CONTABILOMETRIA EAC-303

Professor

Antonio Carlos Coelho

Modelo de inferência estatística

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Passos na Construção de um Modelo EstatísticoEspecificar um modelo estatístico: fórmula e

premissas

Estimar os parâmetros do modelo a partir dos dados

amostrais

Examinar os resíduos e testar a adequação do modelo

Usar o modelo para seu propósito pretendido

Se o modelo não for aprovado

Modelo de Regressão

tipos e técnicas

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Regressão

TIPOSTIPOS

LINEAR Simples Uma variável independenteMúltipla Duas ou mais variáveis

NÃO-LINEAR Curvilínea

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Regressão Linear

ObjetivosObjetivos

Encontrar uma equação matemática que permita Descrever e compreender a relação

entre 2 ou mais variáveis aleatórias Projetar ou estimar uma nova

observação

Ajustar uma reta a partir dos dados amostrais

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UtilidadesUtilidades

• Busca de relações de Causa e Efeito

• Predição de valores• Economia em custos de projeção• Estabelecer explanação sobre uma

população a partir de uma amostra

Regressão Linear

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Na análise de regressão linear simples busca-se encontrar a equação de uma reta que permita

  Descrever e compreender a relação entre duas variáveis

Projetar e estimar uma das variáveis em função da outra.

Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples

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Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples

Supondo uma variável X denominada de independente e uma variável Y, a qual

chamada de dependente (de X), diremos que

Y = f(X)

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Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples

Dado um conjunto de valores observados de x e y, construímos um modelo de regressão linear de y sobre x, baseado numa equação de uma reta do tipo:

ýi = a + bxi

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• f(x) se modifica a uma taxa constante em relação à sua variável independente

• Gráfico da função linear: reta

• Em termos algébricos:– f(x) = b.x + a

– a e b são constantes

– b: coeficiente angular– a: coeficiente linear

Função LinearFunção Linear

x

y

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variação de y variação de xb =

Coeficiente Angular (b) e Linear (a)

x

y

(x1,y1)

(x2,y2)

x2-x1 = ∆ x

y2-y1 = ∆ y b = tg

a → intersecção da reta com o eixo y

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Exercício

Determine o coeficiente angular e a interseção da reta 3y + 2x = 6 com o eixo dos y. Construa o respectivo gráfico.

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• Forma Inclinação-Intersecção:• y = b.x + a

– Inclinação: m (coeficiente angular)– Intersecção com o eixo dos y é (0,b)

• Forma Ponto-Inclinação:• y – y0 = b (x – x0)

– Passa pelo ponto (x0,y0)

– Inclinação: b (coeficiente angular)

Formas de Equação da Reta

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Equação da Reta

ýi = a + bxi

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A Reta de RegressãoA Reta de Regressão

• Equação: ý = a + bx• b = declividade da reta: define o aumento ou diminuição da variável y

por unidade de variação de x• a = intercepto em y: define o valor médio de y com x=0, isto é, sem a

interferência de x

• Nesse modelo se verifica que:– para um valor xi podem existir um ou mais valores de yi amostrados– para esse mesmo valor xi haverá um valor projetado ý – para cada valor xi existirá um dado desvio di dos valores de ý– sempre haverá observações que não são pontos da reta.

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Método dos Mínimos QuadradosMétodo dos Mínimos Quadrados

Cálculo de a (coeficiente linear) eb (coeficiente angular).

Considera as seguintes condições:

1. Somatória de todos os desvios verticais dos pontos em relação a reta é zero.

2. A soma do quadrado destes desvios é mínima.

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Desvio do valor projetado

yi

ýc

xi

di = yi - ýc

ý = a + bx

19Onde: Di = (Yi – Yc) Di = 0 (Di)2 é mínimo

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• É uma técnica matemática de excepcional força e versatilidade;

• Derivada de uma função: exprime o coeficiente angular da tangente à curva f(x) em função de um ponto x de tangência

• Possui grande variedade de aplicações:– Traçado de curvas– Otimização de Funções– Análise de Taxas de Variação

Diferenciação – O que é?

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Taxa de Variação• Função Linear:

x

f(x)

Taxa constante

• Função Não Linear:

x

f(x)

Taxa variável

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Problemas de Otimização• Exemplo: Lucro em função do Preço• P(x) = 400(15-x)(x-2)

x

P(x)

(preço)

(lucro)

2 15

Coeficiente angular positivo

Coeficiente angular = zero

Coeficiente angular negativo

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Técnicas de DiferenciaçãoFunção Derivada da Função

constante (c) 0

[c.f] c.f'

xn n . xn-1

x 1

[f±g] f' + g'

[f.g] f'.g + f.g'

[f/g] f'.g - f.g'

g2

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Regra da Cadeia - Potências

• Seja y em função de u: f(u) = un

• Seja u em função de x: u(x)

1( ) .

ndy dy du dun f u

dx du dx dx

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Regra da Cadeia – Exemplo

3 2( ) (2 3)f x x • Calcule f(x) , sendo:

• Nesse caso, a função f(x) pode ser derivada de três modos distintos:– Desenvolver a fatoração e aplicar a regra da soma– Aplicar a regra do produto– Aplicar a regra da cadeia para potências:

3 2 2'( ) 2(2 3)(6 ) 12 (2 3)f x x x x x • Terceira opção: possibilita uma derivação mais

simples e um resultado fatorado!

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Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples • Calculando os coeficientes a e b

n

xx

n

yxxy

22 )(

)).((

a =

b =

n

xby

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a = y - bx

b =Cov (x,y)

Var (x)

Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples

• Calculando a e b por medidas estatísticas

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Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples

• Calculando a e b por medidas estatísticas

2

, xy YX Yxy

X X

Cov x y rb r

Var x

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a e b servem como estimativas dos dois parâmetros populacionais correspondentes a A e B, sendo a equação

ýc = a + bx

uma estimativa da relação populacional

y = A + Bx + e

onde e representa a dispersão na população.

Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples

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Distribuição Condicional

A análise de regressão supõe que, para cada valor de x, há uma distribuição de y’s potenciais que segue a lei normal.

Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples

31

Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples

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* Existem dados de mensurações tanto para x quanto para y.

* A variável independente é aleatória.

* Para cada valor de x há uma distribuição condicional de y’s que é normal.

* Os desvios padrões de todas as distribuições condicionais são iguais.

Hipóteses

Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples