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Geometria Plana
Figuras Semelhantes
Quando ouvimos a expressão "figuras semelhantes" logo pensamos em figuras que se assemelham, figuras parecidas, de mesma aparência.
Mas o que vem a ser 'figuras semelhantes' em Matemática?
Observe as figuras:
Os pares de figuras acima possuem diferentes medidas, mas mantém as mesmas PROPORÇÕES.
O Teorema de Tales
“A ciência, tão fundamental na era moderna, teve seu início por volta do ano 600 a.C. na cidade de Mileto, Grécia, especialmente com de
Tales de Mileto. Tales era filósofo, geômetra, astrônomo, físico, político e comerciante, e acredita-se que tenha nascido no ano 625 a.C. Não
se sabe ao certo em que ano morreu”.
Foi ele quem primeiro chamou a atenção para o aspecto abstrato dos objetos geométricos, ao considerar um triângulo ou uma pirâmide, por
exemplo, não como coisas concretas, feitas de madeira ou pedra, mas como objetos do nosso pensamento. Uma de suas descobertas no
campo filosófico foi a de que “não apenas os homens estão sujeitos a leis, mas também a Natureza”. E apontando para a sombra dos
degraus de um estádio desportivo, teria dito: “Os ângulos dos degraus obedecem a uma lei: são todos iguais”.
Conta-se que, numa de suas viagens ao Egito, Tales foi desafiado a medir a altura de grande pirâmide de Queóps.
Imagem: http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/teotales/index.htm
Conta-se que, numa viagem ao Egito, Tales foi desafiado pelos sacerdotes egípcios a explicar como “adivinhara” a altura de uma das
pirâmides. Os sacerdotes acreditavam que essa informação era sagrada e havia sido inadvertidamente fornecida a ele, que, por esse motivo
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deveria ser preso. Tales explicou seu raciocínio exemplificando-o com o cálculo da altura de um obelisco cuja sombra era mais fácil de ser
medida.
imagem: http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/teotales/index.htm
Teorema de Tales: Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais quaisquer, segmentos proporcionais.
Ângulos opostos pelo vértice
Um dos teoremas atribuídos a Tales é muito simples de ser entendido concretamente: quando seguramos uma
vareta de madeira em cada mão e cruzamos essas varetas estamos representando retas concorrentes.
Independentemente da abertura que você dá às varetas, elas sempre formam, à sua esquerda e à direita, dois
ângulos (opostos pelo vértice) iguais.
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Observemos como se mede um ângulo com transferidor:
Exemplo: O menor dos ângulos que estas retas formam mede 58º. O maior mede :
180º - 58º=122º. ―Por que ângulos opostos pelo vértice são sempre iguais?‖, Tales deve ter se perguntado.
Podemos explicar isso do seguinte modo, baseando-se na figura do transferidor:
Os dois ângulos formam juntos um ângulo de 180º (ângulo raso), que chamamos de ângulos suplementares da
mesma forma, também b e c são ângulos suplementares. Ou seja:
a + b = 180º ; então a = 180º - b
b + c = 180º ; então c = 180º - b
Conclusão: a = c
Número de Diagonais de Polígonos Regulares
Conceito Dado um polígono regular de n lados, tem-se que seu número de diagonais é dado por
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Exemplos:
1. O número de diagonais de um polígono é igual a 20. Qual é esse polígono ?
a)
b) Resolvendo a equação anterior por soma e produto, obtém-se que ou .
c) E para , tem-se que o polígono em questão é octógono.
2. Mostrar se existe polígono com 15 diagonais.
a)
b) Resolvendo a equação acima pela fórmula de Bháskara, temos que √
como 129 não é
quadrado perfeito, temos que . Não existe polígono com 15 diagonais.
Soma dos Ângulos de um Polígono
Conceito
Seja um polígono de n lados. A soma dos ângulos internos é: .
Já a soma dos ângulos externos é .
Observações:
1. Quando quiser calcular a medida de um ângulo interno, é suficiente dividir a soma dos ângulos
internos por:
.
2. Quando quiser calcular a medida de um ângulo externo, é suficiente dividir a soma dos ângulos
externos por
.
3. A soma de um ângulo interno com um ângulo externo adjacente é igual a 180º.
Exemplo: Quantas diagonais tem o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo do ângulo externo ?
a) Sejam ai e ae os ângulos internos e externos, respectivamente:
{
b) Sabe-se que a soma dos ângulos externos de qualquer polígono é igual a 360º.
c) O polígono que possui 8 lados é o octógono.
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d) Calculando o número de diagonais, temos:
= 20 diagonais
__________________________________________________________________________________
Áreas e Perímetros de Polígonos Regulares
É importante, inicialmente, definirmos esses termos usados na geometria.
1. Perímetro: é uma medida linear, sendo definida como a soma de todos os lados de um polígono.
2. Área: é a medida de superfície de todo o polígono.
Observação:
Tanto para o cálculo do perímetro quanto para o da área, deve-se tomar o cuidado de sempre
trabalhar na mesma unidade de medida, isto é, não misturar, por exemplo, medidas em metros com
medidas em centímetros.
Principais Polígonos Convexos
Retângulo
Possui dois pares de lados paralelos congruentes e de quatro ângulos retos.
Exemplo:
A área de um retângulo é 35 cm². As medidas dos lados desse retângulo são expressas por x e x-2.
Qual é o perímetro desse retângulo ?
a)Se os lados do retângulo são x e x-2 e a área é 35 cm², tem-se: .
b)Temos uma equação de 2 grau que, resolvida por soma (S) e produto (P) das raízes, resulta em:
Devemos determinar dois números que, somados resultam em 2 e, multiplicados, resultam em -35: os
números são -5 e 7.
c) Como em medidas geométricas não existe valor negativo, descartamos o valor -5, resultando x=7.
d) Os lados do retângulo ficam: x e x-2 7 e 7-2, ou seja, 7 cm e 5 cm.
Perímetro Àrea
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e) O perímetro do retângulo é:
__________________________________________________________________________________
Quadrado
Possui quatro lados com a mesma medida e quatro ângulos retos.
Exemplo:
Uma parede foi revestida com azulejos quadrados de 15 cm de lado. Sabendo que foram colocadas 20 fileiras de azulejos e que em cada fileira há 40 azulejos, quantos metros tem a área revestida ? a) Em primeiro lugar, faz-se necessário calcular a área de cada azulejo:
Área=lado²=15²=225 cm²
b) Em cada fileira, existem 40 azulejos em cada fileira.
c) Como são 20 fileiras, temos: d) Transformando esses 180.000 cm² para m², obtém-se: 180.000 10.000 (lembrando que em medidas de superfície trabalha-se de duas em duas casas decimais e que de metro para centímetro existem duas transformações) = 18 m². __________________________________________________________________________________
Paralelogramo
É um quadrilátero semelhante ao retângulo, dado que o retângulo é um tipo especial de
paralelogramo. As expressões para cálculo do perímetro e da área são semelhantes às usadas
para o retângulo.
Perímetro Àrea
Perímetro Área
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Pode-se mostrar que num paralelogramo:
1. Os lados opostos são congruentes e paralelos;
2. Os ângulos opostos são congruentes;
3. A soma de dois ângulos consecutivos vale 180º
4. As diagonais cortam-se no meio.
Exemplo: Uma folha de papelão tem a forma de um paralelogramo e possui 50 cm de altura e 64 cm de comprimento. Determine o valor da área dessa folha de papelão e metros quadrados. a) A área de um paralelogramo é dada por: produto da base pela respectiva altura:
b) Transformando esse valor para dm², temos: 32 dm². c) E, finalmente, 32 dm² resultam em 0,32 m². __________________________________________________________________________________
Trapézio
É um paralelogramo com um par de lados paralelos.
Exemplo:
Um terreno tem forma de trapézio de bases 22,5 m e 16 m, com altura igual a 10m. Nesse terreno, foi
construída uma piscina retangular de 9 m de comprimento e 4 m de largura. No restante do terreno
foram colocadas pedras. Quantos m² do terreno foram cobertos por pedras?
a) A área do terreno é:
Portanto, 192,5 m² é a área do terreno original.
b) A área da piscina é:
Perímetro Àrea
B
b
M
Q
N
P
h
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c) O restante do terreno, que será revestido de pedras, é:
__________________________________________________________________________________
Losango
Quadrilátero com os quatro lados congruentes e com diagonais formando um ângulo de 90º.
Exemplo:
Se as diagonais de um losango medem 28 cm e 22 cm, determine o valor do perímetro desse losango.
1. Para determinar as diagonais, deve ser considerado um triângulo retângulo formado com catetos
iguais à metade das diagonais:
a) metade do cateto menor: 11 cm.
b) metade do cateto maior: 14 cm.
2. Aplicando o Teorema de Pitágoras para esse triângulo, obteremos a hipotenusa que corresponde
ao lado externo do losango:
√
3. Com isso, o perímetro do losango é:
__________________________________________________________________________________
CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA
Perímetro Àrea
A
B
C
D
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Circunferência:
È o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r
de um ponto fixo, denominado o centro da circunferência. Essa talvez seja a curva mais importante no
contexto das aplicações.
A circunferência possui características não comumente encontradas em
outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode
ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É
também a única figura simétrica em relação a um numero infinito de eixos
de simetria.
Círculo (ou disco):
É o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo
(centro) é menor ou igual a uma distância r (raio) dada. Quando a
distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da
circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro dela. No
desenho acima, a circunferência é o contorno que envolve a região cinza,
enquanto o círculo é toda a região cinza reunida com o contorno.
Exemplos:
1. Um quadrado tem 12,56 cm de lado e seu perímetro é igual ao comprimento de uma circunferência
cujo raio mede r. Determine o comprimento r do raio da circunferência.
a) O perímetro do quadrado é
b) Como o comprimento da circunferência é igual ao perímetro do quadrado, temos:
2. Um disco de cobre tem 70 cm de diâmetro. Qual é a área desse círculo ?
a) Se o diâmetro do círculo é 70 cm, temos que o raio é igual à metade do diâmetro: .
b) O valor da área do círculo é:
Observação:
Apesar de não ser classificado como um polígono, alguns matemáticos definem o círculo como um
polígono com o número de lados tendendo ao infinito. Tal definição faz sentido, pois, assim como nos
polígonos, calculando-se a área do círculo e seu perímetro, que é conhecido como o comprimento da
circunferência.
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TRIÂNGULO É um polígono convexo formado pela união de três segmentos não colineares.
Um triângulo é composto por:
1. Vértices: extremidades do triângulo;
2. Lados: segmentos de reta formados com extremidades nos vértices;
3. Ângulos internos: ângulos formados internamente aos triângulos com vértices coincidentes aos
vértices do triângulo. A soma dos ângulos internos é igual a 180º .
4. Ângulos externos. A soma dos ângulos externos é igual a 360º.
Observações:
1. Em qualquer triângulo, a medida de um lado deve sempre ser menor que a soma das medidas dos
outros dois lados (condição de existência de um triângulo).
2. Num triângulo qualquer, um ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não-adjacentes.
3. Base média: é o segmento interno a um triângulo que é paralelo à base principal do triângulo e divide
os outros dois lados em dois segmentos congruentes.
4. O triângulo tem uma estrutura rígida, ou seja, é uma figura não-deformável. Definindo os seus lados,
não é possível alterar seus ângulos. Por esse motivo, o triângulo é um elemento importante na técnica
de construções que necessitam de estabilidade, como estruturas de pontes.
Classificações
1- Quanto aos lados:
a)Escaleno: possui três lados diferentes.
b) Isósceles: possui 2 lados iguais e um lado diferente.
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c) Equilátero: possui três lados iguais.
2- Quanto aos ângulos
a)Acutângulo: possui os três ângulos internos agudos, ou seja, menores que 90º.
b) Retângulo: é o triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um ângulo igual a 90º. Os menores lados
são conhecidos como catetos e o maior lado é conhecido como hipotenusa.
c) Obtusângulo: é o triângulo que possui um ângulo obtuso, ou seja, um ângulo maior que 90º.
Perímetro e Área
Perímetro Àrea
.
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Observações:
Existem casos particulares, em que são usadas fórmulas específicas:
1.Triângulo equilátero: √
em que l é a medida do lado do triângulo equilátero.
2. Triângulo retângulo:
em que b e c são os catetos do triângulo retângulo.
3. Triângulo em que se conhecem as medidas de dois lados e a medida do ângulo formado por esses
lados:
em que é o ângulo formado pelos lados b e c.
4. Fórmula de Heron: √ , em que a, b e c são lados do triângulo e p
corresponde ao semiperímetro do triângulo, isto é:
.
Exemplos:
1.Qual é a área de um triângulo cujos lados medem 17 cm, 15 cm e 8 cm ?
Utilizando a Fórmula de Heron, temos:
a) O semiperímetro do triângulo é:
b) √ √ √ √
2. Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triângulo equilátero
de lado igual a 20 cm. Quantos m² de papel foram necessários para obter essas bandeirinhas?
a) A área da bandeirinha é: √
√
√
√
b) Como foram usadas 100 bandeirinhas, temos: √ √
c) Transformando esse valor para m², obtemos: √ , ou aproximadamente, 1,73 metros quadrados
usados para fazer as 100 bandeirinhas.
Segmentos notáveis de triângulos
1.Incentro: é o ponto de encontro das bissetrizes. É o centro do círculo inscrito no triângulo.
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(Bissetriz: é o segmento interno a um triângulo que divide os ângulos internos em dois ângulos congruentes). 2. Circuncentro: é o ponto de encontro das mediatrizes. É o centro do círculo circunscrito no triângulo. (Mediatriz: é o segmento que divide os lados de um triângulo em dois segmentos perpendiculares). 3. Baricentro: é o ponto de encontro das medianas. É o centro de gravidade do triângulo. (Mediana: é o segmento que divide os lados de um triângulo em dois segmentos congruentes). 4. Ortocentro: É o ponto de encontro das alturas. (Altura: é o segmento perpendicular a um lado de um triângulo que passa pelo ângulo interno, oposto a este lado em questão).
Testes de Vestibular 1. O desenho ao lado foi feito numa
malha formada por quadrados idênticos, e a árvore menor foi obtida a partir de uma redução da árvore maior em que foram mantidas as proporções originais. Se a altura da árvore maior é igual a 60, então a altura da árvore menor vale:
A) 30. B) 20. C) 15. D) 12 E)1/3
2. Observe a figura.
O homem tem 1,80m de altura e sua sombra mede 2m. Se a sombra da árvore mede 5m, a altura da árvore, em metros, é: A)6,3 B)5,7 C)4,5 D)3,6 E)5,5
3. (UFRGS) Nos triângulos da figura, os lados de comprimento x e 10 são paralelos. O valor de x é
(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. (E) 6
4. (ENEM 2009) A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de 1:150.
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter? A) 2,9 cm × 3,4 cm.
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B) 3,9 cm × 4,4 cm. C) 20 cm × 25 cm. D) 21 cm × 26 cm. E) 192 cm × 242 cm. 5. (ENEM 2008) Fractal (do latim
fractus, fração, quebrado) — objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais — objetos geométricos formados por repetições de padrões similares.
O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos: 1. comece com um triângulo equilátero (figura 1); 2. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias; 3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2; 4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).
De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da sequência apresentada acima é:
6. (Fuvest) Na figura, o triângulo ABC
e retângulo em A, ADEF é um
quadrado, AB = 1 e AC = 3.
Quanto mede o lado do quadrado
A) 0,70
B) 0,75
C) 0,80
D) 0,85
E) 0,90
7. (UFRGS) Para estimar a
profundidade de um poço com 1,10
m de largura, uma pessoa cujos
olhos estão a 1,60 m do chão
posiciona-se a 0,50 m de sua
borda, desta forma, a borda do
poço esconde exatamente seu
fundo como mostra a figura
Com os dados acima, a pessoa conclui que
a profundidade do poço é
A) 2,82 m
B) 3,00 m
C) 3,30 m
D) 3,52 m
E) 3,85 m
8. (PUC-Camp) Um retângulo cuja
base é o dobro da altura, está
inscrito em um triângulo de base 12
e altura 9.
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O perímetro desse retângulo vale
A) 21,4
B) 22,5
C) 21,6
D) 22,7
E) 21,8
9. (Mackenzie) A área do quadrado
assinalado na figura é
A) 20
B) 18
C) 25
D) 12
E) 16
10. (MACK) A altura do trapézio é 4,
então a diferença entre as áreas do
triângulos assinalados é
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
11. (UFRGS) Um retângulo cujo lado
maior é igual a 1 e cujo lado menor
é igual a x, é cortado por uma,
como na figura, formando um
quadrado de lado x e um retângulo
semelhante ao anterior.
O valor de x é
A) 1 – x.
B) 1 – √
C) √ – 1.
D) √
-1.
E) √ - 1.
12. (UFRGS) Na figura, ABC é um
triângulo retângulo AP BC, CP
mede 1,8 e PB mede 3,2.
O perímetro de ABC é
A) 6
B) 7
C) 8
D) 10
E) 12
13. (UFRGS) A lâmpada representa na
figura está suspensa por duas
cordas perpendiculares presas ao
teto.
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Sabendo-se que essas cordas medem 1/2
e 6/5, a distância da lâmpada do teto é:
A) 1,69
B) 1,3
C) 0,6
D) 1/2
E) 6/13
14. (Fatec-SP) Na figura abaixo, ABCD
é um retângulo.
A medida do segmento EF é
A) 0,8.
B) 1,4.
C) 2,6.
D) 3,2.
E) 3,8.
15. (UFRGS) Na figura abaixo AC = 5,
BC = 6 e DE = 3.
A área do triângulo ADE é
A) 15/8.
B) 15/4.
C) 15/2.
D) 10.
E) 15.
16. (UFRGS) Considere a figura
abaixo.
Se os retângulos ABCD e BCEF são
semelhantes, e AD = 1, AF = 2 e FB = x,
então x vale
A) -1 + √
B) 1.
C) √
D) √
E)
17. (CESGRANRIO) A área da sala
representada na figura é
a) 15m2
b) 17m2
c) 19m2
d) 20m2
e) 21m2
18. Um retângulo tem 20 cm de perímetro e 24 cm
2 de área. Suas
dimensões são:
a) 4 cm e 12 cm
b) 8 cm e 12 cm
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c) 8 cm e 6 cm
d) 4 cm e 6 cm
e) n.d.a.
19. (PUCRJ 2007) Num retângulo de perímetro 60, a base é duas vezes a altura. Então a área é:
a) 200.
b) 300.
c) 100.
d) 50.
e) 30.
20. Dois lados de um triângulo isósceles medem, respectivamente, 5 cm e 2 cm. Qual o seu perímetro?
a) 14 cm b) 12 cm c) 9 cm d) 7 cm e)8 cm
21. (UFRGS – 2012) Assinale a alternativa que apresenta corretamente os valores, na mesma unidade de medida, que podem representar as medidas dos lados de um triângulo.
a) 1 – 2 – 4. b) 3 – 2 – 6. c) 8 – 4 – 3. d) 3 – 9 – 4. e) 6 – 4 – 5.
22. (UFRGS) Um raio de luz é refletido por três espelhos planos, dois dos quais são paralelos, como mostra a figura. Lembrando que o raio de luz é refletido por um espelho segundo seu ângulo de incidência, ou seja, o ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência, o valo
de é, em graus
(A) 90
(B) 85
(C) 80
(D) 75
(E) 65
23. (SBM) Dezoito quadrados iguais são construídos e sombreados como mostra a figura. Qual fração da área total é sombreada?
a) b) c) d) e)
24. (UFPE) Na figura a seguir, o quadrado maior foi dividido em dois quadrados e dois retângulos. Se os perímetros dos dois quadrados menores são 20 e 80, qual a área do retângulo sombreado?
a) 80 b) 90 c) 100
7
18
4
9
1
3
5
9
1
2
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d) 120 e) 140
25. (VUNESP) Considere as seguintes proposições:
- todo quadrado é um losango; - todo quadrado é um retângulo; - todo retângulo é um paralelogramo; - todo triângulo equilátero é isósceles. Pode-se afirmar que: A) só uma é verdadeira B) todas são verdadeiras C) só uma é falsa D) duas são verdadeiras e duas são falsas E) todas são falsas
26. Com três segmentos de comprimentos iguais a 10 cm, 12 cm e 23 cm:
a) é possível formar apenas um triângulo retângulo. b) é possível formar apenas um triângulo obtusângulo. c) é possível formar apenas um triângulo acutângulo. d) não é possível formar um triângulo. e) é possível formar qualquer um dos triângulos: retângulo, acutângulo e obtusângulo.
27. (UFRGS) Dois lados opostos de um quadrado têm um aumento de 40% e os outros dois lados têm um decréscimo de 40%. A área deste quadrado:
a) aumenta 20% b) aumenta 16% c) permanece inalterada d) diminui 16% e) diminui 20%
28. A área destacada que necessariamente, representa metade do retângulo PQRS é:
29. (UFRGS 2008). Na figura abaixo, a malha quadriculada é formada por quadrados de área 1. Os vértices do polígono sombreado coincidem com os vértices de quadrados dessa malha.
A área do polígono sombreado é: (A) 10 (B) 12 (C) 13 (D) 15 (E) 16.
30. (CESCEM) Na figura, ABCD é retângulo. A razão entre as áreas do triângulo CEF e do retângulo é:
a) 1/6 b) 1/7 c) 1/8
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d) 1/9 e) 1/10
31. O triangulo ABC está inscrito numa
circunferência de raio 5 cm. Sabe-se que A e B são extremidades de um diâmetro e que a corda BC mede 6 cm. Então a área do triângulo ABC, em cm
2
a) 24 b) 12
c) 2
35
d) 26
e) 32
32. (MACK) A área da parte hachurada vale:
a) a2 (4 - )
b) a2 (2 - )
c) 2 a2
d) a2
e) não sei
33. (UFRGS) O ponto F está na diagonal AC do paralelogramo ABCD abaixo.
d
34. (UFRGS) Na figura, o perímetro do
quadrado é 16 e BC = 6.
A área do triângulo ABC é
A) 6
B) 12
C) 24
D) 36
E) 72
35. (ESPCEX) As bases de um
trapézio medem 20 cm e 30 cm e a
altura 12 cm. Calcular a área do
triângulo formado pela base menor
e o prolongamento dos lados
oblíquos
A) 240 cm²
B) 540 cm²
C) 48 cm²
D) 1080 cm²
E) 200 cm²
36. (ENEM 2009-CANCELADO) Um
decorador utilizou um único tipo de transformação geométrica para
Compor pares de cerâmicas em uma parede. Uma das composições está Representada pelas cerâmicas indicadas por I e II. Utilizando a mesma transformação, qual é a figura que compõe par com a cerâmica indicada por III?
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37. (UFRGS-02) O retângulo ABCD do desenho abaixo tem área de 28 cm
2. P é o ponto médio do lado AD
e Q é o ponto médio do segmento AP.
A área do triângulo QCP é de
(A) 3,25 cm2.
(B) 3,5 cm2
(C) 3,75 cm2.
(D) 4cm2.
(E) 4,25 cm2.
38. (UFRGS 09) No retângulo ABCD
da figura abaixo, E é o ponto médio de AD, e a medida de FB é igual a um terço da medida de AB.
Sabendo-se que a área do quadrilátero AFCE é 7, então a área do retângulo ABCD é (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 (E) 12
39. (UFRGS) No retângulo ABCD da figura, as dimensões são 12 cm e 18 cm; E é o ponto médio
de e F é o ponto médio
de ; o retângulo EBCF está dividido em doze partes iguais. A porção sombreada é
(A) 12% da área total (B) 18% da área total (C) 12 cm² (D) 18 cm² (E) 36 cm²
40. (UFRGS 10) O tangram é um jogo chinês formado por uma peça quadrada, uma peça em forma de paraleleogramo e cinco peças triangulares, todas obtidas a partir de um quadrado de lado l
Três peças do tangran possuem a mesma área. Essa área é
a) 16
2l b)
12
2l c)
8
2l
d) 6
2l e)
4
2l
41. (UFRGS) Um triângulo equilátero
está inscrito em um circulo, no qual está circunscrito outro triângulo equilátero. A razão das áreas do
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triângulo menor e do triângulo maior é
a)2
1
b) 4
1
c) 6
1
d) 8
1
e) 9
1
42. (UFRGS-06) Na figura abaixo, os segmentos de reta AD e BC são perpendiculares ao segmento AB
C D O A B Sabendo que a área do trapézio ABCD é igual ao dobro da área do triângulo OAD, temos que a razão OB/AO é igual a
(A) 2 (D) 13
(B) 3 (E) 23
(C) 12
43. (UFRGS 2009). Na figura abaixo, é
feito um corte vertical conforme indicado pela linha pontilhada, obtendo-se , assim, duas partes.
Justapondo-se as partes obtidas, é possível construir as figuras da opção :
44. (UFRGS 2008) Na figura abaixo, A, B e C são vértices de hexágonos regulares justapostos cada um com área 8.
Segue-se que a área do triângulo cujos vértices são os pontos A, B. e C é
a) 8.
b) 12.
c) 16.
d) 20.
e) 24.
45. (UFRGS-1999) No triângulo ABC
da figura, P, Q e R são os pontos médios dos lados. Se a área do triângulo
Página 22
hachurado mede 5, a área do triângulo ABC mede é:
a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40
46. (UFRGS) A área do quadrado ABCD é 1/3 da área do quadrado EBFG. Qual é a razão entre as medidas do lado do quadrado maior e do lado do quadrado menor?
a) 9 b) 3 c) 1 d) √ e)√
47. (UFRGS) A razão entre os lados de dois triângulos equiláteros é 2. A razão entre suas áreas é:
a) 2 b) √ c) 4 d) 6 e) 8
48. (UFRGS 07) Um triângulo equilátero foi inscrito em um hexágono regular, como representado na figura abaixo:
Se a área do triângulo equilátero é 2, então a área do hexágono é: a) 2√2 b) 3 c) 2√3 d) 2+√3 e) 4
49. (UFRGS-2011) As figuras abaixo apresentam uma decomposição de um triângulo equilátero em peças que, convenientemente justapostas, forma um quadrado.
O lado do triângulo mede 2 cm, então, o lado do quadrado mede, em centímetros,
a) 3
3
b) 2
3
c) 4 3
d) 3 3
e) 3
50. (UFRGS 07) Seis octógonos
regulares de lado 2 são justapostos em um retângulo, como representado na figura abaixo:
A soma das áreas das regiões sombreadas na figura é: a) 16 b) 16√2 c) 20 d) 20√2 e) 24
51. (PUC-SP) A figura mostra um
hexágono regular de lado a.
A diagonal AB mede
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A) 2a
B) a√
C) √
D) a√
E) √
52. (ENEM 2004) Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas.
As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluir que: (A) a entidade I recebe mais material do que a entidade II. (B) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III. (C) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III. (D) as entidades I e II recebem juntas, menos material do que a entidade III. (E) as três entidades recebem iguais quantidades de material.
53. (UFRGS 2004) Na figura abaixo, o vértice A do retângulo OABC está a 6 cm do vértice C.
O raio do círculo mede:
a) 5 b) 6 c) 8 d) 9
e) 10
54. (UFRGS-03) Na figura abaixo, as
semirretas AB e AC tangenciam o
círculo de centro D nos pontos B e C.
Se o ângulo BAC mede 70º, o ângulo BDC mede (A) 110º. (B) 115º. (C) 125º. (D) 135º. (E) 140º.
55. (UFRGS) Na figura abaixo, o vértice A do retângulo OABC está a 6 cm do vértice C.
O raio do círculo mede
a) 5 cm.
b) 6 cm.
c) 8 cm.
d) 9 cm.
e) 10 cm.
56. (UFRGS) Se o raio de um circulo cresce 20%, sua área cresce:
a) 14%
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b) 14,4%
c) 40% d) 44%
e) 144%
57. (UFRGS) O círculo da figura tem raio 6, e mede 100
o . A área do
setor hachurado é
a) 6
b) 10
c) 10
d) 6
e) 60
58. (PUC-2003/2) A figura a seguir mostra uma janela em que a parte superior é formada por um semicírculo, e a parte inferior, por um retângulo cuja altura h possui o dobro da medida da base b. A medida da altura total da janela é:
a) 3b/2
b) 5b/2
c) b/2
d) 2b
e) b
59. (PUC-SP) Os diâmetros das pizzas
grandes e médias são 40 e 36 cm,
respectivamente. Qual deve ser o
preço da média se a grande custa
R$ 200,00 e os preços são
proporcionais às áreas das pizzas?
A) R$ 155,00
B) R$ 162,00
C) R$ 174,00
D) R$ 185,00
E) R$ 190,00
60. (FER) Numa circunferência de raio
13 cm duas cordas distam 5 cm,
sendo uma delas corda máxima, o
valor da corda menor é, em cm,
igual a
A) 16.
B) 18.
C) 20.
D) 22.
E) 24.
61. (MACK) Quatro círculos de raio unitário, cujos centros são vértices de um quadrado, são tangentes exteriormente dois a dois. A área da parte hachurada é:
a) (4 - ) b) 4
c) (2 - )
d) e) 1
62. (UFRGS) O disco da figura tem raio 6 e a distância de seu centro ao ponto P é 10. As retas PA e PB são tangentes ao disco. A área da região sombreada vale
Página 25
(A) 24
(B) 48
(C) 96
(D) 100
(E) 200
63. (UFAL) Na figura abaixo se têm 4 semicírculos, dois a dois tangentes entre si e inscritos em um retângulo.
Se o
raio de cada semicírculo é 4 cm, a área da
região sombreada, em centímetros
quadrados, é
(Use: =3,1)
a) 24,8
b) 25,4
c) 26,2
d) 28,8
e) 32,4
64. (UFRGS) A área de um setor circular de 210º e raio 3 cm é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
65. (UFSC) A área da figura sombreada é:
a) 4 -
b) 4 (1 - )
c) 2 (2 - ) d) 4
e)
66. (UFRGS-05) Na figura abaixo, C é o centro do círculo, A é um ponto do círculo e ABCD é um retângulo com lados medindo 3 e 4.
Entre as alternativas, a que apresenta a melhor aproximação para a área da região sombreada é (A) 7,5 (D) 7,8 (B) 7,6 (E) 7,9 (C) 7,7
67. (UFRGS – 2012) Um disco de raio 1 gira ao longo de uma reta coordenada na direção positiva, como representado na figura abaixo
Considerando-se que o ponto P está inicialmente na origem, à coordenada de P, após 10 voltas completas, estará entre:
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a) 60 e 62. b) 62 e 64. c) 64 e 66. d) 66 e 68. e) 68 e 70.
68. (UFRGS) Na figura abaixo, o valor
numérico do diâmetro AB é 5, e C
é um ponto do círculo
Uma solução possível para os valores
numéricos de AC e BC é
A) 1 e 2√
B) 2 e 3
C) 1 e 4
D) 1,5 e 3,5
E) √ e 2
69. (UFRGS – 2012) Os círculos desenhados na figura abaixo são tangentes dois a dois.
A razão entre a área de um círculo e a área da região sombreada é
a) 1.
b) 2.
c)
.
d)
.
e)
.
70. (UFRGS – 2012) Observe os discos de raios 2 e 4, tangentes
entre si e às semirretas s e t, representados na figura abaixo.
A distância entre os pontos P e Q é
a) 9. b) 10. c) 11. d) 12. e) 13.
71. (UFRGS) O disco da figura tem
raio 6 e a distância de seu centro
ao ponto P é 10. As retas PA e PB
são tangentes ao disco.
A área tracejada vale
A) 24
B) 48
C) 96
D) 100
E) 200
72. (UFRGS) Na borda de uma praça
circular foram plantadas 47
roseiras, espaçadas 2 m, entre si.
O valor que mais se aproxima do
diâmetro desta praça é
A) 15
B) 18
C) 24
Página 27
D) 30
E) 50
73. (PUC) O ponteiro dos minutos de
um relógio mede 12 cm. Em 20
minutos, considerando π = 3,14
sua extremidade percorre em cm.
A) 2,4
B) 12,2
C) 20,12
D) 25,12
E) 21,12
74. (UFRGS) A região da figura é
limitada por uma
semicircunferência de raio 3 e por
dois segmentos medindo 5 cada
um.
O valor da área da região é
A) 9 + 6
B) 9 + 12
C)
D)
E)
75. (PUCRS) Na figura abaixo tem-se
um quadrado inscrito numa
circunferência cujo comprimento do
raio é r.
A área da região sombreada é expressa
por
A) 3/4 r²( - 2)
B) 1/3 r² ( - 2)
C) 3r² ( - 2)
D) 3/4 r² ( - 1)
E) 3r² ( - 1)
76. (UFRGS) Três arcos de círculo são
construídos de maneira que seus
centros estão nos vértices de um
triângulo equilátero de lado 10 cm
e interseccionam o triângulo nos
pontos médios dos lados, como
indicado na figura abaixo.
A soma das medidas dos comprimentos
dos arcos é
A) cm.
B) 5 cm.
C) 10/3 cm.
D) 5 cm.
E) 10 cm.
77. (UFRGS) Na figura abaixo, OP= 2,
AB= 8, O é o centro dos círculos e
AB é tangente em P ao círculo
menor.
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A área do disco maior é
A) 220
B) 10
C) 20
D) 64
E) 68
: Gabarito GEOMETRIA PLANA:
1B 2C 3C 4D 5C 6B 7D
8C 9E 10D 11C 12E 13E
14B 15B 16 A 17C 18D 19ª
20B 21E 22B 23B 24C 25B
26D 27D 28D 29B 30C 31B
32ª 33D 34D 35ª 36B 37B
38E 39E 40C 41B 42B 43B
44B 45E 46D 47C 48E 49C
50E 51D 52E 53B 54ª 55B
56D 57C 58B 59B 60ª 61ª
62B 63C 64D 65ª 66ª 67B
68ª 69D 70D 71B 72D 73C
74E 75ª 76D 77C
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Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço tridimensional (as 3 dimensões são: largura,
comprimento e profundidade). Essas figuras recebem o nome de sólidos geométricos ou figuras geométricas
espaciais e são conhecidas como: prisma (cubo, paralelepípedo), pirâmides, cone, cilindro, esfera.
Se observarmos cada figura citada acima, iremos perceber que cada uma tem a sua forma representada em
algum objeto na nossa realidade, como:
Prisma: caixa de sapato, caixa de fósforos.
Cone: casquinha de sorvete.
Cilindro: cano PVC, canudo de refrigerante.
Esfera: bola de isopor, bola de futebol, globo espelhado.
Essas figuras ocupam um lugar no espaço, então a geometria espacial é responsável pelo cálculo do volume
(medida do espaço ocupado por um sólido) dessas figuras e o estudo das estruturas das figuras espaciais.
PRISMAS Prisma é um poliedro com duas bases paralelas formadas por polígonos iguais e faces laterais que são
paralelogramos.
Classificação
Um prisma pode ser:
reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;
oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. Veja:
prisma reto
prisma oblíquo
Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares:
Página 30
prisma regular triangular
prisma regular hexagonal
Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.
2ª Obs.: Num prisma, a reunião das faces laterais chama-se superfície lateral; a união desta com as duas bases é denominada superfície
total.
VOLUME DE PRISMAS O volume V de um prisma com área da base Ab e altura h é dado por:
ÁREAS
Em uma figura espacial, sua área total é composta pelas áreas de cada uma de suas faces.
. :
Paralelepípedo
Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:
a) paralelepípedo oblíquo b) paralelepípedo reto
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Se o paralelepípedo reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo.
CILINDRO
O cilindro é um corpo redondo com duas bases opostas e paralelas. Podem ser classificados, de acordo com
a inclinação da geratriz em relação aos planos das bases, em: cilindro circular oblíquo (a geratriz é oblíqua
às bases) e cilindro circular reto (a geratriz é perpendicular às bases).
A primeira figura acima é um cilindro oblíquo, já a segunda é um cilindro reto.
CÁLCULO DAS ÁREAS DE UM CILINDRO.
Num cilindro, temos as áreas das bases, a área lateral e a área total. Vejamos como calcular cada uma
delas.
A base do cilindro é um círculo de raio r. Dessa forma, a área da base é dada por:
Sb = πr2
Para melhor compreender o cálculo da área lateral ou da superfície lateral, vamos realizar a planificação do
Página 32
cilindro. Observe a figura:
Dessa forma, podemos verificar que a superfície lateral é um retângulo de base 2πr e altura h. Assim, a área
da superfície lateral será dada por:
Sl = 2πrh
Onde,
h → é a altura do cilindro
r → é o raio da base
Sl → é a área lateral
A área total do cilindro é obtida somando a área das duas bases com a área lateral. Dessa forma, teremos:
St = Sl + 2Sb
Como
Sl = 2πrh
Sb = πr2
Segue que:
St = 2πrh + 2πr2
Ou
St = 2πr(h+r)
Cálculo do volume do cilindro.
O volume do cilindro, de acordo com o princípio de Cavalieri, é obtido da mesma forma que o volume de um
prisma. Assim, podemos afirmar que o volume do cilindro é igual ao produto da área da base pela altura, ou:
V = Sb∙h = πr2h
VOLUME E UNIDADES DE MEDIDA
O volume de um corpo é a quantidade de espaço que ele ocupa. Quanto maior o espaço ocupado, maior seu
volume, e vice-versa.
Unidades de medida de volume
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Para saber se um corpo tem mais ou menos volume do que o outro, devemos saber qual deles tem mais unidades de volume, que tomaremos como unidade-padrão para comparar.
Se o lado de um dos quadrados que formam as faces do cubo medisse 1 cm, teríamos construído um centímetro cúbico (cm3).
O número de centímetros cúbicos que ocupam o mesmo espaço físico que um determinado corpo
recebe o nome de volume deste corpo e é expresso em cm3.
A unidade fundamental de volume é o metro cúbico, que é o volume de um cubo com 1 m de aresta. O
metro cúbico é simbolizado por m3.
Embora a unidade fundamental de volume seja o m3, pode acontecer de usarmos uma unidade, ou muito maior ou muito menor, em função do corpo cujo volume deseja-se calcular. Por isso, para cada múltiplo ou submúltiplo do metro devemos definir também um múltiplo ou submúltiplo do metro cúbico.
Quantos cubinhos têm nesse cubo?
As unidades de volume aumentam ou diminuem de 1000 em 1000, isto é, cada unidade de volume é 1000 vezes maior do que a unidade imediatamente inferior e 1000 vezes menor do que a imediatamente superior.
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Se tomarmos um cubo que tenha de aresta qualquer múltiplo do metro, teremos os múltiplos do metro cúbico.
Observe que essas unidades são muito grandes e seu uso é, em geral, limitado. Assim:
• 1 km3 é o volume de um cubo de 1 km de lado.
• 1 hm3 é o volume de um cubo de 1 hm de lado.
• 1 dam3 é o volume de um cubo de 1 dam de lado.
Se tomarmos um cubo que tenha de aresta qualquer submúltiplo do metro, obteremos os submúltiplos do metro cúbico. Assim:
• 1 dm3 é o volume de um cubo de 1 dm de lado.
• 1 cm3 é o volume de um cubo de 1 cm de lado.
• 1 mm3 é o volume de um cubo de 1 mm de lado. Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade
de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Observe a seguinte transformação:
transformar 2,45 m3 para dm
3.
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Para transformar m3 em dm
3 (uma posição à direita)
devemos multiplicar por 1.000. 2,45 x 1.000 = 2.450 dm
3
Exemplo:
Quantos centímetros cúbicos tem um decímetro cúbico?
Observe que para passar de dm3 para cm3 temos de deslocar uma unidade para a direita; portanto, multiplicaremos a quantidade dada por mil:
Página 35
1 dm3 = 1 X 1 000 = 1 000 cm3
Exemplo:
Quantos metros cúbicos têm 2 km3? Para passar de km3 para m3, temos de deslocar três unidades para a direita; portanto, multiplicaremos a quantidade por mil, vezes mil, vezes mil, isto é, por 1 000 000 000:
2 km3 = 2 X 1 000 000 000 = 2 000 000 000 m3
Exemplo:
Para expressar em m3 um volume de 14 hm3 169 dam3 74 dm3, faremos o seguinte:
14 hm3 = 14 X 1 000 000 = 14 000 000 m3
169 dam3 = 169 X 1 000 = 169 000 m3
74 dm3 = 74 ÷ 1 000 = 0,074 m3
14 hm3 169 dam3 74 dm3 = 14 169 000,074 m3
ESFERA Superfície esférica de centro O, é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual a R.
Esfera é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual ou menor que o raio R.
Área da superfície esférica e volume da esfera
A área da superfície esférica de raio R é dada por:
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O volume da esfera de raio R é dado por:
Secção de uma esfera
OO’ é a distância do plano α ao centro da esfera. Qualquer plano α que seciona uma esfera de raio R determina
como seção plana um círculo de raio R.
Sendo OO’ = d, temos:
Quando o plano que secciona a esfera contiver um diâmetro, teremos d = 0. Nesse caso, o círculo determinado
terá raio R e será denominado círculo máximo.
Testes de Vestibular
1. (UNITAU) Indique quantas faces possuem, respectivamente, nessa ordem, os sólidos numerados como I, II, III e IV a
seguir:
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a) 8, 6, 5, 6.
b) 8, 6, 6, 5.
c) 8, 5, 6, 6.
d) 5, 8, 6, 6.
e) 6, 18, 6, 5.
2. (UFRGS) Aumentando a aresta de um cubo em 20%, sua área total aumentará em:
a) 20%
b) 44%
c) 96%
d) 144%
e) 264%
3. Num armazém foram empilhadas algumas caixas
que formaram o monte mostrado na figura a
seguir.
Se cada caixa pesa 25 kg quanto pesa o monte com todas
as caixas?
A) 300 B) 325 kg C) 350 kg D) 375 kg E) 400 kg
4. (UFRGS) Uma barra de ferro de 60 cm de comprimento
tem todas as secções transversais iguais a um quadrado
com 4 cm de lado. No torno se faz a maior barra
cilíndrica circular reta possível. Qual é o volume mais
aproximado, em cm3, do material desperdiçado?
a) 200
b) 206
c) 250
d) 256
e) 270
5. (UFRGS) Num cilindro circular reto de volume 36 , a
altura mede 4. Então, o raio da base mede:
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)6 (E)9
6. (UFRGS) Deseja-se elevar em 20cm o nível de água da piscina de um clube. A piscina é retangular, com 20m de comprimento e 10m de largura. A quantidade de litros de água a ser acrescentada é
a) 4.000
b) 8.000
c) 20.000
d) 40.000
e) 80.000
7. (ENEM 2010) A siderúrgica "Metal Nobre" produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue
O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria
na medida da grandeza
a) massa.
b) volume.
c) superfície.
Página 38
d) capacidade.
e) comprimento.
8. (UNITAU) Se dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas das figuras a seguir, obteremos três modelos de figuras espaciais cujos nomes são:
a) tetraedro, octaedro e hexaedro.
b) paralelepípedo, tetraedro e octaedro.
c) octaedro, prisma e hexaedro.
d) pirâmide, tetraedro e hexaedro.
e) pirâmide pentagonal, prisma pentagonal e hexaedro.
9. (ENEM 2010) Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura.
Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das
figuras a seguir representa uma planificação para bebedouro 3?
10. (UFRGS 2010) Considere um cubo de aresta 10 e um
segmento que une o ponto P, centro de uma das faces
do cubo, ao ponto Q, vértice do cubo, como indicado na
figura abaixo. A medida do segmento PQ é:
a) 10. b) 5√6 c) 12. d) 6√5 e) 15.
11. (UFRGS-02) Na figura abaixo, p é o centro da face
superior de um cubo. A pirâmide de base hachurada tem
um de seus vértices
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em P.
Se o volume da pirâmide é 1, então o volume do cubo é
(A) 2.
(B) 3.
(C) 4.
(D) 6.
(E) 8.
12. (UFPE 2001) Na figura abaixo o cubo de aresta medindo
6 está dividido em pirâmides congruentes de bases
quadradas e com vértices no centro do cubo. Qual o
volume de cada pirâmide?
a) 36 b) 48 c) 54 d) 64 e) 72
13. (ENEM 2010) Uma empresa vende tanques de
combustíveis de formato cilíndrico, em três tamanhos,
com medidas indicadas nas figuras. O preço do tanque é
diretamente proporcional à medida da área da superfície
lateral do tanque. O dono de um posto de combustível
deseja encomendar um tanque com menor custo por
metro cúbico de capacidade de armazenamento.
Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do posto?
(Considere π ≈ 3)
a) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 1/3.
b) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 4/3.
c) II, pela relação área/capacidade de armazenamento de 3/4.
d) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 2/3.
e) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 7/12.
14. (UFRGS-03) Considere uma esfera inscrita num cubo.
Dentre as alternativas abaixo, a melhor aproximação para
a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo é
(A) 2/5
(B) 1/2
(C) 3/5
(D) 2/3
(E) 3/4
15. (UFRGS-04) No desenho abaixo, em cada um dos vértices
do cubo está centrada uma esfera cuja medida do
diâmetro é igual à medida da aresta do cubo.
A razão entre o volume da porção do cubo ocupado pelas esferas e
o volume do cubo é
(A) /6
(B) /5
(C) /4
(D) /3
(E) /2
16. (UFRGS-07) Considere as seguintes planificações:
Quais delas podem ser planificações do prisma?
a) Apenas I.
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b) Apenas II.
c) Apenas I e II.
d) Apenas II e III.
e) I, II e III.
17. (UFRGS-06) A figura abaixo, formada por trapézios
congruentes e triângulos equiláteros, representa a
planificação de um sólido.
Esse sólido é um
(A) tronco de pirâmide
(B) tronco de prisma
(C) poliedro regular
(D) prisma trapezoidal
(E) prisma triangular
18. (UFRGS) Uma ampulheta pode ser considerada como
formada por dois cones retos idênticos, unidos pelo
vértice, inscritos em um cilindro reto. A razão entre o
volume de um dos cones e o volume do cilindro é
a) 2
1
b) 3
1
c) 4
1
d) 6
1
e) 8
1
19. (UFRGS) A figura abaixo representa um cilindro circunscrito a uma esfera. Se V1 é o volume da esfera e
V2 é o volume do cilindro, então a razão
12
2
VV
V
é:
a) 1/3
b) 1/2 c) 1 d) 2 e) 3
20. (UFRGS) A área da base de um cone é 20. Para que o seu volume seja 40, sua altura deve ser
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
21. (UFRGS) O volume de um cubo em que uma face tem área de 12cm² é:
(A) 9cm³ (B) 12cm³ (C) 12 3 cm³ (D) 24cm³ (E) 24 3 cm³
22. (UFRGS) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro esta completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura, que é de 16 cm. O número de doces em formato de bolinhas de 2 cm de raio que se pode obter com toda essa massa é:
(A) 300 (B) 250 (C) 200 (D)150 (E)100
23. (PUC) Os catetos de um triângulo retângulo medem 3
cm e 5 cm. O volume, em 2cm , do sólido gerado
pela rotação do triângulo em torno do menor cateto é
a) 2
b)
3
3
c)
3
5
d)
3
35
e) 3
55
24. (PUC/2005-1) Um reservatório tem a forma de uma semi-esfera. A base, que está assentada no solo, possui área
interna de 36 2m . O volume de gás que comporta o
reservatório, em 3m , é de
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a) 288 π
b) 216 π
c) 144 π
d) 72 π
e) 36 π
25. (UFRGS) Se o volume de uma esfera é ,6
então seu
diâmetro é:
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)
6 (E) 6
26. (UFRGS) Uma esfera de volume 36 está inscrita em um cilindro de volume igual a:
(A) 9 (B) 18 (C) 24 (D)
54 (E) 60
27. (ENEM 99) Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno de um eixo. Girando-se as figuras abaixo em torno da haste indicada obtêm-se os sólidos de
revolução que estão na coluna da direita. Faça a correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos.
A correspondência correta entre as figuras planas e os
sólidos de revolução obtidos é:
(A) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E.
(B) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A.
(C) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C.
(D) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C.
(E) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A.
28. (UFPA) Num cone reto, a altura é 3m e o diâmetro
da base é 8m. Então, a área total (em m2) vale:
a) 52
b) 36
c) 20
d) 16
e) 12
29. (UFSM) Quantas garrafas de 300 ml de
refrigerantes são necessárioas para encher uma jarra, na forma de um prisma regular, cuja área de base é 100 cm³ e a altura de 21cm: (A) 2,1 (D) 7,0 (B) 3,0 (E)21,0 (C) 6,3
30. (ENEM 2010) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a
quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte
copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá
a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes
maior que o volume do copo.
b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes
maior que o volume do copo.
c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes
maior que o volume do copo.
d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes
maior que o volume do copo.
e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes
maior que o volume do copo.
31. (ENEM-2007) Representar objetos tridimensionais em uma folha de papel nem sempre é tarefa fácil. O artista holandês Escher (1898-1972) explorou essa
dificuldade criando várias figuras planas impossíveis de serem construídas como objetos tridimensional, a exemplo da litografia Belvedere, reproduzida ao lado.
Considere que um marceneiro tenha encontrado algumas figuras
supostamente desenhadas por Escher e deseje construir uma delas
com ripas rígidas de madeira que tenham o mesmo tamanho. Qual
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dos desenhos a seguir ele poderia reproduzir em um modelo
tridimensional real?
32. (UCEPEL-2012-VERÃO) Um poliedro convexo possui 9 faces, 5 quadrangulares e 4 triangulares. Então, o número de arestas e o de vértices desse poliedro, respectivamente, é
a) 16 e 9
b) 18 e 6
c) 12 e 10
d) 14 e 8
e) 10 e 6
33. (UEL 2001) Em qual das alternativas está a
planificação do cubo representado à esquerda?
34. (UFRGS 09) Observe o quadrado abaixo, cujas diagonais medem 2 dm. A rotação desse quadrado em torno de uma reta que contém uma de suas diagonais gera um
sólido.
A superfície desse sólido, em dm2, é de
(A) 2 (B) 22 (C) 32
(D) 23 (E) 33
35. (UFRGS) Um pedaço de cano de 30 cm de comprimento e 10cm de diâmetro interno, encontra-se na posição vertical e possui a base inferior vedada. Colocando-se 2 litros de água em seu interior, a água:
a) Ultrapassa o meio do cano
b) transborda
c) Não chega ao meio do cano
d) Enche o cano até a borda
e) Atinge exatamente o meio do cano
36. (UFRGS 08) A areia contida em um cone fechado, de
altura 18cm, ocupa
8
7 da capacidade do cone.
Voltando-se o vértice do cone para cima, conforme indica a figura, a altura do tronco de cone ocupado pela areia, em centímetros, é: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
37. (UFRGS)-O diâmetro da lua é aproximadamente ¼ do diâmetro da Terra. Aproximadamente quantas vezes a Terra é maior do que a lua em volume?
a) 4 b) 16 c) 64 d) 128 e) 256
38. (UFRGS)-O volume de uma esfera A é 1/8 do volume de uma esfera B. Se o raio da esfera B mede 10, então o raio da esfera A mede:
a) 5 b) 4 c) 2,5 d) 2 e) 1,25
39. (UFSM) Dobrando-se o raio de uma esfera, o seu
volume ficará. (A) multiplicado por 2 (D) inalterado (B) multiplicado por 4 (E) reduzido à metade (C) multiplicado por 8
40. (UFRGS-2011) O paralelepípedo reto A, com dimensões de 8,5 cm, 2,5 cm e 4 cm é a reprodução de 1:10 do paralelepípedo B. Então o volume do paralelepípedo B é, em cm³:
a) 85 b) 850 c) 8500 d) 85000 e) 850000
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41. (UFRGS 06) Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura 4r, raio da base r e espessura desprezível, como na
figura abaixo.
Nessas condições, a razão entre o volume do cilindro não
ocupado pelas esferas e o voluma das esferas é
a) 5
1 b)
4
1 c)
3
1
d)
2
1 e)
3
2
42. (UFRGS-2011) Observe o sólido s formado por 6 cubos e representado na figura abaixo:
Dentre as opções a seguir, o objeto que convenientemente composto com o sólido S, forma um paralelepípedo é:
43. (UFRGS 2011) A superfície total do tetraedro regular representado na figura abaixo é 9√3. Os vértices do quadrilátero PQRS são os pontos médios de arestas do tetraedro, como indica a figura.
O perímetro do quadrilátero é a) 4. b) 4√2. c) 6. d) 5√3. e) 6√3.
44. (UFRGS 2005) Na figura abaixo, os vértices do quadrilátero ABCD são pontos médios de quatro das seis arestas do tetraedro regular.
Se a aresta desse tetraedro mede 10, então a área do quadrilátero ABCD é
a) 25.
b) √ .
c) 75.
d) √ .
e) 100.
45. (UFRGS – 2012) Se duplicarmos a medida da
aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular e reduzirmos sua altura à metade, o volume desta pirâmide
a) Será reduzido à quarta parte. b) Será reduzido à metade. c) Permanecerá inalterado. d) Será duplicado. e) Aumentará quatro vezes.
46. (UFRGS 2007) A partir dos quatro vértices de um cubo de aresta 6, construído com madeira maciça, foram recortadas pirâmides triangulares congruentes, cada uma tendo três arestas de medida 3, conforme representado na figura 1, abaixo.
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O sólido obtido após a retirada das pirâmides está representado na figura 2, abaixo.
O volume do sólido obtido é (A) 198. (B) 204. (C) 208. (D) 212. (E) 216.
Gabarito:
1 A; 2 B; 3 E; 4 E; 5 E; 6 D; 7 B; 8 E; 9 E; 10 B; 11 D;12 A; 13 D; 14 B; 15 D; 16 D; 17 A; 18 D; 19 B;
20 E; 21 E; 22 D; 23 D; 24 A; 25 A; 26 D; 27 D; 28 B; 29 D; 30 1; 31 E; 32 A; 33 D; 34 B; 35 A; 36
C; 37 C; 38 A; 39 C; 40 D; 41 D; 42 ; 43 C; 44 A; 45 D; 46 A;
