Geometria 2

Geometria II

Manaus 2007

FICHA TÉCNICA

GovernadorEduardo Braga

Vice–GovernadorOmar Aziz

ReitorLourenço dos Santos Pereira Braga

Vice–ReitorCarlos Eduardo S. Gonçalves

Pró–Reitor de Planej. e Administração Antônio Dias Couto

Pró–Reitor de Extensão e Assuntos ComunitáriosAdemar R. M. Teixeira

Pró–Reitor de Ensino de GraduaçãoCarlos Eduardo S. Gonçalves

Pró–Reitor de Pós–Graduação e PesquisaWalmir de Albuquerque Barbosa

Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)Carlos Alberto Farias Jennings

Coordenador PedagógicoLuciano Balbino dos Santos

NUPROMNúcleo de Produção de Material

Coordenador GeralJoão Batista Gomes

Projeto GráficoMário Lima

Editoração EletrônicaHelcio Ferreira Junior

Revisão Técnico-gramaticalJoão Batista Gomes

Oliveira, Disney Douglas de Lima.

O48g Geometria II / Disney Douglas de Lima Oliveira, DomingosAnselmo Moura da Silva, Helisângela Ramos da Costa. –Manaus/AM: UEA, 2007. – (Licenciatura em Matemática. 2.Período)

141 p.: il. ; 29 cm.

Inclui bibliografia

1. Geometria. I. Silva, Domingos Anselmo Moura da. II. Costa,Helisângela Ramos da. III. Título.

CDU (1997): 514

CDD (19.ed.): 516

SUMÁRIO

Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07

UNIDADE I – Noções primitivas e posições relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09

TEMA 01 – Conceitos primitivos, postulados e posições relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

UNIDADE II – Distâncias, diedros e triedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

TEMA 02 – Distâncias e diedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

UNIDADE III – Poliedros, prismas e pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

TEMA 03 – Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31TEMA 04 – Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38TEMA 05 – Planificação e área do prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39TEMA 06 – Volume do prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43TEMA 07 – Pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

UNIDADE IV – Cilindro e cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

TEMA 08 – Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61TEMA 09 – Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

UNIDADE V – Superfícies de revolução e sólidos de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

TEMA 10 – Superfícies e sólidos de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

UNIDADE VI – Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

TEMA 11 – Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

UNIDADE VII – Noções de geometria não-euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

TEMA 12 – Geometria não-euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Respostas dos Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Disney Douglas de Lima OliveiraLicenciado e Bacharel em Matemática - UFAM

Mestre em Matemática - UFAM

Doutorando em Computação Gráfica - UFRJ

Domingos Anselmo Moura da SilvaLicenciado e Bacharel em Matemática - UFAM

Mestre em Matemática - UFAM

Helisângela Ramos da CostaBacharela em Matemática – UFAM

Bacharela em Processamento de Dados – UFAM

Especialização em Instrumentação para o Ensino da Matemática (concluindo) (UFF)

PERFIL DOS AUTORES

PALAVRA DO REITOR

A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada

à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do

Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-

der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em

dinamismo técnico–científico.

Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-

cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-

tenciais, estimulando–lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando–lhes

uma visão multifacetada das maneiras de educar.

Os livros–textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história

da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-

tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-

no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.

A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios

que se impõem hoje.

Lourenço dos Santos Pereira Braga

Reitor da Universidade do Estado do Amazonas

UNIDADE INoções primitivas e posições relativas

TEMA 01

CONCEITOS PRIMITIVOS, POSTULADOS E

POSIÇÕES RELATIVAS

1. Conceitos primitivos

São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos

sem definição) na Geometria espacial os con-

ceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente,

usamos a seguinte notação:

Pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto.

• A

Retas: letras minúsculas do nosso alfabeto

Planos: letras minúsculas do alfabeto grego

Observações:

1. Espaço é o conjunto de todos os pontos.

Nesse conjunto, desenvolveremos a Geo-

metria Espacial.

2. Axiomas ou postulados (P), são propo-

sições aceitas como verdadeiras sem de-

monstração e que servem de base para o

desenvolvimento de uma teoria.

Assim, iniciaremos a Geometria Espacial com

alguns postulados, relacionando o ponto, a

reta e o plano.

2. Postulados

2.1 Postulados da existência

P1)Dada uma reta r, existem nela, bem como

fora dela, infinitos pontos.

P2)Dado um plano α, existem nele, bem como

fora dele, infinitos pontos.

2.2 Postulados da determinação

P3)Por dois pontos distintos passa uma únicareta.

Notação:

P4)Por três pontos não-colineares passa umúnico plano.

Notação: α = (A,B,C)

2.3 Postulados da inclusão

P5)Se uma reta r tem dois pontos distintos numplano α, então a reta r está contida nesseplano:

Simbolicamente, temos:

3. Retas concorrentes e paralelas

3.1 Definição de retas concorrentes

Diremos que duas retas r e s são concorrentesse, e somente se, elas têm um único ponto emcomum.

r ∩ s = {P}

3.2 Definição de retas paralelas

Diremos que duas retas r e s são paralelas, see somente se, elas são coincidentes ou elassão coplanares e não têm pontos em comum.

11

Geometria II – Noções primitivas e posições relativas

1.° caso

Notação: r = s ⇒ r//s

2.° caso

Notação: r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅ ⇒ r//s

Retas paralelas e concorrentes no cotidiano

Exemplo 1

Dado um plano β, nele existem infinitas retas.

Solução: Fazendo uso do postulado da exis-tência (P2), considere, no plano β dado, doispontos distintos A e B.

Pelo postulado da determinação (P3), temosque existe uma reta r1, a qual está contida noplano β (postulado da inclusão P5).

Fazendo uso dos postulados P1 e P2, con-sidere em β e fora de r1 um ponto C. Os pon-tos A e C, B e C determinam duas retas r2 e r3

(postulado P3) respectivamente, as quais estãocontidas no plano β (postulado P5).

Desse modo, podemos construir em β “tantasretas quantas quisermos”, isto é, “ infinitas” retas.

Exemplo 2

Quantas retas há no espaço? Demonstre.

Solução: Infinitas.

De fato, consideremos dois pontos distintos doespaço A e B. Esses pontos determinam umareta r (postulado P3).

Seja C um ponto do espaço, fora da reta r(postulado P1). Os pontos A e C determinamuma reta S, e os pontos B e C determinamuma reta t.

Desse modo, podemos construir “tantas retasquantas quisermos”, isto é, construiremos “infi-nitas” retas.

Exemplo 3

Mostre que, três retas duas a duas concor-rentes, não passando por um mesmo ponto,estão contidas no mesmo plano.

Solução:

Sejam r, s e t as retas tais que r ∩ s = {A},r ∩ t = {B}, s ∩ t = {C} e A, B e C são pon-tos não- colineares.

Pelo postulado P4, existe um único plano βpassando pelos pontos A, B e C em queβ = (A, B, C).

Sendo A ≠ B, A ≠ C, B ≠ C com A, B, C ∈ β,concluímos que as retas r, s e t estão contidasno mesmo plano β (postulado P5), pois sãodeterminadas pelos pontos A, B e C de modoque .

12

UEA – Licenciatura em Matemática

1. Quantas retas podemos traçar por um pontono espaço? Justifique sua resposta.

2. Quantos são os planos determinados por qua-tro pontos distintos dois a dois? Justifique suaresposta

3. É comum encontrarmos mesas com 4 “pernas”que, mesmo apoiada em um piso plano, ba-lançam e nos obrigam a colocar um calço em umadas “pernas”, se a quisermos firme. Explique,usando argumento de geometria, por que isso nãoacontece com uma mesa de 3 “pernas”.

4. Determinação de um plano

Existem mais três modos de determinar umplano, além do postulado P2, os quais vamosenunciar em forma de proposição;

Proposição 1 – Um plano fica determinado demodo único, por uma reta (r) e um ponto (P)que não pertença a essa reta.

Notação: α = (P, r)

Demonstração:

Tome na reta r dois pontos distintos A e B (pos-tulado P1). Dessa forma, temos que os pontosA, B e P não são colineares, pois o pontoP ∉ r.

Sendo assim, temos que existe um plano αdeterminado pelos pontos A, B e P(postuladoP2), o qual vamos denotar por α =(A, B, P).

Observe que o ponto P ∈ α, e a reta r = AB ⊂ α(postulado P5), ficando assim provada aexistência do plano α.

Vamos agora mostrar a unicidade do plano α:

Se existisse um outro plano, digamos β, pas-sando por P e r teríamos que:

α = (P, r); com A, B ∈ r ⇒ α = (A,B,P) eβ = (P, r); com A, B ∈ r ⇒ β = (A,B,P).

Portanto (postulado P2) concluímos que α = β.

Exemplo1

Quantos são os planos que passam por umareta dada? Justifique sua resposta.

Solução: Infinitos.

Seja r a reta e A um ponto fora de r (postuladoP1). A reta r e o ponto A determinam um planoα (Proposição 1). Fora do plano α, tomamosum ponto B (postulado P2). Desse modo, te-mos que a reta r e o ponto B determinam umplano β (Proposição 1). Fora de α e β, toma-mos um ponto C (postulado P2). A reta r e oponto C determinam um plano γ (Proposição 1).

Desse modo, podemos construir, por r, tantosplanos quantos quisermos, isto é, construire-mos infinitos planos.

Exemplo 2

Quantos planos passam por dois pontos distin-tos? Justifique sua resposta.

Solução: Infinitos.

Seja A e B tais pontos distintos. Pelo postuladoP3, temos que existe uma única reta r passan-do por eles.

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Sendo assim, fazendo uso do exercício ante-

rior, concluímos que existem infinitos planos

passando pelos pontos A e B.

1. (Proposição 2) Mostre que um plano fica deter-

minado de modo único, por duas retas concor-

rentes.

2. (Proposição 3) Mostre que um plano fica deter-

minado de modo único, por duas retas parale-

las entre si e distintas.

3. Prove que duas retas paralelas distintas e uma

concorrente com as duas são coplanares.

4. Mostre que, se duas retas são paralelas distin-

tas, todo plano que contém uma delas e um

ponto da outra, contém a outra.

5. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican-

do sua resposta.

a) Três pontos distintos determinam um plano.

b) Um ponto e um reta determinam um único

plano.

c) Três retas distintas, duas a duas paralelas,

determinam um ou três planos.

d) Três retas distintas, duas a duas concor-

rentes, determinam um ou três planos.

e) Três retas distintas, duas a duas concor-

rentes, determinam um único plano.

f) Quatro pontos distintos e não-colineares

determinam um único plano.

4. Retas reversas

Definição – Diremos que duas retas r e s são

ditas reversas se, e somente se, não existe

plano que as contenha.

Notação: r e s são reversas ⇔ α; r, s ⊂ α e

r ∩ s = ∅

Retas reversas no cotidiano

5. Quadrilátero reverso

Definição – Um quadrilátero é chamado rever-so se, e somente se, não existe plano con-tendo seus quatros vértices.

Se α = (A, B, D) e C ∉ α, então ABCD é umquadrilátero reverso.

Exemplo 1

Mostre que todo quadrilátero reverso não podeser um paralelogramo.

Solução: (Demonstração pelo método indireto)

Suponha que um quadrilátero reverso ABCD,seja um paralelogramo ⇒ ⇒ ∃α“plano” tal que ⊂ α, ⊂ α, portanto ospontos A, B, C e D estão contidos em α. Issogera um absurdo em relação à hipótese .

Logo, o quadrilátero reverso ABCD, não podeser um paralelogramo.

Exemplo 2

As diagonais de um quadrilátero reverso sãoreversas.

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Solução: (Demonstração pelo método indireto)

Sejam ⎯AC e

⎯BD as diagonais do quadrilátero

reverso ABCD. Sendo assim, suponha que asdiagonais

⎯AC e

⎯BD não sejam reversas ⇒

e são coplanares ⇒ ∃ α “plano” tal que,que os pontos A, B, C e D estão

contidos em α. Isso gera um absurdo emrelação ao fato do quadrilátero ser reverso.

Logo, as diagonais⎯AC e

⎯BD de um

quadrilátero reverso são reversas.

1. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican-do sua resposta.

a. ( ) Duas retas ou são coincidentes ou sãodistintas.

b. ( ) Duas retas ou são coplanares ou sãoreversas.

c. ( ) Duas retas distintas determinam umplano.

d. ( ) Duas retas concorrentes têm um pontoem comum.

e. ( ) Duas retas concorrentes têm um únicoponto em comum.

f. ( ) Duas retas que têm um ponto em co-mum são concorrentes.

g. ( ) Duas retas que têm um único ponto emcomum são concorrentes.

h. ( ) Duas retas coplanares são concorrentes.

i. ( ) Duas retas não-coplanares são reversas.


Obs.: Em cada caso, abaixo, r e s são retas.

a. ( ) r ∩ s = ∅ ⇒ r e s são reversas.

b. ( ) r e s são reversas ⇒ r ∩ s = ∅.

c. ( ) r ∩ s = ∅ ⇒ r e s são paralelas.

d. ( ) r//s, r ≠ s ⇒ r ∩ s = ∅.

e. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é necessária paraque r e s sejam reversas.

f. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é suficiente paraque r e s sejam reversas.

g. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é necessária paraque as duas retas distintas r e s sejamreversas.

h. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é necessária paraque as duas retas distintas r e s sejamparalelas.

i. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é necessária esuficiente para que as duas retas distin-tas r e s sejam reversas.

6. Interseção de planos

6.1 Postulados da interseção

P6) Se dois planos distintos têm um ponto emcomum, então eles têm pelos menos um outroponto em comum.

Notação:

α ≠ β, P ∈ α e P ∈ β ⇒ ∃Q; P ≠ Q, Q ∈ α e

Q ∈ β

Uma conseqüêcia natural do postulado P6 é que:

Se dois planos distintos têm um ponto emcomum, então a sua intersecção é dada poruma única reta que passa por esse ponto.

7. Paralelismo de retas

7.1 Postulado das paralelas (postulado de Euclisdes)

P7) Dados uma reta r e um ponto P ∉ r, existeuma única reta s, passando por P, tal quer seja paralela a s.

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7.2 Teorema das Paralelas

Se duas retas são paralelas a uma terceira,então elas são paralelas entre si, ou seja, r, s et retas, em que r//t e s//t ⇒ r//s.

Temos dois casos a considerar:

1.o) As três retas são coplanares.

2.o) As retas são não-coplanares.

Vamos considerar o segundo caso, que é omais geral.

Demonstração:

Fazendo uso do postulado P7, as retas r e s nãotêm ponto comum, pois caso essa afirmaçãonão fosse verdadeira, teríamos duas retas pas-sado por um mesmo ponto e paralelas à reta t,contrariando o postulado das paralelas.

Considere os planos β = (r, t) e α = (s, t), ouseja, o plano β é determinado pelas retas r e t,pois r//t, e o plano α é determinado pelas retass e t, pois s//t.

Tomemos um ponto P em s; dessa forma,podemos obter um plano γ = (P, r).

Os planos distintos α e γ têm um ponto P

comum; sendo assim, pela conseqüêcia natu-ral do postulado P6, eles têm uma reta em co-mum, que chamaremos de x (não podemos di-zer que as retas s e x são as mesmas, poisestaríamos admitinto a tese que queremos pro-var).

(r = β ∩ γ , x = α ∩ γ , t = α ∩ β e r//t) ⇒r//x e t//x

O ponto P pertence, então, às retas s e x, eambas são paralelas à reta t. Logo, fazendouso do postulado das paralelas, temos quex = s. Donde concluímos que r = s.

1. Mostre que duas retas sendo paralelas a umaterceira, então elas são paralelas entre si (parao caso das três retas serem coplanares).

2. Mostre que os pontos médios dos lados de umquadrilátero reverso são os vértices de umparalelogramo.

8. Paralelismo entre retas e planos

8.1 Definição

Sejam α e r um plano e uma reta respectiva-mente. Diremos que a reta r é paralela ao plano αse, e somente se, eles não têm ponto em comum.

Notação: α // r ⇔ α ∩ r = ∅

Vamos enunciar, como exercício resolvido,uma condição necessária e suficiente para queuma reta dada seja paralela a um plano dado.

Exemplo 1

(Condição Suficiente) Diremos que uma reta,que não está contida num plano e é paralela apelo menos uma reta desse plano, é paralelaao plano.

Em outras palavras:

Sejam r e α uma reta e um plano respectiva-mente, tal que r ⊄ α. Se a reta r é paralela auma reta s do plano α, então a reta r é paralelaao plano α.

Hipótese: r ⊄ α, r//s, s ⊂ α ⇒ Tese r//α

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Demonstração:

Temos por hipótese que r//s com r ∩ s = ∅.Então, existe um plano β determinado por r es, onde s ⊂ α, s ⊂ β e α ≠ β implicando ques = α ∩ β.

Se r e α têm um ponto em comum, digamos A,teremos A ∈ r e r ⊂ β ⇒ A ∈ β. Como A ∈ βe A ∈ α, decorre daí que A ∈ s.

Sendo assim, concluímos que A ∈ r e A ∈ s.Logo, existe um ponto A ∈(r ∩ s) = ∅, o quegera um absurdo. Logo, concluímos que a retar não pode ter ponto em comum com o planoα, isto é, r//α.

Exemplo 2

(Condição necessária) Se uma reta é paralelaa um determinado plano, então ela é paralela auma reta desse plano.

Em outras palavras:

Sejam r e α uma reta e um plano respectiva-mente. Se r//α, então existe uma reta s ⊂ α talque r//s. r

Hipótese: r //α ⇒ Tese: ∃ s ⊂ α |r//s

Demonstração:

Conduzimos por r um plano β que intercepta α.Seja s a reta dada pela interseção dos planosα e β.

As retas r e s são coplanares, pois estão em βe não têm pontos em comum, pois r ∩ α = ∅,s ⊂ α ⇒ r ∩ s = ∅. Logo, r//s.

Observação – Uma condição nescessária esuficiente para que uma reta (r), não contidanum plano (α), seja paralela a esse plano, é serparalela a uma reta (s) contida no plano (α).

9. Posições relativas entre uma reta e um plano

São três as posições relativas entre uma reta eum plano:

1.a) A reta está contida no plano.

Ou seja, dois pontos distintos da reta, di-gamos A e B também são pontos do plano.

r ⊂ α ⇔ r ∩ α = r

2.a) A reta e o plano são concorrentes ou a retae o plano são secantes.

r ∩ α = {P}

3°) A reta e um plano são paralelos.

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r // α ⇔ r ∩ α = ∅

1. Se uma reta é paralela a dois planos secantes,então ela é paralela à interseção.

2. Se duas retas paralelas são dadas e uma delasé paralela a um plano, então a outra é parale-las ou está contida nesse plano.

3. Dadas duas retas reversas r e s, construa pors um plano paralelo a r.

4. Construa por um ponto uma reta paralela adois planos secantes.


a. ( ) Uma reta e um plano que têm um pontocomum são concorrentes.

b. ( ) Uma reta e um plano secantes têm umúnico ponto comum.

c. ( ) Uma reta e um plano paralelos não têmponto comum.

d. ( ) Um plano e uma reta secantes têm umponto comum.

e. ( ) Se uma reta está contida num plano,eles têm um ponto comum.

f. ( ) Se uma reta é paralela a um plano, ela éparalela a qualquer reta do plano.

g. ( ) Se um plano é paralelo a uma reta,qualquer reta do plano é reversa à retadada.

h. ( ) Se uma reta é paralela a um plano,existe no plano uma reta concorrentecom a reta dada.

i. ( ) Se uma reta e um plano são concor-

rentes, então a reta é concorrente comqualquer reta do plano.

j. ( ) Se uma reta é paralela a um plano, ela éparalela a infinitas retas do planos.

k. ( ) Se duas retas distintas são paralelas a umplano, então elas são paralelas entre si.

l. ( ) Uma condição necessária e suficientepara uma reta ser paralela a um plano éser paralela a uma reta do plano e nãoestar nele.

10. Paralelismo entre planos

Definição:

Dois planos são paralelos se, e somente se,eles não têm ponto comum ou são iguais(coincidentes).

1.° caso:

2.° caso:

Notação: α // β ⇔ α = β ou α ∩ β = ∅

Uma condição necessária e suficiente paraque dois planos distintos sejam paralelos éque um deles contenha duas retas concor-rentes, ambas paralelas ao outro.

Exemplo 1

(Condição suficiente) Sejam α e β dois planos.Se um deles, digamos β, possui duas retas a eb concorrentes, ambas paralelas ao plano α,então o plano α e β são paralelos.

Hipótese: {a ⊂ β, b ⊂ β, a ∩ b = {O}, a // α, b // α⇒ Tese: {α // β

Demonstração:

Sendo os planos α e β distintos, vamos mostrar

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que eles são paralelos, fazendo uso do métodoindireto de demonstração, ou seja, supondoque os planos α e β não sejam paralelos.

Logo, existiria uma reta, a qual vamos denotarde i, tal que i = α ∩ β. Dessa forma, teríamos:a // α, a ⊂ β, i = a ∩ β ⇒ a//i e b// α, b ⊂ β,i = a ∩ β ⇒ b//i.

Logo, pelo teorema das paralelas, temos queas retas a e b são paralelas, o que é um absur-do, pois por hipótese as retas a e b são con-correntes.

Assim, concluímos que os planos α e β sãoparalelos.

Exemplo 2

(Condição necessária) Se dois planos distintosα e β são paralelos, então um deles, digamosβ, contém duas retas concorrenres, ambasparalelas ao outro (α).

Hipótese: {α // β ⇒ Tese {∃a ⊂ β, ∃b ⊂ β,a ∩ b = {O}, a // α, b // α

Demonstração:

Sabemos que num plano dado (β) existeminfinitas retas; tome duas (a e b) que sejamconcorrentes, digamos, no ponto O, ou seja,α ∩ β = {O}. Basta mostrar que as retas a e bsão ambas paralelas ao plano α.

Fazendo uso do método indireto de demons-tração, ou seja , supondo que as retas a e bnão sejam paralelas ao plano α. Logo, existiriapelo menos um ponto de uma das retas, di-

gamos P em reta a, que seria também pontodo plano α.

Dessa forma, teríamos:

a ⊂ β, a ∩ α ≠ ∅ ⇒ α ∩ β ≠ ∅, o que é umabsurdo, pois os planos α // β tais queα ∩ β = ∅. Portanto a tese é verdadeira.

11. Posições relativas entre dois planos

As posições relativas de dois planos, digamosα e β, podem ser de três formas.

1. Planos coincidentes

α ∩ β = α = β

2. Planos paralelos distintos

α ∩ β = ∅

3. Planos secantes

α ∩ β = i

Exemplo 1

Sejam α, β dois planos distintos e paralelos.Mostre que toda reta r de α é paralela ao pla-no β.

Hipótese: {α // β, r ⊂ α ⇒ Tese {r // β

Demonstração:

Sendo α e β planos paralelos distintos e r ⊂ α,vamos mostrar que r // β. Para isso, vamosfazer uso do método indireto de demons-tração, ou seja, vamos supor que a reta r nãoseja paralela ao plano β.

Logo, existiria pelo menos um ponto Q ∈ r, talque o ponto Q ∈ β. Como Q ∈ α, pois r ⊂ α eQ ∈ β, teríamos que Q ∈ α ∩ β, o que seria umabsurdo, pois por hipótese α ∩ β = ∅. Logo,vale a tese, ou seja, r // β.

19


Exemplo 2

Sejam α, β e γ três planos distintos. Se α, βsão paralelos, e γ encontra α segundo a reta r,

então γ encontra β segundo a reta s.

Hipótese: {α, β, γ planos, α // β e γ ∩ α= r ⇒

Tese: {γ ∩ β = s

Demonstração:

Basta considerar, em γ, uma reta t concorrente

com a reta r.

Como γ ≠ α, concluímos que t é concorrente

com α. Sendo α // β, teremos que t é concor-

rente com o plano β num ponto, digamos Q.

Logo, fazendo uso da conseqüêcia natural do

postulado P6, temos que existe uma reta, di-

gamos s, tal que Q ∈ s e s = γ ∩ β.

1. Classifique em verdadeiro ou falso, justifican-

do sua resposta.

a. ( ) Se dois planos são secantes, então

qualquer reta de um deles é concor-

rente com o outro.

b. ( ) Se dois planos são secantes, então

uma reta de um deles pode ser concor-

rente com uma reta do outro.

c. ( ) Se dois planos são secantes, então

uma reta de um deles pode ser reversa

com uma reta do outro,

d. ( ) Dois planos distintos paralelos têm um

ponto em comum.

e. ( ) Se dois planos distintos são paralelos,então uma reta de um deles é paralelaao outro.

f. ( ) Se dois planos distintos são paralelos,então uma reta de um e uma reta deoutro podem ser concorrentes.

g. ( ) Se um plano contém duas retas distin-tas e paralelas a um outro plano, entãoesses planos são paralelos.

h. ( ) Uma condição suficiente para que doisplanos sejam paralelos é que duas retasdistintas de um sejam paralelas ao outro.

i. ( ) Se dois planos são paralelos, então todareta que tem um ponto comum com umdeles, tem um ponto comum com o outro.

2. Se dois planos paralelos interceptam um ter-ceiro, então as interseções são paralelas.

3. Se dois plano são paralelos, toda reta paralelaa um deles é paralela ou está contida no outro.

4. Mostre a transitividade entre planos, isto é, sedois planos são paralelos a um terceiro , entãoeles são paralelos entre si.

12. Retas e planos perpendiculares

Definição

Uma reta r é perpendicular a um plano α se, esomente se, r é perpendicular a todas as retasde α que passam pelo ponto de intersecção der e α.

Observações:

1. Se uma reta r e um plano são concorrentese não são perpendiculares, eles são oblí-quos.

2. se uma reta r é perpendicular a um plano α,então ela é perpendicular ou ortogonal atoda reta de α:

Como conseqüência, temos o seguinte Teo-rema, que vamos admitir sem demonstração.

20


Teorema (Fundamental) – Para que uma reta rseja perpendicular a um plano α, basta ser per-pendicular a duas retas concorrentes, contidasem α.

Hipótese: ⇒ Tese {r ⊥ α

Como conseqüência deste teorema, temos osseguintes corolários.

Corolário 1 – Num plano (α), há duas retas (be c) concorrentes (em P). Se uma reta (a) éperpendicular a uma delas (b em O) e ortogo-nal à outra (c), então essa reta (a) é perpendi-cular ao plano (α).

Corolário 2 – Se uma reta é ortogonal a duasretas concorrentes de um plano, então ela éperpendicular ao plano.

1.° Caso

2.° Caso

3.° Caso

Exemplo 1

Classifique em verdadeiro ou falso. Justifican-do sua resposta.

a) Uma reta e um plano secantes são perpen-diculares.

Resposta: Falso, pois a reta e o planopodem ser secante oblíquos.

b) Uma reta é perpendicular a um plano é per-pendicular a infinitas retas desse plano.

Resposta: Verdadeiro. Use a definição deperpendicularismo entre reta e plano.

c) Um reta perpendicular a um plano é reversaa todas as retas do plano.

Resposta: Falso. Use o Teorema (Funda-mental) e observe que a reta é perpendicu-lar a pelo menos duas retas do plano.

21


d) Uma reta perpendicular a um plano é ortog-onal a infinitas retas do plano.

Resposta: Verdadeiro. Use o corolário 2“Se uma reta (r) é ortogonal a duas retas (se t) concorrentes de um plano, então ela éperpendicular ao plano” e observe que, noplano, existem infinitas retas paralelas àsretas (s e t) e ortogonais à reta dada.

13. Planos perpendiculares

Definição

Dois planos (α e β) são perpendiculares se, esomente se, existe uma reta de um deles que éperpendicular ao outro.

Fazendo uso da definição, temos a seguinte,proposição.

Proposição – Sejam α, β planos, e i uma retatal que i = α ∩ β. Se α ⊥ β e r é uma reta con-tida em um deles, digamos r ⊂ α e r ⊥ i. Então,r ⊥ β.

Demonstração:

Sendo α ⊥ β, temos que existe uma reta a talque a ⊂ α, em que α ⊥ β. Então, concluímosque a reta a é perpendicular à reta i.

No plano α, temos que a ⊥ i e r ⊥ i ⇒ a//r.Sendo a//r e α ⊥ β, concluímos que r ⊥ β.

Finalmente, vamos enunciar, sem demons-tração, uma condição necessária e suficientepara que dois planos secantes sejam perpen-diculares.

Proposição – Uma condição necessária e sufi-ciente para que dois planos secantes sejamperpendiculares é que toda reta de um deles,perpendicular à interseção, seja perpendicularao outro.


a. ( ) Dois planos, perpendiculares a um ter-ceiro, são perpendiculares entre si.

b. ( ) Se dois planos são perpendiculares aum terceiro, então eles são paralelos.

c. ( ) Se dois planos são perpendiculares,então toda reta perpendicular a umdeles é paralela ao outro ou está conti-da neste outro.

d. ( ) Se dois planos são paralelos, todoplano perpendicular a um deles é per-pendicular ao outro.

e. ( ) Uma reta e um plano são paralelos. Seum plano é perpendicular ao planodado, então ele é perpendicular à reta.

f. ( ) Se dois planos são secantes, então elessão perpendiculares.

g. ( ) Se dois planos são perpendiculares,então toda reta de um deles é perpendi-cular ao outro.

22


UNIDADE IIDistâncias, diedros e triedros

25

Geometria II – Distâncias, diedros e triedros

TEMA 02

DISTÂNCIAS E DIEDROS

1. Projeção ortogonal

Definiçao – A projeção ortogonal de um pontoP sobre um plano α é a intersecção do planocom a reta perpendicular a ele, conduzida peloponto P.

P’ = projα P

1.1 Projeção ortogonal de uma figura geométrica

A projeção ortogonal de uma figura geométricaF (qualquer conjunto de pontos) sobre umplano α é o conjunto das projeções ortogonaisde todos os pontos de F sobre α.

F’ = projα F

1.2 Projeção de uma reta

Se a reta (r) é perpendicular ao plano (α), tere-mos como projeção ortogonal exatamente umponto, digamos P.

P’ = projα r

Se a reta não é perpendicular ao plano, tere-mos a seguinte definição.

Definição – Chama-se projeção ortogonal deuma reta r, não perpendicular a um plano α,sobre esse plano, ao traço em α, do plano β,perpendicular a α, conduzido por r.

Geometricamente, temos:

r’ = projα r

2. Distâncias geométricas

Vamos definir distâncias geométricas entreentes geométricos.

2.1 Distância entre ponto e ponto

Definição – Chama-se distância entre dois pon-tos distintos A e B ao comprimento do segui-mento de reta

⎯AB ou ao comprimento qual-

quer segmento congruente a⎯AB. Se A = B, a

distância entre A e B é nula.

Notação: d(A, B) = AB

2.2 Distância entre ponto e reta

Definição – Chama-se distância entre umponto (A) e um reta (r) à distância entre esseponto e o pé da perpendicular à reta conduzi-da pelo ponto.

Notação: d(A, r) = AB

B é o pé da perpendicular à reta r conduzidopor A, ou seja, B é a intersecção de uma retaconduzida por A e perpendicular à reta r.

2.3 Distância entre ponto e plano

Definição – A distância entre um ponto e umplano é a medida do segmento cujosextremos são o ponto e sua projeção ortogonalsobre o plano.

26


Notação: d(P, α) = PP’

2.4 Distância entre uma reta e um plano paralelo

Definição – A distância entre uma reta e umplano paralelo é a distância entre um pontoqualquer da reta e o plano.

Notação: d(r, a) = d(P, α) = PP’

2.5 Distância entre dois planos paralelos

Definição – A distância entre dois planos para-lelos é a distância entre um ponto qualquer deum deles e o outro plano

dα . β= PP’

Notação: d(α, β) = d (P, β) = PP’

2.6 Distância entre duas retas reversas

Definição – A distância entre duas retas rever-sas (r e s) é a distância entre um ponto qual-quer de uma delas e o plano que passa pelaoutra e é paralelo à primeira reta.

Notação: d(r, s) = PP’


a. ( ) Se ⎯PA é um seguimento oblíquo a um

plano α, com A ∈ α, então a distânciaentre P e A é a distância entre P e α.

b. ( ) A distância entre um ponto e um planoé a reta perpendicular ao plano peloponto.

c. ( ) A distância de um ponto P a um plano αé a distância de P ao ponto P’ de inter-seção de α com a reta r, perpendiculara α por P.

d. ( ) A distância entre um plano e uma reta,sendo eles paralelos distintos, é a dis-tância de um ponto qualquer do plano areta.

e. ( ) A distância entre um plano e uma reta,sendo eles paralelos e distintos, é a dis-tância de um ponto qualquer do plano aum ponto qualquer da reta.

3. Ângulos entre retas reversas

Definição – De modo geral, definimos ânguloentre duas retas reversas como sendo o ângu-lo agudo que uma delas forma com uma retaparalela à outra.

Geometricamente, temos:

θ é o ângulo entre r e s.

4. Ângulos entre reta e planos

Definição – O ângulo entre uma reta e umplano é o ângulo agudo que a reta forma comsua projeção ortogonal sobre o plano.

Gemetricamente, temos:

27

Geometria II – Distâncias, diedros e triedros

θ é o ângulo entre r e α

5. Diedros5.1 Definição – Dois semiplanos não-coplanares,

com origem numa mesma reta, determinamuma figura geométrica chamada ângulo dié-drico, ou simplesmente diedro.

5.2 Secção de um diedro

Definição – Secção de um diedro é a interseçãodo diedro com um plano secante à aresta.

Exemplo:

Duas secções paralelas de um diedro são con-gruentes.

Solução:

De fato, as secções são dois ângulos de ladoscom sentidos respectivamente concordantes,e portanto são congruentes.

1. Defina:

a) Diedro reto.

b) Diedro agudo.

c) Diedro obtuso.

d) Diedros adjacentes.

e) Diedros opostos pela aresta.

5.3 Congruência entre diedros

Definição – Dois diedros são congruentes se,

e sommente se, uma secção normal de um é

congruente à secção normal do outro.

Notação: αrβ = α’ r’ β’ ⇔ xy ≡ x’ y’

28


6. Triedos

Definição – Três semi-retas não-coplanares,com origem num mesmo ponto, determinamtrês ângulos que formam uma figura geométri-ca chamada ângulo triédrico, ou simples-mente triedro.

7. Ângulo poliédrico

Definição – Sejam n semi-retas (n ≥ 3) demesma origem, tais que nunca fiquem três nummesmo semiplano. Essas semi-retas determi-nam n ângulos em que o plano de cada umdeixa as outras semi-retas em um mesmo semi-espaço. A figura formada por esses ângulos éo ângulo poliédrico.

UNIDADE IIIPoliedros, prismas e pirâmides

31

Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides

TEMA 03

POLIEDROS

1. Definição

Chamamos de poliedro o sólido limitado porquatro ou mais polígonos planos, pertencentesa planos diferentes e que têm dois a doissomente uma aresta em comum. Veja algunsexemplos

1.

2.

3.

4.

5.

2. Elementos

Os polígonos são as faces do poliedro; os la-dos e os vértices dos polígonos são as arestase os vértices do poliedro.

3. Poliedros convexos e côncavos

Um poliedro é dito convexo se limita uma re-gião do espaço que é convexa. Essa regiãoidentifica o interior do poliedro convexo.

A região interior de um poliedro é convexa se,ao tomar arbitrariamente dois pontos quais-quer da região, todo o segmento definido poresses pontos também está totalmente contidona região. Outra maneira de identificar a regiãointerior como convexa é a seguinte: considereuma face qualquer do poliedro e o plano que acontém. Se todo o poliedro fica totalmente emum dos lados deste plano, independente daface escolhida, o poliedro é convexo.

Os exemplos 1, 2 e 3 são poliedros convexos.

O exemplo 4 não é um poliedro convexo, pois,em relação a duas de suas faces, ele não estácontido em apenas um semi-espaço.

O poliedro do exemplo 5, denominado “toro”,tem o formato de uma câmara de ar dos anti-gos pneus e é formado por quatro tetraedos equatro pirâmides de base triangular, sendo aregião central vazada. Este poliedro tambémnão é convexo. Os poliedros que não são con-vexos são chamados de poliedros côncavos.

4. Classificação

Os poliedros convexos possuem nomes espe-ciais de acordo com o número de faces, comopor exemplo:

• Tetraedro: quatro faces.

• Pentaedro: cinco faces.

• Hexaedro: seis faces.

• Heptaedro: sete faces.

• Octaedro: oito faces.

• Icosaedro: vinte faces.

5. Relação de Euler

Muitos dos símbolos matemáticos que sãousados hoje se devem ao matemático suíço

32


Leonard Euler, nascido em Basiléia (1707-1783). Ele foi o primeiro a usar a letra e paradenotar a base dos logaritmos naturais, o pri-meiro a usar a letra grega π e o primeiro a usari como sendo a raiz quadrada de –1 ( ).Embora a descoberta do resultado do teoremaque relaciona vértices, faces e arestas de umpoliedro regular convexo seja atribuída a Des-cartes (1596-1650), a fórmula V – A + F = 2leva o nome de Euler, que além de tê-la redes-coberto, publicou uma demonstração em 1751.

Euler

Além de estudar Matemática, dedicou-se tam-bém à Teologia, Medicina, Astronomia, Física eàs línguas orientais. É considerado O mestrede todos os matemáticos do século XVIII pelofato de as suas pesquisas terem aberto novoscaminhos para a Matemática.

Em 1741, recebeu um convite para exercer ocargo de vice-presidente da seção de Mate-mática da Academia de Berlim. Durante o lon-go período em que aí permaneceu, escreveumais de trezentos trabalhos científicos. Mas,em 1776, quando retorna à Rússia, descobreque estava perdendo a visão do olho que lherestava. Mesmo completamente cego, Euler,auxiliado por seus filhos Kraff e Lexill, escrevianuma lousa colocada em sua casa as novasdescobertas Matemáticas que fazia.

Em todo poliedro convexo, é válida a relaçãoseguinte:

V – F + A = 2

Tal relação é demonimana relação de Euler,em que V é o número de vértices, A é onúmero de arestas e F, o número de faces.

Exemplo:

Verifique se os poliedros abaixo satisfazem arelação de Euler

a)

Solução:

V = 9, A = 18, F = 11

V – A + F = 9 – 18 + 11 = 2

Portanto satisfaz a relação de Euler.

b)

Solução:

V = 14, A = 21, F = 9

V – A + F = 14 – 21 + 9 = 2

Portanto satisfaz a relação de Euler.

c)

Solução:

V = 16, A = 32, F = 16

V – A + F = 16 – 32 + 16 = 0

Portanto não satisfaz a relação de Euler.

Observação – Os poliedros para os quais éválida a relação de Euler são chamados euleri-anos.

33

5. Poliedros de Platão

Esse nome dado a alguns poliedros deve-se aofilósofo grego Platão (427-348 a.C.), discípulo deSócrates e mestre de Aristóteles. Foi fundadorda Academia de Atenas onde se ensinavaMatemática, Ginástica e Filosofia. Ele valorizavamuito a Matemática, por ela nos dar a capaci-dade de raciocínio abstrato. Na entrada da suaacademia, havia a seguinte afirmação: “Que aquinão adentre quem não souber geometria”.

Platão

5.1 Definição

Um poliedro é chamado “poliedro de Platão”se, e somente se, satisfaz as três seguintescondições:

a) todas as faces têm o mesmo número (n) dearestas;

b) todos os ângulos poliédricos têm o mesmonúmero (m) de arestas, ou seja, de cadavértice parte o mesmo número (m) de ares-tas;

c) vale a relação de Euler (V – F + A = 2).

5.2 Propriedade

Existem cinco, e somente cinco, classes depoliedros de Platão, que são: tetraedro, hexae-dro, octaedro, dodecaedro, icosaedro. Observeque todos eles satisfazem as condições citadas.

6. Poliedros regulares

6.1 Definição:

Um poliedro convexo é regular quando:

a) suas faces são polígonos regulares e con-gruentes;

b) seus ângulos poliédricos são congruentes.

6.2 Propriedade

Existem cinco, e somente cinco, tipos depoliedros regulares convexos, que são: tetrae-dro regular, hexaedro regular, octaedro regular,dodecaedro regular e icosaedro regular.

Observe que:

a) se suas faces são polígonos regulares econgruentes, então todas têm o mesmonúmero de arestas;

b) se seus ângulos poliédricos são congru-entes, então todos têm o mesmo númerode arestas.

Portanto temos:

Todo poliedro regular convexo é poliedro dePlatão, mas nem todo poliedro de Platão époliedro regular.

Por exemplo, uma caixa de bombons como a dafigura a seguir é um poliedro de Platão (hexae-dro), mas não é um poliedro regular, pois as facesnão são polígonos regulares e congruentes.

Johann Kepler (1571-1630) descobriu dois po-liedros que são, simultaneamente, regulares enão-convexos: o pequeno dodecaedro estrela-do e o grande dodecaedro estrelado.

Pequeno dodecadro Grande dodecadroestrelado estrelado


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Dentre os vários poliedros serão destacadosnos temas a seguir os prismas e as pirâmides.

Aula prática 1: Construção dos poliedros

Objetivos:

• Visualizar os poliedros bem como as suasplanificações.

• Verificar a relação de Euler nos poliedrosconstruídos e nas embalagens do cotidi-ano.

• Verificar as propriedades dos poliedrosconvexos, de Platão e regulares nos polie-dros construídos e nas embalagens.

• Determinar experimentalmente a área totale o volume dos poliedros.

ATIVIDADE 1

Material:

• Embalagens do cotidiano com formas difer-entes.

Descrição:

• Identificar, nas embalagens, as que sãopoliedros, poliedros convexos, de Platãoe/ou poliedros regulares.

ATIVIDADE 2

Material:

• Canudinhos (com cores diferentes).

• Tesoura.

• Cola.

• Barbante.

• Modelo do anexo.

Descrição:

• Confeccionar, com canudinhos, os polie-dros de Platão conforme os modelos dosanexos 1 a 4.

ATIVIDADE 3

Material:

• Folhas de papel cartão.

• Tesoura.

• Cola.

• Elásticos coloridos.

• Modelo dos anexos 5 a 9.

Descrição:

• Confeccionar, em papel cartão, a planifi-cação dos poliedros de Platão conformemodelo do anexo 5 a 9.

• Colorir as faces dos poliedros; recortar aplanificação.

• Obter o valor da área total dos poliedrosantes de montá-los.

• Dobrar as arestas e depois unir com cola asque estiverem nas bordas da planificação.

• Obter experimentalmente o valor do volumedos poliedros.

1. Determine o número de vértices de um poliedroconvexo que tem 3 faces triangulares, 1 facequadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais.

35

2. Num poliedro convexo de 10 arestas, onúmero de faces é igual ao número de vértices.Quantas faces tem esse poliedro?

3. Num poliedro convexo, o número de arestasexcede o número de vértices em 6 unidades.Calcule o número de faces desse poliedro.

4. Um poliedro convexo apresenta faces quad-rangulares e triangulares. Calcule o número defaces desse poliedro, sabendo que o númerode arestas é o quádruplo do número de facestriangulares, e o número de faces quadrangu-lares é igual a 5.

5. Um poliedro convexo tem 11 vértices, onúmero de faces triangulares igual ao númerode faces quadrangulares e uma face pentago-nal. Calcule o número de faces desse poliedro.

6. Calcule o número de faces triangulares e onúmero de faces quadrangulares de um po-liedro com 20 arestas e 10 vértices.

7. Um poliedro de sete vértices tem cinco ângu-los tetraédricos e dois ângulos pentaédricos.Quantas arestas e quantas faces tem opoliedro?

8. Ache o número de faces de um poliedro con-vexo que possui 16 ângulos triedros.

9. Determine o número de vértices, arestas efaces de um poliedro convexo formado porcinco triedros, sete ângulos tetraédricos, noveângulos pentaédricos e oito ângulos hexaédri-cos.

10. Um poliedro convexo possui 1 ângulo pentaé-drico, 10 ângulos tetraédricos, e os demaistriedros. Sabendo que o poliedro tem númerode faces triangulares igual ao número de facesquadrangulares, 11 faces pentagonais, e nototal 21 faces, calcule o número de vértices dopoliedro convexo.

11. O “cubo-octaedro” possui seis faces quadra-das e oito triangulares. Determine o número defaces, arestas e vértices desse sólido euleri-ano.

TEMA 04

PRISMAS

1. Definição

Consideremos um polígono convexo (regiãopoligonal convexa) ABC...DE situado num planoα e o segmento de reta

⎯PQ, cuja reta suporte

intercepta o plano α. Chama-se prisma (ou pris-ma convexo) à reunião de todos os segmentoscongruentes e paralelos a

⎯PQ, com uma extre-

midade nos pontos do polígono e situados nummesmo semi-espaço dos determinados por α.

Em outras palavras, prisma é um sólidogeométrico (poliedro convexo) delimitado porfaces planas, no qual as bases se situam emplanos paralelos. Várias embalagens utilizadastêm a forma de prisma, conforme mostra afigura a seguir.

2. Elementos do prisma

Bases – São as regiões poligonais Ex.:ABCDE e A’B’C’D’E’.

Faces laterais – São os paralelogramos. Ex.:ABA’B’ e BCB’C’.

Arestas das bases – São os lados do polí-gono da base. Ex.:

⎯AB e .

Arestas laterais – São os lados dos paralelo-gramos. Ex.

⎯AA’,

⎯CC’


36


Altura – É distância entre os planos que con-têm as bases.

3. Classificação dos prismas

Quanto à inclinação das arestas laterais, osprismas podem ser retos ou oblíquos.

Prisma reto é aquele cujas arestas laterais sãoperpendiculares aos planos das bases. Nessecaso, as faces laterais são retângulos.

Prisma oblíquo é aquele cujas arestas sãooblíquas aos planos das bases.

Prisma regular é um prisma reto cujas basessão polígonos regulares. Por exemplo, o prismaesquerdo da figura acima é um prisma regular.

4. Natureza do prisma

A natureza do prisma é dada de acordo com opolígono da base.

Exemplo:

Ache a natureza de um prisma, sabendo queele possui:

a) 7 faces b) 24 arestas

Solução:

a) V = 2n; A = 3n; F = 7

Como no prisma é válida a relação de Euler,tem-se:

V – A + F = 2

2n – 3n + 7 = 2 n = 5

Logo, o prisma é pentagonal.

b) V = 2n; A = 24; F = n+2

V – A + F = 2

2n – 24 + n + 2 = 2

3n – 22 = 2 n = 8

Logo, o prisma é octogonal.

5. Secção do prisma

Secção de um prisma é a interseção do prismacom um plano que intercepta todas as arestaslaterais. A secção de um prisma é um polígonocom vértice em cada aresta lateral.

Secção reta ou secção normal é uma secçãocujo plano é perpendicular às arestas laterais.

6. Tronco do prisma

Quando se secciona um prisma por um planonão paralelo aos planos das bases, a regiãoespacial delimitada pela base do prisma e pelaregião poligonal do plano que o seccionou édenominado tronco de prisma, conforme mos-tra a figura a seguir.

Secção do prisma Prisma seccionado

POLÍGONO NOME

triângulo Prisma triangular

quadrado Prisma quadrangular

pentágono Prisma pentagonal

hexágono Prisma hexagonal

..... .....

37


7. Diagonal do prisma

A diagonal de um prisma é o segmento de reta

que une dois vértices situados em faces distintas.

7.1 Diagonal do cubo

Considere o cubo de aresta a, com diagonal

da base ƒ e diagonal do cubo d, conforme

mostra a figura.

Iniciemos calculando a medida ƒ.

No ΔEFH, ao aplicar o teorema de Pitágoras,

temos:

ƒ2 = a2 + a2 ⇒ ƒ2 = 2a2 ⇒ ƒ = ⇒

ƒ = a

No ΔIHF, ao aplicar o teorema de Pitágoras,

tem-se:

d2 = a2 + ƒ2 ⇒ d2 = a2 + 2a2 ⇒ d2 = 3a2 ⇒

d = a

Portanto:

A diagonal de um cubo de aresta a é: d = a .

Exemplo:

Se a aresta de um cubo mede 100cm, encontre

a distância de um vértice do cubo à sua diagonal.

Solução:

Seja d a diagonal do cubo, ƒ a diagonal daface do cubo (o quadrado), a aresta do cubo ex a distância do vértice B à sua diagonal d,conforme a figura a seguir.

Considerando o triângulo ABC retângulo emB, podemos utilizar a relação métrica em que oproduto da medida da hipotenusa pela medidada altura relativa à hipotenusa é igual ao pro-duto das medidas dos catetos.

Portanto: d.x = a.f (I)

Cálculo da diagonal do cubo (d):

d = a = 100 cm

Cálculo da diagonal do quadrado (ƒ):

ƒ = a = 100 cm

Substituindo d = 100 cm, ƒ = 100 cm ea = 100cm na expressão (I) temos:

Racionalizando o valor de x, temos:

Resposta: A distância de um vértice do cubo à

sua diagonal é de .

7.2 Diagonal do paralelepípedo retângulo

Considere o paralelepípedo retângulo de ares-tas a, b e c com diagonal da base ƒ e diagonaldo paralelepípedo retângulo d.

Iniciemos calculando a medida ƒ da diagonalda face EFGH:

38


No ΔEFH, ao aplicar o teorema de Pitágoras,temos:

ƒ2 = a2 + b2 ⇒ ƒ =

No ΔHFI, ao aplicar o teorema de Pitágoras,temos:

d2 = ƒ2 + c2 ⇒ d2 = a2 + b2 + c2 ⇒

D =

Aula prática 2: Construção dos prismas

Objetivos:

• Visualizar os prismas construídos.

• Identificar os elementos de alguns prismasregulares.

• Classificar os prismas em retos ou oblíquos.

• Identificar os prismas regulares.

• Visualizar a secção dos prismas.

• Determinar a quantidade de faces, arestas evértices dos primas obtidos.

• Verificar a validade da relação de Euler nosprismas.

• Visualizar a diagonal do cubo e do para-lelepípedo retângulo.

• Deduzir a expressão para o cálculo da dia-gonal do cubo e do paralelepípedo retângulo.

Atividade 1

Material:

• Geoplano 3D.


Descrição:

• Construir alguns prismas retos e oblíquos.

• Construir alguns prismas regulares identifi-cando seus elementos, secções e verifi-cando a validade da relação de Euler.

• Construir alguns prismas não-regulares,identificando a altura.

Atividade 2

Material:

• Acetato. (ou papel cartão).

• Tesoura.

• Cola.

Descrição:

• Construir o cubo e o paralelepípedo retân-gulo utilizando acetato (ou papel cartão).

• Construir um triângulo retângulo em queum dos catetos tem a medidas da aresta docubo construído, e o outro tem a medida dadiagonal da face do cubo.

• Calcular a diagonal do cubo utilizando oteorema de Pitágoras.

• Construir um triângulo retângulo em queum dos catetos tem a medida da altura doparalelepípedo retângulo construído, e ooutro tem a medida da face do para-lelepípedo.

• calcular a diagonal do paralelepípedo retân-gulo utilizando o teorema de Pitágoras.

39


TEMA 05

PLANIFICAÇÃO E ÁREA DO PRISMA

1. Planificação do prisma

Para facilitar a obtenção da área da superfíciede um sólido é necessário representar o sólido(tridimensional) no plano (bidimensional). Paraisso, é preciso “abri-lo”, de modo que seus ele-mentos (faces laterais, bases, vértices e ares-tas) estejam representadas num determinadoplano, conforme mostra a figura a seguir.

2. Área do prisma

Observe, na figura do prisma planificado, quepara calcular a área lateral (Al) deve-se calcu-lar a área de uma das faces laterais (Afl) e, porserem congruentes, multiplicar o resultadopela quantidade de faces (n).

Logo: Al = n . Afl.

Tratando-se de prisma reto, as faces lateraissão retângulos e, portanto, a área do retânguloé dada pelo produto entre a medida da arestada base (l) pela medida da altura do prisma (h).

Logo: Al = n. l.h

Para calcular a área das bases, deve-se calcu-lar a área de um dos polígonos da base (Ab) e,por serem congruentes, multiplicar o resultadopor 2.

Para calcular a área total (At) deve-se somar aárea lateral com a área das bases.

Portanto:

Área total do prisma:

At = Al + 2Ab

At = n . Afl + 2Ab

At = n . l . h + 2Ab

Em que:

A l é a área lateral, e Ab é a área de uma dasbases.

Afl é área de uma das face laterais.

n = quantidade de faces laterais.

l = aresta da base.

h = altura do prisma.

2.1 Área do cubo

Como o cubo possui 4 faces laterais quadran-gulares congruentes e 2 bases quadradas demesma área, temos:

At = Al + 2Ab

Acubo = 4a2 + 2a2

Acubo = 6a2

em que a = aresta do cubo.

2.2 Área do paralelepípedo retângulo

Para a área lateral, temos:

Al = 2a.c + 2b.c

Substituindo na expressão da área do prismatemos:

At = A l + 2Ab

Aparalel. = 2a.c + 2b.c + 2a.b

em que a = comprimento; b = largura;c = altura.

40


Exemplo 1:

Calcule a área total do prisma de 8dm de alturae cuja base é um quadrado inscrito num círcu-lo de 6dm de raio.

Solução:

Representando o prisma enunciado no proble-ma, tem-se a figura a seguir.

Iniciemos calculando a área da base.

Área da base (Ab) – Destacando o quadradoinscrito na circunferência, temos:

Para calcular a medida da aresta da base l, deve-se utilizar a diagonal do quadrado, pois d = l .Sendo a diagonal do quadrado o dobro damedida do raio, tem-se:

d = l ⇒ 2r = l ⇒ 2.6 = l ⇒

12 = l

Racionalizando o valor de l, temos:

l =

Substituindo o valor de l na expressão da áreada base, temos:

Área da base: Ab = l2 = (6 )2 = 36.2 =72dm2. (I)

Agora, calculemos a área lateral do prisma (Al).

Como o prisma possui 4 faces laterais (retân-gulos), a área lateral é igual a quatro vezes aárea de cada retângulo (Ar).

Al = 4Ar = 4 . l . h = 4 . 6 . 8 = 4.48 dm2 (II)

Substituindo os valores obtidos em (I) e (II)

para a área da base (Ab) e área lateral (Al) naexpressão da área total (At), temos:

Área total no prisma:

At = Al + 2Ab = 4 . 48 + 2 . 72 = 4 . 48+ 144 = 48(3 + 4 )dm2

Resposta:

A área total do prisma é 48(3 + 4 )dm2.

Exemplo 2:

Joana pretende confeccionar embalagens emforma de prisma reto hexagonal regular comaresta da base medindo 3cm e aresta da facelateral medindo 6cm. Sabendo que para con-feccionar a embalagem o material utilizadocusta R$3,00/cm2, quanto Joana gastará?Obs.: adote ≈ 1,73.

Solução:

Para saber quanto Joana irá gastar, é ne-cessáriosaber a área total da embalagem. Planificando oprisma hexagonal, temos a figura a seguir.

Considerando:

Medida da aresta lateral: r = 6cm

Medida da aresta da base: s = 3cm

Iniciemos calculando a área lateral do prisma:

Como o prisma possui 6 faces laterais (retân-gulos), a área lateral é igual a seis vezes a áreade cada retângulo (Ar).

Área lateral: Al = 6 . Ar = 6. r . s = 6.(6 . 3) =108cm2.

Área da base – Como a base é um hexágonoregular que pode ser decomposto em seistriângulos eqüiláteros, a área de um hexágonoregular é igual a seis vezes a área do triânguloeqüilátero(Atri.).

41


Sendo a medida do lado do triânguloeqüilátero a mesma medida da aresta da base(s), tem-se:

Ab = 6 . Atri = 6. = 6. = =

cm2.

Área total:

At = Al + 2Ab

At = 108 + 2.

At = 9(12 + 3 )cm2.

Agora, que temos a área total, podemos obtero custo total.

Como o material utilizado na embalagem custaR$ 0,30 cada centímetro quadrado, o custototal (Ct) será 0,3 vezes a área total.

Ct = 0,3. At = 0,3.9(12+3 ) = 46,413 ≈ R$ 46,41

Resposta: Joana gastará aproximadamenteR$ 46,41.

Exemplo 3:

Um prisma triangular regular tem a aresta dabase medindo 10dm. Em quanto se deve au-mentar a altura, conservando-se a mesmabase, para que a área lateral do novo prismaseja igual a área total do prisma dado?

Solução:

Sendo l = 10dm, considere Al2 a área lateral donovo prisma, At1

área total do prisma dado, emque Al2 = At1, h = altura do prisma dado, h2

altura do novo prisma e x o acréscimo dado àmedida da altura do novo prisma, conformemostra a figura a seguir.

Iniciemos calculando Al2:

Sendo Ar a área do retângulo de cada face,temos:

Al2 = 3.Ar = 3 . l . h2 = 3.(10h2) = 30h2 ⇒

Al2 = 30(h + x)

Para calcular a área total do prisma dado, énecessário calcular a área da base e a área la-teral deste prisma.

Área da base do prisma dado:

(I)

Área lateral do prisma dado:

Al1= 3.(l . h) = 3.(10h) = 30h (II)

Substituindo os valores obtidos em (I) e (II) naexpressão da área total do prisma dado, temos:

At1= Al1

+ 2Ab = 30h + 2.25 =

30h + 50

Como Al2= At1, temos:

30(h + x) = 30h + 50

30h + 30x = 30h + 50

30x = 50

1. A figura a seguir apresenta a planificação deum prisma triangular. Calcular sua área total.

42


2. Sabe-se que a diagonal de um cubo mede 2,5cm.Em quanto se deve aumentar a aresta desse cubopara que sua diagonal passe a medir 5,5cm?

3. A diferença entre as áreas totais de dois cubosé 164,64cm2. Calcule a diferença entre as suasdiagonais, sabendo que a aresta do menormede 3,5cm.

4. A aresta da base de um prisma hexagonal re-gular mede 8cm. Em quanto se deve diminuir aaltura desse prisma de modo que se tenha umnovo prisma com área total igual à área lateraldo prisma dado?

5. A aresta lateral de um prisma reto mede 12m;a base é um triângulo retângulo de 150m2 deárea e cuja hipotenusa mede 25m. Calcule aárea total desse prisma.

6. Um prisma pentagonal regular tem 8cm dealtura, sendo 7cm a medida da aresta da base.Calcule a área lateral desse prisma.

Aula prática 3: Planificação e área dos prismas

Objetivos:

• Visualizar as planificações dos prismas.

• Estabelecer a correspondência entre as pla-nificações e os prismas.

• Deduzir a expressão para o cálculo da áreado prisma incluindo área do cubo e doparalelepípedo retângulo.

• Obter o valor da área dos prismas construí-dos.

Atividade 1

Material:


• Tesoura.

• Cola.

Descrição:

• Confeccionar, em papel cartão, as possíveisplanificações do cubo conforme figura.

• Recortar as planificações.

• Dobrar as arestas e montar o sólido.

• Verificar que em todos os casos foi possívela construção do cubo, pois a soma dosângulos dos três quadrados unidos a cadavértice é 270o, portanto, menor que 360o.

Atividade 2

Material:

• Folhas de papel cartão (2 cores diferentes).

• Tesoura.

• Cola.

• Modelos dos anexos 10 a 12.

Descrição:

• Confeccionar, em papel cartão, a planifi-cação dos prismas regulares conformemodelo do anexo 10 a 12.

• Recortar a planificação.

• Confeccionar, em papel cartão, (com cordiferente da utilizada na planificação) triân-gulos eqüiláteros cuja medida do lado é amesma da aresta da base do prisma.

• Sobrepor os triângulos a uma das bases.

• Calcular a área lateral, da base e total doprisma.

• Dobrar as arestas e montar o prisma.

Atividade 3

Recurso didático:

• Software Poly Pro1.

Descrição:

• Selecionar um dos prismas disponíveis nosoftware Poly Pro utilizando a opção Prismsand Anti-Prisms.

• Planificar e comparar com a planificaçãoobtida na atividade 2.

(1) Software geométrico disponível em: www.peda.com/download

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TEMA 06

VOLUME DO PRISMA

1. Volume de um sólido

Volume de um sólido é a quantidade deespaço por ele ocupada. Essa quantidade édeterminada comparando esse sólido com umoutro tomado como unidade (que geralmenteé o cubo). Dessa comparação resulta um nú-mero que será a medida do volume.

Para calcular o volume de um prisma qualquer,será necessário primeiramente entender oprincípio de Cavalieri.

Observe na figura a seguir que de um sólidoconstituído por 10 lajotas (paralelepípedosretângulos), todas do mesmo tamanho, podemser formadas pilhas das mais variadas formas.Mas, qualquer que seja a disposição dada àslajotas essas pilhas têm o mesmo volume, ouseja, ocupam a mesma quantidade de espaço.

pilha 1 pilha 2 pilha 3

Idéia intuitiva do Princípio de Cavalieri

Considere dois sólidos A e B com base nummesmo plano α e situados num mesmo semi-espaço por ele determinado. Qualquer planoβ, secante aos sólidos A e B, paralelo a α,determina, nesses sólidos superfícies de áreasiguais (superfícies equivalentes), conformemostra a figura a seguir.

Com essa idéia intuitiva, pode-se formalizar ochamado Princípio de Cavalieri.

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Bonaventura Cavalieri(1598-1647) foi um dosmatemáticos mais influentes de sua época.Discípulo de Galileu Galilei, foi tambémastrônomo, devendo-se a ele, em grande parte,o método dos indivisíveis desenvolvido a partirde 1626. Cavalieri não definia em suas obras oque vinham a ser os indivisíveis. Segundo ele,porém, uma figura plana seria formada poruma infinidade de cordas paralelas entre si euma figura sólida por uma infinidade desecções paralelas entre si. A essas cordas e aessas secções chamava de indivisíveis. Em umde seus livros, dizia que um sólido é formadopor indivisíveis assim como um livro é compos-to de páginas. Daí a idéia de interceptar o sóli-do por planos paralelos.

Bonaventura Cavalieri

Principio de Cavalieri:

Dois sólidos, nos quais todo plano secante,paralelo a um dado plano, determina superfíciesde áreas iguais (superfícies equivalentes), sãosólidos de volumes iguais (sólidos equivalentes).

Sólidos equivalentes

α // β e A1 = A2 ⇒ VS1= VS2

Adotando um paralelepípedo retângulo S2 cujaárea da base é B e cuja altura é h, temos que ovolume do paralelepípedo retângulo é dado por:

VS2= B . h

Para utilizar o princípio de Cavalieri, considereagora um prisma S1 de altura h e área da base

Ab (a mesma do paralelepípedo retângulo).

Supondo que S1 e S2 têm as bases nummesmo plano α e estão num mesmo semi-espaço em relação a α, então todo plano βparalelo a α, que interceptar S1, também inter-ceptará S2, e as secções transversais terãoáreas iguais, pois são congruentes às respecti-vas bases.

Assim, pelo princípio de Cavalieri, o volume doprisma S1 é igual ao volume do paralelepípedoS2. Logo, temos:

VS1= VS2

Vprisma1 = B . h

Exemplo 1:

A água de um reservatório na forma de umparalelepípedo retângulo de comprimento 30me largura 20m atingia a altura de 10m. Com afalta de chuvas e o calor, 1.800m3 da água doreservatório evaporaram. Qual a altura máximaatingida pela água restante no reservatório?

Solução:

Sendo a = 30m, b = 20m, c = 10m e o volumeevaporado(Ve)=1800m3, considere x a alturado reservatório depois que a água evaporou,conforme a figura.

Iniciemos calculando o volume inicial do reser-vatório (Vi):

Vi = a . b . c = 30.20.10 = 6000m3

Volume final do reservatório (Vf):

Utilizando o volume evaporado, tem-se:

Vf = Vi – Ve = 6000 – 1800 = 4200m3

45


Utilizando as dimensões do reservatório comaltura x, tem-se:

Vf = a . b . x = 30.20. x = 600x

Portanto temos:

600x = 4200 = 7m

Resposta: A altura máxima atingida pela águarestante no reservatório é de 7 metros.

Exemplo 2:

Paulo tem um galpão com as medidas indi-cadas na figura. Qual o volume do galpão?

Solução:

O volume do galpão (Vg) será dado pela somados volumes do paralelepípedo retângulo(Vparal.) e do prisma triangular (Vpri) – partesuperior do galpão.

Volume do paralelepípedo retângulo(Vparal.):

Vparal. = 4.8.20 = 640m3

Volume do prisma triangular(Vpri):

Vpri = Ab . h = Atri . h

em que:

Atri é a área do triângulo e h a altura do prisma.

Lembrando que em um triângulo qualquer aárea é dada por:

, onde:

p é o semiperímetro do triângulo. logo

; a, b e c são as medidas dos

lados do triângulo.

Sendo a = 8m e b = c = 5m, temos:

p = 9m

Portanto:

Vpri = Atri . h = 12 . 20 = 240m3

Calculando agora o volume do galpão, temos:

Vg = Vparal. + Vpri = 640 + 240

Vg = 880m3

Exemplo 3:

A altura h de um paralelepípedo retângulomede 60cm, sendo a sua base um quadrado.A diagonal do paralelepípedo forma um ângu-lo de 60° com o plano da base. Determine ovolume do paralelepípedo retângulo.

Solução:

Representando o paralelepípedo retângulodescrito no problema, tem-se a figura a seguir.

Para determinar o volume do paralelepípedoretângulo, é necessário encontrar a área dabase, que por sua vez depende da medida a.Podemos encontrar o valor de a por meio darelação entre a medida da aresta do quadradoa e sua diagonal ƒ.

Com os elementos caracterizados na figura econsiderando o triângulo ABC, temos:

Utilizando a função trigonométrica tangenteque relaciona o cateto oposto ao ângulo de 60o

h e o cateto adjacente a este ângulo ƒ, temos:

Substituindo o valor de ƒ na relação ƒ = a ,temos:

Racionalizando o valor de a, temos:

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Agora, podemos encontrar a área da base (Ab):

Portanto, temos:

V = Ab . h = 600 . 60 = 36000cm3

O volume do paralelepípedo retângulo é36000cm3

Exemplo 4:

Uma caixa cúbica sem tampa, com 1 litro decapacidade, está completamente cheia deleite. Inclina-se a caixa 30o em relação ao planohorizontal, de modo que apenas uma de suasarestas fique em contato com o plano, con-forme mostra a figura. Qual o volume em cm3

do leite derramado?

Solução:

Como o leite derramado está contido em umprisma triangular, para calcular o volume (V) énecessário calcular a área da base do triângu-lo e a altura deste prisma. Como o volume docubo = a3 e 1l = 1dm3, temos:

a3 = 1 ⇒ a = 1dm

Considere o triângulo retângulo ABC, poism(BAC) = 90º sendo b a medida da base dotriângulo e a a medida da aresta do cubo.

Como a reta é paralela ao plano da baseonde está apoiado o cubo, então m(ACB) = 30º,que é a inclinação do cubo em relação aoplano conforme mostra a figura a seguir.

Destacando no prisma triangular o ΔABC,temos:

Como o volume do leite derramado V = Ab . he sendo Ab a área do triângulo retângulo ABC,temos:

(I)

Portanto, para obter V, é necessário obter ovalor de b. Para isso, podemos utilizar a funçãotrigonométrica tangente que relaciona o catetooposto ao ângulo de 30o (b) e o cateto adja-cente a este ângulo (a).

Logo:

Substituindo o valor de b na expressão (I), tem-se:

Como 1dm3 = 1000cm3, tem-se que:

Resposta: O volume em cm3 do leite derramado

é:

Exemplo 5:

Determine o volume de um prisma reto de10cm de altura e cuja base é um hexágonoregular de apótema 3 cm.

Solução:

Para calcular o volume é necessário calcular aárea do hexágono.

Logo, Ab = 6Atri, onde Atri é a área de cada

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triângulo que compõe o hexágono, conforme afigura a seguir.

Destacando no prisma triangular o ΔABC, temos:

Para calcular a área de cada triângulo que com-põe o hexágono, é necessário obter as medidasda base (a) e da altura (m) do triângulo.

Para obter o valor de a, podemos utilizar o tri-ângulo retângulo ABC, pois contém o apótemam = 3 cm

Utilizando o teorema de Pitágoras no triânguloABC, temos:

(I)

Substituindo m = 3 cm na expressão (I),temos:

Sendo e substituindo a expressão

de m na área do triângulo, temos:

Portanto:

(II)

Agora, podemos substituir o valor de a naexpressão (II).

Substituindo o valor da área da baseAb = 54 cm2 e h = 10cm na expressão dovolume do prisma, temos:

V = Ab . h = 54 . 10

V = 540 cm3

Resposta: O volume do prisma reto é 540 cm3.

1. Calcule a área total e o volume de um prismahexagonal regular de 12m de aresta lateral e4m de aresta da base.

2. Um prisma hexagonal regular tem a área dabase igual a 96 cm2. Calcule a área lateral eo volume do prisma, sabendo que a altura éigual ao apótema da base.

3. Um prisma reto tem por base um losango em

que uma de suas diagonais é os da outra, e

a soma de ambas é 14cm. Calcule o volumedesse prisma, sabendo que sua altura é igualao semiperímetro da base.

4. Calcule o volume e a área total de um prismacuja base é um triângulo eqüilátero de 6dm deperímetro, sendo a altura do prisma o dobro daaltura da base.

5. Calcule o volume de um prisma triangular re-gular, sendo todas suas arestas de mesmamedida, e sua área lateral 33m2

6. Calcule o volume de um prisma quadrangularregular cuja área total tem 144m2, sabendo quesua área lateral é igual ao dobro da área dabase.

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1. Dispondo-se de uma folha de cartolina, medin-do 50cm de comprimento por 30cm de largura,pode-se construir uma caixa aberta, cortando-se um quadrado de 8cm de lado em cada cantoda folha. O volume dessa caixa, em cm3, será:

a) 1244 b) 1828

c) 2324 d) 3808

e) 12000

2. A aresta, a diagonal e o volume de um cuboestão, nessa ordem, em progressão geométri-ca. A área total deste cubo é:

a) 6 b) 6 (2 – I)

c) 3 d) 12

e) 18

3. As dimensões de um paralelepípedo retângulosão inversamente proporcionais aos números12, 6 e 4. Se sua área total é 88cm2, o seu vol-ume, em cm3 é:

a) 288 b) 144

c) 128 d) 64

e) 48

4. Considere um paralelepípedo com 12m decomprimento, 4m de largura e 3m de altura. Seo seu volume for aumentado de 624m3, entãosua altura aumentará de:

a) 7m b) 9m

c) 11m d) 13m

e) 12m

5. Numa cozinha de 3m de comprimento, 2m delargura e de 2,80m de altura, as portas e asjanelas ocupam uma área de 4m2. Para azule-jar as quatro paredes, o pedreiro aconselha acompra de 10% a mais da metragem aladrilhar. A metragem quadrada de ladrilhos acomprar é:

a) 24,40 b) 24,8O

c) 25,50 d) 26,40

e) 26,80

6. O volume de ar contido em um galpão com aforma e as dimensões dadas pela figura abai-xo é:

a) 288 b) 384

c) 480 d) 360

e) 768

7. De um bloco cúbico de isopor de aresta 3arecorta-se o sólido, em forma de “H”, mostradona figura. O volume do sólido é:

a) 27 a3 b) 21 a3

c) 18 a3 d) 14 a3

e) 9 a3

Aula prática 3: Princípio de Cavalieri

Objetivos:

• Visualizar a equivalência de dois sólidos apartir de superfícies equivalentes.

• Deduzir a expressão para o cálculo do vo-lume de um prima a partir do volume de umparalelepípedo.

Material:

• Emborrachado ou pedaços de madeira.

Atividade 1:

• Confeccionar cilindros (ou cubos, ou pris-mas triangulares ou qualquer outro sólido)de aproximadamente 1cm de altura e mesmaárea.

• sobrepor as peças confeccionadas de ma-

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neira diferente, formando dois sólidos dis-tintos.

• Comparar os volumes dos dois sólidosobtidos.

Atividade 2:

Material:

• Folhas de acetato (ou papel cartão, 2 coresdiferentes).

• Tesoura e cola.

• Areia (ou grãos, bolas de isopor pequenas).

Descrição:

• Confeccionar, em papel cartão, um prismareto regular.

• Confeccionar, em papel cartão, um para-lelepípedo retângulo com cor diferente doprisma regular confeccionado e cuja basee altura sejam as mesmas do prisma retoregular.

• Encher o paralelepípedo retângulo comalgum material de baixa densidade (ex.: iso-por) e despejar no prisma regular.

• Comparar os volumes.

• Determinar a expressão para o volume doprisma.

TEMA 07

PIRÂMIDES

1. Definição

Consideremos uma região poligonal contidaem um plano α e um ponto V localizado foradesse plano.

Uma pirâmide é a reunião de todos os seg-mentos que têm uma extremidade em V e aoutra num ponto qualquer da região poligonal.O ponto V recebe o nome de vértice da pi-râmide.

2. Histórico

As pirâmides mais famosas foram construídasno Egito antigo por volta de 2600 a 2500 a.C.Elas eram utilizadas para sepultar famílias reais.As pirâmides de Gizé existem até hoje e são for-madas por um conjunto de nove pirâmidesconstruídas pelos faraós Quéops, Quéfrem eMiquerinos. A mais alta chama-se Quéops emede 138 metros de altura. O historiador gregoHeródoto, escrevendo 2400 anos atrás, calcu-lou que 100.000 homens trabalharam durante20 anos para a completa construção da GrandePirâmide. Calcula-se também que foram usa-dos 2,3 milhões de blocos de pedra para cons-truí-la, cada bloco pesando 2,5 toneladas.

Pirâmides foram também construídas por out-ros povos, como os maias, na América Central,entre 300 e 900 d.C., e mais tarde pelos aste-cas. Eram usadas como templos para ado-

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ração ao Sol, à lua e aos seus deuses dachuva. As formas piramidais foram usadas portribos indígenas e mais recentemente porescoteiros para construir barracas.

3. Elementos da pirâmide

Vértice: o ponto V.

Base: a região poligonal. Ex.: ABCDEF

Faces laterais: regiões triangulares. Ex.: AVB,BVC, CVD.

Arestas da base: lados do polígono da base.Ex.:

⎯⎯AB e

⎯⎯BC.

Arestas laterais: lados dos triângulos. Ex.: ⎯⎯AV.

Altura: distância do vértice à base (h).

4. Classificação das pirâmides

As pirâmides podem ser classificadas de acor-do com a projeção do vértice sobre o plano dabase como oblíquas ou retas.

Pirâmide oblíqua – É uma pirâmide cuja pro-jeção ortogonal do vértice V sobre o plano dabase não coincide com o centro da base.

Pirâmide reta – É uma pirâmide cuja projeçãoortogonal do vértice V sobre o plano da basecoincide com o centro da base. A pirâmide re-gular é uma pirâmide reta cujo polígono dabase é regular.

Em uma pirâmide regular, destacamos:

1. As arestas laterais são congruentes.

2. As faces laterais são triângulos isóscelescongruentes.

3. O apótema do polígono regular da base échamado apótema da base.

4. A altura de uma face lateral relativa à arestada base é chamada apótema da pirâmide.

Numa pirâmide regular, considere:

a, a aresta da base;

h, a altura da pirâmide;

m, o apótema da base;

g, o apótema da face;

l, a aresta lateral;

r, o raio do círculo que circunscreve a base.

Podemos obter as seguintes relações analisan-do os triângulos VOM, VOR e VMS.

Do triângulo VOM, temos:

Do triângulo VOR, temos:

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Do triângulo VMS, temos:

5. Natureza da pirâmide

Da mesma forma que no prisma, a naturezada pirâmide é dada de acordo com o polí-gono da base.

6. Secção transversal de uma pirâmide

Um plano qualquer paralelo ao plano da base,ao interceptar uma pirâmide, nela determinauma região denominada secção transversal,conforme mostra a figura a seguir.

7. Tronco da pirâmide de bases paralelas

Quando se secciona uma pirâmide por umplano paralelo ao plano da base, a regiãoespacial delimitada pela base da pirâmide epela região poligonal determinado no planoque a seccionou é denominado tronco depirâmide, conforme mostra a figura a seguir.

8. Planificação da pirâmide

Ao contrário dos prismas, em que as faces sãoparalelogramos e possuem duas bases, aspirâmides têm faces triangulares e apenas umabase, conforme mostra a figura de umapirâmide planificada.

9. Área na pirâmide

Observe, na pirâmide regular planificada, quepara calcular sua área lateral (Al) deve-se cal-cular a área de uma face lateral (Afl) e multi-plicar pela quantidade de faces (n). Para calcu-lar a área da base (Ab), deve-se calcular a áreado polígono da base. Portanto, para calcular aárea total da pirâmide (At), soma-se a área late-ral com a área da base.

At = Al + Ab

= n . Afl + Ab

em que:

At = área total da pirâmide.

n = quantidade de faces laterais.

Afl = área da face lateral.

Ab = área da base.

Exemplo 1: Calcule a área total na pirâmidequadrangular.

POLÍGONO NOME

triângulo Pirâmide triangular

quadrado Pirâmide quadrangular

pentágono Pirâmide pentagonal

hexágono Pirâmide hexagonal

..... .....

52


Solução:

Uma pirâmide quadrangular possui como baseum quadrado e quatro faces triangulares.Logo:

n = 4

a = 2cm

Ab = 22 = 4cm2

h = 5cm

Para calcular a área lateral (Al), é necessáriocalcular a área da face triangular (Afl), que, porsua vez, depende da altura da face, ou seja, doapótema da pirâmide (g).

Como temos a medida do apótema da base(m) e a altura da pirâmide (h), podemos utilizara expressão obtida em (I) para encontrar g:

Logo:

Portanto:

At = Al + Ab =

Exemplo 2:

Calcule a área lateral e a área total de umapirâmide regular hexagonal cujo apótemamede 20cm, sendo 6cm a medida do raio dabase.

Solução:

Como a base é um hexágono regular, temos:

r = l = 6cm.

Cálculo da área da face lateral (Afl)

Cálculo da área lateral (Al)

Al = 6 . 60 = 360cm2

Cálculo da área da base (Ab)

Portanto a área total da pirâmide é:

At = Al + Ab = 360 + 54 ⇒

At = 18(20 + 3 )cm2

Exemplo 3

Calcule as áreas lateral e total de uma pirâmidetriangular regular, sabendo que sua alturamede 12cm e que o perímetro da base mede12cm.

Solução:

Sabendo que o perímetro da base mede 12cm,temos:

3l = 12 ⇒ l = 4cm

Para calcular a área da face lateral (Afl), énecessário obter a altura da face g. Comotemos a altura da pirâmide h, precisamos obtero valor de m.

Sabemos que em um triângulo eqüilátero é vá-lida a seguinte expressão para a medida doapótema:

Portanto:

Utilizando a relação obtida em (I), podemosobter g:

53


Agora, podemos obter a área da face lateral:

Portanto:

Cálculo da área da base:

Sendo um triângulo eqüilátero de medida l,temos:

Cálculo da área total:

At = Al + Ab =

1. Calcule a aresta lateral de uma pirâmide regu-lar, sabendo que sua base é um hexágono de6cm de lado, sendo 10cm a altura da pirâmide.

2. A base de uma pirâmide regular é um hexá-gono inscrito em um círculo de 12cm de diâ-metro. Calcule a altura da pirâmide, sabendoque a área da base é a décima parte da árealateral.

3. Calcule a área lateral e a área total de umapirâmide regular hexagonal, sendo 3cm suaaltura e 10cm a medida da aresta da base.

4. Uma pirâmide regular de base quadrada tem olado da base medindo 8cm e a área lateral

igual a 3/5 da área total. Calcule a altura e aárea lateral dessa pirâmide.

5. Determine a altura de uma pirâmide triangularregular, sabendo que a área total é 36 cm2, eque o raio do círculo inscrito na base mede2cm.

6. Calcule a aresta da base de uma pirâmide reg-ular hexagonal, sendo 30 cm2 a área laterale 2 cm a medida da aresta lateral.

7. Calcule as áreas lateral e total de uma pirâmidetriangular regular, sabendo que sua alturamede 12cm e que o perímetro da base mede12cm.

8 Volume do tetraedro

Considerando um prisma triangular ABCDEF,podemos decompô-lo em três pirâmides trian-gulares, segundo os planos AEC e DEC, comomostra a figura a seguir.

Seccionando o prisma pelo plano AEC, obte-mos o tetraedro AEBC e a pirâmide quadran-gular AECDF.

Seccionando a pirâmide AECDF pelo planoDEC, obtemos duas pirâmides triangulares: oACDE e o CDEF.

Temos, então, que o volume do prisma é a so-ma dos volumes das 3 pirâmides obtidas:

Vprisma = VT1 + VT2 + VT3

Observe que as pirâmides ABCE e CEDF têmo mesmo volume, pois possuem as bases(ABC e DEF) congruentes e a mesma altura (ado prisma). Então, VT1

= VT2. (I)

O mesmo ocorre com as pirâmides ACDE eCDEF, pois as bases (ACD e ACD) são congru-entes e possuem a mesma altura (distância de

54


E ao plano ACDF). Então, VT2= VT3

. (II)

De (I) e (II) temos: VT1 = VT2 = VT3

Chamando o volume da pirâmide triangular VT,a área do prisma Ab e altura h, temos:

Exemplo:

Calcular o volume de um tetraedro de aresta a.

Para obtermos o volume do tetraedro, é ne-cessário calcular a área da base e a altura.

Cálculo da área da base (Ab):

Cálculo da altura (h):

A projeção do vértice A sobre a base BCD é ocentro O dessa face. Sendo M o ponto médiode

⎯⎯CD, podemos calcular BO na base e a

altura h no triângulo retângulo AOB.

C

No triângulo ΔAOB, sendo AB = a,

temos:

Cálculo do volume:

9. Volume de uma pirâmide qualquer

Considere agora uma pirâmide qualquer cujabase seja um polígono de n lados (n ≥ 3) deárea B e altura h. Podemos decompor essepolígono em n – 2 triângulos.

Dessa forma, a pirâmide ficará decomposta emn – 2 pirâmides triangulares de bases B1, B2,...,Bn–2.

Temos então:

Exemplo1

Calcule o volume de uma pirâmide de 12cm dealtura, sendo a base um losango cujas diago-nais medem 6cm e 10cm.

Solução:

Para calcular a área da base da pirâmide (Ab),é necessário calcular a área do losango (Alos.).Sendo D (a diagonal maior) e d (a diagonalmenor), temos:

Agora, podemos calcular o volume da pirâ-mide:

55


Exemplo 2

Calcule o volume de uma pirâmide hexagonalregular, sendo 24cm o perímetro da base e30cm a soma dos comprimentos de todas asarestas laterais.Solução:

Para calcular o volume, precisamos da área dabase e da altura.

Para calcular a área da base, é necessárioobter a medida a. Como o hexágono tem 24cmde perímetro e considerando a medida do ladodo hexágono a, temos:

6a = 24 ⇒ a = 4cm

Podemos, então, calcular a área da base (Ab).

Para calcular a altura da pirâmide, podemosutilizar a relação trigonométrica l2 = h2 + a2. (I)

Para isso, é necessário encontrar a medida l.Como a soma dos comprimentos de todas asarestas laterais é 30cm, temos:

6l =30 ⇒ l = 5cm.

Substituindo o valor de a = 4cm e l = 5cm naexpressão obtida em (I) temos:

l2 = h2 + a2 ⇒ 52 = h2 + 42 ⇒

⇒ 25 = h2 + 16 ⇒ h2 = 9 ⇒ h = 3cm

Agora, podemos substituir o valor da área dabase (Ab) e da altura (h) na expressão para ocálculo do volume da pirâmide:

V = 24 cm3

Exemplo 3

A área lateral de uma pirâmide triangular regularé o quádruplo da área da base. Calcule o vo-lume, sabendo que a aresta da base mede 3cm.

Solução:

Considerando Al a área lateral de uma pirâmidetriangular regular e Ab a área da base, temos:

Al = 4Ab (I)

Cálculo da área da base:

(II)

Considerando a a medida da aresta da base eg a altura da face lateral (apótema), para obter-mos a área lateral (Al), é necessário obter amedida g:

(III)

Substituindo os resultados obtidos de (II) e (III)na expressão (I), obtemos:

Para obtermos h, precisamos utilizar a relaçãotrigonométrica g2 = h2 + m2. Mas falta obter amedida m. Sendo m o apótema de um triângu-lo eqüilátero, temos:

Substituindo os valores obtidos de m e g narelação trigonométrica, temos:

Agora, podemos substituir o valor da área dabase (Ab) e da altura (h) na expressão do vo-lume da pirâmide:

56


1. Numa pirâmide quadrangular regular, a altura éo triplo da aresta da base, e seu volume é64m3. Calcule a área lateral.

2. O volume de uma pirâmide hexagonal regular é4,2m3. Calcule a altura dessa pirâmide, saben-do-se que o perímetro da base mede 3,6m.

3. A área da base de uma pirâmide regular he-xagonal é igual a 216 m2. Determine o vol-ume da pirâmide, sabendo que sua alturamede 16m.

4. O volume de uma pirâmide triangular regular é64 cm3. Determine a medida da aresta later-al, sabendo que a altura é igual ao semi-perímetro da base.

5. Calcule o volume de uma pirâmide regularhexagonal, sendo 6cm a medida da aresta dabase e 10cm a medida da aresta lateral.

6. Calcule o volume de uma pirâmide triangularregular, sendo 20cm a medida de sua aresta lat-eral e 36 cm o perímetro do triângulo da base.

1. Um prisma e uma pirâmide têm, ambos, basesquadradas e mesmo volume. O lado do qua-drado da base da pirâmide mede 1m, e oquadrado da base do prisma tem lado 2m. A.razão entre as alturas da pirâmide e do prismarespectivamente é:

a) 3/4 b) 12c) 1/12 d) 1/3e) 4/3

2. Um prisma e uma pirâmide têm bases commesma área. Se o volume do prisma for odobro do volume da pirâmide, a altura dapirâmide será:

a) o triplo da do prisma;

b) o dobro da do prisma;

c) o triplo da metade da do prisma;

d) o dobro da terça parte da do prisma;

e) o quádruplo da do prisma.

3. Se uma face de um tetraedro regular estáinscrita em um círculo de raio 1, então o vol-ume desse tetraedro é:

a) b)

c) d)

e)

4. Ao município de Humaitá chegou o “GrandeCirco Geométricus”, cuja tenda tem o formatode uma pirâmide hexagonal regular justapostasobre um prisma hexagonal regular de arestada base a = 20m e altura h = 3m.

Considerando que a altura total da tenda éhtotal = (3 + 2 )m, a quantidade total delona utilizada nela é de:

a) 360m2

b) 1920m2

c) 1440m2

d) 1 560m2

e) 1800m2

5 As arestas laterais de uma pirâmide retamedem 15cm, e sua base é um quadradocujos lados medem 18cm. A altura dessapirâmide, em centímetros, é igual a:

a) 3 b) 3

c) 2 d) 2

e)

57


Aula prática 5: Construção de pirâmides

Objetivos:

• Visualizar as pirâmides construídas.

• Identificar os elementos de algumas pirâ-mides regulares.

• Classificar as pirâmides em retas ou oblí-quas.

• Identificar as pirâmides regulares.

• Visualizar a secção das pirâmides.

• Identificar a quantidade de faces, arestas evértices das pirâmides obtidas.

• Verificar a validade da relação de Euler naspirâmides.

Atividade 1

Material:

• Geoplano 3D.


Descrição:

• Construir algumas pirâmides retas e oblí-quas.

• Construir algumas pirâmides regularesidentificando seus elementos, secções everificando a validade da relação de Euler.

Aula prática 6: Planificação e área daspirâmides

Objetivos:

• Visualizar as planificações das pirâmides.

• Estabelecer a correspondência entre asplanificações e as pirâmides.

• Deduzir a expressão para o cálculo da áreada pirâmide.

Atividade 1

Material:


• Tesoura.

• Cola.

Descrição:

• Confeccionar, em papel-cartão, as possíveisplanificações do tetraedro conforme a figura.

• Recortar as planificações.

• Dobrar as arestas e montar o sólido.

• Verificar que somente a letra “c” representaa planificação do tetraedro, pois a somados ângulos dos quatro triângulos unidosao mesmo vértice é 240o, portanto, maiorque 180o.

Atividade 2

Material:

• Folhas de papel-cartão (2 cores diferentes).

• Tesoura.

• Cola.

• Modelo do anexo 13.

Descrição:

• confeccionar, em papel-cartão, a planifi-cação das pirâmides regulares conformemodelo do anexo 13.


• Confeccionar, em papel-cartão (com cordiferente da utilizada na planificação), triân-gulos eqüiláteros cuja medida do lado sejaa mesma da aresta da base da pirâmide.

• Sobrepor os triângulos à base.

• Calcular a área lateral da base e total dapirâmide.

• Dobrar as arestas e depois montar apirâmide.

Atividade 3

Recurso didático:

• Software Poly Pro.

Descrição:

• Selecionar uma das pirâmides disponíveis

no software Poly Pro utilizando a opçãoPlatonic Solids (no caso do tetraedro) ouJohson Solids (para outras pirâmides).

• Planificar e comparar com a planificaçãoobtida na atividade 2.

Aula prática 7: Relação entre o volume doprisma e o volume da pirâmide de mesmabase e altura

Objetivo:

• Estabelecer a relação entre o volume doprisma e da pirâmide de mesma base ealtura.

Atividade 1:

Material:

• Prisma de acetato.

• Pirâmide de acetado com mesma base e

altura do prisma.

• Bolinhas de isopor (ou outro material debaixa densidade).

Descrição:

• Verificar quantas vezes é possível encher oprisma com as bolinhas de isopor utilizandoa pirâmide.

• Estabelecer, por meio deste experimento,uma relação entre os volumes do prisma eo da pirâmide.

58


UNIDADE IVCilindro e cone

61

Geometria II – Cilindro e cone

TEMA 08

CILINDRO

1. Definição

Consideremos um círculo de centro O e raio r,contido em um plano e um segmento de reta⎯PQ cuja reta suporte intercepte esse plano.

Um cilindro circular ou cilindro é a reunião detodos os segmentos congruentes a

⎯PQ, para-

lelos à reta que o contém com uma extremi-dade nos pontos do círculo e situados nummesmo semi-espaço em relação a α.

Os objetos cilíndricos podem ser encontradosem quase todos os lugares. Por exemplo, amaioria das latas encontradas nas prateleirasdos supermercados; as moedas, que são co-nhecidas como cilindros chatos; as colunascilíndricas utilizadas para sustentar o teto decertas construções, etc.

2. Elementos do cilindro

Bases – Os círculos congruentes de centro Oe O’ e raio r.

Eixo – A reta que passa pelo centro das bases.Ex.:

⎯OO’

Altura – A distância entre os planos que con-têm as bases (h).

Geratriz – Os segmentos com as extremidadesnos pontos das circunferências das bases (g).

3. Secção meridiana de um cilindro

A intersecção de um plano que contém o eixo⎯OO’ com o cilindro denomina-se secção meri-diana.

4. Classificação dos cilindros

Os cilindros são classificados de acordo com ainclinação da geratriz em relação às bases,podendo ser oblíquo, reto ou eqüilátero.

Cilindro oblíquo – É aquele cuja geratriz éoblíqua às bases. Sua secção meridiana é umparalelogramo.

Cilindro reto ou de revolução – É aquele cujageratriz é perpendicular às bases. Sua secçãomeridiana é um retângulo.

Cilindro eqüilátero – É todo cilindro reto cujaaltura é igual ao diâmetro da base. Sua secçãomeridiana é um quadrado. Portanto, g = h = 2r.

5. Planificação do cilindro

Ao planificar um cilindro, temos um retângulocuja largura é a altura h do prisma e cujo com-

62


primento é o comprimento da circunferênciade raio r e temos dois círculos congruentes,conforme mostra a figura a seguir.

6. Área no cilindro

Observe, no cilindro planificado, que para cal-cular sua área total (At) deve-se somar a árealateral com o dobro da área da base, uma vezque os dois círculos são congruentes e, por-tanto, possuem a mesma área.

At = Al + 2Ab

At = 2π . r . h + 2π2

At = 2πr(h + r)

7. Volume do cilindro

Considere um cilindro e um prisma, ambos demesma altura h e bases de mesma área Ab,apoiados sobre um plano α, conforme mostraa figura a seguir.

As secções transversais determinadas por umplano β, paralelo a α, têm áreas iguais. Então,pelo princípio de Cavalieri, os dois sólidos têmo mesmo volume:

Volume do cilindro = Volume do prisma.

Vprisma = Ab . h ⇒ Vcilindro = Ab . h

Sendo a área da base de um cilindro de raio rdada por πr2, temos:

Vcilindro = π . r2 . h

Exemplo 1

Calcular a área lateral, área total e o volume deum cilindro reto de altura 10cm e raio da base5cm.

a) Cálculo da área lateral (Al):

Al = 2π . r . h = 2π . 5 . 10

Al = 100πcm2

b) Para calcular a área total (At), é necessáriocalcular a área da base (Ab):

Ab = π . r2 = π . 52 = 25cm2

At = Al + 2Ab = 100π + 50π ⇒

Al = 150πcm2

a) V = Ab . h = 25π . 10 ⇒

V = 250πcm3

Exemplo 2

Quantos cm2 são necessários para revestir asuperfície da lata de óleo com papel laminadoe quantos mililitros de óleo cabem nessa lata?

Solução:

Para saber quantos cm2 são necessários pararevestir a superfície da lata de óleo, énecessário calcular a área lateral. Para isso,precisamos obter a medida do raio r.

63


Como r = onde D é o diâmetro do círculo

(base da lata) temos:

Portanto, Al = 2πr . h = 2π . 3 . 22 ⇒

Al = 132πcm2

Agora, para saber quantos mililitros de óleocabem na lata, é necessário obter o volume.

V = π . r2 . h = π . 32 . 22 ⇒

V = 198πcm3

Portanto temos 198ml ou, aproximadamente,622ml.

1. Determine a medida da altura de um cilindro deraio medindo 8cm, cuja área lateral é 112πcm2.

2. O volume de um cilindro é 72m3, e a área late-ral é 48m2. Determine a medida do diâmetro dabase.

3. Em um cilindro circular reto de volume igual a36π, a altura mede 4. Calcule a medida do raioda base.

4. Determine a área lateral de um cilindro eqüi-látero cujo raio da base mede m.

5. Um cilindro reto tem 63πcm3 de volume.Sabendo que o raio da base mede 3cm, deter-mine, em centímetros, a medida da sua altura.

6. Um vaso com o formato de um cilindro circularreto tem a altura de 30cm e diâmetro da basemedindo 20cm. Determine, em litros, a capaci-dade desse recipiente.

7. Uma fábrica de óleo pretende mudar a emba-lagem do produto, de cilindro reto para prismareto de base retangular (conforme figura). Paramanter o mesmo volume, qual deve ser amedida da altura (h) da nova embalagem?

1. O raio da base de um cilindro mede r, e suaaltura 2r. Um outro cilindro tem altura medindor e raio da base 2r. Nessas condições, a somade seus volumes é:

a) 8πr3 b) 6πr3

c) 4πr3 d) 3πr3

e) 2πr3

2. Em um cilindro eqüilátero, a razão entre a áreatotal e a área lateral é:

a) b)

c) d)

e) n.d.a.

3. Um tanque, na forma de um cilindro regular,com 10m de altura e de diâmetro (medidasexternas), tampado superiormente, é usadocomo depósito de óleo combustível. Anual-mente, é feita uma pintura de sua superfícieexterna (excluindo-se a pintura da base inferi-or). Sabe-se que, com uma lata de tinta, pin-tam-se 26m2 de superfície. Considerandoπ = 3,14, para se pintar todo o tanque sãonecessários, aproximadamente:

a) 7 latas de tinta;

b) 15 latas de tinta;

c) 18 latas de tinta;

d) 20 latas de tinta;

e) 21 latas de tinta.

4. Para medir o volume de uma pedra irregular,um estudante utilizou um copo de forma cilín-

64


drica, de diâmetro 6cm, com água até certaaltura. Marcou o nível da água em repouso,deixou a pedra mergulhar e marcou o novonível. Considerando π = 3,14, se o desnívelobservado foi de 2cm, então o volume dapedra é:

a) 56,52cm3 b) 226,08cm3

c) 18,84cm3 d) 80cm3

e) 160cm3

5. O líquido contido em uma lata cilíndrica deveser distribuído em potes também cilíndricos,

cuja altura é da altura da lata e cujo raio da

base é do raio da base da lata. O número de

potes necessários é:

a) 6

b) 12

c) 18

d) 24

e) 36

6. Dois cilindros, um de altura 4 e outro de altura6, têm, para perímetro de suas bases.

6 e 4, respectivamente. Se V1 é o volume doprimeiro e V2, o volume do segundo, então:

a) V1 = V2

b) V1 = 2V2

c) V1 = 3V2

d) 2V1=3V2

e) 2V1=V2

Aula prática 8: Construção de um cilindrocircular reto

Objetivos:

• Visualizar o cilindro circular reto e sua plani-ficação.

• Calcular a área das bases lateral e total docilindro circular reto.

• Calcular o valor do volume cilindro circular

reto, comparando com prisma de mesmabase e altura.

Atividade:

Material:

• Folhas de acetato (ou papel cartão).

• Tesoura.

• Cola.

• Bolinhas de isopor.

Descrição:

• Confeccionar em acetato (ou papel cartão)a planificação do cilindro circular reto.


• Obter o valor da área lateral do cilindro cir-cular reto.

• Obter o valor da área da base do cilindrocircular reto.

• Obter o valor da área total do cilindro circu-lar reto.

• Montar o cilindro circular reto.

• Obter o valor do volume do cilindro circularreto, verificando quantas vezes é possívelencher o cilindro utilizando o prisma.

65


TEMA 09

CONE

1. Definição

Na figura abaixo, temos: um, plano α, um cír-culo C contido em α, um ponto V que não per-tence a α.

A figura geométrica formada pela reunião detodos os segmentos de reta que têm umaextremidade no ponto V e a outra num pontodo círculo C denomina-se cone circular ou,simplesmente, cone.

2. Elementos

• Base – É o círculo C, de centro O e raio r,situado no plano α.

• Vértice – É o ponto V.

• Raio da base – É o raio r do círculo.

• Altura – É a distância h do vértice V aoplano da base .

• Geratriz – É o segmento com uma extremi-dade no vértice V e a outra em um ponto dacircunferência.

• Eixo – É a reta que contém o vértice V ecentro O do círculo da base .

3. Classificação

Os cones podem ser classificados de acordocom a posição de seu eixo em relação aoplano da base:

Cone oblíquo

Se o eixo é inclinado ao plano da base, tem-seum cone circular oblíquo como na figura anterior.

Cone reto

Um cone diz-se reto (ou de revolução) quan-do o eixo é perpendicular ao plano da base.

Ele pode ser obtido pela rotação completa deum triângulo retângulo em torno da reta suportede um dos catetos. Nesse caso, a altura docone coincide com a medida do segmento

⎯VO.

4. Secção meridiana

Secção meridiana de um cone reto é a inter-seção dele com um plano que contém o eixo.

A secção meridiana de um cone reto é um tri-ângulo isósceles.

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Cone Secção meridiana

No triângulo retângulo, temos a seguinte rela-ção:

g2 = h2 + r2

Em que:

g é a medida da geratriz;

h é a altura do cone;

r é a medida do raio da base.

5. Cone eqüilátero

Cone eqüilátero é um cone cuja secção meri-diana é um triângulo eqüilátero.


O cone eqüilátero tem g = 2r e, como r2 + h2 = g2,podemos obter sua altura como segue:

r2 + h2 = (2r)2 ⇒ r2 + h2 = 4r2

⇒ h2 = 3r2 ⇒ h = r

6. Áreas da superfície de um cone circular reto

• Área lateral (Al)

Planificando a superfície lateral do cone dafigura:

A área da superfície lateral corresponde à áreade um setor circular de raio g.

Sabemos que em que

α expressa a medida do ângulo central emradiano e l é a medida do comprimento da cir-cunferência da base.

Como l = 2ππr, temos :

Al = πrg

• Área da Total (At)

A superfície total de um cone é a reunião dasuperfície lateral com o círculo da base. A áreadesta superfície é chamada área total e é indi-cada por At.

At = Área de um setor circular + área de umcírculo.

At = Al + Ab

Substituindo Al = π r g e Ab = πr2, temos:

At = Al + Ab ⇒ At = π r g + πr2 ⇒

At = ππ r (g + r)

Exemplo 1

Determine a medida da altura de um cone cujageratriz mede 10cm, sendo 12cm o diâmetrode sua base.

Solução:

Temos que g = 10cm e r = 6cm e queremosdeterminar h. Mas sabemos que em um conevale a relação:

h = 8cm

Exemplo 2

Determine a medida do diâmetro da base deum cone de revolução cuja geratriz mede65cm, sendo 56cm a altura do cone.

Solução:

Temos que g = 65cm e h = 56 cm. Como

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, então .

Como o diâmetro d = 2r, temos:

d = 66cm

Exemplo 3

Determine a área lateral de um cone eqüilátero,sendo 20cm a medida de sua geratriz.

Solução:

No triângulo equilátero, temos g = 2r. Como aárea lateral Al = π r g e g = 20cm, temosAl = π . 10 . 20. Portanto Al = 200πcm2.

Exemplo 4

Determine a área total de um cone, cujasecção é um triângulo equilátero de 8dm delado.

Solução:

Temos que g = 2r, como o lado do triângulomede 8dm, obtemos g = 8 e r = 4. Sabemosque At = π r(g + r). Portanto At = π.4(8 + 4),logo At = 48πdm2

Exemplo 5

Determine a área total de um cone, sendo40cm o diâmetro de sua base e 420cm2 a áreade sua secção meridiana.

Solução:


Desejamos calcular At = π r(g + r), e pra issoprecisamos dos valores de r, h e g. Como2r = 40 ⇒ r = 20cm

Denotando a área da secção meridiana por Asecção,

temos que . Substituindo o

valor de r temos que Asecção= 20 . h.Substituindo o valor da área, temos:

cm.

Agora, precisamos calcular o valor de g. Mas

cm. Portan-

to At = π . 20 . (29 + 20) = 20 . 49 . π ⇒

At = 980πcm2

Exemplo 6

Determine a área lateral de um cone cujo raioda base mede 5cm, sendo 60º o ângulo que ageratriz forma com a base do cone.

Solução:

A figura acima representa a secção meridianado cone dado no problema. Temos que

Como Al = πrg, temos que Al = π.5.10.

Portanto Al = 50πcm2

1. Um aluno de Manicoré resolveu vender amen-doins torrados em embalagens no formato deum cone reto, com 6cm de diâmetro da base e10cm de altura. Qual será a quantidade mínimade papel utilizada para confeccionar essas em-balagens?

2. A geratriz de um cone mede 14cm, e a área dabase 80πcm2. Calcule a medida da altura docone.

68


3. Determine a medida da área lateral e da áreatotal de um cone de revolução, sabendo quesua altura mede 12cm e sua geratriz 13cm.

4. Determine a medida da altura de um coneeqüilátero cuja área total mede 54cm2.

5. Determine a área total de um cone cuja alturamede 12cm e forma um ângulo 45º com a gera-triz.

6. Determine a superfície lateral de um cone cujaárea da base mede 6,25πcm2 sendo 4cm amedida da sua altura.

7. A altura de um cone circular reto cujo raio dabase mede r é ππr. Sendo 3cm a medida doapótema do hexágono regular inscrito na base,determine a área da secção meridiana docone.

8. Determine a geratriz do cone de revolução,sabendo que a área da base é equivalente àsecção meridiana do cone e que a altura dessecone mede 9πcm.

9. Determine a razão entre a base e a superfícielateral de um cone que tem altura igual aodiâmetro da base.

10. Um cilindro e um cone têm altura h e raio dabase r. Sendo r o dobro de h, determine arazão entre a área lateral do cilindro e a árealateral do cone.

7. Volume do cone

Consideremos um cone de altura h e área debase Ab e uma pirâmide com a mesma altura he a mesma área da base Ab.

Vamos supor que o plano que contém as basesé um plano horizontal (conforme a figura).

Qualquer plano horizontal que secciona ocone, também secciona a pirâmide, e assecções têm áreas iguais.

Por isso, podemos dizer que o volume do coneé igual ao volume da pirâmide.

Vcone = Vpirâmide e como temos

que o volume do cone é um terço do produtoda área da base pela medida da altura.

Substituindo Ab = πr2, obtemos:

.

Exemplo 1

Em Itacoatiara, foi feito um silo para armazena-mento de grãos na forma de um cone circularreto com 2m de raio e 6m de altura. Qual acapacidade de armazenamento deste silo?

Solução:

Temos r = 2 e h = 6, portanto

V = 8πm3

Exemplo 2

Um copo de chope, cujo interior tem a formapraticamente cônica, tem 15cm de profundi-dade e capacidade para 300ml. Suponha queum chope seja “tirado” com 3cm de “colari-nho” (espuma). Qual o volume de chope (líqui-do) contido no copo?

Solução:

h = 15 – 3 ⇒ h = 12cm

h = 15cm e V = 30ml

Queremos calcular o volume de chope quedenotaremos por Vc, e para tal usaremos arazão de semelhança dos triângulos retângu-los; para isso, calcularemos o valor de R con-forme a figura acima.

69


Temos que

Então, ml.

Portanto Vc = 153,60ml

Exemplo 3

Um recipiente cônico, com altura 2 e raio dabase 1, contém água até a metade de suaaltura (Fig. I). lnverte-se a posição do recipi-ente, como mostra a Fig. II. Determine a dis-tância do nível da água ao vértice, na situaçãoda Fig. II.

Solução:

As figuras acima representam as secçõesmeridianas das Figuras I e II respectivamente.Usando as relações de semelhança dos triân-gulos retângulos, temos:

.

Cálculo do volume de água:

Substituindo essa relação no volume da água,temos:

.

Como y = 2r’, temos:

Exemplo 4

Seja um tronco de cone reto, de altura H eraios das bases r1 e r2. Indiquemos por l a ger-atriz do tronco (veja a figura). Mostre que aárea lateral do tronco pode ser dada pelaexpressão

A = π(r1 + r2)l

Solução:

Seja V o vértice dos cones cujas bases são oscírculos de raios r1 e r2 que constituem asbases do tronco. O cone maior tem área lateralA2 = πr2g2, e o cone menor tem área lateralA1 = πr1g1, onde g2 – g1 = l. A área lateral dotronco é dada por A = A2 – A1 = π(r2g2 – r1g1).

Mas como , temos g2rr1 – g1r2 = 0.

Portanto podemos escrever:

A = π(r2g2 – r1g1 + g2r1 – g1r2) =

= π[g2(r1 + r2) – g1(r1 + r2 )] =

= π(r1 + r2)(g2 – g1)=

= π(r1 + r2)l

70


1. Calcule o volume de um cone de revolução

cujo raio da base mede 24cm e a área lateral é

600πcm2.

2. Um cone de revolução tem 1m de raio. Calcule

a altura e o volume, sabendo que a área lateral

é m2.

3 Num cone reto, cuja área lateral é 18πcm2,

o raio é a metade da geratriz. Calcule o

volume.

4 Um triângulo retângulo de catetos 3cm e 6cm

gira em torno do cateto maior. Determine a área

lateral, a área total e o volume do sólido gerado.

5 Um cone de revolução tem 12πcm3 de volume.

Sabendo que é gerado por um triângulo retân-

gulo que gira em torno de um cateto de 4cm,

calcule a geratriz do cone.

6. A secção meridiana de um cone eqüilátero tem

4 m2 de área. Calcule o volume do cone.

7. Calcule o volume de um cone circular reto de

2cm de raio da base, sabendo que a base e a

secção meridiana têm áreas iguais (são equi-

valentes).

8. Calcule o volume de um cone de revolução de

1m de raio e base equivalente à secção meri-

diana.

9. Um cone de revolução tem 10πcm de altura.

Calcule o volume, sabendo que a área da

secção meridiana é o dobro da área da base.

10. Uma “casquinha de sorvete” de forma cônica

tem 5cm de diâmetro e 13cm de altura. Se a

casquinha está cheia de sorvete até a “boca”,

porém sem excesso, quantos mililitros de

sorvete possui?

1. O volume de um cone circular reto é de27πdm3, e a altura é de 9 dm. O raio da base é:

a) 4dm b) 9dm

c) 2dm d) 5dm

e) 3dm

2. Um cone eqüilátero tem área lateral igual a 18πdm2. Calcule, em dm3, o valor do seu volume:

a) 6π

b) 9π

c) 12π

d) 8π

e) 18π

3. Num cone reto, a altura é 3m e o diâmetro dabase é 8m. Então, a área total vale :

a) 52πm2 b) 36πm2

c) 20πm2 d) 16πm2

e) n.d.a.

4. O volume de um cone eqüilátero que temcomo área da base S = 12πm2 é:

a) 72πm3 b) 24πm3

c) 36πm3 d) 28πm3

e) 40πm3

5. Dois cones retos têm a mesma base, e a alturade um é o triplo da altura do outro. Então, arelação entre os volumes do menor e maior é:

a) 1/2 b)

c) 1/3 d) 1/4

e) n.d.a.

6. Se a base de um cone de revolução de raioigual a 2cm for equivalente à secção meridi-ana, a sua altura medirá, em cm:

a) 2π b) 3π

c) 4π d) 5π

e) n.d.a.

71


7. A altura de um cone circular reto é igual aodiâmetro de sua base. Se a geratriz mede15cm, o seu volume é, em cm2, igual a :

a) 270 b) 27

c) 540 d) 90

e) n.d.a.

8. Um triângulo retângulo isósceles, de hipote-nusa 3 cm, gira em torno de um de seuscatetos. Qual é o volume do sólido de rev-olução gerado?

a) 3 cm3 b) 9πcm3

c) 18πcm3 d) 27πcm3

e) n.d.a.

9. A geratriz de um cone mede 13cm, e o diâ-metro de sua base 10cm. O volume do coneem cm3 é:

a) 100π b) 200π

c) 400π d)

e)

10. Se o raio da base de um cone de revoluçãomede 3cm, e o perímetro de sua secção meri-diana mede 16cm, então seu volume, em cm3,mede:

a) 15π b) 10π

c) 9π d) 12π

e) 14π

11. A planificação da superfície lateral de um coneé um semicírculo de raio 10 . O volume docone é :

a) 357π b) 573π

c) 375π d) 537π

e) 735π

12. Sabendo-se que um cone circular reto tem3dm de raio e 15πdm2 de área lateral, o valorde seu volume, em dm3, é:

a. 9π b. 15π

c. 12π d. 36π

e. 20π

13. Num cone de revolução, a área da base é36πm2 e a área total 96πm2. A altura do cone,em m, é igual a:

a) 4; b) 6;

c) 8; d) 10;

e) 12.

14. Um cone circular reto tem por base uma cir-cunferência de comprimento igual a 6πcm, esua altura é 2/3 do diâmetro da base. Então,sua área lateral é, em cm2:

a) 5π b) 9π

c) 12π d) 15π

e) 36π

15. Qual é o volume de um cone circular reto dediâmetro da base a 6cm e de geratriz 5cm?

a) 12π b) 24π

c) 36π d) 48π

e) 96π

Aula prática 9: Construção de um cone cir-cular reto

Objetivos:

• Visualizar a planificação do cone circularreto.

• Calcular o valor da área da base lateral etotal do cone circular reto.

Atividade 1:

Material :

• Folhas de acetato (ou papel cartão).

• Tesoura.

• Cola.

Descrição:

• Confeccionar, em acetato (ou papel cartão),a planificação do cone circular reto.


• Obter o valor da área lateral do cone circu-lar reto.

• Obter o valor da área da base do cone cir-cular reto.

• Obter o valor da área total do cone circularreto.

Aula prática 10: Relação entre o volume docilindro circular reto e do prisma quadran-gular regular utilizando embalagens de pro-dutos.

Objetivos:

• Estabelecer uma relação entre os volumesdo cilindro circular reto e do prisma.

Material:

• Lata de óleo de 900ml vazia, sem uma dastampas.

• Caixa de leite de 1 litro.

• Bolinhas de isopor (ou de outro material debaixa densidade).

Descrição:

• Verificar a reação entre os volumes dasembalagens.

Aula prática 11: Relação entre o volume docilindro e do cone de mesma base e altura.

Objetivos:

• Estabelecer uma relação entre os volumesdo cilindro e do cone de mesma base ealtura.

Material:

• Cilindro de acetato ou papel cartão (cons-truído anteriormente).

• Cone de acetato ou papel cartão (construí-do anteriormente).

• Bolinhas de isopor (ou de outro material debaixa densidade).

Descrição:

•Verificar quantas vezes é possível encher ocilindro com as bolinhas de isopor utilizan-do o cone;

• Estabelecer através deste experimento umarelação entre os volumes do cilindro e docone.

72


UNIDADE VSuperfícies de revolução e sólidos de revolução

75

Geometria II – Superfícies de revolução e sólidos de revolução

TEMA 10

SUPERFÍCIES E SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

1. Superfícies de Revolução

Consideremos uma reta e (que chamaremoseixo de rotação) e um segmento

⎯AB, coplanar

com a reta e e contido em um dos semiplanosque têm origem nessa reta. Imaginemos que osegmento “gira” em torno do eixo e, produzin-do uma superfície. Com uma linguagem maisprecisa, imaginemos que cada ponto do seg-mento

⎯AB determina uma circunferência que

passa por ele e tem como centro o pé da per-pendicular conduzida desse ponto ao eixo. Aunião de todas estas circunferências forma umasuperfície, chamada superfície de revolução.Se o segmento

⎯AB está inclinado em relação ao

eixo, sem cortá-lo, obtém-se a superfície lateralde um tronco de cone. Se

⎯AB é paralelo ao

eixo, obtém-se a superfície lateral de um cilin-dro reto. Se

⎯AB tem uma extremidade sobre o

eixo, obtém-se a superfície lateral de um conereto (estamos supondo que o segmento

⎯AB

não é perpendicular ao eixo, pois nesse casoteríamos um círculo ou uma coroa circular).

Seja l o comprimento do segmento⎯⎯AB e indique-

mos por r1 e r2 as distâncias de suas extremi-dades ao eixo. Sabemos que a área da superfí-cie de revolução é dada por A = π(r1 + r2)l.Consideremos o ponto médio M do segmento⎯⎯AB. A mediatriz de

⎯⎯AB encontra o eixo no ponto

P. Indiquemos MP = a. É possível provar quea área da superfície de revolução pode serdada também pela expressão

A = 2π ah

Basta notar, na figura acima, que:

ΔABC ~ ΔPMQ , donde .

Lembrando que , temos

donde (r1 + r2)l = 2ah e, assim, A = 2πah.

Esse resultado pode ser generalizado. Consi-deremos uma seqüência de segmentos con-gruentes entre si, formando uma poligonal re-gular, circunscrita a uma circunferência de raioa e centro O. Seja e um eixo de rotação quepassa por O e não corta a poligonal, comomostra a figura. A área da superfície de re-volução gerada pela rotação do segmento

⎯⎯AB

é igual a A1 = 2πah1. Analogamente, para osdemais segmentos da poligonal, teríamosA2 = 2πah2, A3 = 2πah3, etc.

76


Assim, a área total é A = A1 + A2 + A3 + ... =

= 2π(h1 + h2 + h3 + ...) = 2π ah

Portanto mostramos que:

A área da superfície de revolução gerada pelarotação de uma poligonal regular em torno deum eixo de seu plano, passando pelo centroda circunferência inscrita, é igual ao produtodo comprimento da circunferência inscrita pelaprojeção da poligonal sobre o eixo:

A = 2π ah

2. Sólidos de Revolução

Consideremos um semiplano de origem e (eixo)e nele uma superfície S. Girando o semiplanoem torno de e, a superfície S gera um sólidochamado sólido de revolução.

Exemplos

Retângulo Triângulo retângulo Trapézio retângulogerando cilindro gerando cone de gerando tronco

de revolução. revolução de revolução

Se o triângulo ABO gira em torno de um eixoque contém o lado

⎯⎯AO, obtém-se um sólido de

revolução. Vamos mostrar que o volume des-se sólido é igual à terça parte do produto daaltura OH pela área da superfície de revoluçãogerada pelo lado

⎯⎯AB. Para isso, notemos que

o sólido de revolução é a união de dois conesretos, gerados pela rotação dos triângulosABP e BPO.

Assim, o seu volume é

Mas, (BP) . (AO) = (AB) . (OH), pois ambos osprodutos dão o dobro da área do ΔABO.Assim,

A expressão π(BP)(AB) representa a área la-teral do cone gerado pela rotação do ΔABP,isto é, é a área da superfície de revolução ge-rada pela rotação do lado

⎯⎯AB. Indicando esta

área por:

AAB, escrevemos V .

Na situação ilustrada abaixo, o volume do sóli-do obtido é a diferença entre os volumes dosdois cones:

77


Analogamente ao caso anterior, temos:

BP.AO = AB.OH, o que nos dá V .

Mas, como se vê, a conclusão final é igual-

mente válida.

Seja, agora, um triângulo que gira em torno do

eixo e seu plano, mas tendo apenas um vértice

pertencente ao eixo, como na figura abaixo.

Nesse caso, prolongando⎯⎯AB até encontrar o

eixo no ponto C, podemos exprimir o volume

procurado como a diferença entre os volumes

dos sólidos gerados pelos triângulos CBO e

CAO:

resultado idêntico ao anterior.

Se⎯AB // e, caso em que seu prolongamento

não encontraria este eixo, o volume pedido

pode ser calculado como sendo o volume do

cilindro gerado pelo retângulo ABPQ (veja a

próxima figura), menos os volumes dos cones

gerados pelos triângulos OAQ e OBP.

Teríamos:

Mas, 2π(OH)2 . AB é a área da superfície gerada

por⎯AB, assim temos também .

O resultado acima pode ser generalizado.Consideremos um setor poligonal regular (con-forme a figura a seguir), circunscrito a uma cir-cunferência de raio a e centro O. Seja e um eixocoplanar com o setor, passando por O, mas semcortar o setor. O volume do sólido gerado pelarotação do setor poligonal em tomo do eixo e éigual à terça parte do produto do apótema a pelaárea da superfície gerada pela poligonal do setor.

Basta notar que o ΔOAB gera um sólido de vo-

lume , o ΔOBC gera um sólido

e assim por diante. Logo, o vo-

lume total é V = V1 + V2 + V3 + ... =

a

Exemplo 1

Um triângulo de lados AB = 26cm AC = 28cme BC = 30cm gira em torno do lado

⎯⎯AC.

Calcule:

a) a área da superfície gerada pelos lados;

b) o volume do sólido gerado pelo triângulo.

Solução:

⇒ 784 – 56h + h2 + 678 – h2 = 900

⇒ h = 10cm.

Então r = 24cm.

Al = AAB + ABC.

AAB = AB. r = 26 . 24 = 624cm2

ABC = BC. r = 30 . 24 = 720cm2

Logo,

Al = 624 + 720 = 1344cm2

Temos que

cm3.

Exemplo 2

O trapézio ABCD da figura, para o qualAB = AD = a e CD = 2a, gira em torno de umeixo do seu plano, que passa por C e é parale-lo ao lado

⎯⎯AB. Calcule:

a) a área da superfície gerada pelos lados dotrapézio;

b) o volume do sólido gerado pelo trapézio.

Solução:

a) As = AAB + AAD + ADC + ABC

A superfície gerada por⎯⎯AB é uma coroa.

AAB = Acoroa = AC – Ac = π(2a)2 – πa2 = 3πa2

AAD é a área lateral do cilindro de raio 2a, logo

AAD = 2π . 2a. a = 4πa2

ADC = é a área do círculo de raio 2a, logo

ADC = π(2a2) = 4πa2

ABC é a área lateral do cone de raio a e ge-ratriz a , logo ABC = π . a. a = πa2.Portanto:

AS = 3πa2 + 4πa2 + 4πa2 + πa2

AS = (11 + )πa2

b. O volume pode ser calculado como sendo

78


o volume do cilindro de raio 2a e altura a,menos o volume do cone de raio a e alturaa. Logo, V = Vcilindro – Vcone

1. Um triângulo retângulo ABC, de hipotenusa⎯⎯AC gira em torno do cateto

⎯⎯BC. Calcule:

a) o comprimento da circunferência geradapelo ponto A;

b) a área da superfície gerada pelo lado⎯⎯AB;

c) a área da superfície gerada pelo lado ⎯⎯AC;

d) o volume do sólido gerado pelo triângulo.

2. Um triângulo eqüilátero ABC de lado a gira emtorno de um eixo que passa por A e é perpen-dicular ao lado

⎯⎯AB. Calcule:

a) a área da superfície gerada pela altura⎯⎯AH;

b) a área da superfície gerada pelo lado ⎯⎯AC;

c) o volume do sólido gerado pelo triângulo.

3. Um losango ABCD de lado a e ângulo agudode 60o (

⎯⎯AC é a diagonal maior) gira em torno de

um eixo do seu plano, que passa pelo ponto Ce é perpendicular à diagonal

⎯⎯AC. Calcule:

a) a área da superfície gerada pelos lados dolosango;

b) o volume do sólido gerado pelo losango.

4. Um trapézio isósceles de bases a e 3a e alturaa gira em torno de um eixo do seu plano, quepassa por uma extremidade da base maior e éperpendicular às bases. Calcule:

a) a área da superfície gerada pelos lados dotrapézio;

b) o volume do sólido gerado pelo trapézio.

5. Um triângulo retângulo de hipotenusa 2a eângulo de 30o gira em torno de um eixo que

passa pelo vértice do ângulo reto e é paraleloà hipotenusa. Determine:

a) a área da superfície gerada pelos lados dotriângulo;


6. Calcule o volume e a área total do sólido gera-do pela rotação de um hexágono regular delado a, em torno da sua maior diagonal.

7. Um triângulo eqüilátero de lado a gira em tornode um eixo paralelo a um de seus lados e à dis-tância a dele. Calcule (considerando doiscasos): a) a área da superfície gerada pelos lados do

triângulo;


79


UNIDADE VIEsfera

83

Geometria II – Esfera

TEMA 11

ESFERA

1. Definição

Sejam dados um ponto O e uma medida r. Oconjunto de todos os pontos do espaço cujadistância a O é menor ou igual a r chama-seesfera de centro O e raio r.

Chama-se superfície esférica o conjunto dospontos da esfera cuja distância ao centro O éigual a r.

2. Seção plana de uma esfera. Pólos

Consideremos um plano α cuja distância aocentro O da esfera seja menor do que o raio r.A interseção desse plano com a esfera é umcírculo de centro C.

Determinemos a relação entre os raios daesfera e desse círculo. Sejam ρ o raio do circu-lo e d a distância do plano do círculo ao centroda esfera. Conforme se vê na figura, pode-seescrever :

(OA)2 = (OC)2 + (CA)2 ⇒

⇒ r2 = d2 + ρρ2 ⇒

Os ponos P e P’ que a reta determina nasuperfície esférica são denominados pólos. Asdistâncias dos pólos ao ponto A chamam-sedistâncias polares. Podemos indicá-Ias assim:

PA = p P’A = p’

Observemos a figura. O triângulo PAP’ é retân-gulo em A, sendo que podemos aplicar nele aconhecida relação métrica:

(PA)2 = PP’ . PC

Mas, PA = p, PP’ = 2r e PC = r – d. Logo

P2 = 2r(r – d) ⇒

De modo análogo, encontramos:

3. Volume da esfera

O volume de uma esfera de raio r é dado pelaexpressão

Este resultado pode ser obtido pela aplicaçãodo princípio de Cavallieri. Para isso, ima-ginemos um cilindro eqüilátero cujo raio dabase seja r, igual ao raio da esfera.

Seja V o centro do cilindro, isto é, o pontomédio do seu eixo. Podemos considerar doiscones, com vértice nesse ponto V e tendocomo bases as bases do cilindro. Este sólido échamado de clepsidra. Suponhamos que estaclepsidra é retirada do cilindro e vamos tomar

84


o sólido que resulta, ou seja, a parte do cilindrosituada fora da clepsidra. Este sólido é deno-minado anticlepsidra.

Vamos imaginar que a esfera tangencia os doisplanos das bases do cilindro. Um plano parale-lo a estes, situado a uma distância d(d < r) docentro da esfera, intercepta a anticlepsidrasegundo uma coroa circular, e a esfera, segun-do um círculo. As circunferências que limitam acoroa circular têm raios d e r, logo a área dacoroa é

Acoroa = πr2 – πd2 = π(r2 – d2)

A área do circulo determinado na esfera é Acírculo = πρ2 = π(r2 – d2), logo temos queAcoroa = Acírculo, e pelo princípio de Cavaliericoncluímos que o volume da esfera é igual aovolume da anticlepsidra, ou sejaV = Vcilindro – 2.Vcone.

Lembremos que

Vcilindro = Ab . h = (πr2 )h = (πr2)2r = 2πr3

Então para o volume da esfera temos

Exemplo

Duas esferas concêntricas (isto é, de mesmocentro) têm raios r e r + h, como ilustrado nafigura seguinte.

a) Calcule o volume da esfera interna.

b) Calcule o volume da esfera externa.

c) Chamemos de concha esférica a parte daesfera externa que está fora da esfera in-terna (é o sólido limitado pelas duas super-fícies esféricas). Calcule o seu volume.

Solução:

a) Denotando por V1 o volume da esfera inter-na, temos:

b) Denotando por V2 o volume da esfera exter-na, temos:

c) O volume da concha esférica é dado por

4. Área da superfície esférica

A determinação de fórmulas para a área lateralde um cone reto, ou de um cilindro reto, é umproblema relativamente simples. Já o cálculoda área de uma superfície esférica representaum desafio maior, pois não é possível “desen-rolar” uma superfície esférica, transformando-aem uma figura plana, como no caso do coneou do cilindro. Examinando o Exemplo 1,podemos obter um caminho para chegar à fór-mula desejada. Embora o método que usare-mos esteja apoiado numa espécie de “con-ceito de limite”, ele é aceitável, dentro de umnível intuitivo.

85


Seja A a área da superfície esférica de raio r (ainterna, no exemplo 1). Parece fácil de seaceitar, intuitivamente, que o produto A.h éuma boa aproximação para o volume V da con-cha esférica. Tal aproximação torna-se tantomelhor quanto menor fica a espessura h da

concha. Em outras palavras, o quociente

representa uma boa aproximação para a áreaA, desde que h seja suficientemente pequeno.Assim, parece claro que, se h tende a zero, a

razão tende ao valor A da área da superfície

esférica de raio r. Ora, como vimos,

, logo

.

Assim, a área A é dada pela expressão que seobtém desta, supondo h = 0:

. Portanto A = 4πr2.

Outra maneira de se chegar a esse resultado éaproveitar as observações feitas no tema ante-rior em superfícies de revolução. Uma superfí-cie esférica é a superfície de revolução geradapela rotação de uma semicircunferência emtorno de um eixo contendo seu diâmetro.

A poligonal regular ABCDEFG, inscrita na semi-circunferência, gera uma superfície de área

A6 = 2π . a . (2r) = 4πar

(O índice 6 relaciona-se ao número de lados dapoligonal). É intuitivo que, aumentando-se onúmero de lados da poligonal considerada, assuperfícies de revolução passam a ter áreascada vez mais próximas da área da superfícieesférica. Ora, nessas circunstâncias, o apótemaa tenderia ao valor do próprio raio r. Assim, aárea da superfície esférica ficaria igual a:

A = 4πr . r = 4π2

Exemplo 1Determine a área da superfície esférica daesfera de raio 3cm.

Solução:

A = 4π . r2, como r = 3 temos A = 4π . 32

A = 36πcm2

Exemplo 2

Uma esfera de raio R está colocada em umacaixa cúbica, sendo tangente às paredes dacaixa. Essa esfera é retirada da caixa e em seulugar são colocadas 8 esferas, tangentes entresi e também às paredes da caixa. Determine arelação entre o volume não ocupado pelaesfera única e o volume não ocupado pelas 8esferas.

Solução:

V1 = Vcubo – Vesf. ⇒

86


V2 = Vcubo – 8 Vesf. ⇒

(1) e (2) ⇒ V1 = V2

Exemplo 3

Prove que a área total de um cone eqüilátero

inscrito em uma esfera é igual a da área total

do cone eqüilátero circunscrito à mesmaesfera.

Solução:

ΔAOD ⇒ R12 = (2r)2 – r2 ⇒ R1 = r

Atcone_circ. = πR1(R1 + 2R1) ⇒

⇒ Atcone_circ. = πr (r + 2r ) ⇒

⇒ Atcone_circ. = 9πr2 (1)

(1) e

1. Uma esfera tem 1,5m de raio. Calcule:

a) o seu volume;

b) a área da sua superfície;

c) o raio da seção da esfera por um planosituado a 1m do centro;

d) as distâncias polares correspondentes aessa seção.

2. Uma esfera tem volume igual a 36πcm3.Calcule:

a) o seu raio;

b) a área de sua superfície.

3. A seção de uma esfera por um plano situado a3cm do centro tem área igual a 16πcm2. De-termine o volume da esfera.

4. A seção de uma esfera por um plano quepassa pelo centro tem área igual a 12πcm2.Determine:

a) o raio da esfera;

b) o volume da esfera;

c) a área da superfície esférica.

5. Numa esfera de raio igual a 6cm, a que distân-cia do centro deve ser tomada uma seçãoplana cuja área seja igual à metade da área daseção plana que contém o centro da esfera?

6. Numa esfera de volume igual a cm3

toma-se uma seção plana cuja área é igual a24πcm2. Qual é a distância dessa seção aocentro da esfera?

7. Determine o volume de uma esfera inscritanum cubo de aresta a.

8. Considere uma esfera inscrita em um cilindroeqüilátero. Determine a razão entre a área dasuperfície esférica e a área lateral do cilindro.

87


9. Um cone eqüilátero está inscrito em umaesfera. Determine a razão entre os volumesdesses dois sólidos.

10. Um cubo está inscrito em uma esfera de raio r.Determine a razão entre os volumes dessesdois sólidos.

11. Considere um cilindro eqüilátero inscrito numaesfera de raio r. Determine a razão entre os vo-lumes desses dois sólidos.

12. Uma esfera está inscrita em um cone eqüi-látero. Determine a razão entre os volumesdesses dois sólidos

13. Sejam duas esferas das quais uma tem áreaigual ao dobro da área da outra. Determine arazão entre os seus volumes.

14. Sejam duas esferas das quais uma tem o vol-ume igual ao dobro do volume da outra. Deter-mine a razão entre as áreas das duas superfí-cies esféricas.

15. Os centros de três esferas que se tangenciamduas a duas, externamente (como a figura indi-ca), formam um triângulo de lados 3, 4 e 5.Determine a soma dos volumes das trêsesferas.

16. Duas seções paralelas de uma esfera de raio10cm têm raios iguais a 6cm e 8cm. Calcule adistância entre os planos das duas seções.

17. A distância entre os centros de duas superfí-cies esféricas é 9cm, e seus raios são 7cm e8cm. Calcule o raio da circunferência segundoa qual elas se cortam.

18. A área do círculo máximo de uma esfera (aque-le que contém o centro) é 225πcm2, e a área deuma seção paralela a ele é 144πm2. Calcule adistância dessa seção ao centro da esfera.

1. A razão entre o volume e a área de umamesma esfera é igual a 3. Pode-se dizer, então,que esta esfera:

a) tem o volume duas vezes maior que a área;

b) tem o volume igual a 2916π;

c) tem área de 324π;

d) tem o circulo máximo com área de 81π;

e) tem raio de 3.

2. Considere os dois sólidos:

I. Uma esfera de diâmetro 10dm.

II. Um cilindro de diâmetro 10dm e altura 8dm.

A respeito deles, é correto afirmar que:

a) possuem a mesma capacidade volumétricaem litros;

b) o volume da esfera é maior que o volumedo cilindro;

88


c) a área da superfície esférica é igual a árealateral do cilindro;

d) o volume da esfera é menor que o volumedo cilindro;

e) possuem a mesma superfície externa.

3. Uma panela cilíndrica de 20cm de diâmetroestá completamente cheia de massa paradoce, sem exceder a sua altura, que é de16cm. O número de doces em formato debolinhas de 2cm de raio que se pode obtercom toda essa massa é:

a) 300;

b) 250;

c) 200;

d) 150;

e) 100.

4. Em uma esfera de centro O, um plano α con-tendo O intercepta a esfera. A intersecção éum circulo de área 16π centímetros quadrados.O volume da esfera, em centímetros cúbicos, éigual a:

a.

b.

c.

d. 64πe. 32π

5. Uma superfície esférica de raio 13cm é cortadapor um plano situado a uma distancia de 12cmdo centro da superfície esférica, determinandouma circunferência. O raio dessa circunferên-cia em cm é de:

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

e) 5

6. A região delimitada por uma esfera é intercep-tada por uma plano a 3cm do centro dessaesfera. Se a área dessa intersecção é de

9πcm2, o volume da região delimitada pelaesfera, em cm3, é:

a) 18π b) 36π

c) 72π d) 144π

e) 216π

7. Se aumentarmos em 3cm o raio de uma esfera,seu volume aumentará 252πcm3. O raio daesfera original mede, em cm:

a) 3 b) 2

c) 4 d) 6

e) 7

8. Um cilindro circular reto e uma esfera sãoequivalentes. Se o raio da esfera e o raio dabase do cilindro têm medida 1, a área lateraldesse cilindro é:

a) b)

c) d)

e)

9. Um cilindro eqüilátero de altura 2 m estáinscrito numa esfera. O volume dessa esfera é

a) m3

b) 32πm3

c) 20πm3

d) 5πm3

e) n.d.a.

10. (UEPG–PR) Duas bolas de chumbo, com diâ-metros de 3cm e 6cm, são fundidas e moldadasem forma de um cilindro circular reto de 3,24cmde altura. O raio desse cilindro mede:

a)

b) 10 cm

c) 100cm

d) cm

e) 100 cm

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11. Um cone e um cilindro eqüilátero circuns-crevem a mesma esfera. Se a área total docilindro medir 150πcm2, o volume do conemedirá, em cm3:

a) 130π

b) 375π

c) 225π

d) 185π

e) 310π

Aula prática 10: Princípio de Arquimedes

Objetivos:

• Estabelecer uma relação entre os volumes

do cubo de aresta a e da esfera de raio .

• Verificar o princípio de Arquimedes.

Atividades:

Material:

• Caixa (cubo sem tampa) de vidro ou acrílicode lado a.

• Esfera de isopor de raio .

Descrição:

• Encher com água a caixa completamente.

• Colocar um recipiente para aparar a águaque transbordará da caixa.

• Imergir a esfera completamente na caixa.

• Medir o volume que transbordou da caixa.

UNIDADE VIINoções de geometria não-euclidiana

93

Geometria II – Noções de geometria não-euclidiana

TEMA 12

GEOMETRIA NÃO-EUCLIDIANA

1. Noções de Geometria não-Euclidiana

Na 1.a metade do século XIX, aconteceu adescoberta de novas geometrias por parte devários matemáticos. Por meio de seus esforçose de muitos outros, tentaram uma prova para oV postulado de Euclides em que por um pontoexterior a uma reta, passa apenas uma outrareta paralela à dada. Daí surgiu a geometriaeuclidiana, em que a distância entre duas retasperpendiculares a um dado segmento perma-nece constante, mesmo quando nos movemospara a direita ou para esquerda, conformemostra a figura a seguir:

O V postulado de Euclides pode ser entendidode outra forma:

Se uma reta, ao cortar duas outras, formaângulos internos, no mesmo lado, cuja soma émenor que dois ângulos retos, então essasduas retas, se prolongadas, encontrar-se-ão,no mesmo lado onde estão esses ângulos,conforme mostra a figura a seguir.

POSTULADOS

Os cinco postulado de Euclides, na qualidadede postulados, deveriam ser aceitos ver-dadeiros pela sua evidência. Os quatroprimeiros axiomas são dependentes, ou seja,

nenhum deles pode ser deduzido a partir dosoutros e são facilmente aceitáveis a partir daexperiência com o mundo sensível. Entretanto,com o quinto postulado isso não acontece,uma vez que não pode ser verificado empirica-mente, e não temos meios de prolongar in-definidamente duas retas para verificar se, emalgum ponto remoto, elas, se interceptam.

A falta de evidência do quinto axioma fez queos matemáticos posteriores a Euclides sus-peitassem que não fosse um axioma, mas simum teorema e que, portanto, podia ser de-mon-strado. Houve muita tentativa de demons-trá-lopor cerca de 2000 anos, sem sucesso. Apenasno inicio do século 19, surgiram duas geome-trias alternativas à euclidiana, obtidas pormudanças no axioma: a hiperbólica e a elíptica.

Assim, apareceram duas atitudes. A primeiratinha por alvo modificar o enunciado doaxioma, na esperança de torná-lo mais claro eevidente. Adotando a primeira atitude, desta-camos Proclus e Cláudio Ptolomeu. A segundaconsistiu em procurar uma demonstração, apartir dos quatro primeiros axiomas, ou por viade uma prova indireta. Dentre os que tomarama segunda atitude, citamos Saccheri e Lambert.

Os métodos diretos para provar o quinto axio-ma fracassaram. Então, os matemáticos procu-raram uma prova pelo método indireto, negan-do a validade do axioma e procurando umacontradição.

Karl Gauss

Posteriormente, Karl Gauss (1777-1855),Nicolai Lobachewski (1792-1856) e JanosSolyai (1802-1860) redescobriram-no e, comoconseqüência, as geometrias não-euclidianasvieram à luz, tendo os dois últimos publicadosseus trabalhos independentemente em 1829 e

94


em 1832, respectivamente. Boyai dizia: “Donada eu criei um universo novo e estranho”.Seu interesse pessoal era o da “CiênciaAbsoluta do Espaço”, que eram proposiçõesque não dependiam do quinto postulado quelogo valeriam em qualquer geometria.

Janos Bolyai

Com Bolyai e Lobachevsky, tinham nascido aGeometria elíptica e a geometria hiperbólica.

Nicolai Lobachewski

A razão pela qual Gauss manteve em segredosuas descobertas foi o fato de que a filosofiade Kant dominava a Alemanha da época, eseus dogmas eram que as idéias da geometriaeuclidiana eram as únicas possíveis. Gausssabia que essa idéia era totalmente falsa, maspara não entrar em conflito com os filósofos daépoca, resolveu manter-se em silêncio.

Não há dúvida de que os termos geometriahiperbólica e geometria elíptica lembram-noshipérboles e elipses, como explicaremosagora.

A palavra “hipérbole” significa “excesso”, e apalavra “elipse” significa “deficiência”. Apalavra “parábola” significa “sendo paralelo a”.Podemos, então, pensar na geometria hiper-

bólica como tendo um “excesso” de paralelas.Da mesma forma, na geometria elíptica, existeuma “deficiência” de paralelas, comparadacom a geometria euclidiana.

Assim, temos que a principal diferença entre astrês geometrias, a euclidiana e as duas novas,está no quinto axioma.

Geometria euclidiana

Dados uma reta e um ponto fora dessa reta,somente uma única reta pode ser traçada pas-sando por esse ponto e paralela à reta dada.

Geometria hiperbólica

Dados uma reta e um ponto fora dessa reta,duas ou mais retas podem ser traçadas pas-sando por esse ponto e paralelas à reta dada.

Geometria elíptica

Dados uma reta e um ponto fora dessa reta,nenhuma reta pode ser traçada passando poresse ponto e paralela à reta dada.

A geometria elíptica também é conhecidacomo geometria Riemanniana. BernardRiemann (1826-1866) descobriu uma geome-tria esférica que era oposta à geometria hiper-bólica de Lobachevski. Desse modo, ele foi oprimeiro a indicar a possibilidade de existir umespaço geométrico finito onde um ponto semove sobre ele na mesma direção, podendocertamente retornar ao ponto de partida.

Bernard Riemann

A idéia logo se firmou e trouxe a questão de seo nosso espaço físico era finito. Além disso,Riemann teve a coragem de construir geome-trias muito mais gerais do que a de Euclides emesmo as aproximadamente não-Euclidianasconhecidas.

95


Com a modificação do enunciado do quintopostulado, outros sistemas geométricos pas-sam a existir em pé de igualdade. Cada umdesses sistemas pode ser interpretado por ummodelo. Por exemplo, um modelo para ageometria euclidiana é um plano; para ageometria elíptica é uma esfera; para a hiper-bólica é uma pseudo-esfera ou o disco dePoincaré .

Iremos, a partir de agora, explicar cada um dosmodelos.

Na geometria euclidiana, um segmento entre Ae B representa o caminho de menor compri-mento de A até B.

Agora, considere que os pontos A e B per-tencem à superfície da esfera. Vamos procurarsobre a esfera as curvas equivalentes aos seg-mentos. Ou seja, identificar, entre todas as cur-vas que ligam os pontos A e B, aquela demenor comprimento.

De todas as curvas que conectam dois pontos,a mais curta é o arco de um círculo máximo, ouseja, um arco de um círculo com raio igual aoraio da esfera. Note que qualquer círculo má-ximo divide a esfera em duas partes iguais (demesma área) e, devido à propriedade de mini-mizar o comprimento entre dois pontos,recebem o nome de geodésicas. Por con-seguinte, as geodésicas sobre a superfície deuma esfera são os arcos de círculos máximos.

Suponha que a Terra é perfeitamente esférica eque ela é habitada por “seres planos”, criaturasabsolutamente sem graça que têm apenas duasdimensões e que não percebem o sentido de“altura”. Lembre-se de que essas criaturas se des-locam arrastando-se sobre a superfície terrestre.

O método usado por essas criaturas paraidentificar “linhas retas” como sendo as li-nhas de mais curta distância entre dois pon-tos consiste em estender linhas através dasuperfície conectando dois pontos quaisquer.Para essas criaturas, essa linha parece seruma reta à medida que elas se movem aolongo delas uma vez que as direções dechegada ou de partida dessas criaturas emqualquer ponto sobre a linha tem ângulo zeroentre elas.

Com essa definição, os “seres planos” encon-tram que todas as linhas retas se interceptam eque movendo-se ao longo de qualquer linhareta, eles finalmente retornam ao seu ponto departida (lembre-se de que os “seres planos”estão vivendo sobre a superfície de uma esfera).Eles também descobrem que a soma dos trêsângulos internos de qualquer triângulo que elesdesenham sobre a Terra não dá mais comoresultado o valor correspondente a dois ângulosretos como ocorre na geometria de Euclides. Emvez disso, a soma desses três ângulos internossempre excede dois ângulos retos. A figuraabaixo mostra uma situação em que a soma éigual a três ângulos retos.

Ao contrário da geometria Euclidiana, asgeometrias que estamos agora apresentandosão definidas sobre a superfície de uma esferaou de um hiperbolóide (algo parecido com asela de um cavalo). Dizemos que uma superfí-cie esférica tem uma curvatura positivaenquanto que a superfície de um hiperbolóidetem curvatura negativa. Vemos que em umasuperfície com curvatura positiva a soma dosângulos internos de um triângulo traçadonessa superfície é maior que 180 graus. Nocaso de uma superfície com curvatura negati-va, a soma desses ângulos internos serámenor que 180 graus.

96


Mas, o que é curvatura?

O que faz a reta (A) ser diferente da outra curva(B) na figura abaixo?

É fácil. A curva (B) é “encurvada”, e a reta nãoé. A curva (B) deve ter alguma propriedade quea reta não tem. Você adivinhou: essa pro-priedade é a curvatura. A reta tem curvaturazero, e a curva tem curvatura diferente de zero.

Existe uma curva muito simples e cuja curvatu-ra é igual em todos seus pontos: a circunferên-cia. Vamos, então, encontrar um valor para acurvatura da circunferência. A curvatura da cir-cunferência é inversamente proporcional aoraio. Isto é, a curvatura C de uma circunferên-cia de raio R será dada por C = 1/R. Quantomaior o raio, menor a curvatura.

E se, em vez de uma curva, tivermos umasuperfície, como uma chapa de metal, comomedir sua curvatura?

Nesse caso, teríamos uma curvatura chamada

curvatura de Gauss, que pode ser positiva,negativa ou nula. Será positiva se as curvas demáxima e mínima curvatura forem encurvadaspara o mesmo lado. Esse é o caso da superfí-cie (A) vista a seguir. Será negativa se umacurva for encurvada para um lado e a outra,para o outro. É o caso da superfície (B), queparece uma sela de cavalo. E é nula se pelomenos uma das curvas for reta, isto é, tiver cur-vatura zero. É o caso do cilindro (C), na figura.E é o caso também da chapa de metal ante-rior.

Agora, vamos construir um modelo da geome-tria hiperbólica baseado na pseudo-esfera. As“retas” são representadas por geodésicas dasuperfície da pseudo-esfera, como mostra afigura a seguir.

Além da pseudo-esfera, existem vários outrosmodelos para a geometria hiperbólica, como odisco de Poincaré. Na geometria hiperbólicabaseada no disco de Poincaré, uma reta éidentificada como um arco de um círculo interi-or ao disco e que encontra o bordo do discoem ângulos retos.

Observe que as três “retas” no disco dePoincaré não-colineares formam um triânguloABC, cuja soma dos ângulos é menor que 180graus, como requerido de uma representaçãocorreta do espaço hiperbólico.

97


2. Comparando as geometrias não-Euclidianas

Uma maneira prática por meio da qual pode-mos distinguir entre essas três geometrias é aseguinte. Pegue uma folha de papel e coloque-a sobre uma superfície plana. O papel irá cobrira superfície suavemente. Tente agora com umafolha de papel do mesmo tamanho cobrir umasuperfície esférica. Você agora verá que paracobri-la terá que permitir que vincos surjam nopapel. Isso indica que próximo a qualquerponto dado sobre a superfície da esfera a áreado papel é maior do que a área que você estátentando cobrir.

Quando você tentar cobrir a superfície de umasela com a mesma folha de papel, verá que oinverso acontece: a área do papel passa a serinsuficiente para cobrir a superfície próxima aqualquer ponto sobre ele, e o papel rasga-se.

Orientabilidade

É a propriedade que certos objetos possuemde nos desorientar. Se lá morássemos, denada adiantaria ter uma bússola, pois sua setaapontaria ora para o norte, ora para o sul,deixando-nos cada vez mais perdidos. Emcaso de não-orientabilidade, joguem fora

todas as bússolas! Um objeto não-orientával,possível em três dimensões é a chamada faixade Möebius, representada nas figuras abixoem quatro posições.

Ela é obtida como se fosse cometido um errodurante a construção habitual de um simplescilindro. Para fazer um cilindro de uma faixaretangular, basta unir suas extremidades ecolá-las. Se por descuido, inspiração oudefeito, torcermos a faixa antes de colá-la,obtemos o objeto desejado. Este, diferente-mente do cilindro tradicional, não tem dentroou fora, pois ao percorrê-lo longitudinalmente,passaremos de fora para dentro e de dentropara fora, sem cruzarmos nenhuma borda oufronteira. Outra diferença surpreendente é ofato dessa superfície ter apenas uma borda.

3. Aplicações

Um problema clássico solucionado através dageometria elíptica é o chamado problema dourso.

Partindo de um certo ponto da Terra, umcaçador andou 10km para Sul, 10km paraLeste e 10km para Norte, voltando assim aoponto de partida. Aí encontrou um Urso. Qual acor do Urso?

À primeira vista, podemos pensar que o pro-blema não tem solução e, portanto, o caçador

98


não voltaria ao ponto de partida, como mostrao seguinte esquema:

No entanto, não podemosnos esquecer de quea Terra não é uma superfície plana, mas curva.

Assim a solução está à vista: Andando 10kmsegundo aquelas 3 direções perpendiculares,o caçador só voltará ao ponto de partida se ini-ciar a sua caminhada no Pólo Norte.

E o Urso? Como a história decorre no PóloNorte, só pode ser um Urso Polar e, por issoum urso branco.

É importante notar que tanto Lobachevskicomo Gauss não se limitaram aos aspectosmatemáticos dessa importante descoberta.Eles imediatamente começaram a pensarcomo essa nova geometria poderia estar rela-cionada com o mundo físico. Eles queriamsaber qual das duas geometrias, a Euclidianaou a não-Euclidiana recém descoberta, des-crevia realmente o espaço. Tentando respon-der a essa questão, Gauss tentou medir a so-ma dos ângulos de um triângulo formado portrês montanhas. Lobachevski tentou fazer amesma medida, só que usando um triângulobem maior formado por duas posições da

Terra em sua órbita e uma estrela distante deparalaxe conhecida. Infelizmente, nenhum dosdois foi bem-sucedido, pois, naquela época,eles não dispunham de equipamentos capazesde fornecer a precisão necessária para essasmedidas.

Quando temos necessidade de estudar o es-paço que nos é vizinho, todas as três geome-trias nos conduzem a um mesmo resultado, ea preferência é pela euclidiana, por ser a maissimples.

Encontramos uma situação similar ao relacion-armos a física de Newton à de Einstein, quefornecem resultados idênticos quando se tratade distâncias pequenas e baixas velocidades,mas divergem no caso de grandes distâncias ealtas velocidades.

Einstein (1879-1955), na exposição de sua Teo-ria Geral da Relatividade, em 1916, descreveuo espaço como curvo e, portanto, com umanatureza não-euclidiana.

Para sustentar matematicamente sua teoria,usou os trabalhos desenvolvidos por BernardRiemann, 60 anos antes. Na teoria da relativi-dade de Einstein, o universo é curvo e possuiquatro dimensões, sendo três espaciais e aquarta, dimensão temporal. Um certo ponto douniverso tem a curvatura tanto maior quantomaior a concentração de matéria na vizinhançado ponto. A figura a seguir representa esque-maticamente a curvatura do espaço devido àpresença da matéria, o planeta.

Nos espaço-tempo curvos descritos pela teoriarelativística da gravitação, os movimentos daspartículas assim como o da luz são curvos.Entretanto essas curvas têm uma característicacomum com as linhas retas. Do mesmo modoque as linhas retas são as trajetórias mais cur-tas conectando dois pontos de um espaçoplano, os movimentos nos espaços-tempo cur-vos percorrem as linhas curvas mais curtas

entre dois pontos. A luz segue curvas geodési-cas. Dizemos que a luz não se move uniforme-mente ao longo de linhas retas não porque elaestá sujeita a alguma força, mas por que oespaço-tempo é curvo. Isso é muito importanteporque mostra que o conceito de força foisubstituído pelo conceito geométrico de cur-vatura do espaço-tempo.

Uma contribuição importante na arte foi ageometria hiperbólica em que Mauritius Escherusou o disco de Poincaré em algumas de suasgravuras. Essas duas vistas abaixo sãochamadas de Círculo Limite I (acima), CírculoLimite II (meio) e Círculo Limite III (abaixo).Essa última, umas das poucas gravuras colori-das de Escher, foi feita em 1959.

Aula prática 11: Faixa de Möebius

Objetivos:

• Verificar que a faixa de Moebiüs possui umúnico lado.

• Entender a idéia de orientabilidade de umasuperfície;

• Verificar que a faixa de Moebiüs não é umasuperfície orientada;

Atividades:

Material:

• Cartolina.

• Tesoura.

• Pinceis coloridos.

• Cola.

Descrição:

• Construir duas faixas de Moebiüs.

• Tentar pintar um lado de uma das faixa deMoebiüs.

• Recortar a outra faixa de Moebiüs no senti-do logitudinal.

• Pintar a faixa recortada.

• Fazer uma análise do experimento.

99


Anexos

103

Geometria II – Anexos

ANEXO 1

Regra para montagem: os números e flechasindicam a seqüência e a direção de passagemda linha. Flechas duplas mostram que, naque-le canudo, a linha será passada mais de umavez.

Tetraedro – Seis canudinhos de 8cm e ummetro de linha são suficientes para construí-lo.

Construa o primeiro triângulo, dê um nó e con-tinue a seqüência com o restante da linha. Nospassos 6 e 8, a linha será passada pela segun-da vez no mesmo canudo.

104


ANEXO 2

Hexaedro (o cubo) – Com doze canudos,monta-se o cubo. O aluno deverá verifcar oque deverá fazer para que se torne um sólidorígido.

105


ANEXO 3

OCTAEDRO (O BALÃO)

106


ANEXO 4

ICOSAEDRO

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ANEXO 5

TETRAEDRO

108


ANEXO 6

CUBO

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ANEXO 7

OCTAEDRO

110


ANEXO 8

DODECAEDRO

111


ANEXO 9

ICOSAEDRO

112


ANEXO 10

PRISMA QUADRANGULAR

113


ANEXO 11

PRISMA TRIANGULAR

114


ANEXO 12

PRISMA HEXAGONAL

115


ANEXO 13

PRISMA PENTAGONAL

116


ANEXO 14

CUBOCTAEDRO

117


ANEXO 15

ICOSIDODECAEDRO

118


ANEXO 16

TETRAEDRO CORTADO

119


ANEXO 17

OCTAEDRO CORTADO

120


ANEXO 18

CUBO CORTADO

121


ANEXO 19

ICOSAEDRO CORTADO

122


ANEXO 20

DODECAEDRO CORTADO

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ANEXO 21

ROMBICUBOCTAEDRO

124


ANEXO 22

CUBOCTAEDRO CORTADO

125


ANEXO 23

ROMBICOSIDODECAEDRO

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ANEXO 24

ICOSIDODECAEDRO CORTADO

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ANEXO 25

CUBO COM PONTAS - LADO ESQUERDO

128


ANEXO 26

CUBO COM PONTAS - LADO DIREITO

129


ANEXO 27

DODECAEDRO COM PONTA - LADO ESQUERDO

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ANEXO 28

DODECAEDRO COM PONTA - LADO DIREITO

131


ANEXO 29

DIRETRIZES PARA O TRABALHO EM GRUPO

1. Todos os componentes do grupo (no máximo 5) devem:

• Saber e compreender o que o grupo está fazendo.• Fazer perguntas se não entenderem.• Participar ativamente na realização das tarefas.• Ajudar os outros.• Respeitar os outros.

2. Só devem chamar o professor:

• Quando os componentes do grupo não estiverem conseguindo realizar a atividade, mesmo apósutilizado vários argumentos.

• Quando tiverem concluído a atividade.

3. Ao final das atividades devem:

• Elaborar um relatório conforme anexo 30.• Ler o que foi escrito.• Organizar a apresentação à turma.

132


ANEXO 30

GUIA PARA A ELABORAÇÃO DO RELATÓRIO

Na elaboração do relatório, devem ser considerados, entre outros, os seguintes aspectos:

Identificação do grupo de alunos, indicando:

1. NOME2. NÚMERO DE MATRÍCULA3. TURMA4. MUNICÍPIO

Identificação do trabalho, indicando:

1. DATA DE REALIZAÇÃO2. DISCIPLINA3. TÍTULO

Atividade n.º ______:

1. NOME

2. OBJETIVOS

O que deseja alcançar com a realização das atividades?

3. MATERIAIS UTILIZADOS

Devem ser discriminados os materiais para cada atividade.

4. DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE:

a. Relato de todos os passos de cada atividade.b. Explicação dos raciocínios.c. Identificação de tentativas realizadas e de dificuldades encontradas.d. Apresentação dos resultados obtidos.

Conclusões

Apreciação crítica do trabalho proposto.

133


ANEXO 31

TABELA DE AVALIAÇÃO DO RELATÓRIO

134


ANEXO 32

FICHA DE AVALIAÇÃO INDIVIDUAL DO ALUNO

A minha colaboração na elaboração do relatório foi:

A minha colaboração na apresentação foi:

O que aprendi com as atividades realizadas foi:

As dificuldades que encontrei para realização do trabalho foram:

Gostei de trabalhar em grupo? Por quê?:

Nome:______________________________________________N.o:____Turma:____

SIM NÃO

Consegui distribuir as tarefas no grupo.

Verifiquei o objetivo da atividade.

Cooperei com os outros elementos do grupo.

Permiti a intervenção dos outros elementos do grupo.

Fui capaz de moderar a discussão no grupo.

Contribuí com idéias para o grupo resolver o problema.

Selecionei as estratégias apropriadas.

Justifiquei as conjecturas.

Utilizei os materiais.

Registrei os resultados.

Fui perseverante na resolução do problema.

Obtive conclusões.

Tive boa comunicação com a turma.

Respostas dos Exercícios

137

Geometria II – Respostas dos exercícios

UNIDADE I – Noções primitivas eposições relativas

TEMA 01

CONCEITOS PRIMITIVOS, POSTULADOS E

POSIÇÕES RELATIVAS

Demonstrações

UNIDADE II – Distâncias, diedros e tiedros

TEMA 02

DISTÂNCIAS E DIEDROS

Demonstrações

UNIDADE III – Poliedros, prismas epirâmides

TEMA 03

POLIEDROS

Pág. 34

1. 10 2. 6

3. 8 4. 9

5. 11 6. 8 e 4

7. 15 e 10 8. 10

9. 29,68 e 41 10. 26

11. 14, 24 e 12

TEMA 05

PLANIFICAÇÃO E ÁREA DO PRISMA

Pág. 43

1. At = 9(8 + ) u. a. (unidades de área)

2. cm

3. 2,8 cm

4. 4 cm

5. At = 1020m2

6. Al = 280cm2

TEMA 06

VOLUME DO PRISMA

Pág. 47

1. At = 48(6 + )m2 e V = 288 m3

2. Al = 192 cm2 e V = 1152cm3

3. V = 240cm3

4. V = 6dm3 e At = dm2

5.

6. V = 108m3

Pág. 48

1. d 2. e

3. e 4. d

5. d 6. b

7. b

138


TEMA 07

PIRÂMIDES

Pág. 53

1. cm

2. cm

3. Al = 60 cm2 e At = 30(5 + 2 )cm2

4. 2 cm; 96cm2

5. 2 cm

6. 2 cm

7. Al = 4 cm2; At = 4 ( + 1)cm2

Pág. 56

1. cm2

2. cm

3. 1152 m2

4. cm2

5. 144 cm3

6. 576 cm3

Pág. 56

1. C

2. C

3. B

4. E

5. B

UNIDADE IV – Cilindro e cone

TEMA 08

CILINDRO

Pág. 63

1. 7cm 2. 6m

3. 3 4. 8πm2

5. 7cm 6. 3πlitros

7. 8πcm

Pág. 64

1. b 2. b

3. b 4. a

5. e 6. d

TEMA 09

CONE

Pág. 67

1. Aproximadamente 123,60cm2

2. 2 cm

3. Al = 65πcm2 At = 69πcm2

4. 3 cm

5. 144π(1 + )cm2

6. 2,2π cm2

7. 12πcm2

8. 9 cm

9.

10.

139

Geometria II – Respostas dos exercícios

Pág. 70

1. 1344πcm3

2. h = 2m; V = m3

3. 9 πcm3

4. Al = 9 πcm2 At = 9π( + 1)cm2

V = 18πcm3

5. 5cm

6. m3

7. cm3

8. m3

9). cm3

10. 85,04ml

Pág. 70

1. e

2. b

3. b

4. b

5. c

6. a

7. d

8. b

9. a

10. d

11. c

12. c

13. c

14. d

15. a

UNIDADE V – Superfície de revolução esólidos de revolução

TEMA 10

SUPERFÍCIES E SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

Pág. 79

1. a) 2πc b) πc2 c) πbc d) a c2

2. a) b) c)

3. a) 4 πa2 b)

4. a) 6(2 + )πa2 b) 6πa3

5. a) b) πa3

6. a) 2 πa2 b) πa3

7. a) πa2(6 + ) ou πa2(6 – )

b) ou

UNIDADE VI – Esfera

TEMA 11

ESFERA

Pág. 86

1. a)

b) A = 9πm2

c)

d)

2. a) r = 3cm

b) A = 36πcm2

3.

4. a) r = 2 cm

b) 32π cm3

c) A = 48πcm2

5. d = 3 cm

6. d = 5cm

7.

8. 1

9.

10.

11.

12.

13. 2

14.

15. 48π16. d = 14cm ou d = 2cm

17.

18. 9cm

Pág. 87

1. d 2. d

3. d 4. a

5. e 6. c

7. a 8. d

9. a 10. a

11. b

140


141

BRASIL. Ministério da Ciência e Tecnologia. Brasília. Observatório Nacional. A Geometria dos Espaços Curvos ouGeometria Não-Euclidiana. Brasília. Disponível em: <http://www.on.br/site_edu_dist_2006/site/conteudo/modulo3/6-geometria-espaco-curvo.html>. Acesso em: 17/11/2006.

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REFERÊNCIAS

Education

Geometria 2