O USO DE CONTEXTOS NO ENSINO DE GEOMETRIA Ensinodematematica... · Podem-se citar vários pesquisadores relacionados ao ensino de geometria como Jacobs (1974), Daffer e Clemens (1977)

Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia - PPGECT

I Simpósio Nacional de Ensino de Ciência e Tecnologia – 2009 ISBN: 978-85-7014-048-7

Página: 1080

O USO DE CONTEXTOS NO ENSINO DE GEOMETRIA

Dineusa Jesus dos Santos Fontes

Maurício de Moraes Fontes

Miriam de Morais Fontes

Resumo

Este estudo trata de uma abordagem metodológica para o ensino de Geometria, buscando uma aprendizagem significativa de acordo com as Teorias da Educação Matemática. Seu objetivo é compreender a importância do ensino contextualizado e, como resultado disso, dar indicativos aos professores que tal abordagem ajuda mostrar aos alunos que a geometria pode ser simples e cotidiana, para que assim ele compreenda e atribua significado ao que está estudando. A metodologia adotada foi uma pesquisa bibliográfica, buscando na literatura pertinente documentos como livros, artigos, anais, jornais e revistas, que ajudassem a elucidar questões a cerca do ensino-aprendizagem da geometria. Este trabalho também apresenta algumas sugestões pessoais para alcançar o objetivo mencionado. Enfim, sabe-se que não há um caminho único para ensinar e aprender geometria, contudo procura-se mostrar que um desses caminhos para proporcionar um aprendizado eficiente e de qualidade pode ser a utilização de contexto nas aulas de geometria.

Palavras-chave: Ensino de geometria, Aprendizagem significativa,

Educação Matemática.

Abstract

The use o contexts in the teaching of Geometry

This study deals with a methodological approach to the teaching of geometry, seeking a meaningful learning according to the Theories of




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Mathematics Education. Its goal is to understand the importance of contextual teaching and, as a result, teachers give indicative that this approach helps to show students that geometry can be simple and everyday, so that they understand and assign meaning to what is studied. The methodology adopted was a literature search, looking in the literature relevant documents such as books, articles, proceedings, newspapers and magazines, which helped to clarify issues about the teaching and learning of geometry. This work also has some personal suggestions to achieve the objective stated. Finally, it is known that there is no single way to teach and learn geometry, but seeks to show that one of these paths to provide an efficient and quality learning can be the use of context in the classes of geometry.

Keywords: Teaching of geometry, Meaningful learning, Mathematics

Education

GEOMETRIA E SEU ENSINO

Segundo Boyer (2003) as afirmações sobre a origem da geometria são necessariamente

arriscadas, pois os primórdios do assunto são mais antigos que a arte de escrever.

Heródoto e Aristóteles não se arriscaram em propor origens mais antigas que a civilização

egípcia, mas é claro que a geometria que tinham em mente possuía raízes mais antigas. Heródoto

mantinha que a geometria se originava no Egito, pois acreditava que tinha surgido da necessidade

prática de fazer novas medidas de terras após cada inundação anual no vale do rio.

Aristóteles achava que a existência no Egito de uma classe sacerdotal com lazeres é que

tinha conduzido ao estudo da geometria. Podemos considerar as idéias de Heródoto e Aristóteles

como representando duas teorias opostas quanto às origens da matemática, um acreditando que

a origem fosse à necessidade prática, outro que a origem estivesse no lazer sacerdotal e ritual. O

fato dos geômetras egípcios serem às vezes chamados “estiradores de corda” (ou agrimensores)

pode ser tomado como apoio de qualquer das duas teorias, pois cordas eram indubitavelmente

usadas tanto para traçar as bases de templos como para realinhar demarcações apagadas de

terras. Não podemos contradizer com segurança nem Heródoto nem Aristóteles quanto à

motivação que produziu a matemática, mas é claro que ambos subestimaram a idade do assunto.




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O homem neolítico pode ter tido pouco lazer e pouca necessidade de medir terras, porém seus

desenhos e figuras sugerem uma preocupação com relações espaciais que abriu caminho para a

geometria. Seus potes, tecidos e cestas mostram exemplos de congruência e simetria, que em

essência são partes da geometria elementar.

Segundo Lawlor (1996) a geometria é um estudo de ordem espacial mediante a medição

das relações entre as formas. Platão considerava a geometria e os números como a mais concisa e

essencial, e, portanto ideal, das linguagens filosóficas.

A Geometria parte integrante do saber matemático exige linguagem e procedimentos

apropriados para que suas relações conceituais e sua especificidade quanto às representações

simbólicas sejam entendidas. Para Murari (2004) a geometria é um campo da matemática que

possui um campo muito fecundo, e a maneira como for estudada irá refletir no desenvolvimento

intelectual, no raciocínio lógico e na capacidade de abstração e generalização do aluno.

Silva (2007) ressalta que o estudo da geometria melhora a interpretação do mundo que nos

cerca, facilita o entendimento das idéias e contribui para ampliar a visão do contexto matemático.

Podem-se citar vários pesquisadores relacionados ao ensino de geometria como Jacobs

(1974), Daffer e Clemens (1977) e Barbosa (1993), que têm desenvolvido estudos para ensinar a

geometria através de técnicas pedagógicas que destaquem seus aspectos criativos, estimulando

os professores a trabalharem com mais satisfação nas atividades geométricas, transformando sua

prática e utilizando técnicas de ensino centradas no estudante e não mais no professor.

Murari (2004) ressalta que na evolução dos estudos sobre mudanças no ensino de

geometria, há o aparecimento de metodologias com ênfase nos alunos, em diferentes situações

de investigação e aprendizagem. Essa recente orientação deve nortear todo o trabalho docente,

qualquer que seja a disciplina estudada. Sobre isso, Micotti (1999, p. 158) afirma:

As atuais propostas pedagógicas, ao invés de transferência de conteúdos prontos,

acentuam a interação do aluno com o objeto de estudo, a pesquisa, a construção dos




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conhecimentos para o acesso ao saber. As aulas são consideradas como situações de

aprendizagem, de mediação; nestas são valorizadas o trabalho dos alunos (pessoal e

coletivo) na apropriação do conhecimento e a orientação do professor para o acesso

ao saber.

O ENSINO CONTEXTUALIZADO

IMPORTÂNCIA DAS APLICAÇÕES

Para Ausubel et al (1980) é muito comum aos professores de matemática usarem métodos

de ensino que favorecem a ocorrência da aprendizagem mecânica, ou seja, os novos conceitos ou

idéias serão incorporados à estrutura cognitiva de maneira fraca, através da contigüidade ou

semelhança sem incorporação significativa na estrutura cognitiva do aluno.

A aprendizagem significativa pressupõe a existência de um referencial que permita aos

alunos identificar e se identificar com as questões propostas. E isso pode ser alcançado através do

uso de aplicações ou contextualização dos conteúdos. Contextualizar os conteúdos que se quer

aprendidos significa, em primeiro lugar, assumir que todo conhecimento envolve uma relação

entre sujeito e objeto.

A utilização de um ensino contextualizado é muito importante para que a aprendizagem

se torne significativa. Segundo Duarte (2004) para que haja uma aprendizagem matemática

significativa temos que nos tornar íntimos do objeto do nosso conhecimento, podendo fazê-lo

através do ensino contextualizado, ou seja, aquele que trata com o cotidiano do aluno,

considerando seus saberes numa perspectiva sócio-historica-cultural.

Deve-se encarar a matemática como uma linguagem que busca dar conta de aspectos do

real e que é instrumento formal da expressão e comunicação para diversas ciências. Assim, todas




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às vezes que se ensina certo conteúdo de matemática é necessário se perguntar qual foi o

contexto de sua origem e quais são os valores que justificam sua presença atual no currículo

escolar. Por contexto, entende-se tanto as situações criadas em sala de aula plenas em sentido,

quanto o universo do aluno, universo de experiências e representações, vivido e imaginado,

testemunhado e compartilhado. Sobre a importância da contextualização em matemática, Pais

(2001, p. 27) ressalta que:

A contextualização do saber é uma das mais importantes noções pedagógicas que deve

ocupar um lugar de maior destaque na análise da didática contemporânea. Trata-se de

um conceito didático fundamental para a expansão do significado da educação escolar.

O valor educacional de uma disciplina expande na medida em que o aluno compreende

os vínculos do contexto compreensível por ele.

A educação escolar deve se iniciar pela vivência do aluno, mas isso não significa que ela

deve ser reduzida ao saber cotidiano. Neste caso, consiste em partir do conhecimento

matemático, contextualizando-o em situações próximas do aluno, fazendo com que aquilo que

ele estuda tenha um significado autêntico e por isso deve estar próximo à sua realidade. Segundo

Freire (1996, p. 30) é dever do professor e da escola:

Não só respeitar os saberes com que os educandos, sobretudo os das classes

populares, chegam a escola (saberes socialmente construídos na prática comunitária),

mas também discutir com os alunos a razão de ser de algum desses saberes em relação

com o ensino dos conteúdos.

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio,

O tratamento contextualizado do conhecimento é o recurso que a escola tem para

retirar o aluno da condição de expectador passivo. Se bem trabalhado permite que, ao

longo da transposição didática, o conteúdo do ensino provoque aprendizagens




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significativas que mobilizem o aluno e estabeleçam entre ele e o objeto do

conhecimento uma relação de reciprocidade. A contextualização evoca por áreas,

âmbitos ou dimensões presentes na vida pessoal, social e cultural, e mobiliza

competências cognitivas já adquiridas.

A aplicabilidade da matemática ajuda a criar um maior envolvimento dos alunos com a

matemática. Desse modo, eles podem reconhecer situações do seu cotidiano, interagir com os

outros alunos e expor suas próprias experiências semelhantes àquelas que são apresentadas nas

atividades. Essa forma de entender o ensino assume algumas características e visa atingir

determinados fins, na linha defendida por Stein (1998), que cita que a aprendizagem

contextualizada:

a) Busca desenvolver o pensamento de ordem superior em lugar da aquisição de fatos

independentes da vida real.

b) Preocupa-se mais com a aplicação do que com a memorização.

c) Assume que a aprendizagem é sócio-interacionista, envolve necessariamente os valores, as

relações de poder, a negociação permanente do próprio significado do conteúdo entre os alunos

envolvidos.

d) Propõe não apenas trazer a vida real para a sala de aula, mas criar as condições para que os

alunos (re)experienciem os eventos da vida real a partir de múltiplas expectativas.

APLICAÇÕES: A CONTEXTUALIZAÇÃO ATRAVES DE EXERCÍCIOS

Com o objetivo de auxiliar os professores a verem a matemática pelo ponto de vista da

aplicabilidade o Mathematical Association of America e o National Council of Teachers of

Mathematics lançaram uma obra que apresentava exemplos de exercícios que demonstram que a




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matemática está presente no mundo que nos rodeia. Domingues (1994), no prefácio deste livro,

acredita que o seu conteúdo mostra que as cobranças dos alunos quanto à aplicabilidade da

matemática podem e devem ser respondidas direta e satisfatoriamente, sem evasivas e

subterfúgios, desde que se aceite o desafio de valorizar os aspectos mais legítimos de nossa

ciência.

Pollack (1997, p. 1) afirma que,

Quando fazemos uma aplicação da matemática, retiramos uma situação, que

desejamos entender ou sobre a qual desejamos atuar, de outro campo ou do

cotidiano. Tentamos então “matematizar” a situação, isto é, examina-la sistemática,

estrutural e analiticamente. Tentamos formular um problema matemático, que seja

compilado o bastante para conter a essência da situação original, e simples o bastante

para que tenhamos possibilidade de fazer algo com ele, matematicamente falando.

Com um problema bem formulado em mãos, passamos a trabalhar nele fazendo uso

de todo e qualquer raciocínio matemático adequado. Voltamos então à situação

original e interpretamos tudo o que achamos. Normalmente a interpretação será

realista em alguns aspectos e bastante irrealista em outros. Isso fará com que

mudemos algo da formulação matemática, acrescentemos ou retiremos aspectos

particulares, e tentemos de novo. É provável que andemos nesse círculo várias vezes.

Segundo Ames (1997), as aplicações da matemática freqüentemente aparecem de duas

maneiras: ao procurar utilizações no mundo real para uma idéia matemática ou ao procurar idéias

matemáticas para uma situação do mundo real. A primeira é relativamente fácil para o professor,

mas pode criar dificuldades para o aluno já que muitas vezes as aplicações desse tipo podem estar

tão isoladas da situação original a ponto de os alunos não se envolverem o bastante. A segunda

requer o apoio de dados mais difíceis do que provavelmente se tem em mãos, além de que ela

tende a divergir do programa, já que envolve vários saberes matemáticos ao mesmo tempo.

Podem-se citar algumas vantagens e desvantagens de se trabalhar com aplicações nas aulas

de matemática. Vê-se como desvantagem o fato de que exercícios que utilizam aplicabilidade




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trazem expectativas nos alunos, podem requerer habilidades matemáticas que estejam “fora do

programa” e exigem um tempo muito maior para serem trabalhadas. Em contrapartida se

acredita que, qualitativamente falando, há mais vantagens no uso das aplicações. Tais atividades

desenvolvem a capacidade matemática dos alunos, despertando seu interesse e participação nas

aulas, sem contar que questões contextualizadas são consideradas, pelos alunos, mais fáceis de

serem resolvidas.

Ames (1997) classificou as questões contextualizadas em quatro níveis. O nível zero é uma

coleção ampla (na maior parte mental) de afirmações muito curtas, que consistem, na grande

maioria, em referências e alusões às aplicações da matemática, como por exemplo: “os pilotos de

avião usam somas de vetores em toda viagem”. As aplicações desse nível são usadas nas aulas

quando se está lidando com uma idéia matemática particular e querendo manter os alunos em

contato com o mundo real.

As aplicações de nível um são situações curtas do mundo real, autônomas, que em geral

propõe uma questão que admite apenas uma resposta ou um número finito de respostas fáceis

de serem obtidas. Cada exercício contém informações suficientes para determinar uma

abordagem matemática e é usado quando o aluno encontra-se matematicamente habilitado a pôr

em prática essa abordagem objetivando uma solução específica.

O nível dois traz aplicações de tópicos completos, construídos em torno de uma só situação

do mundo real e podem levar muitas aulas para se completarem. Investiga-se uma só situação,

mas em profundidade, com o uso de muitas técnicas matemáticas diferentes.

Finalmente, as aplicações de nível três são as questões abertas. Trata-se de idéias férteis

onde toda a turma é mobilizada a trabalhar livremente. São situações onde os alunos podem

trabalhar sozinhos.

Na prática, esses níveis não são tão bem definidos como parecem, mas dependem da faixa

etária, interesse e grau de satisfação dos alunos.




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ALGUMAS APLICAÇÕES

É muito freqüente os alunos considerarem os problemas dos livros didáticos artificiais. Uma

solução para buscar modificar essa visão é elaborar problemas que sejam o mais real possível. Na

realidade dos alunos, é possível a utilização de exemplos como os dois apresentados a seguir, que

foram elaborados por nós, e são usados em nossas aulas de geometria.

Exemplo 1

Os Estados Unidos descobrem

o nosso açaí e firmam um contrato de

certificação de qualidade com um

grupo de agricultores do Pará para

assegurar a exportação do produto

com garantia do selo orgânico,

qualificando o produto desde o cultivo

até a produção da polpa. Sabemos

que o fruto é comercializado em

paneiros que têm a forma de tronco

de cone circular de bases paralelas.

Suponha que cada paneiro tenha 50

cm de altura, o seu fundo tenha 20 cm

de raio e a sua boca meça 30 cm de

raio. Uma empresa norte americana deseja comprar 50 paneiros de açaí. Qual será o volume

total, em m3, de açaí nesses 50 paneiros? (Adaptado do Jornal Diário do Pará, 21/08/2003).

A matemática no ensino médio tem um valor formativo, que ajuda a estruturar o

pensamento e o raciocínio dedutivo, porém também desempenha um papel instrumental, pois é




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uma ferramenta que serve para a vida cotidiana e para muitas tarefas específicas em quase todas

as atividades humanas, como mostra o exercício abaixo:

Exemplo 2

Um clube de Belém resolveu trocar algumas

partes do gramado de seu campo de futebol que

estavam desgastadas, conforme o desenho

apresentado a seguir. Quanto o clube gastará para

substituir essas áreas danificadas, de acordo com os

valores do quadro ao lado?

Exemplo 3

Fonte: REVISTA VEJA (30/04/03)




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O GPS, sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global, um pequeno aparelho

desses que podem ser instalados no painel do carro e ajudar o motorista a conduzir o carro por

caminhos desconhecidos, é uma tecnologia que deve se popularizar nos próximos anos. Entre seus

recursos, o GPS oferece uma correção de trajeto caso o motorista erre o caminho estabelecido

pelo aparelho. A figura abaixo representa um trajeto traçado pelo GPS. O motorista queria ir do

ponto A até o ponto D, desta maneira o aparelho estabeleceu o melhor trajeto: ABCD (linha cheia).

Contudo, o distraído motorista errou o caminho e a um apertar de botões o aparelho acusou uma

rota alternativa para alcançar o ponto D: ABEFGD (linha tracejada). Calcule a distância percorrida

pelo motorista caso tivesse seguido o primeiro caminho estabelecido pelo GPS.

Dados: mGDmFGmEFmBEmCDmAB 50;28;43;37;95;41 ======

Exemplo 4

Pizza por Metro




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Em São Paulo, existem cerca de 3.500 pizzarias espalhadas por toda a cidade. Nesse

mercado concorridíssimo, o melhor a fazer é inventar! Para atrair clientes, alguns

estabelecimentos estão apostando em formatos

inusitados. A primeira a entrar na onda foi a Pizzaria

Graminha, que fica na Vila Madalena. Logo à entrada, há

um letreiro explicando o sistema. Os clientes têm duas

opções: pedir meio metro estreito (com 15 cm de

largura) ou largo (com 30 cm de largura). (Fonte:

www.ojornal.jor.br)

Sabendo que esta pizza mede 2 cm de espessura (altura) e tem o formato de um

paralelepípedo (como mostrado na foto), qual é o volume de pizza que um cliente comerá se

pedir a primeira opção? Caso ele queira a segunda opção, qual será o volume comido?

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Acredita-se que educar é o principal papel do professor, mas as variações do modo de

ensinar determinam diferenças nos resultados obtidos. Antigamente ensinar significava repassar

conhecimentos e transmitir informações, porém as idéias pedagógicas mudaram e o professor de

matemática não pode estar alheio às mudanças que ocorrem no campo da educação.

Um ensino de geometria sob a ótica do uso de contexto parte de um entendimento de que

se deve estudar a matemática inserida na realidade vivida pelos estudantes, preparando-os não

só para exames como o vestibular, mas também para a vida em sociedade. No entanto, a opção

por um ensino contextualizado – condizente com a Educação Matemática – significa romper com

a visão de conteúdo estático e entender que ao professor de matemática cape o papel de

valorizar essa parte da matemática (a geometria) tornado-a prazerosa, criativa e, mais ainda,

tornando-a útil, garantindo assim a participação e interesse dos alunos, a fim de proporcionar um

aprendizado eficiente e de qualidade.




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