MDULO II PARTE 8 Geometria Plana MATEMTICA 2011 1Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular SEMELHANA DE TRINGULOS: Doistringulossosemelhantesse,esomentese, possuemostrsngulosordenadamentecongruenteseos lados homlogos proporcionais. Doisladoshomlogos(homo=mesmo,logos= lugar) so tais que cada um deles est em umdos tringulos e ambos so opostos a ngulos congruentes. 1.1) Razo de Semelhana: Sendo k a razo entre os lados homlogos, kEFBCDFACDEAB= = = ,kchamadorazode semelhana dos tringulos. Exemplo1:SendodadoqueostringulosABCeABCso semelhantes, que os lados do segundo tmmedidas AB = 3 cm,AC = 7 cme BC = 5 cmeque a medida do lado AB do primeiro 6cm,vamos obter a razo desemelhana dos tringulos e os outros dois lados do primeiro tringulo. Ento:365 7= =y x=2Logo x = 14 cmey =10cm AC = 14 cm eBC = 10 cm OBS: Se dados dois tringulos temos k = 1, os tringulos so congruentes. 1.2) Teorema Fundamental da Semelhana : Seumaretaparalelaaumdosladosdeum tringuloeinterceptaosoutrosdoisempontosdistintos, entootringuloqueeladeterminasemelhanteao primeiro. Se DE // BCADE ABC Exemplo 2: Um tringulo ABC tem os lados AB = 12 cm,AC = 13 cmeBC = 15 cm. A reta DE paralela ao lado BC do tringulodeterminaumtringuloADE,emqueDE=5cm. Vamos calcular AD =xeAE =y 15513 12// = = y xABC ADE BC DE3134 = = y e xLogo:AD = 4cmeAE = 13 / 3 cm 1.3) Casos Especiais de Semelhana 1Caso)(AA)Doistringulossosemelhantesquando possurem dois ngulos em comum. Exemplo 3: Calcule x e y nos tringulos abaixo: A soma dos ngulos internos garante que A = D Logo: 2110583= = =yx x = 6ey = 4 2 Caso) (LpLpLp) Dois tringulos so semelhantes setodos os seus lados homlogos proporcionais. 3 Caso) (LpALp) Dois tringulos so semelhantes se dois lados deumdostringulossoproporcionaisaosseushomlogos dooutrotringuloeosnguloscompreendidosentreestes lados forem congruentes. DE A B C 12 13 15 5 y x A D BC E

MDULO II PARTE 8 Geometria Plana MATEMTICA 2011 2Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 1.4) Observao Importante: Se a razo de semelhana de dois tringulos k, ento: - a razo entre os lados homlogos k ; - a razo entre os permetros k ; - a razo entre as alturas k ; - a razo entre as medianas k ; ... -a razo entre dois segmentos lineareshomlogos k ; - a razo entre as reas k2. Se dois slidos so semelhantes e a razo de semelhana k, ento: - a razo entre as reas de faces homlogas k2. - a razo entre os volumes k3. Cubo ABCDEFGH (I)Cubo PQRSTUVX (II) Aresta = aAresta = k . a Permetro de ABCD = 2pI= 4aPermetro de PQRS= 2pII= 4ka 2pII = k . 2pI Diagonal = AGDiagonal = PV = k . AG REA DE ABCD = AFACE I = a2REA DE PQRS = k2 a2 AFACE II = k2 . AFACE I VOLUME I = VI = a3VOLUME II = VII = k3 a3 VII = k3 EXERCCIOS 01) Calcule x e y nos tringulos abaixo: a) b) c) 02)(Enem-98)Asombradeumapessoaquetem1,80mde alturamede60cm.Nomesmomomento,aseulado,a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, asombradopostediminuiu50cm,asombradapessoa passou a medir: (A) 30cm(B) 45cm(C) 50cm(D) 80cm (E) 90cm 03)(ENEM-09-provaanulada)Afotografiamostrauma turista aparentemente beijando a esfinge de Giz, no Egito. A figura a seguir mostra como, na verdade, foram posicionadas a cmera fotogrfica, a turista e a esfinge. Medindo-secomumarguadiretamentenafotografia, verifica-sequeamedidadoqueixoatoaltodacabeada turista igual a 2/3 da medida do queixo da esfinge at o alto da sua cabea. Considere que essas medidas na realidade soa representadas por d e d, respectivamente, que a distncia da

MDULO II PARTE 8 Geometria Plana MATEMTICA 2011 3Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular esfingelentedacmerafotogrfica,localizadanoplano horizontaldoqueixodaturistaedaesfinge,representada por b, e que a distncia da turista mesma lente, por a. A razo entre b e a ser dada por: (A)cdab = (B) cdab32= (C) cdab2 3= (D) cdab3 2= (E) cdab 2= 04) (UFFR-05) Observe a figura abaixo que demonstra um padro de harmonia, segundo os gregos. Hmuitotempoosgregosjconheciamonmerodeouro 1 52+ = queaproximadamente1,618.Talnmerofoi durantemuitotempopadrodeharmonia.Porexemplo, ao se tomar a medida de uma pessoa (altura) e dividi-la pela medidaquevaidalinhaumbilicalatocho,v-sequea razo a mesma que a da medida do queixo at a testa, em relao medida da linha dos olhos at o queixo, e igual ao nmerodeouro.ConsidereacantoraIveteSangalo, harmoniosa, segundo os padres gregos. Assumindo que a sua distncia da linha umbilical at o cho igual a 22( 5 1)25metros, determine a altura da mesma. 05)(UFRJ)AfiguraaseguirrepresentaumretnguloMNPQ, inscrito num tringulo ABC. O lado BC mede 12 cm e a altura relativa a esse lado mede 8 cm. Sejam x e z os comprimentos de MN e MQ, respectivamente. a) Exprima a altura z do retngulo em funo da base x. b)CalculeosvaloresdexezparaosquaisareaSdo retngulo a maior possvel. RELAES MTRICAS NO TRINGULO RETNGULO Observe que: = == == = = = n b h cbchnm c h bbcmhn m hhnmhbchnmhII I. .. ..2 = == = = = = n a caccnc b h aacbhokcnbhaccnbhIII I.. .2 = = = = = = m a babbmokabchokbmchabbmchIII II.2 h a c H B A C b nm a nm I c hh b CHH AA B c B A C b II III

MDULO II PARTE 8 Geometria Plana MATEMTICA 2011 4Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular Ou seja: Dado um tringulo retngulo de: Hipotenusa : a Catetos : bec Projees :men Altura:h Teremos: 1) h2 = m . n2) a . h = b . c 3) b2 = a . m4)c2 = a . n somando-se (3) com (4) teremos: ) (.) (..2 2 22 22 22 222Pitgoras de teorema c b ac b a ac b n m ac b an amn a cm a b+ = + = + = + + = + == Conseqncias Importantes: 1) Diagonal de um quadrado :2 l d =2) Altura de um tringulo eqiltero: 23 lh =Resumo:1) c . h = b . n2) b . h = c . m 3) b2 = a . m4)c2 = a . n 5) h2 = m . n6) a . h = b . c 7) a2 = b2 + c28) 1 / h2 = 1 / b2 + 1 / c2 Exerccios 06)(UFF1999)-Afiguraabaixorepresentaoquadrado MNPQ de lado = 4cm. SabendoqueosretngulosNXYZeJKLQsocongruentes,o valor da medida do segmento YK : (A) 2 3 cm (B) 2 3 cm (C) 2 2 cm(D) 2 cm (E) 2 2 cm 07)(Enem-2006)Nafiguraabaixo,querepresentaoprojeto deumaescadacom5degrausdemesmaaltura,o comprimento total do corrimo e igual a: (A) 1,8 m.(B) 1,9 m.(C) 2,0 m. (D) 2,1 m.(E) 2,2 m. 08) (UERJ-99-1 fase) Observe a figura: Depois de tirar as medidas de uma modelo, Jorge resolveu fazer uma brincadeira: 1) esticou uma linha, cujo comprimento metade da altura dela; 2) ligou B ao seu p no ponto C; 3) fez uma rotao de com centro B, obtendo o ponto D sobre; 4) fez uma rotao com centro C, determinando E sobre . Para surpresa da modelo, a altura do seu umbigo. Tomando como unidade de comprimento e considerando = 2,2 , a medida da altura do umbigo da modelo : (A) 1,3(B) 1,2(C) 1,1 (D) 1,0

MDULO II PARTE 8 Geometria Plana MATEMTICA 2011 5Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 30 AS V 09)(Uerj-2010-2fase)Observeafiguraabaixo,que representa um quadrado ABCD, de papel, no qual M e N so ospontosmdiosdedoisdeseuslados.Essequadradofoi dividido em quatro partes para formar um jogo. Ojogoconsisteemmontar,comtodasessaspartes,um retngulo cuja base seja maior que a altura. O retnguloPQRS,mostradoaseguir,resolveoproblema proposto no jogo. 10)(UFRJ-PE-99)Nafigura,otringuloAECequilteroe ABCD um quadrado de lado 2 cm. Calcule a distncia BE.11) (OBM-2004-1F) Dois espelhos formam um ngulo de 30o no ponto V. Um raio de luz, vindo de uma fonte S, emitido paralelamenteaumdosespelhoserefletidopelooutro espelhonopontoA,comomostraafigura.Depoisdeuma certa quantidade de reflexes, o raio retorna a S. Se AS e AV tm1metrodecomprimento,adistnciapercorridapelo raio de luz, em metros, (A) 2 (B)2 3 + (C) 1 2 3 + +(D) ( )2 1 3 + (E)5 312) (UFF- 2010- 1 fase) A palavra permetro vem da combinao de dois elementos gregos: o primeiro, per, significa em torno de, e o segundo, metron, significa medida. O permetro do trapzio cujos vrtices tm coordenadas (1, 0), (9, 0), (8, 5) e (1, 5) : 13) Uma folha quadrada de papel ABCD dobrada de modo que o vrtice C coincide com o ponto M mdio deAB. Se o lado de ABCD 1, o comprimento BP: (A) 0,300 (B) 0,325 (C) 0,375 (D) 0,450 (E) 0,500 14) (OBM-99-1F)Um quadrado ABCD possui lado 40cm. Uma circunferncia contm os vrtices A e B e tangente ao lado CD. O raio desta circunferncia : (A) 20cm(B) 22cm(C) 24cm (D) 25cm(E) 28cm 15) (Escola Naval - 1990) Os centros de dois crculos de raios 1e4distam13entresi.Osegmentodatangentecomum interna compreendido entre os pontos de tangncia mede: (A) 12(B) 11(C) 10 (D) 9(E) 8

MDULO II PARTE 8 Geometria Plana MATEMTICA 2011 6Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular CRCULO E CIRCUNFERNCIA Definio1: Dado um ponto O e uma distncia r. Chamamos decircunfernciaoconjuntodepontosPquetenham distncia r de O.

Definio2: Dado um ponto O e uma distncia r. Chamamos decrculooconjuntodepontosPquetenhamdistncia menor que r do ponto O. AB dimetroAO raio AC corda I) ngulos na Circunferncia : 1) ngulo Central: ngulocentralrelativoaumacircunfernciaque tem o vrtice no centro da circunferncia o ngulo que tem o vrtice no centro da circunferncia. = AB ac 2) ngulo Inscrito : nguloinscritorelativoaumacircunfernciaum nguloquetemovrticenacircunfernciaeosladosso secantes a ela. 2=ABai COMPRIMENTO DE UMA CIRCUNFERNCIA r CrCdC2214 , 3= = Comprimento do arco AB:

1803602 360 2 360 2 rABrABABrABr C= = = = Exerccios 16) (UERJ)O Cear atravessa a maior seca do sculo. H mais decincomeses.Fortalezavemsofrendoracionamentode guaeestavaameaadaporumcolapsonofornecimento, emsetembro.Paracombateresteproblema,oGovernodo Estado construiu a maior obra da histria do Cear: o CANAL DO TRABALHADOR, ligando o rio Jaguaribe ao Aude Pacajus. Com115quilmetrosdeextenso.Paraseterumaidiada dimensodestaobra,bastadizerqueela18quilmetros maior que o canal do Panam em extenso e que representa um grau da curvatura da Terra.(Revista VEJA, 22/09/93) Considere a Terra esfrica e o canal construdo como partedeumcrculomximo.Comessasinformaese usando o valor 3 para , o raio da Terra em Km, seria: (A) 20.700 (B) 13.800 (C) 10.350(D)6.900 (E)6.300 17) (UERJ-06-2ex) No esquema acima esto representadas as trajetrias de dois atletasque,partindodopontoX,passamsimultaneamente pelopontoAerumamparaopontoBporcaminhos diferentes,comvelocidadesiguaiseconstantes.Umdeles segueatrajetriadeumasemicircunfernciadecentroOe C A O*B * P O*r BAac BAai

MDULO II PARTE 8 Geometria Plana MATEMTICA 2011 7Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular raio2R.Ooutropercorreduassemicircunfernciascujos centros so P e Q. Considerando 2 =1,4,quandoumdosatletastiver percorrido 43doseutrajetodeAparaB,adistnciaentre eles ser igual a: (A) 0,4 R(B) 0,6 R(C) 0,8 R (D) 1,0 R 18)(UFF-07-1fase)NoJapo,numerososlugaresde peregrinaoxintostasebudistasabrigamtabuletas matemticasdeSangaku,ondeestoregistradosbelos problemas,quasesempregeomtricos,queeramoferecidos aosDeuses.Afiguraaseguir,queumavariantedeum exemplardeSangaku,compostaporcincocrculosquese tangenciam. Sabendo que seus dimetros satisfazem as relaes:, pode-se concluir que igual a: (A) 0,65(B) 0,6555...(C) 0,666... (D) 0,7(E) 0,7333... 19) (UFRJ-99-PE) Na figura a seguir, os crculos de centros O1 e O2 so tangentes em B e tm raios 1cm e 3cm. Determine o comprimento da curva ABC. 20)(UERJ-2003-1fase)-Josdesejaconstruir,comtijolos, ummurodejardimcomaformadeumaespiraldedois centros, como mostra a figura abaixo. Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1 metro um do outro. A espiral tem 4 meias-voltas e cada tijolo mede 30 cm de comprimento. Considerando=3,onmerodetijolosnecessriospara fazer a espiral : (A) 100 (B) 110(C) 120 (D) 130 21) (UFF-96)O quadriltero MNPQ est inscrito no crculo de centro O e raio 10,0 cm conforme a figura abaixo. Sabendo-sequeadiagonalMP passaporO,ovalorde MH, em cm, : (A) 4,0 (B) 4,5 (C) 4,8 (D)5,0(E)5,3 P

MDULO II PARTE 8 Geometria Plana MATEMTICA 2011 8Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular Polgonos Regulares Inscritos e Circunscritos Umpolgonoconvexoregularse,esomentese, tem todos os seus lados congruentes e todos os seus ngulos internos congruentes. Assim o nico tringulo regular o eqiltero. E o nicoquadriltero regular o quadrado. Todo polgono regular eqiltero e eqingulo . Todo polgono regular inscritvel em uma circunferncia. Todopolgonoregularcircunscritvelauma circunferncia. Todopolgonoregularquepossuinmeropardelados, possuidiagonaispassandopeloseucentro(asqueunem vrtices opostos). Todo polgono regular que possui nmero mpar de lados, no possui diagonais passando pelo seu centro. Centrodopolgonoregularocentrocomumdas circunferncias circunscrita e inscrita no polgono. ngulocntricoongulocentraldacircunfernciaque circunscreveestepolgono,formadopelosraiosqueunemo centro da circunferncia a vrtices consecutivos do polgono. nac 360= APTEMA o segmento com uma extremidade no centro e a outra no ponto mdio de um lado. M ponto mdio do lado AB OD e OE raios da circunferncia O centro da circunferncia e do hexgono regular OM Aptema ac ngulo cntrico ai ngulo interno do hexgono regular. Em funo do raio (R) da circunferncia circunscrita: PolgonosLadosAptema Tringulo Eqiltero 33R = l23Ra =Quadrado 24R = l224Ra =Hexgono Regular R =6l236Ra = Nomenclatura: R Raio do crculo circunscrito r Raio do crculo inscrito ln lado do polgono de n lados an aptema do polgono de n lados Relaes:R2 = (an)2 + 22 ||

\|nl 22)(UFF-97)-Arazoentreoladodoquadradoinscritoeo lado do quadrado circunscrito em uma circunferncia de raio R : (A) 13(B)12 (C)33(D)22 (E) 2 23)(UERJ-2010-2exqual)Umaembalagememformade prismaoctogonalregularcontmumapizzacircularque tangencia as faces do prisma. Desprezandoaespessuradapizzaedomaterialusadona embalagem,arazoentreamedidadoraiodapizzaea medida da aresta da base do prisma igual a: F C AB M O ac ai DE

MDULO II PARTE 8 Geometria Plana MATEMTICA 2011 9Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular REAS DE SUPERFCIES PLANAS : Retngulo: ab A = a.b Quadrado: xx A = x2 Paralelogramo: bh A = b.h Tringulo: bh A = b h .2 (eqiltero : 432l) Losango: d2d1 A = d d 1 22. Trapzio: bBh

A = ( ). b B h +2 Polgono Regular: A = p.a Circunferncia: r A = .r2 Setor Circular: em graus em radianos 2 3602 2rA ourAset set = = Segmento Circular: ( ) senrAA A Asegset seg = =22 em radianos

MDULO II PARTE 8 Geometria Plana MATEMTICA 2011 10Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular Coroa Circular ( )2 2r R Aco = Principais Frmulas sobre reas de tringulos Frmula de Heron : ) )( )( ( c p b p a p p A =p semipermetro Frmula do Seno: senbcA =2 Tringulo Circunscrito: A = p . r Tringulo Inscrito: Rc b aA4. .= Exerccios 24) (Unirio) Considere um tablado para a Escola de Teatro da UNIRIO com a forma trapezoidal abaixo Quantosmetrosquadradosdemadeiraseronecessrios para cobrir a rea delimitada por esse trapzio? (A) 75 m2 (B) 36 m2(C)96 m2(D) 48 m2(E) 60 m2 25) A figura 1. representa uma folha de cartolina, com a parte dafrentecinzaeadetrsbranca.Destacartolina,foram retirados atravs de cortes, dois tringulos retngulos (fig .2). Obtendoassimumtringuloeqiltero(fig.3).Apsisso foramdobradosparadentro,trstringuloseqilteros menores(com lado igual do lado do grande)(figuras4 e 5).Sabe-sequeareacinzadaltimafigurade 23 360 cm. Da podemos afirmar que o permetro da cartolina retangular da fig. 1 de: (A)( ) cm 3 2 48 +(B)cm 3 480 (C)( ) cm 3 1 24 +(D)( ) cm 3 2 24 +(E)cm 3 240 26)(UFRJ-2001-PNE)Ascincocircunfernciasdafiguraso tais que a interior tangencia as outras quatro e cada uma das exteriores tambm tangencia duas das demais exteriores. Sabendoqueascircunfernciasexteriorestmtodasraio1, calculeareadaregiosombreadasituadaentreascinco circunferncias.

MDULO II PARTE 8 Geometria Plana MATEMTICA 2011 11Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 3

4

3

2

2 2 222 2 )2 () 2() 3( )2(a a a a a 27)(UFRJ-96-PE)OhexgonoABCDEFconstrudodemodo que MNP seja um tringulo equiltero e AMPF, BCNM e DEPN sejam quadrados. A rea do hexgono ABCDEF igual a (3 + 3 ) cm2

Determineocomprimento,emcentmetros,doladodo tringulo MNP. 28)(UFRJ-2004-PE)Afiguraaseguirrepresentaaplantade um terreno plano, em forma de pentgono convexo, de lados 40m,50m,35m,45me40m.Emtodaavoltadeste terreno foi construda uma calada de 2m de largura (ou seja: adistnciadequalquerpontodabordadestacaladaao terreno exatamente 2m) Determine a rea total da calada. 29)(UERJ-2008-ESP)Umtabuleiroretangularcompregos dispostosemlinhasecolunasigualmenteespaadasfoi usado em uma aula sobre rea de polgonos. Afiguraabaixorepresentaotabuleirocomumelstico fixado em quatro pregos indicados pelos pontos A, B, C e D. Considereuaunidadedereaequivalenteaomenor quadradoquepodeserconstrudocomvrticesemquatro pregos do tabuleiro. Calcule,emu,areadoquadrilteroABCDformadopelo elstico. 30)(AMAM-05)Nafiguraabaixo,ABCDumquadradode lado a .Areahachurada,limitadaporquartosde circunfernciascentradasnosvrticesdoquadradoe passando pelo seu centro, : (A) (B) (C) (D) (E) 31) (UERJ-2007-ESP) Joo recorta um crculo de papel com 10 cmderaio.Emseguida,dobraesserecorteaomeiovrias vezes, conforme ilustrado abaixo. Depoisdefazerdiversasdobras,abreopapelecolocao nmero1nasduasextremidadesdaprimeiradobra. Sucessivamente,nomeiodecadaumdosarcosformados pelasdobrasanteriores,Jooescreveasomadosnmeros que esto nas extremidades de cada arco. Asfigurasaseguirilustramasquatroetapasiniciaisdesse processo. A C D B

MDULO II PARTE 8 Geometria Plana MATEMTICA 2011 12Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular ConsiderequeJoorecortouadobradurareferentefigura daetapa3nalinhaquecorrespondecordaABindicada abaixo. Eleverificou,aoabriropapelsemopedaorecortado,que havia formado o seguinte polgono: Calcule a rea da parte do crculo que foi retirada pelo corte. 32)(UFRJ-2009-PE)Umdiscosedeslocanointeriordeum quadrado,sempretangenciandopelomenosumdosseus lados. Umavoltacompletadodiscoaolongodosquatrolados divide o interior do quadrado em duas regies: a regio A dos pontosqueforamencobertospelapassagemdodiscoea regioBdospontosquenoforamencobertos.Oraiodo disco mede 2cm e o lado do quadrado mede 10cm. Determine a rea da regio B. 33) (UFRJ-2008-PNE) A, B e D so pontos sobre a reta r e C1 e C2 so pontos no pertencentes a r tais que C1 , C2 e D so colineares, como indica a figura a seguir. SeS1indicaareadotringuloABC1eS2,areado tringulo ABC2 , e sabendo que DC1 = 7, C1C2 = 9 e S2 = 4, determine S1. 34) (UFF-2FASE(I,J)-2009) Na figura ao lado, os pontos D, E e Fpertencem,respectivamente,aosladosAB,BCeACdo tringuloABC.Elesforamescolhidosdetalformaqueo quadrilteroADEFumlosango.Sabe-sequeopermetro destelosango20cmequeosegmentoABmede7cm. Determine: a) a medida do lado AD do losango ADEF; b) a medida do segmento AC; c) a rea do losango ADEF, sabendo que( )53cos = D A F 35)(uerj-05)Umcanteirodeflorespossui25m2dereae temoformatodeumtringuloretngulo.Estetringulofoi divididoemcincopartes,porsegmentosderetaigualmente espaadoseparalelosaumdoscatetos,conformeindicaa figura ao lado. Qual a rea do trapzio hachurado indicado na figura?

MDULO II PARTE 8 Geometria Plana MATEMTICA 2011 13Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 36)(ENEM-08)Otangramumjogoorientalantigo,uma espciedequebra-cabea,constitudodesetepeas:5 tringulosretnguloseissceles,1paralelogramoe1 quadrado.Essaspeassoobtidasrecortando-seum quadradodeacordocomoesquemadafigura1.Utilizando-setodasassetepeas,possvelrepresentarumagrande diversidadedeformas,comoasexemplificadasnasfiguras2 e 3. SeoladoABdohexgonomostradonafigura2mede2cm, entoareadafigura3,querepresentaumacasinha, igual a (A) 4 cm2.(B) 8 cm2.(C) 12 cm2. (D) 14 cm2.(E) 16 cm2. 37) (UFRJ-2007-PNE) Tangram um antigo quebra-cabea chins formado por um quadrado decomposto em sete peas: cinco tringulos, um paralelogramo e um quadrado, como mostra a figura A. A figura B obtida a partir da figura A por meio de translaes e rotaes de seis dessas peas. Determine a razo da rea da figura A para a rea da figura B. GABARITO 01)a) 5 e 4b) 9 e 32/3c) 7 e 10 02) B03) B04) 1,76 05) a) z = -2/3 x + 8b) x = 6 cmez = 4 cm 06) D07) D08) B 09) 5 10)2 6 11) B12) E13) C 14) D15) A16) D17) B 18) C19) 3520) A21) C 22) D23) C24) D25) A 26) 2 2 4 4 + 27) 1cm 28) 420 + 429) 25,5 30) C 31) ( ) 2 2 100 cm2 32) 4(5- ) cm2 33) 14 34) a) 5 cmb) 35/2 cmc) 20 cm2 35) 12 m2 36) B37) 78 Resoluo de algumas questes Questo 9)

MDULO II PARTE 8 Geometria Plana MATEMTICA 2011 14Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular Questo 23) 21 242 2 222.2 2) 2 2 (2 22 222242. 2 22 24222.2 2 22+=+=+=+=+ =+ =+ == = =ararara araa raa rx a raxaxax Letra C Questo 28) A rea total da calada (420 + 4) m2.A calada composta de cinco retngulos e cinco setores circulares. Todos os retngulos tm um par de lados medindo 2 m; a soma de suas reas o permetro do pentgono (40 + 40 + 45 + 35 + 50 = 210 m) vezes 2m. Os setores circulares tm todos raio igual a 2m; seus ngulos coincidem com os ngulos externos do pentgono, cuja soma 2; assim, suas reas, somadas, tm o mesmo valor que a de um crculo de raio 2. Questo 29) Questo 31) ngulo = 45O Setor circular S1 = 2r81 =8100 cm2 Tringulo S2 =42 100sen ab21= = 25 2cm2 rea retirada 8 (S1 S2) = 8 ( ) 2 2 10042 1008100 =|||

\| cm2

MDULO II PARTE 8 Geometria Plana MATEMTICA 2011 15Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular Questo 32) Considere o quadrado que circunscreve o disco de raio 2 cm. A regio interna ao quadrado e externa ao disco na figura tem a mesma rea dos quatro cantos formados pelo deslocamento proposto ao disco na figura original. A rea dos cantos 16 4 A regio B formada por um quadrado de lado 2 cm centrado na figura e pelos quatro cantos de rea 16 4 cm2 Portanto a rea da regio B 16 4 + 4,A = 4(5- ) cm2

Questo 33) Questo 34) a) Como os lados de um losango tm a mesma medida, o lado AD mede 20 : 4 = 5 cm. b) Seja x a medida do segmento FC. O lado AC mede ento 5 + x. Como os ngulos FEC e DBEso congruentes, assim como os ngulos CFE e EDB, tem-se que os tringulos ECF e BED so semelhantes e, portanto: Da segue-se que x = 25 / 2. Logo, a medida do lado AC 5 + 25/2 = 35/2 c) Tem-se que Assim, a rea do losango ADEF igual a: Questo 35) 122 6 621222 ) 2 4 (2) (2 122525 525= = = = +=+== = ==TrapTrap TrapTrapTotAA hx Ahx x h h h b BAhxhx x hA Questo 37) Seja a a rea da figura A. A nica pea do Tangram que no entrou na figura B o paralelogramo (no retngulo), cuja rea : 81162=da rea da figura A. Portanto, a razo da rea da figura A para a rea da figura B 78878= =aaaaa

R: 78