardano (1501-1576) Galileu (1564-1642) Fermat (1601-1665) Pascal (1623-1662) Huygens (1629-1695) Bernoulli (1645-1705) Montmort (1678-1719) De Moivre (1667 – 1754)

Laplace (1749-1827)

D’Alembert (1717-1783)


O erro de D’Alembert E D’Alembert termina:

“Isto parece-me digno de merecer a atenção dos calculadores que irão

reformular as regras por todos aceites sobre os jogos de azar”

Estarão as respostas de D’Alembert correctas?

simul2erroA.xls simul3erroA.xls


As respostas de D’Alembert não estão correctas.

As combinações por ele descritas não são igualmente prováveis.

D’Alembert devia ter usado o método que Fermat utilizou 100 anos antes.


cara sim cara coroa sim cara sim coroa coroa não

1º lançamento 2º lançamento 1 ou 2 caras

simul2erroB.xls

O erro de D’Alembert1º

lançamento2º

lançamento3º

lançamento1,2 ou 3

caras

cara

coroa

cara

coroa

cara

coroa

caracoroacara

coroacara

coroacara

coroa

simsimsimsimsimsimsimnão

simul3erroB.xls

Bibliografia

Deheuvels, Paul (1990) La Probabilité, le Hasard et la Certitude, PUF. Hald, Anders (1990) A history of probability and statistics and their

applications before 1750, Wiley.• Laplace, Pierre-Simon (1812) Essai Philosophique sur les probabilités. Székely, Gábor J. (1986) Paradoxes in probability theory and mathematical

statistics, Reidel.

Documents

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