O problema da divisão das apostas e outras histórias
Carlos TenreiroDepartamento de Matemática
Universidade de Coimbra
Escola Superior de Tecnologia e GestãoGuarda, 23 de Novembro de 2006
Plano da exposição
1. O problema da divisão das apostas2. O conceito de probabilidade3. O problema dos três dados 4. Soluções de Pascal e de Fermat para o
problema da divisão das apostas5. O erro de d’Alembert
O problema da divisão das apostas
Dois jogadores jogam uma série de partidas justas até que um deles obtenha 6 vitórias.
Por motivos exteriores ao jogo, este é interrompido quando um dos jogadores somava 5 vitórias e o outro 3 vitórias.
O problema da divisão das apostas
Jogador A
Jogador B
V V V V V
VVV
O problema da divisão das apostas
Como devemos dividir, de forma justa, o montante apostado por ambos os
jogadores?
O problema da divisão das apostas
Por volta de 1652, este problema é colocado a Pascal (1623-1662) pelo Chevalier de Méré, um homem de letras e filósofo marcante na corte de Luís XIV.
Blaise Pascal
O problema da divisão das apostas
No verão de 1654, ele é o principal motivo duma troca de correspondência entre Pascal e Fermat (1601-1665).
Pierre de Fermat
O problema da divisão das apostas
Esse conjunto de documentos é composto por 7 cartas:
- 1ª carta, de Pascal para Fermat, que já não existe;- 2ª carta, de Fermat para Pascal, da qual se desconhece a
data em que foi escrita;- 3ª carta, de Pascal para Fermat, escrita a 29 de Julho de
1654;- 4ª carta, de Pascal para Fermat, de 24 de Agosto de 1654;- 5ª carta, de Fermat para Pascal, de 29 de Agosto de 1654;- 6ª carta, de Fermat para Pascal, de 25 de Setembro de 1654;- 7ª carta, de Pascal para Fermat, de 27 de Outubro de 1654.
O problema da divisão das apostas
O problema já tinha sido discutido por vários matemáticos:
1494 – Pacioli (1445-1517) propõe:
Prémio83Prémio
85
Luca Pacioli
O problema da divisão das apostas1556 – Tartaglia (1499-1557) diz: “A solução de Pacioli
não parece estar correcta, mas qual-quer que seja a forma de dividir o prémio haverá sem-pre lugar a litígio”
Nicolo Tartaglia
O problema da divisão das apostas
1564 – Cardano (1501-1576) diz:
“Há um erro evidentena divisão do prémio
proposta por Pacioli queaté uma criança pode
reconhecê-lo”
Girolamo Cardano
O problema da divisão das apostas
Para os matemáticos anteriores o problema da divisão das apostas é um problema sobre proporções.
Para Pascal e Fermat o problema reduz-se a um problema de probabilidades.
O problema da divisão das apostas
“Ninguém, antes de Pascal e Fermat, estabeleceu os princípios e os métodos que permitissem calcular as chances favoráveis e desfavoráveis aos jogadores, bem como resolver questões complicadas deste género.”
Laplace, P.-S., 1814, Essai Philosophique sur les
Probabilités.
Probabilidade
A probabilidade é um número entre 0 e 1 (ou entre 0% e 100%).
A probabilidade quantifica a maior ou menor possibilidade que um acontecimento tem de ocorrer.
Quanto maior for a probabilidade de determinado acontecimento, mais possibilidade tem ele de ocorrer.
Probabilidade
Probabilidade =
resultados favoráveisresultados possíveis
Para resultados igualmente prováveis:
Probabilidade
A definição anterior de probabilidade é conhecida como
“Definição Clássica” sendo atribuída a
Laplace (1749-1827)
Pierre-Simon Laplace
Probabilidade
No entanto, a definição clássica de probabilidade foi usada por outros matemáticos anteriores a Laplace!!!!
A definição clássica de probabilidade está relacionada com outro conceito de probabilidade a que por vezes se dá o nome de Definição Frequencista.
simul1dado.xls
Probabilidade
Probabilidade ~
Repetindo muitas vezes a experiência:
proporção de resultados favoráveis
Probabilidade
A igualdade anterior é conhecida como
“Lei dos grandes números”
e é devida a Jacques Bernoulli
(1645-1705).
Jacques Bernoulli
O problema dos 3 dados
Jogando com três dados, 9 e 10
pontos podem ser obtidos de seis
maneiras diferentes:
9 pontos
1 2 61 3 5 1 4 42 2 52 3 43 3 3
10 pontos
1 3 61 4 52 2 62 3 52 4 43 3 4
O problema dos 3 dados
Porque não está este facto de acordo com a experiência que revela que a soma 10 ocorre mais vezes que a soma 9?
simul3dadosA.xls
O problema dos 3 dados
Cardano (1501-1576) “Livro sobre jogos de
azar” (escrito em 1526,
publicado em 1663)
Este problema foi estudado por gente famosa:
Girolamo Cardano
O problema dos 3 dados
Galileu Galilei (1564-1642)
“Considerações sobre o jogo dos dados”
(escrito entre 1613 e 1623)
Galileu Galilei
O problema dos 3 dados
Ambos concluem que as combinações anteriores não são igualmente prováveis.
A definição clássica de probabilidade não pode ser usada a partir da contagens de tais combinações.
O problema dos 3 dados Resultado 1 2 6
1º dado 2º dado 3º dado1 2 61 6 22 1 62 6 16 1 26 2 1
O problema dos 3 dados Resultado 1 4 4
1º dado 2º dado 3º dado1 4 44 1 44 4 1
Resultado 3 3 3
1º dado 2º dado 3º dado3 3 3
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibili-dades
1 2 61 3 5 1 4 42 2 52 3 43 3 3
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibili-dades
1 2 6 61 3 5 1 4 42 2 52 3 43 3 3
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibili-dades
1 2 6 61 3 5 61 4 42 2 52 3 43 3 3
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibili-dades
1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 52 3 43 3 3
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibili-dades
1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 43 3 3
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibili-dades
1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 4 63 3 3
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibili-dades
1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 4 63 3 3 1
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibili-dades
1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 4 63 3 3 1total 25
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibili-dades
1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 4 63 3 3 1total 25
10 pontos Possibili-dades
1 3 61 4 52 2 62 3 52 4 4
3 3 4
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibili-dades
1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 4 63 3 3 1total 25
10 pontos Possibili-dades
1 3 6 61 4 52 2 62 3 52 4 4
3 3 4
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibili-dades
1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 4 63 3 3 1total 25
10 pontos Possibili-dades
1 3 6 61 4 5 62 2 62 3 52 4 4
3 3 4
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibili-dades
1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 4 63 3 3 1total 25
10 pontos Possibili-dades
1 3 6 61 4 5 62 2 6 32 3 52 4 4
3 3 4
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibili-dades
1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 4 63 3 3 1total 25
10 pontos Possibili-dades
1 3 6 61 4 5 62 2 6 32 3 5 62 4 4
3 3 4
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibili-dades
1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 4 63 3 3 1total 25
10 pontos Possibili-dades
1 3 6 61 4 5 62 2 6 32 3 5 62 4 4 3
3 3 4
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibili-dades
1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 4 63 3 3 1total 25
10 pontos Possibili-dades
1 3 6 61 4 5 62 2 6 32 3 5 62 4 4 3
3 3 4 3
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibili-dades
1 2 6 61 3 5 61 4 4 32 2 5 32 3 4 63 3 3 1total 25
10 pontos Possibili-dades
1 3 6 61 4 5 62 2 6 32 3 5 62 4 4 3
3 3 4 3total 27
O problema dos 3 dados
Há 27 maneiras igualmente prováveis de obter 10 pontos.
Há apenas 25 maneiras igualmente prováveis de obter 9 pontos.
simul3dadosB.xls
O problema da divisão das apostas
Dois jogadores jogam uma série de partidas justas até que um deles obtenha 6 vitórias.
Por motivos exteriores ao jogo, este é interrompido quando um dos jogadores somava 5 vitórias e o outro 3 vitórias.
O problema da divisão das apostas
Jogador A
Jogador B
V V V V V
VVV
O problema da divisão das apostas
Como devemos dividir, de forma justa, o montante apostado por
ambos os jogadores?
O problema da divisão das apostas
A primeira publicação de uma solução para o problema é feita por Christians Huygens (1629-1695) em 1657.
Christiaan Huygens
Primeira páginada versão latina do livro de Huygens De Ratiociniis de Ludo Aleæ(Sobre o raciocínio nos jogos de azar)1657
O problema da divisão das apostas
Se p é a probabilidade de um dos jogadores ganhar, ele deverá arrecadar
p x Prémio
Divisão justa:p x Prémio (1-p) x Prémio
O problema da divisão das apostas
O problema reduz-se ao cálculo da probabilidade de um jogador ganhar
As soluções apresentadas por Pascal e por Fermat são diferentes mas chegam ao mesmo resultado.
O problema da divisão das apostas
O seu método é muito bom e foi o primeiro que me ocorreu durante estas pesquisas. Mas, devido ao facto de as combinações serem excessivas, eu encontrei um atalho e, na realidade, outro método mais curto e claro, o qual lhe passo a descrever em poucas palavras; pelo que gostaria de lhe abrir o meu coração daqui para a frente, se tal me é permitido, visto ter sido enorme o prazer que tive com o nosso acordo. Claramente vejo que a VERDADE é a mesma em Toulouse e em Paris. Carta de Pascal a Fermat de 29 de Julho 1654
O problema da divisão das apostas
Jogador A
21
Jogador B
V V V V V
VVV
V
V V
21
21
21
21
21
87
Solução de Pascal
O problema da divisão das apostas
1ª partida 2ª partida 3ª partida vencedor
A
B
A
B
A
B
ABABABAB
AAAAAAAB
Solução de Fermat
O problema da divisão das apostas
Prémio87
Divisão justa:
Jogador A recebe
Jogador B recebe Prémio81
simuldivisao.xls
O erro de D’Alembert
Esta questão tem origem num artigo publicado por D’Alembert
(1717-1783) na “Enciclopédia Francesa” de 1754.
Jean Le Round D’Alembert
O erro de D’Alembert
O erro de D’Alembert
Qual é a probabilidade de obter pelo menos uma cara em dois
lançamentos duma moeda?
Resposta de D’Alembert:
32
= 0.666…
O erro de D’Alembert
cara sim cara sim coroa coroa não
1º lançamento 2º lançamento 1 ou 2 caras
O erro de D’Alembert
Qual é a probabilidade de obter pelo menos uma cara em três
lançamentos duma moeda?
Resposta de D’Alembert:
43
= 0.75
O erro de D’Alembert1º
lançamento2º
lançamento3º
lançamento1,2 ou 3
caras
cara
coroa
cara
coroa
cara
coroa
sim
sim
sim
não
O erro de D’Alembert Cardano (1501-1576) Galileu (1564-1642) Fermat (1601-1665) Pascal (1623-1662) Huygens (1629-1695) Bernoulli (1645-1705) Montmort (1678-1719) De Moivre (1667 – 1754)
Laplace (1749-1827)
D’Alembert (1717-1783)
O erro de D’Alembert
O erro de D’Alembert E D’Alembert termina:
“Isto parece-me digno de merecer a atenção dos calculadores que irão
reformular as regras por todos aceites sobre os jogos de azar”
Estarão as respostas de D’Alembert correctas?
simul2erroA.xls simul3erroA.xls
O erro de D’Alembert
As respostas de D’Alembert não estão correctas.
As combinações por ele descritas não são igualmente prováveis.
D’Alembert devia ter usado o método que Fermat utilizou 100 anos antes.
O erro de D’Alembert
cara sim cara coroa sim cara sim coroa coroa não
1º lançamento 2º lançamento 1 ou 2 caras
simul2erroB.xls
O erro de D’Alembert1º
lançamento2º
lançamento3º
lançamento1,2 ou 3
caras
cara
coroa
cara
coroa
cara
coroa
caracoroacara
coroacara
coroacara
coroa
simsimsimsimsimsimsimnão
simul3erroB.xls
Bibliografia
Deheuvels, Paul (1990) La Probabilité, le Hasard et la Certitude, PUF. Hald, Anders (1990) A history of probability and statistics and their
applications before 1750, Wiley.• Laplace, Pierre-Simon (1812) Essai Philosophique sur les probabilités. Székely, Gábor J. (1986) Paradoxes in probability theory and mathematical
statistics, Reidel.