O Teste de Lilliefors

Renato Gonçalves de Araújo

Bruno Isaú Pedrosa

História

O teste de Lilliefors, criado por Hubert Lilliefors, professor de Estatística na Universidade George Washington, e se trata uma adaptação do teste de Kolmogorov-Smirnov.

Teste de Aderência

O objetivo de um teste de aderência é verificar se os dados de uma amostra comportam-se de acordo com uma distribuição teórica.

Teste de Aderência.

O Teste de Lilliefors

O teste de Lilliefors é usado para verificar a aderência dos dados a uma distribuição normal qualquer, isto é, sem a especificação de seus parâmetros.

É bastante parecido com o teste de Aderência de Kolmogorov-Smirnov, pois também avaliamos as distribuições acumuladas S(x) e F(x); Obtemos a Distancia Máxima D entre elas; e a comparamos com um valor tabelado em função do nível de significância e do tamanho da amostra.

Diferenças

Não é necessário especificar especificar μ e σ.

Forma de Obtenção de F(x), pois a Média e Desvio Padrão são Calculados com Base na Amostra.

Tabela Utilizada para Decisão do Teste.

Hipóteses

H0: A amostra provem de uma população que segue uma distribuição normal;

H1: A amostra não provém de uma população que segue uma distribuição normal.

Exemplo de Aplicação

Um Fabricante de Autopeças está próximo de fechar um grande contrato com uma montadora. O ponto-chave é a garantia da qualidade de seus produtos, especialmente do diâmetro (em mm) dos eixos produzidos, que ele supõe seguir uma distribuição normal.A Montadora selecionou uma amostra aleatória de 15 eixos para testar especificações de 5% de significância. Os valores estão descritos a seguir:

Amostra dos 15 Eixos:

93,45 97,07 100,7394,46 97,68 103,2994,93 97,93 103,6096,17 99,10 103,8396,74 99,30 105,20

Passos para realizar o Estudo

1º Passo: Obter a Média, e o Desvio Padrão (S).

Amostra dos 15 Eixos:

93,45 97,07 100,7394,46 97,68 103,2994,93 97,93 103,6096,17 99,10 103,8396,74 99,30 105,20

N = 15.x = 1,483.48Média = 1/N.x ou x / N = 1,483.48 / 15

Média: 98,90

Obtendo S.

( 93,45-98,90)² = 29,7025 100,73-98,90)² = 3,3489 ( 94,46-98,90)² = 19,7136 103,29-98,90)² = 19,2721 ( 94,93-98,90)² = 15,7609 103,60-98,90)² = 22,09( 96,17-98,90)² = 7,4529 103,83-98,90)² = 24,3049( 96,74-98,90)² = 4,6656 105,20-98,90)² = 39,69( 97,07-98,90)² = 3,3489 (x – X(Media)²) = 191,9436( 97,68-98,90)² = 1,4884 S² = 0,0714286 * 191,9436( 97,93-98,90)² = 0,9409 S² = 13,71025 ( 99,10-98,90)² = 0,004 (S²) = 3,70( 99,30-98,90)² = 0,16 S = 3,70

Obtendo as frequências Empíricas - S(xi) Para Obtermos o valor de S(xi) precisamos

dividir o valor correspondente do Índice (i), pela quantidade de elementos da amostra (N).

Exemplo:

N= 15

Sx1 = 1/15 Sx2 = 2/15 ... Sx15 = 15/15

Organizando os dados

Encontrando o valor de Z Para cada valor de xi (i = 1,2,3,..,N),

calculamos o correspondente escore Zi, usando a Média e o Desvio Padrão (S). A formula para a obtenção do Zi é:

Zi = (xi – Media) / S

Z1 = (93,45 - 98,90)/3,70 = -1,47

Atualizando os dados

Encontrar o F(xi) Para obter o valor de F(xi) é simples, agora

que temos o valor de Zi precisamos olhar na tabela de Distribuição Normal Padrão.

Para localizarmos o F(x) basta pegar o valor de Z, e pesquisar esse valor relativo na

tabela. Por exemplo o Zi = - 1,47

Encontrar o F(xi) na tabela

Atualizando os dados

Encontrando a maior diferença absoluta. F(xi) – S(xi-1):

Valor da frequência teórica na posição do índice menos o valor da frequência empírica no índice -1.

F(xi) – S(xi) Valor da frequência teórica na posição do

índice menos o valor da frequência empírica no índice.

Atualizando os dados

Distancia máxima admissível A Maior Diferença absoluta foi 0,205. Devemos comparar a maior diferença

absoluta com o valor da tabela de Significância, para concluir se há aderência dos dados a uma distribuição normal ou não.

Procurando na Tabela de Significância para N =15, e α = 0,05.

Distância máxima admissível

Resultado do Teste A estatística do teste para esta amostra é d =

0,149. Na Tabela para α = 5% ou 0,05 e N=15, obtemos a distancia máxima admissível dc = 0,220.

Como d < dc, o teste aceita H0 ao nível de significância de 5%, concluindo que há aderência dos dados a uma distribuição normal.

Aplausos. Renato Gonçalves de Araújo Bruno Isaú Pedrosa