08 eac proj vest mat módulo 2 geometria plana

MÓDULO II – PARTE 8

Geometria Plana

MATEMÁTICA

2011 1

Prof. Bruno Vianna Projeto

Vestibular

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS: Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.

Dois lados homólogos (homo = mesmo , logos = lugar) são tais que cada um deles está em um dos triângulos e ambos são opostos a ângulos congruentes. 1.1) Razão de Semelhança: Sendo k a razão entre os lados homólogos,

kEF

BC

DF

AC

DE

AB === , k é chamado razão de

semelhança dos triângulos. Exemplo 1 : Sendo dado que os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes, que os lados do segundo têm medidas A’B’ = 3 cm , A’C’ = 7 cm e B’C’ = 5 cm e que a medida do lado AB do primeiro é 6 cm, vamos obter a razão de semelhança dos triângulos e os outros dois lados do primeiro triângulo.

Então: 36

57== yx

=2 Logo x = 14 cm e y =10cm

AC = 14 cm e BC = 10 cm OBS: Se dados dois triângulos temos k = 1, os triângulos são congruentes. 1.2) Teorema Fundamental da Semelhança : Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.

Se DE // BC ⇒ ∆ADE ≈ ∆ABC

Exemplo 2: Um triângulo ABC tem os lados AB = 12 cm,

AC = 13 cm e BC = 15 cm. A reta ↔

DE paralela ao lado BC do triângulo determina um triângulo ADE, em que DE = 5 cm. Vamos calcular AD =x e AE =y

15

5

1312// ==⇒∆≈∆⇒

yxABCADEBCDE

3

134 == yex

Logo: AD = 4cm e AE = 13 / 3 cm

1.3) Casos Especiais de Semelhança 1º Caso) (AA) Dois triângulos são semelhantes quando possuírem dois ângulos em comum. Exemplo 3: Calcule x e y nos triângulos abaixo:

A soma dos ângulos internos garante que A = D

Logo: 2

1

10

5

8

3 === y

x x = 6 e y = 4

2º Caso) (LpLpLp) Dois triângulos são semelhantes se todos os seus lados homólogos proporcionais. 3º Caso) (LpALp) Dois triângulos são semelhantes se dois lados de um dos triângulos são proporcionais aos seus homólogos do outro triângulo e os ângulos compreendidos entre estes lados forem congruentes.

D E

A

B C

12 13

15

5

y x

A

D

B C

E


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1.4) Observação Importante: Se a razão de semelhança de dois triângulos é k, então: - a razão entre os lados homólogos é k ; - a razão entre os perímetros é k ; - a razão entre as alturas é k ; - a razão entre as medianas é k ; ... -a razão entre dois segmentos lineares homólogos é k ; - a razão entre as áreas é k

2.

Se dois sólidos são semelhantes e a razão de semelhança é k, então:

- a razão entre as áreas de faces homólogas é k2.

- a razão entre os volumes é k3.

Cubo ABCDEFGH (I) Cubo PQRSTUVX (II)

Aresta = a Aresta = k . a

Perímetro de ABCD = 2pI= 4a Perímetro de PQRS= 2pII= 4ka 2pII = k . 2pI

Diagonal = AG Diagonal = PV = k . AG

ÁREA DE ABCD = AFACE I = a2 ÁREA DE PQRS = k

2 a

2

AFACE II = k2 . AFACE I

VOLUME I = VI = a3 VOLUME II = VII = k

3 a

3

VII = k3

EXERCÍCIOS 01) Calcule x e y nos triângulos abaixo: a) b)

c)

02) (Enem-98) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir: (A) 30cm (B) 45cm (C) 50cm (D) 80cm (E) 90cm

03) (ENEM-09-prova anulada) A fotografia mostra uma turista aparentemente beijando a esfinge de Gizé, no Egito. A figura a seguir mostra como, na verdade, foram posicionadas a câmera fotográfica, a turista e a esfinge.

Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, verifica-se que a medida do queixo até o alto da cabeça da turista é igual a 2/3 da medida do queixo da esfinge até o alto da sua cabeça. Considere que essas medidas na realidade soa representadas por d e d´, respectivamente, que a distância da


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esfinge à lente da câmera fotográfica, localizada no plano horizontal do queixo da turista e da esfinge, é representada por b, e que a distância da turista à mesma lente, por a. A razão entre b e a será dada por:

(A) c

d

a

b ´= (B) c

d

a

b

32= (C)

c

d

a

b

2´3=

(D) c

d

a

b

3´2= (E)

c

d

a

b ´2=

04) (UFFR-05) Observe a figura abaixo que demonstra um padrão de harmonia, segundo os gregos.

Há muito tempo os gregos já conheciam o número de ouro

1 5

2

+Φ = que é aproximadamente 1,618. Tal número foi

durante muito tempo “padrão de harmonia”. Por exemplo, ao se tomar a medida de uma pessoa (altura) e dividi-la pela medida que vai da linha umbilical até o chão, vê-se que a razão é a mesma que a da medida do queixo até a testa, em relação à medida da linha dos olhos até o queixo, e é igual ao número de ouro. Considere a cantora Ivete Sangalo, harmoniosa, segundo os padrões gregos. Assumindo que a sua distância da linha umbilical até o chão é

igual a 22( 5 1)

25

−metros, determine a altura da mesma.

05) (UFRJ) A figura a seguir representa um retângulo MNPQ, inscrito num triângulo ABC. O lado BC mede 12 cm e a altura relativa a esse lado mede 8 cm. Sejam x e z os comprimentos de MN e MQ, respectivamente.

a) Exprima a altura z do retângulo em função da base x. b) Calcule os valores de x e z para os quais a área S do retângulo é a maior possível.

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Observe que:

=⇒=

=⇒=

=⇒=

⇒==⇒≈

nbhcb

c

h

n

mchbb

c

m

h

nmhh

n

m

h

b

c

h

n

m

hIII

..

..

.2

=⇒=

=⇒=

⇒=

⇒==⇒≈

naca

c

c

n

cbhaa

c

b

h

okc

n

b

h

a

c

c

n

b

hIIII

.

..

2

=⇒=

⇒=

⇒=

⇒==⇒≈

maba

b

b

m

oka

b

c

h

okb

m

c

h

a

b

b

m

c

hIIIII

.2

h

a

c

H B

A

C

b

n m

a

n m

I c h h

b

C H H

A A

B

c

B

A

C

b

II

III


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Ou seja: Dado um triângulo retângulo de: Hipotenusa : a Catetos : b e c Projeções : m e n Altura: h Teremos: 1) h

2 = m . n 2) a . h = b . c

3) b2 = a . m 4) c

2 = a . n

somando-se “(3)” com “(4)” teremos:

)(

.

)(

.

.

222

22

22

22

2

2

Pitágorasdeteoremacba

cbaa

cbnma

cbanamnac

mab

+=⇒

+=⇒

+=+⇒

+=+⇒==

Conseqüências Importantes:

1) Diagonal de um quadrado : 2ld =

2) Altura de um triângulo eqüilátero: 2

3lh =

Resumo:

1) c . h = b . n 2) b . h = c . m 3) b

2 = a . m 4) c

2 = a . n

5) h

2 = m . n 6) a . h = b . c

7) a

2 = b

2 + c

2 8) 1 / h

2 = 1 / b

2 + 1 / c

2

Exercícios 06) (UFF 1999) - A figura abaixo representa o quadrado MNPQ de lado ℓ = 4cm. Sabendo que os retângulos NXYZ e JKLQ são congruentes, o valor da medida do segmento YK é:

(A) 23 cm (B) 2 3 cm (C) 22 cm

(D) 2 cm (E) 2 2 cm

07) (Enem-2006) Na figura abaixo, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão e igual a:

(A) 1,8 m. (B) 1,9 m. (C) 2,0 m. (D) 2,1 m. (E) 2,2 m.

08) (UERJ-99-1ª fase) Observe a figura:

Depois de tirar as medidas de uma modelo, Jorge resolveu fazer uma brincadeira:

1º) esticou uma linha , cujo comprimento é metade da altura dela; 2º) ligou B ao seu pé no ponto C;

3º) fez uma rotação de com centro B, obtendo o ponto

D sobre ;

4º) fez uma rotação com centro C, determinando E

sobre .

Para surpresa da modelo, é a altura do seu umbigo.

Tomando como unidade de comprimento e

considerando = 2,2 , a medida da altura do umbigo da modelo é: (A) 1,3 (B) 1,2 (C) 1,1 (D) 1,0


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30°

A S

V

09) (Uerj-2010-2ªfase) Observe a figura abaixo, que representa um quadrado ABCD, de papel, no qual M e N são os pontos médios de dois de seus lados. Esse quadrado foi dividido em quatro partes para formar um jogo.

O jogo consiste em montar, com todas essas partes, um retângulo cuja base seja maior que a altura. O retângulo PQRS, mostrado a seguir, resolve o problema proposto no jogo.

10)(UFRJ-PE-99) Na figura, o triângulo AEC é equilátero e ABCD é um quadrado de lado 2 cm.

Calcule a distância BE.

11) (OBM-2004-1ªF) Dois espelhos formam um ângulo de 30o

no ponto V. Um raio de luz, vindo de uma fonte S, é emitido paralelamente a um dos espelhos e é refletido pelo outro espelho no ponto A, como mostra a figura. Depois de uma certa quantidade de reflexões, o raio retorna a S. Se AS e AV têm 1 metro de comprimento, a distância percorrida pelo raio de luz, em metros, é (A) 2

(B) 2 3+

(C) 1 2 3+ +

(D) ( )2 1 3+

(E) 5 3

12) (UFF- 2010- 1ª fase) A palavra “perímetro” vem da combinação de dois elementos gregos: o primeiro, perí, significa “em torno de”, e o segundo, metron, significa “medida”.

O perímetro do trapézio cujos vértices têm coordenadas (−1, 0), (9, 0), (8, 5) e (1, 5) é:

13) Uma folha quadrada de papel ABCD é dobrada de modo

que o vértice C coincide com o ponto M médio de AB. Se o

lado de ABCD é 1, o comprimento BP é: (A) 0,300 (B) 0,325 (C) 0,375 (D) 0,450 (E) 0,500

14) (OBM-99-1F) Um quadrado ABCD possui lado 40cm. Uma circunferência contém os vértices A e B e é tangente ao lado CD. O raio desta circunferência é:

(A) 20cm (B) 22cm (C) 24cm (D) 25cm (E) 28cm

15) (Escola Naval - 1990) Os centros de dois círculos de raios 1 e 4 distam 13 entre si. O segmento da tangente comum interna compreendido entre os pontos de tangência mede: (A) 12 (B) 11 (C) 10 (D) 9 (E) 8


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CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA

Definição 1: Dado um ponto O e uma distância r. Chamamos de circunferência o conjunto de pontos P que tenham distância r de O. Definição 2: Dado um ponto O e uma distância r. Chamamos de círculo o conjunto de pontos P que tenham distância menor que r do ponto O. AB é diâmetro AO é raio AC é corda

I) Ângulos na Circunferência :

1) Ângulo Central: Ângulo central relativo a uma circunferência que tem o vértice no centro da circunferência é o ângulo que tem o vértice no centro da circunferência.

∩

= ABac

2) Ângulo Inscrito :

Ângulo inscrito relativo a uma circunferência é um ângulo que tem o vértice na circunferência e os lados são secantes a ela.

2

∩

= ABai

COMPRIMENTO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA

rC

r

C

d

C

π

π

2

214,3

=→

→=→≅

Comprimento do arco AB:

º180

3602º3602

º3602

απ

απα

π

απ

rAB

rAB

AB

r

AB

rC

=⇒

⇒=⇒=

−−−−−−=

Exercícios 16) (UERJ) O Ceará atravessa a maior seca do século. Há mais de cinco meses. Fortaleza vem sofrendo racionamento de água e estava ameaçada por um colapso no fornecimento, em setembro. Para combater este problema, o Governo do Estado construiu a maior obra da história do Ceará: o CANAL DO TRABALHADOR, ligando o rio Jaguaribe ao Açude Pacajus. Com 115 quilômetros de extensão. Para se ter uma idéia da dimensão desta obra, basta dizer que ela é 18 quilômetros maior que o canal do Panamá em extensão e que representa um grau da curvatura da Terra.(Revista VEJA, 22/09/93) Considere a Terra esférica e o canal construído como parte de um círculo máximo. Com essas informações e

usando o valor 3 para π, o raio da Terra em Km, seria: (A) 20.700 (B) 13.800 (C) 10.350 (D) 6.900 (E) 6.300

17) (UERJ-06-2ºex)

No esquema acima estão representadas as trajetórias de dois atletas que, partindo do ponto X, passam simultaneamente pelo ponto A e rumam para o ponto B por caminhos diferentes, com velocidades iguais e constantes. Um deles segue a trajetória de uma semicircunferência de centro O e

C A

O*

B

* P

O*

r

B

A

ac

B

A

ai


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raio 2R. O outro percorre duas semicircunferências cujos centros são P e Q.

Considerando 2 = 1,4, quando um dos atletas tiver

percorrido 4

3 do seu trajeto de A para B, a distância entre

eles será igual a: (A) 0,4 R (B) 0,6 R (C) 0,8 R (D) 1,0 R

18) (UFF-07-1ªfase) No Japão, numerosos lugares de peregrinação xintoístas e budistas abrigam tabuletas matemáticas de Sangaku, onde estão registrados belos problemas, quase sempre geométricos, que eram oferecidos aos Deuses. A figura a seguir, que é uma variante de um exemplar de Sangaku, é composta por cinco círculos que se tangenciam.

Sabendo que seus diâmetros satisfazem as relações:

, pode-se concluir que é igual a:

(A) 0,65 (B) 0,6555... (C) 0,666... (D) 0,7 (E) 0,7333...

19) (UFRJ-99-PE) Na figura a seguir, os círculos de centros O1 e O2 são tangentes em B e têm raios 1cm e 3cm.

Determine o comprimento da curva ABC.

20) (UERJ-2003-1ª fase)-José deseja construir, com tijolos, um muro de jardim com a forma de uma espiral de dois centros, como mostra a figura abaixo.

Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1 metro um do outro. A espiral tem 4 meias-voltas e cada tijolo mede 30 cm de comprimento.

Considerando π = 3, o número de tijolos necessários para fazer a espiral é: (A) 100 (B) 110 (C) 120 (D) 130

21) (UFF-96) O quadrilátero MNPQ está inscrito no círculo de centro O e raio 10,0 cm conforme a figura abaixo.

Sabendo-se que a diagonal MP passa por O, o valor de

MH , em cm, é: (A) 4,0 (B) 4,5 (C) 4,8 (D) 5,0 (E) 5,3

P


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Polígonos Regulares – Inscritos e Circunscritos Um polígono convexo é regular se, e somente se, tem todos os seus lados congruentes e todos os seus ângulos internos congruentes. Assim o único triângulo regular é o eqüilátero. E o único quadrilátero regular é o quadrado. ► Todo polígono regular é eqüilátero e eqüiângulo . ► Todo polígono regular é inscritível em uma circunferência. ► Todo polígono regular é circunscritível a uma circunferência. ► Todo polígono regular que possui número par de lados, possui diagonais passando pelo seu centro(as que unem vértices opostos). ► Todo polígono regular que possui número ímpar de lados, não possui diagonais passando pelo seu centro. Centro do polígono regular → é o centro comum das circunferências circunscrita e inscrita no polígono. Ângulo cêntrico → é o ângulo central da circunferência que circunscreve este polígono, formado pelos raios que unem o centro da circunferência a vértices consecutivos do polígono.

nac

º360=

APÓTEMA → é o segmento com uma extremidade no centro e a outra no ponto médio de um lado. M ponto médio do lado AB OD e OE → raios da circunferência O → centro da circunferência e do hexágono regular OM → Apótema ac → ângulo cêntrico ai → ângulo interno do hexágono regular.

Em função do raio (R) da circunferência circunscrita:

Polígonos Lados Apótema

→ Triângulo Eqüilátero

33 R=l

23

Ra =

→Quadrado

24 R=l

2

24

Ra =

→Hexágono Regular

R=6l

2

36

Ra =

Nomenclatura: R – Raio do círculo circunscrito r – Raio do círculo inscrito ln – lado do polígono de n lados an – apótema do polígono de n lados

Relações: R2 = (an)

2 +

2

2

nl

22) (UFF-97) - A razão entre o lado do quadrado inscrito e o lado do quadrado circunscrito em uma circunferência de raio R é:

(A) 1

3 (B)

1

2 (C)

3

3 (D)

2

2 (E) 2

23) (UERJ-2010-2º ex qual) Uma embalagem em forma de prisma octogonal regular contém uma pizza circular que tangencia as faces do prisma.

Desprezando a espessura da pizza e do material usado na embalagem, a razão entre a medida do raio da pizza e a medida da aresta da base do prisma é igual a:

F C

A B M

O

ac

ai

D E


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ÁREAS DE SUPERFÍCIES PLANAS :

Retângulo: a

b

A = a.b

Quadrado:

x

x

A = x2

Paralelogramo:

b

h

A = b.h

Triângulo:

b

h

A = b h.

2

(eqüilátero : 4

32l)

Losango:

d2

d1

A = d d1 2

2

.

Trapézio: b

B

h

A = ( ).b B h+

2

Polígono Regular:

A = p.a

Circunferência:

r

A = ππππ.r

2

Setor Circular:

α em graus α em radianos

2º360

22 rAou

rA setset

ααπ ==

Segmento Circular:

( )αα senr

A

AAA

seg

setseg

−=

−= ∆

2

2

α em radianos


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Coroa Circular

( )22 rRAco −= π

Principais Fórmulas sobre áreas de triângulos

Fórmula de Heron : ))()(( cpbpappA −−−=

p semiperímetro

Fórmula do Seno: αsenbc

A ⋅=2

Triângulo Circunscrito: A = p . r

Triângulo Inscrito: R

cbaA

4

..=

Exercícios 24) (Unirio) Considere um tablado para a Escola de Teatro da UNIRIO com a forma trapezoidal abaixo

Quantos metros quadrados de madeira serão necessários para cobrir a área delimitada por esse trapézio? (A) 75 m

2 (B) 36 m

2 (C) 96 m

2 (D) 48 m

2 (E) 60 m

2

25) A figura 1. representa uma folha de cartolina, com a parte da frente cinza e a de trás branca. Desta cartolina, foram retirados através de cortes, dois triângulos retângulos (fig .2). Obtendo assim um triângulo eqüilátero (fig. 3). Após isso foram dobrados para dentro, três triângulos eqüiláteros menores (com lado igual ¼ do lado do ∆ grande) (figuras 4 e 5). Sabe-se que a área cinza da última figura é de

23360 cm .

Daí podemos afirmar que o perímetro da cartolina retangular da fig. 1 é de:

(A) ( ) cm3248 +

(B) cm3480

(C) ( ) cm3124 +

(D) ( ) cm3224 +

(E) cm3240

26) (UFRJ-2001-PNE) As cinco circunferências da figura são tais que a interior tangencia as outras quatro e cada uma das exteriores também tangencia duas das demais exteriores.

Sabendo que as circunferências exteriores têm todas raio 1, calcule a área da região sombreada situada entre as cinco circunferências.


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3

4

3

2

2

2

2

2

2

2

) 2(

)2 (

)3 (

) 2 (

a

a

a

a

a

π

π

π

π

π

−

−

−

−

27) (UFRJ-96-PE) O hexágono ABCDEF é construído de modo que MNP seja um triângulo equilátero e AMPF, BCNM e DEPN sejam quadrados.

A área do hexágono ABCDEF é igual a (3 + 3 ) cm2

Determine o comprimento, em centímetros, do lado do triângulo MNP.

28) (UFRJ-2004-PE) A figura a seguir representa a planta de um terreno plano, em forma de pentágono convexo, de lados 40m , 50m , 35m , 45m e 40m. Em toda a volta deste terreno foi construída uma calçada de 2m de largura (ou seja: a distância de qualquer ponto da borda desta calçada ao terreno é exatamente 2m)

Determine a área total da calçada.

29) (UERJ-2008-ESP) Um tabuleiro retangular com pregos dispostos em linhas e colunas igualmente espaçadas foi usado em uma aula sobre área de polígonos. A figura abaixo representa o tabuleiro com um elástico fixado em quatro pregos indicados pelos pontos A, B, C e D.

Considere u a unidade de área equivalente ao menor quadrado que pode ser construído com vértices em quatro pregos do tabuleiro. Calcule, em u, a área do quadrilátero ABCD formado pelo elástico.

30) (AMAM-05) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de

lado “ a ”. A área hachurada, limitada por quartos de

circunferências centradas nos vértices do quadrado e passando pelo seu centro, é: (A) (B) (C) (D) (E)

31) (UERJ-2007-ESP) João recorta um círculo de papel com 10 cm de raio. Em seguida, dobra esse recorte ao meio várias vezes, conforme ilustrado abaixo.

Depois de fazer diversas dobras, abre o papel e coloca o número 1 nas duas extremidades da primeira dobra. Sucessivamente, no meio de cada um dos arcos formados pelas dobras anteriores, João escreve a soma dos números que estão nas extremidades de cada arco. As figuras a seguir ilustram as quatro etapas iniciais desse processo.

A

C

D

B


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Considere que João recortou a dobradura referente à figura da etapa 3 na linha que corresponde à corda AB indicada abaixo.

Ele verificou, ao abrir o papel sem o pedaço recortado, que havia formado o seguinte polígono:

Calcule a área da parte do círculo que foi retirada pelo corte.

32) (UFRJ-2009-PE) Um disco se desloca no interior de um quadrado, sempre tangenciando pelo menos um dos seus lados. Uma volta completa do disco ao longo dos quatro lados divide o interior do quadrado em duas regiões: a região A dos pontos que foram encobertos pela passagem do disco e a região B dos pontos que não foram encobertos. O raio do disco mede 2cm e o lado do quadrado mede 10cm.

Determine a área da região B.

33) (UFRJ-2008-PNE) A, B e D são pontos sobre a reta r e C1 e C2 são pontos não pertencentes a r tais que C1 , C2 e D são colineares, como indica a figura a seguir.

Se S1 indica a área do triângulo ABC1 e S2 , a área do triângulo ABC2 , e sabendo que DC1 = 7, C1C2 = 9 e S2 = 4, determine S1.

34) (UFF-2ªFASE(I,J)-2009) Na figura ao lado, os pontos D, E e F pertencem, respectivamente, aos lados AB, BC e AC do triângulo ABC. Eles foram escolhidos de tal forma que o quadrilátero ADEF é um losango. Sabe-se que o perímetro deste losango é 20 cm e que o segmento AB mede 7 cm. Determine: a) a medida do lado AD do losango ADEF; b) a medida do segmento AC;

c) a área do losango ADEF, sabendo que ( )5

3ˆcos =DAF

35) (uerj-05) Um canteiro de flores possui 25 m

2 de área e

tem o formato de um triângulo retângulo. Este triângulo foi dividido em cinco partes, por segmentos de reta igualmente espaçados e paralelos a um dos catetos, conforme indica a figura ao lado. Qual é a área do trapézio hachurado indicado na figura?


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36) (ENEM-08) O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça, constituído de sete peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o esquema da figura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é possível representar uma grande diversidade de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3.

Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2 cm, então a área da figura 3, que representa uma “casinha”, é igual a (A) 4 cm

2. (B) 8 cm

2. (C) 12 cm

2.

(D) 14 cm2. (E) 16 cm

2.

37) (UFRJ-2007-PNE) Tangram é um antigo quebra-cabeça chinês formado por um quadrado decomposto em sete peças: cinco triângulos, um paralelogramo e um quadrado, como mostra a figura A. A figura B é obtida a partir da figura A por meio de translações e rotações de seis dessas peças.

Determine a razão da área da figura A para a área da figura B.

GABARITO 01) a) 5 e 4 b) 9 e 32/3 c) 7 e 10 02) B 03) B 04) 1,76 05) a) z = -2/3 x + 8 b) x = 6 cm e z = 4 cm 06) D 07) D 08) B 09) 5

10) 26 − 11) B 12) E 13) C

14) D 15) A 16) D 17) B

18) C 19) 3

5π 20) A 21) C

22) D 23) C 24) D 25) A

26) ππ 2244 +− 27) 1cm

28) 420 + 4π 29) 25,5 30) C

31) ( )22100 −π cm2

32) 4(5- π) cm2

33) 14

34) a) 5 cm b) 35/2 cm c) 20 cm

2 35) 12 m

2

36) B 37) 7

8

Resolução de algumas questões Questão 9)


Geometria Plana

MATEMÁTICA

2011 14


Vestibular

Questão 23)

212

4222

2

2.

22

)22(

22

22

22

2

42

.22

22

42

2

2.

2222

+=

+=

+=

+=

+=

+=

+=

=⇒=⇒=

a

r

a

r

ar

aar

aar

aar

xar

ax

ax

ax

Letra C

Questão 28)

A área total da calçada é (420 + 4π) m2

.

A calçada é composta de cinco retângulos e cinco setores circulares. Todos os retângulos têm um par de lados medindo 2 m; a soma de suas áreas é o perímetro do pentágono (40 + 40 + 45 + 35 + 50 = 210 m) vezes 2m. Os setores circulares têm todos raio igual a 2m; seus ângulos coincidem com os ângulos externos do pentágono, cuja soma é 2π; assim, suas áreas, somadas, têm o mesmo valor que a de um círculo de raio 2.

Questão 29)

Questão 31)

Ângulo = 45O

Setor circular ⇒ S1 = 2πr8

1 =

8

100π cm2

Triângulo ⇒ S2 =4

2100senab

2

1 = θ = 25 2 cm2

Área retirada ⇒ 8 (S1 −−−− S2) = 8

( )221004

2100

8

100 −π=

−π

cm2


Geometria Plana

MATEMÁTICA

2011 15


Vestibular

Questão 32) Considere o quadrado que circunscreve o disco de raio 2 cm.

A região interna ao quadrado e externa ao disco na figura é tem a mesma área dos quatro cantos formados pelo deslocamento proposto ao disco na figura original. A área dos cantos é 16 – 4π A região B é formada por um quadrado de lado 2 cm centrado na figura e pelos quatro cantos de área 16 – 4π cm

2

Portanto a área da região B é 16 – 4π + 4, A = 4(5- π) cm

2

Questão 33)

Questão 34) a) Como os lados de um losango têm a mesma medida, o lado AD mede 20 : 4 = 5 cm. b) Seja x a medida do segmento FC. O lado AC mede então 5 + x. Como os ângulos FEC e DBE são congruentes, assim como os ângulos CFE e EDB, tem-se que os triângulos ECF e BED são semelhantes e, portanto:

Daí segue-se que x = 25 / 2. Logo, a medida do lado AC é 5 + 25/2 = 35/2

c) Tem-se que Assim, a área do losango ADEF é igual a:

Questão 35)

12

2662

122

2)24(2

)(

212

25255

25

=

⋅=⇒=⇒

⇒=⋅+=+=

=⇒=⇒=⋅=

Trap

TrapTrap

Trap

Tot

A

AhxA

hxxhhhbBA

hxhxxh

A

Questão 37) Seja a a área da figura A. A única peça do Tangram que não entrou na figura B é o paralelogramo (não retângulo), cuja

área é: 81

162 = da área da figura A. Portanto, a razão da área

da figura A para a área da figura B é

7

8

8

7

8

==− a

aa

a

a

R: 7

8

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08 eac proj vest mat módulo 2 geometria plana