CENTRO EDUCACIONAL MARAPENDI – CEMP

GEOMETRIA - Prof. Clovis Reis

GEOMETRIA ANALÍTICA

ESTUDO DO PONTO(Revisão)

1. INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ANALÍTICA

Desde o início de seus estudos, a Geometria tem sidoum conjunto de conhecimentos importantes para odesenvolvimento de seu pensar matemático.

Em 1637, foi publicado o livro Discurso do método parabem conduzir a razão e procurar a verdade nas ciências,de autoria do filósofo e matemático francês RenéDescartes.

Folha de rosto da primeira edição do Discurso sobre

o método, de René Descartes, em 1637.

No terceiro e último capítulo de seu livro, intitulado La géometrie, Descartes buscouexemplificar sua teoria apresentando um método racional de unificação da Geometria eda Álgebra, que recebeu o nome de Geometria Analítica.

Há muitas discordâncias sobre quem inventou a Geometria Analítica e sobre a épocaem que isso ocorreu. Alguns historiadores a localizam na Antiguidade. Mas os francesesRené Descartes e o seu contemporâneo Pierre de Fermat são os que recebem os créditospor estabelecer a Geometria Analítica na década de 1630, mas seguindo linhas bastantediferentes. Enquanto Fermat foi um seguidor das práticas algébricas de Viète,apropriando-se de sua notação e de sua abordagem, Descartes desenvolveu um estilodiferente com notações e métodos próprios.

A intenção maior de Descartes com essa obra era expor sua visão racionalista sobre aciência como estudo da natureza. Seu objetivo era romper com a ciência marcada pelaexperimentação, buscando, por meio da Matemática com suas proposiçõesconvincentes, encontrar um método geral de pensamento capaz de facilitar asdescobertas e chegar à verdade nas ciências.

René Descartes(1596 – 1650)

Pierre de Fermat(1601 – 1655)

Na matemática clássica, a geometria analítica é o estudo da geometria por meio deum sistema de coordenadas e dos princípios da álgebra e da análise. Contrasta com aabordagem sintética da geometria euclidiana, em que certas noções geométricas sãoconsideradas primitivas, e é utilizado o raciocínio dedutivo a partir de axiomas eteoremas para obter proposições verdadeiras.

A geometria analítica é muito utilizada na física e na engenharia e é o fundamentodas áreas mais modernas da geometria, incluindo geometria algébrica, diferencial,discreta e computacional.

2. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

O Sistema de Coordenadas Cartesianas ou Plano Cartesiano consiste em dois eixos reaisperpendiculares entre si. O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas, e o eixovertical é chamado de eixo das ordenadas.

y

x0 abscissa

ordenada

P = (a, b)

a

b •

1º Q2º Q

4º Q3º Q

Os eixos dividem o plano emquatro regiões, chamadas dequadrantes, e nomeados pornúmeros cuja ordem é dada nosentido anti-horário.

3. DISTÂNCIA ENTRE 2 PONTOS

A distância entre os pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB) é definida pelo segmento de reta AB,que podemos representar por dAB ou AB.

Observe que a distância entre os pontos A e B é ahipotenusa do triângulo, que é retângulo, portantopode-se relacionar essa medida com as distânciasentre as abscissas e as distâncias entre as ordenadasatravés do Teorema de Pitágoras:

𝑑𝑎𝑏2 = 𝑥𝑏 − 𝑥𝑎

2 + (𝑦𝑏 − 𝑦𝑎)²

𝒅𝒂𝒃 = 𝒙𝒃 − 𝒙𝒂𝟐 + (𝒚𝒃 − 𝒚𝒂)²

► BISSETRIZES

As bissetrizes são retas que “cortam” exatamente o centro do plano cartesiano, o ponto(0, 0), e formam um ângulo de 45o com os eixos x e y. As coordenadas dos pontos queestão sobre a bissetriz que se encontra nos quadrantes pares são sempre opostos. Já ospontos sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares, terão os valores de x e y iguais.

4. PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO

O ponto médio é o ponto que divide o segmento de reta ao meio e com isso, éequidistante aos pontos de extremidades do segmento.

As coordenadas do ponto médio (ponto médio) são dadas por:

𝒙𝒎 =𝒙𝒂 + 𝒙𝒃

𝟐𝒚𝒎 =

𝒚𝒂 + 𝒚𝒃𝟐

;

𝑴 = (𝒙𝒎, 𝒚𝒎)

► MEDIANA DE UM TRIÂNGULO

A mediana de um triângulo é o segmento cujas extremidades são um dos vértices dessetriângulo e o ponto médio do lado oposto a esse vértice.

Um triângulo possui três medianas.

► BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO

O baricentro é o ponto de encontro das trêsmedianas de um triângulo.

O baricentro (G) pode ser calculado por:

𝑮 =𝒙𝑨 + 𝒙𝑩 + 𝒙𝑪

𝟑,𝒚𝑨 + 𝒚𝑩 + 𝒚𝑪

𝟑

5. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE 3 PONTOS

Para que três pontos distintos estejam alinhados, suas coordenadas devem seguir aseguinte condição:

•

••

A

BC

xA xB xC x

yCyB

yA

y

0

𝒙𝑨 𝒚𝑨 𝟏𝒙𝑩 𝒚𝑩 𝟏𝒙𝑪 𝒚𝑪 𝟏

= 𝟎

SUGESTÃO PARA CÁLCULO MAIS PRÁTICO:

𝒙𝑨 𝒙𝑩 𝒙𝑪𝒚𝑨 𝒚𝑩 𝒚𝑪

= 𝟎

*

**

* Repete-se as duas primeiras colunas.

** Repete-se a primeira coluna.

Referências:

Matemática (Ensino Médio). Vol. Único. Iezzi, Gelson. Dolce, Osvaldo. Degenszajn, David. Périgo, Roberto. 6ª edição. São Paulo. Ed. Atual, 2015.https://brasilescola.uol.com.br/https://sites.google.com/https://mundoeducacao.uol.com.br/https://realizeeducacao.com.br/